Pro gradu -tutkielma JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA SCHÖNFLIESIN LAUSE. Lotta Oinonen

Pro gradu -tutkielma JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA SCHÖNFLIESIN LAUSE Lotta Oinonen 2006 Ohjaaja ja tarkastaja: FT Erik Elfving Toinen tarkastaja: prof. Sören Illman HELSINGIN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS PL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta Osasto Fakultet Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä Författare Author Lotta Oinonen Työn nimi Arbetets titel Title Jordanin käyrälause ja Schöniesin lause Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu Toukokuu 2006 81 s. Tiivistelmä Referat Abstract Tutkielmassa esitetään kaksi todistusta Jordanin käyrälauseelle sekä todistetaan Schöniesin lause. Jordanin käyrä on ympyrän S 1 kanssa homeomornen topologinen avaruus. Jordanin käyrälauseen mukaan avaruudella R 2 \ J on täsmälleen kaksi komponenttia, jos J R 2 on Jordanin käyrä. Toinen komponenteista on rajoittamaton ja toinen rajoitettu, ja Jordanin käyrä J on kummankin komponentin reuna. Schöniesin lauseen mukaan jokainen upotus f : S 1 R 2 voidaan jatkaa homeomorsmiksi h: R 2 R 2, jolla h S 1 = f. Jordanin käyrälause todistetaan aluksi tason monikulmioiden tapauksessa. Todistuksen ideana on tarkastella monikulmion ja x-akselin suuntaisten suorien leikkauspisteiden lukumäärää. Sen jälkeen osoitetaan, että avaruus R 2 \A on yhtenäinen, jos A R 2 on kaari. Tätä tulosta kutsutaan tutkielmassa Jordanin kaarilauseeksi. Näiden tulosten avulla muotoillaan ensimmäinen Jordanin käyrälauseen todistus, jossa ideana on sulkea Jordanin käyrä tietynlaisen kuusikulmion sisään. Jordanin käyrälauseen toista todistusta varten tarkastellaan kuvausten nostojen olemassaoloa. Osoitetaan, että jatkuvalla kuvauksella f : X S 1 on p-nosto f : X R jos ja vain jos kuvaus f on nollahomotooppinen. Tässä X on topologinen avaruus ja p: R S 1 on peitekuvaus. Tarkastellaan myös kuvausten jatkeiden olemassaoloa ja osoitetaan, että nollahomotooppisella jatkuvalla kuvauksella f : A S 1 on nollahomotooppinen jatkuva jatke h: X S 1, jos X on T 4 -avaruus ja A X suljettu osajoukko. Todistetaan lisäksi Eilenbergin kriteeri, joka tarkastelee avaruuden C kompaktia osajoukkoa K ja pisteitä a, b C \ K. Sen mukaan pisteet a ja b kuuluvat joukon C \ K samaan polkukomponenttiin jos ja vain jos kuvaus f : K S 1, f(z) = N ( ) z a z b, on nollahomotooppinen. Tämän avulla saadaan todistettua Jordanin kaarilauseen kaltainen tulos sekä Jordanin käyrälause. Schöniesin lause todistetaan ensin tason monikulmioiden tapauksessa. Keskeisinä työvälineinä ovat 2-ulotteisen simpleksin sekä kompleksin käsitteet. Tämän jälkeen osoitetaan, että joukon R 2 \ J rajoitetun komponentin sulkeuma X 1 on 2-solu eli homeomornen 2- simpleksin kanssa. Osoitetaan myös, että jokainen 2-solujen reunojen välinen homeomor- smi voidaan jatkaa 2-solujen väliseksi homeomorsmiksi. Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä jokaiselle homeomorsmille f : S 1 J homeomornen jatke h: R 2 R 2. Avainsanat Nyckelord Keywords Jordanin käyrälause, Schöniesin lause Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto, Gustaf Hällstömin katu 2, PL 68 00014 Helsingin yliopisto Muita tietoja Övrigauppgifter Additional information

Sisältö 1. Johdanto 1 2. Jordanin käyrälause tason monikulmioille 2 3. Jordanin kaarilause 13 4. Jordanin käyrälause: todistus I 25 5. Kuvausten nostojen olemassaolosta 29 6. Kuvausten jatkeista 37 7. Polkukomponenteista 39 8. Jordanin käyrälause: todistus II 43 9. Schöniesin lause monikulmioille 48 10. Schöniesin lause 61 11. Viitteet 81

1. Johdanto Tässä tutkielmassa esitetään kaksi erilaista todistusta Jordanin käyrälauseelle sekä todistetaan Schöniesin lause. Jordanin käyrä on ympyrän S 1 = {x R 2 : x = 1} kanssa homeomornen topologinen avaruus. Jordanin käyrälauseen mukaan avaruudella R 2 \ J on täsmälleen kaksi komponenttia, jos J R 2 on Jordanin käyrä. Toinen näistä komponenteista on rajoittamaton ja toinen rajoitettu, ja Jordanin käyrä J on kummankin komponentin reuna. Jordanin käyrälauseen esitti ensimmäisenä ranskalainen Camille Jordan (1838-1922) kirjassaan Cours d'analyze de l'école Polythechnique vuonna 1887. Tulosta oli pitkään pidetty niin ilmeisenä, ettei kukaan ollut vaivautunut yrittämään sen todistamista. Jordanin esittämä todistus oli kuitenkin virheellinen, ja ensimmäisen virheettömän todistuksen esitti yhdysvaltalainen Oswald Veblen vuonna 1905. Tämän jälkeen heräsi kysymys, ovatko avaruuden R 2 \ J komponentit homeomorsia avaruuden R 2 \ S 1 komponenttien kanssa. Vuonna 1906 saksalainen Arthur Schönies (1853-1928) osoitti, että tämä pitää paikkansa. Schöniesin lauseen mukaan jokainen upotus f : S 1 R 2 voidaan jatkaa homeomorsmiksi h: R 2 R 2, jolla siis h S 1 = f. Schöniesin esittämässä todistuksessa oli joitain virheitä, jotka hollantilainen Luitzen Brouwer korjasi esittäessään ensimmäisen virheettömän todistuksen vuonna 1909. Brouwer ryhtyi myös pohtimaan, yleistyisikö Schöniesin lause korkeampiin ulottuvuuksiin. Vuonna 1912 hän osoitti, että avaruudella R n \ fs n 1 on kaksi komponenttia, jos f : S n 1 R n on upotus. Brouwer ei kuitenkaan pystynyt osoittamaan, että avaruuden R 3 \ fs 2 komponentit olisivat homeomor- sia avaruuden R 3 \ S 2 komponenttien kanssa aina, kun f : S 2 R 3 on upotus. Vuonna 1921 yhdysvaltalainen James Waddell Alexander ilmoitti todistaneensa tämän Schöniesin lauseen yleistyksen. Ennen artikkelinsa julkaisua hän kuitenkin löysi todistuksestaan virheen, ja vuonna 1924 hän esitti vastaesimerkin (Alexander's horned sphere), joka todisti, ettei Schöniesin lause yleisty kolmiulotteiseen avaruuteen. Tässä tutkielmassa esitettävistä Jordanin käyrälauseen todistuksista ensimmäinen pohjautuu Lawsonin [2] ja Moisen [3] esittämiin todistuksiin. Alkuperäinen tarkoitus oli käyttää tämän todistuksen pohjana Kosniowskin [1] esittämää todistusta. Lähempi tarkastelu kuitenkin osoitti, että sen esittäminen täsmällisesti johti kohtuuttoman monimutkaisiin tarkasteluihin, joten suunnitelmaa muutettiin. Nyt esitettävä todistus I jakaantuu kolmeen osaan: aluksi todistetaan Jordanin käyrälause tason monikulmioiden tapauksessa, sen jälkeen todistetaan Jordanin kaarilause ja lopuksi tämän avulla itse Jordanin käyrälause. Jordanin kaarilauseella tarkoitetaan tässä tulosta, jonka mukaan avaruus R 2 \ A on yhtenäinen, jos A R 2 on kaari. Jordanin käyrälauseen ensimmäisen todistuksen seuraamiseen riittävät Topologia I -kurssia vastaavat esitiedot. 1

Jordanin käyrälauseen todistus II pohjautuu Wallin [5] esittämään todistukseen. Se on lähestymistavaltaan teoreettisempi: aluksi tarkastellaan kuvausten nostojen ja jatkeiden olemassaoloa sekä todistetaan ns. Eilenbergin kriteeri. Sen seurauksena saadaan Jordanin kaarilausetta vastaava tulos. Varsinainen Jordanin käyrälauseen todistus jakaantuu tässäkin todistuksessa kahteen osaan: aluksi tarkastellaan erikoistapausta, jossa Jordanin käyrä sisältää janan, ja vasta sen jälkeen todistetaan varsinainen Jordanin käyrälause. Todistuksen seuraamista helpottavat Topologia II -kurssia vastaavat esitiedot. Schöniesin lauseen todistus pohjautuu Moisen [3] esittämään todistukseen ja vastaa siten lähestymistavaltaan enemmän Jordanin käyrälauseen ensimmäistä todistusta. Myös Schöniesin lause todistetaan aluksi tason monikulmioiden tapauksessa. Keskeisinä työvälineinä ovat 2-ulotteisen simpleksin sekä kompleksin käsitteet. Yleisen tapauksen todistusta varten osoitetaan, että joukon R 2 \ J rajoitetun komponentin sulkeuma on homeomornen 2-simpleksin kanssa. Tämänkin todistuksen seuraamiseen riittänevät Topologia I -kurssia vastaavat esitiedot. Tämä johdantoluku pohjautuu osittain lähteisiin [8] ja [9]. 2. Jordanin käyrälause tason monikulmioille Tässä luvussa määritellään aluksi käsitteet Jordanin käyrä ja monikulmio. Sen jälkeen osoitetaan, että jokainen tason R 2 monikulmio on Jordanin käyrä. Lopuksi todistetaan Jordanin käyrälause tason monikulmioille: jos J R 2 on monikulmio, niin avaruudella R 2 \ J on täsmälleen kaksi komponenttia, joista toinen on rajoitettu ja toinen rajoittamaton, ja monikulmio J on niiden kummankin reuna. Lähteenä on käytetty kirjaa [2]. Määritelmä 2.1. Topologinen avaruus J on Jordanin käyrä, jos se on homeomornen ympyrän S 1 kanssa. Tasossa R 2 Jordanin käyrä J määritellään upotuksen f : S 1 R 2 avulla. Jordanin käyrä J R 2 on tällaisen upotuksen kuvajoukko fs 1, joka on siis homeomornen ympyrän S 1 kanssa. Seuraavaan lauseeseen on koottu joitain Jordanin käyrien ominaisuuksia: Lause 2.2. Jordanin käyrä J R 2 on kompakti, suljettu ja rajoitettu. Sen komplementti R 2 \ J on avoin. Todistus: Olkoon f : S 1 R 2 upotus, jolla J = fs 1. Kuvaus f on jatkuva ja ympyrä S 1 on kompakti, joten Jordanin käyrä J on kompakti. Tason R 2 kompaktina osajoukkona se on suljettu ja rajoitettu, ja sen komplementti R 2 \ J on avoin. Avaruuden R 2 \ J komponenteista tiedetään heti seuraavaa: 2

Lause 2.3. Olkoon J R 2 Jordanin käyrä. Tällöin avaruuden R 2 \ J komponentit ovat avoimia ja murtoviivayhtenäisiä. Todistus: Lauseen 2.2 mukaan joukko R 2 \ J on avoin avaruudessa R 2. Kirjassa [6] on osoitettu, että normiavaruuden avoimen joukon komponentit ovat avoimia (Lause 14.36) ja että jokainen normiavaruuden avoin ja yhtenäinen joukko on murtoviivayhtenäinen (Lause 14.30). Joukon R 2 \ J komponentit ovat siis avoimia. Yhtenäisinä ja avoimina normiavaruuden R 2 joukkoina ne ovat murtoviivayhtenäisiä. Määritelmä 2.4. Monikulmio J R 2 on yhdiste äärellisen monesta janasta L 0 = [v 0, v 1 ], L 1 = [v 1, v 2 ],..., L n 1 = [v n 1, v 0 ] (n 3), jotka toteuttavat seuraavat ehdot: (1) peräkkäiset janat L i ja L i+1 ovat erisuuntaiset jokaisella i Z n (2) peräkkäiset janat L i ja L i+1 leikkaavat toisensa vain yhteisessä päätepisteessään v i+1 jokaisella i Z n (3) jos janoilla L i ja L j ei ole yhteistä päätepistettä eli i j i±1, niin L i L j =. Janat L i ovat monikulmion sivut ja niiden päätepisteet v i ovat monikulmion kärjet. Lemma 2.5. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia ja olkoon A X. Olkoon f : X Y homeomorsmi. Tällöin rajoittuman f A määrittelemä kuvaus f 1 : A fa on homeomorsmi. Todistus: Rajoittuman f A määrittelemä kuvaus f 1 : A fa on jatkuva bijektio. Sen käänteiskuvaus f1 1 : fa A on rajoittuman f 1 fa määrittelemä, joten myös se on jatkuva. Osoitetaan seuraavaksi, että tason monikulmiot ovat Jordanin käyriä. Näin on mielekästä osoittaa Jordanin käyrälause aluksi monikulmioiden tapauksessa. Lause 2.6. Jokainen monikulmio J R 2 on Jordanin käyrä. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Osoitetaan, että on olemassa homeomorsmi h: S 1 J, mikä todistaa väitteen. Olkoot L 0 = [(1, 0), (0, 1)], L 1 = [(0, 1), ( 1, 0)], L 2 = [( 1, 0), (0, 1)] ja L 3 = [(0, 1), (1, 0)]. Olkoon J = 3 i=0l i R 2 nelikulmio, jonka kärkipisteet ovat siis (1, 0), (0, 1), ( 1, 0) ja (0, 1). Osoitetaan aluksi, että on olemassa homeomorsmi h 1 : S 1 J : Määritellään kuvaus f : R 2 R 2 asettamalla { (x, y2 + 2 x y), jos y 0 f(x, y) = (x, y 2 2 x y), jos y 0. Määritellään kuvaus g : R 2 R 2 asettamalla { (x, x2 + y g(x, y) = 2 x ), jos y 0 (x, x 2 + y 2 + x ), jos y 0. 3

Kuvaus f on jatkuva, sillä se on lausekkeensa perusteella jatkuva suljetuissa puolitasoissa, samoin kuvaus g. Laskemalla voidaan tarkistaa, että f(g(x, y)) = (x, y) = g(f(x, y)) olipa y 0 tai y 0. Näin g = f 1 eli kuvaus f : R 2 R 2 on homeomorsmi ja g on sen käänteiskuvaus. Osoitetaan vielä, että fj = S 1 : Olkoon (x, y) J. Oletetaan, että y 0 ja x 0. Tällöin y = x + 1. Kuvapisteen f(x, y) etäisyys origosta on f(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy = x + y = x + y = x + ( x + 1) = 1. Näin f(x, y) S 1. Vastaavasti voidaan tarkistaa loput kolme tapausta. Olkoon sitten (x, y) R 2 \J. Oletetaan, että y 0 ja x 0. Tällöin y x+1, joten f(x, y) = x+y 1. Näin f(x, y) / S 1. Loput kolme tapausta voidaan jälleen tarkistaa vastaavasti. Siis f(x, y) S 1 jos ja vain jos (x, y) J, joten fj = S 1. Olkoon h 1 : S 1 f 1 S 1 = J homeomorsmin f 1 rajoittuman määrittelemä kuvaus. Lemman 2.5 nojalla kuvaus h 1 on homeomorsmi. Janat L 0 ja L 1 voidaan kuvata homeomorsesti janoiksi L 0 ja L 1, ja murtoviiva L 2 L 3 voidaan kuvata homeomorsesti murtoviivaksi (tai janaksi) n 1 i=2 L i (n 3). Näin on olemassa homeomorsmi h 2 : J J. Etsitty homeomorsmi on yhdistetty kuvaus h = h 2 h 1 : S 1 J. Tässä luvussa oletetaan tästä lähtien, että tarkasteltavan monikulmion mikään sivu ei ole x-akselin suuntainen. Tämä oletus voidaan tehdä, koska monikulmion sivuja on äärellinen määrä, ja näin x-akselin suunta voidaan valita kaikkien sivujen suunnista poikkeavaksi. Jokaisen monikulmion J R 2 kärjet v i voidaan jakaa normaaleihin kärkiin ja erikoiskärkiin. Erikoiskärkiä ovat ne kärjet, joissa monikulmion pisteiden y-koordinaatti saa lokaalin ääriarvon. Muut kärjet ovat normaaleja kärkiä. Erikoiskärjistä maksimikärkiä ovat ne kärjet, joissa monikulmion pisteiden y-koordinaatti saa lokaalin maksimiarvon, ja minimikärkiä vastaavasti ne kärjet, joissa monikulmion pisteiden y- koordinaatti saa lokaalin minimiarvon. Kuvassa 1 maksimikärkiä ovat kärjet v 1, v 3 ja v 6, ja minimikärkiä kärjet v 2, v 5 ja v 7. Muut kärjet ovat normaaleja kärkiä. Seuraavassa lemmassa tarkastellaan x-akselin suuntaisten suorien ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärää. Tämän kautta pystytään Lauseessa 2.8 osoittamaan, että avaruudella R 2 \ J on ainakin kaksi komponenttia. Lemma 2.7. Olkoon J R 2 monikulmio. Jokaisen x-akselin suuntaisen suoran ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on parillinen. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Tarkastellaan x-akselin suuntaista suoraa korkeudella y. Olkoon sen ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta k(y). Määritellään 4

funktio h: R {0, 1} asettamalla { 0, jos k(y) 0 (mod 2) h(y) = 1, jos k(y) 1 (mod 2). Olkoon y 0 R. Olkoon suoran y = y 0 ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärä m 1 + m 2 + k(y 0 ), missä m 1 on maksimikärkien lukumäärä ja m 2 on minimikärkien lukumäärä. Leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on siis k(y 0 ). Osoitetaan, että funktio h on jatkuva pisteessä y 0. On siis löydettävä sellainen positiivinen luku δ, että kun y ]y 0 δ, y 0 + δ[, niin h(y) = h(y 0 ). Olkoon E = {v i : pr 2 (v i ) y 0 }. Joukkoon E kuuluvat siis kaikki ne monikulmion J kärkipisteet v i, jotka eivät kuulu suoralle y = y 0. Joukko E on äärellinen, joten joukolla { pr 2 (v i ) y 0 : v i E} on pienin alkio, joka on positiivinen. Olkoon δ = 1 2 min{ pr 2(v i ) y 0 : v i E}. Kuva 1 Tarkastellaan x-akselin suuntaista suoraa korkeudella y, missä y ]y 0 δ, y 0 [ (Kuva 1). Luku δ valittiin niin, ettei joukossa R ]y 0 δ, y 0 [ ole yhtään kärkeä. Tämän vuoksi kyseinen suora leikkaa samat k(y 0 ) sivua kuin suora y = y 0 ja lisäksi jokaista suoralle y = y 0 kuuluvaa maksimikärkeä kohti kaksi monikulmion sivua. Kyseisen suoran ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärä on siis k(y 0 ) + 2m 1. Vastaavasti, jos y ]y 0, y 0 + δ[, niin jokaisen x-akselin suuntaisen korkeudella y olevan suoran ja monikulmion J leikkauspisteiden lukumäärä on k(y 0 ) + 2m 2. Kummassakin tapauksessa leikkauspisteiden lukumäärä 5

on k(y) = k(y 0 ) + 2m, missä m {m 1, m 2 }, ja yksikään leikkauspiste ei ole erikoiskärki. Siis k(y) k(y 0 ) (mod 2), joten h(y) = h(y 0 ). Näin funktio h on jatkuva pisteessä y 0. Luku y 0 saattoi olla mikä tahansa reaaliluku, joten funktio h: R {0, 1} on jatkuva. Avaruus R on yhtenäinen, joten kuvajoukko hr on myös yhtenäinen. Näin joko hr = {0} tai hr = {1}. Monikulmio J on rajoitettu, joten on olemassa sellainen kuula B( 0, r), että J B( 0, r). Näin h(r + 1) = 0, sillä korkeudella r + 1 oleva x-akselin suuntainen suora ei leikkaa monikulmiota J kertaakaan. Siis hr = {0}, eli monikulmion J ja jokaisen x-akselin suuntaisen suoran leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on parillinen. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että avaruus R 2 \ J on epäyhtenäinen: Lause 2.8. Jos J R 2 on monikulmio, niin R 2 \ J = X 0 X 1, missä joukot X 0 ja X 1 ovat avoimia, erillisiä ja epätyhjiä. Näin avaruudella R 2 \ J on ainakin kaksi komponenttia. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio ja olkoon z R 2 \ J. Tarkastellaan pisteen z kautta kulkevan x-akselin suuntaisen suoran ja monikulmion J niitä leikkauspisteitä, jotka ovat pisteen z vasemmalla puolella eivätkä ole erikoiskärkiä. Olkoon näiden leikkauspisteiden lukumäärä k(z). Määritellään funktio I : R 2 \ J {0, 1} asettamalla { 0, jos k(z) 0 (mod 2) I(z) = 1, jos k(z) 1 (mod 2) Olkoon z 0 = (x 0, y 0 ) R 2 \ J. Olkoon pisteen z 0 kautta kulkevan suoran y = y 0 ja monikulmion J leikkauspisteitä pisteen z 0 vasemmalla puolella yhteensä m 1 + m 2 + k(z 0 ) kappaletta, missä m 1 on maksimikärkien lukumäärä ja m 2 on minimikärkien lukumäärä. Pisteen z 0 vasemmalla puolella olevien leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on siis k(z 0 ). Osoitetaan, että funktio I on jatkuva pisteessä z 0. On siis löydettävä sellainen luku δ > 0, että kun z B(z 0, δ), niin I(z) = I(z 0 ). Olkoon E = {v i : pr 2 (v i ) y 0 } kuten edellä Lemmassa 2.7. Joukkoon E kuuluvat siis kaikki ne monikulmion J kärkipisteet v i, jotka eivät kuulu pisteen z 0 kautta kulkevalle suoralle y = y 0. Olkoon δ 1 = 1 2 min{ pr 2(v i ) y 0 : v i E}. Joukko R 2 \J on avoin avaruudessa R 2, joten on olemassa sellainen luku δ 2 > 0, että B(z 0, δ 2 ) R 2 \ J. Olkoon δ = min{δ 1, δ 2 }. Olkoon z = (x, y) B(z 0, δ). Tällöin on kolme vaihtoehtoa: y 0 δ < y < y 0, y = y 0 tai y 0 < y < y 0 + δ. Oletetaan aluksi, että y = y 0. Tällöin pisteet z ja z 0 ovat samalla x-akselin suuntaisella suoralla. Sekä pisteen z 0 että pisteen z vasemmalla puolella olevat leikkauspisteet ovat kuulan B(z 0, δ) vasemmalla 6

Kuva 2 puolella, sillä J B(z 0, δ) =. Näin myös pisteen z vasemmalla puolella olevien leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on k(z 0 ). Oletetaan nyt, että y 0 δ < y < y 0 (Kuva 2). Tarkastellaan pisteen z kautta kulkevaa x-akselin suuntaista suoraa. Luku δ 1 on valittu niin, että joukossa R 2 ]y 0 δ 1, y 0 +δ 1 [ ei ole yhtään monikulmion kärkipistettä. Edelleen J B(z 0, δ) =, joten sekä pisteen z 0 että pisteen z vasemmalla puolella olevat leikkauspisteet ovat kuulan B(z 0, δ) vasemmalla puolella. Näin pisteen z kautta kulkeva x-akselin suuntainen suora leikkaa pisteen z vasemmalla puolella samat k(z 0 ) sivua kuin suora y = y 0, ja lisäksi jokaista suoralla y = y 0 pisteen z 0 olevaa maksimikärkeä kohti kaksi monikulmion sivua. Siis leikkauspisteiden kokonaismäärä on k(z 0 ) + 2m 1, eikä yksikään niistä ole kärkipiste. Jos y 0 < y < y 0 + δ, niin samaan tapaan voidaan päätellä, että pisteen z kautta kulkeva x-akselin suuntainen suora leikkaa monikulmiota J pisteen z vasemmalla puolella yhteensä k(z 0 ) + 2m 2 pisteessä, joista yksikään ei ole kärkipiste. Joka tapauksessa pisteen z vasemmalla puolella olevien leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on siis k(z) = k(z 0 ) + 2m, missä m {0, m 1, m 2 }. Näin k(z) k(z 0 ) (mod 2), joten I(z) = I(z 0 ). Funktio I on siis jatkuva pisteessä z 0. Piste z 0 saattoi olla mikä tahansa joukon R 2 \ J piste, joten funktio I on jatkuva. Olkoon L j jokin monikulmion J sivu, olkoon z sivun L j keskipiste ja olkoon s pisteen z kautta kulkeva x-akselin suuntainen suora. Joukko K = {L i : i Z n, i j} on suljettu ja z K, joten d(z, K) > 7

0. Olkoon δ = d(z, K)/2. Tällöin B(z, δ) J L j. Valitaan kaksi pistettä joukosta s B(z, δ) pisteen z eri puolilta. Suora s leikkaa sivun L j vain pisteessä z, sillä alussa tehdyn oletuksen nojalla sivu L j ei ole x-akselin suuntainen. Näin s B(z, δ) J = {z}, joten valitut kaksi pistettä kuuluvat joukkoon R 2 \ J, ja toisen pisteen vasemmalla puolella on yksi leikkauspiste enemmän kuin toisen pisteen vasemmalla puolella. Funktio I saa siis toisessa pisteessä arvon 0 ja toisessa arvon 1, joten funktio I : R 2 \ J {0, 1} on jatkuva surjektio. Näin joukot X 0 = I 1 {0} ja X 1 = I 1 {1} ovat avoimia, erillisiä ja epätyhjiä, ja R 2 \ J = X 0 X 1. Avaruus R 2 \ J on siis epäyhtenäinen, eli sillä on vähintään kaksi komponenttia. Näin on osoitettu, että avaruus R 2 \ J on erillinen yhdiste avoimista ja epätyhjistä joukoista X 0 ja X 1. Seuraavassa lauseessa jatketaan joukkojen X 0 ja X 1 tarkastelemista. Sen todistuksessa nojaudutaan Lemmaan 2.7. Lause 2.9. Olkoon J R 2 monikulmio ja olkoot joukot X 0 = I 1 {0} ja X 1 = I 1 {1} kuten edellä Lauseessa 2.8. Tällöin joukko X 0 on rajoittamaton ja joukko X 1 on rajoitettu. Lisäksi monikulmio J on sekä joukon X 0 että joukon X 1 reuna. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Lauseen 2.8 perusteella tiedetään, että R 2 \ J = X 0 X 1, missä joukot X 0 ja X 1 ovat avoimia, erillisiä ja epätyhjiä. Osoitetaan aluksi, että joukko X 0 on rajoittamaton ja joukko X 1 on rajoitettu: Monikulmio J on rajoitettu, joten on olemassa sellainen kuula B( 0, r), että J B( 0, r). Olkoon z R 2 \ B( 0, r). Tarkastellaan pisteen z kautta kulkevaa x-akselin suuntaista suoraa. On kaksi mahdollisuutta: joko tämä suora ei pisteen z vasemmalla puolella leikkaa monikulmiota kertaakaan tai kaikki tämän suoran ja monikulmion leikkauspisteet sijaitsevat pisteen z vasemmalla puolella. Ensimmäisessä tapauksessa funktion I määritelmän mukaan I(z) = 0. Lemman 2.7 nojalla tiedetään, että monikulmion J ja jokaisen x-akselin suuntaisen suoran leikkauspisteiden lukumäärä erikoiskärkiä lukuunottamatta on parillinen, joten myös toisessa tapauksessa I(z) = 0. Näin z X 0 = I 1 {0}. Siten R 2 \ B( 0, r) X 0 ja X 1 B( 0, r). Siis X 0 on rajoittamaton ja X 1 on rajoitettu. Osoitetaan vielä, että J on sekä joukon X 0 että joukon X 1 reuna: Olkoon z J. Oletetaan aluksi, että piste z ei ole erikoiskärki. Tarkastellaan pisteen z kautta kulkevaa x-akselin suuntaista suoraa. Jokainen pisteen z kuulaympäristö B(z, r) sisältää tämän suoran pisteitä sekä pisteen z vasemmalta että oikealta puolelta, jolloin toiset niistä kuuluvat joukkoon X 0 ja toiset joukkoon X 1. Näin z on sekä joukon X 0 että joukon X 1 reunapiste. Oletetaan sitten, että piste z on erikoiskärki. Olkoon B(z, r) jokin pisteen z kuulaympäristö. Se sisältää monikulmion J pisteitä, jotka eivät ole erikoiskärkiä. Olkoon w B(z, r) J jokin tällainen piste. Tällöin on olemassa pisteen w kuulaympäristö 8

B(w, r ) B(z, r). Pisteen w tiedetään olevan sekä joukon X 0 että joukon X 1 reunapiste, joten kuula B(w, r ) ja siten myös kuula B(z, r) kohtaa sekä joukon X 0 että joukon X 1. Kuula B(z, r) saattoi olla mikä tahansa pisteen z kuulaympäristö, joten pisteen z jokainen kuulaympäristö kohtaa sekä joukon X 0 että joukon X 1. Siis z on sekä joukon X 0 että joukon X 1 reunapiste. Näin J X 0 ja J X 1. Olkoon sitten z X 0. Joukko X 0 on avoin, joten z X 0. Oletetaan, että z X 1. Tällöin on olemassa pisteen z kuulaympäristö B(z, ε) X 1, sillä myös joukko X 1 on avoin. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä oletuksen mukaan z X 0 ja näin pisteen z jokainen ympäristö kohtaa joukon X 0. Siis z X 1. Näin z X 0 X 1 = R 2 \ J, joten z J. Siis X 0 J. Vastaavasti voidaan osoittaa, että X 1 J. Lauseessa 2.11 osoitetaan, että joukot X 0 ja X 1 ovat murtoviivayhtenäisiä. Apuna käytetään monikulmioita J 0 X 0 ja J 1 X 1, joiden etäisyys monikulmiosta J voidaan valita miten pieneksi tahansa. Näiden monikulmioiden olemassaolo todistetaan seuraavassa lauseessa. Lause 2.10. Olkoon J R 2 monikulmio ja olkoot joukot X 0 ja X 1 kuten edellä Lauseissa 2.8 ja 2.9. Tällöin jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellaiset monikulmiot J 0 ja J 1, että J j X j ja d(x, J) < ε jokaisella x J j, kun j {0, 1}. Todistus: Olkoon ε > 0. Olkoot L 0,..., L n 1 monikulmion J sivut ja olkoot v 0..., v n 1 sen kärjet. Jokaisella i Z n olkoon K i yhdiste monikulmion J sivuista lukuunottamatta sivuja L i 1, L i ja L i+1. Esimerkiksi K 0 = n 2 i=2 L i. Sekä sivut L i että joukot K i ovat tason suljettuina ja rajoitettuina osajoukkoina kompakteja. Lisäksi L i K i = jokaisella i Z n, joten d(l i, K i ) > 0 jokaisella i Z n. Merkitään d i = d(l i, K i ) ja δ i = v i v i+1 jokaisella i Z n. Olkoon ε 0 = 1 min{d 4 i, δ i : i Z n }. Voidaan olettaa, että ε ε 0. Muodostetaan monikulmio J 1 : Olkoon i Z n. Tarkastellaan monikulmion J sivua L i (Kuva 3). Olkoon sen keskipiste z i ja olkoon sen kautta kulkeva x-akselin suuntainen suora s i. Piste z i jakaa suoran s i kahdeksi puolisuoraksi, olkoot ne s 0 i ja s 1 i. Leikkaus B(z i, ε) s i J = {z i }, joten voidaan olettaa, että s 0 i B(z i, ε) X 0 ja s 1 i B(z i, ε) X 1. Olkoon w i s i B(z i, ε) X 1. Olkoon l i pisteen w i kautta kulkeva sivun L i suuntainen suora. Vastaava suora voidaan siis muodostaa jokaisella i Z n. Monikulmion J vierekkäiset sivut ovat erisuuntaisia, joten suorat l i 1 ja l i ovat erisuuntaisia jokaisella i Z n. Olkoon suorien l i 1 ja l i leikkauspiste y i jokaisella i Z n. Monikulmiolla J on n kappaletta kärkiä, joten pisteet w i voidaan valita niin läheltä sivuja L i, että y i B(v i, ε) jokaisella i Z n. Olkoon A i = [y i, y i+1 ] jokaisella i Z n. Olkoon J 1 = n 1 i=0 A i. Tällöin jos x J 1, niin x A i jollain i Z n ja d(x, L i ) max{d(y i, L i ), d(y i+1, L i )} < ε. Siis d(x, J) < ε kaikilla x J 1. 9

Kuva 3 Osoitetaan seuraavaksi, että A i X 1 jokaisella i Z n : Olkoon i Z n. Piste w i jakaa suoran l i kahdeksi puolisuoraksi li 1 ja li 2. Joukko X 1 on rajoitettu, joten kumpikin näistä puolisuorista kohtaa joukon X 0 X 1 ja siten myös reunan X 1 = J. Leikkausjoukot li 1 J ja li 2 J ovat suljettuja ja rajoitettuja, joten ne ovat tason R 2 osajoukkoina kompakteja. Olkoot x 1 li 1 J ja x 2 li 2 J pisteet, joka on lähinnä pistettä w i. Tällöin ]x 1, x 2 [ X 1. Tarkastellaan seuraavaksi kaksi tapausta: toisessa monikulmion J kärki v i on terävä, toisessa tylppä. Oletetaan aluksi, että kärki v i on terävä (Kuva 4). Tällöin suora l i leikkaa sivun L i 1. Tämä leikkauspiste on joko piste x 1 tai x 2, joten voidaan olettaa, että se on x 1. Suorien l i ja l i 1 leikkauspiste y i on tällöin pisteen x 1 jommallakummalla puolella; joko y i ]x 1, w i [ tai x 1 ]y i, w i [. Osoitetaan, että välttämättä y i ]x 1, w i [: Tarkastellaan suoraa l i 1 ja sen peilikuvaa sivun L i 1 suhteen. Olkoon l i 1 näistä suorista se, jolle pätee, että suorien l i ja l i 1 leikkauspiste ỹ i ]x 1, w i [. Tällöin ỹ i Kuva 4 10

Kuva 5 X 1. Toinen pisteestä ỹ i lähtevistä suoran l i 1 suuntaisista puolisuorista leikkaa suoran s i 1 ennen kuin se leikkaa monikulmion J, joten myös tämä leikkauspiste kuuluu joukkoon X 1. Näin sen täytyy olla piste w i 1. Siis l i 1 = l i 1 ja y i = ỹ i ]x 1, w i [. Oletetaan sitten, että kärki v i on tylppä (Kuva 5). Tällöin suora l i ei leikkaa sivua L i 1 lainkaan mutta leikkaa kuitenkin suoran l i 1 pisteessä y i w i. Pisteiden w i ja y i välillä suora l i sisältyy joukkoon X 1, joten y i ]x 1, w i [. Vastaava tarkastelu voidaan tehdä myös kärjelle v i+1, jolloin todetaan, että y i+1 ]w i, x 2 [. Siis A i = [y i, y i+1 ] ]x 1, x 2 [ X 1. Tämä pätee jokaisella i Z n, joten J 1 X 1. Osoitetaan vielä, että J 1 todella on monikulmio: Suorat l i 1 ja l i ovat erisuuntaisia jokaisella i Z n. Näin janat A i 1 ja A i leikkaavat toisensa vain yhteisissä päätepisteissään y i jokaisella i Z n. Olkoon i Z n. Oletetaan, että janat A i ja A j eivät ole vierekkäiset eli i j i ± 1, mutta leikkavat toisensa pisteessä x. Tällöin d(x, L i ) < ε, ja koska L j K i, niin d(x, K i ) d(x, L j ) < ε. Joukot L i ja K i ovat kompakteja, joten on olemassa sellaiset pisteet z L L i ja z K K i, että x z L = d(x, L i ) ja x z K = d(x, K i ). Edelleen d i = d(l i, K i ) z L z K z L x + x z K = d(x, L i ) + d(x, K i ) < 2ε 2ε 0 = 1 min{d 2 i, δ i : i Z n } 1d 2 i. Tämä on ristiriita. Näin A i A j = aina jos i j i ± 1. Joukko J 1 = n i=1a i on siis todella monikulmio. Monikulmio J 0 muodostetaan ja sen ominaisuudet todistetaan vastaavalla tavalla. Kun osoitetaan, että jana A i X 0 jokaisella i Z n, on kuitenkin huomattava, että suora l i saattaa kokonaisuudessaan sisältyä joukkoon X 0 eikä kohtaa lainkaan monikulmiota J. Tällöin myös vastaava jana A i X 0. Jos taas l i J, niin menetellään kuten monikulmion J 1 tapauksessa. Seuraavassa lauseessa kootaan tämän luvun tulokset yhteen ja todistetaan erityistapaus Jordanin käyrälauseesta. 11

Lause 2.11 (Jordanin käyrälause tason monikulmioille). Jos J R 2 on monikulmio, niin avaruudella R 2 \ J on kaksi komponenttia, joiden yhteinen reuna on J. Toinen komponenteista on rajoitettu ja toinen on rajoittamaton. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Lauseen 2.8 perusteella tiedetään, että R 2 \ J = X 0 X 1, missä joukot X 0 ja X 1 ovat avoimia, erillisiä ja epätyhjiä. Lauseen 2.9 perusteella joukko X 0 on rajoittamaton, joukko X 1 on rajoitettu ja monikulmio J on niiden molempien reuna. Olkoon j {0, 1}. Osoitetaan, että joukko X j on murtoviivayhtenäinen: Olkoot x, y X j. Joukot J ja {x, y} ovat tason R 2 suljettuina ja rajoitettuina joukkoina kompakteja, joten d(j, {x, y}) > 0. Olkoon ε = 1 d(j, {x, y}). Lauseen 2.10 perusteella on olemassa sellainen monikulmio J j, että J j X j ja d(x, J) < ε jokaisella x J j. (Kuva 6). 2 Joukko J on kompakti, joten on olemassa sellaiset pisteet z ja w J, Kuva 6 että d(x, J) = x z ja d(y, J) = y w. Janat [x, z] ja [y, w] sisältyvät toisia päätepisteitään lukuunottamatta joukkoon X j ja kohtaavat monikulmion J j. Olkoon z ]x, z[ J j se piste, joka on lähinnä pistettä x, ja olkoon w ]y, w[ J j se piste, joka on lähinnä pistettä y. Tällöin [x, z ], [y, w ] X j. Olkoon M J j pisteet z ja w yhdistävä murtoviiva. Pisteet x ja y yhdistävä joukon X j murtoviiva on tällöin [x, z ] M [w, y]. Pisteet x ja y saattoivat olla mitkä tahansa joukon X j pisteet, joten joukko X j on murtoviivayhtenäinen ja siten yhtenäinen. Indeksi j saattoi olla 0 tai 1, joten molemmat joukot X 0 ja X 1 ovat yhtenäisiä. Avaruudella R 2 \ J on näin kaksi komponenttia, X 0 ja X 1, joista X 0 on rajoittamaton ja X 1 rajoitettu, ja monikulmio J on niiden molempien reuna. 12

3. Jordanin kaarilause Tässä luvussa, joka pohjautuu kirjaan [3], todistetaan Jordanin kaarilause. Sen mukaan joukko R 2 \ A on yhtenäinen, jos A R 2 on kaari. Aluksi jatketaan kuitenkin tason monikulmioiden tarkastelua. Tässä luvussa J R 2 on tason monikulmio ja joukot X 0 ja X 1 ovat avaruuden R 2 \J komponentit, joista X 1 on rajoitettu. Seuraavassa lemmassa ja sitä seuraavassa lauseessa tarkastellaan murtoviivaa M X 1. Tämä murtoviiva voi leikata itseään eli sisältää yhden tai useamman monikulmion (Kuva 7). Murtoviiva koostuu kuitenkin äärellisen monesta janas- Kuva 7 ta, joten näitä monikulmioita on äärellinen määrä. Näin voidaan aina muodostaa alkuperäisen murtoviivan päätepisteet yhdistävä murtoviiva M M, joka on kaari eli homeomornen välin I = [0, 1] kanssa. Voidaan siis jatkossa olettaa, että murtoviiva M on kaari. Lemma 3.1. Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoon M R 2 sellainen murtoviiva, että M X 1 ja M J = {m 0, m 1 }, missä pisteet m 0 ja m 1 ovat murtoviivan M päätepisteet (m 0 m 1 ). Tällöin joukolla X 1 \ M on ainakin kaksi komponenttia. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Joukolla J \ {m 0, m 1 } on kaksi komponenttia. Olkoot ne M Y ja M Z. Siis J \ {m 0, m 1 } = M Y M Z, missä joukot M Y ja M Z ovat erillisiä, epätyhjiä ja avoimia joukossa J. Edellä todetun nojalla voidaan olettaa, että murtoviiva M on kaari, jolloin yhdisteet M M Y ja M M Z ovat monikulmioita. Joukoilla R 2 \ (M M Y ) ja R 2 \ (M M Z ) on siis Lauseen 2.11 nojalla kummallakin kaksi komponenttia. Olkoon joukon R 2 \ (M M Y ) rajoittamaton komponentti Y 0 ja rajoitettu komponentti Y 1, ja vastaavasti joukon R 2 \(M M Z ) rajoittamaton komponentti Z 0 ja rajoitettu komponentti Z 1 (Kuva 8). Tarkastellaan joukkoja X 0, X 1, Y 0 ja Y 1. Olkoon x X 0. Tällöin x J M, joten x R 2 \ (M M Y ). Näin siis X 0 R 2 \ (M M Y ). Joukko X 0 on yhtenäinen ja rajaton, joten sen täytyy sisältyä joukon R 2 \ (M M Y ) rajattomaan komponenttiin Y 0. Tästä seuraa, että Y 1 X 0 =. Oletetaan, että Y 1 J. Tällöin on olemassa piste y Y 1 J ja sellainen luku ε > 0, että B(y, ε) Y 1. Toisaalta monikulmio J on 13

Kuva 8 joukon X 0 reuna, joten B(y, ε) X 0. Näin Y 1 X 0, mikä on ristiriita. Siis myös Y 1 J = ja näin Y 1 X 1. Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että X 0 Z 0 ja Z 1 X 1. Osoitetaan, että Y 1 Z 1 = : Olkoon x Z 1. Tällöin edellä todetun nojalla x X 1 ja lisäksi x M, joten x J M. Näin x R 2 \ (M M Y ). Siis Z 1 R 2 \ (M M Y ). Yhtenäisenä joukkona Z 1 sisältyy siis komponenttiin Y 0 tai Y 1. Oletetaan, että Z 1 Y 1. Tällöin Z 1 Ȳ1. Olkoon x M Z Z 1. Tällöin x M M Y, joten x Y 1 tai x Y 0. Toisaalta x X 1 ja Y 1 X 1, joten x Y 0. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x Z 1 Ȳ1. Siis välttämättä Z 1 Y 0 ja Y 1 Z 1 =. Osoitetaan, että X 1 \ M Y 1 (Y 0 X 1 ). Olkoon x X 1 \ M. Jos x Y 1, niin asia on selvä. Oletetaan, että x Y 1. Koska x X 1 \ M, niin x J M. Välttämättä tällöin x Y 0. Siis x Y 0 X 1 eli x Y 1 (Y 0 X 1 ). Toisaalta Y 1 X 1 \ M ja Y 0 X 1 X 1 \ M, joten X 1 \ M = Y 1 (Y 0 X 1 ). Joukko Y 1 on avoin ja epätyhjä. Myös joukko Y 0 X 1 on avoin kahden avoimen joukon leikkauksena ja epätyhjä, sillä Z 1 Y 0 X 1. Leikkaus Y 1 Y 0 =, joten myös Y 1 (Y 0 X 0 ) =. Siis joukko X 1 \ M on lausuttavissa kahden avoimen, erillisen ja epätyhjän joukon yhdisteenä, joten se on epäyhtenäinen. Joukko Y 1 on yhtenäinen, joten yhtälön X 1 \ M = Y 1 (Y 0 X 1 ) nojalla se on eräs joukon X 1 \ M komponentti. Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että X 1 \ M = Z 1 (Z 0 X 1 ), missä joukot Z 1 ja Z 0 X 1 ovat epätyhjiä, erillisiä ja avoimia. Joukko Z 1 on yhtenäinen, joten sen täytyy olla eräs joukon X 1 \ M komponentti. Lisäksi tiedetään, että Y 1 Z 1 =, joten joukon X 1 \ M eri komponentteja ovat ainakin Z 1 ja Y 1. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että edellisen lemman tilanteessa joukolla X 1 \ M on täsmälleen kaksi komponenttia: Lause 3.2. Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoon M R 2 sellainen murtoviiva, että M X 1 ja M J = {m 0, m 1 }, missä pisteet m 0 ja m 1 ovat murtoviivan M päätepisteet (m 0 m 1 ). Tällöin joukolla 14

X 1 \M on täsmälleen kaksi komponenttia. Oletetaan lisäksi, että pisteet y, z J kuuluvat joukon J \ {m 0, m 1 } eri komponentteihin. Tällöin joukon X 1 \M kummankaan komponentin reuna ei sisällä sekä pistettä y että pistettä z. Todistus: Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoot joukon J \ {m 0, m 1 } komponentit M Y ja M Z. Siis J \ {m 0, m 1 } = M Y M Z, missä joukot M Y ja M Z ovat erillisiä, epätyhjiä ja avoimia joukossa J. Voidaan edelleen olettaa, että murtoviiva M on kaari, jolloin yhdisteet M M Y ja M M Z ovat monikulmioita. Lemman 3.1 mukaan joukolla X 1 \ M on ainakin kaksi komponenttia, joista toinen on joukon R 2 \ (M M Y ) rajoitettu komponentti Y 1 ja toinen on joukon R 2 \ (M M Z ) rajoitettu komponentti Z 1. Osoitetaan seuraavaksi, että joukolla X 1 \ M ei ole muita komponentteja. Tehdään vastaoletus, että sillä on kolmas komponentti U. Komponentti U X 1, joten Ū X 1. Olkoon x X 1 \ M. Osoitetaan, että x U. Tehdään vastaoletus, että x U. Tällöin sen jokainen ympäristö kohtaa sekä komponentin U että sen komplementin. Olkoon C(x) se joukon X 1 \ M komponentti, joka sisältää pisteen x. Joukko X 1 \ M on avoin joukko avaruudessa R 2, joten sen komponentit ovat avoimia. Pisteellä x on siis ympäristö B(x, ε) C(x). Tämä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, ja x U. Siis U M X 1 = M J. Olkoon x M J. Osoitetaan, että tällöin on olemassa pisteen x ympäristö B(x, ε), joka ei kohtaa komponenttia U. Tarkastellaan kolme tapausta: (1) x {m 0, m 1 }, (2) x M Y tai x M Z ja (3) x M \ {m 0, m 1 }. Oletetaan aluksi, että x {m 0, m 1 }. Joukko M on välin [0, 1] kanssa homeomornen murtoviiva ja joukko J on monikulmio, joten on olemassa sellainen pisteen x ympäristö B(x, ε), että joukko B(x, ε) X 1 koostuu kahdesta ympyräsektorista (Kuva 9). Nämä sektorit ovat yhtenäisiä, joten kumpikin niistä sisältyy johonkin joukon X 1 \M komponenttiin. Piste x M on komponenttien Y 1 ja Z 1 reunapiste, joten toinen sektoreista sisältyy komponenttiin Y 1 ja toinen komponenttiin Z 1. Näin B(x, ε) U =. Kuva 9 15

Oletetaan, että x M Y. Joukko J on monikulmio ja pisteen x M etäisyys kompaktista joukosta M on positiivinen, joten on olemassa sellainen pisteen x ympäristö B(x, ε), että joukko B(x, ε) X 1 on ympyräsektori (Kuva 9). Se on yhtenäinen, joten se sisältyy johonkin joukon X 1 \ M komponenttiin. Piste x M Y on komponentin Y 1 reunapiste, joten sektorin täytyy sisältyä komponenttiin Y 1. Näin B(x, ε) U =. Tapaus x M Z voidaan käsitellä vastaavasti. Oletetaan, että x M \{m 0, m 1 }. Joukko X 1 on avoin ja murtoviiva M on homeomornen välin [0, 1] kanssa, joten on olemassa sellainen pisteen x ympäristö B(x, ε), että joukko B(x, ε) X 1 koostuu kahdesta ympyräsektorista (Kuva 9). Nämä sektorit ovat yhtenäisiä, joten kumpikin niistä sisältyy johonkin joukon X 1 \ M komponenttiin. Piste x M \ {m 0, m 1 } on komponenttien Y 1 ja Z 1 reunapiste, joten toinen sektoreista sisältyy komponenttiin Y 1 ja toinen komponenttiin Z 1. Näin B(x, ε) U =. Olkoon x U. Tällöin pisteen x jokainen ympäristö kohtaa joukon U. Toisaalta edellä on osoitettu, että U M J ja että jokaisella joukon M J pisteellä on ympäristö, joka ei kohtaa komponenttia U. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on väärä. Näin joukolla X 1 \ M on täsmälleen kaksi komponenttia, Y 1 ja Z 1. Olkoot y, z J \ {m 0, m 1 } sellaiset pisteet, että ne kuuluvat joukon J \ {m 0, m 1 } eri komponentteihin. Voidaan olettaa, että y M Y ja z M Z. Komponentin Y 1 reuna Y 1 = M M Y ja komponentin Z 1 reuna Z 1 = M M Z. Näin joukon X 1 \ M kummankaan komponentin reuna ei sisällä sekä pistettä y että pistettä z. Siirrytään tarkastelemaan murtoviivan sijaan kaarta A R 2 ja osoitetaan, että myös joukolla X 1 \A on ainakin kaksi komponenttia. Tähän lauseeseen nojaudutaan jatkossa useasti. Lause 3.3. Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoon A R 2 sellainen kaari, että A X 1 ja A J = {a 0, a 1 }, missä pisteet a 0 ja a 1 ovat kaaren A päätepisteet (a 0 a 1 ). Oletetaan, että pisteet x 0, x 1 J kuuluvat joukon J \{a 0, a 1 } eri komponentteihin. Tällöin joukon X 1 \A minkään komponentin reuna ei sisällä sekä pistettä x 0 että pistettä x 1. Joukolla X 1 \ A on siis ainakin kaksi komponenttia Todistus: Olkoot x 0, x 1 J sellaiset pisteet, että ne kuuluvat joukon J \ {a 0, a 1 } eri komponentteihin. Tehdään vastaoletus, että pisteet x 0, x 1 kuuluvat joukon X 1 \ A saman komponentin reunaan. Olkoon tämä komponentti U. Joukko X 1 \ A on avoin avaruudessa R 2, joten sen komponentit ovat avoimia, erityisesti komponentti U on avoin. Joukko J on monikulmio, joten on olemassa sellainen luku δ 1 > 0, että leikkaukset B(x 0, δ 1 ) J ja B(x 1, δ 1 ) J muodostuvat joko yhdestä janasta tai kahdesta janasta, joiden yhteinen päätepiste on kuulan keskipiste. Toisaalta kaari A on suljettu ja x 0, x 1 A, joten etäisyys 16

Kuva 10 d(x i, A) > 0, i {0, 1}. Olkoon δ 2 = 1 min{d(x 2 0, A), d(x 1, A)}. Olkoon δ = min{δ 1, δ 2 }. Tällöin leikkausjoukot B(x 0, δ) X 1 ja B(x 1, δ) X 1 muodostuvat kumpikin yhdestä ympyräsektorista. Koska pisteet x 0, x 1 kuuluvat komponentin U reunaan, kyseiset ympyräsektorit kohtaavat komponentin U. Yhtenäisinä joukkoina niiden täytyy näin sisältyä komponenttiin U. Valitaan pisteet y 0 B(x 0, δ) X 1 ja y 1 B(x 1, δ) X 1. Tällöin y 0, y 1 U. Komponentti U on avoimena ja yhtenäisenä avaruuden R 2 osajoukkona murtoviivayhtenäinen, mikä on osoitettu kirjassa [6], Lause 14.30. Näin on olemassa pisteet y 0 ja y 1 yhdistävä murtoviiva M 0 U (Kuva 10). Jana [x i, y i ] sisältyy pistettä x i J lukuunottamatta joukkoon B(x i, δ) X 1 U, i {0, 1}. Olkoon M = [x 0, y 0 ] M 0 [y 1, x 1 ]. Tällöin joukko M Ū on pisteet x 0 ja x 1 yhdistävä murtoviiva, joka sisältyy päätepisteitään lukuunottamatta joukkoon U ja M J = {x 0, x 1 }. Leikkaus M A =, sillä M \ {x 0, x 1 } U X 1 \ A. Yhtenäinen joukko A \ {a 0, a 1 } sisältyy näin joukkoon X 1 \ M, joten se sisältyy joukon X 1 \ M johonkin komponenttiin. Pisteet a 0 ja a 1 kuuluvat siis tämän komponentin reunaan. Toisaalta Lauseen 3.2 nojalla tiedetään, että joukolla X 1 \M on kaksi komponenttia. Murtoviivan M päätepisteet x 0 ja x 1 valittiin niin, että joukon X 1 \M kummankaan komponentin reuna ei sisällä sekä pistettä a 0 että pistettä a 1. Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä. Siis pisteet x 0 ja x 1 kuuluvat joukon X 1 \ A eri komponenttien reunoihin, ja joukolla X 1 \ A on näin ainakin kaksi komponenttia. Seuraavassa lemmassa osoitetaan, että kaksi monikulmion pistettä voidaan aina yhdistää toisiinsa murtoviivalla, joka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyy monikulmion sisäpuolelle. Lemma 3.4. Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoot x 0, x 1 J, x 0 x 1. Tällöin on olemassa sellainen pisteet x 0 ja x 1 yhdistävä murtoviiva M X 1, että M J = {x 0, x 1 }. 17

Todistus: Joukko J on monikulmio, joten on olemassa sellainen luku ε > 0, että leikkaukset B(x 0, ε) X 1 ja B(x 1, ε) X 1 ovat ympyräsektoreita. Valitaan piste y i B(x i, δ) X 1, i {0, 1}. Tällöin jana [x i, y i ] sisältyy vastaavaan ympyräsektoriin. Lauseen 2.3 nojalla komponentti X 1 on murtoviivayhtenäinen, joten on olemassa pisteet y 0 ja y 1 yhdistävä murtoviiva M 0 X 1. Olkoon M = [x 0, y 0 ] M 0 [y 1, x 1 ]. Joukko M on pisteet x 0 ja x 1 yhdistävä murtoviiva, joka sisältyy päätepisteitään lukuunottamatta joukkoon X 1. Seuraavaa lemmaa käytetään Lauseen 3.6 todistuksessa. Lemma 3.5. Olkoon J R 2 monikulmio. Olkoot M 1,..., M n X 1 erillisiä murtoviivoja, jotka sisältyvät päätepisteitään lukuunottamatta joukkoon X 1. Olkoon k {1,..., n}. Olkoot z k ja z k murtoviivan M k päätepisteet. Olkoon N k J pisteet z k ja z k yhdistävä murtoviiva. Oletetaan, että murtoviiva N k sisältää jonkin murtoviivan M j toisen päätepisteen. Tällöin se sisältää kyseisen murtoviivan molemmat päätepisteet. Todistus: Oletetaan, että murtoviiva N k J sisältää jonkin murtoviivan M j toisen päätepisteen, j k. Tehdään vastaoletus, että murtoviivan M j toinen päätepiste ei sisälly murtoviivaan N k (Kuva 11). Olkoot Kuva 11 murtoviivan M j päätepisteet z j ja z j. Murtoviivat M k ja M j ovat erillisiä, joten voidaan olettaa, että z j J \N k ja z j N k \{z k, z k }. Lauseen 3.2 nojalla tiedetään, että joukolla X 1 \ M k on täsmälleen kaksi komponenttia eikä kummankaan komponentin reuna sisällä sekä pistettä z j että pistettä z j. Toisaalta yhtenäinen joukko M j \ {z j, z j} X 1 ei oletuksen mukaan kohtaa murtoviivaa M k. Näin se sisältyy joukon X 1 \ M k toiseen komponenttiin. Pisteet z j ja z j J kuuluvat siis tämän komponentin reunaan. Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä. Siis murtoviivan M j molemmat päätepisteet sisältyvät joko joukkoon N k tai joukkoon J \ N k. Seuraavassa lauseessa tarkastellaan tietynlaista kuusikulmiota sekä kahta erillistä kaarta, jotka leikkaavat kuusikulmiota ainoastaan toisissa päätepisteissään (Kuva 12). Vastaavaa kuusikulmiota käytetään Jordanin kaarilauseen todistuksessa. Nyt osoitetaan, että on olemassa murtoviiva, joka sisältyy päätepisteitään lukuunottamatta tämän 18

Kuva 12 kuusikulmion sisäpuolelle eikä kohtaa kumpaakaan tarkasteltavaa kaarta. Lause 3.6. Olkoon J R 2 kuusikulmio, jonka sivut ovat L 0,..., L 5. Olkoot v i ja v i+1 janan L i päätepisteet jokaisella i Z 6. Oletetaan, että sivut L 0 ja L 2 ovat y-akselin suuntaisia ja sivut L 1 ja L 4 x-akselin suuntaisia (Kuva 12). Olkoon X 1 avaruuden R 2 \ J rajoitettu komponentti. Olkoot A 0, A 1 X 1 sellaiset erilliset kaaret, että A i J = {a i }, missä piste a i on kaaren A i päätepiste (i {0, 1}). Oletetaan lisäksi, että a 0 = v 0 ja a 1 = v 3. Olkoot x 0 L 4 \ {v 4, v 5 } ja x 1 L 1 \ {v 1, v 2 }. Tällöin on olemassa sellainen pisteet x 0 ja x 1 yhdistävä murtoviiva M, että M X 1, M (A 0 A 1 ) = ja M J = {x 0, x 1 }. Todistus: Kaaret A 0 ja A 1 ovat kompakteja ja erillisiä, joten etäisyys d(a 0, A 1 ) > 0. Olkoot E 0 = 4 i=1l i ja E 1 = L 0 L 1 L 4 L 5. Olkoon i {0, 1}. Joukot A i ja E i ovat myös kompakteja ja erillisiä, joten d(a i, E i ) > 0. Olkoon ε = 1 3 min{d(a 0, A 1 ), d(a 0, E 0 ), d(a 1, E 1 )}. Tällöin joukot B(A 0, ε) ja B(A 1, ε) ovat kaarien A 0 ja A 1 erilliset ympäristöt ja B(A i, ε) E i =, i {0, 1}. Jaetaan taso R 2 kuvan 13 mukaisesti suljetuiksi suorakulmioiksi q k, joiden läpimitta on alle ε. Olkoon i {0, 1}. Olkoon F i = {q k : q k A i }. Kaari A i on rajoitettu, joten joukkoon F i sisältyy äärellisen monta suljettua suorakulmiota q k. Joukko F i on siis suljettu. Jokaisen joukon q k F i läpimitta on alle ε, joten F i B(A i, ε). Näin F i E i = ja F 0 F 1 =. Joukon F i reuna koostuu äärellisestä määrästä erillisiä monikulmioita, mahdollisesti vain yhdestä monikulmiosta. Jokainen suorakulmio q k on polkuyhtenäinen ja kaari A i yhdistää mitkä tahansa suorakulmiot q k F i, joten joukko F i on polkuyhtenäinen ja siten yhtenäinen. Näin joukon R 2 \ F i rajoittamattoman komponentin U i reuna U i F i on 19

Kuva 13 monikulmio. Joukko F i on suljettu, joten U i F i. Toisaalta suorakulmiot q k ja joukko F i on muodostettu niin, että A i intf i. Näin U i A i =. Kuusikulmio J kohtaa joukon U i pisteissä x 0 L 4 ja x 1 L 1 sekä joukon F i pisteessä a i. Näin sen täytyy kohdata reuna U i sekä pisteiden x 0 ja a i välillä että pisteiden x 1 ja a i välillä. Näin monikulmio U i leikkaa monikulmion J ainakin kahdessa pisteessä. Toisaalta pisteet x 0 L 4 ja a i voidaan yhdistää toisiinsa janalla L, joka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyy joukkoon X 1. Myös jana L on yhtenäinen, joten se kohtaa myös reunan U i jossain pisteessä x L\{x 0, a i }. Tällöin piste x X 1, joten U i X 1. Leikkaus U i X 1 sisältää siis ainakin yhden murtoviivan, joka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyy joukkoon X 1. Joukko U i on monikulmio, joten kyseisiä murtoviivoja on äärellinen määrä eivätkä ne kohtaa toisiaan joukossa X 1. Tarkastellaan seuraavassa leikkausta U 0 X 1. Olkoot M 1,..., M n leikkaukseen U 0 X 1 sisältyvät murtoviivat, jotka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyvät joukkoon X 1. Olkoot z j ja z j murtoviivan M j päätepisteet jokaisella j {1,..., n}. Osoitetaan seuraavaksi, että jonkin murtoviivan M j päätepisteistä toinen kuuluu joukkoon L 5 \{v 5, a 0 } ja toinen joukkoon L 0 \ {a 0, v 1 }: Tehdään vastaoletus, että näin ei ole. Tällöin joko (1) minkään murtoviivan M j toinen päätepiste ei kuulu joukkoon L 5 \{v 5, a 0 } eikä joukkoon L 0 \ {a 0, v 1 } tai (2) jokaisen murtoviivan M j molemmat päätepisteet kuuluvat joko joukkoon L 5 \ {v 5, a 0 } tai joukkoon L 0 \ {a 0, v 1 }. Joka tapauksessa jokainen murtoviiva M j U 0 F 0 F 0. Luku ε valittiin niin, että leikkaus F 0 E 0 =. Näin yksikään murtoviiva M j ei voi kohdata kuusikulmion J sivuja L 1,..., L 4. Toisaalta A 0 intf 0, joten a 0 M j. Siis murtoviivojen M j päätepisteiden täytyy kuulua 20

Kuva 14 joukkoon (L 0 L 5 ) \ {v 1, v 5, a 0 }. Tämä on ristiriidassa tapauksen (1) kanssa. Tarkastellaan tapausta (2), jossa jokaisen murtoviivan M j molemmat päätepisteet kuuluvat joko joukkoon L 5 \ {v 5, a 0 } tai joukkoon L 0 \ {a 0, v 1 } (Kuva 14). Merkitään M = n j=1m j. Lemman 3.5 nojalla voidaan muodostaa uusi monikulmio J X 1 seuraavasti: Olkoon z 1 M J pisteestä v 5 lukien ensimmäinen piste, joka on jonkin murtoviivan M j päätepiste. Voidaan olettaa, että pisteestä z 1 alkava murtoviiva on M 1, sillä murtoviivat voidaan tarvittaessa nimetä uudelleen. Jos pisteestä z 1 alkaa useampi kuin yksi murtoviiva M j, valitaan murtoviivaksi M 1 se murtoviiva, jonka toisen päätepisteen z 1 etäisyys pisteestä z 1 on suurin. Korvataan jana [z 1, z 1] J murtoviivalla M 1. Olkoon z 2 M J pisteestä z 1 lukien ensimmäinen piste, joka on jonkin murtoviivan M j päätepiste, i {2,..., n}. Mahdollisesti z 2 = z 1, jos kahdella eri murtoviivalla on yhteinen päätepiste. Voidaan olettaa kuten edellä, että pisteestä z 2 alkava murtoviiva on M 2. Samoin jos pisteestä z 2 alkaa useampi kuin yksi murtoviiva M j, valitaan murtoviivaksi M 2 se murtoviiva, jonka toisen päätepisteen z 2 etäisyys pisteestä z 2 on suurin. Korvataan jana [z 2, z 2] J murtoviivalla M 2. Jatketaan näin kunnes saavutetaan sellainen piste z j M J, että monikulmio J ei pisteiden z j ja v 1 välillä kohtaa joukkoa M eli yhtään murtoviivaa M j. Piste a 0 J ei oletuksen mukaan sisälly mihinkään janaan [z j, z j], joten a 0 J. Samoin x 0 J. Lemman 3.4 nojalla on tällöin olemassa pisteet a 0 ja x 0 yhdistävä murtoviiva K, joka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyy joukon R 2 \ J rajoitettuun komponenttiin X 1. Näin K U 0 =. Toisaalta murtoviiva K kohtaa pisteessä a 0 joukon F 0 ja pisteessä x 0 joukon U 0, joten yhtenäisenä joukkona se kohtaa reunan U 0. Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä. On siis olemassa sellainen murtoviiva M j U 0, että toinen sen päätepisteistä kuuluu 21

Kuva 15 joukkoon L 5 \ {v 5, a 0 } ja toinen joukkoon L 0 \ {a 0, v 1 }. Olkoon tämä murtoviiva N 0. Vastaavasti voidaan tarkastella leikkaukseen U 1 X 1 sisältyviä murtoviivoja, jotka päätepisteitään lukuunottamatta sisältyvät joukkoon X 1, ja osoittaa, että jonkin tällaisen murtoviivan toinen päätepiste kuuluu joukkoon L 2 \{v 2, a 1 } ja toinen joukkoon L 3 \{a 1, v 4 }. Olkoon tämä murtoviiva N 1. Olkoot y i ja y i murtoviivan N i päätepisteet, i {0, 1}. Olkoon K i J se pisteet y i ja y i yhdistävä murtoviiva, joka sisältää pisteen a i. Olkoon J = (J \ (K 0 K 1 )) N 0 N 1 (Kuva 15). Tällöin J X 1 on monikulmio ja x 0, x 1 J. Olkoon joukon R 2 \ J rajoitettu komponentti X1 ja rajoittamaton komponentti X0. Piste a i K i \ {y i, y i}, joten a i X0, i {0, 1}. Kaaret A 0 ja A 1 eivät kohtaa monikulmiota J, joten ne yhtenäisinä joukkoina sisältyvät näin kokonaisuudessaan komponenttiin X0. Lemman 3.4 nojalla on olemassa sellainen pisteet x 0 ja x 1 J yhdistävä murtoviiva M X 1, että M J = {x 0, x 1 }. Tällöin M (A 0 A 1 ) =, M \{x 0, x 1 } X1 X 1 ja M J = {x 0, x 1 }. Lauseen 3.6 murtoviivaa apuna käyttäen voidaan nyt todistaa Jordanin kaarilause. Sen todistuksessa nojaudutaan myös Lauseeseen 3.3. Lause 3.7 (Jordanin kaarilause). Olkoon A R 2 kaari. Tällöin joukko R 2 \ A on yhtenäinen. Todistus: Olkoon A R 2 kaari. Se on rajoitettu, joten on olemassa sellainen kuula B( 0, r), että A B( 0, r). Joukko R 2 \B( 0, r) R 2 \A on yhtenäinen ja rajoittamaton, joten se sisältyy joukon R 2 \ A rajoittamattomaan komponenttiin. Joukon R 2 \ A mahdolliset muut komponentit sisältyvät kuulaan B( 0, r). Näin joukolla R 2 \ A on täsmälleen yksi rajoittamaton komponentti. Osoitetaan, että joukolla R 2 \ A ei ole rajoitettua komponenttia. Tehdään vastaoletus, että sillä on ainakin yksi rajoitettu komponentti. Olkoon se U. Kaari A on suljettu, joten joukko R 2 \A on avoin avaruudessa R 2 ja sen komponentit ovat avoimia. 22