Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät"

Transkriptio

1 Mat Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 11 Ehtamo Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät a) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 s.e. x 2 = x 2 1 käyttäen kvadraattista ulkopuolista sakkofunktiota. Tarkastele miten sakkoparametrin kasvatusnopeus vaikuttaa iteraation suppenemiseen. b) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 käyttäen estefunktiota s.e. x 2 x g(x), missä g(x) 0. Tarkastele esteparametrin vaikutusta iteraation suppenemiseen. Ratkaisu a) Rajoitetun tehtävän ratkaiseminen numeerisesti on usein hankalaa. Yksi menetelmä tällaisen tehtävän ratkaisemiseksi on käyttää sakkofunktiota. Menetelmässä kohdefunktioon f(x) lisätään sakkotermi p(x), joka on lähellä nollaa kun rajoitteet ovat voimassa. Vastaavasti kun rajoitteet eivät ole voimassa, sakkotermin arvo on suuri. Jos tehtävän rajoite on muotoa h(x) = 0, voidaan sakkotermiksi valita esimerkiksi p(x) = µh(x) 2 Kerrointa µ kutsutaan sakkokertoimeksi. Mitä suurempi sakkokertoimen arvo on, sitä paremmin tehtävä vastaa alkuperäistä rajoitettua optimointitehtävää. Nyt kaikki funkion h(x) poikkeamat nollasta aiheuttavat suuren laskun kohdefunktion arvoon. Huomaa. Maksimoitaessa valitaan vastaavasti p(x) = µh(x) 1

2 1.5 1 x x 1 Ratkaistaan tehtävä aluksi sakkoparametrin arvolla µ = 0.1. Tällöin sakkofunktion vaikutus on lähes olematon, ja tehtävän ratkaisuksi saadaan piste (2, 1). Piste on merkitty kuvaan punaisella rastilla. Kerrotaan sakkoparametri 10:llä, käytetään edellistä pistettä alkuarvauksena, ja ratkaistaan tehtävä uudestaan. Nyt sakkotermin vaikutus on suurempi ja tehtävän optimi on lähempänä rajoitussuoraa. Näin jatkamalla saadaan kuvan ympyröillä merkityt pisteet. Iteraatio suppenee rajoitekäyrältä löytyvään pisteeseen, joka on likimain (0, 9; 0, 9). Miksi sakkoparametrille ei anneta heti suurta arvoa? Seuraavaan kuvaan on piirretty kohdefunktion f(x) + p(x) = f(x) + µh(x) vakiokäyriä kun µ = 10. Vakiokäyrät muodostavat kapean laakson. Edellisissä laskuharjoituksissa todettiin, että tämänkaltainen kohdefunktio on monille optimointimenetelmille haastava. Kasvattamalla parametriä hitaasti laakson pitkulaisuus ei haittaa, sillä osatehtävien aloituspisteet saadaan valmiiksi lähelle optimia. 2

3 b) Estefunktiomenetelmä on vastaava kuin sakkofunktiomenetelmä, mutta sitä sovelletaan epäyhtälörajoitteellisiin tehtäviin. Estefunktion tulee olla sellainen, että kun tarkasteltava piste on lähellä rajoitetun alueen reunaa, estefunktion arvo kasvaa reunan suuntaan voimakkaasti. Eräs mahdollinen estefunktio on p(x) = µ/g(x), missä g(x) on rajoitefunktio ja µ on esteparametri x x 1 Valitaan aluksi µ = 100. Piste on merkitty kuvaan punaisella rastilla. Estefunktion vaikutus on suuri, jolloin optimi on kaukana rajoitteen reunasta. Pienennetään kerrointa kymmenesosaan ja ratkaistaan tehtävä uudestaan, jolloin saadaan ympyröillä 3

4 merkityt pisteet. Iteraatio suppenee rajoitusehdon reunalta löytyvään pisteeseen, joka on likimäärin (0, 9; 0, 9). Miksi esteparametriä ei laiteta heti aluksi hyvin pieneksi? Samoin kuin sakkofunktiomenetelmä, liian pienet esteparametrien arvot vaikeuttavat osatehtävien numeerista ratkaisua. Kun esteparametri on hyvin pieni, estefunktion arvo on likimain nolla. Poikkeuksena tähän kuitenkin alueen reunalla estefunktion arvo kasvaa kohti ääretöntä riippumatta parametrin suuruudesta. Jos nousu on liian äkillinen ja jyrkkä, saattaa optimointialgoritmi hypätä estefunktion toiselle puolelle. Seuraavassa kuvassa näemme tehtävän kohdefunktion ja estefunktion arvot x 1 :n funktiona kun muuttuja x 2 on kiinnitetty arvoon 1 ja esteparametrille on annettu arvo µ = 1. Käypä alue on punaisen katkoviivan vasemmalla puolella. Optimi löytyy likimain pisteestä x 1 = 0, 8. Kun sakkoparametriä pienennetään, optimi siirtyy lähemmäksi alueen reunaa. Huomaa. Jos optimointialgoritmi joutuu käyvän alueen ulkopuolelle, saattaa algoritmi päätyä rajoittamattoman tehtävän optimiin. Näin ei kuitenkaan välttämättä käy, jos piste on vain hieman epäkäyvän alueen puolella. Estefunktio saa suuria negatiivisia arvoja reunan toisella puolella, jolloin optimointialgoritmi ohjaa iteraation takaisin käyvän alueen reunalle f(x) 1/g(x) x 1 Demo 2: Optimointi MATLAB -ohjelmistolla Tutustaan MATLAB -ohjelmistoon ja sen Optimization Toolboxin funktiohin. a) Tutustu MATLAB:n muuttujiin. Varmista että osaat tallentaa muuttujaan arvon, lukea muuttujan arvon, ja käyttää muuttujaa lausekkeissa. b) Tee funktio, joka laskee lausekkeen (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2. c) Laske b) kohdan funktion minimipiste d) Laske b) kohdan funktion minimipiste rajoitusehdolla x 2 x 2 1 4

5 Ratkaisu Matlab on numeerinen laskentaohjelmisto. Yksi keskeisimpiä eroja muihin vastaaviin ohjelmistoihin on se, että kaikki muuttujat ovat matriiseja. Peruslaskutoimitukset, kuten kertolasku, toimivat matriisien normaalien kertolaskusääntöjen mukaan. Vektorit ovat yksisarakkeisia matriiseja, ja skalaarit 1 1 matriiseja. Matlabin komentoja voi kirjoittaa joko suoraan Matlabin komentokehotteeseen tai erillisiin tiedostoihin. Matlab-tiedostot ovat nimeltään m-tiedostoja (m-files) ja ne tunnistaa tiedostopäätteestä.m. Tiedoston voi luoda tai sitä voi muokata kirjoittamalla komentokehotteeseen edit tiedosto.m, joka avaa erillisen muokkausikkunan. Tiedostoja voi ajaa painamalla muokkausikkunassa F5, jolloin tiedoston rivit ajetaan järjestyksessä aivan kuin ne olisi yksitellen kirjoitettu suoraan komentokehotteeseen. a) Matlabissa voit tallentaa muuttujaan arvon =-merkillä. Esimerkiksi, jos haluat tallentaa muuttujaan a arvon 5, kirjoita a = 5. Arvo voi olla myös matemattinen lauseke, esimerkiksi 3+4, pi*2 tai sin(4+sqrt(6)). Sijoituksen jälkeen Matlab näyttää juuri tallennetun muuttujan arvon. Jos et halua, että Matlab näyttää sijoituksen tuloksen, vaan on hiljaa, lisää komennon perään puolipiste (;). Voit tarkistaa minkä tahansa muuttujan arvon kirjoittamalla sen komentokehotteeseen ja painamalla enter. Muuttujia voidaan käyttää myös lausekkeissa aivan kuin mitä tahansa numeroa. Esimerkki: Tallennetaan ensiksi muuttujaan a arvo 5, ja sen jälkeen lasketaan muuttujalle b arvo 3*a+5. Tämä tapahtuu komentamalla: a=5; b=3 a+5 Matriisit ja vektorit merkitään hakasulkeilla. Merkintä alkaa [, jonka jälkeen tulee ensimmäisen rivin alkiot eroteltuna joko pilkuilla tai välilyönneillä. Tämän jälkeen luodaan uusi rivi puolipisteellä. Loppuun tulee ]. Esimerkiksi matriisit ja vektorit A = [ Syötetään Matlabiin komennoilla: ] [ 5 b = 6 ] c = [ 7 8 ] A = [ 1, 2 ; 3, 4 ] ; b = [ 5 ; 6 ] ; c = [ 7, 8 ] ; Huomaa. Matlab käyttää oletuksena peruslaskutoimituksissa matriisilaskutoimituksia. Jos haluat suorittaa matriisille tai vektorille jonkin laskutoimituksen alkioittain, lisää piste laskutoimituksen eteen. Esimerkiksi: a.*b tai a.^2. Matriisit ja vektorit voi transponoida heittomerkillä ( ), esimerkiksi a. Voit viitata matriisin alkioihin lisäämällä sulut ja haluamasi indeksit. Matriisin A rivin 3 ja sarakkeen 2 alkioon viitataan A(3,2). b) Matlab osaa kasan valmiita funktioita, joista esimerkkinä tavalliset sin(), cos(), log() ja exp(). Tietoa kustakin funktiosta ja sen käyttötavasta saat komennolla help funktionnimi. Voit myös luoda omia funktioita. Tätä varten luo uusi m-tiedosto, jolla on sama nimi kuin luotavalla funktiolla. Esimerkiksi funktiota laske varten sinun täytyy luoda tiedosto laske.m. Tiedosto täytyy aloittaa funktiomääritteellä 5

6 function y = laske(x), missä x on funktion parametri ja y on palautusarvo. Näitä muuttujanimiä käytetään kuitenkin vain kyseisessä m-tiedostossa. Voit kirjoittaa funktion toteutuksen function-rivin jälkeen. Kun funktion suoritus loppuu, palautettaan palautusarvomuuttujan arvo. Funktio f(x) = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2 voidaan määrittää seuraavasti: f u n c t i o n y = f ( x ) y = ( x ( 1 ) 2)ˆ2 + ( x ( 2 ) 3) ˆ 2 ; c) Matlabissa on valmiina laajat optimointikirjastot. Esittelemme tässä 2 funktiota, joista ensin rajoittamattomiin tehtäviin tarkoitettu fminunc. fminunc vaatii vähintään 2 parametriä, joista ensimmäinen on optimoitava funktio, ja toinen alkuarvaus. Funktiot annetaan parametrinä kirjoittamalla ja tämän jälkeen funktion nimi. Lasketaan nyt b) -kohdassa määritellyn funktion minimikohta käyttäen alkuarvauksena pistettä x 0 = [0, 0]: x_opt = fminunc [ 0 ; 0 ] ) Tämä palauttaa optimipisteen ja tallentaa sen muuttujaan x_opt. Rajoitteellista optimointia varten Matlabissa on olemassa erillinen fminconfunktio. Funktiolle voidaan antaa parametreinä monia erilaisia rajoitteita, ja tarkan järjestyksen voi tarkistaa komennolla help fmincon. Ainoastaan kaksi ensimmäistä parametriä, kohdefunktio ja alkuarvaus, ovat pakollisia, mutta näiden lisäksi voidaan antaa seuraavia parametrejä: Lineaariset epäyhtälörajoitteet (Ax b), lineaariset yhtälörajoitteet (Ax = b), ylä- ja alarajat (LB x UB) ja epälineaarinen rajoite (nonlcon). Epälineaarista rajoitetta lukuunottamatta rajoitteet annetaan funktiolle kerroinmatriisien -ja vektroreiden A, b jne. muodossa. Epälineaarisia rajoitteita varten täytyy luoda uusi funktio. Funktiolla tulee olla kaksi paluuarvoa: C ja Ceq. C tulee olla käyvällä alueella negatiivinen ja Ceq nolla. Jos rajoitteita on useampia, tulee paluuarvojen olla vektoreita, jonka alkiot vastaavat kutakin rajoitetta. Esimerkiksi rajoitetta x 2 x 2 1 varten luodaan seuraava funktio (tiedostoon rajoite.m): f u n c t i o n [ C, Ceq ] = rajoite ( x ) Ceq = [ ] ; C = x ( 1 ) ˆ2 x ( 2 ) ; Nyt voimme laskea kohdefunktion minimin komennolla fmincon [ 0 ; 0 ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ) ; Koska lineaarisia rajoitteita ei ole, ne tulee merkitä tyhjinää matriiseina ja vektoreina ([]). 6

7 Tehtävä 1: Funktion minimikohdan etsiminen a) Etsi funktion (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 minimi. b) Etsi a) kohdan funktion minimi rajoitusehdoilla x 1 + 2x 2 3 3x 1 + 4x 2 1 c) Etsi a) kohdan funktion minimi rajoitusehdolla x 1 x Ratkaisu a) Kirjoitetaan kohdefunktiolle oma m-tiedosto (kohde.m): f u n c t i o n y = kohde ( x ) y = ( x ( 1 ) 2)ˆ4 + ( x ( 1 ) 2 x ( 2 ) ) ˆ 2 ; Tämän jälkeen käytetään rajoittamattoman tehtävän ratkaisemiseen tarkoitettua fminunc-funktiota: x_opt = fminunc [ 0 ; 0 ] ) Alkuarvauksena on käytetty pistettä x 0 = (0, 0). b) Tehtävä on rajoitettu tehtävä, ja se kannattaa ratkaista Matlabin fminconfunktiolla. Funktio haluaa lineaariset rajoitteet muodossa Ax b, joten selvitetään, mitkä ovat tämän tehtävän vastaavat matriisit A ja b. Matriisi A saadaan suoraan eri muuttujien kertoimista ja vektori b epäyhtälöiden oikealta puolelta: A = [ ] [ 3, b = 1 Matlabiin nämä voidaan syöttää komennoilla: ] A = [ 1, 2 ; 3, 4 ] ; b = [ 3 ; 1 ] ; Nyt voimme ratkaista optimin komennolla x_opt = fmincon [ 0 ; 0 ], A, b ) c) Rajoite on epälineaarinen, joten sitä varten täytyy luoda uusi m-tiedosto (rajoite2.m) f u n c t i o n [ C, Ceq ] = rajoite2 ( x ) Ceq = [ ] ; C = x ( 1 ) + x ( 2 ) ˆ2 + 4 ; Tämän jälkeen optimi löytyy komennolla 7

8 x_opt=fmincon [ 0 ; 0 ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ) Tehtävä 2: Kuvaajien piirtäminen Piirrä funktion e (n 3n2 ) 4 x 2 kuvaaja välillä [ 2, 2]. Ratkaise funktion maksimi, ja merkitse maksimi kuvaajaan. Ratkaisu Kirjoitetaan ensiksi funktiolle oma m-tiedosto (fun.m): f u n c t i o n y = fun ( n ) y = exp( (n 3 n. ˆ 2 ). ˆ 4 ) n. ˆ 2 ; Huomaa. Funktio on nyt kirjoitettu käyttäen piste-operaattoreita. Tämä on tehty sen vuoksi, että funktio halutaan evaluoida useassa pisteessä yhtäaikaa. Nyt voidaan eri pisteet antaa funktiolle vektorina ja funktio palauttaa saman kokoisen vektorin, jonka arvot vastaavat funktion arvoja syötevektorin pisteissä. Seuraavaksi piirretään funktion kuvaaja. Matlabissa kuvaajien piirtämistä varten täytyy piirrettävien pisteiden arvot laskea etukäteen. Kun kuvaaja halutaan pirtää muuttujan n arvoilla [ 2, 2], täytyy ensiksi määrittää vektori, jossa on kaikki halutut arvot. Matlabissa tälläinen vektori luodaan komenolla n = 2 : 0. 1 : 2 ; Kaksoispisteellä erotetaan vektorin aloituspiste, diskretointiväli ja lopetuspiste. Nyt voimme vielä laskea funktion arvot kussakin näistä pisteistä komennolla y = fun ( n ) ; Kuvan piirtäminen tapahtuu plot-komennolla. Parametreinä se vaatii piirrettävien pisteiden x- ja y-koordinaatit. Piirretään funktion kuvaaja komennolla p l o t ( n, y ) Voit antaa kuvaajalle myös lisämääreitä y-koordinaattivektorin jälkeen lisäämällä merkkijono-parametrin. Esimerkiksi komento p l o t ( n, y, ' kx : ' ) piirtää kuvaajan mustalla (k) katkoviivalla (:) ja merkitsee datapisteet rasteilla (x). Voit käyttää myös muita värejä (esim. r = punainen, b = sininen, g = vihreä, jne), viivatyyppejä (esim. - = yhtenäinen viiva, -. = viiva-pisteviiva, jne) ja merkkejä (esim. o = ympryrä,. = piste, jne.). Merkitään kuvaajaan vielä optimipiste. Aluksi meidän täytyy selvittää, mikä piste on kyseessä. Tämä selviää komennolla 8

9 x_opt = fminunc ( x ) fun ( x ), 4) Kohdefunktio täytyy antaa nyt hieman eri tavalla sillä haluamme löytää funktion maksimin. jälkeen sulut ja muuttujannimi, minkä jälkeen voit kirjoittaa kohdefunktion lausekkeen. Nyt kohdefunktioksi valitaan -fun(x), eli kohdefunktiomme evaluoituna pisteessä x ja miinusmerkki funktion edessä muutta arvot negatiivisiksi. Näin minimointialgoritmi löytää varsinaisen kohdefunktion maksimin. Toinen parametri (4) on käytetty alkuarvaus. Lasketaan vielä kohdefunktion arvo tässä pisteessä: y_opt = fun(x_opt);. Tämän jälkeen piste voidaan piirtää kuvaajaan komennoilla hold on ; p l o t ( x_opt, y_opt, ' ro ' ) Komento hold on tarvitaan, koska oletuksena Matlab pyyhkii edellisen kuvan pois kun seuraava plot-komento annetaan. Komento hold on jättää vanhat kuvat piirtoikkunaan. Asetuksen saa palautettua takaisin komennolla hold off. Tehtävä 3: Iteratiiviset menetelmät Kirjoita Matlab-funktio, joka ratkaisee funktion minimikohdan käyttäen Newtonin menetelmää. Minimointi tehdään vain yhden muuttujan suhteen. Voit käyttää testaamiseen jotain yksinkertaista funktiota, jonka optimi tunnetaan tarkasti. Esimerkiksi funktiota f(x) = cos x, käyttäen aloituspisteenä x 0 = 1. Ratkaisu Newtonin iteraatio perustuu funktion derivaatan nollakohdan etsimiseen sovittamalla derivaattaan suora, joka tangeeraa derivaatan kuvaajaa sen hetkisessä iteraatiopisteessä. Menetelmä aloitetaan valitsemalla jokin aloituspiste x 0, jonka jälkeen seuraavat pisteet lasketaan kaavalla x k + 1 = x k f (x k ) f (x k ). Matlabia varten voimme kirjoittaa aluksi funktion, joka laskee seuraavan iteraatiopisteen, kun sille annetaan parametrinä iteraatiopiste x k. Kirjoitetaan funktio tiedostoon newton.m: f u n c t i o n x2 = newton ( x ) x2 = x df ( x ) /ddf ( x ) ; Tässä df ja ddf ovat laskettavan funktion derivaatta ja toinen derivaatta. Näitä varten täytyy luonnollisesti luoda omat m-tiedostot. Esimerkkifunktiona käytetään nyt f(x) = cos(x). Tämän deriaatta on f (x) = sin(x) ja toinen derivaatta f (x) = cos(x). Kirjoitetaan vastaavat m-tiedostot: df.m: 9

10 f u n c t i o n y = df ( x ) y = s i n ( x ) ; ddf.m: f u n c t i o n y = ddf ( x ) y = cos ( x ) ; Nyt voimme ratkaista optimin Newtonin menetelmällä. Asetetaan alkuarvaus x=4. Seuraavaksi lasketaan uusi piste käyttäen newton -funktiota: x = newton(x). Iteraatiota toistetaan, kunnes piste ei enää muutu merkittävästi. Alkuarvauksesta riippuen iteraation pitäisi päätyä funktion lokaaliin minimiin x = 0. Menetelmä kannattaa myös kirjoittaa kokonaisuudessaan yhdeksi funktioksi, joka ottaa parametrinään alkupisteen ja iteroi Newton-iteraatioita tarvittavan määrän. Tälläinen funktio on esimerkiksi: f u n c t i o n x_opt = newtonoptimoi ( x0 ) tol = ; %haluttu tarkkuus max_n = 1000; %suurin s a l l i t t u maara i t e r a a t i o i t a n = 0 ; %a l u s t e t a a n laskurimuuttuja x = x0 ; x_edellinen = 10000; while ( abs ( x x_edellinen ) > tol && n < max_n ) % t o i s t e t a a n, kunnes p i s t e i d e n valimatka % on t a r p e e k s i p i e n i t a i maksimi % i t e r a a t i o m a a r a saavutetaan x_edellinen = x ; %t a l l e n n e t a a n e d e l l i n e n arvo x = newton ( x ) %l a s k e t a a n uusi arvo n = n+1; %p a i v i t e t a a n l a s k u r i end x_opt = x Nyt voimme hakea optimin seuraavalla komennolla. Alkuarvauksena on käytetty arvoa x = 4. newtonoptimoi ( 4 ) 10

11 Tehtävä 4: Hakumenetelmät Kirjoita Matlab-funktio, joka ratkaisee (1-ulotteisen) funktion minimikohdan käyttäen puolitusmenetelmää. Voit testata algoritmia jälleen yksinkertaisella funktiolla, kuten f(x) = cos(x). Tarkasteltava väli kannattaa valita testivaiheessa niin, että iteraatio ei suppene välittömästi, esimerkiksi [ 2, 1]. Ratkaisu Hakumenetelmissä määritellään aluksi jokin väli, joka sitten jaetaan kahteen tai kolmeen osaan. Funktion arvoista välin ja eri osien päätepisteissä riippuen valitaan välille uudet päätepisteet. Tätä toistetaan, kunnes väli on riittävän kapea, ja optimin paikka tiedetään halutulla tarkkuudella. Puolitusmenetelmässä väli jaetaan kahteen osaan. Funktion arvo lasketaan välin päätepisteissä ja puolivälin molemmin puolin. Merkitään välin päätepisteitä a ja b, ja puoliväliä pisteellä c = a+b 2. Pisteet, joissa funktion arvo lasketaan puolivälin molemmin puolin ovat c ε ja c + ε. Tässä ε on jokin pieni luku. Nyt jos funktion arvo on suurempi pisteessä c ε kuin pisteessä c + ε, tiedetään että funktion minimi on välillä [c + ε, b]. Vastaavasti toisinpäin. Kirjoitetaan puolitushaku seuraavalla tavalla: f u n c t i o n x_opt = puolitushaku ( a, b ) tol = ; % haluttu tarkkuus ep = ; % p u o l i v a l i n molemmin puolin % l a s k e t t a v a e t a i s y y s ( e p s i l o n ) fa = puolituskohde ( a ) ; % f u n k t i o n arvot p a a t e p i s t e i s s a fb = puolituskohde ( b ) ; % kaytetaan kohdefunktiona % f u n k t i o t a puolituskohde L = b a ; % v a l i n pituus while ( L > tol ) % t o i s t e t a a n kunnes tarkkuus on r i i t t a v a c = ( a+b ) / 2 ; % p u o l i v a l i fc_ala = puolituskohde ( c ep ) ;%fun. arvo ennen p u o l i v a l i a fc_yla = puolituskohde ( c+ep ) ;%fun. arvo p u o l i v a l i n j a l k. i f ( fc_yla > fc_ala ) %j o s f u n k t i o saa suuremman arvon p u o l i v a l i n j a l k e e n b = c+ep ; e l s e a = c ep ; end L = b a ; disp ( [ a, b ] ) % naytetaan i t e r a a t i o p i s t e end x_opt = ( a+b ) / 2 ; Nyt voimme hakea funktion minimin kirjoittamalla funktiolle oman m-tiedoston (puolituskohde.m) ja ajamalla puolitushaku-funktion halutuilla välin päätepisteillä: 11

12 puolitushaku ( 2,1) Edellisen tehtävän kohdefunktio voidaan kirjoittaa m-tiedostoon puolituskohde.m: f u n c t i o n y = puolituskohde ( x ) y = cos ( x ) Tällä funktiolla iteraation pitäisi supeta pisteeseen x = 0. Tehtävä 5: Gradienttimenetelmä Kirjoita MATLAB-funktio, joka annetun (n-ulotteisen) funktion minimikohdan käyttäen gradienttimenetelmää. Voit käyttää viivahakuna esimerkiksi tehtävässä 3 kirjoittamaasi algoritmia tai MATLABin valmiita optimointifunktioita. Ratkaise algoritmillasi funktion minimikohta. x 2 + y e x+y Ratkaisu Kirjoitetaan aluksi haluttu kohdefunktio Matlab-tiedostoon (kohde3.m): f u n c t i o n y = kohde3 ( x ) y = x ( 1 ) ˆ2 + x ( 2 ) ˆ exp( x ( 1 )+x ( 2 ) ) ; Gradienttimenetelmässä tarvitaan lisäksi funktion gradientti (kohde3grad.m): f u n c t i o n g = kohde3grad ( x ) g = [ 2 x ( 1 ) 100 exp( x ( 1 )+x ( 2 ) ) ; +x ( 2 ) ) ] ; 4 yˆ exp( x ( 1 ) Huomaa. Gradientti on nyt vektori, joten gradienttifunktion palautusarvo g on myös vektori. Gradienttimenetelmä laskee ensin kussakin iteraatiopisteessä funktion gradientin, ja tekee tässä suunnassa ns viivahaun: min f(x + αd), α missä d = f(x) on hakusuunta, ja α on kerroin, joka kertoo kuinka pitkälle hakusuunnassa mennään. Viivahaussa optimoidaan nimenomaan kerrointa α, joten se on yksiulotteinen optimointitehtävä. Gradienttimenetelmä voidaan ohjelmoida esimerkiksi seuraavasti. Luodaan funktio gradoptimoi, joka laskee funktion kohde3 minimin: 12

13 f u n c t i o n x_opt = gradoptimoi ( x0 ) tol = ; % l o p e t u s e h t o muutos = 1 ; % muuttuja, joka kertoo % i t e r a a t i o i d e n v a l i s e n muutoksen x = x0 ; %a l u s t e t a a n i t e r a a t i o m u u t t u j a while ( muutos > tol ) grad = kohde3grad ( x ) ; %g r a d i e n t t i i t e r a a t i o p i s t e e s s a d = grad ; %hakusuunta d on g r a d i e n t t i a_opt = fminunc ( a ) kohde3 ( x+a d ), 1) ; %viivahaku x = x + a_opt d ; %p a i v i t e t a a n uusi i t e r a a t i o p i s t e muutos = norm ( a_opt d ) ; %l a s k e t a a n s i i r r y t t y matka end x_opt = x ; Huomaa. fminunc ja fmincon -funktioille annettaville kohde- ja rajoitefunktioille ei tarvitse välttämättä luoda omia m-tiedostoja, vaan ne voidaan antaa @-merkin jälkeen sulkujen sisään tulee laskettavan funktion parametrit, ja tämän jälkeen laskettavan funktion lauseke. Esimerkiksi 2*x vastaa funktiota f(x) = 2x. Huomaa. Tässä esitetyllä gradienttimenetelmällä optimin saavuttaminen voi joskus olla hyvin vaikeaa, sillä kohdefunktion tasa-arvokäyrät voivat muodostaa pitkulaisen laakson. Gradienttimenetelmä jää tällöin sahaamaan edestakaisin laakson pohjalle, eikä pääse järkevässä ajassa riittävän lähelle optimia. 13

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Zeon PDF Driver Trial

Zeon PDF Driver Trial Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma Matlab-perusteet Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma Tämän materiaalin tarkoitus on antaa opiskelijalle lyhyehkö johdanto Matlabohjelmiston perusteisiin. Matlabin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

R. Mäkinen NUMEERISET MENETELMÄT

R. Mäkinen NUMEERISET MENETELMÄT R. Mäkinen NUMEERISET MENETELMÄT 2011 2 Luku 1 Numeerisen matematiikan peruskäsitteitä The purpose of computing is insight, not numbers. R. W. Hamming Numeerinen analyysi tutkii algoritmeja luonnontieteissä,

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

Ratkaise tehtävä EXCELillä (ainakin a)-kohta ratkeaa vaivattomasti myös kynällä ja paperilla).

Ratkaise tehtävä EXCELillä (ainakin a)-kohta ratkeaa vaivattomasti myös kynällä ja paperilla). 1. harjoitus 1. Mr. G haluaa siirtää tulivuorenpurkauksen uhkaamalta saarelta turvaan 2400 kg kultaharkkoja. Operaatiota varten on käytettävisssä kolme kevyttä helikopteria. Kopteri 1 selviytyy matkasta

Lisätiedot

Luento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006

Luento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006 UNIX-käyttöjärjestelmä Luento 5 Timo Savola 28. huhtikuuta 2006 Osa I Shell-ohjelmointi Ehtolause Lausekkeet suoritetaan jos ehtolausekkeen paluuarvo on 0 if ehtolauseke then lauseke

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 Sisällysluettelo Ohjelman tekninen dokumentti...3 Yleiskuvaus...3 Kääntöohje...3 Ohjelman yleinen rakenne...4 Esimerkkiajo ja käyttöohje...5

Lisätiedot

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

BL40A0000 Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn

BL40A0000 Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn 1 BL40A0000 Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn matemaattiset ohjelmistot Luennot ja harjoitukset Katja Hynynen, h. 6431, p. 040-548 8954 Katja.Hynynen@lut.fi Opetus ja suoritusvaatimukset OPETUS: Luentoja

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 11.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 11.2.2009 1 / 33 Kertausta: listat Tyhjä uusi lista luodaan kirjoittamalla esimerkiksi lampotilat = [] (jolloin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 25.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 25.2.2009 1 / 34 Syötteessä useita lukuja samalla rivillä Seuraavassa esimerkissä käyttäjä antaa useita lukuja samalla

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 7.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 7.2.2011 1 / 39 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet Ohjelmointi Matlab-komentoja voidaan koota ns. M-tiedostoon. Nimi tulee tiedoston tarkentimesta.m. Matlabilla voidaan ohjelmoida kahdella eri tavalla: Skriptit eli komentojonot eli makrot Funktiot eli

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet: harjoitustyö

DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet: harjoitustyö DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet: harjoitustyö Tämä on Aurinkosähkön perusteet -kurssin harjoitustyö, joka tehdään lähtökohtaisesti kahden hengen ryhmissä. Työssä tarkastellaan sähköenergian tuotantoon

Lisätiedot

Aloitusohje versiolle 4.0

Aloitusohje versiolle 4.0 Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matlabin perusteita Grafiikka

Matlabin perusteita Grafiikka BL40A0000 SSKMO KH 1 Seuraavassa esityksessä oletuksena on, että Matlabia käytetään jossakin ikkunoivassa käyttöjärjestelmässä (PC/Win, Mac, X-Window System). Käytettäessä Matlabia verkon yli joko tekstipäätteeltä,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 3.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 3.2.2010 1 / 36 Esimerkki: asunnon välityspalkkio Kirjoitetaan ohjelma, joka laskee kiinteistönvälittäjän asunnon

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla

Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla Seuraavassa on esitetty seuraavien laskutoimitusten suoritukset eri laskinmalleilla Muuttuja Frekvenssi 7 12 8 16 9 11 10 8 Tilastomoodin valinta. Tilastomuistin tyhjennys. Keskiarvon ja keskihajonnan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Luento 4. Timo Savola. 21. huhtikuuta 2006

Luento 4. Timo Savola. 21. huhtikuuta 2006 UNIX-käyttöjärjestelmä Luento 4 Timo Savola 21. huhtikuuta 2006 Osa I Shell Lausekkeet Komentoriville kirjotettu komento on lauseke echo "foo" echo $USER MUUTTUJA=1 ls -l Rivinvaihto

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.2.2011 1 / 37 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Pythonin Kertaus. Cse-a1130. Tietotekniikka Sovelluksissa. Versio 0.01b

Pythonin Kertaus. Cse-a1130. Tietotekniikka Sovelluksissa. Versio 0.01b Pythonin Kertaus Cse-a1130 Tietotekniikka Sovelluksissa Versio 0.01b Listat 1/2 esimerkkejä listan peruskäytöstä. > lista=['kala','kukko','kissa','koira'] ['kala','kukko','kissa','koira'] >lista.append('kana')

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat MS Excel ja LO Calc H6: Lomakkeen solujen visuaalisten ja sisältöominaisuuksien käsittely ja soluviittausten perusteet Taulukkolaskennan perusteita

Lisätiedot

Excelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu.

Excelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. Excelin käyttö mallintamisessa Regressiosuoran määrittäminen Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. 1)Kirjoitetaan arvot taulukkoon syvyys (mm) ikä 2 4 3 62 6 11 7 125 2) Piirretään graafi, valitaan lajiksi

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

OPTIMOINTITEHTÄVIEN RATKAISEMINEN

OPTIMOINTITEHTÄVIEN RATKAISEMINEN OPTIMOINTITEHTÄVIEN RATKAISEMINEN JUHA HAATAJA CSC Optimointitehtävien ratkaiseminen Optimointitehtävien ratkaiseminen Juha Haataja Tieteen tietotekniikan keskus CSC Tämän teoksen tekijänoikeudet kuuluvat

Lisätiedot

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen...

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 12 Vektorit Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 196 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 192 Luku 12: Vektorit

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 010 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4 kesäkuuta 010 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Condess ratamestariohjelman käyttö Aloitus ja alkumäärittelyt Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Kun kysytään kilpailun nimeä, syötä kuvaava nimi. Samaa nimeä käytetään oletuksena

Lisätiedot

C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa.

C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa. Taulukot C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa. Taulukon muuttujilla (muistipaikoilla) on yhteinen nimi. Jokaiseen yksittäiseen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

ASCII-taidetta. Intro: Python

ASCII-taidetta. Intro: Python Python 1 ASCII-taidetta All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/18cplpy to find out what to do.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014

wxmaxima opas 1 Mikä wxmaxima on 2 wxmaximan käyttö Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014 wxmaxima opas Petri Sallasmaa 13. toukokuuta 2014 1 Mikä wxmaxima on wxmaxima on yksinkertainen graanen käyttöliittynä Maxima CAS(computer algebra system)-järjestelmälle, joka on luotu wxwidgets nimisen

Lisätiedot

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov)

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Kurssin tavoite ja sisältö Symbolisen laskennan kurssilla opitaan tietokoneen käyttämistä apuvälineenä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Kurssin tavoitteena on antaa

Lisätiedot