Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä on uurin nopeu hetkellä 8,0 ja kuinka uuri on tää nopeu? d) Milloin A:n ja B:n nopeudet ovat yhtä uuret? (Yo 95) Ratkaiu: 1. a) Luetaan kuvaajata kunkin pyöräilijän kulkea atka. Pyöräilijä A on ajanut 40, pyöräilijä B noin 47 ja pyöräilijä C noin 17. Pyöräilijä B on ii ajanut piiän atkan. b) Pyöräilijä B aavuttaa pyöräilijä C:n, kun kuvaajat leikkaavat. Tällöin pyöräilijät ovat aaa kohdaa eli hetkellä 8,9. c) Pyöräilijän B liikkeen kuvaaja on jyrkin hetkellä 8,0 joten pyöräilijän B nopeu on uurin. Nopeu ääritetään kuvaajan fyikaaliena kulakertoiena: 95 30 v ( 8,0 ) = B B = 1. tb 11 5,5 d) Pyöräilijä A liikkuu vakionopeudella. Tutkitaan, illä hetkellä pyöräilijän B kuvaajan tangentti on pyöräilijän A kuvaajan uuntainen. Tää voidaan uorittaa liikuttaalla viivoitinta pitkin B:n liikkeen kuvaajaa. B:n tangentti on yhdenuuntainen A:n liikkeen kuvaajan kana hetkellä 3,0. Pyöräilijöiden A ja B nopeudet ovat ii yhtä uuret hetkellä 3,0. Kertau - 1
Fotoni 4 Kertau -. Autoilija ajaa 55 k:n atkan uurinta allittua nopeutta. Kahdella kolaoalla atkata nopeurajoitu on 80 k/h ja atkan loppuoalla 50 k/h. a) Lake auton kekinopeu. b) Eitä graafieti auton paikka ja nopeu ajan funktiona. (Yo k 98) Ratkaiu: 1 a) Kyeiet atkaouudet ovat = = 36, 7k ja = = 18, 3k. Laketaan 1 3 enin kupaankin atkaouuteen ja koko atkaan kulunut aika: 1 55 k 55 k t1 = = = 0, 459h, t = = = 0, 366 h, v k 1 3 80 k h v k 1 3 50 k h t = t1 + t = 0, 85 h. Kekinopeu koko atkalla on 55k k k vk = = = 66, 7 67. t 0,85h h h b) a-kohdan tuloten peruteella piirretään auton paikan ja nopeuden kuvaajat: 3 k/h 80 v k 60 60 40 40 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 t h 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 t h 3. Oheiea kuvaa on eitetty kiihdytykilpailuia käytettävän auton nopeu riippuvuu ajata. Kertau -
Fotoni 4 Kertau - 3 a) Miä ajaa auto aavuttaa nopeuden 100 k/h? b) Mikä on auton kekikiihtyvyy aikavälinä 0,4...1,6? c) Kuinka pitkän atkan auto on kulkenut aikavälinä 0...8,5? (Yo 88) Ratkaiu: a) Kuviota luetaan uoraan kulunut aika, kun auton nopeu on 100 k 100 = = 7, 8. h 3, 6 Auto aavutti kyytyn nopeuden ajaa 1,6. b) Kekikiihtyvyy on nopeuden uuto jaettuna uutokeen kuluneella ajalla: v 8 3, 0 ak = = = 1 0. t 1, 6-0,4 c) Matka aadaan graafieti integroialla kuvaajan ja aika-akelin fyikaalinen pintaala. Yhden ruudun ala on 10 1, 0 = 10. Kokonaiia ruutuja on 9 kpl ja oaruuduita arvioidaan tulevan yhteenä 9,5 ruutua. Matkaki aadaan = b9 + 9, 5g 10 = 385 390. Toinen tapa on jakaa tv-kuvaajan ja t-akelin rajoittaa alue trapeteihin ja lakea niiden fyikaaliet pinta-alat yhteen. Tulo on 401. Todelliuudea atka lienee Yhdyvalloita peräiin oleva ¼ Englannin ailin pituinen atka, jota käytetään näiä kilpailuia. Kertau - 3
Fotoni 4 Kertau - 4 4. Tennipallo pudotettiin kerrotalon eri parvekkeilta. Putoaieen kuluva aika itattiin kuakin tapaukea ekuntikellolla. Oheiea taulukoa on eitetty pudotukorkeudet ja putoaiajat, jotka on aatu uean ittauken kekiarvona. h/ 7,5 10,6 14,1 17,6 t/ 1,3 1,59 1,80,05 a) Määritä putoaikiihtyvyy opivaa graafita eitytä hyväki käyttäen. b) Pohdi ittaukeen liittyviä virhetekijöitä ja eitä, iten kyeitä enetelää voitaiiin parantaa tarkean g:n arvon aaieki. (Yo k 98) Ratkaiu: a) Pallo lähtee levota, ja en liike oletetaan taaieti kiihtyväki. Se noudattaa illoin allia = at a = t. Kiihtyvyy aadaan käyttäen kuvaajaa = t ½ e j. Suoritetaan uuttujien lineariointi iten, että laketaan putoaiaikojen neliöt, ja ijoitetaan aadut arvot et, j-koordinaatitoon. t () 1,3 1,59 1,80,05 () 7,5 10,6 14,1 17,6 () 15 1, 8, 35, t ( ) 1,74,53 3,4 4,0 Piteiiin voidaan ovittaa origon kautta kulkeva uora. Sen fyikaalinen kulakerroin antaa putoaikiihtyvyyden. Kertau - 4
Fotoni 4 Kertau - 5 Kiihtyvyydeki aadaan t = 3, 5 a b g c h F HG I K J 30 = = = 8, 57 8, 6 ± 0, t 3,5 b) Putoaikiihtyvyyden arvo on 9, 81, jota aatu tulo poikkeaa huoattavati. Tää johtuu ennen kaikkea iitä, että tennipallolla on uuri ilanvatu, joka kavaa pallon nopeuden kavaea. Virhettä euraa yö iitä, että käiajanotto on liian epätarkka. Ilanvatuken riippuvuu pallon nopeudeta ei yökään näy ittautulokita tätä yytä, joten itä ei pytytä allia ottaaan huoioon. Parannuehdotukia: Ajanotto uoritetaan eierkiki valoporttien avulla tai uulla tavoin autoaattieti, ja pudotettavaki otetaan pienepi ja rakaapi kappale kuten pieni lyijykuula 5. Raitiovaunu kulkee 40 pyäkkivälin euraavati: vaunu kiihdyttää levota lähtien taaieti 55, kulkee en jälkeen 330 vakionopeudella ja loppuatkanajaa 7,8 taaieti hidatuen. a) Kuinka uuri vaunun nopeu on taaien liikkeen aikana? b) Piirrä vaunun nopeuden kuvaaja v = v(t). (Yo 94) Ratkaiu: a) Raitiovaunun jarrutuatkan pituu on 35. Jarrutuken aikana liike on taaieti hidatuvaa. Nopeu jarrutuken alkuhetkellä aadaan kekinopeuden avulla v v v = 0 + t 0 = t. Taaieti kiihtyvää/hidatuvaa liikkeeä liikkeen kekinopeu on alku ja loppunopeuden kekiarvo. 35 Nopeudeki aadaan v0 = = = 9, 0. Nopeu on aa kuin taaien liikkeen t 7,8 aikana. b) Jotta kuvaaja aadaan piirretyki, on ääritettävä taaien liikkeen ketoaika ja 330 lähtökiihdytyaika. Taaien liikkeen ketoki aadaan t = = 36 8 8,97,. 55 Lähtökiihdytyken keto on t = = 1 3 8,97,. Lähtökiihdytykeen kulunut aika on ii 1,3. Piirretään tv-kuvaaja: Kertau - 5
Fotoni 4 Kertau - 6 10 9 8 7 v (/) 6 5 4 3 1 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 55 60 t () 6. Millenniujuhlia auttiin runaati ilotulituraketteja. Oletetaan, että raketin lähtönopeu on 35 / ja raketti autaan kohtiuoraan ylö. a) Kuinka korkealle raketti nouee? b) Kuinka paljon laukaiijalle jää apuien jälkeen aikaa uunnata kateena rakettiin, jo raketti räjähtää vata lakipiteeä? Ratkaiu: a) Sovelletaan ekaanien energian äilyilakia gh = 1 v, jota 1 1 v nouukorkeudeki aadaan h = = 35 ( ) = 6, 4 6. g 9, 81 b) Nouuaika aadaan kekinopeuden avulla: v0 = v t = t t = = 6, 4 k, = v 35 3, 57 3,6. 0 Kertau - 6
Fotoni 4 Kertau - 7 Luku 7. Piirrä kuviot, joita ilenevät lihavoidulla tektillä ilaituihin kappaleiiin vaikuttavat voiat. Nieä voiat ja kiinnitä kuakin tapaukea huoiota niiden kekinäieen uuruuteen. a) Kahden tuen varaa lepäävä taapaku palkki. b) Rinnettä ala liukuva hiihtäjä. e) Liukkaaeen einään nojaava tanko. d) "Halfpipe"- kilpailua uorittava luilautailija heti kouruta irtoaien jälkeen. (Yo 99, t 3) Ratkaiu: a) Palkkiin vaikuttavat painovoia G = g alapäin ekä tukivoiat N 1 ja N ylöpäin kuankin tuen kohdalla. Tukivoiien uuruudet ääräytyvät iten, että N1 + N = g ja tukivoiien oentit aakekipiteen uhteen ovat yhtä uuret ja vatakkaiuuntaiet. Tukivoiien uuruudet ovat ii kääntäen verrannolliet tukipiteiden aakekipiteetä itattuihin etäiyykiin. b) hiihtäjään vaikuttavat painovoia G g = alapäin, rinteen pinnan tukivoia N pintaa vataan kohtiuoraan ekä liukukitka F µ ja ilanvatu F i liikeuunnalle vatakkaiina. Tukivoia on yhtä uuri kuin painovoian pintaa vataan kohtiuora koponentti. Painovoian pinnan uuntaien koponentin taa on oltava vähintään niin uuri kuin kitka ja ilanvatu yhteenä, koka hiihtäjä liukuu rinnettä alapäin. Kertau - 7
Fotoni 4 Kertau - 8 c) Liukkaaeen einään nojaavaan tankoon vaikuttavat tangon paino G = g alapäin ja vaikutupiteenä tangon aakekipite, einän ja lattian tankoon kohditaat rajapintoja vataan kohtiuorat tukivoiat N 1 ja N ekä lattian tangon päähän kohditaa lepokitka F µ. Koka einä on liuka, on einän ja tangon yläpään välinen kitka erkityketön. Taapaino edellyttää, että N1 = g ja F µ = N, ja liäki einän tukivoialla ja tangon painolla on oltava lattian tukipiteen uhteen yhtä uuret vatakkaiiin uuntiin kiertävät oentit. d) Kouruta irronneeeen luilautailijaan vaikuttavat vain painovoia G = g alapäin ja ilanvatu F i liikeuunnalle vatakkaiena eli kuvan tilanteea alapäin. 8. Raitiovaunun aa on 35000 kg. Vaunu lähtee pyäkillä kiihtyvyydellä 1, /. Kiihdytyken jälkeen vaunu liikkuu nopeudella 45 k/h. Ennen euraavaa pyäkkiä vaunu jarruttaa taaieti ja pyähtyy 9,5 ekunnia. Pyäkkien väli uoralla radalla on 450, ja kikot ovat vaakauoraa. Eitä graafieti a) vaunun nopeu ajan funktiona ja b) vaunuun vaikuttava kokonaivoia ajan funktiona. (Yo k 99, t 3) Ratkaiu: Selvitetään enin, kuinka pitkä aika kuluu kiihdytyvaiheeeen ja kuinka pitkä aika taaiella nopeudella kuljettuun atkaouuteen. Pyäkkien väliatka = 1 + + 3 Matkaan kulunut aika t = t1 + t + t3 Eniäiellä atkaouudella raitiovaunun liike on taaieti kiihtyvää kiihtyvyydellä a 1 = 1,. Nopeu kiihdytyken jälkeen on v = = = 45 k 45 1, 5 h 3,6 Nopeu on v = a t, itä aadaan kiihdytykeen kulunut aika: 1 1 Kertau - 8
Fotoni 4 Kertau - 9 1, 5 v t1 = = = 10, 4 a1 1,. F I 1, 5 1 1 1 v 1HG Kiihdytyatka 1 = a1 t1 = v t1 = = K J b g = 651,. a1 1, Viieiellä atkaouudella raitiovaunun liike on taaieti hidatuvaa. Koka pyähtyinen nopeudeta v = 1, 5 tapahtuu ajaa t 3 = 9,5, on 1 5 v kiihtyvyy a3 =, = = 1, 3 t3 9,5 ja jarrutuatka 3 = 1 a b 3 t g 1 1 3 v t3 = = 1, 5 9, 5 = 59,4. Taaien liikkeen atkaouudeki jää illoin = 1 3 = b450 65, 1 59, 4g = 35, 5. Vaunun kiihtyvyy on tällä atkaouudella a = 0. Jarrutuatkaan kulunut aika on t 35, 5 = = = 6, 0 v 1,5, ja pyäkkien välieen atkaan kulunut aika t = t1 + t + t3 = b10, 4 + 6, 0 + 45, 9g = 45, 9. Nopeuden kuvaaja on kiihdytyoalla noueva uora, jonka kulakertoiena on kiihtyvyy a 1, taaien liikkeen ouudella korkeudella v kulkeva vaakauora ja jarrutuoalla lakeva uora, jonka kulakertoiena on kiihtyvyy a 3. Kertau - 9
Fotoni 4 Kertau - 10 14 1 10 v (/) 8 6 4 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 t () b) Dynaiikan perulain ukaan vaunuun vaikuttava kokonaivoia eli kaikkien vaunuun vaikuttavien voiien reultantti on yhtä uuri kuin vaunun aan ja en kiihtyvyyden tulo, F = a. Kokonaivoia kiihdytyken aikana on F1 = a1 = 35000kg 1, = 4 kn. Voian uunta on vaunun eteneiuunta. Kokonaivoia taaien liikkeen aikana on F = a = 0 kn. Kokonaivoia jarrutuken aikana on 35000kg 1, 5 v F3 = a3 = = = 46 kn t 9,5 3 Jarrutuvoian uunta on liikeuunnalle vatakkainen. kn F 4 t 10,4 36,4 45,9-46 Kertau - 10
Fotoni 4 Kertau - 11 9. Ylöpäin liikkuvan hiin, jonka aa on 480 kg, nopeu riippuu ajata oheien kuvion ukaieti. Lake kannatinvaijeria jännittävä voia liikkeen eri vaiheia. (Yo 84, t 1) / v 1,5 1,0 0,5 t 4 6 8 10 1 Ratkaiu: Hiiin vaikuttavat voiat ovat kannatinvaijerin jännityvoia T ylöpäin ekä hiin painovoia g alapäin. Valitaan poitiivinen uunta ylöpäin. Liikeyhtälö on dynaiikan perulain ukaieti T g = a. Hiin kiihtyvyy aadaan kuvaajan fyikaaliena kulakertoiena eri aikaväleillä: 1, 5 v 0-4 : a1 = = = 0, 375 t 4,0 0 v 4-10 : a = = = 0 t 6,0 1, 5 v 10-1 : a3 = = t,0 = 0, 75 Kannatinvaijerin jännityvoiat ovat 0-4 : T = g + a1 = ( g + a1) = 480 kg (9,81+ 0,375) = 4, 9 kn F 4-10 : T = g + a1 = bg + a1g = 480 kg 9, 81 + 0 4, 7 kn HG I K J = 10-1 : T = g + a3 = ( g + a3) = 480 kg (9,81 0,75) = 4, 3 kn Kertau - 11
Fotoni 4 Kertau - 1 10. Oheiet kuviot eittävät a) jyrkkää äkeä ala liukuvaa kelkkaa ja b) poppivaa palloa. Jäljennä kuviot paperiii ja piirrä niihin kappaleiden nopeu- ja kiihtyvyyvektorit ekä kappaleiiin vaikuttava kokonaivoia. Selitä yö (uuden voiakuvion avulla), itä oavoiita kokonaivoia kootuu. (Yo 93, t 1) Ratkaiu: a) Kelkkaan vaikuttavat painovoia G = g, alutan tukivoia N ja kitkavoia F µ. Kokonaivoia on näiden vektoriua, eli F = g + N + F µ Tukivoia ja painovoian rinnettä vataan kohtiuora koponentti taapainottavat toiena. Valitaan poitiivinen uunta rinnettä ala. Skalaarinen liikeyhtälö on g inα Fµ = a Kokonaivoian uunta riippuu rinteen jyrkkyydetä. Kelkan kiihtyvyy riippuu kokonaivoian rinteen uuntaien koponentin etuerkitä, eli g inα Fµ < 0 a < 0 g inα Fµ 0 a 0 Kelkkaan vaikuttavat voiat eitetään kuvioa. Kertau - 1
Fotoni 4 Kertau - 13 N F µ g α Kokonaivoia, kiihtyvyy ja nopeu ovat eri tapaukia oheien kuvan ukaiet: F v a v a = 0 F = 0 a F v g in α Fµ > 0 g inα Fµ = 0 g inα Fµ < 0 b) Pallon nopeu on radan jokaiea kohdaa radan tangentin uuntainen. Silloin, kun pallo ei koketa alutaa, ainoa palloon kohdituva voia on painovoia. (Ilanvatu oletetaan erkitykettöän pieneki.) Palloon kohdituva kokonaivoia on ii F = g. Se antaa pallolle kiihtyvyyden g, jonka uunta on alapäin. a F a Kertau - 13
Fotoni 4 Kertau - 14 11. Koira kikoo vetokokeea vaakauoralla tiellä autonrengata, jonka aa on 1 kg, iihen kiinnitetytä naruta 7 N voialla. Renkaan ja tien välinen liukukitkakerroin on 0,36. a) Kuinka uuren kiihtyvyyden renga aa, kun vetonaru on 19 o kulaa vaakataota itattuna? b) Miä ajaa koira kikoo rengata levota lähtien voi e. voian vaikutuketa,5 atkan? Ratkaiu: a) Piirretään renkaaeen vaikuttavat voiat ja jaetaan vetävä voia vaaka-ja pytyuoraan koponenttiin Dynaiikan perulain ukaan aadaan liikeyhtälöiki koponenttiuodoa F coθ Fµ x: F coθ Fµ = a a = y: N + F inθ g = 0 N = g F inθ Kitkavoia on Fµ = µ N = µ ( g F in θ). Kiihtyvyydeki aadaan F coθ Fµ F co θ µ ( g F in θ) F a = = = (coθ + µ in θ ) µ g. 7 N o o = (co 19 + 0, 36 in 19 ) 0, 36 9, 81 =, 84, 8 1 kg 1, 5 b) Taaieti kiihtyvää liikkeeä = at t = = a,84 = 1, 33 1, 3 Kertau - 14
Fotoni 4 Kertau - 15 1. Kelkkailija lähtee paikaltaan liukuaan uoraan ala rinnettä, jonka kaltevuukula on 17 o. Hän liukuu alapäin 36, ja liuku jatkuu 16 vatarinteeä, jonka kaltevuukula on 13 o (kuva). Kuinka uuri on kelkan ja rinteen välinen kekiääräinen liikekitkakerroin? (Yo k 01, t 4) Ratkaiu: Piirretään kuvio Kineettien energian uuto on yhtä kuin painovoian uorittaan työn ja kitkavoian uorittaan työn ua. Painovoia uorittaa työn Wg = gh1 gh Kitkavoia uorittaa työn Wµ = Fµ 1x1 Fµ x iä F µ1 ja F µ ovat kitkavoian uuruudet radan eri ouukilla. Kineettien energian uuto on Ek = Wg + Wµ = gh1 gh Fµ 1x1 Fµ x = 0 Tätä aadaan gh1 gh = Fµ 1x1 + Fµ x Kitkavoian uuruu on Fµ = µ N = µ g co α. Radan eri ouukilla e on Fµ 1 = µ N1 = µ g coα1 Fµ = µ N = µ g coα Kertau - 15
Fotoni 4 Kertau - 16 Korkeu on h = x inα. Kuvion erkinnöin aadaan gh gh = µ g coα x + µ g coα x 1 1 1 Tätä ratkaitaan kitkakerroin: µ = x1 inα 1 x inα coα x + coα x 1 1 o o 36 in17 16 in13 = = 0, 138 0, 14 o o co17 36 - co13 16 13. Hiihtäjä (kokonaiaa 7 kg) liukuu vakionopeudella jyrkän rinteen jälkeitä loivaa yötälettä, jonka kaltevuukula 8,0 o. Suken pohjan ja ladun välinen liukukitkakerroin 0,1. Hiihtäjään vaikuttava ilanvatu riippuu nopeudeta oheien kuvion ukaiet Kuinka uuri on hiihtäjän nopeu? (Yo 01, t 3) Ratkaiu: Piirretään voiakuvio: Kertau - 16
Fotoni 4 Kertau - 17 Voiat ovat: G gravitaatiovoia N pinnan tukivoia F i ilanvatu F µ kitkavoia Koka kiihtyvyy on nolla, aadaan Newtonin II lain (dynaiikan perulain) ukaan valitealla poitiivinen uunta alapäin taon uunnaa yhtälö o G in8 F F = 0 µ i Kitkan lain ukaan kitkavoian ja noraalivoian välillä on yhtey Fµ = µ N = µ g co8 o Hiihtäjään vaikuttava ilanvatu on ii o o o o F = g in8 µ g co 8 = g(in8 µ co 8 ) = i o o 7 kg 9,81 in 8 0, 1 co 8 ) = 14, 37 N Vataava nopeuden arvo on kuvaajata luettuna 13, 8 14 14 Lentokone, jonka aa on 8600 kg, lentää vaakauoraan nopeudella 450 k/h. Tähän tarvitaan oottorita 950 kw:n teho. a) Mikä on oottorin akiiteho, jo lentokone pytyy noueaan tällä nopeudella 9,0 :n kulaa ylöpäin? b) Koneen oottori auu en ollea vaakalennoa. Piirrä koneeeen vaikuttavat voiat heti oottorin auttua ja lake, kuinka uuri vaakauora kiihtyvyy koneeeen tällöin kohdituu. (TKK, TTKK, LTKK ja ÅA, Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 00) Ratkaiu: a) Piirretään koneeeen vaikuttavat voiat: N F v F Re α g Kertau - 17
Fotoni 4 Kertau - 18 Koneeeen vaikuttavat reaktiovoia F Re, ilanvatu F v, painovoia g ja iipiin kohdituva tukivoia N. Koneen liikeyhtälö koponenttiuodoa lennettäeä vakionopeudella: F F g inα = 0 Re v N g coα = 0 Lennettäeä vaakauoraan nopeudella v 0 käytetään energiaa teholla P 0 ilanvatuken voittaieen. Oletetaan, että kone yö nouee taaiella nopeudella. Merkitään vaakauoraa kuljettua atkaa, nopeuden pytyuoraa koponenttia v ja vataavaa h inα nouukorkeutta h. Silloin v = = = v0 inα. Lentokoneen noutea t t potentiaalienergia kavaa äärällä E p = gh = ginα, iä on koneen aa. Tähän tarvittava teho on ginα P = P0 + = P0 + v0g inα t 450 3 = 950 kw + 8, 6 10 kg 9,81 600 kw=,6 MW 3, 6 b) Kun lennetään vakionopeudella vaakauoraan, ilanvatu ja oottorin toiinnan aikaanaaa reaktiovoia ovat yhtä uuret ja vatakkaiuuntaiet. Ilanvatu liikkeen uuntaan on ii P Fv = 0 v0 Kun oottori autetaan, ilanvatu antaa koneelle liikeuunnalle vatakkaiuuntaien kiihtyvyyden. Koneeeen vaikuttavat voiat en oottorin auttua ovat painovoia, ilanvatu ja ilan iipiin kohditaa tukivoia. N F v g Kiihtyvyy heti oottorin auttua on F P a = v = 0 950 10 W = 0 88 v0 8,6 10 kg 450,, 3 3,6 Sen uunta on koneen liikeuunnalle vatakkainen. 3 Kertau - 18
Fotoni 4 Kertau - 19 Luku 3 15. Atronautti on avaruukävelyllä etääntynyt 100 :n päähän aluketa. a) Hän palaa kävelyltä vetäällä köydetä, jonka toinen pää on kiinni alukea. Vetääkö hän tällöin aluken luokeen, itenä aluken luo, vai liikkuvatko oleat? Jo oleat liikkuvat, kuinka paljon kupikin iirtyy? b) Köyi katkeaa. Millä keinoin atronautti voi palata aluken luo oin neuvoin? (HY fyiikan valintakoe 9, oa tehtävää) Ratkaiu: a) Atronautin ja aluken uodotaan yteein liikeäärä äilyy. Syteein aakekipite pyyy ii paikallaan. Atronautti ja alu liikkuvat toiiaan kohti ja kohtaavat yteein aakekipiteeä. Maakekipite jakaa väliatkan aojen käänteieä uhteea, joten atronautti liikkuu atkan M 100 ja alu atkan M + 100, iä M on aluken ja atronautin aa. M + b) Liikeäärän äilyilain peruteella atronautti voi liikkua aluta kohti heittäällä jonkin eineen päinvataieen uuntaan. 16. Suoenlinnan valleilla oleva ueotykki pääee auttaea liikkuaan taakepäin pitkin kikoja, jotka uodotavat 11 ateen kulan vaakataoon nähden (k. kuva). Oletetaan, että tällä tykillä autaan alaviitoon kikojen uuntaieti au, jonka aa on 30 kg ja lähtönopeu 470 /. Kuinka paljon tykin painopite nouee, kun tykin aa on 46000 kg? Kertau - 19
Fotoni 4 Kertau - 0 Ratkaiu: v 1 N v 1 g α Määritellään: tykin aa 1 = 46000 kg auken aa = 30 kg auken nopeu v = 470 tykin laukaiuhetkellä aaa nopeu v 1 tykin painopiteen nouu h Oletetaan, että tykin ja auken uodotaan yteein kokonailiikeäärä äilyy. Syteei on aluki levoa, joten 1v 1 + v = 0 Valitaan tykin uunta poitiivieki liikeuunnaki. Tällöin aadaan kalaarinen yhtälö, jota ratkaitaan tykin lähtönopeu: v 1v 1 v = 0 v1 = 1 Oletetaan, että tykkiin vaikuttavat liikevatuket ovat erkitykettöät. Tällöin tykin ekaaninen energia äilyy: 1 1 v 1 = 1 gh Tätä ratkaitaan korkeu v v h = 1 30 kg 470 b g = = g g1 9, 81 b46000 kg g F HG I K J = 0, 8 8 c Kertau - 0
Fotoni 4 Kertau - 1 17. Poitiivien x-akelin uuntaan nopeudella 1,4 / liikkuva kappale A (aa 71 kg) törää poitiivien y-akelin uuntaan nopeudella 3,8 / liikkuvaan kappaleeeen B (aa 5 kg). Töräyken jälkeen kappaleet jatkavat atkaana yhdeä. Mikä on töräyken jälkeen kappaleiden yhteien nopeuden a) uunta ja b) uuruu? (TKK, TTKK, LTKK, OY ja ÅA Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 95) Ratkaiu: Määritellään v 1 = kappaleen A nopeu ennen töräytä = 1, 4 i v = kappaleen B nopeu ennen töräytä = 3, 8 j u = kappaleiden yhteinen nopeu töräyken jälkeen 1 = kappaleen A aa = 71 kg = kappaleen B aa = 5 kg Liikeäärä äilyy töräykeä: Tätä ratkaitaan nopeu u : b g 1v1 + v = 1 + u Tätä ratkaitaan nopeu u : u = 1v1 + v 1 + = uxi + uy j = 71 kg 1, 4 + 5 i kg 3,8 j b g 71+ 5 kg 0, 808 + 1, 606 i j a) Nopeuden uunta on poitiivieen x-akeliin nähden kulaa uy 1 ϕ = arctan = arctan, 606 64 u 0, 808 x 0, 808 1, 606 1, 798 1, 8 b) Nopeuden iteiarvo on u = F H I K +F H I K =. Kertau - 1
Fotoni 4 Kertau - 18. Kaki palloa riippuu kevyen langan varaa kuvion ooittaalla tavalla. Pallon A aa on puolet pallon B aata. Pallo A poikkeutetaan 90 taapainoaeataan ja päätetään irti. Lake pallon B heilahdukula täyin kioian töräyken jälkeen. (Yo 88) A B Tehtävää ovelletaan ekaanien energian - ekä liikeäärän äilyilakia. Olkoon kevyeän pallon aa. Tällöin painavaan pallon aa on. Pallon A heilahdukea ekaaninen energia äilyy: 1 v = A gl joa v A on pallon nopeu aliaa aeaa, l on korkeu jota pallo lähtee liikkeelle (langan pituu). Nopeudeki aadaan v A = gl Kun pallot töräävät, töräy on täyin kioinen. Tällöin äilyvät liikeäärä ja liike-energia. Kuvion erkinnöin aadaan: liikeäärä äilyy: v A = ub ua, liike-energia äilyy: 1 1 1 v A = ub + ua Pallon B nopeudeki töräyken jälkeen aadaan ub = v A = gl 3 3. Pallon B heilahdukea ekaaninen energia äilyy 1 1 3 ub = gh ( gl ) = gh, itä pallon nouukorkeudeki aadaan h kuviota: 4 l coθ = h l l = 9 5 = θ = 56 o l l 9 = 4 l. Pallon heilahdukula aadaan 9 Kertau -
Fotoni 4 Kertau - 3 19. Kun ilatyynyradalla liikkuvien vaunujen A ja B painopiteiden paikat ajan funktiona ääritettiin kahdella tietokoneeeen kytketyllä ultraäänianturilla, aatiin oheien kuvion ukainen tulo. Mitä tapahtui noin hetkellä 1,4? Tutki äilyilakien toteutuita kyeieä tapahtuaa. Vaunujen aat olivat 183 g (A) ja 483 g (B). (Yo 99) Vaunut töräävät hetkellä t = 1,4, jolloin niiden nopeudet uuttuvat. Nopeudet aadaan elville lakealla kuvaajien fyikaaliet kulakertoiet ennen ja jälkeen töräyken. Ne ovat v A = 0, 46, v B = 0, 51 u A = 0, 45 u B = 0, 17. Kokonailiikeäärät ennen töräytä ja en jälkeen ovat p1 = Av A + BvB = 0, 16 kg ja p = AuA + BuB = 0, 16 kg Liikeäärä ii äilyy. Liike-energiat ennen töräytä ja en jälkeen ovat 1 1 + v = 0, 08 J ja 1 u A A B B v Liike-energia ei ii äily. 1 + u = 0, 06 J. A A B B Kertau - 3
Fotoni 4 Kertau - 4 0. Kappale, jonka aa on 1,500 kg, on levoa vaakauoralla pöydällä. Kappaleen läpi autaan vaakauorati luoti, jonka aa on 10, g. Hyvin nopeati tapahtuvan lävityken vaikutuketa kappale lähtee liikkeeeen ja liukuu pöydällä 4,0 c. Pöydän ja kappaleen välinen liukukitkakerroin on 0,1. a) Kuinka uuren kineettien energian kappale aa töräykeä? b) Mikä on luodin nopeuden uuto lävitykeä? (TKK, TTKK, LTKK, OY ja ÅA Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 91) Ratkaiu: a) Merkitään = kappaleen aa l = luodin aa N = alutan tukivoia µ = liukukitkakerroin F µ = kitkavoian uuruu v 1 = luodin nopeu ennen töräytä v = luodin nopeu töräyken jälkeen v = kappaleen nopeu töräyken jälkeen Kappaleeeen vaikuttavat liukuien aikana painovoia, alutan tukivoia ja liukukitka. Kappaleen liikeyhtälö on N + g + F a F = a µ = µ N g = 0 Liukukitkavoian uuruu on Fµ = µ N = µ g RST Kappale aa töräykeä liike-energian Ek = 1 v. Kappaleen liukuea atkan kitkavoia tekee työn negatiivien työnwµ = Fµ = µ g. Kitkan tekeä työ on yhtä uuri kuin kappaleen liike-energian uuto. Tätä aadaan 1 Wµ = Fµ = µ g = Ek = Ek = v Ek = µ g = 0,1 1, 5 kg 9,81 0, 4 1,3 J N v F µ g Kertau - 4
Fotoni 4 Kertau - 5 b) Syteein liikeäärä äilyy luodin ja kappaleen töräykeä. Liikeäärän äilyinen antaa vektoriyhtälön v = v + v l 1 l ja kalaariuodoa v = v + v l 1 l Luoti jatkaa kappaleen läpäityään atkaana alkuperäieen uuntaan. Kaikki nopeuvektorit ovat ii aan uuntaiet. Luodin nopeuden uutokeki aadaan v v E v k Ek = = = = 1 l l 1, 5 kg = 0,1 9, 81 0, 4 193 0,010 kg Luodin nopeu ii pienenee noin 190 /. l l µ g 1. Baeball-ailalla lyödään palloa, joka lentää vaakauoraan nopeudella 100 k/h ailaa kohti. Koketuken aikana palloon kohdituva voia uuttuu oheien kuvan ukaieti. Kuinka uuri on ailata vaakauoraan uuntaan lähtevän pallon nopeu? Pallon aa on 150 g. (Yo k 94) Ratkaiu: Oletetaan, että pallo lähtee ikun vaikutuketa takaiin tulouuntaana. Ipuliperiaatteen ukaan ailan palloon kohditaa ipuli on yhtä uuri kuin pallon liikeäärän uuto eli I = v v1. Kuvion ukaiilla erkinnöillä aadaan kalaariyhtälö I = v ( v1) = v + v1, iä v 1 on pallon nopeu ennen ikua, Kertau - 5
Fotoni 4 Kertau - 6 v on pallon nopeu ikun jälkeen, I on voian ipuli, joka aadaan kuvaajan fyikaalien pinta-alana graafieti integroialla. Yhden ruudun pinta ala on 1, 0 kn 1,0 = 1,0 N. Kokonaiia ruutuja on kaikkiaan 5 kpl. Oaruuduita arvioidaan tulevan yhteenä 5,5 ruutua. Ipuliki aadaan I = 115, 1, 0 N = 10,5 N. Pallon nopeudeki ikun jälkeen aadaan I v v 10, 5 N 100 k = 1 = = 4, 4 = 150 0,150 kg 3, 6 h. Tehtävä voidaan yö ratkaita korvaaalla tf-kuvaaja urtoviivalla. Silloin k k ipuliki aadaan I = 10, N. Nopeu on 40, 3 = 145 150 h h Kertau - 6
Fotoni 4 Kertau - 7. Kappale, jonka aa on 3,5 kg, liukuu nopeudella 6, / vaakauoraa kitkatonta pintaa pitkin. Kappaleeeen alkaa vaikuttaa vaakauora uunnaltaan uuttuaton voia, jonka uuruu uuttuu oheien kuvion ukaieti ja uunta uodotaa 65 kulan kappaleen alkunopeuden kana. Mihin uuntaan ja illä nopeudella kappale liikkuu hetkellä 0,80? (Yo 87) 60 50 Voia (N) 40 30 0 10 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Aika () Ratkaiu: Voian ipuli aadaan t,f - kuvaajan ja aika-akelin välienä fyikaaliena pintaalana: 0, 80 50 N I = = 0 N. Kappaleen liikeäärän uuto on ipuliperiaatteen ukaan I I = v v v = v + y 0 0. ϕ v I θ x v 0 Kertau - 7
Fotoni 4 Kertau - 8 Kuvan erkinnöin aadaan I 0 N o vx = v0 + co θ = 6, + co 65 = 8, 6 3,5 kg I 0 N o vy = inθ = in 65 = 5, 18 3,5 kg v = vx + vy = (8, 6 ) + (5, 18 ) = 10 Nopeuvektorin uuntakula aadaan ehdota v 5, 18 y tanθ = = = 0, 601 θ = 31 vx 8,6 o Kertau - 8
Fotoni 4 Kertau - 9 Luku 4 3. Opikelijat tutkivat hiin liikettä. Hiin kiihtyvyy itattiin ittauykikköön liitetyllä kiihtyvyyanturilla, joka rekiteröi oheien kuvaajan, kun hiillä ajettiin 1.kerroketa.kerrokeen: Hiiä atkanneen opikelijan aa oli 74 kg. a) Kuinka uuri oli hiin lattian opikelijaan kohditaa tukivoia ittauken eri vaiheia? b) Jo opikelija olii eiyt vaa alla ittauken aikana, itä lukeaa vaaka olii näyttänyt eri vaiheia? Ratkaiu: Opikelijaan vaikuttavat voiat ovat vaa an tukivoia N ja painovoia G. Dynaiikan perulain ukaan liikeyhtälö on F = a N g = a iä a on hiin kiihtyvyy. Lähtökiihdytykeä kiihtyvyy on noin 0,50 /. Tukivoia on Kertau - 9
Fotoni 4 Kertau - 30 N = g + a = ( g + a) = 74 kg (9,81 + 0, 50 ) = 763 N 760 N Taaien liikkeen aikana kiihtyvyy on nolla, joten tukivoia on N = g + a = g = 74 kg 9,81 = 76 N 730 N Jarrutukea kiihtyvyy on noin -0,50 /, joten tukivoia on N = g + a = ( g + a) = 74 kg (9,81 0, 50 ) = 689 N 690 N 4. Abit lahjoittivat autoilevalle fyiikan opettajalleen karvanopat. Opettaja kiinnitti nopat roikkuaan autona katota. Autolla liikkeelle lähdettäeä nopat heilahtivat taakepäin 1 o pytytaota itattuna. Mikä oli auton lähtökiihtyvyy? Ratkaiu: Piirretään voiakuvio ja jaetaan langan jännityvoia koponentteihin. Kertau - 30
Fotoni 4 Kertau - 31 Dynaiikan perulakia oveltaalla aadaan uunnat huoioiden o T g = 0 T co1 = g y o T = a T in1 = a x Jakaalla yhtälöt puolittain aadaan o a o o tan1 = a = g tan 1 = 9, 81 tan 1 =, 09, 1. g 5. Erätä autoa on aatavana nelipyörävetoiena ekä etupyörävetoiena allina. Etupyörävetoiea allia on vetävien pyörien päällä 63% auton painota. Autoilla tehdään kiihdytykoe olouhteia, joa tien ja renkaiden välinen lepokitkakerroin on 0,30. Kiihdyty uoritetaan 0-50 k/h nopeuteen. Kuinka uuri on autojen aikaero, jo oletetaan kiihtyvyyden olevan vakio kiihdytyken aikana? Ratkaiu: Kiihdytykeä autoon vaikuttavat voiat ovat auton paino g, renkaiiin kohdituvat tukivoiat N, N ekä autoa kiihdyttävä kitkavoia F µ. 1 Suurin kiihtyvyy aavutetaan, kun autoa kiihdyttävä kitka on lepokitkaa. Dynaiikan perulain ukaan Fµ = a, joa on auton aa ja a on auton aaa kiihtyvyy. Kitkan laki ilaiee kitkavoian ja noraalivoian riippuvuuden Fµ = µ N1. Oletetaan tie vaakauoraki. Kiihdyttäviin pyöriin kohdituvan Noraalivoian N 1 uuruu on N1 = µ 0, 63 g, iä µ on tien ja renkaiden välinen lepokitkakerroin. Liikeyhtälö aa uodon µ 0, 63 g = a, jota aadaan auton kiihtyvyydeki a = µ 0, 63 g = 0, 30 0, 63 9, 81 = 1, 85. Kertau - 31
Fotoni 4 Kertau - 3 50 v 3, 6 Kiihdytyajaki aadaan v = at t = = = 7, 49 a 1,85. Nelipyörävetoielle liikeyhtälö aa uodon µg = a. Täät ratkaitaan autonkiihtyvyy: a = µ 0, 63 g = 0, 30 9, 81 =, 94. 50 v 3, 6 Kiihdytyajaki aadaan v = at t = = = 4, 7. a, 94 Aikaero on iten 7,49-4,7 =,77, 8. 6. Maailanypärilennolla oleva kuuailapallo, jonka kokonaiaa on 110 kg, lakeutuu alapäin kiihtyvyydellä 0, /. Paljonko ennätytä tavoittelevien pallolentäjien on vähennettävä kuoraa, jotta pallo nouii ylöpäin kiihtyvyydellä 0,03 /? (TKK, TTKK, LTKK, OY ja ÅA Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 97, t ) Ratkaiu: Merkitään a 1 = pallon kiihtyvyy alkutilanteea a = pallon kiihtyvyy lopputilanteea = pallon aa alkutilanteea Oletetaan, että pallon nopeu on niin pieni, että iihen kohdituva väliaineen vatu on erkityketön. Tällöin palloon vaikuttavat voiat ovat painovoia ja note. Jo pallon tilavuu ei uutu, note pyyy yö aana. Piirretään palloon vaikuttavat voiat: N + g Pallon liikeyhtälö alkutilanteea: b g N g = a1 N = g + a1 Pallon liikeyhtälö, kun kuoraa on kevennetty äärällä : Kertau - 3
Fotoni 4 Kertau - 33 a f a f a fb g b g N g = a N = g + a = g + a1 Tätä ratkaitaan = a a 1 g + a = 0,3 9,81 110 kg + 0,03 = 8, 3 kg 8 kg 7. Henkilöautoon ( ha = 900 kg) on kytketty auntovaunu ( av = 600 kg) ja tää ajoneuvoyhditelä ajaa taaiella nopeudella ylö äkeä, jonka kaltevuukula on 5,0. a) Lake pienin ahdollinen lepokitkakerroin tien ja auton vetävien takapyörien välillä, kun auton painota /3 oletetaan olevan takapyörien päällä. b) Mikä olii kitkakertoien pienin arvo, jo ekä etu- että takapyörät vetäiivät ja liäki ajoneuvoyhditelä olii taaieti kiihtyvää liikkeeä ylöpäin (a=1,0 / )? Kytkentäaian autoon kohditaaa tietä vataan kohtiuoraa voiaa ja ilanvatuta ei tarvite ottaa huoioon. (TKK, TTKK, LTKK, OY ja ÅA Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 9, t 1) Ratkaiu: Määritellään tarvittavat uureet kuvan avulla: y x β T g N T 1 F µ N 1 N 1 1 g Auton liikeyhtälö: Fµ + T1 + N1 + N1 + 1g = 1a auntovaunun liikeyhtälö: T + N + g = a 1 iä T1 = T = T ja N1 = N1. a) Fµ µ 0 N 1 ja a = 0. Jaetaan liikeyhtälöt koponentteihin: a f a f a f a f x1 Fµ T g in β = 0 x T gin β = 0 1 y1 N + N g co β = 0 y N g co β = 0 1 1 1 Näitä ja lepokitkan laita aadaan Kertau - 33
Fotoni 4 Kertau - 34 b g F I HG b g ja a 0. Fµ = T + 1g in β = 1 + g in β µ 0 1g co β 3 3 µ + 0 β = = 1 3 5 5 tan tan 5, 0 tan 5, 0 0, 1KJ 3 b) Fµ µ 0 N1 + N1 Liikeyhtälöitä aadaan Fµ = T + 1g in β + 1a = 1 + g in β + a µ 01g co β F HG IF + KJ HG µ 0 1 + tan β 1 b ga f I F HG a 5 1, 0 = tan 5, 0 + g co βkj 3 9, 81 co 5, 0 I KJ 0, 3 8. Kitkan luonnetta deontroitiin euraavilla kokeilla: a) Meinkipunnuket, joiden aat ovat 100 g, 50 g, 10 g ja 5 g, aetettiin riviin pöydälle. Punnuket tönäitiin yhtaikaa liikkeelle aalla nopeudella pitkän viivoittien avulla, ja punnuten liukuat atkat itattiin. Tuloket on eitetty oheiea taulukoa: punnuken aa / g 5 10 50 100 atka / l,3 1,5 1,4 1,6 Mitä voidaan päätellä kokeen tulokita? b) Toiea kokeea yki punnukita oli aluki vaakauoralla pöytätaolla. Pöytää kallitettiin hitaati, kunne punnu lähti liukuaan tietyllä kallitukulan arvona. Perutele, illaieen liikkeeeen punnu joutui. (Yo k 01) Ratkaiu: a) Punnukiin vaikuttavat voiat ovat: painovoia g, tukivoia N ja kitkavoia F µ Punnuket pyähtyvät kitkavoian vaikutuketa. Taulukkoa tarkatelealla voidaan todeta, että punnuten liikkua atka ei riipu niiden aata. Kaikkien punnuten nopeu pienenee alkunopeudeta v 0 nollaan käytännöllieti katoen aalla atkalla, joten punnuten kiihtyvyy (hidatuvuu) on aa. Kertau - 34
Fotoni 4 Kertau - 35 Koka hidatuvuu on aa kaikille punnukille, aadaan dynaiikan perulain ukaan Fµ = a = vakio ; Koetuloken peruteella kitkavoia on uoraan verrannollinen kappaleen aaan tai, vaihtoehtoieti uoraan verrannollinen noraalivoiaan. Se on tää tapaukea painovoian uuruinen. b) Punnuken liikkeellelähtöhetkellä punnuken painovoian taon uuntainen koponentti ylittää juuri lepokitkan akiiarvon. Punnuken liikkuea iihen vaikuttaa vakiona pyyvä liukukitka, joka on pienepi kuin lepokitkan akiiarvo. Tällöin punnu on ii taaieti kiihtyvää liikkeeä. 9. Benji-hypyä käytetään kuiköyttä, jonka jouivakio on 107 N/ ja pituu jännittäättöänä 3. Hyppääjä, jonka aa on 75 kg, lähtee hyppyyn noin 65 :n korkeudella olevalta lavalta. Kuinka uuri on hyppääjän kiihtyvyy, kun hän on lähipänä aan pintaa? (Yo k 01) Ratkaiu: Merkitään l 0 = köyden taapainopituu y ax = akiivenyä k = köyden jouivakio Voiakuvio: Kertau - 35
Fotoni 4 Kertau - 36 a F j g Kun köyi alkaa kirityä (köyden varaa olevan) hyppääjän liike on likiain haronita. Ääriaennoa, lähipänä aan pintaa, kiihtyvyy on uuntautunut ylöpäin ja on uuriillaan. Hyppääjään vaikuttavat oheien kuvion ukaieti jouivoia F j ja painovoia g. Hyppääjän liikeyhtälö kalaariuodoa on Newtonin II lain ukaan F j g = a iä Fj = kyax on akiivenyää y ax vataava köyivoia. Makiipoikkeaa aadaan oveltaalla ekaanien energian äilyilakia. Jo ilanvatuta ei oteta huoioon, painovoian potentiaalienergia uuttuu haronien voian potentiaalienergiaki. Tätä aadaan yhtälö 1 g( l0 + yax) = kyax ; g g yax yax lo = 0 k k Suurin venyä aadaan yhtälön poitiivieta juureta: y ax g k g k = + F H G I K J + gl k o = 75 kg 9,81 75 kg 9,81 75 kg 9,81 3 + ( ) + = 8, 95 107 N 107 N 107 N Negatiivinen juuri antaii köyden kutituan kun hyppääjä liikkuu ylöpäin taapainoaeata, utta e ei tää tule kyyykeen. Käytännöä e ei yö eiinny, koka köyi ei pyy jäykkänä eikä näin ollen yökään kutitu Kiihtyvyydeki aadaan ky 107 ax a = g = N 8,95 9, 81 = 31, 495 31 75 kg Kertau - 36
Fotoni 4 Kertau - 37 30. Meinkikappale ( 1 = 950 g) päätetään liukuaan pitkin kaltevaa taoa (α = 35 ) korkeudelta h = 1,. Kappaleen ja pinnan välinen liikekitkakerroin on 0,17. Kappale on kiinnitetty palloon ( p = 550 g) kevyellä venyättöällä langalla, joka kulkee kitkattoati tuen yli. Lanka allii einkikappaleen liukua 1 c atkan ennen kuin lanka kirityy (eli langaa on 1 c "löyää"). a) Piirrä einkikappaleeeen ja palloon kohdituvat voiat heti en jälkeen, kun pallo on nouut ilaan. b) Millä nopeudella pallo nouee aata? c) Mikä on pallon kiihtyvyy en noutua ilaan? (TKK, TTKK, LTKK ja ÅA, Ininöörioatojen valintakuulutelujen fyiikan koe 01) Ratkaiu: Määritellään tarvittavat uureet kuvan avulla: T 1 T g N g 1 F µ α a) Meinkikappaleeeen kohdituvat voiat ovat painovoia, alutan tukivoia, langan jännityvoia ja kitkavoia. Palloon vaikuttavat voiat ovat painovoia ja langan jännityvoia. Pallon noutea T1 = T = T, v1 = v = v. Liukukitkan lain ukaan F = N. µ µ b) Pallo alkaa nouta nopeudella, joka on yhtä uuri kuin einkikappaleen nopeu. Lanka uodotaa kirityeään kytkennän kappaleiden välille, joten v1 = v = v. Kun pallo on vielä alutalla, lanka ei jännity. Tällöin einkikappaleen liikeyhtälö on Fµ + 1 g + N = 1a x 1g in α Fµ = 1a af af y N g coα = 1 0 Meinkikappaleen kiihtyvyy ennen langan kirityitä on Fµ a = g inα = g inα µ coα 1 b g. Kertau - 37
Fotoni 4 Kertau - 38 Kappale liukuu atkan ennen kuin lanka kirityy. Tällöin e aavuttaa taaieti kiihtyvää liikkeeä nopeuden v = a = g inα µ coα b b = 9, 81 0, 1 in 35 0, 17 co 35 1, 011 1, 0 g Kun pallo irtoaa aata, on pallolla ja einkikappaleella aa vauhti u. Liikeäärän äilyilaji antaa kalaarien yhtälön g 1v 1v = ( 1 + ) u u = + 1 0, 95 kg 1,011 = 0, 64 0,95 kg + 0,55 kg c) Kun pallo irtoaa alutata, kappaleilla on yhtä uuret kiihtyvyydet: a1 = a = a. Kappaleiden liikeyhtälöt ovat b g b g x1 1 g inα Fµ T = 1a y T g = a y1 N 1 g coα = 0 b g Lakealla yhteen yhtälöt (x1) ja (y) aadaan yhtälö b g g inα Fµ g = + a 1 1 Sijoitetaan tähän Fµ = µ N = µ 1g co α ja ratkaitaan kiihtyvyy: a = 0, 90 binα µ coαg 0, 95 kg bin 35 0, 17 co 35 g 0, 55 kg g = 9, 81 + 0,95 + 0,55 kg 1 1 b g Pallon kiihtyvyyden uunta on ii alapäin välittöäti irtoaien jälkeen. Kertau - 38
Fotoni 4 Kertau - 39 Luku 5 31. Jäykkä ittakeppi pyyy taapainoa puukon terällä, kun terä on viivan 5,8 c kohdalla. Viivan,0 c kohdalle riputetaan 0,0 g punnu. Syteei on taapainoa, kun puukon terä on viivan 3, c kohdalla. Lake ittakepin aa. (Yo k 83, oa tehtävää) Ratkaiu: F l 1 l g v A g k b) Merkitään: k = kepin aa v = punnuken aa = 0 g Muut uureet ääritellään kuvaa. Valitaan tukipite A kiertoakeliki. Taapainoa tukivoian oentti A:n uhteen on nolla. Kepin aa laketaan oenttiyhtälötä: l MA = 0 pgl kgl = 0 k = 1 1 1 p = 0, 0 g = 160 g l 6 3. Saankokoiet kulta- ja kuparipallot on riputettu kuvion ooittaalla tavalla, jolloin tanko on taapainoa vaaka-aennoa. Au Cu Miten tanko käyttäytyy, kun yteeiä laketaan niin paljon, että pallot ovat kokonaan vedeä? Perutele vataukei! Kullan tihey on uurepi kuin kuparin. (HY, TY, OY, JY fyiikan valintakoe 01) Ratkaiu: Alkutilanteea vallitee oenttien taapaino. Tällöin r Cu Au =. Koka pallot ovat rau Cu aankokoiet ja kullalla on uurepi tihey, on >, itä euraa r > r. Au Cu Cu Au Kertau - 39
Fotoni 4 Kertau - 40 Koka pallot ovat aankokoiet, niihin vaikuttaa vedeä kupaankin yhtä uuri note. Kuparipalloon kohdituvan noteen oentti tangon riputupiteen uhteen on uurepi kuin kultapalloon kohdituvan noteen oentti, koka kuparipallon riputukohta on kauepana tukipiteetä kuin kultapallon riputukohta. Siki tanko kallituu kultapallon puolelle 33. Rakennutelineenä käytettävä taapaku lankku on vaakauoraa kahden tue varaa kuvion ukaieti. Lankun pituu on 4,80 ja aa 35 kg. a) Lake lankulla eiovan henkilön aa, kun lankkuun vaikuttava pytyuora tukivoia on kohdaa A 60 N ja kohdaa B 550 N. b) Kuinka lähelle lankun B-tuen puoleita päätä henkilö voi iirtyä ilan, että lankku keikahtaa? (Yo k 87) 0,55 0,95 A B Ratkaiu F A a F B b A g g 1 B a) Taapainotilanteea voiien ua = 0. Valitaan poitiivinen uunta ylöpäin. Taapainoehto on FA + FB 1 g g = 0 Tätä ratkaitaan henkilön aa: F F A + B 60 N + 550 N = 1 = 35 g 9,81 kg = 84,3 kg 84 kg Kertau - 40
Fotoni 4 Kertau - 41 b) F A ' = 0 F B ' b A x 1 g B g Jo henkilö enee riittävän kaua etäiyydelle x lankun päätä itattuna tuen B ulkopuolelle, tukivoia piteeä A = 0. Valitaan pite B kiertoakeliki. Moenttitaapainoyhtälö on F I HG K J = 1 M B = 0 1 g l b g( b x) Tätä ratkaitaan etäiyy x: x = b 1 l b = ( 1 1 0 95 ), 35 kg - 84 kg ( 4, 80-0,95 ) = 0,35 0 34. Taapaku hoogeenieta aineeta tehty ovi, jonka aa on 40 kg, korkeu,00 ja levey 0,80, on riputettu kahden pytyuoran päällekkäin aetetun aranan varaan ja painaa yhtä paljon kupaakin aranaa. Saranat ovat yhtä kaukana oven ylä- ja alareunata ja niiden välinen etäiyy on 1,50. Lake aranoihin vaikuttavat tukivoiat. Miten aranat on aetettava, jotta tukivoiat oliivat ahdolliian pienet? (Yo k 77) Ratkaiu: Merkitään: oven aa = 40 kg oven korkeu h =, 00 oven levey l = 0, 80 aranoiden väliatka d = 1, 50 Kertau - 41
Fotoni 4 Kertau - 4 l θ F 1 y h θ g F S d + x Valitaan koordinaatito kuvan ukaieti ja alepi arana oenttipiteeki. Taapainoehdot: F + F + g = 0 1 R S T F F = 0 F = F 1x x 1x x F + F g = 0 F + F = g 1y y 1y y l g d F1 x = 0 Koka ovi painaa yhtä paljon kupaakin aranaa, ovat yö tukivoiien pytykoponentit yhtä uuret: F g 40 kg 9,81 = F y = = 1y = 196 N gl 40 kg 9,81 0, 80 Moenttiehdota aadaan: F1 x = F x = = = 105 N d 1,50 Tukivoiat ovat uuruudeltaan F g F l = F = 1 H G I d K J + 1 40 kg 9,81 = 0 80 17 40 kg 9,81 F H G I K J, + 1 = 1,50 15 0 N Tukivoiien uunta: 1 g, tanθ = d 150 = = = 1, 875 θ 6 l d g l 0,80 Ylepään aranaan vaikuttava tukivoia uodotaa 6 ja alepaan aranaan vaikuttava tukivoia 118 kulan x-akelin poitiivien uunnan kana. Tukivoiien pytyuorat koponentit eivät riipu aranoiden väliatkata. Vaakauorat koponentit ovat kääntäen verrannolliet aranoiden väliatkaan. Ne ovat ii pieniät illoin, kun aranoiden väliatka on uurin. Saranat tulii aettaa oven kuliin. Kertau - 4
Fotoni 4 Kertau - 43 35. Taapaku lankku työnnetään kuvion ukaieti kahden vaakauoran tuen väliin. Tukien väliatka lankun uunnaa on 1,6, niiden ja lankun välinen kitkakerroin 0,4 ja lankun ja vaakataon välinen kula 35. Kuinka pitkä lankun täytyy vähintään olla, jotta e pyyii tukien väliä liukuatta? (Yo 89) Ratkaiu: Määritellään tarvittavat uureet kuvan avulla: d N 1 N F µ y x A F µ1 θ g θ Voiien taapainoehdot ovat x: Fµ + Fµ g inθ = 0 1 y: N N g coθ = 0 1 Moentin taapainoyhtälö piteen A uhteen on F I HG K J = 1 M A = 0 g coθ l d Nd Tätä ratkaitaan enin voia N : N F coθ H G I K J = l g d 1 Voia N 1 on 0 Kertau - 43
Fotoni 4 Kertau - 44 N1 = g coθ + N = gl coθ d Kitkavoiille pätee Fµ 1 µ N1, Fµ µ N. Toiaalta kitkaehdot antavat b g F I HG K J l g inθ = Fµ + Fµ µ N + N = µ g coθ 1 1 1 d Tätä ratkaitaan ehto lankun pituudelle: tan θ l d( 1 + ) = 1, 6 (1 + tan35 o ) = 4, 7 4, 3 µ 0,4 36. Laivanoturin puoia tukevat nivel A ekä vaijeri BC, jonka kiinnitypite C on 1,0 etäiyydellä puoin kärjetä (kuvio). Rakenteen heikoin kohta on vaijeri BC, jota aa raittaa korkeintaan 5 kn voialla. a) Kuinka uuren kuoran noturilla voi notaa, kun puoin pituu on 7,0 ja aa 680 kg? Puoin painopiteen etäiyy niveletä A on 3,0. b) Määritä niveleä A vaikuttava tukivoia uurian kuoran tapaukea. (Yo k 95) Ratkaiu: Puoiin vaikuttavat voiat ovat puoin paino G G = g, tunteaton kuora 1 1 = g, vaijerin jännityvoia T = T + T ja nivelen A tukivoia N = N + N. T = 5 N = 680 kg l = 7,0 θ = 40 a = 3, 0 φ = 70 b = 1, 0 G =? N =? 1 x y x y Kertau - 44
Fotoni 4 Kertau - 45 B T l φ b C G y + a θ α N G 1 x A Valitaan poitiiviet uunnat kuvan ukaieti. Tilanteen geoetriata aadaan b b g g 30 30 Tx = T co φ θ = T co Ty T T a) Puoin ollea taapainoa pätee nivelen A uhteen oenttiehto M A = T bl bginφ 1 g a coθ G l coθ = 0. Ratkaitaan oenttiehdota kuora G. Tbl bginφ 1 ga coθ G = l coθ 3 5 10 N 6,0 in70-680 kg 9,81 3, 0 co40 3 = 518, 10 N 5 kn 7, 0 co40 b) Voiien taapainoehdot x- ja y- akelien uunnia ovat F = N T co φ θ = 0 x x F = N + T in φ θ G G = 0 y y b g b g 1 Näitä ratkaitaan tukivoian koponentit: Kertau - 45
Fotoni 4 Kertau - 46 N x b g b g = T co φ θ = 5 kn co30 = 45 kn N y = T in φ θ + G + 1 g = 5 kn in30 +51,8 kn + 680 kg 9, 81 = 3, 5 kn Tukivoian uuruu on x y N = N + N = 45 + 3, 5 kn = 56 kn Suuntakula x- akelin poitiivieen uuntaan nähden aadaan ehdota N y 3, 5 tanα = = α = 36. N 45, 0 x 37. Sähköjunien virranyöttöön käytetty ajojohdin kiritetään oheiten kuvien ukaieti punnukella ja väkipyörätöllä. a) Minkä vuoki on tarkoitukenukaita käyttää tällaita kiritytapaa? b) Kuinka uuri voia jännittää vaijeria A (k. kuva), kun punnuken aa on 670 kg? Opatu: Oleta pyörien väliet vaijerit vaakauoriki. (Yo 04) a) Kuvaa eitetyn väkipyörätön avulla aavutetaan aa jännity kolaoalla iitä aata, joka punnukella pitää olla ellei käytetä väkipyörää. Väkipyörätö taoittaa yö läpötilan vaihtelujen vaikututa. Rakenne on liäki kevyepi. Kertau - 46
Fotoni 4 Kertau - 47 b) Piirretään voiakuvio: 3T T T T T g Väkipyörä on taapainoa, itä euraa, että vaakauoran köyden jännity on 3T. Koka punnu on taapainoa, euraa, että punnuta kannattavan köyden jännity on T = g. Vaijerin A jännity on 3T = 3g = 3 670kg 9, 81 = 19718 N = 0kN Kertau - 47