S Jonoteoria, II/2007 Laskuharjoitukset. Virtamo / Penttinen. 10. joulukuuta Diskreetit ja jatkuvat jakaumat 1

Transkriptio

1 S Jonoteoria, II/007 Laskuharjoitukset Virtamo / Penttinen 0. joulukuuta 007 Sisältö Diskreetit ja jatkuvat jakaumat Jakaumat ja Markov-ketjut 5 3 Syntymä-kuolema- ja Poisson-prosessit, Littlen tulos 8 4 Estojärjestelmät 5 Jonojärjestelmät 6 6 Prioriteettijonot, jonoverkot 0 ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

2 Teknillinen korkeakoulu Sähkö- ja tietoliikennetekniikan osasto Tietoverkkolaboratorio PL TKK

3 Laskuharjoitus DISKREETIT JA JATKUVAT JAKAUMAT LH : Diskreetit ja jatkuvat jakaumat. Kahdesta kolikosta toinen on tavallinen kun taas toisessa kolikossa on molemmilla puolilla kruuna. Näistä kolikoista valitaan toinen umpimähkään ja sitä heitetään m kertaa kaikkien m heiton päätyessä kruunaan. Mikä on todennäköisyys, että valittu kolikko on tavallinen? Laske arvo kun m,, 3. Merkitään mahdollisia tapahtumia seuraavalla tavalla: X normaali kolikko tulee valituksi, P{X} / Y väärä kolikko tulee valituksi, P{Y } / C m satunnaisesti valittua kolikkoa heitettäessä saadaan m kertaa peräkkäin kruuna. Joten ehdolliset todennäköisyydet saada m kertaa kruuna peräkkäin on P{C m X} (/) m, P{C m Y }. Kysytty suure on P{X C m }, joten voidaan soveltaa Bayesin kaavaa: P{A j B} P{B A j}p{a j } i P{B A i}p{a i }, missä i A i S ja A i Aj i j. Joten tässä P{X C m } P{C m X}P{X} P{C m X}P{X} +P{C m Y }P{Y } (/) m (/) (/) m (/) + (/) m +. Kun m,, 3 saadaan m P{X C m } /3 /5 3 /9. Bernoulli-kokeessa saadaan tulos todennäköisyydellä p ja tulos 0 todennäköisyydellä q p. Arvoa p ei tunneta, mutta tiedetään, että se on alunpitäen vedetty tasaisesta jakaumasta välillä (0,), ts. kaikkia arvot tällä välillä ovat aprioriyhtä todennäköisiä. p:n todellisesta arvosta yritetään saada informaatiota suorittamalla toistettu Bernoulli-koe. Kokeessa 0-tuloksia saadaan n 0 kertaa ja -tuloksia n kertaa. Mikä on p:n a posteriori -jakauma (Bayes) kokeen tuloksen valossa? Missä sijaitsee jakauman maksimi? Olkoon n n 0 + n. Nyt todennäköisyys, että n:n kokeen jälkeen on saatu n kertaa tulos on ( ) n P{n p} p n ( p) n n n Merkitään f(p):llä p:n ehdollista tiheysfunktiota ja f 0 (p):llä p:n aprioritiheysfunktiota. Bayesin kaavalla saadaan f(p) P{n p}f 0 (p) 0 P{n p}f 0 (p)dp P{n p} 0 P{n p}dp pn ( p)n n 0 pn ( p) n n dp,

4 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen sillä f 0 (p) (tasajakauma). Merkitään C(n,n) 0 pn ( p) n n dp, jolloin f(p) pn ( p) n 0 C(n,n 0 + n ). Jakauman maksimi saadaan derivoimalla: f (p) [ n p n ( p) n 0 n 0 p n ( p) n 0 ] C f (p ) 0 n ( p )n 0 p p n. n 0 + n Lasketaan seuraavaksi C(n,n): n ( ) n n ( ) C(n,n)z n n (zp) n ( p) n n dp n 0 n 0 n 0 josta vertaamalla z n :n kertoimia nähdään, että 0 n ((zp)+( p)) n dp / ((z )p +)n+ n +z 0 ( z n+ ) n z n, n + z n + C(n,n) ( n + n ) n!(n n )! n (n +)! 0 [ (n +) Joten p:n ehdolliseksi tiheysfunktioksi saadaan ( ) n f(p) (n +) p n ( p) n 0. Nyt p:n odotusarvo ehdolla n on E[p n ] 0 n ((z )p +) n dp n 0 ( )] n. ( ) { }} { n pf(p) dp (n +) p n+ ( p) n n dp n ) 3. Sovella keskiarvon ja varianssin ketjusääntöjä n 0 n C(n +,n+) (n +)( n (n +) ( n+ ) (n +)n!(n +)!(n n )! (n +)n n +!(n n )!(n +)! n + n +. E[X] E[E[X Y ]] V[X] E[V[X Y ]] + V [E [X Y ]] tapaukseen X X X N, missä X i :t ovat riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia (keskiarvo m, varianssi σ )jan on positiivinen kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja (keskiarvo n, varianssi ν ). Ehdollista laskenta N:n arvoihin. Sovelletaan annettuja ketjusääntöjä. E[X] E[E[X N]] E [Nm]nm. V[X] E[V[X N]] + V [E [X N]] E [ σ N ] +V[mN] nσ + m ν.

5 Laskuharjoitus DISKREETIT JA JATKUVAT JAKAUMAT 4. Lähiverkossa kulkee viiteen eri sovellukseen liittyviä paketteja. Kunkin sovelluksen i, i,...,5, lähettämien pakettien keskipituus m i ja keskihajonta σ i on määrätty kokeellisesti. Samoin on määrätty kuhunkin sovellukseen liittyvien pakettien osuus p i kaikista paketeista. Mitatut arvot on annettu allaolevassa taulukossa. Laske kaikkien verkossa kulkevien pakettien pituuksien keskiarvo ja keskihajonta. sovellus p i m i σ i Olkoon satunnaismuuttuja X satunnaisen paketin pituus ja Y sovellus josta paketti on lähtöisin. Sovelletaan keskiarvon ja varianssin ketjusääntöjä: m i { }} { E[X] E[ E[X Y ]] i p i m i 50.5 σ i { }} { { }} { V[X] E[ V[X Y ]] + V[ E[X Y ]] p i σi + ( ) p i m i p i m i i i i Joten verkossa liikkuvien pakettien pituuksien keskiarvo on noin 50.5 ja keskihajonta noin Lähiverkossa kulkee liikennettä stationaarisena prosessina siten, että kaikki samanpituiset jaksot ovat tilastollisesti identtisiä. Merkitään X :llä, X :lla ja X 3 :lla liikenteen määriä (kb) peräkkäisissä 0 min jaksoissa. Pitkäaikaisen liikennemittauksen perusteella on laskettu liikenteen määrän (esim. kb) varianssit 0 min ja 0 min ja 30 min pituisissa jaksoissa: v, v ja v 3. Toisin sanoen v V[X ] V[X ] V[X 3 ], v V[X + X ] V[X + X 3 ] ja v 3 V[X + X + X 3 ].LaskeCov[X,X ] Cov[X,X 3 ] sekä Cov[X,X 3 ] varianssien v, v ja v 3 avulla. Ohje: esim. edellinen seuraa kehittämällä v V[X + X ] Cov[X + X,X + X ] auki. m i X X X 3 Määr.: Cov[A, B] E[(A E[A]) (B E[B])] E [AB] E[A]E[B]. Joten esim. Cov[A + B,C]E[AC + BC] E[A + B]E[C] Cov[A, C]+Cov[B,C] jne. (i) Stationaarisuus Cov[X,X ]Cov[X,X 3 ] v Cov[X + X,X + X ]Cov[X,X ]+Cov[X,X ]+Cov[X,X ] v +Cov[X,X ] Cov[X,X ]v / v. (ii) v 3 Cov[X + X + X 3,X + X + X 3 ] V[X ]+V[X ]+V[X 3 ]+Cov[X,X ]+Cov[X,X 3 ]+Cov[X,X 3 ] 3v +4(v / v )+Cov[X,X 3 ] Cov[X,X 3 ]v / v + v 3 /. 3

6 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen Joten, kun tunnetaan varianssit v, v ja v 3 voidaan päätellä myös jaksojen väliset kovarianssit. 6. Reitittimeen saapuvien pakettien pituuksien (tavuina) oletetaan noudattavan geometrista jakaumaa. Pakettien keskipituus on 00 tavua. Jokainen paketti luetaan ensin tulopuskuriin. Kuinka suuri tämän puskurin tulee olla, jotta saapuva paketti mahtuisi siihen vähintään 95 % todennäköisyydellä? Olkoon satunnaismuuttuja X paketin pituus. Paketin pituus noudatti geometrista jakaumaa keskiarvolla 00, joten P{X n} ( p) n p q n p, missä p /00. Olkoon tulopuskurin koko N. Todennäköisyys, että satunnainen paketti mahtuu puskuriin, on N n P{X N} q i p p q i p qn q qn, josta voidaan ratkaista N: i i0 P{X N} 0.95 q N 0.05 N ln q ln 0.05 (ln q<0) N ln 0.05/ ln q 98., eli kun puskurin koko on 99 tavua tai pidempi, mahtuu saapuva paketti puskuriin vähintään 95 % todennäköisyydellä. 4

7 Laskuharjoitus JAKAUMAT JA MARKOV-KETJUT LH : Jakaumat ja Markov-ketjut. Olkoon S X X N, missä X i Exp() ovat riippumattomia samoin jakautuneita satunnaismuuttujia ja N näistä riippumaton geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja, P{N k} ( p)p k, k,,... Johda S:n häntäjakautuma G(x) P{S >x}. Lasketaan ensin geometrisen jakauman generoiva funktio: ( ) p G N (z) z k ( p)p k (pz) k p pz p p pz z p pz. k k Vastaavasti eksponentiaalijakauman generoiva funktio on G X (s) Nyt summan generoiva funktio on S(s) G N (G X (s)) ( p) 0 e t e st dt +s p +s 0 e (+s)t dt + s. ( p) + s p ( p) ( p) + s. Toisinsanoen summa S noudattaa eksponentiaalijakaumaa parametrilla ( p). Täten häntäjakaumaksi saadaan / P{S >x} ( p)e ( p)t dt e ( p)t e ( p)x. x. Osoita suoraan laskemalla (ilman generoivaa funktiota), että kahden Poisson-jakautuneen kokonaislukumuuttujan N Poisson(a )jan Poisson(a ) summa on Poisson-jakautunut: (N + N ) Poisson(a + a ). Totea sama generoivan funktion avulla. Poisson-jakaumalle pätee P {N i n} (a i) n n! e a i. x P{N n} P{N + N n} n (a ) j j0 j! n P{N j} P{N n j} j0 e a (a ) n j (n j)! e a e (a+a) n! (a + a ) n e (a +a ), (binomikaava) n! joten summa N N + N on Poisson(a + a ). Toisaalta, olkoon X Poisson(a). Satunnaismuuttujan X generoiva funktio on GX(z) E[z X ] j0 z j aj j! e a e a joten summan N + N generoiva funktio N(z) on j0 n j0 n! j!(n j)! (a ) j (a ) n j (az) j e a e az e (z )a, j! N(z) N (z) N (z) e (z )a e (z )a e (z )(a +a ). Eli N noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a + a. 5

8 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen 3. Olkoon X eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja. Tekemättä mitään laskuja kerro, mikä seuraavista kolmesta väitteestä on tosi. Perustele. a) E [ X X> ] E [ (X +) ] b) E [ X X> ] E [ X ] + c) E [ X X> ] (+E[X]) Väite a) on tosi, koska eksponentiaalijakauman muistittomuudesta johtuen ehdolla X> on satunnaismuuttuja X jakautunut kuten X +. Muut väitteet ovat epätosia. 4. Nelitilaisen Markovin ketjun tilasiirtymämatriisi on P / / B A Piirrä ketjun tilasiirtymäkaavio ja päättele, mitkä tilat ovat transientteja ja mitkä palautuvia. Selvästi kaikki ketjun tilat ovat palautuvia (prosessi palaa tilaan todennäköisyydellä ), joten transientteja tiloja (paluun todennäköisyys pienempi kuin yksi) ei ketjusta löydy. Tarkemmin, jolloin, p n def P{ ketju palaa tilaan 33n:n askeleen aikana}, joten rajalla n p p +( ) + ( ) p n n i ( ) i p ( ) i /. i0 Täten ketju palaa tilaan 3 todennäköisyydellä ja ko. tila on palautuva. Vastaava pätee myös tilalle Aika absorptioon. Kolmitilaisella Markovin ketjulla (tilat i,...,3) on seuraava siirtymätodennäköisyysmatriisi: P 0 /4 / / /4 /4A. 0 0 Tila 3 on absorboiva tila. Merkitään T i :llä keskimääräistä aikaa (askelten määrää), joka tilassa i olevalta systeemiltä kuluu absorboivaan tilaan siirtymiseen (T 3 0). Kirjoita yhtälöt T i :lle, i,, perustuen siihen, että seuraava siirtymä i j vie yhden askeleen ja markovisuuden nojalla siitä eteenpäin kuluu keskimäärin T j askelta absorboivaan tilaan pääsemiseksi. Ratkaise yhtälöt. 6

9 Laskuharjoitus JAKAUMAT JA MARKOV-KETJUT Symmetriasta seuraa, että T T.Joten, T p ( + T )+p ( + T )+p 3 ( + T 3 ) +p T + p T (symmetria) T T 4. /4 / / /4 /4 6. Määritellään äärettömän pitkässä Bernoulli(p)-kokeiden jonossa n:nnellä kokeella järjestelmän tilaksi luku, joka kertoo kuinka mones perättäinen onnistunut koe on kyseessä eli kuinka pitkä matka on edelliseen epäonnistuneeseen kokeeseen. Jos koe n epäonnistui, niin X n 0;josse onnistui, mutta edellinen epäonnistui, niin X n, jne. a) Mikä on järjestelmän tila-avaruus? b) Perustele, että X n muodostaa Markovin ketjun. c) Kirjoita Markovin ketjun tilasiirtymämatriisi (näytä sen struktuuri). /4 (a) X n voi saada kaikki kokonaislukuarvot nollasta äärettömään (b) Kokeet ovat riippumattomia toisistaan: { Xn + tn:llä p, X n+ 0 tn:llä p, eli järjestelmän tila hetkellä n +riippuu vain järjestelmän tilasta hetkellä n. Ts. se muodostaa Markovin ketjun. (c) p p 0 0 p 0 p 0 P p 0 0 p

10 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen LH 3: Syntymä-kuolema- ja Poisson-prosessit, Littlen tulos. Ratkaise tasapainotodennäköisyydet SK-prosesseille (tila-avaruus i 0,,,...), joiden tilasiirtymänopeudet ovat a) λ i λ, i i, b)λ i λ/(i +), i, missä λ ja ovat vakioita. λ i i+ i i+ (i+) λ i+ Kuva : Siirtymänopeudet tilojen i ja i +välillä. (a) Kuvasta nähdään, että (i +)π i+ λπ i π i+ λ i + π i a i + π i. Eli Lisäksi i π i eli π aπ 0, π a π a! π 0,. π i ai i! π 0. π i π 0 i Joten π i ai i! e a. (eli noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a λ/) (b) Tässä tapauksessa saadaan i a i i! π 0e a π 0 e a. λ i + π i π i+ π i+ a i + π i eli tasapainojakauma on sama kuin (a)-kohdassa.. Eräässä pelissä äänimerkkejä tulee poissonisesti nopeudella λ aikavälillä (0,T), T > /λ. Pelaaja voittaa vain siinä tapauksessa, että äänimerkkejä ylipäätään tulee ja hän onnistuu painamaan nappia viimeisen äänimerkin kohdalla (vain yksi painallus sallittu). Pelaaja valitsee seuraavan pelistrategian: hän painaa nappia ensimmäisen äänimerkin kohdalla, joka tulee (jos tulee) tietyn kiinteän ajanhetken s T jälkeen. a) Millä todennäköisyydellä pelaaja voittaa? b) Mikä s:n arvo maksimoi voittotodennäköisyyden ja mikä maksimin arvo on? 8

11 Laskuharjoitus 3 SYNTYMÄ-KUOLEMA- JA POISSON-PROSESSIT, LITTLEN TULOS Pelaaja panostaa siis siihen, että välille (s, T ) tulee tasan yksi saapuminen. Olkoon τ T s, jolloin saapumisten lkm. on Poisson-jakautunut parametrilla a λτ. Tässä 0 τ T,eli0 a λt missä λt >. a) p v P{N(T ) N(s) } a! e a ae a, missä a λ(t s). b) Haetaan maksimi derivoimalla a:n suhteen: d da p v(a) e a ae a ( a)e a. Derivaatalla on selvästi vain yksi nollakohta, a, joka on myös funktion maksimi (ensin aidosti kasvava, sitten aidosti vähenevä). a λ(t s) s T /λ, mikä myös kuuluu määrittelyalueen sisälle. Voiton maksimitodennäköisyys on täten /e. 3. On havaittu, että Poisson-prosessista on välille (0,t) osunut yksi saapuminen, N(0,t). Osoita, että tähän tietoon ehdollistettuna saapumishetki τ on tasanjakautunut kyseisellä välillä. Ohje: Laske saapumishetken τ ehdollinen kertymäfunktio P{τ s yksi saapuminen välillä (0,t)} P{τ s N(0,t)} P{τ s ja N(0,t)} P{N(0,t)} P{N(0,s)ja N(s, t) 0} P{N(0,t)} λs (λ(t! e λs s))0 e λ(t s) 0! s/t, joten τ Tas(0,t). λt! e λt 4. Järjestelmään saapuu asiakkaita Poisson-prosessin mukaisesti intensiteetillä λ. Kuhunkinasiakkaaseen liittyy muista riippumatta tuotto Y, jonka oletetaan saavan kokonaislukuarvoja todennäköisyyksillä p i P{Y i}, i,,... Merkitään X t :llä tulokertymää aikavälillä (0,t). a) Johda lauseke E[X t ]:lle ja V[X t ]:lle. b) Päättele, että X t E +E +3E 3 +, missä E i :t ovat toisistaan riippumattomia ja E i Poisson(p i λt). Eli X t systeemin tuotto välillä (0,t), N t asiakkaiden lukumäärä välillä (0,t), N t Poisson(λt). (a) Systeemin tuotto on selvästi satunnaissumma X t Y Y Nt, 9

12 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen missä Y i ovat i.i.d. satunnaismuuttujia. Ehdollistetaan laskenta N t :n arvoon ja sovelletaan keskiarvon ja varianssin ketjusääntöjä: Vastaavasti varianssi: E[X t ]E[E[X t N t ]] E [ N t Y ] E[N t ]E[Y ]λt E[Y ]. V[X t ] V[E[X t N t ]] + E [V [X t N t ]] V [ N t Y ] +E[N t V[Y ]] ( ) V[N t ]E[Y ] +E[N t ]V[Y ]λt E[Y ] +V[Y ] λt E [ Y ]. λt t p λt t p λt t Kuva : Poisson-prosessin satunnaishajoitus (b) Välillä (0,t) saapuvien asiakkaiden lukumäärä N t noudatti Poisson-prosessia. Tämän prosessin satunnaishajoitus todennäköisyyksillä p i johtaa uusiin keskenään riippumattomiin Poissonprosesseihin E i parametreilla p i λt. Joukon i alkioiden tuotto oli tehtävän määritelmän mukaan i, joten X t i E i. i 5. Tietoliikenneverkkoon saapuu paketteja eri lähteistä yhteensä miljoona kappaletta sekunnissa. Lähde- kohdeosoiteparin perusteella määräytyvien reittien pituudet vaihtelevat huomattavasti. Pakettien verkossa viettämä aika riippuu paitsi kuljetun reitin pituudesta myös verkon ruuhkaisuudesta. Kyseisellä ajalla oletetaan olevan jakauma: ms (90 %), 0 ms (7 %), 00 ms (3 %). Kuinka monta pakettia verkossa keskimäärin on kerrallaan matkalla? viipymä osuus saap. intensiteetti ms 90% /s 0ms 7% /s 00ms 3% /s Tunnetaan kunkin pakettiluokan saapumisintensiteetti ja (keskimääräinen) viipymä systeemissä, joten voidaan sovelletaan Littlen tulosta N λt. N ms /s 900, N 0 ms /s 700, N 3 00 ms /s 3000, Erään pelkistymättömän Markovin prosessin tilat, joiden tasapainotodennäköisyydet π i tunnetaan, voidaan jakaa kahteen joukkoon A {,,...,n} ja B {n +,n+,...} siten, Hajoitetaan ensin kahteen prosessiin tn. p, joista jälkimmäinen hajoitetaan uudelleen tn.:llä p / X i p i jne. 0

13 Laskuharjoitus 3 SYNTYMÄ-KUOLEMA- JA POISSON-PROSESSIT, LITTLEN TULOS että joukkojen välillä on nollasta poikkeavat tilasiirtymänopeudet vain tilasta n tilaan n +ja takaisin, nimittäin q n,n+ λ ja q n+,n. Kirjoita Littlen tulosta käyttäen lauseke keskimääräiselle ajalle, joka kuluu siirtymästä n n +siihen, kun systeemi seuraavan kerran palaa joukkoon A (siirtymä n + n) eli ajalle, jonka systeemi keskimäärin kerrallan viettää tilajoukossa B. Määritellään uusi systeemi, missä asiakkaan saapuminen tarkoittaa siirtymistä tilasta n tilaan n +, eli joukosta A joukkoon B. Vastaavasti poistuminen vastaa tapahtumaa B A. A n λ n+ B Littlen kaava: N λ T, missä λ on asiakkaiden saapumisnopeus. Uudessa systeemissä keskimääräinen asiakkaiden lukumäärä on, N P{B} in+ Asiakkaan viipymä systeemissä, T, on aika tapahtumasta A B tapahtumaa B A, eli kysytty suure. Asiakkaiden saapumisintensiteetti λ puolestaan on λ λπ n. π i. Joten T N λ in+ π i λπ n n i π i. λπ n

14 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen LH 4: Estojärjestelmät. Autoja saapuu katsastusasemalle keskimäärin 50 s välein, ja katsastus kestää keskimäärin 5 min (odotusaika mukaanlukien). Katsastuksen jälkeen 0 % autonomistajista jää aseman kahvilaan, missä he viettävät keskimäärin 0 min. Kuinka monta tarkastettavaa autoa keskimäärin on katsastusasemalla? Sovelletaan Littlen tulosta N λw. Keskimääräinen viipymä systeemissä on joten Littlen kaavan avulla saadaan, W 5min min 7min, N 50s 7min 6 7min min. Kapasiteetiltaan rajoittamattomalle linkille, joka hetkellä 0 on tyhjä, alkaa saapua yhteyksiä Poisson-prosessin mukaisesti intensiteetillä λ. Yhteyksien pitoaikojen oletetaan olevan toisistaan riippumattomia ja eksponentiaalisesti jakautuneita keskiarvolla /. Tarkastellaan hetkellä t 0 käynnissä olevien yhteyksien lukumäärää N t. Määrää N t :n jakautuma ja erityisesti sen keskiarvon käyttäytyminen ajan t funktiona. Ohje: Käynnissä olevien yhteyksien lukumäärä on sama kuin saapumisten lukumäärä välillä (0,t) eräästä epähomogeenisesta Poisson-prosessista, joka saadaan alkuperäisestä Poisson-prosessista sopivan satunnaispoiminnan avulla. p(x) 0 t Kuva 3: Satunnaispoiminta Poisson-prosessista. Alkuperäinen prosessi on Poisson prosessi intensiteetillä λ. Suoritetaan satunnaispoiminta alkuperäisestä prosessista todennäköisyydellä, että yhteys olisi vielä käynnissä hetkellä t. Eli p(x) P{hetkellä x saapuva yhteys päällä hetkellä t} e (t x). Epähomogeenisen Poisson prosessin intensiteetti on täten λ (t) λp(x) λe (t x). Luentojen mukaan epähomogeenisen Poisson-prosessin saapumisten lukumäärä välillä (0,t) noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a(t) t 0 / t λe (t x) dx λe t ex λ ( e t e t ) λ ( e t ). 0 Poisson-jakauman odotusarvo on parametri itse, joten käynnissä olevien yhteyksien keskiarvo hetkellä t on λ ( e t ), ja sen raja-arvo on λ, kuten pitääkin olla. saapumisintensiteetti on ajan funktio

15 Laskuharjoitus 4 ESTOJÄRJESTELMÄT 3. Postimyyntiyhtiössä on tilaussoittoja vastaanottamassa 3 henkilöä. Puheluita saapuu Poissonprosessina nopeudella /min ja puhelun keskipituus on min. a) Millä todennäköisyydellä saapuva puhelu estyy, kun estyneitä puheluyrityksiä ei uusita? b) Kannattaako neljännen vastaajan palkkaaminen, jos vastaajan kokonaiskustannukset ovat 00 /h ja tuotto tilausta kohti on keskimäärin 0? Kyseessä on Erlangin menetysjärjestelmä 3:lla tai 4:llä palvelimella (M/M/K/K-systeemi, missä K 3tai 4). Tilausten intensiteetti (kuorma) a λ x /min min. Koska kyseessä on Poisson-prosessi, kutsuesto ja aikaesto ovat samat. a) Lasketaan tilan kolme todennäköisyys (K 3) joko käsin tai katsomalla likiarvo käyrästöstä: E(3,a) a 3 /3! +a/! + a /! + a 3 /3! b) Nyt K 4. Neljännestä henkilöstä on hyötyä kun palveltavana on 4 asiakasta. Lasketaan tilan neljä todennäköisyys: a 4 /4! E(4,a) +a/! + a /! + a 3 /3! + a 4 /4! Estynyt liikenne pienenee (eli läpi mennyt kasvaa) määrällä λ (E(3,a) E(4,a)). Joten nettomuutos on λ (E(3,a) E(4,a)) 0 00 /h 38.3 /h. Ts. neljännen vastaajan palkkaaminen kannattaa. 4. Käyttäen Erlangin estofunktion rekursiota laske E(n, 6) arvoilla n 0,...,6. Erlangin estofunktion rekursiokaava: E(n, a) Soveltamalla yo. kaavaa saadaan: a E(n,a) n + a E(n,a) ja E(0,a). E(0, 6), E(4, 6) 6 36/ /6 54/5, E(, 6) /7, E(5, 6) 6 54/ /5 34/899, E(, 6) 6 6/7 +6 6/7 8/5, E(6, 6) 6 34/ /899 34/3. E(3, 6) 6 8/ /5 36/6, 5. Tarkastellaan n:n palvelimen Erlangin estojärjestelmää, johon tarjotun liikenteen intensiteetti on a. a) Osoita suoraan laskemalla tasapainotilatodennäköisyyksistä, että järjestelmässä keskimäärin sisällä olevien asiakkaiden lukumäärä N on sama kuin ( E(n, a))a. Tulkitse tulos Littlen lauseen perusteella. b) Päättele Littlen tuloksen perusteella, kuinka pitkän ajan kerrallaan järjestelmä keskimäärin viettää tilassa N n. (Ohje: Kuinka usein järjestelmä saapuu tilaan N n? Tilan keskimääräinen miehitys on sama kuin ko. tilan tasapainotodennäköisyys; järjestelmä joko on tai ei ole ko. tilassa.) Päättele sama tulos suoraan eksponenttijakautuman ominaisuuksien perusteella. 3

16 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen a) Erlangin estojärjestelmäm tasapainojakaumalle pätee: Lasketaan N. N n k π k k0 k0 n k ak /(k )! n j0 aj /j! a a π k a k /k! n j0 aj /j! n a k /k! n k n j0 aj /j! k0 k ak /k! n j0 aj /j! n k0 ak+ /k! n a n k0 ak /k! a n+ /n! j0 aj /j! n j0 aj /j! a n /n! n a( E(n, a)). j0 aj /j! b) Määritellään uusi stokastinen prosessi Y t seuraavalla tavalla. Olkoon X t alkuperäisen estojärjestelmän tila hetkellä t { ja Y t tilan n keskimääräinen miehitys :, kun Xt n, Y t πn n πn 0, muulloin. n n Tällöin siirtyminen tilaan n alkuperäisessä prosessissa vastaa asiakkaan saapumista prosessissa Y t ja λ vastaavasti poistuminen tilasta n asiakkaan poistumista prosessissa Y t. Kuva 4: Tilan N n siirtymät. Tasapainotilassa saapuva liikenne tilaan n on λ Y π n λ. Lisäksi prosessin Y t keskimääräinen miehitys N Y on 0 ( π n )+ π n π n. Sovelletaan tähän Littlen tulosta: N λw. π n π n λ W Y W Y π n π n λ a n /n! P n j0 aj /j! P a n /n! n j0 aj /j! λ a n /n! a n /n! λ a nλ n. Toisaalta viipymä tilassa n on eksponentiaalisesti jakautunut parametrilla n (ei ylempiä tiloja mihin siirtyä), joten viipymän odotusarvon on oltava sama W Y n. 6. Tutkitaan - ja 4 -keskittimiä, joissa kuhunkin sisääntuloon saapuu tarjottuja kutsuja Poisson-prosessin mukaisesti intensiteetillä γ. Keskimääräinen pitoaika on / ja â γ/ 0.. Vertaa näissä keskittimissä todennäköisyyksiä, joilla vapaaseen tulolinjaan saapunut kutsu estyy sen vuoksi, että kaikki lähtölinjat ovat varattuja. Kyseessä on tavallinen Engsetin järjestelmä, n lähdettä ja s palvelinta, 0 s n. Systeemin tilatodennäköisyyksiä on tapana merkitä π j [n]:llä, j 0,...,s, ja vastaavasti saapuvan asiakkaan näkemää tilatodennäköisyysjakaumaa πj [n]:llä, j 0,...,s. Aikaesto Engsetin järjestelmässä on yleisesti sama kuin tilan s tilatodennäköisyys, ( ) ( ) n n â s s p s ( p) n s π s [n] s ( ) n â k s â s (, missä p n +â )p. k ( p) n k k k k0 k0 4

17 Laskuharjoitus 4 ESTOJÄRJESTELMÄT Vastaavasti kutsuestolle pätee π s [n] π s[n ] ( ) n â s s s (. n )â k k0 k Kun yo. kaavoihin sijoitetaan n ja s saadaan (p 0.09) n s aikaesto kutsuesto 6.7% 9.% 4 4.%.3% 5

18 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen LH 5: Jonojärjestelmät. Oletetaan, että terveyskeskuksessa on paikalla aina yksi lääkäri (4 tuntia vuorokaudessa) ja asiakkaita saapuu Poisson-prosessi mukaisesti intensiteetillä λ. Kunkin asiakkaan palveluaika noudattaa eksponentiaalijakaumaa keskiarvolla 30 minuuttia. Määrää maksimisaapumisintensiteetti, siten että 95% asiakkaista pääsee palveluun kolmen vuorokauden sisällä ensimmäisestä yhteydenotosta (vrt. hoitotakuu). M/M/-jonolle pätee (ks. luennot) josta saadaan nyt ehto P{W >t} ρ e ( λ)t, P{W >7} λ/ e ( λ) 7 5/00 λe 7λ e 44 /0. Vastaavasta yhtälöstä voidaan suurin sallittu λ ratkaista numeerisesti (tätä ennen voi olla paikallaan ottaa yhtälöstä puolittain logaritmi). Maksimiarvoksi saadaan λ max Osoita, että M/G/-LIFO-jonossa tasapainojakauma π n ( ρ)ρ n on voimassa palveluajan jakaumasta riippumatta. Ohje: Totea, että asiakas, jonka saapuessa systeemissä on j asiakasta, saa palvelua silloin ja vain silloin, kun järjestelmä on tilassa N j. Aika, jonka systeemi viettää tilassa N j muodostuu niin ollen niiden asiakkaiden täydellisistä palveluajoista, jotka saapuvat tilaan N j. Kuinka monta tällaista saapumista tapahtuu pitkänä aikavälinä T? Pitkällä aikavälillä T tilaan j saapuu keskimäärin λπ j T asiakasta. Koska kyseisiä asiakkaita palvellaan vain kun ollaan tilassa j, ollaan kyseisessä tilassa pitkällä aikavälillä λπ j T S, missä S on keskimääräinen palveluaika. Tämän ajan täytyy olla sama kuin Tπ j, eli saadaan mikä on sama kuin tavallisessa M/M/-jonossa. Tπ j λπ j T S π j ρπ j, 3. Tarkastellaan M/M//K-jonoa, jonka tilat ovat 0,,...,K. Johda todennäköisyys P n sille, että jono, joka alkuhetkellä on tilassa n, tulevaisuudessa tyhjenee aikaisemmin kuin vuotaa ensimmäisen kerran yli. Ohje: Lisää systeemiin kuvitteellinen tila K +; siirtyminen tilaan K + tarkoittaa samaa kuin, että systeemi vuotaa yli. Pätee P 0 ja P K+ 0. Kirjoita tiloille n,...,ktodennäköisyys P n todennäköisyyksien P n ja P n+ avulla. Ratkaise yhtälöt. Tilasta n siirrytään tilaan n todennäköisyydellä /(λ + ) ja tilaan n + todennäköisyydellä λ/(λ + ). Jakamalla tapauksiin seuraavan tilan suhteen saadaan Markovin ominaisuuden perusteella P n λ + P n + λ λ + P n+ λ(p n P n+ )(P n P n ). 6

19 Laskuharjoitus 5 JONOJÄRJESTELMÄT Kun määritellään D n P n P n+, saadaan edelleen Toisaalta pätee K n i0 D n λ D n ρd n D K i ρ i D K. D K i (P K P K+ )+(P K P K )+...+(P n+ P n+ )+(P n P n+ )P n P K+ K n P n D K i0 missä D K saadaan kirjoittamalla tämä todennäköisyydelle P 0 : K D K i0 ρ i P 0 D K ρ i, { ρ, ρ K+ ρ K+, ρ. 4. Asiakkaita saapuu kahden palvelimen systeemiin poissonisesti nopeudella λ 5/min. Jos palvelin on vapaa, asiakas menee tähän palvelimeen. Jos palvelin on varattu, mutta palvelin on vapaa, asiakas menee palvelimeen. Jos molemmat palvelimet ovat varattuja, asiakas poistuu palaamatta uudelleen. Saatuaan palvelun jommaltakummalta palvelimelta, asiakas poistuu. Palveluajat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita parametreilla 4/min ja /min. a) Mikä on systeemiin sisälle pääsevän asiakkaan systeemissä keskimäärin viettämä aika? b) Minkä osan ajasta palvelin on varattu? Kuvasta saadaan seuraavat tasapainoyhtälöt: (π + π 3 )5π (5.) 4(π + π 3 )5(π 0 + π ) (5.) π +4π 5π 0 (5.3) ja lisäksi normeerausehto Yhdistämällä (5.) ja (5.4) saadaan 3 0 λ 3 λ λ π 0 + π + π + π 3 (5.4) 4(π + π 3 )5( (π + π 3 )) π + π 3 5/9 π 0 + π 4/9. Vastaavasti (5.):sta saadaan, (π + π 3 )5π (π 0 + π )5π π 0 +7π, ja yhtälöistä (5.) ja (5.4), π +4π 5π 0 (π 0 + π )+4π 7π 0 3 Palvelin itsenään on kuten M/M// systeemi. 8/9+4π 7π π 6π π 6 44π π

20 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen Josta edelleen π , π a) Keskimääräinen viipymä: T ja π ( 9.88 s). 69 b) Palvelin kaksi on varattu: π + π Asiakkaita saapuu M/Erlang(k, )/-järjestelmään Poisson-prosessin mukaisesti intensiteetillä λ. Mitkä ovat asiakkaan keskimääräiset viipymä- ja odotusajat järjestelmässä? Erlang(k, )-jakautunut satunnaismuuttuja on k:n Exp()-satunnaismuuttujan summa, joten E[X ]k/, V[X ]k/, E [ X ] V[X ]+E[X ] k/ + k / (k + k )/. Kyseessä on M/G/-jono, joten voidaan käyttää Pollaczek-Khinchinin keskiarvokaavoja. Tarjottu kuorma on ρ λx k λ ja palveluajan odotusarvoksi saadaan, T x + λx ( ρ) k + λ k+k ( kλ) k Vastaavasti odotusajan odotusarvo on, ( + ) λ(k +). kλ W λx ( ρ) λ k+k ( kλ) λk(k +) ( kλ). 6. Jos yhden palvelimen jonojärjestelmässä asiakkaalta peritään jonkin säännön mukaan määräytyvä maksu, niin systeemin keskimääräinen ansionopeus λ (asiakkaan keskimäärin suorittama maksu), missä λ on keskimääräinen asiakasvirta järjestelmän läpi. Sovella tulosta M/G/-jonoon, jossa maksu määräytyy seuraavasti: veloitus aikayksikköä kohti on sama kuin asiakkaan kulloinkin jäljelläoleva palveluaika. Laske keskimääräisen maksun suuruus. Osoita, että yllämainitun ansionopeuden ja systeemin keskimääräisen aikaveloituksen yhtäsuuruus saa muodon: W λ (X W + X /), missä W on odotusaika ja X palveluaika. Ratkaise W. Minkä tuloksen olet johtanut? Merkitään, { W tekemätön työ jonossa as. saapumishetkellä, ja U tekemätön työ satunnaisella ajanhetkellä. Kyseessä on M/G/-jono ja veloitusnopeus on sama kuin asiakkaan jäljellä oleva palveluaika. Täten keskimääräinen maksu on X W + X, 8

21 Laskuharjoitus 5 JONOJÄRJESTELMÄT missä X ja W ovat riippumattomia (odotusajan taksa on palveluaika, ja palvelun aikana taksa putoaa lineaarisesti nollaan), joten keskimääräinen ansionopeus on λ(x W + X ). Toisaalta ansionopeus on systeemissä olevien asiakkaiden jäljellä olevien palveluaikojen summa eli jonossa oleva tekemätön työ U, joka on sama kuin virtuaalinen odotusaika, eli asiakkaan odotusaika, mikäli hän tulisi systeemiin kyseisellä hetkellä. Poisson-saapumisten PASTA-ominaisuudesta seuraa, että asiakkaiden todellisten odotusaikojen W jakauma on sama, eli U W ja U W.Joten josta saadaan W U λ(x W + X ), W ( λx) λx W λx ( λx) λx ( ρ), mikä on PK-keskiarvokaava. 9

22 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen LH 6: Prioriteettijonot, jonoverkot. Autoja saapuu palvelupisteeseen Poisson-prosessin mukaisesti keskimääräisellä nopeudella 4 autoa tunnisssa. Kussakin autossa on,, tai 3 asiakasta todennäköisyyksillä 4,, 4. Kunkin asiakkaan palveluaika on eksponentiaalisesti jakautunut keskiarvolla 3 min. Laske asiakkaan keskimääräinen odotusaika. Ohje: Kunkin ryhmän ensimmäisen asiakkaan keskimääräinen odotusaika voidaan selvittää tarkastelemalla sopivaa M/G/-jonoa. Tutki erikseen odotusaikaa ryhmän sisällä. Käsitellään aluksi koko ryhmää yhtenä yksikkönä ja tämän jälkeen mietitään sitten ryhmän sisäinen odotusaika. Koko ryhmälle voidaan soveltaa M/G/-jonomallia. On annettu Ryhmän palveluaika on Asiakkaiden lukumäärälle N saadaan, λ 4/h /5min, ja / 3min. S X X N, missä N on, tai 3. E[N] (/4) + (/) + 3 (/4) V[N] E [ (N E[N]) ] (/4) + 0 (/) + (/4) /. joista soveltamalla ketjusääntöjä saadaan palveluajalle, E[S]E[E[S N]] E [N 3min] 6min, V[S] E[V[S N]] + V [E [S N]] E [ N 9min ] +V[N 3min] 8min + 9 min 45/min E [ S ] V[S]+E[S] 45/min + 36min 7 min. Ryhmän keskimääräinen odotusaika saadaan Pollaczek-Khinchinin keskiarvokaavalla, E[W g ] λe [ S ] 7 ( λe[s]) 5min min ( 5min 6min) min 3 min 3min 5s. 4 5 Asiakkaan kokema odotusaika riippuu lisäksi sijainnista ryhmän sisällä. Helpointa on laskea koko ryhmän yhdessä kokema odotusajan odotusarvo ja jakaa se ryhmän keskikoolla: E[W c ](/4 0+/ +/4 3) 3min/ 5/8min. min5.5s. (Huom. Ryhmän koon ollessa 3, odotusaikakertymä on keskimäärin (0 ++) 3min 3 3min.) Laskemalla odotusajat yhteen saadaan asiakkaan keskimääräinen odotusaika, joka on E[W ]E[W g ]+E[W c ]5min7.5s.. Kopiokoneelle tulee asiakkaita poissonisesti nopeudella /min. Kopioitavien sivujen lukumäärä on tasaisesti jakautunut välillä,...,0. Yhden kopion ottaminen kestää 3 s. Laske keskimääräinen odotusaika jonossa, kun a) kopiokonetta käytetään saapumisjärjestyksessä (FIFO), b) asiakkaille, joilla on enintään kopioitavaa sivua annetaan ei-syrjäyttävä prioriteetti muihin nähden. 0

23 Laskuharjoitus 6 PRIORITEETTIJONOT, JONOVERKOT a) Sovelletaan P-K keskiarvokaavaa. Nyt on S X 3s, missä X on kopioitavien sivujen lukumäärä. Saadaan E[S] E[X] 3s 0 + 3s 33 s, Systeemin kuormaksi saadaan E [ S ] E [ X ] 9s 0 0 i ρ λ E[S] , i 9s 77 9 s. ja asiakkaan keskimääräinen odotusaika on W R/( ρ), missä R λe [ S ] /77 9/( 60)s 3/80s on palvelimen keskimääräinen jäljellä oleva työ (palveluaika). Saadaan siis W s 3 58 s 3.98s. b) Nyt asiakkaat jaetaan kahteen palveluluokkaan (m 0,n ja m,n 8): λ k E[S k ] ρ k 9 luokka 300 s 3/00 4 luokka 300 s 3( + 9 ) 39 56/600 3/50 Priorisoidussa systeemissä luokkakohtaiset odotusajat ovat W W R.93s, ρ R ( ρ )( ρ ρ ) W 4.04s. ρ ρ (R on sama kuin edellä; asiakkaiden palvelujärjestys ei vaikuta keskimääräiseen residuaalityöhön.) Keskimääräinen odotusaika on W λ W + λ W λ + λ 3.8s. 3. Tarkastellaan kahden luokan syrjäyttävää prioriteettijonoa, johon saapuu asiakkaita Poissonprosessin mukaisesti, luokkaan intensiteetillä λ ja luokkaan intensiteetillä λ. Palveluajat ovat riippumattomia ja noudattavat kummassakin luokassa eksponenttijakaumaa odotusarvolla /. Määrää luokkakohtaiset keskiviivet T ja T. Syrjäyttävälle prioriteettijonolle pätee (luennot), T ( ρ )S + R ρ, T ( ρ ρ )S + R ( ρ )( ρ ρ ),

24 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen missä R k k i λ i S i. Tässä, joten josta keskiviiveiksi saadaan, S S /, ρ λ /, S S /, ρ λ /, R λ / λ /, R T ( λ /)(/)+λ / λ / ( λ / + λ / ) (λ + λ )/, λ + λ λ λ, T ( (λ + λ )/)(/)+(λ + λ )/ ( λ /)( (λ + λ )/) ( λ )( λ λ ). λ λ + λ + λ ( λ )( λ λ ) Erityisesti huomataan, että T on M/M/-jonon keskimääräinen viipymä, kuten pitääkin olla. 4. Pollaczek-Khinchinin kaava odotusajan W tiheysfunktion Laplace-muunnokselle on W (s) s( ρ) s λ + λs (s) missä S (s) on palveluajan S tiheysfunktion Laplace-muunnos ja ρ λs. Johda uudelleen PK-keskiarvokaava odotusajalle tähän tulokseen nojautuen. Satunnaismuuttujan W odotusarvo on Vastaavasti palveluajalle S pätee [ S d ] ds S (s) W s0 [ d ] ds W (s) s0 ja S [ ] d ds S (s). s0 Kehitetään S (s) ensiksi Taylorin sarjaksi S (s) [ ] d S (0) + } {{ } ds S (s) s + [ ] d s0 ds } {{ } (s) s S s + s0 S s } {{ } S Nyt josta saadaan W (s) S s( ρ) s λ + λs (s) s( ρ) s λ + λ( S s + S s ) s( ρ) s( ρ)+ λs s W + λs [ d ] ds W (s) s0 ρ s, λs ρ.

25 Laskuharjoitus 6 PRIORITEETTIJONOT, JONOVERKOT 5. Kuvan mukaisen avoimen Jacksonin jonoverkon jonoihin ja saapuu ulkopuolelta Poissoniset asiakasvirrat intensiteeteillä ja (asiakasta/s). Palveluajat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita kuvassa annetuilla nopeusparametreilla (asiakasta/s). Laske a) eri jonojen läpi kulkevat asiakasvirrat, b) eri jonojen keskimääräiset miehitykset ja verkon keskimääräinen kokonaismiehitys, c) jonoihin ja saapuneiden asiakkaiden keskimääräiset viipymät verkossa ja satunnaisesti valitun verkkoon saapuvan asiakkaan keskimääräinen viipymä verkossa. queue 3 queue 6 queue 3 0 / / a) Olkoon takaisin kytketty liikennevirta x asiakasta sekunnissa. Tällöin palvelimelle 3 saapuva asiakasvirta on x, josta puolet menee ulos. Asiakasvirrat sisään ja ulos on oltava samat, joten x 3, ja λ λ 4 λ 3 6 ρ /3 ρ /3 ρ 3 3/5 b) Jacksonin teoreeman mukaan verkon jonot käyttäytyvät ikään kuin niille tarjottu liikenne olisi Poissonista samalla intensiteetillä. Lisäksi jonojen miehitykset ovat toisistaan riippumattomia. Joten P{N n} P{N i n i }, missä P{N i n i } ( ρ i )ρ n i i. i Tässä { P{N i} P{N i} 3 ( i 3), P{N 3 i} 5 ( 3 i 5), joten jonojen keskipituudet ovat { N N ρ ρ, N 3 ρ N N 3 ρ 3 3/. + N + N 3 /. c) Keskimääräiset viipymät eri solmuissa ovat T i N i λ i T T / T 3 /4 Jonoon i saapuvan asiakkaan keskimääräinen viipymä verkossa toteuttaa yhtälön. T i,d T i + j q ij T j,d, missä q ij on todennäköisyys että jonosta i poistuva asiakas siirtyy jonoon j. Merkitään T i,d {a, b, c }, jolloin a +c T,d b + c T,d 3/ c 4 + b T 3,d 3

26 S Jonoteoria, II/007 Virtamo / Penttinen Lisäksi satunnaisen paketin viipymä verkossa on (Littlen tulos) T N/λ /6. 6. Tarkastellaan kahden jonon suljettua syklistä jonoverkkoa. Jonojen palveluajat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita parametreilla ja. Verkossa on kolme asiakasta. a) Piirrä systeemin tilakaavio (neljä tilaa) siirtymänopeuksineen. b) Määrää tasapainotodennäköisyydet ja laske näiden perusteella jonojen keskipituudet. c) Mikä on verkossa kiertävän asiakasvirran suuruus (laske esim. jonosta lähtevä asiakasvirta)? d) Johda kohtien b) ja c) tulokset keskiarvoanalyysin avulla. 3,0,, 0,3 Kuva 5: Systeemin tilakaavio. a) Tilasiirtymäkaavio on esitetty kuvassa 5. b) Tasapainoehdot: π 0 π π ρπ 0 π π π ρ π 0 π π 3 π 3 ρ 3 π 0 Normeerataan: Jonojen keskipituuksiksi saadaan ( + ρ + ρ + ρ 3 )π 0 π 0 N (3+ρ + ρ )π 0 3+ρ + ρ +ρ + ρ + ρ 3 +ρ + ρ + ρ 3. N (3ρ 3 +ρ + ρ)π 0 3ρ3 +ρ + ρ +ρ + ρ + ρ 3. (N + N 3) c) Asiakasvirraksi saadaan λ (π 0 + π + π ) +ρ + ρ +ρ + ρ + ρ 3 ρ3 ρ ρ ρ 4 ρ3 ρ 4. d) Keskiarvoanalyysi: Tässä tapauksessa saadaan N[0] [0, 0] T [] [ / [,ρ] ] N[] +ρ, ρ +ρ T i [k] (+N i [k ]) / N i [k] k P λ it i [k] j λ jt j [k] λ i [k] N i [k]/t i [k] [ T [] / +ρ [ N[] +ρ, +ρ +ρ +ρ+ρ, +ρ ρ ] (+ρ) ρ+ρ +ρ+ρ ] [ ] T [3] / +ρ+ρ ++ρ, +ρ + ρ +ρ+ρ + ρ +ρ +ρ + ρ ρ [ (+ρ+ρ ) 3+ρ + ρ,ρ+ρ +3ρ [ ] 3] 3+ρ+ρ N[3] 3 ρ+ρ 3+3ρ+3ρ +3ρ, +3ρ ρ+3ρ +3ρ 3 [ 3+ρ + ρ,ρ+ρ +3ρ 3] π 0 4 [ +ρ, ρ +ρ ] [ +ρ +ρ+ρ, ] ρ+ρ +ρ+ρ

27 Laskuharjoitus 6 Ja vastaavasti asiakasvirraksi saadaan λ λ [3] 3+ρ + ρ ( + ρ + ρ ) +ρ + ρ + ρ 3 3+ρ + ρ ( + ρ + ρ ) +ρ + ρ + ρ 3 ρ3 ρ 4. 5