LIUOSKALORIMETRINEN TUTKIMUS

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LIUOSKALORIMETRINEN TUTKIMUS"

Transkriptio

1 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio LIUOSKALORIMETRINEN TUTKIMUS. Työn tavoitteet Yleensä kemiallisten ja fysikaalisten muutosten yhteydessä joko vapautuu tai sitoutuu lämpöä. Tämä johtuu siitä, että eri aineet ja niiden eri olomuodot sisältävät eri määrän sisäistä energiaa. Siten tuotteiden kokonaisenergia on pienempi tai suurempi kuin lähtöaineiden. Tässä työssä tutustut kalorimetriin, jonka avulla voidaan tutkia erilaisissa fysikaalisissa ja kemiallisissa prosesseissa vapautuvia tai sitoutuvia lämpömääriä. Mittaamalla kalorimetrisen reaktion yhteydessä tapahtuva lämpötilan muutos saadaan selville lämpömäärän muutos. Reaktiolämpöjen tunteminen on tärkeää reaktioiden spontaanisuuden määrittämisessä ja prosessien suunnittelussa. Niiden perusteella saadaan selville esimerkiksi se, tarvitseeko systeemiä lämmittää vai jäähdyttää reaktion aikaansaamiseksi. Kalorimetrejä on olemassa hyvin monenlaisia riippuen siitä, millaisen fysikaalisen tai kemiallisen prosessin tutkimiseen niitä käytetään. Tässä työssä käytössä on lämpöeristetty vedellä täytetty astia eli vesikalorimetri, jossa lämpömäärien määrittäminen perustuu veden lämpötilan muutosten mittaamiseen. Työn ensimmäisessä osassa kalibroit käyttämäsi vesikalorimetrin määrittämällä sen vesiarvon tuomalla kalorimetriin tunnetun lämpömäärän kuumentamalla lämmitysvastusta sähköisesti ja mittaamalla lämpötilan muutoksen. Toisessa osassa mittaat yhdisteen liukenemislämmön lisäämällä kalorimetriin suolaa, jonka massan olet määrittänyt punnitsemalla ja mittaamalla liukenemisessa syntyvän lämpötilan muutoksen. Mittaustulosten käsittelyssä otat huomioon myös mahdollisen kalorimetrin ja ympäristön välisen lämmönvaihdon tekemällä graafisella menetelmällä korjauksen havaitsemiisi lämpötilan muutoksiin. 2. Teoria 2. Kalorimetrin vesiarvon määritys Periaatekuva työssä käytettävästä vesikalorimetristä on esitetty kuvassa. Varsinainen kalorimetri on kannella peitetty, lämpöeristetty astia, joka mittauksissa täytetään tunnetulla vesimäärällä. Lämpötilojen mittaamiseksi kalorimetrin sisälle on viety digitaalisen lämpömittarin mittapää. Kalorimetrin vesiar- Lämmitys H 2 O Lämpötilan mittaus Sekoittaja Kuva. Vesikalorimetri.

2 2 Liuoskalorimetrinen tutkimus voa määritettäessä veden ja kalorimetrin muodostamaan systeemiin tuodaan lämpöä kuumentamalla vedessä olevaa lämmitysvastusta sähkövirralla. Laitteistoon kuuluu myös magneettinen sekoittaja, jonka tehtävänä on huolehtia siitä, että lämpötila on sama koko systeemissä. Jos lämpötilassa T olevaan kalorimetriin tuodaan lämpöä, sen lämpötila kasvaa arvoon T 2. Kalorimetrin vastaanottama lämpömäärä missä Q v 2 -T ) Q v voidaan ilmaista muodossa = C ( T = C T () k C k on kalorimetrin lämpökapasiteetti, johon vaikuttavat sen eri osien (astia, sekoittaja, lämmitysvastus ja lämpömittari) lämpökapasiteetit ja T on kalorimetrin lämpötilan muutos. Yhtälöstä () huomataan, että ennen kuin kalorimetria voidaan käyttää lämpömäärien mittaamiseen, sen lämpökapasiteetti täytyy tuntea. Tällainen kalorimetrin kalibrointimittaus tehdään yleensä lämmittämällä kalorimetria sähkövastuksella. Tässä mittauksessa systeemiin tuotu lämpömäärä Q on siten k Q t = UIt, (2) missä U on lämmitysvastuksen päiden välinen jännite, I on sen kautta kulkeva virta ja t on vastuksen lämmittämiseen käytetty aika. Vesikalorimetrin tapauksessa kalibrointisuureena käytetään usein lämpökapasiteetin sijaan kalorimetrin vesiarvoa X, joka ilmoittaa kuinka suurta vesimäärää kalorimetri kaikkine osineen vastaa. Vesiarvoa käyttäen kalorimetrin ja siinä olevan veden muodostaman systeemin vastaanottama lämpömäärä tulee muotoon = c m X T, (3) missä O H 2 Q v ( H O ) H2O 2 c on veden ominaislämpökapasiteetti ( 4,8 kjk ) ja m O on kalorimetrissä olevan veden massa. Koska tuotu lämpömäärä vastaanotettu t - kg - H 2 Q t on yhtä suuri kuin Q v, kalorimetrin vesiarvoksi X saadaan yhtälöitä (2) ja (3) käyttäen UIt X = - mh2o. (4) c T H2O 2.2 Liukenemislämmön määritys Jos mooli puhdasta ainetta liuotetaan isotermisesti n mooliin puhdasta liuotinta, tapahtuvaa entalpian kokonaismuutosta kutsutaan tämän aineen integraaliseksi liukenemislämmöksi syntyvässä loppukonsentraatiossa. Jos taas mooli puhdasta ainetta liuotetaan niin suureen määrään tietyn väkevyistä liuosta, ettei liuoksen konsentraatio olennaisesti muutu, kutsutaan entalpian muutosta differentiaaliseksi liukenemislämmöksi tässä konsentraatiossa.

3 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 3 Kemiallista reaktiota, jossa vapautuu lämpöenergiaa, kutsutaan eksotermiseksi reaktioksi ja tällaisessa reaktiossa tapahtuva entalpian muutos on negatiivinen ( H < 0). Vastaavasti kemiallista reaktiota, jossa sitoutuu lämpöenergiaa ja jossa entalpian muutos on positiivinen ( H > 0), kutsutaan endotermiseksi reaktioksi. Jos tutkittavan yhdisteen liuetessa kalorimetrissä olevaan veteen, havaitaan kalorimetrin lämpötilan muuttuvan määrällä T2 = T4 - T3, niin yhdisteen kalorimetrille luovuttama (tai vastaanottama) lämpömäärä H on yhtä suuri kuin kalorimetrin vastaanot- c m X T -T = c m X T. tama (tai luovuttama) lämpömäärä O ( H O )( 4 3 ) H O ( H O ) 2 H Tutkittavan yhdisteen mooliseksi, integraaliseksi liukenemislämmöksi siten ( m X ) H n saadaan ch O H O T H n = -, (5) m M missä mja M ovat kalorimetriin lisätyn suolan massa ja moolimassa. 2.3 Lämpötilaerojen graafinen määrittäminen Edellä oletettiin, että mittauksissa voitaisiin suoraan mitata veden ja kalorimetrin lämpötila ennen sähköistä lämmitystä tai suolan lisäämistä ja niiden jälkeen. Tarkassa mittauksessa tämä ei kuitenkaan onnistu, vaan on otettava huomioon ensinnäkin se, ettei lämpö siirry vastuksesta kalorimetriin hetkessä. Toiseksi kalorimetrin ja ympäristön välillä voi tapahtua lämmönvaihtoa, ts. tarkasteltavat prosessit eivät tarkkaan ottaen ole adiabaattisia. Tämän takia työn molemmat mittaukset suoritetaan kuvan 2 mukaisesti kolmessa vaiheessa:. Esijakso, jonka aikana lämpötilan muutoksen aiheuttavaa prosessia ei ole vielä pantu käyntiin. Kuvassa 2 tätä jaksoa kuvaa käyrä AB. 2. Pääjakso, jonka aikana lämpötilan muutos tapahtuu. Pääjakso alkaa lämpötilan muutoksen aiheuttavan prosessin, esimerkiksi vastuksen lämmityksen, käynnistyessä (ajanhetkellä H). Kuvassa 2 pääjaksoa esittää käyrä BGC. 3. Jälkijakso, joka alkaa, kun lämpötila alkaa jälleen muuttua tasaisesti (ajanhetkellä I) ja jota kuvaa käyrä C.

4 4 Liuoskalorimetrinen tutkimus T T F F T C C G A T B B T E T' E H I Esijakso Pääjakso Jälkijakso Kuva 2. Kalorimetrin lämpötila ajan funktiona. t Käsitellään seuraavassa lyhyesti kuvan 2 perusteella sitä, miten lämpötilaeron määritys tässä työssä tehdään. Tarkemmat perustelut menetelmälle löytyvät seuraavasta luvusta. Jos pääjakson aikana ei tapahtuisi lämmönvaihtoa kalorimetrin ja ympäristön välillä, lämpötilan muutos olisi pääjakson aikana tapahtuva lämpötilan ääriarvojen erotus eli kuvassa 2 näkyvien lämpötilojen erotus T - T. Kuvan 2 tilanteessa huomataan, että tämä erotus on liian pieni. Todelliset lämpötilan muutokset voidaan saada selville suorittamalla mittaukset em. kolmessa jaksossa. Lämpötilaerot voidaan nyt määrittää graafisesti piirtämällä mittaussarjoista kuvan 2 mukaiset kuvaajat, jotka esittävät mitattuja lämpötiloja ajan funktiona. Piirroksessa jatketaan esijakson kuvaajaa AB suoraviivaisesti pisteeseen E ja jälkijakson kuvaajaa vastaavasti pisteeseen F siten, että viivoitetut kuviot BEG ja CFG ovat pinta-aloiltaan yhtä suuret. Tällöin saadaan laskuissa käytettävä, hetkellistä prosessia EF kuvaava lämpötilaero, joka vastaa pisteiden E ja F välisen janan pituutta T -. F T E C B

5 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Kalorimetrin ja ympäristön lämmönvaihto Tarkastellaan tilannetta, jossa kalorimetrissä ei tapahdu muuta prosessia kuin kalorimetrin ja ympäristön välisestä lämpötilaerosta johtuvaa lämmönvaihtoa. Lämmönvaihto voidaan todeta seuraamalla kalorimetrin lämpötilaa ajan funktiona, jolloin havaitaan lämpötilan kuvan 2 esi- ja jälkijakson mukaisesti hitaasti muuttuvan. Tätä hidasta lämpötilan muuttumista ajan funktiona kutsutaan vaellukseksi. Jos kalorimetrin lämpökapasiteetti on C k, niin lämmönvaihdossa siirtynyt lämpömäärä dq ' on dq' = C dt, (6) k missä dt on lämpötilan muutos. Lämmönvaihtuminen tapahtuu yleensä kolmella eri tavalla, jotka ovat lämmönjohtuminen eli konduktio, lämpösäteily ja lämmönsiirtyminen eli konvektio. Kalorimetrin tapauksessa konvektio voidaan jättää huomioon ottamatta. Tällöin voimassa on ns. Newtonin jäähtymislaki, jonka mukaan lämmönvaihdossa siirtynyt lämpömäärä aikayksikköä kohti on suoraan verrannollinen kalorimetrin ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon, ts. dq' = -h( T -T'), (7) dt jossa h on vakio, T on kalorimetrin lämpötila ja T ' on ympäristön lämpötila. Käyttämällä yhtälöitä (6) ja (7) saadaan lämpötilan muutosnopeudeksi dt dt h = - ( T - T'), (8) C k missä h / C k on vakio. Yhtälöstä (8) nähdään, että käyrä, joka esittää kalorimetrin lämpötilaa ajan funktiona lämmönvaihtumisen aikana on eksponenttikäyrä, jos ympäristön lämpötila on vakio. Lyhyellä aikavälillä tällainen käyrä on likimain suora. Edellisessä luvussa kuvatussa graafisessa lämpötilaeron määritysmenetelmässä jana EF piirrettiin siten, että kuvioiden BEG ja CFG pinta-alat ovat yhtä suuret. Tällöin pääjakson aikana tapahtuva todellinen, havaittu prosessi, jota kuvaa käyrä BGC korvataan prosessilla, jota kuvaa murtoviiva BEGFC. Koska nämä prosessit tapahtuvat saman alku- (B) ja loppupisteen (C) välillä, lämmönvaihdossa siirtyvän lämpömäärän on oltava yhtä suuri kummassakin prosessissa. Yhtälön (7) perusteella tiedetään, että siirtyvä lämpömäärä dq' on dq' = -h( T - T ') dt = -hds, (9)

6 6 Liuoskalorimetrinen tutkimus missä tulo ( T - T ') dt on korvattu pinta-alkiolla ds. Näin voidaan tehdä, koska yhtälöstä (9) huomataan, että lämmönvaihdossa siirtyvä lämpömäärä on suoraan verrannollinen pinta-alaan, jota rajoittavat suora T ', tarkasteltavan aikavälin päätepisteisiin H ja I kuvassa 2 katkoviivoin piirretyt T-akselin suuntaiset suorat sekä lämpötilakäyrä. Tarkastellaan kuvassa 2 esitettyä pääjaksoa edellä esitetyn perusteella. Todellisen prosessin pääjakson (BGC) aikana lämmönvaihdossa siirtyvä lämpömäärä on verrannollinen käyrän HICGB määrittämään pinta-alaan. Samalla aikavälillä (HI) tapahtuvan prosessin BEFC lämmönvaihdossa siirtyvä lämpömäärä on taas verrannollinen monikulmion HICFEB pinta-alaan. Koska prosessien lämmönvaihdoissa siirtyvien lämpömäärien on oltava yhtä suuret, täytyy myös vastaavien pinta-alojen olla yhtä suuria. Pinta-alat ovat yhtä suuret vain, jos jana EF asetetaan kuvan 2 mukaisesti siten, että varjostetut pinta-alat BEG ja CFG ovat yhtä suuret. 3. Mittauslaitteisto Mittausten kytkentäkaavio on esitetty kuvassa 3 ja valokuva käytettävistä laitteista on kuvassa 4. Kalorimetrin kannen läpi on astiaan viety lämmitysvastus ( R ), joka on kytketty koteloituun tasajännitelähteeseen (E). Kotelon sisällä on myös jännitemittari (V) ja virtamittari (A). Kotelossa on valitsin ( V N, kuvassa 4), jolla voidaan valita näyttöön (N) joko jännite- tai virtamittarin lukema. Säätimistä ( S V ja S A ) voidaan säätää lämmitysvastuksen jännitteen ja virran suuruutta. Jännitelähde kytketään päälle kuvissa näkyvästä kytkimestä k E. Kalorimetrin kannen läpi astiaan on viety digitaalisen lämpömittarin mittapää (M, kuvassa 3), joka on vedessä, kunhan kalorimetrissä on riittävä määrä vettä. Lämpömittari pannaan päälle sen päällä olevasta painikkeesta ( k T kuvassa 4), ja se näyttää lämpötilan saadaan 0,0 o C:een tarkkuudella. Mittauksia tehtäessä kalorimetri sijoitetaan kuvassa 4 näkyvälle alustalle ja kalorimetrin sisälle pannaan yksi jännitelähteen päällä näkyvistä sekoittajista. Sekoitus lähtee käyntiin kuvassa näkyvästä katkaisijasta ( ) S k ja sen kierrosnopeutta voidaan säätää säätimestä N S. Kuvassa 4 on näkyvissä myös mittauksissa käytettävä kello. Kalorimetrin kannessa on myös korkilla täytetty aukko, josta suola voidaan kaataa kalorimetriin. L

7 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 7 E V A k E 23.7 Lämmityspiiri E = jännitelähde V = jännitemittari A = virtamittari R L = lämmitysvastus k E = kytkin R L Kalorimetri M Mittauspiiri = digitaalinen lämpömittari M = mittapää c) Kuva 3. Kalorimetrin kytkentäkaavio. Lämpömittarin mittapää Lämmitysvastukseen Korkki Kansi Kalorimetri Sekoittajia E Kello N V N S V Alusta k E S A ks Kuva 4. Käytettävät laitteet. k T S N

8 8 Liuoskalorimetrinen tutkimus 4. Tehtävät 4. Ennakkotehtävät Vastaa ja ratkaise alla olevat ennakkotehtävät ohjeen lopusta löytyvään lomakkeeseen ennen työvuorolle saapumista. Tarvittavia tietoja löydät työohjeen ohella esimerkiksi kirjasta P. W. Atkins: Physical Chemistry, 5th Ed., Luku 2 & s. C6.. Mikä on integraalisen ja differentiaalisen liukenemislämmön ero? 2. Kuinka kalorimetri kalibroidaan ja miksi? 3. Mikä on kalorimetrin vesiarvo? 4. Miksi liuoskalorimetrisiä tutkimuksia tehdään? 5. Osoita yhtälön (3) avulla, että kalorimetrissä olevan veden massan ja kalorimetrin m X suhteellisen virheen yläraja voidaan laskea vesiarvon summan ( ) lausekkeesta H 2 O ( mh O X) 2 ( m X) H2O U U I I t t ( T ) T. 4.2 Mittaustehtävät. Veden tilavuuden määritys: Mittaa mittalasilla tarkasti noin 550 ml likimain huoneenlämpöistä vettä kalorimetriin. 2. Suolan massan määritys: Punnitse ohjaajan tutkittavaksesi valitsema hienorakeinen suola pienessä dekantterilasissa analyysivaa alla. Pane dekantterilasi pieneen eksikaattoriin odottamaan liuotuskokeen alkamista. Varaa suolan lisäämistä varten kalorimetrin lähelle riittävän suurisuinen suppilo. 3. Valmistelut: Pane kalorimetrin sisään sekoittaja ja käynnistä sekoitus katkaisijasta k S. Varmista, että sekoittaja pyörii kunnolla, ennen kuin suljet kalorimetrin kannen. Pane lämpömittari päälle ja säädä ohjaajan opastuksella vastuksen jännitteelle sopiva arvo (n. 6 V). 4. Esijakso I, pituus 0 min: Käynnistä kello ja havaitse ja kirjaa lämpötilan arvot minuutin välein 0 minuutin ajan. 5. Pääjakso I eli lämmitysjakso, pituus 20 min: Pane jännitelähde päälle pääjakson alkaessa. Havaitse ja kirjaa lämmityksen aikana lämpötilan arvot minuutin välein 20 minuutin ajan. Mittaa jännitteen ja virran arvot kolme kertaa pääjakson aikana, alussa, keskivaiheilla ja lopussa. Sovitun ajan kuluttua sammuta jännitelähde.

9 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 9 6. Jälkijakso I = Esijakso II, pituus 20 min: Havaitse lämpötilan arvot minuutin välein myös jälkijakson aikana. Tämä jakso toimii samalla liukenemismittauksen esijaksona II. 7. Suolan lisäysjakso ja jälkijakso II, pituus yhteensä n. 5 min: Kaada tutkittava yhdiste kalorimetriin nopeasti suppilon avulla. Mittaa ja kirjaa lämpötila edelleen minuutin välein. Yhdisteen lisäämisen seurauksena lämpötila joko nousee tai laskee riippuen siitä, onko suolan liukeneminen ekso - vai endoterminen reaktio (n. -3 min). Jatka tämän jälkeen vielä lämpötilalukemien kirjaamista jälkijaksoa II varten. Koska jakson vaihtumisen voi usein päätellä vasta myöhemmin mittaustulosten graafisesta esityksestä, jatka lämpötilan mittaamista riittävän kauan. 5. Mittaustulosten käsittely ja työselostus Tämän työn työselostus eli raportti tehdään heti työn jälkeen opetuslaboratoriossa ohjeen lopussa löytyvälle lomakkeelle. Työselostukseen piirretään millimetripaperille kuvaaja, joka esittää mitattuja lämpötiloja ajan funktiona. Kuvaajista saatavien lämpötilaerojen T ja T2 sekä havaintoarvojen avulla lasketaan kalorimetrin vesiarvo X ja suolan integraalinen liukenemislämpö moolia kohden H / n. Lisäksi arvioidaan logaritmista kokonaisdifferentiaalimenetelmää hyödyntäen suureiden ( m H 2 O X ) sekä H / n suhteellisten virheiden ylärajat. Seuraavassa on joitakin ohjeita tulosten käsittelyä varten. 5. Kuvaaja Piirrä mittauksista kuvan 2 mukainen kuvaaja, joka esittää havaitsemiasi lämpötiloja ajan funktiona viidessä tutkitussa jaksossa. Piirrä kuvaajaan esi- ja jälkijaksoja kuvaavien suorien jatkeet (BE ja FC kuvassa 2), pystysuora jana (EF) ja kuvan 2 aloja BEG ja FCG vastaavat yhtä suuret alat sekä ensimmäisen esi-, lämmitys- ja pääjakson että toisen esi-, suolan lisäys- ja jälkijakson tapauksissa. Määritä kuvaajien avulla lämpötiloja T E ja T F vastaavat lämpötilat T ja T 2 sekä T 3 ja T 4. Laske edelleen lämpötilaerot T ja T2, joita tarvitset soveltaessasi yhtälöitä (4) ja (5). Mieti virheen arviointia varten, mikä on lämpötilaerojen määritystarkkuus. Kysy tarvittaessa neuvoja ohjaajalta.

10 0 Liuoskalorimetrinen tutkimus 5.2 Kalorimetrin kalibrointi ja suolan liukenemislämmön määritys Laske kalorimetrin vesiarvon ja veden massan summa soveltaen yhtälöä (3) ja edelleen kalorimetrin vesiarvo yhtälöstä (4). Määritä em. summan suhteellinen virhe käyttäen ennakkotehtävässä 5 johtamaasi lauseketta. Laske suolan liukenemislämpö yhtälöstä (5) ja määritä sen suhteellisen virheen yläraja. 6. Lopputulokset ja pohdinta Ilmoita lopputuloksena laskemasi kalorimetrin vesiarvo, vesiarvon ja veden massan summa virherajoineen sekä suolan integraalinen liukenemislämpö moolia kohden virherajoineen. Onko käyttämäsi suolan liukeneminen eksoterminen vai endoterminen reaktio? Vertaa saamaasi liukenemislämpöä johonkin luotettavasta lähteestä löytämääsi kirjallisuusarvoon. Pohdi tekemäsi virhelaskelman avulla, mitkä tekijät vaikuttavat eniten lopputuloksen tarkkuuteen.

11 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio OULUN YLIOPISTO Työn suorittaja: FYSIIKAN OPETUSLABORATORIO Mittauspäivä: / 20 klo - Työn ohjaaja: MITTAUSPÖYTÄKIRJA JA RAPORTTI LIUOSKALORIMETRINEN TUTKIMUS Tutkittava aine: Massa = g ± g Veden määrä: ml ± ml Pääjakson I pituus min ± min Esijakso I Pääjakso I Jälkijakso I = Esijakso II Pääjakso II ja Jälkijakso II t (min) T ( C) t (min) T ( C) t (min) T ( C) t (min) T ( C) Lämmitys päälle U = V U 2 = V U 3 = V I = A I 2 = A I 3 = A ( T ) = o C Lämmitys pois Tutkittava aine kalorimetriin Ohjaajan allekirjoitus

12 2 Liuoskalorimetrinen tutkimus. Ennakkotehtävät. Mikä on integraalisen ja differentiaalisen liukenemislämmön ero? 2. Kuinka kalorimetri kalibroidaan ja miksi? 3. Mikä on kalorimetrin vesiarvo? 4. Miksi liuoskalorimetrisiä tutkimuksia tehdään? 5. Osoita yhtälön (3) avulla, että kalorimetrissä olevan veden massan ja kalorimetrin m X suhteellisen virheen yläraja voidaan laskea vesiarvon summan ( ) lausekkeesta H 2 O ( mh O X) 2 ( m X) H2O U U I I t t ( T ) T.

13 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 3 2. Mittaustulosten käsittely Lämpötila ajan funktiona on esitetty liitteellä. Kalorimetrin vesiarvon määritys: Kalorimetrin vesiarvon X ja veden massan mh 2 O summalle saadaan yhtälön (3) avulla lauseke ( m H2 O X ) =, josta summaksi saadaan ( m H2 O X ) =. Kalorimetrin vesiarvoksi X taas saadaan yhtälöstä (4) X =. Liukenemislämmön määritys: Tutkitun yhdisteen integraalinen liukenemislämpö moolia kohti on yhtälön (5) perusteella H / n =. Virheen arviointi: ( mh O X) 2 ( m X) H2O U U I I t t ( T ) T ( H / n) ( H / n) Lopputulokset: Kalorimetrin vesiarvon ja veden massan summa on g ± % ja kalorimetrin vesiarvo on g. Tutkitun aineen liukenemislämmöksi saatiin kj/mol ± %. Kirjallisuusarvo tutkittavalle aineelle oli kj/mol. Liukeneminen oli terminen reaktio. Huom! Merkitse näkyviin käytetyt yhtälöt ja sijoitetut arvot sekä niiden yksiköt.

14 4 Liuoskalorimetrinen tutkimus

H 2 O. Kuva 1. Kalorimetri. missä on kalorimetriin tuotu lämpömäärä. Lämpökapasiteetti taas määräytyy yhtälöstä

H 2 O. Kuva 1. Kalorimetri. missä on kalorimetriin tuotu lämpömäärä. Lämpökapasiteetti taas määräytyy yhtälöstä KALORIMETRI 1 TEORIAA Kalorimetri on laite, jolla voidaan mitata lämpömääriä. Mittaus voidaan suorittaa tarkastelemalla lämpömuutoksia, faasimuutoksia, kemiallisia reaktioita jne. Kun mittaus perustuu

Lisätiedot

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto 13 KALORIMETRI 13.1 Johdanto Kalorimetri on ympäristöstään mahdollisimman täydellisesti lämpöeristetty astia. Lämpöeristyksestä huolimatta kalorimetrin ja ympäristön välinen lämpötilaero aiheuttaa lämmönvaihtoa

Lisätiedot

SAIPPUALIUOKSEN SÄHKÖKEMIA 09-2009 JOHDANTO

SAIPPUALIUOKSEN SÄHKÖKEMIA 09-2009 JOHDANTO SAIPPUALIUOKSEN SÄHKÖKEMIA 09-009 JOHDANTO 1 lainaus ja kuvat lähteestä: Työssä tutkitaan johtokyky- ja ph-mittauksilla tavallisen palasaippuan kemiallista koostumusta ja misellien ja aggregaattien muodostumista

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

KEMA221 2009 KEMIALLINEN TASAPAINO ATKINS LUKU 7

KEMA221 2009 KEMIALLINEN TASAPAINO ATKINS LUKU 7 KEMIALLINEN TASAPAINO Määritelmiä Kemiallinen reaktio A B pyrkii kohti tasapainoa. Yleisessä tapauksessa saavutetaan tasapainoa vastaava reaktioseos, jossa on läsnä sekä lähtöaineita että tuotteita: A

Lisätiedot

4A 4h. KIMMOKERROIN E

4A 4h. KIMMOKERROIN E TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 A h. KIMMOKERROIN E 1. TYÖN TAVOITE 2. TEORIAA Tässä työssä muista töistä poiketen tärkein tavoite on ymmärtää fysikaalisten suureiden keskinäistä riippuvuutta toisistaan

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

(l) B. A(l) + B(l) (s) B. B(s)

(l) B. A(l) + B(l) (s) B. B(s) FYSIKAALISEN KEMIAN LAUDATUTYÖ N:o 3 LIUKOISUUDEN IIPPUVUUS LÄMPÖTILASTA 6. 11. 1998 (HJ) A(l) + B(l) µ (l) B == B(s) µ (s) B FYSIKAALISEN KEMIAN LAUDATUTYÖ N:o 3 1. TEOIAA Kyllästetty liuos LIUKOISUUDEN

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

VASTUSMITTAUKSIA. 1. Työn tavoitteet

VASTUSMITTAUKSIA. 1. Työn tavoitteet ASTUSMITTAUKSIA. Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut Ohmin lakiin ja joihinkin menetelmiin, joiden avulla vastusten resistansseja voidaan mitata. Tarkastelet myös vastusten tehonkulutusta ja opettelet

Lisätiedot

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö: A1 Seppä karkaisee teräsesineen upottamalla sen lämpöeristettyyn astiaan, jossa on 118 g jäätä ja 352 g vettä termisessä tasapainossa Teräsesineen massa on 312 g ja sen lämpötila ennen upotusta on 808

Lisätiedot

Asenna myös mikroskopian lisäpala (MBF ImageJ for Microscopy Collection by Tony Collins) http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/mbf-collection.

Asenna myös mikroskopian lisäpala (MBF ImageJ for Microscopy Collection by Tony Collins) http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/mbf-collection. Asentaminen Ohjelman voi ladata vapaasti webistä (http://rsbweb.nih.gov/ij/) ja siitä on olemassa versiot eri käyttöjärjestelmille. Suurimmalle osalle käyttäjistä sopii parhaiten valmiiksi käännetty asennuspaketti

Lisätiedot

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti Aineopintojen laboratoriotyöt 1 Veden ominaislämpökapasiteetti Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 assistentti: Marko Peura työ tehty 19.9.008 palautettu 6.10.008 Sisällysluettelo Tiivistelmä...3 Johdanto...3

Lisätiedot

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos ympäristö ympäristö 15.12.2016 REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ekso- ja endotermiset reaktiot sekä entalpian muutos Kaikilla aineilla (atomeilla, molekyyleillä) on asema- eli potentiaalienergiaa ja liike- eli

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

suunta kuvassa alaspäin. Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun

suunta kuvassa alaspäin. Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 3, Vastuksen ja diodin virta-jänniteominaiskäyrät

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 3, Vastuksen ja diodin virta-jänniteominaiskäyrät Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 3, Vastuksen ja diodin virta-jänniteominaiskäyrät Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä:

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut

Lisätiedot

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c. Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä

Lisätiedot

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava . Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.

Lisätiedot

Perusmittalaitteiden käyttö mittauksissa

Perusmittalaitteiden käyttö mittauksissa Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Perusmittalaitteiden käyttö mittauksissa 1. Työn tavoite Työn tavoitteena on tutustua insinöörien tarvitsemiin perusmittalaitteisiin: mikrometriruuviin, työntömittaan,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla

1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla PERMITTIIVISYYS Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä. Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset +Q ja Q ja levyjen

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 1. Tarkastellaan pulloja valmistavaa yritystä, jonka päiväkohtainen tuotantofunktio on esitetty alla olevassa taulukossa. L on työntekijöiden

Lisätiedot

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+

Lisätiedot

Tarvittavat välineet: Kalorimetri, lämpömittari, jännitelähde, kaksi yleismittaria, sekuntikello

Tarvittavat välineet: Kalorimetri, lämpömittari, jännitelähde, kaksi yleismittaria, sekuntikello 1 LÄMPÖOPPI 1. Johdanto Työssä on neljä eri osiota, joiden avulla tutustutaan lämpöopin lakeihin ja ilmiöihin. Työn suoritettuaan opiskelijan on tarkoitus ymmärtää lämpöopin keskeiset käsitteet, kuten

Lisätiedot

Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio

Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio Nyt päästään soveltamaan matriisilaskentaa ja Laplace muunnosta. Tutkikaamme, miten lineaarista mallia voidaan käsitellä. Kuten edellä on jo nähty säätötekniikassa

Lisätiedot

PERMITTIIVISYYS. 1 Johdanto. 1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla . (1) , (2) (3) . (4) Permittiivisyys

PERMITTIIVISYYS. 1 Johdanto. 1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla . (1) , (2) (3) . (4) Permittiivisyys PERMITTIIVISYYS 1 Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset ja ja levyjen välillä

Lisätiedot

Kuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 -

Kuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 - Harjoitukset 1 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Oheisessa taulukossa on esitettynä kuluttajan saama hyöty kuntosaliharjoittelun kestosta riippuen. a) Laske taulukon tyhjään

Lisätiedot

KLOORIJÄÄMÄT JUOMAVE- DESSÄ

KLOORIJÄÄMÄT JUOMAVE- DESSÄ KLOORIJÄÄMÄT JUOMAVE- DESSÄ KOHDERYHMÄ: Työ on suunniteltu lukiolaisille, mutta työtä voi soveltaa myös yläkouluun. Tällöin kuvaajan piirtäminen ja spektrofotometrin teoria jätetään pois tai sitä supistetaan

Lisätiedot

14.1. Lämpötilan mittaaminen

14.1. Lämpötilan mittaaminen 14 16. LÄMPÖOPPIA 14.1. Lämpötilan mittaaminen Neste lasi lämpömittari Nesteen lämpölaajeneminen Kaksoismetallilämpömittari Aineilla erilainen lämpölaajeneminen, jolloin lämpeneminen aiheuttaa taipumista

Lisätiedot

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet

CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 9/2016 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa D406 Energiataseet Tehtävä 1. Adiabaattisen virtausreaktorin

Lisätiedot

Liukeneminen 31.8.2016

Liukeneminen 31.8.2016 Liukeneminen KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kertausta: Kun liukenevan aineen rakenneosasten väliset vuorovaikutukset ovat suunnilleen samanlaisia kuin liuottimen, niin liukenevan aineen rakenneosasten välisiä

Lisätiedot

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V. TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde

Lisätiedot

YMPÄRISTÖKEMIAN LABORATORIOHARJOITUSTEN ANALYYSIOHJEET

YMPÄRISTÖKEMIAN LABORATORIOHARJOITUSTEN ANALYYSIOHJEET YMPÄRISTÖKEMIAN LABORATORIOHARJOITUSTEN ANALYYSIOHJEET 26.2.2016 Aino Peltola VEDEN ph-arvon MÄÄRITYS Suomen vedet ovat luontaisesti happamia. Tämä johtuu liuenneesta hiilidioksidista, humuspitoisuudesta

Lisätiedot

SIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:

SIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin

Lisätiedot

Asenna myös mikroskopian lisäpala (MBF ImageJ for Microscopy Collection by Tony Collins) http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/mbf-collection.

Asenna myös mikroskopian lisäpala (MBF ImageJ for Microscopy Collection by Tony Collins) http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/mbf-collection. ImageJ ja metallografia juha.nykanen@tut.fi 19.2.2011 versio 1 Asentaminen Ohjelman voi ladata vapaasti webistä (http://rsbweb.nih.gov/ij/) ja siitä on olemassa versiot eri käyttöjärjestelmille. Suurimmalle

Lisätiedot

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 4 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 4 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömaneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 4 ratkaisuiksi Jatkuvuustilan D-lämpötilajakauma: differenssimenetelmä Differenssimenetelmän käyttämen lämpötehtävien ratkaisemiseen

Lisätiedot

c) Nimeä kaksi alkuainetta, jotka kuuluvat jaksollisessa järjestelmässä samaan ryhmään kalsiumin kanssa.

c) Nimeä kaksi alkuainetta, jotka kuuluvat jaksollisessa järjestelmässä samaan ryhmään kalsiumin kanssa. Kurssikoe KE1.2, Ihmisen ja elinympäristön kemia, ke 6.4. 2016 Vastaa vain kuuteen tehtävään. Jokaisessa tehtävässä maksimi pistemäärä on kuusi pistettä (paitsi tehtävässä 7 seitsemän pistettä). Voit vapaasti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Faasipiirrokset, osa 1: Laatiminen sekä 1-komponenttipiirrosten tulkinta

Faasipiirrokset, osa 1: Laatiminen sekä 1-komponenttipiirrosten tulkinta Faasipiirrokset, osa 1: Laatiminen sekä 1-komponenttipiirrosten tulkinta Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa Syksy 2015 Teema 1 - Luento 3 Tavoite Tutustua faasipiirrosten kokeelliseen ja laskennalliseen

Lisätiedot

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1. Työn tavoitteet

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1. Työn tavoitteet Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP. Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta

Lisätiedot

Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät

Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät 1 Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät Jarmo Vestola Koulun nimi Fysiikka luonnontieteenä FY5-Työseloste 6.2.2002 Arvosana: K (9) 2 1. Tutkittava ilmiö Tehtävänä oli tutkia mitkä tekijät vaikuttavat

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 4: Entropia Pe 4.3.2016 1 AIHEET 1. Klassisen termodynamiikan entropia 2. Entropian

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi 3.4.

Matematiikan tukikurssi 3.4. Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Huomaa, että 0 kitkakerroin 1. Aika harvoin kitka on tasan 0. Koska kitkakerroin 1, niin

Huomaa, että 0 kitkakerroin 1. Aika harvoin kitka on tasan 0. Koska kitkakerroin 1, niin Kun alat vetää jotain esinettä pitkin alustaa, huomaat, että tarvitaan tietty nollaa suurempi voima ennen kuin mainittu esine lähtee edes liikkeelle. Yleensä on vielä niin, että liikkeelle lähteminen vaatii

Lisätiedot

Huomaathan, että ohjeessa olevat näytöistä otetut kuvat voivat poiketa sinun koulutuksesi vastaavien sivujen kuvista.

Huomaathan, että ohjeessa olevat näytöistä otetut kuvat voivat poiketa sinun koulutuksesi vastaavien sivujen kuvista. OHJE OPISKELIJALLE MOODLEN KÄYTTÖÖN 1/5 2011/2012 MOODLE KOULUTUKSESSA Työterveyslaitoksella käytetään Moodle -verkko-oppimisalustaa. Potilassiirtojen Ergonomia - koulutus on monimuotokoulutusta, johon

Lisätiedot

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat

Lisätiedot

V T p pv T pv T. V p V p p V p p. V p p V p

V T p pv T pv T. V p V p p V p p. V p p V p S-45, Fysiikka III (ES välikoe 004, RAKAISU Laske ideaalikaasun tilavuuden lämötilakerroin ( / ( ja isoterminen kokoonuristuvuus ( / ( Ideaalikaasun tilanyhtälö on = ν R Kysytyt suureet ovat: ilavuuden

Lisätiedot

Ohje hakulomakkeen täyttämiseen yliopistohaku.fi -palvelussa

Ohje hakulomakkeen täyttämiseen yliopistohaku.fi -palvelussa Hakijan ohje Opetushallitus kevät 2013 Ohje hakulomakkeen täyttämiseen yliopistohaku.fi -palvelussa Tässä ohjeessa on kuvattu miten hakulomake täytetään ja lähetetään yliopistohaku.fi-palvelussa. Näytön

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Benjamin 6. ja 7. luokka ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Benjamin 6. ja 7. luokka ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3:n pisteen tehtävät 1. 3 2006 = 2005 + 2007 +?. Valitse sopiva luku?-merkin paikalle. A) 2005 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009 2. Viereisiin kortteihin on kirjoitettu kuusi lukua. Mikä

Lisätiedot

Mpemban ilmiö. Topi Siro 23.2.2009

Mpemban ilmiö. Topi Siro 23.2.2009 Mpemban ilmiö Topi Siro 23.2.2009 1 Johdanto Kuuma vesi jäätyy nopeammin kuin kylmä? Ilmiön historiaa Aristoteles Descartes Mpemba Teoriaa Haihtuminen Konvektio Alijäähtyminen Epäpuhtaudet 2 Mpemban ilmiön

Lisätiedot

Sisällys. Opitaan fysiikkaa ja kemiaa 7. 1 Fysiikka ja kemia tutkivat luonnon tapahtumia...8 2 Tutkitaan turvallisesti...12. Lähdetään liikkeelle 17

Sisällys. Opitaan fysiikkaa ja kemiaa 7. 1 Fysiikka ja kemia tutkivat luonnon tapahtumia...8 2 Tutkitaan turvallisesti...12. Lähdetään liikkeelle 17 Sisällys Opitaan fysiikkaa ja kemiaa 7 1 Fysiikka ja kemia tutkivat luonnon tapahtumia...8 2 Tutkitaan turvallisesti...12 Lähdetään liikkeelle 17 3 Mitä pidemmälle, sitä nopeammin...18 4 Ilman voimaa liike

Lisätiedot

Eksimeerin muodostuminen

Eksimeerin muodostuminen Fysikaalisen kemian Syventävät-laboratoriotyöt Eksimeerin muodostuminen 02-2010 Työn suoritus Valmista pyreenistä C 16 H 10 (molekyylimassa M = 202,25 g/mol) 1*10-2 M liuos metyylisykloheksaaniin.

Lisätiedot

ESTON LASKENTA VERKOSSA

ESTON LASKENTA VERKOSSA J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Esto verkossa 1 ESTON LASKENTA VERKOSSA Erlangin funktion E(C, a) avulla voidaan laskea esto yhdessä linkissä, jonka kapasiteetti on C (johtoa) ja johon tarjotun

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan Laplace muunnos Hieman yksinkertaistaen voisi sanoa, että Laplace muunnos muuttaa derivaatan kertolaskuksi ja integroinnin jakolaskuksi. Tältä kannalta katsottuna Laplace muunnoksen hyödyllisyyden ymmärtää;

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b

Lisätiedot

Merkintöjen tekeminen pohjakuvaan Libre Officella v.1.2

Merkintöjen tekeminen pohjakuvaan Libre Officella v.1.2 v.1.2 Tämän ohjeen avulla voit piirtää omia merkintöjäsi olemassa olevan pohjakuvan päälle. Ohje on tehty käyttäen LibreOfficen versiota 5.0, mutta se toimii melko hyvin myös vanhempien versioiden kanssa.

Lisätiedot

KELAN INDUKTANSSI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Miika Manninen, n85754 Tero Känsäkangas, m84051

KELAN INDUKTANSSI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Miika Manninen, n85754 Tero Känsäkangas, m84051 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Miika Manninen, n85754 Tero Känsäkangas, m84051 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria KELAN INDUKTANSSI Sivumäärä: 21 Jätetty tarkastettavaksi: 21.04.2008

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

Marjan makuisia koruja rautalangasta ja helmistä -Portfolio

Marjan makuisia koruja rautalangasta ja helmistä -Portfolio Marjan makuisia koruja rautalangasta ja helmistä -Portfolio Saara Lohi 2007 Suunnittelu ja tavoitteet Suunnittelun lähtökohtana oli kuva pihlajanmarjoista pajumatolla. Tavoitteena on suunnitella ja toteuttaa

Lisätiedot

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä

Lisätiedot

DIODIN OMINAISKÄYRÄ TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ

DIODIN OMINAISKÄYRÄ TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ 1 IOIN OMINAISKÄYRÄ JA TRANSISTORIN OMINAISKÄYRÄSTÖ MOTIVOINTI Työ opettaa mittaamaan erityyppisten diodien ominaiskäyrät käyttämällä oskilloskooppia XYpiirturina Työssä opetellaan mittaamaan transistorin

Lisätiedot

Erilaisia entalpian muutoksia

Erilaisia entalpian muutoksia Erilaisia entalpian muutoksia REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Erilaisille kemiallisten reaktioiden entalpiamuutoksille on omat terminsä. Monesti entalpia-sanalle käytetään synonyymiä lämpö. Reaktiolämmöllä eli

Lisätiedot

e pinnasta. Koska molekyylien väliset vetovoimat pienenevät nopeasti etäisyyden

e pinnasta. Koska molekyylien väliset vetovoimat pienenevät nopeasti etäisyyden Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 1 PINTAJÄNNITYS 1. Työn tavoitteet Nesteen ollessa levossa voi havaita sen pinnan muistuttavan jännitettyä, kimmoisaa kalvoa. Pinta pyrkii saavuttamaan mahdollisimman

Lisätiedot

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

LÄÄKETEHTAAN UUMENISSA

LÄÄKETEHTAAN UUMENISSA LÄÄKETEHTAAN UUMENISSA KOHDERYHMÄ: Soveltuu lukion KE1- ja KE3-kurssille. KESTO: n. 1h MOTIVAATIO: Työskentelet lääketehtaan laadunvalvontalaboratoriossa. Tuotantolinjalta on juuri valmistunut erä aspiriinivalmistetta.

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Lisää segmenttipuusta

Lisää segmenttipuusta Luku 24 Lisää segmenttipuusta Segmenttipuu on monipuolinen tietorakenne, joka mahdollistaa monenlaisten kyselyiden toteuttamisen tehokkaasti. Tähän mennessä olemme käyttäneet kuitenkin segmenttipuuta melko

Lisätiedot

PERUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet

PERUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 PERUSMITTAUKSIA 1 Työn tavoitteet Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan

Lisätiedot

Trust PhotoCam 1300 TRUST PHOTOCAM 1300. Pika-asennusohje. Versio 1.0

Trust PhotoCam 1300 TRUST PHOTOCAM 1300. Pika-asennusohje. Versio 1.0 TRUST PHOTOCAM 1300 Pika-asennusohje SF Versio 1.0 1 1. Johdanto Tämä käyttöohje on tarkoitettu Trust PhotoCam 1300 -tuotteen käyttäjille. Ota ongelmatilanteissa yhteyttä yhteen Trustin asiakastukikeskuksista.

Lisätiedot

Valtteri Lindholm (Helsingin Yliopisto) Horisonttiongelma 21.11.2013 1 / 9

Valtteri Lindholm (Helsingin Yliopisto) Horisonttiongelma 21.11.2013 1 / 9 : Valtteri Lindholm (Helsingin Yliopisto) Horisonttiongelma 21.11.2013 1 / 9 Horisonttiongelma Valtteri Lindholm Helsingin Yliopisto Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari Valtteri Lindholm

Lisätiedot

TITRAUKSET, KALIBROINNIT, SÄHKÖNJOHTAVUUS, HAPPOJEN JA EMÄSTEN TARKASTELU

TITRAUKSET, KALIBROINNIT, SÄHKÖNJOHTAVUUS, HAPPOJEN JA EMÄSTEN TARKASTELU Oulun Seudun Ammattiopisto Raportti Page 1 of 6 Turkka Sunnari & Janika Pietilä 23.1.2016 TITRAUKSET, KALIBROINNIT, SÄHKÖNJOHTAVUUS, HAPPOJEN JA EMÄSTEN TARKASTELU PERIAATE/MENETELMÄ Työssä valmistetaan

Lisätiedot

String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (1/2) String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (2/2) Luentoesimerkki 4.1

String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (1/2) String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (2/2) Luentoesimerkki 4.1 String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (1/2) Vertailuja tehdessä törmätään usein tilanteeseen, jossa merkkijonoa (esimerkiksi merkkijonomuuttujaa) pitää vertailla toiseen merkkijonoon. Tällöin tavanomainen

Lisätiedot

VASTUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet

VASTUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt VASTUSMTTAUKSA Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut Ohmin lakiin ja joihinkin menetelmiin, joiden avulla vastusten resistansseja

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Kauden vaihtaminen. Tom Hedman Jopox oy; 1.1.2016

Kauden vaihtaminen. Tom Hedman Jopox oy;  1.1.2016 2016 Kauden vaihtaminen Tom Hedman Jopox oy; www.jopox.fi 1.1.2016 Kauden vaihtamiseen liittyvät toimet Jopoxiin on rakennettu palloilulajeihin ominainen piirre kausienvaihtelumekanismi. Mekanismin avulla

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 12.11.2015 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot