AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla
|
|
|
- Toivo Kapulainen
- 10 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman eri muodot.
2 Miksi? Apu elektroniikan pettäessä Perinteen säilyttäminen Huvin vuoksi
3 Kurssilla tarvittava materiaali Oppikirja: Merenkulkuopin perusteet III, Avomerinavigointi Plotting Sheet-kartta N.P.401 Sight Reduction Tables Kolmio, harppi, kynä, kumi, paperia, laskin
4 TAIVAANPALLO JA KOORDINAATISTOT Navigoinnissa käytettävät taivaankappaleet Tähtitieteellisessä paikanmäärityksessä tulevat kysymykseen aurinko, kuu, osa kiintotähdistäsekävalovoimaisimmat planeetat eli Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Merenkulussa käytetään yleisesti 57 valittua kiintotähteä.
5 TAIVAANPALLO Eräs tähtitieteellisen merenkulun perusperiaatteita on, ettätaivaankappaleiden etäisyydellä ei ole merkitystä paikanmäärityksessä. Tärkeääon ainoastaan suunta, jossa ne näkyvät. Taivaankappaleiden projisointia taivaan pallonmuotoiselle pinnalle nimitetään taivaanpalloksi.
6 TAIVAANPALLO Tähtitieteellisessäpaikanmäärityksessäon tiedettävätaivaankappaleiden sijainti taivaanpallolla, jotta niiden avulla voidaan määrittää oma paikka maan pinnalla. Jotta taivaankappaleen paikka taivaanpallolla kyetään ilmoittamaan, pitää käyttää koordinaatteja samaan tapaan kuin niitä käytetään ilmoittamaan sijainti maapallon pinnalla.
7 Maapallon pinnalla käytetään paikan ilmaisemiseksi latitudia ja longitudia
8 Koordinaatistot Tähtitieteellisessä merenkulussa tarvitaan 2 koordinaatistoa; horisontti- ja tuntikulmakoordinaatistoa.
9 HORISONTTIKOORDINAATISTO
10 Horisonttijärjestelmän perustaso on havaitsijan ja horisontin kautta kulkeva taso. Sen perustasona on katsojan horisontti nk tosihorisontti.horisonttia vastaa kohtisuorassa on luotiviiva, joka kulkee havaitsijan ja maapallon keskipisteen kautta taivaanpallon pinnoille. Suoraan havaitsijan yläpuolella on Zeniitti Zja vastakkaisella puolella palloa on Nadiiri Z.
11 Havaitsijan horisontin eli ns. tosihorisontin suuntaisia tasoja kutsutaan korkeusparalleeleiksi, ( maapallon latitudiparalleelit eli leveyspiirit) arvo ilmoitetaan tosikorkeutena tosihorisontista. Zeniitin ja nadiirin kautta kulkevia isoympyröitäkutsutaan vertikaaliympyröiksi =pysty-ympyrät ( maapallon meridiaani eli pituuspiiri), arvo ilmoitetaan atsimuuttikulmanatosihorisontilla
12 Tosihorisontti jakaa taivaanpallon näkyvään ja näkymättömään pallonpuoliskoon.samoin näkyväksi navaksi kutsutaan sitätaivaan napaa, joka on havaitsijaa lähinnä. Vrt näkymätön napa.eteläinen ja Pohjoinen kardinaalipiste sijaitsevat napojen ja Z / Z läpi kulkevan vertikaaliympyrän ja tosihorisontin leikkauspisteessä. Havaitsijan liikkuessa siirtyy zeniitin ja siten myös tosihorisontin paikka.
13 Kohteen korkeus on sen ja taivaanrannan välinen kulma. Zeniitin korkeus on 90. Horisontissa olevan kohteen korkeus on 0. Horisontin alapuolella arvot ovat negatiivisia Nadiirin -90 asti. Zeniittiväliksi z kutsutaan Taivaankappaleen ja zeniitin väliin jäävääpysty-ympyrän kaarta eli 90º-Tosikorkeus Ht.
14 Atsimuutti A ilmoittaa kohteen ilmansuunnan. Se on kaarietäisyys tosihorisontissa olevasta pohjoisesta tai eteläisestä kardinaalipisteestä taivaankappaleen läpi kulkevan vertikaaliympyrän ja tosihorisontin leikkauspisteeseen. Atsimuutti on joko länteen tai itään Nousussa oleva taivaankappaleen A on itäinen (laskussa läntinen) Tk.n ylittäessä meridiaanin se on yleensä korkeimmillaan eli kulminoi (vrt navanympärystähdet) Taivaanpallolla ts.= tosisuuntima saadaan laskemalla atsimuutista.
15 TUNTIKULMAKOORDINAATISTO eli Ekvatoriaalinen koordinaatisto pohjoisella ja eteläisellä pallopuoliskolla
16 TUNTIKULMAKOORDINAATISTO Ekvatoriaalisen koordinaatiston perustasona on Maan päiväntasaajan eli ekvaattorin taso. Sen projektio taivaanpallolla on taivaanpallon ekvaattori. Taivaanpallon ekvaattori jakaa taivaanpallon pohjoiseen ja eteläiseen pallonpuoliskoon. Havaitsijan liike ei vaikuta taivaan napojen eikä ekvaattorin sijaintiin.
17 LATITUDI: Maapallon latitudiparalleelin vastine taivaanpallolla on deklinaatioparalleelija sen arvo ilmoitetaan deklinaationa ekvaattorista. Deklinaatio= taivaankappaleen kulmaetäisyys ekvaattorista. Se on siis joka pohjoista tai eteläistä. Taivaankappaleen ollessa ekvaattoritason yläpuolella, on se positiivinen 90 asti. Alapuolella vastaavasti negatiivinen -90 asti. Taivaankappaleen etäisyyttänäkyvästänavasta deklinaatioympyrälläkutsutaan napaväliksi p= 90 -/+ deklinaatiohavaitsijasta etelään / pohjoiseen
18 LONGITUDI Sitätaivaanpallon deklinaatioympyrää, joka kulkee taivaan napojen Pn ja PS sekäzeniitin Z ja Nadiirin Z kautta, kutsutaan taivaan meridiaaniksi. Kuten meridiaanit ja latitudiparalleelit, leikkaavat myös deklinaatioympyrät ja deklinaatioparalleelit toisensa suorassa kulmassa muodostaen ruuduston, jonka perusteella taivaankappaleen paikka määritetään Meridiaanin vastine on deklinaatioympyräja sen arvo ilmoitetaan tuntikulmanaekvaattorilla myötäpäivään tai 0-24h
19 TÄHTIEN KIINTEÄKOORDINAATISTO
20 TÄHTIEN KIINTEÄKOORDINAATISTO Tkk käyttäähyväksi tuntikulmakoordinaatistoa. Koska taivaan meridiaani muuttuu maan pyöriessä, se ei ole hyväkiintotähtien sijainnin ilmoittamisessa. Kun etäisyyttätulee riittävästi tkleet alkavat kulkea tietyssäsuhteessa toisiinsa nähden. Kiintopisteeksi valitaan kevättasauspiste.
21 TÄHTIEN KIINTEÄKOORDINAATISTO Atsimuutti Akorvataan kulmalla, joka mitataan kiintopisteestätaivaan ekvaattorilla ( kevättasauspiste Aries γ). Deklinaatio Decon kaarietäisyys ekvaattorista taivaankappaleen deklinaatioparalleeliin mitattuna deklinaatioympyrääpitkin.
22 TÄHTIEN KIINTEÄKOORDINAATISTO Meridiaaninvastine on deklinaatioympyräja sen arvo ilmoitetaan sideerisenä tuntikulmana SHA ekvaattorilla. Sideerinen tuntikulma SHAon kaari Arieksesta ekvaattoria pitkin siihen pisteeseen, jossa taivaankappaleen kautta kulkeva deklinaatioympyräleikkaa ekvaattorin. Se lasketaan myötäpäivään
23 NAPAKORKEUS Napakorkeus on tosihorisontista taivaan napaan kulkeva kaari. Koska ekvaattori ja N-S kardinaali-pisteiden välinen suora sekä havaitsijan läpi kulkeva luotiviiva Z-Z ja maapallon Pn-Ps suora ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ovat napakorkeus ja latitudi yhtä suuret. Napakorkeus pohjoisella ja eteläisellä pallonpuoliskolla
24 TÄHTITIETEEN PERUSKOLMIO Taivaankappale lukitaan tpallolle edellä esitettyjen käsitteiden avulla. Se on tulevien laskujen perustana.
25 TÄHTITIETEEN PERUSKOLMIO kärjet kulmat sivut taivaan napa Pn / Ps HA Zeniittiväli z = 90º - Ht zeniitti Z A Napaväli p = 90º Dec taivaankappale * Havaitsijan etäsyys navasta =90º -lat
26 TÄHTITIETEEN PERUSKOLMIO Kun pallokolmion kulmista tai sivuista tunnetaan 3 suuretta voidaan muut suureet laskea. Laskuissa oletetaan tunnetuksi latitudija NA:sta saadaan taivaankappaleen havaintohetken tuntikulma ja deklinaatio. Korkeustaulukosta lasketaan taivaankappaleen korkeus ja atsimuutti. Kun Deklinaatio tiedetään, saadaan napaväli p. Tosikorkeus Ht saadaan sekstantilla tai korkeustaulukosta( kun tiedetään LHA, dec ja lat). Merkintäpaikan Longitudin ja kellon ajan mukaan NA:sta saatujen tuntikulmien (GHA) tai (SHA ja Arieksen GHA) avulla saadaan paikallinen tuntikulma LHA.
27 Paikanmäärityksen vaiheet: Merkintälasku Alus on kulkiessaan pitänyt merkintälaskulla kirjaa oletetusta paikastaan Aluksella ollaan selvilläpaikasta ainakin asteen tarkkuudella esim. 40 N 25 W Aluksella on mukana myös: Kronografi joka aina näyttää Greenwichin aikaa (UT) Sekstantti Nautical Almanac Sight Reduction Tables
28 Paikkanmäärityslyhyesti Ajankohdaksi valitaan hämärän kellonajat Nautical Almanacista NOUSU MERIHORISONTTI LASKU 0-6 VARSINAINEN, PORVARILLINEN HÄMÄRÄ( CIVIL) NAUTTINEN HÄMÄRÄ TÄHTITIETEELINEN HÄMÄRÄ >18 TÄYDELLINEN PIMEYS >18
29 Merkitään muistiin : Mittauspäivä Havaintohetken aika Taivaankappaleen nimi Merkintäpaikka Mitataan sekstantilla valittujen taivaankappaleiden korkeus horisontista Kuten aikaisemmilta laivurikursseilta tiedämme, yksi sijoittaja ei riitäpaikanmääritykseen. Sijoittajia tulee olla vähintään 2. Suoritetaan laskut
30 INTERPOLOINTI Koska käytämme hyväksi taulukoita on osattava interpoloida, eli löydettäväoikea arvo kahden arvon välistä. Laskenta kaava: Taulukolle C Haetaan tulokselle B oikeaa vastausta: y-x x + C-A * B-A tai y-x y+ C-A * B-C A X y
31 ESIMERKKI eksymätaulukosta Lasketaan arvolle 167 oikea arvo: -8 + [(-6)-(-8)]/( ) x ( )= -8+( 2/10x 7) = -8+1,4 =-6,6 tai -6+[(-6)-(-8)]/( ) x ( )= -6+( 2/10x -3) = ,6 = -6,6
Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät
Tähtitieteelliset Huom! Tämä materiaali sisältää symbolifontteja, eli mm. kreikkalaisia kirjaimia. Jos selaimesi ei näytä niitä oikein, ole tarkkana! (Tällä sivulla esiintyy esim. sekä "a" että "alpha"-kirjaimia,
Etäisyyden yksiköt tähtitieteessä:
Tähtitiedettä Etäisyyden yksiköt tähtitieteessä: Astronominen yksikkö AU = 149 597 870 kilometriä. Tämä vastaa sellaisen Aurinkoa kiertävän kuvitellun kappaleen etäisyyttä, jonka kiertoaika on sama kuin
Juha Ojanperä Har javalta
Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta 06.10. - 08.12.2016 Kurssin sisältö 1. Kerta Taivaanpallo ja tähtitaivaan liike opitaan lukemaan ja ymmärtämään tähtikarttoja 2. kerta Tärkeimmät tähdet ja
TÄHTITIETEEN PERUSTEET (8OP)
TÄHTITIETEEN PERUSTEET (8OP) HEIKKI SALO, KEVÄT 2013 (heikki.salo@oulu.fi) Kurssin sisältö/alustava aikataulu: (Luennot pe 12-14 salissa FY 1103) PE 18.1 1. Historiaa/pallotähtitiedettä I to 24.1 Kollokvio
PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveys- asteen mukaiseksi.
Käyttöohje PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveysasteen mukaiseksi. Kellossa olevat kaupungit auttavat alkuun, tarkempi leveysasteluku löytyy sijaintisi koordinaateista. 2. Kello asetetaan
Muunnoskaavat horisonttijärjestelmä < > ekvaattorisysteemi
Muunnoskaavat horisonttijärjestelmä < > ekvaattorisysteemi Edellä pallokolmioiden yleiset ratkaisukaavat: sin B sin a = sin A sin b cos B sin a = cos A sin b cos c + cos b sin c cos a = cos A sin b sin
SolarView. Käyttäjän opas. AR Software
SolarView Käyttäjän opas AR Software Sisällysluettelo 1. Johdanto...3 2. Sovelluksen yleiskuvaus...4 2.1 Laitteisto- ja ohjelmistovaatimukset...4 3. Keskeiset käsitteet...5 3.1. Paikkakoordinaatit...5
Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi
Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Asko Palviainen Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Ajanlasku Kuukalenteri vuodessa 12 kuu-kuukautta ei noudata vuodenaikoja nykyisistä kalentereista
Radiotekniikan sovelluksia
Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina
Tähtitieteen pikakurssi
Tähtitieteen pikakurssi Etäisyyden yksiköt tähtitieteessä: Astronominen yksikkö AU = 149 597 870 kilometriä. Tämä vastaa sellaisen Aurinkoa kiertävän kuvitellun kappaleen etäisyyttä, jonka kiertoaika on
GeoGebran 3D paketti
GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Susanna Viljanen
Susanna Viljanen 6.3. 2012 Navigointi on taitoa paikantaa merellä oma sijaintinsa, välttää vaarat ja löytää turvallisesti määränpäähän Navigointi kattaa: Visuaalisen navigoinnin : Navigointi maamerkkien,
Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi
Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Asko Palviainen Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Ajanlasku Kuukalenteri vuodessa 12 kuu-kuukautta ei noudata vuodenaikoja nykyisistä kalentereista
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä
7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
TAIVAANMEKANIIKAN KOTITEHTÄVÄT (syksy 2014)
TAIVAANMEKANIIKAN KOTITEHTÄVÄT (syksy 214) 1. Marsin rata taivaalla vuosina 2-22 2. Numeerinen integrointi a) 2-kappaleen liike 1/r 2 voimakentässä (Kepler liike) b) 2-kappaleen liike 1/r 3 voimakentässä
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen
1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki
1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
Sampo Viheriälehto ASTRONOMISEN PAIKANMÄÄRITYKSEN MENETELMÄT
Sampo Viheriälehto ASTRONOMISEN PAIKANMÄÄRITYKSEN MENETELMÄT Merenkulun koulutusohjelma Merikapteenin suuntautumisvaihtoehto 2010 ASTRONOMISEN PAIKANMÄÄRITYKSEN MENETELMÄT Viheriälehto, Sampo Satakunnan
2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
Navigointi/suunnistus
Navigointi/suunnistus Aiheita Kartan ja kompassin käyttö Mittakaavat Koordinaatistot Karttapohjoinen/neulapohjoinen Auringon avulla suunnistaminen GPS:n käyttö Reitin/jäljen luonti tietokoneella Reittipisteet
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin tutkinto 14.12.2012
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin tutkinto 14.12.2012 Tutkinto tehdään 12 m pituisella merikelpoisella moottoriveneellä, jossa on varusteina mm. pääkompassi, kiinteä
PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin.
ÄIVÄNVALO Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO 22. KSÄKUUTA 2002 Tänään, kun pohjoisella pallonpuoliskolla juhlitaan vuoden pisintä päivää, viettävät australialaiset
Ajan osasia, päivien palasia
Ajan osasia, päivien palasia Ajan mittaamiseen tarvitaan liikettä. Elleivät taivaankappaleet olisi määrätyssä liikkeessä keskenään, ajan mittausta ei välttämättä olisi syntynyt. Säännöllinen, yhtäjaksoinen
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.
OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa
A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
Kenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
PERTTU JOHANSEN TÄHTIKAUKOPUTKEN OHJAUKSEN OHJELMISTOT. Kandidaatintyö
PERTTU JOHANSEN TÄHTIKAUKOPUTKEN OHJAUKSEN OHJELMISTOT Kandidaatintyö Tarkastaja: Tiina Schafeitel-Tähtinen Jätetty tarkastettavaksi 9.12.2017 i TIIVISTELMÄ Perttu Johansen: Tähtikaukoputken ohjauksen
Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
Kartografian historiaa ja perusteita. Taru Tiainen
Kartografian historiaa ja perusteita Taru Tiainen 18.4.2016 Alkutehtävä Piirrä Joensuun kartta Aikaa n. 5 minuuttia Alkutehtävä Mikä vaikuttaa karttasi tekoon? Miksi kartta on näköisensä? Mitä tämän tehtävän
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
AstroMaster-sarjan kaukoputket
SUOMI AstroMaster-sarjan kaukoputket KÄYTTÖOHJE AstroMaster 90 EQ # 21064 AstroMaster 130 EQ # 31045 AstroMaster 90 EQ-MD # 21069 AstroMaster 130 EQ-MD # 31051 Sisällysluettelo JOHDANTO... 3 KOKOAMINEN...
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia
10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45
Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit
Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla a) sin(120 o ) b) cos(180 o ) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin tutkinnon ratkaisut
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin 14.12.2007 tutkinnon ratkaisut Tehtävät on ratkaistu Microsoft PowerPoint ohjelmalla. Karttakuvat ovat skannattuja kuvia harjoitusmerikartasta
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
14 JOHDANTO Merenkulkuoppiin kuuluu kaksi osaa, joista toista nimitetään terrestiseksi ja toista astronomiseksi merenkuluksi. Terrestiseen merenkulkuun kuuluvat rannikkomerenkulku, kompassioppi, sääoppi,
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
Ohjeita. Datan lukeminen
ATK Tähtitieteessä Harjoitustyö Tehtävä Harjoitystyössä tehdään tähtikartta jostain taivaanpallon alueesta annettujen rektaskensio- ja deklinaatiovälien avulla. Karttaan merkitään tähdet aina kuudenteen
Palauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi.
Tehtävä 1 Kirjoita neljä eri funktiota (1/2 pistettä/funktio): 1. Funktio T tra saa herätteenä 3x1-kokoisen paikkavektorin p. Se palauttaa 4x4 muunnosmatriisin, johon sijoitettu p:n koordinaattien mukainen
Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lataa Polaris - Heikki Oja. Lataa
Lataa Polaris - Heikki Oja Lataa Kirjailija: Heikki Oja ISBN: 9789525329759 Sivumäärä: 159 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 19.55 Mb Tule mukaan jännittävälle retkelle läpi tähtitaivaan maailmojen. Opi tuntemaan
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
Tähtitieteen LUMA-työpaja
Tähtitieteen LUMA-työpaja (Ohje työpajaan, jota käsiteltiin MAOL:in syyspäivillä 2016) Pertti Rautiainen Tähtitieteen tutkimusyksikkö Oulun yliopisto Tähtitieteen LUMA-työpaja: Maa on planeetta taustatietoa
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin tutkinnon ratkaisut
Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund Rannikkomerenkulkuopin 25.04.2014 tutkinnon ratkaisut Tutkinto tehdään 12 m pituisella merikelpoisella moottoriveneellä, jossa on varusteina mm. pääkompassi,
Piste ja jana koordinaatistossa
607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan
origo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Taivaan merkit. To klo 16.50 18.20 Opistotalo, Helsinginsali, Helsinginkatu 26 FM Jussi Tuovinen
Taivaan merkit To klo 16.50 18.20 Opistotalo, Helsinginsali, Helsinginkatu 26 FM Jussi Tuovinen Luentosarjan idea Eläinradan 12 tähtikuviota ovat varmasti tunnetuimpia taivaan tähtikuvioita ja niihin on
TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
a b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
CALCULATION OF PALEOMAGNETIC POLES
Q 17.1 /27.2/70/2 Lauri Pesonen 29.12.1970 GEOLOGINEN TUTKIMUSLAITOS Geof ys i i kan osasto HP-ohje l masel oste CALCULATION OF PALEOMAGNETIC POLES GTL/GEOP 291270 LJP HP-9 1 OOB CALCULATION OP PALEONAGNETIC