Albedot ja magnitudit Tähtien kirkkauden ilmoitetaan magnitudiasteikolla. Koska tähdet säteilevät (lähes) isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, tähden näennäiseen kirkkautaan vaikuttavat vain: 1) Tähden todellinen säteilyteho, joka puolestaan riippuu tähden koosta ja efektiivisestä lämpötilasta. 2) Tähden etäisyys. 3) Mahdollinen väliaineen absorptio. Planeettojen tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Ne näkyvät vain, koska ne heijastavat auringonvaloa. Kohteen näennäiseen kirkkauteen vaikuttavat: 1) etäisyys Auringosta 2) etäisyys Maasta 3) vaihekulma 4) pinnan heijastuskyky Oman aurinkokuntamme tapauksessa etäisyydet ovat niin pieniä, että planeettainvälisellä absorptiolla ei ole merkitystä.
Albedot Pinnan heijastuskykyä mittaava suure on albedo. Jos Auringon luminositeetti on L, säteilyvuon tiheys etäisyydellä r olevalla pallonpinnalla on F = L 4πr 2. Olkoon kappaleen säde R, jolloin sen poikkipinta-ala säteilyä vastaan kohtisuorassa suunnassa on πr 2. Kappaleeseen osuva säteilymäärä on siten L in = πr 2 L 4πr 2 = L R 2 4r 2. (1)
Kappale heijastaa tästä säteilystä vain osan. Loppuosa absorboituu ja muuttuu lämmöksi. Tämän osan se säteilee aikanaan lämpösäteilynä. Heijastuneen ja kappaleeseen osuneen säteilyn suhde A on aina välillä 0 A 1. Tämä suhde on Bondin albedo. Aurinko kohde r α R R r Maa Bondin albedon avulla ilmoitettuna kappaleen heijastaman säteilyn teho on L out = AL in = AL R 2 4r 2. Jos heijastunut säteily leviäisi isotrooppisesti kaikkiin suuntiin, olisi vuontiheys etäisyydellä F = L out 4π 2.
Heijastuneen säteilyn määrä riippuu kuitenkin suunnasta. Jos heijastava kappale on pallo, säteilyn jakauma riippuu vain vaihekulmasta α. Etäisyydellä havaittava vuontiheys on siten F = CΦ(α) L out 4π 2, (2) missä vaihefunktio Φ normitetaan siten, että Φ(0) = 1. Normitusvakio C saadaan ehdosta, että kaikki heijastunut säteily lähtee johonkin suuntaan: C = 4π 2 S Φ(α)dS = 2 (3) Φ(α) sin αdα. π 0 Suure q = 2 π 0 Φ(α) sin αdα (4) on nimeltään vaiheintegraali. Sen avulla lausuttuna on C = 4 q. (5)
Kun muistetaan, että L out = AL in, kaava (2) voidaan kirjoittaa muotoon F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. (6) Ensimmäinen tekijä on kullekin kohteelle ominainen vakio, toinen sisältää vaihekulmariippuvuuden, kolmas etäisyysriippuvuuden ja neljäs saapuvan säteilytehon. Ensimmäiselle tekijälle käytetään usein omaa merkintää Γ = CA 4π. (7) Kun tähän sijoitetaan C:n lauseke (5) ja ratkaistaan Bondin albedo A, saadaan A = 4πΓ C = πγ 4 C = πγq = pq, (8) missä tekijä p = πγ on nimeltään geometrinen albedo ja q on edellä esiintynyt vaiheintegraali. Näiden suureiden välillä on siis yhtälö A = pq. (9)
Geometrinen albedo ilmoittaa kappaleen heijastaman säteilyn vuontiheyden suhteen samankokoisen Lambertin levyn heijastamaan vuontiheyteen, kun molempia havaitaan vaihekulmalla α = 0. Geometrinen albedo riippuu pinnan heijastuskyvyn lisäksi siitä, mihin suuntaan pinta heijastaa valoa. Jos pinnan heijastuskyky on hyvä ja se suuntaa heijastuneen valon pääasiassa valon tulosuuntaan, geometrinen albedo voi olla ykköstä suurempi, ääritapauksena peili, jolle p on ääretön. Aurinkokunnan kappaleiden geometrinen albedo on tyypillisesti välillä 0.03 1. Esimerkiksi Kuulle p = 0.12; suurin albedo on Saturnuksen kuulla Enceladuksella, p = 1.0. Syy geometrisen albedon käytölle on yksinkertainen: se saadaan suoraan havainnoista, mikäli myös kohteen koko tunnetaan. Bondin albedon laskeminen sen sijaan vaatisi havaintoja kaikilla vaihekulmilla, ts. vaiheintegraalin q ratkaisemista, mikä yleensä ei ole mahdollista.
Magnitudit Vaihefunktion ja albedon määrittelyjen jälkeen voimme johtaa kaavan planeetan magnitudille. Lähdetään havaitusta heijastuneen vuontiheyden arvosta F = CA 4π Φ(α) 1 2 L in. Sijoitetaan tähän planeettaan osuva vuontiheys L in = L R 2 4r 2 ja vakiotekijä geometrisen albedon avulla lausuttuna: CA 4π = Γ = p π. Näin saadaan F = p π Φ(α) 1 2 L R 2 4r 2. (10) Toisaalta havaittu Auringon säteilyvuon tiheys etäisyydellä a = 1 AU Auringosta on F = L 4πa 2, (11)
Näiden suhde on F = pφ(α)r2 a 2 F 2 r 2. (12) Jos Auringon näennäinen magnitudi 1 AU:n etäisyydellä on m ja planeetan näennäinen magnitudi m, on m m = 2.5lg F F = 2.5lg pφ(α)r2 a 2 2 r 2 = 2.5lg pr2 a 2 a 4 2 r 2 Φ(α) = 2.5lg p R2 a4 2.5lg a2 2 2.5lg Φ(α) r2 = 2.5lg p R2 r + 5lg 2.5lg Φ(α). a2 a2 (13) Kun vielä merkitään V (1,0) m 2.5lg p R2 a 2, (14) magnitudikaava saadaan muotoon m = V (1,0) + 5lg r 2.5lg Φ(α). (15) a2
Ensimmäinen termi, V (1,0), riippuu vain planeetan koosta ja heijastusominaisuuksista. Se on siis planeetan ominaisuuksia kuvaava suure, ja sitä kutsutaankin absoluuttiseksi magnitudiksi. Toinen termi sisältää etäisyysriippuvuuden ja kolmas vaihekulmariippuvuuden. Jos vaihekulma on nolla ja asetetaan r = = a, yhtälöstä (15) jää jäljelle vain m = V (1,0). Tästä nähdään, että absoluuttinen magnitudi tarkoittaa planeetan magnitudia, jos sitä havaitaan vaihekulmalla nolla yhden AU:n etäisyydeltä ja jos myös Aurinko on yhden AU:n päässä planeetasta. Tämä tarkoittaa, että planeetta siirretään maapallon paikalle ja havaintoja tehdään Auringon keskipisteessä, siis varsin tukalassa paikassa.
Kun vaihekulma on nolla, kaavoista (14) ja (15) voidaan ratkaista geometrinen albedo: p = ( ) 2 r 10 0.4(m 0 m ), (16) ar missä m 0 = m(α = 0 ). Yhtälön (16) oikealla puolella on vain tunnettuja ja havainnoista saatavia suureita. Magnitudien laskemisen suurin ongelma sisältyy magnitudikaavan (15) viimeiseen termiin, jonka sisältämää vaihekulmariippuvuutta ei tunneta kunnolla kaikille kappaleille. Havainnoista saadaan kuitenkin absoluuttinen magnitudi vaihekulmalla α: V (1,α) V (1,0) 2.5lg Φ(α) = m 5lg r a 2. (17) Kun havaintoja tehdään eri vaihekulmilla, saadaan planeetan vaihekäyrä V (1,α). Sen muoto on hyvin erilainen ilmakehällisillä ja ilmakehättömillä kappaleilla.
Esimerkki: Marsin näennäinen magnitudi vuoden 1975 oppositiossa oli m 1 = 1.6 ja etäisyys Auringosta r 1 = 1.55 AU. Vuoden 1982 oppositiossa etäisyys Auringosta oli r 2 = 1.64 AU. Mikä oli tällöin Marsin magnitudi? Oppositiossa Marsin etäisyys Maasta on = r 1. Havaittu vuontiheys riippuu sekä Marsin etäisyydestä Maasta että Auringosta: F 1 r 2 2, joten magnitudille saadaan kaavan (4.9) perusteella m 1 m 2 = 2.5lg r2 2(r 2 1) 2 r 2 1 (r 1 1) 2 m 2 = m 1 + 5lg r 2(r 2 1) r 1 (r 1 1) 1.64 0.64 = 1.6 + 5lg 1.55 0.55 1.1
Esimerkki: Milloin Venus näkyy kirkkaimmillaan Maasta katsottuna, jos vuontiheys F riippuu vain Venuksen valaistun pinta-alan suuruudesta ja Maasta mitatusta etäisyydestä? Oletetaan planeettojen radat ympyröiksi. Valaistu pinta-ala on puoliympyrän ACE pinta-ala + puolet ellipsin ABCD pinta-alasta. Ellipsin puoliakselit ovat R ja R cos α. Jos planeetan säde on R, on valaistu ala siis π R2 2 + 1 2 πr R cos α = π 2 R2 (1 + cos α), missä α on vaihekulma. Toisaalta vuontiheys on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten F 1 + cos α 2. (1) A R E B D α R α C havaitsijan näkemä valaistu pinta R cos α
Aurinko r r α ε Venus Kosinilauseesta saadaan Maa r 2 = r 2 + 2 2 r cos α. (2) Ratkaistaan cos α ja sijoitetaan se kaavaan (1): F 2 r + r2 + 2 r 2 2r 3 (3) Lausekkeen (3) maksimi antaa etäisyyden, jolta Venus näkyy kirkkaimmillaan: df d = 4r + 3r2 3r 2 + 2 2r 4 = 0 = 2r ± r 2 + 3r. 2
Kun r = 0.723 AU ja r = 1 AU, saadaan etäisyydeksi = 0.43 AU ja tätä vastaavaksi vaihekulmaksi kaavasta (2) α = 118. Venus on siis kirkkaimmillaan hieman suurimman itäisen elongaation jälkeen tai ennen suurinta läntistä elongaatiota. Sinilauseesta saadaan sinε r = sin α r, josta elongaatio ε = 40. Pinnasta on tällöin valaistuna 1 + cos α 2 100 % = 27 %.
Oppositioilmiö Jos kappaleella on ilmakehä, valo heijastuu suhteellisen tasaisesti kaikkiin suuntiin. Heijastuvan säteilyvuon tiheys on silloin karkeasti ottaen verrannollinen valaistuna näkyvän osan alaan (tarkemmin sen projektioon näkösädettä vastaan kohtisuoralla tasolla). Ilmakehättömillä kappaleilla, kuten Kuulla, heijastuminen on voimakkaampaa valon tulosuuntaan. Sen seurauksena kohde kirkastuu voimakkaasti opposition lähellä. Tämä oppositioilmiö näkyy vaihekäyrän kääntymisenä nousuun vaihekulman laskiessa muutaman asteen alapuolelle. Osa oppositioilmiöstä voidaan kvalitatiivisesti ymmärtää niin, että pienillä vaihekulmilla kaikki varjot katoavat ja näemme vain valaistun pinnan. Kun vaihekulma kasvaa, varjot tulevat näkyviin ja kirkkaus pienenee nopeasti. Suurin osa johtuu kuitenkin ns. koherentista takaisinsironnasta, joka on seurausta valon aaltoluonteesta. täysikuu 0 1 2 3 vaihekulma 0 30 60 90 puolikuu
Ilmakehättömien kappaleiden magnitudit Kun esimerkiksi asteroidin vaihekulma on muutamaa astetta suurempi, magnitudi kasvaa lähes lineaarisesti vaihekulman mukana. Aikaisemmin käytetyssä magnitudijärjestelmässä tähän vaihekäyrän suoraan osaan sovitettiin suora, jota sitten jatkettiin vaihekulmalle 0. Näin saatiin arvio oppositiomagnitudille. Oppositioilmiön vuoksi asteroidi on oppositiossa kuitenkin huomattavasti tällaista ennustetta kirkkaampi. Vuonna 1985 IAU otti käyttöön HG-järjestelmän. Järjestelmää tullaan todennäköisesti muuttamaan seuraavassa IAU:n yleiskokouksessa 2012, mutta toistaiseksi ei ole tiedossa, millä tavoin. Nykyiset asteroidiluettelot kuvaavat vaihekäyriä vakioilla H ja G, joista magnitudit voidaan laskea seuraavasti: Lasketaan ensin vakiot a 1 ja a 2 : a 1 = (1 G)10 0.4H, a 2 = G10 0.4H. (1.18)
Näiden avulla saadaan vaihekäyrä: [ ( V (1,α) = 2.5lg a 1 exp 3.33 + a 2 exp ( tan α ) ) 0.63 2 ( ( 1.87 tan α ) )] 1.22. 2 (1.19) Kun vaihekulma on nolla, on V (1,0) = 2.5lg(a 1 + a 2 ) = 2.5lg 10 0.4H = H, (1.20) joten H on juuri absoluuttinen magnitudi oppositiossa. Vakio G puolestaan liittyy vaihekäyrän muotoon. Kun G on suuri, on myös kerroin a 2 suuri, ja V (1,α):n lausekkeesta nähdään, että tämä painottaa enemmän hakasulkulausekkeen jälkimmäistä termiä. Suuremman eksponentin vuoksi tämä termi edustaa jyrkemmin laskevaa vaihekäyrää. Suuri G tarkoittaa siis voimakasta himmenemistä opposition ulkopuolella. Hyvin loivilla vaihekäyrillä G saattaa saada myös negatiivisia arvoja.
Planeettojen polarimetria Aurinkokuntamme kappaleista heijastunut valo on yleensä aina jossakin määrin polarisoitunutta. Polarisaatioaste riippuu paitsi pinnan ominaisuuksista myös vaihekulmasta. Polarisaatioaste P on P = F F F + F (21) missä F on valittua perustasoa eli sirontatasoa vastaan kohtisuoraan suuntaan ja F tämän tason suuntaisesti polarisoituneen valon vuontiheys. Määritelmästä seuraa, että P voi olla myös negatiivinen. Yleensä sirontatasoksi valitaan Maan, Auringon ja planeetan määräämä taso. Atmosfäärittömän kappaleen polarisaatio on yleensä aina positiivinen (P > 0); ainoastaan vaihekulmilla α < 20 esiintyy negatiivista polarisaatiota. Atmosfäärittömillä kappaleilla on huomattu polarisaation ja geometrisen albedon välinen yhteys. Tämä tarjoaa riippumattoman menetelmän albedon ja sitä kautta läpimitan määrittämiseksi. Atmosfääri mutkistaa tilannetta ja joillakin vaihekulmilla P voi olla huomattavan negatiivinen. Yleisen säteilynsiirtymisen teorian avulla voidaan laskea, kuinka valo käyttäytyy planeetan atmosfäärissä ja tätä kautta saadaan selville myös polarisaatio. Näin on saatu ensimmäiset tiedot mm. Venuksen pilvien koostumuksesta jo ennen luotainlentoja.
1.0 10 Magnitude (mag) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 E: (44) Nysa V: (4) Vesta S: (6) Hebe, (20) Massalia Degree of Polarization (%) 9 8 7 6 5 4 3 E V S M 0.4 2 0.6 0.8 C: (24) Themis M: (22) Kalliope, (69) Hesperia 1 0 1 C 1.0 2 a) 1.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Phase Angle ( ) b) 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 Phase Angle ( ) Eri tyyppisten asteroidien vaihe- ja polarisaatiokäyriä.
Planeettojen lämpötilat Auringon säteilemä vuo on L = 4πR 2 σt 4. Jos planeetan Bondin albedo on A, säteilystä absorboituu osa 1 A, joka poistuu lämpösäteilynä. Planeetta absorboi vuon L abs = R2 σt 4 πr 2 r 2 (1 A). Termisessä tasapainossa planeetta säteilee saman määrän.
(1) Planeetta pyörii suhteellisen hitaasti. Silloin planeetan pimeä puoli ehtii jäähtyä ja lämpösäteily emittoituu pääasiassa valaistulta pinnalta. Planeetan säteilemä vuo on L em = 2πR 2 σt 4, Termisessä tasapainossa L abs = L em : R 2 T 4 r 2 (1 A) = 2T 4, josta ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 2 r (2) Planeetta pyörii nopeasti. Säteilyä emittoituu likimain yhtä paljon koko planeetan pinta-alalta: L em = 4πR 2 σt 4 ( ) 1/4 ( ) 1/2 1 A R T = T. 4 r
planeetta albedo etäisyys teoreettinen havaittu Auringosta lämpötila [K] maksimi- [AU] (1) (2) lämpötila Merkurius 0.06 0.39 525 440 615 Venus 0.76 0.72 270 230 750 Maa 0.36 1.00 290 250 310 Mars 0.16 1.52 260 215 290 Jupiter 0.73 5.20 110 90 130 Erityisesti Venuksen teoreettinen ja havaittu lämpötila ovat hyvin erilaisia. Syynä on ilmakehän aiheuttama kasvihuoneilmiö.
Kasvihuoneilmiö Maanpinta absorboi Auringon säteilyä ja säteilee saamansa energian takaisin lähinnä pitkäaaltoisena lämpösäteilynä. Lämpö absorboituu ilmakehään ja lämmittää planeettaa edelleen. Ilman kasvihuoneilmiötä nykyisenlainen elämä Maassa ei olisi mahdollista. Voimistuvan kasvihuoneilmiön aiheuttama ilmaston lämpeneminen ihmisen toiminnan vuoksi on ihan toinen juttu. Kasvihuoneilmiötä vahvistavia kasvihuonekaasuja ovat erityisesti hiilidioksidi ja metaani. Kasvihuoneilmiö ei ole aivan onnistunut nimitys: kasvihuoneessa suuri vaikutus on myös sillä, että rakenteet estävät lämmön karkaamisen tuuletuksen (konvektion ja advektion) vaikutuksesta.
Elinkelpoinen vyöhyke Maapallon elämä käyttää liuottimena vettä. Elämä on mahdollista alueella, jossa lämpötila on ainakin osan aikaa veden sulamis- ja kiehumispisteen välillä. Elinkelpoisen vyöhykkeen sijaintiin vaikuttaa kasvihuoneilmiö, joten täsmällistä paikkaa ei voi kunnolla määritellä. Kuumilla tähdillä (esim. spektriluokat O, B) vyöhyke on leveä ja kaukana tähdestä. Leveä vyöhyke iso todennäköisyys, että siellä on planeettoja. Tähden kehitys on kuitenkin niin nopeaa, ettei elämällä ole aikaa kehittyä. Viileillä tähdillä (K, M) vyöhyke kapea ja lähellä tähteä. Tähden pääsarjavaihe hyvin pitkä, joten elämän kehittymiselle olisi runsaasti aikaa, mutta osuuko kapealle vyöhykkeelle yhtään planeettaa? Pääsarjavaiheen aikana tähdet kirkastuvat hitaasti, jolloin elinkelpoinen vyöhyke siirtyy kauemmas. Jatkuvasti elinkelpoinen vyöhyke on alue, joka pysyy elinkelpoisena huomattavan osan tähden pääsarjavaiheesta.