Virtaussimulointi Timo Siikonen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Virtaussimulointi Timo Siikonen"

Transkriptio

1 Virtaussimulointi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN Aalto Finland

2 ESIPUHE Tämän kurssin (Ene ) kirjallinen aineisto koostuu kahdestatoista luvusta (luennosta), joissa virtaussimulointitehtävän asettelua lähestytään yleisellä tasolla. Aineiston esikuvana on ollut jo loppuunmyyty ja vanhentunut kirja, C.T.Shaw, Using Computational Fluid Dynamics (kirja on saatavana kurssin kotisivun alta). Lisäksi lähteenä on ollut FLUENT 5 -ohjelman manuaali (July 1998) ja yleinen TKK:n CFD-ryhmässä syntynyt alan tietämys. Osa manuaalin tiedoista on jo nyt vanhentunutta ja ohjelmaan tulee jatkuvasti uusia piirteitä. Kaikilta osin nyt esillä olevan materiaalin päivittäminen on mahdotonta, joten tarkoitus ei ole erityisesti esitellä FLUENTin piirteitä, vaan yleisellä tasolla kaupallisia ohjelmia ja virtaustehtävien suorittamista niillä. Kurssimateriaalin tekemiseen ovat osallistuneet TkL Ari Miettinen, DI Esa Salminen (luku 10), TkT Petri Kaurinkoski (luku 11), DI Harri Heiska (kuvat) sekä TkT Reijo Lehtimäki, josta heille kiitokset. Otaniemessä Timo Siikonen ESIPUHE VUODEN 2008 LAITOKSEEN Virtaussimulointikurssi pohjautui aikoinaan FLUENT-ohjelmaan ja erityisesti ohjelman manuaaliin vuodelta Ohjelma on sen jälkeen kehittynyt paljon eikä kurssin materiaalia ole voitu eikä voida jatkossakaan pitää kaikilta osin ajan tasalla. Myös tietokoneiden kehitys on ollut niin nopeaa, että niitä koskeva luku on lähes aina osoittautunut vanhentuneeksi kurssia pidettäessä, vaikka luku olisi päivitetty edellisenä vuonna. Kehityksen vuoksi on tehty materiaalille perusteellisempi päivitys. Sen yhteydessä on tullut ilmeiseksi, että jatkossa materiaaliin tulee suhtautua enemmän geneerisen virtaussimulointiohjelman esittelynä kuin täsmällisenä tietona FLUENT-ohjelman käytöstä. Useimmat kaupalliset koodit toimivat hyvin samankaltaisia periaatteita noudattaen ja kurssin toivotaankin toimivan yleisenä johdatuksena minkä tahansa koodin käyttöön. Otaniemessä Timo Siikonen

3 2 ESIPUHE VUODEN 2012 LAITOKSEEN Kurssilla otettiin vuonna 2011 käyttöön OpenFOAM-ohjelmisto FLUENTin rinnalle. Kurssimateriaaliin lisättiin samalla OpenFOAMia käsitteleviä kohtia. Ne on laatinut Tuomas Turunen, josta hänelle kiitokset. Vuosien varrella myös muuta materiaalia on lähes vuosittain pyritty kehittämään. FLUENTia koskevan osuuden päivittämiseen ei ole ollut juuri mahdollisuuksia, joten siltä osin teksti saattaa olla vanhentunutta. Materiaalin päätarkoitus ei ole toimia varsinaisesti ohjelmistojen oppaana, vaan pyrkiä antamaan yleisiä ohjeita virtaussimulointien tekoon. Otaniemessä Timo Siikonen

4 3 Sisällys Esipuhe 1 1 Johdanto Taustaa Esimerkkejä virtaussimuloinnin käytöstä Yleinen virtausratkaisija Virtauksista CFD-analyysin suunnittelu Yleistä Virtausten luokittelu Suunnittelu Tehtävän asettelun päävaiheet Kertaus Laskentahilan laatiminen Tarve Hilatyypit Yleistä FLUENTin hilatyypit Esimerkkejä laskennassa sovellettavista hiloista Epäjatkuvat pinnat Laskentahilan valinta Vaadittava hilan resoluutio Rajakerroksen mallintaminen Numeerisen tarkkuuden vaatimukset Hilan laadun arvioiminen Hilangenerointimenetelmät

5 Rakenteelliset hilat Rakenteettomat hilat Pintojen generointi Laskentahilan valinta Kertaus Virtausyhtälöt ja niiden reunaehdot Virtausyhtälöt Yleistä Navier-Stokes yhtälöt Kiinteän aineen energiayhtälö Nosteen ajamat virtaukset Virtausyhtälöiden luonne Reunaehdot Reunaehtotyyppejä FLUENTin reunaehdot Sisään- ja ulosvirtausehdot Paine sisäänvirtausreunalla Nopeus- ja massavirta-sisäänvirtausehdot Suutin tai puhallin sisäänvirtauksessa Paine ulosvirtauksessa Paine vapaassa virtauksessa Ulosvirtausehdot Symmetriareunaehto Periodiset reunat Kiinteän pinnan reunaehdot Väliaineen määrittely Laskentatilavuuksiin ja niiden pintoihin liittyvät lähdermit OpenFOAMin reunaehdot Reunaehtojen käytöstä Kertaus Virtausyhtälöiden numeerinen ratkaisu Numeerinen diskretointi Diskretointitavat

6 Peruskäsitteitä Diskretointi paikan suhteen Painepohjainen ratkaisija (pressure-based solver) Liikemääräyhtälö Jatkuvuusyhtälö Tiheyspohjainen ratkaisija (density-based solver) Yhtälöt ja matriisin pohjustaminen Vuon laskenta Tiheyspohjaisen menetelmän ratkaisutavat Ajan suhteen tarkka ratkaisu Diskretointimenetelmien arviointia Kertaus Painekorjausmenetelmä ja virtausratkaisun määrittely FLUENTin ratkaisumenetelmät Painekorjausratkaisu Yhtälöryhmien ratkaisu ja monihila-algoritmi Yhtälöryhmien ratkaisutarve Monihila-algoritmien peruskäsitteitä Algebrallinen monihila FAS-monihila Ratkaisijan käyttö Vaiheet Diskretointimenetelmät Paineen laskentatavan valinta Alirelaksaatiokertoimet ja Courantin luvut Monihila-algoritmi Suureiden rajaaminen ja alkuarvojen antaminen Konvergenssin monitorointi FLUENTin numeriikan tarkastelua Kertaus Turbulentin virtauksen laskenta Turbulentti virtaus Turbulenttia virtausta kuvaavat yhtälöt

7 6 6.3 Turbulentin virtauksen laskenta RANS-yhtälöillä RANS yhtälöiden turbulenssimallit Spalart-Allmaras yksiyhtälömalli Standardi k ǫ-malli RNG k ǫ-malli Todenmukainenk ǫ-malli k ω -mallit Reynoldsin jännitys -mallit Isojen pyörteiden menetelmä Kiinteiden pintojen käsittely Suuren ja pienen Reynoldsin luvun mallit Seinämäfunktiot Kaksikerrosmalli Pienen Reynoldsin luvunk ǫ-mallit Turbulenssimallien reunaehdot ja transitio Tehtäväasettelusta RANS-malleilla Jälkikäsittely turbulentilla virtauksella Kertaus Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi Energiayhtälö ja energiataseet Energiayhtälön käyttö Numeerinen ratkaisu Turbulenssi ja energiayhtälö Reunaehdot Lämmönvaihtimet Virtausyhtälöiden parametrien asettaminen Operointipaine Aineominaisuudet Kertaus Pyörimisliike ja monifaasivirtaus Pyörimisliikkeen laskentamahdollisuudet Virtausyhtälöt pyörivässä koordinaatistossa Kvasistaattinen laskenta

8 Usean koordinaatiston käyttö Sekoitustasomalli Liukuhila Laskentastrategioita pyöriville virtauksille Monifaasivirtausmallit Tilavuusmalli Yhtälöt Interpolointitavat nestepinnan läheisyydessä Tilavuusmallin käytöstä Kavitaatiomalli Seosmalli Eulerilainen malli Kertaus Simulointitehtävän asettaminen Simulointitehtävä Harjoitushävittäjän ylösvetotilanne Savupeltilaitteen painehäviöiden selvittäminen Radiaalikompressorin ajasta riippuva simulointi Kanavavirtaus isojen pyörteiden menetelmällä Kertaus Virtaussimulointiympäristön vaatimukset Tietokoneet Prosessorit Rinnakkaislaskenta Jaetun muistin koneet Hajautetun muistin koneet Rinnakkaistamistekniikat Käyttöjärjestelmät Tietokoneen perusvarustus Oheislaitteet Ohjelmistot Kehitysympäristö Jälkikäsittely-ympäristö

9 Virtauslaskennan työvälineet Esimerkkejä simulointiympäristöistä Käytännön esimerkki Virtaussimuloinnin suorittajat Virtaussimuloinnin integrointi suunnitteluympäristöön Kertaus Jälkikäsittely ja visualisointi Erilaisia visualisointikeinoja Tasa-arvokäyrät Tasa-arvovyöhykkeet Tasa-arvopinnat Vektorit Virtaviivat Pinnalle pakotetut virtaviivat Jälkikäsittelyssä syntyviä virheitä Tasa-arvokäyrien piirtämisessä syntyviä virheitä Kolmiulotteisia vektoreita piirrettäessä syntyviä virheitä Virtaviivojen laskennassa syntyviä virheitä Kaksi jälkikäsittelyssä usein tarvittua algoritmia Likimääräinen lajittelualgoritmi Algoritmi laskentatilavuuden paikantamiseksi Kertaus Virtaussimulointiohjelmat Historiaa Simulointiohjelman rakenne Katsaus ohjelmiin PHOENICS ANSYS CFX ja TASCflow FLUENT FIDAP ja FLOTRAN N3S ja ESTET STAR-CD ja FIRE FLOTHERM

10 OpenFOAM Ohjelmiston valintakriteereistä Yleistä Valintaprosessi Kertaus Hakemisto 328

11 10 1 Johdanto 1.1 Taustaa Laskennallinen virtausdynamiikka (computational fluid dynamics, CFD) on tullut usealla tekniikan alueella tärkeäksi osaksi suunnitteluprosessia. Tietokoneiden huima kehitys on johtanut siihen, että henkilökohtaisella tietokoneella on mahdollista laskea tehtäviä, jotka vain muutamia vuosia aiemmin vaativat supertietokonetta. Laskentatarvetta kattamaan on syntynyt suuri joukko kaupallisia virtaussimulointiohjelmistoja. Näiden käyttö vaatii huomattavaa ammattitaitoa, koska ohjelmistot sisältävät valtavan määrän erilaisia mahdollisuuksia ja niiden väärinkäyttöä tapahtuu helposti. Virtaussimulointi on huomattavasti epämääräisemmin määritelty käsite kuin esimerkiksi rakenneanalyysi, mikä aiheuttaa hankaluuksia toisaalta ohjelmistojen sisältämien lukuisien valintamahdollisuuksien ja toisaalta itse tehtävämäärittelyn vaikeuden vuoksi. Viimeksi mainitussa tärkeimpiä seikkoja ovat oikeantyyppisen laskentahilan ja reunaehtojen valinta. Kaupallisten syiden vuoksi simulointiohjelmistoista pyritään tekemään mahdollisimman helppokäyttöisiä ulospäin, mikä taas on ilmeisessä ristiriidassa laskennan monimutkaisuuden kanssa. Tämän kurssin tarkoituksena on antaa valmiuksia virtaussimuloinnin suorittamiseen ja toisaalta syventää virtausopin tietoja numeeristen ratkaisujen avulla. Suorittajalla oletetaan olevan perustiedot virtausopista (esimerkiksi Ene , Kitkallinen virtaus) ja jossain määrin myös lämmönsiirrosta. Materiaalissa ei edellytetä kattavaa osaamista CFD:n alueelta, mutta laskennallisen virtausdynamiikan tiedot antavat edellytykset ymmärtää syvällisemmin virtausratkaisijoiden rakennetta ja ratkaisumenetelmiä. Teorian lisäksi opiskelu tapahtuu tekemällä jollain virtausratkaisijalla (esimerkiksi FLUENT tai OpenFOAM) harjoitustöitä, joissa perehdytään ohjelman käyttöön yksinkertaisten esimerkkien avulla. Päätavoitteena ei ole opettaa ohjelmiston nappulatekniikkaa, vaan lähinnä kiinnittää huomiota erilaisiin kriittisiin asioihin itse laskennassa ja samalla syventää virtausopin tietoja las-

12 1.2. ESIMERKKEJÄ VIRTAUSSIMULOINNIN KÄYTÖSTÄ 11 kentaesimerkkien avulla. Aluksi virtaukset ovat laminaareja, jolloin suora vertailu esimerkiksi Whiten Viscous Fluid Flow-kirjan ratkaisuihin on mahdollista. Harjoituksia suoritettaessa myös virtausratkaisijan käyttö sekä esi- ja jälkikäsittely tulevat jossain määrin tutuksi. Kurssin kirjallinen aineisto koostuu kahdestatoista luvusta (luennosta), joissa virtaussimulointitehtävän asettelua lähestytään yleisellä tasolla. Saatavilla olevat simulointiohjelmat ovat hyvin samantyyppisiä ja tarkoituksena ei sinänsä ole liikaa kiinnittää huomiota yhden ohjelman (esimerkiksi FLUENTin) ominaisuuksiin, vaikka näihin toistuvasti viitataankin. Ohjelmistot ovat lisäksi niin nopeasti kehittymässä, että kurssimateriaalin ylläpito niiden suhteen ajan tasalla on mahdotonta. Monet kurssilla esitetyt asiat onkin ymmärrettävä geneerisen virtausratkaisijan piirteiden esittelynä. Likimain samat ominaisuudet on löydettävissä niistä kaikista ja siksi ei ole myöskään tarkoitus osoittaa jotain ohjelmaa tai virtauksen mallinnustapaa muita huonommaksi, vaan pääpaino on kriittisessä lähestymistavassa ja erilaisten sudenkuoppien välttelyssä. Harjoitustehtävien luonne on sellainen, että ne voidaan suorittaa Fluentin lisäksi millä tahansa kaupallisella virtausratkaisijalla, esimerkiksi ANSYS CFX:llä, Star-CD:llä tai avoimen lähdekoodin OpenFOAMohjelmistolla. Jatkossa tarkastellaan aluksi virtauksien yleisiä ominaisuuksia. Koska harjoitustehtävät alkavat varsin pian, paneudutaan sen jälkeen laskentahiloihin ja reunaehtojen antamiseen. Virtaussimulointeja ei voi tehdä ymmärtämättä jonkin verran niiden mallinnusta, minkä vuoksi jatkossa tullaan esittämään ratkaistavat yhtälöt ja niiden ratkaisumenetelmiä. Tarkastelutapa on varsin ylimalkainen eikä korvaa varsinaista CFD-opetusta. Uutena asiana tulee esille eräitä FLUENTissa käytettyjä piirteitä. Lopuksi tarkastellaan visualisointia, simulointiympäristöä ja muitakin kaupallisia ohjelmia. 1.2 Esimerkkejä virtaussimuloinnin käytöstä Tyypillinen virtaussimulointiohjelman (tässä tapauksessa FLUENTin vanhan version) rakenne on hahmoteltu kuvaan 1.1. Kuvan ohjelmisto koostuu itse ratkaisijasta (FLUENT) ja palamisen ja polton mallinnuksessa käytetystä esikäsittelijästä (prepdf); pääasiallinen esikäsittely tapahtuu GAMBITilla, mutta avaruushilat voidaan tehdä myös TGridillä. Lisäksi mukana on filttereitä, joiden avulla ohjelmis-

13 1.2. ESIMERKKEJÄ VIRTAUSSIMULOINNIN KÄYTÖSTÄ 12 GAMBIT geometry setup 2D/3D mesh genera tion Other CAD/CAE Packages PrePDF calculation of F PD look up tables 2D/3D Mesh Boundary Mesh Boundary and/or Volume mesh PDF files FLUENT mesh import daptation and a physical models boundary conditio ns material properti es calculation postprocessing Mesh TGrid 2D triangular h mes 3D tetrahedral sh me 2D or 3D hybrid esh m Mesh Kuva 1.1: FLUENT-ohjelman rakenne ja liittyminen muihin oheisohjelmiin. Perinteinen esikäsittelijä on ollut Gambit, jälkikäsittely tapahtuu FLUENTissa kiinteästi ratkaisijan yhteydessä. toon voidaan liittää muilla CAD/CAE-paketeilla tehtyjä geometrioita tai laskentahiloja sekä siirtää tuloksia muille jälkikäsittelyohjelmistoille (ei kuvassa). Itse asiassa virtaussimuointiohjelmistot koostuvat aina useista erilaisista osista, joiden välille on tehty tiedonsiirtoyhteydet. Tähän rakenteeseen palataan luvussa 12. Fluentin ja ANSYSin osalta voidaan todeta, että ohjelmistojen rakenne kehittyy hyvin nopeasti ja tätä kirjoitettaessa (v. 2010) Gambitin käytöstä oltiin luopumassa. FLUENT, CFX ja Star-CD kuuluvat ns. yleiskäyttöisten simulointiohjelmistojen luokkaan. Tämä tarkoittaa hyvin erilaisten virtaustilanteiden mallinnusta. Itse asiassa itse FLUENTin ratkaisija sisältää kaksi perusteiltaan täysin erilaista osaa: painekorjausmenetelmällä toimivan lähinnä kokoonpuristumattomien virtausten simulointiin tarkoitetun ratkaisun ja ns. approksimatiiviseen Riemann-ratkaisuun (Roen menetelmä) perustuvan lähestymistavan, joka on alunperin kehitetty aerodynaamisiin sovelluksiin. Nämä kaksi tapaa ovat niin erilaisia, että olisi perusteltua puhua oikeastaan kahdesta eri ohjelmasta. Kaupallisista syistä käytetään termiä FLUENT siis varsin erilaisista simulointitavoista ja myös esi- ja jälkikäsittelystä. Myös ohjelman sisällä käytetään turbulenssimallien ja diskretoinnin yhteydessä mielellään rekisteröityjen tavaramerkkien kaltaisia nimityksiä. Nyt esillä olevan tekstin tarkoituksena on pieneltä osin yrittää valottaa mitä näiden termien takana oikein on.

14 1.2. ESIMERKKEJÄ VIRTAUSSIMULOINNIN KÄYTÖSTÄ 13 Virtauslaskentaa on laajemmassa mitassa harrastettu runsaan parinkymmenen vuoden ajan. Käytetyt ohjelmat voidaan jakaa kaupallisiin ja epäkaupallisiin. Viimeksi mainittujen joukkoon kuuluvat avoimen lähdekoodin OpenFOAM sekä yliopistojen ja tutkimuslaitosten ylläpitämät koodit. Tavallaan epäkaupallisia ovat eräät teollisuuden käyttämät ja kehittämät ohjelmat, jotka eivät ole yleisesti saatavilla. Esimerkkinä voidaan mainita lentokoneteollisuus, jolle virtauslaskenta on keskeisessä asemassa. Lentokoneteollisuudessa on myös huomattavan isoja ohjelmistotaloja, esimerkiksi British Aerospacen CFD-ohjelmistojen kokonaispituus on puolen miljoonan ohjelmarivin luokkaa. Varsinaiset kaupalliset ohjelmistotalot eivät kerro ohjelmiensa pituuksia, mutta on helppo arvioida FLUENTin olevan pituudeltaan samaa suuruusluokkaa tai jopa pitempi. Tarkastellaan seuraavaksi erilaisia virtaussimuloinnin osa-alueita. Koska virtauslaskenta on aiemmin ollut ja on vieläkin suhteellisen kallista, laskenta on yleistynyt ensimmäiseksi sellaisilla teollisuuden aloilla, joilla rahoitusta on ollut helppo järjestää. Tällaisia ovat olleet esimerkiksi lentokone- ja kaasuturbiiniteollisuus, joissa tuotteen yksikköhinta on korkea ja toisaalta pieni parannus hyötysuhteessa tuo käyttäjälle säästöjä. Seuraava lista ei ole tarkoitettu mitenkään kattavaksi, vaan tuomaan esille hyvinkin erilaisia sovelluskohteita: lentokoneen vastuksen ja nostovoiman ennustaminen. Laskentaa käytetään yhdessä tuulitunnelikokeiden kanssa erilaisten konfiguraatioiden evaluointiin. Tilanteessa on oleellista suuri Reynoldsin luku (Re = ) ja Machin luku. Lentokoneen pinnalla on ohut rajakerrros, joka on mallinnettava tarkasti, jotta koneeseen vaikuttavat voimat saataisiin riittävällä tarkkuudella määritetyksi. Perinteisesti laskentaa on suoritettu supertietokoneilla, koska laskentahilojen koko rajakerrosten ja tarkkuusvaatimusten vuoksi tulee varsin suureksi. laivojen laskenta poikkeaa lentokoneista lähinnä vapaan pinnan osalta. Pinnan muodon ennustaminen on tärkeää aaltovastuksen laskennan vuoksi. Reynoldsin luku on lentokonettakin suurempi, supertankkerilla luokkaa5 10 9, joten rajakerros on suhteessa ohuempi kuin lentokoneella. Laskenta-algoritmin tulee pystyä kokoonpuristumattoman virtauksen laskentaan, jolloin aerodynamiikkaan kehitetyt ohjelmat eivät suoraan sovellu laivoille. Laivojen simulointi nykyaikaisilla laskentamenetelmillä on alkanut suuremmassa mitassa vasta 1990-luvulla.

15 1.2. ESIMERKKEJÄ VIRTAUSSIMULOINNIN KÄYTÖSTÄ 14 palamisen ja polton laskenta liittyy voimakattiloihin, niiden polttimien ja tulipalojen laskentaan. Tällä alueella on Suomessa tehty työtä jo 1980-luvun alkupuolelta lähtien. Laskentaa sovelletaan rutiininomaisesti voimalaitosten kattiloiden suunnittelussa. Näissä sovelluksissa turbulenssin mallinnuksella on tärkeä osuus, koska turbulenssi on ratkaisevassa asemassa polttoaineen ja ilman sekoittumisessa ja sitä kautta palamisilmiössä. Samaa pätee muihinkin kemiallisiin reaktioihin, joiden yhteydessä virtaus on tärkeässä asemassa. Virtaus polttomoottorissa muodostaa erittäin suuren haasteen virtaussimuloinnille. Kemiallisten reaktioiden lisäksi geometria muuttuu ajanfunktiona ja kaikki ilmiöt ovat ajasta riippuvia. Lisäksi virtauksessa esiintyy hyvin erisuuruisia pituus- ja aikaskaaloja. Polttoainetta ruiskutetaan suuttimesta, jonka dimensiot ovat hyvin pieniä verrattuna esimerkiksi ison dieselmoottorin sylinteriin. Myös polttoainesuihkun nopeus on suuri verrattuna sylinterin sisällä muuten vallitseviin nopeuksiin. Polttomoottorin simulointi on esimerkki ongelmasta, josta on viime aikoina ryhdytty käyttämään nimitystä monifysikaalinen, kuvaamaan useiden erilaisten tieteenhaarojen yhdistymistä kyseisessä ongelmassa. Elektroniikkakomponenttien jäähdyttäminen on tullut yhä tärkeämmäksi tehotiheyksien kasvun myötä. Lämmönsiirron ennustaminen on osa virtauslaskentaa, jonka tärkeyttä on ehkä aiemmin aliarvioitu. Lämmönsiirto on aiemmin usein ollut itse laskennassa taka-alalla. Se on tarvittu, jotta saadaan itse virtaus oikein lasketuksi. Mikäli halutaan täsmällisesti määrittää lämmönsiirtokerroin laskennan avulla, ajaudutaan samantyyppiseen ongelmaan kuin perinteisten turbulenssimallien yhteydessä. Perinteiset mallit on lähinnä kehitetty isotermisille virtauksille, mutta paremman puutteessa niitä sovelletaan paljon myös silloin kun lämmönsiirto on tärkeää. Luonnollisen konvektion ollessa merkittävä, hankaluuksia tulee lisää. Tällöin myös säteily on tärkeää ottaa huomioon. Huonetilavirtauksien laskennassa vaikeudet tulevat alhaisista virtausnopeuksista. Virtaus on aina ajasta riippuvaa ja hyvin epästabiilia. Luonnollinen konvektio on tärkeässä asemassa. Perinteiset turbulenssimallit eivät useinkaan toimi eivätkä pysty edes erottamaan toisistaan ajasta riippuvia isoja virtausskaaloja ja varsinaista turbulenssia.

16 1.2. ESIMERKKEJÄ VIRTAUSSIMULOINNIN KÄYTÖSTÄ 15 Virtauskoneiden suunnittelussa CFD:llä on yhä suurempi merkitys. Kaasuturbiinien osalta virtauslaskentaa on käytetty jo 70-luvulta lähtien ja tapahtuneesta hyötysuhteen kasvusta voidaan ainakin osittain kiittää juuri virtauslaskentaa. Halvempien laitteiden kuten pumppujen ja puhaltimien yhteydessä simulointia ei vieläkään käytetä samassa mittakaavassa. Tämä aiheutuu siitä, että yksikköhinnaltaan halvemman tuotteen suunnitteluun ei kannata käyttää yhtä suurta suunnittelupanosta. Toisaalta esimerkiksi Suomen sähkönkulutuksesta erittäin merkittävä osa kuluu pumppaukseen, joten hyötysuhteen kasvulla olisi kansantaloudellistakin merkitystä. Pyörivissä virtauskoneissa pyörimisliike aiheuttaa laskennallisesti hankalia ilmiöitä. Virtaus on aina ajasta riippuvaa, mikä aiheuttaa tarvetta approksimoida sitä tasapainotilan virtauksena. Suurimmat hankaluudet aiheutuvat tässäkin tapauksessa turbulenssista, joka käyttäytyy pyörimisliikkeen vuoksi eri tavoin kuin paikallaan pysyvässä koordinaatistossa. Erilaisten ympäristövirtausten tärkein osa-alue on numeerinen sään ennustaminen. Sääennusteet voidaan jakaa globaaleihin, joissa on mukana koko maapallo, ja paikallisiin. Globaaleja ennusteita lasketaan rutiininomaisesti parin viikon jaksolle, mutta niiden paikallinen toimivuus ei heikomman numeerisen resoluution vuoksi ole yhtä hyvä, kuin paikallisilla ennusteilla, joita tehdään kansallisissa ilmatieteen laitoksissa. Suomessa käytetään HIRLAMsääennustemallia, joka on hyvin pitkälle myös kehitetty Suomessa. Suomen paikallinen ennuste kattaa alueen, joka ulottuu pohjois-amerikan rannikolta likimain Uralille. Ympäristövirtauksia tehdään myös vielä paikallisemmassa mittakaavassa (esimerkiksi saasteiden leviäminen) ja myös vesistöille ja merivirtauksille. Laajemman mittakaavan laskennassa geometria on kovin erilainen kuin teknisissä sovelluksissa: ohut ilma- tai vesikerros pyöreän pallon päällä. Ympäristövirtauksissa kehitys onkin vienyt varsin erilaiseen mallinnusjärjestelmään kuin teknisissä tieteissä. Mallit ovat yliopistoihmisten kehittämiä eikä niitä käsitellä tällä kurssilla. Virtaustilanteita on siis hyvin monenlaisia. Usein mukana saattaa olla vielä erilaisia fysikaalisia ilmiöitä kuten kemiallisia reaktioita, säteilyä, vapaa nestepinta jne. Virtauksen luonnetta voidaan tarkastella erilaisten dimensiottomien lukujen avulla. Näistä tärkeimpiä ovat Reynoldsin luku ja Machin luku, mutta myös muilla luvuilla on merkitystä. Riippuen näistä luvuista virtaus käyttäytyy hyvin eri tavoin.

17 1.3. YLEINEN VIRTAUSRATKAISIJA 16 Myös yhtälöiden matemaattinen luonne on erilainen ja samoin tehokkain ratkaisutapa. Usein Navier-Stokes -yhtälöitä kannattaa approksimoida, jolloin saattaa syntyä kokonainen tieteenhaara. Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat periaatteessa esimerkiksi rajakerrosvirtausta ja akustisia ilmiöitä. Viimeksimainittujen ennustamiseen yhtälöt ovat aivan liian raskas arsenaali. Rajakerrosilmiöt joudutaan nykyaikaisissa simuloinneissa kuvaamaan, mutta niitä varten on aikaisemmin syntynyt myös oma erittäin tehokas työkalu, rajakerrosteoria, jonka avulla tietyn tyyppiset rajakerrokset voidaan laskea murto-osassa siitä ajasta, mikä kuluu varsinaisen virtaussimuloinnin tekoon. 1.3 Yleinen virtausratkaisija FLUENT-ohjelma on ns. yleinen virtausratkaisija. Muita vastaavia ohjelmia ovat mm. ANSYS CFX ja STAR-CD sekä useat muut (kts. luku 12). OpenFOAM ei oikeastaan ole ohjelma, vaan erilaisten numeeristen menetelmien kirjasto, jonka avulla voidaan konstruoida ratkaisualgoritmeja. Tällä hetkellä markkinoilla olevista ohjelmista FLUENT on kaikkein monipuolisimpia. Ohjelma pystyy kuvaamaan seuraavien sovellusalojen virtausilmiöitä: 2D ja 3D virtaukset käyttäen mielivaltaisia hilatopologioita, joko rakenteellisia tai rakenteettomia. Yksittäiset laskentatilavuudet voivat olla heksaedrejä, tetraedrejä, prismoja tai pyramideja. Erilaisia laskentatilavuuksia voidaan liittää toisiinsa mielivaltaisella tavalla. Vastaava hilarakenne on myös muissa yleisesti käytetyissä virtausratkaisijoissa. kokoonpuristuvia ja -puristumattomia virtauksia. Erona näissä on Machin luku, joka kuitenkin riippuu tilanteesta (nyrkkisääntönä voidaa pitää rajaa Ma = 0,1...0,3). tasapainotilan tai ajasta riippuvia virtauksia kitkattomia, laminaareja tai turbulentteja virtauksia. Tässä laminaarin ja turbulentin alueen rajana voidaan pitää sopivaa Reynoldsin luvun arvoa. Virtauskanaville tai putkille kriittinen raja on halkaisijaan referoitu luku arvoltaan muutama tuhat. Ulkopuolisessa virtauksessa Reynoldsin luku referoidaan pituuteen ja kriittinen raja vaihtelee puolesta miljoonasta useaan miljoonaan (kts. esim. White).

18 1.3. YLEINEN VIRTAUSRATKAISIJA 17 newtonilaisia tai epänewtonilaisia nesteitä pakotettua ja luonnollista konvektiota säteilyä erilaisia tapoja pyörivien koneiden virtauksia varten kemiallisia reaktioita kiinteiden partikkeleiden tai pisaroiden ratoja virtausta huokoisen materiaalin läpi yksidimensioisia puhaltimen tai lämmönvaihtimen malleja kaksifaasivirtausta ja kavitaatiota vapaan monimutkaisen pinnan virtauksia Kuten havaitaan ilmiölista on erittäin kattava. On kuitenkin muistettava, että perinteisesti kaikkien ns. yleisratkaisijoiden taustalla on ollut tarve simuloida erilaisia teollisuusprosesseja, joissa virtaus on yleensä turbulenttia ja kokoonpuristumatonta. Usein tapahtuu lisäksi kemiallisia reaktioita ja säteilylämmönsiirtoa. Vaikka FLUENTilla on ominaisuutena huokoisten materiaalien virtaus, se ei kuitenkaan todennäköisesti toimi kovin tehokkaasti esimerkiksi pohjavesivirtausten kohdalla, koska ilmiömaailma on siinä tapauksessa jonkin verran erilainen kuin FLUENTin tärkeimmillä sovellusalueilla. Tärkein syy tähän on eri alojen ns. koulukunnat, joissa asioita tutkitaan ja näillä koulukunnilla on taipumusta eriytyä. Lisäksi numeerinen mallinnus on mennyt viime aikoina erittäin nopeasti eteenpäin eri alueilla, joten on mahdotonta, että yhdessä ohjelmassa olisi kaikkien alueiden viimeinen tieto. Kun virtaussimulointeja ryhdytään tekemään on syytä ensiksi pohtia mitä ryhdytään laskemaan ja kuinka pitkäjänteisestä työstä on kysymys, liittyykö siihen tutkimuksen kaltaisia osia vai onko tehtävä enemmän suunnitteluun liittyvä jne. Ensimmäisenä vaihtoehtona tarkastellaan todennäköisesti yleisiä virtausratkaisijoita. Tällöin on huomattava että yleisilläkin ratkaisijoilla on kehityshistoriansa. FLUEN- Tin sanotaan pystyvän simuloimaan seuraavia sovelluksia: prosessiteollisuus voimalaitokset ja öljyn sekä kaasuntuotannon ympäristövaikutukset

19 1.3. YLEINEN VIRTAUSRATKAISIJA 18 lentokoneet ja turbokoneet autot lämmönsiirtimet elektroniikan jäähdytys ja LVI-sovellukset materiaalien prosessointi arkkitehtuuriin liittyvä suunnittelu ja tulipalot Yllä oleva lista ei ole syntynyt markkinoinnin ehdoilla (vaikka sitä luonnollisesti siihen käytetäänkin), vaan FLUENTia on nimen omaan käytetty kyseisiin sovelluksiin. Tällöin kyseisen tyyppisiä simulointeja tekevän kannattaa harkita FLUEN- Tia eräänä vaihtoehtona, koska ohjelma todennäköisesti pidetään näiltä osin ainakin suhteellisen lähellä kehityksen kärkeä. Monille aloille on olemassa kaupallisesti saatavana ns. erityisohjelmia, jotka saattavat erota yleisohjelmasta kahdella päätavalla: yleisin tapa on rakentaa jollekin sovellusalueelle sopiva käyttöliittymä. Esimerkiksi melko suoraan FLUENTin ratkaisumalleja käyttävät elektroniikkateollisuudelle tarkoitettu ICEPAK ja sekoitinsäiliöiden lasketaan soveltuva MixSim. Näissä pääpaino on kyseisen teollisuuden alan suunnittelutehtävissä. Käyttöliittymä ja ratkaisijan käyttömahdollisuudet on tehty mahdollisimman yksinkertaisiksi ja niissä puhutaan alan spesialistien kieltä. Tämä on tärkeää suunnittelutehtävässä, mutta ei välttämättä merkitse sitä, että sekoittimia voitaisiin analysoida mitenkään FLUENTia tehokkaammin tai tarkemmin MixSimillä tai elektroniikkakomponenttien jäähdytystä ICEPAKilla. Sen sijaan laskentamallin teko ja kynnys käyttää ohjelmistoa kyseisillä alueilla voi madaltua huomattavasti, mikä sinänsä näkyy laskentatyöhön kuluvassa ajassa. On myös ohjelmia, jotka periaatteessa ovat yleiskäyttöisiä, mutta jotka on suunnattu selvästi jollekin teollisuuden alalle. Esimerkkeinä ovat aikoinaan autoteollisuudelle tarkoitettu STAR-CD ja pyöriville virtauslaitteille hyvin soveltuva TASCflow. Näistä TASCflow oli FLUENTin kilpailijan ANSYS CFX:n sisarohjelma, joka siirtyi CFX:n haltuun yrityskaupalla. TASCflowta sovellettiin pitkään nimenomaan pyöriville virtauksille, mutta vähitellen CFX syrjäytti sen. Aikoinaan ohjelman fysikaaliset mallitkin kehittyvät vähitellen suuntaan, joka tuotti hyviä tuloksia erityisesti pyöriville virtauksille. Tällä tavoin saattaa syntyä ohjelmisto, joka on huomattavasti yleisohjelmaa parempi myös itse ratkaisijan ja fysiikan mallinnuksen osalta.

20 1.4. VIRTAUKSISTA 19 Edellä esitetyn listan kummajaisina voidaan pitää lentokone- ja kaasuturbiiniteollisuuden mukanaoloa. Kummassakin tapauksessa virtaus on kokoonpuristuvaa ja siinä esiintyy usein tiivistysaaltoja. Näiden ratkaisu on tapahtunut perinteisesti teollisuusprosessien simuloinnista poikkeavalla tavalla. Kun virtauksen Machin luku on riittävän suuri (likimain Ma > 0,15), ratkaisua voidaan hakea aikaintegroimalla virtausyhtälöitä. Myös laskennan luonteen kannalta oleellisimman osan ns. vuon laskenta tapahtuu poikkeavalla tavalla. Joihinkin painekorjausmenetelmällä toimiviin virtausratkaisijoihin on kehitetty vuohon vaimennustermejä, joilla tiivistysaallot saadaan lasketuksi, mutta keino ei ole yhtä hyvä kuin ns. approksimatiivisten Riemann-ratkaisijoiden. (Menetelmäryhmää kutsutaan myös Godunovtyyppiseksi tai englanniksi flux-difference splitting). FLUENT-ohjelman monipuolisuus näkyy siinä, että se sisältää kaksi toisistaan poikkeavaa ratkaisumenetelmää:, perinteisen kokoonpuristumattoman Rhie ja Chow-menetelmän sekä approksimatiivisen Riemann-ratkaisijan (Roen menetelmä tai vastaava). Manuaalissa ratkaisutapojen eroja ei juuri korosteta, toinen on pressure-based (painepohjainen) ja Roen menetelmä density-based (tiheyspohjainen). Näiden ero on siis sen verran merkittävä, että voidaan todella todeta FLUENTin oikeastaan sisältävän kaksi erilaista ohjelmaa. Tiheyspohjaisen ratkaisijan avulla kannattaa laskea varsin erilaisia tehtäviä kuin painepohjaisen ratkaisijan. Ratkaisijoiden eroon palataan jatkossa. FLUENTissa fysikaaliset mallit ja laskentahila ovat osittain yhteisiä kummallekin ratkaisijalle, mikä antaa mahdollisuuden verrata erilaisia numeerisia menetelmiä. Periaatteessa riittävän tarkalla laskentahilalla kummankin menetelmän pitäisi tuottaa samat ratkaisut, mutta virtaustapauksesta riippuen eroja voi olla erityisesti laskennan tehokkuudessa. 1.4 Virtauksista Edellä todettiin virtausratkaisun olevan oleellisesti erilainen eri tyyppisillä virtauksilla. Osittain virtauksien samankaltaisuutta, similaarisuutta, voidaan päätellä tilanteelle tärkeiden dimensiottomien lukujen avulla, mutta myös itse laskennan kohde, fysikaalinen tilanne, vaikuttaa asiaan reunaehtojen ja fysikaalisten mallien kautta. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisten käytännön esimerkkien avulla erilaisia virtaustilanteita ja niiden aiheuttamia seikkoja simuloinnissa. Käytännön virtaustilanteet, näennäisesti yksinkertaisetkin, ovat perusteiltaan ää-

21 1.4. VIRTAUKSISTA 20 rimmäisen monimutkaisia ja niissä pienet osatekijät vaikuttavat suureen kokonaisuuteen. Virtausmekaniikan kirjoissa virtausta jaetaan geneerisiin alueisiin, joita voivat olla esimerkiksi kitkattomat ja kitkalliset virtaukset ulkopuoliset ja sisäpuoliset virtaukset putki- ja kanavavirtaukset virtaukset pumpuissa ja turbiineissa (pyörimisliike) aallon muodostus Jokaiselta yo. listan alueelta on olemassa siihen keskittyneitä kirjoja ja perinteisiä approksimatiivisia ratkaisumenetelmiä. On huomattava, että kyseessä on ihmisen tapa luokitella erilaisia asioita, jolloin eräissä tapauksissa voidaan käyttää idealisointeja. Virtaus ei esimerkiksi käytännössä koskaan ole täysin kitkatonta, mutta joskus kitkattoman virtauksen teorialla voidaan saada haluttu ilmiö esille. Simuloinnin kannalta jako turbulentteihin ja laminaareihin virtauksiin on tärkeää. (a) Laminaari virta us (b) Turbulentti virta us Kuva 1.2: Hanasta tuleva virtaus on joko laminaaria tai turbulenttia riippuen Reynoldsin luvusta Re = ρvd/µ. Koska neste on yleensä vettä ja putken halkaisija D ei muutu, Reynoldsin luku määräytyy virtausnopeudesta. Tarkastellaan ensimmäisenä yksinkertaisena käytännön esimerkkinä veden virtausta hanasta (kts. kuva 1.2). Kun hana on hyvin vähän auki, vesi tippuu erillisinä

22 1.4. VIRTAUKSISTA 21 pisaroina. Tällöin pintajännitys on tärkeässä asemassa pisaran muodon ja koon määrityksessä. Tilannetta on hankala lähestyä perinteisen virtauslaskennan keinoin, esimerkiksi FLUENT-ohjelmalla (jatkossa usein samastamme virtausten simuloinnin ja FLUENT-ohjelman, tässä yhteydessä voisimme toki puhua mistä tahansa virtausratkaisijasta). Periaatteessa voisimme laskea virtauksen yksittäisen pisaran sisällä ja näin on joskus tehtykin. Tällä on tietenkin hyvin vähän käytännön arvoa. Toinen mahdollisuus olisi todeta pisaroiden ja ilman muodostavan kaksikomponenttivirtauksen. Yleisin laskentatapa näille perustuu keskiarvottamiseen paikan suhteen, mikä vaatisi tilastollisesti riittävää pisaramäärää. Kun hanaa avataan hiukan enemmän, muodostuu laminaari suihku. Tässä tapauksessa senkin muotoon vaikuttaa pintajännitys, joka tekee tehtävästä hankalan. Periaatteessa meillä on kuitenkin kyseessä laminaari tasapainotilan virtaus, joka on kaikkein helpoin simulointitehtävä. Jotta laskentamme onnistuisi, meidän on pystyttävä antamaan tapaukselle reunaehdot ja laadittava laskenta-alueen kattava laskentahila eli -verkko. Nyt reunaehtoina tulisi käyttää tulovirtauksen nopeusjakaumaa, mutta sitähän ei tunneta! Simuloinnin suorittajan on saatava jostain selville nopeusjakauma. Jos oletamme, että meillä on käytössämme vesimittari, saamme selville virtausmäärän. Olettamalla virtaus putkessa laminaariksi, löydämme alan kirjallisuudesta Hagen-Poisseuille -virtauksen nopeusjakauman, jota voimme käyttää tulovirtausreunaehtona. Jos putkessa on mutkia tms. niin kuin siinä todennäköisesti on, tulovirtauksen nopeusjakauma onkin jokin toinen. Toisena reunaehtona voimme antaa huoneessa vallitsevan paineen, joka vallitsee vesinoron ulkopuolella. Lisäksi virtaus norosta ulos on nolla. Mutta vesinoron kokoa ei tunneta, pintajännitys, paine ja nopeus linkittyvät tässä tilanteessa toisiinsa juuri suihkun läpimitan kautta. Ne kaikki liittyvät toisiinsa, jolloin laskentahilan, jonka tulee kattaa koko veden virtaama alue, on muotouduttava ratkaisun aikana. Sen tulee olla adaptiivinen. Periaatteessa FLUENTissa on laskentaverkon osalta adaptiivisia piirteitä, mutta ne eivät liity yksinkertaiseen esimerkkiimme. FLUENTissa on myös pintojen laskentaa varten ns. VOF-malli (volume of fluid), mutta sitä ei ole suunniteltu tällaiseen tapaukseen. Ts. emme pystyisi laskemaan laminaaria veden lorumista hanasta ulos, vaikka esimerkki on mitä tavallisin jokapäiväisestä elämästä! Virtauslaskijan on oltava selvillä käyttämänsä ohjelman rajoituksista (joita on paljon), koska muuten koko touhu on täysin turhaa. Nostetaan seuraavaksi veden virtausnopeutta. Nyt muodostuu turbulentti vesisuihku (kts. kuva 1.2 oikealla). Veden virtaus on muuttunut turbulentiksi ja suihku

23 1.4. VIRTAUKSISTA 22 heiluu sinne tänne ja nopeudet suihkun sisällä muuttuvat keskiarvonopeuden kahden puolen. Yksittäiset neste-elementit voivat periaatteessa liikkua jopa ylöspäin ja suihkun muoto ei ole vakaa. Tilanne on selvästikin makroskooppisessakin mielessä voimakkaasti ajasta riippuva, koska edes laskenta-alueen muoto ei tässä tapauksessa pysy vakiona. Tehtävää voidaan lähestyä kahdella tavoin, joista yleisemmin käytetty perustuu turbulenssin suodattamiseen yhtälöistä pois aikakeskiarvottamalla. Operaatiota nimitetään Reynolds-keskiarvottamiseksi ja sen tuloksena olevia yhtälöitä Reynolds-keskiarvotetuiksi Navier-Stokes -yhtälöiksi (RANS) tai joskus Reynoldsin yhtälöiksi. Virtaussimuloinnissa ryhdytään siis ratkaisemaan suoraan keskimääräistä tilannetta, josta voidaan todeta, että todellinen virtaus ei milloinkaan toteuta ennustettua jakaumaa! Laskenta on siis todellisuuteen verrattuna fiktiivistä, mutta insinöörimäistä : tuloksena saadaan keskimääräinen nopeus, joka on suunnittelijan tarvitsema tieto. Samoin saadaan rakenteisiin vaikuttava keskimääräinen voima, painejakauma jne. Tulokseen päästään soveltamalla erityistä turbulenssimallia, joka on ja tulee pysymään laskennan heikoimpana lenkkinä. Virtaussimuloijan on syytä pyrkiä ajattelemaan laskemansa tilanteen todellista fysikaalista tilannetta ja käyttämäänsä turbulenssimallia. Onko kyseisellä mallilla ylipäätänsä mahdollista saada tilanteesta kvalitatiivisesti tarkka tulos? Tarvitaanko kvantitatiivista täsmällistä numeroarvoa esimerkiksi lentokoneen siiven vastuksesta vai riittääkö virtausjakauman ennustaminen kvalitatiivisesti oikein? Nämä kysymykset ovat sellaisia, että vasta käytännön työskentely ongelman parissa ja pitkään kertynyt kokemus tekevät virtauslaskennasta todella käyttökelpoisen työkalun. Kokemattoman laskijan tulokset saattavat olla täysin virheellisiä. Mahdollisuus erehtyä virtaukseen liittyvien huonosti määriteltyjen osatekijöiden (näistä tärkein on juuri turbulenssi) vuoksi on virtauslaskennassa huomattavasti suurempi kuin rakenneanalyysissä, johon virtaussimulointia helposti tulee verrattua suunnittelutyön oleellisena osana. Toinen tapa laskea turbulenttia ajasta riippuva virtausta on sen laskeminen ajasta riippuvana ilmiönä, millainen se todellisuudessa onkin. Laskentaa nimitetään Navier-Stokes -yhtälöiden suoraksi ratkaisuksi tai suoraksi simuloinniksi (direct numerical simulation, DNS). Ongelmana on tällöin se, että simuloinnin tulisi kattaa kaikki turbulenssin aika- ja paikkaskaalat. Periaatteessa ratkaisutapa on ainoa oikea, koska mitään muita kuin numeerisia approksimaatioita ei tehdä, mutta käytännössä vaatimus kaikkien skaalojen mukaan ottamisesta simulointiin johtaa mahdottomaan tilanteeseen tietokonekapasiteetin käytön kannalta. Vain pienillä Reynoldsin luvuilla (suuruusluokkaa 10 4 ) on mahdollista laskea virtausta näin. Seuraavana

24 1.4. VIRTAUKSISTA 23 mahdollisuutena on jollain tavoin pyrkiä mallintamaan pienen skaalan turbulenssin vaikutus, jolloin päästään jo kohtuullisella laskenta-ajalla. Menetelmää nimitetään isojen pyörteiden menetelmäksi (large eddy simulation, LES). Siihen asetetaan tällä hetkellä suuria toiveita, koska tietokoneiden laskentakapasiteetti on kasvamassa tasolle, jossa LES on tulossa mahdolliseksi. Myös FLUENTissa on isojen pyörteiden menetelmän käyttö mahdollista. Laskenta on tällöin huomattavasti hankalampaa kuin RANS-yhtälöillä ja tulokset saattavat olla kurjia, vaikka tietokoneaikaa kuluu paljon. LES-ongelmiin palataan turbulenssin kuvauksen yhteydessä. Virtaus suhteessa mpyrään y Neste pyörteilee pyrän ym takana Nesteliikkuu sileäs ti ympyrän etuosan yliympyrä liikkuu alta oikevasempaan Kuva 1.3: Ympyräsylinterin taakse voi muodostua stationäärit pyörteet tai epästationääri pyörrerata. Virtausmuoto riippuu Reynoldsin luvusta. Tarkastellaan vielä eräiden virtausilmiöiden havainnollistamista kotikonstein (kts. kuvat 1.3 ja 1.4). Esimerkiksi kylvyssä istuva henkilö voi liikuttaa pyöreää shampoopulloa kuvan osoittamalla tavalla. Kyseessä on hyvin usein esille tuleva perusvirtaustapaus, virtaus ympyräsylinterin ohitse, jota tälläkin kurssilla tullaan käsittelemään. Sylinterin perään muodostuu tietyllä Reynoldsin luvulla ensin laminaari ja lopulta turbulentti ns. von Kármánin pyörrerata. Nyt virtaus on selvästi ajasta riippuvaa ja sen luonnollinen ratkaisutapa olisi edellä mainittu LES. Koska tietokoneemme kapasiteetti ei siihen todennäköisesti riittäisi, voidaan laskentaa yrittää tavanomaisin turbulenssimallein. Viime aikoina tästä on ryhdytty käyttämään lyhennettä URANS (unsteady RANS). Turbulenssimallia ei ole alunperin suunniteltu toimimaan tämän tyyppisessä ajasta riippuvassa tilanteessa, vaan keskiarvottamaan virtaus tasapainotilaan. Mikäli näin tapahtuu, niin ympyräsylinterin vanaveden osalta virtauksen fysiikka tuhotaan kokonaan: keskiarvotetussa virtauksessa ei synny pyörteitä ollenkaan, vaan hidastuneen virtauksen alue! On monia erilaisia tilanteita, joissa turbulenssimalli pyrkii suodattamaan todellisen fysikaalisen ilmiön pois. Virtauslaskijan on opittava ymmärtämään ja hyväksymään mallinnuksen rajoittuneisuus. Joskus pyörreradan laskenta voi hyvinkin onnistua, tämä riippuu turbulenssimallin valinnasta, mikä on taas kokemusperäinen asia.

25 Käsi Käsi 1.4. VIRTAUKSISTA 24 Käden liikkeen tasuun Käsi Virtaus suhteessa äteen k (a) Käsi liikkuu selin ak suunnassa Käden liikkeen tasuun Virtaus suhteessa äteen k A A:n alkuperäinen emas (b) Käsi liikkuu lmassa ku akseliinsa ähden n A A:n alkuperäinen asema Pyörteiden liike (c) kuten (b) mutta nopealla liikkeell elähdöllä ja sitten pysähdys Kuva 1.4: Kädellä tai perämelalla voi havainnollistaa nostovoiman syntyä. Kuvassa 1.4 sama ilmiö on toistettu käyttäen kättä. Koejärjestely onnistuu paremmin tyynenä kesäiltana sopivan soutajan kanssa. Pidettäessä kättä virtauksen suuntaisena, se synnyttää peräänsä samantyyppisen pyörreradan kuin ympyräsylinterikin. Kädessä on mahdollista tuntea myös vastustava voima. Tämä koostuu aaltovastuksesta, joka aiheutuu paineen muuttumisesta käden pinnalla aallonmuodostuksen vuoksi ja kitkavoimasta. Käden pinnalle muodostuu rajakerros, joka voi olla turbulentti tai laminaari. Kiusallisimpia virtaussimuloinnin kannalta ovat tilanteet, joissa rajakerros on osittain laminaari ja osittain turbulentti, ts. jossain kohtaa tapahtuu transitio. Transition mallintaminen ei onnistu hyvin CFD:n nykytasolla. Eräs tapa on antaa transition paikka, joka tiedetään esimerkiksi mittauksen perusteella. FLUENTissa on mahdollista määritellä alue, jolla turbulenssi sammutetaan ja saada transition vaikutus näin esille. Monet tilanteet ovat sellaisia, että rajakerros on laminaaria merkittävän suurella alueella. Tällöin tilanteen analysointi ei meiltä yleensä onnistu. FLUENT-ohjelmalla ei kannata yrittää laskea purjekoneen siiven kitkavastusta, koska ohjelman turbulenssimallit ennustaisivat transition paikan käytännössä siiven johtoreunalle ja tarkkaa tietoa transitiosta ei todennäköisesti laskijalla ole hallussaan. Jos käden tai melan laittaa vinoon asentoon kulkusuuntaan nähden, se yrittää kammeta venettäkin vinoon. Käteen on syntynyt poikittainen voima, jota nimitetään nostovoimaksi. Sopivalla käden ja kulkusuunnan välisellä kulmalla tämä voima on

26 1.4. VIRTAUKSISTA 25 maksimissaan ja venettä voi yrittää ohjailla johonkin kauempana näkyvään saareen. Virtaus kulkee tällöin käden suuntaisesti, sen sanotaan olevan kiinni. Suurentamalla käden ja kulkusuunnan välistä kulmaa, virtaus lopulta irtoaa käden rystypuolelta ja poikittaisvoima romahtaa. Käsi on tällöin sakannut. Kyseisessä ilmiössä on jälleen kerran turbulenssi ratkaisevassa asemassa. Tilanteen laskenta onnistuu kohtuullisen hyvin pienillä käden ja virtauksen välisen kulman, ns. kohtauskulman arvoilla, mutta suurennettaessa kulmaa ei laskennassa sakkausilmiötä yleensä saada esille. Mikäli veneen ohjailu perustuisi kokemuksen sijasta pelkästään simuloinnilla saatuun tietoon saareen pääsy saattaisi olla ongelmallista. (Edellä esitetty koskee oikeastaan enemmän peräsintä. Veneen sivulla pidettävä mela toimii hiukan toisin, kuten jokainen peränpitäjä tietää). Virtauslaskijan on tässäkin tapauksessa tunnettava käyttämiensä mallien rajat. Hyvin tärkeää on myös tilanteeseen liittyvä kokeellinen tieto, jolla voidaan validoida edes jossain määrin laskentaa. Hyvin usein tällaista kokeellista tietoa ei ole käytössä ja joskus sitä ei ole aikaa tai mahdollista käyttää. Kuvassa 1.4 on vielä hahmoteltu kahden vastakkaissuuntaisen pyörteen syntymistä, kun käsi ensin laitetaan äkilliseen liikkeeseen ja sitten pysäytetään. Pyörteet liikkuvat silloin kuvassa alaspäin. Virtauksille on hyvin tyypillistä erilaisten pyörteiden syntyminen. Pyörteet pilkkoutuvat alavirtaan mennessä pienemmiksi. Tarkastellaan viimeisenä potentiaalisena simulointiesimerkkinä virtausta joessa sillan pilarin ympärillä (kts. kuva 1.5). Pilarin perään muodostuu aiemmista esimerkeistä tuttu pyörrerata. Lähellä rantaa virtaus on hitaampaa kuin kuin joen keskellä, koska rannalle muodostuu rajakerros. Rannan lähellä virtaukseen syntyy myös pyörteitä, kuten myös siltapilarin perään. Jos joki on hyvin tasaisella maaperällä, virtaus saattaa olla joen keskivaiheilla melko laminaaria. (Tulovirtauksella on todellisuudessa aina jokin turbulenssiaste. Oikeasti virtaus ei tiedä olevansa laminaaria tai turbulenttia, käsitteet ovat syntyneet havaitsijan tarpeesta luokitella erilaisia ilmiöitä). Törmätessään pilariin, rajakerrosvirtaus on aina tulovirtauksen tilanteesta riippumatta aluksi laminaaria, mutta muuttuu sitten transition myötä turbulentiksi. Transition paikka riippuu mm. pilarin pinnan karheudesta ja tulovirtauksen turbulenssiasteesta. Yllä kuvattu tilanne on sellainen, että siitä tuskin kannattaa tehdä kattavaa CFDanalyysiä, mutta esimerkki on hyvänä osoituksena monista simuloinnin yhteydessä esille tulevista hankaluuksista. Oletetaan, että tehtävänä olisi laskea virtaus pilarin läheisyydessä ja vanavedessä mahdollisimman tarkasti. Tapaus on selvästi ajasta

27 1.4. VIRTAUKSISTA 26 Sillan pilari Virtauksen suunta A B Kappaleet liikkuvat nopeammin ja eivät pyöri C D Kappaleet liikkuvat hitaammin ja pyörivät Joen ranta Kuva 1.5: Joen ylittävällä sillalla voi tutkia monenlaisia virtausilmiöitä. riippuva, mutta tarkastellaan tässä yhteydessä RANS-laskennan vaatimuksia (LESmenetelmään palataan turbulenssin mallinnuksen yhteydessä, mutta jo tässä voidaan todeta tehtäväasettelun olevan tällöin vieläkin vaikeampaa). Kun tarkoituksena on laskea pyörrerataa, on suoritettava ajan suhteen tarkka simulointi ja reunaehdot on tiedettävä periaatteessa ajan funktiona. RANS-laskennassa voimme taas tehdä hyvän tasapainotilan arvauksen tulovirtauksen jakaumalle. Laskenta-alue on vietävä sen verran kauas pilarista, ettei pohja aiheuta enää muutosta arvattuun tulovirtauksen jakaumaan. Yleensä laskentamalli ei ennusta annettua nopeusjakaumaa kanava- tai putkivirtauksen osalta, joten laskenta-alueen reuna on vietävä tavalla tai toisella kauemmaksi. On myös mahdollista laskea etukäteen pelkkää jokea ilman pilaria ja asettaa ratkaisu reunaehdoksi, jolloin kokonaislaskenta-aikaa ehkä säästyy. Tässä tilanteessa energiayhtälöä ei tarvitse ratkaista. Silloin tulovirtauksen nopeusjakauma saadaan myös lasketuksi kierrättämällä nopeusjakaumia perodisesti. Lämpötilan osalta tämä johtaisi lämpötilan rajattomaan nousuun. Alavirran suuntaan laskenta-alue on ulotettava riittävän kauaksi, jotta haettu pyörreratailmiö tulee esille ja myös siksi, ettei alavirran reunaehdon (taas huonosti tunnettu!) aiheuttama häiriö ulottuisi kovin lähelle pilaria. Joki saattaa sivusuunnassa olla leveä. Ongelmaksi tulee, että suuri laskentatilavuusmäärä hassaantuu joen mallintamiseen, koska fysikaalisesti järkevä reunaehto on vasta joen ranta. Koska rannan vaikutus pilariin asti on vähäinen, voidaan edetä kahdella tavalla. On mahdollista mallintaa joki kaukana pilarista suurilla laskentatilavuuksilla, jolloin tietysti laskennan tarkkuus on huono, mutta vaikutus tässä tapauksessa vähäinen kiinnostavassa kohteessa. Tällöin reunaehdot saadaan luonnollisella tavalla lausutuiksi. Toinen tapa on yrittää rajata laskenta-alue pienemmäksi ja käyttää alueen rajalla ap-

28 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 27 proksimatiivisia ehtoja. Näitä ei tietenkään tarkasti tunneta, mutta käytännössä tämä tilanne tulee usein vastaan, koska ei ole mahdollista sulkea koko maailmaa laskentamallin sisään. Hyviä approksimatiivisia reunaehtoja ovat mm. symmetriaehto ja periodinen reuna. Ne käyttäytyvät numeerisesti hyvin eivätkä yleensä aiheuta suuria fysikaalisia häiriöitä ainakaan nyt esillä olevan tilanteen kaltaisissa tapauksissa. Reunaehtojen osalta kiinteät pinnat ovat suoraviivaisimmin mallinnettavissa, mutta nekään eivät ole turbulentin virtauksen osalta ongelmista vapaita. Jos unohdamme tässä johdattelevassa esimerkissä veden vapaan pinnan, on meidän vielä annettava tulovirtauksen ja ulosmenovirtauksen reunaehdot. Nämä eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan ne on määritettävä yhdessä. Tulovirtauksessa tarvitsemme edellä mainitun virtausjakauman lisäksi turbulenssisuureille jotkin arvot. Yleensä näitäkään ei tiedetä, vaan laskennan suorittajan on ne osittain arvioitava. Osan FLUENT laskee annetun tiedon perusteella. Simuloinnin suorittajan on annettava turbulenssimalli ja sen on oltava tiedossa ennen laskentahilan luomista, koska eri mallit tarvitsevat erilaisen laskentaverkon. Lisäksi on annettava eräitä virtaavan veden aineominaisuuksia, jonka jälkeen voidaan periaatteessa ryhtyä laskemaan. FLUENTissa on, kuten edellä mainittiin useita erilaisia laskentatapoja ja näissä tavoissa on suuri joukko numeriikkaan liittyviä parametreja, jotka on saatava kohdalleen. Muuten laskenta ei välttämättä konvergoi ollenkaan. 1.5 CFD-analyysin suunnittelu Yleistä Edellä on esitetty mahdollisimman arkipäiväisten ja yksinkertaisten esimerkkien avulla virtaustilanteiden määrittelyssä esille tulevia ongelmia ja laskentamallien, lähinnä turbulenssin kuvauksen, rajoittuneisuutta. Mikäli monimutkaisissa virtaustilanteissa halutaan kunnollisia tuloksia, on tehtävän asettelussa oltava huolellinen. On hyvin tärkeää, että laskijalla on riittävät perustiedot virtausopista. Nyt esillä olevalla kurssilla oletetaan perustiedoiksi Whiten Viscous Fluid Flow-kirjan taso. Mutta laskijan on tiedettävä myös jotain itse CFD:stä ja luonnollisesti osattava käyttää ohjelmaa. Ohjelman käyttöä opastetaan melko seikkaperäisesti manuaalissa ja myös ohjelmistotalojen järjestämillä kursseilla. Fysikaalisten mallien ja numeriikan osalta manuaalit ovat aina puutteellisia. Kannattaa huomata, että FLUENTin ratkaisijaosan kuvaukseen kului aikoinaan neljä manuaalia. Kaikkea tietoa ei voi, eikä

29 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 28 usein myös haluta, laittaa näkyviin. Useassa kohden tarvitaan CFD-alan asiantuntijaa arvaamaan, miten laskenta oikein suoritetaan. Tällä tiedolla, jota ehkä monimutkaisuudenkin takia pyritään välttämään, saattaa kuitenkin olla ratkaisevan tärkeä merkitys laskennan suorittajalle. On selvää, että ratkaisumenetelmien perusteiden, siis laskennallisen virtausdynamiikan, tuntemus auttaa korkeatasoisten simulointien suorittamisessa ja ohjelman eri piirteiden ymmärryksessä. Tämän kurssin tarkoituksena on soveltaa sekä virtausopin että CFD:n tietoja käytäntöön soveltamalla ohjelmia yksinkertaisiin laskentatapauksiin. Materiaali on periaatteessa tehty siten, että varsinaisia esitietoja ei CFD:stä tarvita, tosin ne auttavat ymmärtämään tässäkin tapauksessa menetelmien taustaa. Tässä tekstissä tullaan käyttämään jo edellä esitettyjä esimerkkejä ja tarkastelemaan tarkemmin simuloinnissa tehtäviä valintoja. Osittain käytetään myös harjoitustehtävien laskentatapauksia. Aluksi annetaan vielä yleisohjeita virtaussimuloinnin suunnittelulle Virtausten luokittelu Edellä olevien yksinkertaisten esimerkkien avulla on tuotu esille jo joitain pääpiirteitä erilaisista virtauksista. On tärkeää tiedostaa seuraavat seikat: virtaukset voivat olla myös laminaareja, tämä riippuu Reynoldsin luvusta yleensä virtaukset ovat turbulentteja suurimmassa osassa laskenta-aluetta. Turbulentti virtaus on aina ajasta riippuvaa, mutta turbulenssimallin avulla siitä pyritään tuottamaan tasapainotilan ratkaisu. Joskus virtauksen oleellisimmat ilmiöt, fysiikka, hävitetään turbulenssimallin vuoksi. joskus on mahdollista laskea kitkattoman virtauksen teorian avulla. Tällöin laskenta-aikaa säästyy huomattavasti. virtaus voi olla kokoonpuristuvaa ja tällöin käyttäytyä aivan eri tavoin kuin hitaan virtauksen alueella. Ikävimmässä tapauksessa suuressa osassa laskentaaluetta on lähes seisahtunut tilanne ja pienessä osassa suuri Machin luku. tyypillisiä virtausilmiöitä ovat erilaiset pyörteet. Pyörteet voivat olla keskimääräisessä mielessä paikallaan tai voi muodostua ajasta riippuvia pyörreratoja. Kohdassa, missä pyörre alkaa kiinteällä pinnalla virtauksen sanotaan irtoavan. Irtoamiskohdan laskeminen ja pyörteiden erottaminen turbulenssista on usein liian kova vaatimus RANS-turbulenssimalleille.

30 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 29 Kun simulointitehtävää aletaan suunnitella, on laskijan ensiksi arvioitava selviääkö tietokoneohjelma kyseisestä tehtävästä. Laskennassa tarvitaan aina riittävä numeerinen tarkkuus, mitä jatkossa tullaan esimerkein havainnollistamaan. Mallista voi monimutkaisen geometrian yhteydessä tulla niin suuri, ettei sitä vieläkään pystytä käytössä olevilla tietokoneresursseilla ratkaisemaan. Suurin epätarkkuuden aiheuttaja on kuitenkin turbulenssin mallinnus ja eräissä tehtävissä myös muiden fysikaalisten ilmiöiden kuvaus. Laskijan on siis ehdottomasti oltava tietoinen käyttämiensä turbulenssimallien rajoituksista. Lopuksi on asetettava reunaehdot ja tunnettava nesteen ominaisuudet, kuten tiheys ja viskositeetti riittävällä tarkkuudella Suunnittelu Tarkastellaan seuraavaksi yksinkertaisen virtaussimuloinnin suunnittelua vaiheittain. Tässä yhteydessä ei ole syytä monimutkaistaa laskentatehtävää kemiallisilla reaktiolla, faasimuutoksilla tms. Nämä ilmiöt sopivat kaikki kohdan fysiikan mallinnuksen alle. Tällä kurssilla käsittelemme pelkkiä virtauksia. Jossain käytännön tilanteessa fysiikan mallinnus saattaa kestää vuosia, jos malleja ei ole ohjelmassa valmiina. Virtaustilanteen identifiointi: Ennen mihinkään tehtävään lähtemistä on pohdittava virtaustilannetta ja laskettava sille ainakin Reynoldsin ja Machin luvut. Hyvin usein (muttei aina!) teollisuusprosessien virtaukset tapahtuvat melko alhaisilla virtausnopeuksilla. Tällöin tärkein virtauksen luonnetta kuvaava luku on Reynoldsin luku, joka on laskettava käyttäen järkevää referenssipituutta. Mikäli Reynoldsin luku jätetään laskematta, ei tule selvää käsitystä turbulenssin merkityksestä. On olemassa myös tilanteita, joissa Reynoldsin luku on huonosti määritelty eikä välttämättä edes kuvaa tilannetta. Esimerkkinä tällaisista tilanteista on huonetilavirtaukset, joissa tärkeä dimensioton suure on Grashofin luku. Riippuen laskentatapauksesta, tulee siis laskea joitain dimensiottomia lukuja Reynoldsin luvun lisäksi: nosteen ajamissa virtauksissa Grashofin luku, vapaan pinnan tapauksessa Frouden luku, pyörimisliikkeen yhteydessä Taylorin luku jne. Kokemuksen karttuessa virtauslaskija oppii dimensiottomien lukujen avulla tunnistamaan laskettavan tilanteen vaatimukset ja todennäköiset vastoinkäymisetkin etukäteen.

31 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 30 Mallinnuksen tavoitteet: Minkä tyyppisiä tuloksia ylipäätänsä halutaan ja mikä on tällöin vaadittu laskentatarkkuus? Aiemmin esitetyissä esimerkeissä on tullut jo vastaan yksinkertaisia tilanteita, joissa laskenta ei onnistu nykyisellä tiedon tasolla. Tällaisia tilanteita on esimerkiksi sakkausrajan laskenta lentokoneen tai kompressorin siivelle. Mallinnuksen tavoitteet vaikuttavat myös valittuihin fysikaalisiin malleihin. Jos tavoitteena on laskea virtauksen irtoaminen mahdollisimman tarkasti, siihen ei pidä ryhtyä ns. standardi k ǫ- mallilla. Joissain muuntapaisissa tehtävissä saatetaan riittävän hyvä tulos saavuttaa jo hämmästyttävän karkeallakin mallilla. Laskentahilan laatiminen: Tässä tehtävässä on rajattava laskenta-alue sopivan kokoiseksi ja käytännössä niin pieneksi kuin mahdollista. Symmetriaa on aina pyrittävä käyttämään, samoin 2D laskentaa silloin, kun sen tarkkuus riittää. (Tässä yhteydessä on syytä muistaa, että turbulentti virtaus on oikeasti aina kolmiulotteista, mutta Reynolds-keskiarvottamisen myötä kolmas dimensio joskus häviää). Yleensä ohjelmissa on käytössä monentyyppisiä laskentahilamahdollisuuksia, koska (kolmidimensioisessa tilanteessa) voidaan yhdistää tetraedrejä ja heksaedrejä mielivaltaisella tavalla. Virtauslaskennan hankalaan luonteeseen kuitenkin kuuluu, ettei ole olemassa optimaalista laskentahilaa: Monimutkaisella, hyvälaatuisella ja työläästi laaditulla laskentamallilla saadaan yleensä parempia tuloksia kuin nopeasti tehdyllä verkolla. Laskentaalueen kokoa säätelee yleensä reunaehtojen spesifiointi. Hyvät reunaehdot on yleensä mahdollista antaa kaukana varsinaisesta kiinnostavasta alueesta, mutta se taas kasvattaa mallin kokoa. Fysikaaliset mallit: Tärkein virtaukseen liittyvä mallinnus liittyy yleensä turbulenssiin. Täten on ensimmäiseksi tutkittava onko virtaus laminaaria vai turbulenttia vai onko mahdollista laskea tilanne jopa kitkattomana. Jos transitio laminaarista turbulenttiin virtaukseen on tärkeä, niin on todettava, ettei sitä vielä tätä nykyä pystytä laskemaan tarkasti. Osittain fysiikan valinta kulkee käsi kädessä laskentahilan generoinnin kanssa, koska eri mallinnustavat edellyttävät hilalta erilaisia ominaisuuksia (kts. luku 2). Toinen fundamentti virtauksen fysikaaliseen tilanteeseen liittyvä arviointi koskee sen aikariippuvuutta. Jälleen kerran on syytä todeta turbulentin virtauksen olevan aina ajasta riippuvaa, mutta sen toivotaan Reynolds-keskiarvotettuna

32 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 31 olevan tasapainotilassa. Ajasta riippuvissa tilanteissa on ryhdyttävä miettimään aikaintegrointimallia, laskettavan ilmiön vaatimaa aika-askeleen pituutta jne. Tässä yhteydessä on myös ymmärrettävä onko virtaus kokoonpuristuvaa vai -puristumatonta, jolloin tarvitaan termodynaamiset suureet toisiinsa kytkevä tilayhtälö, tapahtuuko lämmönsiirtoa, onko noste tai säteily tärkeää jne. Kaikki nämä seikat vaikuttavat myös turbulenssimalliin. Nykyisin simuloidaan hyvin monimutkaisia virtaustilanteita, joista esimerkkinä voimalaitosten kattilat. Tällaisessa ääriesimerkissä fysikaalisia malleja tarvitaan hyvin paljon eikä laskentaa kannata maallikon edes yrittää. Ratkaisumenetelmän valinta: FLUENTissa mahdollista vaikuttaa ratkaisuun monin eri tavoin. Edellä mainittiin, että varsinaisia perusteiltaan erilaisia numeerisia ratkaisutapoja on kaksi. Mikäli virtauksen Machin luku on suurempi kuin 0,3, kannattaa aina valita tiheyspohjainen ratkaisija, alhaisemmalla Machin luvulla taas painepohjainen ratkaisija. Kummastakin on valittavissa lisäksi erilaisia versioita. FLUENTissa menetelmät on laajennettu siten, että kumpaakin voidaan käyttää varsin laajalla alueella, mutta edellä esitettyä perusperiaatetta kannattaa silti noudattaa. Ratkaisemista voidaan nopeuttaa monien erilaisten parametrien avulla, joiden valinta edellyttää kokemusta. Huonosti määritelty ratkaisu saattaa kuluttaa moninkertaisesti tietokoneaikaa. Tässä jälleen kerran vasta laskijan kokemus vaikuttaa oleellisesti asiaan. Tällä kurssilla ja manuaalissa on mahdollista antaa lähinnä yleisiä suuntaviivoja. Laskentatehtävä kannattaa aina suunnitella kunnolla, koska sillä tavoin säästyy paljon aikaa ja vaivaa itse tehtävässä. Lisäksi virtauslaskennan keljun yleisluonteen mukaiset suoranaiset munaukset vähenevät kunnollisen etukäteisharkinnan myötä. On syytä vielä kerran korostaa, ettei laskenta vielä nykyisin eikä ehkä tulevaisuudessakaan toimi kaikissa tehtävissä. Tulokset voivat olla niin huonoja, ettei niillä ole käyttöä. Tällöin jäljelle jää kokeellinen lähestymistapa ja laskentaan ei ehkä ole syytä ryhtyä ollenkaan. Jos kokeita on mahdollista tehdä, on laskennallinen lähestymistapa sen yhteydessä kuitenkin yleensä aina hyödyllinen, vaikka tulosten tarkkuus tiedettäisiinkin huonoksi.

33 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU Tehtävän asettelun päävaiheet Kun tehtäväasettelu on valmiina, se on puettava tietokoneen ja simulointiohjelman ymmärtämään muotoon ja suoritettava simuloinnit. FLUENTissa työ etenee seuraavasti: 1. Luo mallin geometria ja laskentahila 2. Käynnistä valittu virtausratkaisija 3. Lue laskentahila sisään ohjelmaan 4. Tarkista hilan laatu (ei saa olla negatiivisia koppeja) 5. Valitse ratkaisutapa, painepohjainen tai tiheyspohjainen sekä probleeman dimensio (2D tai 3D). Määrittele vuon laskenta (esim. Roe tai AUSM) ja ratkaisutapa (kytketty, eksplisiittinen/implisiittinen jne.) yksityiskohtaisemmin. 6. Valitse yhtälöt, jotka ratkaistaan, turbulenssi- ja lämmönsiirtomallit. FLUEN- Tissa on myös yksinkertaistettuja malleja puhaltimia, lämmönsiirtimiä ja huokoista väliainetta varten, jolloin niitä ei tarvitse laskea tarkasti. 7. Spesifioi aineominaisuudet ja toimintaolosuhteet 8. Määrittele reunaehdot 9. Anna ratkaisun kontrolliparametrit (alirelaksaatio, aika-askeleen pituus jne.) 10. Initialisoi virtauskenttä 11. Suorita varsinainen virtaussimulointi 12. Arvioi tuloksia. Tämän vaiheen merkitystä ei voi ylikorostaa, koska tulokset voivat olla täysin virheellisiä. Tässä yhteydessä on suoritettava myös konvergenssitarkastelu. 13. Mikäli tulokset olivat järkeviä, laskentaa yleensä vielä joudutaan jatkamaan. Vasta kun laskenta on kunnolla konvergoinut, voidaan lopettaa ja laittaa laskentatulos talteen. 14. Jos tarpeen, hilaa on tihennettävä ja tehtävä simulointi uudelleen.

34 1.5. CFD-ANALYYSIN SUUNNITTELU 33 Taulukko 1.1: Tehtäväasettelun vaiheet FLUENTin valikossa Tehtävävaihe Menu 3. Lue hila sisään File 4. Tarkista hila Grid 5. Valitse ratkaisija Define 6. Valitse perusyhtälöt Define 7. Aineominaisuudet Define 8. Reunaehdot Define 9. Ratkaisun parametrit Solve 10. Initialisoi virtauskenttä Solve 11. Suorita ratkaisu Solve 12. Analysoi tuloksia Display Plot Report 13. Talleta tulokset File 14. Muuta laskentahilaa Adapt Yleensä laskenta kannattaa aloittaa harvalla hilalla, jonka avulla voidaan tehdä nopeasti alustavia analyysejä. Hyvin yksinkertaisissa tapauksissa, kuten tämän kurssin harjoitustehtävissä, tihentämistä ei välttämättä tarvita, koska alunperin on ollut mahdollista käyttää riittävän hyvää resoluutiota. Kun laskentatehtävän fysikaalinen mallinnus ja reunaehdot saadaan paikoilleen, voidaan mallia kasvattaa vähitellen lopulliseen kokoonsa. Usein kannattaa tehdä hilan tihennys useassa vaiheessa, jolloin saadaan käsitys diskretoinnin vaikutuksesta lopputulokseen. Ohjelma ratkaisee annetut yhtälöt tarkasti vasta silloin, kun laskentatulos ei enää muutu hilaa tihentäessä. Tehtäväasettelun eri vaiheet tapahtuvat FLUENTin valikkojen alla, jotka on annettu taulukossa 1.1. Seuraavissa luvuissa tehtäväasettelun eri vaiheisiin tutustutaan tarkemmin. Tässä johdannossa on pyritty korostamaan virtauslaskennan vaikeutta ja vaativuutta. Markkinoilla olevissa simulointiohjelmissa pyritään asiat saamaan mahdollisimman helpon ja yksinkertaisen näköisiksi. Näin ei todellisuudessa ole. Ohjelmien valikoiden alla piilee suuri määrä mahdollisuuksia suorittaa vaativia virtauslaskuja, mutta myös suuri määrä erehtymisen mahdollisuuksia. Kaikkein tärkeintä virtauslaskijalle on ymmärtää hyvin virtausoppia. Simulointiohjelma antaa mahdollisuuksia yhdis-

35 1.6. KERTAUS 34 tää virtaukseen monenlaisia ilmiöitä, mutta pohjimmiltaan se laskee aivan samoja asioita, kuin virtausmekaniikan oppikirjoissa esitetään. Jatkossa lähdemme etsimään näitä ratkaisuja. 1.6 Kertaus Kaupallinen koodi koostuu esikäsittelijöistä (esimerkiksi GAMBIT, TGrid ja PrePDF), itse ratkaisijasta (FLUENT) ja linkeistä muihin ohjelmiin. FLUEN- Tissa jälkikäsittely tapahtuu ratkaisijan yhteydessä. Virtausilmiöitä on monenlaisia ja niiden matemaattinen kuvaus voi olla hyvinkin erilainen Yleisen virtausratkaisijan ominaisuudet ja erityyppiset erityisohjelmat Ohjelmistojen soveltuvuus eri teollisuuden haaroille FLUENTissa on mukana kaksi perusteiltaan erilaista ratkaisumenetelmää: tiheys- ja painepohjainen. Näistä edellisessä sovelletaan approksimatiivista Riemann-ratkaisijaa ja se soveltuu hyvin esimerkiksi aerodynaamisiin sovelluksiin. Teollisuusprosesseihin, joissa on mukana mahdollisesti muitakin ilmiöitä kuin pelkkää virtausta, soveltuu paremmin painepohjainen ratkaisutapa (Rhie ja Chow). Virtaustyypit ja niiden luokittelu Siltapilari-esimerkillä voidaan havainnollistaa virtaussimulointitehtävän asettelua. Simulointitehtävän suunnitteluvaiheet ovat: 1) tilanteen identifiointi, 2) mallinnuksen tavoitteiden asettaminen, 3) laskentahilan suunnittelu, 4) fysikaalinen mallinnus ja 5) ratkaisumenetelmän valinta Tehtävän asettelu voidaan jakaa viiteentoista osaan, jotka löytyvät FLUEN- Tista valikkojen alta Ohjelma ratkaisee annetut yhtälöt tarkasti vasta silloin, kun laskentatulos ei enää muutu hilaa tihentäessä. Päivitetty

36 35 2 Laskentahilan laatiminen 2.1 Tarve Kaikessa numeerisessa simuloinnissa lähtökohtana on pukea tehtävä tietokoneen ymmärtämään muotoon. Tietokone ymmärtää vain lukuja ja ratkottaessa Navier- Stokes -yhtälöiden kaltaisia kenttäyhtälöitä, joudutaan ratkaistava alue jakamaan tavalla tai toisella diskreetteihin pisteisiin. Virtausyhtälöt ratkaistaan teknisissä sovelluksissa yleensä kontrollitilavuus- ja joskus elementtimenetelmällä. Tällöin yhtälöiden sisältämät derivaatat approksimoidaan käyttäen luotua diskreettien pisteiden joukkoa, laskentahilaa eli -verkkoa. (Englannin kielessä käytetään sekä termejä computational mesh että - grid. Yleensä käytetään jompaa kumpaa, mutta FLUEN- Tin manuaalissa mesh ja grid ovat synonyymejä). Spektraalimenetelmässä approksimointi perustuu sarjakehitelmiin, mutta näissäkin menetelmissä käytetään ns. apuhilaa. Viime aikoina on kehitetty myös ilman varsinaista laskentahilaa olevia menetelmiä (mesh-free methods), joissa laskenta-avaruuteen lisätään sopivasti valittu pisteikkö. Voidaan siis todeta virtauslaskennassa aina käytännössä olevan vaatimuksena jakaa tarkasteltava avaruus diskreetiksi pisteiköksi. Tästä toimenpiteestä käytetään joskus termiä laskenta-alueen diskretointi ja sitä ei pidä sotkea itse yhtälöiden diskretointiin, siis derivaattojen lausumiseen hilapisteikössä lausuttujen ratkaistavien suureiden avulla. Laskentahilan laadinta on monessa suhteessa tärkein osa simulointitehtävässä. Ensinnäkin hilan laatimiseen kuluu vieläkin suurin osa tehtävään kuluvasta työajasta. Hilan generointi on oma tieteenlajinsa, joka voidaan jakaa rakenteellisten ja rakenteettomien hilojen generointiin. Vaihe on osa esikäsittelyä, johon kuuluu myös geometrian mallinnus. Vaikka tälle alueelle on satsattu suuria kehityspanoksia viime vuosina, on syytä tiedostaa, että monimutkaisille geometrioille laadukkaan laskentahilan luominen on kehitysponnisteluista huolimatta vieläkin erittäin työlästä ja vaatii onnistuakseen ammattitaitoa: sekä tietoa erilaisten virtaustapausten aset-

37 2.1. TARVE 36 tamista vaatimuksista että ohjelman käyttökokemusta. Tämä johtuu siitä, että hilan laatu ratkaisee myös ratkaisun hyvyyden. Virtauslaskennassa pyritään kohti ratkaisun adaptiivisuutta, jolloin käyttäjän ei periaatteessa tarvitsisi tietää mitään tarkkuuden aiheuttamista vaatimuksista, mutta tästä tavoitteesta ollaan vielä kaukana ja on mahdollista, ettei sitä koskaan saavuteta. Virtauslaskennan eri vaiheita tarkastellaan uudelleen luvussa 9. Tässä yhteydessä voidaan todeta, että esikäsittelyn tärkeimmät vaiheet ovat rakenteen mallinnus ja laskentahilan luominen. FLUENTin perinteinen esikäsittelijä on ollut GAMBIT, jonka pääpaino on rakenteen mallinnuksessa. Ohjelmaan voidaan lukea sisään vaihtoehtoisesti myös joko koko laskentahila tai vain pinnat ja jatkaa mallinnusta GAM- BITilla (kts. kuva 1.1). Riippuu siis laskentahilan laadusta, miten hyvälaatuinen ratkaisu saadaan. Termi hyvälaatuinen tarkoittaa tässä yhteydessä, että yhtälöihin liittyvä numeerinen virhe, ns. katkaisuvirhe (kts. sivu 98), on mahdollisimman pieni. Kuten jo aiemmin korostettiin, ohjelma ratkaisee annetut yhtälöt tarkasti vasta sitten, kun tulos ei enää muutu hilaa tihennettäessä. Käytännössä tähän päästään harvoin, joten joudumme soveltamaan periaatetta ei muutu enää oleellisesti ratkaistavien ilmiöiden kannalta. Katkaisuvirheeseen vaikuttaa generoidun hilan laatu ratkaisevalla tavalla. Tässä luvussa asiaa tarkastellaan kvalitatiivisesti ja asiaan palataan vielä myöhemmin ratkaisumenetelmien yhteydessä. U Harvan hilan pistee t Tiheän hilan pistee t Tarkka ratkaisu x Kuva 2.1: Hilatiheyden vaikutuksen demonstrointi approksimoitaessa käyrää. Tarkkuuden merkitystä voidaan havainnollistaa kuvan 2.1 avulla, jossa analyyttistä käyrää on approksimoitu kahdella eri tiheydellä olevalla diskretoinnilla. Kohdassa x = 1 voidaan havaita nopeudessa u parin kymmenen prosentin virhe harvalla hilalla. Samoin nopeuden derivaatassa virhe kohdassa x = 0, joka voisi olla kiin-

38 2.2. HILATYYPIT 37 teä pinta, on kymmeniä prosentteja. Nopeuden derivaatta du/dx on mukana leikkausjännityksen ja sitä kautta kitkan laskennassa, joihin esimerkissämme tulisi siis kymmenien prosenttien virhe. Laskennassa katkaisuvirhe vaikuttaa sikäli toisin, ettei edes joka toinen piste osu kohdalleen, kuten kuvassa 2.1, vaan käyrä saisi riittämättömällä hilatiheydellä aivan toisen muodon. Kuva 2.1 ei niinkään selvitä numeerista virhettä, vaan hilan erotuskykyä eli resoluutiota erilaisten ilmiöiden kannalta. Käytännön laskentatuloksessa ovat aina mukana molemmat ilmiöt, erotuskyky ja katkaisuvirhe. Hilan valinta vaikuttaa tulokseen myös fysikaalisten mallien kautta. Esimerkiksi erilaiset turbulenssimallit vaativat kiinteiden pintojen lähellä erilaisen hilajaon. Kolmantena laskentaan vaikuttavana tekijänä on konvergenssi. Ratkaisumenetelmät ovat sellaisia, että käytetyn verkon tiheys ja muoto sekä erityisesti vääristyneet laskentatilavuudet vaikuttavat laskennan konvergenssinopeuteen. Yhteenvetona voidaan todeta laskentahilan laadinnan olevan simuloinnin aikaa vievin osa ja sen laadun vaikuttavan suuresti lopputulokseen. Laskentahila voi osoittautua sopimattomaksi lopulta vasta sen jälkeen, kun simulointi on suoritettu, mikä saattaa olla liian myöhäistä. Monimutkaisen geometrian yhteydessä esikäsittelyvaihe kokonaisuudessaan voi viedä useita kuukausia. Esimerkkinä monimutkaisesta geometriasta, jolle on laadittu tarkka laskentamalli on kuvassa Hilatyypit Yleistä Laskentahiloja on kahta perustyyppiä, joita molempia voidaan käyttää FLUENTissa, rakenteellisia (structured) ja rakenteettomia (unstructured). Virtausten laskentamenetelmät kehitettiin aluksi rakenteellisille hiloille ja jo sitä ennen karteesisille. Rakenteellinen hila on kuvassa 2.3. Koordinaatistomuunnoksella rakenteellinen hila voidaan aina saattaa tiiliskiven muotoiseksi karteesiseksi hilaksi. Tällöin voidaan käyttää samantyyppisiä ratkaisumenetelmiä kuin karteesisella. Periaatteessa myös differenssimenetelmän käyttö onnistuu kyseisen koordinaatistomuunnoksen avulla, mutta muunnos on tehtävä sellaisella tavalla, että diskretointi pysyy säilymismuotoisena. Tällainen menetelmä on sama kuin kontrollitilavuusmenetelmä. Perinteinen CFD-ratkaisija hyödyntää hilatopologian yksinkertaisuutta myös muistin hallinnassa: hila voidaan indeksoida yksikäsitteisesti kolmea indeksiä ijk käyttäen, mikä

39 2.2. HILATYYPIT 38 Kuva 2.2: Hornet-hävittäjän pintahila. K J I Hilan IJK indeksit z K J I Hilan IJK indeksit x G l o b a a l i x y z knoaoartdi si t o y Kuva 2.3: Rakenteellinen käyräviivainen laskentahila on topologialtaan karteesisen hilan kaltainen.

40 2.2. HILATYYPIT 39 Noodi Kolmio elementti 3 noodia Suurennus Elementti d numero 1 c Elementti numero 2 a b Kuva 2.4: Perinteellinen rakenteeton laskentahila koostuu kolmioista (2D) tai tetraedreistä (3D), joita joskus nimitetään elementeiksi vaikka ratkaisu tapahtuisi kontrollitilavuusmenetelmällä. helpottaa ohjelmointia. Perinteinen rakenteeton hila koostuu kolmioista tai tetraedreistä (kuva 2.4). Tämäntyyppisiä laskentaverkkoja on pitkään käytetty elementtimenetelmässä, mistä johtuen kolmioita joskus nimitetään elementeiksi. Monet nimitykset virtauslaskennassa eivät ole vieläkään kunnolla vakiintuneet, jotkut nimeävät ratkaisutavankin käytetyn laskentahilan mukaan. FLUENTin ratkaisujärjestelmää nimitetään englannin kielessä myös termillä control volume-finite element, korostamaan rakenteettoman hilan käyttöä. Yleensä laskentahilan solmukohteita nimitetään noodeiksi (node) tai pisteiksi (point) riippumatta hilatyypistä. Koska ratkaisu esimerkiksi FLUEN- Tilla tehdään kontrollitilavuusmenetelmällä (control-volume method tai myös finitevolume method), ratkaisun perusosasia nimitetään laskentatilavuuksiksi (volume tai cell) ja suomeksi joskus myös laskentakopeiksi. Kuten laskennallisen virtausmekaniikan kursseilla on ollut puhetta, laskennan tasetilavuudet voidaan muodostaa luontevimmin hilaviivojen rajaamalle alueelle, jolloin ratkaistava suure periaatteessa määritetään kopin keskipisteessä. Toinen mahdollisuus on muodostaa kontrollitilavuus noodin ympärille, jolloin tilavuuksien pinnat ovat noodien puolivälissä. Viimeksi mainittu tapa on ollut yleisempi rakenteettomilla hiloilla, mutta FLUENTissa ja monissa muissakin koodeissa käytetään keskipisteformalismia.

41 2.2. HILATYYPIT 40 Rakenteeton hila eroaa rakenteellisesta mm. siinä, että hilatopologia ei määrää noodien tai laskentatilavuuksien naapureita yksinkertaisten ijk-indeksien avulla, vaan ohjelmassa on pidettävä kirjaa jokaisen laskentakopin naapureista. Myös yhtälöiden diskretointi ja ratkaiseminen tulevat hankalammiksi. Rakenteettoman hilan käyttö on sen sijaan kätevämpää monimutkaisten geometrioiden yhteydessä ja siihen voidaan yhdistää ratkaisun adaptiivisuus käyttäen automaattisia hilangenerointimenetelmiä FLUENTin hilatyypit Kuva 2.5: Hybridihila, jossa on sekä rakenteellisia että rakenteettomia osia. Rakenteettomien hilojen käyttö on virtausyhtälöiden numeerisessa ratkaisussa tehottomampaa kuin rakenteellisten. Tämä aiheutuu useasta osatekijästä. Virtauksen luonne on sellainen, että katkaisuvirhe on suurempi rakenteettomalla kuin rakenteellisella (tähän palataan jatkossa). Rajakerroksen laskennassa kiinteän seinän lähellä virtaus on lähes seinän suuntainen. Kaksidimensioisessa tapauksessa tarvittaisiin kolmioita kaksinkertainen määrä neliöihin verrattuna ja tetraedrejä vielä enemmän (3D), jotta saataisiin sama resoluutio kuin heksaedreillä. Tällöinkään tarkkuus ei olisi vielä sama kuin heksoilla suuremman katkaisuvirheen vuoksi. Ratkaisuksi tähän on kehitetty ns. hybridihila, jossa kiinteiden pintojen lähellä käytetään rakenteellista hilaa ja pintojen ulkopuolella rakenteetonta. Periaatteessa voimme kutsua mitä hilaa tahansa, jossa on yhdistettynä tetra- ja heksaedrejä, hybridihilaksi, vaikka täsmällisempi nimitys voisi olla vapaa- tai mielivaltainen hila (kuva 2.5). FLUENTissa käytetään tiedonhallintajärjestelmää, jossa voidaan mielivaltai-

42 2.2. HILATYYPIT 41 Taulukko 2.1: FLUENTin laskentatilavuustyypit Tyyppi kuvaus noodeja/koppi seiniä/koppi 0 seka 1 kolmio tetraedri nelikulmio heksaedri pyramidi kiila 6 5 sella käyttäjän spesifioimalla tavalla yhdistää erilaisia laskentatilavuuksia toisiinsa kuten kuvassa 2.5 on tehty. Kuvan tilanne on tietenkin esimerkinomainen, hilan topologiassa ei ole sinänsä mitään järkeä. Käyttäjän on opittava virtaustilanteen mukaan yhdistämään erityyppisiä laskentatilavuuksia. Jatkossa annetaan valinnasta yleisiä ohjeita. 2D Koppit yypit KolmioNelikulmio 3D Koppit yypit TetraedriHeksaedri Prisma Pyramidi Kuva 2.6: FLUENTissa käytettäviä laskentatilavuustyyppejä. FLUENTin laskentatilavuustyyppejä nähdään kuvassa 2.6 ja niiden ominaisuudet sekä numerointi valikossa taulukossa 2.1. Käyttämällä eri tyyppejä sekaisin saadaan huomattava fleksibiliteetti hilan generoinnissa. Jotta erilaisia koppityyppejä voitaisiin yhdistää mielivaltaisesti ja erityisesti tehdä joustavasti hilan tihentämi-

43 2.2. HILATYYPIT 42 nen, FLUENTissa on mahdollista määritellä ns. kelluva noodi (hanging node, kts. kuva 2.7). Kelluva noodi Kuva 2.7: Laskenta-alue, jossa on ns. kelluva noodi Esimerkkejä laskennassa sovellettavista hiloista FLUENTissa on siis (mikäli asia on oikein ymmärretty manuaalista) mielivaltainen hilatopologia mahdollinen. Virtauslaskennassa on lähinnä rakenteellisten hilojen yhteydessä yleistynyt erilaisten standardihilatopologioiden käyttö. Mikäli rakenteellista hilaa käytetään, monimutkaisten geometrioiden yhteydessä joudutaan lähes aina soveltamaan ns. monilohkoista hilaa (kts. kuva 2.8). Vasemmanpuoleisen kuvan tapauksessa kolme ympyräsylinteriä on kuvattu omissa lohkoissaan, jotka liittyvät tässä tapauksessa jatkuvasti taustalohkoon. Rakenteellista hilaa soveltavassa ratkaisijassa koppien liittyminen toisiinsa eri lohkoista kuvataan tarkoitukseen sopivalla indeksointijärjestelmällä. FLUENTissa ei erillistä indeksointisysteemiä käytetä, koska aina sovelletaan mielivaltaista laskentatilavuuksien liittymistä toisiinsa. FLUENTille kaikki hilatopologiat ovat siinä mielessä rakenteettomia. Kuva 2.8: Esimerkkejä monilohkoisista rakenteellisista hiloista. Rajakerrosten kohdalla on hilassa tehtävä tihennys. Rakenteellinen hila soveltuu kohtalaisen hyvin erilaisten virtaviivaisten kappaleiden kuvaamiseen. Hilaviivat

44 2.2. HILATYYPIT 43 asetetaan tällöin kiertämään kappaletta, jolloin muodostuu eräitä perustopologioita. Puhutaan O-, C- ja H-tyyppisistä hiloista. C-tyyppinen rakenteellinen hila on kuvassa 2.9, kuvassa 2.8 on sylinterin ympärillä O-tyyppiset lohkot ja taustalla H- tyyppinen lohko. C-hila sopii hyvin tarkoituksiin, joissa syntyy vanavesi kappaleen perään. Tämä ja rajakerros saadaan hyvin kuvatuiksi tihentämällä diskretointia pinnan lähellä. Rakenteellisessa virtausratkaisijassa C-tyypin hilassa on leikkaus vanaveden keskellä. Koska FLUENT pohjautuu rakenteettomaan topologiaan, vanavedessä ei ole sen kummallisempaa leikkausta kuin muidenkaan laskentatilavuuksien välissä. Leikkausviiva Kuva 2.9: C-tyyppinen hila siipiprofiilin ympärillä Epäjatkuvat pinnat Vaikka FLUENTissa ei ole varsinaista lohkokäsitettä, kuten rakenteellisissa virtausratkaisijoissa, käytetään siinä kuitenkin ns. vyöhykkeitä (zone). Vyöhykkeiden rajalla saa olla pintoja, jotka voivat olla epäjatkuvia, ts. hilapisteet eri vyöhykkeissä eivät kohtaa toisiaan rajapinnalla (interface). FLUENTissa hilasta, joka sisältää epäjatkuvan pinnan, käytetään nimitystä nonconformal grid. Rakenteellisen hilan koodeissa epäjatkuvan reunaehdon nimityksenä on nonmatching boundary. Epäjatkuva pinta eroaa kelluvasta noodista siten, että pinta approksimoidaan kahdella eri tavalla riippuen vyöhykkeestä. Laskentakoppien pinnat koostuvat aina tasoista, jos koppien pinnat eivät ole kolmioita, ne voidaan kuitenkin jakaa osakolmioiksi. Epäjatkuvaa pintaa sovelletaan usein esimerkiksi virtauskoneiden osalta roottorin ja staattorin välissä sylinterimäisellä pinnalla. Koska koppien pinnat eivät ole kaarevia, approksimoidaan sylinteripintaa kahdella erityyppisellä murtoviivalla, kuten kuvassa 2.10 esitetään. Virtausratkaisussa lasketaan kummallakin puolella rajapintaa ratkaistavien suureiden vuot, joissa käytetään pinta-aloja. Koska pinta-alat kahden puolen rajapintaa eivät ole diskreetissä esityksessä täysin samoja, voi vuoarvoi-

45 2.2. HILATYYPIT 44 hin tulla eroa. Esimerkiksi vyöhykkeen läpi menevä virtaus voi olla hieman epäjatkuva. Tämän estämiseksi täytyy epäjatkuvalla pinnalla aina olla riittävä hilatiheys, jotta geometria olisi tarpeeksi tarkasti kuvattu. Kuva 2.10: Epäjatkuva lohkojen välinen pinta rakenteellisella hilalla. Epäjatkuva pinta voi FLUENTissa olla kahden tyyppinen (kts. kuvat 2.11 ja 2.12). Täydellisesti toisensa peittävissä tapauksissa geometriset pinnat ovat yhtä suuret, mutta diskreetissä maailmassa ne ovat siis täsmällisesti sitä vain jos rajapinta on taso. Toisessa tapauksessa (kuva 2.12) pinnat eivät ole samankokoisia. Tällöin FLUENT olettaa ylitse jäävän pinnan oleva kiinteä seinä. Tilanne tulee vastaan esimerkiksi turbokoneilla, joissa siipisolaa seuraa staattoriosa, jonka poikkipinta-ala on hieman suurempi kuin kuin siipisolan pinta-ala. rajapinta vyöhyke 1 rajapinta vyöhyke rajapinta vyöhyke 2 Kuva 2.11: Epäjatkuva pinta samankokoisten vyöhykkeiden välillä. rajapinta vyöhyke 1 rajapinta vyöhyke 2 seinä vyöhyke 1 rajapinta vyöhyke seinä vyöhyke 2 Kuva 2.12: Epäjatkuva pinta erikokoisten vyöhykkeiden välillä.

46 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 45 koppi vyöhyke 1 II I III A B C rajapinta vyöhyke 1 a b c d e rajapinta vyöhyke 2 D E F IV V VI koppi vyöhyke 2 Kuva 2.13: Kaksidimensioinen epäjatkuva pinta jaetaan vuon laskentaa varten osiin. Epäjatkuvalla pinnalla vuon laskenta tehdään osissa, joka määräytyy kahden puolen pintaa olevien laskentatilavuuksien pinnoista. Esimerkkinä voidaan tarkastella kuvan 2.13 kaksidimensioista tilannetta, jossa kaksi rakenteetonta vyöhykettä liittyy toisiinsa. Vyöhykkeessä 1 kaksi laskentatilavuutta I ja III rajautuvat pintaan. Vyöhykkeessä 2 on myös kaksi tilavuutta IV ja VI. Kokonaisuudessaan yhteinen pinta koostuu kolmesta osasta b-c, c-d ja d-e. Laskettaessa esimerkiksi massavuota koppiin IV, se lasketaan kahden pinnan b-c ja c-d avulla. Koppiin I massavirtaus tulee pinnan b-c läpi ja FLUENTissa tehdyn oletuksen mukaan pinta a-b on seinä (wall). Kuten edellä todettiin, epäjatkuvan pinnan käsittelyssä on ongelmia suureiden säilymisen suhteen. 2.3 Laskentahilan valinta Vaadittava hilan resoluutio Tarkastellaan seuraavaksi laskentahilan laadintaan vaikuttavia tekijöitä. Edellä on jo todettu, että näitä tekijöitä on runsaasti ja vasta kokemuksen karttuessa virtauslaskijalle tulee tuntumaa siihen, mitä laskentaverkolta vaaditaan kussakin tilanteessa. Aiemmin todettiin myös, että hilan laadinta on virtauslaskennan kaikkein aikaa vievin vaihe. Hyvä tulos saadaan vain työläästi, huono vähemmällä työllä. Simulointitehtävissä on siten olemassa jonkinlainen optimi siinä, kuinka paljon vaivaa kannattaa nähdä esikäsittelyssä. Tämä riippuu varatusta työajasta eli rahoituksesta ja vaaditusta tarkkuudesta. Kuvan 2.2 tapauksessa aikaa oli pakko käyttää riittävästi, koska laskentahilan on oltava hyvin korkeatasoinen aerodynaamisissa simuloinneissa. Näin ei välttämättä ole kaupallisen ohjelman manuaalin demotapauksissa,

47 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 46 joista ei pidä hilan resoluution suhteen ottaa mallia! 5.66e e-04 Kuva 2.14: Vino cavity flow esimerkki FLUENTin manuaalista (vasemmmalla) ja tihennetty hila (oikealla). 8.26e e e-04 Grid 3.24e e e-04 Grid Jan 28, 6.20e FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) 5.51e e e e-04 Jan 28, 2000 FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) 2.75e e e-04 Kuva 2.15: FLUENTilla lasketut virtafunktion 1.38e-04 tasa-arvokäyrät kuvan 2.14 laskentahiloilla. 8.09e e e e+00 Contours of Stream Function (kg/s) Jan 28, 2000 FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) Contours of Stream Function (kg/s) Jan 28, 2000 FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) Laskentaverkon tärkein ominaisuus on, että sillä on riittävä resoluutio tarkasteltavan ilmiön kannalta. Vaikka numeerinen menetelmä olisi periaatteessa äärettömän tarkka, sillä ei voi kuvata ilmiöitä, jotka ovat hilatiheyttä pienempiä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvan 2.14 tilannetta, joka löytyy FLUENTin manuaalista. Kyseessä on onkalovirtaus, ns. cavity flow, jossa neste laitetaan liikkeeseen liikkuvalla yläpinnalla. Tässä tapauksessa yläpinnan nopeus on u wall = 0,1 m/s ja seinän leveys D = 0,1 m. Tiheys ja viskositeetti vastaavat likimain ilman arvoja ja Reynoldsin luvuksi (laskettava aina!) saadaan Re = 500. Kyseessä on siis laminaari virtaus. Esimerkkimme on hyvin yksinkertainen geometrialtaan ja reunaehdoiltaan, mutta sillä saadaan kuitenkin useita mielenkiintoisia asioita esille. Manuaalissa tälle harjoitustapaukselle generoidaan yksinkertainen rakenteellinen hila, joka on kuvassa 2.14 ja tätä vastaava ratkaisu kuvassa Tässä yksinkertaisessa esimerkissä nähdään sekä hilan resoluution että numeerisen virheen vaikutus. Alkuperäinen hila on niin harva, ettei nurkkien pyörteitä voida mitenkään kuvata kyseisellä hilatiheydellä. (Kuvassa 2.15 on tilan sääs-

48 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 47 tämisen vuoksi piirretty virtafunktion tasa-arvokäyrät, joissa nurkkapyörteet eivät näy tarkemmallakaan hilajaolla). Tämän tyyppiset seikat on siis otettava huomioon hilaa tehtäessä. Toisaalta ratkaisukin on virheellinen numeerisen virheen vuoksi. Harvalla hilalla pikkupyörteet häviävät numeerisen vaimennuksen vuoksi ja pääpyörre ennustetaan aivan liian suureksi. Hilaa on siis tihennettävä kohdissa, joissa tapahtuu tärkeitä virtausilmiöitä. Tihentäminen oli mahdollista tehdä koko alueessa edellisessä yksinkertaisessa esimerkissä, mutta käytännön tehtävissä näin tuhlautuisi aivan liikaa laskentatilavuuksia. Laskennan kannalta tärkeitä ovat alueet, joissa ratkaistavien suureiden gradientit ovat isoja. Näin on asianlaita nopeuden osalta rajakerroksessa ja vanavedessä. Paine muuttuu nopeasti, kun kiinteä pinta on kaareva ja kokoonpuristuvan virtauksen osalta tiivistysaallossa. Vastaavasti hila voi olla harva alueilla, jotka ovat kaukana tarkasteltavasta kohteesta tai alueella, jossa gradientit ovat pieniä. Esimerkkinä tästä on lentokoneen ympärillä oleva laskentahila (kuva 2.16). Kuva 2.16: Lentävän kappaleen ympärillä laskentahila voi olla harva kauempana kappaleesta Rajakerroksen mallintaminen Kiinteiden pintojen lähellä on aina kiinnitettävä huomiota laskentahilan laatuun, jopa kitkattoman virtauksen oletuksella, jos pinta on kaareva. Pinnan läheisyydessä on tehtävä hilan tihennys, joka tietenkin voi olla varsin lievä kitkattomalla virtauksella. Kitkaton laskenta on hyvin tehokasta, koska hila voi olla harva.

49 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 48 Normaalissa kitkallisessa virtaustapauksessa tihentämisen suhteen on oltava tarkempi. Jos virtaus on laminaari, rajakerroksen nopeusprofiili on muodoltaan juohea, joskus paraabeli tai lähellä sitä. Tasolevyllä toteutuu Blasius-ratkaisu, monimutkaisilla geometrioilla ratkaisu on laadullisesti saman kaltainen. Ulkopuolisessa virtauksessa nopeusgradientti muuttuu rajakerroksessa hitaasti ja laskentahilan tulee tällöin olla rajakerroksen osalta lähellä tasavälistä. Laskijan on siten arvioitava laminaarin rajakerroksen paksuus ja sijoitettava sille alueelle riittävä (noin 30) laskentatilavuutta. Koska rajakerros paksunee patopisteen jälkeen, on tarkasteltava kiinnostavaa aluetta. Mikäli patopisteen lähellä halutaan parantaa tarkkuutta, on hila tehtävä tiukemmaksi sen läheisyydessä. Tehty virhe nähdään helposti vertaamalla laskentatulosta Blasius-ratkaisuun. Rajakerroksen ulkoreunan jälkeen sitä voidaan harventaa numeerisen virheen sallimissa rajoissa. Sisäpuolisella virtauksella laminaari ratkaisu on lähellä paraabelia. Rajakerros vaikuttaa koko virtauskanavan alueella. Nopeusjakauma on jyrkempi seinän lähellä kuin kanavan keskiosissa. Sopiva laskentatilavuusmäärä on noin kolmekymmentä kanavan puolikkaalle. Paras tulos saadaan, jos hilaa jonkin verran tihennetään seinien läheisyydessä, jossa nopeusgradientti on jyrkin. Seinämäkäsittely saattaa aiheuttaa ylimääräistä numeerista virhettä epätasavälisellä hilalla, jolloin kannattaa jättää tihennyksessäkin muutama laskentatilavuus saman korkuisiksi seinän vieressä. Edellä kuvatuilla tavoilla saadaan laminaarille virtaukselle varsin tarkka ratkaisu. Turbulentilla virtauksella rajakerroksen nopeusprofiili muuttuu. Ilman painegradienttia rajakerroksen nopeusjakauma voidaan esittää kitkanopeudella u τ = τ wall /ρ dimensiottomaksi tehtynä kuvan 2.17 tavalla jaettuna kolmeen vyöhykkeeseen. Näistä keskimmäistä kuvaa hyvin ns. logaritminen nopeusjakauma. Turbulentti rajakerros esitetään usein suureen y + = ρu τ y/µ, dimensiottoman seinämäetäisyyden ( y-plussan ) avulla logaritmisella skaalalla kuten kuvassa. Todellisuudessa nopeusprofiili on hyvin jyrkkä. Jos rajakerros halutaan mallintaa tarkasti, on hilaa tihennettävä voimakkaasti seinää lähestyttäessä. Tähän kuluu suuri laskentakoppimäärä. Käytännön laskentatehtävissä käytetään yleensä noin kolmeakymmentä tilavuutta, mutta tällä ei saavuteta samaa tarkkuutta kuin laminaarilla virtauksella. Ulkopuolisen rajakerrostyyppisen virtaustehtävän laskentahila saattaa ulottua hyvin kauaksi rajakerroksen ulkopuolelle, mutta resoluutiota on mahdollista harventaa niin paljon, että rajakerrokseen kuluu noin puolet hilan laskentatilavuuksista. Rajakerrosalueen laskentatilavuuksista tulee hyvin pieniä, mikä voi heikentää

50 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 49 Sisäkerros U/Uτ = 2,5 ln(u τ y/υ) + 5,45 U/Uτ = Uτ y/υ U/Uτ ulkokerros ulkoraja riippuu logaritmisen Reynoldsin nopeusjakaumanluvusta alakerrosvälikerroskerros y + ~ = 5 y + ~ = 60 ln Uτ y/υ Kuva 2.17: Turbulentin rajakerroksen muoto. joidenkin ratkaisijoiden osalta menetelmän konvergenssia. Perinteinen keino välttää rajakerroksen mallinnus on käyttää seinämäfunktiota, joka perustuu logaritmiseen nopeusjakaumaan. Tällöin laskentahilan koko voi pienentyä alle puoleen ja rajakerros voidaan mallintaa jopa alle kymmenellä tilavuudella. """""""""""""""" """""""""""""""" logaritminen & """"""""""""""""? kitkallinen """""""""""""""" alakerros """""""""""""""" Seinämä funktion yttö kä Laskenta pinnalle sti a turbulentti ydin Kitkan dominoivaa luetta aei ratkaista ja sen vaikutus taan ote huomioon seinämäfunktion lla. avu Korkean Reynoldsin luvun turbulenssi malleja voidaan ttää. käy Seinämän läheinen lue on amallinnettu aina pinnalle asti. Turbulenssimallin itää polla voimassa myös pinnan läheisy ydessä. Kuva 2.18: Seinämäkäsittely FLUENTissa voidaan tehdä joko ison Reynoldsin luvun tai pienen Reynoldsin luvun mallilla. Seinämäfunktion käyttöön liittyy ongelmia, jotka virtauslaskijan on syytä tiedostaa. Nopeusjakaumaa ei tällöin lasketa pinnan lähellä, sitä ei yksinkertaisesti ole ratkaisussa mukana (?-alue kuvassa 2.18). Turbulenssi mallinnetaan seinämäfunktion yhteydessä ns. suuren Reynoldsin luvun mallilla, joista eniten käytetty on k ǫ-malli. Seinämälaki pätee sinällään, kun painegradientti on nolla. Tämän vuok-

51 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 50 si useimmissa virtaustilanteissa käytetään reunaehtoa, joka ei itse asiassa edes päde ja on oikeastaan ihme, että seinämäfunktion avulla on laskettu hyviä tuloksia melko monimutkaisissakin virtaustilanteissa. Jos virtauksessa tapahtuu irtoamista suurella alueella, ei seinämäfunktiolta voi odottaa simuloinnissa tarkkuutta. Seinämäfunktiota ja ison Reynoldsin luvun mallia käytettäessä on kiinnitettävä huomiota laskentahilan seinää lähinnä olevan kopin kokoon, koska logaritminen nopeuslaki pätee vain tietyssä alueessa, joka annetaan dimensiottoman etäisyyden y + avulla 30 < y + < 300 (2.1) Nykyiset virtausratkaisijat osaavat yleensä käsitellä tilanteen, jossa ensimmäisen kopin korkeus on y + < 30, joten tällöin hukataan lähinnä vain laskentaresursseja. Sen sijaan jos y + > 300 tai ehkä hieman suurempi, seinämäfunktion merkitys reunaehtona katoaa. Useimmiten seinän käsittely on tällöin käytännössä sama kuin kitkattomassa tapauksessa. Seinä ei siis vaikuta virtaukseen muulla tavoin kuin estämällä läpivirtauksen. Jos virtaus pysyy todellisuudessa kiinni, tällä ei välttämättä ole suurta merkitystä kaikissa tilanteissa. Sen sijaan jos virtaus todellisuudessa irtoaa, pitäisi irtoamisen vaikutus saada laskennassa esille. Kun rajakerrosilmiöt halutaan laskea tarkasti, esimerkiksi halutaan kappaleeseen vaikuttavat voimat, on laskenta ulotettava pinnalle asti ja käytettävä ns. pienen Reynoldsin luvun turbulenssimallia. Suuren Reynoldsin luvun mallinnusta käytetään kyllä yleisesti esimerkiksi pumppujen laskennassa, mutta jos ollaan toimintapisteen ulkopuolella virtaus irtoaa ja laskenta on epäluotettavaa. Hilan laatu saadaan tässäkin tapauksessa selville vasta, kun laskenta on tehty eli dimensiottoman etäisyyden avulla. Nyt tulee olla y + 1, jotta ratkaisu olisi tarkka. Kitkakertoimeen tulee noin prosentin virhe, kuny + 2 ja sen jälkeen virhe kasvaa niin nopeasti, että laskentatulos on kelvoton, kuny TKK:ssa tehtyjen tutkimusten mukaan pienen Reynoldsin luvun mallin yhteydessä reunaehtoa voidaan modifioida siten, että virhe on alle prosentin vielä, kun y + 10, mutta näitä piirteitä ei ole kaupallisissa ohjelmissa. Kun laskenta halutaan tarkaksi on aina pyrittävä siihen, että dimensioton etäisyys on suuruusluokkaa 1 tai vähän suurempi. (Sama raja pätee laminaarille virtaukselle). Usein rajaa ei pystytä koko laskenta-alueessa saavuttamaan. Esimerkkinä tilanteesta, jossay + on alle 2 käytännössä koko alueessa on kuvan 2.19 sekoitinsäiliö. Rajakerroksen laskentaan liittyy myös turbulenssin kuvaus muun kuin seinämä-

52 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 51 Kuva 2.19: Dimensioton etäisyys sekoitinsäiliön pinnalla. funktion soveltamisen osalta. Varsinkin pienen Reynoldsin luvun mallit käyttävät seinämäetäisyyttä hyväkseen ja saattavat eräiltä muiltakin osin olla implementoitu siten, että hilan olisi syytä olla ortogonaalinen pintojen lähellä. Tässä yhteydessä ei tarkoiteta varsinaista laskentatarkkuutta, vaan tapaa, jolla mallit on totuttu implementoimaan. Ortogonaalisuusoletus koskee etupäässä rakenteellisen hilan koodeja, mutta varmuuden vuoksi asia kannattaa pitää mielessä myös FLUENTin yhteydessä. Useimmiten hilan generointiohjelmissa on mahdollisuuksia, joilla hilaa voidaan yrittää saada mahdollisimman kohtisuoraksi pintoja vastaan Numeerisen tarkkuuden vaatimukset On tärkeää tiedostaa, että numeerinen tarkkuus on eri asia kuin ilmiöiden erotuskyky, vaikka nämä ratkaisussa esiintyvät yhtä aikaa. Viimeksi mainittua demonstroitiin kuvan 2.1 yhteydessä, jolloin myös todettiin, että numeerinen epätarkkuus, jota

53 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 52 voidaan tarkastella ns. katkaisuvirheen avulla, muuttaa lasketun käyrän muotoa tai tasoa huomattavasti. Jotta numeerinen tarkkuus olisi riittävä, on pienen Reynoldsin luvun turbulenssimallin yhteydessä käytettävä rajakerroksessa laskentatilavuutta. Suuren Reynoldsin luvun mallilla selvitään huomattavasti vähemmällä. Ääriesimerkkinä FLUENTin manuaalissa todetaan, ettei virtauskanavaa kannata yrittää mallintaa alle viidellä tilavuudella. Tällä tarkoitetaan enemmänkin resoluutiota, koska minkäänlaista jakaumaa ei pystytä kuvaamaan vähemmällä. Tarkkuudesta viidellä tilavuudella voidaan todeta, että seinämäkitka ja painehäviö tulisivat täysin väärin lasketuksi. Viiden kopin putkea voidaan ehkä käyttää tilanteissa, joissa itse putki ei ole kiinnostava, mutta se toimii reunaehtona varsinaiseen laskentaalueeseen. Esimerkiksi turbokoneen siiven kärkivälys saattaisi joissain tapauksessa antaa itse kanavan osalta riittävän hyvän vuotovirtauksen, vaikka välyksen osalta lasketussa virtausjakaumassa ei olekaan mitään tarkkuutta. Kun virtausyhtälöt diskretoidaan, aiheutuu numeerista virhettä, joka voidaan jakaa numeeriseen vaimennukseen ja dispersioon (kts. esim. Laskennallisen virtausmekaniikan perusteet). FLUENTin manuaalissa kiinnitetään huomiota ainoastaan vaimennukseen, jota manuaalissa nimitetään numeeriseksi diffuusioksi. Peruskurssilla todettiin, että varsinainen numeerinen diffuusio, joka muodostaa ns. toisen kertaluvun virhetermin, liittyy aina ensimmäisen kertaluvun paikkadiskretointiin. Toisen kertaluvun paikkadiskretoinnilla aiheutuu neljännen kertaluvun vaimennusta, joka on huomattavasti varsinaista numeerista diffuusiota vaimeampaa. FLUENTissa termin numeerinen diffuusio alla on siis koko numeerinen vaimennus ja implisiittisesti oikeastaan diskretoinnista aiheutuva virhe kokonaan, koska mistään muusta diskretointivirheestä ei puhuta. Kerrataan vielä, että virtausyhtälöissä konvektiotermin diskretointi aiheuttaa numeerista vaimennusta ja dispersiota. Diffuusiotermin diskretointi aiheuttaa lähinnä vaimennusta. Käytännössä diskretointivirhe tulee siis esille monin eri tavoin, ei pelkästään numeerisena vaimennuksena. Seuraavaksi tuodaan esille eräitä numeerisesta virheestä aiheutuvia vaatimuksia laskentahilalle. Jälleen on syytä muistaa, että simuloinnissa halutaan päästä eroon numeerisesta virheestä niin, ettei se ole näkyvissä. Tämä on varsin tapauskohtainen ja epämääräinen käsite. Virheen perusolemuksen vuoksi (paikkadiskretoinnista aiheutuva), se pienenee kun hilaa tihennetään. Tämä on numeerisen laskennan eräitä perussääntöjä. Hilan laadun parantamisella pyrimme siihen, että virhe on merkityksetön mahdollisimman pienellä laskentakoppimäärällä. Virtauslaskennassa on käytännössä perusedellytyksenä käyttää toisen kertalu-

54 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 53 vun diskretointia konvektiotermille (diskretointiin ja muihin termeihin palataan jatkossa). FLUENTissa on mahdollista valita myös ensimmäisen kertaluvun diskretointeja, mutta näitä ei pidä missään tapauksessa käyttää lopputuloksessa. Ensimmäisen kertaluvun diskretointia voidaan käyttää, kun laskenta aloitetaan, ja Fluentissa se onkin itse asiassa oletusarvona. Useissa tapauksissa konvergenssi voi olla aluksi hyvin heikkoa ja tietokoneajot suorastaan kaatuvat. Laskemalla ensimmäisen kertaluvun diskretoinnilla jonkinlainen ratkaisu, voidaan laskentaa ehkä hankalassakin tapauksessa jatkaa tarkemmalla menetelmällä. Jatkossa siis edellytämme, että diskretointi on tehty toisen kertaluvun menetelmällä. Numeerisesta vaimennuksesta putoaa tällöin suurin osa, katkaisuvirheen ns. diffuusiotermi, kokonaan pois. Manuaalin kielellä diffuusio pienenee. Jäljellä on kuitenkin numeerista virhettä, joka voi esiintyä oskillointina tai korkeamman kertaluvun vaimennuksena. Virtausyhtälöillä on sellainen tunnettu piirre, että virhe pienenee, kun virtaus on hilaviivojen suuntaista. Näin numeerinen virhe rakenteellisella hilalla on käytännössä aina pienempi kuin rakenteettomalla, jolla virtaus ei voi koskaan tulla täydellisesti hilaviivojen suunnasta, koska hilassa ei mitään järjestäytyneitä suuntia ole olemassa. Tärkein alue, jossa tätä ominaisuutta voidaan käyttää on rajakerros. Rajakerrosta ei saa diskretoida kolmioita tai tetraedrejä käyttäen, vaan on sovellettava rakenteellista hilaa tai prismoja. Tällöin rajakerroksen alueella hila on rakenteellinen pintaa vasten kohtisuorassa suunnassa. Jos rajakerroksen ulkopuolella käytetään rakenteetonta hilaa, luonnollinen ratkaisu rajakerrokselle on yleensä prismat. Rajakerroksessa koppityyppi vaikuttaa paitsi tarkkuuteen, myös laskentatilavuuksien määrään. Koska edes samalla resoluutiolla ei päästä tässä tapauksessa samaan tarkkuuteen kuin rakenteellisella hilalla, voidaan todeta rakenteeton hila tehottomaksi rajakerroksessa. Rajakerroksen ulkopuolella tilanne saattaa olla päinvastainen ja perustavoitteena rakenteettomassa hilassahan on hankalien geometrioiden mallinnus. Numeeriseen virheeseen palataan vielä jatkossa ratkaisumenetelmien yhteydessä, tarkempi käsittely löytyy alan kirjoista tai laskennallisen virtausdynamiikan kursseilta. Yhteenvetona voidaan kuitenkin todeta, että ratkaisun tehokkuuden ja tarkkuuden vuoksi kannattaa aina generoida rakenteellinen hila, jos se onnistuu käytettävissä olevien resurssien puitteissa. FLUENTin kaltaisella ratkaisijalla kannattaa käyttää myös hybridilähestymistapaa, jossa hankaliin kohtiin käytetään tetredrejä ja muualle rakenteellista verkkoa. Edellä oleva tarkastelu koskee lähinnä konvektiotermin diskretointia, mutta numeerista virhettä aiheutuu myös liikemääräyhtälön kitka- ja energiayhtälön läm-

55 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 54 mönjohtavuustermeistä, jotka ovat muodoltaan diffuusion kaltaisia. Aina ei erilaisia virheitä tietenkään voida erottaa ratkaisussa toisistaan. Esimerkkinä mitä todennäköisimmin kitkatermin diskretoinnin aiheuttamasta virheestä on hilantihentymän kohdalla tapahtuva virtaviivojen luonnoton nykäys kuvassa Kuvan esimerkissä tapahtuu peräkkäisten laskentatilavuuksien dimensiossa liian suuri muutos. Tilannetta voidaan ehkä korjata tarkemmalla diskretointitavalla, mutta toistaiseksi siinä ei ole onnistuttu. Rakenteettoman hilan yhteydessä kitkatermin diskretointi tehdään rakenteellisesta hilasta poikkeavalla tavalla. Miten koppikoon äkillinen muutos silloin vaikuttaa, ei ole tätä kirjoitettaessa tiedossa. Kuva 2.20: Virtaviivat saattavat taipua mutkalle hilassa olevan tihentymän kohdalla. Numeeriset seikat vaikuttavat virheeseen monin eri tavoin. Eräs usein esille tuleva ilmiö sylinterimäisillä kappaleilla on keskipisteen singulaarisen viivan vaikutus. Jotkut ohjelmat eivät pysty käsittelemään singulariteettia, mutta siihen ei ole ratkaisumenetelmästä johtuvia periaatteellisia syitä. Hilassa voi laskentatilavuuden seinä olla aivan hyvin degeneroitunut viivaksi, koska kyseisen seinän läpi ei tällöin virtaa mitään eikä ratkaisujärjestelmä välttämättä koe tilannetta singulaarisena. Periaatteessa seinä voisi olla jopa kutistunut pisteeksi, kuten pallolla vastaavan topologian omaavalla hilalla kävisi. Hyvin usein ratkaisussa näkyy kuitenkin putken tai suihkun akselilla ratkaisussa jonkinlaista anomaliaa, esimerkiksi nopeusprofiilissa voi olla epäfysikaalinen kuoppa. Ilmiö on lähinnä konvergenssista aiheutuva. Luultavasti kyseessä on jonkinlainen iteroinnissa tapahtuva lukittumisilmiö. Kuoppa ehkä häviäisi jos laskentaa olisi mahdollista jatkaa lähes loputtomiin. Parempi keino on

56 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 55 mallintaa putkimaiset geometriat siten, että keskelle tulee kuvan 2.21 mukainen nelikulmainen lohko, jonka ulkopuolella kiertää O-tyyppinen lohko. (Optimaalisinta olisi käyttää keskellä ympyrän ja neliön eräänlaista keskiarvoa). Kuva 2.21: Rakenteellisen hilan singulariteetti kannattaa poistaa kuvassa näkyvällä lohkorakenteella Hilan laadun arvioiminen Koska virtaustilanteet ovat hyvin erilaisia, on käytännössä mahdotonta antaa ohjeita hilan laadun arviointiin, ennen kuin ratkaisu on tehty. Hyvin tärkeää on mallintaa rajakerros oikealla tavalla silloinkin, kun rajakerrosilmiöt eivät varsinaisesti ole kiinnostuksen kohteena, koska pinta kuitenkin vaikuttaa virtaukseen. Jos käytetään pienen Reynoldsin luvun mallia, on dimensiottoman etäisyyden oltava ensimmäisen kopin keskipisteessä noin y + = 1. y + -arvojen laskemiseen tarvitaan leikkausjännitys, jota ei tunneta ennen laskentaa. Sen määrittämiseksi riiittää tuntea rajakerroksen nopeusprofiili, joten jos laskettavalle tapaukselle tunnetaan analyyttinen ratkaisu, on ensimmäisen kopin korkeutta helppo arvioida. Mitä useampi tekijä (turbulenssi, painegradientti) vaikuttaa nopeusprofiiliin, sitä monimutkaisempaa kitkakertoimen ja y + :n määrittäminen on. Monimutkaisissa tapauksissa voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi tasolevyvirtaukselle määritettyjä kitkakerroinkorrelaatioita. Alla on muutama esimerkki yhteyksistä, joitay:n ja y + :n välille voidaan johtaa (kaavat ). Tarkemmat johdot ja lisätietoa löytyy täältä. Blasius-ratkaisun

57 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 56 mukaista kitkakerrointa käyttämällä voidaan laminaarille tasolevyvirtaukselle johtaa ensimmäisen kopin korkeuden jay + :n välille lauseke y(x,re x,y + ) = 1,7355Re 0,75 x xy + (2.2) Turbulentin rajakerroksen sisäsuureiden avulla voidaan määrittää turbulentille tapaukselle kaava y(x,re x,y + ) = 2,0966 ln(0,06re x) xy + Re x. (2.3) Lisäksi laminaarille kanavavirtaukselle voidaan johtaa analyttisen ratkaisun perusteella seuraava yhteys y(h,ν,u average ) = y + hν ( ) 1 2, (2.4) 3u average missähon puolet kanavan korkeudesta, u average keskimääräinen nopeus kanavassa jaν virtaavan aineen kinemaattinen viskositeetti. Turbulentilla virtauksella on ensimmäinen tehtävä ratkaisun hyvyyttä arvioitaessa tarkistaa ensimmäisen tilavuudeny + -arvot, koska niitä ei tiedetä täsmällisesti etukäteen. Laminaarilla virtauksella ensimmäisen tilavuuden korkeuden arviointi perustuu suoraan rajakerroksen tai virtauskanavan paksuuteen kohdassa selostetulla tavalla. Hilan generoinnin jälkeen voidaan sen laatua tarkastella erilaisten dimensiottomien suhdelukujen avulla. Edellä jo esitettiin esimerkki, jossa virtaviivat tekivät epäfysikaalisen mutkan, jos peräkkäisten koppien koon suhde on liian suuri. Nyrkkisäännön mukaan suhde saisi olla korkeintaan luokkaa 1,1...1,2. Hila ei saisi olla myöskään liian vääristynyt. Kolmiointiin on kehitetty algoritmeja, jotka tuottavat melko tasaisia laskentatilavuuksia, joten vääristymät ovat erityisesti rakenteellisen hilan ongelma. GAMBIT tulostaa sekä rakenteellisen että rakenteettoman hilan tapauksessa hilan laatua kuvaavia suureita, jotka ovat seuraavat: Area Aspect ratio Diagonal ratio Edge ratio EquiAngle Skew

58 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 57 Equivolume Skew MidAngle Skew Stretch Taper Volume Warpage Näiden termien määrittely ja sopivat alueet selviävät GAMBITin manuaalista. Rakenteellisella hilalla on mahdollista, että tilavuus (tai pinta-ala 2D tapauksessa) on negatiivinen. Hilan sanotaan tällöin invertoituneen jostain kohdasta. Kontrollitilavuusmenetelmän ratkaisumenetelmä kaatuu, jos tilavuus on negatiivinen. Negatiivista tilavuutta ei tietenkään muutenkaan voitaisi sallia. Joskus hila saattaa olla invertoitunut vaikka tilavuuden laskentakaava antaa positiivisen arvon. (Laskentakaava on mm. Laskennallisen virtausdynamiikan jatkokurssin monisteessa). Tämän vuoksi on olemassa erilaisia hilan vinouden (skewness) mittareita. FLUENTissa, samoin kuin eräissä muissa virtausratkaisijoissa kannetaan myös huolta sivusuhteen (aspect ratio) vaikutuksesta ja sen maksimiarvoksi suositellaq AR = 5. Arvo saattaa olla sopiva rajakerroksen ulkopuolella. Sen sijaan pienen Reynoldsin luvun mallilla sivusuhteelle rajakerroksessa käytetään hyvin yleisesti arvoja, jotka ovat välillä Muuten hilan koko kasvaisi liikaa ja tilanne on onneksi sellainen, että toisessa (pitkän sivun) suunnassa virtaussuureet muuttuvat huomattavasti hitaammin kuin pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa, jolloin sivusuhde ei tuota virhettä ratkaisuun. GAMBIT laskee hilan laatua kuvaavia suureita myös kolmioille ja tetraedreille. Kun valmis laskentahila tuodaan itse ratkaisijaan, suoritetaan vielä hilaominaisuuksien tarkastus ( grid check ) ja tulostetaan hilaa koskevaa statistiikkaa. FLUENTissa, kuten useimmissa ratkaisijoissa, laskentaverkko voidaan tuoda ratkaisijaan myös suoraan jostain sopivasta hilangenerointiohjelmasta (esim. Gridgen, Pointwise tai IGG).

59 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT Hilangenerointimenetelmät Rakenteelliset hilat GAMBITin manuaalista ei saa selville millä menetelmillä varsinainen avaruushila laaditaan. Menettelytavat ovat erilaisia rakenteellisessa ja rakenteettomassa tapauksessa. GAMBITissa on lisäksi erillinen rajakerroksille tarkoitettu menetelmä. Seuraavassa tarkastellaan lyhyesti rakenteellisen verkon generointia ja pääpiirteet kahdesta rakenteettomalle hilalle soveltuvasta keinosta. Ennen avaruushilan tekoa, riippumatta hilatyypistä, suoritetaan hilajako alueen seinillä, mikä on kaksidimensioinen tehtävä. Rakenteellisessa tapauksessa ennen seinien generointia on annettava pistejako seinien syrjillä. Hilan laadinta tapahtuu siis tavallaan kahdessa vaiheessa, joita voi vielä seurata kolmas, saadun verkon tasoittaminen. Yleensä käytetään aina topologialtaan monilohkoisia hiloja. Onnistuneella lohkojen valinnalla vaikutetaan hilan generoinnin helppouteen ja myös itse laskentaan. Hilan laadinta aloitetaan siis jakamalla laskenta-alue lohkoihin (Fluentissa vyöhykkeisiin). Nopein ja paras tapa rakenteellisen hilan generoinnissa on interpolointi. Tätä tapaa nimitetään myös algebralliseksi. Useimmiten käytetään transfiniittia interpolointia. Tämän menetelmän heikkous on siinä, että jos generoitava lohko on huomattavasti vääristynyt, hilaviivat menevät ristiin. Toinen menetelmätyyppi perustuu differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun. Yleisin on elliptinen menetelmä, mutta joissain erikoistilanteissa käytetään myös parabolista tai hyperbolista menetelmää. Differentiaaliyhtälöihin perustuvissa keinoissa hilaviivat muodostavat yhtälön ratkaisun tasa-arvopintoja. Usein itse virtausratkaisu saattaa muistuttaa hieman hilangeneroinnissa käytetyn yhtälön ratkaisua. Tällöin virtausratkaisun tarkkuus periaatteessa voi parantua numeerisen vaimennuksen ollessa vähäisempää, kun virtaus on hilaviivojen suuntaista. Käytännössä näin ei aina käy, mutta sen sijaan differentiaaliyhtälöihin perustuvat menetelmät voivat olla hyvin laskentaintensiivisiä: hilan generointiin saattaa mennä itse virtausratkaisuakin pitempi laskenta-aika. Elliptisellä menettelyllä saadaan periaatteessa aina positiivisia laskentatilavuuksia, mutta hilasta voi tulla omituisen näköinen, mikä yleensä merkitsee myös heikkoa laatua. Yleensä tehdään niin, että hila laaditaan ensin interpoloimalla, jonka jälkeen sitä tasoitetaan elliptisellä keinolla. Tasoittaminen tarkoittaa sitä, että elliptistä menetelmää ei ratkota loppuun vaan tehdään sopiva määrä, joskus vain muu-

60 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 59 tama, iteraatiokierros. Jos tasoittamista jatketaan, hilan laatu helposti huononee ainakin monimutkaisissa kolmidimensioisissa tapauksissa. Hyvin tyypillistä on, että hila löystyy joistakin kohden, esimerkiksi pintojen läheisyydessä, mikä jää helposti huomaamatta. Tämän vuoksi tasoittamisessa on oltava varovainen. FLUEN- Tissa tasoittamista voidaan ja suositellaan käytettäväksi myös rakenteettoman hilan yhteydessä Rakenteettomat hilat Aikaisemmin on jo tuotu esille rakenteettoman hilan edut: automaattinen, vain positiivisia koppeja tuottava hilangenerointi ja mahdollisuus kytkeä ratkaisuun hilan adaptiivisuus. Hilan generointiin on käytettävissä kaksi päämenetelmää: etenevän rintaman menetelmä ja Delaunayn kolmiointi. Kuva 2.22: Etenevän rintaman menetelmän vaiheet. Etenevän rintaman tekniikassa lähdetään alueen reunan pistejakaumasta ja generoidaan hilaa sisäänpäin kunnes koko alue on kolmioitu. Tekniikka soveltuu sekä kolmio- että tetraedrihilojen generointiin, kuten myös Delaunayn kolmiointi. Aluksi rintamaksi valitaan alueen reunaviiva/pinta. Aina kun uusi kolmio lisätään rintaman

61 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 60 sisäpuolelle muuttuu rintamaviiva vastaavasti. Algoritmia jatketaan kunnes rintama on tyhjä (kts. kuva 2.22). Uusi piste sijoitetaan alueeseen jonkin kriteerin mukaan. Voidaan esim. haluta mahdollisimman tasasivuinen kolmio (tai sopivasti litistynyt). Rintaman generoinnissa on lukuisia teknisiä kysymyksiä, joista on huolehdittava. Tulee esim. tarkistaa, että uusi piste todellakin on virtausalueen sisällä. Uusi piste ei myöskään saa olla minkään jo generoidun kolmion alueella. Tietyissä tapauksissa on ratkaistava generoidaanko uutta pistettä lainkaan vai yhdistetäänkö vain viereiset pisteet jne. Kuva 2.23: Delaunayn kolmiointi. Toinen tapa, Delaunayn kolmiointi, on menetelmä jo olemassa olevien hilapisteiden kolmioimiseksi. Delaunayn kolmioinnin geometrinen duaali Dirichlet n monikulmiointi (käytetään myös nimitystä Voronoin monikulmiointi) saadaan siten, että jokaiseen hilapisteeseen liitetään se alue, joka on lähempänä tätä hilapistettä kuin mitään muista hilapisteistä. Näin muodostuvat alueet ovat muodoltaan konvekseja monikulmioita, jotka eivät leikkaa toisiaan (ns. Voronoin alueet). Delaunayn kolmiot saadaan yhdistämällä suorilla viivoilla toisiinsa ne hilapisteet, joilla on keskenään yhteinen tahko. Delaunayn kolmioinnilla on kahdessa ulottuvuudessa ns. kulmien tasaamis -ominaisuus. Tarkastellaan kolmiopareja, joilla on yhteinen sivu. Delaunayn kolmiointi on se kolmiointi, joka kaikille tällaisille kolmiopareille maksimoi kuuden sisäkulman minimin. Delaynayn kolmioinnilla on myös ns. sivuajaympyräominaisuus, jolloin mielivaltaisen kolmion kulmien kautta piirretyn ympyrän sisään ei jää muita hilapisteitä. Kuvassa 2.23 on vasemmalla Voronoin diagrammi ja Delaunayn kolmiointi sekä yksi sivuajaympyrä. Oikeanpuoleisessa kuvassa Delaunayn kolmiointi maksimoi kolmioparin kuuden sisäkulman minimin. Oikeanpuolisen kuvan nelikulmio on siis kolmioitu siten, että pienin kuudesta sisäkulmasta on suurempi (tai yhtä suuri) kuin pienin niistä kuudesta sisäkulmasta

62 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 61 jotka muodostuisivat, jos nelikulmio kolmioitaisiin toisen lävistäjänsä avulla (katkoviiva). Edellä mainittuun sivuajaympyräominaisuuteen perustuu Bowyerin algoritmi (käytetään myös nimitystä Watsonin algoritmi). Bowyerin algoritmissa lähdetään jo olemassa olevasta Delaunayn kolmioinnista, joka peittää kaikki kolmioitavat pisteet (esim. yksi valtaisa kolmio). Olemassa olevaan kolmiointiin tuodaan hilapisteitä lisää yksi kerrallaan (kts. kuva 2.24). Kohdassa a) meillä on Delaunayn kolmiointi. Tähän tuodaan yksi piste lisää ja merkitään ne kolmiot joiden sivuajaympyrän sisään tämä piste jää (kohta b). Merkityt kolmiot tuhotaan (kohta c). Näiden kolmioiden paikalle syntyy tällöin konveksi monikulmio, johon muodostetaan uusi kolmiointi yhdistämällä uusi piste monikulmion kaikkiin kärkiin (kohta d)). Bowyerin algoritmin laskennallinen vaativuus on kahdessa ulottuvuudessa suurin piirtein lineaarinen hilapisteiden lukumäärän suhteen. a) b) c) d) Kuva 2.24: Bowyerin algoritmi. Delaunayn kolmiointi ei alunperin ollut varsinaisesti hilangenerointimenetelmä. Näin ei olekaan mitään syytä, että menetelmä tuottaisi hilan joka yhtyy alueen reunaan. Reunan hilapisteet ovat kyllä reunalla, mutta ne on kolmioitu siten, että kolmioiden reunat eivät yhdy alueen reunaan. Tämän vuoksi menetelmää onkin modifioitava. Kaksi tunnetuinta menetelmää tähän on vaihtaa kolmiointia lokaalisti reunan lähellä (swap edges). Toinen tapa on lisätä pisteitä (add points) siten, että uutta pistejoukkoa vastaava kolmiointi sovittuu reunaan. Reunan sovitus on tehtävä joka tapauksessa, koska kolmiointihan aloitettiin koko alueen peittävästä teennäisestä

63 2.5. PINTOJEN GENEROINTI 62 aloituskolmiosta, josta tietenkin syntyy alueen ulkopuolisia kolmioita, jotka on tuhottava. Periaatteessa Delaunayn kolmiointi on siis menetelmä jo olemassa olevan pisteistön kolmioimiseksi. Menetelmää on kuitenkin kehitetty siten, että pisteet voidaan generoida hilangeneroinnin yhteydessä. Delaunayn kolmiointi pyrkii aina antamaan mahdollisimman säännöllisiä kolmioita. Joissain tapauksissa kuitenkin ehkä halutaan tiettyyn suuntaan venyneitä koppeja. Tähänkin on kehitetty toimiva menettely. 2.5 Pintojen generointi Edellä on keskitytty itse laskentahilan ominaisuuksiin ja sen laadinnassa esille tuleviin seikkoihin. Ennen kuin tähän päästään, on esikäsittelijälle määriteltävä laskentaalueen geometria. GAMBIT on oikeastaan enemmän geometrian määrittelyssä käytettävä työkalu kuin varsinainen hilan generointiohjelmisto. (Ainakin manuaalin sivumäärän perusteella). Virtauslaskijalle helpoin tapa määritellä geometria on saada se CAD-ohjelmistosta sopivassa, esimerkiksi IGES-formaatissa. IGES (Initial Graphics Exchange Specification) lienee edelleen yleisin geometriansiirtoformaatti, vaikka sen korvaamisesta uudemmalla STEP-standardilla (Standard for Exchange of Product Definition Data) on puhuttu jo pitkään. STEP-standardiin on ollut tarkoitus sisällyttää määrittelyt myös simulointitulosten siirtämiseksi eri ohjelmien välillä. Lähes kaikki hilangenerointiohjelmat lukevat IGES-tiedostoja, mutta tavallisesti ne tunnistavat vain osan IGESin lukuisista elementtityypeistä. Kun pinnat saadaan IGES-formaatissa, mitään geometrian määrittelyvaihetta ei enää varsinaisessa simulointitehtävässä tarvita. Laskenta-alueen rajaaminen ja yksinkertaistus saattavat kuitenkin tämän jälkeen olla vielä varsin työläitä operaatioita. Jos CAD-mallia ei ole olemassa, on turvauduttava GAMBITin määrittelyominaisuuksiin, mikä on työlästä. Geometria kuvataan pisteillä, käyrillä ja pintatilkuilla. Yksinkertaisessa kaksidimensioisessa tilanteessa suora voidaan määritellä yhtälöllä y = ax+b (2.5) missä a on suoran kulmakerroin. Jos tunnetaan kaksi pistettä, joiden kautta suora

64 2.5. PINTOJEN GENEROINTI 63 kulkee, saadaan suoran yhtälöksi Ympyrä, jonka keskipiste on(a,b) ja säder y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 )+y 1 (2.6) (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 (2.7) saadaan määritetyksi kolmen pisteen avulla. Jos ympyrän kaari tai jana halutaan kuvata tietokoneen ymmärtämällä tavalla, voidaan valita aina kaksi pistettä siten, että ne ovat samalla käyrän päätepisteet. Splinit ovat monimutkaisempia käyriä, jotka myös voidaan määritellä avaruudessa olevien pisteiden avulla. Yleensä pisteitä on neljä tai enemmän, mutta niiden ei tarvitse olla itse käyrän pisteitä. Kolmidimensioisissa tapauksissa voidaan käyttää erillisistä pinnan osista koostuvaa rautalankamallia. Tällöin pintoja rajaavat käyrät tunnetaan ja pinta määräytyy jollain tavoin rajakäyristä. Kaikkein yksinkertaisimmissa tilanteissa pinta voi olla esimerkiksi taso tai sylinteripinta. Monimutkaisempia keinoja ovat: Lukuisten yksinkertaisten pintatilkkujen käyttö. Esimerkiksi laskentahila kuvaa pinnat joko kolmion tai neliön muotoisilla yksittäisten laskentatilavuuksien pinnoilla. (Laskennassa pinnat koostuvat aina murtoviivoista, mikä on syytä aina muistaa geometrian kuvauksen tarkkuutta arvioitaessa). Sellaista määrittelyä, jossa pelkkä rajakäyrien informaatio määrittää yksikäsitteisesti pinnan, sanotaan Coons-pinnaksi. Rajakäyrien välille voi periaatteessa sijoittaa äärettömän monta pintaa, mutta vain yhden Coons-pinnan. Coons-pinta ei siis käytä tietoa pinnan sisäosista. Bézier-polynomeilla voidaan kuvata monimutkaisempia (käyrempiä) pintoja. Muodon määrittelyssä käytetään tietoa myös pinnan sisäosista, ei pelkästään rajoilta. Bézier-pinnat kehitettiin aikoinaan Renaultille uusien autojen suunnittelun apuvälineiksi. NURBS (non-uniform rational B-spline surfaces) ovat samantapaisia kuin Bézier pinnat, mutta käyrät, joita käytetään pintojen määrittelemiseen, perustuvat eri pisteisiin kuin Bézier-käyrät. Käyrien päätepisteet vain approksimoidaan, mutta pisteet, joiden avulla polynomit määritetään, varmistavat, että päätepisteissä käyrien ensimmäiset ja toiset derivaatat ovat jatkuvia.

65 2.6. LASKENTAHILAN VALINTA 64 Pintojen ja käyrien määrittely voi siis tapahtua monella tavoin. Yllä olevan kaltaisia tapoja sisältyy CAD-standardeihin. CFD-laskijan ei onneksi tarvitse tuntea pinnan määrittelytapoja kovin tarkasti, riittää tietää ymmärtääkö ohjelma käytössä olevaa standardia. Aina näin ei ole ja joudutaan käyttämään apuohjelmaa, joka muuttaa geometrian kuvauksen haluttuun muotoon. Hyvin keskeinen hilangenerointiohjelmien ominaisuus on niiden kyky projisoida hila suunnittelijan määrittelemälle pinnalle. Tavallisimmin projisointi tehdään laskemalla generoidun hilan solmupisteisiin normaalit ja siirtämällä solmuja normaalien suuntaan kunnes ne osuvat halutulle pinnalle. Vaihtoehtoisesti käyttäjä voi määritellä suunnan, johon kaikkia solmuja siirretään. Jälkimmäinen tapa toimii yleensä paremmin silloin, kun hilan solmut sijaitsevat kaukana pinnasta, jolle ne halutaan. Myös pintahilaa tasoitettaessa solmut tavallisesti erkanevat mallitettavan geometrian pinnalta. Tasoittamisen jälkeen onkin aina tehtävä solmujen projisointi. Poikkeuksen muodostavat tasomaiset pinnat, joilla solmut yleensä pysyvät tasoittamisesta huolimatta kohtuullisen hyvin. Erityisen tarkkana kannattaa kuitenkin olla symmetriatasojen kanssa. Pienetkin solmujen poikkeamat symmetriatasosta voivat johtaa virtausratkaisuun, jossa tapahtuu virtausta symmetriatason läpi. Sylinterimäiset pinnat ovat myös erikoistapaus. Joillekin tasoittajille voidaan määritellä säde, jolla solmujen on tasoituksen aikana pysyttävä. GAMBITiin pinnat voidaan antaa ACIS- tai IGES-standardin mukaisina. On myös mahdollista antaa pintahila tai jo valmiit avaruushilat, jotka on generoitu jollain muulla ohjelmalla. Eräiden rakenneanalyysissä käytettyjen ohjelmistojen, kuten I-DEAS tai PATRAN, osalta voidaan todeta niiden soveltuvan paremmin pintojen määrittelyyn tai pintahilojen tekoon. Rakenteellisten avaruushilojen laadinnassa niiden käyttöä virtaustehtäviin ei voi suositella ja todennäköisesti ne eivät tuota myöskään laadukkaita rakenteettomia verkkoja. Tämä johtuu siitä, ettei ohjelmia alun perin ole suunniteltu siten, että virtausratkaisun erityispiirteet otettaisiin huomioon. 2.6 Laskentahilan valinta Tässä luvussa ja johdannossa on tuotu esille joitain hilatyypin valintaan liittyviä tekijöitä ja erityisesti korostettu virtaustilanteen tuntemuksen tärkeyttä koko esikäsittelyvaiheessa. Kerrataan seuraavassa lyhyesti joitain pääperiaatteita:

66 2.7. KERTAUS 65 valinta rakenteellisen ja rakenteettoman hilan välillä on tehtävä harkiten. On muistettava, että rakenteellinen on yleensä tarkempi ja tehokkaampi laskennassa, mutta hankalampi esikäsittelyssä. FLUENTissa on mahdollista käyttää eri hilatyyppejä sekaisin, mikä on hyvä käytännön kompromissi. laskenta-alueen reuna on vietävä sellaiselle etäisyydelle, ettei reunaehtojen valinta tuota ongelmia. Reunoilla olevien häiriöiden ei pidä enää vaikuttaa tärkeällä osuudella laskenta-aluetta. Symmetria- ja periodisia reunoja kannattaa suosia. käytännössä hilat ovat aina liian harvoja. On pyrittävä siihen, että jonkinlainen konvergenssitarkastelu hilatiheyden suhteen on mahdollista ja muistettava, että annetut yhtälöt ratkeavat tarkasti vasta kun tulos ei enää hilaa tihentäessä muutu. 2.7 Kertaus HILAN LAADINNASSA MUISTETTAVAA: tärkein ja työläin vaihe simuloinnissa hyvälaatuinen hila vaikuttaa paitsi ratkaisun virheeseen myös konvergenssinopeuteen hilassa on otettava huomioon sekä resoluutio ja että numeerinen tarkkuus numeerinen virhe koostuu vaimennuksesta ja dispersiosta, joista vaimennusta nimitetään FLUENTissa numeeriseksi diffuusioksi. Numeerinen virhe lähenee nollaa, kun hilatiheyttä kasvatetaan. Hilan laatu vaikuttaa siihen, miten nopeasti virhe pienenee hilaa tihennettäessä hilatiheyden on oltava sellainen, että haluttu ilmiö voidaan sillä saada esille kaarevilla pinnoilla on hilaa tihennettävä virtauksen suunnassa laminaarilla virtauksella käytetään tasaista tai lievästi tihennettyä hilaa, jossa ensimmäisen tilavuuden korkeus arvioidaan rajakerroksen paksuuden avulla turbulentilla rajakerroksissa pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa koppikoko määräytyy sopivistay + -arvoista, jotka riippuvat turbulenssimallista

67 2.7. KERTAUS 66 tihentäminen on tehtävä vähitellen, koppikoon äkillinen muutos saattaa tuottaa jopa epäuskottavan näköisen tuloksen pienen Reynoldsin luvun mallilla on hyvä käyttää pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa muutama tasakokoinen koppikerros ja sen jälkeen aloittaa varovainen tihentäminen. Rajakerrokseen kuluu kerrosta. suuren Reynoldsin luvun mallilla voidaan säästää hilatiheydessä, mutta tulos saattaa olla epäluotettava pinnan lähellä rakenteettomalla hilalla on käytettävä kiinteiden pintojen läheisyydessä prismoja käytä rakenteellista hilaa, jos se on mahdollista työajan puitteissa ja geometria antaa myöden sylinterimäisissä tapauksissa on vältettävä singulaarista akselia katkaisuvirheen häiritsevin osuus koostuu numeerisesta vaimennuksesta. Hilaviivojen suunnalla on tällöin merkitystä. esikäsittelijä (GAMBIT) tuottaa hilan laatua kuvaavia parametreja, joita kannattaa seurata ja opetella niiden merkitystä käytännön kokemusten avulla laatimisen jälkeen kannattaa usein suorittaa muutama tasoituskierros ratkaisija (FLUENT) suorittaa hilan lopullisen arvioinnin ja tulostaa hilaa kuvaavaa statistiikkaa osana tulosten analysointia tarkistettava ainay + -arvot kiinteiden pintojen lähellä rakenteellisten hilojen generoinnin perusalgoritmi on interpolointi differentiaaliyhtälöihin pohjautuvia menetelmiä käytetään yleensä tasoittajina rakenteettomia hiloja generoidaan etenevän rintaman menetelmällä ja Delaunayn kolmioinnilla Delaunayn kolmiointi maksimoi kolmioparille kuuden sisäkulman minimin ja kolmioinnilla on sivuajaympyräominaisuus

68 2.7. KERTAUS 67 Bowyerin algoritmi pintojen kuvaustavat esikäsittely voidaan jakaa moniin vaiheisiin. Ensin luodaan pinnat, sen jälkeen pintahilat ja lopuksi avaruushilat. Päivitetty

69 68 3 Virtausyhtälöt ja niiden reunaehdot 3.1 Virtausyhtälöt Yleistä Fysikaalisten ilmiöiden numeerisessa simuloinnissa on kyse ilmiötä kuvaavien yhtälöiden numeerisesta ratkaisemisesta. Yleensä nämä yhtälöt ovat luonteeltaan osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joita joudutaan eräiltä osin mallintamaan. Virtaussimuloinnissa tärkein mallinnettava asia on turbulenssi, mutta usein laskentaan liitetään suuri määrä muitakin malleja esimerkiksi reaktiivisten virtausten osalta. Ohjelmissa ratkaistaan Navier-Stokes -yhtälöitä. Alunperin termillä tarkoitettiin liikemäärän säilymisyhtälöä, mutta virtauksen kuvaamisessa tarvitaan ainakin massan säilymisen periaatetta (jatkuvuusyhtälöä) ja usein myös energian säilymisyhtälöä. Numeerisista malleista puhuttaessa termillä Navier-Stokes -yhtälöt tarkoitetaan yleensä koko yhtälöryhmää ja tätä käytäntöä noudatetaan myös jatkossa. Ohjelmissa on yleensä taseyhtälö myös kiinteän aineen lämmönjohtumiselle. Itse asiassa kyseessä on sama energian säilymisen laki, jota käytetään myös virtaavalle väliaineelle. Massan, energian ja liikemäärän säilymistä koskevat periaatteet muodostavat hyvinkin erilaisissa tilanteissa fysikaalisen mallinnuksen taustan. Joissakin virtausratkaisijoissa on mukana myös Maxwellin yhtälöt, jotka voidaan ratkaista samantyyppisillä menetelmillä kuin virtausyhtälötkin. Tällöin voidaan laskea ns. magnetohydrodynaamisia probleemoita. Käydään seuraavaksi läpi FLUENTissa käytetyt yhtälöt. Yhtälöiden johtaminen tehdään virtausopin kursseissa eikä siihen puututa tässä yhteydessä kuin kvalitatiivisesti. Yhtälöistä puhuttaessa kannattaa pitää mielessä niiden ratkaisutapa, kontrollitilavuusmenetelmä, jossa käytetään aina integraalimuodossa olevia lähtöyhtälöitä.

70 3.1. VIRTAUSYHTÄLÖT 69 ds ds V S dv Kuva 3.1: Äärellisen kokoinen kiinteä kontrollitilavuus. Siten esimerkiksi kuvan 3.1 kiinteälle ja äärelliselle tilavuusalkiolle pätee samanlainen massan säilymisen periaate kuin infinitesimaalisen pienelle tilavuudelle tai yhdelle laskentakopille. Tilavuuden pinnalla olevan pinta-alkion läpäisee massavirta ρv n ds, missä V n on pintaa vastaan kohtisuora nopeus ja ρ tiheys. Massavirralle pätee ρv n ds = ρ V d S (3.1) jolloin kokonaismassavirraksi pinnan läpi saadaan B = ρv ds (3.2) S Tasealueen sisällä olevassa infinitesimaalisen pienessä osatilavuudessa oleva massa on ρdv. Kokonaismassa saadaan integroimalla koko tasealueen yli. Saadun kokonaismassan muutosnopeus on sama kuin pinnan läpi kulkeva massavirta. Tästä saadaan massataseeksi V Sρ ds = ρdv (3.3) t V Miinusmerkki tulee siitä, että virtausnopeus oletettiin positiiviseksi tasealueesta ulospäin, jolloin se pienentää alkion sisältämää massaa. Yhtälö (3.3) voidaan kirjoittaa myös muotoon ρdv + t V ja soveltamalla Gaussin lausetta S ρ V d S = 0 (3.4) ρdv + ρvdv t = 0 (3.5) V V Tästä yhtälöstä havaitaan, että massan säilymisen periaate voidaan lausua myös differentiaaliyhtälön avulla ρ t + ρ V = 0 (3.6)

71 3.1. VIRTAUSYHTÄLÖT 70 Yllä olevasta johdosta voidaan havaita, että ratkottaessa integraalimuotoisia yhtälöitä, ollaan tavallaan lähempänä itse fysikaalista periaatetta kuin differentiaaliyhtälössä (3.6), joka toteutuu, kuten differentiaaliyhtälöt yleensäkin, vasta rajalla dv 0. On kuitenkin muistettava, että vaikka FLUENTin kaltainen ohjelma toteuttaa konvergoituneen ratkaisun yhteydessä aina pohjalla olevat säilymisperiaatteet, se ei tee ratkaisusta tarkkaa. Integraalimuotoisenkin yhtälön ratkaisu tasetilavuuksia pienentämällä siis lähestyy differentiaaliyhtälön ratkaisua. (Oikeastaan integraalimuotoinen ratkaisu on differentiaaliyhtälön ns. heikko ratkaisu,. Hilaa tihennettäessä vasta rajalla, jossa ratkaisu ei enää oleellisesti muutu, ratkotaan differentiaaliyhtälöä riittävällä tarkkuudella. Kuten aiemmin todettiin tarkkuusvaatimus on tapauskohtainen, mutta aina on syytä pitää mielessä, että jos laskentahila on liian harva, numeerinen ratkaisu ei ole taustalla olevan yhtälöryhmän ratkaisu Navier-Stokes yhtälöt Integraalimuotoisuus antaa mahdollisuuden soveltaa yhtälöä minkä muotoisille laskentatilavuuksille tahansa. Laskentakoppien eri muotoja oli esillä kuvassa 2.6. Esimerkiksi FLUENTin manuaalissa yhtälöt kirjoitetaan differentiaalimuodossa, mikä ei tarkoita, että ratkaisu perustuisi sen muotoisiin yhtälöihin. Massan säilymisyhtälö kirjoitetaan manuaalissa seuraavaan tensorimuotoon ρ t + (ρu i ) = S m (3.7) x i missä on käytetty summauksen lyhennysmerkintää (kaksi samaa indeksiä tarkoittaa summausta kyseisen indeksin suhteen). Yhtälössä S m on lähdetermi, jonka avulla voidaan mallintaa erilaisia asioita. Periaatteessa Navier-Stokes yhtälö tarkoittaa vain liikemäärän säilymislakia virtaavalle aineelle, vaikka nykyisin nimitys usein yhdistetään kolmen perusyhtälön (jatkuvuus, liikemäärä ja energia) ryhmään. Liikemääräyhtälö nopeuskomponentilleu i on ρu i t + x j (ρu i u j ) = p x i + τ ij x j +ρg i +F i (3.8) missäp on staattinen paine,τ ij jännitystensori,ρg i gravitaatiosta aiheutuva voima ja F i sisältää muut voimat, jotka voivat muodostua esimerkiksi koordinaatiston kiihtyvästä liikkeestä, sähkö- ja magneettikentästä tai väliaineen huokoisuudesta. Liikemääräyhtälöitä ratkaistaan 2-3 kappaletta riippuen tehtäväasettelun dimensioista.

72 3.1. VIRTAUSYHTÄLÖT 71 Jännitystensori annetaan FLUENTin manuaalissa täydellisessä muodossa τ ij = [ µ ( ui + u )] j 2 x j x i 3 µ u l δ ij (3.9) x l missä µ on molekylaarinen viskositeetti. Manuaalin tietojen perusteella ei voi päätellä yksinkertaistetaanko kitkatermiä ohjelman sisällä. Usein yhtälön (3.9) toinen termi voidaan pudottaa pois. Koska FLUENTilla on mahdollista ratkaista myös kokoonpuristuvia yhtälöitä, jolloin tällä termillä saattaa olla merkitystä, se esitetään ainakin manuaalissa. Manuaalissa on myös jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöiden aksiaalisymmetriset muodot. Näiden tarkoitusperä on epäselvä, koska aina voidaan käyttää karteesisia nopeuskomponentteja. Säilymismuotoinen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa Gaussin lauseen avulla integraalimuotoon (3.4) ja päinvastoin. Virtausratkaisijassa pintaintegraalin alle muodostuvaa lauseketta ns. vuota, approksimoidaan summalla laskentakopin pintojen yli. Vuo koostuu kitkattomasta osasta (ns. Eulerin yhtälöistä) ja diffuusio-osasta, johon kuuluvat kitka- ja lämmönsiirtotermit. Energian säilymisyhtälö voidaan kirjoittaa moneen muotoon ja sitä usein approksimoidaan. Koska FLUENTissa on mahdollista ratkoa isotermisiä virtauksia, energiayhtälön voi jättää poiskin. Kokoonpuristuvan ratkaisun tapauksessa (FLUEN- Tissa ns. tiheyspohjainen ratkaisu on tällainen) energiayhtälö on sen sijaan oltava aina mukana. Energiayhtälön yleinen muoto, jota FLUENTissa sovelletaan on ρe t + (ρu i (E +p/ρ)) = k T h j J j +u j τ ij +S h (3.10) x i x i x i j missäe on kokonaisenergia,k lämmönjohtavuus,t lämpötila,j j on nesteen komponentinj diffuusiosta aiheutuva vuo. FLUENTissa oletetaan energiayhtälön kohdalla automaattisesti, että virtaava aine on useamman nesteen seos, jonka komponenteilla tapahtuu diffuusiota. Jos virtaava aine on esimerkiksi ilmaa, voidaan tämä diffuusiovuo jättää pois. Useamman aineen seoksella täytyy pitoisuudet ja sen avulla massaosuudet laskea eri komponenteille. Energiayhtälössä on myös lähdetermi S h, johon kuuluu automaattisesti liikemääräyhtälön tilavuusvoimien tekemä työ. Siihen voi kuulua myös kemiallisista reaktioista vapautunut lämpö ja sen avulla voidaan mallintaa eräitä muitakin käyttäjän spesifioimia seikkoja yhdessä jatkuvuus- ja liikemääräyhtälön kanssa. Yhtälössä (3.10) E on kokonaisenergia, joka voidaan lausua ominaissisäener-

73 3.1. VIRTAUSYHTÄLÖT 72 gianetai entalpianhavulla seuraavasti E = e+ V 2 2 = h p ρ + V 2 2 (3.11) Entalpian käsittelyssä on eroja kokoonpuristuvan ja -puristumattoman virtauksen välillä. Energiayhtälö on oikeastaan monimutkaisempi kuin liikemääräyhtälö. Sen yhteydessä voidaan tehdä monia approksimaatioita, esimerkiksi jättää termejä pois, jotka joissain toisissa tilanteissa ovat tärkeitä. Laskennan suorittajan on siis oltava tarkkana näiden eri vaihtoehtojen ja ohjelman valikossa olevien optioiden suhteen. Seuraavassa eräitä huomionarvoisia seikkoja: hitaan virtauksen alueella vuo-termissä oleva paineen tekemä työ ja kineettisen energian osuus ovat usein pieniä. Tämän vuoksi FLUENTin ratkaisija automaattisesti pudottaa nämä pois kokoonpuristumattoman virtauksen tapauksessa. Termit voidaan aktivoida käyttäen tekstikomentoa Define/Models/Energy. Käyttäjän on syytä arvioida näiden termien merkitys. Tiheyspohjaisessa ratkaisussa termit ovat aina mukana. kitkallinen dissipaatiou j τ ij on usein pieni ja sekin on oletusarvoisesti poistettu painepohjaisen ratkaisijan yhteydessä. Kun Brinkmanin luku, Br, lähestyy ykköstä, on dissipaation osuus merkittävä. Luku määritellään Br = µu2 e k T (3.12) missä T edustaa laskenta-alueessa olevaa maksimi lämpötilaeroa. Käyttäjän on siis syytä arvioida Brinkmanin luvun suuruus ja mikäli se on ykkösen suuruusluokkaa tai isompi on aktivoitava Viscous Heating optio Viscous Model paneelissa. Jos tiheyspohjaista ratkaisijaa käytetään, dissipaatiokin on automaattisesti mukana. eri komponenttien diffuusiovuo j h j J j on oletusarvoisesti kytketty pois. Termi on mahdollista kytkeä mukaan Species Model paneelin alta. Tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä termi on aina mukana. lähdetermiin S h voidaan yhdistää reaktioista syntyvä lämpö, säteilyn osuus ja monifaasivirtauksilla faasien välinen lämmönsiirto. Näiden termien takana voi olla hyvinkin monimutkaiset mallit.

74 3.1. VIRTAUSYHTÄLÖT Kiinteän aineen energiayhtälö FLUENT ratkaisee energiayhtälön kiinteille aineille hieman totutusta poikkeavassa muodossa missä ρh t + u iρh = ( k T ) +q (3.13) x i x i x i h = T T ref c p dt (3.14) on entalpia ja q lämmönkehitys tilavuusyksikköä kohden. Yhtälössä on mukana myös virtausnopeus u i, jota kiinteälle vyöhykkeelle ei lasketa, vaan annetaan syöttötietona. FLUENTissa on mahdollista antaa materiaaleille myös epäisotrooppinen lämmönjohtavuus, jolloin lämpövuo tulee muotoon ( ) T k ij x i x j missäk ij on lämmönjohtavuutta kuvaava matriisi. (3.15) Nosteen ajamat virtaukset Nostevoima on tärkeä, jos Reynoldsin ja Grashofin lukujen suhde Gr Re = ρgh (3.16) 2 ρu 2 ylittää arvon yksi. Vastaavasti, jos suhde on << 1 nosteella ei ole merkitystä. Jos kyseessä on pelkkä luonnollinen konvektio, niin sen voimakkuutta voidaan mitata Rayleigh n luvulla Ra = gβ TL 3 ρ/µα (3.17) missäβ on lämpölaajenemiskerroin ja α = k/ρc p terminen diffusiviteetti. Nosteen ajama virtaus on laminaaria jos Ra < 10 8 ja transitio turbulenttiin virtaukseen tapahtuu välillä10 8 < Ra < Luonnollisen konvektion virtauksissa paine- ja tiheyserot ovat hyvin pieniä. Tällöin on mahdollista käyttää ns. Boussinesqin mallia, jossa tiheydelle käytetään vakioarvoa, mutta tiheyden muutosten aiheuttama noste otetaan huomioon lämpölaajenemiskertoimen avulla. Liikemääräyhtälöstä vähennetään hydrostaattinen paine ρ 0 gh, mikä mahdollistaa tarkastella vain paine-eroja hydrostaattiseen paineeseen nähden. Samalla voidaan gravitaatiotermiä yksinkertaistaa (ρ ρ 0 )g ρ 0 β(t T 0 )g (3.18)

75 3.2. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN LUONNE 74 missä T 0 on valittu referenssilämpötila. Approksimaatio on tarkka, kun tiheyserot ovat pieniä. Jos Boussinesqin mallia ei käytetä, on käyttäjän silti annettava referenssitiheys ρ 0, jotta voidaan käyttää hydrostaattisesta paineesta puhdistettua painetta. Tämä sen vuoksi, että hydrostaattinen paine on kuitenkin iso verrattuna muulla tavoin syntyneisiin paine-eroihin nähden. Numeerinen laskenta tulee tällä tavoin paremmin käyttäytyväksi. 3.2 Virtausyhtälöiden luonne Virtausyhtälöiden luonnetta käsitellään laskennallisen virtausdynamiikan kursseissa. Yhtälöt käyttäytyvät matemaattisesti eri tavoin riippuen virtaustilanteen asettelusta. Ilman kitka- ja lämmönsiirtotermejä olevat Eulerin yhtälöt muodostavat ns. hyperbolisen ryhmän. Tällöin yhtälöllä on ns. karakteristikat, jotka kuvaavat infor- C C 0 ylisooninen ulosvir taus P C P t C + C 0 ylisooninen sisäänvirtaus C x x = x 0 x = x 1 C C0 alisooninen ulosvir taus C P C P t C + C alisooninen 0 sisäänvirtaus x x = x 0 x = 1 x Kuva 3.2: Hyperbolisen yhtälön reunaehdot määräytyvät karakteristikoiden suunnista. maation kulkusuuntia laskenta-alueessa. Tieto voi kulkea laskenta-alueessa paineaaltojen ja konvektion avulla ja karakteristiset suunnat aika-paikka-avaruudessa liittyvät näihin ilmiöihin. Laskenta-alueen reunoilla voidaan karakteristisista suunnista päätellä tarvittavien fysikaalisten reunaehtojen määrän. Kuvassa 3.2 nähdään karakteristikoiden suunnat erilaisissa sisään ja ulosvirtaustilanteissa. Fysikaalinen reunaehto on annettava, jos karakteristika suuntautuu laskenta-alueeseen päin. Jos

76 3.3. REUNAEHDOT 75 karakteristika on alueesta ulos, fysikaalista reunaehtoa ei voida antaa, koska tilanne tulisi tällöin ylispesifioiduksi. Laskentatehtävän sanotaan tällöin olevan huonosti asetetun. Koska laskennassa kuitenkin tarvitaan reunaehtoja, tulee ne tällöin korvata ns. numeerisilla reunaehdoilla. Tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi, kun yhtälöissä on mukana kitka- ja lämmönsiirtotermit. Liikemäärä- ja energiayhtälö ovat tällöin ns. parabolista tyyppiä, jatkuvuusyhtälö on hyperbolinen. Jos yhtälöistä pudotetaan aikaderivaatat pois eli lasketaan suoraan tasapainotilan virtausta, yhtälöiden luonne muuttuu elliptiseksi. Reunaehtojen asettaminen riippuu yhtälön tyypistä, joten reunaehdot on annettava eri tilanteissa eri tavoin. Myös sillä on merkitystä käytetäänkö tiheys- vai painepohjaista ratkaisijaa. Painepohjaisella ratkaisijalla on mm. sellainen ominaisuus, että paine ei ratkea yhtälöistä eksplisiittisesti, ainoastaan paine-erot. Painekorjaus on periaatteeltaan kokoonpuristumattomien yhtälöiden ratkaisumenetelmä. Siinä tapauksessa yhtälö on aina elliptistä tyyppiä, vaikka se olisi ajasta riippuva. Fysikaalisesti elliptinen voidaan tulkita siten, että informaatio kulkee äärettömän nopeasti. Laskenta-alueen jokainen laskentapiste vaikuttaa tällöin toisiin laskentapisteisiin. Paineelle voidaan johtaa elliptinen ns. Poisson-yhtälö. Vaikka virtaustyypistä käytetään nimitystä elliptinen, yhtälöissä on myös muunlaisia piirteitä. Virtauksen suunnassa tulee informaatiota, joten yhtälöillä on edelleen osittain hyperbolinen luonne. Siten esimerkiksi virtaavan nesteen lämpötila tulee antaa sisäänvirtauksessa, muttei samalla tavoin ulosvirtauksessa. Lämpötilan spesifiointi siellä tulee korvata numeerisella ehdolla (tähän tilanteeseen palataan jatkossa). 3.3 Reunaehdot Reunaehtotyyppejä Reunaehtojen antaminen on tärkeä osa virtaussimulointitehtävää. Jos kyseessä on puhdas virtaustapaus ilman kemiallisia reaktioita tai virtausta ajavia voimia, koko tilanne oikeastaan määritellään reunaehtojen avulla. Tarkastellaan kahta toisistaan poikkeavaa esimerkkiä. Kuvassa 3.3 on vasemmalla puolella ulkopuolinen virtaus. Tällöin reunaehdot annetaan kaikkialla laskenta-alueen reunalla. Yleensä reunaehtojen antaminen on tässä tapauksessa helppoa. Koska reuna-arvoja ei tarkkaan tunneta, on tapana viedä laskenta-alueen ulkoreuna niin kauaksi, että siellä voidaan kiinnittää vapaan vir-

77 3.3. REUNAEHDOT 76 a) b) V t U oo V n ulosvirtaus sisäänvirtaus vanavesi sisäänvirtaus n ulosvirtaus laskenta alue laskenta alueen reuna mahdollinen sisäänvirtaus Kuva 3.3: a) ulkopuolinen ja b) sisäpuolinen virtaustilanne. tauksen arvot. Jos laskenta-algoritmi on sellainen, että se osaa käsitellä tilanteen ilman, että se olisi ylispesifioitu (ts. huonosti asetettu), laskenta toimii näennäisesti pelkillä vapaan virtauksen arvoilla. Kuvassa 3.3 oikealla on sisäpuolinen virtaustilanne. Nyt reunaehtoja ei yleensä voida laittaa niin kauas, että niiden epätarkkuudet eivät vaikuttaisi tärkeään osaan laskenta-aluetta. Reunaehdot on siis pyrittävä antamaan tarkemmin. Ne voidaan tietää mittauksista, arvata tai yrittää laskea. (Lasketaan esimerkiksi täysin kehittyneen putkivirtauksen jakauma). Tasapainotilan tilanteessa ei ulos- ja sisäänvirtausehtoja voida antaa toisistaan riippumatta. Tasapainotilan laskussa ei esimerkiksi voida antaa massavirtaa sekä sisään että ulosvirtausreunalla, koska näiden tulee olla yhtä suuret. Antamalla molemmat massavirrat, olisimme tosiasiallisesti antaneet vain yhden ehdon. Fysikaalisessa mielessä järkevä valinta olisi antaa esimerkiksi sisääntulossa virtausnopeus ja ulosmenossa paine. Tällöin paine sisäänmenossa on numeerinen ehto, jonka koodi osaa laskea. Vastaavasti ohjelma osaa laskea ulosmenevän massavirran jatkuvuusyhtälön perusteella. Ohjelmalle voitaisiin antaa myös painejakaumat sisään- ja ulostulossa. Näiden perusteella ohjelma laskee virtausnopeuden. Tällöin laskennan kuluessa nopeusjakauma asettuu sellaiseksi, että annettu painehäviö toteutuu. Yritys syöttää nopeus reunaehtona kukistuisi jälleen reunaehtojen ylimäärittelyyn, mikä johtaa aina huonosti asetettuun laskentatehtävään. Kyseistä tapausta voi tarkastella OpenFOAMilla tehdystä simuloinnista. Kuvan 3.3 tilanteessa on ulosvirtausreunalla myös paluuvirtausta, ns. akanvirta. Tällöin reunaehtojen antaminen on erittäin hankalaa, koska informaation kulkusuunta on erilainen eri osissa aluetta. Tähän tilanteeseen ja FLUENTin reunaehtomahdollisuuksiin perehdytään seuraavaksi. Turbulenssimallien tarvitsemat reu-

78 3.3. REUNAEHDOT 77 naehdot käsitellään myöhemmin FLUENTin reunaehdot Edellä on jo käynyt ilmi reunaehtojen muodostavan melkoisen sotkun. Kaupallisen virtausratkaisijan yhteydessä käyttäjä ei näe miten reunaehto toimii, mikä on todellista fysikaalista osuutta ja mikä numeerista. Kuitenkin käyttäjän on noudatettava tiettyjä perussääntöjä. FLUENTin reunaehdot voidaan luokitella seuraavasti: sisään- ja ulostuloreunat: voidaan antaa paine, nopeus tai massavirta sisääntuloreunalla tai paine ja massavirta ulosmenoreunalla. Näihin voidaan yhdistää myös mallinnusta, joilla voidaan kuvata puhaltimien tai suuttimien vaikutusta. Tähän reunaehtotyyppiin on manuaalissa luokiteltu myös vapaan virtauksen painereunaehto. seinät, symmetriat, periodisuus ja akseli. Tämä reunaehtoluokka on helpointa määritellä. Symmetriaa ei välttämättä mielletä reunaehdoksi ollenkaan. Laskenta-alue kannattaa rajata aina kun mahdollista näihin ehtoihin. nesteen ja huokoisen aineen reuna laskenta-alueen sisällä voidaan antaa koppien seinille hyppyehtoja, joilla voidaan kuvata esimerkiksi puhaltimen aiheuttama paineen nousu. Tällöin itse puhallinta ei pyritä kuvaamaan tarkasti, ainoastaan sen aiheuttama efekti virtaukseen. FLUENTissa reunaehdot asetetaan vyöhykkeiden (zones) välille. Reunaehdot löytyvät Boundary Conditions paneelin alta. Jatkossa kuvataan reunaehtojen käyttäytymistä ja antamista ohjelmalle. Lisätietoja reunaehdoista saa alan kirjallisuudesta Sisään- ja ulosvirtausehdot Edellä oli jo esillä nämä reunaehtotyypit. FLUENTissa tähän ryhmään on laitettu myös vapaan virtauksen ehdot, vaikka niiden luonne on erilainen. Yhteensä tähän ryhmään kuluu 10 erilaista reunaehtoa: nopeus annetaan sisäänvirtausreunalla. Tämän antamiseen ei liity ongelmia, mutta sitä voidaan käyttää vain, kun tiheys on likimain vakio eli alhaisella

79 3.3. REUNAEHDOT 78 Machin luvulla. Reunaehtoa ei voida käyttää yhdessä samanlaisen ulosvirtausehdon kanssa. kokoonpuristuvassa tapauksessa annetaan yleensä massavirta nopeuden sijaan. Periaatteessa voitaisiin antaa myös nopeus, mutta yleensä tiedetään massavirta. Tämä reunaehtotyyppi on siis periaatteessa sama kuin edellinen, mutta pätee yleisemmin. annetaan sisäänvirtauksessa kokonaispaine ja -lämpötila, ylisoonisessa tapauksessa myös staattinen paine. Ylisoonisessa sisäänvirtauksessa on annettava reunaehdot kaikille suureille. staattinen paine ulosvirtausehtona käy sekä paine- että nopeussisäänvirtausreunaehtojen kanssa (tai massavirta). Painereunaehto ulostulossa antaa yleensä paremman konvergenssin kuin Fluentin varsinainen ulosvirtausehto. Painereunaehto sallii myös virtauksen kääntymisen sisään, jolloin ulosvirtausreunalla on myös sisäänvirtausta. Kokemuksen mukaan tätä reunaehtoa kannattaa yrittää käyttää aina kun mahdollista. vapaan virtauksen painereunaehto. Tätä käytetään vain tiheyspohjaisen ratkaisun kanssa. ulosvirtausehto tulee luultavasti helposti valituksi FLUENTin valikosta. Ehto tarkoittaa sitä, että kaikkien ratkaistavien suureiden gradientit asetetaan nolliksi ulosvirtausreunalla. Tavallaan tämä merkitsee, ettei konvektiolle anneta mitään reunaehtoa ja diffuusiovuo asetetaan nollaksi. Reunaehtoa voidaan käyttää, kun virtaus on täysin kehittynyt. Jos virtaus pyrkii osittain kääntymään, tulee konvergenssiongelmia. Molempien rajoitusten vuoksi ehdon käyttöä pitäisi itse asiassa välttää. On myös tärkeää huomata, ettei ehtoa voida käyttää tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä. Tämä aiheutuu juuri aiemmin mainitusta yhtälöiden luonteesta, joka on erilainen kokoonpuristuvassa tapauksessa. Edellisten lisäksi on olemassa neljä ehtoa puhaltimille ja suuttimille Paine sisäänvirtausreunalla Painereunaehdolla asetetaan paine sisäänvirtausreunalla yhdessä skalaarisuureiden, kuten lämpötilan ja turbulenssisuureiden, kanssa. Ehtoja voidaan käyttää myös ko-

80 3.3. REUNAEHDOT 79 koonpuristuvalle virtaukselle. Reunaehtotyypillä annetaan myös vapaa virtaus. Annettavat suureet ovat: kokonaispainep 0 kokonaislämpötilat 0 virtaussuunta (3D tilanteessa tämä vastaa kahta reunaehtoa) staattinen paine annetaan ylisoonisella virtauksella tai jos halutaan initialisoida virtauskenttä tällä paineen arvolla. Ylisoonisella virtauksella annetaan siis kaikki viisi reunaehtoa sisäänvirtausreunalla. muut suureet liittyen turbulenssiin, aineiden pitoisuuksiin, säteilyyn jne. Paine annetaan aina ilman hydrostaattista osaa. Esimerkiksi staattinen paine muodossa p s = ρ 0gx+p s (3.19) Ratkaisemalla suuretta p s (paine-eroa), paineen määritys tulee tarkemmaksi tietokoneen äärellisellä sananpituudella. Kokonaispaine määritellään eri tavoin riippuen nopeusalueesta. Kokoonpuristumattomalle virtaukselle p 0 = p s ρ V V (3.20) ja kokoonpuristuvalle [ p 0 = p s 1+ γ 1 ] γ/(γ 1) Ma 2 (3.21) 2 missä Ma on Machin luku ja γ ominaislämpöjen suhde. Yhdessä annetun virtaussuunnan kanssa saadaan yhtälöistä ratkaistua paikallinen nopeus. Tämä edellyttää staattisen paineen tuntemista. Staattinen paine määräytyy virtausratkaisusta, kokonaispaine annetaan käyttäjän toimesta. Jos kyseessä on ylisooninen virtaus, tarvitaan, kuten kuvasta 3.2 nähdään, yksi reunaehto enemmän kuin alisoonisessa. FLUENTissa tämä siis annetaan staattisen paineen avulla. Tällöin yhtälöstä 3.21 voidaan ratkaista iteratiivisesti Machin luku (tällöin yli 1). Tiheys voidaan ratkaista tilayhtälöstä ρ = p/rt s (3.22)

81 3.3. REUNAEHDOT 80 missär on kaasuvakio jat s staattinen lämpötila. FLUENTissa tiheyspohjaisen ratkaisijan yhteydessä oletetaan käytettäväksi ideaalikaasun tilanyhtälöä. Staattinen lämpötila saadaan kokonaislämpötilan avulla, kun Machin luku tunnetaan ( T 0 = T s 1+ γ 1 ) Ma 2 (3.23) 2 Tiheyspohjaisella ratkaisijalla on siis alisoonisessa tapauksessa käytössä neljä reunaehtoa päävirtaussuureille ja ylisoonisessa viisi eli kaikki annetaan. Painepohjaisella ratkaisijalla annetaan aina neljä ehtoa ja Machin luku asetetaan nollaksi. Tällöin staattinen lämpötila on sama kuin kokonaislämpötila. Puuttuvat suureet ohjelma ratkaisee itse Nopeus- ja massavirta-sisäänvirtausehdot Nopeusreunaehto on vaihtoehto painereunaehdolle. Sitä voidaan käyttää vain kokoonpuristumattomalle virtaukselle. Käyttäjä antaa seuraavat suureet: nopeuden suunta ja suuruus. Tässä siis annetaan kaikki nopeuskomponentit. 2D tapauksissa mahdollinen pyörimisnopeus staattinen lämpötila mahdollinen ulosmenopaine. Tätä käytetään jos reunaehdolla annetaankin ulosvirtaus. FLUENTissa voidaan siis antaa ulosvirtaus sisäänvirtausehdolla, joka siis onkin vain nimityskysymys. Manuaalin mukaan reuna käsitellään samalla tavoin kuin painereunaehto ulosvirtauksessa. Tällöin ei tarvitse antaa skalaarisuureiden arvoja (johtuu yhtälöiden luonteesta). muut, kuten turbulenssi ja skalaarisuureet. Näitäkään ei tarvita, jos kyseessä onkin ulosvirtaus. Kuten huomataan, annettavien reunaehtojen määrä on tässäkin tapauksessa päävirtaussuureille 4, kun skalaarisuureita ei oteta lukuun. Jäljellä olevan suureen ohjelma osaa laskea itse. Massavirtareunaehto on monipuolisempi kuin nopeusreunaehto. Massavirtaehtoa voidaan käyttää painereunaehdon asemesta, mutta FLUENTissa sitä ei suositella painepohjaisen ratkaisun yhteydessä hitaamman konvergenssin vuoksi. Useissa tilanteissa tiedetään massavirta tarkemmin kuin kokonaispaine, jolloin tätä ehtoa

82 3.3. REUNAEHDOT 81 tulisi voida käyttää. Staattinen paine annetaan tässä tapauksessa jälleen vain ylisoonisessa tilanteessa tai jos sen avulla halutaan initialisoida virtauskenttä. Yhteensä ehtoja on jälleen neljä tai viisi riippuen onko Machin luku alle tai yli yhden. Neljän ehdon ollessa kyseessä painetaso määräytyy ratkaisun kuluessa ja sitä kautta myös kokonaispaine Suutin tai puhallin sisäänvirtauksessa Nämä reunaehdot toimivat muuten samalla tavoin kuin painereunaehdot, mutta paineisiin lisätä ylimääräinen hyppy, jolla kuvataan virtauslaitteita. Suuttimen osalta annetaan painehäviö lisäämällä reunalle painehäviö p = k L 1 2 ρv 2 (3.24) Simuloinnin tekijä siis antaa ohjelmalle painehäviökertoimenk L. Puhaltimen tapauksessa annetaan myös paine-eron suuruus. Se annetaan puhaltimen ominaiskäyränä, jolloin paine-ero p on kohtisuoran virtausnopeuden (ei tilavuusvirran) funktio. Sekä suuttimen että puhaltimen aiheuttama paine-ero asetetaan yhdelle laskentatilavuuksien väliselle seinälle. Kyseiset virtauslaitteet nähdään ohjelman kannalta siten äärettömän ohuina Paine ulosvirtauksessa Tämä reunaehtotyyppi on paras vaihtoehto ulosvirtausreunoilla. Ongelmana kuitenkin on, että virtaus saattaa ulosvirtauksessakin kääntyä takaisinpäin. Normaalisti reunaehtona annetaan vain staattinen paine ja neljä muuta päävirtaussuuretta ekstrapoloidaan laskenta-alueesta. Siltä varalta, että virtaus osittain kääntyy, on annettava kääntyvän virtauksen ominaisuudet, kuten kokonaislämpötila ja turbulenssi- sekä skalaarisuureet. Näiden asettaminen on hankalaa, koska ulosmenosuureita ei ennen laskemista tiedetä. Jos ulosmenosuureille annetaan todellisuudesta poikkeavat arvot, tapahtuu virtauksen kääntyessä laskennassa äkillinen muutos. Tämä voi puolestaan aiheuttaa virtauksen kääntymisen takaisin ulospäin. On siis mahdollista, että ulosvirtausreunalla virtaus jää kierroksittain nokkivaan olotilaan. Ehkä paras keino olisi käyttää ennen virtauksen kääntymistä ulosvirtausreunalle muodostuneita suureita, mutta tämä ei ole mahdollista FLUENTissa. Ainoa mahdollisuus on ongelmatilanteissa modifioida annettuja suureita. Tästä reunaehdosta kannattaa huomata

83 3.3. REUNAEHDOT 82 se, että laskenta tapahtuu virtauksen kääntyessä osittain eri tavalla kuin sisäänvirtausehdossa. Kaikkia tarvittavia suureita ei anneta. Periaatteessa tilanne on tällöin näiltä osin huonosti asetettu. Laskenta useimmiten silti toimii, koska sisäänvirtausta tapahtuu vain pienellä alueella. Virtaustilanteessa (kts. esim. kuva 3.2) varsinainen sisäänvirtausreuna ja ulosvirtaus linkittyvät tavallaan yhteen. Pienehkö akanvirtausalue roikkuu ratkaisussa mukana Paine vapaassa virtauksessa Oikeastaan reunaehtotyyppiä pitäisi kutsua pelkästään vapaan virtauksen ehdoiksi, koska siinä annetaan muutakin kuin paine. Manuaalin mukaan reunaehtoa kutsutaan joskus karakteristiseksi ehdoksi, koska siinä käytetään hyväksi juuri karakteristikoita. Kuten edellä olemme huomanneet, myös muissa reunaehdoissa on kuitenkin implisiittisesti mukana karakteristiset suunnat: reunaehtojen määrä on erilainen eri virtaustapauksissa. Vapaan virtauksen ehtoja voidaan käyttää vain ideaalikaasun tilayhtälön kanssa. Tämä ei ole kovin suuri rajoitus, koska reunaehtoa voidaan soveltaa vain ilmakehässä lentäville kappaleille ja muidenkin planeettojen ilmakehät ovat useimmissa virtaustilanteissa lähellä ideaalikaasua (ilma ei ole ideaalikaasua suurella Machin luvullama >> 1)! Reunaehtoa siis sovelletaan kuvan 3.2a tapauksessa. Reunalla annettavat suureet ovat staattinen paine Machin luku lämpötila (staattinen) virtaussuunta tavanomaiset turbulenssi- ja muut suureet Reunalla voi olla ali- tai ylisooninen virtaus. FLUENTissa ei reuna-arvoja käytetä suoraan, vaan niiden avulla lasketaan ns. Riemannin invarianttien arvot. Näitä käytetään karakteristikoiden suunnan sanelema määrä reunalla ja otetaan loppuinformaatio laskenta-alueesta ekstrapoloimalla. Saaduista Riemannin invarianttien arvoista voidaan ratkaista päävirtaussuureet reunalla. Tämä reunaehtotyyppi siis todellakin käyttää suoraan karakteristisia suureita reunaehtojen laskennassa. Fysikaalisessa mielessä myös aiemmin esitetyissä reunaehdoissa on otettu karakteristiset

84 3.3. REUNAEHDOT 83 suunnat huomioon reunaehtojen määrässä, mutta itse suureita ei käytetty, vaan ekstrapolointeja. Tämä reunaehtotyyppi on siis käytössä vain tiheyspohjaisen ratkaisijan yhteydessä. Oikeastaan sitä ei edes tarvittaisi. Karakterististen suureiden avulla saatiin aiemmin reunat hyvin asetetuiksi, kun käytössä oli esimerkiksi klassinen keskeisdifferenssiin perustuva ratkaisija. FLUENTissa kuitenkin käytetään ns. approksimatiivista Riemann-ratkaisijaa tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä, jolloin itse ratkaisussa on vuon laskennassa mukana informaatio karakteristikoiden kulkusuunnista. Reunalla ei siis välttämättä tarvittaisi mitään erikoiskäsittelyä. Viemällä reuna riittävän kauas, kaikilla reunoilla voitaisiin antaa kaikki viisi pääsuuretta ilman, että tehtävä tulee ylispesifioiduksi. (Reuna-arvojen tarkkuus on toinen asia kuin ylispesifiointi) Ulosvirtausehdot FLUENTissa käytetään ulosvirtausehtoja, kun virtaustilannetta ei tunneta tarkasti ulosmenokanavassa. Lähinnä siis kyseessä on tiedon puute vain paineesta, koska muita varsinaisia ulosvirtausehtoja ei tarvita (edellyttäen, että virtaus ei käänny). Tämä yksinkertainen reunaehtotyyppi asettaa selkeitä rajoituksia sen soveltamiselle. Ensinnäkään sitä ei voi käyttää tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä. Toinen rajoitus on, ettei sitä voi käyttää, jos sisäänvirtaus on annettu painereunaehdolla. Tällöin virtausnopeus ei määräytyisi mistään! Sisäänvirtaus on siis annettava tässä tapauksessa nopeuden tai massavirran avulla. Ehtoa ei voi myöskään käyttää, jos tiheys ei ole vakio, vaikka käytössä olisikin painepohjainen ratkaisija. Reunaehtotyyppi toimii vakiotiheydellä siten, että kaikki virtaussuureet ekstrapoloidaan ja toteutetaan jatkuvuusyhtälö painekorjauksen avulla. Kun kaikki suureet ekstrapoloidaan, merkitsee se myös sitä, että näiden suureiden diffuusiovuot asetetaan nollaksi. Reunaehtoa tulisi käyttää varoen (oikeastaan mieluummin ei ollenkaan) tilanteissa, joissa virtaus on täysin kehittynyt. Tarkastellaan kuvan 3.4 tilannetta, jossa on virtaus portaan ohitse. Portaan taakse syntyy takaisin virtauksen alue. Ulosvirtausehtoa voidaan käyttää, mikäli diffuusiovuo on likimain nolla. Tämä siis tarkoittaa yleensä sitä, että virtaus on täysin kehittynyt. Joskus tämä ehto ei toteudu, mutta silloin reunan tulee olla kuitenkin niin kaukana laskenta-alueesta, ettei se vaikuta mielenkiinnon kohteena olevaan alueeseen. Kuvan tilanteessa ulosvirtauskohdassa D reunaehtoa voidaan käyttää, vaikka se ei toteudukaan eksaktisti

85 3.3. REUNAEHDOT 84 A B C D ulosvirtaus ulosvirtaus ulosvirtaus reunaehto reunaehto reunaehto huonostiei toimi toimii asetettu ulosvirtaus reunaehto toimii Kuva 3.4: Ulosvirtausreunaehdon soveltaminen. (gradientit eivät ole nollia virtaussuunnassa). Kohdassa C oletetaan virtaus täysin kehittyneeksi. Tällöin reunaehto toteutuu eksaktisti ja sitä voidaan käyttää. Kohdassa B virtaus ei ole täysin kehittynyt. Tässä reunaehtoa ei saa käyttää, koska se vaikuttaisi haitallisesti esimerkiksi irronneen alueen kooon. Kohdassa A tapahtuu paluuvirtausta. Tässä tilanteessa tämä reunaehtotyyppi on huonosti asetettu ja ratkaisu ei edes konvergoisi. Jos laskentaa jatketaan, se todennäköisesti lopulta kaatuu. Tämän reunaehtotyypin hankaluus on siinä, ettei laskija voi olla koskaan varma siitä etteikö virtaus käänny. Vaikka lopputuloksessa virtaus menisikin oikeaan suuntaan, se saattaa kääntyä iteroinnin kuluessa, jolloin probleemasta tulee huonosti asetettu. Tämän vuoksi ulosvirtauskohdissa kannattaa käyttää mieluummin painereunaehtoa. Ulosvirtausreunalle voi asettaa suutin- tai puhallinehtoja samaan tapaan kuin sisäänvirtausreunallekin. Tässäkin tapauksessa virtauslaitteiden oletetaan olevan äärettömän ohuita ja ne sijaitsevat viimeisen laskentatilavuuden seinällä. Niiden tarkoituksena ei ole kuvata virtausta puhaltimen tai suuttimien välittömässä läheisyydessä tarkasti, vaan niiden avulla voidaan antaa fysikaalisesti järkevä reunaehto suuremman kokonaisuuden, esimerkiksi huonetilan, virtaukselle.

86 3.3. REUNAEHDOT 85 Symmetriatasot Kuva 3.5: Symmetriareunaehdolla voidaan usein mallintaa vain neljäsosa virtauskanavasta. 2 symmetriatasoa (malli sisältää 90 asteen sektorin ) Kuva 3.6: Toinen esimerkki symmetriareunojen soveltamisesta Symmetriareunaehto Symmetria on ehkä kaikkein helpoin reunaehto. Käyttäjän ei tarvitse antaa mitään suureita, riittää, että kyseinen pinta toteuttaa symmetrisyysvaatimuksen. Esimerkkejä tämän reunaehtotyypin oikeasta käytöstä on kuvissa 3.5 ja 3.6. Symmetriaehdolla saadaan yleensä laskenta-aluetta supistettua. Ääritapauksessa kolmidimensioinen tilanne voi symmetriasyistä olla efektiivisesti kaksidimensioinen. Jo laskenta-ajan säästön vuoksi kannattaa siis etsiä alueesta sopivia symmetriatasoja. Edellä jo todettiin, ettei käyttäjän tarvitse symmetriatiedon lisäksi antaa mitään täsmällisiä numeroarvoja tämän reunaehdon yhteydessä. Selkeä etu on vielä se, että reunaehtotyyppi käyttäytyy yleensä myös numeerisesti hyvin. Fysikaalisesti ehto merkitsee, että virtausnopeus pinnan läpi on nolla ja symmetriasta seuraa lisäksi, että diffuusiovuot pinna läpi ovat nollia. Pinta vaikuttaa tällöin virtaukseen vain paineen kautta, kaikki muut osat vuo-termeissä ovat nollia. Iteroinnin kuluessa näiden termien arvot muuttuvat vain paineen osalta. Reunaehdon implementointi mielivaltaiselle sym-

87 3.3. REUNAEHDOT 86 metriselle pinnalle johtaa käytännössä suhteellisen pitkiin lausekkeisiin (kts. esim. Laskennallisen virtausmekaniikan jatkokurssi luku 12.7). Symmetriareunaehto on täsmälleen sama kuin kitkattoman kiinteän seinän ehto (slip wall). Sitä voidaan siis myös käyttää kitkattoman virtauksen laskennassa seinän asemesta. Jos voidaan olettaa, ettei seinällä ole kitkavaikutusta virtaukseen, se kannattaa korvata symmetriaehdolla, jolloin voi käyttää paljon harvempaa noodijakoa (sinänsä oletus kitkattomasta seinästä saattaa olla vaarallinen, joten sitä ei varsinaisesti suositella tässä). Symmetriaa voidaan käyttää usein myös silloin, kun laskenta-alueen laita on epämääräinen, mutta tiedetään ettei se vaikuta varsinaiseen tarkasteltavaan alueeseen. Aikaisemmin tällainen esimerkki oli virtaus joessa oleva siltapilarin ympärillä. Koko jokea ei kannata mallintaa, joten sopivaan kohtaan, jossa läpivirtaus voidaa olettaa pieneksi, voidaan asettaa symmetriataso. Toinen esimerkki on suureen vapaaseen tilaan puhaltava suihku. Luonnolliset reunaehdot ovat vasta kyseisen tilan, joka saattaisi olla vaikka suuri tehdashalli, seinät. Symmetrialla voidaan alueesta lohkaista riittävän suuri osa, jolloin reuna ei enää vaikuta suihkuun. Mikä sitten on sopivan kokoinen alue, selviää vain kokeilemalla ja ammattitaitoa kartuttamalla kyseisestä tilanteesta. kylmä kuuma neste nousee kuuma g kylmä ei symmetria taso Kuva 3.7: Esimerkkejä tilanteista, jolloin symmetriaehtoa ei saa käyttää. Symmetriaa ei pidä käyttää väärin. Edellä suositeltiin, että tietyissä tilanteissa symmetrialla voidaan hyvällä tarkkuudella approksimoida todellisia reunaehtoja. Joskus vaikutus saattaa olla arvaamaton, vaikka reuna olisi viety kauaskin. Kuvassa 3.7 on esimerkkejä selkeästi epäsymmetrisistä tilanteista. Vasemmassa kuvassa noste aiheuttaa epäsymmetrisyyden ja oikealla tilanne ei ole symmetrinen, vaan kyseessä on periodisuus. Aksiaalisymmetrisissä tilanteissa (kuva 3.8) akseli ei ole symmetriaehto, vaan akseli. Aikaisemmin jo todettiin, että kontrollitilavuusmene-

88 3.3. REUNAEHDOT 87 telmää voidaan soveltaa, vaikka pinta-ala kopin seinällä olisi nolla. Kolmidimensioisessa tilanteessa akselille ei tarvita mitään ehtoa, mutta aiemmin suositeltiin, että hilan topologia akselilla muutetaan. Aksiaalisymmetrisissä tilanteissa sen sijaan kyseinen pinta on määriteltävä, mutta sen vaikutus koskee lähinnä tulosten jälkikäsittelyä. Tälle singulaariselle pinnalle asetetaan arvoksi lähimmän kopin arvot. Koska vuota akselin läpi ei ole, arvoilla on merkitystä vain tulosten visualisoinnissa. Todettakoon vielä, että 2D aksiaalisymmetrisessä tapauksessa vuohon jää kehän suuntaisille pinnoille paineen vaikutus. Tilanne on siis tavallaan kuitenkin kolmiulotteinen, koska vuo lasketaan kaikille kuudelle pinnalle. akseli Kuva 3.8: Pyörähdysymmetrisessä tilanteessa ei sovelleta symmetrisyysehtoa: FLUENTissa akselille oma reunaehtotyyppinsä Periodiset reunat 4 tangetiaalista sääntuloa si sykliset reunat Kuva 3.9: Periodisen reunaehdon käyttö sekoitussäiliön laskennassa. Periodinen reunaehto on siinä mielessä analoginen symmetrian kanssa, että muuta täsmällistä tietoa kuin periodisuus ei tarvita etukäteen. Edut ovat samat kuin symmetriaehdollakin. Periodisuutta on oikeastaan kahta tyyppiä. Jos periodisuus tapahtuu pyörähdyssuunnassa, kuten kuvassa 3.9, siitä käytetään myös termiä sykli-

89 3.3. REUNAEHDOT 88 nen. (Tämä reunaehtotyyppi oli käytössä FLUENT 4. -ohjelmassa). Toisessa tapauksessa periodisuus on aksiaalisuunnassa (kuva 3.10). Periodisuusehto täytyy aina asettaa kahdelle pinnalle, joiden välillä periodisuus tapahtuu. Käyttäjä valitsee FLUENTissa tekstivalikosta alta jommankumman vaihtoehdoista Rotational tai Translational. Ohjelmassa on myös mahdollista antaa periodisuusreunojen välille painehäviö. Tämä mahdollistaa esimerkiksi kanavavirtauksen laskennan periodisilla ehdoilla. (a) fyysinen alue periodinen reuna periodinen reuna (b) mallinnettu ealu Kuva 3.10: Esimerkki aksiaalisuunnassa tapahtuvasta periodisuudesta Kiinteän pinnan reunaehdot Kiinteillä pinnoilla reunaehdot ovat periaatteessa hyvin määritellyt. (On huomattava, että kiinteä pinta saattaa olla myös esimerkiksi pyörimisliikkeessä, mutta tällöinkin sen nopeus yleensä tunnetaan tarkasti). Käytännössä pinnoilla tulee ongelmia turbulenssin ja lämmönsiirron vuoksi. Näiden ilmiöiden asettamia vaatimuksia reunaehdoille tarkastellaan myöhemmin tarkemmin. Kiinteät pinnat on traditionaalisesti totuttu jakamaan kitkattomiin ja kitkallisiin (slip wall ja non-slip wall). Kitkattomalla seinämäehdot ovat kaikkein yksinkertaisimmat: läpivirtausta ei ole ja ainoaksi kontribuutioksi vuo-termeihin tulee paineen vaikutus. Energiayhtälössä paineen vaikutus tulee esille tällöin vain jos seinämä liikkuu, kuten virtauskoneilla (kone tekee työtä nesteeseen). Edellä todettiin, että seinä käyttäytyy täsmälleen samalla tavoin kuin symmetriapinnalla. Jostain syystä FLUENTissa ei kehoteta (vaikkei tälle pitäisi olla mitään estettä) käyttämään

90 3.3. REUNAEHDOT 89 kitkattomalle seinälle symmetriaehtoa, vaan antamaan seinämän leikkausjännitys Specified Shear Stress -optiolla. Tällä voi seinälle antaa myös nollasta poikkeavia arvoja. Jos tämä optio on voimassa, FLUENT ei käytä seinämäfunktiota. Kitkallisella pinnalla asetetaan virtausnopeus nollaksi (tai samaksi kuin pinnan nopeus). FLUENT käyttää tätä reunaehtoa laminaarille virtaukselle ja turbulentille virtaukselle mikäli käytetään ns. pienen Reynoldsin luvun mallia. Leikkausjännitys lasketaan tällöin normaaliin tapaan nopeuden derivaatasta seinämän normaalin suunnassa τ w = µ u (3.25) n Jos ja kun nopeusgradientti on hyvin jyrkkä pinnan lähellä, on hilajaon oltava tarpeeksi tiheä (kts. luku 2). Käytettäessä ns. suuren Reynoldsin luvun mallia, jolloin sovelletaan seinämäfunktiota, pinnan käsittely monimutkaistuu. Tähän palataan turbulenssimallien yhteydessä. Kiinteällä pinnalla on myös annettava paine. FLUENTissa pinnalle asetetaan todennäköisesti ensimmäisen laskentatilavuuden paine. Manuaalin mukaan reunaehto on p n = 0 (3.26) mutta normaaliderivaattaa tuskin approksimoidaan tarkasti. Reunaehto on mielekäs rajakerroksella, koska paineen derivaatta seinää vasten kohtisuorassa suunnassa on likimain nolla. Ehto ei kuitenkaan päde tilavuusvoimien läsnä ollessa tai voimakkaasti kaartuvalla seinällä. Tällöin virhe näkyy nopeusvektoreiden sojottaessa seinältä ulospäin. Tilannetta voi yrittää korjata tihentämällä laskentahilaa Väliaineen määrittely Virtausratkaisijalle on annettava myös tietoa virtaavasta nesteestä. Kyseessä ei oikeastaan ole reunaehto, mutta FLUENTissa asia käsitellään reunaehtojen yhteydessä. Ratkaisualue jaetaan FLUENTissa vyöhykkeisiin. Simuloinnin suorittaa tekee aluejaon hilan generoinnin yhteydessä. Vyöhykkeet voivat olla joko nesteen täyttämiä tai kiinteitä. Jälkimmäisessä tapauksessa alueessa ratkaistaan vain lämmönjohtavuusyhtälö. Mikäli kyseessä on nestevyöhyke, annetaan sille virtaavan väliaineen tyyppi Materials-paneeli. Tässä yhteydessä annetaan myös lähdetermien määrittely, joiden yhteydessä käytetään käyttäjän määrittelemiä funktioita (User-defined functions, UDF)..

91 3.3. REUNAEHDOT 90 Virtauksen yhteydessä eräs hankalimmista asioista on transitio laminaarista turbulenttiin virtaukseen. Perinteisesti transitiota on ollut mahdollista mallintaa määrittelemällä vyöhyke laminaariksi. Turbulenssimalli ei ole tällöin voimassa kyseisessä alueessa. Tätä keinoa voi lähinnä käyttää 2D laskennassa siipiprofiilien yhteydessä, koska monimutkaisemmissa tilanteissa ei transition paikkaa yleensä tunneta. Viime aikoina ohjelmissa on yleistynytγ Re θ -transitiomalli, mutta sen antamiin tuloksiin on suhtauduttava vielä varoen. Transitio on kuitenkin tärkeää ottaa huomioon useissa virtaustilanteissa ja se on edelleen eräs virtauslaskennan heikoista kohdista. Vyöhyke voi olla paikallaan tai liikkuva. Jälkimmäinen tarkoittaa, että itse laskentahila asetetaan liikkeeseen. Tätä ominaisuutta tarvitaan pyörivien virtauskoneiden simuloinnissa ja siihen palataan jatkossa. Laskentahilan liike voi olla paitsi pyörivää myös translaatiota. Kiinteälle vyöhykkeelle asetetaan samantapaisia ominaisuuksia kuin nestevyöhykkeillekin. Kiinteällä aineella saattaa olla sisäistä lämmönkehitystä, nesteellä lähdetermejä voidaan asettaa myös jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöille. Vyöhyke voi koostua myös huokoisesta materiaalista, jolle laskentamallit löytyvät FLUENTin manuaalista Laskentatilavuuksiin ja niiden pintoihin liittyvät lähdermit FLUENTissa käsitellään reunaehtojen yhteydessä myös lähdetermejä, joilla voidaan kuvata reunaehtomaisia tilanteita laskenta-alueen sisällä. Lähdetermejä voidaan liittää laskentatilavuuksien pintoihin, jolloin ne ovat äärettömän ohuita, tai suoraan laskentatilavuuksiin, jolloin ne tavallaan ovat pistemäisiä. Lähdetermit ovat yhtälöiden (3.7)- (3.10) oikealla puolella. Monimutkaisetkin funktionaaliset yhteydet kutistuvat virtausyhtälöiden kannalta katsoen yksinkertaisiksi hyppyehdoiksi. Esimerkkinä on kuva 3.11, jossa on kuvattuna puhallin virtauskanavassa. Tilanteessa oletetaan, että laskenta-alueen mitat ovat sellaiset, että puhallin voidaan käsitellä äärettömän ohuena levynä. Puhaltimen vaikutus näkyy virtauksessa liikemääräyhtälön lähdetermissä lisättynä paineen nousuna ja energiayhtälössä tehdyn työn kautta. Ohjelman sisäisessä kielenkäytössä näitä lähteitä ei käsitellä yhtälöiden oikealla puolella, vaan hyppyehdot liitetään suoraan vuo-arvoihin. Jatkuvuusyhtälöön puhallin ei aiheuta mitään muutoksia. Puhaltimen lähellä näin mallinnettu virtauskenttä ei vastaa todellisuutta, mutta suurelle laskenta-alueelle puhaltimen vai-

92 3.3. REUNAEHDOT 91 kutus voidaan ottaa tällä reunaehtotyypillä huomioon. Se aktivoidaan paneelin Fan kohdalta ja vastaavaa mallia voidaan käyttää sisään- ja ulosvirtausreunojen yhteydessä (Intake-Fan ja Exhaust-Fan). Mikäli kyseessä on painehäviö, vastaavat reunaehdot ovat Intake-Vent ja Exhaust-Vent. Ilma 5 m/s Puhallin 0,4m 2,0 m Kuva 3.11: Puhallin voidaan kuvata lähteenä virtauskanavassa. Kuten aiemmin jo todettiin puhaltimen ominaiskäyrä annetaan muodossa p = N n=1 f n u n 1 n (3.27) missä u n on pintaa vastaan kohtisuora nopeus. Ratkaisun kuluessa ohjelmassa ratkaistaan iteratiivisesti yhtälö (3.27) yhdessä virtausyhtälöiden kanssa. Kolmidimensioisessa laskennassa pitää antaa puhaltimelle myös tangentiaali- ja radiaalinopeusprofiilit. FLUENTilla on myös mahdollista laskea virtausta itse puhaltimessa, mutta tällöin noodijako olisi aivan toisenlainen. Monimutkaisen geometrian kuvaaminen vaatii paljon laskentatilavuuksia ja sen seurauksena laskenta-alue ei voi ulottua kovin paljon puhaltimen ulkopuolelle. Nämä kaksi erilaista mallinnustapaa kuvaavat FLUENTin käyttöä ns. yleisohjelmana. Ohjelmalla on periaatteessa mahdollista laskea yksityiskohtaisen tarkasti virtausilmiöitä, tai myös virtaustilanteita, joissa laskentatilavuudet ovat kirjaimellisesti hehtaarikoppeja. Virtausyhtälöt ovat perusolemukseltaan samanlaisia, mutta ne on parametrisoitava eri tavoin. FLUENTissa voidaan mallintaa myös radiaattori (lämpöpatteri tai jäähdytin) samalla tavoin kuin puhallin. Ohjelmassa on myös hieman monimutkaisempia malleja lämmönsiirtimille. Lämmönsiirtimille käyttäjä voi tietenkin rakentaa myös yksityiskohtaisen mallin. Kaikessa lähdetermimallinnuksessa ideana on saada kohtalaisen monimutkaisen osailmiön olennainen vaikutus suurempaan kokonaisuuteen kuvatuksi, ei kyseisen ilmiön laskenta. Käyttäjä voi antaa myös itse laskentatilavuuksiin liittyviä lähdetermejä. Esimerkkinä on kuvan 3.12 pieni sisääntulovirtaus, joka paljon pienempi kuin käytetyt laskentatilavuudet. Simuloinnin suorittajan on tiedettävä massavirran suuruus,

93 3.3. REUNAEHDOT 92 A j v j Kuva 3.12: Lähdetermillä voidaan kuvata pientä sisäänvirtausta. nopeus (liikemäärän vuoksi) ja lämpötila. Lähde annetaan muodossa ṁ/v jatkuvuusyhtälölle, ṁu n /V liikemääräyhtälölle ja muodossa ṁh/v energiayhtälölle. Tässä V on laskentatilavuuden tilavuus, joka käyttäjän tulee onkia ohjelmasta esille ja ṁ tuleva massavirta (kg/s). Laskentakoppeihinkin määriteltyjen lähdetermien yhteydessä on muistettava, että esimerkiksi kuvan 3.12 tilanteessa sisäänvirtauksen lähellä laskenta ei kuvaa tilannetta oikein, mutta suuremmassa kokonaisuudessa saadaan sisäänvirtauksen vaikutus esille OpenFOAMin reunaehdot OpenFOAMissa jokaiselle ratkaistavalle suureelle annetaan oma reunaehto hilan kaikilla reunoilla. Reunaehdot ovat luonteeltaan saman kaltaisia kuin Fluentissa, mutta käyttäjän on itse kasattava haluamansa reunaehtokokonaisuus. Esimerkiksi kappaleessa kuvatun Fluentin massavirta-sisäänvirtausehdon määrittäminen OpenFOAMissa vaatisi kaikkien suureiden määrittämistä erikseen sen sijaan, että annetaan yksi reunaehtotyyppi koko reunalle. OpenFOAMissa on kuusi perusreunaehtoa (primitive BC), jotka on lueteltu taulukossa 3.13, sekä monia muita näistä johdettuja reunaehtoja (OF 1.6-ext kpl), joilla voidaan määrittää esimerkiksi kokonaispaine reunalla tai sallia tiivistysaaltojen kulkeutuminen hilan ulkopuolelle. Osa näistä on lueteltu ohjelman käyttöoppaassa. Lisäksi OpenFOAMissa on jo Fluentin yhteydessä esitellyt symmetria- ja periodiset reunaehdot sekä mm. rinnakkaislaskentaa varten tarkoitettuja reunaehtoja. Jos mikään olemassa olevista reunaehdoista ei vastaa käyttäjän tarvetta, vapaa lähdekoodi mahdollistaa omien reunaehtojen tekemisen. Tällaisia löytyy myös foorumeilta lukuisia.

94 3.4. REUNAEHTOJEN KÄYTÖSTÄ 93 Kuva 3.13: OpenFOAMin perusreunaehdot. Lähde: OpenFOAM User Guide Taulukko 3.1: Eri kategorioihin liittyvät vyöhyketyypit Kategoria koppien pinnat kaksipuoliset pinnat periodinen laskentatilavuudet Vyöhyketyypit akseli, ulosvirtaus, massavirtasisäänvirtaus vapaa virtaus, painesisäänvirtaus, paineulosvirtaus symmetria, nopeussisäänvirtaus, kiinteä seinä suuttimet ja puhaltimet reunoilla puhallin, jäähdytin yms. periodinen neste, kiinteä 3.4 Reunaehtojen käytöstä Koska sekä FLUENT että OpenFOAM pohjautuvat aina rakenteettomaan hilaan, ei ohjelmissa ole lohkojen välistä liimausreunaehtoa, joka tarvitaan rakenteellisissa virtausratkaisijoissa. FLUENTissa on kuitenkin määriteltävä vyöhykkeitä ja reunaehdot annetaan näiden vyöhykkeiden rajapinnoilla (boundary zones). Reunaehdot liittyvät aina vyöhykkeisiin ja ne täytyy yhdistellä oikein. FLUENTissa olevat määrittelyt on lueteltu taulukossa 3.1 Yleensä virtaustilanteet voidaan jakaa sisä- ja ulkopuolisiin. Viimeksimainittujen kohdalla annetaan yksinkertaisesti vapaan virtauksen ehdot ja käytetään tiheyspohjaista ratkaisijaa. Sisäpuolisissa virtauksissa suositellaan käytettäväksi ulosvirtauksessa painereunaehtoa. Sisäänvirtauksessa käytetään joko painereunaehtoa, jos se tunnetaan tai massavirtareunaehtoa, jos massavirta tunnetaan. Massavirtareunaehto voidaan myös korvata nopeusreunaehdolla, jos tiheys on vakio. Silloin ehdot ovat identtisiä. Jos laskenta-alueen reunoilla on monimutkaisia toimilaitteita, niitä

95 3.5. KERTAUS 94 kuvaavien reunaehtojen määrittely on hankalampaa. Toimilaitteita voidaan FLUEN- Tissa asettaa myös laskenta-alueen sisäosiin. 3.5 Kertaus virtaustilanne määritellään reunaehtojen avulla reunaehtojen väärä yhdistely voi johtaa huonosti asetettuun probleemaan reunaehdot voidaan jakaa vapaan virtauksen ehtoihin ja sisäpuolisten virtauksien ehtoihin. Näiden lisäksi on olemassa laskenta-alueen sisälle asetettavia ehtoja. ulosvirtaukselle kannattaa käyttää painereunaehtoa. Sen varalta, että virtaus kääntyy osittain sisälle päin, on annettava tietoa myös kääntyvälle virtaukselle. Koska tätä ei tiedetä, voidaan käyttää likimain samoja arvoja kuin mitä koodi laskee ulosvirtausalueelle. sisäänvirtaukselle massavirran tai paineen antaminen on periaatteessa samanarvoista, joten arvoista annetaan se, joka tunnetaan paremmin tai joka halutaan määrittää tarkasti (ohjelma laskee jommankumman itse ja se ei välttämättä ole haluttu arvo). FLUENTin manuaalissa suositellaan sisäänvirtaukselle painereunaehtoa nopeamman konvergenssin vuoksi. Jos tämä pitää paikkansa, se aiheutuu numeriikasta. Sillä kumpi suure annetaan, ei pitäisi olla merkitystä (käyttäjän kannattaa kokeilla molempien ehtojen antamista). reuna-arvot ovat yleensä huonosti tiedossa ja reunoilla saattaa laskennassa muutenkin tapahtua jotain epämääräistä. Tämän vuoksi reunat on vietävä sopivan kauaksi, niiden lähellä on käytettävä sopivan tiheää noodijakoa jne. Sopivuus selviää vain käyttökokemuksella. FLUENTissa tiheys- ja painepohjaisen ratkaisun reunaehdot ovat erilaiset, mikä aiheutuu yhtälöiden erilaisesta luonteesta. Painepohjaisen ratkaisijan luonne on Ma = 0, vaikka virtausnopeudesta olisi pääteltävissä Machin luvulle jokin äärellinen arvo. Tiheyspohjainen ratkaisija puolestaan perustuu

96 3.5. KERTAUS 95 aina luonteeltaan kokoonpuristuvaan virtaukseen, vaikka virtausnopeus fysikaalisesti vastaisikin tilannetta Ma 0. Päivitetty

97 96 4 Virtausyhtälöiden numeerinen ratkaisu 4.1 Numeerinen diskretointi Diskretointitavat Numeerinen diskretointi tehdään approksimoimalla virtausyhtälöitä laskenta-alueen diskretoinnissa syntyvän pistejoukon avulla. Tietokonehan ymmärtää vain lukuja ja niiden välillä voidaan tehdä yksinkertaisia aritmeettisia operaatioita. Virtausyhtälöiden ratkaisutavat voidaan jakaa monella tavoin, esimerkiksi seuraavasti: teknisten ongelmien ratkaisuun soveltuvat menetelmät spektraalimenetelmät partikkelimenetelmät Tämäkin jako on mitä suurimmassa määrin epämääräinen. Spektraalimenetelmiä käytetään etupäässä meteorologiassa ja turbulenssitutkimuksessa. Periaatteessa niillä voitaisiin ratkaista teknisiäkin ongelmia. Partikkelimenetelmät ovat vanha ajatus mallintaa virtausta ilman Navier-Stokes -yhtälöitä, perustuen yksittäisten nestepartikkelien liikkeeseen. Viime aikoina muotiin tulleet hila-boltzmann -menetelmät kuuluvat tähän ryhmään. Teknisissä sovelluksissa käytetään yleensä ns. Reynolds-keskiarvotettuja yhtälöitä. Niiden yleisin ratkaisukeino on kontrollitilavuusmenetelmä (control-volume method, finite-volume method), joskus käytetään myös stabiloituja elementtimenetelmiä (finite-element method). FLUENT, ANSYS CFX ja OpenFOAM ohjelmissa käytetään kontrollitilavuusmenettelyä, FLOTRANissa elementtimenetelmää. Käytännössä eri lähestymistavoilla saattaa olla hyvin pienet erot. Virtausyhtälöt sisältä-

98 4.1. NUMEERINEN DISKRETOINTI 97 vät kitkattoman osan, johon sisältyy paineen ja konvektion vaikutus, sekä diffuusiotermin. Näistä diffuusiotermin diskretointi on periaatteessa suoraviivaista, menetelmien oleelliset erot liittyvät kitkattomaan osaan, jossa lisäksi konvektiotermit ja paine ovat käyttäytymiseltään erilaisia. Kun paineen ja konvektion kytkentä vielä riippuu virtauksen Machin luvusta, on selvää, että erilaisissa virtaustilanteissa saatetaan soveltaa hyvinkin erilaisia numeerisia menetelmiä Peruskäsitteitä Kontrollitilavuusmenetelmässä käytetään yhtälöiden (3.7), (3.8) ja (3.10) integraalimuotoa WdV + [F G] da = HdV (4.1) t V A V missäw = [ρ,ρ V,E] T on ratkaistavien suureiden vektori,fkitkaton jagkitkallinen vuo. Yhtälön oikealla puolella voi olla lähdetermi H. Numeerisessa ratkaisussa käytetään yhtälön (4.1) diskreettiä muotoa V i dw i dt + N faces j [F G] j A j = V i H i (4.2) missä V i on laskentakopin tilavuus, A j kopin seinän j pinta-alavektori ja summaus on kaikkien laskentatilavuuden pintojen yli. Yhtälö (4.2) pätee kaikenmuotoisille laskentatilavuuksille, jotka linkittyvät toisiinsa mielivaltaisten pintojen välityksellä. (Tärkeää on vain, että koko laskenta-alue sulkeutuu eli alueen sisälle ei jää tyhjiä koloja). Useissa virtausratkaisijoissa käytetään hyväksi tätä kontrollitilavuusperiaatteen yleistä ominaisuutta ja laskentatilavuuksien liittymiselle toisiinsa ei periaatteessa ole asetettu mitään rajoituksia. Yhtälössä tarvitaan geometrisia suureita, jotka ohjelma laskee annetulle laskentahilalle. Lisäksi on lausuttava vuot laskentakoppien pinnoilla, mikä ei ole triviaali tehtävä. Lopputuloksena saadaan epälineaarinen yhtälöryhmä, jossa on perusyhtälöiden määrä laskentakoppien määrän verran yhtälöitä. Tuntemattomien määrä saattaa olla tätäkin suurempi, jolloin tarvitaan lisäyhtälöitä, kuten tilayhtälö. Ratkaistavaksi tulee siis epälineaarinen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä voi nousta useisiin miljooniin, joskus jopa miljardeihin. Tämän yhtälöryhmän ratkaisu muodostaa toisen huomattavan ongelman, jota käsitellään luvussa 5. Tässä luvussa tarkastellaan yhtälöryhmän muodostamista. Differenssimenetelmä perustuu derivaattojen approksimointiin erotusosamääril-

99 4.1. NUMEERINEN DISKRETOINTI 98 lä. Lähtökohtana on suureiden esittäminen Taylor-sarjakehitelmän avulla φ(x+ x) = φ(x)+ x dφ dx + 1 φ 2 x2d2 dx + 1 φ 2 6 x3d3 dx3... (4.3) Tästä voidaan derivaattadφ/dx ratkaista dφ dx φ(x+ x) φ(x) 1 φ φ φ(x+ x) φ(x) x 2 xd2 dx x2d3 dx3... = +O( x) x (4.4) missä merkintä O( x) tarkoittaa, että approksimoitaessa derivaattaa dφ/dx lausekkeella[φ(x + x) φ(x)]/ x tehdään virhe, joka on verrannollinen laskentahilan väliin x. Tällöin kyseessä on ns. ensimmäisen kertaluvun diskretointi. Symmetrisellä diskretoinnilla saadaan dφ dx φ(x+ x) φ(x x) +O( x 2 ) (4.5) 2 x Tällöin virheen sanotaan olevan toista kertalukua. Koska diskretointi suoritetaan Taylor-sarjakehitelmän avulla jättämällä korkeamman kertaluvun termit pois, sanotaan virhettä katkaisuvirheeksi. Yleensä diskretointiin liittyvä virhe on pienempi tai ainakin se pienenee nopeammin korkeamman kertaluvun menetelmillä. Katkaisuvirhe on myös yleensä pienempi symmetrisillä diskretoinneilla kuin epäsymmetrisillä. Nyrkkisääntönä on, että mitä tarkempi diskretointi, sitä enemmän laskentakaavaan on otettava hilapisteitä mukaan. Epäsymmetrisessä toisen kertaluvun diskretoinnissa on käytettävä kolmea pistettä derivaatalle ja katkaisuvirhe on silti muodollisesti kaksi kertaa suurempi kuin kahteen pisteeseen nojaava yhtälön (4.5) ns. keskeisdifferenssi. Riippumatta hilatyypistä ja diskretointimenetelmästä, diffuusiotermin approksimoinnissa päädytään aina yhtälön (4.5) kaltaiseen symmetriseen kaavaan, ns. laskentamolekyyliin. Erot eri ratkaisutavoissa koskevat siis enemmän muita kuin diffuusiotermejä. Painegradientti tulee FLUENTin kokoonpuristumattomalla ratkaisijalla lausutuksi symmetrisellä diskretoinnilla. Sen sijaan konvektoituville suureille käytetään ns. ylävirtapainotettua laskentaa. Tiheyspohjaisella ratkaisijalla painegradientti ja konvektio kietoutuvat monimutkaisella tavalla yhteen. FLUENTissa tästä on käytetty myös nimeä RAMPANT-ratkaisija, koska menetelmä on alunperin otettu Rampant-nimisestä Wayne Smithin kehittämästä ohjelmasta. Rampant perustuu suurelta osin Antony Jamesonin esittämiin ratkaisumenetelmiin. Differenssimenetelmää sovelletaan esimerkiksi rajakerrosyhtälöiden ratkaisuun (kts. White). Navier-Stokes -yhtälöillä menetelmä soveltuu sellaisenaan soveltuu

100 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 99 vain yksinkertaisten suorakulmaisten hilatopologioiden kanssa käytettäväksi. Näissä tapauksissa kontrollitilavuusmenetelmä redusoituu samaksi kuin differenssimenetelmä. Kummassakin diskretointitavassa virhettä voidaan arvioida, kun tiedetään pohjalla olevan diskretoinnin kertaluku. Kontrollitilavuusmenetelmässä integraalimuodolla on häivytetty differentiaaliyhtälöiden päällimmäinen nablaoperaattori ja tilalle on tullut vuon käsite. Vuoarvojen erotusten avulla itse asiassa approksimoidaan derivaattoja. Vuota laskettaessa on hyvä muistaa muutamia perussääntöjä, kuten esimerkiksi se, että keskeisdifferenssityyppistä diskretointia vastaa keskiarvon avulla lausuttu vuo ja epäsymmetrisissä diskretoinneissa suureita approksimoidaan laskentakoppien pinnoille toispuolisilla ekstrapoloinneilla. 4.2 Diskretointi paikan suhteen Varsinainen paikkadiskretointi eli konvektoituvien suureiden ekstrapolointi koppien seinille ei eroa tiheys- ja painepohjaisilla ratkaisulla toisistaan, joten seuraavassa tarkastellaan painepohjaisen ratkaisijan menetelmiä. (Menetelmät eroavat kylläkin vuon laskennan suhteen toisistaan). Tarkastellaan ajasta riippumattomia yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muotoon ρφv da = A A Γ φ φ da+ V S φ dv (4.6) missä Γ φ on diffuusiokerroin, S φ suureeseen φ liittyvä lähde ja φ suuren φ gradientti φ = φ φ φ i+ j+ x y z k (4.7) tasealueen pinnalla. Painepohjaiselle ratkaisulle on ominaista se, että linkitykset yhtälöiden välillä ovat heikot ja yhtälöt voidaan ratkaista yksitellen. Kaikki yhtälöt ovat muodoltaan samanlaisia. Jatkuvuusyhtälökin saadaan samasta malliyhtälöstä asettamalla φ = 1. Lähempi tarkastelu osoittaa, että liikemääräyhtälö ei ole yhtälön (4.6) kaltainen muuta kuin olettamalla viskositeetti µ vakioksi. (Viskositeetti vastaa diffuusiokerrointa Γ φ ). Oleellista kuitenkin on, että liikemääräyhtälökin on tyypiltään muotoa (4.6) vastaava konvektiodiffuusioyhtälö, jos painegradientti käsitellään lähdeterminä yhtälön oikealla puolella. Diskretoinnissa pintaintegraalit korvataan summauksella kopin pintojen yli. Esimerkkinä on kuvan 4.1 kolmion muotoinen kontrollitilavuus, jossa ratkaistavat suureet sijaitsevat tilavuuksien keskipisteissä c0 ja c1. Näiden välillä on pinta-ala A, joka on vektori.

101 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 100 c1 c0 A Kuva 4.1: Vuon laskenta kolmionmuotoisilla kontrollitilavuuksilla. Diskretoiduksi yhtälöksi tulee N faces j ρ j φ j ū j A j = N faces j [Γ φ ( φ) n A] j +S φ V (4.8) missä N faces on tilavuutta rajaavien seinien lukumäärä, φ j suureen φ arvo seinällä j, ū j seinää vasten kohtisuora nopeus, ns. konvektionopeus (käytetään myös termiä kontravariantti nopeuskomponentti), ( φ) n on φ:n gradientin arvo kopin seinää vasten kohtisuorassa suunnassa,a j seinän pinta-ala jav laskentakopin tilavuus. Yhtälön (4.8) vasemmalle puolelle muodostuu kopin seinän läpi menevä massavirta ṁ = ρūa. Yhtälössä (4.8) tilavuusintegraali muutettiin Gaussin lauseella pintaintegraaliksi ja pintaintegraali edelleen summaukseksi kopin pintojen yli. OpenFOAMissa ja monissa muissa ohjelmissa on gradientin diskretoimiseksi myös toinen vaihtoehto, joka perustuu pienimmän neliösumman menetelmään. Siinä gradientille etsitään sellainen arvo, että se vastaa mahdollisimman hyvin φ:n arvoja naapurikopeissa. Tällöin tilavuusintegraali summalausekkeen sijaan muuttuu kertomiseksi kopin tilavuudella. Riippumatta siitä, miten derivaattojen laskeminen on muutettu vain φ:n arvoja sisältäviksi laskutoimituksiksi, lopullisia diskreettejä yhtälöitä varten on lausuttava suureiden φ arvot koppien seinillä ja pinnan normaalin suunnassa oleva gradientti niinikään seinillä. Koska suureet spesifioidaan laskentatilavuuksien keskipisteissä (kts. kuva 4.1), on ne jollain tavoin interpoloitava pinnoille. Vaikka kyseessä on kontrollitilavuuskeino, interpolointitavat jaetaan differenssimenetelmän tavoin ensimmäisen ja toisen kertaluvun interpolointeihin. Interpoloinnit toimivat erilaisilla

102 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 101 hilatyypeillä samalla periaatteella. Kolmio- tai tetraedrihiloilla lausekkeista tulee pitempiä kuin rakenteellisella hilalla, mutta ilmeisesti FLUENTissa asia hoidetaan aina yleisemmällä (so. pitemmällä) tavalla. Seuraavassa tarkastellaan konvektoituvien suureidenφ j määritystä. Massavirran ja painegradientin laskentaan palataan myöhemmin. Interpolointimenetelmiä ovat mm. seuraavat: keskiarvoon tai lineaariseen interpolointiin perustuva ( keskeisdifferenssi ) ylävirtamenetelmä hybridimenetelmä power-law -diskretointi toisen kertaluvun ylävirtamenetelmä QUICK -menetelmä MUSCL-interpolointi FLUENTissa on tätä kirjoitettaessa valikossa ensimmäisen ja toisen kertaluvun ylävirtamenetelmät, power-law -menetelmä, QUICK ja kolmannen kertaluvun MUSCL. QUICK ja toisen kertaluvun ylävirtamenetelmät saataisiin myös MUSCLkaavasta. Menetelmien implemetointi ei ole suoraviivaista rakenteettomalle hilalle. Perinteisesti FLUENTissa ei käytetä kirjallisuudessa esiintyviä termejä diskretoinneille, joten käyttäjän on lähes mahdotonta tietää tarkasti miten koodi suorittaa diskretoinnin. Seuraavassa käsitellään asiaa vanhan manuaalin perusteella, jotta asiasta saadaan jonkinlainen käsitys. Yksinkertaisin interpolointikeino pinnalla A on ottaa keskiarvo suureen φ arvoista pisteissä c0 ja c1. Periaatteessa tässäkin voidaan interpoloida pisteiden välillä, mutta rakenteellisella hilalla (ei kuvassa) pelkkä keskiarvokin johtaisi toisen kertaluvun menetelmään. (Tästä asiasta enemmän CFD-kursseilla). Keskiarvoa vastaavaa menettelyä differenssimenetelmässä sanotaan keskeisdifferenssiksi ja samaa nimitystä käytetään usein kontrollitilavuusmenetelmän yhteydessäkin. Joskus keskeisdifferenssiä ei voida valita laskentaan ollenkaan, mikä saattaa vaikuttaa oudolta. Syynä tähän on se, että kaupallisessa ohjelmassa pyritään simuloinnin robustisuuteen. Keskiarvolla yhtälöihin liittyvä ns. numeerinen vaimennus on vähäistä (sitä ei olisi ollenkaan ilman sen keinotekoista lisäämistä ns. Rhie ja Chow -termin avulla).

103 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 102 Tällöin laskennalla on suuri taipumus kaatua. Vaikka keskiarvo on periaatteessa hyvä toisen kertaluvun interpolointitapa, sitä ei yleensä käytetä, koska laskenta halutaan tehdä mahdollisimman robustilla tavalla vaikkakin jossain määrin tarkkuuden kustannuksella. Toinen perustapa on ensimmäisen kertaluvun ylävirtamenetelmä. Tällöin käytetään sen laskentakopin arvoja pinnalla, mistä tuuli puhaltaa. Jos oletamme kuvan 4.1 tapauksessa virtauksen (so. nopeuskomponentin ū) suunnan oleva tilavuudesta c0 tilavuuteen c1, annetaan pinnalle pisteen c0 arvot. Tällaisella diskretoinnilla on ns. konvektio-ominaisuus eli virtauksen mukana informaatio leviää vain oikeaan, alavirran suuntaan. Diskretointi on erittäin robusti. Ns. implisiittinen vaihe yhtälöiden ratkaisussa perustuu aina ensimmäisen kertaluvun ylävirtadiskretointiin. Sitä ei kuitenkaan pidä käyttää varsinaiseen simulointiin, korkeintaan laskennan aloitusvaiheessa. Aiemmin tehtiin yrityksiä tarkentaa ensimmäisen kertaluvun ylävirtadiskretointia menemättä kuitenkaan korkeamman kertaluvun menetelmiin. Eräs tällainen yritys on ns. hybridimenetelmä, jossa käytetään ylävirtamenetelmän ja keskeisdifferenssin kombinaatiota riippuen laskentatilavuuteen referoidun Peclet n luvunρū x/γ φ arvoista. FLUENTissa ei ole hybridimenetelmää, mutta sen sijaan ns. power-lawdiskretointi. Power-law-menetelmä perustuu yksidimensioisen konvektiodiffuusioyhtälön tarkkaan ratkaisuun. Power-law -nimitys tulee siitä, että tarkkaa ratkaisua, joka sisältää e:n potensseja, approksimoidaan rationaalifunktiolla, jossa on viidennen asteen potensseja. Käytännössä tämä menetelmä redusoituu ensimmäisen kertaluvun ylävirtamenettelyä vastaavaksi ja sitä ei pidä missään tapauksessa käyttää. Käyttökelpoinen diskretointi sen sijaan on toisen kertaluvun ylävirtamenetelmä. Siinä φ:n arvo seinällä saadaan korjaamalla ensimmäisen kertaluvun arvoa φ 0 gradientin avulla φ j = φ 0 + φ s (4.9) missä φ 0 ja φ ovat siis tuulen puoleisia arvoja ja s on etäisyys tuulen puoleisen kopin keskipisteestä seinälle j. Tätä lauseketta varten on laskettava gradienttien arvot koppien keskellä. Tämä tapahtuu soveltaen Gaussin lausetta φ = 1 V N faces j φ j A j (4.10) missä jälleen V on kopin tilavuus ja A j seinän j pinta-ala. Yhtälössä (4.10), siis gradientin laskennassa, käytetään pinnalla olevalle suureelle φ j interpoloitua arvoa

104 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 103 pinnan kahden puolen olevien koppien arvoista. Tässä φ j :n laskenta ei siis mitenkään riipu konvektiotermin diskretoinnista. Yhtälön (4.9) luonteen selvittämiseksi voidaan kirjoittaa sen yksidimensioinen vastine. Tällöin osoittautuu, että kyseessä ei olekaan puhdas toisen kertaluvun ylävirtamenetelmä, vaan ylävirtapainotettu, ns. Frommin menetelmä. Kyseessä on joka tapauksessa toisen kertaluvun käyttökelpoinen diskretointi. FLUENTin manuaalin mukaan gradientin arvoja rajoitetaan siten, että vältytään ratkaisuun tulevilta oskilloinneilta. Kyseessä on ns. vuon rajoittaminen, joka voidaan tehdä monellakin tavalla. Kaikkein tavallisin tapa on ns. TVD-menetelmä, jota on käsitelty CFDperuskurssilla. FLUENTissa on ongelmana, että vuon rajoittaminen tehdään aina. Tähän palataan luvussa 5. FLUENTissa on myös ns. QUICK-menetelmä, joka ei kuitenkaan vastaa kirjallisuudessa esitettyä. QUICK-menetelmää usein pidetään kolmannen kertaluvun diskretointina, mutta todellisuudessa yleisesti käytössä olevissa kaupallisissa virtauslaskentaohjelmissa ei ole olemassa toista kertalukua tarkempia menetelmiä. Tarkempia menetelmiä olisi mahdollista käyttää vain joissain erikoistapauksissa. QUICKmenetelmä on yksi mahdollinen toisen kertaluvun diskretointi, jotka kaikki saadaan ns. MUSCL-kaavan avulla (yksidimensioinen tilanne) φ L i+1/2 = φ i + 1(1 κ)(φ 4 i φ i 1 )+ 1(1+κ)(φ 4 i+1 φ i ) φ R i+1/2 φ R i+1/2 = φ i+1 1(1+κ)(φ 4 i+1 φ i )+ 1(1 κ)(φ 4 i+2 φ i+1 ) (4.11) missä arvoa φ L i+1/2 käytetään pinnalla i+1/2, kun nopeus on positiivinen ja arvoa negatiivisella nopeudella. Yhtälöstä saadaan toisen kertaluvun ylävirtadiskretointi, kun κ = 1 ja keskeisdifferenssi (so. keskiarvo pinnan i + 1/2 kahden puolen olevista arvoista), kun κ = 1. QUICK-diskretointi vastaa arvoa κ = 1/2 ja edellä mainittu Frommin menetelmä, jota FLUENTissa nimitetään toisen kertaluvun ylävirtadiskretoinniksi, saadaan, kun κ = 0. Kolmannen kertaluvun MUSCL saadaan arvolla κ = 1/3, mutta tämä tarkkuus voidaan realisoida vain yksidimensioisessa tilanteessa. Heikkolaatuisella hilalla katkaisuvirhe ei usein ole edes muodollista toista kertalukua, vaan jonkin verran sen alle. FLUENTissa ei käytetä QUICK-menetelmää eikä MUSCL-kaavaa sellaisenaan. Tarkastellaan kuvaa 4.2 ja diskretointia pinnalla e. Oletetaan nopeus positiiviseksi

105 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 104 (vasemmalta oikealle). FLUENTissa QUICK -menetelmällä tarkoitetaan kaavaa [ φ e = θ x E x P + x E φ P + ] [ x P xw +2 x P φ E +(1 θ) φ P x P + x E x W + x P Olettamalla hilajako tasaväliseksi x W = x P = x E, saadaan [ ] φp +φ E 3 φ e = θ +(1 θ)[ 2 2 φ P 1 ] 2 φ W ] x P φ W x W + x P (4.12) (4.13) Selvästikin kyseessä on parametrilla θ painotettu keskeisdifferenssin ja toisen kertaluvun ylävirtamenetelmän yhdistelmä. Kyseessä on hieman toiseen muotoon kirjoitettu MUSCL-kaava (4.11). Alkuperäinen QUICK-menetelmä, jota FLUENTin manuaalissa nimitetään klassiseksi QUICKiksi, saadaan, kun θ = 1/8. Olettamalla itäisen pinnan e vastaavan indeksiäi+1/2, niin yhtälössä (4.11) φ L i+1/2 vastaa tätä diskretointia, kun κ = 1/2. X W X P X E W P E w e Kuva 4.2: Yksidimensioiset kontrollitilavuudet. Toisen kertaluvun menetelmillä ratkaisuun voi muodostua oskillointeja, jotka voidaan välttää käyttäen vuon rajoittamista. FLUENTissa rajoitetaan vuota parametrin θ avulla, mutta ei kuvata lähemmin miten. Kun lähtökohtana on yhtälö, joka on kirjoitettu muotoon keskeisdifferenssi + ylävirtamenetelmä, on mahdollista, että se redusoituu ns. van Leerin rajoittimella varustetuksi diskretoinniksi (kts. esim. CFD peruskurssi). Kyseessä ei siis ole alkuperäinen QUICK-menetelmä, vaan limitoitu ylävirtapainotettu diskretointi. Manuaalissa termiä QUICK luultavasti käytetään siksi, että siitä on tavallaan tullut eräänlainen korkeamman kertaluvun diskretointien tavaramerkki. Ongelmana FLUENTissa on siis se, että sekä ns. toisen kertaluvun ylävirtamenetelmällä ja ns. QUICKillä käytetään aina vuon rajoitinta. Kaikki diskretoinnit, mukaanluettuna FLUENTin QUICK, ovat tarkempia rakenteellisilla hiloilla, mutta ne voidaan laajentaa rakenteettomille. FLUENTin manuaalissa asiaa ei selosteta yksikäsitteisesti. Diskretoinnin (4.12) yhteydessä tode-

106 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 105 taan käytettäväksi rakenteettomalla hilalla normaalia toisen kertaluvun ylävirtamenetelmää. Loogista voisi olla, että lausekkeen jälkimmäinen termi korvataan toisen kertaluvun diskretoinnilla, mutta manuaalissa esitetyllä tavalla yhtälö (4.9) onkin Frommin menetelmä. Kertoimen θ määrittelyä olisi siinä tapauksessa muutettava, jotta kaava (4.12) toimisi samalla tavoin kuin rakenteellisella hilalla. Tämä on tietenkin mahdollista. Manuaalin tekstin voi kuitenkin tulkita myös siten, että muiden kuin heksaedrien pinnoilla käytetäänkin suoraan yhtälöä (4.9). Yhteenvetona voidaan todeta, että FLUENTissa on mahdollista käyttää toisen kertaluvun diskretointeja vuon rajoittimen kanssa. Diskretoinneista käytetään yleisesti käytössä olevia standardinimityksiä harhaanjohtavalla tavalla. Miten lopullinen diskretointi tehdään ei selviä kunnolla, edellä asiaa on yritetty arvailla. Käytännössä voidaan luultavasti käyttää kumpaa tahansa toisen kertaluvun menetelmää eivätkä tulokset silloin olennaisesti poikkea toisistaan. Jälleen on muistettava, että riittävällä hilatiheydellä tulokset konvergoituvat samoiksi eikä silloin niiden pidäkään erota toisistaan. Huomattava poikkema eri (toisen kertaluvun) diskretointimenetelmillä antaa aiheen epäillä hilan olevan liian harva tai konvergenssin epätäydellisen. Ensimmäisenä on siis tarkastettava, että laskenta on riittävästi supennut. OpenFOAMissa käyttäjä voi valita vapaasti eri interpolointimenetelmien välillä. Jokaiselle suureelle ja termille voi (ja täytyy) määritellä erikseen oma menetelmänsä. OpenFOAMin yleisimmät interpolintimenetelmät on lueteltu taulukossa 4.3. Taulukon menetelmistä kaikki paitsi otsikon Centred differencing alla olevat vaihtoehdot on tarkoitettu käytettäväksi konvektiotermin yhteydessä. Niitä voi kuitenkin halutessaan käyttää myös muiden termien yhteydessä - joskin on vaikea perustella, miksi näin kannattaisi tehdä. TVD ja NVD-menetelmien yhteydessä käyttäjä voi valita jonkun tarjolla olevista vuon rajoittimista. Konvektiotermin lisäksi on diskretoitava diffuusiotermit, jotka sisältävät derivaattoja laskentatilavuuksien pinnoilla. Diskretoinnista tulee aina toisen kertaluvun tarkka, mutta sen käytännön suorittaminen ei ole täysin ongelmatonta. Yhtälöllä (4.10) lasketaan koppien keskipisteisiin nopeusgradientit. Periaatteessa näistä keskipistearvoista voidaan ottaa keskiarvo ja saada siten toisen kertaluvun tarkka menetelmä koppien pintojen derivaatoille. Tämä on kaikkein yksinkertaisin tapa, mutta se johtaa hyvin laaja-alaisiin laskentamolekyyleihin diffuusiotermin osalta. Toinen tapa olisi laskea derivaattoja suoraan koppien pinnoille, mutta tämä on ohjelmallisesti hankalammin toteutettavissa. FLUENTin manuaalista ei selviä kumpaa tapaa ohjelma käyttää.

107 4.2. DISKRETOINTI PAIKAN SUHTEEN 106 Kuva 4.3: OpenFOAMin yleisimmät interpolintimenetelmät. Lhde:OpenFOAMUserGuide OpenFOAMissa gradientit lasketaan diffuusiotermin yhteydessä lähtökohtaisesti suoraan kopin pinnalle, mikä kuitenkin aiheuttaa ongelmia, jos hila on epäortogonaalinen. Epäortogonaalisessa hilassa kopin seinän normaali ja ympäröivien koppien keskipisteet yhdistävä jana ovat erisuuntaiset. Vinoudesta aiheutuvaa virhettä voidaan korjata koppien keskipisteissä laskettujen gradienttien avulla, jotka lasketaan eksplisiittisesti tunnettujen arvojen avulla. Onneksi käyttäjän ei yleensä tarvitse olla kovin huolissaan diffuusiotermin laskennasta. Tässä yhteydessä voidaan todeta, että useampipisteinen molekyyli on laskennassa huonompi sekä ratkaisun hyvyyden että konvergenssinopeuden suhteen. Konvektio- ja diffuusiotermien lisäksi OpenFOAMissa määritellään diskretointimenetelmät myös muille laskuoperaatioille. Itse asiassa konvektiotermin diskretointi vastaa tiettyihin suureisiin liittyvän divergenssioperaation diskretointia ja diffuusiotermin Laplacen operaattorin diskretointia. Alla on esitelty mahdolliset operaatiot: Gradientin seinää vastaan kohtisuora komponentti,( φ) n Gradientti, Laplace-operaattori, Divergenssi,

108 4.3. PAINEPOHJAINEN RATKAISIJA (PRESSURE-BASED SOLVER) 107 Alla on esimerkki siitä, miten liikemääräyhtälön diffuusiotermi voitaisiin määritellä. Ensiksi on annettava menetelmä divergenssioperaation diskretoimiseksi (Gauss). Lisäksi on määritettävä menetelmä, jolla diffuusiokerroin interpoloidaan kopin seinille (linear), sekä menetelmä nopeuden seinää vastaan kohtisuoran gradientin laskemiseksi (corrected). laplacian(nueff,u) Gauss linear corrected; Tarkemmin eri termien diskretoinnista OpenFOAMissa ja niihin liittyvistä mahdollisuuksista löytyy suomenkielisestä muistiosta tai OpenFOAMin nettisivuilta. 4.3 Painepohjainen ratkaisija (pressure-based solver) Liikemääräyhtälö Aiemmin painepohjaista ratkaisua nimitettiin peräkkäiseksi (segregated), koska menetelmässä ratkaistiin ensin ns. painekorjaus ja sen jälkeen diskretoidut yhtälöt yksi kerrallaan ( peräkkäin ). Kaupallisten koodien uutena piirteenä on kytkeä painekorjausyhtälö ja liikemääräyhtälö yhdeksi suureksi yhtälöryhmäksi. Tämän ratkaiseminen on hankalaa ja yksi ratkaisun iteraatiokierros vie moninkertaisesti aikaa perinteiseen painekorjausmenetelmään verrattuna. Iteraatiokierrosten määrä kuitenkin laskee ja menetelmän varmatoimisuus eli robustisuus paranevat. Käyttäjän kannattaa kokeilla molempia menetelmiä, useassa tapauksessa niiden laskenta-ajat ovat kuitenkin todennäköisesti samaa luokkaa. Menetelmät ovat perusteiltaan samoja, eroksi tulee yhtälöryhmä. Painekorjauksessa nopeuskomponenttien muutokset eliminoidaan eksplisiittisesti painekorjausyhtälöstä, jolloin saadaan neljä kertaa pienempi ryhmä, mutta tehtyjen approksimaatioiden vuoksi ratkaisua joudutaan alirelaksoimaan enemmän. Painekorjaustapojakin on useita. Monissa ohjelmissa voidaan valita SIMPLE, SIMPLEC ja PISO. Liikemääräyhtälöihin kytketty ratkaisu valitaan nimityksellä coupled, kytketty. Ratkaisutapa valitaan FLUENTissa Pressure-Velocity coupling valikosta. Kokonaan toisenlainen ratkaisutapa on tiheyspohjainen ( density-based), josta käytettiin ennen nimitystä kytketty (coupled). Nykyään siis kytketyllä ratkaisulla tarkoitetaan painepohjaista ratkaisua, jossa painekorjaus on korvattu modernimmalla jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöiden kytkennällä.

109 4.3. PAINEPOHJAINEN RATKAISIJA (PRESSURE-BASED SOLVER) 108 Tarkastellaan seuraavaksi painepohjaisen ratkaisun ominaispiirteitä. Tätä ratkaisua käytetään kokoonpuristumattomien yhtälöiden yhteydessä. Tässä ja jatkossa paneudutaan lähinnä SIMPLE-menetelmään. Painepohjaisia ratkaisumenetelmiä on paljon, mutta niiden perusteet ovat melko samanlaisia. Tasapainotilassa voidaan kirjoittaa jatkuvuusyhtälöksi ja vektorimuotoiseksi liikemääräyhtälöksi A A ρ V da = 0 (4.14) ρv V da = pi da+ τ da+ FdV (4.15) A A V missä τ on jännitystensori ja F tilavuusvoimien muodostama vektori. Liikemääräyhtälöiden lukumäärä on yhdestä kolmeen riippuen probleeman dimensioista. Kukin liikemääräyhtälön komponentti diskretoidaan yhtälön (4.8) tapaan. Tällöin kitkatermi ei ole aivan samanmuotoinen kuin yhtälön (4.8) diffuusiotermi ja lisäksi liikemääräyhtälössä on painegradientti. Diskretointi tehdään kuitenkin aivan samaan tapaan kuin edellä. Lopputuloksena saatava yhtälö on tapana kirjoittaa seuraavasti nopeuskomponentille u a p u p = nb a nb u nb + N faces j p j A x,j +S p (4.16) missäa x,j on laskentatilavuuden pinnanx-komponentti. Kertoimeta P jaa nb koostuvat massavirroista koppien pinnoilla ja diffuusiokertoimista ja ne määräytyvät, kun diskretointi on tehty edellisessä kappaleessa kuvatuilla menettelyillä. Summalauseke voi siis olla hyvin monien laskentakoppien yli. Ensimmäisen kertaluvun menetelmällä summaus koskisi vain naapurikoppeja. Edellä jo todettiin, että jos diffuusiotermi diskretoidaan ottamalla keskiarvoja koppien keskipisteille lasketuista arvoista, saadaan hyvin laaja laskentamolekyyli, mikä hidastaa konvergenssia. Yhtälössä (4.16) on vielä diskretoitava kertoimia a p ja a nb varten yhtälön (4.8) massavirta koppien pinnoilla ja paine. Näiden laskenta tapahtuu eri tavoin paine- ja tiheyspohjaisella ratkaisijalla. Tiheyspohjaisella käytetään laskentatilavuuksien pinnoilla myös massavirroille ja paineelle samaa interpolointitapaa kuin konvektoituville suureille. Nämä suureet siis käsitellään eri tavoin eri ratkaisutavoilla ja tulokset eivät siksi ole täysin samoja ennen kuin laskentahila on tarpeeksi tiheä. Tällöinhän molemmat ratkaisijat antavat saman (tarkan) ratkaisun.

110 4.3. PAINEPOHJAINEN RATKAISIJA (PRESSURE-BASED SOLVER) 109 FLUENTin oletusarvona painepohjaisella ratkaisijalla on käyttää paineen interpolointiin liikemääräyhtälöön perustuvaa menetelmää. Manuaalin tietojen perusteella on mahdollista arvailla, mitä tällä tarkoitetaan. Paineen interpolointia kuvatessa on viite kuuluisaan Rhien ja Chow n artikkeliin, jossa esitellään kuitenkin massavirran laskentaa ja sen yhteydessä tehtävää numeerista vaimennusta. Tätä massavirran laskentaa FLUENT käyttää jatkuvuusyhtälössä. Yleensä samaa massavirtaa käytetään liikemääräyhtälöissäkin, mutta FLUENTin osalta tämä seikka ei selviä manuaalista. Todennäköisesti FLUENT siis lisää liikemääräyhtälöön standardivaimennustermin, kun paineelle käytetään oletusarvodiskretointia. FLUENTissa on mahdollista myös interpoloida paine lineaarisesti keskipisteistä c0 ja c1 kopin pinnalle A (kts. kuva 4.1). Käytännössä riittäisi pelkkä keskiarvo toisen kertaluvun tarkkuuteen, mutta lineaarinen interpolointi on rakenteettoman hilan yhteydessä tarkempi. Laskennan pitäisi toimia näinkin, koska riittää, että Rhie ja Chow vaimennus on läsnä jatkuvuusyhtälössä. Tässä vaihtoehdossa on hieman vähemmän numeerista vaimennusta, kuin paineen oletusarvodiskretoinnin yhteydessä, joten tätä laskentatapaa voisi siinä mielessä jopa suositella. Koska asia ei täydelleen selviä manuaalin perusteella, molempia diskretointeja kannattaa kokeilla. Kolmantena vaihtoehtona on käyttää toisen kertaluvun interpolointia, jota käytetään konvektoituville suureille, myös paineelle. Kuten edellä todettiin tiheyspohjaisella ratkaisulla kaikki suureet, siis myös paine, interpoloidaan näin. Tällöin painegradientti tulee lausutuksi useamman kuin kahden pisteen avulla. TKK:ssa aikoinaan saatujen kokemusten mukaan painetta ei kuitenkaan yleensä kannata interpoloida näin. Se saattaa johtaa oskillointeihin lasketussa paineprofiilissa. Neljäntenä vaihtoehtona on kytkeä paineen interpolointiin tilavuusvoiman vaikutusta. Sitä suositellaan käytettäväksi esimerkiksi nosteen yhteydessä. Luultavasti sen merkitys lopputuloksiin on vähäinen, mutta menettely parantaa iteraation konvergenssia. Viides interpolointivaihtoehto aktivoi jollakin tavoin limitetyn hilan kaltaisen systeemin. Aktivointi tapahtuu PRESTO-optiolla. Limitetty hila ei ole enää muodissa ja tämä optio kannattaa jättää rauhaan. Se toimiikin vain rakenteellisella hilalla. Liikemääräyhtälöt voidaan siis ratkaista FLUENTissa yksi kerrallaan. Jos massavirrat ja paineet kopin pinnoilla tunnettaisiin, yhtälö (4.16) tuottaisi heti tarkan ratkaisun. Koska näin ei ole, on iteroitava. Yhtälön (4.16) paineita iteroidaan siten, että jatkuvuusyhtälö toteutuu. Menetelmää sanotaan painekorjaukseksi ja siinä samalla iteroidaan massavirtoja. Painekorjaukseen ja sen yhteydessä muodostuvien

111 4.3. PAINEPOHJAINEN RATKAISIJA (PRESSURE-BASED SOLVER) 110 yhtälöryhmien ratkaisuun palataan luvussa 5. Toisena vaihtoehtona on ratkaista jatkuvuusyhtälö ja liikemääräyhtälöt yhtä aikaa (FLUENTin kytketty ratkaisu) Jatkuvuusyhtälö Jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon N faces j ṁ j = 0 (4.17) missä ṁ j on pinnan j läpi kulkeva massavirta. (Manuaalissa massavirralle käytetään symbolia J, tällä kurssilla pyritään ainakin jossain määrin käyttämään standardimerkintätapoja). Yhtälö (4.17) voidaan kirjoittaa myös muotoon N faces j ρūa j = 0 (4.18) missäūon pintaa vasten kohtisuora nopeus. Painekorjausmenetelmässä jatkuvuusyhtälöä ei oikeastaan ratkaista ollenkaan, vaan sen avulla määritetään painekenttä. Ohjelmassa lasketaan massataseen virheitä yhtälön (4.18) avulla lähtien liikemääräyhtälöistä saaduista nopeuksista. Näitä käytetään painekorjausyhtälössä, joka saadaan liikemäärä- ja jatkuvuusyhtälöistä. Jatkuvuusyhtälöön on tässä vaiheessa sisällytettävä numeerista vaimennusta, muuten tuloksena on ns. shakkilautakuvio paineille. Tämä johtuu siitä, että rinnakkaisten laskentatilavuuksien paineiden välille ei tulisi ratkaisussa mitään kytkentää ilman vaimennustermiä. Vallassa oleva dogmi on lisätä vaimennus massavirtoihin (Rhie ja Chow -menetelmä). Kuten liikemääräyhtälön yhteydessä myös todettiin, vaimennusta ei kuitenkaan tarvitse käyttää muualla kuin jatkuvuusyhtälössä. Muissa yhtälöissä voidaan periaatteessa käyttää (jos halutaan) nopeuksien keskiarvoista laskettua konvektionopeutta. mutta jatkuvuusyhtälön kohdalla vaimennustermi on oltava mukana painepohjaisen ratkaisijan yhteydessä. Konvektiotermien ylävirtadiskretoinnista tulee ratkaisuun myös numeerista vaimennusta, mutta se ei riitä poistamaan painepohjaisen ratkaisijan shakkilautailmiötä. Olkoon seuraavassa ˆṁ laskentatilavuuksien keskipisteistä interpoloimalla saatu massavirran arvo. Esimerkiksi kuvan 4.1 tilanteessa pinnalla A FLUENT laskee lopullisen massavirran yhteydestä ṁ = ˆṁ+ ρa2 â P (p c0 p c1 ) (4.19)

112 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 111 missä â P on liikemääräyhtälön kertoimista kopeissa c0 ja c1 saatu keskiarvo. Kerroin on laadultaan sama kuin massavirta ja esimerkiksi CFX:n manuaalin perusteella CFX käyttää jonkinlaista tulovirtauksen massavirtaa kertoimen â P asemesta. Painekorjausratkaisussa liikemääräyhtälön kertoimet ovat tärkeässä asemassa. Massavirtaan siis lisätään termi, joka on pinnan kahden puolen olevien paineiden erotus. Tämä termi on luonteeltaan ns. vaimennustermi ja sen vaikutus menee nollaksi hilaa tihennettäessä muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissa (Rhie ja Chow -menetelmää ei voi sinällään käyttää tiivistys- eli shokkiaaltojen laskentaan. Vaimennustermistä lähemmin CFD-jatkokurssilla). Valitettavasti yhtälö (4.19) on ensimmäistä kertalukua lisätyn painegradientin vuoksi. Ohjelmassa ei ehkä käytetäkään yhtälöä (4.19) laskentaan, vaan on mahdollista korvata paine-ero kopin pinnoille MUSCL-tyyppisellä toisen kertaluvun ekstrapoloinnilla saatujen paineiden erotuksella. Ilmeisesti juuri tällä tavoin saatujen paineiden keskiarvoa olisi mahdollista käyttää myös liikemääräyhtälön painegradientissa. Aiemmin yhtälössä (4.19) käytettiin huomattavasti monimutkaisempaa paineen lauseketta, joka saattoi satunnaisesti olla jopa vaimennuksen sijasta algoritmia epästabiloiva. Massavirran laskentatavasta kannattaa huomata, että suoraan nopeuksien keskiarvoista laskettu massanvirrantiheys ei ole täsmälleen sama kuin ohjelman sisällä käytetty massavirta, koska myös paine-erot yhtälön (4.19) mukaisesti vaikuttavat massavirtaan. Tämä voi aiheuttaa päänvaivaa jälkikäsittelyvaiheessa ja ohjelmasta ehkä voidaan tulostaa kahdella tavalla määritellyt massavirrat. Tämän jälkeen painepohjaisessa ratkaisussa tarvittavat diskretoinnit on määritelty. Skalaarisuureiden ratkaisu ei tuo tilanteeseen enää mitään uutta. Ne voidaan ratkoa peräkkäin varsin mielivaltaisessa järjestyksessä. Järjestys määräytyy ohjelmassa sen mukaan, missä vaiheessa lasketaan mahdollisia lähdetermejä, aineominaisuuksia, turbulenssisuureita jne. Jos kaikissa yhtälöissä käytetään jatkuvuusyhtälön määrittelemää massavirtaa, yhtälöistä tulee samanmuotoisia ja ohjelma yksinkertaistuu. 4.4 Tiheyspohjainen ratkaisija (density-based solver) Yhtälöt ja matriisin pohjustaminen Tämä ratkaisija perustuu kokoonpuristuviin yhtälöihin ja perusmuodossaan sitä voidaan käyttää, kun Machin luku on yli 0,1. FLUENTissa käytetään ns. matriisin poh-

113 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 112 justamiskeinoa (preconditioning). Tällöin tiheyspohjainenkin ratkaisu toimii kaikilla Machin luvuilla. Menetelmä perustuu aikaintegrointiin, joten yhtälöt kirjoitetaan aina aikaderivaatan kanssa WdV + t V A [F G] da = V HdV (4.20) Ratkaisussa ei aikaderivaatalla ole välttämättä mitään varsinaista tekemistä ajan suhteen integroinnin kanssa. Kyseessä on vain tapa saavuttaa tasapainotila. Aukikirjoitettuna vektorit W ja F ovat ρ ρu W = ρv ρw (4.21) ρe ρv ρ Vu+p i F = ρvv +p j ρvw+p k (4.22) ρve +pv Matriisi G sisältää kitka- ja lämmönsiirto termit (diffuusiotermit) ja H on lähdetermi. Kahden viimeksi mainitun käsittely ei poikkea peräkkäisestä ratkaisusta, oleellinen ero tulee kitkattoman vuon osan, ns. Eulerin yhtälöiden ratkaisusta, jossa käytetään painepohjaisesta ratkaisutavasta poikkeavaa menettelyä sekä vuolle että sille perustuvalle numeeriselle ratkaisulle. Ratkaisu siis perustuu yhtälön (4.20) aikaintegrointiin. Kokemus on osoittanut, että ratkaisusta tulee hyvin kankea, jos virtauksen Machin luku lähestyy nollaa. Tämän vuoksi FLUENTissa käytetään matriisin pohjustamiseksi nimitettyä menetelmää, jolla periaatteessa voidaan ratkaista virtausta kaikilla nopeusalueilla. Menetelmä ei kuitenkaan välttämättä ole kaikissa tilanteissa kovin tehokas. Sen vuoksi tiheyspohjainen ratkaisija kannattaa valita silloin, kun tilanne muistuttaa aerodynaamista simulointia. Tällainen tilanne on esimerkiksi laivoilla. (Laivoilla tosin on mallinnettava myös nesteen pinta, täysin analoginen tilanne olisi sukellusveneillä). Yleensäkin tiheyspohjaista ratkaisua kannattaa käyttää tilanteissa, joissa on pelkkää virtausta, ei virtaukseen linkitettyä monimutkaista fysiikkaa. Matriisin pohjustaminen kohdistuu aikaderivaattaan. Tasapainotilassa aikaderivaatta on nolla, joten temppu ei siis periaatteessa vaikuta ratkaisun lopputulokseen.

114 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 113 Aluksi yhtälöillä tehdään aikaderivaatassa muuttujien vaihdos W Q QdV + [F G] da = HdV (4.23) t V A V missä Q = [p,u,v,w,t] on uusi ratkaistavien muuttujien vektori ja W/ Q on ns. Jacobin matriisi, joka näillä muuttujavalinnoilla on W Q = Γ = ρ p ρ T ρ p u ρ 0 0 ρ T u ρ p v 0 ρ 0 ρ T v ρ p w 0 0 ρ ρ T w ρ p H ρu ρv ρw ρ T H +ρc p (4.24) missäρ p ja ρ T ovat tiheyden derivaattoja paineen ja lämpötilan suhteen. Tässä vaiheessa ei ole tehty vielä mitään approksimaatioita. Aikaderivaatan muuttujat on vaihdettu ns. primitiivisuureisiin, joita käytetään myös peräkkäisessä ratkaisijassa. Alhaisella Machin luvulla esiintyvää konvergenssiongelmaa ei ole vielä muuttujavaihdolla ratkaistu. Tämä tehdään siten, että Jacobin matriisin Γ ominaisarvoja manipuloidaan. Perusideana on korvata virtauksen äänennopeus pseudoäänennopeudella, jolloin Machin luvulle saadaan selkeästi nollasta poikkeava arvo. Tämä menettely on aktiivinen ainoastaan alhaisella Machin luvulla ja modifioidussakin tilanteessa pseudomachin luku jätetään arvon 0,2 tienoille. Menettely takaa vain sen, että yhtälön luonne ei matemaattisesti muutu, kun lähestytään Machin lukua nolla. Modifiointi tehdään lisäämällä tiheyden derivaattaan ρ p termi 1/U 2 r, missä referenssinopeudenu r ohjelma valitsee paikallisesti ratkaistusta nopeuskentästä. Matriisin pohjustamisella rikotaan tarkkuus ajan suhteen. Yhtälöitä ei sinällään voida käyttää ajasta riippuviin tapauksiin, mutta käyttämällä ns. kaksinkertaista aikaintegrointia (dual time-stepping) voidaan pohjustuskeinolla ratkoa myös ajasta riippuvia tilanteita. Sinällään pohjustus on vain keino ratkoa tasapainotilan virtausta alhaisella Machin luvulla Vuon laskenta Tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä käytetään vuon laskennassa Roen menetelmää (Roe method, myös flux-difference splitting) tai AUSM-menetelmää. Tätä menetelmätyyppiä nimitetään myös approksimatiiviseksi Riemann-ratkaisijaksi tai Godunov-tyyppiseksi ratkaisuksi. Se soveltuu parhaiten kokoonpuristuvien yhtälöiden yhteydessä käytettäväksi. Vuon laskenta on sellainen, että virtauksessa esiinty-

115 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 114 vät tiivistysaallot voidaan saada jopa kahden laskentakopin väliin, siis niin epäjatkuvina kuin hilan resoluutio antaa myöden. Menetelmä edellyttää vuon Jacobin matriisilta nollasta poikkeavia ominaisarvoja, joten perusmuodossaan vuonkin laskenta sopii vain tilanteeseen, jossa Ma > 0,2. Roen menetelmässä kitkaton vuovektori kopin pinnalla lasketaan seuraavasti F = 1 2 (F R +F L ) 1 A δw (4.25) 2 missä vuotf R jaf L lasketaan kopin pinnan kummankin puolen arvoilla. Nämä arvot saadaan interpoloimalla kummastakin suunnasta kaavoilla (4.11) tai vastaavilla yhteyksillä. Kuten jo todettiin, tiheyspohjaisessa ratkaisutavassa ei ole eroa paineen, massavirran ja konvektoituvien suureiden interpoloinneilla. Kaikki lasketaan samalla tavalla. Suure δw = W R W L on ratkaistavien suureiden erotus oikealla ja vasemmalla puolen pintaa. Yhtälö (4.25) voidaan tavallaan tulkita toisen kertaluvun keskeisdifferenssiksi ja vaimennustermiksi. Tämä vaimennustermi hoitaa kuitenkin ylävirtapainotuksen oikealla, karakteristisiin suuntiin pohjautuvalla tavalla, joten kyseessä on myös eräänlainen ylävirtadiskretointi. Esimerkiksi ylisoonisella virtauksella vuon lauseke automaattisesti kytkee pois alavirran vaikutuksen. Lauseke myös poistaa mahdollisuuden shakkilautamaisiin ratkaisuihin eikä ylimääräisiä vaimennustermejä tarvita. AUSM-menetelmä on yksinkertaistettu versio kaavasta (4.25). Yleensä menetelmät tuottavat samanlaisen ratkaisun. Hilakonvergoitunut tulos on täsmälleen sama, mutta äärellisen kokoisella hilalla voi pieniä eroja näkyä. Joskus Roen menetelmä tuottaa epäfysikaalisen ratkaisun, mutta on epäselvää voidaanko tämä aina välttää AUSM-diskretoinnilla. Tilanne on hyvin harvinainen ja liittyy kitkattoman virtauksen simulointiin. FLUENTissa käytetään matriisin pohjustusta, jolloin ominaisarvojen manipulointi vaikuttaa myös vuon laskentaan matriisin A kautta. Tämä siis tapahtuu vain alhaisella Machin luvulla. Shakkilautamainen ratkaisu poistuu, mutta tilanteessa ei ole enää fysiikkaa mukana, vaan käyttäjä (tässä tapauksessa FLUENTiin valmiiksi ohjelmoitu algoritmi) manipuloi vaimennusta eräänlaisen Lindströmin vakion muodossa. Vakion valintatapa estää näennäistä Machin lukua nousemasta likimain yli arvon 0,2. Kyseessä oleva vaimennus on siis keinotekoista alhaisella Machin luvulla ja tehdään eri tavoin kuin painepohjaisen ratkaisun Rhie ja Chowmenetelmässä. Suuremmalla fysikaalisella Machin luvulla (Ma > 0,2) tämäntyyppistä vaimennusta ei tarvita. Paineen kytkentä tapahtuu fysikaalisella pohjalla. Nu-

116 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 115 meerisessa ratkaisussa on kuitenkin sisäistä vaimennusta ylävirtapainotetun diskretoinnin katkaisuvirheestä johtuen Tiheyspohjaisen menetelmän ratkaisutavat Tiheyspohjaisella ratkaisijalla käytetään aikaintegrointiin perustuvaa iterointitapaa, jota ei tule sekoittaa todelliseen ajan suhteen tarkkaan laskentaan. Ratkaisutapoja on kaksi, eksplisiittinen ja implisiittinen. Niiden erot ovat luultavasti melko pieniä, mikä aiheutuu siitä, että eksplisiittisessä ratkaisussa käytetään aika-askeleen pidentämisessä eräänlaista yksinkertaista implisiittistä operaattoria, residuaalin tasoittamista. Eksplisiittinen menetelmä perustuu m-askeliseen Runge-Kutta -menetelmään. Algoritmi on seuraava Q 0 = Q 0 Q i = α i Γ 1 tr i 1 Q i = Q i 1 + Q i Q n+1 = Q m (4.26) missä uuden iteraatiokierroksen n+1 arvo ratkaisuvektorille Q saadaan tekemällä i = 1,2,...,m Runge-Kutta askelta. Yleensä tehdään 3-4 askelta ja näille viritetään sopivat kertoimienα i arvot, jotta aikaintegrointi olisi mahdollisimman vaimentava. Tarkoituksenahan ei ole laskea ajan suhteen tarkasti, vaan aikaintegroida yhtälöitä, kunnes tasapainotila löytyy. Runge-Kutta -menetelmässä joudutaan laskemaan ns. residuaalimkertaa, mikä on aikaa vievää, mutta menetelmässä ei tarvita monimutkaista yhtälöryhmän ratkaisua. Residuaali askeleella i lasketaan olemassa olevista arvoista R i = N faces j [ Fj (Q i ) G j (Q i ) ] VH (4.27) Yhtälöissä käytetään paikallista näennäisaika-askelta, joka lasketaan yhteydestä t = CFL x λ max (4.28) missä CF L on ns. Courantin luku (lyhennys tulee nimistä Courant-Friedrichs-Lewy) ja λ max on pohjustetun yhtälön matriisin Γ 1 A paikallisesti maksimiominaisarvo. Paikallisuus merkitsee tässä, että aika-askel ei ole laskenta-alueessa vakio, vaan muuttuu laskentatilavuuden dimensioiden x i ja virtausolosuhteiden mukaan. Koska ominaisarvoihin vaikuttaa matriisin pohjustaminen, ovat aika-askeleetkin aivan

117 4.4. TIHEYSPOHJAINEN RATKAISIJA (DENSITY-BASED SOLVER) 116 erikokoisia eri nopeusalueilla. Paikallisen aika-askeleen merkitys on siinä, että eksplisiittiseen aika-integrointiin liittyy aika-askeleen pituutta säätelevä stabiilisuuskriteeri. Käyttämällä paikallista aika-askelta, saadaan se aina maksimoitua. Tässä katoaa ajan suhteen tarkkuus, mutta tarkoituksena onkin minimoida tasapainotilaan tarvittavien laskentakierrosten määrä. Aika-askelta voidaan vielä kasvattaa (Courantin lukua kasvattaa) ottamalla käyttöön residuaalien tasoittaminen. Kyseessä on eräänlainen yksinkertaistettu implisiittinen vaihe, jonka on havaittu stabiloivan yhtälöitä, jolloin voidaan käyttää hieman suurempaa Courantin luvun arvoa, mikä jälleen nopeuttaa tasapainotilan saavuttamista. Residuaalin tasoittaminenkin sotkee tarkkuuden ajan suhteen. Vaikka menetelmä siis pohjautuu aikaintegrointiin, se on oikeastaan vain eräs iterointitapa. FLUENTissa voidaan konvergenssia vielä kiihdyttää monihila-algoritmilla (FAS, full-approximation storage). Käyttäjä voi valita FLUENTissa myös implisiittisen ratkaisutavan tiheyspohjaisille menetelmälle. Myös implisiittinen ratkaisu pohjautuu aikaintegrointiin, mutta vuoarvot lausutaan uudella ajanhetkellä, mikä lisää stabiilisuutta. Tällöin voidaan käyttää pitempää paikallista aika-askelta t, mutta aikaa kuluu yhtälöryhmän ratkaisuun. On vaikea sanoa kumpi on tehokkaampi, eksplisiittinen vai implisiittinen ratkaisu. Implisiittisissä menetelmissä linearisoidaan uuden aikatason vuot, jolloin saadaan seuraava yhtälöryhmä D N faces j ( Fj G ) j Q n+1 = R n (4.29) Q k Q k Kerroinmatriisi on ns. lohkotyyppiä, jossa kuhunkin noodiin liittyy ratkaistavien suureiden määrän kokoisia osamatriiseja. Kolmidimensioisessa tapauksessa ratkaistavia suureita on viisi, joten yhtälön (4.29) kerroinmatriisin koko on laskentatilavuuksien määrä 5. Koska matriisin dimensio voi olla useita miljoonia, sen ratkaiseminen on aikaa vievää. Onneksi matriisi on harva ja lävistäjävaltainen. Diagonaalilla olevien osamatriisien D = V N faces t Γ+ j ( Fj G ) j Q k Q k (4.30) kokoa voidaan säädellä aika-askeleen koolla. Äärettömän pitkällä aika-askeleella diagonaalilla on painoa saman verran kuin diagonaalin ulkopuolella olevien termien

118 4.5. AJAN SUHTEEN TARKKA RATKAISU 117 summa. Tämä ominaisuus on suora seuraus kontrollitilavuusmenetelmän pääperiaatteesta, jossa sisääntulevien vuoarvojen summa tulee olla tasapainotilassa sama kuin kuin ulosvirtaavien voiden summa. Tällaisena matriisi käyttäytyisi huonosti iteratiivisten yhtälöryhmien ratkaisussa. Mitä lyhyempi aika-askel, sitä nopeammin yhtälöryhmän (4.30) ratkaisu konvergoi. Mutta lyhyellä aika-askeleella joudutaan taas ottamaan enemmän aika-askelia ennen kuin päästään tasapainotilaan. Jossain välissä on selvästikin jonkinlainen optimi. 4.5 Ajan suhteen tarkka ratkaisu FLUENTissa voidaan suorittaa ajan suhteen tarkka ratkaisu joko eksplisiittisesti tai implisiittisesti. Kuten jo edellä todettiin, näitä ei pidä sekoittaa tiheyspohjaisen menetelmän ratkaisutapoihin. Tarkka aikaintegrointi voidaan suorittaa painepohjaisessa ratkaisussa vain implisiittisesti, mutta tiheyspohjaisessa myös eksplisiittisesti. Eksplisiittisessä laskennassa käytetään siis tiheyspohjaista ratkaisutapaa ja periaatteessa samaa Runge-Kutta -algoritmia kuin tasapainotilan laskennassa. Nyt on kuitenkin käytettävä koko laskenta-alueessa samaa aika-askelta, mikä määräytyy sen laskentakopin mukaan, missä yhtälöstä (4.28) laskettu askel saa pienimmän arvonsa. Eksplisiittisessä aikaintegroinnissa ei voi myöskään käyttää matriisin pohjustamista eikä monihila-algoritmia. Matriisin pohjustamattomuuden vuoksi eksplisiittinen laskenta ei toimi kokoonpuristumattomalle virtaukselle. Kyseessä on siis puhdas eksplisiittinen laskenta, joka on hyvin aikaa vievää. Eksplisiittistä menettelyä kannattaa harvoin soveltaa, ajasta riippuvien ongelmien sovelluskohteena voi olla lähinnä tiivistysaaltojen etenemisprobleemat, mutta luultavasti niidenkin yhteydessä implisiittinen ratkaisu on parempi. Sekä paine- että tiheyspohjaisen ratkaisun kanssa implisiittisessä ajan suhteen tarkassa laskennassa aikaderivaatta käsitellään ikään kuin lähdeterminä ja siirretään yhtälön residuaaliin. Painekorjausmenetelmässä aikaderivaatan approksimaatio sisällytetään sinällään yhtälön (4.16) oikealle puolelle lähdetermiin S. Asia on merkillisempi tiheyspohjaisen menetelmän yhteydessä, koska siinähän ratkaisu jo perustui näennäisaikaintegrointiin. Todellinen aikaderivaatta lisätään yhtälöihin ja toteamalla, että aiemmin ei oikeastaan edetty reaaliajassa ollenkaan, vaan pseudoajassaτ, voidaan kirjoittaa Γ τ V QdV + t V WdV + A [F G] da = V HdV (4.31)

119 4.5. AJAN SUHTEEN TARKKA RATKAISU 118 Aikaderivaatan approksimaatio siis sisällytetään tässäkin lähdetermiin, mutta yhtälöryhmän ratkaisussa sovelletaan kuitenkin aiemmin esitettyä aikaintegrointipohjaista iterointia todellisen aika-askeleen sisällä. Fysikaalisen aika-askeleen, joka on simuloinnin suorittajan annettava, sisällä tehdään näennäisaikaintegrointia τ:n kokoisilla näennäisaika-askelilla. Tästä menettelystä käytetään nimitystä dual time stepping, koska siinä tehdään numeerisen aikaintegroinnin yhden aika-askeleen sisällä toinen, näennäinen aikaintegrointi. Tyypillisesti joudutaan ottamaan pseudoaskelta yhden aika-askeleen sisällä. Myös painekorjausmenetelmällä joudutaan iteroimaan aika-askeleen sisällä ja iteraatiokierrosten määrä on samaa luokkaa, ehkä vähän pienempi. Eksplisiittisessä integroinnissa käytetään Runge-Kutta -algoritmia ja se on joko toista tai kolmatta kertalukua tarkkuudeltaan ajan suhteen (ei sanota manuaalissa). Implisiittinen aikaintegrointi voi olla ensimmäistä tai toista kertalukua ajan suhteen. Merkitään hieman epäjohdonmukaisesti, mutta manuaalin tapaan, vuolausekkeen ja lähdetermien osuutta diskretoituna termillä F(φ). Implisiittinen ensimmäisen kertaluvun diskretointi, ns. Eulerin menetelmä, voidaan kirjoittaa muotoon φ t+ t φ t = F(φ t+ t ) (4.32) t missä vuon ja lähdetermien laskenta tapahtuu uuden ajanhetken t+ t arvoilla. Eulerin menetelmä on epätarkka ja lisää ratkaisuun numeerista diffuusiota. Tämän vuoksi sitä ei pitäisi käyttää kuin erikoistilanteissa. Tarkempi on toisen kertaluvun implisiittinen menetelmä, jossa käytetään kolmen aikatason arvoja 3φ t+ t 4φ t +φ t t = F(φ t+ t ) (4.33) 2 t Yleensä vain tätä kannattaa käyttää ajan suhteen tarkkaan laskentaan riippumatta siitä onko kyseessä paine- vai tiheyspohjainen ratkaisu. Integrointi on tällöin ehdoitta stabiilia, mikä tarkoittaa, ettei aika-askeleen pituudelle ole olemassa rajoituksia numeriikan kannalta. Aika-askel on kuitenkin valittava sellaiseksi, että haluttu ilmiö saadaan esille. Myös implisiittisellä menetelmällä voidaan laskea tiivistysaaltojen etenemistä, tällöin aika-askel on millisekunnin luokkaa. Jossain hitaassa tilanteessa aika-askel voi olla useita minuutteja. Eksplisiittisellä menetelmällä aika-askel olisi aina millisekuntien luokkaa pelkästään stabiilisuuden vuoksi (tämä tietysti riippuu myös laskenta-alueen koosta, joka määrää hilavälin x).

120 4.6. DISKRETOINTIMENETELMIEN ARVIOINTIA Diskretointimenetelmien arviointia FLUENT-ohjelmalla on useita juuria, minkä vuoksi ratkaisumenetelmiäkin on tarjolla useampia. Käyttäjälle saattaa aluksi tulla eri vaihtoehtojen välillä runsauden pulaa, vaikka itse asiassa vuon diskretoinnissa on todella vähän vaihtoehtoja. Monessa suhteessa FLUENT näyttäisi pohjautuvan RAMPANT-ohjelmaan, joka oli ensimmäinen kaupallinen rakenteettomaan hilaan perustuva ohjelma. FLUENT mitä ilmeisimmin käyttää RAMPANTiin pohjautuvaa tiedonhallintajärjestelmää ja hilatyyppejä (joiden valikoimaa on laajennettu). Tässä luvussa kuvattu Runge-Kutta - tyyppinen ratkaisumenetelmä erilaisine lisukkeineen on myös Jamesonin kehittämä 1980-luvun aikana. Tiheyspohjainen implisiittinen menetelmä on hieman erilaisessa muodossa käytössä lukemattomissa aerodynaamisiin sovelluksiin kehitetyssä ohjelmassa. Matriisin pohjustamiskeinoja ryhdyttiin kehittämään 90-luvulla, mutta kovin yleisiä ne eivät ole. Matriisin pohjustamiskeino on läheistä sukua ns. näennäispuristuvuuskeinolle, jota on käytetty Antony Jamesonin ohjelmissa laivavirtausten laskennassa. FLUENTissa tämän ratkaisumenetelmän laajentaminen matriisin pohjustamiskeinoksi on siten ollut varsin suoraviivaista. FLUENTissa yleensä sovelletaan painekorjausmenetelmää ja ohjelman varhaisempien version yhteydessä muita vaihtoehtoja ei ollutkaan. Vanhan FLUENTin juuret olivat lähinnä PHOENICS-ohjelmassa, ratkaisumenetelmä oli sama. Nykyisessä versiossa painekorjausmenetelmä on kehittynyt huomattavasti pidemmälle. Ohjelmassa sovelletaan ilmeisen rationaalisesti samoja osia eri ratkaisutavoille. Vaikka esimerkiksi suureiden ekstrapolointi pinnoille ja fysikaaliset mallit ovat samoja eri ratkaisutavoille, niiden liittäminen kahteen erilaiseen ratkaisijaan ei ole kuitenkaan triviaalia. Ratkaisijoiden soveltuvuuteen onkin jäänyt eroja, mikä käyttäjän on syytä ottaa huomioon. Eri ratkaisijoiden valintaa voidaan hahmotella seuraavasti: Yleensä valitaan aina painepohjainen menetelmä. Mikäli kyseessä on ajan suhteen tarkka laskenta, käytetään toisen kertaluvun diskretointia aikaderivaatalle. Tiheyspohjaista ratkaisijaa voidaan käyttää tietyissä erikoistilanteissa. Eräs tällainen on kokoonpuristuva virtaus. Jos laskentatehtävässä esiintyvän jonkinlaisen päävirtauksen Machin luku on yli 0,2, on syytä valita tiheyspohjainen ratkaisija. (Jos Machin luku nousee yli yhden painekorjausratkaisija toimii hyvin huonosti, jos ollenkaan). Tiheyspohjaisellakin ratkaisijalla käytetään ajan suhteen tarkassa laskennassa toisen kertaluvun implisiittistä menetelmää.

121 4.7. KERTAUS 120 Koska tiheyspohjainen ratkaisu perustuu matriisin pohjustukseen, se toimii periaatteessa Machin lukuun nolla asti. Sitä voidaan ja kannattaa käyttää eräissä virtaustapauksissa, mutta simuloinnin suorittajan on arvioitava ja sen jälkeen kokeiltava ratkaisun toimivuus. On myös huomattava, ettei tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä voida käyttää yhtä paljon fysikaalisia malleja kuin painekorjausratkaisijan. Se ei ole myöskään yhtä robusti, mutta se saattaa olla tarkempi ja nopeampi. Todennäköisesti tiheyspohjaista ratkaisijaa kannattaa käyttää tilanteissa, joissa on pelkkää virtausta ja tarkkuusvaatimus suuri (tiheä hila, pienen Reynoldsin luvun turbulenssimalli). Tällaisia sovelluskohteita ovat esimerkiksi puhaltimet ja pumput ja mahdollisesti jotkin lämmönsiirtotehtävät. 4.7 Kertaus teknisten sovellusten yhteydessä kontrollitilavuuskeino on yleisin yhtälöiden diskretointitapa yhtälöiden diskretoinnissa aiheutuu virhettä, jota nimitetään katkaisuvirheeksi. Yleensä virhe on luonteeltaan vaimentavaa ( numeerinen diffuusio ). suorakulmaisilla rakenteellisilla hiloilla kontrollitilavuuskeino redusoituu differenssimenetelmäksi FLUENTissa on kaksi erilaista ratkaisijaa, painepohjainen ja aikaintegrointipohjaisella menetelmällä toimiva tiheyspohjainen ratkaisija painepohjainen ratkaisu voidaan tehdä painekorjausyhtälön avulla (useita vaihtoehtoja) tai kytkemällä painekorjaus suoraan liikemääräyhtälöiden ratkaisuun FLUENTissa konvektiotermien diskretointi ei eroa eri ratkaisijoilla toisistaan konvektiotermien diskretointitavat ylävirtadiskretoinnit, joita FLUENTissa käytetään, sisältävät numeerista vaimennusta. Keskeisdifferenssi sen sijaan ei, joten sitä ei käytetä FLUENTissa robustisuusvaatimuksen vuoksi. FLUENTin toisen kertaluvun ylävirtadiskretointia vastaa ylävirtapainotettu Frommin menetelmä

122 4.7. KERTAUS 121 Poikkeama kahdella toisen kertaluvun menetelmällä saadulla tuloksella aiheutuu joko liian harvasta hilasta tai keskeneräisestä konvergenssista diffuusiotermin ja konvektioterminkin diskretointimolekyylin laajuudella on merkitystä konvergenssin ja myös tuloksen tasaisuuden kannalta. Tähän käyttäjä ei voi FLUENTissa vaikuttaa. painekorjausratkaisijan yhteydessä paineen interpoloinnissa oletusarvona on liikemääräyhtälöön perustuva kytkentä. Kyseessä lienee vaimennuksen lisääminen. paine voidaan interpoloida myös lineaarisesti. Järkevältä vaikuttava tapa, jota kannattaa kokeilla. jatkuvuusyhtälöön lisätään painepohjaisessa ratkaisussa aina Rhie ja Chow -vaimennustermi FLUENTissa painekorjausratkaisijan vaimennus on yksinkertaistettu ja toimii paremmin kuin kirjallisuudessa yleensä esiintyvä standarditapa tiheyspohjainen ratkaisija ei tarvitse Rhie ja Chow -tyyppistä vaimennusta, mutta alhaisella Machin luvulla matriisin pohjustus toimii keinotekoisena vaimennuksena. matriisin pohjustus pitää tiheyspohjaisen ratkaisijan näkemän Machin luvun tasolla 0,2. Suuremmilla reaalisen Machin luvun arvoilla pohjustusta ei käytetä. tiheyspohjaisella menetelmällä ratkaisut perustuvat aikaintegrointiin. On mahdollista käyttää joko eksplisiittistä tai implisiittistä menettelyä. ajan suhteen tarkka ratkaisu tulee tehdä toisen kertaluvun menetelmällä eksplisiittisellä aikaintegroinnilla ei juuri kannata laskea ajan suhteen tarkasti. Eksplisiittinen laskenta toimii vain kokoonpuristuvalla virtauksella, koska matriisin pohjustusta tai painekorjausmenetelmää ei voida käyttää. tiheyspohjaisella ratkaisutavalla ajan suhteen tarkassa implisiittisessä menetelmässä suoritetaan pseudoaikaintegrointi aika-askeleen sisällä

123 4.7. KERTAUS 122 myös painekorjausmenetelmällä suoritetaan iterointi aika-askeleen sisällä, koska menetelmä on aina implisiittinen. varsinaista aikaintegrointia ei pidä sekoittaa tiheyspohjaisessa ratkaisutavassa käytettyyn pseudoaikaintegrointiin ratkaisutavan valinta on tärkeä osa simulointitehtävän suorittamista Päivitetty

124 123 5 Painekorjausmenetelmä ja virtausratkaisun määrittely 5.1 FLUENTin ratkaisumenetelmät Kerrataan vielä ratkaisumenetelmien pääpiirteet. FLUENTin tiheyspohjainen ratkaisija on peräisin RAMPANT-ohjelmasta ja sen perusta on aikaintegrointipohjainen. Epälineaarisuuden vuoksi yhtälöitä joudutaan iteroimaan ja tiheyspohjaisella menetelmällä tämä tapahtuu integroimalla yhtälöitä ajan suhteen. Ratkaisijan tekemiä näennäisaika-askelia säädellään Courantin luvun avulla. Koska tarkoituksena on laskea tasapainotilaa, menetelmä ei ole ajan suhteen tarkka, vaan kyseessä on pikemmin iteraatiokierrokset kuin aika-askeleet. Ratkaisun kulku on hahmoteltu kuvaan 5.1. Kierroksen aluksi päivitetään nesteen aineominaisuudet kuten tiheys ja viskositeetti. Sen jälkeen ratkaistaan joko eksplisiittisellä tai implisiittisellä menetelmällä virtausyhtälöt ja nesteen komponenttien pitoisuusyhtälöt yhdessä. Ratkaisumenetelmä voi olla joko eksplisiittinen tai implisiittinen, mutta kummassakaan tapauksessa ei kyseessä ole ajan suhteen tarkka virtausyhtälöiden integrointi. Loput yhtälöt, kuten turbulenssiyhtälöt, ohjelma ratkaisee erillään vastaavalla tavalla kuin painepohjaisella ratkaisijalla. Painepohjainen ratkaisu tehdään aina implisiittisesti. Yhtälöt ratkotaan peräkkäin ja ne ovat muodoltaan samantyyppisiä konvektio-diffuusioyhtälöitä. Liikemääräyhtälön sisältämä painegradientti iteroidaan jatkuvuusyhtälön avulla sellaiseksi, että massatase toteutuu. Kaupallisissa koodeissa, kuten Fluentissa ja CFX:ssä, on perinteisen painekorjausmenettelyn rinnalle tullut ns. kytketty ratkaisu. Siinä paine ja nopeuskomponentit ratkaistaan kuvasta 5.2 poiketen yhtä aikaa jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöistä. Painekorjausmenetelmä perustuu massataseessa esiintyviin virheisiin ja liikemääräyhtälöt siinä ratkaistaan erikseen. Menettelystä käytetään myös

125 5.1. FLUENTIN RATKAISUMENETELMÄT 124 Päivitä muuttujat Ratkaise jatkuvuus, liikemäärä, gia, ener ja pitoisuusyhtälöt samanaikaisesti. Ratkaise turbulenss i ja muut skalaari yhtälöt Korvergenssi? Seis Kuva 5.1: Tiheyspohjaisen ratkaisun kulku. Päivitä muuttujat Ratkaise liikemäärä yhtälöt peräkkäin. Ratkaise painekorja usyhtälö. Päivitä paine ja pin kopinnan massavuo. Ratkaise energia, pitoisuus, turbule nssi, ja muut skalaariyht älöt peräkkäin. Korvergenssi? Seis Kuva 5.2: Painekorjausratkaisijaa käytettäessä suureet ratkotaan erillisillä yhtälöillä. nimitystä peräkkäinen (segregated). Painepohjaisilla menetelmillä iteraatiosyklistä tulee monivaiheisempi kuin tiheyspohjaisella ratkaisulla. Painekorjausmenetelmä on mahdollista laatia lukemattomilla eri tavoilla ja eri ohjelmissa on poikkeavuuksia. Perinteinen painekorjausalgoritmi on seuraava: 1. Päivitetään nesteen aineominaisuudet edellisen iteraatiokierroksen paineen ja lämpötilan arvoilla. Ensimmäisellä kierroksella käytetään alkuarvoista laskettuja ominaisuuksia.

126 5.1. FLUENTIN RATKAISUMENETELMÄT Ratkaistaan peräkkäin u-, v- ja w-liikemääräyhtälöt käyttäen edellisen kierroksen paineita ja massavirtoja. Massavirran laskentaa selostettiin luvussa 4. Tässä vaiheessa saatuja massavirran arvoja merkitäänṁ j:llä. 3. Koska kohdassa 2 saadut nopeudet eivät toteuta jatkuvuusehtoa paikallisesti, laaditaan paineen korjauksille Poisson-yhtälö, joka johdetaan jatkuvuus- ja liikemääräyhtälön avulla. Painekorjausyhtälön avulla korjataan paineet ja seinien pintanopeudet (konvektionopeudet). Yleensä tässä vaiheessa korjataan myös koppien keskellä sijaitsevien nopeuskomponenttien arvot. 4. Ratkaistaan loput yhtälöt päivitetyillä koppien pintojen massavirroilla. Kohdassa 2 käytetään seuraavalla kierroksella samoja massavirtoja. Kaikissa yhtälöissä käytetään painekorjauksen jälkeen seuraavaan painekorjaukseen asti samoja massavirtoja, joten kaikki yhtälöt ovat muodollisesti samanlaiset (lähdetermit ja osa diffuusiovuosta ovat erilaisia). 5. Kaksifaasilaskennassa tarvittavat faasien väliset kytkentätermit päivitetään tässä vaiheessa. 6. Tarkistetaan onko ennalta annettu konvergenssiraja saavutettu. Kytketty painepohjainen ratkaisu yhdistää vaiheet 2 ja 3. Kolmen liikemääräyhtälön ja Poisson-tyyppisen painekorjausyhtälön sijaan ratkaistaan yksi suuri yhtälöryhmä. Yhtälöryhmän ratkaisuaika on moninkertainen peräkkäiseen ratkaisuun verrattuna, mutta menetelmä on robustimpi ja iteraatiokierroksia tarvitaan vähemmän. Oikein parametrisoituna ratkaisuajat ovat samaa luokkaa, mutta kytketyn ratkaisun parametrisointi on ilmeisesti helpompaa ja sitä on alettu suosia. Kytketystä ratkaisusta on niukasti tietoa saatavilla ja jatkossa käsitellään enemmän perinteisiä menetelmiä. FLUENTin tiheyspohjaisen ratkaisun implisiittisessä menetelmässä syntyy lohkorakenteinen yhtälöryhmä, joka sitoo kaikki suureet toisiinsa. Jos käytetään tiheyspohjaisen ratkaisijan eksplisiittistä versiota, yhtälöryhmien ratkaisua ei tarvita ollenkaan. Painepohjaisella ratkaisijalla syntyy ratkaistavien suureiden lukumäärän verran erillisiä lineaarisia yhtälöryhmiä tai ainakin energiayhtälö ratkaistaan erillään muista (kytketty ratkaisu linkittää vain jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöt). Painekorjausyhtälön ratkaisuun kuluva aika on kriittinen ja sitä varten on kehitetty tehokkaita iteraatiomenetelmiä, jotka ovat välttämättömiä myös kytketyn ratkaisun yhteydessä. Kytketty ratkaisu tuottaa painekorjausta hankalamman yhtälöryhmän.

127 5.2. PAINEKORJAUSRATKAISU 126 Seuraavassa tarkastellaan ensin painekorjauksen perusteita ja sen jälkeen yhtälöryhmien ratkaisua. Painepohjainen kytketty ratkaisu toimii muilta osin samoin kuin painekorjausratkaisu, mutta Poisson-yhtälön ja erillisen liikemääräyhtälöiden ratkaisun tilalla on vain yksi suuri yhtälöryhmä, jonka rakenteeseen ei puututa tässä yhteydessä. 5.2 Painekorjausratkaisu Painepohjaisten menetelmien idea tulee siitä, että kokoonpuristumattomalla ratkaisijalla paine ei määräydy tilanyhtälöstä, vaan jatkuvuusyhtälön ja liikemääräyhtälön kytkennästä. Perinteistä ratkaisutapaa on nimitetty painekorjaukseksi, koska siinä jatkuvuusyhtälön virheen avulla korjataan vallitsevaa painetta, kunnes jatkuvuusyhtälö toteutuu yhdessä liikemääräyhtälön kanssa. Yleensä ohjelmissa on useita painekorjausratkaisijoita, joilla on seuraavat kirjainlyhenteet: SIMPLE, SIMPLEC ja PISO. Oikein parametrisoituina ratkaisutavoilla ei ole yleensä suuria tehokkuuseroja, minkä vuoksi käyttäjä voi aluksi valita turvallisesti SIMPLEn, joka on eräänlainen peruspainekorjausmenetelmä. SIMPLEstäkin on useita versioita ja niiden lähempi tarkastelu osoittaa painekorjausmenetelmän paljolti ad hoc -tyyppiseksi. Vuosien varrella on kehitelty erilaisia strategioita, joiden on huomattu käytännön laskennassa toimivan. SIMPLE-menetelmän pohjalla on yhtälö (4.19), josta lasketaan massavirratṁ j koppien seinillä. (Laskennallisen virtausmekaniikan jatkokurssilla todetaan lähtökohtana oikeastaan olevan kopin seinällä approksimoitu liikemääräyhtälö, mutta Rhie ja Chow -interpolointi perustuukin juuri liikemääräyhtälöön). Painekorjausyhtälöä johdettaessa lähdetään joka tapauksessa yhtälöstä (4.19), joka on ensimmäistä kertalukua. Massavirran laskennassa paine-ero on kyseisessä yhtälössä laskettava toisen kertaluvun kaavalla, muuten laskentatuloskin on ensimmäistä kertalukua. Tosin ei ole aivan selvää vaikuttaako katkaisuvirhe tältä osin haitallisesti lopputulokseen, varsinkin jos painegradientti on pieni. Painekorjauksen ideana on korjata massavirtoja siten, että massatase toteutuu eksaktisti. Pinnalla j saadaan massavirtakorjauksen jälkeen lasketuksi uusi massavirta yhteydestä ṁ j = ṁ j +ṁ j (5.1) missä ṁ j on liikemääräyhtälöiden ratkaisun jälkeen päivitetty massavirta ja arvoja ṁ j käytetään skalaariyhtälöille sekä seuraavan kierroksen liikemääräyhtälöiden

128 5.2. PAINEKORJAUSRATKAISU 127 ratkaisussa. Mikäli massavirtakorjauksiaṁ j ei alirelaksoida tässä vaiheessa, toteuttavat uudet korjatut massavirrat jatkuvuusyhtälön N faces j ṁ j = 0 (5.2) mitä liikemääräyhtälöiden ratkaisun jälkeen saaduista nopeuksista lasketut massavirratṁ j eivät toteuta ennen kuin ratkaisu on konvergoitunut. Liikemääräyhtälöiden jälkeen voidaan laskea jokaiselle laskentatilavuudelle massataseen virhe ṁ = N faces j ṁ j (5.3) Jos virhe on riittävän pieni, laskennan voidaan todeta konvergoineen. Mikäli näin ei ole, korjataan massavirtoja. Yhtälöistä (5.1) ja (5.2) saadaan N faces j ṁ j = ṁ (5.4) missä summaus on tilavuuden pintojenn faces yli. Massavirtoja siis korjataan siten, että korjausten summa on sama kuin massataseessa oleva virhe. SIMPLE-menetelmässä yhtälön (4.19) pohjalta saadaan linearisoimalla Sijoittamalla tämä yhtälöön (5.4) N faces ρa 2 j p = j ā P nb ṁ j = ρa2 j ā P (p c0 p c1) (5.5) ρa 2 j ā nb p nb ṁ (5.6) missä oikean puolen summaus tapahtuu naapurikoppien yli. Yhtälö (5.6) on ns. painekorjausyhtälö. Kun kaikille laskenta-alueen kopeille on laskettu massataseen virhe ja kertoimet ā nb ovat tiedossa liikemääräyhtälön diskretoinnista, voidaan laskea paineille korjauksetp. Sen jälkeen saadaan massavirran korjaukset yhtälöstä (5.5). SIMPLE-menetelmä ei ole stabiili ellei painetta alirelaksoida. Tämä tapahtuu alirelaksaatiokertoimenα p avulla. Uusi korjattu paine on p = p +α p p (5.7) Painetta joudutaan alirelaksoimaan joskus huomattavasti, esimerkiksi niinkin alhaista kerrointa kuinα p = 0,1 voidaan joutua käyttämään. Mitä alhaisempi alirelaksaatiokertoimen arvo, sitä hitaampi konvergenssi. Hankalat laskentatehtävät konvergoivat hitaasti paljolti juuri alirelaksaation tarpeen vuoksi. Alirelaksaation tarvetta

129 5.2. PAINEKORJAUSRATKAISU 128 syntyy monista syistä. Eräs perusselitys on, että SIMPLE-menetelmässä jätetään linearisoinnissa (5.5) naapurikoppien nopeudet huomioon ottamatta. Tilanteeseen vaikuttaa kuitenkin myös reunahedot, virtauksen fysiikka mukaan lukien turbulenssimallit sekä myös laskentahilan laatu. Jos laskentaverkko on pahannäköinen se vaikuttaa yhtälöiden kertoimiin ja sitä kautta konvergenssiin, ei ainoastaan numeeriseen virheeseen. Myös massavirtaa (tai oikeastaan nopeuksia) voidaan alirelaksoida tässä vaiheessa. FLUENTin manuaalista ei selviä varmuudella miten nopeuksia alirelaksoidaan. Suoraviivaisinta on alirelaksoida nopeuksia yhtälön (4.16) ratkaisun jälkeen seuraavasti u = u n +α u u (5.8) missä α u on nopeuden alirelaksaatiokerroin ja u edellisen kierroksen nopeuden u n ja yhtälöstä (4.16) ratkaistun nopeuden erotus. Liikemääräyhtälöä voidaan alirelaksoida myös yhdistämällä relaksaatiokerroin suoraan yhtälön (4.16) kertoimiin. Painekorjauksen jälkeen on vielä mahdollista tehdä pintojen massavirtojen korjauksen yhteydessä relaksointia ṁ j = ṁ j +α m ṁ j (5.9) Ilman massavirtojen tai nopeuksien alirelaksaatiota massatase toteutuu tarkasti tehtyjen massavirtakorjausten jälkeen. Tämä on eräs menetelmän perusominaisuuksista. Tehtyjen korjausten jälkeen liikemääräyhtälö ei kuitenkaan toteudu ellei ratkaisu ole konvergoitunut. Jos pintanopeuksia alirelaksoidaan tässä vaiheessa ne eivät toteuta massatasetta eksaktisti ennen kuin iteraatio on supennut. Liikemääräyhtälön alirelaksointi tehdään yleensä yhdistämällä relaksaatio yhtälön (4.16) kertoimiin. Nyt on huomattava, että painekorjauksen jälkeen saadaan luontevasti koppien pinnoilla olevien massavirtojen korjaukset, mutta ei koppien keskellä spesifioitujen nopeuksien korjauksia. Nopeudet voidaan korjata joko ottamalla keskiarvo pintanopeuksien korjauksista tai sitten korjaamalla suoraan nopeuksia yhtälön (5.5) kaltaisesta yhteydestä. Vastaava yhtälö voidaan näet johtaa myös koppien keskipisteiden nopeuskorjauksille kopin pintojen painekorjauksien avulla, kuten limitetyssä hilassa tehdään. Kytketyllä ratkaisulla saadaan paineen ja nopeuden muutokset ratkaistuksi kerralla ja ne päivitetään samaan tapaan kuin painekorjausmenetelmässä alirelaksaatiokertoimien avulla. Kuten edeltä huomataan painekorjausmenetelmään liittyy paljon erilaisia vaihtoehtomahdollisuuksia ja relaksointitapoja, joihin ohjelman käyttäjän

130 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 129 on saatava tuntuma. Muuten ratkaisusta voi tulla tehoton tai se ei konvergoi ollenkaan. Harvemmin käytetyllä tiheyspohjaisella ratkaisulla vaihtoehtoja on vähemmän, käyttäjälle jää ainoastaan annettavaksi paikallisen Courantin luvun arvo. Koska yllä kuvattu painekorjausmenetelmän versio ( SIMPLE ) sisältää epämääräisyyksiä ja ad hoc -tyyppisiä virityksiä (joihin ei läheskään kaikkiin voida puuttua tässä yhteydessä), on kehitelty paljon erilaisia painekorjausmenetelmän versioita. FLUENTissa on mahdollista käyttää SIMPLEC- ja PISO-algoritmeja, joilla molemmilla pyritään pääsemään alirelaksaatiosta eroon. Näin ei välttämättä aina käy, vaikka alirelaksaatiokertoimille voitaisiinkin käyttää suurempaa arvoa. SIMPLEC eroaa SIMPLEstä vain vähän ja sitä kannattaa kokeilla. PISOn pitäisi olla tehokkaampi eräissä tilanteissa, mutta menetelmä on työläämpi kuin SIMPLE. Laskentaaikaa saattaa siis kulua enemmän kuin SIMPLEllä vaikka iteraatiokierroksia kuluisikin vähemmän. 5.3 Yhtälöryhmien ratkaisu ja monihila-algoritmi Yhtälöryhmien ratkaisutarve Yhtälöiden ratkaisussa, lukuun ottamatta tiheyspohjaisen menetelmän eksplisiittistä ratkaisua, syntyy yhtälöryhmiä yksi jokaista ratkaistavaa suuretta kohti. Painekorjausmenetelmän yhteydessä aikaa vievin yhtälö on painekorjausyhtälö (5.6). Yhtälö on ns. Poisson-tyyppiä, jossa lävistäjäalkio on yhtä suuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin muiden alkioiden summa. Tällaisena yhtälön ratkaisu konvergoi huonosti. Tässä yhteydessä on taas syytä huomata, että ratkaisussa termillä konvergenssi voidaan tarkoittaa sekä koko epälineaarisen yhtälöryhmän, so. itse virtaustehtävän konvergenssia, että jokaisella iteraatiokierroksella tapahtuvaa lineaaristen yhtälöryhmien konvergenssia. Virtaustehtävissä syntyvät yhtälöryhmät ovat näet niin suuria, ettei niitä kannata ratkaista suoralla menetelmällä. Painekorjausyhtälöä voidaan alirelaksoida jo ratkaisuvaiheessa siten, että yhtälön (5.6) lävistäjästä tulee suurempi kuin muiden alkioiden summasta. Tällöin iteratiivinen ratkaisu tulee paremmin käyttäytyväksi. Periaatteessa yhtälön voisi ratkaista vaikka yksinkertaisella Gauss-Seidel -menetelmällä, mutta tämä olisi hidasta. Sen vuoksi FLUENTissa käytetään kaikkien yhtälöryhmien ratkaisussa Gauss-Seidel - menetelmään yhdistettyä ns. algebrallista monihilamenetelmää (AMG, algebraic multigrid), jossa pohjalla oleva Gauss-Seidel toimii ns. tasoittajana (smoother).

131 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 130 Algebrallista monihilaa käytetään myös liikemäärä- ja skaalaariyhtälöiden ratkaisussa. Tämä ei olisi aivan välttämätöntä, koska osoittautuu, että tyyppiä (4.16) olevien yhtälöiden ratkaisu on helpompaa lävistäjävaltaisuuden vuoksi. Algebrallista monihilaa käytetään myös implisiittisen tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä syntyvän lohkotyyppisen yhtälöryhmän ratkaisuun. Tiheyspohjaisen menetelmän eksplisiittisessä ratkaisutavassa sen sijaan yhtälöryhmiä ei synny, mutta silloinkin voidaan käyttää ns. residuaalin tasoittamista. Kuitenkin eksplisiittisessäkin ratkaisussa sovelletaan monihila-algoritmia, mutta hieman toisin. Menettelystä käytetään nimitystä FAS (full approximation storage multigrid). OpenFOAMissa jokaiselle yhtälöryhmälle valitaan oma ratkaisumenetelmä neljästä eri vaihtoehdosta. Tarjolla olevat ratkaisijat on lueteltu taulukossa 5.3. Kuva 5.3: OpenFOAMin lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisijat. Lähde:OpenFOAM User Guide Konjugaattigradienttimenetelmien yhteydessä käytetään pohjustimia (preconditioner), joiden tarkoituksena on helpottaa ratkaisuprosessia. Näitä on tarjolla viisi kappaletta, jotka on lueteltu taulukossa 5.4. Tasoittajaa tarvitsevan ratkaisijan yhteydessä tulee puolestaan määritellä tasoittaja. Valittavissa on Gauss-Seidel, Diagonal incomplete-cholesky sekä näiden yhdistelmä. Tarve monihila-algoritmin käytölle syntyy siitä, että lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen tarvittavien iteraatiokierrosten määrä kasvaa, kun yhtälöiden (laskenta-tilavuuksien) määrä kasvaa. Kun tietokoneiden muistin suureneminen on mahdollistanut entistä suuremmat laskentatehtävät, rajoittavaksi tekijäksi on muodostunut juuri yhtälöryhmien iterointi. Ainoa tunnettu menettelytapa, jolla yhtälöryhmän iteraatiokierrosten määrä saadaan samaksi riippumatta yhtälöryhmän koosta, on monihila-algoritmi. Tällöin ratkaisuajasta tulee suoraan verrannollinen yhtälöiden lukumäärään. Monihila-algorimi voidaan toteuttaa usealla tavalla, joille on yhteistä ratkaisun vieminen eteenpäin usealla eri hilatiheydellä. Tämä sen vuoksi, että

132 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 131 Kuva 5.4: OpenFOAMin lineaaristen yhtälöryhmien pohjustimet. Lähde:OpenFOAM User Guide perinteiset iterointitavat vaimentavat huonosti ratkaisussa olevaa globaalia virhettä ( pitkiä aallonpituuksia ). Sen sijaan lokaali virhe eli lyhyet aallonpituudet pienenevät nopeasti. Yhdistämällä yhtälöitä tai laskentatilavuuksia, saadaan lopulta hyvin pieni yhtälöryhmä, joka hoitaa globaalin virheen elimoinnin yhtä nopeasti kuin tiheä taso lokaalit virhekomponentit Monihila-algoritmien peruskäsitteitä Virtausratkaisuun on siis mahdollista soveltaa monihilan periaatteita usealla tavalla. On mahdollista jopa rakentaa kaksivaiheinen menetelmä, jossa ulkoisessa iteraatiossa käytetään erästä monihila-algoritmityyppiä ja yhtälöryhmien ratkaisussa toista. FLUENTissa käytössä olevissa menetelmissä lähdetään ratkaisemaan korjauksia. Lineaarisen yhtälöryhmän tapauksessa eksakti ratkaisuφ e toteuttaa yhtälön Aφ e +b = 0 (5.10) ennen kuin lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu on konvergoitunut, on olemassa approksimaatioφ, joka toteuttaa yhtälön Aφ+b = d (5.11) missä d on virhevektori (defect). Ratkaisussa etsitään korjausta ψ, joka toteuttaa yhtälön φ e = φ+ψ (5.12) Sijoittamalla tämä yhtälöön (5.10) saadaan A(φ+ψ)+b = 0 (5.13)

133 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 132 mistä nähdään korjausratkaisun ψ toteuttavan yhtälön Aψ +d = 0 (5.14) Monihila perustuu virheen iterointiin yhtälöstä (5.14). Yhtälöä iteroidaan usealla eri hilatiheydellä, jolloin virheen eri komponentit (aallonpituudet) vaimenevat hyvin. Koska ratkaisu siis tapahtuu usealla eri resoluutiolla, sitä on siirrettävä eri hilatasojen välillä. Operaatioista käytetään nimityksiä restriction (rajoittaminen) ja prolongation (oikeastaan interpolointia). Harvalla hilatasolla, joka saadaan rakenteellisella hilalla yksinkertaisesti poistamalla joka toinen hilaviiva, mutta rakenteettomalla monimutkaisemmin yhdistämällä rinnakkaisia laskentatilavuuksia, toteutuu yhtälö A H ψ H +Rd = 0 (5.15) missä ψ H on harvemman hilatason korjaus ja A H kerroinmatriisi harvemmalla hilalla. OperaattoriRhoitaa virheen kuljettamisen harvemmalle hilalle. Tässä on tärkeää huomata, että d lasketaan tiheällä tasolla ja tiheän tason virhe ajaa ratkaisua harvemmillakin tasoilla. Kun ratkaisu on supennut, niin d = 0 ja monihilasyklistäkin tuleva korjaus tiheimmälle tasolle on silloin nolla. Kun korjaus on saatu harvalla tasolla, se siirretään tiheämmälle φ new = φ+pψ H (5.16) missä φ on sillä hetkellä kyseisellä tasolla oleva korjauksen arvo ja P prolongaatiooperaattori. Tässä on oikeastaan kyseessä interpolointi, koska korjaus siirretään harvalta tasolta interpoloimalla tiheämmän tason hilapisteisiin. Kahdella hilatasolla monihila-algoritmi on suhteellisen yksinkertainen. Ratkaisua ensin iteroidaan tiheimmällä tasolla korjausmuodossa yhtälöstä (5.14). FLUENTissa tähän siis käytetään yksinkertaisinta mahdollista menetelmää, Gauss-Seidelia. Iterointeja tehdään kuitenkin vain rajoitettu määrä, minkä jälkeen siirrytään toiselle harvemmalle tasolle ja ryhdytään siellä iteroimaan yhtälöä (5.15). Iteroinnista käytetään nimitystä tasoittaminen ja Gauss-Seidel -menetelmä on siis tässä tapauksessa tasoittaja. Yksinkertaisimmassa tapauksessa ratkaisun korjausψ H interpoloidaan tiheämmälle (ykkös) hilatasolle ja aloitetaan kierros alusta. Kun d 0 eli täyttää suppenemiskriteerin, iteraatio lopetetaan. Tilanteen tekee monimutkaiseksi mm. se, että painekorjausmenetelmä on iteratiivinen ja kaikkia yhtälöitä ei tarvitse ratkaista kovin tarkasti. Kriittisin on itse painekorjausyhtälö tai kytketyllä painepohjaisella

134 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 133 menetelmällä muodostettu suuri yhtälöryhmä. Tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä yhtälöryhmän ratkaisulla on taas toiset tarkkuusvaatimukset. Yleensä hilatasoja voidaan ja kannattaa käyttää niin paljon, että harvimmalla tasolla yhtälöitä (ja koppeja) on vain muutama jäljellä. Tyypillisesti voidaan ratkaisua tehdä esimerkiksi viidellä tasolla. Tällöin algoritmista tulee monimutkaisempi, koska siirryttäessä esimerkiksi tasolta kaksi tasolle kolme, täytyy tasolla kaksi tehdyt korjaukset ottaa jo huomioon virhevektorissa d. Alemmalle tasolle edetessä käytössä on aina edellisen hilatason ratkaisussa jo päivitetty d:n arvo. Ylöspäin eteneminen on suoraviivaisempaa, yhtälön (5.16) mukaan interpoloidaan virheen korjaus seuraavan tason koppeihin. Algoritmia kutsutaan V-sykliksi. On myös mahdollista käyttää erilaista strategiaa, ns. W-sykliä, jossa korjausta ei tuodakaan ylös asti, vaan sukelletaan jossain kohdassa uudestaan harvemmille tasoille. Erilaisten kombinaatioiden mahdollisuuksia on lukemattomia, menettelytapoja kuvataan FLUENTin manuaalissa. FLUENTissa on myös käytössä F-sykli ja ns. joustava (flexible) sykli. Näiden käyttöä voidaan säädellä käyttäjän toimesta, mutta ilman asiantuntemusta siihen ei kannata ryhtyä. FAS-algoritmin yhteydessä käytetään oletusarvoisesti V-sykliä. Edellä jo todettiin, että rakenteellisella hilalla restriktio- ja prolongaatio-operaattorit ovat yksinkertaisia. Viimeksi mainittu perustuu bilineaariseen interpolointiin. Rakenteettomalla hilalla menettelyt ovat monimutkaisempia ja niiden perusteita kuvataan jatkossa Algebrallinen monihila Algebrallisessa monihilassa (AMG) ratkaistaan lineaarista yhtälöryhmää, kun taas FAS-menetelmä kohdistuu suoraan itse virtausyhtälöiden iterointiin. Tämä tekee algebrallisesta menetelmästä yksinkertaisen, koska ei tarvita mitään geometrista tietoa, ainoastaan yhtälöryhmä. Menetelmä sopii siis eräänlaiseksi mustalaatikkoratkaisijaksi, koska sen soveltamiseen ei tarvita erikoistoimenpiteitä rakenteettomallakaan hilalla. Hilatasojen välillä tiedonsiirto tehdään bilineaarisella interpoloinnilla ja prolongaatiolla. Virhevektori d saadaan harvalla tasolla yksinkertaisesti summana niistä tiheämmän tason arvoista, jotka kuuluvat harvemman tason kopin alueelle. Harvemman tason korjaukset asetetaan suoraan tiheämmän tason koppeihin (prolongaatio). Tällä tavoin kyseiset operaattorit suhtautuvat toisiinsa seuraa-

135 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 134 vasti P = R T (5.17) Rakenteettomassa topologiassa, jota FLUENTissa käytetään myös rakenteelliselle hilalle, R määritellään yhdistämällä sopivasti rinnakkaisia koppeja. Yhdistämisstrategiassa koppi yhdistetään yhden tai useamman (tyypillisesti yhdistetään 2-4 koppia) naapurinsa kanssa. Yhdistämisessä preferoidaan naapurisuuntia, joissa kytkentäkerroin a ij on suurin. Tiheyspohjaisessa ratkaisussa a ij :n tilalla on matriisin lohko, jolloin yksinkertaisesti tarkastellaan lohkon ensimmäistä termiä. Painepohjaisen kytketyn ratkaisun menettely ei ole selvillä. Harvalla tasolla operaattoria H saadaan Galerkinin menetelmällä A H = RAP (5.18) Yhtälö (5.18) redusoituu käytännössä yksinkertaisiksi summauslausekkeiksi. Algebrallisessa monihilassa käytetään painekorjaukselle V-sykliä ja muille suureille joustavaa (flexible) sykliä. Tämä johtuu yhtälöiden ratkaisemisessa vaadittavasta tarkkuudesta ja painekorjausyhtälön luonteesta (Poisson-yhtälö). Alirelaksaation kanssa muut yhtälöt ovat lävistäjävaltaisia ja niitä ei tarvitse iteroida yhtä kauan. Joustavaa sykliä käytettäessä alemmilla hilatasoilla vieraillaan vain satunnaisesti. Tämä merkitsee sitä, että virtausyhtälöillä itse asiassa käytetään useimmiten pelkkää Gauss-Seidelia, mutta painekorjausyhtälöllä monihilaa FAS-monihila Kuva 5.5: FAS-menetelmässä on yhdistettävä rinnakkaisia laskentatilavuuksia toisiinsa geometrisesti muodostettaessa harvan hilatason yhtälöitä. FAS-menetelmässä ratkaistaan diskretoidut virtausyhtälöt usealla hilatasolla. Jotta vuoarvot voitaisiin laskea, on myös geometriset suureet siirrettävä seuraavalle ta-

136 5.3. YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISU JA MONIHILA-ALGORITMI 135 solle. Operaatio on yksinkertainen rakenteellisella hilalla, mutta monimutkaisempi rakenteettomalla. Rakenteettomalla hilalla laskentatilavuuksien pinnoista muodostuu monimutkaisia harvoilla hilatasoilla. Laskenta ei ole niin monimutkaista, kuin miltä näyttää, koska vuoarvoissa käytetään vain pinta-alojen projektioita. Pinnoista siis tulee eräänlaisia tasoja. Prolongaatio- ja restriktio tapahtuvat myös yksinkertaisesti. FAS-menetelmässä virhevektorin d tilalla on virtausyhtälöiden residuaali. Residuaalien summa siirretään seuraavalle tasolle, samoin kuin ratkaistavien suureiden arvot. Nämä saadaan tilavuuspainotteisella keskiarvolla. Prolongaatio hoidetaan siirtämällä harvan tason korjaus suoraan tiheän tason koppeihin. FLUENTin FAS-menetelmää käytetään vain tiheyspohjaisen ratkaisun eksplisiittisen integroinnin yhteydessä. Tasoittaminen tapahtuu ratkaisemalla yhtälöt uudestaan harvalla hilatasolla käyttäen tiheämmältä tasolta saatua residuaalia. Harvalla tasolla siis tehdään eksplisiittinen Runge-Kutta ratkaisu ja residuaalin tasoittaminen. Harvalla hilalla aikaintegroinnissa on oleellista käyttää pitempää aika-askelta kuin tiheällä tasolla. Tämä on mahdollista, koska laskentatilavuudet ovat suurempia ja samalla Courantin luvun arvolla saadaan siten pitempi aika-askel. Käytettäessä riittävän montaa hilatasoa, on harvimmalla tasolla mukana enää muutama koppi. Jos FAS-menetelmässä on enemmän kuin kaksi hilatasoa, kuten yleensä on asianlaita, on myös residuaali laskettava harvemmilla tasoilla. Menetelmä vaikuttaa työläältä, mutta on yllättävän helposti ohjelmoitavissa. Ratkaisu etenee nimittäin kaikilla tasoilla samalla tavoin, jolloin voidaan käyttää samoja aliohjelmia. Hilatasojen välillä on hoidettava suhteellisen vähäisillä operaatioilla tiedon kulku. FAS-menetelmä vaikuttaa myös työläältä siksi, että residuaali (ja vuot) on laskettava moneen kertaan. Harvemmilla tasoilla tämä työmäärä on kuitenkin vain murto-osa tiheimmän tason laskentaan kuluvasta ajasta, joten monihilan käyttö ei lisää tuntuvasti laskentaaikaa. Samaa koskee AMG-menetelmää: ratkaisuajasta suurin osa kuluu tiheimmällä tasolla, joten monihilan vaikutus laskenta-aikaan on pieni, mutta iteraatiokierrokset vähenevät merkittävästi.

137 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ Ratkaisijan käyttö Vaiheet FLUENTissa on ensimmäiseksi on päätettävä käytetäänkö paine- vai tiheyspohjaista ratkaisijaa. Näiden soveltuvuutta erilaisiin tehtäviin käsiteltiin edellisessä luvussa. Kun ratkaisija on valittu käyttäjällä on vielä seuraavat valinnat edessään: 1. Valitaan konvektiotermin diskretointi. Diffuusiotermi on aina toista kertalukua, mutta konvektiotermille on valinnan mahdollisuuksia. Käyttäjän tulee valita myös paineen interpolointitapa. Kytketyllä ratkaisulla valitaan ainoastaan konvektiotermien diskretointi. 2. Valitaan joko kytketty paineen käsittely tai painekorjaustapa (SIMPLE, SIMPLEC tai PISO). Tämä ei koske tiheyspohjaista ratkaisijaa. 3. Asetetaan alirelaksaatioparametrit. Tämäkään ei koske tiheyspohjaista ratkaisijaa, jossa alirelaksaatio annetaan Courantin luvun muodossa. 4. Eksplisiittisellä (tiheyspohjaisella) ratkaisijalla voidaan aktivoida FAS-algoritmi. Yleensä näin kannattaa tehdä aina eksplisiittisen ratkaisijan yhteydessä. 5. Annetaan ratkaisulle alkuarvot 6. Valitaan konvergenssin seurantatavat. 7. Aloitetaan simulointi 8. Hyvin suurella todennäköisyydellä vastaan tulee konvergenssiongelmia, jonka jälkeen on palattava edellisiin kohtiin. Parannuskeinona on alirelaksaatiokertoimien alentaminen tai Courantin luvun pienentäminen. FLUENTissa on ratkaisuparametreille olemassa oletusarvot, mutta ne eivät läheskään aina ole optimaaliset Diskretointimenetelmät Diskretointimenetelmien valintaa selostettiin jo edellisessä luvussa. FLUENTissa on joukko ensimmäisen kertaluvun menetelmiä ja kolme toisen kertaluvun menetelmää: toisen kertaluvun ylävirtamenetelmä, kolmannen kertaluvun MUSCL ja

138 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 137 QUICK. Kuten jo aiemmin todettiin, nämä vastaavat lähinnä ns. Frommin menetelmää ja jotain muuta ylävirtapainotettua diskretointia. Lopullinen laskenta on tehtävä jollain korkeamman kertaluvun menetelmällä. Näistäkin on todettava, että niissä on aina mukana ns. vuon rajoitin, mikä aiheuttaa tarkkoihin laskelmiin ylimääräistä numeerista vaimennusta. Tämä näkyy esimerkiksi koodin laskemissa vastuskertoimien arvoissa. Laskenta voidaan aloittaa ja joskus sitä ei edes helposti saada alkuun kuin ensimmäisen kertaluvun menetelmällä. Power-law -diskretointi on myös ensimmäistä kertalukua, mutta sitä ei kannata käyttää koskaan. Konvektiotermien diskretoinnissa kannattaa aina muistaa, että virhe on suurempi rakenteettomalla hilalla kuin rakenteellisella. Tämä saattaa ilmetä erittäin manifestoituneesti, jos rakenteettomalla hilalla on käytetty ensimmäisen kertaluvun menetelmää. Manuaalissa todetaan, että ensimmäisen kertaluvun diskretoinnilla voidaan saada järjellinen tulos rakenteellisella hilalla yksinkertaisissa virtaustapauksissa, kun virtaus on hilaviivojen suuntausta. Näin saattaa käydä, mutta asiaa kannattaa lähinnä kokeilla, ei soveltaa käytännön virtauslaskuissa. Kaupallisten koodien käyttäjien on syytä huomata, että oletusarvodiskretointi painepohjaisilla ratkaisijoilla saattaa olla ensimmäisen kertaluvun ylävirtamenetelmä. Sen sijaan Fluentin tiheyspohjaisella ratkaisijalla oletusarvodiskretointi on aina toista kertalukua. Diskretoinnit valitaan, ja ne on yleensä heti syytä muuttaa, Solvevalikon kohdasta Controls ja Solution. Diskretoinnit annetaan yhtälö kerrallaan. Turbulenssiyhtälöt ovat hieman muita epämääräisemmässä asemassa virtauslaskennassa. Kaksiyhtälömalleilla niiden avulla saadaan turbulentti viskositeetti. Jos simulointi ei tahdo pysyä pystyssä, eräs keino on pitää ainakin aluksi turbulenssiyhtälöiden diskretoinnit ensimmäisen kertaluvun tarkkoina. Painepohjaisella ratkaisijalla käyttäjä joutuu valitsemaan myös paineen interpolointitavan. Paineen interpolointi on oletettavasti aina toista kertalukua (standardiinterpolointi ei tosin selviä FLUENTin manuaalista), vaikka valikossa on harhaanjohtavasti Standard, Linear, Second Order ja Body Force Weighted. Näistä järkevimmältä vaikuttaa lineaarinen interpolointi. Jos laskennalla on pystyssä pysymisvaikeuksia, voi valita myös standardi-interpoloinnin, koska siinä on todennäköisesti enemmän numeerista vaimennusta. Toinen kertaluku tässä valikossa ei tarkoita diskretoinnin tarkkuutta, vaan sitä että kopin seinällä paine lasketaan sen molemmille puolille toisen kertaluvun ylävirtakaavalla laskettujen paineiden keskiarvoina. Tätä tapaa ei yleensä kannata käyttää. Sitä suositellaan käytettäväksi kokoonpuris-

139 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 138 tuvissa laskentatehtävissä, mutta niihin painepohjaista ratkaisijaa ei pitäisi soveltaa ollenkaan, joten suositus on tässä kohden aiheeton. Sen sijaan nosteen ajamissa virtauksissa konvergenssia parantaa Body Force Weighted-valinta Paineen laskentatavan valinta Painekorjaustavasta FLUENTissa käytetään termiä paineen ja nopeuden kytkentä. Yleensä kannattaa valita oletusarvona oleva SIMPLE ja pyrkiä modifioimaan sen alirelaksaatiokertoimia. Paineen ja nopeuden välistä kytkentää ei tietenkään tarvitse valita kytketyllä ratkaisijalla. SIMPLEC on yritys välttää paineen alirelaksaatiota, mutta menetelmä harvoin toimii SIMPLEä tehokkaammin. SIMPLECin perusideana on siis asettaa α p = 1, jolloin konvergenssi todennäköisesti on parempi kuin SIMPLEllä, joka vaatii asetuksen α p < 1. Fluentissa SIMPLEn ja SIMPLECmenetelmän alirelaksaatiokertoimien oletusarvot ovat kuitenkin samat. Vaikka alirelaksaatiota ei tarvittaisi, on otettava huomioon, että menetelmät toimivat sisäisesti eri tavoin. Ero on lähinnä massavirta- ja painekorjausten välisessä kytkennässä. Yleensä alirelaksaation tarve aiheutuu muustakin kuin suoraan paineen ja nopeuden välisestä kytkennästä, esimerkiksi turbulenssisuureiden, reunaehtojen yms. aiheuttamasta epälineaarisuudesta. Niissä tapauksissa SIMPLEC ei nopeuta konvergenssia, koska alirelaksaatiota joudutaan joka tapauksessa käyttämään. PISO-menetelmää manuaalissa suositellaan ajan suhteen tarkoille simuloinneille. PISOssa on myös mahdollista käyttää hilan vinoutuman aiheuttamaa alirelaksaation tarvetta vähentävää korjausta (tästä katso esim. Ferziger-Peric). Tässä yhteydessä PISOn eduista ei voida ottaa selkeää kantaa. Aktiivisen virtauslaskijan kannattaa testailla eri tapoja ja luoda itselleen sitä kautta käsitys siitä, mikä sopii mihinkin. Onneksi standardi SIMPLE soveltuu sopivilla relaksaatiokertoimilla kaikkiin painekorjauksella ratkaistaviin tapauksiin, joten painekorjaustavan valinta kuuluu käyttäjän pienimpiin murheisiin. Kuten edellä on todettu, ohjelmistotalot ovat alkaneet suositella kytkettyä ( coupled ) vaihtoehtoa painepohjaisen ratkaisun yhteydessä. Koska tästä on toistaiseksi vähän kokemuksia, tässä ei voida asiaa yksityiskohtaisemmin käsitellä. Tyypillisesti ehkä tuhansia iteraatiokierroksia vaatinut ajo painekorjausmenetelmällä saadaan lasketuksi muutamalla sadalla kierroksella kytketyllä ratkaisulla, mutta laskenta-aika saattaa olla sama. Paineen laskentatapa ei vaikuta lopputulokseen, joten enemmän simulointia harrastavan kannattaa kokeilla eri vaihtoehtojen toimivuutta. Painekor-

140 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 139 jausmenetelmän hankala piirre on alirelaksoinnin suuri merkitys ratkaisun stabiiliuteen Alirelaksaatiokertoimet ja Courantin luvut Painepohjaiset menetelmät vaativat käytännössä aina alirelaksaatiota, vaikka joskus kuulee muunkinlaisia väitteitä. Tiheyspohjainen ratkaisu puolestaan toimii vain suhteellisen alhaisilla Courantin luvuilla. Valitettavasti sopivat kertoimet ja Courantin luvut ovat tapauskohtaisia, joten usein FLUENTin oletusarvot eivät edes toimi tai ovat tehottomia. Tärkeimmät oletusarvona annettavat relaksaatiokertoimet ovatα p = 0,3 jaα u = 0,7. Jos tiheys muuttuu, käyttäjä joutuu puuttumaan myös tiheyden ja tilavuusvoiman laskennan alirelaksaatioon. Näitä ei oletusarvoisesti relaksoida ollenkaan. Annetuista kertoimistaα u vaikuttaa melko pieneltä ja sitä voidaan todennäköisesti silloin tällöin kasvattaa. Kerrointa α p = 0,3 joudutaan sen sijaan usein pienentämään huomattavastikin, vaikka joissain tapauksissa sitäkin voidaan kasvattaa. Paineen relaksoinnin tarve riippuu paljon eksplisiittisesti laskettavista reunaehdoista. Painepohjaisen ratkaisun voi aloittaa käyttäen oletusarvoja alirelaksaatiolle. Huolimatta kertoimien varovaisista arvoista laskenta vähän ajan päästä todennäköisesti kaatuu, jolloin alirelaksaatiota on lisättävä eli kertoimia pienennettävä. Yleensä kannattaa pienentää eniten paineen alirelaksointia. (Tässä yhteydessä on syytä kuitenkin vielä todeta, että nopeuden alirelaksointitapa ei ole tätä kirjoitettaessa täysin selvillä). Nyrkkisääntönä voidaan pitää, että liikemääräyhtälöiden alirelaksaatiokerroin on lähellä ykköstä ja α p :tä pienennetään nopeammin. Turbulenteissa tapauksissa on syytä pienentää myös turbulenssisuureiden kertoimia. Manuaalin mukaan usein käypä valinta on: 0,2 paineelle, 0,5 liikemääräyhtälöille ja turbulenssiyhtälöille. Käytännössä on kuitenkin tapauksia, joissa on jouduttu käyttämään α p = 0,1, joten laskennan kaatumista ensimmäisellä yrittämällä ei pidä säikähtää. Simuloinnin suorittajan kannattaa myös ajatella probleeman luonnetta. Jokin ratkaistavista yhtälöistä voi olla muita herkempi. Tilavuusvoimat, kuten noste ja pyörivissä tapauksissa näennäisvoimat, vaikuttavat alirelaksaation tarpeeseen. Erittäin tärkeää on tiedostaa aikaisemmin mainitut kaksi seikkaa: reunaehdot ja laskentahilan laatu. Huonolaatuinen hila voi aiheuttaa paikallisesti ratkaisun heilumista siten, ettei kunnon konvergenssia tapahdu ollenkaan. Reunaehtojen määrittelyn yhteydessä kiinnitettiin jo huomiota virtauksen mahdolliseen kääntymiseen, jolloin FLUENTin stan-

141 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 140 dardi ulosvirtausehto kaataa laskennan. Alirelaksaatiokertoimien tarve aiheutuu yleisesti ottaen virtausyhtälöiden (mukaan lukien reunaehdot ja aineominaisuusyhtälöt) epälineaarisuudesta, mutta konvergenssia on mahdotonta saavuttaa, jos tilanne on huonosti asetettu. Yleensä huonosti asetetun ongelman korjaaminen alirelaksaatiota lisäämällä ei onnistu, vaan siirtää ongelmaa pitemmälle. Pahimmassa tapauksessa niin pitkälle, että puolivalmista laskentatulosta käytetään, vaikka se olisi kelvoton. Kuva 5.6: Virtaustapauksen konvergenssihistorioita painekorjausmenetelmällä, kun α p = 0,4 ja α u = 0,95. Alirelaksaatiokertoimien merkitystä voidaan tarkastella kuvien 5.6 ja 5.7 konvergenssihistorioilla. Kuvissa on jatkuvuusyhtälön ja liikemääräyhtälöiden virtausalueen yli integroitujen residuaalien summa (eräänlainen normi). Kuvan 5.6 tilanteessa alirelaksaatiota on liian vähän ja laskenta divergoi. Painekorjausmenetelmälle on tyypillistä, että laskenta voi konvergoida jonkin matkaa, kuten kuvassa 5.6, tai residuaalit voivat pudota jopa usealla dekadilla, kunnes tulee käänne ja residuaalit lähtevät hitaaseen, mutta vääjäämättömään nousuun. Tällöin alirelaksaatiokertoimia on muutettava, mutta laskentaa ei ole pakko aloittaa alusta. Tässä tapauksessa laskenta on saatu konvergoimaan pienentämällä alirelaksaatiokertoimien arvoja oletusarvoihin (kuva 5.7). Konvergenssi luonnollisesti hidastuu, mutta pienempiä kertoimia on tässä tapauksessa käytettävä, jotta laskenta pysyisi pystyssä. Kertoimien vaikutusta saattaa valottaa koonti konvergenssihistorioista. Konvergenssihistoriat ovat peräisin laskennoista, joissa paineen ja nopeuden alirelaksaatiokertoimia on varioitu. Alaspäin mentäessä paineen kerroin kasvaa ja oi-

142 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 141 Kuva 5.7: Onnistuneen simuloinnin konvergenssihistorioita painekorjausmenetelmällä, kun α p = 0,3 jaα u = 0,7. kealle mentäessä nopeuden. Nähdään, että suurentamalla kumpaa tahansa kerrointa konvergenssi nopeutuu - kuitenkin sillä edellytyksellä, että laskenta ei divergoi. Kumman tahansa arvon suurentaminen liikaa johtaa laskennan divergoimiseen. Tiheyspohjaisella ratkaisulla konvergenssihistoria on erilainen. Jos laskenta kaatuu, se tapahtuu yleensä äkillisesti. Jos mukana on tilayhtälö, laskenta myös räjähtää käsiin paljon nopeammin kuin kokoonpuristumattomassa tapauksessa. Alirelaksaatiota säädellään Courantin luvun arvoilla, jotka ovat eri suuruusluokkaa implisiittisessä ja eksplisiittisessä ratkaisussa. (Tässä on syytä taas muistaa, etteivät termit eksplisiittinen ja implisiittinen tässä yhteydessä liity ajan suhteen tarkkaan integrointiin). Eksplisiittisen ratkaisijan oletusarvona CF L = 1, mutta ratkaisu on lineaarisessa tapauksessa stabiili likimain Courantin lukuun 2,5 asti. Laskennallisesta virtausdynamiikasta muistetaan eksplisiittisen integroinnin stabiilisuusrajaksi 1,0, mutta moniaskelinen Runge-Kutta ja siihen yhdistetty residuaalin tasoittaminen toimivat ikään kuin yksinkertaisina implisiittisinä vaiheina, jolloin stabiilisuusraja kasvaa. Fluentin oletusarvoina on implisiittiselle ratkaisulle CF L = 5 ja eksplisiittiselle CF L = 1. Eksplisiittisellä menetelmällä kannattaa ensin aktivoida FAS-monihila, joka oletusarvoisesti on kytketty pois. Myös residuaalin tasoittaminen on syytä aktivoida, jos eksplisiittistä menetelmää sovelletaan. Jos laskenta pysyy sen kanssa pystyssä, voidaan Courantin lukua sen jälkeen kasvattaa. Monihila nopeuttaa laskentaa paljon enemmän kuin Courantin luvun tuplaaminen. Käytännössä ei juuri

143 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 142 voida käyttää aivan stabiilisuusrajalla olevia lukuja, koska virtausyhtälöt ovat epälineaarisia. Epälineaarisuus on syynä myös siihen, että implisiittinen tiheyspohjainen ratkaisu, joka periaatteessa on ehdoitta stabiili, vaatii käytännössä melko pienen Courantin luvun. FLUENTissa oletusarvona on CF L = 5, mutta toisinaan on käytettävä tätäkin pienempää arvoa, toisaalta joskus jopa CF L = 100 on mahdollinen. Sopivan Courantin luvun löytää vain kokeilemalla. Kannattaa aloittaa oletusarvolla ja taas kaatumisen jälkeen pienentää lukua. Jos ratkaisu näyttää konvergoivan tasaisesti ja rauhallisesti, Courantin luvun arvoa voidaan nostaa. Monissa vastaavissa ratkaisutavoissa Courantin luvulla on jokin optimi konvergenssin suhteen. FLUENTissa käytetään ns. faktoroimatonta ratkaisua, joten yksinkertaisena nyrkkisääntönä on: mitä suurempi Courantin luku, sitä nopeampi konvergenssi. Alirelaksaatiokertoimien tai Courantin luvun muutos näkyy konvergenssikäyrissä epäjatkuvina hyppyinä. Näiden jälkeen on käyrien suunnan oltava alaspäin, muuten tapahtuu divergointi. Tiheyspohjaisen implisiittisen ratkaisun yhteydessä voi käydä myös siten, että yhtälöryhmän ratkaisussa käytetty algebrallinen monihila ei konvergoi. Tällöin Courantin luvun arvoa on laskettava. Tämän ohjelma tekee automaattisesti. Periaatteessa käyttäjä pääsee käsiksi myös monihila-algoritmin parametreihin, mutta tätä ei suositella. On myös mahdollista, että laskentaa ei saada konvergoimaan millään laskentaparametrien muutoksella. Tällöin on kaksi mahdollisuutta. Todennäköisesti tehtävä on jollain tavalla huonosti asetettu. Käyttäjän on tarkistettava kaikki antamansa suureet ja reunaehdot. Toinen usein esiintyvä mahdollisuus on, että laskenta jää jonkinlaiseen periodiseen tilaan. Jos tilanteessa esimerkiksi esiintyy kuvan 1.5 kaltainen pyörrerata, ei laskennan oikeasti pitäisikään konvergoida, vaan jäädä jonkinlaiseen värähtelevään tilaan. Turbulenssimallit saattavat pyrkiä sammuttamaan pyörreradan, mutta tällöin laskenta toimii eräässä mielessä väärin. Ainoaksi keinoksi tilanteeseen jää ajan suhteen tarkka ratkaisu, jolloin pyörrerata saadaan tarkemmin esille. Tasapainotilan laskennassa pyörrerata ei välttämättä näy oikeankaltaisena iteraatiohistoriassa, joka on analoginen aikahistorialle. Ajan suhteen tarkassa laskussa saattaa joskus käydä niin, että aikariippuvalta vaikuttanut ilmiö sammuu. Tämän voi tulkita aihetuvan siitä, että tasapainotilan ratkaisu pyrkii jollain tavoin kasvattamaan häiriöitä ja tilanne saattaa olla juuri lähellä ajasta riippuvaa. Tällainen häiriöiden vahvistaminen on tyypillistä ainakin FAS-monihila-algoritmille.

144 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ Monihila-algoritmi Yhtälöiden ratkaisemisessa käytettävä algebrallinen monihila-algoritmi (AMG) on FLUENTissa oletusarvoisesti aktivoituna. Eksplisiittisen menetelmän yhteydessä kannattaa käynnistää FAS-algoritmi. Algoritmi saattaa eräissä virtaustehtävissä suurella laskentakoppimäärällä olla FLUENTin tehokkain vaihtoehto. Algoritmia voidaan säätää vieläkin nopeammaksi, jos konvergenssi näyttää tasaiselta, mutta syystä tai toisesta hitaalta. (FLUENTissa tästä käytetään nimitystä industrial-strength FAS ja siihen asetukset löytyvät paneelin FAS Multigrid Controls alta). On muistettava, että FAS-algoritmia voidaan soveltaa vain tasapainotilan laskentaan. Monihilan laskentaa tehostava vaikutus nähdään jo käyttäen kahta tasoa. Enempää kuin 4-5 tasoa ei kannata käyttää, koska laskenta ei enää juuri tehostu, mutta stabiilisuus heikkenee. (Suuremman monihilatasojen lukumäärän vaikutus alkaisi näkyä vasta, kun koppimäärä on >> 10 6 ). Koska stabiilisuus heikkenee, on kiinnitettävä huomiota myös Courantin luvun vaikutukseen. Laskenta voidaan aloittaa vaikkapa Courantin luvulla yksi ja viidellä hilatasolla. Jos ajo kaatuu, vähennetään ensin hilatasojen määrää ja lopuksi Courantin lukua. Jos konvergenssi on tasaista, voidaan Courantin lukua nostaa, mutta sen vaikutus ei ole enää kovin suuri. Monihilatasoja ei voida lisätä, jos alimmalla tasolla on enää yksi laskentatilavuus. Koodi osaa ottaa tämän huomioon automaattisesti. Yleensä ei stabiilisuussyistä kannattaisi mennä yhteen koppiin asti. Jos alimmalla tasolla on suuruusluokkaa O(10) laskentatilavuutta, on monihilasta saatu jo irti kaikki teho. Algoritmi onkin tehokas erityisesti isoilla laskentatehtävillä, muutaman tuhannen kopin laskut tiheyspohjaisella ratkaisijalla kannattaa yleensä ajaa oletusarvoisesti implisiittisellä menetelmällä, jolla FAS-algoritmia ei voida soveltaa. Eksplisiittisestä ratkaisijasta voidaan myös todeta, että ilman FAS-algoritmia se on isoissa tehtävissä hyvin tehoton. Runge-Kutta algoritminkin parametreja voidaan kokeilemalla säätää ja saada perusalgoritmia siten nopeammaksi. Käyttäjällä on silloin syytä olla jonkinasteinen käsitys menetelmän vaimennusominaisuuksista. Käytännön tehtävissä kokeiluun ei siis pidä ryhtyä. FLUENTissa on mahdollista säätää myös algebrallista monihila-algoritmia. Normaalikäyttäjälle AMG:n säätäminen on vaikeaa eikä sitä kannata yrittää. On muistettava, että AMG:tä käytetään yhtälöryhmien ratkaisuun. Yleensä ainakaan painekorjausalgoritmin yhteydessä ei yhtälöryhmien ratkaisun tarkkuus ole kovin kriitti-

145 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 144 nen asia. Riittää, että kohtuullinen tarkkuus on saavutettu. Tiheyspohjaisen implisiittisen menetelmän yhteydessä tarkkuusvaatimus saattaa olla suurempi ja silloinhan yksinkertaisin tapa oli pienentää Courantin lukua. Tällöin matriisi tulee lävistäjävaltaisemmaksi ja yhtälöryhmän ratkaisu vaatii vähemmän iteraatiokierroksia. Tavanomaisen käyttäjän on siten mahdotonta tietää johtuuko konvergenssiongelma siitä, ettei AMG ole kunnolla supennut. Todennäköisesti vika on muualla. Alan eksperteille on jätetty kuitenkin mahdollisuuksia säätää AMG nopeammaksi. Yhtälöryhmien, erityisesti painekorjausyhtälön, ratkaisu on laskenta-ajan kannalta kriittinen ja säätämällä AMG:tä laskenta-aikaa voidaan pienentää. Hyvällä onnella säästöt tässä voivat olla korkeintaan muutaman kymmenen prosentin luokkaa, joten tähän puuhaan ani harvoin kannattaa ryhtyä. Poikkeuksen ehkä muodostaa juuri painekorjausyhtälö. Joissain tapauksissa, kun konvergenssia ei saavuteta, katsotaan ensin onko AMG-saavuttanut säädetyt residuaalitasot. Jos esimerkiksi painekorjausyhtälön kohdalla ei näin ole, voidaan algoritmia säätää, esimerkiksi muuttaa V-sykli W-sykliksi ja yrittää uudelleen Suureiden rajaaminen ja alkuarvojen antaminen Virtausratkaisijan pitäisi ideaalisessa mielessä olla ns. todenmukainen (realizable), jolloin paine ja lämpötila pysyvät aina positiivisina jne. Käytännössä vain yksinkertaisissa ideaalitapauksissa voidaan rakentaa täysin todenmukaisia algoritmeja. Tämän vuoksi ohjelmissa asetetaan suureille rajoja, joiden sisällä niiden on pysyttävä. Viimeinen keino on asettaa suureille ala- tai ylärajan arvo, jos rajan yli mennään, mutta myös iterointiin on mahdollista asettaa lähdetermien avulla rajoittimia, jolloin rajaa lähestytään asymptoottisesti (kts. esim. Laskennallisen virtausmekaniikan jatkokurssi). Tällainen keino on numeerisesti paremmin käyttäytyvä, mutta sitäkään ei saada kaikissa tilanteissa idioottivarmaksi. FLUENTissa on siis ratkaistaville suureille rajat, jotka on pyritty asettamaan fysikaalisesti järkeviksi. Tärkeimmät rajat ovat 1 Pa < p < 5 MPa 1 K < T < 5000 K 0 < µ T /µ < m 2 /s 2 < k (5.19) Useimpiin tehtäviin rajat ovat turhan laajat. Esimerkiksi suurin tämän kirjoittajan

146 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 145 näkemä turbulentin ja laminaarin viskositeetin suhde on ollut µ T /µ Laskenta saadaan stabiilimmaksi, jos käyttäjälle on muodostunut käsitys tehtävässä esille tulevasta turbulentin viskositeetin arvosta. Tällöin ohjelma ei päästä viskositeettia iteroinnin kuluessa heilumaan holtittomasti laajalla alueella. Lämpötilan maksimiarvo on lähellä auringon pintalämpötilaa, joten yleensä sitäkin voidaan pienentää, samoin minimiarvo on melkein absoluuttisessa nollapisteessä. Jos tiheys lasketaan tilanyhtälöstä, on rajat spesifioitava tilanyhtälön rajojen mukaan. Paineelle maksimiarvo 5 MPa saattaa useimmiten olla aivan liian korkea, mutta se tulee helposti ylitetyksi esimerkiksi ydinreaktorin virtauksia laskettaessa. Loviisan reaktorin normaaleissa käyttöolosuhteissa sopiva rajaus olisi 12 MPa < p < 12,5 MPa. Rajojen kanssa on oltava myös tarkkana, etteivät liian pienet (tai suuret) rajat unohdu koodiin. Jos esimerkiksi dimensioton turbulentti viskositeetti on leikattu liian alas, ohjelma voi laskea täysin pieleen. Joissain tilanteissa taas ehkä tiedetään turbulenssimallin ennustavan liian suuria arvoja, jolloin niiden varovainen leikkaaminen on mahdollista. On lisäksi huomattava, että rajojen pääasiallinen tarkoitus on parantaa iteroinnin robustisuutta. Rajoja ei ole edes tarkoitettu jääväksi lopputuloksin, vaikka näin saattaa joskus käydä. Jos ratkaisussa paine leikataan suuressa osa-alueessa, se vaikuttaa massataseen toteutumiseen ja saattaa näkyä virheenä sisään- ja ulosmenevissä massavirroissa. Tiheyspohjaisella ratkaisulla lämpötilan leikkaaminen voi lopputulokseen vaikuttaa samalla tavoin. Ratkaistavien suureiden rajat on valistuneen virtauslaskijan aina pohdittava. Kyseessä on samantyyppinen operaatio kuin virtaustilanteen luokittelu dimensiottomien lukujen avulla. Oikeiden rajojen asettaminen virtausratkaisijaan ei läheskään aina vaikuta mihinkään, mutta koska ohjelmassa on annettu mahdollisuus spesifioida rajat, se kannattaa tehdä tehtäväasettelun yhteydessä. Reunaehtojen (boundary conditions) lisäksi simulointitehtävälle on aina annettava alkuarvot. Ajan suhteen tarkalle ongelmalle on annettava alkuehdot (initial conditions), joiden on oltava fysikaalisessa mielessä oikeat, muuten ei vältytä laskennan alussa olevalta transientilta. Hyvin usein sopivat alkuehdot löytyvät tasapainotilan laskennan tuloksesta. Tasapainotilankaan laskussa ei voida aloittaa nollatilasta, jossa paine, lämpötila ja tiheys olisivat nollia. Laskentaa ei yleensä kannata myöskään aloittaa asettamalla nopeus koko kentässä nollaksi. Tasapainotilan simuloinnissa järkevät alkuarvot nopeuttavat konvergenssia ja ainakin helpottavat laskennan pysymistä pystyssä. Mielekäs tapa antaa alkuarvot, jota tosin ei ole FLUENTissa, on interpoloida ratkaisu edelliseltä harvemmalta hilatasolta. Menettelyä kutsutaan

147 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 146 joskus täydeksi monihilaksi (full multigrid, FMG). FLUENTissa alkuarvot annetaan aina aluksi koko virtauskentälle, jonka jälkeen niitä voidaan antaa tarkemmin vyöhyke kerrallaan. Alkuarvot lasketaan joko tiettyjen reunavyöhykkeiden arvojen avulla tai kaikkien reunavyöhykkeiden arvojen keskiarvona. Ne voidaan myös antaa käsin. Arvot annetaan Solve-valikosta paneelin Initialize alla. On siis mahdollista antaa joko jokin vyöhyke tai klikata All-Zones, jolloin käytetään keskiarvoa. Jos näin spesifioituja arvoja halutaan muuttaa, se tapahtuu valitsemalla Compute From. Koska alkuarvojen antaminen ei ole yksikäsitteistä, ne kannattaa tallettaa ja käyttää aina samoja alkuarvoja, jos ne on todettu toimiviksi. Kun alkuarvot on annettu koko virtauskentälle, käyttäjällä on mahdollisuus muuttaa niitä osassa ratkaistavaa aluetta. Jos laskenta-alueessa on useita vyöhykkeitä, voidaan eri vyöhykkeille esimerkiksi antaa eri lämpötila. On myös mahdollista antaa monimutkaisempia jakaumia rekistereiden (registers) ja kenttäfunktioiden (field functions) avulla. Alkuarvojen antamisella saattaa joskus olla suurikin merkitys laskennan onnistumiselle, jolloin käyttäjän on pystyttävä hyödyntämään näitä ohjelman antamia mahdollisuuksia. Esimerkkeinä hankalista tilanteista ovat ylisooninen virtaus suuttimessa. Jos virtaus luisuu alisooniselle puolelle, sitä ei ehkä koskaan saada konvergoimaan kohden oikeaa ylisoonista ratkaisua. Toinen vastaava tilanne on pumpuissa ja puhaltimissa, joissa virtaus kulkee kohden nousevaa painetta. Ennen kuin laite laskennassa ryhtyy pumppaamaan, virtaus voi yrittää kääntyä väärään suuntaan. Tämän jälkeen riippuu reunaehtojen toimivuudesta, saadaanko virtaus kääntymään takaisin. Alkuarvojen kannalta hankalat tilanteet ovat jossain määrin ohjelmakohtaisia, koska asiaan linkittyy voimakkaasti myös reunaehdot. Jollain toisella ohjelmalla saattaa reunaehtojen valikossa löytyä paremmin toimivat vaihtoehdot kuin toisella. Laskennan suorittajan kannattaa aina pohtia alkuarvoja sen verran, että ne ovat mahdollisimman lähellä todennäköiseltä vaikuttavaa ratkaisua ja muodostavat fysikaalisesti järkevän, parhaassa tapauksessa todenmukaisen, kokonaisuuden Konvergenssin monitorointi FLUENTissa konvergenssia voidaan seurata residuaalien, voimakertoimien, pintaintegraalien sekä eräänlaisten tilastollisten suureiden avulla. Virtauslaskijalle residuaalien seuraaminen yhdessä tuloksen kehittymisen kannalta on tärkeää, koska si-

148 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 147 mulointi voidaan keskeyttää yleensä vasta harkinnan jälkeen manuaalisesti, ts. ajoa ei enää jatketa seuraavan keskeytyskohdan jälkeen. Ohjelmassa on myös konvergenssikriteereitä, joiden jälkeen ohjelma automaattisesti lopettaa laskemisen, mutta käytännössä kriteereitä on joko vaikea saavuttaa tai sitten konvergoituneesta tuloksesta ei voi olla varma. Suositeltava ajostrategia on sellainen, jossa lopetuskriteerit asetetaan hyvin pieniksi ja laskentaa jatketaan sopivan kokoisissa paakuissa. Tämän jälkeen tuloksia tarkastellaan ja päätetään jatkosta. Isoissa käytännön simulointitehtävissä kannattaa ajaa esimerkiksi yön yli. FLUENTissa konvergenssia voidaan monitoroida ajon aikana ja päiväsaikaan tehtävissä ajoissa näin kannattaa tehdä. Tällöin divergoinnin yhteydessä ajo voidaan keskeyttää ja jos konvergenssihistorian mukaan ajo näyttäisi konvergoituneen tai vaihtoehtoisesti konvergensssin suhteen lukittuneen paikoilleen, se kannattaa myös pysäyttää ja mahdollisesti säätää ajoparametrit uudelleen. FLUENTissa ja muissakin koodeissa päätyökalu konvergenssin monitorointiin on residuaalihistoriat. Yleinen ja hyvin käyttökelpoinen tapa on seurata muuttujien globaalia muutosnopeutta (L 2 -normia). Jossain vaiheessa tehdyt korjaukset eivät enää pienene, jolloin konvergenssihistoriaa jää sahaamaan jollekin tasolle, parhaassa tapauksessa tietokoneen laskentatarkkuuden määräämälle tasolle. FLUENTissa ei käytetä näin määriteltyjä residuaaleja, vaan lähdetään yleisen diskretoidun yhtälön toteutumisesta a P φ P = nb a nb φ nb +b (5.20) Näiden virheet voidaan laskea yhteen, jolloin saadaan ns. skaalamaton residuaali R φ = cells nb a nb φ nb +b a P φ P (5.21) Manuaalin mukaan parempi indikaattori useimpien suureiden seurannalle on ns. skaalattu residuaali R φ = cells nba nb φ nb +b a P φ P cells a P φ P (5.22) Sopivana konvergenssikriteerinä manuaalissa mainitaan skaalatun residuaalin putoamista arvoon10 3. Kriteeri on hyvin tapauskohtainen. Varminta olisi laskea niin pitkään, että residuaalit putoavat ainakin kolme dekadia ja jäävät jollekin vakiotasolle, minkä voi tulkita merkitsevän sitä, että koneen laskentatarkkuus on saavutettu.

149 5.4. RATKAISIJAN KÄYTTÖ 148 Jatkuvuusyhtälön residuaali lasketaan yhtälöstä R c = ṁ i (5.23) cells ja skaalattu residuaali suhteena R c iteraation R c iteraatio5 (5.24) missär c iteraatio5 on viiden ensimmäisen kierroksen aikana ollut suurin massataseen virhe. Skaalatuista residuaaleista esimerkkeinä ovat kuvat 5.6 ja 5.7. Tiheyspohjaisella ratkaisijalla residuaalivektorin arvo lasketaan suureiden muutosnopeuksien avulla R(W) = ( ) 2 W (5.25) t Lauseke on outo siinä mielessä, että käytetty aika-askel on lokaalinen. Yleensä tässäkin käytetään pelkkiä suureiden muutoksia W, mutta FLUENTissa ainakin manuaalin mukaan lauseketta (5.25). Skaalattu virhe saadaan tiheyspohjaisella menetelmällä suhteesta R(W) iteraation R(W) iteraatio5 (5.26) Joissain virtaustehtävissä eivät residuaalit kerro kaikkea laskennan käyttäytymisestä ja iteraation suppenemisesta. Usein on hyödyllistä seurata voimia, erityisesti dimensiottomia voimakertoimia. Esimerkkinä on kuvan 5.8 vastuskerroin. Jos vastuskerroin hyytyy paikoilleen, vaikka residuaalit vielä laskevat alaspäin, voidaan tulosta pitää jo melko hyvänä. Voimakertoimista voidaan päätellä myös ratkaisun kehittyminen ajasta riippuvaksi. Residuaalit jäävät tällöin yleensä jollekin melko korkealle tasolle sahaamaan, mutta voimakertoimiin saattaa kehittyä periodinen historia. Tällöin laskentaa ehkä kannattaa jatkaa ajan suhteen tarkkana. Voimakertoimet ovat oikeastaan dimensiottomia voimia, jotka saadaan integroimalla liikemääräyhtälön vuot määriteltyjen pintojen yli. Voimakertoimista erillään omana konvergenssin seurantamenetelmänä FLUENTissa voidaan käyttää muidenkin suureiden integraaleja määriteltyjen pintojen yli. Voidaan esimerkiksi seurata massavirtaa tai lämmönsiirtoa. Myös tilavuuksien yli integroitujen suureiden taseet ovat eräissä tapauksissa hyödyllisiä, koska joskus residuaalit saattavat mennä hyvin pieniksi, mutta suureet jatkavat ryömimistä eteenpäin, ehkä jopa kymmeniä tuhansia iteraatiokierroksia. Sopivia suureita ovat keskimääräinen paine tai lämpötila. Hyvin usein, esimerkiksi

150 5.5. FLUENTIN NUMERIIKAN TARKASTELUA 149 Kuva 5.8: Vastuskertoimen C D konvergenssihistoria, kun α p = 0,3 ja α u = 0,7 sekoitussäiliöiden yhteydessä kannattaa seurata kineettisen energian ja turbulenssisuureiden kokonaistaseen kehittymistä. Keskeisten suureiden, mukaan lukien turbulenssisuureet, konvergenssihistoriat kannattaa ottaa mukaan työraporttiin. Virtaustehtävissä saavutettavassa konvergenssissa on huomattavia eroja ja tyypillisesti esimerkiksi eri turbulenssimallit saattavat ennustaa aivan eri tasolla olevia kineettisen energian k arvoja. Konvergenssikäyristä voidaan heti päätellä, onko syynä mahdollisesti joidenkin yhtälöiden osalta huono konvergenssi. Samoin voima- ja lämmönsiirtokertoimien kehityshistorioita kannattaa raporttiin laittaa kriittistä lukijaa varten. 5.5 FLUENTin numeriikan tarkastelua FLUENT-ohjelman numeriikkaa voidaan luonnehtia yhtä aikaa sekä laajaksi että suppeaksi. Numeeristen menetelmien valikoima on hyvin laaja siinä mielessä, että paine- ja tiheyspohjaiset ratkaisijat ovat perusteiltaan erilaiset ja kattavat laajan sovellusalueen. Valikoima on toisaalta suppea, koska esimerkiksi konvektiotermien diskretoinnissa valinnan mahdollisuuksia ei ole paljon. Eräissä kohdin, kuten esimerkiksi monihila-algoritmien parametrisoinnissa, käyttäjä pääsee hyvin yksityiskohtaisesti säätelemään ohjelman parametreja, toisissa paljon olennaisemmissa seikoissa, kuten konvektiotermien osalta vastaavia mahdollisuuksia ei ole. Eräiltä osin, kuten tässä luvussa ilmenee, on myös mahdotonta saada manuaalin tietojen perus-

151 5.5. FLUENTIN NUMERIIKAN TARKASTELUA 150 teella selville, mitä ohjelma oikeastaan tekee. Ja joiltain osin käytetään harhaan johtavia nimityksiä. Pääsyynä puutteisiin on ohjelman kaupallinen luonne. Ohjelma halutaan pitää niin robustina kuin mahdollista, jolloin valinnan mahdollisuuksia karsitaan ja valitaan hieman epätarkempia menetelmiä. Kaupallisuutta voidaan mitä ilmeisimmin syyttää myös joidenkin asioiden kryptaamisesta: ei halutakaan antaa tietoa, miten jotkut asiat lasketaan tai käytetään termiä QUICK menetelmästä, joka on kirjallisuudessa jotain muuta. Kokonaisuutena voidaan arvioida, että FLUENTin numeriikka on state-of-the-art -tasoa. Toisaalta voidaan todeta FLUENTin kilpailijoiden olevan likimain samaa tasoa, erot ovat pieniä ja muuttuvat aina, kun uusia ohjelmaversiota julkaistaan. 1e+00 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 Residuals continuity x-velocity 1e-01 1e-02 1e-03 Residuals continuity x-velocity 1e-04 1e-04 1e-05 1e-05 1e-06 1e-06 1e-07 1e-07 1e Iterations e Iterations Scaled Residuals Kuva 5.9: Konvergenssit kuvan 2.16 tapauksessa harvalla (10 10) hilalla (vasemmalla) ja Scaled Residuals Feb 21, 2000 FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) tiheämmällä (40 40) hilalla (oikealla). Feb 21, 2000 FLUENT 5.1 (2d, segregated, lam) Eräänä kaupallisten koodien yleisenä puutteena on FAS-tyyppisen monihilaalgoritmin puute painekorjauksen yhteydessä. Yleensä menettelystä käytetään silloin termiä agglomeration multigrid. Algebrallinen monihila vaikuttaa vain yhtälöryhmien ratkaisuun ja pitää painekorjausyhtälöön kuluvan ajan suoraan verrannollisena laskentatilavuuksien lukumäärään. Itse virtausratkaisuun kuluva iteraatiokierrosten määrä kuitenkin kasvaa, kun hilajakoa tihennetään. Esimerkkinä on kuvan 2.16 laskentahilat, joita vastaavat konvergenssihistoriat ovat kuvassa 5.9. Kun hila on tihennetty nelinkertaiseksi kummassakin suunnassa, iteraatiokierrosten määrä kasvaa moninkertaiseksi. Tämän ilmiön ehkä pystyisi välttämään painepohjaiseen menetelmään yhdistetyn FAS-menetelmän avulla. (Monihila-algoritmin soveltamisesta tällä tavoin kts. esimerkiksi Ferziger-Peric).

152 5.6. KERTAUS Kertaus painekorjausratkaisussa paine määräytyy jatkuvuusyhtälön avulla painekorjausmenetelmässä painetta on yleensä pakko alirelaksoida. Relaksoinnin tarve tulee yhtälöiden epälineaarisuudesta ja epälineaaristen yhtälöiden vaillinaisesta linearisoinnista. alirelaksoinnin tarpeeseen vaikuttaa virtaustapaus, laskentahila, turbulenssimalli, reunaehdot jne. painekorjauksen yhteydessä FLUENTissa korjataan laskentatilavuuksien pinnoilla vallitsevat massavirtojen arvot. Todennäköisesti korjataan myös nopeudet, jotka sijaitsevat koppien keskellä. painepohjainen ratkaisu tapahtuu kytkettynä tai painekorjausmenetelmällä painekorjaustavat: SIMPLE, SIMPLEC ja PISO yhtälöryhmien iterointi helpottuu lävistäjävaltaisilla yhtälöillä painekorjausratkaisussa syntyy Poisson-tyyppinen yhtälö. Algoritmissa kullekin ratkaistavalle suureelle muodostuu lävistäjävaltainen yhtälö painekorjausmenetelmän kriittinen vaihe ajan käytön suhteen on itse painekorjausyhtälö, muut yhtälöt konvergoivat helpommin kytketty painepohjainen ratkaisu vaatii eniten aikaa iteraatiokierrosta kohden tiheyspohjaisessa implisiittisessä menetelmässä lävistäjävaltaisuus kasvaa, kun Courantin lukua pienennetään virtauslaskennassa konvergenssilla voidaan tarkoittaa ulkoisen iteraation lisäksi yhtälöryhmien ratkaisua monihila-algoritmin soveltamistyypit: AMG, FAS ja FMG (ei FLUENTissa) algebrallisessa monihilassa FLUENT käyttää Gauss-Seidel -menetelmää tasoittajana FAS-menetelmää FLUENTissa käytetään vain tiheyspohjaisen eksplisiittisen ratkaisun yhteydessä

153 5.6. KERTAUS 152 monihila perustuu tiheimmällä tasolla lasketun virheen korjaamiseen myös harvemmilla hilatasoilla, jolloin virheen matalataajuiset komponentit vaimenevat nopeasti harvoilla tasoilla ja korkeataajuiset tiheillä tasoilla monihilaan liittyvät syklityypit: V, W, F ja joustava. Näistä F- ja joustava sykli ovat lähinnä FLUENT-ohjelman omia nimityksiä. algebrallisessa monihilassa tarvitaan vain yhtälöryhmä. Harvalle tasolle mentäessä yhdistetään 2-4 yhtälöä (kukin yhtälö liittyy laskentatilavuuteen). FAS-algoritmissa joudutaan yhdistämään laskentatilavuudet geometrisesti ( agglomeraatio ). lopullisessa laskennassa konvektiolle toisen kertaluvun diskretointi paineelle kannattaa standardimenetelmän sijaan kokeilla lineaarista interpolointia painekorjaustavaksi voi yleensä valita SIMPLEn. Ajan suhteen tarkkoihin laskuihin manuaali suosittelee PISOa. nopeuksien (liikemääräyhtälöiden) relaksointikerrointa voi yrittää pitää lähellä ykköstä ja käyttää päästabilointimenetelmänä paineen alirelaksointia turbulenssisuureita voidaan joutua relaksoimaan joissain virtaustapauksissa rankastikin. Reynoldsin jännitys -malli on herkempi kuin yksinkertaiset mallit. eksplisiittisellä tiheyspohjaisella ratkaisulla kannattaa aina käyttää FAS-algoritmia Courantin luvun kustannuksella implisiittisellä tiheyspohjaisella algoritmilla ohjelma laskee automaattisesti Courantin luvun arvoa taatakseen lineaarisen yhtälöryhmän lävistäjävaltaisuuden ja sen avulla riittävän nopean konvergenssin normaalikäyttäjän ei kannata lähteä muuttamaan monihila-algoritmien asetuksia virtaustehtävissä suureilla on luonnolliset rajat, jotka kannattaa asettaa. Joissain tapauksissa niiden uudelleen asettaminen voi nopeuttaa konvergenssia

154 5.6. KERTAUS 153 joskus rajojen asettamisella voi korjata esimerkiksi virheellisesti toimivan turbulenssimallin toimintaa (ei aloittelijalle soveltuva menettely) virheelliset rajat voivat pilata ratkaisun, mikä on perussyy siihen, että FLUEN- Tin oletusarvorajat ovat laajat alkuarvojen väärä asettaminen saattaa joissain marginaalisissa tilanteissa johtaa väärään ratkaisuun tai hitaaseen konvergenssiin simulointi kannattaa saattaa loppuun manuaalisesti konvergenssin seurantapoja on useita. Eri tilanteissa on pohdittava oikeat tavat, kaavamainen residuaalien tuijottelu voi johtaa täysin harhaan myös laskentatulosta on tutkittava ajon keskeytystilanteissa. Monimutkaisissa tapauksissa useimmiten sopiva ajofrekvenssi on kerran yön kuluessa, jolloin päivällä voi tuloksen mielekkyyttä tutkia yksinkertaisia demoja lukuun ottamatta virtaussimuloinnin teko on aikaa vievää. Yhden onnistuneen ajon tekemiseen voi mennä jopa kuukausia. Tietokoneiden kehittyminen ei ole toistaiseksi vaikuttanut tähän aikaan (miksi?) Päivitetty

155 154 6 Turbulentin virtauksen laskenta 6.1 Turbulentti virtaus Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä niin yleisesti esillä ja yhtä usein ehkä ainakin joskus hieman väärässä merkityksessä. Kun esimerkiksi jonkun johtajan vakanssin todetaan olevan turbulentti, tarkoitetaan tilanteen muuttumista äkillisesti ja ennalta arvaamattomasti. Tällöin kyseessä on transientti-ilmiö, jota ei voida ennustaa tarkasti. Virtauksessakin ajasta riippuva tilanne ja turbulenssi menevät helposti käsitteellisesti sekaisin. Kaikki virtaukset ovat oikeastaan ajasta riippuvia, koska laminaarillakin virtauksella vesihanasta voi alkaa tulla ruosteista vettä, sen lämpötila voi muuttua jne. Ympyräsylinterin taakse puolestaan voi syntyä laminaari pyörrerata, joka on mitä suurimmassa mitassa ajasta riippuva ilmiö, muttei turbulentti. Siirtyminen laminaarista turbulenttiin virtaukseen on heti kvalitatiivisesti nähtävissä vesihanasta tulevassa suihkussa ja esimerkiksi putken keskimääräisessä nopeusjakaumassa, vaikka turbulenssin täsmällinen määritteleminen onkin hankalaa. Turbulentissa virtauksessa on oleellista virtaussuureiden, esimerkiksi nopeuden heilahtelu keskimääräisen paikallisen arvonsa ympärillä. Turbulenssilla on tietynlainen spektri, jolla se eroaa laminaarista ajasta riippuvasta virtauksesta. Virtauslaskijan on syytä ymmärtää laskemansa tapauksen fysiikkaa turbulenssin kannalta (virtausmekaniikan oppikirja pitää aina olla lähellä). Kaikki virtaukset eivät ole kokonaan turbulentteja, mutta tätä RANS-yhtälöihin perustuva laskenta ei erota. Jos koodi laitetaan laskemaan laminaaria virtausta turbulenttina, niin tulos menee tietenkin väärin. Vaikeimpia ovat tapaukset, joissa on merkittävässä määrin läsnä sekä laminaaria että turbulenttia virtausta. FLUENTissa voidaan turbulenssimalli kääntää pois päältä osassa laskenta-aluetta, mutta yleensä laskennan suorittaja ei nykytietämyksellä voi tietää missä osissa näin pitäisi tehdä. Usein unohtuva asia on,

156 6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 155 että rajakerros on aina aluksi laminaari, vaikka tulovirtaus olisi turbulentti. Tulovirtauksen korkeampi turbulenssiaste vain siirtää laminaarista turbulenttiin tapahtuvan transition paikkaa. Viime vuosina koodeihin on implementoitu uudenlaisia tapoja transition mallinnukseen, mutta malleja ei ole vielä validoitu kunnolla monimutkaisissa virtaustilanteissa eikä niitä siten voida pitää luotettavina. Jos virtaus on merkittävässä osassa rajakerrosta laminaaria, on liian huono approksimaatio laskea sitä kokonaan turbulenttina. Tämän vuoksi FLUENTin avulla ei kannata lähteä sokkona suunnittelemaan tai tutkimaan purjekoneen siipeä, joka on suurimmaksi osaksi laminaari, koska tulos ei ollenkaan vastaisi todellisuutta. Virtauslaskijan on syytä myös pitää mielessään, miltä virtaus näyttää oikeasti. Hyviä havaintokohteita on luonnossa runsaasti. Laskennassa käytetään turbulenssia varten kehitettyjä malleja. Jonkinlaisen tuntuman saavutettavaan tarkkuuteen saa, jos on nähnyt vastaavasta oikeasta tilanteesta visualisoinnin, joko laboratoriossa tai luonnossa. Usein virtaukset ovat paitsi turbulentteja myös makroskooppisessa mielessä ajasta riippuvia. Ensimmäisessä luvussa oli esimerkkinä joessa olevat pyörteet, jotka ovat yleensä luonteeltaan turbulentteja, mutta suurimmat pyörteet ovat analogisia vastaavien laminaarien pyörteiden kanssa. Vastaavia tilanteita löytyy esimerkiksi lämmönsiirrosta vapaan konvektion muodostamista virtausilmiöistä. Tilanteet ovat turbulenssimallille kiusallisia. Kuten jatkossa tulee esille, RANSturbulenssimallin tehtävänä on laskea tasapainotilan keskimääräistä virtausta. Jos malli ei pysty keskiarvottamaan virtausta, vaan se jää ajasta riippuvaksi, se tavallaan toimii väärin turbulenssimallina, mutta oikein virtauksen fysiikan kannalta. Laskentatavasta on ryhdytty käyttämään nimitystä URANS (unsteady Reynoldsaveraged Navier-Stokes). RANS-pohjaisten turbulenssimallien soveltuvuus ajasta riippuviin virtauksiin on tapauskohtaista ja tämän vuoksi tuloksiin on aina suhtauduttava varauksella. Ajasta riippuvien tilanteiden ainoa teoreettisesti oikea lähestymistapa on isojen pyörteiden menetelmä, LES (large-eddy simulation, suurten pyörteiden simulointi), joka on viime aikoina tullut esille myös teknisten sovellusten yhteydessä. LES on sinänsä laskentamenetelmänä vanha, peräisin 1960-luvulta. Sen soveltaminen rajakerrostyyppisiin virtauksiin on osoittautunut hankalaksi. DES (detached-eddy-simulation) ja VLES (very large-eddy simulation) ovat kevennettyjä lähestymistapoja. Viime aikoina on kehitetty myös ns. hybridimenetelmiä, joissa yhdistetään RANS- ja LES-menetelmät. Myös monet tavalliset turbulenttiset virtaukset (so. ei ajasta riippuvat ) ovat sellaisia, että virtaussuureiden heilunta on hyvin suurta. Nopeus voi esimerkiksi vä-

157 6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 156 NAVIER STOKES RATKAISUT Tasapainotilan laskenta Ajastariippuva laskenta RANS DES LES DNS URANS DES LES DNS VLES } tasa paino tila ajasta riippuva kaisu rat Kuva 6.1: Turbulenttisen virtauksen mallinnustavat. lillä jopa muuttaa suuntaansa. Irronneen alueen käsitekin voi olla epäselvä, koska on mahdollista, että keskimääräisessä mielessä virtaus on kiinni, vaikka se hetkellisesti irtoaakin. Virtauksen todellista monimutkaisuutta ajatellessa on välillä oikeastaan eräänlainen ihme, että keskimääräinen tilanne saadaan usein niinkin hyvin ennustetuksi, kuin se onnistuneissa laskentatilanteissa saadaan. Simuloinnin suorittajan on tämä pidettävä mielessä ja tunnettava käyttämänsä mallin rajat. Virtausilmiöt voidaan siis luokitella ajasta riippuviin ja ajasta riippumattomiin (kts. kuva 6.1). Turbulenssi käsitellään varsinaisesta aikariippuvuudesta erillään joko osana ratkaisua tai mallinnettuna. Suora simulointi (DNS) on ainoa tapa, jossa turbulenssia ei mallinneta mitenkään, vaan virtaus lasketaan kokonaan ajasta riippuvana. Suorassa simuloinnissa on tärkeää, että kaikki turbulenssin skaalat ovat mukana simuloinnissa. Käytännössä tämä merkitsee, että suora simulointi voidaan tehdä vain hyvin alhaiselle globaalille Reynoldsin luvulle. LES ja DES ovat menetelmiä, joissa vain osa turbulenssin spektristä lasketaan ajan suhteen tarkasti ja loppuosa mallinnetaan. Ainoastaan RANS-yhtälöillä lasketaan suoraan tasapainotilaa, DNS-, LES- ja DES-laskennassa on simulointia jatkettava ajasta riippuvana niin kauan, että saavutetaan tilastollisesti edustava keskiarvo virtaussuureille. Tämä tekee laskentatehtävistä huomattavasti raskaampia kuin RANS. Suurin osa teknisestä laskennasta tehdään RANS-yhtälöillä. Lähestymistapa on eräässä mielessä epäfysikaalinen, koska virtauskenttä ei oikeastaan koskaan todellisuudessa näytä täysin keskimääräiseltä, siis RANS-yhtälöiden antamalta ratkaisulta. Ja kuten edellä todettiin, RANS-laskennan soveltaminen ajasta riippuviin

158 6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 157 tapauksiin, esimerkiksi pyörreradan laskentaan, on epämääräistä. On selkeästi näkyvissä, että tietokoneiden tehon jatkuvasti kasvaessa kehitys menee LES- tai DEStai jotain uutta vastaavaa turbulenssin kuvausta kohti. 6.2 Turbulenttia virtausta kuvaavat yhtälöt Edellä on tullut esille käsite keskimääräisestä virtauksesta. Turbulentin virtauksen kaikki mallinnustavat (suoraa simulointia lukuunottamatta), lähtevät siitä, että virtaussuureet jaetaan keskimääräiseen ja heilahtelukomponenttiin u i (t) = ū i +u i(t) (6.1) Perusideana on siis se, että keskimääräinen virtausnopeus ū i, josta suunnittelija yleensä on kiinnostunut, ei riipu ajasta, heilahtelukomponenttiu i (t) sen sijaan riippuu. Laskettaessa ajasta riippuvaa tilannetta keskimääräinenkin nopeus voi riippua ajasta, mutta eri aikaskaalalla kuin heilahtelunopeus. Tätä tilannetta havainnollistetaan kuvassa 6.2. Varsinainen turbulenssi siis mallinnetaan aina heilahtelunopeuksienu i (t) avulla. Ongelmana on se, että joskus nämä erilaiset aikaskaalat ovat samaa suuruusluokkaa ja menevät sekaisin. Isojen pyörteiden menetelmässä ei ole samaa keskimääräistä virtausnopeutta, vaan ns. suodatettu nopeus, jonka täytyykin riippua ajasta. LESillä ja muilla vastaavilla tekniikoilla (DNS, DES) ei siis aikaskaalaongelmaa ole. Kun tyyppiä (6.1) olevat nopeudet ja muut suureet on sijoitettu virtausyhtälöihin (3.7) ja (3.8) ja otettu aikakeskiarvo sopivan aukon T yli, saadaan ρū i t + ρū iū j x j ρ t + ρū i x i = 0 (6.2) = p + [ ( ūi µ + ū j 2 x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l + ( ) ρu x i u j j (6.3) Yhtälöt säilyvät muodollisesti lähes samanlaisina kuin alkuperäiset Navier-Stokes -yhtälöt. Yhtälöitä kutsutaan Reynolds-keskiarvotetuiksi yhtälöiksi (RANS) ja liikemääräyhtälöihin tullutta lisätermiä ρu iu j Reynoldsin jännityksiksi. Ratkaisuksi saadaan suoraan keskiarvotetut suureet ū i ja p jne. Yleensä yhtälöt kirjoitetaan ilman yläviivoja lukuunottamatta Reynoldsin jännityksiä. Integrointivälin T on oltava pitempi kuint 1, mutta lyhyempi kuin probleeman aikaskaalan T 2.

159 6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 158 u i (x,t) T 1 T 2 Kuva 6.2: Turbulenssin aikaskaalan T 1 on RANS-yhtälöillä oltava pienempi kuin probleeman aikaskaala T 2. Isojen pyörteiden menetelmässä käytetään aikakeskiarvojen sijaan paikkakeskiarvoja. Kontrollitilavuusmenetelmällä toimivissa koodeissa keskiarvo otetaan yleensä laskentatilavuuden V yli φ(x) = 1 V V φ(x )dx (6.4) Operaatiota kutsutaan myös suodattamiseksi. Keskiarvon ottaminen vastaa tilannetta, jossa suodatinfunktio määritellään { 1/V jos x G(x,x V ) = 0 muulloin Suodatetut liikemääräyhtälöt ovat seuraavat ρū i + ρū iū j = p + [ ( ūi µ + ū j 2 t x j x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l t (6.5) τ ij x j (6.6) Yleensä LESissä oletetaan tiheys vakioksi. Menetelmää ei ole juurikaan sovellettu kokoonpuristuville virtauksille. FLUENTissakin oletetaan tiheys vakioksi, jolloin yläviiva voidaan tiheyksistä tässä yhteydessä poistaa. Yhtälössä (6.6) esiintyvä ns. alihilajännitys on olettamalla tiheys edelleen vakioksi τ ij = ρu i u j ρū i ū j (6.7) Myös yhtälöiden kitkatermiä voidaan yksinkertaistaa olettamalla tiheys vakioksi (katso esim. White).

160 6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 159 Alihilajännitysτ ij vastaa Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden näennäistä jännitystermiä ρu iu j. Alihilajänntys kuvaa laskentatilavuuden kokoa pienemmän turbulenssiskaalan aiheuttamaa näennäistä leikkausjännitystä. Isojen pyörteiden menetelmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen tapahtuvista heilahteluista. Jos FLUENTilla sovelletaan LESiä, ohjelmasta saadaan keskiarvottamalla ulos virtauksesta aiheutuvat leikkausjännityksetρu i u j ja alihilajännityksetτ ij. RANS-yhtälöillä saadaan näiden summa suoraan osana ratkaisua. 6.3 Turbulentin virtauksen laskenta RANS-yhtälöillä Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä laskettaessa turbulenssi voidaan mallintaa kahdella päätavalla: pyörreviskositeetin (turbulentin viskositeetin) tai Reynoldsin jännitys -mallin avulla. Jälkimmäisessä ratkaistaan suoraan Reynoldsin jännityksiä. Pyörreviskositeettikeinossa käytetään Reynoldsin jännitysten laskemiseen Boussinesqin hypoteesia ( ρu iu ui j = µ t + u ) j 2 ( ) x j x i 3 δ u l ij ρk +µ t x l (6.8) missäk on turbulenssin kineettinen energia jaµ t pyörreviskositeetti (turbulentti viskositeetti). Nopeuksista on selkeyden vuoksi pudotettu keskiarvomerkinnät pois. RANS-yhtälöillä on siis kaksi lähestymistapaa, jotka voidaan vielä jakaa osiin kuvan 6.3 osoittamalla tavalla. Todellisuudessa tilanne on monimutkaisempi. Silti kaupallisissa ohjelmissa turbulenssin mallinnustavat ovat perinteisesti olleet melko niukat. Tähän on mitä ilmeisimpänä syynä jälleen pyrkimys laskennan robustisuuteen. Uusia malleja otetaan käyttöön verkkaisesti, viimeksi on päävalikkoon tuotu mukaan k ω -malli. Tärkeimmät turbulenssimallit ovat Spalart-Allmaras -malli standardi k ǫ -malli RNG k ǫ-malli todenmukainenk ǫ -malli (Shih et al.) standardi k ω -malli SST k ω -malli

161 6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 160 TURBULENSSIMALLIT PYÖRREVISKOSITEETTI PYÖRREVISKOOSITON ALGEBRALLINEN 2 YHTÄLÖ ASM RSM 1 YHTÄLÖ 3 YHTÄLÖ EPÄISOTROOPPINEN PYÖRREVISKOSITEETTI K ν t k ε k ω q ω Kuva 6.3: Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden turbulenssin mallinnustavat. Reynoldsin jännitys -mallit (RSM) Näistä Spalart-Allmaras -malli on ns. yksiyhtälömalli, jossa ratkaistaan suoraan turbulenttia viskositeettia ν t = µ t /ρ lähellä olevaa suuretta, kaikki k ǫ -mallit ovat kaksiyhtälömalleja ja lisäksi on Reynoldsin jännitys -malli (RSM). RSM:ää sanotaan epäisotrooppiseksi malliksi, koska turbulentit jännitykset eivät riipu lineaarisesti venymänopeustensorista. Kaksiyhtälömalleissa sovellettavassa Boussinesqhypoteesissa Reynoldsin jännitykset ovat aina verrannollisia viskooseihin jännityksiin yhtälön (6.8) mukaan. Mallit voidaan jakaa myös pienen ja ison Reynoldsin luvun malleihin. Spalart-Allmaras- ja k ω -mallit ovat pienen Reynoldsin luvun malleja. Myös Reynoldsin jännitys -mallista on nykyisin olemassa pienen Reynoldsin luvun vaihtoehto. Muihin malleihin voidaan lisätä tarkennettu seinämäkäsittely. Turbulenssin kuvaus muodostaa virtaussimuloinnin heikoimman lenkin. Virtauslaskijalle on tärkeää tuntea käyttämiensä mallien rajoitukset ja heikkoudet. Turbulenssimalli joudutaan valitsemaan laskentatapauksen mukaan. FLUENTissa valinnan mahdollisuuksia ei ole paljon, mutta nekin voivat tuottaa ongelmia. Seuraavassa tarkastellaan ensin Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden malleja ja lopuksi isojen pyörteiden menetelmää. Turbulenssimalleja esitellään vain lyhyesti, tarkempaa tietoa saa esimerkiksi Wilcoxin kirjasta ja implementointitapojen osalta osoitteesta: On kuitenkin huomattava, että koodeissa mal-

162 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 161 lien implementoinnissa saattaa olla eroja ja tulokset ohjelmien välillä eivät aina ole yhteneviä. Mallien valintaan palataan vielä luvussa RANS yhtälöiden turbulenssimallit Spalart-Allmaras yksiyhtälömalli Spalart-Allmaras -malli on kehitetty Boeingilla rajakerrostyyppisten virtausten laskentaan. Lähtökohtana on ollut laatia mahdollisimman robusti yksiyhtälömalli, jolla mallinnetaan jossain määrin turbulenssin fysiikkaa. Tätä varten on kirjoitettu ad hoc-tyyppinen kuljetusyhtälö turbulenttia viskositeettia lähellä olevalle suureelle ν ρ ν t + ρu i ν = G ν + 1 ( (µ+ρ ν) ν ) ( ) 2 ν +C b2 ρ Y ν (6.9) x i σ ν x j x j x j Turbulentti viskositeetti lasketaan kaavasta µ t = ρ νf v1 (6.10) missäf v1 eräänlainen vaimennusfunktio. Yhtälö (6.9) on konvektio-diffuusioyhtälö, jossa on turbulenttia viskositeettia tuottava lähdetermi G ν ja nielutermi Y ν. Yhtälössä on malliparametrit σ ν ja C b2. Parametrien ja lähdetermien laskenta on melko monimutkaista ja sitä selostetaan FLUENTin manuaalissa. Turbulenssilla on historiaefekti, jota pyritään kuvaamaan yhtälöllä (6.9). Turbulentti viskositeetti ei ole kuitenkaan mikään fysikaalinen, saati konvektoituva suure, joten kyseessä olevalla yhtälöllä virittämällä malliparametrit sekä lähde- ja nielutermit sopivasti, muodostetaan vain tavallaan eräänlainen korrelaatio suureelle ν. Tämänkaltaisen mallin käyttäminen sovellusalueensa ulkopuolella voi johtaa aivan virheellisiin tuloksiin, koska ν:llä ei ole vastaavaa fysikaalista merkitystä kuin esimerkiksi turbulenssin kineettisellä energialla k, jolle voidaan virtausyhtälöistä lähtien johtaa oma, periaatteessa tarkka yhtälönsä. FLUENTin normaalikäyttäjän on syytä välttää Spalart-Allmaras -mallia. Malli on alunperin kehitetty siipiprofiileille ja malliparametrit on viritetty kyseiseen tilanteeseen sopiviksi. Käytännön laskennassa mallia on ryhdytty käyttämään myös 3D virtauksille. Sen voidaan ajatella sopivan myös tietynlaisille sisäpuolisille virtauksille, kuten puhaltimille, kompressoreille, pumpuille ja turbiineille. Spalart- Allmaras -malli on ns. pienen Reynoldsin luvun malli, jossa mallinnetaan virtaus

163 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 162 seinälle asti. FLUENTissa mallin seinämäreunaehtoa on viritelty siten, että malli soveltuu myös suuren Reynoldsin luvun malliksi (laskentahilan vaatimuksista kts. luku 2). Viritelty malli ja sille luvattu sopivuusalue vaikuttavat epäilyttäviltä, minkä vuoksi sitä ei suositella käytettäväksi Standardi k ǫ-malli Standardi k ǫ on todellinen standardimalli teollisuusprosessien simuloinnissa. Se oli pitkään käytännössä ainoa malli ja on vieläkin eniten käytetty, vaikka se tiedetään epätarkaksi monessa tilanteessa. Malli on hyvin robusti ja se antaa useimmissa tilanteissa mielekkäältä vaikuttavan tuloksen. Usein tämä tarkoittaa, että laskenta konvergoi hyvin. Laskenta voi konvergoida tasapainotilaan siten myös tilanteissa, jotka ovat voimakkaasti ajasta riippuvia. Useimmiten robustisuus tarkoittaa, että k ǫ-malli yliarvioi pyörreviskositeetin tason. Virtaus käyttäytyy erityisesti standardimallilla melkein kuin terva, jähmeästi, irroten huonosti ja ennustaen liian suuren arvon turbulenssin kineettiselle energialle. Standardi k ǫ-mallissa käytetään ns. seinämäfunktiota, joka parantaa laskennan robustisuutta ja konvergenssia kahdella tavalla. Kuten kuvasta 2.20 nähdään, ilman seinämäfunktiota rajakerros on mallinnettava pinnalle asti ja tähän kuluu noin 20 laskentatilavuutta. Tämä lisää kokonaiskoppimäärää jopa tekijällä kaksi. Laskentaaikaa kuluu siis lisää ja konvergenssi hidastuu rajakerroksessa olevien tihennysten vuoksi. Toinen robustisuutta lisäävä tekijä tulee siitä, että rajakerros mallinnetaan hyvin karkeasti. Turbulenssimalleihin ei tarvita hankalia epälineaarisia lähdetermejä eikä reunaehtojen asettaminen ole samalla tavoin vaikeaa kuin pinnalle asti viedyssä laskennassa. FLUENTissa seinämäkäsittely tehdään turbulenssimalleista erillään. Periaatteessa ns. standardik ǫ-malliin voi yhdistää myös laskennan seinälle asti ns. kaksikerrosmallin avulla. Kyseessä ei ole enää silloin standardimalli, mikä on syytä muistaa tuloksia raportoidessa yleisempään käyttöön FLUENT-yhteisön ulkopuolelle. Riippumatta siitä käytetäänkö pienen vai suuren Reynoldsin luvun lähestymistapaak ǫtoimii huonosti tai ei pysty kuvaamaan mm. seuraavia ilmiöitä: malli on kaikkien pyörreviskositeettimallien tavoin isotrooppinen eikä sellaisena pysty kuvaamaan esimerkiksi sekundäärivirtauksia nelikulmaisessa kanavassa

164 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 163 malli toimii huonosti, kun virtaus on positiivisen painegradientin suuntaista. Tilanne tulee vastaan simuloitaessa esimerkiksi diffuusoreita. useimmiten k ǫ-malli pyrkii pitämään virtauksen kiinni tilanteissa, joissa sen pitäisi irrota. Toisaalta malli saattaa ennustaa oikean tuntuisen virtauskentän tilanteissa, joissa tapahtuu massiivinen virtauksen irtoaminen ja muilla lähestymistavoilla ajo kaatuisi. seinämäfunktion yhteydessä irronneen virtauksen laskenta on erityisen epätarkkaa. Seinämäfunktio ei edes päde useimmissa virtaustilanteissa, vaikka sitä silti sovelletaan. malli ei ennusta eroa taso- ja pyörähdyssymmetriselle suihkulle malli ei sinällään erota pyörimisliikettä eikä virtauksen kaartumista, joille tosin voidaan kehittää korjaustermejä Monet k ǫ-mallin puutteista ovat myös muille kaksiyhtälömalleille tyypillisiä, mutta FLUENTissa on eräitä puutteita pyritty korjaamaan RNG-mallilla ja Shih et al. kehittämällä todenmukaisella k ǫ-mallilla. Lähtemällä liikemääräyhtälöistä voidaan johtaa periaatteessa tarkka differentiaaliyhtälö turbulenssin kineettiselle energialle k = 1/2u iu i. Eräiltä osin yhtälö joudutaan mallintamaan, jolloin yhtälöön tulee eräitä parametreja ja lähdetermejä. FLUENTissa käytetään seuraavaa yhtälöä ρk t + ρu ik x i = G k + x i [ ( µ+ µ ) ] t k +G b ρǫ Y M (6.11) σ k x i missä G k on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi ja ǫ kineettisen energian dissipaatio. FLUENTissa on mahdollista aktivoida myös noste- ja puristuvuuskorjaustermitg b jay M. Näistä viimeksi mainittu riippuu Machin luvusta ja sen vaikutus alkaa näkyä, kun Machin luku lähenee ykköstä. Myös kineettisen energian dissipaatiolle ǫ voidaan johtaa differentiaaliyhtälö, mutta johto on hankala ja lopputulos termeiltään epäselvä. Käytännössä ǫ:n yhtälö mallinnetaan konvektio-diffuusio -yhtälön periaatteella, samaan tapaan kuin Spalart-Allmaras -mallin yhtälökin ρǫ t + ρu iǫ x i = x i [ ( µ+ µ ) ] t ǫ σ ǫ x i ǫ +C 1ǫ k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 k (6.12)

165 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 164 Standardimallissa ǫ-yhtälössä käytetään lähdetermejä, jotka ovat skaalattu suhteella ǫ/k kineettisen energian yhtälön lähdetermeistä ja jotka parametrisoidaan eri tavalla. Yhtälöiden (6.11) ja (6.12) sisältämät vakiot on aikoinaan parametrisoitu tiettyjen perusvirtaustapausten avulla. Mallin pätevyysalue on hämmästyttävän universaali lähtökohdat huomioon ottaen. Turbulenssia tuottavat siis nopeusgradientit ja ne vaikuttavat termin G k kautta. Tarkastelemalla k:n yhtälöä huomataan, että jos noste- ja puristuvuuskorjaustermit eivät vaikuta, k:lle saadaan konvektio-diffuusio -yhtälö. Tällöin vapaan virtauksen alueella, missä gradientteja ei ole, turbulenssin kineettisen energian pitäisi levitä mutta ei hävitä. OpenFOAMissa sekä k:n että ǫ:n arvoja on rajoitettu niin, etteivät ne pääse nollaan. (Jos kumpi tahansa päästettäisiin nollaan tulisi vastaan nollalla jakaminen, kts.yhtälöt). Arvojen rajoittamisesta seuraa kuitenkin se, että myös vapaan virtauksen alueella turbulenssin kineettisen energian yhtälöön jää nielu, joka pienentää k:ta. Tilanne tulee eteen esimerkiksi tasolevyvirtausta laskettaessa, jos hilaan luodaan vapaan virtauksen alue ennen levyn alkua. Tällöin sisäänvirtausreunalla annettu turbulenssi saattaa hävitä ennen levyn alkua eikä turbulenssi tällöin välttämättä herää edes levyn alueella. Tilanteen voi korjata kahdella tavalla. Toisaalta k:n pienintä sallittua arvoa voi nostaa halutulle tasolle ja tällä tavoin estää turbulenssin kuoleminen. Toinen tapa on vähentää k:n yhtälössä esiintyvästä ǫ:sta sen pienin sallittu arvo, jolloin gradienttien puuttuessa yhtälössä ei ole lähteitä eikä nieluja. Kumpikin versio on toteutettu OpenFOAMilla. ja annettu kokeiltavaksi kurssin OpenFOAM-tiedostokokoelmassa. Ensin kuvattu versio löytyy nimellä boundkepsilon ja jälkimmäinen nimellä freestreamkepsilon. Kaikissa k ǫ-mallin versioissa turbulentin viskositeetin laskenta perustuu turbulenssin nopeusskaalan ja pituusskaalan tuloon. Nopeuskaala on verrannollinen suureeseen k ja pituusskaalan l voidaan osoittaa olevan verrannollinen suhteeseen l k 3 2 /ǫ (6.13) Laittamalla verrannollisuuskerroinc µ eteen saadaan pyörreviskositeetin lausekkeeksi µ t = C µ ρ k2 (6.14) ǫ Monissa mallin varianteissa (joita on lukuisia) yhdistetään kertoimeenc µ vielä seinämäkorjaus f µ, joka useimmiten riippuu seinämäetäisyydestä. Tätä funktiota ei

166 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 165 pidä sekoittaa suuren Reynoldsin luvun mallissa käytettävään seinämäfunktioon. Standardi k ǫ sisältää ns. luonnon vakioita, jotka todellisuudessa ovat kuitenkin jossain määrin tapauskohtaisia. FLUENTissa käyttäjä voi modifioida vakioiden arvoja, mutta tämä vaatii asiantuntemusta turbulenssialalta. Ilman etukäteistietoa normaalikäyttäjän ei pidä sormeilla mallin parametreja RNG k ǫ-malli Tämä malli muodostaa omalaatuisen kokonaisuuden turbulenssimallien kehityshistoriassa. Mallin pääkehittäjät Yakhot ja Orzag ovat soveltaneet ns. renormalisaatioryhmäteoriaa (RNG) Navier-Stokes -yhtälöille. Yhtälöiden johto on periaatteessa analyyttinen ja sen avulla saadaan myös mallin sisältämien vakioiden arvot. Vakiot ovat hämmästyttävän lähellä standardi k ǫ-mallin parametrien arvoja. Toisaalta tästä turbulenssin mallinnustavasta on pakko todeta, että ani harva ihminen maailmassa ymmärtää sitä, joten koko ajatuksen kritisoiminen on siten vaikeaa. RNGmallista on olemassa versioita myös LES-laskentaan ja siihen voidaan liittää pyörimisliikekorjaus. Monia mallin yksityiskohtia ei paljasteta ja eräät ovat hankalasti hahmotettavissa. RNG-lähestymistavan historiaa voidaan pitää edellä kuvatun perusteella tieteellisesti epäilyttävänä. Tarkastellaan RNG-mallin eroja standardimalliin verrattuna. Yhtälöt ovat lähes samat ρk t + ρu ik = [ ] k α k µ eff +G k +G b ρǫ Y M (6.15) x i x i x i ρǫ t + ρu iǫ = [ ] ǫ ǫ α ǫ µ eff +C 1ǫ x i x i x i k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 R (6.16) k Diffuusiovuot lasketaan käyttäen efektiivistä viskositeettiaµ eff = µ t +µ ja sopivia Schmidtin lukuja 1/α k ja 1/α ǫ. Ainoa huomattavampi ero yhtälöissä tulee lähdetermistä (R) ǫ-yhtälössä. Kyseinen termi ei synny RNG-prosessissa suljetussa muodossa, vaan kyseessä on turbulenssin kineettisen energian nielu, joka on mallinnettava. Nielu-termiä ei esiinny standardimallissa, mutta sen vaikutuksesta turbulentin viskositeetin taso RNG-mallilla yleensä tulee pienemmäksi kuin standardimallilla. Tästä on tiettyjä seurauksia, joihin palataan jatkossa. RNG-mallin eräänä huomattavana saavutuksena on mallin vakioiden määräytyminen analyyttisesti. Vakiot eroavat standardimallin vakioista. Esimerkiksi standardimallissa C µ = 0,09 ja RNG-mallissa C µ = 0,0845, mikä periaatteessa on hämmästyttävä saavutus analyyttiselta mallilta. RNG-mallin ensimmäisessä versiossa

167 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 166 vakiolla C 1ǫ, joka standardimallilla saa arvon 1,44, oli huomattavasti pienempi arvo. Hyvin pian osoitettiin, ettei RNG-malli useimmissa tapauksissa tällöin toiminut ollenkaan. Tämän jälkeen mallin kehittäjät löysivätkin johdostaan virheen, jolloin vakion arvo nousi lähelle standardimallin vakion arvoa (C 1ǫ = 1,42). Edellä kuvattuc µ :n arvo toteutuu rajakerroksen ulkolaidalla. RNG-mallissa turbulentin viskositeetin arvo integroidaan monimutkaisesta differentiaaliyhtälöstä, joten tavallaan mallissa on implisiittisesti mukana funktio f µ. Kyseessä on tällöin eräänlainen pienen Reynoldsin luvun malli, jossa ratkaisu ulotetaan pinnalle asti. Kirjallisuudessa on esitetty approksimatiivisia sovitteitaf µ :lle. Käytännössä FLUENTin RNG-mallin käyttäjä ei pysty selvittämään miten malli toimii näiltä osin, mutta differentiaaliyhtälöönkin perustuva vaihtoehto on aktivoitavissa. Oletusarvona RNG-mallin sanotaan laskevan viskositeetin lausekkeesta (6.14). RNG-malliin on mahdollista yhdistää pyörimisliikkeestä aiheutuva korjaus kertoimeenf µ. Pyörimisliikekorjauksen mallia ei paljasteta. RNG k ǫ-malli ei ole lunastanut siihen kohdistuneita odotuksia. Normaalisti sitä ei kannata käyttää. Mallia on propagoitu analyyttisena, mitä se ei kuitenkaan ole. Sen sijaan monet piirteet mallin kehityshistoriassa antavat aiheen epäillä, ettei kaikki ole aivan kunnossa. RNG k ǫ-malli tuottaa standardimallia vähemmän turbulenttia viskositeettia termin R ansiosta. RNG-mallia kannattaa siten käyttää tilanteissa, joissa varmasti tiedetään standardimallin laskevan väärin juuri liian korkean viskositeettitason vuoksi. Oikea lähestymistapa on tällöin laskea konvergoitunut tulos ensin standardimallilla ja sen jälkeen jatkaa RNG:llä. Pienemmän viskositeettitason vuoksi RNG-mallia on usein vaikea saada muuten konvergoitumaan. Todennäköisesti RNG-malli toimii standardimallia paremmin URANS-simuloinnissa, kuten turbulenttien pyörreratojen laskennassa. Sitä kannattaa kokeilla vapaille leikkauskerroksille (esim. suihkut). Standardimallilla on taipumus sammuttaa tai ainakin pienentää pyörreradan kaltaisia ilmiöitä Todenmukainen k ǫ-malli Tämän k ǫ-mallin version ovat esittäneet Shih, Liou, Shabbir ja Zhu vuonna FLUENTissa malli on ristitty erään sen ominaisuuden vuoksi todenmukaiseksi (realizable), mutta tämä nimitys ei ole muissa yhteyksissä ainakaan toistaiseksi käytössä. Kirjallisuudessa malliin kannattaa viitata tyyliin Shih et al. Todenmukai-

168 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 167 suusehtoja turbulenssimalleille ovat mm. seuraavat u i2 > 0 (6.17) (u iu j) 2 u i2 u 2 j (6.18) Boussinesq-hypoteesin ja ehdon (6.17) perusteella saadaan seuraava todenmukaisuusehto k u ǫ x < 1 3,7 (6.19) 3C µ Kun nopeusgradientti on tarpeeksi suuri nähdään, että standardimallista tulee epätodenmukainen. Käytännössä tilanne ei näy mitenkään, koska standardimalli ei käytä suoraan suureita u i2 mihinkään. Ja mallitkin pidetään todenmukaisina muilta osin pulttaamalla niille ohjelmassa sopivat rajat. On kuitenkin perusteita pitää mallit fysikaalisesti mielekkäinä. Helpoin keino on muuttaa kerrointa C µ tilanteissa, joissa todenmukaisuusehto ei toteudu. Shih n mallissa tämä tehdään laskemalla kerroin lausekkeesta 1 C µ = U A 0 +A k (6.20) s ǫ missä U lasketaan venymänopeustensorin S ij ja modifioidun pyörteisyystensorin Ω ij avulla U = S ij S ij + Ω ij Ωij (6.21) Venymänopeustensori määritellään S ij = 1 2 ( uj + u ) i x i x j (6.22) ja pyörteisyystensori Ω ij = 1 2 ( uj u ) i x i x j (6.23) Modifioitu pyörteisyytensori Ω ij saadaan Ω ij :n ja systeemin pyömisliikkeestä aiheutuvan kulmanopeuden avulla. Tässä mallissa on siis olemassa eräänlainen pyörimisliikekorjaus, jota ei ole edes piilotettu. Tavanomaisessa kaksiyhtälömallissa ei systeemin pyöriminen näy ratkaisussa mitenkään. Esimerkkinä on kuva 6.4, jossa verrataan laskettuja nopeusprofiileja kokeellisiin pyörivässä virtauskanavassa. Standardi k ǫ ennustaa symmetrisen nopeusprofiilin, koska malli on täysin tunnoton pyörimisliikkeelle. Kuvassa 6.4 on laskentatulos myös Gibson-Launder Reynoldsin jännitys -mallilla. RSM on epäisotrooppinen ja sillä voidaan pyörimisliikkeen

169 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 168 U U Ω D u(y) y x y / H Kuva 6.4: Reynoldsin jännitys -mallilla ja k ǫ-mallilla lasketut nopeusjakaumat pyörivässä kanavassa. vaikutus kuvata. Shih n mallissa pyörimisliikkeen vaikutus otetaan huomioon modifioimalla pyörteisyystensoria. Mallilla laskettu tulos on lähellä kuvan 6.4 RSMtulosta. Sekä RSM:llä että Shih n mallilla yhtäpitävyys koetulosten kanssa on kuitenkin lähinnä kvalitatiivinen, mikä edustaa virtauslaskennan nykytasoa tässä tilanteessa. Shih n mallissa A 0 = 4,04. Parametri A s lasketaan monimutkaisella tavalla venymänopeustensorin avulla. Lopputuloksena saatavassa mallissa kerroin C µ on funktio päävirtauksen venymästä ja pyörteisyydestä, systeemin pyörimisnopeudesta ja turbulenssisuureiden (k ja ǫ) arvoista. Tasapainotilan rajakerroksella kerroin redusoituu standardimallin kertoimeksi 0,09. Todenmukaisessa mallissa turbulenssin kineettisen energian yhtälö on likimain sama kuin standardimallissa, mutta parametreilla on hiukan standardimallista poikkeavat arvot. Dissipaation yhtälössä on lähdetermien osalta pieniä modifikaatioita. Usein tällaiset modifikaatiot on tehty parantamaan koodien robustisuutta, esimerkiksi ehkäisemään nollalla jakoa k/ǫ -tapaisten suureiden osalta. Modifikaatiot saattavat kuitenkin vaikuttaa myös laskentatuloksiin. Shih n mallin osalta modifikaatioita selostetaan tarkasti, mutta hyvin usein esimerkiksi standardimallin imple-

170 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 169 mentoinnin osalta koodiin pikku hiljaa rakentuu pieniä systeemejä, joilla hoidellaan hankalia tilanteita. Tämä aiheuttaa sen, että käytettäessä samaa turbulenssimallia eri ohjelmalla, tuloksissa voi olla poikkeavuutta. Turbulentin virtauksen simulointitulokset ovat osoittautuneet hyvin vaikeasti toistettaviksi! FLUENTin manuaalin mukaan Shih n mallin tulokset ovat olleet kaikissa testatuissa tapauksissa selvästi paremmat kuin standardimallin. Erityisen huomionarvoista on, että mallissa on pyörimisliikekorjaus ja se poistaa myös pyöreän suihkun vaimenemisessa olevan anomalian. Malli vaikuttaa ominaisuuksiensa puolesta kaikin puolin hyvältä ja sitä kannattaa suosia FLUENTin muiden turbulenssimallien kustannuksella. Kaikkien turbulenssimallien kohdalla on kuitenkin oltava kriittinen. Shih n mallia on testattu toistaiseksi varsin vähän moneen muuhun malliin verrattuna k ω -mallit k ω -malleja on FLUENTissa useaa tyyppiä. Näistä Wilcoxin alkuperäistä mallia variantteineen ei yleensä kannata käyttää. Kyseinen malli on todettu hyvin herkäksi tulovirtauksen turbulenssisuureiden reunaehdoille, joten tulokset saattavat muuttua huomattavastikin, kun reuna-arvoja muutetaan. Sen sijaan Florian Menterin kehittämä SSTk ω malli on viime aikoina tullut suosituksi ja sitä kannattaa usein käyttää k ǫ -mallin sijaan. Seuraavassa esitetään SST-mallin perusyhtälöitä. Turbulenssin kineettisen energian yhtälö on samaa muotoa kuin k ǫ -mallilla ρk t + ρu ik x i = G k + x i [ ( µ+ µ ) ] t k +G k Y k +S k (6.24) σ k x i missäg k on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi jay k kineettisen energian dissipaatio. TermiS k on käyttäjän spesifioima lähdetermi. Kineettisen energian dissipaation sijaan toisena muuttujana käytetään ominaisdissipaatiotaω = ǫ/k. Tälle käytetään samantapaista yhtälöä kuin dissipaatiolle. ρω t + ρu iω x i = [ ( µ+ µ ) ] t ω +G ω Y ω +D ω +S ω (6.25) x i σ ω x i Tässä G ω ja Y ω ovat ω:n tuotto ja dissipaatio, jotka saadaan vastaavista kineettisen energian lähdetermeistä samaan tapaan kuink ǫ -mallilla eli käyttäen sopivia skaalauksia ja kertoimia. Käyttäjä voi määrittää lähdetermin S ω, kuten kineettisen energian yhtälön vastaavan terminkin. Menterin malli on oikeasti Wilcoxin k ω ja

171 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 170 k ǫ -mallien yhdistelmä. Tällä on saatu poistetuksi herkkyys vapaan virtauksen arvoista. Yhdistämisen seurauksena yhtälöön (6.25) tulee uusi ns. ristidiffuusiotermi D ω. Tämän laskenta, kuten myös yhtälöiden kertoimet ovat varsin monimutkaisia funktioita mm. seinämäetäisyydestä. Myös turbulentin viskositeetin laskenta on hieman k ǫ -mallista poikkeavaa. Viskositeetti lasketaan yhteydestä µ t = ρk ω 1 [ max 1, ΩF ] (6.26) 2 a 1 ω missä a 1 = 0,31 ja Ω on pyörteisyystensorin itseisarvo. Funktio F 2 on monimutkainen lauseke, joka riippuu mm. seinämäetäisyydestä. Yhtälön (6.26) alaraja tulee Bradshawn oletuksesta, jonka mukaan turbulentti leikkausjännitys rajakerroksessa riippuu turbulenssin kineettisestä energiasta seuraavasti ρu iu j = a 1 ρk (6.27) k ω on yleensä tarkempi kuin k ǫ -malli. Se ei ole yhtä epätarkka positiivisen painegradientin yhteydessä ja yleensä se tuottaa turbulenssia vähemmän kuin perinteinenk ǫ -malli. Sen vuoksi sitä usein kannattaa suosia. On kuitenkin huomattava, että k ω -malli on vähemmän robusti juuri pienemmän ja realistisemman turbulenssitason vuoksi, josta saattaa aiheutua konvergenssin huononemista. Lisäksi malli on jossain määrin herkkä vapaan virtauksen arvoille. Niitä ja mallin eri muunnoksia löytyy mm. lähteestä Turbulence Modeling Resource Reynoldsin jännitys -mallit Reynoldsin jännitys -malli on kaikkein monimutkaisin FLUENTin turbulenssin kuvaustavoista. Malli on epäisotrooppinen ja sillä on potentiaalia kuvata virtausilmiöt muita malleja tarkemmin. Liikemääräyhtälöistä lähtien on mahdollista johtaa tarkat differentiaaliyhtälöt Reynoldsin jännityksilleρu iu j. Yhtälöissä on monia maallikolle merkitykseltään hämäriä termejä. Yhdistelemällä näitä yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti ρu iu j t tässä tuottotermi + (ρu ku iu j) x k = P ij +G ij +φ ij +D ij ρǫ ij +F ij (6.28) [ ] P ij = ρu iu u j k +ρu x ju u i k k x k (6.29)

172 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 171 ja pyörimisliikkeestä aiheutuva termi F ij ovat RSM:ssä eksakteja, muut termit on mallinnettava. Mallinnettavaksi jää Reynoldsin jännitysten turbulentti diffuusiod ij, nosteesta aiheutuva tuottotermig ij, paine-venymänopeus -termiφ ij ja jännistyksiä vastaava dissipaatioǫ ij. Reynoldsin jännitys -mallista on esitetty lukemattomia versioita 70-luvun alun jälkeen. Useimmat malleista perustuvat samantapaisiin ideoihin. Usein ohjelmissa käytetään useammasta alkuperäismallista koottuja yhdistelmiä ja käyttäjälle voidaan antaa vielä mahdollisuus kombinoida malli erillisistä osista. Mallit eroavat yleensä eniten toisistaan paine-venymänopeus -termin osalta. Tämä on keskeisessä asemassa RSM:ssä ja se yleensä kirjoitetaan seuraavaan muotoon φ ij = φ ij,1 +φ ij,2 +φ w ij (6.30) missä φ ij,1 on ns. hidas termi ( return-to-isotropy ), φ ij,2 on nopea paine-venymänopeus -termi ja φ w ij ottaa huomioon kiinteiden seinien vaikutuksen. FLUENTissa paine-venymänopeustermin mallinnus voidaan tehdä kahdella tavalla. Oletusarvotavassa on yhdistetty Gibson ja Launder, Fu et al. ja Launderin ehdottamia malleja. Ohjelmassa on myös mahdollista valita paine-venymänopeus -termille SSG-malli (Speziale, Sarkar ja Gatski). FLUENTissa on tämän johdosta oikeastaan kaksi erilaista Reynoldsin jännitys -mallia, joiden erot voi hallita vain alan asiantuntija. On syytä korostaa, ettei RSM ole yksittäinen malli, vaan oma luokkansa turbulenssin mallinnuksessa. Erilaisia malleja on esitetty kirjallisuudessa samaan tapaan kuin kaksiyhtälömallejakin. Eri koodeilla RSM saattaa merkitä eri asiaa ja monimutkaisuudesta johtuen mallit on dokumentoitu huonommin kuin esimerkiksi standardi k ǫ-malli. Yhteensä Reynoldsin jännityksille tulee symmetrian vuoksi kuusi yhtälöä (jännityksiä on yhdeksän kappaletta). Lisäksi jännitysten dissipaatioille periaatteessa tulee toiset kuusi yhtälöä, mutta käytännössä käytetään standardi k ǫ-mallin dissipaatioyhtälöä ja lasketaan Reynoldsin jännitysten dissipaatiot yhteydestä ǫ ij = 2 3 δ ijρǫ (6.31) Turbulenssin kineettinen energia lasketaan Reynoldsin jännityksistä. Ratkaistavaksi tulee siten päävirtausyhtälöiden lisäksi seitsemän yhtälöä, jolloin kokonaisuudessaan yhtälöiden lukumäärä on 12. Turbulenssiyhtälöt ovat skalaariyhtälöitä, joten ratkaisuaika iteraatiokierrosta kohden ei kasva yhtälömäärän suhteessa. Verrattuna

173 6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 172 k ǫ-malliin RSM kasvattaa laskenta-aikaa iteraatiokierrosta kohden 50-60%. Vaadittavien iteraatiokierrosten määrä kasvaa todennäköisesti paljon enemmän. Yleensä Reynoldsin jännitys -mallin käyttö moninkertaistaa laskenta-ajan eikä konvergenssi ole varmaa. Oikea ratkaisutapa on RSM:nkin yhteydessä laskea ensin jollain kaksiyhtälömallilla tulos ja jatkaa laskentaa Reynoldsin jännitys -mallin avulla. Laskentatavassa on sekin hyöty, että eri turbulenssimallien tuloksia voidaan vertailla. Osana laskennan laadunvarmistusta voidaan pitää erilaisten turbulenssimallien käyttöä. Jos mallit antavat samantapaisia tuloksia, laskentaa voidaan pitää onnistuneena, mikä ei kuitenkaan vielä ole tae oikeasta tuloksesta. Jos taas mallit antavat kovin ristiriitaisia tuloksia, on niiden toimintaa tutkittava tarkemmin. Reynoldsin jännitys -malli on herkkä eikä se toimi oikein samoilla parametreilla kaikissa tapauksissa. Jos tulokset vaikuttavat kummallisilta, esimerkiksi turbulenssin kineettisen energian taso putoaa käytännössä nollaan, on aihetta epäillä laskennan kuvaavan todellista fysikaalista tilannetta huonosti. Reynoldsin jännitys -mallin kuvausmahdollisuudet monimutkaisissa virtaustilanteissa ovat kaksiyhtälömalleja suuremmat. Normaalikäyttäjän tulee suhtautua Reynoldsin jännitys -mallilla laskettuihin tuloksiin kriittisesti. Malli on niin monimutkainen ja reunaehtojen yms. seikkojen asettaminen sen verran hankalaa, että tulos voi helposti olla mitä tahansa. Kuten edellä todettiin, FLUENTissa on oikeastaan kaksi erilaista Reynoldsin jännitysmallia. Vaihtamalla paine-venymänopeustermin laskentaa, saadaan todennäköisesti toisenlainen tulos, mikä ei vie tavanomaista käyttäjää yhtään lähemmäksi totuutta. RSM on lähinnä työkalu tutkimustarkoituksiin. Se vaatii normaalisti tuekseen kokeellista tietoa, käytännön laskentatehtäviin siitä ei vielä ole. Tässä yhteydessä on syytä korostaa virtauslaskennan erästä tärkeää merkitystä: simuloinnilla ei ehkä aina saada selville absoluuttisia numeroarvoja, mutta tuloksena saadaan käyttäytymistrendejä. Laskettaessa suuri määrä laskuja samalla turbulenssimallilla, trendit tulevat esille. Näin ei käy mallia vaihtamalla! Turbulenssimallia vaihtamalla samoilla reunaehdoilla saadaan tuntumaa laskennan luotettavuuteen, kuten edellä esitettiin. Käytettäessä virtauslaskentaa suunnittelutyössä, on siis syytä laskea suuri määrä tapauksia varioiden tilanteeseen liittyviä parametreja. Näistä eräät tapaukset valitaan tarkemmin tarkasteltaviksi ja lasketaan ainakin kahdella turbulenssimallilla. Ideaalitilanteessa lopuksi tehdään kokeita laskennan avulla valituilla geometrioilla. Sellaisilla teollisuuden aloilla, kuten lentotekniikassa ja kaasuturbiiniteollisuudessa, joilla simulointia käytetään rutiinin omaisesti, suunnitteluproseduuri on juuri tällainen.

174 6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ 173 ln E RANS turbulenssimal li URANS aika integrointi LES aika URANS turbulenssima lli integrointi LES:n SGS malli E(k) = αε 2/3 k 5/3 3 5 ~ 1 L ~ 1 ~ x 1 RANS x LES ~ 1 = 1 x η DNS ln k Kuva 6.5: Turbulenssin energiaspektri. 6.5 Isojen pyörteiden menetelmä Isojen pyörteiden menetelmä on RANS-simuloinnista täysin poikkeava menetelmä, vaikka käytetyt yhtälöt (6.3) ja (6.6) ensi silmäyksellä muistuttavat toisiaan. LES perustuu siihen, että osa turbulenssin spektristä lasketaan suoraa simulointia muistuttavalla keinolla ajasta riippuvana. Eri laskentatapoja voidaan havainnollistaa kuvalla 6.5, jossa on turbulenssin sisältämän energian spektri turbulenssiin liittyvän karakteristisen mitan ( pyörrekoon ) funktiona. RANS-laskennassa koko spektri mallinnetaan ja turbulenssin vaikutus tulee enemmän tai vähemmän huomioon otetuksi päävirtauksien laskennassa. URANS-laskennassa ajasta riippuvana lasketaan vain kaikkein suurin skaala, joka ei oikeastaan saisi olla varsinaista turbulenssia. LES-menetelmässä osa turbulenssista mallinnetaan ja osa lasketaan. Mallinnettavaksi jää laskentatilavuuden kokoa pienemmät turbulenssiskaalat. Malleja sanotaan alihilamalleiksi (sub-grid-scale models, SGS). Yhtälöt eivät ole aika-, vaan paikkakeskiarvotettuja. Jotta turbulentin virtauksen keskimääräinen luonne selviäisi, on laskentaa jatkettava niin pitkään, että saadaan tilastollisesti edustava keskiarvo ratkaistaville suureille. Samassa yhteydessä saadaan lasketuksi turbulenssin aiheuttamat näennäiset jännitykset. Varsinaiset Reynoldsin jännitykset saadaan heilahteluhistoriasta laskettujen ja alihilajännitysten summana. Jotta laskenta pystyisi toistamaan todelliset virtauksessa esiintyvät heilahtelut, on numeerisen menetelmän oltava mahdollisimman tarkka. FLUENTin yhteydes-

175 6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ 174 sä tämä tarkoittaa toisen kertaluvun aikaintegrointia ja paikan suhteen diskretointia. (Tässä yhteydessä on syytä muistuttaa, että myös RANS-laskennan lopulliset tulokset on laskettava toisen kertaluvun menetelmillä). Toinen numeerinen ja vaikeasti toteuttavissa oleva asia on reunaehdot, joiden antaminen poikkeaa RANSlaskennasta. Reunaehtoihin palataan jatkossa. LES-laskennassa on hilan oltava tarpeeksi tiheä, jotta turbulenssin energiaspektristä saadaan riittävä osuus laskentaan mukaan. Hilatiheys riippuu Reynoldsin luvusta, mutta tässä yhteydessä ei voida antaa muuta kuin suuntaa antava sääntö: hilan on oltava tiheämpi kuin RANS-laskennassa. Aikaintegroinnissa on annettava riittävän lyhyt aika-askel. Jonkinlaisen suuruusluokan saa globaalista Courantin luvusta CFL = tu (6.32) x Courantin luvun on oltava korkeintaan suuruusluokkaa O(1), mieluummin pienempi. Yhtälössä (6.32)U on sopivasti valittu tulovirtausta edustava nopeus ja x tyypillinen laskentatilavuuden dimensio. Aika-askel määräytyy tarkkuuden eikä stabiilisuuden mukaan käytettäessä FLUENTin toisen kertaluvun menetelmää. Käytännössä saattaa olla mahdotonta ja turhaakin asettaa paikallista Courantin lukua alle ykkösen koko laskenta-alueessa. Yhtälöstä (6.32) saa jonkinlaisen ohjenuoran aikaaskeleen maksimikoolle ja sitä on tästä arvosta syytä vielä pienentää. Isojen pyörteiden menetelmässä on päämotiivi simuloida turbulenssin suurimpien skaalojen vaikutus, jolloin mm. epäisotrooppisuus tulee automaattisesti hoidetuksi. Pienet pyörteet ovat isotrooppisempia ja periaatteessa helpommin mallinnettavia. Kaikkein yksinkertaisin mallinnustapa on Smagorinskyn malli, joka on peräisin jo 1960-luvulta. Smagorinskyn alihilamallissa käytetään turbulenttia viskositeettia vastaavaa käsitettä τ ij 1 3 τ kkδ ij = 2µ t S ij (6.33) missä τ ij on alihilajännitys ja µ t näennäinen viskositeetti, jolla hilakoppia pienemmän skaalan aiheuttama vaikutus mallinnetaan. Venymänopeustensori lasketaan päävirtauksen sen hetkisillä arvoilla, ei keskiarvotetuilla nopeuksilla. FLUENTissa käytetään Smagorinskin ja Lillyn mallia, jossa pyörreviskositeetti lasketaan kaavasta µ t = ρl 2 s S (6.34) missä L s on eräänlainen sekoituspituus ja S = 2S ij S ij. Sekoituspituus puoles-

176 6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ 175 taan lasketaan seinämäetäisyyden ja koppikoon avulla L s = min(κd,c s V 1/3 ) (6.35) missä d on lähin seinämäetäisyys, κ = 0,42 von Kármánin vakio ja V laskentatilavuuden koko. Ottamalla laskentatilavuudesta kuutiojuuri, saadaan kopille karakteristinen mitta. Kertomalla tämä sopivalla vakiolla C s, saadaan pyörreviskositeettimallille sekoituspituus. Juuri tässä vaiheessa tuodaan laskentaan koppikoon vaikutus esille. Pyörreviskositeetti menee LES-laskennassa sitä pienemmäksi, mitä pienemmät ovat laskentatilavuudet. Lopulta LES redusoituu suoraksi simuloinniksi, missä ei ole minkäänlaista alihilamallia. Valitettavasti Smagorinsky-Lillyn malli on yleensä liian yksinkertainen. FLUENTissa käytetään oletusarvoisesti C s = 0,1, mutta käyttäjä voi modifioida vakion arvoa. Viime aikoina on LES:in yhteydessä ryhdytty käyttämään ns. dynaamista lähestymistapaa, joka perustuu vakion C s määrittämiseen osana simulointitehtävää. Tällöin vakiolle voi tulla jopa negatiivisia arvoja, jotka ennustavat ns. takaisin sirontaa, jota tapahtuu oikeassa virtauksessa. Numeerisessa laskennassa takaisin sironta johtaa epästabiilisuuteen, jos negatiivisesta pyörreviskositeetista tulee itseisarvoltaan suurempi kuin molekylaarinen viskositeetti µ. Dynaamisen mallin käyttö on vaikeaa ja se usein vaatii laskentaparametrien tai jopa itse mallin säätelyä. Edellä todettiin LES:in reunaehdot hankaliksi. Ne ovat sitä sekä kiinteiden seinien että tulo- ja ulosmenovirtauksen osalta. Isojen pyörteiden menetelmässä tulovirtauksen turbulenssi vaikuttaa ratkaisuun. Hyvin suuri osa LES-laskuista on perinteisesti tehty periodisilla reunaehdoilla, jotta tulovirtaus saadaan esimerkiksi kanavassa suoraan turbulentiksi. Toinen mahdollisuus, jota FLUENTissa myös voidaan käyttää, on perturboida tulovirtauksen nopeuksia. Häiritty tulovirtaus nopeuttaa (lyhentää matkaa) turbulentin virtauksen muodostumista, mutta tulovirtauksen vaikutus ei saa näkyä lopputuloksessa. Tämän vuoksi laskenta-alueen on oltava tarpeeksi suuri, jotta oikeanlainen ajasta riippuva virtaus syntyisi. Hyvin usein virtausta voi olla vaikeaa saada heilahtelemaan, vaikka tulovirtausta häirittäisiinkin. Ulkopuoliset virtaukset, kuten ympyräsylinteri poikittaisvirtauksessa, jota LESillä paljon lasketaan, ovat reunaehtojen määrittelyn suhteen helpompia kuin sisäpuoliset virtaustilanteet, koska vastaavaa virtauksen kehittymismatkaa ei tarvita. Kiinteillä pinnoilla reunaehdot ovat edelleen LESin osalta tutkimusvaiheessa. FLUENTissa voidaan käyttää eräänlaista seinämäfunktioajatustapaa tai sitten viedä mallinnus pinnoille asti. Seinämäfunktion sopivuudesta isojen pyörteiden menetel-

177 6.5. ISOJEN PYÖRTEIDEN MENETELMÄ 176 mään ei ole täyttä varmuutta. FLUENTin käyttäjän kannattaa muistaa, että isojen pyörteiden menetelmä on toistaiseksi enemmän tutkimuksen kohde kuin työkalu. Koska virtausprobleeman asettaminen on huomattavasti RANS-simuloinnista poikkeavaa, asiaan palataan vielä esimerkkitapauksen muodossa luvussa 9. Seuraavassa muutamia näkökohtia, joiden vuoksi normaalikäytössä ei pidä käyttää LES-mallia: laskennassa on käytettävä tiheämpää hilaa ja riittävän pientä aika-askelta. Tämän vuoksi vain pienillä Reynoldsin luvuilla laskenta voidaan hoitaa tavanomaisella työasemalla. Lähes kaikissa käytännön tehtävissä tarvitaan supertietokonetta päiväkausiksi. FLUENTissa käytetään implisiittistä menetelmää, joka vaatii ainakin parikymmentä sisäistä iteraatiota/aika-askel. Menetelmä on tehoton ja laskentaaika paisuu tämänkin vuoksi. Aikaintegrointi tulee olla toista kertalukua, muuten tarkkuus rajoittaa aikaaskeleen liian pieneksi. Kolmen aikatason menetelmä on vaimentavampi kuin Crank-Nicolsonin menetelmä. tulosten käsittely ja monitorointi on hyvin hankalaa. LES-koodissa lasketaan keskimääräisille nopeuksille liukuvia aikakeskiarvojaū m ū m = [(m 1)ū m 1 +u m ]/m (6.36) missä m viittaa aika-askeleeseen. Vastaavista yhtälöistä lasketaan keskimääräiset nopeudet v m ja w m. Ennen tilastollisesti edustavaa tulosta joudutaan ottamaan tuhansia aika-askelia. Tätä ennen on ehkä jouduttu jo ottamaan tuhansia askelia, jotta turbulenssi on saatu laskennassa heräämään. Reynoldsin jännityksiä monitoroidaan kaavoilla u iu j m = [(m 1)u iu j m 1 +(u i,m ū i,m )(u j,m ū j,m )]/m (6.37) Keskiarvotettujen suureiden lisäksi laskijalla pitäisi olla käsitys hetkellisten arvojen mielekkyydestä ja aikaintegroinnin sisäisen iteraation tarkkuudesta jne. reunaehtojen antaminen on vaikeaa ja vaikuttaa melkein aina lopputulokseen.

178 6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY 177 FLUENTissa käytetty suuren Reynoldsin luvun seinämäreunaehto on spekulatiivinen, menetelmä kuvaa rajakerrokset epätarkasti LES-tulos muuttuu aina, kun laskentahilaa tihennetään. Lopulta saadaan suoran simuloinnin tulos, mutta käytännön tehtävissä hilaa ei voida tihentää niin paljon. Laskijan on itse pääteltävä mikä tulos on oikea. LES-yhteisössä käydään keskustelua siitä, voidaanko simulointi tehdä ylävirtapainotteisella menetelmällä vai onko aina käytettävä keskeisdifferenssiä. Eräissä ohjelmissa saatetaan käyttää aina vuonrajoittimia, eikä edes puhtaita ylävirtapainotteisia menetelmiä saati keskeisdifferenssiä ole käytettävissä. Vuon rajoitin saattaa tuhota laskentatuloksen liiallisen numeerisen vaimennuksen vuoksi. Eräs koulukunta soveltaa LESiä ilman alihilamallinnusta, jolloin numeriikka tavallaan hoitaa alihilamallinnuksen. Tällöin on käytettävä ylävirtapainotusta mahdollisesti rajoittimiakin, kun puhtaassa LESissä pyritään käyttämään keskeisdifferenssiä. Myös aikaintegrointitapa vaikuttaa numeeriseen vaimennukseen. Tavallisen käyttäjän kannalta FLUENT ei vaikuta vielä kovin lupaavalta LESkoodilta, mutta asiaan tällä hetkellä liittyvän yleisen mielenkiinnon vuoksi käydään luvussa 9 läpi yksinkertainen kanavavirtausesimerkki. Simuloinnin suorittajalla tulee olla sen verran käsitystä isojen pyörteiden menetelmästä, että sitä ei pidetä jonkinlaisena turbulenssimallivaihtoehtona, jonka kaltaisena se valikossa näyttäytyy. Laskenta ei ole LESiä, jos siihen ei saada edustavaa ja oikeaa (reunaehdoista riippumatonta) turbulenssia syntymään. Pikemminkin kyseessä on tällöin jonkinlainen RANS-laskenta, joka on tehty tarkoitukseen täysin sopimattomalla mallilla (Smagorinsky-Lilly). Tuloksella ei ole silloin mitään fysikaalista pohjaa. 6.6 Kiinteiden pintojen käsittely Suuren ja pienen Reynoldsin luvun mallit Turbulentilla virtauksella nopeus muuttuu kiinteän pinnan läheisyydessä hyvin jyrkästi. Tämän vuoksi laskentaan on syntynyt kaksi erilaista laskentatapaa, joiden

179 6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY 178 asettamia vaatimuksia hilalle käsiteltiin luvussa kaksi. Perinteinen turbulenttien virtausten laskentatapa on seinämäfunktion käyttö. Tällöin hilan ensimmäisen laskentatilavuuden keskipisteen on oltava välillä 30 < y + < 300 ja mieluiten lähellä alarajaa. Vaatimus tulee logaritmisen lain pätevyysalueesta (kts. kuva Turbulenssimallia, jolla virtaus simuloidaan kiinteälle pinnalle asti sanotaan pienen Reynoldsin luvun malliksi. Nyrkkisääntönä on tällöin, että laskentahilan ensimmäisen kopin korkeus ony + 1. Turbulenssimallit jaetaan pienen ja suuren Reynoldsin luvun malleihin. FLUEN- Tissa on alunperin noudatettu toisenlaista tapaa. Vanhemmassa FLUENTin versiossa varsinaisia pienen Reynoldsin luvun malleja ei ollut ollenkaan, mutta k ǫ- ja Reynoldsin jännitys -mallit voitiin yhdistää Wolfsteinin yksiyhtälömallin kanssa, jolla kuvataan seinämän lähellä oleva alue. Manuaalin tekstistä poiketen ohjelmassa on ollut valikon alla piilossa useita pienen Reynoldsin luvun malleja, joihin palataan kohdassa Kaksikerrosmallissa yksiyhtälömallia käytetään, kun Re y = ρ ky µ < 200 (6.38) TässäRe y on turbulentti Reynoldsin luku, eräänlainen dimensioton etäisyys seinästä. Alue kattaa rajakerroksen likimain logaritmisen jakauman puolesta välistä pinnalle. Wolfsteinin mallin avulla FLUENTissa on tavallaan pienen Reynoldsin luvun versiot standardi k ǫ-mallista, RNG-mallista, Shih n mallista ja RSM:stä. Spalart- Allmaras -malli on jo alunperin pienen Reynoldsin luvun malli, johon FLUENTissa on kehitetty myös seinämälakiin perustuva reunaehto. Periaatteessa kaikista malleista on olemassa pienen ja suuren Reynoldsin luvun versiot. Käyttäjän kannattaa huomata, että laskentahilan vaatimukset muuttuvat pinnan lähellä epäjatkuvasti, kun mallia muutetaan. Ei siis kannata yrittää generoida kompromissihilaa, jossa ensimmäisen kopin korkeus on luokkaa y + 10 ja laskea sillä sekä pienen että suuren Reynoldsin luvun mallilla, koska kumpikin tulos on huono. Vertailuun tarvitaan kaksi eri hilatiheyttä, joissa koppikorkeudet ovat luokkaay + 1 jay Seinämäfunktiot Turbulentin virtauksen tyypillinen nopeusjakauma mahdollistaa seinämälain soveltamisen reunaehtona fysikaalisen reunaehdonv = 0 asemesta. Tämä menettelytapa on Launderin ja Spaldingin ehdottama 1970-luvun alussa ja sitä voidaan vieläkin pitää standardina teollisuusprosessien simuloinnissa, vaikka menetelmä tiedetään

180 6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY 179 epätarkaksi. Seinämälakia voidaan soveltaa usealla tavalla, joten reunaehto ei ole välttämättä aivan sama eri ohjelmissa. Reunaehdon soveltamisessa on oleellista, että seinämälaki on epälineaarinen ja sitoo ratkaistavia suureita toisiinsa. Ohjelmassa käytettävä reunaehto iteroituu siten ratkaisun kuluessa kohdalleen, se ei välttämättä toteudu ennen kuin laskenta on konvergoitunut. Kaupallisissa koodeissa seinämälakia ei sovelleta suoraan. Valittavana on ainakin FLUENTissa useita vaihtoehtoja. Standardimallin lisäksi voidaan valita epätasapainoseinämäfunktio tai käyttäjän itse määrittelemä. Seuraavassa tarkastellaan standardimallia. FLUENTissa ei käytetä seinämälaissa suuretta y +, vaan toista dimensiotonta etäisyyttä, joka määritellään y = ρc1/4 µ k 1/2 y µ (6.39) Tasapainotilan rajakerroksella y y +. Dimensiottomat etäisyydet y ja y +. ovat yhtä suuria, kun P = ρǫ ja µ T >> µ. Seinämälaki voidaan siten tasapainotilan rajakerroksella kirjoittaa muotoon missä u = 1 κ ln(ey ) (6.40) u = uc1/4 µ k1/2 τ w /ρ (6.41) ja E on empiirinen vakio (= 9,81). Logaritmisesta laista saadaan yhteys, jonka avulla leikkausjännitys τ w voidaan lausua funktiona ensimmäisen kopin seinämäetäisyydestä, tiheydestä, turbulenssin kineettisestä energiasta ja seinän suuntaisesta nopeudesta. Simulointi sujuu siten, että edellisen iteraatiokierroksen arvoilla lasketaan uusi leikkausjännitys τ w, jota käytetään liikemääräyhtälöissä. Seinämälain soveltaminen on yksikäsitteistä vain kaksidimensioisessa virtauksessa. Kolmidimensioisessa tapauksessa lakia voidaan soveltaa virtauksen suunnassa paikallisesti kaksidimensioisesti. Manuaalista ei selviä miten tämä on toteutettu. On huomionarvoista, että turbulentin virtauksen tapauksessa seinämäkäsittely on aikoinaan laadittu rakenteellisia hiloja silmällä pitäen. Seinämäkäsittelyn laajentaminen rakenteettomille hiloille ei ole triviaalia, ja on täysin mahdollista, etteivät tulokset ole täysin samoja eri hilatyypeillä implementointierojen vuoksi. FLUENTissa käytetään seinämälakia, kun y > 11,225. Ohjelma pystyy käsittelemään tilanteen, jossa koppikoko on tätäkin pienempi. Käytännössä ei pidä

181 6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY 180 kuitenkaan mennä alle y < 30, koska silloin ollaan joka tapauksessa seinämälain pätevyysalueen ulkopuolella eikä hilan tihentäminen paranna lopputulosta.. Turbulenssisuureista ratkaistaan kineettisen energian yhtälö myös ensimmäisessä laskentatilavuudessa, mutta dissipaatiolle annetaan reunaehto ensimmäisessä kopissa. Kineettiselle energialle tarvitaan siten seinällä konvektio- ja diffuusiovuot. Koska konvektionopeus seinää vasten kohtisuorassa suunnassa on nolla, on myös konvektiovuo nolla. Diffuusiovuota varten asetetaan gradientti pinnan normaalin suunnassa nollaksi k n = 0 (6.42) eli diffuusiovuokin on nolla. Dissipaatiolle ei ratkaista taseyhtälöä ensimmäisessä kopissa, vaan dissipaation arvo asetetaan kineettisen energian ja seinämäetäisyyden avulla ǫ = C3/4 µ k3/2 (6.43) κy FLUENTissa on siis mahdollista käyttää myös ns. epätasapainotilan seinämäfunktioita. Nämä riippuvat painegradientista ja niiden sanotaan tarkentavan tulosta, kun painegradientti on läsnä eli käytännössä lähes aina. Epätasapainotilan seinämäfunktioihin on syytä suhtautua varoen. Jo aiemmin on todettu, että on pieni ihme, että tämä reunaehtotyyppi yleensä toimii varsin hyvin, koska tarkkaan ottaen sen asettaminen on hyvin tapauskohtaista. Klassisesta seinämäfunktioehdosta on kaikkein eniten kokemusta ja syystä tai toisesta se pelaa useimmiten fysikaalisesti järkevästi. Käytettäessä monimutkaista epätasapainofunktiota laskennan robustisuus kärsii. On hyvin todennäköistä, että monimutkaisesti viritetty funktio joissain tilanteissa käyttäytyy anomaalisesti. Jos rajakerrosilmiöt ovat tärkeitä, ainoa oikea lähestymistapa on siirtyä pienen Reynoldsin luvun laskentaan. Seinämäfunktioehdot ovat joka tapauksessa epätarkkoja Kaksikerrosmalli Uudessa FLUENTin versiossa SST k ω -malli on hyvä pienen Reynoldsin luvun lähestymistapa. Kuten edellä todettiin, varhaisemmissa FLUENTin versioissa ei ollut päävalikoissa yhtään varsinaista pienen Reynoldsin luvun mallia, sen sijaan k ǫ- ja Reynoldsin jännitys -malleista voidaan ottaa käyttöön Wolfsteinin yksiyhtälömalli pinnan lähellä. Kyseessä on siis tavallaan pienen Reynoldsin luvun malli, joka on sama kaikille muille RANS-lähestymistavoille paitsi Spalart-Allmaras

182 6.6. KIINTEIDEN PINTOJEN KÄSITTELY 181 -mallille. Käyttäjän on syytä tiedostaa, että tätä menettelyä ei käytetä muualla kuin FLUENTissa, joten validointikokemukset ovat kirjallisuudessa huonosti raportoituja. Siitä huolimatta pienen Reynoldsin luvun malli pitäisi aktivoida aina, kun pintailmiöiden tiedetään vaikuttavan merkittävästi virtaukseen. Erityisen tärkeää se on, kun virtaus irtoaa tai ollaan laskemassa rakenteisiin vaikuttavia voimia ja momentteja. Yksiyhtälömallia aletaan soveltaa rajakerroksessa ehdon (6.38) mukaan, mikä kattaa melko suuren osan rajakerroksesta. Tyypillisessä pienen Reynoldsin luvun laskennassa tällä alueella on jo suuruusluokkaa O(20) laskentatilavuutta. FLUEN- Tissa tällä alueella ei lasketa dissipaatiota taseyhtälöstä, vaan approksimatiivisesta yhteydestä ǫ = k3/2 l ǫ (6.44) Ongelmaksi tulee pituuskaalan l ǫ määrittäminen. Yhtälöä (6.44) käytetään vain kineettisen energian yhtälössä oleva dissipaation määritykseen. Turbulentin viskositeetin laskennassa käytetään toista pituusskaalaal µ µ t = ρc µ klµ (6.45) Pituusskaalat lasketaan empiirisistä yhteyksistä, jotka riippuvat turbulentista Reynoldsin luvusta (6.38) sekä suoraan lähimmästä seinämäetäisyydestäy Pienen Reynoldsin luvun k ǫ -mallit FLUENTin manuaalissa ei esitellä varsinaisia alhaisen Reynoldsin luvun k ǫ - malleja, ainoastaan kaksikerros-vaihtoehtoa. Ohjelmassa on ollut kuitenkin olemassa useita muitakin alhaisen Reynoldsin luvun k ǫ- malleja, ei kuitenkaan ehkä kaikkein suosituinta Chienin k ǫ-mallia. FLUENTin mallit ovat olleet ohjelman vanhemmissa versioissa valikon Define/Models/Viscous alla, mutta tämä ei aktivoidu uudemmissa versioissa. Vastaamalla valikkoon low-re-ke saadaan nämä piilossa olevat vaihtoehdot aktivoiduiksi. Mallien valikko saadaan esille kirjoittamalla low-re-ke-index. Valintamahdollisuudet käytettävissä olleella ohjelmaversiolla ovat seuraavat: Abid Lam-Bremhorst

183 6.7. TURBULENSSIMALLIEN REUNAEHDOT JA TRANSITIO 182 Launder-Sharma (oletusarvo) Yang-Shih Abe-Kondo-Nagano Chang-Hsieh-Chen Näistä oletusarvona oleva Launder-Sharma -malli on ensimmäisiä pienen Reynoldsin luvun malleja ja on hyvin tunnettu. Muita malleja on sen sijaan käytetty varsin vähän. Kuten edellä todettiin, valikossa ei ole ehkä kaikkein yleisintä pienen Reynoldsin luvun lähestymistapaa, Chienin k ǫ-mallia. FLUENTin pienen Reynoldsin luvun mallit sopivat tutkimus- ja validointityöhön. Niiden toimivuus riippuu suurelta osin myös implementointitavasta, koska pienen Reynoldsin luvun mallit ovat herkkiä esimerkiksi seinämäkäsittelylle, joka on usein ohjelmakohtaista. Mallien keskinäisestä toimivuudesta ja validoinnista ei voida myöskään tässä yhteydessä sanoa mitään kovin yleistä. Usein jokin malli toimii paremmin jossain virtaustehtävässä, jokin toinen malli taas toisessa tehtävässä. Ehkä toistaiseksi turvallisempi lähestymistapa tavanomaisessa käytössä on siis käyttää kaksikerros-lähestymistapaa esimerkiksi Shih n mallin yhteydessä tai siirtyä käyttämään SST k ω-mallia. 6.7 Turbulenssimallien reunaehdot ja transitio Turbulenssisuureet käyttäytyvät eri tavoin kiinteällä pinnalla ja suuren Reynoldsin luvun malleilla pinnan reunaehtoa ei käytetä. Kiinteän pinnan käsittely on ohjelmien sisäinen asia, johon voi vain rajoitetusti puuttua. Joissain malleissa saattaa olla mukana pinnan karheus -parametri, joka toimii muuttamalla esimerkiksi ω:n arvoa pinnalla. Tärkeä ja usein unohdettu on transition mallinnus. Viime aikoina on transition mallinnukseen tullut uusia mahdollisuuksia. Yleisin vaihtoehto on SST-mallin yhteydessä käytettäväγ Re θ -malli. (Tässäγ on turbulenssin ajoittaisuus jare θ liikemääräpaksuuteen referoitu Reynoldsin luku). Transitiomalleja on vain harvoissa ohjelmissa eivätkä ne ole vielä luotettavia, mutta vaihtoehtoisesti käyttäjä voi antaa lanimaarin alueen syöttötietoina. Ohjelma sammuttaa turbulenssin tuoton tältä alueelta. Jos tätä mahdollisuutta halutaan käyttää, on arvioitava sopiva alue patopisteen läheltä ja se määritellään laminaariksi. Mallinnuksen kannalta ongelmallisia

184 6.7. TURBULENSSIMALLIEN REUNAEHDOT JA TRANSITIO 183 ovat tilanteet, joissa laminaari alue on suuri tai esimerkiksi kanavat, joiden Reynoldsin luku onre D < Joissain tilanteissa on hyväksyttävä se tosiasia, että mallinnustulos on epävarma. Myös tulovirtaukselle asetetaan reunaehdot ja ulkopuolisessa virtaustilanteessa ne toimivat myös turbulenssisuureiden alarajoina. Turbulentti viskositeetti lasketaan k ǫ-mallilla kaavasta ρk 2 µ T = C µ (6.46) ǫ Yhtälöstä nähdään, ettei dissipaation ǫ arvo saa mennä nollaksi. Tämä estetään sopivalla alarajalla ja myös turbulenssin kineettisellä energialla on oltava alaraja. Näiden suhde määrittelee minimiarvon pyörreviskositeetille, jonka on oltava suurempi kuin nolla. Mikäli arvo voisi mennä nollaksi, ei turbulenssin tuotto saisi koskaan nollasta poikkeavia arvoja. Sopiva viskositeettisuhde on0,001 < µ T /µ < 0,1, mutta suurempiakin on käytetty. Käyttäjän tulee kiinnittää viskositeettien suhde esimerkiksi arvoon 0,01 ja laskea sen avulla toinen turbulenssisuure, kun toinen on annettu. Yleensä lasketaan turbulenssin kineettiselle energialle arvo turbulenssin intensiteetini avulla, joka määritellään I = (2 3 k)0,5 (6.47) u sopiva intensiteetin arvo on luokkaa 0,01 tai pienempi. Tällöin voidaan tulovirtauksen nopeuden avulla ratkaistak ja sen jälkeen viskositeettien suhteestaǫtai ω. Dissipaatiota voidaan arvioida myös turbulenssisuureiden määräämän pituusskaalan l = C 0,75 µ k 1,5 /ǫ (6.48) avulla, jossa nyt erona aikaisempaan esiintyy myös verrannollisuuskerroin. Käyttämällä l:n paikalla virtauksen geometriaa kuvaavaa pituussuuretta, voidaan ǫ:n arvoa arvioidak:n perusteella. Mielenkiintoista on, miksi turbulenssin dissipaation määrittämiseen ei käytetä molekylaarista viskositeettia eikä sen avulla määriteltäviä nopeus-, aika- ja pituusskaaloja, vaikka dissipaatio tapahtuu molekylaarisella tasolla. Tämä selittyy sillä, että pienimpien turbulenssipyörteiden sisältämä kineettinen energia dissipoituu hyvin nopeasti ja turbulenssin kineettisen energian dissipaationopeuden määrää todellisuudessa se, kuinka nopeasti suurista pyörteistä siirtyy energiaa pienille pyörteille. Asian voi todeta tarkastelemalla ns. Kolmogorovin pituusskaalaa (6.49) ja vastaavaa

185 6.8. TEHTÄVÄASETTELUSTA RANS-MALLEILLA 184 aikaskaalaa (6.50). Nähdään, että aikaskaala on hyvin pieni. l K = ( ν3 ǫ )0,25 (6.49) t K = (ν/ǫ) 0,5 (6.50) Ratkaisu on yleensä riippumaton annetuista arvoista, mutta ei aina. Erityisesti kaikki k ω-pohjaiset mallit ovat herkkiä tulovirtauksen arvoille. Vaikka SST-malli vähentääkin tätä ongelmaa, se ei poista sitä kokonaan, vaan tulovirtauksen arvojen on oltava tietyissä rajoissa. Turbulenssimallin toimivuus on aina tarkistettava lopputuloksista vertaamalla saatua kitkaa tai nopeusjakaumaa teoreettiseen tulokseen. 6.8 Tehtäväasettelusta RANS-malleilla Tarkastellaan seuraavassa lyhyesti simulointitehtävän asettamista RANS-yhtälöillä. Laskentahilan laatimista käsiteltiin jo luvussa 2 ja isojen pyörteiden menetelmään palataan luvussa 9. Turbulenssimallit löytyvät FLUENTissa valikon Define/Models/Viscous alta. Simuloinnin suorittajan on tietenkin jo hilangenerointivaiheessa pääteltävä onko tapaus laminaari, turbulentti tai kolmantena (ei suositeltavana) vaihtoehtona tehdäänkö laskenta isojen pyörteiden menetelmällä. Jos on päädytty tavanomaiseen turbulenttiin laskentaan, FLUENTissa ei ole kovin paljon (manuaalin mukaan) vaihtoehtoja, käytännön laskentaan tämän kirjoittaja suosittelee SST k ω -mallin lisäksi vain standardi tai Shih n k ǫ malleja. Näistä jälkimmäisessä on myös pyörimisliikkeen huomioon ottava korjaus. Poikkeuksellisessa tilanteessa voidaan valita Spalart-Allmaras tai RNG-optio, mutta käyttäjällä olisi oltava tällöin sen verran asiantuntemusta turbulenssista, että pystyy itselleen perustelemaan valinnan syyn. Reunaehtoja varten joudutaan turbulenssisuureita usein arvioimaan reunoilla ennen laskentaa. Varsinaisiin turbulenssisuureisiin (k, ǫ ja ω) päästään käsiksi hieman helpommin ymmärrettävien suureiden turbulenssin intensiteetin I, turbulenssin pituusskaalan l ja suhteellisen turbulentin viskositeetinν T /ν avulla. Näistä riittää arvioida kaksi suuretta, minkä jälkeen voidaan käyttää seuraavia yhteyksiä k = 3 2 (ui)2 (6.51) ǫ = C 3 4 µ k 3 2 /l (6.52) ω = C 1 4 µ k 1 2 /l (6.53) ν T /ν = C µk 2 ǫν (6.54)

186 6.9. JÄLKIKÄSITTELY TURBULENTILLA VIRTAUKSELLA 185 Reynoldsin jännitysmallien kanssa ei normaalissa tilanteessa kannata ryhtyä puuhailemaan. Kuten edellä jo todettiin, vain RSM:llä on mahdollista kuvata turbulenttia virtausta RANS-yhtälöiden kanssa tarkasti ja periaatteessa yleispätevästi. Viimeksi mainittu tarkoittaa, että mallin parametreja ei tarvitsisi virittää aina uudelleen. Käytännössä käy kuitenkin päinvastoin. RSM sisältää liikaa parametreja, jotka alan asiantuntijalla saattavat olla hanskassa. Tavallinen käyttäjä voi aktivoida erilaisia optioita mallin yhteydessä ja saada hyvinkin erilaisia tuloksia, mutta mikä niistä on oikea tulos? Täysin väärä lähtökohta on myös se, että oikeana tuloksena automaattisesti pidetään ensimmäiseksi konvergoitunutta vaihtoehtoa. Jos kaikista turbulenssimalleista vain yksi konvergoi, voi tietenkin tulla kiusaus käyttää sitä laskennan tuloksena. Oikea lähtökohta olisi etsiä muista malleista syytä konvergoitumattomuudelle, korjata tehtäväasettelu tai mahdollisesti todeta tilanne ajasta riippuvaksi. Tilanne muuttuu, jos tarkoituksena on validoida malleja mittaustulosten avulla. Tällöin laskijalla on mahdollisuus valita tilanteeseen parhaiten soveltuva malli ja ehkä jopa säädellä sen parametreja. Tällöin on myös mahdollista, että juuri RSM saadaan toimimaan parhaiten. Tämän jälkeen vastaavien käytännön tehtävien laskennan pitäisi sujua samoilla asetuksilla. Simuloinnin suorittaja joutuu ottamaan kantaa pienen ja suuren Reynoldsin luvun mallin suhteen. Tähän on onneksi olemassa yksikäsitteinen vastaus: pienen Reynoldsin luvun mallia pitäisi käyttää aina. Jos halutaan käyttää suuren Reynoldsin luvun mallia säästäväisyyssyistä, on käyttäjän perusteltava itselleen se, että tilanteessa tapahtuva virtauksen irtoaminen tai muut seinämäefektit eivät vaikuta tarkasteltaviin ilmiöihin haitallisesti. 6.9 Jälkikäsittely turbulentilla virtauksella FLUENT-ohjelmasta saa suuren joukon turbulenssiin liittyviä suureita tulostetuksi. Lisäsuureita voidaan vielä määritellä valikon Define/ Custom Field Functions alla. Suurevalikoima riippuu mallista, mutta käyttäjän on syytä jälkikäsittelyssä tarkistaa turbulenssisuureisiin liittyviä asioita, joilla voidaan varmistua simuloinnin todenmukaisuudesta. Ensimmäisenä toimenpiteenä on tarkistaay + -arvot (tai vaihtoehtoisestiy ). Tämän jälkeen tarkistetaan (myös RSM:llä) kineettisen energian k, dissipaation ǫ ja

187 6.9. JÄLKIKÄSITTELY TURBULENTILLA VIRTAUKSELLA 186 turbulentin viskositeetin µ t arvot. Näiden järkevä suhde toisiinsa määräytyy yhtälöstä (6.14). Jos kineettinen energia on konvergoitunut annettuun alarajaansa tai lähelle sitä, laskenta on todennäköisesti epäonnistunut. Tulos todennäköisesti vastaa laminaaria tilannetta. On myös täysin mahdollista, että pyörreviskositeetilla on siitä huolimatta turbulentteja arvoja, mutta kyse on tällöin vain siitä, että dissipaationkin arvo on mennyt nollaksi, ts. laskentatulos on täysin satunnainen. Hyvä suure tarkkailtavaksi on turbulenssin intensiteetti, joka lasketaan seuraavasta yhtälöstä (6.47). Intensiteetti kuvaa keskimääräisen nopeusheilahtelun suhdetta päävirtauksen nopeuteen. Jos intensiteetin jakauma näyttää omituiselta tai intensiteetti saa yli ykkösen olevia arvoja, laskentatulosta ei voida pitää luotettavana. Turbulenssin intensiteetti voi olla melko suuri nosteen ajamissa virtauksissa, joissa turbulenssimallien toiminta usein saattaa olla epäilyttävää. Turbulenssisuureiden jakaumia kannattaa tarkastella myös niiden mielekkyyden ja tasaisuuden kannalta. Turbulenssia kuvaavat yhtälöt ovat epälineaarisia ja saattavat kaikista varotoimista huolimatta aikaansaada visualisoinnissa tilkkutäkkiä muistuttavia jakaumia. Asialle ei välttämättä voida mitään, joten laskijan on arvioitava onko tulos päävirtausuureiden osalta mielekäs. (Mielekäs tulos ei ole vielä välttämättä sama asia kuin oikea tulos)! Tärkeää on myös mieltää, että vaikka turbulentti viskositeetti saisikin suuria arvoja, leikkausjännityksiä ei ole ellei ole gradientteja. Joskus viskositeetti saa esimerkiksi kanavan keskellä ylärajaan rajoittuneita arvoja, mutta asia ei välttämättä ole katastrofaalinen, koska gradientteja ei ole eikä hilatiheys edes pysty erottamaan leikkausjännityksiä. Usein syynä tällaisille epäfysikaalisille tuloksille on liian pieni alaraja ǫ:lle. Laskentatuloksen todenmukaisuutta voi edelleen tarkastella lähemmin Reynoldsin jännitysten osalta. Kaksiyhtälömalleissa käytetään Boussinesq-hypoteesia ja Reynoldsin jännitykset voidaan aktivoida vain Define/Custom Field Functions-valikon alla. Boussinesq-hypoteesilla lasketut jännitykset saattavat olla epäfysikaalisia, joten niihin ei voi suhtautua samalla tavoin kuin Reynoldsin jännitys -mallilla laskettuihin. Reynoldsin jännitysten keskinäisestä suhteesta saa kvalitatiivisen käsityksen alan oppikirjojen (esim. White) avulla. Jos laskettujen jännitysten keskinäiset suhteet tuntuvat oleva väärin, on tuloksessa päävirtaussuureidenkin osalta todennäköisesti jotain vikaa. On hyvin todennäköistä, että tällöin turbulenssisuureiden konvergenssikin on jäänyt puutteelliseksi. Turbulenssisuureiden konvergenssia on tarkasteltava samassa yhteydessä kuin muidenkin. Suureet saattavat käyttäytyä toisin kuin esimerkiksi liikemääräsuureet. Aluksi on mahdollista, että residuaalit piene-

188 6.10. KERTAUS 187 nevät. Tämä saattaa merkitä jopa laminarisoitumista, jonka jälkeen residuaalit alkavatkin kasvaa, kun turbulenssi herää. Sen jälkeen residuaalien on luonnollisesti tultava alaspäin. Usein turbulenssisuureita ei saada konvergoitumaan yhtä pitkälle kuin päävirtaussuureita, mutta ainakin 1-2 dekadia on konvergoitumista saatava aikaan. Turbulentin virtauksen laskenta on vaikea tehtävä, tämä seikka on jo tullut muutaman kerran esille. Kaupallisten koodien mallien valikko on laajentumassa, mutta vieläkin niukanpuoleinen, vaikka se aloittelijalle saattaa herättää runsauden pulan tuntua. Edellä esitettyä laadunvarmistuskeinoa kannattaa aina yrittää harrastaa: osa tehtävistä lasketaan ainakin kahdella eri turbulenssimallilla. Jos tulokset poikkeavat kovin paljon toisistaan, tilanne voidaan luokitella hankalaksi. Tällöin virtauslaskennalle jää tehtäväksi laskea vain trendejä. Käyttäen samoja malliparametreja varioidaan fysikaalisia olosuhteita tai geometrioita. Simulointi antaa silloin ehkä vastauksen, miten erilaiset modifikaatiot vaikuttavat todellisuudessakin. Tällöin ei turbulenssimallia eikä mallin parametreja saa missään tapauksessa muuttaa, koska trendit eivät tällöin tule esille. Jos turbulenssisuureiden osalta tulokset ovat kvalitatiivisesti samat, ennustetut päävirtaussuureetkin ovat luultavasti hyvin lähellä toisiaan. Tällöin simulointi on paljon varmemmalla pohjalla ja siitä voidaan saada kvantitatiivisia numeroarvojakin kohtuullisella tarkkuudella. Kaikkein parasta olisi aina suorittaa laskentatapauksen jonkinlainen validointi mittausten perusteella. Turbulenssin mallinnuksen tärkeyttä ei voida ylikorostaa. On myös muistettava, että monissa virtaukseen liitettävissä fysikaalisissa malleissa juuri turbulenssimalli tuottaa syöttötietoa fysikaalisiin malleihin nopeusskaalan k, pituuskaalan k 3/2 /ǫ tai aikaskaalan k/ǫ muodossa. Jos nämä skaalat ovat väärin, ei monimutkainen fysikaalinen mallikaan voi toimia oikein Kertaus turbulentin virtauksen määritelmä: Turbulent fluid motion is an irregular condition of flow in which the various quantities show a random variation with time and space coordinates, so that statistically distinct average values can be discerned (Hinze) rajakerrosten turbulenttisuus riippuu Reynoldsin luvusta. Rajakerroksissa ta-

189 6.10. KERTAUS 188 pahtuu aina transitio laminaarista turbulenttiin virtaukseen. RANS-yhtälöillä virtauksen aikaskaalat menevät helposti sekaisin aikakeskiarvottamalla. LES-menetelmässä ei sekaisin menon vaaraa ole. RANS-yhtälöt saadaan aikakeskiarvottamalla ja LES-yhtälöt paikkakeskiarvottamalla (suodattamalla) RANS-yhtälöillä Reynoldsin jännitykset mallinnetaan, LES-malleilla osa Reynoldsin jännityksistä saadaan turbulenteista heilahteluista ja osa mallinnetaan alihilamalleilla RANS-yhtälöillä voidaan käyttää Reynoldsin jännitys -malleja tai Boussinesqhypoteesia (pyörreviskositeettia) Boussinesq-hypoteesissa turbulenssi ei riipu suunnasta eli on isotrooppista RANS-mallit voidaan jakaa ison ja pienen Reynoldsin luvun malleihin sen mukaan ulotetaanko laskenta kiinteälle pinnalle k ǫ-malli usein yliarvioi turbulentin viskositeetin tason pienen Reynoldsin luvun mallilla laskenta-aika kasvaa yleensä moninkertaiseksi k ǫ-mallin rajoitukset (6 kpl) RNG k ǫ-malli pienentää viskositeettia, mutta on osoittautunut useimmissa tapauksissa epätarkaksi ja epärobustiksi Shih n mallissa on pyörimisliikekorjaus ja se on eräiltä osin todenmukainen turbulentin virtauksen laskennan toistettavuus on usein huono. Tämä aiheutuu suurelta osin koodeihin tehdyistä pienistä turbulenssimallien viilailuista. Reynoldsin jännitysmalli on epäisotrooppinen ja sillä on potentiaalia kuvata virtausilmiöt tarkemmin kuin isotrooppisilla malleilla RSM-yhtälöitä on kuusi ja lisäksi tarvitaan ainakin yksi yhtälö dissipaatiolle RSM kannattaa käynnistää konvergoituneestak ǫ-tuloksesta

190 6.10. KERTAUS 189 RSM on vielä suuressa määrin tutkimuksen työkalu, käytännön tehtäviin sitä voi suositella vain poikkeustapauksissa isojen pyörteiden menetelmässä yhtälöt ovat paikkakeskiarvotettuja (suodatettuja) koppikokoa pienemmän turbulenssin vaikutus mallinnetaan alihilamalleilla yleisin alihilamalli on Smagorinsky-Lilly takaisinsironnassa efektiivinen viskositeetti on hetkellisesti negatiivinen LESin reunaehdot ovat hankalia Isojen pyörteiden menetelmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen tapahtuvista heilahteluista seinämäkäsittelyn osalta turbulenssin käsittely voidaan jakaa ison ja pienen Reynoldsin luvun malleihin seinämäfunktiot eivät useinkaan päde, mutta saattavat tuottaa fysikaalisesti mielekkään ratkaisun FLUENTissa seinämän lähellä hoidetaan pienen Reynoldsin luvun laskenta oletusarvoisesti Wolfsteinin kaksikerrosmallilla tekstivalikon alla saattaa olla myös varsinaisia pienen Reynoldsin luvun malleja, joita on syytä käyttää harkiten simuloinnilla ei useinkaan saada absoluuttisia numeroarvoja, vaan trendejä käytetään samaa turbulenssimallia ja muitakin laskennan parametreja suunnittelutyössä kannattaa laskea suuri määrä tapauksia, joissa tilanteeseen liittyviä parametreja, esimerkiksi geometriaa, varioidaan oikea laskentatulos ei ole se, joka vahingossa on sattunut konvergoimaan turbulenssimallit eivät ole yleispäteviä. Laskentatehtävässä olisi aina pyrittävä validoimaan malleja ja valitsemaan niistä tehtävään sopivin. Jos kokeellista dataa on käytössä, on tällöin mahdollista yrittää myös Reynoldsin jännitysmallin käyttöä

191 6.10. KERTAUS 190 laskentatuloksen todenmukaisuutta on tarkasteltava jälkikäsittelyn yhteydessä myös turbulenssisuureiden osalta subjektiivinen suositus: käytetään joko SST k ω-, standardi k ǫ- tai Shih n mallia, jossa aktivoidaan laskenta pinnalle asti (kaksikerrosmalli). Samalla muistetaan, että mikään turbulenssimalli ei ole yleispätevä. tulevaisuudessa FLUENTin pienen Reynoldsin luvun malleista on ehkä enemmän käyttökokemuksia, jolloin niiden käyttöä kannattaa harkita. transition mallintaminen ohjelmissa on vielä kehitysasteella Päivitetty

192 191 7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 7.1 Energiayhtälö ja energiataseet Energiayhtälö (3.10) sisältää mahdollisuuden laskea monifaasivirtausta, koska mukana on faasien diffuusiosta aiheutuva vuo. Energiayhtälö voidaan kirjoittaa myös entalpian avulla, jolloin yhtälön oikealle puolelle tulee lähdetermiksi paineen aikaderivaatta. Energiayhtälö on säilymismuodossa vain, jos se kirjoitetaan kokonaisenergian (= sisäenergia + kineettinen energia) avulla. Hyvin usein ratkaistaan yksinkertaistettua yhtälöä, jossa ratkaistavana suureena on ominaissisäenergia (e), lämpötila (T ) tai joku vielä eksoottisempi suure. Nämä yhtälöt eivät ole säilymismuodossa ja usein niistä jätetään myös termejä pois siten, että yhtälöjärjestelmä ei sulkeudu. Reynolds-keskiarvotettu energiayhtälö voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon ρe t + x i [ρu i (E +p/ρ+ 2 3 k] = x i [(λ+λ t ) T x i +u j τ ij ]+S h (7.1) missä on vaihdettu sekaannuksen välttämiseksi lämmönjohtavuuden symboliksi λ. Reynolds-keskiarvottaminen tuo yhtälöihin lisätermejä, kuten turbulenssin kineettisestä energiasta aiheutuvan paineen kaltaisen suureen 2/3ρk. Tätä suuretta ei ole aina ole painepohjaisen ratkaisijan energiayhtälössä tai se on yhdistetty paineeseen (p + 2/3ρk). Ongelma tulee oikeastaan esille vain silloin, kun paineen avulla lasketaan tilayhtälöstä tiheyttä, jolloin pitäisi ottaa huomioon ettei laskettu paine ole sama kuin termodynaaminen paine (p). Keskiarvottamisessa myös kokonaisenergia muuttuu kineettisen energian osalta E = e+ V 2 +k (7.2) 2 Kokonaisenergia koostuu siis ominaissisäenergiasta, kineettisestä energiasta ja turbulenssin kineettisestä energiasta k. Jos gravitaatiolla on merkitystä painetason kan-

193 7.1. ENERGIAYHTÄLÖ JA ENERGIATASEET 192 Internal energy ρe 1 P u i x i P u i x i 2 3 ( ui Φ = µ + u ) k ui x k x i x k ( ) u ρǫ = µ i + u k u i x k x i x k 4 ρu i u i 2 Mean flow kinetic energy ρu u i i u k ρu i u i 2 Turbulent kinetic x k 5 energy Kuva 7.1: Virtauslaskennan energiataseet. nalta, energiaan voidaan yhdistää myös potentiaalienergia. Toinen tapa on pitää potentiaalienergia erillään energiataseesta ja antaa gravitaatiovoiman tehdä työtä. Tällöin tehty työ on yhtälöissä lähdeterminä eikä esiinny vuoarvoissa. Potentiaalienergialla on merkitystä vain harvoissa tapauksissa, esimerkiksi laivojen virtauksissa, mutta yleensä tällöin energiayhtälöä ei ratkaista ollenkaan. Nosteen ajamissa virtauksissa potentiaalienergialla ei ole juuri merkitystä, joten nostetermi on tärkeä vain liikemääräyhtälöissä. Energiayhtälöä voidaan yksinkertaistetaa ja laskennan suorittajan on syytä ymmärtää tehtyjen approksimaatioiden merkitys. Usein painepohjaisessa ratkaisijoissa jätetään kineettinen energia V 2 /2 pois yhtälöistä. Tiheyspohjaisella ratkaisulla kineettinen energia on mukana, koska termi tulee tärkeäksi kun virtausnopeutta kasvatetaan. Energiayhtälössä turbulenssin kineettinen energia voi olla merkittävä, jos turbulenssiaste ja virtausnopeus ovat suuria. Alhaisen Machin luvun virtauksilla termin merkitys on olematon. Termien poisjättäminen merkitsee kuitenkin sitä, ettei yhtälöjärjestelmä sulkeudu kaikilta osin. Eri energiamuodoista voidaan muodostaa taseita ( budjetteja ) ja näiden taseiden välillä tapahtuu energian siirtymistä. Prosesseja on selvitetty kuvassa 7.1, missä energia on jaettu kolmeen taseeseen. Kuvan suureet ū i jne. on aikakeskiarvotettu. Turbulentin virtauksen yhteydessä tämä on usein oletusarvona, joten keskiarvon merkitsemistä ei ole käytetty esim. yhtälöissä (7.1) ja (7.2). Kuvan laatikot 1 ja 2 edustavat paineen ja paineheilahtelujen tekemää

194 7.1. ENERGIAYHTÄLÖ JA ENERGIATASEET 193 reversiibeliä työtä. Laatikot 3 ja 4 puolestaan ovat viskositeetin tekemää irreversiibeliä työtä, missä mekaaninen energia muuttuu lämmöksi. Turbulenssin kineettinen energia dissipoituu lämmöksi, mutta myös päävirtaus dissipoituu suoraan (laatikko 3). Termiä Φ nimitetään dissipaatiofunktioksi. Todellisuudessa laatikoissa 3 ja 4 kysymyksessä on sama prosessi, koska jako päävirtauksen kineettiseen energiaan ja turbulenssin kineettisen energiaan on keinotekoinen ja seurausta laskennan vaatimasta aikakeskiarvottamisesta. Laskentamalleissa prosessit kuitenkin näkyvät kuvan osoittamalla tavalla ja kun yhtälöt on kirjoitettu oikeaan muotoon, on dissipaatiofunktio negatiivisena nieluna kineettisen energian yhtälössä ja positiivisena termisen energian yhtälössä. Kokonaisenergian taseessa ei dissipaatiofunktiota ole, koska energiayhtälö pitää sisällään kaikki kolme erilaista energian lajia. Kokonaisenergian yhtälöön tulee termi (u j τ ij ) (7.3) x i missä leikkausjännitykset lasketaan kaksiyhtälömallilla turbulentin viskositeetin avulla τ ij = (µ+µ t ) ( uj + u ) i 2 x i x j 3 (µ+µ t) u i δ ij (7.4) x i Reynoldsin jännitys -mallilla turbulentti osa voitaisiin laskea suoraan Reynoldsin jännitysten avulla, mutta FLUENTissa käytetään aina energiayhtälössä turbulentin viskositeetin käsitettä ja yhtälöä (7.4). FLUENTissa termi (7.3) on mukana vain tiheyspohjaisessa ratkaisussa oletusarvoisesti. Painepohjaisenkin ratkaisun yhteydessä se kannattaa aina aktivoida, koska sen merkitys voi olla luultua suurempi ja laskenta-aikaa termin mukaan ottaminen ei juuri tuo lisää. Viides laatikko edustaa turbulenssin kineettisen energian tuottoa. Yleensä kineettistä energiaa siirtyy päävirtauksesta turbulenssiin, mutta joskus voi käydä myös päinvastoin. Ilmiötä kutsutaan turbulenssin takaisin sironnaksi. Kuvan energiansiirtoprosesseista on kaksiyhtälömalleilla mallinnettava termit 2, 4 ja 5. Reynoldsin jännitys -mallilla voidaan suljetussa muodossa lausua tuottotermi 5 (=ρu iu k u i/ x k ). Yllä olevassa laatikkopelissä ei ole vielä mukana dissipaation ǫ yhtälöä. Taseet eivät ole myöskään kiinni siitä, miten termit 1-5 on mallinnettu. Riittää, että termit näkyvät erimerkkisinä lähteinä ja nieluina asianomaisissa yhtälöissä. Termien numeerisen laskennan kannalta on myös ilmeistä, että suureita tulisi laskea eri yhteyksissä samalla tavoin. Eroja voi tulla esimerkiksi leikkausjännitysten τ ij laskennassa, joka yleensä tehdään laskentatilavuuksien seinille, ja dissipaatiofunktion lasken-

195 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 194 nassa. Dissipaatiofunktio on lähdetermi, jossa τ ij on lausuttava laskentatilavuuden keskellä. Tästä aiheutuva ero saattaa näkyä koko laskenta-alueen yli integroiduissa taseissa. Virtauslaskija saattaa joutua sellaisten tilanteiden eteen, joissa fysiikka ei tunnu pelaavan oikealla tavalla. Tällöin kuitenkin erojen taseissa tulisi lähestyä nollaa, kun laskentahilaa tihennetään. Jos hilaa tihennettäessä jäljelle jää jokin systemaattinen ero, niin yhtälöt eivät sulkeudu oikealla tavalla. Tällöin niistä on jätetty joitain termejä pois. Ohjelmissa siis saatetaan jättää termejä energiayhtälöstä pois pieninä, mutta ne eivät ole kaikissa tilanteissa välttämättä sitä tai ainakin saattavat näkyä koko alueen integroiduissa taseissa. Virtausyhtälöitä ratkaistaessa kaikki suureet eivät ole säilymismuodossa, joten näissä suureissa näkyy aina numeerista virhettä taseiden osalta. Eräs tällainen suure on kulmaliikemäärä, joka ei säily laskennassa ennen kuin laskentahila on riittävän tiheä. 7.2 Energiayhtälön käyttö Numeerinen ratkaisu Fluentin manuaalin perusteella ei täysin selviä, miten energiayhtälö ratkaistaan. Ainoastaan tiheyspohjaisen ratkaisun osalta todetaan ratkaistavan primitiivisuureen olevan lämpötila. Koska yhtälöiden ratkaiseminen perustuu linearisointiin, on samantekevää mitä suuretta ratkotaan. Lämpötilan muutos on kätevä suure ratkaisussa. Se voidaan yleensä rajoittaa jollekin tietylle alueelle ja sen perusteella voidaan laatia tilayhtälö helposti. Esimerkiksi entalpia voidaan laskea määritelmän mukaan kaavasta T h(t) = c p (T)dT (7.5) T ref jolloin riittää taulukoida ominaislämpökapasiteettic p. Painekorjausratkaisijan yhteydessä ei selosteta energiayhtälön diskretointitapaa eikä laskennassa käytettyä suuretta. Kyseessä on ratkaisun kannalta skalaariyhtälö ja periaatteessa eri termien diskretointi voidaan tehdä samaan tapaan kuin liikemääräyhtälöllä. Yhtälöä ei oletusarvoisesti alirelaksoida ollenkaan, mutta useissa tehtävissä alirelaksaatiokerroin kannattaa laskea ykkösestä jonnekin 0,7... 0,8 tienoille. Yleensä energiayhtälö ei aiheuta ongelmia ratkaisulle, koska virtausta ajaa liikemääräyhtälö yhdessä jatkuvuusyhtälön kanssa. Poikkeuksena on suuren Machin luvun virtaus, jolle yleensä sovelletaan tiheyspohjaisia kytkettyjä menetelmiä.

196 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 195 FLUENTissa on mahdollista asettaa lämpötilalle ylä- ja alarajat, mitä ominaisuutta kannattaa käyttää Turbulenssi ja energiayhtälö Turbulentti lämmönjohtavuus lasketaan kaavasta λ t = c pµ t Pr t (7.6) missä Pr t on turbulentti Prandtlin luku. FLUENTissa asetetaan Pr t = 0,85, mutta käyttäjä voi muuttaa asetettua arvoa. Valitettavasti turbulentti Prandtlin luku ei ole vakio, vaan se vaihtelee rajakerroksen sisällä. RNG k ǫ-mallissa lasketaan efektiivinen lämmönjohtavuus kaavasta λ eff = αc p µ eff (7.7) missä λ eff = λ + λ t ja µ eff = µ + µ t. Tässä oleva efektiivisen Parandtlin luvun käänteisarvoαiteroidaan yhteydestä α 1,3929 0,6321 α+2,3929 0,3679 α 0 1,3929 α 0 2,3929 = µ µ eff (7.8) missä α 0 = 1/Pr. Tämän yhtälön sanotaan toimivan hyvin laajalla molekylaarisen Prandtlin luvun alueella, nestemäisistä metalleista(pr 10 2 ), joilla terminen rajakerros on hyvin paksu, parafiiniöljyyn (Pr 10 3 ). Yhtälön (7.8) pitäisi toimia myös alhaisen Reynoldsin luvun alueella, jolloin ratkaisuksi tulee α = 1/P r ja täysin turbulentilla alueella saadaan α = 1,393. Tätä mallinnustapaa käytetään siis vain RNG k ǫ-mallin yhteydessä, periaatteessa sen voisi kuvitella toimivan muidenkin kaksiyhtälömallien kanssa. Kiinteillä pinnoilla tarvitaan reunaehtona lämpövuo. Laskettaessa taseita lopullisena reunaehtona on aina vuo, vaikka vuo määräytyisikin joistain kiinnitetyistä ehdoista. Pienen Reynoldsin luvun malleilla ja laminaarissa tapauksessa lämpövuo on q = λ T (7.9) n missä n on pinnan normaalin suunta. Ison Reynoldsin luvun mallien yhteydessä käytetään seinämäfunktiota. Dimensioton lämpötilat määritellään T = (T w T)ρc p C 1/4 µ k1/2 q (7.10)

197 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 196 ja lasketaan kaavoista Pry + 1 T 2 = ρprc1/4 µ k 1/2 u 2 jos y < y q T [ Pr 1 t κ ln(ey )+P ] ρc1/4 µ k 1/2 [Pr q t u 2 +(Pr Pr t )u 2 c] jos y > yt (7.11) missä suurep lasketaan kaavasta P = π/4 sin(π/4) ( A κ ) 1/2 ( )( ) Pr Pr 1/4 1 (7.12) Pr t Pr t Yllä A on van Driestin vakio (A = 26), E 30, u, T, k ovat näiden suureiden arvot seinän viereisessä kopissa ja u c on virtausnopeus kohdassay = y T. Etäisyys y T määritellään kohtana, jossa yhtälön (7.11) lineaarinen ja logaritminen vaihtoehto ovat yhtä suuret. Kokoonpuristumattomassa tapauksessa yhtälöistä (7.11) käytetään vain ensimmäisiä termejä. Energiayhtälön reunaehto ei siis seinämäfunktion kanssa ole kovin yksinkertainen. Kyseessä ovat lausekkeet, joiden avulla seinämälämpötila T w, virtauksen lämpötila T, turbulenssin kineettinen energia k ja lämpövuo q riippuvat implisiittisesti toisistaan. Laskenta tapahtuu siten, että ensin lasketaan etäisyysy T edellisen kierroksen arvojen avulla. Sen jälkeen yhtälöistä (7.10) ja (7.11) voidaan ratkaista lämpövuo tai lämpötila seinällä riippuen siitä, minkälaisen reunaehdon käyttäjä on valinnut. Tämän jälkeen energiayhtälö pintaa lähinnä olevassa laskentatilavuudessakin on ratkaistavissa. Ratkaisusta saadaan uusi lämpötilat. Uuden nopeusjakauman perusteella määritetään uusi arvo nopeudelle u c ja lisäksi saadaan turbulenssin kineettisen energian arvo. Näin yhtälön (7.11) oikean puolen arvot päivittyvät uutta iteraatiokierrosta varten. Yhtälöiden (7.10) ja (7.11) ratkaisu iteroituu muun virtausratkaisun yhteydessä. Pienen Reynoldsin luvun mallilla laskenta on paljon yksinkertaisempaa. Tällöin lämpövuolle saadaan differenssiapproksimaatio q λ T w T n (7.13) missä n ensimmäisen kopin keskipisteen etäisyys pinnasta. Myös yhtälöstä (7.13) voidaan ratkaista joko lämpövuo tai pinnan lämpötila, jos toinen näistä tunnetaan Reunaehdot FLUENTin manuaalissa reunaehtojen antaminen lämmönsiirron osalta on kuvattu hieman sekavasti. Edellä kuvattu turbulenssin ottaminen huomioon selostetaan toi-

198 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 197 T f q"=h(t w T f ) q" rad T w q"= k δt δn Kuva 7.2: Lämpövuot kiinteällä pinnalla. saalla ja varsinaiset reunaehdot toisaalla, jolloin kyseisissä kohdissa ei puhuta aivan samaa kieltä. Konvektion lisäksi reunaehdoissa voidaan ottaa huomioon säteily. Tarkastellaan seinän laskentaa (kuva 7.2). Seinän pinnalla on lämpötila T w ja nesteessä lämpötilat f. Lämpövuo voidaan laskea kahden puolen pintaa. Kiinteällä puolella laskenta tapahtuu aina yhtälöstä (7.13). Virtauksen puolella lämmönsiirto voi tapahtua konvektion ja säteilyn välityksellä. Säteilylämmönsiirto seinälle lasketaan yhtälöstä q rad = ǫ extσ(t 4 T4 w ) (7.14) missä ǫ ext on pinnan emissiviteetti, σ Stefan-Boltzmannin vakio. ja T ulkoisen pinnan lämpötila. Säteilyn lisäksi virtaus siirtää lämpöä vapaan ja pakotetun konvektion avulla. Konvektiivisen lämmönsiirron osalta laskenta tapahtuu yhtälöiden (7.11) tai (7.13) avulla, jolloin käyttäjän on annettava reunaehtona joko lämpövuo tai lämpötila. Laskentamalli pystyy tämän jälkeen laskemaan toisen näistä suureista. Perinteinen tapa laskea lämmönsiirtoa perustuu lämmönsiirtokertoimeenh q = h(t w T f ) (7.15) kuten kuvassa 7.2 on esitetty. FLUENTissa reunaehtojen kohdalla todetaan lämmönsiirtokerroin laskettavan yhteyksistä (7.11) tai (7.13). Oikeastaan näistä yhtälöistä saadaan lasketuksi lämpövuo, joka on energiayhtälön fysikaalinen reunaehto. Lämmönsiirtokertoimen laskenta riippuu kokonaan siitä, miten nesteen lämpötila T f määritellään. Se voi olla joko keskimääräinen lämpötila, mikä on mielekästä kanavassa, tai sitten lämpötila riittävän kaukana pinnasta, jossa sen voidaan katsoa olevan vakio. Mihin FLUENTissa käytetään lämmönsiirtokerrointa ja miten se

199 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 198 määritellään, ei siis selviä. Todennäköisesti ohjelma ei aina käytä lämmönsiirtokerrointa, vaan manuaalin yhtälöillä annetaan periaate, miten laskenta tehdään. Poikkeuksena on yhtälö (7.19), jota voidaan käyttää laskenta-alueen reunoilla. Ohjelma siis laskee kokonaisuudessaan lämpövuon yhtälöstä q = q conv +q rad (7.16) missä q conv lasketaan edellä kuvatuilla tavoilla joko yhtälöstä (7.11) tai yhtälöstä (7.13) riippuen siitä onko käytössä pienen vai ison Reynoldsin luvun malli. Toisena mahdollisuutena on, että käyttäjä on antanut konvektiivisen lämpövuonq conv ja ohjelma laskee pintalämpötilan. Kyseistä periaatetta kuvattaessa manuaalissa yhtälö (7.16) kirjoitetaan muotoon q = h f (T w T f )+q rad (7.17) jolloin reunaehdon toimintaa on helppo demonstroida kuten tässäkin tehdään jatkossa. FLUENTissa seinällä (Wall) tarkoitetaan joko nestevyöhykkeen tai kiinteän rakenteen rajalla olevaa pintaa. Useimmiten tämän paksuus on todellisuudessakin nolla, mutta ohjelmassa on mahdollista mallintaa myös äärellisen paksuinen pinta, jolle annetaan lämpövastus x/λ. Tällä tavoin voidaan mallintaa nestevyöhykkeiden välillä oleva ohut metallilevy tai kiinteällä pinnalla oleva ohut pinnoite. Lämmönsiirtoa kuvaavat reunaehdot löytyvät valikosta Boundary Conditions paneelin Wall alta. Reunaehtomahdollisuudet ovat seuraavat: jos annetaan pintalämpötila, niin lämpövuo saadaan kaavan (7.17) perusteella. jos taas annetaan lämpövuo, saadaan pintalämpötila yhteydestä T w = q q rad h f +T f (7.18) Ohjelman sisäinen laskentasysteemi on siis edellä kuvatun mukaan paljon monimutkaisempi, mutta periaate yhtälön (7.18) mukainen. Seinämäfunktion tapauksessa pintaa kuvaavat yhtälöt ovat hyvin epälineaarisia, mutta ne toteutuvat pikku hiljaa virtausratkaisun konvergoituessa. konvektiivisessa ehdossa annetaan sekä lämmönsiirtokerroin h että ulkoinen lämpötilat f. Nyt lämpövuo todella lasketaan yhteydestä q = h(t w T f ) (7.19)

200 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 199 ohut seinä T b neste, kaasu tai kiinteän aineen kopit x Kuva 7.3: Lämmönsiirron kannalta äärellisen paksuinen pinta. Tällä keinolla voidaan antaa reunaehto kiinteälle vyöhykkeelle, jossa lasketaan lämmönjohtuminen. Lämmönsiirtokerroin voidaan laskea etukäteen jostain sopivasta korrelaatiosta. Yhtälössä (7.19) oletetaan pinnan (Wall) olevan äärettömän ohut. Pinta voi olla myös äärellisen paksuinen, kuten kuvassa 7.3. Ohjelma ei ymmärrä pinnalla olevan geometrisessa mielessä paksuutta, mutta reunaehtoon voidaan liittää pinnoitteessa tai kalvossa tapahtuva lämpötilan muutos. Käyttäjä voi antaa kalvolle jopa tehonkehityksen, mikä on hyödyllinen ominaisuus elektroniikkakomponenttien mallintamisessa. Kun kalvo on ohut, sen voidaan ajatella olevan tasapainotilassa ja lämpötilajakauma saadaan yksidimensioisen lämmönjohtavuusyhtälön ratkaisusta. Jos esimerkiksi x-paksuisen kalvon sisäosan lämpötila on T w ja ulkolämpötilat b, lämpötilajakauma on T(x) = q λ x q x λ 2 x+ T b T w x x+t w (7.20) Vastaava yhteys saadaan myös korvaamalla lämpötilareunaehto lämpövuolla jommalla kummalla puolen kalvoa. Varsinaiseen laskenta-alueeseen voidaan siten liittää yksinkertaisen analyyttisen lausekkeen avulla ohut pinnoite, jossa yhtälöitä ei ratkaista numeerisesti. säteilylämmönsiirtoehdossa lasketaan vain säteily yhtälöstä (7.14). (Tässä tapauksessa pinta oletetaan äärettömän ohueksi). Laskijan on annettava tässä tapauksessa pinnan emissiviteettiǫ ext ja ulkopuolinen lämpötilat.

201 7.2. ENERGIAYHTÄLÖN KÄYTTÖ 200 ohut seinä neste, kaasu tai kiinteän aineen K kopit w1 q b1 tai T b1 q b2 tai T b2 K w2 neste, kaasu tai kiinteän aineen kopit Kuva 7.4: Kahden vyöhykkeen välinen pinta jaetaan FLUENTin käsitteistössä aina kahteen äärettömän ohueen osaan. yhdistetyssä ulkopuolisen konvektion ja säteilyn tapauksessa yhdistetään kaksi edellistä ehtoa ja annetaan niihin tarvittavat parametrit. Jos pinta rajaa kahta laskentavyöhykettä eikä ole laskenta-alueen ulkopinnalla kuten kuvassa 7.3, se jaetaan FLEUNTissa aina kahteen osaan. Tilannetta havainnollistetaan kuvassa 7.4. Pinta voi liittää yhteen nestevyöhykkeen ja kiinteän aineen vyöhykkeen, jolloin ratkaistaan ns. konjugaattilämmönsiirtoprobleemaa. Pinta voi olla myös kahden nestevyöhykkeen välissä, jolloin esimerkiksi peltilevyä tai muuta vastaavaa ohutta rakennetta kuvataan geometrisessa mielessä äärettömän ohuella kalvolla, johon voidaan liittää sopivia hyppyehtoja. Kummallekin pinnan osalle voidaan antaa oma lämmönjohtavuus ja lämmönkehitys. Osat voivat olla toisiinsa kytkettyjä (Coupled) tai kytkemättömiä. Nesteen ja kiinteän alueen välinen pinta on esimerkki kytketystä tapauksesta. Normaalisti ei käyttäjän tällöin tarvitse antaa mitään varsinaisia reunaehtoja, koska asettamalla lämpövuot pinnan kahden puolen yhtä suuriksi, yhtälöt ratkeavat. Tässä yhteydessä voidaan kuitenkin antaa myös lämpövastus ja lämmönkehitys. Pinnan osat on myös mahdollista laskea toisiinsa kytkemättöminä. Tällöin käyttäjä antaa joko lämpövuon tai lämpötilan kummallakin puolella, kuten kuvassa 7.4 on esitetty. On tärkeää huomata, että pinnat eivät ole oikeasti erillään toisistaan eikä niillä ole edes todellista paksuutta, vaan kyseessä on malli, jolla äärettömän ohuelle rajapinnalle asetetaan tietyntyyppisiä reunaehtoja.

202 7.3. LÄMMÖNVAIHTIMET 201 Jäähdytyskanava Makro 0 Makro 1 Makro 2 Makro 3 Makro 7 Makro 6 Makro 5 Makro 4 Kuva 7.5: Makrojen käyttö lämmönsiirtimen mallinnuksessa. 7.3 Lämmönvaihtimet FLUENTissa on erilaisia mahdollisuuksia kuvata lämmönvaihtimia. Näitä mahdollisuuksia käsitellään tässä vain lyhyesti. Yksinkertaisin tapa on kuvata lämmönsiirrin ( radiaattori ) äärettömän ohuena pintana ja laskea lämpövuo kaavasta q = h(t HX T exit ) (7.21) missä T HX on lämmönsiirtimen lämpötila ja T exit nesteen lämpötila lämmönsiirtimen jälkeisessä laskentatilavuudessa. Tämän tyyppisen lämmönsiirtimen lämmönsiirtokerroin ja painehäviökerroin annetaan syöttötietoina. Toinen tapa mallintaa lämmönsiirrin on käyttää ns makroja, joiden avulla yksidimensioisilla virtausyhtälöillä voidaan approksimoida todellista tilannetta. Tarve tulee siitä, että yleensä on mahdotonta kuvata lämmönsiirtimien yksittäisiä ripoja ja putkia. Tärkeät suureet mallinnuksessa ovat painehäviö ja lämmönsiirto. Makroilla tarkoitetaan makroskooppisia tasealueita, joissa ei yritetäkään kuvata kitkaa ja lämmönsiirtoa virtausyhtälöiden avulla, vaan käytetään korrelaatioita. Lämmönvaihtimen malli voi olla esimerkiksi kuvan 7.5 kaltainen. Koska yhtälöt ovat ainakin approksimatiivisesti säilymismuodossa, ne pätevät myös makroskooppisille tasealueille, joissa sopivien lähdetermien avulla kuvataan painehäviö ja siirtyvä lämpöteho. Lämmönsiirrinlaskenta on tarkoitettu lähinnä ilmastointikojeille ja moottorien jäähdyttimille. Virtaavana aineena on oletusarvoisesti ilma. Makroissa käytetään hyväksi tietoa lämmönsiirtimien rakenteesta. Esimerkiksi virtauksen suuntainen painehäviö lasketaan vastuskertoimenf avulla p s = 1 2 fρu2 min (7.22)

203 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 202 missäu min on virtausnopeus poikkipinta-alaltaan pienimmässä kohdassa. Kerroinf koostuu sisään- ja ulosvirtausvastuksista, pinta-alamuutoksista ja kitkasta. Käyttäjä joutuu siis antamaan vastuskertoimet. Kitkalle ohjelmassa on laskentakaava, mutta senkin käyttäjä joutuu parametrisoimaan tilanteeseen sopivaksi. Käyttäjä antaa myös lämmönsiirtoon liittyvät parametrit. 7.4 Virtausyhtälöiden parametrien asettaminen Operointipaine Virtausratkaisija tarvitsee toimiakseen suuren määrän eräitä parametreja syöttötietoina. Suurin osa näistä on aineominaisuuksia, jotka riippuvat paineesta ja lämpötilasta. Useissa tapauksissa aineominaisuuksia voidaan approksimoida vakioilla ja ne on yksinkertaista antaa FLUENTin käyttöliittymän kautta. Yleisesti ottaen aineominaisuudet eivät ole vakioita ja niiden spesifiointi voi muodostua varsin työlääksi. Tässä luvussa käsitellään ominaisuuksien antamista ja ensimmäisenä kohteena on paineen tason määrittely. Ensimmäisessä luvussa todettiin FLUENTin olevan luonteeltaan ns. yleisohjelma, jolla on tarkoitus pystyä laskemaan hyvin monen tyyppisiä virtauksia. Perinteiset vastaavat ohjelmat toimivat paljon huonommin kokoonpuristuvalla alueella. Laskenta eri Machin lukualueilla on erilaista ja se näkyy mm. painetasossa. Tasapainotilan laskuissa paine-erot p laskenta-alueessa ovat verrannollisia Machin luvun neliöön p/p Ma 2 (7.23) Käytännössä tämä tarkoittaa, että esimerkiksi ilmalla, missä vapaan virtauksen paine p on suuruusluokkaa Pa, Machin luvulla yksi paine-erot ovat paineen suuruusluokkaa. Machin luvun lähetessä nollaa paine-erot pienenevät siten, että nopeuden ollessa suuruusluokkaa 10 m/s, paine-erot ovat enää luokkaa O(100) Pa. Tämä aiheuttaa toisenlaisia vaatimuksia laskenta-algoritmille. Jos paine-erot ovat vain 0,1 % taustan paineesta, jo tietokoneen laskentatarkkuus tulee ongelmaksi. Kokoonpuristumattomalla virtauksella onkin ratkaisualgoritmissa käytettävä paine-eroja, ei paineita. FLUENTissa painetaso asetetaan käyttäjän toimesta seuraavasti p abs = p op +p gauge (7.24)

204 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 203 missä p abs on absoluuttinen (staattinen) paine ja p op käyttäjän antama referenssitaso, yleisimmin Pa. Ohjelma ratkaisee siis aina suureitap gauge, jotka ovat eroja referenssipaineeseen. Käytännössä painetaso voidaan jättää useimmiten oletusarvoonsa, standardi-ilmakehän paineeseen Pa. Tiheyspohjaisessa laskennassa käytetään absoluuttista painetta, jolloin yhtä hyvin voitaisiin asettaa p op = 0, mutta tällä ei ole oikeastaan mitään merkitystä. Ohjelma osaa käyttää sisäisesti oikeaa painetta esimerkiksi tilanyhtälössä. Paineella on virtauslaskennassa kaksi eri määritystapaa. Tiheyspohjaisella ratkaisijalla se määräytyy tilayhtälön kautta ja silloin myös paineen taso on yksikäsitteinen. Painepohjaisessa ratkaisussa paine määräytyy aina jatkuvuusyhtälön kautta, mutta jos tilayhtälöä ei ole mukana, määräytyy ainoastaan paine-erot, ei itse paine. Paineen taso on tällöin asetettava jollain tavoin. Selkein ja yksikäsitteisin tapa on määrätä paineen taso reunaehtojen avulla, jolloin jo yksikin ns. painereunaehto määrää koko laskenta-alueen paineen tason. Painereunaehdon määrittelyssä on otettava huomioon paineen lausumistapa yhtälöstä (7.24). Aiemmin jo suositeltiin käytettäväksi painereunaehtoja aina ulosvirtauksen yhteydessä. Jos laskenta-alue on luonteeltaan suljettu tankki, paine ei kiinnity mihinkään ellei tilayhtälöä ole laskennassa mukana. FLUENT hoitaa asian siten, että yhdessä laskenta-alueen kopissa paine p gauge asetetaan aina nollaksi ja muiden koppien paineiden tasoa siirretään vastaavasti. Tämä estää systeemin paineen ajelehtimisen holtittomasti. Ilmeisesti painetaso määräytyy suljetullakin alueella alku- ja reunaehtojen perusteella, joten todellista pelkoa paineen liukumista epämielekkäisiin arvoihin ei ole. Nollauskeinolla saadaan painetaso kuitenkin pysymään paremmin aisoissa eikä se ole silloin riippuvainen alku- ja reunaehdoista Aineominaisuudet Yhtälöitä varten tarvitaan mm. seuraavia aineominaisuuksia tiheysρ viskositeettiµ ominaislämpökapasiteettic p lämmönjohtavuusλ diffuusiokertoimet

205 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 204 palamis-, säteily yms., mallien parametrit Minimissään aineominaisuuksista tarvitaan vain kaksi, tiheys ja viskositeetti. Yhdessä virtausnopeuden ja geometriassa olevan skaalan avulla nämä suureet määrittelevät Reynoldsin luvun. Jos laskennassa on mukana vain liikemäärä- ja jatkuvuusyhtälöt, on virtaus vain Reynoldsin luvun funktio. Jos virtaavalla aineella käytetään energiayhtälöä, tarvitaan lisäksi nesteen lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Yhtälön (7.5) avulla saadaan energiayhtälössä oleva entalpia ja sitä kautta myös sisäenergia määritetyksi. Kiinteillä aineilla puolestaan tarvitaan aina tiheys, lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Tiheyden yhteyttä paineeseen ja lämpötilaan nimitetään tilanyhtälöksi. Tiheyspohjaisen ratkaisun yhteydessä tarvitaan tiheyden derivaatat ρ/ p ja ρ/ T. Nämä ohjelma laskee, kun tilayhtälö on spesifioitu. Derivaattojen avulla saadaan myös tarvittava äänen nopeus. Aineominaisuuksien luonti voidaan aloittaa tyhjästä tai sitten voidaan käyttää ohjelmien tietopankkeja. FLUENTissa ominaisuuksien luonti aloitetaan valikon Define Materials paneelin alla. Ohjelmassa on oletusarvoina ilma ja kiinteille rakenteille alumiinin ominaisuudet. Tietopankissa (Database) olevat ominaisuudet eivät välttämättä aina riitä. FLUENTissa oletetaankin, että pääasiallinen toimintamuoto on modifioida olemassa olevia aineominaisuuksia. Toinen mahdollisuus on siis luoda kokonaan uudet ominaisuudet, jotka voidaan sen jälkeen nimetä yksikäsitteisellä tavalla ja tallettaa. Aineominaisuudet voivat olla etupäässä vain lämpötilan funktioita. Käyttäjä voi luoda vain lämpötilan funktiona olevia ominaisuuksia, valmiiksi on tallennettu myös muita yksinkertaisia mahdollisuuksia. Aineominaisuudet voidaan antaa seuraavissa muodoissa: polynomeinaφ(t) = A 1 +A 2 T +A 3 T Tämä tapahtuu kohdassa Polynomial Profile. Esimerkiksi veden tiheydelle voidaan antaa seuraava approksimaatio ρ(t) = ,02T (7.25) Tämä yhtälö on silloin voimassa koko lämpötila-alueella. paloittain lineaarisena Esimerkkinä on kuvan 7.6 viskositeetti. φ(t) = φ n + φ n+1 φ n T n+1 T n (T T n ) (7.26)

206 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 205 3e 5 (440, e 5) µ 2e 5 1e 5 (360, e 5) (300, e 5) (250, 1.599e 5) T Kuva 7.6: Paloittain lineaarisena annettu viskositeetti lämpötilan funktiona. kolmantena mahdollisuutena on antaa ominaisuudet paloittain polynomeina Tarkastellaan seuraavassa eri aineominaisuuksien valikkoa lähemmin. Tiheys voidaan antaa Fluentissa joko vakiona tai lämpötilasta riippuvana. Valmiiksi ohjelmoituna on ideaalikaasun tilanyhtälö, jota voidaan käyttää esimerkiksi ilmalle. Monikomponenttivirtauksille tiheys lasketaan massaosuuksilla painottaen. OpenFOAMissa vaihtoehtoina ovat polynomi ja ideaalikaasun tilanyhtälö. Jos käytetään kokoonpuristumatonta ratkaisua valitaan incompressible-idealgas. Tällöin tiheys ei riipu kuin lämpötilasta yhteyden ρ = p op RT (7.27) mukaan. Tässä R on universaali kaasuvakio ja p op vakiona pysyvä referenssipaine. Jos Machin luku on suurempi kuin 0,2, tiheys voidaan laskea yhtälöstä ρ = p op +p gauge RT (7.28) Monikomponenttivirtaukset voivat koostua joko ideaali- tai reaalikaasuista. Viimeksi mainituilla tiheys lasketaan massaosuuksilla m i painottaen komponenttien tiheyksien avulla ρ = 1 i m i ρ i Ideaalikaasuista koostuvan seoksen tiheys saadaan lasketuksi yhteydestä ρ = p RT i m i M i (7.29) (7.30) missä p on absoluuttinen paine, m i massaosuus ja M i komponentin i molekyylipaino.

207 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 206 Edellä olevien vaihtoehtojen lisäksi tiheys voidaan antaa lämpötilan funktiona. Jos tiheydessä ei ole riippuvuutta paikallisesta paineesta p op + p gauge, se voi ehkä riippua operointipaineesta tai vain lämpötilasta. Tämä rajoittaa ohjelman käyttöä siten, että ei voida laskea reaalikaasujen kokoonpuristuvia virtauksia. Tiheyden tarkka riippuvuus paineesta on myös edellytys paineaaltojen laskennassa. Käytännön sovelluksissa virtaavana aineena voi usein olla vesi tai vesihöyry. Tiheyden laskenta voidaan tällöin hoitaa joko paloittain lineaarisena tai polynomien avulla approksimoituna. Polynomisovitteessa on huomattava, että korkeamman asteen sovitteeseen helposti tulee värähtelyjä. Sovitetta varten on valittava sopiva paineen taso, koska tiheys voi siis olla vain lämpötilan funktio. Approksimaatiossa on hyvä ottaa riittävän suuri lämpötila-alue vaikka keinotekoisesti ekstrapoloiden höyry- tai nestealueen yli. Iteroinnin kuluessa laskenta voi seikkailla näille alueille, vaikka lopputuloksessa oltaisiinkin turvallisesti yksifaasipuolella. Lämpötilaa voidaan tietenkin rajata keinotekoisesti, mutta liian tiukat rajat voivat olla huonot konvergenssin kannalta ja myös siksi, ettei silloin näe minne asti lämpötila haluaa vaeltaa. Käyttäjän on tilayhtälö- ja rajauskysymyksessä siis tasapainoiltava. Jos lasketaan vettä, on mahdollista, että tapahtuu paikallista alijäähdytyskiehuntaa. Silloinkin kannattaa mieluummin ekstrapoloida tilayhtälöä jonkin matkaa kaksifaasipuolelle ja laskea approksimatiivisesti, kuin siirtyä suoraan raskaaseen ja monenlaisia ongelmia tuottavaan kaksifaasilaskentaan. Viskositeetin oletusarvona on ilman arvoµ = 1, kg/sm. Tarkempaan laskentaan on seuraavia mahdollisuuksia: vakioarvo lämpötilasta ja/tai koostumuksesta riippuva lasketaan kineettisen kaasuteorian avulla epänewtonilainen viskositeetti käyttäjän antama funktio Usein hyvä approksimaatio kaasujen viskositeetille on Sutherlandin kaava. FLUEN- Tissa voidaan valita joko kaavan kaksi- tai kolmiparametrinen versio. Edellinen on µ = C 1T 3/2 T +C 2 (7.31)

208 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 207 ja kolmiparametrinen ( ) T 3/2 T 0 +S µ = µ 0 (7.32) T 0 T +S Laskennan suorittaja antaa parametritc 1,C 2 taiµ 0,T 0 jas. Toinen viskositeetin antamistapa perustuu joko kaksi- tai kolmiparametriseen eksponenttikaavaan. Näistä edellinen on µ = BT n (7.33) ja jälkimmäinen µ = µ 0 ( T T 0 ) (7.34) Yleisempi ja hieman tarkempi tapa on käyttää Sutherlandin kaavan muotoa (7.32). Kaasuseoksille annetaan reaalikaasujen tapauksessa yksinkertainen riippuvuus massaosuuksilla painotetuista eri komponenttien viskositeeteista µ = i m i µ i (7.35) Ideaalikaasuseoksella vastaava viskositeetin lauseke on paljon monimutkaisempi. Epänewtonilaisilla nesteillä viskositeettia vastaava suure riippuu venymänopeustensorista S ij. Newtonilaisilla kokoonpuristumattomilla nesteillä leikkausjännitys lasketaan yhteydestä τ ij = 2µS ij (7.36) missä venymänopeustensori on S ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (7.37) Epänewtonilaisilla nesteillä leikkausjännitys on muotoa τ ij = η(s ij )S ij (7.38) Yksinkertaisin epänewtonilaisen nesteen mallinnustapa on Ostwaldin ja de Waelen potenssilaki τ ij = 2KSij n (7.39) missä K ja n ovat aineominaisuuksia, jotka ovat funktioita paineesta ja lämpötilasta. Yhtälö (7.39) voidaan kirjoittaa muotoon τ ij = (2KS n 1 ij )S ij (7.40)

209 7.4. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN PARAMETRIEN ASETTAMINEN 208 η max log η η min Log S Kuva 7.7: Viskositeetin rajoittaminen. mistä saadaan η = (2KS n 1 ij ). FLUENTissa käytetään seuraavaa muotoa η = 2ke T 0 T S n 1 ij (7.41) missäk,njat 0 ovat käyttäjän antamia parametreja. Ohjelmassa on lisäksi mahdollista rajoittaa suureen η arvoa kuvan 7.7 osoittamalla tavalla. Käytännössä suure η ei voi riippua suoraan venymänopeustensorin komponentista S ij, joka voi olla negatiivinen. Laskennassa ainoa järkevä riippuvuus on venymänopeustensorin eräästä normista, joka määritellään S = 2S ij S ij (7.42) Koska tämäkin on vielä laadullinen luku, on lausekkeissa oltava sopiva verrannollisuuskerroin, jolla saadaan laadut täsmäämään. Carreaun ns. pseudoplastinen malli rajoittaa viskositeetin luonnollisemmin minimija maksimiarvoihinsa. Laskentakaava on seuraava η = η +(η 0 η )[1+(λe T 0 T S) 2 ] (n 1)/2 (7.43) missä λ on aikavakio. Carreaun mallissa laadut stemmaavat aikavakion ansiosta. Viskositeetin käyttäytyminen on esitetty kuvassa 7.8. Kummassakin laskentatavassa on viskositeetilla newtonilaiset osuudet (eivät riipu venymänopeustensorista) ja niiden välillä epänewtonilainen osuus. Energiayhtälöä varten on vielä annettava lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti. Ne voidaan käyttäjän toimesta antaa lämpötilariippuvina tai laskea kineettisen kaasuteorian avulla. Lämmönjohtavuus seoksille lasketaan samaan tapaan kuin viskositeettikin. Ominaislämpökapasiteetille käytetään vain massaosuuksilla

210 7.5. KERTAUS 209 η 0 log η η οο Log S Kuva 7.8: Viskositeetin rajoittaminen Carreaun mallissa. painotettua arvoa c p = i m i c pi (7.44) Ominaislämpökapasiteetti on tärkeässä asemassa energiayhtälössä, koska sen avulla määritetään lämpötilan ja entalpian välinen yhteys. 7.5 Kertaus FLUENTissa käytetään energiayhtälössä aina Boussinesq-hypoteesia (myös Reynoldsin jännitys -mallin yhteydessä) turbulentti lämmönjohtavuus lasketaan turbulentin Prandtlin luvun avulla FLUENTin energiayhtälöä approksimoidaan ratkaisussa. Kitkan tekemä työ kannattanee aina ottaa laskentaan mukaan. virtauslaskennassa saattaa muiden kuin pääsuureiden osalta näkyä virheitä taseissa Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä energia jaetaan kolmeen luokkaan. Neljäntenä voi vielä olla mukana potentiaalienergia. lämpövuon seinämäreunaehto lausutaan joko Fourierin lain tai ison Reynoldsin luvun mallilla seinämäfunktion avulla FLUENTissa pinta rajaa aina varsinaista laskentavyöhykettä. Pinnalle voidaan asettaa analyyttisiä hyppyehtoja, joilla voidaan mallintaa ohuita kalvoja ilman diskretointia.

211 7.5. KERTAUS 210 pinta voi olla neste- ja kiinteän aineen vyöhykkeiden välissä, jolloin ei tarvita reunaehtoja jos kiinteän aineen vyöhykettä ei simuloida, voidaan kiinteälle pinnalle antaa konvektiivinen lämpövuo tai lämpötila jos kiinteän aineen vyöhyke rajaa laskenta-aluetta, voidaan sille asettaa konvektio-, säteily- tai näiden kombinaationa saatava reunaehto lämmönvaihtimien mallintamiseksi FLUENTissa on useita mahdollisuuksia, joiden avulla vältytään lämmönvaihtimen tarkasta mallintamisesta lämmönvaihdinmalleissa hyödynnetään yksidimensioista laskentaa ja kokeellista tietoa FLUENTissa asetetaan operointipaine ja ohjelma laskee aina vain paine-eroja tähän paineeseen. Operointipaineeksi kannattaa yleensä asettaa tilanteessa keskimäärin vallitseva paineen taso. Paineen taso voi määräytyä laskennassa vain tilanyhtälön kautta. Toinen tapa kiinnittää paine tapahtuu reunaehtojen avulla. Jos painereunaehtoa ei ole FLUENT asettaa paineen tason siten, että se on nolla tietyssä pisteessä. suureet voivat FLUENTissa etupäässä olla vain lämpötilan funktioita. Tämä asettaa tiettyjä rajoituksia ohjelman käytölle (esim. paineaallot). suureet voi käyttäjä itse antaa lämpötilan funktiona polynomeina, paloittain lineaarisina tai paloittain polynomisovitteina tiheydelle voidaan käyttää ideaalikaasun approksimaatiota eräät suureet voidaan asettaa kineettisen kaasuteorian avulla johdettujen lausekkeiden avulla kaasuille viskositeetti kannattaa antaa Sutherlandin kaavan avulla, nesteille omilla sovitteilla epänewtonilaisille nesteille voidaan käyttää approksimatiivisia potenssilakia tai Carreaun pseudoplastista mallia

212 7.5. KERTAUS 211 epänewtonilainen mallinnus edellyttää usean malliparametrin asettamista käyttäjän toimesta Päivitetty

213 212 8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus Virtauslaskentaohjelmissa on virtausta kuvaaviin yhtälöihin linkitetty paljon erilaisia malleja. Nämä voidaan jakaa monellakin tavalla. Eräs epämääräinen jakotapa on fysikaaliset mallit ja perusyhtälöihin liittyvät mallit, vaikka nämäkin menevät todellisuudessa päällekkäin itse ohjelmakoodissa. Jälkimmäisestä esimerkkinä voisi olla laivavirtausten laskenta, joka eroaa oleellisesti autojen tai lentokoneiden laskennasta vapaan nestepinnan osalta. Eräs lähestymistapa on käyttää ns. deformoituvaa laskentahilaa, jonka pinta muuttuu ratkaisun aikana aaltokuvion mukaiseksi. Tilanteeseen ei siis oikeastaan liity sen kummempaa fysikaalista mallinnusta, vaan ratkaistavat yhtälöt ja reunaehdot voivat olla oleellisesti aivan samat kuin autojen yhteydessä, mutta algoritmia on muutettava siten, että hila deformoituu tiettyjen pintaa kuvaavien ehtojen mukaan. Toinen vastaava esimerkki on pyörivät virtauslaitteet, joiden laskentaan on olemassa useitakin erilaisia approksimatiivisia keinoja. Pyörimisliike vaikuttaa sinänsä myös fysiikkaan, koska turbulenssi käyttäytyy tällöin eri tavoin kuin ilman pyörimisliikettä. Tämän vuoksi myös turbulenssimalleja olisi modifioitava pyörimisen vuoksi. Monimutkaisempana esimerkkinä fysiikan mallinnuksesta voidaan mainita palaminen, mutta sen tyyppisiä ilmiöitä ei käsitellä tällä kurssilla. Tässä luvussa tarkastellaan pyörimisliikettä ja kaksifaasilaskentaa, jossa on myös mahdollisuus vapaan nestepinnan omaavien ilmiöiden simulointiin. On syytä huomata, että juuri pyörimisliikkeen, vapaan nestepinnan yms. huomioon ottaminen saattaa periaatteessa olla yksinkertaista, mutta johtaa käytännössä monenlaisiin ongelmiin. Tämän vuoksi pyöriville virtauslaitteille on aikoinaan kehitetty myös tarkoitukseen sopivia erikoisohjelmia, kuten CFX-TASCflow ja Euranus-Turbo, ja myös laiva-alalla on omia ohjelmia. Ns. yleisohjelmana myös FLUENTissa on pyöriville virtauslaitteille hyvin soveltuvia laskentatapoja.

214 8.1. PYÖRIMISLIIKKEEN LASKENTAMAHDOLLISUUDET 213 y Ω x Liikkumaton Ω Pyörii nopeudella Ω y x Pyörii nopeudella Ω Liikkumaton a) alkuperäinen erenssi ref koordinaati sto b) pyörivä referens si koordinaatisto Kuva 8.1: Kiinteä ja pyörivä koordinaatisto. 8.1 Pyörimisliikkeen laskentamahdollisuudet Virtaus on pyörivässä liikkeessä esimerkiksi turbokoneissa ja sekoitussäiliöissä. Pyörivä virtaus on jossain mielessä aina epätasapainotilassa, mikä tekee sen laskennan vaikeaksi. (Tässä yhteydessä ei tarkastella turbulenssimallien ongelmia, jotka hankaloittavat asiaa vielä lisää). Eräissä tapauksissa virtauksen voidaan katsoa olevan tasapainotilassa ainakin approksimatiivisesti. Ongelmahan tulee siitä, että ajasta riippuva virtaustilanne olisi aina integroitava ajan suhteen tarkasti, mikä on yleensä huomattavasti raskaampaa kuin tasapainotilan simulointi. Jos pyörivälle laitteelle löytyy tasapainotilan virtausratkaisu, se löytyy laitteen mukana pyörivässä koordinaatistossa. Eri koordinaatistotyyppejä on havainnollistettu kuvassa 8.1. Paikallaan olevassa koordinaatistossa roottori pyörii ja virtaus siinä on ajasta riippuvaa. Pyörivässä koordinaatistossa roottoriosa on paikallaan ja staattori pyörii. Mikäli staattori on symmetrinen tai sitä ei ole laskennassa mukana, virtaus on roottorin mukana pyörivässä koordinaatistossa tasapainotilassa. Laskenta voidaan siis jakaa kahteen periaatteellisesti erilaiseen luokkaan ajasta riippuva laskenta, jossa laskentahila liikkuu ajan funktiona. Laskennassa käytetään globaalia paikallaan olevaa koordinaatistoa, vaikka laskentahila (tai osa siitä) pyöriikin. staattinen tai kvasistaattinen laskenta, jossa koordinaatisto (tai osa siitä) pyörii laitteen mukana, mutta tasapainotilan laskennassa hilaa ei tarvitse liikuttaa Pyörivä virtaus voi olla (pyörivässä koordinaatistossa) todellisessa tasapainotilassa vain jos geometria on symmetrinen. Tällainen tilanne voi esiintyä esimerkiksi aksiaalipuhaltimella. Jos tilannetta yksinkertaistetaan, kuten usein tehdään koejär-

215 8.1. PYÖRIMISLIIKKEEN LASKENTAMAHDOLLISUUDET 214 Ω Ω y x z x y a) Pyörivä sekoitin sekoitustankissa b) keskipakoroottor in siivet Kuva 8.2: Tapauksia, joissa virtaus on aidosti tasapainotilassa pyörivässä koordinaatistossa. jestelyissä, tasapainotila voidaan olettaa myös paikallaan olevan helikopterin roottorille tai pelkälle laivan potkurille. Kuvassa 8.2 on esimerkkejä tasapainotilanteista. Haitattomassa sekoittimessa ei ole tehty yksinkertaistuksia, mutta radiaaliturbokoneella on staattoriosa jätetty pois. CFD-validointia varten on tehty symmetrisiä radiaalipumppuja ja puhaltimia, jolloin laskenta voidaan suorittaa tasapainotilan simulointina, mutta yleensä käytännössä pyörivissä laitteissa on olemassa pyörivä osa (roottori) ja siihen liittyvä staattori ja tilanne on siten epäsymmetrinen. Periaatteessa joudumme siten laskemaan esimerkiksi tavallisen pumpun aina ajan suhteen tarkasti mallintaen koko pumpun pesineen. Tämän tyyppiset laskut ovat olleet perinteisesti raskaita ja niitä on pyritty välttämään erilaisten approksimaatioiden avulla. Koska laskentakapasiteettia on nykyään halvalla saatavissa, tilanne on muuttumassa. Virtaussimuloinnit pumpuille ja muille turbokoneille tehdään siis usein olettamalla tilanne stationaariseksi, vaikkei se sitä todellisuudessa olisikaan. Koska tilanne ei todellisuudessa ole tasapainotilassa, voidaan kaikkea tämän tyypistä virtauslaskentaa kutsua kvasistaattiseksi. Käytännössä on tullut kuitenkin tavaksi kutsua geometrisesti yksinkertaistettuja tilanteita tasapainotilan laskuiksi. Tasapainotilan laskut voidaan siis jakaa vielä tarkemmin seuraavasti: aidosti tasapainotilassa oleva virtaus (esimerkiksi aksiaalipuhallin tai haitaton sekoitussäiliö) geometrisesti yksinkertaistettu tilanne, joka laskennan kannalta on tasapainotilassa eikä vaadi mitään approksimatiivista mallinnusta. Tällainen tilanne

216 8.1. PYÖRIMISLIIKKEEN LASKENTAMAHDOLLISUUDET 215 Liikkumaton Liikkumattomat haitat Ω Pyörii nopeudella Ω Ω pyörivä sekoitin a) Roottori staatto vuorovaikutus b) pyörivä sekoitin haitallisessa issa tank Kuva 8.3: Tapauksia, joissa virtaus ei ole tasapainotilassa pyörivässä koordinaatistossa. Laskennassa on käytettävä kvasistaattista menettelyä tai raskasta ajan suhteen tarkkaa integrointia. saadaan esimerkiksi laskemalla yhtä pumpun tai puhaltimen siipisolaa. Reunaehdot tulevat tällöin approksimatiivisesti asetetuiksi. Reunaehdot voidaan yrittää asettaa joko kuvaamaan siipisolan tiettyä asentoa tai (yleensä) kuvaamaan keskimääräistä virtaustilannetta. geometrisesti monimutkaisempi tilanne, joka selvästi ei ole tasapainotilassa, mutta jossa sopivalla reunojen käsittelyllä voidaan tilannetta approksimoida tasapainotilalla. Tästä käytetään nimitystä kvasistaattinen laskenta. Ajan suhteen tarkasti tehtävä laskenta edellyttää roottoria kuvaavan laskentahilan liikettä muun laskenta-alueen suhteen. Näiden välillä oleva kytkentä muuttuu ajan funktiona ja vaatii tekniikkaa, jota nimitetään liukuhilaksi (sliding mesh). Open- FOAMissa vastaava menetelmä on nimeltään AMI (Arbitrary Mesh Interface). AMIn vanhempaa versiota on kutsuttu lyhenteellä GGI (General Grid Inteface). Liukuhilalaskenta suoritetaan siis aina ajan suhteen tarkasti ja se muodostuu raskaaksi varsinkin, jos siihen halutaan tarkkuutta. Tämä edellyttää melko lyhyttä aika-askelta (pyörähdyskulmaa aika-askelta kohden) ja toisen kertaluvun aikaintegrointia. Usein joudutaan myös mallintamaan täydet 360 pyörivästä laitteesta, koska symmetriaa ei ole. Ei siis ole ihme, että vielä nykyisellä tietokoneiden teholla tämän tyyppiset tarkat laskut saattavat joskus kestää päiviä tai jopa viikkoja. Vaihtoehtona on siis käyttää pyörivää koordinaatistoa, jossa virtaus voi olla tasapainotilassa. Simuloinnin suorittaja voi tehdä geometrisen yksinkertaistuksen ja

217 8.2. VIRTAUSYHTÄLÖT PYÖRIVÄSSÄ KOORDINAATISTOSSA 216 laskea vain osaa laskenta-alueesta, mikä on kaikkein yksinkertaisin ja samalla turvallisin tapa. Toiseksi mahdollisuudeksi jää kvasistaattinen laskenta, jossa pyörivän ja paikallaan olevan laskentahilan välillä käytetään jotain approksimatiivista reunaehtoa. Tätä tapaa on sovellettu yleisesti käytännön tehtävissä, mutta on tärkeää tiedostaa, että tulos ei ole aina fysikaalisesti mielekäs. Kun siirrytään kokonaan ajasta riippuvaan laskentaan, kvasistaattisella simuloinnilla kannattaa edelleen laskea alkutilanne. Yleisesti virtausohjelmissa on käytössä kaksi approksimatiivista reunaehtoa: usean koordinaatiston käyttö (multiple reference frame, MRF) sekoitustasomalli (mixing plane model) Oikeastaan kumpaankin mallinnustapaan sisältyy sekä pyörivä että paikallaan oleva laskenta-alue ( koordinaatisto ). MRF-tekniikassa oletetaan roottori- ja staattoriosien välinen kytkentä heikoksi. Tällöin pyörivä osa koordinaatistoa ja paikallaan oleva osa yksinkertaisesti liimataan yhteen. Oletus merkitsee, että roottorin näkemä staattorin reunaehto ei oleellisesti muutu pyörimisliikkeen funktiona. Tällainen tilanne voi vallita esimerkiksi sekoitustankissa, jossa staattorin (tankin) haittalevyt ovat niin kaukana sekoittimesta, ettei virtaustilanne staattoripuolella oleellisesti riipu sekoittimen kehän suuntaisesta asennosta. Sekoitustasotekniikka on suunniteltu tapauksille, joissa laskentahilan eri osien välillä reunaehto muuttuu merkittävästi. Esimerkiksi turbokoneiden roottorin ja siivellisen staattorin siipien välimatka voi olla niin lyhyt, että reunaehto muuttuu jaksollisesti ja hyvin nopeasti. Jotta tällainen tilanne voitaisiin edes approksimatiivisesti laskea on tehtävä reunaehtojen osalta virtaussuureiden keskiarvottaminen kehän suunnassa. Tätä menetelmää on joskus paranneltu siten, että keskiarvottamisessa syntyvät näennäiset leikkausjännitykset mallinnetaan. Koska virtaus roottorin ja staattorin välillä heilahtelee, sen keskiarvottaminen tuottaa samantyyppisiä näennäisiä leikkausjännitystermejä kuin turbulentin virtauksen Reynolds-keskiarvottaminenkin. FLUENTissa ei ole kuitenkaan malleja näille näennäisjännityksille, vaan laskennassa käytetään pelkästään keskiarvottamalla saatuja reunaehtoja. 8.2 Virtausyhtälöt pyörivässä koordinaatistossa Jotta tasapainotilaa voitaisiin laskea, tarvitaan virtausyhtälöt pyörivässä koordinaatistossa. Ajan suhteen tarkassa liukuhilalaskennassa voitaisiin periaatteessa käyttää

218 8.2. VIRTAUSYHTÄLÖT PYÖRIVÄSSÄ KOORDINAATISTOSSA 217 myös pyörivää koordinaatistoa, mutta siinä ei ole mitään järkeä. Fysiikan alkeiskurssilta muistamme, että paikallaan olevasta pyörivään koordinaatistoon tapahtuva muunnos tuottaa yhtälöihin näennäisiä voiman kaltaisia termejä, joita kutsutaan Coriolis- ja keskipakovoimiksi. On syytä korostaa, että kyseessä eivät ole todelliset voimat, vaan koordinaatistomuunnoksesta aiheutuvat termit, jotka ovat lisäksi erimuotoiset erilaisten nopeuskomponenttien valinnalla. Pyörivä koordinaatisto on kiihtyvässä liikkeessä, koska liiketila voidaan jakaa pyörimisakselia kohti suuntautuneeseen kiihtyvyyteen ja tasaiseen kiihtyvyysvektoria vasten kohtisuoraan nopeuteen. Kun yhtälöt muunnetaan pyörivään koordinaatistoon, niiden havainnollisuus katoaa ja fysiikan perusteistakin muistamme muunnoksen hankalaksi. Perusfysiikan kursseilla ei kuitenkaan tuoda esille sitä, että nopeuskomponentit voidaan lausua joko pyörivässä koordinaatistossa tai sitten paikallaan olevassa inertiaalikoordinaatistossa, vaikka koordinaatisto pyöriikin! Laskennassa kannattaa käyttää jälkimmäistä tapaa, mikä tekee asian vielä hankalammin tajuttavaksi, mutta matemaattisesti yksinkertaiseksi. Seuraavassa esitetään tähän menettelyyn yksinkertainen johdatus. Kun koordinaatisto, tai laskennassa oikeammin hila, pyörii, on sen nopeusω r, missä Ω on pyörimisvektori ja r paikkavektori. Tällöin nopeus pyörivässä koordinaatistossa ( V r ) ja paikallaan olevassa koordinaatistossa ( V ) muuntuvat seuraavasti V r = V Ω r (8.1) Liikemääräyhtälöiden vasen puoli voidaan vektorimuodossa kirjoittaa seuraavasti t (ρ V)+ (ρ V V) (8.2) Yhtälön muuttaminen karteesisten inertiaalikoordinaatiston nopeuskomponentteja käyttäen pyörivään koordinaatistoon vaatii vektori- tai tensorianalyysin hallintaa. Lopputulokseksi saadaan t (ρ V)+ (ρ V r V)+ Ω V (8.3) Yhtälöt muuntuvat vain siten, että konvektionopeus tulee korvata suhteellisella nopeudella V r ja lisäksi oikealle puolelle siirretään keskeisvoimatermi Ω V. Myös muissa yhtälöissä konvektionopeus on korvattava laskentahilan pintojen läpi oleval-

219 8.2. VIRTAUSYHTÄLÖT PYÖRIVÄSSÄ KOORDINAATISTOSSA 218 la suhteellisella nopeudella. Kokonaisuudessaan kitkattomaksi vuon osaksi saadaan ρû ρuû+n x p ˆF = A ρvû+n y p ρwû+n z p ρeû+pū (8.4) missäaon kopin seinän pinta-ala, n = n x i+n y j +n z k pinnan normaali,ūpintaa vasten kohtisuora nopeuskomponentti jaû = n V r suhteellinen pintaa vasten kohtisuora nopeus (ts. konvektionopeus). Kun laskennassa käytetään karteesisia inertiaalikoordinaatiston nopeuksia muuttujina, yhtälöt eivät muutu fysikaalisessa mielessä ollenkaan. Koordinaatiston liike näkyy konvektionopeuksissa. Itse asiassa juuri samanmuotoinen vuon lauseke saadaan, jos koordinaatisto on tasaisessa liikkeessa. Konvektionopeudet on aina korvattava hilan suhteen olevilla nopeuksilla. Tasaisessa liikkeessä ei yhtälöihin muita termejä tule, mutta kiihtyvässä liikkeessä olevassa koordinaatistossa tulee lisäksi kiihtyvyydestä lähdetermi, joka pyörimisliikkeen tapauksessa on siis Ω V. Vuon lausekkeessa kannattaa kiinnittää huomiota energiayhtälöön, josta huomataan, ettei paine energiayhtälössä ole konvektoituva suure, vain kokonaissisäenergia on sitä. Tämän vuoksi painetta kertoo absoluuttinen nopeus. Asian voisi ilmaista myös siten, että laskentahilan liike ei sinänsä tee työtä. Paine tulee energiayhtälön konvektiotermiin vain kirjoitustavan (entalpia) vuoksi (joka tietenkin yksinkertaistaa asioita). Myös nopeudet voidaan tietenkin lausua pyörivässä koordinaatistossa sijoittamalla yhtälö (8.1) yhtälöön (8.3). Tulokseksi saadaan t (ρ V r )+ (ρv rvr )+2Ω V r + Ω Ω r +ρ Ω r (8.5) t Nyt liikemääräyhtälö on paljon monimutkaisempi. Siihen on lisäksi tullut enemmän lähdetermejä. Termi 2 Ω V r voidaan identifioida Coriolis-voimaksi ja termi Ω Ω V r keskipakovoimaksi. (FLUENTin manuaalissa näiden summaa nimitetään Coriolis-voimaksi ). Lisäksi mukana on kulmanopeuden aikaderivaatta, joka FLUENTissa asetetaan nollaksi (oletetaan vakio pyörimisnopeus). Liikemääräyhtälöiden muut termit pysyvät tämän tyyppisessä koordinaatistomuunnoksessa ennallaan, ts. laskentahilan pyöriminen jäykkänä ei vaikuta kitkatermiin (ei aiheuta leikkausjännityksiä) eikä painegradienttiin. FLUENTissa käyttäjä voi valita absoluuttisten tai suhteellisten nopeuskomponenttien välillä. Tuloksissa

220 8.3. KVASISTAATTINEN LASKENTA 219 olevat erot ovat luonteeltaan numeerisia. Yleensä voisi ajatella, että oletusarvoisesti käytetään absoluuttisia nopeuksia eli sovelletaan yhtälöä (8.3). Liikemääräyhtälö on tällöin yksinkertaisempi kuin suhteellisilla nopeuksilla. Yhtälö on myös muodossa, jossa reunaehtojen antaminen on yksinkertaisinta. Yleensä reunaehdot annetaan ennen pumppua tai puhallinta. Tällöin helpoin ja tarkin tapa on käyttää karteesisia absoluuttisia nopeuksia. Jos käytetään suhteellisia nopeuksia, ohjelma muuntaa annetun reunaehtojakauman suhteelliseksi. Käyttäjän ei siis periaatteessa tarvitse välittää nopeuksien antamistavasta, mutta absoluuttiset nopeudet saattavat marginaalisesti olla tarkemmin lausuttavissa ja myös laskentatapa on robustimpi. Reunaehtojen suhteen on kuitenkin oltava tarkkana, koska jos annetaan kokonaispaine, se on aina annettava absoluuttisessa koordinaatistossa, vaikka nopeusreunaehdot annettaisiinkin suhteellisessa. Erilaiset sotkeutumismahdollisuudet puoltavat siten voimakkaasti absoluuttisten nopeuskomponenttien käyttöä aina. Lisäksi on huomattava, että tiheyspohjaisen ratkaisijan yhteydessä FLUENTissa voidaan käyttää vain absoluuttisia nopeuksia. 8.3 Kvasistaattinen laskenta Usean koordinaatiston käyttö Useamman koordinaatiston käyttö on kaikkein yksinkertaisin tapa käsitellä ajasta riippuvaa pyörivää virtausta. Ensinnäkin laskenta on tasapainotilan laskentaa, kvasistaattista, jossa laskentahilaa ei liikuteta laskennan aikana. Osa laskenta-alueesta on silti määritelty pyöriväksi ja yhtälöt lausutaan silloin pyörivässä koordinaatistossa. Koska staattoriosa hilasta on paikallaan, on joko käytettävä laskennassa absoluuttisia nopeuskomponentteja tai sitten pyörivän ja pyörimättömän vyöhykkeen välillä tehdään nopeuskomponenttien muuntaminen eri koordinaatistojen välillä. Usean koordinaatiston käyttö on sopiva approksimaatio, kun kytkentä roottorin ja staattorin välillä on heikko. Tällainen tilanne saattaa esiintyä sekoitustankissa, missä haittalevyt eivät enää vaikuta kovin paljoa tankin keskiosissa. Useamman koordinaatiston käytöllä saadaan myös luonteva alkuehto pohjustettaessa ajasta riippuvaa liukuhilalaskentaa. Ajasta riippuva tilanne saadaan nopeammin simuloiduksi, jos laskenta aloitetaan hyvästä approksimaatiosta. Kahden koordinaatiston käyttöä havainnollistetaan kuvassa 8.4, jossa on haitoilla varustettu sekoitustankki. Pyörivä sekoitin erotetaan laskennassa omaksi vyöhyk-

221 8.3. KVASISTAATTINEN LASKENTA 220 Kuva 8.4: Haitallinen sekoitustankki, jossa sovelletaan pyörivää ja paikallaan pysyvää koordinaatistoa. keekseen, jossa koordinaatisto siis pyörii. Mutta koska laskenta suoritetaan pyörivässä koordinaatistossa tasapainotilan oletuksella, hila ei liiku mihinkään laskennan aikana. Tankin seinien lähellä oleva, haitat sisältävä alue, on koordinaatistoltaan kiinteä. Vyöhykkeiden välillä oleva katkoviiva erottaa eri koordinaatistot toisistaan. Rajapinta on pyrittävä asettamaan mahdollisimman rauhalliseen kohtaan, yleensä puoleen väliin kiinteistä pinnoista. Rajapinnan on oltava muodoltaan ympyrä. Laskennassa voi olla mukana useita eri pyöriviä koordinaatistoja. Laskenta on mielekästä vain tasapainotilan laskuna, mutta FLUENTissa on myös piirre, joka sallii aikaintegroinnin suorittamisen usean koordinaatiston yhteydessä. Mitä tällainen keinotekoinen järjestelmä simuloi, jätetään käyttäjän huoleksi. Tässä yhteydessä voidaan suositella, ettei sitä käytetä koskaan. Usean koordinaatiston käyttö kvasistaattisessa simuloinnissa on erittäin yksinkertaista, jos käytetään absoluuttisia nopeuksia. Silloin ei nimittäin tarvita yhtään mitään erikoistoimenpiteitä. Laskenta voidaan suorittaa aivan samalla tavalla kuin mikä tahansa muu tasapainotilan simulointi. Jos hilaviivat ovat jatkuvia, vyöhykkeiden rajapinnalle asetetaan interior zone. Hilaviivojen ei kuitenkaan tarvitse olla jatkuvia, vuon laskentaa tältä osin selostettiin toisessa luvussa. Kuten edellä jo todettiin FLUENTissa on jostain syystä mahdollista laskea pyörivä hilavyöhyke myös käyttäen suhteellisia nopeuksia ja syy tähän ei ole oikein selvinnyt. Tällöin on tehtävä nopeuksille koordinaatistomuunnos, kun niitä käytetään reunaehtoina vyöhykkeiden välillä (kts. kuva 8.5). Pyörivän koordinaatiston origo on kohdassa x 0. Tällöin pisteen paikkavektori pyörivässä koordinaatistossa

222 8.3. KVASISTAATTINEN LASKENTA 221 Y y Z X absoluuttinen koordinaatisto x x 0 z r x liikkuva koordinaatisto Kuva 8.5: Koordinaatistojärjestelmä, kun käytetään pyörivän koordinaatiston nopeuskomponentteja. on r = x x 0. Nopeus absoluuttisessa koordinaatistossa on V = V r + Ω r + V t (8.6) missä on pyörimisliikkeen lisäksi oletettu, että hila voi olla aksiaalisessa tasaisessa liikkeessä nopeudella V t. Pyörimis- ja aksiaalinopeudet käyttäjä antaa syöttötietoina Sekoitustasomalli Sekoitustasomalli on hieman edellistä monimutkaisempi tapa käsitellä pyörivän ja pyörimättömän koordinaatiston välistä rajapintaa kvasistaattisessa laskennassa. Sitä tulee käyttää silloin, kun virtaus roottorin ja staattorin välillä muuttuu nopeasti ja tilanne on kehän suunnassa symmetrinen. Vaikka sekoitustasomalli on tavallista usean koordinaatiston käyttöä monimutkaisempi, se ei sovi kaikkiin tapauksiin. Mallia voidaan käyttää juuri turbokoneissa, joissa roottorin ja staattorin siipien väli on lyhyt ja virtaus niiltä osin sykkii korkeataajuisesti. Kuten edellä todettiin, tämä aikariippuvuus voidaan periaatteessa kuvata näennäisillä jännitystermeillä. FLUENTin manuaalin mukaan ilman näitä termejäkin monivaiheisen turbokoneen kvasistaattinen laskenta onnistuu sekoitustasomallilla kohtalaisen hyvin. Sekoitustasoa voidaan käyttää aksiaali- tai radiaaliturbokoneen yhteydessä. Laskennassa käytetään kahta vyöhykettä, joista toinen on pyörivässä koordinaatistossa ja toinen kiinteässä. Näiden välisellä rajapinnalla käytetään keskiarvottamista kehän

223 8.3. KVASISTAATTINEN LASKENTA 222 roottori staattori roottorin ulosvirtaus: p s Rθ staattorin sisäänvirtaus p 0,T 0, α x, α y, α z, k, ε sekoitustason inta rajap Kuva 8.6: Roottorin ja staattorin kytkentä sekoitustasolla. suhteen reunaehtojen lausumisessa. Ideana on korvata keskiarvoilla kehän suuntainen suureiden vaihtelu. Tällöin kumpikin vyöhyke voidaan ratkaista omana tasapainotilan laskunaan. Tapa on mielekäs, koska esimerkiksi roottorivyöhyke (kts. kuva 8.6) näkee keskimääräisessä mielessä reunaehtona alapuolella olevan keskimääräisen paineen. Sekoitustasomallin laskenta-algoritmi on seuraava: 1. lasketaan yksi iteraatiokierros roottori- ja staattorivyöhykkeille 2. keskiarvotetaan virtaussuureet kummassakin vyöhykkeessä kehän suunnassa 3. siirretään keskiarvotetut suureet toiseen asianomaiseen vyöhykkeeseen käytettäviksi reunaehtoina. Reunaehtoja ei tarvitse siirtää jokaisella iteraatiokierroksella, mikä saattaa parantaa robustisuutta ja vähentää reunaehtojen alirelaksaation tarvetta. 4. toistetaan kohdat 1-3, kunnes tasapainotila on saavutettu Koska laskenta suoritetaan ikään kuin vyöhykkeet laskettaisiin erillään, reunaehtoja ei tarvita yhtä paljon kuin on laskettavia suureita. Jos virtaussuunta on vasemmalta oikealle, kuten kuvassa 8.6, tarvitaan roottorivyöhykkeen reunalla vain yksi suure, staattinen paine. Kyseessä on siis FLUENTin paineulosvirtausehto. Muut suureet ulosvirtausreunalla ohjelma ekstrapoloi laskenta-alueesta. Alavirran suunta vaikuttaa varsin vähän ylöspäin ja kun reunaehtona käytetään keskiarvotettua painetta, voidaan olettaa tarkkuuden roottorivyöhykkeessä olevan varsin hyvä. Staattoripuolella tarvitaan neljä reunaehtoa ja lisäksi ehdot turbulenssisuureille. Tässä yhteydessä käytetään FLUENTin painesisäänvirtausehtoa. Keskiarvotetut

224 8.4. LIUKUHILA 223 suureet ovat kokonaispaine, kokonaislämpötila, virtauskulmat ja turbulenssisuureet. Jäljelle jäävän yhden reunaehdon, nopeusvektorin itseisarvon, ohjelma ekstrapoloi ylävirtaan staattorivyöhykkeen laskenta-alueesta. Koska staattorin puolella reunaehtoja on enemmän, tehty approksimaatio (keskiarvottaminen) vaikuttaa enemmän virtausratkaisun tarkkuuteen staattorissa. Kun käytetään tiheyspohjaista ratkaisijaa, voitaisiin reunaehtoja käsitellä toisinkin. Tiheyspohjainen ratkaisija osaa vuon lausekkeen avulla ottaa juuri oikean informaation reunalla olevista suureista. Tällöin olisi mahdollista myös keskiarvottaa kaikki suureet ja siirtää ne naapurivyöhykkeen reunaehdoiksi. Tulos ei todennäköisesti paljoa muuttuisi FLUENTin laskentatavasta, mutta se olisi robustimpi kääntyvän virtauksen tapauksessa. FLUENTin käsittelytapa ei näet toimi kunnolla, jos virtaussuunta kääntyy huomattavassa osassa sekoitustasoa. Jos tällaista taipumusta esiintyy, pinnan voisi ensin laskea reunaehdot kiinnitettyinä ja vasta sen jälkeen ryhtyä käyttämään sekoitustasomallia. Sekoitustasomallissa on tarpeen alirelaksoida reunaehtoja φ new = φ old +α(φ calculated φ old ) (8.7) missä α on käyttäjän antama alirelaksaatioparametri. Laskennan edistyessä voidaan alirelaksaatiota vähentää (α:n arvoa kasvattaa). Sekoitustasolla hilaviivat voivat olla myös epäjatkuvia. Taso ei välttämättä säilytä eksaktisti esimerkiksi massaa ja energia, mutta virheiden pitäisi olla pieniä edellyttäen, että laskentahila on riittävän tiheä. 8.4 Liukuhila Edellisen kohdan kvasistaattiset laskentakeinot tuottavat käytännössä erilaisia tuloksia, joista tilanteesta riippuen kumpi tahansa voi olla tarkempi. Simuloinnin suorittajan on siten pyrittävä identifioimaan tilanteet, missä niitä kannattaa soveltaa. Tulokset ovat kuitenkin aina approksimatiivisia, koska tilanne on todellisuudessa ajasta riippuva ja tarkka tulos voidaan saada vain integroimalla virtausyhtälöitä ajan suhteen. Tällöin pyörivä hilavyöhyke liikkuu ja sen asemaa päivitetään laskennan aikana. Hilaviivat vyöhykkeestä toiseen eivät säily jatkuvina, vaikka ne aluksi olisivatkin sitä. Jokaisella aika-askeleella on tehtävä pinnan jako osiin ja laskettava vuo näissä osissa erikseen, kuten luvussa esitettiin. Aika-askeleittain on myös hilan asemaa päivitettävä ja koska mallinnettu laskenta-alue loppuu nopeasti kesken

225 8.4. LIUKUHILA 224 Kuva 8.7: Liukuhilan (katkoviiva) käyttötapoja. esimerkiksi kuvan 8.7 vasemmanpuoleisessa tilanteessa, on usein käytettävä hyväksi periodisuutta. Laskentatekniikasta käytetään nimitystä liukuhila. Liukuhila voidaan asettaa kahden samanlaisen pinnan väliin. Pinnat voivat olla tasomaisia (kuva 8.7 vasemmalla) tai sylinterimäisiä (kuva 8.7 oikealla) tai kartioita. Aksiaalipuhaltimella liukuhilan pinnasta tulee tasomainen sektori (kuva 8.8). Symmetriasyistä pintaa ei aina tarvitse mallintaa kokonaisuudessaan, vaan voidaan käyttää periodisuutta. Laskennassa tulee periodisuus esille kehän suunnassa laskentavyöhykkeen kahden rajapinnan välillä, mutta myös liukuvan pinnan yhteydessä on käytettävä periodisuutta pyörähdyskulman kasvaessa. Yleensä liukuhilatekniikalla lasketaan periodista virtausta. Alkutransientin jälkeen (jota voidaan lyhentää hyvällä kvasistaattisella tuloksella) virtaussuureet kehittyvät ajan suhteen jaksollisiksi. Tällöin roottori voi tyypillisesti joutua pyörähtämään useita kierroksia. Kun kulma muuttuu, on liukuhila kuitenkin pidettävä periodisesti oikealla kohdallaan, jos ei ole mallinnettu koko 360 sektoria. Hilakoon tulee myös olla asteissa yhtä suuri kahden puolen liukuvaa pintaa. Liukuhilan yhteydessä vuon laskenta tehdään osissa. Olisi myös mahdollista suorittaa ensin suureiden pinta-aloilla painotettu interpolointi eri vyöhykkeiden välillä ja muodostaa reunaehtoina tarvittavat suureet interpoloinnin avulla. FLUENTissa käytetään ensimmäistä tapaa. Vuon laskentaa on selostettu kuvan 2.15 yhteydessä. Juuri turbokonesovelluksia varten epäjatkuvalla pinnalla voi olla kiinteä seinän alue, jolla mallinnetaan virtauskoneen siivet.

226 8.5. LASKENTASTRATEGIOITA PYÖRIVILLE VIRTAUKSILLE 225 Mallinnettava alue tasosektori hilan rajapinta Kuva 8.8: Aksiaalipuhaltimella voidaan symmetriasyistä mallintaa vain osa laskentaalueesta liukuhilaa sovellettaessa. Edellä jo todettiin laskenta-aikaa säästyvän, jos aloitetaan kvasistaattisen laskennan tuloksesta. Liukuhilalla siis lasketaan ajan suhteen jaksottaisia virtaustilanteita, joissa φ(t) = φ(t+nt), (N = 1,2,3,...) (8.8) Tässä T on periodi ja N laskentasykli. Jotta tulos olisi tyydyttävä, on laskettava useita periodeja, joissa tilanne jo toistuu jaksollisesti riittävän samanlaisena. Periodisen virtauksen syntyä voi nopeuttaa paitsi aloittamalla kvasistaattisesta tuloksesta, myös käyttämällä aluksi pitempää aika-askelta. Kun virtaus on kehittynyt jaksolliseksi, aika-askelta voidaan lyhentää. Loppuvaiheessa aika-askelta ei enää pidä muuttaa, koska aika-askeleen pituuden muutokset vaikuttavat tulokseen FLUENTin toisen kertaluvun aikaintegroinnissa. 8.5 Laskentastrategioita pyöriville virtauksille Edellä on jo tullut esille joitain pyörivien virtauksien yhteydessä esille tulevia ongelmia. Pyörivät virtaukset ovat monessa suhteessa ongelmallisia ja tässä yhteydessä ei ole mahdollisuuksia ryhtyä esimerkiksi pohtimaan pyörimisen vaikutusta turbulenssiin. Ratkaisussa esiintyy monia muitakin tavanomaisista virtauksista poikkeavia elementtejä. Turbokoneilla esiintyy suuria painegradientteja ja virtaus

227 8.5. LASKENTASTRATEGIOITA PYÖRIVILLE VIRTAUKSILLE 226 menee kasvavan paineen suuntaan. Tämä saattaa laskennan alkuvaiheessa aiheuttaa jopa virtauksen totaalisen kääntymisen. Usein laskennassakin pumppu tarvitsee käynnistyäkseen siemenvettä. On hyvä asettaa alkuarvoksi riittävän suuri nopeus. Sisääntuloreunaehtona nopeus- tai massavirtareunaehto on painereunaehtoa parempi, koska tällöin virtaus pakotetaan oikeaan suuntaan. FLUENTissa annetaan myös neuvoksi käyttää ensin pienempää pyörimisnopeutta laitteelle ja sen jälkeen kun on saavutettu järkevä tulos, kasvatetaan pyörimisnopeutta ja käytetään saavutettua tulosta alkuehtona. Vanha keino on myös pienentää alirelaksaatiokertoimia alkuvaiheessa hyvin pieniksi ja kasvattaa niitä laskennan edistyessä. FLUENTissa kehotetaan myös kokeilemaan option PRESTO! käyttöä, jolloin laskennassa käytetään limitetyn hilan kaltaista tekniikkaa. Tätä ei kuitenkaan selosteta sen tarkemmin, joten option käytössä kannattaa olla varovainen. Pyörivissä virtauksissa tulee myös vastaan jälkikäsittelyongelmia. Liukuhilatekniikassa tilanne on ajasta riippuva ja siten hankala visualisoida. Parhaiten virtauksen luonne tulee esille animaatioista. Jos käytetään kvasistaattista tekniikkaa, osa laskenta-alueesta pyörii ja osa on kiinteä. Tällöin virtaviivojen ja nopeusvektoreiden esittäminen tuo esille ristiriitaisia tilanteita. Nopeusvektoreiden osalta tilanne on kuvassa 8.9. Absoluuttisilla nopeuksilla vektorit näyttäisivät törmäävän virtauslaitteen siivistöön. Jos piirretään virtaviivat yhtä aikaa turbokoneen roottoriin ja staattoriin, on roottorivyöhykkeessä käytettävä suhteellisia nopeuksia, jotta virtaustilanne mitenkään hahmottuisi. Staattoripuolella taas olisi käytettävä kiinteän koordinaatiston nopeuksia. Tällöin rajapinnalle tulee väkisin äkillinen nykäys eri tavoin lasketuissa virtaviivoissa. Käytettäessä liukuhilatekniikkaa visualisoidaan oletusarvoisesti absoluuttisia nopeuksia, mutta tällöinkin hetkellistä tilannetta esittävissä kuvissa voi olla tarpeen käyttää suhteellisia nopeuksia. Jälkikäsittelyssä voidaan valita käytetäänkö suhteellisia vai absoluuttisia nopeuksia. Vaikka laskennassa voidaan ja kannattaa aina käyttää absoluuttisia nopeuksia, jälkikäsittelyssä myös suhteelliset nopeudet ovat usein välttämättömiä. Kokonaissuureiden, kuten kokonaispaineen ja -lämpötilan suhteen on jälkikäsittelyssä oltava tarkkana, koska niitäkin voidaan tulostaa eri tavoin. Erilaisten tulosten vertailussa voi siis tulla vastaan tilanteita, joissa tulokset näiltä osin näyttävät aivan erilaisilta, vaikka laskennassa ei sinänsä ole mitään vikaa. Kyseessä on ns. jälkikäsittelyongelma, joita tulee esille monimutkaisissa virtaustapauksissa melko usein. Usein pyörivillä virtauslaitteilla kannattaa esittää keskimääräisiä suureita, kuten painetta tai nostokorkeutta, kanavan aksiaalisuunnan funktiona. FLUENTissa on

228 8.6. MONIFAASIVIRTAUSMALLIT e e e e e e e e e e e 01 a) absoluuttiset peusvektorit no 1.81e e e e e e e e e e e 03 b) suhteelliset eusvektorit nop Kuva 8.9: Nopeusvektorit kiinteässä ja pyörivässä koordinaatistossa. mahdollista laskea kehän suuntaisia keskiarvoja tätä tarkoitusta varten. 8.6 Monifaasivirtausmallit Monifaasivirtausta voidaan mallintaa hyvin monella tavalla. Virtaus voi koostua myös useasta eri komponentista. Faasien välinen vuorovaikutus on erittäin monimutkainen ja puutteellisesti tunnettu asia. Täydellisessä monifaasivirtausmallissa on taseyhtälöt kullekin faasille ja niiden välillä massan-, liikemäärän- ja energiansiirtotermit, jotka perustuvat lähinnä mittauksiin. Useamman faasin tai komponentin vaikutus näkyy myös turbulenssissa. Vanhoissa FLUENTin versioissa ei ollut mahdollista mallintaa faaseja erillisinä, mutta uudemmissa versioissa tällaisetkin mallit ovat mukana. Erillisellä mallinnuksella tarkoitetaan tässä, että kummallekin faasille on omat täydelliset kenttäyhtälönsä. Kaksifaasivirtauksella tällaista täydellistä mallia on kutsuttu kaksinestemalliksi (two-fluid model), nykyisin yleisemmin eulerilaiseksi malliksi. Nimitys on tullut siitä, että virtauksia mallinnetaan myös yksifaasivirtauksina, joihin liitetään erillinen partikkelien kuvaus. Tätä tapaa kaupalliset ohjelmistotalot nimittävät lagrangelaiseksi. Kaksinestemallissa perusyhtälöitä on siis faasia kohden viisi (3D tilanteessa), lisäksi tulevat turbulenssiyhtälöt ja lisämallit, joilla faasit vuorovaikuttavat toisiinsa. Lisämallien osalta tarjonta niukkaa. Eräänä syynä niukkuuteen on se, että yleisiä malleja faasien väliselle vuorovaikutukselle ei oikeastaan ole, vaan ne ovat tapaus-

229 8.7. TILAVUUSMALLI 228 kohtaisia ja monimutkaisia. Viime kädessä mallit jäävät aina käyttäjän vastuulle. Uudemmissa FLUENTin versioissa monifaasivirtaus voidaan mallintaa approksimatiivisesti usealla eri tavalla. Mallinnustavat ja niistä käytetyt nimitykset eivät ole vielä vakiintuneet. Seuraavassa tarkastellaan neljää eri mallinnustapaa: Nämä ovat tilavuusmalli (volume of fluid, VOF) kavitaatiomalli seosmalli (algebrallinen nopeuseromalli, algebraic slip mixture model) eulerilainen malli Näistä tilavuusmallia ei yleensä edes pidetä monifaasivirtausmallina, vaan pikemminkin nesteen pinnan laskentakeinona. Fysikaalisesti ehkä luotettavin on tällä hetkellä seosmalli. FLUENTin seosmalli perustuu VTT Energiassa aikoinaan tehtyyn kehitystyöhön. Eulerilaisessa mallissa kummallekin faasille on omat yhtälönsä, mutta tätä kirjoitettaessa malli ei ole yleistettävissä kaikkiin kaksifaasivirtaustapauksiin. Mallien rajoitukset on otettava huomioon simulointia tehtäessä, mutta onneksi ohjelmistojen kehitys on varsin nopeaa. Tämäkin on syytä ottaa huomioon uuden tyyppistä simulointitehtävää aloitettaessa, koska pitkäaikaisessa kehitystyössä mallit saattavat käydä vanhoiksi. FLUENTin vanhemmissa versioissa kavitaatiomalli oli oma yksinkertainen kaksifaasimallinsa, mutta FLUENT 6 ohjelmasta lähtien se on ollut faasien välisen massansiirron kuvaustapa. Kavitaatiomalli voidaan yhdistää seosmalliin tai eulerilaiseen malliin. Jatkossa kavitaatiomalli kuvataan muiden varsinaisten monifaasimallien yhteydessä. 8.7 Tilavuusmalli Tilavuusmalli on kotoisin Los Alamosin laboratoriosta, jossa on tehty nesteen pintaan liittyviä simulointeja 1960-luvulta lähtien. Ensimmäisissä menetelmissä ei ollut varsinaista pintaa, vaan käytettiin nesteen mukana kulkeutuvia partikkeleita. Kuuluisa tällainen laskentatapa oli 1960-luvulla marker and cell-menetelmä (MAC), joka oli samalla myös ensimmäinen painekorjausta soveltava algoritmi, itse asiassa FLUENTinkin painekorjausmenetelmän edeltäjä. Samoilta tutkijoilta on kotoisin

230 8.7. TILAVUUSMALLI luvun alussa kehitetty tilavuusmenetelmä (Volume of fluid, VOF). Los Alamosista kotoisin olevat tuotteet erottaa tyypillisistä kirjainyhdistelmistä, joita on muitakin, kuten SOLA, TRAC jne. Tilavuusmenetelmällä voidaan löytää nesteen pinnan muoto. Tämän tyyppistä mallinnusta on kehitetty laivavirtausten laskentaan. Toinen tapa laivoilla on käyttää deformoituvan hilan tekniikkaa, jolloin nestepinta on tarkasti määritelty. Kokemuksen mukaan laivan vastus saadaan tällöin parhaassa tapauksessa riittävän tarkasti määritetyksi. Tilavuusmenetelmä on tekniikka, jolla vältytään monimutkaiselta hilan deformoitumisalgoritmilta ottamalla käyttöön suure, joka määrää minkä verran nestettä on laskentatilavuudessa. Kyseessä on yksinkertaisesti nesteen tilavuusosuus. Tällä keinolla pinta ei tule tarkaksi, vaan pinnan lähellä on laskentatilavuuksia, joiden vesiosuus on nollan ja ykkösen välillä. Koska pinta ei ole terävä, vastuksen laskemisen tarkkuudesta ei voida tätä kirjoitettaessa sanoa mitään varmaa. Tilavuusmallin tarkkuus varmasti riittää kuitenkin tilanteisiin, joissa kvalitatiivinen tieto pinnan muodosta tai pinnan muodon vaikutus muualle virtauskenttään on riittävää. Tilavuusmallin tapaisia lähestymistapoja on muitakin. Viime vuosina on tutkittu paljon esimerkiksi ns. level set -menetelmää Yhtälöt Tilavuusmallissa otetaan käyttöön uusi suure, nesteen tilavuusosuusα l. Toisena virtaavana aineena on yleensä ilma, mutta mitään esteitä ei ole kahden erilaisen nesteen rajapinnan kuvaamiseen tilavuusmallilla. Päärajoitus on, että nesteiden pitää olla laskennassa erillään. Tämän vuoksi kyseessä ei ole varsinainen kaksifaasilaskenta, vaan pintamalli. Pinnan läheisyydessä tilavuusosuudet ovat jotain nollan ja ykkösen välillä. Ongelmaksi tulee juuri pinnan leviäminen laajalle alueelle, koska numeerisessa laskennassa tapahtuu aina jonkinlaista diffuusiota pelkästään numeerisista syistä. On olemassa algoritmeja, joissa pintaa terävöitetään laskentakierroksen jälkeen siten, että kerrostenα l = 0 jaα l = 1 välillä on pääsääntöisesti yksi koppirivi, jossa nesteosuus on nollan ja ykkösen välillä. Tällainen redistribuutioalgoritmi on helppo rakentaa sellaiseksi, että laskenta-alueen massa säilyy. Manuaalista ei varmuudella selviä tehdäänkö FLUENTissa nestealueiden rajapinnan terävöittämistä, mutta todennäköisesti näin ei ole.

231 8.7. TILAVUUSMALLI 230 rajapinnan todellin en muoto rajapinnan muoto ometrisena ge rajapinnan muoto ovuttaja lu rekonstruktiona tettynä. esi vastaanottaja menet elmällä. (Jaksottain lineaar inen menetelmä) Kuva 8.10: Faasien välisen rajapinnan laskenta VOF-menetelmässä. Nesteen tilavuusosuus voidaan laskea yksinkertaisesta massataseyhtälöstä α l t + α lu i x i = 0 (8.9) Periaatteessa nesteitä voisi olla enemmän kuin kaksi. Tällöin toteutuu yhtälö n α q = 1 (8.10) q=1 Virtaavan aineen keskimääräinen tiheys voidaan laskea komponenttien tiheyksistä n ρ = α q ρ q (8.11) q=1 Muut ominaisuudet, kuten viskositeetti lasketaan samalla tavoin. Tilavuusmalli heijastuu siis virtausyhtälöihin vain aineominaisuuksien muuttumisen kautta. Turbulenssisuureet lasketaan tavanomaisista yhtälöistä ja ne jaetaan tilavuusosuuksien mukaan eri faaseille. Kaikki nämä laskentatavat ovat hyvin approksimatiivisia Interpolointitavat nestepinnan läheisyydessä Nesteosuusyhtälön ratkaiseminen on ongelma, koska rajapinnan läheisyydessä tapahtuu numeerisista syistä pinnan leviämistä eli diffuusiota. Tämän vuoksi on FLUEN- Tissa neljä erilaista ratkaisutapaa yhtälön (8.9) vuon laskentaan. Käyttäjän on tosin hyvin vaikea tietää, mikä laskentatapa on kulloinkin paras. Ainoastaan yksi laskentatapa on sovelias suoraan tasapainotilan simulointiin. Muilla kolmella on suoritettava aikaintegrointi ja haettava tasapainotilan pinnan muoto aikaintegroinnin avulla. Ratkaisutavat ovat

232 8.7. TILAVUUSMALLI 231 geometrinen rekonstruktio -menetelmä luovuttaja-vastaanottaja -menetelmä (donor-acceptor scheme) Eulerin eksplisiittinen menetelmä Eulerin implisiittinen menetelmä Näistä kahta ensimmäistä havainnollistetaan kuvassa Geometrisessa rekonstruktiossa todellinen nestepinta korvataan paloittain lineaarisella jakaumalla. Koodissa ei tietenkään ole todellista pintaa, vaan nesteosuuksien arvot ja derivaatat, joiden avulla konstruktio tehdään. Seuraavaksi lasketaan vuotα l ū pinnan läpi ja näistä vuobalanssi. Yksityiskohtia ei selosteta manuaalissa eikä myöskään aikaintegrointitapaa. Ilmeisesti se on eksplisiittinen Eulerin menetelmä, koska tasapainotilaa ei voida laskea suoraan. Manuaalin perusteella on myös mahdotonta sanoa tehdäänkö liikemääräyhtälön vuoarvojen laskennassa sama rekonstruktio vai perustuuko liikemääräyhtälön ratkaisu keskimääräisiin tiheyksiin. Luovuttaja-vastaanottaja -menetelmässä virtaa joko nestettä tai ilmaa (vaihtoehtoisesti toista nestettä). Tässä menettelyssä kopit, jotka sisältävät sekä nestettä että ilmaa, toimivat jommankumman faasin luovuttajina ja vastaanottajina. Tällä tavoin saadaan numeerinen diffuusio minimoiduksi mahdollisesti muun tarkkuuden kustannuksella. Kun jokin koppi luovuttaa nestettä tietyn määrän, sama määrä asetetaan vastaanottajapuolelle. Faasien rajapinnan orientaatio vaikuttaa kumpaa ainetta rajapinnan läpi virtaa (kts. kuva 8.10). Eulerin eksplisiittisessä menetelmässä käytetään seuraavaa diskretointia V αn+1 l t α n l + pinnat A f ū n fα n lf = 0 (8.12) Laskenta on siis eksplisiittinen. Nesteosuuksien interpoloinnissa käytetään FLUEN- Tin normaaleja menettelytapoja. Tämä laskenta eroaa edellisistä kahdesta tavasta siis ainakin suureenαlf n interpoloinnin suhteen, mutta itse aikaintegrointitapa on ilmeisesti sama. Jos käytetään tavanomaista interpolointimenettelyä, ei liikemääräyhtälöiden laskentatapa poikkea normaalista muuta kuin tiheyden ja aineominaisuuksien laskennan osalta. Kuten edellä todettiin, manuaalista ei varmasti selviä vaikuttavatko geometrinen rekonstruktio- tai luovuttaja-vastaanottaja -menetelmä myös liikemääräyhtälöön.

233 8.7. TILAVUUSMALLI 232 Neljäs laskentatapa on muuten sama kuin edellinen, mutta nyt konvektiotermi yhtälössä (8.12) lausutaan uuden ajan hetken arvoilla. Tällöin voidaan laskea myös suoraan tasapainotilaa Tilavuusmallin käytöstä VOF-menetelmän käyttö on ilmeisen hankalaa ja konvergenssivaikeuksia esiintyy. Jo mallin asettaminen FLUENTissa sisältää monia vaiheita, joita ei voida tässä yhteydessä käydä läpi. Malliin voidaan asettaa myös pintajännityksen ja seinän adheesion vaikutus, joita ei edellä käsitelty. Ongelma, joka sisältää esimerkiksi pintajännityksen vaikutuksen, on liian monimutkainen suoraan ratkaistavaksi, joten tavanomaisen käyttäjän kannattaa ensin keskittyä vain pelkän pinnan laskentaan melko yksinkertaisissa tilanteissa. Tilavuusmallilla on tätä kirjoitettaessa lukuisia fysikaalisia rajoituksia: tiheyspohjaista ratkaisua ei voida käyttää. Virtauksen on myös oltava aina kokoonpuristumatonta lämmönsiirtoa ei voida kuvata virtauksen suunnassa periodista virtausta ei voida kuvata LES ei toimi faasimuutosmalli ei toimi Useimmat rajoituksista eivät koske niitä tilanteita, joissa yleensä ollaan kiinnostuneita nesteen pinnasta. Interpolointitavoille annetaan joitain suosituksia. Suosituksena on käyttää geometrista rekonstruktiota, mutta jos hilakopit ovat hyvin vääristyneitä parempi tulos saadaan luovuttaja-vastaanottaja -menettelyllä. Muut kaksi ratkaisutapaa ovat soveliaita myös toisenlaisille laskentatilavuustyypeille. Implisiittinen integrointi soveltuu tietenkin parhaiten tasapainotilan laskentaan, mutta sisältää suuremman diffuusion kuin geometrinen rekonstruktio. Tästä voisi päätellä, ettei FLUENTissa ole aiemmin mainitun kaltaista nesteosuuksien uudelleen distribuutiota iteraatiokierrosten tai aika-askelten välillä. Käyttäjä voi monilta osin vaikuttaa nestepinnan numeriikkaan. Ohjelma asettaa aika-askeleen annetun Courantin luvun perusteella. Paineen interpolointitavassa

234 8.8. KAVITAATIOMALLI 233 kehotetaan käyttämään aina tilavuusvoimalla painotettua interpolointia, mikä stabiloi ratkaisua. Vaikka nestepinta laskettaisiin eksplisiittisesti, on taustalla oleva virtausratkaisu on aina implisiittinen. Eksplisiittisen pinnan laskennan yhteydessä suositellaan käytettäväksi PISO-algoritmia. On myös selvää, että virtausratkaisulla ja nestepinnan ratkaisulla on voimakas linkitys keskenään. Tällöin ratkaisun alirelaksaatiolla on suuri merkitys ja pinta varmasti edellyttää pienempiä alirelaksaatiokertoimien arvoja kuin normaali ratkaisu. 8.8 Kavitaatiomalli Kavitaatiomalli on hyvin samantapainen kuin tilavuusmalli, mutta kavitaatiomallissa voi tapahtua faasimuutos ja faasit voivat sekoittua keskenään. Faaseilla on kuitenkin vain yksi liikemääräyhtälö ja niillä oletetaan olevan samat nopeudet. Kavitaatiomallia voidaan pitää ehkä yksinkertaisimpana mahdollisena kaksifaasimallina, jossa massansiirto on mukana. Silloin kun faaseilla on samat nopeudet, yhtälöt muodostavat ns. homogeenisen monifaasimallin. Kavitaatiomallissa on yhtälö myös faasimuutokselle, joka periaatteessa sallii faaseille eri lämpötilat. Koska energiayhtälöä ei yleensä käytetä, varsinaisia lämpötilojakaan ei ole. Kavitaatiomallia vielä yksinkertaisemmassa kaksifaasimallissa voitaisiin olettaa ns. termodynaaminen tasapaino, jolloin faasimuutos (käytännössä höyrystymisnopeus) määräytyy siitä, että paine ei saa laskea kylläisen höyryn paineen alapuolelle. Kavitaatiomallin käytölle ovat voimassa samat rajoitukset kuin tilavuusmallille, lukuunottamatta seikkaa, että faasien välillä ei tarvitse olla rajapintaa. FLUENTin perinteinen kavitaatiomalli ja termodynaaminen tasapainomalli ovat esimerkkejä yksinkertaisista monifaasimalleista. Muitakin vaihtoehtoja on, voidaan esimerkiksi olettaa kevyemmän faasin olevan aina kylläisessä lämpötilassa. Mallien nimitykset eivät ole vakiintuneita. FLUENTin uusissa versioissa kavitaatiomallilla tarkoitetaan faasimuutoksen laskentatapaa. Seuraavassa esitetään alkuperäinen kavitaatiomalli. Kavitaatiomallissa kaasufaasin tilavuusosuudelle on oma massataseyhtälönsä. Yleisessä muodossa se voidaan kirjoittaa t (α gρ g )+ x i (α g ρ g u i ) = ṁ lg (8.13) missäṁ lg on höyrystymisnopeus. Yhtälössä (8.13) on myös oletettu faaseilla olevan

235 8.9. SEOSMALLI 234 sama nopeus. FLUENTissa käytetään tilavuusosuudelle yhtälöä t (α g)+ x i (α g u i ) = 1 ρ g (ṁ lg dρ dt ) (8.14) missädρ/dt = ρ/ t +u i ρ/ x i on tiheyden materiaaliderivaatta. Miten ja millä oletuksilla FLUENTin yhtälö saadaan yhtälöstä (8.13) jätetään harjoitustehtäväksi. FLUENTissa käytetään yksinkertaista kupladynamiikkaan perustuvaa mallia höyrystymisnopeudelle ṁ lg. Kun paine alenee paikallisesti kylläisen paineen p sat alapuolelle, höyrystymisnopeus lasketaan yhtälöstä ṁ lg = 3ρ gα g R 2(psat p) 3ρ l (8.15) missä kuplan säde on ( ) 1/3 αg R = 4 πn (8.16) 3 malli tarvitsee siis parametrina kuplien määrän tilavuusyksikköä kohden. Oletusarvona on /m 3, mikä vastaa kymmentä kuplaa litrassa. Tämän tyyppinen malli on idealisointi ja toimii vain oikein viritettynä. Joskus tarvitaan kuplamääräksi /m 3 tai ylikin, mikä vastaa jo kymmentä kuplaa kuutiomillimetriä kohden. Selvästikään n ei ole yleensä kuplien fysikaalinen määrä, vaan viritysparametri. Käyttäjä voi joutua tekemään kokeiluja oikean arvon löytämiseksi. 8.9 Seosmalli Seosmalli (algebraic slip mixture model) oli pitkään FLUENTin monipuolisin vaihtoehto kuvaamaan virtauksia, joissa eri faaseilla tai komponenteilla on eri nopeudet. Tässä mallissa ei aiemmin voinut tapahtua faasimuutoksia, mikä puolestaan rajoitti sen käyttöä. Seosmallissa voidaan käyttää vain kahta komponenttia. (Jos olomuodonmuutoksia ei ole, kyseessä on pikemmin monikomponentti- kuin monifaasimalli). Kunkin faasin k nopeus saadaan keskimääräisen nopeuden V m ja ns. drift-nopeuden V Dk avulla Massataseessa käytetään keskimääräisiä suureita V k = V m + V Dk (8.17) t (ρ m)+ x i (ρ m u m,i ) = 0 (8.18)

236 8.10. EULERILAINEN MALLI 235 Liikemääräyhtälössä eri komponenttien liikemäärät vaikuttavat vuohon, koska komponenteilla on eri nopeudet t (ρ mu m,j )+ (ρ m u m,i u m,j ) = p + ( um,i µ m + u ) m,i + x i x j x i x j x j x i Tässä tilavuusvoimia ei ole kirjoitettu näkyviin. Toiselle komponentille voidaan kirjoittaa, kun ṁ lg = 0, taseyhtälö Drift-nopeuksien avulla tämä saadaan muotoon t (α gρ g )+ x i (α g ρ g u g,i ) = 0 (8.20) t (α gρ g )+ (α g ρ g u m,i ) = (α g ρ g u Dg,i ) (8.21) x i x i Mallia varten tarvitaan drift-nopeudet. Nämä saadaan yksinkertaisista algebrallisista lausekkeista. Näissä on parametrina hiukkas- tai kuplakoko, joka käyttäjän on annettava. Parametrilla voidaan tuloksia viritellä. Seosmallin sanotaan sopivan esimerkiksi sedimentaation, syklonien ja kuplavirtausten laskentaan. Ilman massansiirtoa voidaan laskea veden ja ilman seosta, ei veden kaksifaasivirtausta. Lisäksi mallissa oletetaan, että toisen faasin tilavuusosuus on melko pieni. Malli on kriittinen drift-nopeuksien suhteen, joita ei tiedetä tarkasti. Drift-nopeudet ovat myös numeriikan kannalta hankalia ja erityisesti ratkaisun alkuvaiheessa niitä on voimakkaasti alirelaksoitava. n α k ρ k u Dk,i u Dk,j k=1 (8.19) 8.10 Eulerilainen malli Kaksifaasivirtauksen kuvaukseen voidaan johtaa RANS-yhtälöitä vastaavat ajan suhteen keskiarvotetut yhtälöt. Faasien perusyhtälöiden lisäksi malliin tulee runsaasti lisäyhtälöitä. Ensimmäinen ja ehkä tunnetuin täydellinen kaksifaasimalli oli M. Ishiin johtama (Thermo Fluid Dynamic Theory of Two-Phase Flow, Eyrolles, 1975). Mallissa on se vika, ettei sitä kokonaisuudessaan pystytä käyttämään. Kun ilmiöitä kuvataan lisäyhtälöillä, syntyy niihin uusia tuntemattomia, jotka kuvaavat faasien välistä vuorovaikutusta. Esimerkkeinä voisivat olla faasien välinen lämmönsiirto, joka kytkeytyy läheisesti massansiirtoon ja faasien välinen kitka. Mielenkiintoinen on myös faasien välisen rajapinnan kaarevuutta säätelevä termi. Lausekkeen voi myös pukea muotoon, jossa se kuvaa kuplien tai pisaroiden särkymistä ja yhteen

237 8.10. EULERILAINEN MALLI 236 liittymistä. Kaikki tämä vaatisi suunnattoman määrän kokeellista tietoa, jota ei vieläkään ole käytettävissä kuin rajoitetusti. Monifaasiefektejä on perinteisesti kuvattu myös siten, että lasketaan virtauskenttä ja asetetaan tähän kenttään partikkeleita tai pisaroita, joiden lentoradat lasketaan. Tätä tapaa on totuttu nimittämään lagrangelaiseksi. Kun kaupallisiin koodeihin alettiin kehittämään kummankin faasin kenttäyhtälöihin perustuvaa mallinnusta, ryhdyttiin sitä nimittämään eulerilaiseksi. Perinteisen nimityskäytännön mukaan myös tilavuus- ja seosmallit olisivat eulerilaisia, mutta yleensä se ohjelmistoalalla tarkoittaa kummankin faasin mallinnusta, tapaa, jota Ishii nimitti kaksinestemalliksi (two-fluid model). Eulerilainen kaksifaasimallinnus on hankalaa eikä sitä tässä yhteydessä voida suositella kuin alan eksperteille. Ainakin FLUENTissa malli on vielä rajoittunut, mutta kehittyy koko ajan monipuolisemmaksi. Ja tällöin tarvitaan yhä enemmän fysikaalista tietoa mallin sulkeutumiseen. Käyttäjän on tällöin tarkasti tutkittava, millä oletuksilla ohjelma laskee. Jo nykyisin FLUENTissa on mahdollista valita useita erilaisia turbulenssin kuvaustapoja. Kuitenkaan mitään yleistä kaksi- tai monifaasiilmiöiden kuvaamiseen tarkoitettua mallia ei ole olemassa. Vastuu siis jää käyttäjälle ja erityisesti tämä koskee faasien välisten vuorovaikutustermien mallinnusta.

238 8.11. KERTAUS Kertaus virtauslaskennan mallinnus voidaan jakaa lisäyhtälöillä kuvattavaan fysiikkaan sekä perusvirtausyhtälöiden ratkaisutekniikkaan ja reunaehtoihin perustuviin malleihin pyörimisliike vaikuttaa sekä fysiikkaan (turbulenssi) että yhtälöiden ratkaisuun (pyörivä koordinaatisto tai liukuhila) myös vapaa nestepinta vaikuttaa turbulenssiin pyörivä virtaus on aina tavallaan epätasapainotilassa. Pyörivässä koordinaatistossa voi esiintyä myös tasapainotilan ratkaisu. pyörivien virtausten laskenta voidaan jakaa ajan suhteen tarkkaan ja tasapainotilan laskentaan tasapainotilan laskenta voi olla staattista tai kvasistaattista FLUENTin kvasistaattiset laskentatavat ovat usean koordinaatiston käyttö ja sekoitustasomalli liikkuvassa koordinaatissa yhtälöt voidaan lausua joko koordinaatiston nopeuskomponenttien tai inertiaalikoordinaatiston nopeuskomponenttien avulla inertiaalikoordinaatiston nopeuskomponenttien avulla lausuttuun yhtälöön tulee keskeisvoima, liikkuvan koordinaatiston nopeuskomponenttien yhteydessä saadaan keskipako- ja Coriolisvoimat usean koordinaatiston avulla voidaan mallintaa pyörivä roottori ja paikallaan oleva staattori sekoitustasomallia tulee käyttää silloin, kun virtaustilanne muuttuu huomattavasti pyörivän ja pyörimättömän koordinaatiston välissä ajan suhteen tarkassa liukuhilamallissa päivitetään pyörivän osan asemaa laskennan kuluessa

239 8.11. KERTAUS 238 pyörivien virtausten laskenta on fysikaalisessa mielessä vaikeaa, koska pyörimisliike vaikuttaa mm. turbulenssiin animaatiot ovat hyvä visualisointikeino. Ongelmia saattaa tulla erilaisista koordinaatistoista jälkikäsittelyssä absoluuttiset ja suhteelliset nopeudet vaikuttavat myös kokonaispaineen ja lämpötilan laskentaan monifaasivirtausmalleissa on virtausyhtälöt kaikille faaseille tilavuusmalli (VOF) ja level set-menetelmä ovat nesteen pinnan laskentatapoja, joissa hila ei deformoidu tilavuusmallissa on neljä erilaista laskentatapaa pinnan läheisyydessä tapahtuvan numeerisen leviämisen pienentämiseksi kavitaatiomallissa faasit voivat sekoittua keskenään, mutta niillä on sama nopeus kavitaatiomallin kuplien lukumäärä on viritysparametri seosmallissa ei voida laskea faasimuutosta, joten se on lähinnä monikomponenttimalli seosmallilla ongelmana on drift-nopeuksien laskenta Useissa ohjelmissa on myös ns. eulerilainen malli, joka vastaa Ishiin kaksinestemallia tällä hetkellä faasimuutos on yksinkertaistettu ja mallin ominaisuudet rajoitetut turbulenssin kuvaus on ongelmallista monifaasivirtauksella lagrangelaisessa monifaasivirtausmallissa massaosuudeltaan pienempi faasi ei vaikuta itse virtaukseen ja partikkelit tai pisarat kulkeutuvat virtauksen mukana varsinainen kaksifaasimallinnus ( eulerilainen ) vaatii suuren määrän fysikaalista tietoa korrelaatioiden yms. muodossa Päivitetty

240 239 9 Simulointitehtävän asettaminen 9.1 Simulointitehtävä Simulointitehtävissä on tietty määrä samantyyppisiä vaiheita. Virtauslaskennan yhteydessä näissä vaiheissa on luonnollisesti jossain määrin eroja virtaustyypin mukaan. On hyödyksi identifioida simulointitehtävän vaiheet, vaikka ne yleensä menevätkin käytännön työssä sekaisin: Ideointivaihe ei suinkaan tule valmiiksi tehtävää aloitettaessa, vaan ensimmäiset laskelmat saattavat muuttaa tilannetta huomattavastikin ja koko suunnitelma menee uusiksi. On myös syytä pitää mielessä, mitä tietokone oikein tekee: valtavan suuren määrän peruslaskentaoperaatioita ja lopputuloksen pitäisi olla tietyn tyyppisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden likimääräinen ratkaisu. Simulointi ei sisällä mitään älyä sen enempää kuin tehtävän asettelija on koneelle kertonut. Tämä seikka helposti unohtuu käytettäessä valmis-ohjelmia, joista on kehittynyt tavaramerkkejä ja joista ainakin osa pyrkii markkinoinnissaan painottamaan helppokäyttöisyyttä. Virtauksen yhteydessä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä yleensä joudutaan mallintamaan, joten tuloksessa on numeeristen approksimaatioiden lisäksi fysikaalisia approksimaatioita. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun asettamisessa on seuraavat vaiheet: 1. on määriteltävä tietty pistejoukko, jota käytetään approksimoitaessa numeerisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Tämä pätee kaikkiin ratkaisumenetelmiin. FLUENTissa ja useimmissa kaupallisissa koodeissa käytetään kontrollitilavuusmenetelmää, jossa pistejoukosta muodostetaan tasealueita ( kontrollitilavuuksia ). 2. on asetettava reunaehdot. Reunaehdot ovat osittain luonteeltaan fysikaalisia, osittain numeerisia. Tämä aiheutuu siitä, että reunaehdot on asetettava fysikaalisesti oikein. Koska ehtoja tarvitaan numeerisista syistä kaikilla reunoilla yhtä paljon kuin ratkaistavien yhtälöiden määrä, osa ehdoista on luonteel-

241 9.1. SIMULOINTITEHTÄVÄ 240 taan numeerisia. Fysikaalisia ehtoja ei voida asettaa liikaa, koska tilanne tulisi ylispesifioiduksi. Tasapainotilassa ei siis voida esimerkiksi asettaa toisistaan riippumattomia arvoja sisään- ja ulostulomassavirralle. 3. on asetettava virtaavan aineen ominaisuudet kuten tiheys, viskositeetti jne. Monimutkaisissa tilanteissa virtaukseen liittyy fysiikkaa, joka on mallinnettava. 4. lopuksi on asetettava simulointia säätelevät parametrit. Eri tilanteet vaativat konvergoituakseen erilaisia parametriasetuksia ja viime kädessä vain laskemalla on mahdollista saada tuntuma sopivista parametrien arvoista. Manuaaleissa voidaan antaa vain suuruusluokka-arvioita ja suosituksia, joista lähdetään liikkeelle. Kolmannen vaiheen jälkeen on saatu koottua epälineaarinen yhtälöryhmä, joka on ratkaistava. Ratkaisuun liittyvät parametrit annetaan neljännessä vaiheessa. Ratkaisun tuloksena saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälöille approksimatiivinen ratkaisu määritellyissä pisteissä. Virtaussimulointi on siis oikeastaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemista ja koostuu yllä olevista tehtävistä. Tehtäväasettelua kuvattiin jo aiemmin ensimmäisessä luvussa, mutta otetaan työvaiheet vielä lyhyesti esille (Shaw n mukaan): Alussa tehtävä ideointi. On ehdottoman tärkeää ensin miettiä tilannetta paperin ja kynän kanssa. Käytännön laskentatehtävät ovat yleensä työläitä ja pitkiä. Koska tehtävät ovat yleensä vaativia ei kannata syöksyä koneen pariin, vaan aloittaa kartoittamalla tilanteeseen liittyvä fysiikka, geometrian vaatimukset jne. Tässä vaiheessa hahmotellaan geometriaa, yksinkertaistetaan sitä, pohditaan alustavasti reunaehtoja jne. Ja kuten aikaisemmin on todettu, lasketaan tilanteeseen liittyvät tärkeimmät dimensiottomat luvut. Hilangenerointi on yleensä vielä nykyisin aikaa vievin vaihe. Tämänkin vaiheen perusteet mietitään etukäteen. On silti muistettava, että vasta ratkaisun jälkeen on tiedossa ensimmäisen kopiny + -arvot, joten hyvin usein hilaa joudutaan korjaamaan. Virtaustilanteen määrittely. Tässä vaiheessa asetetaan täsmällisesti reuna- ja alkuehdot sekä aineominaisuudet.

242 9.1. SIMULOINTITEHTÄVÄ 241 Numeerinen ratkaisu saattaa viedä aikaa viikkoja. Perussyy pitkään laskentaaikaan on se, että tietokoneiden kapasiteetin kasvaessa halutaan laskea monimutkaisempia tilanteita paremmalla resoluutiolla. Hyvin usein tulee konvergenssivaikeuksia ja laskentavaihe venyy. Siksi on hyvä tehdä samanaikaisesti myös muita simulointitehtävän vaiheita, kuten alustavaa tulosten analysointia. Tulosten analyysi on periaatteessa viimeinen vaihe, mutta kuten edellä todettiin, laskennan kuluessa tilanteen kehittymistä on syytä seurata päivittäin. aloitus ongelman alkutarkastelu virtaustilanteen määrittely virhe? hilan generointi virtauksen määritte ly (reunaehdot) huono laskenta hila virtaustilanne ei ole määritetty oikein? numeerisen ratkaisu n laskenta laskentatulosten analysointi tulokset eivät ole kunnossa lopetus Kuva 9.1: Virtaussimulointitehtävän kulku. Ihanteellisessa tilanteessa voisimme kuvitella tehtävän suorittamisen etenevän kronologisesti vaiheittain. Käytännössä joudutaan tekemään erilaisia tarkistuksia ja palaamaan edellisiin vaiheisiin. Prosessia havainnollistetaan kuvassa 9.1. Etenemällä kuvan osoittamalla tavalla, tehdään tarkistuksia, jotka muodostavat eräänlaisen laatujärjestelmän. Vaikka kuvassa ei olekaan tarkastuspisteitä hilangenerointivaiheen jälkeen, on sellainenkin syytä tehdä. Tätä tarkoitusta varten hilangenerointivaiheesta saadaan informaatiota eri muodoissa. Joskus hilan tarkistaminen tai ainakin osa siitä tapahtuu ratkaisuvaiheen initialisoinnissa. Mikäli hilaa koskevissa

243 9.2. HARJOITUSHÄVITTÄJÄN YLÖSVETOTILANNE 242 tunnusluvuissa näkyy jotain epäilyttävää, on palattava takaisinpäin jo ennen varsinaisen laskennan aloittamista. Suurin osa ongelmista paljastuu vasta tuloksia analysoitaessa, jolloin on tehtävä kuvan 9.1 tarkastusketju. Monet virheet näkyvät jo konvergoitumattomissa tuloksissa, minkä vuoksi laskennan tiivis seuraaminen säästää usein paljon turhaa laskentaaikaa. Seuraavaksi käydään lyhyesti läpi muutama simulointitehtävä. Laskuja ei ole tehty FLUENTilla eikä edellä esitettyjä työvaiheita selosteta tarkasti. Mahdollisuuksien mukaan tutkitaan, miten tehtäväasettelu tapahtuisi FLUENT-ympäristössä. 9.2 Harjoitushävittäjän ylösvetotilanne Tehtävän tarkoituksena on selvittää BAe Hawk Mk 51 suihkuharjoituskoneen rakenteisiin kohdistuvat aerodynaamiset kuormat lentotiloissa, joissa kone on ns. ylösvetotilanteessa. Tyypillisesti tällaisia tilanteita esiintyy ilmataisteluharjoituksen alkaessa, kun ohjaaja havaitsee viholliskoneen ja kaartaa sen perään. Laskennallisesti on tarkoitus määrittää pintoihin vaikuttavat voimat, ts. paine- ja kitkavoimat. (x 1, y 1 ) (x 0, y 0 ) R α q V 8 α (x cg, y cg ) Kuva 9.2: Ylösvetotilanteessa oleva lentokone voidaan analysoida laittamalla laskentahila pyörimisliikkeeseen.

244 9.2. HARJOITUSHÄVITTÄJÄN YLÖSVETOTILANNE 243 Ylösvedossa koneen lentorata on kaareva (kts. kuva 9.2). Koneeseen kohdistuu tällöin keskeiskiihtyvyys, jonka suuruus on a = v2 (9.1) R missä R on kaarevuussäde. Yleensä aerodynamiikassa käytetään ns. tuulitunnelikoordinaatistoa, jossa kone, ts. laskentahila, on paikallaan ja reunaehtona annetaan vapaan virtauksen nopeus. Ylösvetotilanteessa ei tätä laskentatapaa voida käyttää kiihtyvän liikkeen vuoksi. Simulointi voidaan tehdä asettamalla laskentahila pyörimään. Koneen kohtauskulma otetaan huomioon siirtämällä kaarevuussäteen keskipistettä pystysuorasta hieman eteenpäin kuvan 9.2 osoittamalla tavalla. FLUENTissakin laskenta onnistuu tällä tavoin. Tapauksessa käytetään siis pyörivää hilaa ja karteesisia nopeuskomponentteja. Virtaustilanteessa Machin luku on hieman alle yhden ja Reynoldsin luku luokkaare O(10 7 ). Tilanteeseen sopii siis FLUENTin tiheyspohjainen ratkaisu. Koska kyseessä on rajakerrostyyppinen virtaus, käytetään mieluiten pienen Reynoldsin luvun mallia. Myös FLUENTin kaksikerros -mallia voidaan periaatteessa käyttää. Eräs ongelma, jota ei aina tiedosteta, on rajakerroksen transitio laminaarista turbulenttiin virtaukseen. Nyt Reynoldsin luku on niin suuri, että transitio tapahtuu lähellä siiven johtoreunaa. Yleinen käytäntö on tällöin laskea siipi kokonaan turbulenttina. Kuva 9.3: Lentokoneen pinta alkuperäisessä IGES-formaatissa (vasemmalla) ja laskentaa varten tehty pintahila (oikealla). Aerodynamiikassa tarkkuusvaatimus on hyvin suuri ja yleensä pyritään käyttämään rakenteellista hilaa rajakerrosten vuoksi. Toisena mahdollisuutena on raja-

Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla. Timo Siikonen

Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla. Timo Siikonen Virtauslaskentaan liittyvä tutkimus TKK:n koneosastolla Timo Siikonen Sisältö Vähän TKK:n CFD ryhmästä Rooli koulutuksessa Tieteellinen ja muu toiminta Osallistuminen alan kansallisen osaamisen ylläpitoon

Lisätiedot

Teknillinen Korkeakoulu CFD-ryhma/ Sovelletun termodynamiikan laboratorio MUISTIO No CFD/TERMO-8-96 pvm 15 tammikuuta, 1997 OTSIKKO IFRF polttokammion laskenta k ; turbulenssimallilla, case 11 LAATIJA(T)

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

Hakemisto. Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt

Hakemisto. Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt 303 Hakemisto Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt L 2 -normi, 133 Adapt, 30 All-Zones, 132 Body Force Weighted, 125 Boundary Conditions, 72, 180 Compute From, 132 Controls, 124 Coupled, 182 Database, 186

Lisätiedot

CFD:n KEHITTÄMISTARPEET JA KEHITTÄMISMAHDOLLISUUDET VTT:n NÄKEMYKSIÄ. Lars Kjäldman CFD kehitysseminaari 29.3.2007

CFD:n KEHITTÄMISTARPEET JA KEHITTÄMISMAHDOLLISUUDET VTT:n NÄKEMYKSIÄ. Lars Kjäldman CFD kehitysseminaari 29.3.2007 CFD:n KEHITTÄMISTARPEET JA KEHITTÄMISMAHDOLLISUUDET VTT:n NÄKEMYKSIÄ Lars Kjäldman CFD kehitysseminaari 29.3.2007 2 VTT TECHNICAL RESEARCH CENTRE OF FINLAND VTT:n näkemyksiä CFD:stä ESITYKSEN SISÄLTÖ t

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

6 Turbulentin virtauksen laskenta

6 Turbulentin virtauksen laskenta 154 6 Turbulentin virtauksen laskenta 6.1 Turbulentti virtaus Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä

Lisätiedot

7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi

7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 191 7 Lämmönsiirron laskenta ja yhtälöiden parametrisointi 7.1 Energiayhtälö ja energiataseet Energiayhtälö (3.10) sisältää mahdollisuuden laskea monifaasivirtausta, koska mukana on faasien diffuusiosta

Lisätiedot

2 Laskentahilan laatiminen

2 Laskentahilan laatiminen 35 2 Laskentahilan laatiminen 2.1 Tarve Kaikessa numeerisessa simuloinnissa lähtökohtana on pukea tehtävä tietokoneen ymmärtämään muotoon. Tietokone ymmärtää vain lukuja ja ratkottaessa Navier- Stokes

Lisätiedot

Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007. teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet

Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007. teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet Virtaussimulaatioseminaari 29.3.2007 teollisuuden puheenvuorot: virtaussimulaatiot, merkitys ja kehitystarpeet T. Toppila (FNS) Espoo Dipoli 29.3.2007 29.3.2007 1 FNS CFD virtaussimuloinnit, taustaa :

Lisätiedot

Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut (RaKa-Stab vaihe 2, 44000 )

Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut (RaKa-Stab vaihe 2, 44000 ) Rajoitetun kantaman ja pitkän kantaman luotien kehitys ja stabiliteettitarkastelut ( vaihe 2, 44000 ) Arttu Laaksonen Timo Sailaranta Aalto-yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Raka-Stab Sisällysluettelo

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Energia BH10A0200 Energiatekniikan kandidaatintyö ja seminaari KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING

Lisätiedot

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus 212 8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus Virtauslaskentaohjelmissa on virtausta kuvaaviin yhtälöihin linkitetty paljon erilaisia malleja. Nämä voidaan jakaa monellakin tavalla. Eräs epämääräinen jakotapa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta. Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Mikko Marsch Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin

Lisätiedot

Kannattaa opetella parametrimuuttujan käyttö muidenkin suureiden vaihtelemiseen.

Kannattaa opetella parametrimuuttujan käyttö muidenkin suureiden vaihtelemiseen. 25 Mikäli tehtävässä piti määrittää R3:lle sellainen arvo, että siinä kuluva teho saavuttaa maksimiarvon, pitäisi variointirajoja muuttaa ( ja ehkä tarkentaa useampaankin kertaan ) siten, että R3:ssä kulkeva

Lisätiedot

JÄÄHDYTYSPALKIN VIRTAUSTEN MALLINNUS AIKARIIPPUVALLA LES-MENETELMÄLLÄ

JÄÄHDYTYSPALKIN VIRTAUSTEN MALLINNUS AIKARIIPPUVALLA LES-MENETELMÄLLÄ Sisäilmastoseminaari 2015 1 JÄÄHDYTYSPALKIN VIRTAUSTEN MALLINNUS AIKARIIPPUVALLA LES-MENETELMÄLLÄ Hannu Koskela 1, Pekka Saarinen 1, Henning Freitag 2, Panu Mustakallio 3 1 Työterveyslaitos, Turku 2 Institute

Lisätiedot

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN-00076 Aalto Finland 1 Sisällys

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio S-38.145 Liikenneteorian perusteet (2 ov) Kevät 2003 Aleksi Penttinen & Eeva Nyberg Tietoverkkolaboratorio Teknillinen korkeakoulu http://www.netlab.hut.fi/opetus/s38145/

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Teknisen laskennan palvelut

Teknisen laskennan palvelut Teknisen laskennan palvelut www.elomatic.com Esitteen kannessa on esitetty tuulikuorman vaikutus rakennukseen. Teknistä laskentaa voidaan hyödyntää esimerkiksi rakennussuunnittelun alkuvaiheessa ja kaupungin

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Kukin kurssi voi sisältyä vain yhteen alemman tai ylemmän perustutkinnon moduuliin.

Kukin kurssi voi sisältyä vain yhteen alemman tai ylemmän perustutkinnon moduuliin. Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Johanna Bovellán/6.3.2009 LPM-listojen (tfm:n lista kn 24.2., tdk 10.3.) perusteella tehdyt muutokset moduuleihin on merkitty viivaamalla yli vanhat

Lisätiedot

MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA

MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA Janne Koponen 1, Tomi Huttunen 1, Tanja Tarvainen 1,2 ja Jari P. Kaipio 1,3 1 Sovelletun fysiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto PL 1627, 70211

Lisätiedot

Tomi Huttunen Kuava Oy Kuopio 17.11.2011

Tomi Huttunen Kuava Oy Kuopio 17.11.2011 Mallinnuksella apua melunhallintaan Tomi Huttunen Kuava Oy Kuopio 17.11.2011 Sisältö Kuava Oy Mallintaminen ja simulointi Akustiikan ja melun simulointi Esimerkkejä: Meluemissio Virtausmelu Uusia simulointityökaluja

Lisätiedot

Pyörivän sähkökoneen jäähdytys

Pyörivän sähkökoneen jäähdytys Pyörivän sähkökoneen jäähdytys Sallittu lämpenemä määrää koneen tehon (nimellispiste) ämmön- ja aineensiirto sähkökoneessa on huomattavasti monimutkaisempi ja vaikeammin hallittava tehtävä koneen magneettipiirin

Lisätiedot

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18 Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18 Sisältö Tutkimusmenetelmät: Laskennallinen materiaalitutkimus teoreettisen kemian menetelmillä Esimerkki

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

3. Bernoullin yhtälön käyttö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

3. Bernoullin yhtälön käyttö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 3. Bernoullin yhtälön käyttö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mitä Bernoullin yhtälö tarkoittaa ja miten sitä voidaan käyttää virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: virtausnopeuden

Lisätiedot

Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE

Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE Ene-58.4139 LVI-tekniikan mittaukset ILMAN TILAVUUSVIRRAN MITTAUS TYÖOHJE Aalto yliopisto LVI-tekniikka 2013 SISÄLLYSLUETTELO TILAVUUSVIRRAN MITTAUS...2 1 HARJOITUSTYÖN TAVOITTEET...2 2 MITTAUSJÄRJESTELY

Lisätiedot

SISÄILMAN LAADUN PARANTAMINEN KÄYTTÄMÄLLÄ SIIRTOILMAA Uusia ratkaisuja

SISÄILMAN LAADUN PARANTAMINEN KÄYTTÄMÄLLÄ SIIRTOILMAA Uusia ratkaisuja SISÄILMAN LAADUN PARANTAMINEN KÄYTTÄMÄLLÄ SIIRTOILMAA Uusia ratkaisuja Timo Kalema, Ari-Pekka Lassila ja Maxime Viot Tampereen teknillinen yliopisto Kone- ja tuotantotekniikan laitos Tutkimus RYM-SHOK

Lisätiedot

PROSESSISUUNNITTELUN SEMINAARI. Luento 5.3.2012 3. vaihe

PROSESSISUUNNITTELUN SEMINAARI. Luento 5.3.2012 3. vaihe PROSESSISUUNNITTELUN SEMINAARI Luento 5.3.2012 3. vaihe 1 3. Vaihe Sanallinen prosessikuvaus Taselaskenta Lopullinen virtauskaavio 2 Sanallinen prosessikuvaus Prosessikuvaus on kirjallinen kuvaus prosessin

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

WAKE-profiilin kehittelyä

WAKE-profiilin kehittelyä Erkki Haapanen Sivu 1/22 4.2.2011 WAKE-profiilin kehittelyä Alkuprofiilina käytetään Bob Whiten profiilin BW22 koordinaatteja, jotka Tapio Linkosalo on ystävällisesti antanut käyttööni. Profiilin koordinaatteja

Lisätiedot

EPÄJATKUVA GALERKININ MENETELMÄ ELASTISELLE AALTOYH- TÄLÖLLE 1 JOHDANTO 2 ELASTINEN AALTOYHTÄLÖ (3D) Timo Lähivaara a,*, Tomi Huttunen a,b

EPÄJATKUVA GALERKININ MENETELMÄ ELASTISELLE AALTOYH- TÄLÖLLE 1 JOHDANTO 2 ELASTINEN AALTOYHTÄLÖ (3D) Timo Lähivaara a,*, Tomi Huttunen a,b EPÄJATKUVA GALERKININ MENETELMÄ ELASTISELLE AALTOYH- TÄLÖLLE Timo Lähivaara a,*, Tomi Huttunen a,b a Kuopion yliopisto, Fysiikan laitos, PL 1627, 70211 Kuopio b Kuava Oy, PL 1188, 70211 Kuopio * timo.lahivaara@uku.fi

Lisätiedot

Luento 16: Fluidien mekaniikka

Luento 16: Fluidien mekaniikka Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE

LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE Sivu 1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Konetekniikan osasto 22.10.2006 LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE 1. OHJEEN TARKOITUS Ohjeen tarkoituksena on antaa jatko

Lisätiedot

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Fysiikan kurssit MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Valtakunnalliset kurssit 1. Fysiikka luonnontieteenä 2. Lämpö 3. Sähkö 4. Voima ja liike 5. Jaksollinen liike ja aallot 6. Sähkömagnetismi

Lisätiedot

Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009

Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009 Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009 2009-01-12 Yleistä Luennot Luennoija hannu.p.parviainen@helsinki.fi Aikataulu Observatoriolla Maanantaisin 10.00-12.00 Ohjattua harjoittelua maanantaisin 9.00-10.00

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulivoimalatyypeistä: Miksi vaaka-akselinen, miksi kolme lapaa? Aerodynamiikkaa: Tuulivoimalan roottorin lapasuunnittelun

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

DEE-53030 Uusiutuvien energiamuotojen työkurssi. 5 op

DEE-53030 Uusiutuvien energiamuotojen työkurssi. 5 op DEE-53030 Uusiutuvien energiamuotojen työkurssi 5 op DEE-53030 Uusiutuvien energiamuotojen työkurssi Idea: Mittaillaan asioita, joita tarkastellaan teoreettisesti Uusiutuvien sähköenergiateknologioiden

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Hydrologia. Pohjaveden esiintyminen ja käyttö

Hydrologia. Pohjaveden esiintyminen ja käyttö Hydrologia Timo Huttula L8 Pohjavedet Pohjaveden esiintyminen ja käyttö Pohjavettä n. 60 % mannerten vesistä. 50% matalaa (syvyys < 800 m) ja loput yli 800 m syvyydessä Suomessa pohjavesivarat noin 50

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS 1 PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS Aki Sorsa 2 SISÄLTÖ YLEISTÄ Mitattavuus ja mittaus käsitteinä Mittauksen vaiheet Mittaustarkkuudesta SUUREIDEN MITTAUSMENETELMIÄ Mittalaitteen osat Lämpötilan

Lisätiedot

Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa. 20.01.2010 Heinikainen Olli

Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa. 20.01.2010 Heinikainen Olli Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa 20.01.2010 Heinikainen Olli Esityksen sisältö Yleistä Olemassa olevat sovellukset Kineettisen energian palauttaminen Potentiaalienergian palauttaminen

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

Risto Pelin Microsoft Project 2002 projekti- ja yritystason järjestelmänä

Risto Pelin Microsoft Project 2002 projekti- ja yritystason järjestelmänä Risto Pelin Microsoft Project 2002 projekti- ja yritystason järjestelmänä PROJEKTIJOHTAMINEN OY RISTO PELIN 3 Sisällysluettelo ESIPUHE 7 OSA I PROJEKTIN HALLINTA PROJEKTITASOLLA 1 JOHDANTO 11 1.1 Projektiohjelmien

Lisätiedot

PYP I / TEEMA 8 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS

PYP I / TEEMA 8 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS 1 PYP I / TEEMA 8 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS Aki Sorsa 2 SISÄLTÖ YLEISTÄ Mitattavuus ja mittaus käsitteinä Mittauksen vaiheet Mittausprojekti Mittaustarkkuudesta SUUREIDEN MITTAUSMENETELMIÄ Mittalaitteen

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

CFD Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa. Jouni Ritvanen. Jouni.Ritvanen@lut.fi Timo.Hyppanen@lut.fi

CFD Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa. Jouni Ritvanen. Jouni.Ritvanen@lut.fi Timo.Hyppanen@lut.fi CFD Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa, TkT (Prof. Timo Hyppänen) Lappeenrannan teknillinen yliopisto Energiajärjestelmät Jouni.Ritvanen@lut.fi Timo.Hyppanen@lut.fi 1 CFD LTY:ssä Energia- ja ympäristötekniikan

Lisätiedot

Uudelleenkäytön jako kahteen

Uudelleenkäytön jako kahteen Uudelleenkäyttö Yleistä On pyritty pääsemään vakiokomponenttien käyttöön Kuitenkin vakiokomponentit yleistyneet vain rajallisilla osa-alueilla (esim. windows-käyttöliittymä) On arvioitu, että 60-80% ohjelmistosta

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Termiikin ennustaminen radioluotauksista. Heikki Pohjola ja Kristian Roine

Termiikin ennustaminen radioluotauksista. Heikki Pohjola ja Kristian Roine Termiikin ennustaminen radioluotauksista Heikki Pohjola ja Kristian Roine Maanpintahavainnot havaintokojusta: lämpötila, kostea lämpötila (kosteus), vrk minimi ja maksimi. Lisäksi tuulen nopeus ja suunta,

Lisätiedot

DIMcomfort 4.0 varmuutta suunnitteluun

DIMcomfort 4.0 varmuutta suunnitteluun lindab comfort DIMcomfort 4.0 varmuutta suunnitteluun 3D -heittokuviot Virtausominaisuudet havainnollistetaan pienillä päätelaitteista virtaavilla partikkeleilla muodostaen kolmiulotteisen heittokuvion.

Lisätiedot

Meidän visiomme......sinun tulevaisuutesi

Meidän visiomme......sinun tulevaisuutesi Meidän visiomme... Asiakkaittemme akunvaihdon helpottaminen...sinun tulevaisuutesi Uusia asiakkaita, lisää kannattavuutta ja kehitystä markkinoiden tahdissa Synergy Battery Replacement Programme The Battery

Lisätiedot

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ Erkki Numerola Oy PL 126, 40101 Jyväskylä erkki.heikkola@numerola.fi 1 JOHDANTO Työssä tarkastellaan putkijärjestelmässä etenevän

Lisätiedot

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo. KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO

Lisätiedot

Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä

Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä Virtauslaskenta traktorien tuotekehityksessä Pekka Makkonen Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Fysiikan laitos Kevät 2016 Abstract This work describes the deployment of the current uid ow simulation

Lisätiedot

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen

Lisätiedot

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. FT Ari Viinikainen

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. FT Ari Viinikainen TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op FT Ari Viinikainen Tietokoneen rakenne Keskusyksikkö, CPU Keskusmuisti Aritmeettislooginen yksikkö I/O-laitteet Kontrolliyksikkö Tyypillinen Von Neumann

Lisätiedot

Purjehdi Vegalla - Vinkki nro 2

Purjehdi Vegalla - Vinkki nro 2 Purjehdi Vegalla 1 1 Purjehdi Vegalla - Vinkki nro 2 Tuulen on puhallettava purjeita pitkin - ei niitä päin! Vielä menee pitkä aika, kunnes päästään käytännön harjoituksiin, joten joudutaan vielä tyytymään

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Nestepisaran höyrystymistutkimus I vaihe

Nestepisaran höyrystymistutkimus I vaihe Nestepisaran höyrystymistutkimus A. Peltola, ampereen teknillinen yliopisto, 14.1.2010 Dipoli, Otaniemi, Espoo (U) NESEPISARAN HÖYRYSYMISUKIMUS HAC FLAME Sisältö: Päämäärä Lähtötilanne Koereaktori Höyrystymislämpötila

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

OHJE 2(5) 25.8.2015 Dnro LIVI/4495/05.00/2015 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3

OHJE 2(5) 25.8.2015 Dnro LIVI/4495/05.00/2015 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3 OHJE 2(5) Sisällys 1 KITKAN MITTAAMISEN MENETELMÄ... 3 2 LAATUVAATIMUKSET KITKAMITTAREILLE... 3 2.1 Käyttöturvallisuus... 3 2.2 Kalibroitavuus... 3 2.3 Mittaustarkkuus... 4 2.3.1 Mittarien samankaltaisuuteen

Lisätiedot

Metallien 3D-tulostus mahdollisuus ja haasteet. LUT School of Energy Systems Konetekniikan osaamisalue Lasertyöstön tutkimusryhmä

Metallien 3D-tulostus mahdollisuus ja haasteet. LUT School of Energy Systems Konetekniikan osaamisalue Lasertyöstön tutkimusryhmä Metallien 3D-tulostus mahdollisuus ja haasteet LUT School of Energy Systems Konetekniikan osaamisalue Lasertyöstön tutkimusryhmä Nämä kalvot on koostettu LUT Laserin (LUT) toimesta lisätietoja: Professori

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos Nesteiden lämmönjohtavuus on yleensä huomattavasti suurempi kuin kaasuilla, joten myös niiden lämmönsiirtokertoimet sekä lämmönsiirtotehokkuus ovat kaasujen vastaavia arvoja suurempia Pakotettu konvektio:

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

2 Konekieli, aliohjelmat, keskeytykset

2 Konekieli, aliohjelmat, keskeytykset ITK145 Käyttöjärjestelmät, kesä 2005 Tenttitärppejä Tässä on lueteltu suurin piirtein kaikki vuosina 2003-2005 kurssin tenteissä kysytyt kysymykset, ja mukana on myös muutama uusi. Jokaisessa kysymyksessä

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa

Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa 1 Puun termiset aineominaisuudet pyrolyysissa V Liekkipäivä Otaniemi, Espoo 14.1.2010 Ville Hankalin TTY / EPR 14.1.2010 2 Esityksen sisältö TTY:n projekti Biomassan pyrolyysin reaktiokinetiikan tutkimus

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN

KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN KEHTO-foorumi Seinäjoki 23.10.2014 TAUSTAA Korjausvelan määrityshanke vuonna 2012-2013 Katujen ja viheralueiden korjausvelan periaatteita ei ollut aiemmin määritelty

Lisätiedot

782630S Pintakemia I, 3 op

782630S Pintakemia I, 3 op 782630S Pintakemia I, 3 op Ulla Lassi Puh. 0400-294090 Sposti: ulla.lassi@oulu.fi Tavattavissa: KE335 (ma ja ke ennen luentoja; Kokkolassa huone 444 ti, to ja pe) Prof. Ulla Lassi Opintojakson toteutus

Lisätiedot

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko. SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT

Lisätiedot

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit

Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston Fysikaalisten tieteiden laitos FORS-iltapäiväseminaari 2.6.2005 Esityksen sisältö Peruskäsitteitä: luonnollinen kasvihuoneilmiö kasvihuoneilmiön

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat 1 LIITE 5 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1991-1-4

Lisätiedot