/V Integraalimuunnokset Metropolia/. Koivumäki Kotitehtävät -6: Vastauksia. Merkitse kompleksitasoon näiden kompleksilukujen sijainti: a = 3 j b = 3 35 (3 kulmassa 35 ) jπ / c = d = 3 e j 9.448 e cos( π / 4) + j sin( π / 4 e = ) 4 e.5 f = Merkitse jokaisen tasoon piirtämäsi vastauspisteen viereen a.o. luvun symboli (a - f). Ratkaisu: a = 3 j b = 3 35 = 3 cos( 35 ) + j3 sin( 35 ) =. j. jπ / c = 3 e = 3 π/ = 3 9 = j3 j 9.448 d = e = 3π = π = j e = cos( π / 4) + j sin( π / 4) =.44 j.77.5 f = 4 e = 4.665 =.46. a) Missä sijaitsevat kompleksitasossa ne kompleksiluvut, joiden kulma on 9? b) Missä sijaitsevat kompleksitasossa ne kompleksiluvut, joiden kulma on π? c) Missä sijaitsevat kompleksitasossa ne kompleksiluvut, joiden itseisarvo on? Ratkaisu: a) Positiivisella imaginääriakselilla. b) Negatiivisella reaaliakselilla. c) Ympyrällä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde =. 3. On ajan funktio v jπ f t ( t) = e, missä f = vakio. Määritellään f =. a) Missä kohdassa kompleksitasoa funktion v arvo sijaitsee näillä ajanhetkillä: t =, t = /4, t = /, t = 3/4, t =, t = 3/, t =, t = 3 (Merkkaa kaikki samaan kuvaan ja jokaisen viereen vastaava ajanhetken arvo.) b) Kun aika t kasvaa (kuten ajalla on taipumus tehdä), niin miten v(t):n arvo käyttäytyy kompleksitasossa?
t Ratkaisu: v(t):n itseisarvo on aina, sen kulma = πft = π. Siis kulma eri ajanhetkillä on: t: /4 / 3/4 3/ 3 Kulma: π/ π 3π/ π 3π 4π 6π Im 3 t=/4 t=/, t = 3/ t=, t=, t=, t=3-3 - - 3 Re - t=3/4 - -3 t b) Kuten tuli jo todettua, v(t):n itseisarvo on aina, sen kulma = πft = π. Siis kulma kasvaa π:n verran, kun t kasvaa :n verran. Eli v(t):tä vastaava piste pyörii kompleksitasossa -säteisen ympyrän kehää pitkin aina yhden kierroksen ajassa. Sekunnissa kierroksia tulee siis / = f kpl. 4. Piirrä sahanteräaallon a) aaltomuodon kuvaaja. Kuvassa pitää näkyä vähintään kolme jaksoa. b) yksipuolisen (siis reaaliseen Fourier-sarjaan perustuvan) amplitudispektrin kuvaaja, pystyakselilla jänniteasteikko. Kuvassa pitää näkyä vähintään kahdeksan harmonista taajuutta. c) yksipuolisen amplitudispektrin kuvaaja, pystyakselilla db-asteikko (suurin arvo db). Kuvassa pitää näkyä vähintään kahdeksan harmonista taajuutta.sahanteräaallon amplitudi on, jaksonpituus ; näiden lukuarvot saat tuosta alapuolelta taulukosta. Ratkaisu: a) Jos lähtötiedoiksi on annettu esim. = 7 ja = 5.38 ms, niin tehtävässä annettujen ohjeiden mukaan piirretty aaltomuodon kuvaaja on tällainen: v(t)/v 5 - - 3 4 t/ms -5 - b) ja c) Sahanteräaallon reaalisen Fourier-sarjan kertoimien lausekkeet:
n = nπ ϕ = 9 n Siis suhteutettuna amplitudiin on sahanteräaallon n:nnen harmonisen taajuuden amplitudi arvot on taulukoitu alla sekä jännitearvoina ja desibeleinä :nteen harmoniseen asti: n n / db.6366..383-6. 3.7-9.54 4.5955 -.4 5.734-3.98 6.63-5.56 7.9946-6.9 8.79577-8.6 9.7736-9.8.6366 -. n = nπ. Nämä Jännitearvoiksi on siis taulukkoon laskettu n /. Se, mitkä n :n lukuarvot sitten ovat, riippuu tietysti annetusta :n arvosta. Esim. jos = 7, niin n :n lukuarvoiksi tulee 4.4563,.8,.4854 jne. Desibelisarakkeen lukuarvot eivät riipu :n arvosta, koska ne ovat desibeleinä suhteessa maksimiarvoon, joka on. Desibeliarvohan saadaan näin: / ( ) log db log db = log db / n nπ n db = = π n Käytetään esimerkkivastauksessa a)-kohdassakin käytettyjä esimerkkiarvoja = 7 ja = 5.38 ms. Ensin pitää laskea perustaajuus: f = = 65 Hz. ällöin kahdeksan alinta harmonista taajuutta (n:n arvot - 8) ovat 65, 3, 95, 6, 35, 39, 455 ja 5 Hz. Näiden taajuuksien kohdalle amplitudispektrin kuvaajiin tulee spektripiikit. b) Kahdeksan alimman harmonisen taajuuden jännitearvot voltteina saadaan kertomalla ylläolevan taulukon n / -sarakkeessa olevat arvot :n arvolla eli 7:llä. mplitudispektri ( alinta harmonista) näyttää tältä: mpl./v 5 6 5... f/hz Koordinaatiston piirtämisohje, jonka mukaan b)-kohdassa käytetään samaa pystyakselin skaalausta kuin a)- kohdassa, ei ollut ihan järkevä, koska nyt suurin esiintyvä jännitearvo on 4.46 V, jolloin olisi järkevää, että y- akselin maksimiarvo olisi 5 V. Vaaka-akselin asteikon skaalausohjeessa pyydettiin laittamaan "merkittyihin kohtiin lukemaksi järkevät kokonaisluvut". Yksi järkevä tapa on laittaa niihin 4. harmonisen ja 8. harmonisen taajuudet, jolloin vaaditut kahdeksan spektriviivaa asettuvat vaaka-akselin valmiiksi merkittyihin kohtiin. Näin on tehty nyt.
c) Desibeliarvot saadaan suoraan ylläolevasta taulukosta. mplitudispektri desibeleinä: -5 - -5 - mpl./db 6 5... f/hz 5. Suorakulmaisista pulsseista koostuvan pulssijonon jaksonpituus on ms ja pulssisuhde on p % (jolloin siis p pulssin kesto on τ = ms). Jos pulssijonon spektrissä asetetaan perustaajuuden amplitudin arvoksi db, niin montako db on a) f Hz -taajuisen komponentin amplitudi b) f Hz -taajuisen komponentin amplitudi? (Lähtötiedot näkyvissä ratkaisun lopussa olevassa taulukossa.) Ratkaisu: ehtävässä oli annettu: p Pulssijonon (pulssisuhde = k = ) reaalisen Fourier sarjan amplitudit ja vaiheet saadaan näin: n = k = sin nπ ( nkπ ) n jos sin( nkπ ) ϕn = 8 jos sin( nkπ ) < Joten n:nnen harmonisen amplitudi n desibeleinä suhteessa perustaajuisen komponentin amplitudiin on sin( nkπ ) sin( ) log n db = log nπ nkπ db = log db sin( ) kπ nsin( kπ ) π uosta sitten vastaukset eri lukuarvoilla. t + 6. + t + t v ( t) = Π Π Π, τ τ τ a) Piirrä signaalin v(t) kuvaaja ajan funktiona, kun lukuarvot ovat =, = ms, τ = 6 ms, τ =4 ms. b) Määritä signaalin v(t) Fourier-muunnoksen V(f) yhtälö. (ässä ei lukuarvoja tarvitse sijoittaa.) a) Kolmesta suorakulmaisesta pulssista koostuva signaali näyttää tältä:
v(t) 4 t/ms -5 - -5 5 5 - b) V τ jπf ( fτ) e + τ sinc( fτ ) + τ sinc( fτ) ( πf ) + τ sinc( fτ ) j πf ( f ) = sinc e = τ cos 7. Kirjoita Matlab-ohjelma, joka piirtää samaan kuvaan allekkain nämä neljä kuvaajaa: Kolmioaallon aaltomuoto Sahanteräaallon aaltomuoto Kolmioaallon amplitudispektri desibeleinä Sahanteräaallon amplitudispektri desibeleinä Esim. tällainen koodi tekee halutun asian: % Kotitehtävä 7: Kolmioaalto ja sahanteräaalto Fs = ; % Näytteiden määrä sekunnissa dt = /Fs; % Näytteiden väli = ; % Signaalin kesto N = *Fs + ; % Näytteiden määrä t = :dt:; % ika-arvot taulukkoon t % Generoidaan aallot: = ; % mplitudi =.5; % Jaksonpituus f = /; % Perustaajuus v = *sawtooth(t**pi/,.5); % Generoi v-taulukkoon kolmioaallon y = *sawtooth(t**pi/); % Generoi y-taulukkoon sahanteräaallon % Lasketaan kolmioaallon Fourier-muunnos: V = fft(v); df = /; % aajuusväli V-taulukossa f = :df:fs/; % aajuusakselin arvot Nf = length(f); % aajuuksien määrä Vpos = V(:Nf)/Nf; % Positiivisten taajuksien spektriarvot % Lasketaan sahanteräaallon Fourier-muunnos: Y = fft(y); df = /; % aajuusväli V-taulukossa f = :df:fs/; % aajuusakselin arvot Nf = length(f); % aajuuksien määrä Ypos = Y(:Nf)/Nf; % Positiivisten taajuksien spektriarvot % subplot-komennolla voidaan plotata monta kuvaajaa samaan kuvaan. % subplot(a,b,c):ssä kuvaajat tulostuvat taulukkomuotoiseen % rakenteeseen, jossa on a riviä ja b saraketta. c määrittää kuvaajan % paikan tuossa taulukossa. Pitää olla c <= ab. subplot(4,,); % Ylimpään kuvaan kolmioaalto plot(t,v); set (gca, 'XLim', [ 5*]); set (gca, 'YLim', [-- +]); title('ntti Koivumäki,, amplitudi =, jakso = ms'); subplot(4,,); % oiseen kuvaan sahanteräaalto plot(t,y); set (gca, 'XLim', [ 5*]); set (gca, 'YLim', [-- +]); subplot(4,,3); % Kolmanteen kuvaan kolmioaallon amplitudispektri db:nä
plot(f,*log(abs(vpos)/max(abs(vpos)))); % Edellisessä komennossa jaetaan amplitudiarvot maksimiamplitudilla, % jotta suurin db-arvo olisi db. f = ; f = 5*f; set(gca, 'XLim', [f f]); % Näytetään spektri taajuuksilla... Hz set(gca, 'YLim', [-6 ]); % Sopiva pystyakselin asteikko subplot(4,,4); % limpaan kuvaan sahanteräaallon amplitudispektri db:nä plot(f,*log(abs(ypos)/max(abs(ypos)))); % Edellisessä komennossa jaetaan amplitudiarvot maksimiamplitudilla, % jotta suurin db-arvo olisi db. f = ; f = 5*f; set(gca, 'XLim', [f f]); % Näytetään spektri taajuuksilla... Hz set(gca, 'YLim', [-6 ]); % Sopiva pystyakselin asteikko 8. lla on virtapiiri, jossa on tasajännitelähde (jännite = E), kela (induktanssi = L) ja kondensaattori (kapasitanssi = C). kytkin L E C i(t) a) Kytkin suljetaan hetkellä t =. Mikä on piiriin syntyvän virran i(t) Laplace-muunnoksen I(s) lauseke? b) Muokkaa saamaasi I(s):n lauseketta niin, että se on muotoa ( ) =. Mikä tulee I:n lausekkeeksi? Mikä tulee a:n lausekkeeksi? sin( bt) b + b c) ässä tosiasia: [ ] Vastaus: a) Piirin Laplace-muunnettu vastine: Ls s I s I s a + a =. Mitä voit tämän tosisasian perusteella kertoa piirin virrasta i(t)? V(s) Cs I(s) E Jännite v(t) on hetkellä tapahtuva E:n korkuinen askelfunktio, joten V ( s) =. s V ( s) E / s E Virran L-muunnoksen lauseke: I ( s) = = =. Ls + Ls + Ls + Cs Cs C Jatketaan lausekkeen muokkaamista b-kohdassa. E E E C b) I ( s) = = = LC LC = E LC Ls + L s + L L C LC s + s + LC LC
a Näin I(s):n lauseke vääntyi väkisin haluttuun muotoon I ( s) = I. s + a C odetaan, että I = E ja a =. L LC c) b-kohdan lauseke on siis Laplace-muunnos ajan funktiolle C C i( t) = E sin t = E sin π t. L LC L π LC ämä tarkoittaa sitä, että piirissä olevan kytkimen sulkeminen synnyttää piiriin sininuotoisen virran, jonka taajuus on =. ällaista laitetta kutsutaan oskillaattoriksi. Oskillaattoreita tarvitaan melkein kaikissa π LC maailman tietoliikennelaitteissa, ja monissa muissakin elektroniikan sovelluksissa. Käytännössä oskillaattorissa pitää olla lisäksi transistori tai muu aktiivinen laite, koska resistiivisten häviöiden takia värähtely muuten vaimenee melko nopeasti pois. 9. a) Mitä tarkoittaa "duaalisuus" Fourier-muunnoksista puhuttaessa? (Vastaus löytyy kurssin materiaaleista.) b) Määritä alla olevan sinc-muotoisen aaltomuodon (joka on alkanut hetkellä ja jatkuu + :ään asti) spektrin yhtälö ja piirrä spektrin kuvaaja. v(t) t ms a) Kurssin teoriatekstin luvusta.6: Duaalisuus: Jos aaltomuodon v(t) spektri on V(f), niin silloin aaltomuodon V(t) spektri on v(-f). b) Lisää lainausta teoriatekstistä: Esimerkki.. Määritetään oheisen sinc-muotoisen pulssin spektri. Ratkaisu. Kuvan signaalin yhtälö on v( t) = C sinc( t ) Voidaan käyttää hyväksi aiemmin kerrottua Fouriermuunnoksen duaalisuusominaisuutta. iedetään, että t Π τ sinc( fτ ), τ joten soveltamalla suoraan duaalisuusperiaatetta, saadaan -5-4 -3 - - 3 4 5 t
f τ sinc( tτ ) Π τ Nyt sinc-pulssissa on τ:n sijaan C ja τ:n sijaan / (jolloin myös voidaan kirjoittaa = C). Lisäksi koska suorakulmaista pulssia kuvaava Π-funktio on parillisesti symmetrinen, voidaan oikean puolen miinusmerkki jättää pois. Näin saadaan sinc-pulssin spektri: f C sinc( t ) CΠ. / V(f) Sinc-pulssin spektrin taajuuskaista on siis tarkasti rajattu. Jos pulssin pääkeilan kesto on, niin sen kaksipuolisen spektrin leveys on /. Kuitenkin puhuttaessa signaalin kaistanleveydestä tarkoitetaan C positiivisella taajuusakselilla olevan spektrin osan leveyttä, joten nyt sinc-pulssin kaistanleveys on /. f Nyt kotitehtävässä 9 on C:n paikalla ja :n arvo = ms. Silloin V(f):n leveys on khz. -/. Signaali v(t) koostuu neljästä impulssista: v( t) = δ ( t + 4 ms) + δ ( t + ms) + δ ( t ms) δ ( t 4 ms). a) Piirrä signaalin v(t) kuvaaja. b) Määritä signaalin Fourier-muunnoksen V(f) (eli spektrin) yhtälö. / a) v(t) -4-4 t/ms - - b) V ( f ) = e jπf ( 4 ms) = j4 sin + e j πf ( ms) + e j πf ms ( πf 4 ms) + cos( πf ms) e j πf 4 ms = j πf 4 ms jπf 4 ms jπf ms jπf ms ( e e ) + ( e + e )