Minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja

Minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja Taneli Lehtilä Pro gradu -tutkielma Marraskuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos LEHTILÄ, TANELI: Minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja Pro gradu -tutkielma, 47 s. Matematiikka Marraskuu 2017 Tässä tutkielmassa konstruoidaan minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja. Jakoalgebroja on mahdollista hyödyntää langattomassa tiedonsiirrossa käytettävien ns. aika-avaruuskoodien tuottamisessa. Syy etsiä mahdollisimman pienen diskriminantin omaavia jakoalgebroja juontuu siitä, että ne johtavat parempiin koodeihin. Tässä työssä jakoalgebrojen konstruointia kuitenkin käsitellään täysin lukuteoreettisena ongelmana. Työn alussa esitetään myöhemmissä luvuissa tarvittavat algebrallisen lukuteorian perusteet. Tutustutaan muun muassa Frobenius-automorsmin, T²ebotarevin tiheyslauseen ja lukukuntien täydellistymien käsitteisiin. Tämän jälkeen tarkastellaan jakoalgebroihin liittyviä tuloksia ja todistetaan niiden pienimmälle mahdolliselle diskriminantille alaraja käyttäen luokkakuntateoreettisia menetelmiä. Lopuksi esitetään konstruktio Q( 7)-keskeisille minimaalidiskriminanttisille jakoalgebroille. Asiasanat: algebrallinen lukuteoria, jakoalgebra, diskriminantti, Hasse-invariantti.

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Algebrallisen lukuteorian perusteita 2 2.1 Lukukunnat............................ 2 2.2 Lohkeamisryhmä......................... 8 2.3 Frobenius-automorsmi...................... 12 2.4 T²ebotarevin tiheyslause..................... 15 2.5 Lukukuntien täydellistymistä.................. 19 3 Jakoalgebrat 24 3.1 Perusteet............................. 24 3.2 Diskriminanttiraja........................ 28 3.2.1 Hasse-invariantti..................... 28 3.2.2 Brauerin ryhmä...................... 31 3.2.3 Diskriminanttirajan todistaminen............ 33 3.3 Minimaalidiskriminanttisten jakoalgebrojen konstruointi... 36 Kirjallisuutta 46

1 Johdanto Useammilla lähetysantenneilla tapahtuvassa langattomassa tiedonsiirrossa käytetään viestien koodaamiseen niin sanottuja aika-avaruuskoodeja. Näitä koodeja on mahdollista tuottaa jakoalgebrojen tietynlaisista alirenkaista, järjestöistä. Järjestön diskriminantilla voidaan näyttää olevan yhteys koodauksesta saatavan hyödyn kanssa [18]. Yleisesti ottaen aika-avaruuskoodit ovat sitä parempia, mitä pienempi käytetyn järjestön diskriminantti on. Artikkelissa [6] osoitetaan, että erityisen hyviä valintoja järjestöiksi ovat jakoalgebran maksimaaliset järjestöt. Maksimaalisen järjestön diskriminanttia kutsutaan tässä tutkielmassa jakoalgebran diskriminantiksi. Optimaalisten aika-avaruuskoodien tuottamiseksi tulee siis konstruoida minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja. Tässä tutkielmassa käsitellään minimaalidiskriminanttisten jakoalgebrojen konstruointia algebrallisen lukuteorian ongelmana. Asiaan ei siis ollenkaan perehdytä koodausteorian näkökulmasta. Artikkelissa [18] näytetään, että jakoalgebran diskriminantti riippuu algebran keskeisistä lokaaleista ominaisuuksista, Hasse-invarianteista. Näiden invarienttien käyttäytyminen puolestaan tunnetaan hyvin luokkakuntateorian antamien tulosten pohjalta, ja niiden avulla jakoalgebran diskriminantille pystytään johtamaan alaraja. Vaikka tämän diskriminanttirajan todistus ei olekaan konstruktiivinen, se kertoo, että rajan saavuttavia jakoalgebroja on olemassa. Se myös kuvaa niitä riittävän hyvin, jotta minimaalisen diskriminantin omaavia jakoalgebroja pystytään konstruoimaan. Tutkielman alussa esitellään myöhemmin jakoalgebrojen konstruoinnissa tarvittavan algebrallisen lukuteorian perusteet. Luvussa 2 perehdytään esimerkiksi Frobenius-automorsmeihin ja T²ebotarevin tiheyslauseeseen. Jakoalgebrojen lokalisaatioiden tarkastelemiseksi esitellään myös lukukuntien täydellistymät. Luvussa 3 esitetään artikkelia [18] seuraten jakoalgebrojen teoriaa ja todistetaan niiden diskriminanttiraja. Viimeisessä pykälässä 3.3 konstruoidaan minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja, joiden keskuksena on kunta Q( 7). Kuten tullaan näkemään, niin tämä valinta soveltuu konstruktioihimme erityisen hyvin johtuen siitä, että kunnassa Q( 7) alkuluvun 2 päällä on kaksi pieninormista alkuihannetta. 1

2 Algebrallisen lukuteorian perusteita Tässä luvussa esitellään algebralliseen lukuteoriaan liittyviä perusteita niiltä osin, kun niitä tutkielman seuraavassa luvussa tullaan tarvitsemaan. Kaikkia tuloksia ei todisteta, sillä se ei tämän tutkielman laajuudessa olisi mahdollista. Kaikki esitetyt tulokset ovat kuitenkin hyvin tunnettuja, ja niiden todistukset voi löytää monista algebrallisen lukuteorian perusteita käsittelevistä kirjoista, esimerkiksi kirjasta [5]. Lukijan oletetaan tuntevan luentomonisteesta [11] löytyvät Turun yliopiston syventävällä algebran kurssilla käsiteltävät asiat. Erityisesti kuntalaajennuksien ja Galois'n teorian perusteiden tuntemus on välttämätöntä. Vaikka kaikki tarvittavat algebralliseen lukuteoriaan liittyvät käsitteet esitelläänkin, niin todennäköisesti tämän työn seuraaminen on haastavaa ilman aiempaa tuntemusta aiheesta. Esimerkiksi kirjat [10] ja [12] soveltuvat hyvin alkeiden opiskeluun. Koko luvussa K ja L ovat aina lukukuntia. Jos ei toisin mainita, niin L on kunnan K äärellinen kuntalaajennus. Kaikki renkaat ovat kommutatiivisia ja sisältävät ykkösalkion. 2.1 Lukukunnat Tähän pykälään on koottu lukukunnista ja kokonaislukujen renkaista keskeisimpiä asioita Lukukunnalla K tarkoitetaan kompleksilukujen kunnan C alikuntaa, jonka aste yli rationaalilukujen kunnan Q on äärellinen. Tätä astetta merkitään [K : Q]. Alkio α K on kunnan K algebrallinen kokonaisluku, jos se on jonkin Z-kertoimisen pääpolynomin nollakohta. Kaikkien kunnan K algebrallisten kokonaislukujen joukosta käytetään merkintää O K. Seuraava lause antaa tietoa joukon O K rakenteesta. Lause 2.1. Olkoon K lukukunta. (i) O K on kunnan C alirengas ja sen osamääräkunta on K. (ii) O K on astetta [K : Q] oleva vapaa Z-moduli. Rengasta O K kutsutaan kunnan K kokonaislukujen renkaaksi. Esimerkki 2.2. Olkoon m neliövapaa kokonaisluku, m 0, 1. Tällöin voidaan osoittaa, että neliökunnan Q( m) kokonaislukujen rengas on Z[ m] = {a + b m a, b Z}, kun m 2, 3 (mod 4), [ ] { O Q( m) = 1 + m Z = a + b 1 + } m a, b Z, kun m 1 (mod 4). 2 2 2

Alkion α O K generoimaa ihannetta merkitään [α]. Kokonaislukujen renkaan O K ihannetta p kutsutaan alkuihanteeksi, jos p O K ja jokaisella alkiolla a, b O K pätee ab p = a p tai b p. Sanomme myös hieman epätarkasti alkuihannetta p kunnan K alkuihanteeksi ja käytämme useasti termiä "alkuihanne" ilmaisun "nollaihanteesta eroava alkuihanne" sijaan. Tunnetusti renkaan O K alkuihanteet ovat tarkalleen sen maksimaaliset ihanteet ja jäännösluokkarengas O K /p on siis kunta. Tämä kunta on myös äärellinen ja sen kertaluku N(p) = O K /p on ihanteen p normi. Ihanteen normi määritellään vastaavasti myös muille ihanteille a [0] sivuluokkien lukumääränä #(O K /a). Seuraavan lauseen mukaan lukukunnan kokonaislukujen renkaassa O ihanteilla on yksikäsitteinen tekijöihinjako alkuihanteiden tuloksi eli toisin sanoen O on Dedekindin alue. Lause 2.3 (Ihanneteorian päälause). Olkoon K lukukunta ja a 0 renkaan O K ihanne. Tällöin a voidaan kirjoittaa alkuihanteiden tulona a = p 1 p n. Hajotelma on järjestystä vaille yksikäsitteinen, ja lisäksi alkuihanteet p i, i = 1,..., n, ovat tarkalleen kaikki ihanteen a sisältävät alkuihanteet. Seuraavassa renkaan O K nollaihanteesta eroavien ihanteiden muodostama puoliryhmä laajennetaan ryhmäksi. Määritelmä 2.4. Olkoot α 1,..., α s kunnan K alkioita. Niiden generoimaa O K -modulin K alimodulia a = O K α 1 + + O K α s kutsutaan kunnan K murtoihanteeksi. Renkaan O K ihanteen käsitteeseen verrattuna tässä on siis se ero, että O K -moduli O K on laajennettu O K -moduliksi K. Lause 2.5. Jokaisella murtoihanteella a on kanoninen esitys a = p k 1 1 p kt t, missä ihanteet p i ovat eri alkuihanteita ja k i Z\{0} jokaisella i {1,..., t}. 3

Esitellään seuraavaksi ihanteiden haaroittumisen käsite laajennuskunnissa. Oletetaan, että K on lukukunta ja L sen äärellinen laajennus. Jos p O K on alkuihanne, niin sen nosto po L renkaalle O L on myös ihanne. Näin ollen sillä on alkuihannehajotelma po L = P e 1 1 P eg g, (1) missä ihanteet P i, i = 1,..., g, ovat kunnan L eri alkuihanteita, ja ne kaikki sisältävät ihanteen p. Ihanteiden P i sanotaan olevan ihanteen p päällä kunnassa L ja vastaavasti p on ihanteiden P i alla. Eksponentteja e i kaavassa (1), joita merkitään myös e Pi p tai e(p i p), kutsutaan alkuihanteen p haaroittumisindekseiksi ihanteissa P i. Jokainen ihanteen p sisältävä alkuihanne P i määrittää myös jäännösluokkakuntien laajennuksen O K /p O L /P i. Tämän laajennuksen astetta, josta käytetään merkintää f i, f Pi p tai f(p i p), kutsutaan alkuihanteen p jäännösluokka-asteeksi ihanteessa P i. Hajoamislaki kertoo indeksien e i ja f i yhteyden. Lause 2.6 (Hajoamislaki). Olkoon L/K äärellinen kuntalaajennus ja p kunnan K alkuihanne. Olkoot kokonaisluvut e i, f i ja g määritelty kuten edellä. Tällöin pätee g e i f i = [L : K]. i=1 Jos jokin luvuista e i on suurempi kuin yksi, niin sanotaan, että p haaroittuu kunnassa L. Jos g > 1, niin sanotaan, että p lohkeaa kunnassa L. Jos p ei haaroitu eikä lohkea, eli po L = P on alkuihanne renkaassa O L, niin sanotaan, että p on hidas kunnassa L. Esimerkki 2.7. Tarkastellaan alkuluvun 2 alkuihannehajotelmaa kunnassa Q( [ 7). Merkitään p 1 = 2, 1 + ] [ 7 ja p 2 = 2, 1 ] 7. Tällöin 2 2 p 1 p 2 = [4, 1 + 7, 1 7, 2] = [2]. Selvästi p 1 [1] ja p 2 [1]. Jos olisi p 1 = p 2, niin seuraisi ristiriita 1 p 1. Alkuluku 2 siis lohkeaa kunnassa Q( 7) ihanteiden p 1 ja p 2 tuloksi. Nämä alkuihanteet osoittautuvat myöhemmin minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja konstruoidessamme tärkeiksi johtuen siitä, että ne ovat kokonaislukujen renkaan O Q( 7) ihanteista pieninormisimmat. On myös helppoa todistaa seuraava lause, jonka mukaan alkuihanteen haaroittumisindeksi ja jäännösluokka-aste ovat multiplikatiivisia päällekkäin olevien laajennusten suhteen. 4

Lause 2.8. Olkoon L/K kuntalaajennus ja E sen välikunta, ts. K E L. Olkoon lisäksi p, q ja P päällekkäin olevia alkuihanteita vastaavasti kunnissa K, E ja L. Tällöin e(p p) = e(p q)e(q p) ja f(p p) = f(p q)f(q p). Tarkastellaan seuraavaksi kuntalaajennuksessa L/K kuntaa L vektoriavaruutena yli kunnan K. Alkiolla α L kertominen m α : L L, x αx (2) on K-lineaarinen kuvaus vektoriavaruudesta L itselleen. Alkion α L jälki Tr L/K (α) määritellään tämän lineaarikuvauksen jälkenä. Jos σ 1 (α),..., σ n (α) ovat alkion α K-konjugaatit, niin n Tr L/K (α) = σ j (α). Lineaarikuvauksen (2) determinanttia kutsutaan alkion α L normiksi, ja sitä merkitään N L/K (α). Normi N L/K (α) on kunnan K alkio ja jos α O L, niin N L/K (α) O K. Jos L/K on Galois'n laajennus, niin alkion α normi on sen K-konjugaattien tulo, ts. N L/K (α) = σ(α). j=1 σ Gal(L/K) Normikuvaus N L/K on ryhmähomomorsmi kunnan L multiplikatiivisesta ryhmästä kunnan K multiplikatiiviseen ryhmään, eli N L/K (αβ) = N L/K (α)n L/K (β) jokaisella α, β L. Lisäksi, jos a K, niin N L/K (aα) = a [L:K] N L/K (α) jokaisella α L. Normi myös käyttäytyy hyvin päällekkäisissä kuntalaajennuksissa. Jos K E L ovat lukukuntia, niin N L/K = N E/K N L/E. Ihanteen a normi jakaa luvun N L/K (α) aina, kun α a. Lisäksi N(a) = N L/K (α), jos ja vain jos a = [α]. Kunnan L K-kannan {b 1,..., b n } diskriminantti määritellään d(b 1,..., b n ) = det[tr L/K (b i b j )] = det[σ i (b j )] 2, missä σ 1,..., σ n : L C ovat injektiiviset K-homomorsmit. 5

Määritelmä 2.9. Lukukunnan K kokonaislukujen renkaan O K Z- modulikantaa kutsutaan kunnan K kokonaiskannaksi. Tämän kannan diskriminanttia kutsutaan kunnan K diskriminantiksi ja siitä käytetään merkintää d K. Esimerkki 2.10. Neliökunnan Q( m) kokonaiskanta saadaan suoraan esimerkistä 2.2. Kun m 2, 3 (mod 4), niin {1, { m} on kokonaiskanta. Kun m 1 (mod 4), niin kokonaiskannaksi kelpaa 1, 1 + } m. Tämän jälkeen 2 kunnan diskriminantti lasketaan esimerkiksi seuraavasti: d(1, m) = 1 1 2 m m = 4m, d(1, 1 + m ) = 2 1 1 1 + m 2 1 m 2 Määritelmä 2.11. Laajennuksen L/K diskriminantti on kokonaislukujen renkaan O K ihanne, joka on joukon {det(tr L/K (x i x j )) n i,j=1 (x 1,..., x n ) O n L on laajennuksen L/K kanta} generoima. Sitä merkitään d(l/k) tai d(o L /O K ). Kunnan K diskriminantti on rationaalinen kokonaisluku, joka generoi pääihanteen d(k/q). Päällekkäisten laajennusten L/E/K tilanteessa laajennusten diskriminanteille on voimassa d(l/k) = N E/K (d(l/e))d(e/k) [L:E]. Yksi syy sille, miksi diskriminantit tulevat olemaan meille hyödyllisiä, on se, että ne antavat tietoa laajennuksessa haaroittuvista alkuihanteista. Lause 2.12. Lukukunnan K alkuihanne p haaroittuu laajennuskunnassa L, jos ja vain jos p jakaa laajennuksen L/K diskriminantin. Erityisesti siis lukukuntien laajennuksessa haaroittuu vain äärellinen määrä alkuihanteita. Siirrytään seuraavaksi tarkastelemaan Galois'n laajennuksia. Olkoon nyt L/K Galois'n laajennus ja merkitään sen Galois'n ryhmää G(L/K). Jokaisen ryhmän G(L/K) alkion σ restriktio renkaaseen O L on renkaan O L automorsmi. Nimittäin σ(o L ) = O L, sillä tietenkin σ(o L ) O L ja toisaalta O L = σ(σ 1 (O L )) σ(o L ). Olkoon seuraavassa a kunnan L ihanne, ja määritellään σ(a) = {σ(α) α a}. Jos α a ja γ O L, niin voidaan kirjoittaa γσ(α) = σ(σ 1 (γ)α). Tämän avulla nähdään, että σ(a) on renkaan O L ihanne. Sitä kutsutaan ihanteen a liittoihanteeksi. 6 2 = m.

Renkaan O L alkuihanteen P liittoihanteetkin ovat renkaan O L alkuihanteita. Nimittäin, jos αβ σ(p), niin σ 1 (α)σ 1 (β) = σ 1 (αβ) P. Saadaan, että esimerkiksi σ 1 (α) P, joten α σ(p). Koska myös 1 / σ(p), niin σ(p) O L. Kun a on renkaan O L ihanne, niin jokainen σ G(L/K) indusoi kuvauksen σ : O L /a O L /σ(a), σ(α + a) = σ(α) + σ(a) (3) kaikilla α O L. Tämä kuvaus on hyvinmääritelty, sillä jos α 1 + a = α 2 + a, niin σ(α 1 ) σ(α 2 ) = σ(α 1 α 2 ) σ(a). Yhtä suoraviivaisesti kuvauksen σ voidaan myös todeta olevan rengasisomorsmi. Erityisesti siis saadaan O L /a = O L /σ(a). Lemma 2.13. Olkoot p 1,..., p r lukukunnan K pareittain erisuuria alkuihanteita. On olemassa sellainen alkio x O K, että x p 1 ja x / p i, kun i = 2,..., r. Todistus. Merkitään p = p 1 ja q i = pp 1 p i 1 p i+1 p r (i = 1,..., r). Koska q i p i q i, niin voidaan valita x i q i \q i p i (i = 1,..., r). Merkitään x = x 1 +... + x r. Koska x i q i p jokaisella indeksillä i, niin x p. Oletetaan x p 2. Koska x i q i p 2, kun i 2, niin x 1 p 2 q 1 p, mikä on ristiriita. Siis x / p 2 ja vastaavasti saadaan x / p j (j = 3,..., r). Seuraavan lauseen mukaan G(L/K) operoi transitiivisesti sellaisten renkaan O L alkuihanteiden joukossa, joiden alla on sama alkuihanne renkaassa O K. Lauseiden 2.14 ja 2.15 todistukset ovat kirjasta [16]. Lause 2.14. Olkoot P ja P sellaisia renkaan O L alkuihanteita, joille on voimassa P O K = P O K [0]. Tällöin on olemassa alkio σ G(L/K), jolle pätee σ(p) = P. Todistus. Olkoon G(L/K) = {σ 1,..., σ n } laajennuksen L/K Galois'n ryhmä. Oletetaan, että P σ i (P) jokaisella i = 1,..., n. Lemman 2.13 mukaan on olemassa alkio x O L, jolle on voimassa x P ja x / σ i (P) jokaisella i = 1,..., n. Olkoon n α = σ i (x). i=1 Tällöin α O K ja koska id(x) P, niin myös α P. Jos olisi σ i (x) P jollakin i = 1,..., n, niin seuraisi x = σ 1 i σ i (x) σ 1 i (P), mikä ei ole 7

mahdollista. Siitä seuraisi, että σ i (x) / P jokaisella i = 1,..., n. Näin ollen α / P. Tämä on ristiriita, joten on olemassa alkio σ i G(L/K), jolle pätee σ i (P) = P. Galois'n laajennusten tapauksessa hajoamislain 2.6 voi ilmaista yksinkertaisemmassa muodossa. Lause 2.15. Olkoon L/K Galois'n laajennus ja p kunnan K alkuihanne. Olkoot P 1,..., P g ne kunnan L alkuihanteet, jotka ovat ihanteen p päällä. Tällöin jokaisella alkuihanteella P i on sama haaroittumisindeksi e = e Pi p ja sama jäännösluokka-aste f = f Pi p, ja lisäksi on voimassa Todistus. Olkoon po L = g i=1 efg = [L : K]. P e i i. Lauseen 2.14 mukaan jokaisella indeksillä j = 1,..., g on olemassa sellainen kuvaus σ G(L/K), jolle pätee σ(p 1 ) = P j. Yhtälöstä po L = σ(po L ) = g i=1 σ(p i ) e i ja alkuihannehajotelman yksikäsitteisyydestä seuraa, että e j = e 1 jokaisella j = 1,..., g. Yhtälöstä O L /σ(p j ) = O L /σ(p 1 ) = O L /P 1 puolestaan seuraa, että f Pj p = f P1 p jokaisella j = 1,..., g. Kaava efg = [L : K] seuraa nyt suoraan hajoamislaista 2.6. Galois'n laajennuksen L/K tapauksessa kunnan K alkuihanne p haaroittuu, jos e > 1, ja on haaroittumaton, jos e = 1. Alkuihanne p on täysin haaroittunut kunnassa L tai laajennuksessa L/K, jos haaroittumisindeksi e on yhtä suuri kuin laajennuksen aste [L : K]. Jos e = f = 1, eli po L on [L : K] eri alkuihanteen tulo, niin ihanteen p sanotaan lohkeavan täysin. 2.2 Lohkeamisryhmä Tässä pykälässä esitellään myöhemmin käyttöön tuleva lohkeamisryhmän käsite ja todistetaan siihen liittyviä tuloksia. Kuten edellisen luvun lopussakin L/K on nyt Galois'n laajennus ja sen Galois'n ryhmää merkitään joko Gal(L/K) tai G(L/K). Merkinnällä p tarkoitetaan renkaan O K alkuihannetta, ja sen päällä renkaassa O L on alkuihanne P. Pykälän todistukset ovat kirjoista [10] ja [16]. Määritelmä 2.16. Renkaan O L alkuihanteen P lohkeamisryhmä on joukko Z P (L/K) = {σ Gal(L/K) σ(p) = P}. 8

Hyvin suoraviivaisesti voidaan osoittaa, että lohkeamisryhmä Z P (L/K) todella on ryhmän Gal(L/K) aliryhmä. Galois'n vastaavuuden määräämää ryhmän Z P (L/K) kiintokuntaa laajennuksessa L/K merkitään Z P (L/K) ja sitä kutsutaan lohkeamiskunnaksi. Lohkeamisryhmälle käytetään myös lyhyempää merkintää Z P, jos on ilmeistä, mihin laajennukseen viitataan. Vastaavasti käytetään lyhennystä Z P = Z P (L/K). Lemma 2.17. Oletetaan, että alkuihanteen p päällä kunnassa L on g eri alkuihannetta, ja olkoon P yksi niistä. Tällöin [Z P : K] = (Gal(L/K) : Z P ) = g. Todistus. Olkoot σ, τ G(L/K). Näytetään, että σz P = τz P, jos ja vain jos σ(p) = τ(p). Jos σz P = τz P, niin σ 1 τ Z P. Lohkeamisryhmän määritelmän mukaan nyt σ 1 τ(p) = P, ja siis τ(p) = σ(p). Kääntäen, jos σ(p) = τ(p), niin σ 1 τ Z P ja edelleen τz P = σz P. Koska G(L/K) operoi transitiivisesti alkuihanteen p päällä kunnassa L olevien alkuihanteiden joukossa, niin nähdään, että g on yhtä suuri kuin sivuluokkien modulo Z P lukumäärä, ts. g = (Gal(L/K) : Z P ). Galois'n vastaavuuden perusteella (Gal(L/K) : Z P ) = [Z P : K]. Lemma 2.18. Jos q = P Z P, niin P on ainut alkuihanteen q päällä kunnassa L oleva alkuihanne. Todistus. Koska Z P = Gal(L/Z P ), niin Z P operoi transitiivisesti alkuihanteen q päällä kunnassa L olevien alkuihanteiden joukossa. Määritelmän mukaan jokaisella σ Z P pätee σ(p) = P, joten P on ainut alkuihanne ihanteen q päällä. Käytetään edellisen lemman tapaan merkintää q = P Z P alkuihanteen P alla sen lohkeamiskunnassa olevasta alkuihanteesta. Merkitään lisäksi F p = O K /p, F q = O Z /q ja F P = O L /P. Olkoon e alkuihanteen P haaroittumisindeksi yli ihanteen p, f alkuihanteen P jäännösluokka-aste yli ihanteen p ja g alkuihanteen P liittoihanteiden lukumäärä laajennuksessa L/K. Lemma 2.19. Yllä olevin merkinnöin F p = F q. Todistus. Hajoamislain 2.6 ja lemman 2.18 perusteella [L : Z P ] = e P q f P q. 9

Koska [L : K] = efg ja lemman 2.17 mukaan [Z P : K] = g, niin nähdään, että p lohkeaa täysin laajennuksessa Z P /K. Siis f q p = 1. Tästä seuraa joten F q = F p. [F P : F q ] = f P q = f = [F P : F p ], Kun x on renkaan O L alkio, niin merkitään symbolilla x sen kuvaa luonnollisessa homomorsmissa O L O L /P. Kuten jo kaavan (3) yhteydessä todettiin, alkio σ Z P indusoi isomorsmin σ : F P F P, missä σ(x) = σ(x) jokaisella x O L. Tämä on lisäksi myös kunnan F P F p - automorsmi. Nimittäin, jos x O K, niin σ(x) = σ(x) = x, eli kuvauksen σ restriktio kunnalle F p on identiteettikuvaus. Nyt lemman 2.19 perusteella σ Gal(F P /F q ). Tarvitsemme tätä tietoa, jotta seuraavan lauseen kuvaus olisi hyvinmääritelty. Lause 2.20. Kuvaus f : Z P Gal(F P /F p ), joka kuvaa alkion σ alkioksi σ, on surjektiivinen ryhmähomomorsmi, jonka ydin on I P = {σ Z P σ(x) x (mod P) jokaisella x O L }. Todistus. Ensinnäkin f on ryhmähomomorsmi, sillä kun σ 1, σ 2 Z P ja x O L, niin f(σ 1 σ 2 )(x) = (σ 1 σ 2 )(x) = σ 1 (σ 2 (x)) = σ 1 (σ 2 (x)) = (σ 1 σ 2 )(x) = (f(σ 1 ) f(σ 2 ))(x). Osoitetaan, että kuvauksen f arvojoukko on koko Gal(F P /F p ). Koska F p on äärellinen kunta, niin on olemassa sellainen alkio α O L, että F P = F p (α). Jos ξ Gal(F P /F p ), niin ξ(α) on alkion α konjugaatti yli kunnan F p. Olkoon h(x) alkion α minimaalipolynomi yli ihanteen P lohkeamiskunnan Z P. Koska L/Z P on Galois'n laajennus ja α O L, niin jokainen alkion α Z P -konjugaatti kuuluu myös renkaaseen O L. Tällöin siis h = (X σ(α)). O Z Kun tarkastellaan polynomin h kertoimia luonnollisessa homomorsmissa F q, niin nähdään, että polynomi (X σ(α)) F p [X]. Merkitään tätä polynomia symbolilla h. Koska α on yksi polynomin h juurista, niin alkion α minimaalipolynomi yli kunnan F p jakaa polynomin h. Tämän vuoksi alkion α F p -konjugaatit ovat alkioiden σ(α) F P joukossa. Tällöin 10 σ Z σ Z

siis ξ(α) = σ(α) = σ(α) jollakin σ Z P, ja siksi kuvauksien ξ ja σ täytyy olla samat. Kuvauksen f ydin on selvästi niiden alkioiden σ Z P joukko, joille pätee σ(x) = x jokaisella x F P, eli toisin sanoen σ(x) x (mod P) jokaisella x O L. Käytetään ryhmän I P kiintokunnasta merkintää I P. Lauseen 2.20 perusteella Z P /I P = Gal(FP /F p ) jokaisella alkuihanteella P. Tätä isomoraa hyödyntämällä nähdään, että [I P : Z P ] = #(Z P /I P ) = #(Gal(F P /F p )) = [F P : F p ] = f. Koska [L : K] = efg, [I P : Z P ] = f ja lemman 2.17 mukaan [Z P : K] = g, niin [L : I P ] = e. Näin ollen #I P = e P p. (4) Tarkastellaan kuntatornia K E L. Merkitään yhä alkuihanteen P alla lohkeamiskunnassa Z P (L/K) olevaa alkuihannetta q = P Z P (L/K) ja merkitään lisäksi q = P E. Lemma 2.21. Sisältyminen E Z P (L/K) on voimassa, jos ja vain jos e(q p) = f(q p) = 1. Todistus. Oletetaan ensin E Z P (L/K). Lauseen 2.19 todistuksessa jo nähtiin, että p lohkeaa täysin laajennuksessa Z P (L/K)/K, joten e(q p) = f(q p) = 1. Koska haaroittumisindeksi ja jäännösluokka-aste ovat multiplikatiivisia kuntatornissa K E Z P (L/K), niin e(q p) = f(q p) = 1. Oletetaan nyt e(q p) = f(q p) = 1. Olkoon H se ryhmän G(L/K) aliryhmä, jonka kiintokunta on E. Lohkeamisryhmän määritelmästä nähdään, että Z P (L/E) = Z P (L/K) H. Galois'n teoriasta tiedetään, että lohkeamiskunta Z P (L/E) = Z P (L/K)E. Käyttäen oletusta, yhtälöitä e(q p) = f(q p) = 1 sekä multiplikatiivisuutta kuntatorneissa saadaan [L : Z P (L/K)] = e(p q)f(p q) = e(p p)f(p p) = e(p q )f(p q ). Koska lisäksi q lohkeaa täysin lohkeamiskunnassa Z P (L/E) = Z P (L/K)E, niin [L : Z P (L/K)] = [L : Z P (L/K)E]. Tällöin siis Z P (L/K) = Z P (L/K)E ja edelleen E Z P (L/K). Seuraavaa lausetta tulemme tarvitsemaan myöhemmin luvussa 3.3. 11

Lause 2.22. Olkoot F 1 /K ja F 2 /K Galois'n laajennuksia, F 1 F 2 = K. Jos kunnan K alkuihanne p lohkeaa täysin molemmissa kunnissa F 1 ja F 2, niin se lohkeaa täysin myös kunnassa L = F 1 F 2. Todistus. Olkoon q 1 = P F 1 ja q 2 = P F 2. Koska F 1 /K ja F 2 /K ovat Galois'n laajennuksia, niin myös L/K on Galois. Oletuksen mukaan e(q i p) = f(q i p) = 1, i {1, 2}, joten nyt lemman 2.21 perusteella F 1, F 2 Z P (L/K). Tällöin L = F 1 F 2 Z P (L/K). Lemman 2.21 mukaan alkuihanteen P jäännösluokka-asteen ja haaroittumisindeksin yli kunnan K täytyy olla yksi, eli p lohkeaa täysin kunnassa L. 2.3 Frobenius-automorsmi Esitellään seuraavaksi Frobenius-automorsmin käsite. Frobeniusautomorsmiin liittyvien tuloksien todistukset ovat peräisin kirjoista [3] ja [13]. Edelleen L/K on kuntalaajennus, p on renkaan O K alkuihanne ja sen päällä renkaassa O L on alkuihanne P. Lause 2.23. Olkoon L/K Galois'n laajennus ja p renkaan O K alkuihanne, joka on haaroittumaton kunnassa L. Jos renkaan O L alkuihanne P sisältää ihanteen p, niin on olemassa yksikäsitteinen sellainen alkio σ Gal(L/K), jolle on voimassa σ(α) α N(p) (mod P) jokaisella alkiolla α O L. Todistus. Koska p on haaroittumaton kunnassa L, niin kaavasta (4) nähdään, että #I P = e P p = 1. Nyt lauseen 2.20 perusteella lohkeamisryhmän alkion σ Z P indusoima kuvaus f : σ σ määrittelee isomorsmin Z P Gal(F P /F p ). Galois'n ryhmän Gal(F P /F p ) rakenne tunnetaan hyvin. Jos kunnassa O K /p on q = N(p) alkiota, niin Gal(F P /F p ) on syklinen ryhmä, jonka generoi automorsmi x x q (ks. esim. [11]). On siis olemassa yksikäsitteinen alkio σ Z P, jonka f kuvaa kuvaukseksi x x q. Kuvaus σ toteuttaa vaaditun ehdon σ(α) α N(p) (mod P) jokaisella α O L. Yksikäsitteisyys on selvää, koska jokaisen automorsmin σ, joka toteuttaa kyseisen ehdon, täytyy kuulua lohkeamisryhmään Z P. 12

Lauseen 2.23 yksikäsitteistä alkiota σ kutsutaan Frobeniusautomorsmiksi ja sitä merkitään ((L/K)/P), sillä se riippuu kunnan L alkuihanteesta P. Sen keskeinen ominaisuus on, että jokaisella α O L ( ) L/K (α) α N(p) (mod P), (5) P missä p = P O K. Tarkastellaan myös muita myöhemmin käyttöön tulevia Frobenius-automorsmin ominaisuuksia. Lause 2.24. Olkoon L/K Galois'n laajennus ja p kunnan K alkuihanne, joka on haaroittumaton kunnassa L. Olkoon P ihanteen p päällä kunnassa L oleva alkuihanne. Tällöin ( ) ( ) L/K L/K (i) = τ τ 1 jokaisella τ Gal(L/K). τ(p) P (ii) Alkion ((L/K)/P) kertaluku on jäännösluokka-aste f = f P p. Todistus. (i) Jokainen renkaan O L alkio voidaan kirjoittaa muodossa τ 1 (α), missä α O L ja τ on Galois'n ryhmän Gal(L/K) alkio. Ominaisuuden (5) perusteella ( ) L/K τ 1 (α) τ 1 (α) N(p) (mod P). P Kuvaamalla alkiolla τ saadaan ( ) L/K τ τ 1 (α) α N(p) (mod τ(p)). P Nyt väite seuraa Frobenius-automorsmin yksikäsitteisyydestä. (ii) Lauseen 2.23 todistuksessa nähtiin, että lohkeamisryhmä Z P (L/K) on isomornen laajennuksen F P /F p Galois'n ryhmän kanssa. Frobeniusautomorsmi kuvautuu tässä isomorsmissa ryhmän Gal(F P /F p ) generoijaksi. Koska laajennuksen F P /F p aste on jäännösluokka-aste f, niin nähdään, että Frobenius-automorsmin ((L/K)/P) kertaluku on f. Määritelmä 2.25. Olkoon L/K Galois'n laajennus. Jos sen Galois'n ryhmä on Abelin ryhmä, niin laajennusta L/K kutsutaan Abelin laajennukseksi. Lisäksi, jos Galois'n ryhmä Gal(L/K) on syklinen, niin laajennusta L/K kutsutaan sykliseksi laajennukseksi. Abelin laajennuksen L/K tapauksessa Frobenius-automorsmi ((L/K)/P) riippuu vain alla olevasta alkuihanteesta p = P O K. Nimittäin, jos P on toinen ihanteen p sisältävä alkuihanne, niin P = τ(p) 13

jollakin τ Gal(L/K). Nyt lauseen 2.24 mukaan ( ) ( ) ( ) ( L/K L/K L/K L/K = = τ τ 1 = P τ(p) P P Abelin laajennuksen L/K tapauksessa Frobenius-automorsmi voidaan siis kirjoittaa ((L/K)/p). Seuraus 2.26. Galois'n laajennuksessa L/K kunnan K haaroittumaton alkuihanne p pysyy alkuihanteena ( kunnassa ) L, jos ja vain jos Galois'n ryhmä L/K Gal(L/K) on syklinen ja on sen generoija. p Todistus. Olkoon P kunnan L alkuihanne, joka on ihanteen p päällä. Alkuihanne p pysyy alkuihanteena kunnassa L, jos ja vain jos f P p = [L : K]. Lauseen 2.24 kohdan (ii) perusteella tämä on ekvivalenttia väitteen kanssa. Lemma 2.27. Olkoon K E L, missä L/K ja E/K ovat Galois'n laajennuksia. Olkoon P sellainen kunnan L alkuihanne, jonka alla oleva alkuihanne P O K = p on haaroittumaton laajennuksessa L/K. Tällöin ( ) ( L/K E/K missä q = P O E. P = E Todistus. Olkoon α kunnan E algebrallinen kokonaisluku ja σ ihanteen P lohkeamisryhmän Z P (L/K) alkio. Kongruenssi on ekvivalentti kongruenssin q ), σ(α) α N(p) (mod P) σ(α) α N(p) (mod q) kanssa, sillä jokainen ryhmän Z P (L/K) alkio kuvaa ihanteen q = P O E itselleen, kun E on Galois yli kunnan K. Tämän vuoksi valitsemalla ( ) L/K σ = P nähdään, että ( E/K σ E = q ). ). 14

2.4 T²ebotarevin tiheyslause T²ebotarevin tiheyslause antaa tietoa eräiden alkuihannejoukkojen tiheydestä lukukunnassa. Tässä luvussa esitellään kyseinen tulos, koska tulemme sitä tarvitsemaan myöhemmin lauseen 3.57 todistuksessa osoittaessamme tietynlaisia alkuihanteita olevan ääretön määrä. Tätä varten määritellään ensin Dirichlet'n tiheyden käsite ja sen ominaisuuksien tutkimiseksi tarkastellaan Dedekindin zeetafunktiota. Itse T²ebotarevin tiheyslauseen todistus vaatisi avukseen syvällisempiä menetelmiä, ja siksi se sivuutetaan. Luokkakuntateoriaan pohjautuva todistus löytyy esimerkiksi kirjoista [5] ja [14]. Määritelmä 2.28. Lukukunnan K Dedekindin zeetafunktio on ζ K (s) = p (1 N(p) s ) 1, missä tulo on otettu yli kaikkien kunnan K alkuihanteiden p [0] ja s R, s > 1. Tässä esityksessä rajoitumme tarkastelemaan Dedekindin zeetafunkiota vain luvun s reaaliarvoilla. Tavallisesti tämä funktio määritellään sarjana ζ K (s) = 1 a, missä a käy kaikki kunnan K nollaihanteesta eroavat N(a) s ihanteet, ja edellinen määritelmäksemme ottama muoto on oikeastaan niin sanottu Dedekindin zeetafunktion Eulerin tuloesitys. Seuraavassa merkinnällä log tarkoitetaan luonnollista logaritmia. Näytetään, että Dedekindin zeetafunktio suppenee, kun s R, s > 1. Ensinnäkin yleisesti on voimassa, että jos a n > 0 jokaisella n N, niin ( ) N log lim a n = lim log N N a n = lim log a n. N N N n=1 Tässä käytettiin ensimmäisessä välivaiheessa logaritmin jatkuvuutta välillä (0, ) ja toisessa välivaiheessa logaritmin ominaisuutta log(xy) = log x + log y. Tästä seuraa, että tulon n=1 a n suppeneminen on ekvivalenttia summan n=1 log(a n) suppenemisen kanssa. Tätä tulosta hyödyntämällä puolestaan helposti nähdään, että tulo p (1 N(p) s ) 1 suppenee, jos ja vain jos tulo p (1 N(p) s ) suppenee. Tunnetusti ääretön tulo p (1 N(p) s ) suppenee itseisesti (mistä seuraa, että tulon tekijät voidaan kirjoittaa mihin järjestykseen tahansa), jos sarja p N(p) s suppenee. Koska ihanteella po K, missä p on alkuluku, on tekijöinään korkeintaan [K : Q] eri alkuihannetta p n=1 n=1 15

ja näillä alkuihanteilla pätee N(p) p, niin saadaan eli p N(p) s suppenee. N(p) s p p [K : Q] p s <, Määritelmä 2.29. Olkoon K lukukunta ja P K kaikkien kunnan K alkuihanteiden joukko. Osajoukon S P K Dirichlet'n tiheys on δ(s) = lim s 1 + jos tämä raja-arvo on olemassa. p S N(p) s log(s 1), Olkoot funktiot f(s) ja g(s) määriteltyjä kaikilla s R, s > 1. Merkinnällä f(s) g(s) tarkoitetaan, että f(s) g(s) on rajoitettu, kun s 1 +. Käsitellään joitain Dirichlet'n tiheyden ominaisuuksia. Lauseen 2.30 todistuksessa käytetään apuna tunnettua tulosta, jonka mukaan raja-arvo lim s 1 +(s 1)ζ K (s) on olemassa äärellisenä. Tämän todistus sivuutetaan, koska se on pitkähkö ja vaatisi avukseen sellaista teoriaa, jota ei tässä tutkielmassa käsitellä. Se on kuitenkin todistettu esimerkiksi luentomonisteessa [12]. Lauseen 2.30 todistus on lähteestä [2]. Lause 2.30. Olkoon K/Q Galois'n laajennus ja T niiden kunnan K alkuihanteiden joukko, joiden jäännösluokka-aste yli kunnan Q on yksi ja jotka eivät ole haaroittuneita laajennuksessa K/Q. Tällöin joukon T Dirichlet'n tiheys δ(t ) = 1. Todistus. Tarkastellaan Dedekindin zeetafunktiota ζ K (s) = p (1 N(p) s ) 1, kun s R, s > 1. Luonnollisen logaritmin Taylorin sarjaa käyttäen nähdään, että log ζ K (s) = log(1 N(p) s ) p = p n=1 1 n N(p) ns. 16

Koska log ζ K (s) = log((s 1)ζ K (s)) + log(1/(s 1)), niin log ζ K (s) log(1/(s 1)) 1 n N(p) ns p n=1 N(p) s + 1 n N(p) ns p p n=2 p N(p) s, sillä 1 p n=2 n N(p) ns on rajoitettu, kun s 1 +. Saadaan ( ) 1 log ζ K (s) log N(p) s s 1 p p s + p f(p p)s + p s. p p p f(p p)=1=e(p p) f(p p)>1 f(p p)=1 e(p p)>1 Toinen sarja on rajoitettu, kun s 1 +, kuten on myös kolmaskin, koska haaroittuvia alkuihanteita on äärellinen määrä. Näin ollen ( ) 1 log ζ K (s) log N(p) s, s 1 p T joten ( ) 1 log = N(p) s + b(s), s 1 p T missä b(s) on rajoitettu, kun s 1 +. Nyt voidaan laskea joukon T Dirichlet'n tiheys: p T δ(t ) = lim N(p) s s 1 + log(s 1) p T = lim N(p) s s 1 + p T N(p) s + b(s) = 1. Seuraus 2.31. Jos S P K δ(s) = δ(s T ). on joukko, jolla on Dirichlet'n tiheys, niin 17

Todistus. Kuten jo lauseen 2.30 todistuksesta käy ilmi, niin N(p) s 0. p S p/ T Näin ollen mistä väite seuraa. N(p) s p S p S T N(p) s, Jos S P K on äärellinen joukko, niin N(p) s 0, p S joten äärellisen joukon Dirichlet'n tiheys on nolla. Dirichlet'n tiheyden määritelmästä myös nähdään, ettei minkään joukon tiheys voi olla negatiivinen. Tämän vuoksi jos S S, niin silloin δ(s) δ(s ) aina, kun molemmat tiheydet ovat määritellyt. Näistä huomioista nähdään, että 0 δ(s) 1 aina, kun joukolla S on tiheys. Tiheydellä δ voidaan siis mitata joukon S alkuihanteiden määrän suhdetta kaikkien kunnan K alkuihanteiden määrään. Olkoon nyt L kunnan K Galois'n laajennus ja p kunnan K alkuihanne, joka ei haaroitu kunnassa L. Tällöin kunnan L ihanteen p sisältävät eri alkuihanteet P saattavat määritellä eri Frobenius-automorsmin ((L/K)/P). Lauseen 2.24 mukaan kaikki kuvaukset ((L/K)/P) saadaan kuitenkin toisistaan konjugoimalla ja edelleen lauseesta 2.14 seuraa, että ne muodostavat kokonaisen konjugaattiluokan ryhmässä Gal(L/K). Alkuihanteen p Frobeniusautomorsmi ((L/K)/p) voidaan siis samaistaa kyseisen konjugaattiluokan kanssa. Lause 2.32 (T²ebotarevin tiheyslause). Olkoon L lukukunnan K laajennuskunta ja σ alkion σ Gal(L/K) konjugaattiluokka. Tällöin joukon S = {p P K p on haaroittumaton kunnassa L ja ((L/K)/p) = σ } Dirichlet'n tiheys on δ(s) = σ Gal(L/K) = σ [L : K]. Lauseen joukon S täytyy siis olla ääretön, koska sen Dirichlet'n tiheys on positiivinen. 18

Seuraus 2.33. On olemassa ääretön määrä sellaisia kunnan K alkuihanteita, jotka pysyvät hitaina syklisessä laajennuksessa L/K. Todistus. Olkoon σ ryhmän Gal(L/K) generoija-alkio. Jos p P K on alkuihanne, jolle pätee ((L/K)/p) = σ, niin lauseen 2.24 kohdan (ii) perusteella alkuihanteen p jäännösluokka-aste f = [L : K]. Alkuihanne p siis pysyy hitaana kunnassa L. Väite seuraa nyt T²ebotarevin tiheyslauseesta. Tarkemmin ottaen astetta n olevassa syklisessä laajennuksessa hitaana pysyvien alkuihanteiden muodostaman joukon Dirichlet'n tiheys on ϕ(n)/n, mutta näin tarkkaa tulosta emme tarvitse. 2.5 Lukukuntien täydellistymistä Tähän pykälään on kerätty myöhemmin käyttöön tulevia perustietoja lukukuntien arvotuksista ja täydellistymistä. Tulemme tarvitsemaan niitä luvussa 3.2 johtaessamme kaavan jakoalgebran pienimmälle mahdolliselle diskriminantille. Todistukset esitetyille tuloksille voi löytää monista algebrallisen lukuteorian perusteita käsittelevistä kirjoista, esimerkiksi kirjoista [5] tai [9]. Määritelmä 2.34. Lukukunnan K arvotus on kuvaus jolle on voimassa jokaisella x, y K (i) x 0, ja x = 0 x = 0, (ii) xy = x y, (iii) x + y x + y : K R, (kolmioepäyhtälö). Paria (K, ) (tai lyhyesti kuntaa K) kutsutaan tällöin arvotetuksi kunnaksi. Lukua x kutsutaan alkion x arvoksi. Määritelmä 2.35. Arvotusta kutsutaan epäarkhimediseksi, jos se täyttää jokaisella x, y K ehtoa (iii) vahvemman ehdon (iii') x + y max{ x, y }. Muussa tapauksessa arvotusta kutsutaan arkhimediseksi. Esimerkki 2.36. Olkoon K reaalilukujen kunnan alikunta. Tällöin tavallinen itseisarvo x on kunnan K epäarkhimedinen arvotus. 19

Kunnan K arvotus indusoi luonnollisella tavalla kunnalle K metriikan d(x, y) = x y x, y K. Tämä tekee kunnasta K metrisen avaruuden. Määritelmä 2.37. Kunnan K arvotuksia 1 ja 2 kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden indusoimat kunnan K metriikat ovat ekvivalentit, eli toisin sanoen jos metrisen avaruuden (K, 1 ) avoimet joukot ovat samat kuin avaruuden (K, 2 ) avoimet joukot. Olkoon p [0] lukukunnan K alkuihanne. Alkion x K generoimalla murtoihanteella on kanoninen esitys xo K = p α p α 1 1 p αt t, (6) missä ihanteet p i ovat eri alkuihanteita kuin p ja α, α i Z. Alkuihannehajotelman (6) yksikäsitteisyyden vuoksi voidaan määritellä kuvaus v p : K Z, missä v p (x) = α. Kuvausta v p kutsutaan kunnan K eksponenttiarvotukseksi. Sille pätee v p (xy) = v p (x) + v p (y) ja v p (x + y) min{v p (x), v p (y)}. Eksponenttiarvotusta v p käyttäen voidaan määritellä kunnalle K p- adinen arvotus { 0, jos x = 0 x p = c vp(x), jos x 0, missä c on reaaliluku, 0 < c < 1. Helposti voitaisiin varmistaa, että x p on kunnan K epäarkhimedinen arvotus. Eri reaaliluvun c valinnat määräävät ekvivalentit arvotukset. Lisäksi, jos p q, niin kunnan K arvotukset p ja q eivät ole ekvivalentteja. Tyypillisiä valintoja reaaliluvulle c ovat 1/p, missä pz = p Z, ja luku 1/N(p). Määritelmä 2.38. Metrisen avaruuden (M, d) pistejonoa (x n ) kutsutaan Cauchyn jonoksi, jos jokaista positiivilukua ɛ kohti on sellainen positiivinen kokonaisluku n 1, että d(x m, x n ) < ɛ kaikilla m > n n 1. 20

Olkoon K lukukunta, sen arvotus ja d tämän arvotuksen indusoima metriikka. Määritellään ja C = {(x n ) (x n ) on Cauchyn jono metriikan d suhteen avaruudessa K} N = {(x n ) a n K jokaisella n ja a n 0}. Voidaan osoittaa, että C on kommutatiivinen rengas, kun siinä määritellään operaatiot (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) ja (x n )(y n ) = (x n y n ). Lisäksi voidaan näyttää, että joukko N on renkaan C maksimaalinen ihanne. Tällöin siis C/N on kunta. Määritelmä 2.39. Kunta C/N on lukukunnan K täydellistymä arvotuksen suhteen. Lukukuntaa K voidaan ajatella minkä tahansa sen täydellistymän alikuntana samaistamalla kunnan alkiot vakiojonojen kanssa. Jos kunnan K arvotus = p, missä p [0] on jokin renkaan O K alkuihanne, niin tällöin kunnan K täydellistymää merkitään K p. Tätä kutsutaan kunnan K p-adiseksi täydellistymäksi. Kunnan K arvotus p voidaan laajentaa täydellistymään K p määrittelemällä (x n ) + N p = lim n x n p. On helppo tarkistaa, että tämä kuvaus todella on kunnan K p arvotus, jonka rajoittuma kuntaan K on alkuperäinen p-adinen arvotus. Tarkastellaan p-adista täydellistymää K p yksityiskohtaisemmin. Olkoon O p = {x K p x p 1}. Joukon O p voidaan näyttää olevan kommutatiivinen rengas. Sitä kutsutaan p-adisten kokonaislukujen renkaaksi ja sen alkiot ovat p-adisia kokonaislukuja. Renkaalla O p on yksikäsitteinen maksimaalinen ihanne P p = {x K p x p < 1}, ja renkaan O p yksiköt ovat tarkalleen ne alkiot, joiden arvo on yksi. Huomaa, että O K on renkaan O p alirengas. Lisäksi on voimassa P p = po p ja O p /P p = OK /p. 21

Esimerkki 2.40. Rationaalilukujen kunnan Q p-adisen täydellistymän Q p kokonaislukujen rengasta merkitään Z p. Renkaan Z p kaikki nollaihanteesta eroavat ihanteet ovat p m Z p, missä m 0. Erityisesti siis Z p on pääihannealue ja pz on sen maksimaalinen { ihanne. Rationaalisten p-adisten kokonaislukujen x joukko on Q Z p = y Q }. p y Olkoon π p\p 2 ja tulkitaan se täydellistymän K p alkioksi. Alkio π generoi ihanteen P p. Tällaista alkiota kutsutaan täydellistymän K p alkualkioksi. Jokainen alkio x K p voidaan kirjoittaa muodossa x = ɛπ t, missä t Z ja ɛ on renkaan O p yksikkö. Huomaa myös, että jos x K ja v p (x) = α, niin kunnassa K p pätee x = ɛπ α, missä ɛ O p on jokin yksikkö. Olkoon L/K kuntalaajennus ja p [0] renkaan O K alkuihanne. Olkoon alkuihanteen p alkuihannehajotelma renkaassa O L po L = P e 1 1 P eg g. Tällöin mitkään kaksi arvotuksista P1,..., Pg eivät ole ekvivalentteja kunnassa L, mutta niiden kaikkien rajoittumat alikuntaan K indusoivat saman topologian kunnalle K kuin arvotus p. Jokainen täydellistymä L Pj on kunnan K p äärellinen laajennus. Käänteinen tulos on myös voimassa. Jos l on kunnan K p äärellinen laajennus, niin on olemassa sellainen kunnan K äärellinen laajennus L ja renkaan O L alkuihanne P, että l = L P. Kuten lukukuntien kokonaislukujen renkaissa myös p-adisten kokonaislukujen renkaassa O p ihanteilla on yksikäsitteinen alkuihannehajotelma. Tietenkin hajotelmat ovat hyvin yksinkertaisia, sillä renkaassa O p on vain yksi alkuihanne. Kunnan K p alkuihanne P p = po p hajoaa laajennuskunnassa L P tekijöiksi P p O P = PP e, missä e = (P P P p ) on positiivinen kokonaisluku. Kun merkitään f = f(p P P p ) = [O P /P P : O p /P p ], niin tällöin ef = [L P : K p ]. Lohkeamista laajennuksessa L P /K p ei luonnollisestikaan tapahdu. Jos e = 1, niin sanotaan, että laajennus L P /K p on haaroittumaton. Olkoon taas L/K kuntalaajennus ja p [0] renkaan O K alkuihanne, joka hajoaa alkuihanteiden tuloksi po L = P e 1 1 P eg g. Voidaan osoittaa, että e(p Pi P p ) = e(p i p) ja f(p Pi P p ) = f(p i p). Lisäksi, jos L/K on Galois'n laajennus, niin tällöin myös L Pi /K p on Galois'n laajennus. Laajennuksen L Pi /K p Galois'n ryhmä on Gal(L Pi /K p ) = Z Pi (L/K). Seuraavaa lausetta tarvitsemme luvussa 3.2.1 jakoalgebran niin sanottua Hasse-invarianttia määriteltäessä. 22

Lause 2.41. Olkoon K lukukunta, p sen nollaihanteesta eroava alkuihanne ja K p kunnan K täydellistymä. Olkoon lisäksi f positiivinen kokonaisluku. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen astetta f oleva kunnan K p haaroittumaton laajennus. Se on Galois'n laajennus ja sen Galois'n ryhmä on syklinen. 23

3 Jakoalgebrat Tutkielman pääkiinnostuksen kohteena ovat jakoalgebrat. Tavoitteena on konstruoida minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja, joiden keskuksena on kunta Q( 7). Sitä ennen todistetaan alaraja jakoalgebrojen diskriminanteille pykälässä 3.2. Luvussa 2 esiteltiin tarvitsemamme algebrallinen lukuteoria ja seuraavaksi pykälässä 3.1 esitellään vielä algebroihin liittyvät perusteet. Diskriminanttirajan todistamiseksi tarvitsemme tietoa myös esimerkiksi jakoalgebrojen niin sanotuista Hasse-invarianteista sekä Brauerin ryhmistä. Suurin osa näiden asioiden todistuksista sivuutetaan. Monet todistuksista vaatisivat avukseen syvällisiä tuloksia luokkakuntateoriasta. Tavoitteena on vain esitellä välttämätön teoria, jota tarvitsemme diskriminanttirajan todistamiseksi. Todistamatta jätetyt tulokset löytyvät kirjasta [15], ellei toisin ole mainittu. Pykälässä 3.3 konstruoidessamme halutunlaisia jakoalgebroja palaamme enimmäkseen algebrallisen lukuteorian pariin, jolloin hyödynnämme luvussa 2 esiteltyä teoriaa. Tämä luku seuraa lähes kokonaisuudessaan artikkelia [18] ja enemmistö todistuksista on siitä peräisin. 3.1 Perusteet Vaikka sykliset jakoalgebrat ovatkin keskeisin tarkastelun kohteemme, niin niiden käsittelemiseksi meidän tarvitsee tarkastella myös laajempaa algebrojen joukkoa, yksinkertaisia keskeisiä algebroja. Tässä pykälässä kunnat ovat useimmiten algebrallisia lukukuntia, mutta tulokset ovat myös voimassa, vaikka lukukunnat korvattaisiin p-adisilla kunnilla. Määritelmä 3.1. Olkoon K kunta ja L/K syklinen Galois'n laajennus, jonka aste on n ja jonka Galois'n ryhmä on Gal(L/K) = σ. Voidaan määritellä K-algebra A = (L/K, σ, γ) = L ul u 2 L u n 1 L, missä u A on generoija-alkio, jolle on voimassa xu = uσ(x) kaikilla x L ja u n = γ K. Tällaista algebraa kutsutaan sykliseksi algebraksi. Huomaa, että syklisen algebran A = (L/K, σ, γ) aste vektoriavaruutena yli kunnan K on laajennuksen L/K asteen neliö. 24

Määritelmä 3.2. Algebraa A kutsutaan yksinkertaiseksi, jos sillä ei ole epätriviaaleja ihanteita. Algebran A keskus Z(A) = {a A aa = a a a A} on niiden algebran A alkioiden joukko, jotka kommutoivat kaikkien algebran A alkioiden kanssa. Algebra A yli kunnan K on keskeinen algebra, jos sen keskus Z(A) = 1 A K. Määritelmä 3.3. Yksinkertainen K-keskeinen algebra on yksinkertainen algebra, joka on äärellisulotteinen yli keskuksen K. Lause 3.4. Jokainen syklinen algebra on yksinkertainen keskeinen algebra. Lause on voimassa myös toiseen suuntaan, jos tarkastellaan yksinkertaista keskeistä algebraa, jonka keskus on lukukunta K. Lause 3.5. Olkoon K lukukunta. Jokainen yksinkertainen K-keskeinen algebra on syklinen algebra. Määritelmä 3.6. Yksinkertainen keskeinen algebra A on jakoalgebra, jos kaikki sen nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä. Esimerkki 3.7. Helpoimpia esimerkkejä yksinkertaisista keskeisistä algebroista ovat matriisialgebrat yli kunnan K. Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n K-algebra M n (K) = {(a ij ) n n a ij K} on yksinkertainen keskeinen algebra. Nimittäin tunnetusti algebran M n (K) ihanteet ovat triviaaleja, kun K on kunta, ja ainoastaan alkiot 1K = {diag(a,..., a) a K} kommutoivat kaikkien muiden algebran M n (K) alkioiden kanssa. Tämä algebra ei kuitenkaan ole jakoalgebra, kun n 2, sillä nollamatriisista eroavat matriisit, joiden aste on korkeintaan n 1, eivät ole kääntyviä. Tarvitsemme keinon tunnistaa jakoalgebrat syklisistä algebroista. Seuraava lause on todistettu kirjassa [1]. Lause 3.8. Astetta n oleva syklinen algebra A = (L/K, σ, γ) on jakoalgebra, jos ja vain jos mikään alkioista γ t, 0 < t < n, ei ole joukon L minkään alkion normi. Lauseen 3.8 vuoksi alkiota γ kutsutaan epänormialkioksi. Esimerkki 3.9. Hamiltonin kvaternioalgebrassa H Q = (Q(i)/Q, σ, 1), missä σ on tavallinen kompleksikonjugointi, tyypillisesti generoija-alkiota merkitään symbolilla j eikä u, ja kirjoitetaan k = ij. Siis i 2 = j 2 = k 2 = 1 ja ji = ij. Alkion a + bi, a, b Q, normi on (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 1, joten 1 ei ole minkään alkion normi. Lauseen 3.8 mukaan tämä osoittaa algebran H Q olevan jakoalgebra. 25

Määritelmä 3.10. Olkoon L/K syklinen kuntalaajennus ja A = (L/K, σ, γ) jakoalgebra. Osajoukko Λ A on O K -järjestö, jos (i) Λ on renkaan A alirengas, jolla on sama neutraalialkio. (ii) Λ on äärellisesti generoitu O K -moduli. (iii) Λ generoi algebran A vektoriavaruutena yli kunnan K. Esimerkki 3.11. Olkoon A = (L/K, σ, γ) kuten edeltävässä määritelmässä ja oletetaan, että sen epänormialkio γ K on algebrallinen kokonaisluku. Tällöin O K -moduli Λ = O L uo L u 2 O L u n 1 O L on alirengas syklisessä algebrassa (L/K, σ, γ). Tätä kutsutaan algebran A luonnolliseksi järjestöksi. Epänormialkioksi γ täytyi valita algebrallinen kokonaisluku, sillä muutoin Λ ei olisi suljettu kertolaskun suhteen. Jakoalgebran A järjestö Λ on maksimaalinen järjestö, jos ei ole olemassa toista järjestöä Λ, Λ Λ A. Maksimaalisia järjestöjä voi pitää lukukuntien kokonaislukujen renkaan analogiana jakoalgebroissa. Lause 3.12. Jokaisella K-keskeisellä jakoalgebralla A on maksimaalinen O K -järjestö ja jokainen algebran A järjestö sisältyy vähintään yhteen maksimaaliseen järjestöön. Tutkiaksemme renkaan O K ja O K -järjestön Λ välistä suhdetta on hyödyllistä tarkastella jakoalgebraa A matriisialgebran alialgebrana. Lause 3.13. Olkoon A jakoalgebra, jonka keskus on K ja aste [A : K] = n 2. Tällöin jokainen algebran A maksimaalinen alikunta L sisältää kunnan K ja aste [L : K] = n. Huomautus 3.14. On ilmeistä, että jokainen jakoalgebra sisältää vähintään yhden maksimaalisen alikunnan. Olkoon A K-keskeinen jakoalgebra, [A : K] = n 2, ja oletetaan, että L on algebran A maksimaalinen alikunta. Tällöin A on n-dimensioinen oikeanpuoleinen vektoriavaruus yli kunnan L. Algebra A operoi vektoriavaruuteen A kertolaskulla vasemmalta. Jos c A, niin olkoon λ c : A A kuvaus, joka kuvaa alkion x A alkioksi cx. Koska tämä kuvaus ja oikeanpuoleinen skalaarikertolasku kommutoivat, ts. c(xl) = (cx)l, missä l L, niin λ c on L-lineaarinen. Saadaan upotus A End L (A), joka kuvaa alkion 26

c A kuvaukseksi λ c. Kiinnittämällä vektoriavaruudelle A L-kanta jokainen λ c End L (A) voidaan esittää matriisilla M(λ c ), ja tunnetusti kuvaus λ c M(λ c ) on algebraisomorsmi End L (A) M n (K). Saadaan siis injektiivinen K-algebrahomomorsmi ψ algebrasta A matriisialgebraan M n (L). Näin ollen alkio c A ja matriisi ψ(c) M n (L) voidaan samaistaa. Kuvausta ψ kutsutaan maksimaaliseksi esitykseksi. Määritelmä 3.15. Matriisin ψ(c) jälkeä kutsutaan alkion c A redusoiduksi jäljeksi ja sitä merkitään tr A/K (c). Huomautus 3.16. Voidaan osoittaa, että alkion a A jälkikuvauksen T A/K (a) ja redusoidun jäljen tr(a) yhteys on T A/K (a) = ntr(a), missä n on laajennuksen L/K aste. Lause 3.17. Olkoon A K-keskeinen jakoalgebra ja a A. Tällöin redusoitu jälki tr(a) K. Jos lisäksi Λ on algebran A O K -järjestö ja alkio a Λ, niin redusoitu jälki tr(a) on kokonaislukujen renkaan O K alkio. Esimerkki 3.18. Olkoon L/K syklinen kuntalaajennus ja A = (L/K, σ, γ) jakoalgebra. Tarkastellaan algebraa A oikeanpuoleisena vektoriavaruutena yli kunnan L. Valitaan avaruudelle A L-kanta {1, u,..., u n 1 } ja olkoon a = x 0 + ux 1 + + u n 1 x n 1 A. Tämän alkion matriisiesityksen ψ(a) is pystyrivi, i {0, 1,..., n 1}, on vektorin au i = (x 0 +ux 1 + +u n 1 x n 1 )u i = u i σ(x 0 )+u i+1 σ(x 1 )+ +u n 1+i σ(x n 1 ) koordinaattivektori. Tällöin siis x 0 γσ(x n 1 ) γσ 2 (x n 2 )... γσ n 2 (x 2 ) γσ n 1 (x 1 ) x 1 σ(x 0 ) γσ 2 (x n 1 )... γσ n 2 (x 3 ) γσ n 1 (x 2 ) x 2 σ(x 1 ) σ 2 (x 0 )... γσ n 2 (x 4 ) γσ n 1 (x 3 ) ψ(a) = x 3 σ(x 2 ) σ 2 (x 1 )... γσ n 2 (x 5 ) γσ n 1 (x 4 ). (7)...... x n 1 σ(x n 2 ) σ 2 (x n 3 )... σ n 2 (x 1 ) σ n 1 (x 0 ) Lause 3.19. Jälkikuvaus ei riipu maksimaalisesta esityksestä. Määritelmä 3.20. Olkoon A K-keskeinen jakoalgebra ja m = dim K A. O K - järjestön Λ O K -diskriminantti on renkaan O K ihanne d(λ/o K ), joka on alkioiden {det(tr A/K (x i x j )) m i,j=1 (x 1,..., x m ) Λ m } generoima. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, käytetään myös lyhyempää merkintää d(λ/o K ) = d(λ). 27

Esimerkiksi kunnan K = Q( 7) tapauksessa sen kokonaislukujen rengas O K = O Q( 7) on Eukleideen alue, jolloin on järkevää puhua diskriminantista alkiona eikä ihanteena. Järjestö Λ on vapaa O K -moduli, joten voimme samaistaa diskriminantti-ihanteen generoivan alkion jonkin kannan diskriminantin kanssa. Järjestön Λ diskriminantti voidaan tällöin laskea kaavalla d(λ/o K ) = det(tr(x i x j )) m i,j=1, missä {x 1,..., x m } on mikä tahansa järjestön Λ O K -kanta. Tästä näemme, että kun Λ Γ ovat O K -järjestöjä, niin d(γ) on diskriminantin d(λ) tekijä. Lause 3.21. Kaikilla K-keskeisen jakoalgebran maksimaalisilla järjestöillä on sama diskriminantti. Määritelmä 3.22. Olkoon A K-keskeinen jakoalgebra ja olkoon Λ jokin sen maksimaalinen järjestö. Tämän järjestön diskriminanttia d(λ/o K ) = d A kutsutaan jakoalgebran A diskriminantiksi. Lauseen 3.21 mukaan jakoalgebran diskriminantti on hyvinmääritelty, eikä siis riipu maksimaalisen järjestön valinnasta. Huomautus 3.23. Olkoon L/K syklinen kuntalaajennus ja A = (L/K, σ, γ) jakoalgebra. Esimerkin 3.18 matriisin (7) jälkeen ei selvästikään vaikuta se, mikä alkio σ on valittu ryhmän Gal(L/K) generoijaksi. Koska jälkikuvaus tr A/K ei riipu maksimaalisesta esityksestä, niin nyt jakoalgebran A diskriminantin määritelmästä nähdään, ettei alkion σ valinta vaikuta algebran A diskriminanttiin. 3.2 Diskriminanttiraja Tavoitteena tässä pykälässä on todistaa jakoalgebran diskriminantille alaraja. Tätä varten tarvitsemme ensin paremman ymmärryksen algebran diskriminantista ja siksi tutustumme algebran Hasse-invariantin sekä Brauerin ryhmän käsitteisiin. Diskriminanttirajan todistus seuraa artikkelin [18] esitystä. 3.2.1 Hasse-invariantti Olkoot A ja B K-algebroja ja olkoon A K B niiden tensoritulo K- vektoriavaruuksina. On olemassa yksikäsitteinen avaruuden A K B K- bilineaarinen kertolasku, jolle pätee (a b)(a b ) = aa bb 28