MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24
Skalaarikenttä Olkoon R 2 tason osajoukko. Tällöin reaaliarvoista funktiota f : R kutsutaan skalaarikentäksi. Vastaavasti voidaan tutkia avaruuden R 3 osajoukkoa ja funktiota (eli skalaarikenttää) f : R. Skalaarikenttiä esiintyy monissa sovelluksissa, joissa on esimerkiksi levy ( R 2 ) tai kolmiulotteinen kappale ( R 3 ). Tällöin funktion f saama arvo voi olla esimerkiksi kappaleen tiheys tai lämpötila pisteessä x. Tason R 2 tapauksessa skaarikenttää voi ajatella myös tason osajoukon päälle piirrettynä pintana. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 2 / 24
Esimerkki 1 Olkoon f (x, y) = y/(x 2 + y 2 + 1), (x, y) = [ 5, 5] [ 2π, 2π]. Skalaarikenttää z = f (x, y) voidaan havainnollistaa pintana. Matlab syms x y ezsurfc(y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 3 / 24
Huomautuksia Kolmiulotteisessa tapauksessa skalaarikenttää w = f (x, y, z), (x, y, z) R 3 ei yleensä voi visualisoida tällä tavoin. Joissakin tapauksissa skalaarikentällä on kuitenkin ilmeinen fysikaalinen tulkinta kuten aineen tiheys, lämpötila tai paine pisteessä (x, y, z). Tulkinta voi ilmetä myös funktion matemaattisesta lausekkeesta. Esim. f (x, y, z) = (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 on pisteen (x, y, z) etäisyys pisteestä (a, b, c) R 3. Käytetään myös notaatioita (x, y) = xi + yj R 2 (piste tasossa) ja (x, y, z) = xi + yj + zk R 3 (piste avaruudessa). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 4 / 24
Tasointegraali Olkoon R 2 joukko tasossa ja f : R skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali f (x, y) da. Integraalin arvo on pinnan z = f (x, y) ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta = [a, b] [c, d]: 1 1 1 1 1 1 1 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 5 / 24
Yhden muuttujan tapaus Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona Formaalisti ˆ b a f (x) dx = lim n n f (x i ) x, missä a = x, x 1,..., x n = b on välin [a, b] tasavälinen jako ja x on jakovälin pituus. i=1 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 6 / 24
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, R 2 ) Jaetaan tason osajoukko = [a, b] [c, d] tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on n jakopistettä: Nyt voidaan määritellä n f (x, y) da = lim n i=1 j=1 n f (x i, y j ) x y, missä x ja y vastaavat jakovälien pituutta x ja y-suunnassa: x = b a n, y = d c. n Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 7 / 24
Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali R 3 ) Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: f (x, y, y) dv = lim n n n i=1 j=1 k=1 n f (x i, y j, z k ) x y z, kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R 2 ja f : R. Tässä x = b 1 a 1, y = b 2 a 2 n n ja z = b 3 a 3. n Matematiikan kannalta vieläkin useamman muuttujan funktioita f : R n R, missä n 2, voi integroida samaan tapaan. Niitä ei kuitenkaan yleensä esiinny sovelluksissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 8 / 24
Huomautuksia Yhden muuttajan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin peruslause: f (x) = d dx ˆ x c f (t) dt, kun c, x [a, b] ja f : [a, b] R on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei ole suoraa vastinetta usean muuttujan tapauksessa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 9 / 24
Moninkertainen integraali Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina eli iteroituina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) f (x, y) da = ˆ d ˆ b c a f (x, y) dx dy, kun = [a, b] [c, d]. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) f (x, y, z) dv = ˆ b3 a 3 ( ˆ b2 ( ˆ b1 kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. a 2 a 1 ) ) f (x, y, z) dx dy dz, Mikäli funktio f : R n R (n = 2, 3,...) on (esimerkiksi) jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24
Esimerkki 2 (helppo) Olkoon f (x, y) = xy 2. Lasketaan f (x, y) da, missä = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan xy 2 da = xy 2 dx dy = = [ x 2 y 2 2 y 2 2 dy = ] 1 dy x= ] 1 [ y 3 6 y= = 1 6. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 11 / 24
Esimerkki 3 Olkoon f (x, y, z) = xye z. Lasketaan f (x, y, z) dv, missä = [, 2] [, 1] [ 1, 1]. Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan ˆ 2 xye z dv = xye z dx dy dz = 1 = x 2 ye z 2 1 2 x= y 2 e z 1 1 dy dz = y= dz = 1 1 = e z 1 = e z= 1 e 1. e z dz 2ye z dy dz Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 12 / 24
Esimerkki 4 (numeerinen) Olkoon f (x, y) = y sin(x) + x cos(y). Lasketaan numeerisesti integraali f (x, y) da, kun = [π, 2π] [, π]. MATLAB Määritellään funktio: f = @(x,y) y*sin(x)+x*cos(y) f = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y) Lasketaan integraali: dblquad(f,pi,2*pi,,pi) ans = -9.8696 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 13 / 24
Integrointi yleisemmissä alueissa 1/2 Tutkitaan funktiota f : R, joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa. Tähän asti on oletettu, että on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota ˆ, jolle ˆ. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla siisti (esim. riittää, että reuna on paloittain sileä). 11 111 111 1111 1111 1111 1111 1111 111 111 111 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 14 / 24
Integrointi yleisemmissä alueissa 2/2 Määritellään funktio ˆf : ˆ R seuraavasti: { f (x, y), kun (x, y), ˆf (x, y) =, kun (x, y) ˆ \. Nyt voidaan määritellä f (x, y) da := ˆ ˆf (x, y) da. Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: f (x, y, z) dv := ˆf (x, y, z) dv, kun ˆ on suorakulmainen särmiö ja ˆ. ˆ Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 15 / 24
Esimerkki 5 1/2 Olkoon = {(x, y) R 2 : < x < 1, < y < x}. Lasketaan funktion f (x, y) = xy integraali yli alueen. 11 111 111 1111 1111 1 1 11 11 111 111 1111 1111 1 1 1 = xy 2 2 xy da = x y= dx = ( ˆ x x 3 2 ) xy dy dx dx = x4 8 1 x= = 1 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 16 / 24
Esimerkki 5 2/2 Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: ( ) xy da = xy dx dy = = x 2 y 2 1 x=y ] 1 [ y 2 4 y 4 8 dy = y= y y 2 y 3 2 dy = 1 4 1 8 = 1 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 17 / 24
Esimerkki 5b (tietokoneella) Esimerkin 5 kaltaisissa tapauksissa kannattaa käyttää symbolista laskentaa. MATLAB:issa on sisäänrakennettuna myös symbolinen laskentaympäristö, jonka saa käyttöön komennolla mupad. Edellisen esimerkin ratkaisu symbolista laskentaa käyttäen: MATLAB (MuPA) int(int(x*y,y=..x),x=..1) 1 8 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 18 / 24
Esimerkki 6 Lasketaan funktion f (x, y) = e x2 e x2 da = ( ˆ x Sijoituksella t = x 2, dt = 2x dx saadaan 1 2 e t dt = 1 2 et 1 integraali Esimerkin 5 alueessa. ) e x2 dy dx = t= = e 2 1 2. Huom. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali ( ) e x2 dx dy on hyvin vaikea laskea. y xe x2 dx Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 19 / 24
Epäoleelliset integraalit 1/2 Tähän asti on oletettu, että integrointi tapahtuu rajoitetussa alueessa (siis suorakulmaisen särmiön ˆ sisällä). Monialotteisia integraaleja on mahdollista laskea myös rajoittamattomissa alueissa. Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f (u) kaikilla u. Lasketaan Esimerkin 6 funktion integraali alueessa suorien y = ±x, kun x >, rajoittamassa alueessa. 11 11 111 111 1111 1111 1 1 11 11 111 111 1111 1111 1111 1111 111 111 11 11 1 1 1111 1111 111 111 11 11 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 2 / 24
Epäoleelliset integraalit 2/2 Mikäli integraali on olemassa, sen arvo saadaan laskemalla ˆ ˆ x ˆ e x2 da = e x2 dy dx = 2xe x2 dx x ˆ R = lim 2xe x2 dx. R Integraalin laskemiseksi tehdään muuttujanvaihdot t = x 2, dt = 2x dx, eli ˆ ˆ 2xe x2 dx = e t dt = e t + e = e x2 + e. Siten ˆ R lim R 2xe x2 dx = lim R e x2 R x= = lim R 1 e R2 = 1. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 21 / 24
Esimerkki 7 1/2 Olkoon 1 = {(x, y) R 2 : x >, y x 2 } ja f (x, y) = 1/x 2. 1 11 1 11 11 11 111 111 111 111 1111 1111 1111 1 1 11 111 111 1111 1111 111 111 11 1 1 1111 1111 1111 1111 111 111 111 111 11 11 11 11 1 Lasketaan integraali 1 1 x 2 da = = ˆ x2 2 dx = 2. 1 dy dx x 2 x2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 22 / 24
Esimerkki 7 2/2 Lasketaan integraali alueessa 2 = {(x, y) R 2 : x >, y x}. 111 1111 1 11 11 111 1111 1111 1111 1111 111 11 11 1 111 = 2 x 1 x 2 dx = 2 1 x 2 da = ˆ x x 1 dy dx x2 2x 3/2 dx = lim R 2x 1/2 1/2 1 x=r =. Suppeneminen riippuu integroitavasta funktiosta ja myös alueesta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 23 / 24
Esimerkki 7b (tietokoneella) Esimerkin 7 ratkaisu symbolista laskentaa käyttäen: MATLAB (MuPA) int(int(1/x^2,y=-x^2..x^2),x=..1) 2 int(int(1/x^2,y=-sqrt(x)..sqrt(x)),x=..1) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 24 / 24