7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun sijaan ja miltä massan säilyminen näyttää näin muotoiltuna? Motivointi: tasetarkastelu valituille alueille ei ole riittävä, kun ollaan kiinnostuttu virtauksen yksityiskohdista Young et al, kappaleet 6.1-6.2
Osaamistavoitteet Selittää fluidielementin deformaation ja jatkuvuusyhtälön välisen yhteyden Osoittaa, toteuttaako virtauskenttä jatkuvuusyhtälön Määrittää fluidielementille erilaisia deformaationopeuksia virtauskentän perusteella
Miten differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö voidaan johtaa?
Mikä on perusperiaate? koordinaatit ja komponentit infinitesimaalinen kontrollitilavuus Taylor Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Mitä saadaan jatkuvuusyhtälöstä? Luento 4 Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Miten jatkuvuusyhtälö tyypillisesti yksinkertaistuu? Yleinen muoto Ajasta riippumaton Kokoonpuristumaton
Ja miltä se näyttää sylinterikoordinaatistossa? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Esimerkki: jatkuvuusyhtälön toteutuminen Prob. 6.10 Eräälle kokoonpuristumattomalle kaksiulotteiselle virtaukselle y- suuntainen nopeus on v = 3 xy x 2 y Määritä nopeuskomponentti x- suunnassa siten, että jatkuvuusyhtälö toteutuu. Vastaus: u = 3/2 x 2 + 1/3 x 3 + f(y)
Mitä jatkuvuusyhtälön derivaatat kuvaavat?
Esimerkki: lineaarinen deformaatio x-akselin suhteen Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Esimerkki: lineaarinen deformaatio x-akselin suhteen Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Millä muilla tavoilla fluidialkio voi deformoitua?
Miten nestealkio käyttäytyy virtauksessa? translaatio lineaarinen deformaatio rotaatio kulmadeformaatio + + + + = = = =
Miten nestealkion deformaatio voidaan määrittää virtauskentästä?
Miten translaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Miten lineaarinen deformaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Miten kulmadeformaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Miten rotaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Esimerkki: virtauskentän ominaisuudet Prob. 6.22 On ehdotettu, että eräs kaksiulotteinen virtauskenttä olisi kuvattavissa komponenteilla u = A y v = B x jossa A ja B ovat positiivisia vakioita. a) Toteuttaako kenttä jatkuvuusyhtälön? b) Onko virtaus pyörteetön? c) Määritä virtaviivojen yhtälö ja piirrä virtaviiva, joka kulkee origon kautta. 1 Vastaus: a) kyllä, b) jos A=B
Miten virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa tasovirtauksille?
Miten virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa tasovirtauksille? Virtafunktio
Mitä virtafunktion tasa-arvokäyrät kuvaavat? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition
Esimerkki: virtafunktio nopeuskentästä Prob. 6.21 Nopeuskenttä on annettu komponenteilla u = x 2, v = 2 x y + x Määritä nopeuskenttään liittyvä virtafunktio mikäli mahdollista. Vastaus: x 2 y 1/2 x 2 + C
Mitä opimme?
Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun sijaan ja miltä massan säilyminen näyttää näin muotoiltuna?
Seuraavaksi kerraksi Torstain luennon aiheena: Differentiaalimuotoinen liikemääräyhtälö Navier-Stokes), Young et al (2012): 6.3, 6.8-6.9 Miten liikemääräyhtälö johdetaan mielivaltaiselle avaruuden pisteelle ja mitä lisäinformaatiota tässä tarvitaan jännitysten käyttäytymisestä? Motivointi: Navier-Stokesin yhtälöt yhdistettynä jatkuvuusyhtälön kanssa muodostavat täysin yleisen mallin Newtonilaisen fluidin virtaukselle