7.1. Käänteiskuvauslause

LUKU 7 Käänteiskuvauslause Parit (E, ), (F, ),... ovat Banachin avaruuksia, ellei toisin mainita. [4, Ch. XIV, Lemma. 1.1] 7.1. Käänteiskuvauslause Lause 7.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja f : X X kutista kuvaus, t.s. on olemassa k (0, 1) siten, että d(f(x), f(y)) k d(x, y) kaikille x, y X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste, t.s. piste z X, jolle f(z) = z. ja Todistus. Olkoon x 0 X. Määritellään jono (x n ) n=1 rekursiivisesti Kun n = m + r > m, on x n := f(x n 1 ), n Z +. d(x n, x m ) = d(f(x n 1 ), f(x m 1 )) k d(x n 1, x m 1 ) k m d(x r, x 0 ) d(x r, x 0 ) d(x r, x r 1 ) + d(x r 1, x r 2 ) + + d(x 1, x 0 ) (k r 1 + k r 2 + + 1) d(x 1, x 0 ) 1 1 k d(x 1, x 0 ). Näistä epäyhtälöistä seuraa, että jono (x n ) n=1 on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, on jonolla raja-arvo z = lim n x n X. Koska kutistava kuvaus on jatkuva, on z = lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(z). n n n Siis z on kiintopiste. Jos myös z olisi kiintopiste, olisi Koska k < 1, on oltava d(z, z ) = 0. d(z, z ) = d(f(z), f(z )) k d(z, z ). [4, Ch. XIV, Thm. 1.2], [14, Ch. I, Thm. 5.2], [1, Ch. 1, 4.1 4.5], [3, Ch. X, Thm. 2.5], [5, Thm. 2.5.2]: Lause 7.2. Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F. Tällöin pisteellä x 0 on ympäristö U ja pisteellä y 0 := f(x 0 ) on ympäristö V siten, että f U : U V on diffeomorfismi (t.s. f lokaali diffeomorfismi pisteessä x 0 ). 1 Viimeksi muutettu 11.02.2011. 46

7.1. KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE 47 Todistus. Voidaan olettaa, että E = F ja Df(x 0 ) = I E ; muuten tarkastellaan kuvausta (Df(x 0 )) 1 f : U E. Lisäksi voidaan olettaa, että x 0 = 0 ja y 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota x f(x + x 0 ) y 0. Olkoon g : U E, g(x) := x f(x). Tällöin g(0) = 0 ja Dg(0) = 0. Derivaatan jatkuvuuden nojalla on olemassa r > 0 siten, että Dg(x) 1, kun x 2r. 2 Väliarvolauseen nojalla g(x) 1 x, kun x 2r. Tästä seuraa, että 2 g(b(0; r)) B(0; r/2). Yhtälön y = f(x) ratkeavuus. Osoitetaan, että jokaiselle y B(0; r/2) on olemassa yksikäsitteinen x B(0; r) siten, että f(x) = y. Olkoon g y (x) := y + g(x) = y + x f(x). Kun y r/2 ja x r, on g y (x) y + g(x) r, joten g y on kuvaus g y : B(0; r) B(0; r). Suljettu pallo B(0; r) on täydellinen metrinen avaruus ja g y on kutistava kuvaus: g y (x 1 ) g y (x 2 ) = g(x 1 ) g(x 2 ) 1 2 x 1 x 2. Banachin kiintopistelauseen nojalla kuvauksella g y on yksikäsitteinen kiintopiste x B(0; r). Kiintopiste x on yhtälölle y = f(x) etsitty ratkaisu. Käänteiskuvauksen jatkuvuus. Kuvaus f : B(0; r) B(0; r/2) on siis jatkuva bijektio. Olkoon ϕ := f 1 : B(0; r/2) B(0; r). Koska g(x) + f(x) x, on x 1 x 2 g(x 1 ) g(x 2 ) + f(x 1 ) f(x 2 ) 1 2 x 1 x 2 + f(x 1 ) f(x 2 ), joten x 1 x 2 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Siis ϕ on jatkuva (vieläpä Lipschitz-jatkuva). Käänteiskuvauksen differentioituvuus. Olkoot y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ) B(0; r/2). Tällöin ϕ(y 1 ) ϕ(y 2 ) (Df(x 2 )) 1 (y 1 y 2 ) = x 1 x 2 (Df(x 2 )) 1 (f(x 1 ) f(x 2 )) = (Df(x 2 )) 1( Df(x 2 )(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) ) (Df(x 2 )) 1 Df(x 2 )(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) ( ) (Df(x 2 )) 1 ε x 1 x 2 (Df(x 2 )) 1 ε 2 f(x 1 ) f(x 2 ) = 2ε (Df(x 2 )) 1 y 1 y 2, missä epäyhtälö ( ) seuraa funktion f differentioituvuudesta. Siis ϕ on differentioituva pisteessä y 2 ja Dϕ(y 2 ) = (Df(x 2 )) 1, t.s. Dϕ(y) = (Df(ϕ(y))) 1. Tästä kaavasta seuraa, että Dϕ on jatkuva.

7.2. IMPLISIITTIFUNKTIOLAUSE 48 Seuraus 7.3. Edellisen lauseen oletuksin: jos f on lisäksi C p -kuvaus (p Z + { }), niin myös käänteiskuvaus f 1 on C p -kuvaus. Todistus. Olkoon g := f 1. Tällöin Dg(y) = (Df(x)) 1, kun x = g(y), t.s. Dg = I Df g, missä I: Isom L(E; F ) Isom L(F ; E), I(A) := A 1. Tässä I on C, Df on C p 1 ja g on C 1. Siis Dg on C 1, jos p 1 1. Väite seuraa induktiolla. Käänteiskuvauslause ei toimi suoraan yleisemmissä topologisissa vektoriavaruuksissa: [5, HT 2.5G] (esimerkissä Fréchet n avaruus). Käänteiskuvauslauseeesta on yleistyksiä Frechet n avaruuksille; ks. [12], [18]. 7.2. Implisiittifunktiolause 7.2.1. Vektorifunktiot. Yksi nykymuotoisen Banachin avaruuksien implisiittifunktiolauseen varhainen versio on Hildebrandtilta ja Gravesista vuodelta 1927, [13]. [4, Ch. XIV, Thm. 2.1], [14, Ch. I, Thm. 5.9], [1, Ch. 1, 4.7], [3, Thm. X.2.1], [5, Thm. 2.5.7]: Lause 7.4. Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a 1, a 2 ) = b ja osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Tällöin on olemassa pisteen a 1 ympäristö V 1 E 1 ja jatkuvasti differentioituva funktio g : V 1 E 2 siten, että g(a 1 ) = a 2 ja f(x, g(x)) = b kaikille x V 1. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 F, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, f(x 1, x 2 )). Tällöin ϕ(a 1, a 2 ) = (a 1, b) ja derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0. D 1 f(a 1, a 2 ) D 2 f(a 1, a 2 ) Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 F (määrää käänteiskuvaus!). Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U U pisteen (a 1, b) ympäristöön U 1 V. Olkoon h := ϕ 1 : U 1 V U. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = f(x 1, x 2 ), joten f(h(y 1, y 2 )) = f(x 1, x 2 ) = y 2. Koska ϕ(x 1, x 2 ) = (x 1, f(x 1, x 2 )), voidaan funktion ϕ käänteiskuvaus h esittää muodossa h(x, y) = (x, H(x, y)), missä H : U 1 V E 2 on C 1 -kuvaus. Asetetaan g : U 1 E 2, g(x) := H(x, b). Tällöin g on C 1 -funktio ja (x, f(x, g(x))) = ϕ(x, g(x)) = ϕ(x, H(x, b)) = ϕ(h(x, b)) = (x, b). Huomautuksia 7.5. a) Pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U voidaan valita niin, että yhtälöllä f(x, y) = b on täsmälleen yksi ratkaisu (x, y) U, y = g(x). Voidaan myös osoittaa, että pisteellä a 1 on ympäristö U 1 niin, että jokaisessa pisteen a 1 yhtenäisessä ympäristössä U 1 U 1 on täsmälleen yksi jatkuva funktio g : U 1 E 2 siten, että g(a 1 ) = a 2, (x, g(x)) U kaikille x U 1 ja f(x, g(x)) = b kaikille x U 1. Ks. [1, Ch. 1, 4.7], [3, Thm. X.2.1].

7.2. IMPLISIITTIFUNKTIOLAUSE 49 b) Pari käänteiskuvauslause implisiittifunktiolause voidaan todistaa myös päinvastaisessa järjestyksessä; ks. [3, Thm. X.2.1]. Tällöin kiintopistelauseesta tarvitaan parametrista riippuva versio. Hildebrandtin ja Gravesin artikkeli käyttää tämänkaltaista esitystä. 7.2.2. Reaalifunktiot. Edellä esitetty implisiittifunktiolauseen todistus pohjautuu vaativantuntuiseen käänteiskuvauslauseeseen. Jos tyydytään tarkastelemaan reaaliarvoisia funktioita, voidaan implisiittifunktiolause todistaa suoraan kurssin Analyysi 2 tiedoilla. 2 Lause 7.6. Olkoot H Hilbertin avaruus, U H avoin ja f : U R jatkuvasti differentioituva funktio. Oletetaan, että pisteessä z 0 U on f(z 0 ) = 0 ja b := f(z 0 ) 0. Asetetaan H 0 := f(z 0 ). Tällöin on olemassa avoin joukko U 0 H 0 ja jatkuvasti differentioituva funktio g : U 0 R siten, että x + g(x) b U kaikille x U 0 ja f(x + g(x) b) = 0 kaikille x U 0. Todistus. Voidaan olettaa, että z 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota z f(z 0 + z). Lisäksi, kun ϱ := Df(0)b = f(z 0 ), b, on ϱ > 0. Koska Df on jatkuva, on Df rajoitettu jossakin origon ympäristössä. Hilbertin avaruus H voidaan esittää suorana summana H = H 0 b. Koska Df on jatkuva ja Df(0)b = ϱ > 0, voidaan olettaa, että Df(z)b ϱ/2 origon ympäristössä U := {z = x + ξ b x δ 1, ξ δ 1 }. Koska f(0) = 0 ja funktion [ δ 1, δ 1 ] R, ξ f(ξ b), derivaatta on Df(ξ b)b > 0, on f( δ 1 b) < 0 < f(δ 1 b). Jatkuvuuden nojalla on olemassa δ 2 (0, δ 1 ) siten, että f(x δ 1 b) < 0 < f(x + δ 1 b) kaikille x H 0, x δ 2. Olkoon x H 0, x δ 2. Koska funktio [ δ 1, δ 1 ] R, ξ f(x + ξ b) on jatkuva, aidosti kasvava ja saavuttaa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, on Bolzanon lauseen nojalla olemassa täsmälleen yksi ξ = ξ x ( δ 1, δ 1 ) siten, että f(x + ξ b) = 0. Asetetaan U 0 := B H0 (0; δ 2 ) ja g : U 0 R, g(x) := ξ x. Tällöin x + g(x) b U U ja f(x + g(x) b) = 0 kaikille x U 0. Olkoon x 0, x U 0. Merkitään z 0 := x 0 + g(x 0 ) b ja z := x + g(x) b. Koska f on differentioituva, löydetään reaaliarvoisten funktioiden väliarvolauseen nojalla piste z J z0,z siten, että joten 0 = f(z) f(z 0 ) = Df(z )(z z 0 ) = Df(z )(x x 0 ) + (g(x) g(x 0 )) Df(z )b, (7.1) g(x) g(x 0 ) = Df(z )(x x 0 ). Df(z )b Koska derivaatta Df on rajoitettu ja Df(z)b ϱ/2 origon ympäristössä U, seuraa yhtälöstä (7.1), että g(x) g(x 0 ) 0, kun x x 0. Siis g on jatkuva. Edelleen yhtälön 2 Todistus on lainattu tasosta Hilbertin avaruudelle modifioituna Ernst Hairerin ja Gerhard Wannerin kirjasta Analysis by Its History (Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, Corrected third printing, Springer, 2000).

(7.1) nojalla on g(x) g(x 0 ) + Df(z 0)(x x 0 ) Df(z 0 )b 7.3. KOMPLEMENTOITUVAT ALIAVARUUDET 50 = Df(z 0)(x x 0 ) Df(z 0 )b Df(z )(x x 0 ) Df(z )b = (Df(z )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z ) (Df(z 0 )b) (Df(z )b) (x x 0 ). Kun x x 0, on z = x + g(x) b x 0 + g(x 0 ) b = z 0, joten myös z z 0. Koska (Df(z 0 )b) (Df(z )b) (ϱ/2) 2 ja (Df(z )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z ) (Df(z 0 )b) Df(z 0 ) (Df(z 0 )b) Df(z 0 ) = 0, kun x x 0, seuraa funktion g differentioituvuus edellisestä yhtälöstä. Huomautuksia 7.7. a) Kun edellistä todistusta tarkastelee huolellisesti ja otetaan huomioon lause 7.12, voidaan itse asiassa luopua oletuksesta, että H on Hilbertin avaruus; riittää, että H on normiavaruus ja Df(z 0 ) 0. Tässä tilanteessa asetetaan H 0 := ker Df(z 0 ) ja vektori b valitaan lauseen 7.12 mukaisesti, b H \ H 0. Tällöin H on topologinen suora summana, H = H 0 b. b) Euklidisen avaruuden tapauksessa käänteiskuvauslause voidaan todistaa ilman Banachin kiintopistelausetta; tällöin käytetään apuna kompaktiutta. 3 c) Implisiittifunktiolause pätee ilman avaruuden E täydellisyysvaatimusta, jos kuvauksen f maaliavaruus on äärellisulotteinen: Olkoot E on normiavaruus, U E avoin, f : U R m jatkuvasti differentioituva. Oletetaan, että pisteessä z 0 U on f(z 0 ) = 0 sekä Df(z 0 ): E R m on surjektio. Kohdassa a) yksi tärkeä ominaisuus on ytimen H 0 := ker f(z 0 ) komplementoituvuus, jolle nyt on vastine: Lauseen 7.13 nojalla on olemassa m-ulotteinen aliavaruus H 1 H siten, että H on topologinen suora summana, H = H 0 H 1. Ks. [15, Thm. VI.4.1]. Vrt. myös lauseeseen 7.17. 7.3. Komplementoituvat aliavaruudet [4, Ch. V, 1]), [3, V.4, V.8, V.9], [5, 2.1, 2.1B] Vektoriavaruuden E aliavarvuuksien E 1 ja E 2 summa E 1 + E 2 := {u 1 + u 2 u 1 E 1, u 2 E 2 }. Summa on suora, jos E 1 E 2 = {0}; tällöin merkitään E 1 E 2 := E 1 + E 2. Tärkeä Banachin avoimen kuvauksen lauseen seuraus on ([4, Ch. XV, Cor. 1.4]): Lause 7.8. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja A: E F jatkuva lineaarikuvaus. Jos A on bijektio, niin käänteiskuvaus A 1 : F E on jatkuva, t.s. A on isomorfismi. Seuraus 7.9. Olkoot E Banachin avaruus ja E 1, E 2 E suljettuja aliavaruuksia siten, että E = E 1 E 2. Tällöin kuvaus on isomorfismi. E 1 E 2 E, (x 1, x 2 ) x 1 + x 2, 3 Esimerkiksi lause 13.6 kirjassa Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, 1981.

7.3. KOMPLEMENTOITUVAT ALIAVARUUDET 51 Todistus. Kuvaus on selvästi lineaarinen ja jatkuva koska x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 (x 1, x 2 ). Suora summa -oletuksen nojalla kuvaus on myös bijektio. Suljettuina aliavaruudet E 1, E 2 E ovat Banachin avaruuksia ja tällöin niiden tuloavaruus E 1 E 2 on Banachin avaruus. Olkoon normiavaruus E vektorialiavaruuksien E 1 ja E 2 suora summa. Jokainen x E voidaan tällöin esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = p 1 (x) + p 2 (x), missä p 1 (x) E 1 ja p 2 (x) E 2. Kuvaukset p 1 ja p 2 ovat lineaarikuvauksia (projektiot aliavaruuksille E 1 ja E 2 ). Nyt kuvaus E 1 E 2 E = E 1 E 2, (x 1, x 2 ) x 1 + x 2, on jatkuva lineaarinen bijektio. Tämän kuvauksen käänteiskuvaus on E = E 1 E 2 E 1 E 2, x (p 1 (x), p 2 (x)). Määritelmä 7.10. Normiavaruus E on aliavaruuksien E 1 ja E 2 topologinen suora summa, jos projektiot p 1 ja p 2 ovat jatkuvia. Normiavaruuden E aliavaruus E on komplementoituva, 4 jos on olemassa aliavaruus E, siten, että E on aliavaruuksien E ja E topologinen suora summa. Tällöin sanotaan, että E aliavaruudelle E komplementaarinen aliavaruus. Huomaa, että yhtälön x = p 1 (x)+p 2 (x) nojalla määritelmässä riittää olettaa, että edes toinen projektioista on jatkuva (jos p 1 on jatkuva, niin myös p 2 : x x p 1 (x) on jatkuva). Huomaa myös, että komplementoituva aliavaruus on suljettu: E = ker p, kun p ja p ovat jakoon E = E E liittyvat projektiot. Tekijäavaruuksia tunteville: 5 Olkoon F normiavaruuden E suljettu aliavaruus. Tällöin tekijäavaruus E/F on normiavaruus. Jos F on komplementoituva, E = F G topologisesti, niin kuvaus π G : G E/F on isomorfismi (jatkuva lineaarinen bijektio, jonka käänteiskuvaus on jatkuva). Tekijäavaruutta E/F voidaan usein käyttää komplementaarisen aliavaruuden G korvikkeena, vaikkei F olisikaan komplementoituva. Seuraava tulos seuraa projektiolauseesta ([4, Ch. V, Cor. 1.8]): Lause 7.11. Hilbertin avaruuden suljettu aliavaruus on komplementoituva. Itse asiassa pätee hieman yleisemmin: kun E on sisätuloavaruus ja F E on täydellinen aliavaruus, niin F on komplementoituva ([3, Ch. VI, thm. 3.1]). [3, Ch. V, Thm. 8.1]: 4 Englanninkielessä saatetaan käyttää ilmausta E on aliavaruuden E topological supplement, tai että aliavaruus E splits, tai että aliavaruus E on complemented. 5 Pikakurssi: u v : u v F. Ekvivalenssiluokka [u] = u + F = {u + v v F }. Kanooninen projektio π : E E/F, π(u) := [u]. Normi [u] := inf{ u + v v F } (on normi, kun F on suljettu). Tällöin π on jatkuva, avoin surjektio (avoin: kuvaa avoimet joukot avoimiksi).

7.4. INJEKTIOT JA SURJEKTIOT 52 Lause 7.12. Jos f : E R, f 0, on normiavaruuden E jatkuva lineaarimuoto, niin aliavaruus F := ker f on komplementoituva, E = F b, missä b F. Todistus. Jokainen x E voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = y + ϱ b, missä y F ja ϱ R. Koska f(y) = 0, on ϱ = f(x)/f(b). Olkoon p: E b, p(x) := (f(x)/f(b)) b. Tällöin p on jatkuva lineaarikuvaus, joten E = F b on topologinen suora summa. [3, V.9.3], [4, Ch. XV, Cor. 1.6]: Lause 7.13. Olkoon F normiavaruuden E suljettu aliavaruus. Jos codim F < (t.s. jos on olemassa äärellisulotteinen aliavaruus G E siten, että E = F G algebrallisesti; codim F := dim G), niin F on komplementoituva ja jokainen algebrallinen komplementti G on myös topologinen. Vastaavasti, jokainen äärellisulotteinen aliavaruus on komplementoituva. 7.4. Injektiot ja surjektiot Käänteiskuvauslauseesta saadaan myös seurauslauseita, jotka selvittävät, mitä tapahtuu, kun derivaatta Df(x 0 ): E F ei ole isomorfismi. Pelkkä injektiivisyys tai surjektiivisuus ei ääretönulotteisten avaruuksien tapauksessa riitä (äärellisulotteisessa kylläkin). [14, Ch. I, Cor. 5.5, 5.6], [5, Thm. 2.5.12] (oudot samaistukset); äärellisulotteinen [3, Ch. X, Thm. 3.1]: Lause 7.14 (Lokaali immersiolause I). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F 1 F 2 C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F 1 {0}. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U 1 U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V F 1 F 2, pisteeen (0, 0) ympäristö V F 1 F 2, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : F 1 E siten, että kuvaukselle g f j : F 1 on voimassa: (g f j)(y 1 ) = (y 1, 0). j E f F 1 F 2 g F1 F 2 Todistus. Voidaan olettaa, että x 0 = 0 ja y 0 = 0; muuten tarkastellaan funktiota x f(x + x 0 ) y 0. Olkoon f = (f 1, f 2 ). Oletuksen nojalla Df(0) = (Df 1 (0), Df 2 (0))) = (Df 1 (0), 0) ja Df 1 (0): E F 1 on isomorfismi. Asetetaan j := (Df 1 (0)) 1 : F 1 E ja U := j 1 (U) sekä h: U F 2 F 1 F 2, h(y 1, y 2 ) := f(j(y 1 )) + (0, y 2 ). Tällöin h(y 1, 0) = f(j(y 1 )), h(0, 0) = (0, 0) ja Dh(0, 0) = [ ] Df1 (x 0 ) j 0 = Df 2 (x 0 ) j I F2 [ ] IF1 0. 0 I F2 Siis Dh(0, 0) isomorfismi F 1 F 2 F 1 F 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla h on lokaali diffeomorfismi pisteen (0, 0) F 1 F 1 ympäristössä, h: V U 1 U 2. Olkoon g := h 1 : U 1 U 2 V. Koska h(y 1, 0) = f(j(y 1 )), on g(f(j(y 1 ))) = (y 1, 0), t.s. (g f j)(y 1 ) = (y 1, 0).

7.4. INJEKTIOT JA SURJEKTIOT 53 Jos derivaatta Df(x 0 ) on injektio E F ja kuva-avaruus F 1 := Df(x 0 )(E) on suljettu, niin tällöin Df(x 0 ): E F 1 on kahden Banachin avaruuden välinen jatkuva bijektio, joten sen käänteiskuvaus on jatkuva, t.s. Df(x 0 ): E F 1 on isomorfismi. Seuraus 7.15 (Lokaali immersiolause II). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että derivaatta Df(x 0 ) on injektio ja kuva-avaruus F 1 := Df(x 0 )(E) on komplementoituva. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U 1 U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V F, pisteen 0 ympäristö V F, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : F 1 E siten, että on inkluusiokuvaus. g f j : F 1 j U 1 f V g V [14, Ch. I, Cor. 5.7, 5-8], [5, Thm. 2.5.13] (oudot samaistukset): Lause 7.16 (Lokaali submersiolause I). Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a 1, a 2 ) = 0 ja osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Tällöin on olemassa pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U U, pisteen (a 1, 0) ympäristö V 1 V 2 E 1 E 2 ja lokaali diffeomorfismi h: V 1 V 2 U siten, että j f h: V 1 V 2 h U f F j E 2 on projektion (y 1, y 2 ) y 2 rajoittuma, missä j := (D 2 f(a 1, a 2 )) 1. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 E 2, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, j(f(x 1, x 2 ))). Tällöin derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0 I = E1 0. j D 1 f(a 1, a 2 ) j D 2 f(a 1, a 2 ) j D 1 f(a 1, a 2 ) I E2 Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 E 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U pisteen (a 1, 0) ympäristöön V 1 V 2. Olkoon h := ϕ 1. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = j(f(x 1, x 2 )), joten j(f(h(y 1, y 2 ))) = j(f(x 1, x 2 )) = y 2. Seuraus 7.17 (Lokaali submersiolause II). Olkoot U E avoin, a U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a) = 0, derivaatta Df(a) on surjektio ja sen ydin E 1 := ker Df(a) on komplementoituva, E = E 1 E 2. Tällöin on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2, lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että on projektion rajoittuma. j f h: V h U f F j E 2

7.5. MONISTOISTA 54 7.5. Monistoista [4, Ch. I, 1 2], [14, Ch. II, 1 2], [5, 3.1 3.2] Olkoot E, E ja Ẽ Banachin avaruuksia siten, että E E = Ẽ, sekä M Ẽ. Sanotaan, että M on Banachin avaruuden Ẽ alimonisto (tai E-alimonisto tai E- tyyppinen alimonisto), jos jokaiselle x M on olemassa ympäristo U Ẽ ja C1 - diffeomorfismi ψ : U V 1 V 2 E E siten, että ψ(u M) = V 1 {0}. Koska siirto on diffeomorfismi, voidaan yhtälailla vaatia, että ψ(u M) = V 1 {b}, missä b V 2. Kurssin [DL2, määr. 4.1] pinnan määritelmää lähempänä on seuraava parametriehto: Joukko M Ẽ on Banachin avaruuden Ẽ E-alimonisto, jos jokaiselle x M olemassa ympäristo U Ẽ, avoin joukko W E ja C1 -homeomorfismi ϕ: W U M siten, että derivaatta Dϕ(u) on injektio ja kuva Dϕ(u)(E) Ẽ on komplementoituva kaikille u W. Todetaan seuraavaksi, että alimonistolle asetetut määritelmät ovat keskenään yhtäpitävät. Alimonisto parametriehto: Olkoon ψ : U V 1 V 2 E E kuten määritelmässä. Tällöin Dψ(x): Ẽ E E on isomorfismi. Asetetaan ϕ: V 1 U M, ϕ(u) := ψ 1 (u, 0), u V 1. Tällöin ϕ on C 1 -homeomofismi (onhan ψ diffeomorfismi) ja derivaatta Dϕ(u) on injektio. Lisäksi kuvajoukko Dϕ(u)(E) Ẽ on komplementoituva kaikille u W. Nimittäin, isomorfismi (Dψ(x)) 1 : E E Ẽ kuvaa komplementaariset aliavaruudet E {0} ja {0} E komplementaarisiksi aliavaruuksiksi, ja Dϕ(u)(E) = (Dψ(x)) 1 (E {0}). Parametriehto alimonisto: Olkoon x 0 M, ϕ: W U M parametriehdon antama kuvaus ja u 0 W siten, että ϕ(u 0 ) = x 0. Olkoot E 1 := Dϕ(u 0 )(E) Ẽ ja E 2 aliavaruudelle E 1 komplementaarinen aliavaruus. Seurauksen 7.15 nojalla on olemassa pisteen u 0 ympäristö W 1 W, pisteen x 0 ympäristö V Ẽ, pisteen 0 ympäristö V Ẽ, diffeomorfismi g : V V ja affiini isomorfismi j : E 1 E siten, että i := g ϕ j : E 1 j W 1 ϕ V g V on inkluusiokuvaus. Koska ϕ 1 : U M W on jatkuva, on ϕ(w 1 ) = U ϕ(w ) jollekin avoimelle joukolle U Ẽ. Tällöin g(ϕ(w 1)) = g(u M) = (i j 1 )(W 1 ). Koska j 1 (W 1 ) E 1 on avoimen joukon kuva affiinissa isomorfismissa, on j 1 (W 1 ) avoin. Siis g(ϕ(w 1 )) on vaadittua muotoa. (Huomaa: i: E 1 E 1 E 2, x 1 x 1, joten tulomuotoisessa esityksessä sitä vastaa kuvaus E 1 E 1 E 2, x 1 (x 1, 0).) Lause 7.18 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot U E avoin, a U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että f(a) = 0, kaikille x M := f 1 (0) derivaatta Df(x) on surjektio ja sen ydin ker Df(x) on komplementoituva. Tällöin M on alimonisto. Todistus. Olkoot x M, E 1 := ker Df(x) ja E = E 1 E 2. Seurauksen 7.17 nojalla on olemassa pisteen x ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2,

7.6. LAGRANGEN KERTOIMET 55 lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että j f h: V h U f F j E 2 on projektion p 2 rajoittuma. Pisteelle x U ehto x M on yhtäpitävä ehdon j(f(x )) = 0 kanssa. Siis x = h(z ) M, jos ja vain jos p 2 (z ) = j(f(h(z ))) = 0. Kun z = z 1 + z 2, on siis x = h(z 1 + z 2 ) M, jos ja vain jos z 2 = p 2 (z 1 + z 2 ) = 0. Siis M U = h(v E 1 ). Määritelmän kaipaama kuvaus ψ = h 1 : U V. Sanotaan, että vektori v on alimoniston M Ẽ tangenttivektori pisteessä x M, jos on olemassa C 1 -polku γ : ( ε, ε) Ẽ siten, että γ(t) M kaikille t ( ε, ε), γ(0) = x ja γ (0) = v. Parien (x; v), missä v on alimoniston M tangenttivektori pisteessä x M, joukko T x (M) on alimoniston M tangenttiavaruus pistessä x. Jos ϕ: W U M on alimoniston M lokaali parametriesitys, niin alimoniston M tangenttiavaruus pistessä x = ϕ(u) M on T x (M) = {x} Dϕ(u)(E). Nimittäin, polun t ϕ(u+t w) tangenttivektori hetkellä t = 0 on Dϕ(u)w. Kääntäen, jos γ : ( ε, ε) M on C 1 -polku, jolle γ(0) = x, ja ψ : U V 1 V 2 E E määritelmän mukainen C 1 -diffeomorfismi, jolle ψ(u M) = W {0} ja ϕ(w) = ψ 1 (w, 0), niin (α, 0) := ψ γ : ( ε, ε) W {0} on C 1 -polku, jolle α(0) = u ja ϕ α = γ. Siis γ (0) = Dϕ(u)α (0) Dϕ(u)(E). Sileän tasa-arvopinnan tangenttiavaruus pisteessä x M = f 1 (0) on T x (M) = {x} ker Df(x). Edellä olleen sileän tasa-arvopintalauseen todistuksessa löydettiin lokaali diffeomorfismi h: V U, h(0) = x. Esityksestä j f h = p 2 nähdään, että lokaali parametriesityksen h V E1 : V E 1 U M derivaatan kuva-avaruus Dh(z 1 )(E 1 ) ker Df(h(z 1 )). Samoin esityksestä nähdään, että jos v ker Df(h(z 1 )), v = Dh(z 1 )u (muista: Dh(z 1 ) on isomorfismi) ja u = u 1 + u 2, niin u 2 0. Siis T x (M) = {x} Dh(0)(E 1 ) {x} ker Df(x). 7.6. Lagrangen kertoimet Lause 7.19 (Lagrangen kerroin). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, f : U R ja g : U F C 1 -funktioita, a U, c := g(a) ja M := g 1 (c). Oletetaan, että Dg(a): E F on surjektio ja sen ydin E 1 := ker Dg(a) on komplementoituva, E = E 1 E 2, ja että rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a. Tällöin a) Df(a)u = 0 kaikille u ker Dg(a); b) on olemassa λ F siten, että Df(a) = λ Dg(a). Todistus. Voidaan olettaa, että c = 0; muuten tarkastellaan kuvausta g c. Lokaalin submersiolauseen 7.17 nojalla on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen 0 ympäristö V E 1 E 2, lokaali diffeomorfismi h: V U ja isomorfismi j : F E 2 siten, että j g h: V h U g F j E 2

7.6. LAGRANGEN KERTOIMET 56 on projektion p 2 : E = E 1 E 2 E 2 rajoittuma. Ehto x M on yhtäpitävä ehdon j(g(x)) = 0 kanssa. Koska j(g(h(z 1 + z 2 )) = z 2, on x = h(z) M, jos ja vain jos z 2 = 0, os siis M U = h(v E 1 ). Ehdosta j g h = p 2 V saadaan p 2 = D(j g h)(z) = j Dg(h(z)) Dh(z). Vektorille v = v 1 + v 2 E 1 E 2 on siis v 2 = 0, jos ja vain jos Dg(h(z))(Dh(z)v) = 0, t.s. ker Dg(h(z)) = Dh(z)(E 1 ). Olkoon ϕ := h V E1 : V E 1 M. Kun rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a, on kuvauksella f ϕ: V E 1 R lokaali ääriarvo pisteessä b := h 1 (a). Siis D(f ϕ)(b) = 0, t.s. Df(ϕ(b)) Dϕ(b) = 0. Mutta koska Dϕ(b)(E 1 ) = Dh(b)(E 1 ), on Df(a)u = 0 kaikille u Dϕ(b)(E 1 ) = ker Dg(a). Olkoon A := Dg(a) E2. Tällöin A: E 2 F on jatkuva lineaarinen bijektio kahden Banachin avaruuden välillä, joten se on isomorfismi. Kun asetetaan λ := (Df(a)) A 1 : F R, on λ F. Lisäksi (λ Dg(a))(u 1 ) = λ(dg(a)u 1 ) = 0 = Df(a)u 1, kun u 1 E 1 = ker Dg(a), ja (λ Dg(a))(u 2 ) = Df(a)(A 1 (Dg(a)u 2 )) = Df(a)u 2, kun u 2 E 1. Siis (λ Dg(a))(u) = Df(a)u kaikille u E. Yleistetyssä käänteiskuvauslauseessa (= lokaalissa surjektiolauseessa) 6 ei tarvita lokaalin submersiolauseen oletusta, että derivaatan Df(x) ydin on komplementoituva. Tämän avulla myös Lagrangen kerroinlauseen ehtoja voidaan lieventää. Tähän poimittu versio on lainattu kirjasta [16, 9.2, Thm. 1; 9.3, Thm. 1]; vrt. [4, Ch. XV, 3, Thm. 3.5], [5, Supplement 2.5B]. Lause 7.20 (Yleistetty käänteiskuvauslause). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, h: U G jatkuvasti differentioituva ja x 0 U. Jos Dh(x 0 ): E G on surjektio, niin h on lokaalisti surjektio; tarkemmin: On olemassa vakio K > 0 ja pisteen y 0 := h(x 0 ) ympäristö B(y 0 ; ϱ) siten, että jokaiselle y B(y 0 ; ϱ) on olemassa x U siten, että h(x) = y ja x x 0 K y y 0. Erityisesti, jos Dh(x): E G on surjektio kaikille x U, niin h on avoin kuvaus. [5, HT 2.5H], [16, 9.3, Lemma 1, Thm. 1]: Lause 7.21 (Yleistetty Lagrangen kerroin). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, U E avoin, f : U R ja g : U F C 1 -funktioita, a U, c := g(a) ja M := g 1 (c). Oletetaan, että Dg(a): E F on surjektio, ja että rajoittumalla f M on lokaali ääriarvo pisteessä a. Tällöin a) Df(a)u = 0 kaikille u ker Dg(a); b) on olemassa λ F siten, että Df(a) = λ Dg(a). Todistus. Oletetaan, että piste a on rajoittuman f M on lokaali minimipiste. Olkoon h: U R F, h(x) := (f(x), g(x)). Jos jollekin u E olisi Dg(a)u = 0 ja Df(a)u 0, niin tällöin Dh(a) = (Df(a), Dg(a)): E R F olisi surjektio, koska Dg(a): E F on surjektio. Yleistetyn käänteiskuvauslauseen nojalla jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 ja x U siten, että h(x) = (f(a) δ, 0) (valitse y 0 := (f(a), 0), 6 Lawrence M. Graves, Some mapping theorems, Duke Math. J., Volume 17, Number 2 (1950), 111-114.

*7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 57 y := (f(a) δ, 0), 0 < δ < ϱ ja K δ < ε). Tällöin a ei voi olla rajoittuman f M on lokaali minimipiste. Väitteen jälkimmäinen osa seuraa seuraavasta ortogonaalisuuslauseesta ([4, Ch. XV, 2]): Jos A: E F on jatkuva lineaarikuvaus, jonka kuvajoukko Im(A) on suljettu, niin duaalikuvaukselle A : F E, A (λ) := λ A, on voimassa Im(A * ) = (ker A), missä (ker A) := {ϕ E ϕ(u) = 0 kaikille u ker A}. 7 Kun A := Dg(a), on kohdan (i) nojalla ϕ := Df(a) (ker A). Siis on olemassa λ F siten, että ϕ = A (λ) = λ A. *7.7. Subimmersiolause Kesken! Tulos on lainattau kirjasta [5, Thm. 2.5.12], mutta kirjoittaja ei ole erityisen tyytyväinen käytettyihin sekatuloavaruuksiin. Lokaali immersiolause ja submersiolause on toistettu tähän tarkoitukseen sopivin tuloavaruuksin. Lause *7.22 (Lokaali immersiolause). Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F 1 F 2 C 1 -kuvaus. Oletetaan, että Df(x 0 ) on isomorfismi E F 1 {0}. Tällöin on olemassa pisteen x 0 ympäristö U U, pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristö V 1 V 2 F 1 F 2, pisteen (x 0, 0) ympäristö W E F 2 ja diffeomorfismi g : V 1 V 2 W siten, että kuvaus g f : U f V1 V 2 g E F2 on inkluusiokuvauksen E E F 2, x (x, 0), rajoittuma. Todistus. Olkoon f = (f 1, f 2 ). Oletuksen nojalla Df(x 0 ) = (Df 1 (x 0 ), Df 2 (x 0 ))) = (Df 1 (x 0 ), 0) ja Df 1 (x 0 ): E F 1 on isomorfismi. Asetetaan h: U F 2 F 1 F 2, Tällöin h(x, 0) = f(x), h(x 0, 0) = y 0 ja h(x, y) := f(x) + (0, y). Dh(x 0, 0) = [ ] Df1 (x 0 ) 0. 0 I F2 Siis Dh(x 0, 0) isomorfismi E F 2 F 1 F 2. Käänteiskuvauslauseen nojalla h on lokaali diffeomorfismi pisteen (x 0, 0) E F 1 ympäristöstä W pisteen y 0 F 1 F 2 ympäristöön V 1 V 2. Olkoon g := h 1 : V 1 V 2 W. Koska h(x, 0) = f(x), on g(f(x)) = (x, 0), t.s. (g f)(x) = (x, 0). Asetetaan lopuksi U := f 1 (V 1 V 2 ). [5, Thm. 2.5.13]: 7 Väitetty yhtäsuuruus on itse asiassa yhtäpitävää sen kanssa, että kuvauksen A kuvajoukko on suljettu. Sen sijaan yhtäsuuruus ker A = Im(A) := {λ F λ(v) = 0 kaikille v Im(A)} on voimassa ilman rajoituksia; avaruuksien E ja F tarvitse olla täydellisiäkään. Samoin yhtäsuuruus Im(A * ) = ker A on voimassa ilman rajoituksia.

*7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 58 Lause *7.23 (Lokaali submersiolause). Olkoot U E 1 E 2 avoin, (a 1, a 2 ) U ja f : U F C 1 -kuvaus. Oletetaan, että osittaisderivaatta D 2 f(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 2 F. Olkoon b := f(a 1, a 2 ). Tällöin on olemassa pisteen (a 1, a 2 ) ympäristö U U, pisteen (a 1, b) ympäristö U 1 V E 1 F ja lokaali diffeomorfismi h: U 1 V U siten, että f h: U 1 V h U f F on projektion E 1 F F, (y 1, y 2 ) y 2, rajoittuma. Todistus. Asetetaan ϕ: U E 1 F, ϕ(x 1, x 2 ) := (x 1, f(x 1, x 2 )). Tällöin ϕ(a 1, a 2 ) = (a 1, b) ja derivaatalla Dϕ(a 1, a 2 ) on matriisi [ ] I Dϕ(a 1, a 2 ) = E1 0. D 1 f(a 1, a 2 ) D 2 f(a 1, a 2 ) Tästä seuraa, että Dϕ(a 1, a 2 ) on isomorfismi E 1 E 2 E 1 F. Käänteiskuvauslauseen nojalla ϕ on diffeomorfismi pisteen (a 1, a 2 ) ympäristöstä U U pisteen (a 1, b) ympäristöön U 1 V. Olkoon h := ϕ 1 : U 1 V U. Jos ϕ(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), niin y 2 = f(x 1, x 2 ), joten f(h(y 1, y 2 )) = f(x 1, x 2 ) = y 2. Huomautus *7.24. Derivaatalla Dh(y 1, y 2 ) on matriisiesitys [ ] I Dh(ϕ(x)) = E1 0 (D 2 f(x)) 1 D 1 f(x) (D 2 f(x)) 1. Tästä seuraa, että Dh(ϕ(x)) kuvaa aliavaruuden {0} F E 1 F aliavaruudelle {0} E 2 E 1 E 2 isomorfisesti. [5, Thm. 2.5.15]: Lause *7.25 (Lokaali subimmersiolause). Olkoot U E = E 1 E 2 avoin, a = (a 1, a 2 ) U, f : U F = F 1 F 2 C 1 -kuvaus ja b = (b 1, b 2 ) := f(a). Oletetaan, että (i) kuvajoukko Df(a)(E) = F 1 {0}; (ii) ydin ker Df(a) = E 1 {0}; (iii) kuvajoukko G z := Df(z)(E) on komplementoituva kaikille z U; (iv) rajoittuma Df(z) {0} E2 : {0} E 2 Df(z)(E) on isomorfismi (t.s. osittaisderivaatta D 2 f(z) on isomorfismi E 2 Df(z)(E)) kaikille z U. Tällöin on olemassa pisteen a ympäristö U U, pisteen (a 1, b 1 ) ympäristö U 1 V E 1 F 1, pisteen b ympäristö V F, pisteen (b 1, 0) ympäristö V F ja lokaalit diffeomorfismit h: U 1 V U ja g : V V siten, että kuvaukselle on (g f h)(x, y) = (y, 0). g f h: U 1 V h U f V g V, E 1 F 1 E 1 E 2 F 1 F 2 F 1 F 2, Lauseen äärellisulotteinen versio tunnettaan astelauseena; [3, Thm. X.3.1]. Ehtoa (iv) vastaa äärellisulotteisessa tapauksessa ehto, että derivaatan Df(x) asteen tulee olla vakio. Lineaarikuvauksen A: R n R m aste on kuva-avaruuden A(R n ) dimensio. Yhtäpitävästi, lineaarikuvauksen A aste on k {0,..., min{n, m}}, jos lineaarikuvauksen A jokin (k k)-alideterminantti on nollasta eroava ja kaikki useampiriviset

*7.7. SUBIMMERSIOLAUSE 59 alideterminantit häviävät. Huomaa, että jos derivaatan Df(x) aste on k, niin pisteen x ympäristössä aste on vähintään k (alideterminantin jatkuvuus). Kompleksianalyyttisen funktion f : U C (U C avoin) Jacobin determinantti J f (z) = f (z) 2, joten derivaatan f (z) aste on nolla tai kaksi. Esimerkiksi funktiolle f : z z 2 derivaatan f (z) aste origossa on nolla, mutta muualla kaksi. Todistus. Tarkastellaan kuvausta f 1 : U F 1. Koska kuvajoukko Df(a)(E) = F 1 {0}, on Df 2 (a) = 0, jolloin D 1 f 2 (a) = 0 ja D 2 f 2 (a) = 0. Koska ker Df(a) = E 1 {0}, on D 1 f(a) = 0, jolloin D 1 f 1 (a) = 0 ja D 1 f 2 (a) = 0. Koska D 2 f(a) on isomorfismi E 2 Df(a)(E), on tällöin D 2 f 1 (a) isomorfismi E 2 Df 1 (a)(e), joten lauseen *7.23 nojalla olemassa lokaali diffeomorfismi h: U 1 V U siten, että f 1 (h(x, y)) = y. Todistuksen loppuosassa näytetään, miten lausetta *7.22 voidaan soveltaa kuvaukseen f h. Olkoon f(x, y) := f(h(x, y)) = (y, η(x, y)), missä η : U 1 V F 2, η(x, y) := f 2 (h(x, y)). Derivaatta Dh(x, y) on isomorfismi E 1 F 1 E 1 E 2 = E ja huomautuksen *7.24 nojalla Dh(x, y) kuvaa aliavaruuden {0} F 1 E 1 F 1 isomorfisesti aliavaruudelle {0} E 2 E 1 E 1. Koska D f(x, y) = Df(h(x, y)) Dh(x, y) ja Dh(x, y) on isomorfismi, on kuvajoukko D f(x, y)(e 1 F 1 ) = Df(h(x, y))(e) = G h(x,y). Oletuksen (iv) ja huomautuksen *7.24 nojalla rajoittuma D f(x, y) {0} F1 : {0} F 1 G h(x,y) on isomorfismi. Olkoon P 1 : F 1 F 2 {0} F 1 F 2 F 1 projektio, P 1 (v 1, v 2 ) := (0, v 1 ). 8 Koska D f(x, y)(u, v) = (v, Dη(x, y)(u, v)), on erityisesti D f(x, y)(0, v) = (v, D 2 η(x, y)v) ja P 1 (D f(x, y)(0, v)) = (0, v), t.s. P 1 D f(x, y) {0} F1 = I {0} F1. Siis P 1 on rajoittuman D f(x, y) {0} F1 : {0} F 1 G h(x,y) käänteiskuvaus. Tällöin on siis myös D f(x, y) P 1 = I Gh(x,y), joten kaikille D f(x, y)(u, v) D f(x, y)(e 1 F 1 ) = Df(h(x, y))(e) = G h(x,y) on (v, Dη(x, y)(u, v)) = D f(x, y)(u, v) = (D f(x, y) P 1 )(D f(x, y)(u, v)) = D f(x, y)(p 1 (v, Dη(x, y)(u, v))) = D f(x, y)(0, v) = (v, D 2 η(x, y)v). Siis Dη(x, y)(u, v) = D 2 η(x, y)v kaikille (u, v) E 1 F 1, joten D 1 η(x, y)u = 0 kaikille u E 1, t.s. D 1 η(x, y) = 0. Tämä tarkoittaa, että η(x, y) ei riipu muuttujasta x. Olkoon ˆf(y) := f(x, y), ˆf : F 1 F 1 F 2. Tällöin D ˆf(y): F 1 D f(x, y)({0} F 1 ) on isomorfismi ja D ˆf(y)(F 1 ) = D f(x, y)({0} F 1 ) = Df(a)(E). Väite seuraa nyt lauseesta *7.22 8 Tarkkaan ottaen P 1 on projektiosta ja isomorfismista F 1 F 2 F 2 F 1, (v 1, v 2 ) (v 2, v 1 ), yhdistetty kuvaus. Tämä isomorfismi on tarpeen, jotta käänteiskuvaukselta vaadittu ehto näyttäisi oikealta.