Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät"

Transkriptio

1 Mat Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 11 Ehtamo Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät a) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 s.e. x 2 = x 2 1 käyttäen kvadraattista ulkopuolista sakkofunktiota. Tarkastele miten sakkoparametrin kasvatusnopeus vaikuttaa iteraation suppenemiseen. b) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 käyttäen estefunktiota s.e. x 2 x g(x), missä g(x) 0. Tarkastele esteparametrin vaikutusta iteraation suppenemiseen. Ratkaisu a) Rajoitetun tehtävän ratkaiseminen numeerisesti on usein hankalaa. Yksi menetelmä tällaisen tehtävän ratkaisemiseksi on käyttää sakkofunktiota. Menetelmässä kohdefunktioon f(x) lisätään sakkotermi p(x), joka on lähellä nollaa kun rajoitteet ovat voimassa. Vastaavasti kun rajoitteet eivät ole voimassa, sakkotermin arvo on suuri. Jos tehtävän rajoite on muotoa h(x) = 0, voidaan sakkotermiksi valita esimerkiksi p(x) = µh(x) 2 Kerrointa µ kutsutaan sakkokertoimeksi. Mitä suurempi sakkokertoimen arvo on, sitä paremmin tehtävä vastaa alkuperäistä rajoitettua optimointitehtävää. Nyt kaikki funkion h(x) poikkeamat nollasta aiheuttavat suuren laskun kohdefunktion arvoon. Huomaa. Maksimoitaessa valitaan vastaavasti p(x) = µh(x) 1

2 1.5 1 x x 1 Ratkaistaan tehtävä aluksi sakkoparametrin arvolla µ = 0.1. Tällöin sakkofunktion vaikutus on lähes olematon, ja tehtävän ratkaisuksi saadaan piste (2, 1). Piste on merkitty kuvaan punaisella rastilla. Kerrotaan sakkoparametri 10:llä, käytetään edellistä pistettä alkuarvauksena, ja ratkaistaan tehtävä uudestaan. Nyt sakkotermin vaikutus on suurempi ja tehtävän optimi on lähempänä rajoitussuoraa. Näin jatkamalla saadaan kuvan ympyröillä merkityt pisteet. Iteraatio suppenee rajoitekäyrältä löytyvään pisteeseen, joka on likimain (0, 9; 0, 9). Miksi sakkoparametrille ei anneta heti suurta arvoa? Seuraavaan kuvaan on piirretty kohdefunktion f(x) + p(x) = f(x) + µh(x) vakiokäyriä kun µ = 10. Vakiokäyrät muodostavat kapean laakson. Edellisissä laskuharjoituksissa todettiin, että tämänkaltainen kohdefunktio on monille optimointimenetelmille haastava. Kasvattamalla parametriä hitaasti laakson pitkulaisuus ei haittaa, sillä osatehtävien aloituspisteet saadaan valmiiksi lähelle optimia. 2

3 b) Estefunktiomenetelmä on vastaava kuin sakkofunktiomenetelmä, mutta sitä sovelletaan epäyhtälörajoitteellisiin tehtäviin. Estefunktion tulee olla sellainen, että kun tarkasteltava piste on lähellä rajoitetun alueen reunaa, estefunktion arvo kasvaa reunan suuntaan voimakkaasti. Eräs mahdollinen estefunktio on p(x) = µ/g(x), missä g(x) on rajoitefunktio ja µ on esteparametri x x 1 Valitaan aluksi µ = 100. Piste on merkitty kuvaan punaisella rastilla. Estefunktion vaikutus on suuri, jolloin optimi on kaukana rajoitteen reunasta. Pienennetään kerrointa kymmenesosaan ja ratkaistaan tehtävä uudestaan, jolloin saadaan ympyröillä 3

4 merkityt pisteet. Iteraatio suppenee rajoitusehdon reunalta löytyvään pisteeseen, joka on likimäärin (0, 9; 0, 9). Miksi esteparametriä ei laiteta heti aluksi hyvin pieneksi? Samoin kuin sakkofunktiomenetelmä, liian pienet esteparametrien arvot vaikeuttavat osatehtävien numeerista ratkaisua. Kun esteparametri on hyvin pieni, estefunktion arvo on likimain nolla. Poikkeuksena tähän kuitenkin alueen reunalla estefunktion arvo kasvaa kohti ääretöntä riippumatta parametrin suuruudesta. Jos nousu on liian äkillinen ja jyrkkä, saattaa optimointialgoritmi hypätä estefunktion toiselle puolelle. Seuraavassa kuvassa näemme tehtävän kohdefunktion ja estefunktion arvot x 1 :n funktiona kun muuttuja x 2 on kiinnitetty arvoon 1 ja esteparametrille on annettu arvo µ = 1. Käypä alue on punaisen katkoviivan vasemmalla puolella. Optimi löytyy likimain pisteestä x 1 = 0, 8. Kun sakkoparametriä pienennetään, optimi siirtyy lähemmäksi alueen reunaa. Huomaa. Jos optimointialgoritmi joutuu käyvän alueen ulkopuolelle, saattaa algoritmi päätyä rajoittamattoman tehtävän optimiin. Näin ei kuitenkaan välttämättä käy, jos piste on vain hieman epäkäyvän alueen puolella. Estefunktio saa suuria negatiivisia arvoja reunan toisella puolella, jolloin optimointialgoritmi ohjaa iteraation takaisin käyvän alueen reunalle f(x) 1/g(x) x 1 Demo 2: Optimointi MATLAB -ohjelmistolla Tutustaan MATLAB -ohjelmistoon ja sen Optimization Toolboxin funktiohin. a) Tutustu MATLAB:n muuttujiin. Varmista että osaat tallentaa muuttujaan arvon, lukea muuttujan arvon, ja käyttää muuttujaa lausekkeissa. b) Tee funktio, joka laskee lausekkeen (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2. c) Laske b) kohdan funktion minimipiste d) Laske b) kohdan funktion minimipiste rajoitusehdolla x 2 x 2 1 4

5 Ratkaisu Matlab on numeerinen laskentaohjelmisto. Yksi keskeisimpiä eroja muihin vastaaviin ohjelmistoihin on se, että kaikki muuttujat ovat matriiseja. Peruslaskutoimitukset, kuten kertolasku, toimivat matriisien normaalien kertolaskusääntöjen mukaan. Vektorit ovat yksisarakkeisia matriiseja, ja skalaarit 1 1 matriiseja. Matlabin komentoja voi kirjoittaa joko suoraan Matlabin komentokehotteeseen tai erillisiin tiedostoihin. Matlab-tiedostot ovat nimeltään m-tiedostoja (m-files) ja ne tunnistaa tiedostopäätteestä.m. Tiedoston voi luoda tai sitä voi muokata kirjoittamalla komentokehotteeseen edit tiedosto.m, joka avaa erillisen muokkausikkunan. Tiedostoja voi ajaa painamalla muokkausikkunassa F5, jolloin tiedoston rivit ajetaan järjestyksessä aivan kuin ne olisi yksitellen kirjoitettu suoraan komentokehotteeseen. a) Matlabissa voit tallentaa muuttujaan arvon =-merkillä. Esimerkiksi, jos haluat tallentaa muuttujaan a arvon 5, kirjoita a = 5. Arvo voi olla myös matemattinen lauseke, esimerkiksi 3+4, pi*2 tai sin(4+sqrt(6)). Sijoituksen jälkeen Matlab näyttää juuri tallennetun muuttujan arvon. Jos et halua, että Matlab näyttää sijoituksen tuloksen, vaan on hiljaa, lisää komennon perään puolipiste (;). Voit tarkistaa minkä tahansa muuttujan arvon kirjoittamalla sen komentokehotteeseen ja painamalla enter. Muuttujia voidaan käyttää myös lausekkeissa aivan kuin mitä tahansa numeroa. Esimerkki: Tallennetaan ensiksi muuttujaan a arvo 5, ja sen jälkeen lasketaan muuttujalle b arvo 3*a+5. Tämä tapahtuu komentamalla: a=5; b=3 a+5 Matriisit ja vektorit merkitään hakasulkeilla. Merkintä alkaa [, jonka jälkeen tulee ensimmäisen rivin alkiot eroteltuna joko pilkuilla tai välilyönneillä. Tämän jälkeen luodaan uusi rivi puolipisteellä. Loppuun tulee ]. Esimerkiksi matriisit ja vektorit A = [ Syötetään Matlabiin komennoilla: ] [ 5 b = 6 ] c = [ 7 8 ] A = [ 1, 2 ; 3, 4 ] ; b = [ 5 ; 6 ] ; c = [ 7, 8 ] ; Huomaa. Matlab käyttää oletuksena peruslaskutoimituksissa matriisilaskutoimituksia. Jos haluat suorittaa matriisille tai vektorille jonkin laskutoimituksen alkioittain, lisää piste laskutoimituksen eteen. Esimerkiksi: a.*b tai a.^2. Matriisit ja vektorit voi transponoida heittomerkillä ( ), esimerkiksi a. Voit viitata matriisin alkioihin lisäämällä sulut ja haluamasi indeksit. Matriisin A rivin 3 ja sarakkeen 2 alkioon viitataan A(3,2). b) Matlab osaa kasan valmiita funktioita, joista esimerkkinä tavalliset sin(), cos(), log() ja exp(). Tietoa kustakin funktiosta ja sen käyttötavasta saat komennolla help funktionnimi. Voit myös luoda omia funktioita. Tätä varten luo uusi m-tiedosto, jolla on sama nimi kuin luotavalla funktiolla. Esimerkiksi funktiota laske varten sinun täytyy luoda tiedosto laske.m. Tiedosto täytyy aloittaa funktiomääritteellä 5

6 function y = laske(x), missä x on funktion parametri ja y on palautusarvo. Näitä muuttujanimiä käytetään kuitenkin vain kyseisessä m-tiedostossa. Voit kirjoittaa funktion toteutuksen function-rivin jälkeen. Kun funktion suoritus loppuu, palautettaan palautusarvomuuttujan arvo. Funktio f(x) = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2 voidaan määrittää seuraavasti: f u n c t i o n y = f ( x ) y = ( x ( 1 ) 2)ˆ2 + ( x ( 2 ) 3) ˆ 2 ; c) Matlabissa on valmiina laajat optimointikirjastot. Esittelemme tässä 2 funktiota, joista ensin rajoittamattomiin tehtäviin tarkoitettu fminunc. fminunc vaatii vähintään 2 parametriä, joista ensimmäinen on optimoitava funktio, ja toinen alkuarvaus. Funktiot annetaan parametrinä kirjoittamalla ja tämän jälkeen funktion nimi. Lasketaan nyt b) -kohdassa määritellyn funktion minimikohta käyttäen alkuarvauksena pistettä x 0 = [0, 0]: x_opt = fminunc [ 0 ; 0 ] ) Tämä palauttaa optimipisteen ja tallentaa sen muuttujaan x_opt. Rajoitteellista optimointia varten Matlabissa on olemassa erillinen fminconfunktio. Funktiolle voidaan antaa parametreinä monia erilaisia rajoitteita, ja tarkan järjestyksen voi tarkistaa komennolla help fmincon. Ainoastaan kaksi ensimmäistä parametriä, kohdefunktio ja alkuarvaus, ovat pakollisia, mutta näiden lisäksi voidaan antaa seuraavia parametrejä: Lineaariset epäyhtälörajoitteet (Ax b), lineaariset yhtälörajoitteet (Ax = b), ylä- ja alarajat (LB x UB) ja epälineaarinen rajoite (nonlcon). Epälineaarista rajoitetta lukuunottamatta rajoitteet annetaan funktiolle kerroinmatriisien -ja vektroreiden A, b jne. muodossa. Epälineaarisia rajoitteita varten täytyy luoda uusi funktio. Funktiolla tulee olla kaksi paluuarvoa: C ja Ceq. C tulee olla käyvällä alueella negatiivinen ja Ceq nolla. Jos rajoitteita on useampia, tulee paluuarvojen olla vektoreita, jonka alkiot vastaavat kutakin rajoitetta. Esimerkiksi rajoitetta x 2 x 2 1 varten luodaan seuraava funktio (tiedostoon rajoite.m): f u n c t i o n [ C, Ceq ] = rajoite ( x ) Ceq = [ ] ; C = x ( 1 ) ˆ2 x ( 2 ) ; Nyt voimme laskea kohdefunktion minimin komennolla fmincon [ 0 ; 0 ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ) ; Koska lineaarisia rajoitteita ei ole, ne tulee merkitä tyhjinää matriiseina ja vektoreina ([]). 6

7 Tehtävä 1: Funktion minimikohdan etsiminen a) Etsi funktion (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 minimi. b) Etsi a) kohdan funktion minimi rajoitusehdoilla x 1 + 2x 2 3 3x 1 + 4x 2 1 c) Etsi a) kohdan funktion minimi rajoitusehdolla x 1 x Ratkaisu a) Kirjoitetaan kohdefunktiolle oma m-tiedosto (kohde.m): f u n c t i o n y = kohde ( x ) y = ( x ( 1 ) 2)ˆ4 + ( x ( 1 ) 2 x ( 2 ) ) ˆ 2 ; Tämän jälkeen käytetään rajoittamattoman tehtävän ratkaisemiseen tarkoitettua fminunc-funktiota: x_opt = fminunc [ 0 ; 0 ] ) Alkuarvauksena on käytetty pistettä x 0 = (0, 0). b) Tehtävä on rajoitettu tehtävä, ja se kannattaa ratkaista Matlabin fminconfunktiolla. Funktio haluaa lineaariset rajoitteet muodossa Ax b, joten selvitetään, mitkä ovat tämän tehtävän vastaavat matriisit A ja b. Matriisi A saadaan suoraan eri muuttujien kertoimista ja vektori b epäyhtälöiden oikealta puolelta: A = [ ] [ 3, b = 1 Matlabiin nämä voidaan syöttää komennoilla: ] A = [ 1, 2 ; 3, 4 ] ; b = [ 3 ; 1 ] ; Nyt voimme ratkaista optimin komennolla x_opt = fmincon [ 0 ; 0 ], A, b ) c) Rajoite on epälineaarinen, joten sitä varten täytyy luoda uusi m-tiedosto (rajoite2.m) f u n c t i o n [ C, Ceq ] = rajoite2 ( x ) Ceq = [ ] ; C = x ( 1 ) + x ( 2 ) ˆ2 + 4 ; Tämän jälkeen optimi löytyy komennolla 7

8 x_opt=fmincon [ 0 ; 0 ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ) Tehtävä 2: Kuvaajien piirtäminen Piirrä funktion e (n 3n2 ) 4 x 2 kuvaaja välillä [ 2, 2]. Ratkaise funktion maksimi, ja merkitse maksimi kuvaajaan. Ratkaisu Kirjoitetaan ensiksi funktiolle oma m-tiedosto (fun.m): f u n c t i o n y = fun ( n ) y = exp( (n 3 n. ˆ 2 ). ˆ 4 ) n. ˆ 2 ; Huomaa. Funktio on nyt kirjoitettu käyttäen piste-operaattoreita. Tämä on tehty sen vuoksi, että funktio halutaan evaluoida useassa pisteessä yhtäaikaa. Nyt voidaan eri pisteet antaa funktiolle vektorina ja funktio palauttaa saman kokoisen vektorin, jonka arvot vastaavat funktion arvoja syötevektorin pisteissä. Seuraavaksi piirretään funktion kuvaaja. Matlabissa kuvaajien piirtämistä varten täytyy piirrettävien pisteiden arvot laskea etukäteen. Kun kuvaaja halutaan pirtää muuttujan n arvoilla [ 2, 2], täytyy ensiksi määrittää vektori, jossa on kaikki halutut arvot. Matlabissa tälläinen vektori luodaan komenolla n = 2 : 0. 1 : 2 ; Kaksoispisteellä erotetaan vektorin aloituspiste, diskretointiväli ja lopetuspiste. Nyt voimme vielä laskea funktion arvot kussakin näistä pisteistä komennolla y = fun ( n ) ; Kuvan piirtäminen tapahtuu plot-komennolla. Parametreinä se vaatii piirrettävien pisteiden x- ja y-koordinaatit. Piirretään funktion kuvaaja komennolla p l o t ( n, y ) Voit antaa kuvaajalle myös lisämääreitä y-koordinaattivektorin jälkeen lisäämällä merkkijono-parametrin. Esimerkiksi komento p l o t ( n, y, ' kx : ' ) piirtää kuvaajan mustalla (k) katkoviivalla (:) ja merkitsee datapisteet rasteilla (x). Voit käyttää myös muita värejä (esim. r = punainen, b = sininen, g = vihreä, jne), viivatyyppejä (esim. - = yhtenäinen viiva, -. = viiva-pisteviiva, jne) ja merkkejä (esim. o = ympryrä,. = piste, jne.). Merkitään kuvaajaan vielä optimipiste. Aluksi meidän täytyy selvittää, mikä piste on kyseessä. Tämä selviää komennolla 8

9 x_opt = fminunc ( x ) fun ( x ), 4) Kohdefunktio täytyy antaa nyt hieman eri tavalla sillä haluamme löytää funktion maksimin. jälkeen sulut ja muuttujannimi, minkä jälkeen voit kirjoittaa kohdefunktion lausekkeen. Nyt kohdefunktioksi valitaan -fun(x), eli kohdefunktiomme evaluoituna pisteessä x ja miinusmerkki funktion edessä muutta arvot negatiivisiksi. Näin minimointialgoritmi löytää varsinaisen kohdefunktion maksimin. Toinen parametri (4) on käytetty alkuarvaus. Lasketaan vielä kohdefunktion arvo tässä pisteessä: y_opt = fun(x_opt);. Tämän jälkeen piste voidaan piirtää kuvaajaan komennoilla hold on ; p l o t ( x_opt, y_opt, ' ro ' ) Komento hold on tarvitaan, koska oletuksena Matlab pyyhkii edellisen kuvan pois kun seuraava plot-komento annetaan. Komento hold on jättää vanhat kuvat piirtoikkunaan. Asetuksen saa palautettua takaisin komennolla hold off. Tehtävä 3: Iteratiiviset menetelmät Kirjoita Matlab-funktio, joka ratkaisee funktion minimikohdan käyttäen Newtonin menetelmää. Minimointi tehdään vain yhden muuttujan suhteen. Voit käyttää testaamiseen jotain yksinkertaista funktiota, jonka optimi tunnetaan tarkasti. Esimerkiksi funktiota f(x) = cos x, käyttäen aloituspisteenä x 0 = 1. Ratkaisu Newtonin iteraatio perustuu funktion derivaatan nollakohdan etsimiseen sovittamalla derivaattaan suora, joka tangeeraa derivaatan kuvaajaa sen hetkisessä iteraatiopisteessä. Menetelmä aloitetaan valitsemalla jokin aloituspiste x 0, jonka jälkeen seuraavat pisteet lasketaan kaavalla x k + 1 = x k f (x k ) f (x k ). Matlabia varten voimme kirjoittaa aluksi funktion, joka laskee seuraavan iteraatiopisteen, kun sille annetaan parametrinä iteraatiopiste x k. Kirjoitetaan funktio tiedostoon newton.m: f u n c t i o n x2 = newton ( x ) x2 = x df ( x ) /ddf ( x ) ; Tässä df ja ddf ovat laskettavan funktion derivaatta ja toinen derivaatta. Näitä varten täytyy luonnollisesti luoda omat m-tiedostot. Esimerkkifunktiona käytetään nyt f(x) = cos(x). Tämän deriaatta on f (x) = sin(x) ja toinen derivaatta f (x) = cos(x). Kirjoitetaan vastaavat m-tiedostot: df.m: 9

10 f u n c t i o n y = df ( x ) y = s i n ( x ) ; ddf.m: f u n c t i o n y = ddf ( x ) y = cos ( x ) ; Nyt voimme ratkaista optimin Newtonin menetelmällä. Asetetaan alkuarvaus x=4. Seuraavaksi lasketaan uusi piste käyttäen newton -funktiota: x = newton(x). Iteraatiota toistetaan, kunnes piste ei enää muutu merkittävästi. Alkuarvauksesta riippuen iteraation pitäisi päätyä funktion lokaaliin minimiin x = 0. Menetelmä kannattaa myös kirjoittaa kokonaisuudessaan yhdeksi funktioksi, joka ottaa parametrinään alkupisteen ja iteroi Newton-iteraatioita tarvittavan määrän. Tälläinen funktio on esimerkiksi: f u n c t i o n x_opt = newtonoptimoi ( x0 ) tol = ; %haluttu tarkkuus max_n = 1000; %suurin s a l l i t t u maara i t e r a a t i o i t a n = 0 ; %a l u s t e t a a n laskurimuuttuja x = x0 ; x_edellinen = 10000; while ( abs ( x x_edellinen ) > tol && n < max_n ) % t o i s t e t a a n, kunnes p i s t e i d e n valimatka % on t a r p e e k s i p i e n i t a i maksimi % i t e r a a t i o m a a r a saavutetaan x_edellinen = x ; %t a l l e n n e t a a n e d e l l i n e n arvo x = newton ( x ) %l a s k e t a a n uusi arvo n = n+1; %p a i v i t e t a a n l a s k u r i end x_opt = x Nyt voimme hakea optimin seuraavalla komennolla. Alkuarvauksena on käytetty arvoa x = 4. newtonoptimoi ( 4 ) 10

11 Tehtävä 4: Hakumenetelmät Kirjoita Matlab-funktio, joka ratkaisee (1-ulotteisen) funktion minimikohdan käyttäen puolitusmenetelmää. Voit testata algoritmia jälleen yksinkertaisella funktiolla, kuten f(x) = cos(x). Tarkasteltava väli kannattaa valita testivaiheessa niin, että iteraatio ei suppene välittömästi, esimerkiksi [ 2, 1]. Ratkaisu Hakumenetelmissä määritellään aluksi jokin väli, joka sitten jaetaan kahteen tai kolmeen osaan. Funktion arvoista välin ja eri osien päätepisteissä riippuen valitaan välille uudet päätepisteet. Tätä toistetaan, kunnes väli on riittävän kapea, ja optimin paikka tiedetään halutulla tarkkuudella. Puolitusmenetelmässä väli jaetaan kahteen osaan. Funktion arvo lasketaan välin päätepisteissä ja puolivälin molemmin puolin. Merkitään välin päätepisteitä a ja b, ja puoliväliä pisteellä c = a+b 2. Pisteet, joissa funktion arvo lasketaan puolivälin molemmin puolin ovat c ε ja c + ε. Tässä ε on jokin pieni luku. Nyt jos funktion arvo on suurempi pisteessä c ε kuin pisteessä c + ε, tiedetään että funktion minimi on välillä [c + ε, b]. Vastaavasti toisinpäin. Kirjoitetaan puolitushaku seuraavalla tavalla: f u n c t i o n x_opt = puolitushaku ( a, b ) tol = ; % haluttu tarkkuus ep = ; % p u o l i v a l i n molemmin puolin % l a s k e t t a v a e t a i s y y s ( e p s i l o n ) fa = puolituskohde ( a ) ; % f u n k t i o n arvot p a a t e p i s t e i s s a fb = puolituskohde ( b ) ; % kaytetaan kohdefunktiona % f u n k t i o t a puolituskohde L = b a ; % v a l i n pituus while ( L > tol ) % t o i s t e t a a n kunnes tarkkuus on r i i t t a v a c = ( a+b ) / 2 ; % p u o l i v a l i fc_ala = puolituskohde ( c ep ) ;%fun. arvo ennen p u o l i v a l i a fc_yla = puolituskohde ( c+ep ) ;%fun. arvo p u o l i v a l i n j a l k. i f ( fc_yla > fc_ala ) %j o s f u n k t i o saa suuremman arvon p u o l i v a l i n j a l k e e n b = c+ep ; e l s e a = c ep ; end L = b a ; disp ( [ a, b ] ) % naytetaan i t e r a a t i o p i s t e end x_opt = ( a+b ) / 2 ; Nyt voimme hakea funktion minimin kirjoittamalla funktiolle oman m-tiedoston (puolituskohde.m) ja ajamalla puolitushaku-funktion halutuilla välin päätepisteillä: 11

12 puolitushaku ( 2,1) Edellisen tehtävän kohdefunktio voidaan kirjoittaa m-tiedostoon puolituskohde.m: f u n c t i o n y = puolituskohde ( x ) y = cos ( x ) Tällä funktiolla iteraation pitäisi supeta pisteeseen x = 0. Tehtävä 5: Gradienttimenetelmä Kirjoita MATLAB-funktio, joka annetun (n-ulotteisen) funktion minimikohdan käyttäen gradienttimenetelmää. Voit käyttää viivahakuna esimerkiksi tehtävässä 3 kirjoittamaasi algoritmia tai MATLABin valmiita optimointifunktioita. Ratkaise algoritmillasi funktion minimikohta. x 2 + y e x+y Ratkaisu Kirjoitetaan aluksi haluttu kohdefunktio Matlab-tiedostoon (kohde3.m): f u n c t i o n y = kohde3 ( x ) y = x ( 1 ) ˆ2 + x ( 2 ) ˆ exp( x ( 1 )+x ( 2 ) ) ; Gradienttimenetelmässä tarvitaan lisäksi funktion gradientti (kohde3grad.m): f u n c t i o n g = kohde3grad ( x ) g = [ 2 x ( 1 ) 100 exp( x ( 1 )+x ( 2 ) ) ; +x ( 2 ) ) ] ; 4 yˆ exp( x ( 1 ) Huomaa. Gradientti on nyt vektori, joten gradienttifunktion palautusarvo g on myös vektori. Gradienttimenetelmä laskee ensin kussakin iteraatiopisteessä funktion gradientin, ja tekee tässä suunnassa ns viivahaun: min f(x + αd), α missä d = f(x) on hakusuunta, ja α on kerroin, joka kertoo kuinka pitkälle hakusuunnassa mennään. Viivahaussa optimoidaan nimenomaan kerrointa α, joten se on yksiulotteinen optimointitehtävä. Gradienttimenetelmä voidaan ohjelmoida esimerkiksi seuraavasti. Luodaan funktio gradoptimoi, joka laskee funktion kohde3 minimin: 12

13 f u n c t i o n x_opt = gradoptimoi ( x0 ) tol = ; % l o p e t u s e h t o muutos = 1 ; % muuttuja, joka kertoo % i t e r a a t i o i d e n v a l i s e n muutoksen x = x0 ; %a l u s t e t a a n i t e r a a t i o m u u t t u j a while ( muutos > tol ) grad = kohde3grad ( x ) ; %g r a d i e n t t i i t e r a a t i o p i s t e e s s a d = grad ; %hakusuunta d on g r a d i e n t t i a_opt = fminunc ( a ) kohde3 ( x+a d ), 1) ; %viivahaku x = x + a_opt d ; %p a i v i t e t a a n uusi i t e r a a t i o p i s t e muutos = norm ( a_opt d ) ; %l a s k e t a a n s i i r r y t t y matka end x_opt = x ; Huomaa. fminunc ja fmincon -funktioille annettaville kohde- ja rajoitefunktioille ei tarvitse välttämättä luoda omia m-tiedostoja, vaan ne voidaan antaa @-merkin jälkeen sulkujen sisään tulee laskettavan funktion parametrit, ja tämän jälkeen laskettavan funktion lauseke. Esimerkiksi 2*x vastaa funktiota f(x) = 2x. Huomaa. Tässä esitetyllä gradienttimenetelmällä optimin saavuttaminen voi joskus olla hyvin vaikeaa, sillä kohdefunktion tasa-arvokäyrät voivat muodostaa pitkulaisen laakson. Gradienttimenetelmä jää tällöin sahaamaan edestakaisin laakson pohjalle, eikä pääse järkevässä ajassa riittävän lähelle optimia. 13

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Harjoitus 10: Mathematica

Harjoitus 10: Mathematica Harjoitus 10: Mathematica Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Mathematica-ohjelmistoon Mathematican

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu

Lisätiedot

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014 18. syyskuuta 2014 IDL - proseduurit Viimeksi käsiteltiin IDL:n interaktiivista käyttöä, mutta tämä on hyvin kömpelöä monimutkaisempia asioita tehtäessä. IDL:llä on mahdollista tehdä ns. proseduuri-tiedostoja,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä kandidaatintyö

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

Matlab- ja Maple- ohjelmointi

Matlab- ja Maple- ohjelmointi Perusasioita 2. helmikuuta 2005 Matlab- ja Maple- ohjelmointi Yleistä losoaa ja erityisesti Numsym05-kurssin tarpeita palvellee parhaiten, jos esitän asian rinnakkain Maple:n ja Matlab:n kannalta. Ohjelmien

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön LINDOn tärkeimmät komennot ovat com (command), joka tuloaa käytettävissä olevat komennot ruudulle, ja help, jonka avulla saa tietoa eri komennoia. Vaaukset kursiivilla

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.3.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.3.2009 1 / 28 Puhelinluettelo, koodi def lue_puhelinnumerot(): print "Anna lisattavat nimet ja numerot." print

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot