RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. a) Tässä paikka x ja aika t esiintyvät muodossa xv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s positiivisen x-akselin suuntaan. b) Tässä paikka z ja aika t esiintyvät muodossa zv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s negatiivisen z-akselin suuntaan. c) Paikkaa x ja aikaa t ei mitenkään saada muotoon x v t, joten funktio ei etene muoto säilyen. 3. Tässä y. Lasketaan muutamia pisteitä ja piirretään kuvaajat: ( x t) 1 3 Paikassa x = 1 on y (1 t) 1 ja saadaan y 4(1 t) v y. t [(1 t) 1] Annetuilla ajanhetkillä v ( t y ) 4/ 9,7 (m/s) ylöspäin, v ( t y,5) (m/s) huipussa ja v ( t y 1,) 4/ 9,7 (m/s) alaspäin. y y 3. a) y Asin( kx t ), k y, y. Sijoitus aaltoyhtälöön antaa x t tuloksen k / v, mikä on tosi. b) y f ( x v t) f ( ), missä xv t y f ( ) f ( ) f ( ) x x x y f ( ) f ( ) f ( ) x x x y f ( ) f ( ) f ( ) v t t t y f ( ) f ( ) f ( ) v v v t t t f( ) f( ) Sijoitus aaltoyhtälöön antaa, mikä on tosi.
4. Peräkkäiset vakiovaiheen käyrät ovat yhden aallonpituuden etäisyydellä toisistaan. Vaiheessa tämä vastaa :tä. Näin ollen a) Pisteillä A ja B on sama vaihe, joten vaihe-ero on rad. b) Pisteiden C ja D väli on kaksi aallonpituutta, joten vaihe-ero on 4 rad. Pisteet ovat kyllä vaiheella mitaten 4 :n etäisyydellä toisistaan, mutta ne ovat aallon samassa vaiheessa (molemmat esim. huippukohdassa). Näin ajatellen vaihe-ero on rad. c) Pisteiden E ja F väli on puoli aallonpituutta, joka vastaa vaihe-eroa rad. 5. Annettujen numeroarvojen avulla ( /T, k / v ) aalto voidaan SI-yksiköissä kirjoittaa muodossa y( x, t),sin x t 5. Poikkeama origossa ( x ) hetkellä t on,1 m, joten y(,),sin,1 tai 5. 6 6 Poikkeama on laskevassa vaiheessa kohti tasapainoasemaa. Tämä tarkoittaa, että nopeus y ( x, t), cos v x t, 5 kun x ja t, on negatiivinen? Tämä toteutuu vain, kun 5 / 6. 6. a) Signaalin nopeus on v F /, missä m/ L ja alhaalla F Mg keskellä F ( M m/ ) g ylhäällä F ( M m) g b) Korkeudella y jännitysvoima on ( ) F y M y g, missä m/ L. F( y) M Nopeudelle tulee v ( y) y g ja nousuaika saadaan laskemalla dy dy v dt dt v ja integroimalla dy 1 dy t y g, missä v y a y Integroimisvihjeen avulla saadaan t a L a. g yl yl M ML a m.
RATKAISUOHJEET Harjoitus 1. Pätee joten a) b) ip e = cosp + isinp = 1+ i = 1, ip/ e = cos p /+ isin p /= + i 1= i ip e = cosp + isinp =- 1+ i =- 1, Ae = Ae e = Ae i i i i i Ae = e Ae = Ae i i i i - 1 Ae = e Ae = Ae i( j + p ) i j i p i j j p / j ( j + p /) j p j ( j+ p). y1 = 4Asina ja y = 5Asin( a + j) = 5Asinacosj + 5Acosasinj. Summaksi tulee y + y = (4A+ 5Acos j )sin a+ (5Asin j )cosa. Kun tässä merkitään 1 a= Bcos b = 4A+ 5Acosj b= Bsin b = 5Asinj tulee summaksi B sin( a + b), missä amplitudi on B a b A 41 4cosj = + = +. Tästä maksimi, kun cosj =+ 1 ja minimi, kun cosj =- 1. Lisäksi cos p /3= 1/. 3. a) Solmupisteiden väli on l/ = ( p / k)/, missä k = ( p /1) cm -1. Paikassa x = 5,cm on sin( kx) = sin( p / ) = 1 ja y( t) = 3cos(5 pt), vy ( t) =-15psin(5 pt) ja a t =- t, Ajanhetkellä t =, s on 5pt = 11p ja tulee y( ) 75p cos(5 p ) yt ( ) = 3cos(11 p) =-3cm vy( t) =- 15psin(11 p) = a ( t) 75p cos(11 p) 75p y =- = cm/s b) Tehokaavan (1.5.) avulla tehoksi lasketaan ensin P = Ø º 4FA wk sin( kx) cos( kx) ø ß sin( wt) cos( wt), [ ] missä vain jälkimmäinen tekijä riippuu ajasta. Sen aikakeskiarvo häviää. 4. a) Kielen pituus L ja perusvärähdystaajuus f 1 annetaan. Laske nopeus (.4.3):sta. b) Taajuus säilyy, kun siirrytään väliaineesta toiseen. Taajuus ilmassa on siis f 1 ja nopeus v annetaan. Aallonpituuden saat laskemalla l =v / f1. 5. Katso (3.4.3) ja (3.4.4). I P/(4 pr ) a) 13dB = (1dB)log = (1dB)log, missä r = 3,4m ja I I b) 13 Tästä I = 1 I ja P» 145,67 W P/(4 pr ) P 9 db = (1 db)log r = = 34 m. I 4p 1 I 9 I 1-1 = W/m.
c) 13 r 1 I tai = r = 1 3, 4 m = 34 m. 9 Ł3, 4m ł 1 I P/(4 pr ) P db = (1 db) log r = = 175174 I 4p 1 I 13 r 1 I 13 tai = r = 1 3,4m = 1751744 m. Ł3, 4m ł 1 I m. Tässä P» 145,67 W. d) Lasketaan ensin äänilähteen teho P, kun 3,4 m:n etäisyydellä havaitaan 13 db: db 13 db = P (1 db) log 3, 4 m P 1475,59678 W 4 p(3, 4 m) I - 1 m = Ł ł Erotuksessa ensimmäinen termi on desibelimäärä, kun absorptiota ei ole. Jälkimmäinen termi sitten absorptio matkalla 3,4 m. Seuraavaksi lasketaan (tunnetulla teholla P) desibelimäärä etäisyydellä r = 35 m: P db b = (1 db)log - 35 m =-,18378dB Ł 4 p (35 m) I ł 1 m Tulos on negatiivinen, joten ääni ei kuulu. 6. Kokeessa aallonpituus ei muutu, koska aallonpituus kytkeytyy pillin pituuteen, joka ei muutu. Taajuuksien suhteelle saadaan fhe vhe / l vhe ghe Milma = = = fhe. f v / l v M g Laskussa on käytetty tulosta (3..3). ilma ilma ilma He ilma
RATKAISUOHJEET Harjoitus 3 1. 1 s -1 ja 1 s -1. Pätee 51. Lisäksi I1 I. 1 pmax I B A. B Poikkeama-amplitudeille: Paineamplitudeille: p A max(1) max() A 1 A. 5 1 1 A1 pmax() p 1 p max(1). a) Korva toimii kuten,5 cm pitkä suljettu pilli, jossa syntyvät seisovat aallot kuullaan erityisen hyvin. Taajuuskaavasta (3.5.4) lasketaa: n 1 fn 344 Hz 35 Hz 3 13 Hz 5 17 Hz 7 48 Hz (jo ultraäänialueella) b) Korva ei ole erityisen herkkä taajuudella 7 Hz, mutta on taas taajuudella 15 Hz. 3. a) Viritettävän kielen taajuus muuttuu huojuntataajuuden verran. Nopeuskaavan (1.4.1) ja kaavan f v / perusteella tiedämme, että taajuus kasvaa, kun jännitys kasvaa ja taajuus pienenee, kun jännitys pienenee. b) Monisteen sivulla 54 olevassa esimerkissä jännityksen muutos kytkettiin taajuuden muutokseen approksimatiivisella kaavalla F f. F f Tässä tehtävässä lasku on tarkoitus laskea tarkasti. Jos jännite ja taajuus ovat aluksi F ja f ja muutoksen jälkeen F ' ja f ', saadaan kaavapari josta saadaan tarkka muutos F f F' f ' F F ' F f f F F f f, missä on käytetty merkintää f ' f f., 4. Kallio "kuulee" taajuuden f ( kallio) v v v v 34 m/s on äänen nopeus ilmassa, f 4 Hz on junan pillin taajuus ja S v S 3 m/s on junan nopeus S f S, missä
Kallio "palauttaa" äänen, joka junassa kuullaan taajuudella ( juna) v vs ( kallio) v vs f f fs v v v S Voit ajatella laskun myös niin, että junan peilikuva kallion takana lähettää äänen kohti junaa. juna - + peilikuva vs vs 5. Merkkisäännöt: Numeroarvot: v 1 km/h 1/3,6 m/s ja v 34 m/s a fa fb f 4 Hz ja huojunta f 1 Hz. a) Havaitsija C kuulee autosta A taajuuden ( A) 34 f L 4 Hz 435,587 Hz 34 1/3,6 Havaitsija C kuulee autosta B taajuuden ( B) 34 fl 4 Hz. Tässä vb v B ja sen yksikkö on m/s. 34 v Huojuntataajuus on B f f f 1 Hz (plus, jos va v b ja miinus, jos v a<v b). ( A) ( B) L L Ratkaistaan v b : 344 435,587 1 34 vb vb 34,78 m/s tai,44 m/s eli 15 km/h tai 73,6 km/h. b) Jos B:n nopeus on 34,78 m/s, niin ( A) 34 1/3,6 f L 4Hz 48 Hz 34 34, 78 Jos B:n nopeus on,44 m/s, niin ( A) 34 1/3,6 f L 4Hz 46 Hz 34, 44 6. Katso luentomonisteen sivulta 61. Lasketaan v h h v vs. v ( v T) h h ( vt) S S Viereisen kuvaajan perusteella shokkiaaltokartion kulman sinille saadaan v h h sin v S d ( v T) h ja tästä ratkaistaan v S. S
RATKAISUOHJEET Harjoitus 4 1. a) Poimi annetusta aallosta k,, E x ja laske, ja E E x E y E z. Polarisaation suunta on sähkökentän suunta ja aallon etenemissuunnan näet sinin sisältä: 6 14 (31 z9 1 t). Etenemisvauhti on / k ja värin selvität aallonpituudesta (sivu 87). b) Sähkökenttä on x-akselin suuntainen, joten magneettivuon tiheyden on oltava y-akselin suuntainen, jotta EB osoittaisi aallon etenemissuuntaan eli z-akselin suuntaan. Siis vain By on nollasta poikkeava. Muoto on sama kuin sähkökentällä. Amplitudin saat sähkökentän amplitudista jakamalla valonnopeudella. c) Irradianssin saat sähkökentän amplitudista, katso (4.3.) sivulla 76.. Kokonaissäteilypaine muodostuu absorboituvasta irradianssista ja heijastuvasta irradianssista. Kokonaisirradianssista I absorboituu irradianssi,6 I ja heijastuu,4 I. Käytä näitä ja sovella tuloksia (4.3.4) ja (4.3.3). Laske sitten voima säteilypaineen ja pinta-alan avulla ja lopuksi liikemäärä voiman ja ajan avulla. 3. Lineaarisesti polarisoitunut aalto: E( x, t) ( E ˆ ˆ yj Ezk )sin( kx t) etenee nopeudella c. Aaltoluvun ja kulmataajuuden saat laskettua annetuista tiedoista. Samoin amplitudin komponentit. Magneettivuon tiheyden kokonaisamplitudin B arvon saat laskemalla E / c ja jaa se komponentteihin siten, että B( x, t) ( B ˆ ˆ yj Bzk )sin( kx t) ja EB osoittaa aallon etenemissuuntaan eli x-akselin suuntaan. 4. a) Laske Ee I suoraan (4.3.):sta. b) Taulukko s. 89. Katso miten saat säteilyvirran säteilytysvoimakkuuden ja pinta-alan avulla. Ala on laserin poikkipinnan ala (halkaisija d) c) Muuta säteilyvirta valovirraksi (4.7.1):n avulla (sivu 97). Aallonpituuden saat annetusta aaltoluvusta ja herkkyyskäyrästä saat V(511),5. 5. a) Taulukko sivulla 96. Esitä lampun valovoima valaistusvoimakkuuden ja etäisyyden avulla (mieti siis kaava Iv Evr ) ja laske tulos. b) Kohdassa a laskettu valovoima on sama kaikkiin suuntiin. Pieni pinta-ala da (katso kuva) näkyy lampusta dacos :n kokoisena. Tästä saat avaruuskulman ja siitä edelleen valovoiman avulla saat valovirran. Valaistusvoimakkuus on tämä valovirta jaettuna pinta-alalla da. Sinun pitäisi saada IvdAcos / r1 Iv Ev cos da r1 ja tästä tulos.
6. a) Muuta ensin annetut säteilyvirrat valovirroiksi käyttäen muunnosta (4.7.) ja silmän herkkyyskäyrää. Kirjoita sen jälkeen lasereiden valaistusvoimakkuudet pinta-alalle A ja laske niiden suhde. Suhteesta tuntematon pinta-ala A supistuu pois ja huomaat, että HeCdtäplä on noin 1,5 kertaa kirkkaampi kuin HeNe-täplä. Tässä on käytetty arvoja V(441,6), ja V(63,8),. b) Yhtä kirkkaiden täplien valaistusvoimakkuuksien suhteen pitää olla yksi. Edelleen, koska täplät ovat saman kokoisia (pinta-ala A), valovirtojen suhteen pitää olla yksi. Herkkyyskäyrän avulla voit laskea vastaavan suhteen säteilyvirroille, ja koska HeNe-säteilyvirta on,5 mw saat argon-laserille,4 mw. Käytetty arvoja V(488,), ja V(543,3),95.
RATKAISUOHJEET Harjoitus 5 1. Tässä tehtävässä on laskettava sivulla 11 esitetty integraali, missä spektraalinen säteilemisvoimakkuus on Planckin lain (4.8.1) mukainen. Käytä vihjeenä annettua sijoitusta ja laske sen avulla myös mitä on d. Tarkista integroimisrajat. Pitää tulla 4 3 kt x M hc dx x hc e 1, josta annetun vihjeen avulla saat lopputuloksen (4.8.3).. a) Käytä kokonaisheijastuksen kriittisen tulokulman määritelmää (5.4.1). b) Hahmottele kuvaaja (esimerkiksi viereisen kuvan mukainen) ja ratkaise säde siitä geometrisesti kulmien ja pituuksien avulla. 3. Ohjeena annetun kuvaajan merkintöjä käyttäen valon kulkuajaksi tulee ni nt t( x) a x b ( c x) c c. Huomaa tässä, että taitekertoimien alla oleva c on valon tyhjiönopeus ja neliöjuuren sisällä oleva c on pisteiden A ja B vaakasuora eräisyys kuvassa. Älä sekoita näitä. Derivoi aika x:n suhteen ja aseta se nollaksi. Perustele miksi näin saatu ääriarvo on minimi eikä maksimi. Ääriarvosta saat helposti taittumislain. 4. a) Laske viereisestä kuvasta ensin kriittinen tulokulma c ja sitten kulma. Edelleen taittumislain avulla saat kulma. Mieti tarkasti pitääkö tulokulman olla suurempi vai pienempi kuin, jotta säde etenisi kuidussa kokonaisheijastuen. b) Alemmassa kuvassa säde saapuu kuituun aivan kuidun alareunaan. Mieti itsellesi selväksi miksi juuri tämä säde on se kriittisin säde kokonaisheijastusta ajatellen. Laske kuvan avulla sin c käyttäen ensin taitekertoimia ja sitten toisaalta geometriaa soveltaen käyttäen R:ää ja D:tä. Laita tulokset yhtäsuuriksi, jolloin saat suhteen R/D taitekertoimien avulla. Mieti pitääkö suhteen olla suurempi vai pienempi verrattuna laskemaasi arvoon, jotta säde etenisi kokonaisheijastuen. Lisäpohdinta: kokonaisheijastuuko kriittinen säde seuraavassa heijastuksessa, jos kuitu on taivutettu 9 asteen kulmaan (kuten kuvassa)? 5. Laske Malusin lain (5.5.1) avulla ensin läpi mennyt irradianssi, kun väliin lisätään vain yksi (N = 1) lisäpolarisaattori. Transmissioakselin kulmaksi on tällöin laitettava 45 astetta suhteessa ensimmäiseen polarisaattoriin. Laske sitten tapaus N = (lisäpolarisaattoreiden kulma on 3 astetta suhteessa edelliseen), sitten N = 3 (kulma on,5 astetta),... jne. Hahmotat pian yleisen tapauksen (lisäpolarisaattoreita N kpl) ja se onkin haettu tulos. Yleisestä kaavasta näet, että valoa menee systeemin läpi sitä enemmän mitä enemmän lisäpolarisaattoreita asetetaan.
6. Laske sivun 134 merkkisäännöt huomioon ottaen kuvausyhtälöllä (6.3.4) ja suurennusyhtälöllä (6.3.5) tulokset s' 4cm ja m /5. Analysoi nämä numeeriset tulokset merkkisääntöihin peilaten esimerkiksi muotoon: Kuva on säteen jatkeilla muodostunut virtuaalinen kuva 4 cm peilin takana. Kuva on samoin päin kuin esine ja sen koko on /5 esineen koosta. Graafisessa tarkastelussa sopiva mittakaava vaakasuunnassa on 1:5. Piirrä esineestä lähtevä optisen akselin suuntainen säde ja kohti peilin huippupistettä etenevä säde. Huomaa myös, että säteet heijastuvat peili kohdalla olevasta pystysuorana janasta (ei kaarevasta pinnasta).
RATKAISUOHJEET Harjoitus 6 1. Laske taittumislain (5.1.) avulla veteen taittuvalle säteelle ( nvesi sin t ) ensin ilman lasikantta ja sitten lasikannen ollessa paikoillaan. Jälkimmäisessä tapauksessa huomaat, että lasilevyn sisällä ilma-lasi rajapinnassa taitekulma lasiin on sama kuin lasi-vesi rajapinnassa oleva tulokulma. Näin suunnan muutokset lasilevyn sisällä eliminoituvat ja tulos nvesi sint nilma sin on sama riippumatta siitä onko lasilevy paikoillaan vai ei.. Käytä linssintekijän yhtälöä (6.5.3). Kun linssi siirretään ilmasta ( n 1 1) nesteeseen ( n 1 n), linssin taitekerroin n ja kaarevuussäteet R 1 ja R eivät muutu. Kirjoita linssintekijän yhtälö polttovälille ilmassa ( 1/ f ilma ) ja nesteessä ( 1/ f neste ) ja laske näiden suhde. Taitekertoimen n saat sitten suoraviivaisella laskennalla. 3. a) Mieti O:n (S) kuvautumista I:ksi (P), kun linssi on paikassa (1) ja toisaalta I:n kuvautumista O:ksi, kun linssi on paikassa (). Linssi on sama molemmissa tapauksissa ja etäisyys L ei muutu, kun linssi siirretään paikasta (1) paikkaan (). Tilanne on sama molempiin suuntiin, joten on oltava: L si so ja d si so. Ratkaise tästä yhtälöparista s I ja s ja O sijoita ne kuvausyhtälöön, jolloin saat tuloksen. b) Kun todellinen esine kuvataan positiivisella linssillä todelliseksi kuvaksi, esineen ja kuvan etäisyys L on aina vähintään 4 f. Tämä osoitetaan siten, että sijoitetaan si L so kuvausyhtälöön, jolloin s I eliminoituu ja saadaan tulos L s O/( so f ). Tämä kertoo, miten L muuttuu, kun esineen etäisyyttä muutetaan. Haetaan, esimerkiksi menetelmällä dl / dso, L:n ääriarvo, joka on helppo perustella minimiksi. Kun L 4 f, niin d ja f L/4. 4. Esine on musta täplä viereisessä kuvassa. Tasopinnan suunnasta katsottaessa nähdään kaksi kuvaa: Kuva 1: Esineestä lähtee kaksi sädettä kohti tasopintaa. Toinen säde etenee optisen akselin suuntaisena suoraan pinnan läpi ja toinen pienessä kulmassa tasopinnasta taittuen. Läpi menneiden säteiden jatkeet leikkaavat 3,33 cm tasopinnasta oikealle. Tämän saat, kun lasket kuvauksen (6.4.1) asettamalla R. Saat s' 3,33 cm.
Kuva. Kaksi sädettä lähtevät kohti pallopintaa, joka on nyt peili. Heijastumisen jälkeen säteet jatkavat kohti tasopintaa, jossa tapahtuu taittuminen. Lopullinen kuva syntyy taas säteenjatkeilla ja sen etäisyys on 1 cm tasopinnan takana (katso kuva). Tuloksen saat, kun lasket ensin kuvauksen (6.3.) koverassa peilissä ( s' 7,5cm) ja sen jälkeen kuvauksen (6.4.1) tasopinnassa. Jälkimmäisessä kuvauksessa esineen etäisyys on s 15,cm. Lopulta s' 1, cm. 5. a) Suoraan kuvausyhtälöllä (6.3.) saat s' 15cm. 6. b) Tarkastele kolmioita OPC ja OPI ja menettele kuten johtamisessa sivulla 13. c) Kuvaviivan toinen pää on paraksiaalinen kuvapiste, jonka laskit a-kohdassa. Tämä piste muodostuu säteillä, joilla h. Toisen pään muodostavat säteet, jotka heijastuvat korkeudelta h d/. Laske kolmioista kulmat tarkasti ja sovella b-kohdan kulmakaavaa. Näiden säteiden kuvapisteen etäisyydeksi saat 14,64 cm, joten kuvaviivan pituudeksi tulee,36 cm. Kuvaviiva ulottuu paraksiaalisesta kuvapisteestä kohti peiliä. Tässä välituloksia: h h 1 cm, R R h,67949 cm, arctan,139 s h h arctan 3,, ' 39,8961 arctan s ' 14, 641cm R s '
RATKAISUOHJEET Harjoitus 7 y y 1. a) Sisäänmenotasossa säde on ja ulostulotasossa Kirjoita matriisiyhtälö 1 x 1 y f 1 / R 1 ja ratkaise siitä x. y f f. f b) Säteen eteneminen lasilevyn läpi on piirretty viereisessä kuvassa. Sisäänmenotasossa säde on y ja ulostulotasossa y f yb f. B yb 1 1 t 1 Laske B n 1 1/ n josta näet, että B eli tapahtuu yhdensuuntaissiirtymä. Näet myös, että y / t n. Kuvaajasta laskemme, että ilman lasilevyä säteen korkeus ulostulotasossa olisi ya t, joten korkeuden muutokseksi tulee ya yb. Koska kulma on pieni, yhdensuuntaissiirtymä d ya yb. A B 1 1 t 1. a) C D ( n 1) / R n 1 1/ n, missä R 5,cm ja 5, t cm. b) Laske y f A B y A B 1 f C D C D ja lue tuloksesta f. 3. Jatkettu systeemimatriisi on tehtävän matriisi. Kirjoita matriisiyhtälö B 1 x A B M 1 C D, missä ABCD-matriisi on 1 M f ja ratkaise siitä x.
y f A B y 4. Käytä matriisiyhtälöä f C D ja viereisen kuvan kolmioita etäisyyksien ja kulmien merkit huomioiden samalla tavalla kuin luennossa (esinepuolen laskussa). Esimerkiksi q saadaan laskemalla y f y f f ja toisaalta f Cy C. q A 5. Viereisen kuvan avulla systeemimatriisiksi voit kirjoittaa: A B 1 x 1 1 3 f 1 1 3 f 1 1 3 f / C D 1 1/ f 1 1 / R 1 1 1/ f 1 1. Huomaa, että linssimatriiseissa (toinen ja kuudes) polttoväli on negatiivinen, joten vastaavan matriisielementti on kirjoitettava muodossa 1/ f, koska tässä laskussa f f (mieti ankarasti). Koveran peilin kaarevuussäde R on merkkisäännön mukaan positiivinen, joten R f. Tässä tehtävässä systeemi on laajennettu sisältämään pelkkien optisten komponenttien lisäksi myös siirrot esineestä ensimmäiseen pintaan (matka 3 f / ) ja viimeisestä pinnasta kuvaan (matka x), joten systeemimatriisissa B (katso sivu 166 luennossa). Tästä saat kuvan paikan ja suurennuksen (A). A B 1 1 1 1 6. a) Systeemimatriisi C D 1/1 1 1 1/ 6 1 ja katso taulukko s. 17. b) Esineen etäisyys s mitataan esinepuolen pääpisteestä O H 1 ja vastaavasti kuvan etäisyys s I mitataan kuvapuolen pääpisteestä H. Käytä ohuen linssin kuvausyhtälöä ja suurennuksen kaavaa. Polttoväli on efektiivinen polttoväli f f. c) Kuva:
RATKAISUOHJEET Harjoitus 8 1. a) Laske ensin b-kohta, josta saat kuvan paikan ja pystyt valitsemaan mittakaavan. Koko systeemin pituudeksi tulee 9 cm, joten pystysuuntaiselle A4-paperille (leveys n. 1 cm) sopiva mittakaava vaakasuunnassa on 1:5. Pystysuunnassa hyvä mittakaava on 1:1. b) Laske kuvaus ensin linssillä L1. Huomaat, että välikuva sattuu aukon A kohdalle. Sen jälkeen "jatko"kuvaus linssillä L vie lopullisen kuvan cm linssistä L oikealle. c) Usein (ei suinkaan aina) optisen systeemin aukkokaihdin on ensimmäinen komponentti, joten kokeillaan sitä ensin. Piirrä esinetason optisella akselilla olevasta pisteestä säde (katkoviiva kuvassa yllä), joka kulkee oletetun aukkokaihtimen (L1) reunan kautta. Kohdassa b laskit, että välikuva sattuu aukon A kohdalle, joten säde kulkee aukon keskipisteen läpi suoraan linssille L, josta se taittuu kuvatasolle optisella akselilla olevaan pisteeseen. Säteen kulun perusteella päättelet, että L1 on aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihdin kuvattuna sitä edeltävällä optiikalla. Tässä edeltävää kuvaavaa optiikkaa ei ole, joten tulopupilli on linssin L1 kohdalla ja se on samankokoinen kuin L1. Lähtöpupillin löydät, kun kuvaat (kuvaus ja suurennus) L1:n L:lla. d) Kenttäkaihtimen löydät pääsäteen (piirretty kuvassa yllä) avulla. Jos olet piirtänyt kuvan tarkasti mittakaavaan, näet että kenttäkaihdin on A (ei siis L, joka on sitä "melkein"). Tuloikkunan saat, kun kuvaat (kuvaus ja suurennus) A:n L1:llä ja lähtöikkunan, kun kuvaat A:n L:lla. e) Näkökulma on esinepuolella ja kuvapuolella ' (katso kuvat vieressä).. Punainen ja violetti säde tulevat samalla tulokulmalla 1 prismaan, mutta vain punainen säde etenee symmetrisesti (minimideviaatio) prisman läpi. Laske ensin punaisen säteen (n = 1,55) avulla tulokulma 1 taittumislakia sin1 nsin ' soveltaen. Tässä ' :n saat säteen symmetrisen etenemisen perusteella (kuva sivulla 181) laskemalla A (9 ') 18. Laske edelleen punaisen säteen deviaatiokulma 1 A. Violetille säteelle (n = 1,535) tulokulma
1 on siis sama kuin punaiselle, mutta deviaatio pitää laskea tarkasta yhtälöstä (8..1). Laske lopuksi deviaatiokulmien erotus. 3. a) Kirjoita ensin yhtälö (8..4) kahdelle (i = 1,) aallonpituudelle: B ni A. i Näiden erotuksesta saat ensin B :n ja laske sitten lopuksi A. b) Laske ensin a-kohdan vakioilla taitekerroin n D ja sitten tarkalla kaavalla (8..) deviaatio. c) Laske ensin taitekertoimien n i avulla deviaatiot i yhtälöstä (8..). Tässä i F, D, C. Prisman dispersion saat ensimmäisestä yhtälöstä sivulla 185 ja dispersiokyvyn (8..5):stä. 4. Muodosta ensin itsellesi kokonaiskuva millaista systeemiä probleemassa käsitellään: a) Laske s ' ja m ohuen linssin yhtälöillä ja sitten lopuksi kuvan korkeus. b) Laske ensin s ' 1 ja m 1 ensimmäisellä (positiivisella) linssillä. Laske seuraavaksi esineen ja kuvan etäisyys ( s 4,483 cm ja s' 15,75377 cm) toisessa kuvauksessa (negatiivisella linssillä). Laske sitten polttoväli kuvausyhtälöllä ja vielä suurennus m. Kokonaissuurennukseksi tulee mtot m1 m ja kuvan koko on koko b:ssä 18 mtot koko a:ssa 18 m kertaa suurempi kuin a-kohdassa.
5. fvasen 1 m 7 1 7 cm, foikea 1 m 5 1 5 cm vasemman silmän kaukopiste Äärettömyydessä ( s ) oleva esine kuvautuu henkilön kaukopisteeseen ( s'?). 1 Kuvausyhtälöllä s ' cm 14,3 cm (silmän edessä) 7 oikean silmän kaukopiste Äärettömyydessä ( s ) oleva esine kuvautuu henkilön kaukopisteeseen ( s'?). 1 Kuvausyhtälöllä s ' cm, cm (silmän edessä) 5 vasemman silmän lähipiste 15 cm:n etäisyydellä ( s 15cm) oleva esine kuvautuu henkilön lähipisteeseen ( s'?). 3 Kuvausyhtälöllä s ' cm 7,3 cm (silmän edessä) 41 oikean silmän lähipiste 15 cm:n etäisyydellä ( s 15cm) oleva esine kuvautuu henkilön lähipisteeseen ( s'?). 3 Kuvausyhtälöllä s ' cm 8,57 cm (silmän edessä) 35 1 1 1 L 1 1 1 6. Efektiivinen polttoväli on, missä ( n 1) ( n 1) Ki f f1 f f1 f fi R1i Ri ja L on linssien välimatka. Tästä derivoidaan d(1/ f) K1 K LK1K ( n 1), dn josta 1 1 1 1 L f1 f K1( n 1) K( n 1)
RATKAISUOHJEET Harjoitus 9. a) L d fo fe ja M saadaan yhtälöstä (8.6.). b) Lopullinen kuva muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen), joten välikuva on okulaarin polttotasossa. Objektiivikuvauksessa on siis so' fo L ja kohteen etäisyys ( s o ) saadaan kuvausyhtälöllä. c) Okulaarikuvauksessa lopullinen kuva pitää saada katsojan kaukopisteeseen eli 5 cm:n etäisyydelle okulaariin eteen. On siis se ' 5mm. Kuvausyhtälöllä saadaan välikuvan etäisyys okulaarista s e ja suurennus kulmasuurennuksena Me 5/ se (katso sivu 197). Edelleen objektiivikuvauksessa kuvan etäisyys on s ' d s ja kuvausyhtälöllä päästään kohteen etäisyyteen s o ja suurennukseen m so'/ so. Vertaamalla b-kohtaan havaitaan, että kohdetta on siirrettävä lähemmäksi objektiivia 9,3 m. Suurennus lasketaan yhtälöstä (8.6.1). o e
3. Kaukoputken objektiivi on aukkokaihdin ja sen kuva okulaarilla kuvattuna on lähtöpupilli. Lähtöpupillin koko suhteessa aukkokaihtimen kokoon antaa tämän kuvauksen suurennuksen s ' m. s 3 Kun lisäksi oletetaan, että objektiivin ja okulaarin polttopisteet yhtyvät kaukoputken sisällä, saadaan s fo fe ja kun tämä sijoitetaan kuvausyhtälöön, tulee 1 1 1 s fo fe 1. s s ' f s ' f Suurennukselle M f / f voidaan lopulta kirjoittaa o e e fo s 3 M f s'. e e
RATKAISUOHJEET Harjoitus 9 4. 5. 6. Paikkavektori on aina r xˆi yˆj zk ˆ. Lisäksi v / k ja k /. a) k k ˆ z k ja k k. Laske pistetulo ja kokoa vastaus. b) k k ˆ ˆ xi kyj, missä ky kx. k k. Laske pistetulo ja kokoa vastaus. c) Aaltovektori on kohtisuorassa tasoja f ( x, y, z) x y z vakio vastaan. Se on siis vektorin f ˆi ˆj k ˆ suuntainen eli muotoa k ( k / 3)( ˆi ˆj k ˆ). Laske pistetulo ja kokoa vastaus
RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. Mittaustulos on ryhmänopeus eli v 9971,6 km/s. Vaihenopeus on v c/ n. Ratkaise dn ryhmänopeuden lausekkeesta vg v p 1 n d tyhjiönopeus numeroarvot. g p 1 B cnv g 1 ja sijoita n.
3. 4. Viereisen kuvan merkintöjä käyttäen vaihe-erolle saadaan ehto asin ( 1) m. a) Kun 1, tulee sin m/ ja tästä saadaan kulmat. b) Kun 1 /, tulee 1 1 sin ( m ) ja tästä kulmat. 4 5. Käytä (min) y m ja Kirjoita yhtäsuuruus (max) y m lausekkeita sivulla 31. Huomaa, että 4. minimi saadaan, kun m = 3. y y ja ratkaise tuntematon aallonpituus. (min) (max) 3 3 6. a) y s / a b) Laske ensin optiset matkat (AP) säteelle 1 ja (BP) säteelle. Optiseksi matkaeroksi saat sitten ( n 1) t ay / s. Kun laitat vastaavan vaihe-eron vastaamaan maksimeja (siis m ) saat tuloksen (max) s ts ym m ( n 1), a a missä jälkimmäinen termi kerto lisälevyn vaikutuksen.
RATKAISUOHJEET Harjoitus 11 1.
3.
4. 5. 6.