Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen.................... 9.4 Geometrinen sarja..........................5 Perustuloksia suppenemisesta................... 3
Sarjat. Lukujonoista Jos jokaista luonnollista lukua n N kohti valitaan joku reaaliluku x n R, saadaan (reaaliluku)jono (x, x 2, x 3,...) jota merkitään myös (x n ) n =, tai (x n ) n N. (Täsmällinen määritelmä: lukujono on kuvaus eli funktio joukosta N joukkoon R.) Esimerkkejä: ( ) = (,,,,...), ( ) cos n, ( ) n 00 + n. n 2 n= 4 9 6 sin(nπ)+3 n= 3 n= Sanomme, että x n on jonon n:s alkio tai n:s koordinaatti. Olkoon k N. Jono on äärellinen lukujono. (x, x 2,..., x k ) eli (x n ) k n= Määritelmä. Jono (x n ) n= suppenee raja-arvoon a R, jos seuraava pätee. Jokaista mielivaltaista r > 0 kohti voidaan löytää luku N N siten, että x n a < r, kun n N Tällöin merkitään lim n x n = a. Jos (x n ) n= ei suppene (mihinkään reaalilukuun), se hajaantuu. Suppenevan lukujonon raja arvo on yksikäsitteinen (todistus harjoitustehtävä). Esimerkki. Tarkastellaan jonoa ( n + 4 + ) n= = ( + 5, + 6, + 7, + 8,...). Tämä näyttää suppenevan kohti lukua. Kuinka tämä todistetaan käyttäen määritelmää.? Olkoon r > 0 mielivaltainen.. Tarkastellaan lauseketta siis x n a, missä n + 4 + = x n ja a = ; x n a = n + 4 + = n + 4 = n + 4 2
2. Tarkastellaan milloin x n a < r eli n + 4 < r. () Tämä voidaan esim. käsittää epäyhtälönä n:lle, missä n voidaan ratkaista r:n avulla. () n + 4 > r n > r 4. Otetaan joku N N joka on suurempi kuin r 4. Jos nyt n > N, niin n > N r 4 = x n a < r. Esimerkki. Tarkastellaan jonoa (,,,,,,...) = (( ) n ) n=. Suppeneeko tämä jono?. Suppeneeko jono esim. arvoon a =? Tarkastellaan lauseketta x n a = ( ) n = { 2 = 2, jos n pariton 0, jos n parillinen Oletetaan esimerkiksi r =. Päteekö nyt 00 x n a < 00, n N? Mutta olipa N miten suuri tahansa, aina löytyy parittomia lukuja n > N jolloin x n a = 2. Yllä oleva epäyhtälö ei päde n N, joten jono ei suppene arvoon. 2. Suppeneeko jono johonkin muuhun a R? Tutkitaan jälleen lauseketta x n a = ( ) n a = { a, n pariton a, n parillinen = { + a, n pariton a, n parillinen Jompikumpi näistä on suurempi kuin, olipa a mikä tahansa reaaliluku. Jos taas esim. r =, niin joko parittomille tai parillisille n 0 x n a > 0 3
eli x n a < 0 ei päde. Näin ollen jono ei suppene a:han. Esimerkki. Osoita, että lim = 0. (2) n n Olkoon r > 0 annettu. Jos valitaan luvuksi N esimerkiksi jokin lukua /r +3 suurempi luonnollinen luku, pätee kaikilla n > N n 0 = n < N < + 3 < r r = r. (3) Olkoon (x n ) n= lukujono sekä n < n 2 < n 3 <... aidosti kasvava jono luonnollisia lukuja. Muodostetaan uusi jono (y k ) siten, että y k := x nk kaikilla k. Tätä jonoa sanotaan alkuperäisen jonon osajonoksi. Esimerkki. Olkoon x n = /n eli jono Olkoon n k := 2k, eli, /2, /3, /4,.... (4) n = 2, n 2 = 4, n 3 = 6,... Silloin (y k ) on jono 2, 4, 6, 8,.... Vastaavasti, jos valitaankin n k := k 2, niin y k = k 2 eli jono, 4, 9, 6,... Indeksiksi voidaan valita periaatteessa mikä kirjain tahansa (tämä on vain taiteellinen makukysymys), joten viimeksimainittua osajonoa voidaan yhtä hyvin merkitä (y n ) tai (y n ) n=, jolloin y n = n 2. Lause.2.. Jos jono (x n suppenee raja arvoon x, niin myös sen jokainen osajono (y n ) suppenee raja arvoon x. 2. Suppenevan lukujonon kaikki alkiot kuuluvat johonkin rajoitettuun väliin. 4
3. Oletetaan, että voidaan löytää reaalinen vakio M siten, että x n M kaikilla n ja että lim x n = x. Tällöin myös raja arvo x toteuttaa x M. Todistus jätetään väliin. Raja arvojen käytännön laskeminen perustuu usein seuraavan lauseeseen. Lause.3. Jos lim x n = x ja lim y n = y sekä k on reaaliluku, niin a) lim(x n + y n ) = x + y, b) lim(kx n ) = kx, c) lim(x n y n ) = xy, ja d) lim xn y n = x, mikäli y 0. y Todistetaan tästä esimerkiksi kohta a). Muut todistukset, ks. Myrberg, lause 2.3.4. Olkoon r > 0 annettu. Silloin voidaan löytää luvut N ja N 2 joille kun n N, ja x n x < r/3, (5) y n x < r/3, (6) kun n N 2. Valitaan luvuksi N suurempi luvuista N ja N 2. Jos nyt n > N, molemmat epäyhtälöt (5 ) ja (6) pätevät, ja voidaan arvioida summajonon ja sen väitetyn raja arvon erotusta: (x n +y n ) (x+y) = (x n x)+(y n y) x n x + y n y < r/3+r/3 < r. Kohta a) on näin todistettu. Esimerkki. Laske jonon (x n ) raja arvo, kun Ratkaisu. Pätee x n := n2 + 5n 0 3n 2 + 2n +. n 2 + 5n 0 3n 2 + 2n + = + 5 0 n n 2 3 + 2 +. n n 2 Tässä 0 = lim 5/n = lim 0/n 2 = lim 2/n = lim /n 2, joten osoittajan raja arvo on ja nimittäjän 3. Koko lukujonon raja arvo on siten /3. 5
Lause.4. Jos jono (x n ) suppenee ja jono (y n ) hajaantuu, niin summajono (x n + y n ) hajaantuu. Todistus. Koska (x n ) suppenee, niin myös jono ( x n ) suppenee. Jos summajono suppenisi, saataisiin Lauseen.3. nojalla, että myös jono (y n ) = (x n + y n ) + ( x n ) suppenee, mikä on ristiriita. Palautamme seuraavaksi Analyysi I:n kurssilta mieleen monotonisen lukujono käsitteen. Olkoon (a n ) lukujono. Se on a) nouseva, jos a a 2 a 3... b) laskeva, jos a a 2 a 3... c) aidosti nouseva, jos a < a 2 < a 3 <... d) aidosti laskeva, jos a > a 2 > a 3 >.... Jono on monotoninen, jos se on joko nouseva tai laskeva. Olkoon N N. Jono (a n ) on e) nouseva indeksistä N alkaen, jos a N a N+ a N+2... f) laskeva indeksistä N alkaen, jos a N a N+ a N+2... Tässä ei siis ole merkitystä sillä, miten ensimmäiset jonon alkiot käyttäytyvät. Lause.5. Olkoon (x n ) n= nouseva jono indeksistä N alkaen. Jos on olemassa M R s.e. x n M n N, (7) niin jono (x n ) n= suppenee, ja raja-arvo on pienempi tai yhtäsuuri kuin M. Esimerkki. Tarkastellaan jonoa (3, 3.3, 3.4, 3, 4, 3.45, 3.459,...); jonon alkio x n on π:n arvo katkaistuna n:nen desimaalin kohdalta. Silloin x n Q. Edellä Lausessa.5 voidaan ottaa esim. M = 4. Näin ollen on olemassaraja-arvo lim x n = π R Q. n Käsitellään vielä Cauchyn yleistä suppenemiskriteeriota. Tämä liittyy reaalilukujen joukon täydellisyysominaisuuteen ja aksiomaan, ks. Analyysi I kurssin alku. 6
Reaalilukujonojen suppeneminen on seuraavan lauseen avulla periaatteessa mahdollista karakterisoida jonon itsensä alkioiden avulla (tietämättä sitä, mikä on jonon raja arvo). Vastaava tulos ei päde rationaalilukujen joukossa Q! Lause.6. Lukujono (x n ) suppenee (johonkin reaalilukuun) jos ja vain jos seuraava pätee: jokaista r > 0 kohti voidaan löytää luonnollinen luku N siten että x n x n+k < r, kunhan n > N ja k on mikä tahansa luonnollinen luku. Todistus sivuutetaan toistaiseksi. Palataan yllä olevaan esimerkkiin jonosta (x n ), jonka n:s alkio on π:n desimaaliesitys n :n desimaalin tarkkuudella. Tällöin jokainen x n on rationaaliluku, ja lisäksi jono toteuttaa Lauseen.6 ehdon. Mutta jonon raja arvo π ei ole rationaalinen. Siispä Lause.6. ei päde rationaalilukujen joukossa! Lauseen.6. ehdon toteuttavaa jonoa sanotaan Cauchyn jonoksi. Lause.6. voidaan siis formuloida sanomalla, että reaalilukujen joukossa jokainen Cauchyn jono suppenee (ja kääntäen jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono). Cauchyn jonon käsite voidaan formuloida hyvinkin yleisissä esim. niin sanotuissa metrisissä avaruuksissa (jotka voivat olla esim. ääretönulotteisia vektoriavaruuksia). Tällöin kysymys Cauchyn jonojen suppenemisesta kyseisessä avaruudessa on melko keskeinen monien teoreettisten ja toisinaan numeeristenkin näkökohtien kannalta. Otamme lopuksi käyttöön pari termiä. Sanomme, että (hajaantuva) lukujono (x n ) kasvaa rajatta, jos jokaista mielivaltaista annettua positiivista reaalilukua M kohti voidaan löytää indeksi N N, jolle x n > M, kun n > N. Tällöin merkitään lim n x n =. Vastaavasti sanomme, että lukujono (x n ) pienenee rajatta, jos jokaista mielivaltaista annettua negatiivista reaalilukua M kohti voidaan löytää indeksi N N, jolle x n < M, kun n > N. Tätä merkitäään lim n x n =. Oppikirjasta on syytä lukea aiheet Sandwich theorem, s.63 64, sekä l Hopitalin säännön käyttäminen, s. 64 66. 7
.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot Olkoon A rajoitettu tai rajoittamaton väli R:ssä ja f : A A jatkuva funktio. Tarkastellaan yhtälöä f(x) = x. Kurssilla Analyysi I, luku 2.6, esitettiin, kuinka tämä yhtälö voidaan toisinaan ratkaista iteroimalla. Tutkimme nyt iteraatiomenetelmän suppenemista hiukan toisesta näkökulmasta. Lause.7. Olkoon x 0 A ja määritellään rekursiivisesti jono (x n ) kaavalla x n+ = f(x n ) (siis iteroimme funktiota f alkuarvona x 0 ). Jos jono (x n ) suppenee, sen raja-arvo c on yhtälön (.2) ratkaisu. Verrattuna Analyysi I kurssilla esiteltyyn tulokseen, tässä ei tarvita estimaattia f:n derivaatalle. Todistus. Koska f on jatkuva, sille pätee lim n f(x n ) = f( lim n x n ). Näin ollen f(c) = f( lim n x n ) = lim n f(x n ) = lim n x n+ = c. Esimerkki. Etsitään yhtälön ( x) 3 x + = 0 2 yksi ratkaisu likimääräisesti. Yhtälö on muotoa f(x) = x, kun määritellään f(x) = ( x 2 )/3 + ; joukoksi A voidaan valita esimerkiksi positiivinen reaaliakseli. Funktio f on selvästi jatkuva A:ssa. Asetetaan x 0 = ja x n+ := ( x ) n /3 +. 2 Väitämme, että näin määritelty jono (x n ) suppenee. Tämä johtuu tällä kertaa siitä, että jono on kasvava ja rajoitettu (Lause.5.). Jos nimittäin x n < 2, niin x n+ = ( x ) n 3 + x n 2 2 + x n 2 + x n 2 = x n, eli jono on kasvava. Toisaalta myös x n+ = ( x ) n 3 + + = 2, 2 8
koska x n < 2. Siis jono on rajoitettu. Lauseen.2 kohta 3 nojalla voimme vielä vetää sen johtopäätöksen, että raja-arvo, eli alkuperäisen yhtälön ratkaisu, on välillä [, 2]. Ratkaisulle saadaan mielivaltaisen tarkkoja approksimaatioita laskemalla jonon ensimmäisiä alkioita eli iteroimalla funktiota f..3 Sarja ja sen suppenminen Sarjalla tarkoitetaan summaa, jossa on ääretön määrä termejä; täsmällinen määritelmä on alla. Esimerkiksi + + + +... ja + 2 + 4 + 8 + 6 +... ovat sarjoja. Kun laskemme ensin mainitun ensimmäisiä termejä yhteen, havaitaan tietenkin, että n:n ensimmäisen termin summa on n. Koko sarjan summa on ääretön. Toinen sarja käyttäytyy aivan eri tavalla. Sen n:s termi on 2 n+. Lasketaanpa kuinka monta termiä tahansa yhteen, summa pysyy luvun 2 alapuolella. Tutkimme näitä asioita nyt systemaattisesti. Määritelmä.7. Olkoon (x n ) n= reaalilukujono. Muodostamme uuden jonon (s n ) n= seuraavasti: ja yleisesti määritellään s := x, s 2 = x + x 2, s 3 = x + x 2 + x 3 n s n := x +... + x n = x k. Sarjaksi sanomme paria ((x n ) n=, (s n ) n=). Tässä x n on sarjan n:s termi ja luku s n on nimeltään sarjan n:s osasumma. Käytämme tässä määritellylle sarjalle kuitenkin lyhyempää merkintää x k tai x + x 2 + x 3.... 9
Määritelmä.8. Sanomme, että sarja x k suppenee ja että sen summa on s, jos jono (s n ) n= suppenee ja sen raja arvo on s. Tällöin merkitään x k = s. Jos sarja ei suppene, sanomme, että se hajaantuu. Esimerkki. Suppeneeko sarja Kaikilla k N pätee identiteetti (k + 2)(k + 3)? (k + 2)(k + 3) = k + 2 k + 3 (tarkista!). Tämän avulla voidaan laskea s n : s 2 = 3 4 + 4 5 = 3 5, ja yleisesti s 3 = 3 4 + 4 5 + 5 6 = 3 6, s n = 3 4 + 4 5 +... n + 2 n + 3 = 3 n + 3. (Tämän voi esimerkiksi todistaa induktiolla.) Tästä nähdään, että lim n s n = /3. Sarja on siten suppeneva ja sen summa on /3. Esimerkki. Suppeneeko sarja Nyt s n = log 2 + log 2 3 +... + log k log k +? n n + = log ( 2 2 3... n ) ( ), = log, n + n + ja tämä lähestyy :tä, kun n. Sarja hajaantuu. 0
Esimerkki. Suppeneeko sarja 3 + 3 + 3 + 3 +...? Sarjan n:s osasumma on 3n, joka kasvaa rajatta kun n. Sarja hajaantuu. Esimerkki. Suppeneeko sarja 3 + ( 3) + 3 + ( 3) + 3 + ( 3) +...? Osasummien jono on (3, 0, 3, 0, 3, 0,...). Tämä jono tosin pysyy rajoitettuna, mutta se ei kuitenkaan suppene. Sarja hajaantuu..4 Geometrinen sarja. Sarjaa x k sanotaan geometriseksi sarjaksi, mikäli sillä on se ominaisuus, että peräkkäisten termien suhde x k+ x k ei riipu indeksistä k. Voidaan näyttää, että sarja on silloin muotoa a + ax + ax 2 + ax 3 +..., (8) missä reaaliluku x on nimeltään sarjan suhdeluku. Lause.0. Olkoon a 0 geometriselle sarjalle (8). Sarja suppenee, kun x <, ja tällöin sen summa on Sarja hajaantuu, kun x. ax k = k=0 a x. (9) Todistus. Induktiolla näytetään helposti, että geometrisen sarjan n:s osasumma on S n = a xn x,
kun x. Näin ollen jono (S n ) n= suppenee raja arvoon a, mikäli x <. x Jos x >, jono (x n ) n= hajaantuu, ja samoin myös jono (S n ) n= hajaantuu (lauseet.3. ja.4.). Tapauksessa x = sarja on muotoa a + a + a +... ja tapauksessa x = muotoa a a+a a+...; nämä molemmat hajaantuvat, vrt. esimerkit edellä. Esimerkkejä. Sarjalle n= 3 ( ) n 2 pätee a = ja suhdeluku x = /2. Sarja suppenee ja summa on 3/( /2) = 6. Sarjalle 2 + 4 8 + 6 +... samoin a =, r = /2 ja summa on 2/3. Jos sarja on annettu muodossa se kirjoitetaan muodossa k=0 ( 3) k, 5 3 ( 3) k, 5 5 mistä nähdään, että a = 3/5 = x ja summa on 3 5 3/5 = 3 2. Sarja π 2 + π2 4 + π3 8 + π4 6 +... hajaantuu, koska suhdeluku on ykköstä suurempi. Esimerkki. Pomppiva pallo. Oppikirja, sivu 63. Esimerkki. Lausu päättymätön jaksollinen desimaaliluku 7.353535... =: 7.35 kahden kokonaisluvun osamääränä. 2
Ratkaisu. Kirjoitetaan geometrisen sarjan summakaavan avulla 7.353535... = 7 + 35 00 + 35 00 + 35 2 00 +... (0) 3 = 7 + 35 ( + 00 00 + ( ) 2 ) +... 00 = 7 + 35 00 ( 99.5 Perustuloksia suppenemisesta. Lause.. Suppenevalle sarjalle ) = 7 + 35 99 = 728 99. () x k pätee aina lim k x k = 0. Todistus. Koska x k = S k S k ja lim k S k = lim k S k, saadaan lim k x k = 0. Esimerkki. Osoitetaan, että sarja n= n 0 n + 8 ei suppene. Jos se suppenisi, lauseen.. mukaan pätisi mikä on silkkaa pötyä. Lause.2. Olkoon p N. Sarja k=p+ n 0 lim n n + 8 = 0, x k = x p+ + x p+2 + x p+3 +... suppenee, jos ja vain jos x k suppenee. Jos suppeneminen todella tapahtuu, pätee p x k = x k x k. k=p+ Todistus sivuutetaan. Jos sarja x k suppenee ja n N, niin k=n+ x k on sarjan n:s jäännöstermi, ja sitä merkitään symbolilla R n. Esimerkiksi geometrisen sarjan + x + x 2 +..., x <, jäännöstermi on R n = x xn x = xn x. 3
Annetun sarjan termejä ryhmittelemällä voidaan muodostaa uusia sarjoja. Uusien sarjojen suppenemisominaisuudet eivät välttämättä ole samat kuin alkuperäisen sarjan. Olkoon sarja x k annettu, ja olkoon (k n ) n= aidosti kasvava jono luonnollisia lukuja (määritellään k 0 = 0 ). Muodostetaan uusi sarja siten, että sen n:s termi on y n := x kn + +... + x kn, (2) siis y := x + x 2 +... x k, y 2 := x k + +... x k2, jne. Lause.3. Jos sarja x k suppenee ja sen summa on a, niin myös sarja y n, n= missä y n on määritelty kaavalla (2), suppenee, ja sen summa on a. Väite seuraa siitä, että uuden sarjan n= y n osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jonon osajono. Koska jälkimmäinen suppenee, suppenee myös edellinen, lause.2. Esimerkki. Lauseen.3. käänteinen väite ei tietenkään päde. Olkoon x k = 4( ) k, eli joka toinen sarjan x k termi on 4, joka toinen 4. Sarja ei suppene. Valitaan yllä k n := 2n kaikilla n; silloin y = 4 + 4 = 0, y 2 = 4 + 4 = 0, ja samoin kaikki muutkin termit sarjassa y n ovat nollia; tämä sarja suppenee. Käänteinen väite pätee, jos tehdään lisäoletus. Lause.4. Oletetaan, että on annettu jono (x k ), jolle lim k x k = 0 ja että sarja (x + x 2 ) + (x 3 + x 4 ) + (x 5 + x 6 ) +... (3) suppenee ja sen summa on a. Silloin myös x k suppenee, ja summa on a. Todistuksen idea. Sarjan (3) suppenemisesta seuraa, että sarjan x k osasummien jonon (S n ) n= osajono (S 2n ) n= suppenee raja arvoon a. Edelleen, 4
S 2n+ = S 2n + x 2n+, missä lim x 2n+ = 0. Tästä seuraa, että lim S 2n+ = n n a. Tämän avulla voidaan näytää, että n lim S n = a, vrt. jonon raja arvon määritelmä. Lause.5. Oletetaan, että sarjat x k ja y k suppenevat, summina a ja b; olkoon r R. Tällöin sarjat (x k + y k ) ja rx k suppenevat, ja niiden summat ovat a + b sekä ra, vastaavasti. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki. Tutki, millä x:n arvoilla suppenee sarja n=0 (( x) n ( ) n ) + 4 4x (4) 5