6 Turbulentin virtauksen laskenta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6 Turbulentin virtauksen laskenta"

Transkriptio

1 154 6 Turbulentin virtauksen laskenta 6.1 Turbulentti virtaus Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä niin yleisesti esillä ja yhtä usein ehkä ainakin joskus hieman väärässä merkityksessä. Kun esimerkiksi jonkun johtajan vakanssin todetaan olevan turbulentti, tarkoitetaan tilanteen muuttumista äkillisesti ja ennalta arvaamattomasti. Tällöin kyseessä on transientti-ilmiö, jota ei voida ennustaa tarkasti. Virtauksessakin ajasta riippuva tilanne ja turbulenssi menevät helposti käsitteellisesti sekaisin. Kaikki virtaukset ovat oikeastaan ajasta riippuvia, koska laminaarillakin virtauksella vesihanasta voi alkaa tulla ruosteista vettä, sen lämpötila voi muuttua jne. Ympyräsylinterin taakse puolestaan voi syntyä laminaari pyörrerata, joka on mitä suurimmassa mitassa ajasta riippuva ilmiö, muttei turbulentti. Siirtyminen laminaarista turbulenttiin virtaukseen on heti kvalitatiivisesti nähtävissä vesihanasta tulevassa suihkussa ja esimerkiksi putken keskimääräisessä nopeusjakaumassa, vaikka turbulenssin täsmällinen määritteleminen onkin hankalaa. Turbulentissa virtauksessa on oleellista virtaussuureiden, esimerkiksi nopeuden heilahtelu keskimääräisen paikallisen arvonsa ympärillä. Turbulenssilla on tietynlainen spektri, jolla se eroaa laminaarista ajasta riippuvasta virtauksesta. Virtauslaskijan on syytä ymmärtää laskemansa tapauksen fysiikkaa turbulenssin kannalta (virtausmekaniikan oppikirja pitää aina olla lähellä). Kaikki virtaukset eivät ole kokonaan turbulentteja, mutta tätä RANS-yhtälöihin perustuva laskenta ei erota. Jos koodi laitetaan laskemaan laminaaria virtausta turbulenttina, niin tulos menee tietenkin väärin. Vaikeimpia ovat tapaukset, joissa on merkittävässä määrin läsnä sekä laminaaria että turbulenttia virtausta. FLUENTissa voidaan turbulenssimalli kääntää pois päältä osassa laskenta-aluetta, mutta yleensä laskennan suorittaja ei nykytietämyksellä voi tietää missä osissa näin pitäisi tehdä. Usein unohtuva asia on,

2 6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 155 että rajakerros on aina aluksi laminaari, vaikka tulovirtaus olisi turbulentti. Tulovirtauksen korkeampi turbulenssiaste vain siirtää laminaarista turbulenttiin tapahtuvan transition paikkaa. Viime vuosina koodeihin on implementoitu uudenlaisia tapoja transition mallinnukseen, mutta malleja ei ole vielä validoitu kunnolla monimutkaisissa virtaustilanteissa eikä niitä siten voida pitää luotettavina. Jos virtaus on merkittävässä osassa rajakerrosta laminaaria, on liian huono approksimaatio laskea sitä kokonaan turbulenttina. Tämän vuoksi FLUENTin avulla ei kannata lähteä sokkona suunnittelemaan tai tutkimaan purjekoneen siipeä, joka on suurimmaksi osaksi laminaari, koska tulos ei ollenkaan vastaisi todellisuutta. Virtauslaskijan on syytä myös pitää mielessään, miltä virtaus näyttää oikeasti. Hyviä havaintokohteita on luonnossa runsaasti. Laskennassa käytetään turbulenssia varten kehitettyjä malleja. Jonkinlaisen tuntuman saavutettavaan tarkkuuteen saa, jos on nähnyt vastaavasta oikeasta tilanteesta visualisoinnin, joko laboratoriossa tai luonnossa. Usein virtaukset ovat paitsi turbulentteja myös makroskooppisessa mielessä ajasta riippuvia. Ensimmäisessä luvussa oli esimerkkinä joessa olevat pyörteet, jotka ovat yleensä luonteeltaan turbulentteja, mutta suurimmat pyörteet ovat analogisia vastaavien laminaarien pyörteiden kanssa. Vastaavia tilanteita löytyy esimerkiksi lämmönsiirrosta vapaan konvektion muodostamista virtausilmiöistä. Tilanteet ovat turbulenssimallille kiusallisia. Kuten jatkossa tulee esille, RANSturbulenssimallin tehtävänä on laskea tasapainotilan keskimääräistä virtausta. Jos malli ei pysty keskiarvottamaan virtausta, vaan se jää ajasta riippuvaksi, se tavallaan toimii väärin turbulenssimallina, mutta oikein virtauksen fysiikan kannalta. Laskentatavasta on ryhdytty käyttämään nimitystä URANS (unsteady Reynoldsaveraged Navier-Stokes). RANS-pohjaisten turbulenssimallien soveltuvuus ajasta riippuviin virtauksiin on tapauskohtaista ja tämän vuoksi tuloksiin on aina suhtauduttava varauksella. Ajasta riippuvien tilanteiden ainoa teoreettisesti oikea lähestymistapa on isojen pyörteiden menetelmä, LES (large-eddy simulation, suurten pyörteiden simulointi), joka on viime aikoina tullut esille myös teknisten sovellusten yhteydessä. LES on sinänsä laskentamenetelmänä vanha, peräisin 1960-luvulta. Sen soveltaminen rajakerrostyyppisiin virtauksiin on osoittautunut hankalaksi. DES (detached-eddy-simulation) ja VLES (very large-eddy simulation) ovat kevennettyjä lähestymistapoja. Viime aikoina on kehitetty myös ns. hybridimenetelmiä, joissa yhdistetään RANS- ja LES-menetelmät. Myös monet tavalliset turbulenttiset virtaukset (so. ei ajasta riippuvat ) ovat sellaisia, että virtaussuureiden heilunta on hyvin suurta. Nopeus voi esimerkiksi vä-

3 6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 156 NAVIER STOKES RATKAISUT Tasapainotilan laskenta Ajastariippuva laskenta RANS DES LES DNS URANS DES LES DNS VLES } tasa paino tila ajasta riippuva ratkaisu Kuva 6.1: Turbulenttisen virtauksen mallinnustavat. lillä jopa muuttaa suuntaansa. Irronneen alueen käsitekin voi olla epäselvä, koska on mahdollista, että keskimääräisessä mielessä virtaus on kiinni, vaikka se hetkellisesti irtoaakin. Virtauksen todellista monimutkaisuutta ajatellessa on välillä oikeastaan eräänlainen ihme, että keskimääräinen tilanne saadaan usein niinkin hyvin ennustetuksi, kuin se onnistuneissa laskentatilanteissa saadaan. Simuloinnin suorittajan on tämä pidettävä mielessä ja tunnettava käyttämänsä mallin rajat. Virtausilmiöt voidaan siis luokitella ajasta riippuviin ja ajasta riippumattomiin (kts. kuva 6.1). Turbulenssi käsitellään varsinaisesta aikariippuvuudesta erillään joko osana ratkaisua tai mallinnettuna. Suora simulointi (DNS) on ainoa tapa, jossa turbulenssia ei mallinneta mitenkään, vaan virtaus lasketaan kokonaan ajasta riippuvana. Suorassa simuloinnissa on tärkeää, että kaikki turbulenssin skaalat ovat mukana simuloinnissa. Käytännössä tämä merkitsee, että suora simulointi voidaan tehdä vain hyvin alhaiselle globaalille Reynoldsin luvulle. LES ja DES ovat menetelmiä, joissa vain osa turbulenssin spektristä lasketaan ajan suhteen tarkasti ja loppuosa mallinnetaan. Ainoastaan RANS-yhtälöillä lasketaan suoraan tasapainotilaa, DNS-, LES- ja DES-laskennassa on simulointia jatkettava ajasta riippuvana niin kauan, että saavutetaan tilastollisesti edustava keskiarvo virtaussuureille. Tämä tekee laskentatehtävistä huomattavasti raskaampia kuin RANS. Suurin osa teknisestä laskennasta tehdään RANS-yhtälöillä. Lähestymistapa on eräässä mielessä epäfysikaalinen, koska virtauskenttä ei oikeastaan koskaan todellisuudessa näytä täysin keskimääräiseltä, siis RANS-yhtälöiden antamalta ratkaisulta. Ja kuten edellä todettiin, RANS-laskennan soveltaminen ajasta riippuviin

4 6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 157 tapauksiin, esimerkiksi pyörreradan laskentaan, on epämääräistä. On selkeästi näkyvissä, että tietokoneiden tehon jatkuvasti kasvaessa kehitys menee LES- tai DEStai jotain uutta vastaavaa turbulenssin kuvausta kohti. 6.2 Turbulenttia virtausta kuvaavat yhtälöt Edellä on tullut esille käsite keskimääräisestä virtauksesta. Turbulentin virtauksen kaikki mallinnustavat (suoraa simulointia lukuunottamatta), lähtevät siitä, että virtaussuureet jaetaan keskimääräiseen ja heilahtelukomponenttiin u i (t) = ū i +u i(t) (6.1) Perusideana on siis se, että keskimääräinen virtausnopeus ū i, josta suunnittelija yleensä on kiinnostunut, ei riipu ajasta, heilahtelukomponenttiu i (t) sen sijaan riippuu. Laskettaessa ajasta riippuvaa tilannetta keskimääräinenkin nopeus voi riippua ajasta, mutta eri aikaskaalalla kuin heilahtelunopeus. Tätä tilannetta havainnollistetaan kuvassa 6.2. Varsinainen turbulenssi siis mallinnetaan aina heilahtelunopeuksienu i (t) avulla. Ongelmana on se, että joskus nämä erilaiset aikaskaalat ovat samaa suuruusluokkaa ja menevät sekaisin. Isojen pyörteiden menetelmässä ei ole samaa keskimääräistä virtausnopeutta, vaan ns. suodatettu nopeus, jonka täytyykin riippua ajasta. LESillä ja muilla vastaavilla tekniikoilla (DNS, DES) ei siis aikaskaalaongelmaa ole. Kun tyyppiä (6.1) olevat nopeudet ja muut suureet on sijoitettu virtausyhtälöihin (3.7) ja (3.8) ja otettu aikakeskiarvo sopivan aukon T yli, saadaan ρū i t + ρū iū j x j ρ t + ρū i x i = 0 (6.2) = p + [ ( ūi µ + ū j 2 x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l + ( ) ρu x i u j j (6.3) Yhtälöt säilyvät muodollisesti lähes samanlaisina kuin alkuperäiset Navier-Stokes -yhtälöt. Yhtälöitä kutsutaan Reynolds-keskiarvotetuiksi yhtälöiksi (RANS) ja liikemääräyhtälöihin tullutta lisätermiä ρu iu j Reynoldsin jännityksiksi. Ratkaisuksi saadaan suoraan keskiarvotetut suureet ū i ja p jne. Yleensä yhtälöt kirjoitetaan ilman yläviivoja lukuunottamatta Reynoldsin jännityksiä. Integrointivälin T on oltava pitempi kuint 1, mutta lyhyempi kuin probleeman aikaskaalan T 2.

5 6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 158 u i (x,t) T 1 T 2 Kuva 6.2: Turbulenssin aikaskaalan T 1 on RANS-yhtälöillä oltava pienempi kuin probleeman aikaskaala T 2. Isojen pyörteiden menetelmässä käytetään aikakeskiarvojen sijaan paikkakeskiarvoja. Kontrollitilavuusmenetelmällä toimivissa koodeissa keskiarvo otetaan yleensä laskentatilavuuden V yli φ(x) = 1 V V φ(x )dx (6.4) Operaatiota kutsutaan myös suodattamiseksi. Keskiarvon ottaminen vastaa tilannetta, jossa suodatinfunktio määritellään { 1/V jos x G(x,x V ) = 0 muulloin Suodatetut liikemääräyhtälöt ovat seuraavat ρū i + ρū iū j = p + [ ( ūi µ + ū j 2 t x j x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l t (6.5) τ ij x j (6.6) Yleensä LESissä oletetaan tiheys vakioksi. Menetelmää ei ole juurikaan sovellettu kokoonpuristuville virtauksille. FLUENTissakin oletetaan tiheys vakioksi, jolloin yläviiva voidaan tiheyksistä tässä yhteydessä poistaa. Yhtälössä (6.6) esiintyvä ns. alihilajännitys on olettamalla tiheys edelleen vakioksi τ ij = ρu i u j ρū i ū j (6.7) Myös yhtälöiden kitkatermiä voidaan yksinkertaistaa olettamalla tiheys vakioksi (katso esim. White).

6 6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 159 Alihilajännitysτ ij vastaa Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden näennäistä jännitystermiä ρu iu j. Alihilajänntys kuvaa laskentatilavuuden kokoa pienemmän turbulenssiskaalan aiheuttamaa näennäistä leikkausjännitystä. Isojen pyörteiden menetelmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen tapahtuvista heilahteluista. Jos FLUENTilla sovelletaan LESiä, ohjelmasta saadaan keskiarvottamalla ulos virtauksesta aiheutuvat leikkausjännityksetρu i u j ja alihilajännityksetτ ij. RANS-yhtälöillä saadaan näiden summa suoraan osana ratkaisua. 6.3 Turbulentin virtauksen laskenta RANS-yhtälöillä Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä laskettaessa turbulenssi voidaan mallintaa kahdella päätavalla: pyörreviskositeetin (turbulentin viskositeetin) tai Reynoldsin jännitys -mallin avulla. Jälkimmäisessä ratkaistaan suoraan Reynoldsin jännityksiä. Pyörreviskositeettikeinossa käytetään Reynoldsin jännitysten laskemiseen Boussinesqin hypoteesia ( ρu iu ui j = µ t + u ) j 2 ( ) x j x i 3 δ u l ij ρk +µ t x l (6.8) missäk on turbulenssin kineettinen energia jaµ t pyörreviskositeetti (turbulentti viskositeetti). Nopeuksista on selkeyden vuoksi pudotettu keskiarvomerkinnät pois. RANS-yhtälöillä on siis kaksi lähestymistapaa, jotka voidaan vielä jakaa osiin kuvan 6.3 osoittamalla tavalla. Todellisuudessa tilanne on monimutkaisempi. Silti kaupallisissa ohjelmissa turbulenssin mallinnustavat ovat perinteisesti olleet melko niukat. Tähän on mitä ilmeisimpänä syynä jälleen pyrkimys laskennan robustisuuteen. Uusia malleja otetaan käyttöön verkkaisesti, viimeksi on päävalikkoon tuotu mukaan k ω -malli. Tärkeimmät turbulenssimallit ovat Spalart-Allmaras -malli standardi k ǫ -malli RNG k ǫ-malli todenmukainenk ǫ -malli (Shih et al.) standardi k ω -malli SST k ω -malli

7 6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 160 TURBULENSSIMALLIT PYÖRREVISKOSITEETTI PYÖRREVISKOOSITON ALGEBRALLINEN 2 YHTÄLÖ ASM RSM 1 YHTÄLÖ 3 YHTÄLÖ EPÄISOTROOPPINEN PYÖRREVISKOSITEETTI K ν t k ε k ω q ω Kuva 6.3: Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden turbulenssin mallinnustavat. Reynoldsin jännitys -mallit (RSM) Näistä Spalart-Allmaras -malli on ns. yksiyhtälömalli, jossa ratkaistaan suoraan turbulenttia viskositeettia ν t = µ t /ρ lähellä olevaa suuretta, kaikki k ǫ -mallit ovat kaksiyhtälömalleja ja lisäksi on Reynoldsin jännitys -malli (RSM). RSM:ää sanotaan epäisotrooppiseksi malliksi, koska turbulentit jännitykset eivät riipu lineaarisesti venymänopeustensorista. Kaksiyhtälömalleissa sovellettavassa Boussinesqhypoteesissa Reynoldsin jännitykset ovat aina verrannollisia viskooseihin jännityksiin yhtälön (6.8) mukaan. Mallit voidaan jakaa myös pienen ja ison Reynoldsin luvun malleihin. Spalart-Allmaras- ja k ω -mallit ovat pienen Reynoldsin luvun malleja. Myös Reynoldsin jännitys -mallista on nykyisin olemassa pienen Reynoldsin luvun vaihtoehto. Muihin malleihin voidaan lisätä tarkennettu seinämäkäsittely. Turbulenssin kuvaus muodostaa virtaussimuloinnin heikoimman lenkin. Virtauslaskijalle on tärkeää tuntea käyttämiensä mallien rajoitukset ja heikkoudet. Turbulenssimalli joudutaan valitsemaan laskentatapauksen mukaan. FLUENTissa valinnan mahdollisuuksia ei ole paljon, mutta nekin voivat tuottaa ongelmia. Seuraavassa tarkastellaan ensin Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden malleja ja lopuksi isojen pyörteiden menetelmää. Turbulenssimalleja esitellään vain lyhyesti, tarkempaa tietoa saa esimerkiksi Wilcoxin kirjasta ja implementointitapojen osalta osoitteesta: On kuitenkin huomattava, että koodeissa mal-

8 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 161 lien implementoinnissa saattaa olla eroja ja tulokset ohjelmien välillä eivät aina ole yhteneviä. Mallien valintaan palataan vielä luvussa RANS yhtälöiden turbulenssimallit Spalart-Allmaras yksiyhtälömalli Spalart-Allmaras -malli on kehitetty Boeingilla rajakerrostyyppisten virtausten laskentaan. Lähtökohtana on ollut laatia mahdollisimman robusti yksiyhtälömalli, jolla mallinnetaan jossain määrin turbulenssin fysiikkaa. Tätä varten on kirjoitettu ad hoc-tyyppinen kuljetusyhtälö turbulenttia viskositeettia lähellä olevalle suureelle ν ρ ν t + ρu i ν = G ν + 1 ( (µ+ρ ν) ν ) ( ) 2 ν +C b2 ρ Y ν (6.9) x i σ ν x j x j x j Turbulentti viskositeetti lasketaan kaavasta µ t = ρ νf v1 (6.10) missäf v1 eräänlainen vaimennusfunktio. Yhtälö (6.9) on konvektio-diffuusioyhtälö, jossa on turbulenttia viskositeettia tuottava lähdetermi G ν ja nielutermi Y ν. Yhtälössä on malliparametrit σ ν ja C b2. Parametrien ja lähdetermien laskenta on melko monimutkaista ja sitä selostetaan FLUENTin manuaalissa. Turbulenssilla on historiaefekti, jota pyritään kuvaamaan yhtälöllä (6.9). Turbulentti viskositeetti ei ole kuitenkaan mikään fysikaalinen, saati konvektoituva suure, joten kyseessä olevalla yhtälöllä virittämällä malliparametrit sekä lähde- ja nielutermit sopivasti, muodostetaan vain tavallaan eräänlainen korrelaatio suureelle ν. Tämänkaltaisen mallin käyttäminen sovellusalueensa ulkopuolella voi johtaa aivan virheellisiin tuloksiin, koska ν:llä ei ole vastaavaa fysikaalista merkitystä kuin esimerkiksi turbulenssin kineettisellä energialla k, jolle voidaan virtausyhtälöistä lähtien johtaa oma, periaatteessa tarkka yhtälönsä. FLUENTin normaalikäyttäjän on syytä välttää Spalart-Allmaras -mallia. Malli on alunperin kehitetty siipiprofiileille ja malliparametrit on viritetty kyseiseen tilanteeseen sopiviksi. Käytännön laskennassa mallia on ryhdytty käyttämään myös 3D virtauksille. Sen voidaan ajatella sopivan myös tietynlaisille sisäpuolisille virtauksille, kuten puhaltimille, kompressoreille, pumpuille ja turbiineille. Spalart- Allmaras -malli on ns. pienen Reynoldsin luvun malli, jossa mallinnetaan virtaus

9 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 162 seinälle asti. FLUENTissa mallin seinämäreunaehtoa on viritelty siten, että malli soveltuu myös suuren Reynoldsin luvun malliksi (laskentahilan vaatimuksista kts. luku 2). Viritelty malli ja sille luvattu sopivuusalue vaikuttavat epäilyttäviltä, minkä vuoksi sitä ei suositella käytettäväksi Standardi k ǫ-malli Standardi k ǫ on todellinen standardimalli teollisuusprosessien simuloinnissa. Se oli pitkään käytännössä ainoa malli ja on vieläkin eniten käytetty, vaikka se tiedetään epätarkaksi monessa tilanteessa. Malli on hyvin robusti ja se antaa useimmissa tilanteissa mielekkäältä vaikuttavan tuloksen. Usein tämä tarkoittaa, että laskenta konvergoi hyvin. Laskenta voi konvergoida tasapainotilaan siten myös tilanteissa, jotka ovat voimakkaasti ajasta riippuvia. Useimmiten robustisuus tarkoittaa, että k ǫ-malli yliarvioi pyörreviskositeetin tason. Virtaus käyttäytyy erityisesti standardimallilla melkein kuin terva, jähmeästi, irroten huonosti ja ennustaen liian suuren arvon turbulenssin kineettiselle energialle. Standardi k ǫ-mallissa käytetään ns. seinämäfunktiota, joka parantaa laskennan robustisuutta ja konvergenssia kahdella tavalla. Kuten kuvasta 2.20 nähdään, ilman seinämäfunktiota rajakerros on mallinnettava pinnalle asti ja tähän kuluu noin 20 laskentatilavuutta. Tämä lisää kokonaiskoppimäärää jopa tekijällä kaksi. Laskentaaikaa kuluu siis lisää ja konvergenssi hidastuu rajakerroksessa olevien tihennysten vuoksi. Toinen robustisuutta lisäävä tekijä tulee siitä, että rajakerros mallinnetaan hyvin karkeasti. Turbulenssimalleihin ei tarvita hankalia epälineaarisia lähdetermejä eikä reunaehtojen asettaminen ole samalla tavoin vaikeaa kuin pinnalle asti viedyssä laskennassa. FLUENTissa seinämäkäsittely tehdään turbulenssimalleista erillään. Periaatteessa ns. standardik ǫ-malliin voi yhdistää myös laskennan seinälle asti ns. kaksikerrosmallin avulla. Kyseessä ei ole enää silloin standardimalli, mikä on syytä muistaa tuloksia raportoidessa yleisempään käyttöön FLUENT-yhteisön ulkopuolelle. Riippumatta siitä käytetäänkö pienen vai suuren Reynoldsin luvun lähestymistapaak ǫtoimii huonosti tai ei pysty kuvaamaan mm. seuraavia ilmiöitä: malli on kaikkien pyörreviskositeettimallien tavoin isotrooppinen eikä sellaisena pysty kuvaamaan esimerkiksi sekundäärivirtauksia nelikulmaisessa kanavassa

10 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 163 malli toimii huonosti, kun virtaus on positiivisen painegradientin suuntaista. Tilanne tulee vastaan simuloitaessa esimerkiksi diffuusoreita. useimmiten k ǫ-malli pyrkii pitämään virtauksen kiinni tilanteissa, joissa sen pitäisi irrota. Toisaalta malli saattaa ennustaa oikean tuntuisen virtauskentän tilanteissa, joissa tapahtuu massiivinen virtauksen irtoaminen ja muilla lähestymistavoilla ajo kaatuisi. seinämäfunktion yhteydessä irronneen virtauksen laskenta on erityisen epätarkkaa. Seinämäfunktio ei edes päde useimmissa virtaustilanteissa, vaikka sitä silti sovelletaan. malli ei ennusta eroa taso- ja pyörähdyssymmetriselle suihkulle malli ei sinällään erota pyörimisliikettä eikä virtauksen kaartumista, joille tosin voidaan kehittää korjaustermejä Monet k ǫ-mallin puutteista ovat myös muille kaksiyhtälömalleille tyypillisiä, mutta FLUENTissa on eräitä puutteita pyritty korjaamaan RNG-mallilla ja Shih et al. kehittämällä todenmukaisella k ǫ-mallilla. Lähtemällä liikemääräyhtälöistä voidaan johtaa periaatteessa tarkka differentiaaliyhtälö turbulenssin kineettiselle energialle k = 1/2u iu i. Eräiltä osin yhtälö joudutaan mallintamaan, jolloin yhtälöön tulee eräitä parametreja ja lähdetermejä. FLUENTissa käytetään seuraavaa yhtälöä ρk t + ρu ik x i = G k + x i [ ( µ+ µ ) ] t k +G b ρǫ Y M (6.11) σ k x i missä G k on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi ja ǫ kineettisen energian dissipaatio. FLUENTissa on mahdollista aktivoida myös noste- ja puristuvuuskorjaustermitg b jay M. Näistä viimeksi mainittu riippuu Machin luvusta ja sen vaikutus alkaa näkyä, kun Machin luku lähenee ykköstä. Myös kineettisen energian dissipaatiolle ǫ voidaan johtaa differentiaaliyhtälö, mutta johto on hankala ja lopputulos termeiltään epäselvä. Käytännössä ǫ:n yhtälö mallinnetaan konvektio-diffuusio -yhtälön periaatteella, samaan tapaan kuin Spalart-Allmaras -mallin yhtälökin ρǫ t + ρu iǫ x i = x i [ ( µ+ µ ) ] t ǫ σ ǫ x i ǫ +C 1ǫ k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 k (6.12)

11 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 164 Standardimallissa ǫ-yhtälössä käytetään lähdetermejä, jotka ovat skaalattu suhteella ǫ/k kineettisen energian yhtälön lähdetermeistä ja jotka parametrisoidaan eri tavalla. Yhtälöiden (6.11) ja (6.12) sisältämät vakiot on aikoinaan parametrisoitu tiettyjen perusvirtaustapausten avulla. Mallin pätevyysalue on hämmästyttävän universaali lähtökohdat huomioon ottaen. Turbulenssia tuottavat siis nopeusgradientit ja ne vaikuttavat termin G k kautta. Tarkastelemalla k:n yhtälöä huomataan, että jos noste- ja puristuvuuskorjaustermit eivät vaikuta, k:lle saadaan konvektio-diffuusio -yhtälö. Tällöin vapaan virtauksen alueella, missä gradientteja ei ole, turbulenssin kineettisen energian pitäisi levitä mutta ei hävitä. OpenFOAMissa sekä k:n että ǫ:n arvoja on rajoitettu niin, etteivät ne pääse nollaan. (Jos kumpi tahansa päästettäisiin nollaan tulisi vastaan nollalla jakaminen, kts.yhtälöt). Arvojen rajoittamisesta seuraa kuitenkin se, että myös vapaan virtauksen alueella turbulenssin kineettisen energian yhtälöön jää nielu, joka pienentää k:ta. Tilanne tulee eteen esimerkiksi tasolevyvirtausta laskettaessa, jos hilaan luodaan vapaan virtauksen alue ennen levyn alkua. Tällöin sisäänvirtausreunalla annettu turbulenssi saattaa hävitä ennen levyn alkua eikä turbulenssi tällöin välttämättä herää edes levyn alueella. Tilanteen voi korjata kahdella tavalla. Toisaalta k:n pienintä sallittua arvoa voi nostaa halutulle tasolle ja tällä tavoin estää turbulenssin kuoleminen. Toinen tapa on vähentää k:n yhtälössä esiintyvästä ǫ:sta sen pienin sallittu arvo, jolloin gradienttien puuttuessa yhtälössä ei ole lähteitä eikä nieluja. Kumpikin versio on toteutettu OpenFOAMilla. ja annettu kokeiltavaksi kurssin OpenFOAM-tiedostokokoelmassa. Ensin kuvattu versio löytyy nimellä boundkepsilon ja jälkimmäinen nimellä freestreamkepsilon. Kaikissa k ǫ-mallin versioissa turbulentin viskositeetin laskenta perustuu turbulenssin nopeusskaalan ja pituusskaalan tuloon. Nopeuskaala on verrannollinen suureeseen k ja pituusskaalan l voidaan osoittaa olevan verrannollinen suhteeseen l k 3 2 /ǫ (6.13) Laittamalla verrannollisuuskerroinc µ eteen saadaan pyörreviskositeetin lausekkeeksi µ t = C µ ρ k2 (6.14) ǫ Monissa mallin varianteissa (joita on lukuisia) yhdistetään kertoimeenc µ vielä seinämäkorjaus f µ, joka useimmiten riippuu seinämäetäisyydestä. Tätä funktiota ei

12 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 165 pidä sekoittaa suuren Reynoldsin luvun mallissa käytettävään seinämäfunktioon. Standardi k ǫ sisältää ns. luonnon vakioita, jotka todellisuudessa ovat kuitenkin jossain määrin tapauskohtaisia. FLUENTissa käyttäjä voi modifioida vakioiden arvoja, mutta tämä vaatii asiantuntemusta turbulenssialalta. Ilman etukäteistietoa normaalikäyttäjän ei pidä sormeilla mallin parametreja RNG k ǫ-malli Tämä malli muodostaa omalaatuisen kokonaisuuden turbulenssimallien kehityshistoriassa. Mallin pääkehittäjät Yakhot ja Orzag ovat soveltaneet ns. renormalisaatioryhmäteoriaa (RNG) Navier-Stokes -yhtälöille. Yhtälöiden johto on periaatteessa analyyttinen ja sen avulla saadaan myös mallin sisältämien vakioiden arvot. Vakiot ovat hämmästyttävän lähellä standardi k ǫ-mallin parametrien arvoja. Toisaalta tästä turbulenssin mallinnustavasta on pakko todeta, että ani harva ihminen maailmassa ymmärtää sitä, joten koko ajatuksen kritisoiminen on siten vaikeaa. RNGmallista on olemassa versioita myös LES-laskentaan ja siihen voidaan liittää pyörimisliikekorjaus. Monia mallin yksityiskohtia ei paljasteta ja eräät ovat hankalasti hahmotettavissa. RNG-lähestymistavan historiaa voidaan pitää edellä kuvatun perusteella tieteellisesti epäilyttävänä. Tarkastellaan RNG-mallin eroja standardimalliin verrattuna. Yhtälöt ovat lähes samat ρk t + ρu ik = [ ] k α k µ eff +G k +G b ρǫ Y M (6.15) x i x i x i ρǫ t + ρu iǫ = [ ] ǫ ǫ α ǫ µ eff +C 1ǫ x i x i x i k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 R (6.16) k Diffuusiovuot lasketaan käyttäen efektiivistä viskositeettiaµ eff = µ t +µ ja sopivia Schmidtin lukuja 1/α k ja 1/α ǫ. Ainoa huomattavampi ero yhtälöissä tulee lähdetermistä (R) ǫ-yhtälössä. Kyseinen termi ei synny RNG-prosessissa suljetussa muodossa, vaan kyseessä on turbulenssin kineettisen energian nielu, joka on mallinnettava. Nielu-termiä ei esiinny standardimallissa, mutta sen vaikutuksesta turbulentin viskositeetin taso RNG-mallilla yleensä tulee pienemmäksi kuin standardimallilla. Tästä on tiettyjä seurauksia, joihin palataan jatkossa. RNG-mallin eräänä huomattavana saavutuksena on mallin vakioiden määräytyminen analyyttisesti. Vakiot eroavat standardimallin vakioista. Esimerkiksi standardimallissa C µ = 0,09 ja RNG-mallissa C µ = 0,0845, mikä periaatteessa on hämmästyttävä saavutus analyyttiselta mallilta. RNG-mallin ensimmäisessä versiossa

13 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 166 vakiolla C 1ǫ, joka standardimallilla saa arvon 1,44, oli huomattavasti pienempi arvo. Hyvin pian osoitettiin, ettei RNG-malli useimmissa tapauksissa tällöin toiminut ollenkaan. Tämän jälkeen mallin kehittäjät löysivätkin johdostaan virheen, jolloin vakion arvo nousi lähelle standardimallin vakion arvoa (C 1ǫ = 1,42). Edellä kuvattuc µ :n arvo toteutuu rajakerroksen ulkolaidalla. RNG-mallissa turbulentin viskositeetin arvo integroidaan monimutkaisesta differentiaaliyhtälöstä, joten tavallaan mallissa on implisiittisesti mukana funktio f µ. Kyseessä on tällöin eräänlainen pienen Reynoldsin luvun malli, jossa ratkaisu ulotetaan pinnalle asti. Kirjallisuudessa on esitetty approksimatiivisia sovitteitaf µ :lle. Käytännössä FLUENTin RNG-mallin käyttäjä ei pysty selvittämään miten malli toimii näiltä osin, mutta differentiaaliyhtälöönkin perustuva vaihtoehto on aktivoitavissa. Oletusarvona RNG-mallin sanotaan laskevan viskositeetin lausekkeesta (6.14). RNG-malliin on mahdollista yhdistää pyörimisliikkeestä aiheutuva korjaus kertoimeenf µ. Pyörimisliikekorjauksen mallia ei paljasteta. RNG k ǫ-malli ei ole lunastanut siihen kohdistuneita odotuksia. Normaalisti sitä ei kannata käyttää. Mallia on propagoitu analyyttisena, mitä se ei kuitenkaan ole. Sen sijaan monet piirteet mallin kehityshistoriassa antavat aiheen epäillä, ettei kaikki ole aivan kunnossa. RNG k ǫ-malli tuottaa standardimallia vähemmän turbulenttia viskositeettia termin R ansiosta. RNG-mallia kannattaa siten käyttää tilanteissa, joissa varmasti tiedetään standardimallin laskevan väärin juuri liian korkean viskositeettitason vuoksi. Oikea lähestymistapa on tällöin laskea konvergoitunut tulos ensin standardimallilla ja sen jälkeen jatkaa RNG:llä. Pienemmän viskositeettitason vuoksi RNG-mallia on usein vaikea saada muuten konvergoitumaan. Todennäköisesti RNG-malli toimii standardimallia paremmin URANS-simuloinnissa, kuten turbulenttien pyörreratojen laskennassa. Sitä kannattaa kokeilla vapaille leikkauskerroksille (esim. suihkut). Standardimallilla on taipumus sammuttaa tai ainakin pienentää pyörreradan kaltaisia ilmiöitä Todenmukainen k ǫ-malli Tämän k ǫ-mallin version ovat esittäneet Shih, Liou, Shabbir ja Zhu vuonna FLUENTissa malli on ristitty erään sen ominaisuuden vuoksi todenmukaiseksi (realizable), mutta tämä nimitys ei ole muissa yhteyksissä ainakaan toistaiseksi käytössä. Kirjallisuudessa malliin kannattaa viitata tyyliin Shih et al. Todenmukai-

14 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 167 suusehtoja turbulenssimalleille ovat mm. seuraavat u i2 > 0 (6.17) (u iu j) 2 u i2 u 2 j (6.18) Boussinesq-hypoteesin ja ehdon (6.17) perusteella saadaan seuraava todenmukaisuusehto k u ǫ x < 1 3,7 (6.19) 3C µ Kun nopeusgradientti on tarpeeksi suuri nähdään, että standardimallista tulee epätodenmukainen. Käytännössä tilanne ei näy mitenkään, koska standardimalli ei käytä suoraan suureita u i2 mihinkään. Ja mallitkin pidetään todenmukaisina muilta osin pulttaamalla niille ohjelmassa sopivat rajat. On kuitenkin perusteita pitää mallit fysikaalisesti mielekkäinä. Helpoin keino on muuttaa kerrointa C µ tilanteissa, joissa todenmukaisuusehto ei toteudu. Shih n mallissa tämä tehdään laskemalla kerroin lausekkeesta 1 C µ = U A 0 +A k (6.20) s ǫ missä U lasketaan venymänopeustensorin S ij ja modifioidun pyörteisyystensorin Ω ij avulla U = S ij S ij + Ω ij Ωij (6.21) Venymänopeustensori määritellään S ij = 1 2 ( uj + u ) i x i x j (6.22) ja pyörteisyystensori Ω ij = 1 2 ( uj u ) i x i x j (6.23) Modifioitu pyörteisyytensori Ω ij saadaan Ω ij :n ja systeemin pyömisliikkeestä aiheutuvan kulmanopeuden avulla. Tässä mallissa on siis olemassa eräänlainen pyörimisliikekorjaus, jota ei ole edes piilotettu. Tavanomaisessa kaksiyhtälömallissa ei systeemin pyöriminen näy ratkaisussa mitenkään. Esimerkkinä on kuva 6.4, jossa verrataan laskettuja nopeusprofiileja kokeellisiin pyörivässä virtauskanavassa. Standardi k ǫ ennustaa symmetrisen nopeusprofiilin, koska malli on täysin tunnoton pyörimisliikkeelle. Kuvassa 6.4 on laskentatulos myös Gibson-Launder Reynoldsin jännitys -mallilla. RSM on epäisotrooppinen ja sillä voidaan pyörimisliikkeen

15 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 168 U U Ω D u(y) y x y / H Kuva 6.4: Reynoldsin jännitys -mallilla ja k ǫ-mallilla lasketut nopeusjakaumat pyörivässä kanavassa. vaikutus kuvata. Shih n mallissa pyörimisliikkeen vaikutus otetaan huomioon modifioimalla pyörteisyystensoria. Mallilla laskettu tulos on lähellä kuvan 6.4 RSMtulosta. Sekä RSM:llä että Shih n mallilla yhtäpitävyys koetulosten kanssa on kuitenkin lähinnä kvalitatiivinen, mikä edustaa virtauslaskennan nykytasoa tässä tilanteessa. Shih n mallissa A 0 = 4,04. Parametri A s lasketaan monimutkaisella tavalla venymänopeustensorin avulla. Lopputuloksena saatavassa mallissa kerroin C µ on funktio päävirtauksen venymästä ja pyörteisyydestä, systeemin pyörimisnopeudesta ja turbulenssisuureiden (k ja ǫ) arvoista. Tasapainotilan rajakerroksella kerroin redusoituu standardimallin kertoimeksi 0,09. Todenmukaisessa mallissa turbulenssin kineettisen energian yhtälö on likimain sama kuin standardimallissa, mutta parametreilla on hiukan standardimallista poikkeavat arvot. Dissipaation yhtälössä on lähdetermien osalta pieniä modifikaatioita. Usein tällaiset modifikaatiot on tehty parantamaan koodien robustisuutta, esimerkiksi ehkäisemään nollalla jakoa k/ǫ -tapaisten suureiden osalta. Modifikaatiot saattavat kuitenkin vaikuttaa myös laskentatuloksiin. Shih n mallin osalta modifikaatioita selostetaan tarkasti, mutta hyvin usein esimerkiksi standardimallin imple-

Teknillinen Korkeakoulu CFD-ryhma/ Sovelletun termodynamiikan laboratorio MUISTIO No CFD/TERMO-8-96 pvm 15 tammikuuta, 1997 OTSIKKO IFRF polttokammion laskenta k ; turbulenssimallilla, case 11 LAATIJA(T)

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi

7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 191 7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 7.1 Energiayhtälö ja energiataseet Energiayhtälö (3.10) sisältää mahdollisuuden laskea monifaasivirtausta, koska mukana on faasien diffuusiosta

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Virtaussimulointi Timo Siikonen

Virtaussimulointi Timo Siikonen Virtaussimulointi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN-00076 Aalto Finland ESIPUHE Tämän kurssin (Ene-39.4054) kirjallinen

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla. Timo Siikonen

Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla. Timo Siikonen Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla Timo Siikonen Sisältö Vähän TKK:n CFD ryhmästä Rooli koulutuksessa Tieteellinen ja muu toiminta Osallistuminen alan kansallisen osaamisen ylläpitoon

Lisätiedot

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus 212 8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus Virtauslaskentaohjelmissa on virtausta kuvaaviin yhtälöihin linkitetty paljon erilaisia malleja. Nämä voidaan jakaa monellakin tavalla. Eräs epämääräinen jakotapa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta. Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Mikko Marsch Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

ANTTI HEINO MONIJAKSOPUMPUN TRANSIENTTI LASKENTA. Diplomityö

ANTTI HEINO MONIJAKSOPUMPUN TRANSIENTTI LASKENTA. Diplomityö ANTTI HEINO MONIJAKSOPUMPUN TRANSIENTTI LASKENTA Diplomityö Tarkastaja: professori Hannu Ahlstedt Tarkastaja ja aihe hyväksytty Teknisten tieteiden tiedekuntaneuvoston kokouksessa 15. tammikuuta 2014 i

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut (RaKa-Stab vaihe 2, 44000 )

Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut (RaKa-Stab vaihe 2, 44000 ) Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut ( vaihe 2, 44000 ) Arttu Laaksonen Timo Sailaranta Aalto-yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Raka-Stab Sisällysluettelo

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki Simulointi Varianssinhallintaa Esimerkki M C Esimerkki Tarkastellaan lasersäteen sirontaa partikkelikerroksesta Jukka Räbinän pro gradu 2005 Tavoitteena simuloida sirontakuvion tunnuslukuja Monte Carlo

Lisätiedot

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston Fysikaalisten tieteiden laitos FORS-iltapäiväseminaari 2.6.2005 Esityksen sisältö Peruskäsitteitä: luonnollinen kasvihuoneilmiö kasvihuoneilmiön

Lisätiedot

2 Laskentahilan laatiminen

2 Laskentahilan laatiminen 35 2 Laskentahilan laatiminen 2.1 Tarve Kaikessa numeerisessa simuloinnissa lähtökohtana on pukea tehtävä tietokoneen ymmärtämään muotoon. Tietokone ymmärtää vain lukuja ja ratkottaessa Navier- Stokes

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti 16.5.2012/1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN-00076 Aalto Finland 1 Sisällys

Lisätiedot

KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN

KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN KEHTO-foorumi Seinäjoki 23.10.2014 TAUSTAA Korjausvelan määrityshanke vuonna 2012-2013 Katujen ja viheralueiden korjausvelan periaatteita ei ollut aiemmin määritelty

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat 1 LIITE 5 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1991-1-4

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Energia BH10A0200 Energiatekniikan kandidaatintyö ja seminaari KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007. teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet

Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007. teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007 teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet T. Toppila (FNS) Espoo Dipoli 29.3.2007 29.3.2007 1 FNS CFD virtaussimuloinnit, taustaa :

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

KÄYTTÖOHJEET Serie RV

KÄYTTÖOHJEET Serie RV KÄYTTÖOHJEET Serie RV Laskentavaakajärjeste1mä 3.2 Virhe laskentapunnituksessa Laskentapunnituksen virhe johtuu pääasiassa kolmesta tekijästä:. detaljien painojen poikkeamista vaaka näyttää väärin inhimillisestä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

ELMAS 4 Laitteiden kriittisyysluokittelu 8.2.2012 1/10. Ramentor Oy ELMAS 4. Laitteiden kriittisyysluokittelu. Versio 1.0

ELMAS 4 Laitteiden kriittisyysluokittelu 8.2.2012 1/10. Ramentor Oy ELMAS 4. Laitteiden kriittisyysluokittelu. Versio 1.0 1/10 Ramentor Oy ELMAS 4 Laitteiden kriittisyysluokittelu Versio 1.0 2/10 SISÄLTÖ 1 Kuvaus... 3 2 Kriittisyysluokittelu ELMAS-ohjelmistolla... 4 2.1 Kohteen mallinnus... 4 2.2 Kriittisyystekijöiden painoarvojen

Lisätiedot

Hydrologia. Pohjaveden esiintyminen ja käyttö

Hydrologia. Pohjaveden esiintyminen ja käyttö Hydrologia Timo Huttula L8 Pohjavedet Pohjaveden esiintyminen ja käyttö Pohjavettä n. 60 % mannerten vesistä. 50% matalaa (syvyys < 800 m) ja loput yli 800 m syvyydessä Suomessa pohjavesivarat noin 50

Lisätiedot

UUSI MENETELMÄ TULOILMALAITTEIDEN KUVAAMISEKSI AIKARIIPPUVASSA HUONEVIRTAUSTEN MALLINNUKSESSA - ESIMERKKINÄ RADIAALIHAJOTIN

UUSI MENETELMÄ TULOILMALAITTEIDEN KUVAAMISEKSI AIKARIIPPUVASSA HUONEVIRTAUSTEN MALLINNUKSESSA - ESIMERKKINÄ RADIAALIHAJOTIN Sisäilmastoseminaari 2015 1 UUSI MENETELMÄ TULOILMALAITTEIDEN KUVAAMISEKSI AIKARIIPPUVASSA HUONEVIRTAUSTEN MALLINNUKSESSA - ESIMERKKINÄ RADIAALIHAJOTIN Pekka Saarinen 1, Timo Siikonen 2, Tomas Brockmann

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS VERKKOLIITE 1a Diagonaalien liitos pääkannattajan alapaarteeseen (harjalohkossa) Huom! K-liitoksen mitoituskaavoissa otetaan muuttujan β arvoa ja siitä laskettavaa k n

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä

Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä Pekka Makkonen Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Fysiikan laitos Kevät 2016 Abstract This work describes the deployment of the current uid ow simulation

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari.

2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari. TURUN AMMATTKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNKKA FYSKAN LABORATORO 2.0 2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari. 1. Työn tavoite Tutustutaan tärkeimpään sähköiseen perusmittavälineeseen, yleismittariin, suorittamalla

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)

Lisätiedot

Mitä on huomioitava kaasupäästöjen virtausmittauksissa

Mitä on huomioitava kaasupäästöjen virtausmittauksissa Mitä on huomioitava kaasupäästöjen virtausmittauksissa Luotettavuutta päästökauppaan liittyviin mittauksiin 21.8.2006 Paula Juuti 2 Kaupattavien päästöjen määrittäminen Toistaiseksi CO2-päästömäärät perustuvat

Lisätiedot

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo. KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Annettu Helsingissä 5 päivänä marraskuuta 2010 Ympäristöministeriön päätöksen mukaisesti

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

OHJE 2(5) 25.8.2015 Dnro LIVI/4495/05.00/2015 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3

OHJE 2(5) 25.8.2015 Dnro LIVI/4495/05.00/2015 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3 OHJE 2(5) Sisällys 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3 2 LAATUVAATIMUKSET KITKAMITTAREILLE... 3 2.1 Käyttöturvallisuus... 3 2.2 Kalibroitavuus... 3 2.3 Mittaustarkkuus... 4 2.3.1 Mittarien samankaltaisuuteen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

Automaattinen regressiotestaus ilman testitapauksia. Pekka Aho, VTT Matias Suarez, F-Secure

Automaattinen regressiotestaus ilman testitapauksia. Pekka Aho, VTT Matias Suarez, F-Secure Automaattinen regressiotestaus ilman testitapauksia Pekka Aho, VTT Matias Suarez, F-Secure 2 Mitä on regressiotestaus ja miksi sitä tehdään? Kun ohjelmistoon tehdään muutoksia kehityksen tai ylläpidon

Lisätiedot

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Erkki Heikkola Numerola Oy, Jyväskylä Laskennallisten tieteiden päivä 29.9.2010, Itä-Suomen yliopisto, Kuopio Putkistojen äänenvaimentimien suunnittelu

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Hiukkaspäästöjen mittaus

Hiukkaspäästöjen mittaus Hiukkaspäästöjen mittaus Juha-Matti Hirvonen MIKES-Aalto 24.3.2010 Sisältö Hiukkaset Koot Synty Terveysvaikutukset ja kustannukset Lainsäädäntö Kansallinen EU Mittausmenetelmiä Mekaaniset Sähköiset Optiset

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

Mitä kalibrointitodistus kertoo?

Mitä kalibrointitodistus kertoo? Mitä kalibrointitodistus kertoo? Luotettavuutta päästökauppaan liittyviin mittauksiin MIKES 21.9.2006 Martti Heinonen Tavoite Laitteen kalibroinnista hyödytään vain jos sen tuloksia käytetään hyväksi.

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot