KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho

KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0

Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä............... 4.. Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä............. 4..3 Reaaliluvun b-kantakehitelmä................ 5..4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä.............. 7 3 Irrationaaliluvuista 4 Ketjumurtoluvut 4 4. Yksinkertaiset ketjumurtoluvut................... 6 4.. Ketjumurtoalgoritmi..................... 6 4. Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut.............. 8 4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut............. 4.4 Toisen asteen algebralliset luvut................... 8 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut............. 9 5 Paras approksimaatio 38 6 Sovelluksia 40 6. Diofantoksen yhtälöitä........................ 40 7 Yleiset ketjumurrot 4 8 Suppenemistarkasteluja 43

9 Suppenemisehtoja 43 9. Rekursioitten ratkaisemista..................... 46 0 Irrationaalisuusehtoja 48 Transformaatioita 5 Kehitelmiä 5. Hypergeometriset sarjat....................... 5. Hypergeometrinen sarja 0 F..................... 53.3 Kehitelmiä Neperin luvulle...................... 55 3 Irrationaalisuustuloksia 59 3. Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus........... 6 4 Lisää kehitelmiä 63 4. F................................... 63 4. F................................... 64 4.3 π.................................... 64 4.4 e.................................... 64 5 Korjauksia/Lisäyksiä 65

LUENNOT: Ti 4 M03, Ke 4 6 M03. ALKAA: Ti 0..0 klo 4 M03. LUENNOT OVAT LOPPUNEET. LASKARIT: To 4. Alkavat viikolla 3. KAHDET VIIMEISET LASKARIT VIIKOLLA 8 LUENTOAIKOINA. KATSO TEHTÄVÄLAPPU. Loppukoe Ma 5.3.0. 3

Johdanto 80655S KETJUMURTOLUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksia-päättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatio-ominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. Esitiedot: Perusmetodit, Analyysi I, Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I) Kirjallisuus: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (99). Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (93). 4

Jakoalgoritmi, kantaesitys. Jakoalgoritmi Algebra I: Lause.. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b. () Kun b Z +, niin q = a b. (). Kantakehitelmät.. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun b-kantakehitelmä. Lause.. (Algebra I) Olkoot b Z ja a N. Tällöin! esitys a = a n b n, 0 a n b, a n N. (3) n 0 Esitystä (3) sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä. a m...a 0 = (a m...a 0 ) b = a m b m +... + a b + a 0. (4) Todistus... Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Lause.3. Olkoot {b, b,...} Z ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 n a n i= b i, 0 a n b n+, a n N. (5) 5

Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause.4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys a = n a n n!, 0 a n n, a n N. (6)..3 Reaaliluvun b-kantakehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä. Lause.5. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= x n b n, 0 x n b, x n N, (7) joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k = b. Merkintä. 0, x x... = (0, x x...) b = x b + x b +... (8) a m...a 0, x x... = (a m...a 0, x x...) b = (9) a m b m +... + a b + a 0 b 0 + x b + x b +... Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteoria I) Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat 0 y y <. (0) x k+ = by k ; () y k+ = by k x k+ k N. () Tällöin x = by 0 = bx (3) 6

ja Edelleen ja Vastaavasti ja siten Edelleen missä 0 x = bx bx < b 0 x b. (4) y = by 0 x = bx bx 0 y < (5) x = y 0 = x b + y b. (6) y = x b + y b (7) x = y 0 = x b + x b + y b. (8) x = x b + x b +... + x n b + y n, (9) n bn 0 x i b, 0 y i < i =,..., n. (0) Olkoon missä on kasvava ja rajoitettu. Siten x = X n + y n, () bn X n = x b + x b +... + x n b n () lim X n = n= x n b n (3) ja edelleen lim X n = x. (4) Lauseen.5 yleistyksenä saadaan. 7

Lause.6. Olkoot {b, b,...} Z ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= c n b b n, 0 c n b n, c n N. (5) Lauseen.6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen esitys. Lause.7. Olkoon x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= Esimerkki. Määrätään luvuille esitykset (6). d n n!, 0 d n n, d n N. (6) e, /e (7)..4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä.. Esitys x = 0, x x... (8) on päättyvä, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (9) Esitys (8) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+, (30) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x x... = 0, x...x N x N+...x N+L = 0, x...x N x N+...x N+L x N+...x N+L..., (3) missä N on alkutermin pituus. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. 8

Huomaa, että päättyvä esitys on jaksollinen. Esimerkki. a) b =. b) b = 0. 7 = (0, 0000...) = (0, 00). 3 7 = 0, 4857, 7 = 0, 8574, 6 = 0, 8574, 7 4 7 = 0, 5748, 5 7 = 0, 7485, = 0, 4857. 7 Lause.8. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. A). Jos ja niin esitys (7) on päättyvä. x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (3) h p i b, (33) i= B). Jos reaaliluvun x esitys (7) on päättyvä, niin x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (34) missä Ehto (33) lyhemmin h p i b. (35) i= p s p b, p P. (36) Määritelmä.. Olkoot n Z, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k (mod n). (37) 9

Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (38) alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (39) Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = φ(n). (40) Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A. Esimerkki 3. n = 7, b = 0, 0 = 3 Z 7. ord 7 0 6 = φ(7). (4) Lasketaan siis joten 3 0 =, 3 = 3, 3 =, 3 3 = 6, (4) ord 7 0 4 ord 7 0 = 6. (43) Lause.9. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. A). Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x...x N x N+...x N+L = r, r s. (44) s B). Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen (tai päättyvä) eli r s = 0, x...x N x N+...x N+L. (45) C). Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (46) s p T p b, p P; (47) 0

ord U b = L; (48) ja luku N N on pienin, jolle pätee T b N. (49) Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T =, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. A. Esitetty luennolla. B+C. Tapaus x = 0 = 0/ suora. Olkoon sitten 0 < x <. Ehdon (49) nojalla b N = T V, jollakin V Z +. (50) Siten missä jakoalgoritmin nojalla b N x = T V r T U = rv U = cu + d U, (5) rv = cu + d, 0 d U, c, d N. (5) Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (53) a) Tapaus U =. Nyt s = T, jolloin ehdon (47) nojalla p s = T p b, p P. (54) Lauseen.8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b) Tapaus U. Oletuksen (48) nojalla b L (mod U), (55)

joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava Olkoon b L d U = ( + au)d U = d U + ad. (56) d U = d n b, 0 d n n b, d n N, (57) n= luvun d/u Lauseen.5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (57) kaavaan (56), jolloin saadaan d b L +... + d L b 0 + d L+ b + d L+ b + d L+3 b 3 +... = (58) ad + d b + d b + d 3 b 3 +... (59) Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla) saadaan d = d L+, d = d L+, d 3 = d L+3,... (60) eli d L+j = d j j =,,..., (6) ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (53) nojalla missä x = c b N + b N d U, (6) c = c K b K +... + c 0, K < N. (63) Niinpä x = x b +... + x N b N + d b (N+) + d b (N+) +... + d L b (N+L) + d b (N+L+) + d b (N+L+) +... + d L b (N+L) +... = 0, x...x N d...d L. (64)

3 Irrationaaliluvuista Määritelmä 3.. Luku α C Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava padisten lukujen kunta.) Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R Q on irrationaalinen. Esimerkki 4. 5 / Q, i = / Q. (65) Tämä yleistyy tulokseksi Lause 3.. Olkoon D Z neliövapaa. Tällöin D / Q. (66) Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lause 3.. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n + rn / Q. (67) Todistus, joka perustuu Wilesin tulokseen, kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Esimerkki 5. Todistus. Jos olisi log log 3 / Q. (68) log log 3 = a b, a, b Z+, (69) 3

niin b = 3 a 3 a 3 (70) mikä on mahdotonta. Esimerkki 6. log / Q. (7) Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 5. Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla. Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim + n = n n) Lause 3.3. Neperin luku e on irrationaalinen. k=0 Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). k!. (7) Lauseeseen.9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 3.4. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ = (a, τ...τ N τ N+...τ N+L ) b, (73) niin τ / Q. Esimerkki 7. a) τ = 0, 0000000000... / Q. (74) b) Olkoon b Z. Tällöin n=0 b (n+ ) / Q. (75) 4

4 Ketjumurtoluvut Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta b + a a b +... + an bn jolle käytetään seuraavia merkintöjä ( ) ak = a K n k= b k b + a, (76) a n b.... (77) + + b n Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia ja luvut b n osanimittäjiä. Lause 4.. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+ = b n+ A n+ + a n+ A n, (78) B n+ = b n+ B n+ + a n+ B n (79) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Tällöin ( ) b 0 + K n ak k= = A n n N, (80) B n kunhan B n = 0. Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin n =, jolloin b k V.P. = b 0 = b 0 = A 0 B 0 = O.P.. (8) V.P. = b 0 + a b = b 0b + a b = A B = O.P.. (8) Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0,,..., l, jolloin b 0 + a b + a a l b... = A l = b la l + a l A l. (83) + + b l B l b l B l + a l B l 5

Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään jolle kohdan (83) nojalla pätee K(x) = b 0 + a b + a b +... + a l x, (84) K(x) = xa l + a l A l xb l + a l B l, (85) kunhan x = 0 ja nimittäjä = 0. Siten kohdista (84) ja (85) seuraa K(b l + a ( ) l+ ) = b 0 + K l+ ak k= = b l+ b k ( ) b l + a l+ b l+ A l + a l A l ( ) = b l + a l+ b l+ B l + a l B l a l+ b l+ A l + b l A l + a l A l a l+ = b l+ B l + b l B l + a l B l a l+ A l + b l+ A l a l+ B l + b l+ B l = A l+ B l+, (86) missä on sovellettu rekursioita (34) ja (343) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. Määritelmä 4.. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun ( ) b 0 + K ak k= b k (87) n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (87) suppenee, mikäli raja-arvo lim (88) B n n on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (87) arvo on raja-arvo (88). A n 6

Ääretöntä ketjumurtolukua (87) voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a Edelleen käytetään merkintöjä b + a b +... = b 0 + [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= a b + a b +... ( ( Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. Määritelmä 4.. Olkoot b k b k. (89) ) ; (90) ). (9) b 0 N, b k Z +, a k =, k Z +. (9) Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= ( ) b k (93) on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti ( ) [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= b k (94) on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 4. Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 4.. Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b,...] α (95) 7

seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (96) α k = α k + {α k }, 0 {α k } < ; (97) b k = α k ; (98) Jos {α k } = 0 STOP; (99) Jos α k+ = {α k } Siten algoritmi alkaa seuraavasti: {α k } > 0 ; (00) GO TO 97 with k = k + ; (0) α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < ; (0) b 0 = α 0 ; (03) Jos Jos {α 0 } = 0 STOP; (04) {α 0 } > 0 ; (05) α = {α 0 } = α + {α }, 0 {α } < ; (06) b = α ;... (07) Huom. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b,..., b m ] = b 0 + α k = b k + [b ; b,..., b m ] ; (08) {α k+ } ; (09) α = [b 0 ; b,..., b m, b m + {α m }] = [b 0 ; b,..., b m, α m+ ]. (0) 8

Esimerkki 8. Olkoon α = 3, 4. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 4/00; () b 0 = α 0 = 3; () {α 0 } = 4/00 > 0 ; (3) α = {α 0 } = α + {α } = 7 + /7; (4) b = α = 7; (5) {α } = /7 > 0 ; (6) α = {α } = α + {α } = 7 + 0; (7) b = α = 7; (8) {α } = 0 STOP; (9) ja siten [b 0 ; b,...] 3,4 = [3; 7, 7]. (0) Huom. Tärkeä. Numeriirisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. 4. Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b,..., b m ] Q b 0 N, b,..., b m Z +. () Todistus (Laskarit) induktiolla käyttäen kaavaa (08). 9

Lause 4.3. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b,..., b m Z +, että Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., b m ]. () r s = [b 0; b,..., ] (3) oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi (Lukuteoria I/Algebra I): r 0 = r, r = s r 0 = b 0 r + r 0 r < r. r k = b k r k+ + r k+. r m = b m r m + r m+ m N : r m+ = 0, r m+ = 0 0 r k+ < r k+ 0 r m+ < r m r m = b m r m+ r m+ = syt(r, s). Nyt r/s = α 0 ja α 0 = r 0 r = b 0 + r r = α 0 + {α 0 }, (4) 0 {α 0 } = r r < ; (5) α = {α 0 } = r r = b + r 3 r = α + {α }, (6) 0 {α } = r 3 r < ; (7) 0

... α k = r k r k+ = b k + r k+ r k+, (8) α k+ = {α k } = r k+ r k+, (9)... Siten ja Jos b m, niin α m = r m r m α m = {α m } = = b m + r m+ r m, (30) r m r m+ = b m + 0. (3) {α m } = 0 (3) r s = [b 0; b,..., b m ]. (33) r s = [b 0; b,..., b m ] = [b 0 ; b,..., b m, ]. (34) Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., ] (35) oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 4. erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (36) ja (37) avulla.

Lause 4.4. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+ = b n+ A n+ + A n, (36) B n+ = b n+ B n+ + B n (37) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + ja B = b. Tällöin [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n n N. (38) Lause 4.5. Olkoon (F n ) on Fibonaccin lukujono. Tällöin B n F n+ Lause 4.6. Determinanttikaavat. ( ) n 5 + n Z +. (39) A n+ B n A n B n+ = ( ) n n N. (40) A n+ B n A n B n+ = b n+ ( ) n n N. (4) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (36) ja (37). Seuraus 4.. Seuraus 4.. kaikilla k, h N. A n+ B n+ A n B n = ( )n B n B n+ n N. (4) A n+ B n+ A n B n = b n+( ) n B n B n+ n N. (43) A 0 B 0 < A B < A 4 B 4 <... < A k B k < (44) < A h+ B h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (45) Todistus. Tuloksen (43) nojalla A k+ B k+ A k B k = b k+ B k B k+ > 0 k N (46)

mikä todistaa epäyhtälöt (44). Samaten tuloksen (43) nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (45). A h+3 B h+3 A h+ B h+ = b h+ B h+ B h+3 < 0 h N (47) Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (44) ja (45) välistä epäyhtälöä. a) Tapaus h k. Tällöin b) Tapaus h < k. Tällöin Siten A h+ B h+ A k B k = A h+ B h+ A h B h + A h B h A k B k 4 = (48) A h+ B h+ A k B k B h B h+ + A h B h A k B k 45 > A k+ A k 4 = B k+ B k 44 > 0. (49) B k B k+ > 0. (50) Lause 4.7. A h+ B h+ A k B k > 0 h, k N. (5) A n A n+, B n B n+, (5) A n B n n N. (53) Huom 3. Tuloksen (53) nojalla konvergentit An B n olevia rationaalilukuja. ovat supistetussa muodossa 4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.8. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b,..., b m Z +, (54) 3

äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] konvergenttijono. Tällöin lim = τ, τ R +, (55) B n n A n ja 0 < τ A m < m N. (56) B m B m+ B m Todistus. Tuloksien (44) ja (45) nojalla jono ( A k B k ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A h+ B h+ ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim = α, (57) B k k A k lim = α. (58) B h+ h Yhtälöstä (39) ja (4)saadaan A h+ 0 < A k+ B k+ A k B k = F k+ F k+ Edelleen raja-arvona saadaan A k+ A k 0 lim lim lim k B k+ k B k k B k B k+ (59) ( ) 4k 5 k Z +. (60) ( ) 4k 5, (6) josta α = α. (6) Siten lim = α = α. (63) B n n A n Merkitään vielä τ = α = α. Tällöin (Laskarit) 0 < A k B k < τ < A k+ B k+, (64) 4

mistä saadaan τ > 0 ja edelleen Vastaavasti 0 < τ A k B k < 0 < A k+ B k+ τ < B k B k+ k N. (65) B k+ B k+ k N. (66) Siispä 0 < τ A m B m < m N. (67) B m B m+ Lause 4.9. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, n N, (68) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] = τ konvergenttijono. Tällöin ja Edelleen kaikilla m N. b m+ B m B m+ < τ = b 0 + n=0 ( ) n B n B n+ (69) τ A m < m N. (70) B m B m+ B m (b m+ + )B m < τ A m < Huom 4. Usein arvion (70) sijasta käytetään väljempää arviota (7). n=0 B m B m (7) Todistus. Summataan yhtälö (4) puolittain, jolloin m ( An+ A ) m n ( ) n = (7) B n+ B n B n B n+ ja siten m A m ( ) n = b 0 +. (73) B m B n=0 n B n+ Raja-arvona saadaan (69). Edelleen τ A m B m = n=m n=0 ( ) n B n B n+, (74) 5

missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan < B m B m+ B m+ B m+ τ A m <. (75) B m B m+ B m Vielä B m B m+ B m+ B m+ = B m+ B m B m B m+ B m+ = b m+ B m B m+. (76) Lause 4.0. Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b, b,... Z + pätee τ = [b 0 ; b,...] / Q. (77) Todistus. Aluksi, Lauseen 4.8 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 4.3 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (78) Tuloksen (65) nojalla 0 < r s A k B k < B k B k+ k Z + (79) Täten Koska niin 0 < rb k sa k s B k+ k Z +. (80) rb k sa k Z +, (8) rb k sa k s B k+ k Z +. (8) 6

Tuloksen (39) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että joka johtaa ristiriitaan. Lause 4.. Olkoon α R Q, α > 0 annettu ja olkoon s B k+ <, (83) [b 0 ; b,...] α (84) Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b,...] α. (85) Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b,..., b k ] = A k B k (86) [b 0 ; b,...] α (87) liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin nojalla α = [b 0 ; b,..., b m, α m ] = A m B m, (88) missä A m = α m A m + A m, Bm = α m B m + B m. (89) Lasketaan seuraavaksi B m Am A m Bm = B m (α m A m + A m ) A m (α m B m + B m ) = α m (A m B m A m B m ) + A m B m A m B m = ( ) m (α m b m ) = ( ) m {α m }. (90) 7

Siten α A m = A m A m B m = B m B m {α m } 0. (9) B m B m m Lause 4.. Olkoot b 0, c 0 N, b, c, b, c,... Z + ja [b 0 ; b,...] = [c 0 ; c,...], (9) tällöin b k = c k k N. (93) Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. Huom 5. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [,,,...] = [b 0, b,...], (94) [b 0, b,..., b m ] = A m B m = F m+ F m+, (95) A k = A k + A k, B k = B k + B k k =, 3,..., (96) antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista (Lukuteoria I) eli ( F k = 5 + 5 ) k ( ) k 5, (97) niin raja-arvokin lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä A m B m = lim m F m+ F m+ = 5 + (98) [,,,...] = 5 +. (99) 8

Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 4.8 nojalla ketjumurtoluvun (94) arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [,,,...] = [, τ], τ R >, (00) joten τ = + 5 + τ, τ =. (0) 4.4 Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 4.3. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (0) Luku α = a b D (03) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (0) muodostavat. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (04) Huom 6. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (05) on rengasmorfismi ( laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (06) α/β = α/β α, β Q( D). (07) 9

Lause 4.3. Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα + Bα + C = 0. (08) Määritelmä 4.4. Toisen asteen algebrallinen luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b = 0, D / Q. (09) Lause 4.4. Luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A = 0, että Aα + Bα + C = 0. (0) 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4.5. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b,...] () on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, () missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b,...] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L, b N,..., b N+L,...] (3) Jos [b 0 ; b,...] = [b 0,..., b L ], (4) niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. 30

Esimerkki 9. Esimerkki 0. Esimerkki. Esimerkki. [] = + 5 (5) [] = +, [, ] =. (6) [3, 3, 6] =. (7) [0, 0] = 0. (8) Lause 4.5. Euler. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. α = [b 0 ; b,..., b N, c 0,..., c L ] (9) Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L ], (0) α = [b 0 ; b,..., b N, β]. () Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (0) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä β = [c 0,..., c L, β] = C L D L, () C L = βc L + C L, DL = βd L + D L (3) ja C k = c k C k + C k, D k = c k D k + D k (4) kaikilla k =,..., L. Siten β = βc L + C L βd L + D L, (5) 3

josta D L β + (D L C L )β C L = 0. (6) Niinpä β on. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen missä α = [b 0 ; b,..., b N, β] = A N B N, (7) A N = βa N + A N, BN = βb N + B N (8) ja A k = b k A k + A k, B k = b k B k + B k (9) kaikilla k =,..., N. Siispä Siten α on. asteen irrationaaliluku. α = βa N + A N βb N + B N Q( D). (30) Esimerkki 3. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [, 3, 8,,,, 4]. (3) Nyt ja siten missä C 0 D 0 =, β = [,,, 4] (3) β = [,,, 4, β] = C 4 D 4, (33) C D =, C 0 = D 0 = D =, C =, (34) C = c C + C 0 = 3, C 3 = c 3 C + C = 4, (35) D = c D + D 0 =, D 3 = c 3 D + D = 9, (36) C 4 = βc 3 + C = 4β + 3, D4 = βd 3 + D = 9β +. (37) 3

Niinpä ja siten Edelleen β = 4β + 3 9β +, 3β 4β + = 0, (38) β = + 7. (39) 3 α = [, 3, 8, β] = A 3 B 3, (40) A 0 =, B 0 =, A = 7, B = 3, A = 58, B = 5, (4) A 3 = βa + A = 58β + 7, B3 = βb + B = 5β + 3, (4) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β + 7 5β + 3 Q( 7). (43) Lemma 4.. Kun α = [b 0, b,..., b n, α n ], niin α = α na n + A n α n B n + B n (44) α n = αb n A n αb n A n. (45) Lemma 4.. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P d, P, Q, d Z. (46) Lause 4.6. Lagrange. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 4. nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 0 d, P 0, Q 0, d Z. (47) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (96) (0). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (48) 33

missä Siten missä Tässä joten Edelleen pätee 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 <. (49) α = {α 0 } = P + d, (50) Q P = b 0 Q 0 P 0, Q = d P Q 0. (5) Q 0 P d, (5) P, Q Z. (53) Q P d. (54) Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α = α + {α } = b + {α }... (55) ja yleisemmin missä < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (56) Q n P n d. (57) Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } (58) 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n <. (59) 34

missä Tässä joten Edelleen pätee α n+ = {α n } = P n+ + d, (60) Q n+ P n+ = b n Q n P n, Q n+ = d P n+ Q n. (6) Q n P n+ d, (6) P n+, Q n+ Z. (63) Q n+ P n+ d. (64) Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta missä Harjoitustehtävän 8d nojalla ja α n α n = P n d Q n = (65) αb n A n αb n A n αb n A n αb n A n = G n G n, (66) G n = αb n A n αb n A n < 0 n Z + (67) G n = α A n B n B n (68) α A n B B n n Koska α = α, niin on olemassa sellainen n, että α A k B k < < d = α α (69) Bk kaikilla k K = n. Tällöin, joko α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (70) 35

kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P k d Q k = G k G k < 0, (7) josta P k < d d < P k < d k K. (7) Edelleen yhtälöstä (56) ja (7) nähdään, että Q k Q k Q k Q k+ = d P k+ d (73) Q k d k K. (74) Olkoon B = {(S, T ) Z S d, T d}, (75) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z k = K, K +,...} B. (76) Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (77) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+ = α K+L+l+,... (78) Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0,,... (79) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ]. (80) 36

Esimerkki 4. Olkoon d Z +. Tällöin d + = [d, d]. (8) Määritelmä 4.6. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu, jos α = a + b D >, ja < α = a b D < 0. (8) Lause 4.7. Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α >, ja < α < 0 (83) α = [b 0,..., b L ] (84) α = [b L,..., b 0 ]. (85) Lause 4.8. Olkoot D Z, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b, b,..., b, b, A]. (86) Todistus. Aluksi Joten A = b 0 = D, A + D = A. (87) D = [b0 ; b, b,...] = [A; b, b,...] (88) ja Edelleen α = A + D = [A; b, b,...]. (89) α = A D = ( D D ), < α < 0 (90) eli α on redusoitu. Siten tuloksen (84) nojalla α = A + D = [A, b,..., b L ] (9) 37

D = [A, b,..., b L, A, b,..., b L, A,...] (9) eli D = [A, b,..., b L, A], (93) mistä saadaan D A = [0, b,..., b L, A]. (94) Tuloksen (85) nojalla josta Harjoitustehtävä 7a:n nojalla α = D A = [b L,..., b, A]. (95) D A = [0, bl,..., b, A]. (96) Verrataan vielä esityksiä (94) ja (96), joista saadaan b L = b, b L = b,... (97) ja siten D = [A, b, b,..., b, b, A]. (98) Esimerkki 5. 3 = [3,,,,, 6]. (99) 3 = [5,,, 3, 5, 3,,, 0]. (300) Huom 7. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 4.9. Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (30) Todistus. Myöhemmin, Seuraus.4 todistetaan, että e = [,,,,, 4,,, 6,,...] = [,, k, ] k=. (30) 38

5 Paras approksimaatio Määritelmä 5.. Olkoon α R Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio, jos missä u s. sα r < uα t t/u Q {r/s}, (303) Parhaalle approksimaatiolle pätee α r < s α t u. (304) Siispä, jos α t α u r, (305) s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. Lause 5.. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin u B k+. uα t < B k α A k, (306) Todistus. Induktiolla. Olkoon lauseen väite voimassa kaikilla k l. Niinpä voidaan olettaa, että u B l+. Olkoon k = l + ja Vastaoletus: u < B l+. Siten B l+ u < B l+ ja Lauseen 4.7 mukaan uα t < B l+ α A l+. (307) B l+ B l+ s, t Z (308) joille pätee = sb l+ + tb l+, st < 0, a, b Z (309) 39

ja Asetetaan lisäksi u = ab l+ + bb l+, ab < 0. (30) t = aa l+ + ba l+, ab < 0. (3) Tällöin uα t = a(b l+ α A l+ ) + b(b l+ α A l+ ) = ax + by, (3) missä (laskarit) XY = (B l+ α A l+ )(B l+ α A l+ ) < 0. (33) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan kaikissa tapauksissa. Täten Ristiriita. ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (34) uα t = a X + b Y X + Y = (35) B l+ α A l+ + B l+ α A l+ > B l+ α A l+. (36) Lause 5.. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s α A k (37) niin s > B k. Lause 5.3. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s s, (38) niin jollakin k. B k r s = A k B k, (39) 40

Todistus. Olkoon r s = A l B l l sa l rb l l. (30) Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 5. ja oletuksen (38) mukaan Toisaalta mistä saadaan s < B k. Ristiriita. B k s < B k+. (3) B k α A k sα r < (3) s α A k <. (33) sb k B k sa k rb k sb k sb k = r s A k B k (34) α r + s α A k < + sb k s, (35) Lause 5.4. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k < tai Todistus laskareissa. B k B k B k α A k+ < B k+ B k+ (36). (37) 6 Sovelluksia 6. Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomi- ja/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. 4

Määritelmä 6.. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö on Pellin yhtälö. x dy = (38) Lause 6.. Olkoon d Z, d / Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (38) ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (38) mukaan x y = A k B k, (39) (x y d)(x + y d) = x y > d; (330) x y d = x + y d. (33) Niinpä x y d = y (x/y + d) < y, (33) joten Lauseen 5.3 nojalla x y = A k, B k (333) jollakin k N. Esimerkki 6. Tutkitaan yhtälöä x y =. (334) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, ) ja (x, y) = (7, ) ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n = (3 + ) n. (335) Tällöin β n β n = x n y n = (3 ) n =. (336) 4

Täten jokainen (x n, y n ) on ratkaisu, joilla on seuraava esitysmuoto Määrää vielä rekursiot luvuille x n ja y n. x n = ((3 + ) n + (3 ) n ), (337) y n = ((3 + ) n (3 ) n ). (338) 7 Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 4. nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a b + a b +... b 0 + K n k= saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k= ( ak b k = b 0 + a ) ( ak b k b + ) a b +... = (339) (340) = A n B n n N, (34) A n+ = b n+ A n+ + a n+ A n, (34) B n+ = b n+ B n+ + a n+ B n (343) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Lause 7.. A n+ B n A n B n+ = ( ) n a a n+ n N. (344) A n+ B n A n B n+ = ( ) n b n+ a a n+ n N. (345) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (34) ja (343). 43

Seuraus 7.. A n+ B n+ A n B n = ( )n a a n+ B n B n+ n N. (346) Todistus laskareissa. A n+ B n+ A n B n = ( )n b n+ a a n+ B n B n+ n N. (347) Seuraus 7.. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A B < A 4 B 4 <... < A k B k < (348) kaikilla k, h N. < A h+ B h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (349) Todistus laskareissa. 8 Suppenemistarkasteluja 9 Suppenemisehtoja Lause 9.. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ) ( K ak k= b k (350) suppenee, jos b k a k + k Z +. (35) Lause 9.. Olkoot b k C, 0 < ε < π/ ja π + ε < arg b k < π ε k Z+. (35) Tällöin ketjumurtoluku ( ) K k= b k (353) 44

suppenee, jos b k =. (354) k= Lause 9.3. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ) ( K ak k= b k (355) suppenee, jos a a n+ B n B n+ 0, (356) ja erityisesti, jos b n+ n i= b i n+ i= a i. (357) Todistus. Edetään kuten Lauseen 4.8 todistuksessa. Nyt yhtälön (346) mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos 0 < A k+ B k+ A k B k = a a k+ B k B k+. (358) Rekursion nojalla a a n+ B n B n+ 0. (359) B k+ = b k+ B k+ + a k+ B k > b k+ B k+, (360) joten Siispä B k > b k b. (36) Esimerkki 7. a a n+ B n B n+ < K k= a a n+ b b n b b n+ 0. (36) ( ) k R +. (363) k + 45

Myöhemmin todistetaan vielä, että Esimerkki 8. Ketjumurto suppenee. arctan = + K k= ( k ) (364) k+ π 4 =. (365) + 3+ 5+... K k= ( ) + i (366) Esimerkki 9. Ketjumurto suppenee. K k= ( ) i (367) Esimerkki 0. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (368) suppenee? Esimerkki. τ = 3 + 3 + 3 +... suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (369) τ = 3 + τ τ = tai (370) mutta kumpi?? Toisaalta esimerkkien (8 ) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 46

9. Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 9.. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+ = rw n+ + sw n, n N (37) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (37) yritteellä w n = x n, x C. (37) Rekursiosta (37) saadaan x rx s = 0, (373) jonka ratkaisut ovat Määritelmä 9.. Polynomi α = r + r + 4s, β = r r + 4s. (374) K(x) = K w (x) = x rx s = (x α)(x β) (375) on rekursion (37) karakteristinen polynomi. Lause 9.4. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (37) ratkaisu. w n = aα n + bβ n (376) Olkoon r + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (37) kaikki ratkaisut ovat muotoa (376), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w. Esimerkki. Ketjumurron b + a b + a b +... (377) 47

konvergenteille pätee A k+ = ba k+ + aa k, B k+ = bb k+ + ab k, (378) joiden karakteristinen yhtälö on x bx a = (x α)(x β). (379) missä α = b + b + 4a Siten rekursioitten (378) yleiset ratkaisut ovat, β = b b + 4a. (380) A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (38) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A = tα + uβ, (38) B 0 = vα 0 + wβ 0, B = vα + wβ. (383) Tapaus a, b R, b + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (384) ja siten b + a a b + b = t +... v. (385) Esimerkki 3. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus aikaisemman Esimerkin kysymykseen. τ = 3 + 3 + 3 = (386) +... 48

0 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 0.. Ketjumurron τ = K n= ( an b n ), (387) häntä on ketjumurto τ k = K n=k ( an b n ). (388) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+. (389) Huom 8. Mikäli ketjumurron (387) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) B) Olkoot a k, b k Q, a k = 0 kaikilla k. Tällöin τ k = 0 a k = 0. (390) Lause 0.. Olkoot a k, b k Z +. Jos τ Q τ k Q k Z +. (39) a k b k k Z +, (39) niin Lause 0.. Olkoot a k, b k Z. Jos ( K an n= b n ) / Q. (393) a k < b k k Z +, (394) ja τ k = k Z +, (395) niin ( K an n= b n ) / Q. (396) 49

Ennen lauseiden 0. ja 0. todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause 0.3. Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < k Z +, (397) niin ( K an n= b n Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin ) / Q. (398) Palautuskaavan (389) nojalla joten välttämättä τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, r k s k k Z +. (399) r k r k+ = s k+ (s k a k b k r k ), (400) s k+ r k s k+ r k k Z +. (40) Edelleen r k+ s k+ r k k Z +. (40) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 0. todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (403) Edelleen 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 0.3. a k b k + τ k+ 403 < a k b k 39. (404) 50

Lemma 0.. Olkoot a k, b k Z. Jos a k < b k k Z +, (405) niin τ k k Z +. (406) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Oletuksen nojalla 0 < a n <. (407) b n Kuten kohdassa (404) saadaan a n 0 < <,... (408) b n + an b n 0 < a a a n = A n <. (409) Niinpä ja samaten b + b +...+ b n B n τ = lim A n B n τ (40) τ k k Z +. (4) Lauseen 0. todistus. Lemman 0. nojalla τ k k Z +. (4) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < k Z +, (43) joten Lausetta 0.3 käyttämällä saadaan väite. 5

Transformaatioita Lause.. Olkoot t k = 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a b + a b +... = (44) eli missä b 0 + t a t t a t t 3 a 3 t b + t b + t 3 b 3 +... K k= ( ak b k ) = K k= ( ck d k (45) ), (46) d 0 = b 0, c = t a, d = t b, (47) c k = t k t k a k, d k = t k b k, k =, 3,... (48) Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t t n A n, D n = t t n B n n =,,... (49) Induktiolla käyttäen rekursioita C n+ = d n+ C n+ + c n+ C n, (40) D n+ = d n+ D n+ + c n+ D n, n = 0,,... (4) Kehitelmiä Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä. 5

. Hypergeometriset sarjat Pochhammerin symboli määritellään asettamalla blue(a) 0 =, (a) n = a(a + ) (a + n ), (4) jolloin esimerkiksi () n = n! n Z +. (43) Formaalia sarjaa blue A F B ( a,..., a A b,..., b B ) t = n=0 kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. blue (a ) n (a A ) n n!(b ) n (b B ) n t n (44) Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. Erikoistapauksia: Gauss hypergeometric series F ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (45) Geometric series Logarithm series Binomial series: F (, F (, F (, α ) ( t = F 0 ) log( t) t = t ) t = ( t) α = ) t = = n=0 n=0 t n (46) n=0 n + tn (47) ( ) α ( t) n (48) n 53

Arcustangent: F (, / 3/ ) t = arctan t t = n=0 ( ) n n + tn+ (49). Hypergeometrinen sarja 0 F Sarjalle pätee palautuskaava josta saadaan Niinpä f(c) = 0 F ( c f(c) = f(c + ) + f(c + k) = f(c + k + ) + Toistetaan yhtälöä (433), jolloin ) t = n=0 n!(c) n t n (430) t f(c + ), (43) c(c + ) t f(c + k + ). (43) (c + k)(c + k + ) t f(c + k) f(c + k + ) = + (c+k)(c+k+) f(c + k + )/f(c + k + ). (433) t f(c) f(c + ) = + (c)(c+) f(c + )/f(c + ) = (434) + + t (c)(c+) t (c+)(c+) f(c+)/f(c+3) Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä + + suppenee kaikilla t C kohti funktiota t (c)(c+) t (c+)(c+) +... siten käyttämällä vielä muunnosta (46)saadaan =... (435) (436) f(c) f(c + ), (437) 54

Lause.. Olkoon c, t C, c = 0,,,... Tällöin f(c) f(c + ) = + + t (c)(c+) t (c+)(c+) +... = (438) Lemma.. Lemma.. t/c + c + + sinh z = z 0 F ( 3/ t c++ t c+3+... ) z = 4 n=0. (439) (n + )! zn+ ; (440) ( ) cosh z = 0 F z = / 4 (n)! zn ; (44) n=0 ( ) tanh z = z 0 F 3/ z 4 ( ). (44) 0F / z 4 sin z = z 0 F ( 3/ cos z = 0 F ( / ) z = 4 z 4 tan z = z 0 F n=0 ( ) n (n + )! zn+ ; (443) ) ( ) n = (n)! zn ; (444) n=0 ) z 4 ). (445) z ( 3/ 0F ( / Lause.. Kaikilla z C, z = i(π/ + kπ), k Z pätee Todistus. Lauseen. mukaan 4 tanh z = ez e z e z + e = z z z z z + 3 + 5 + 7. (446) +... tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F ( 3/ 0F ( / z 4 z 4 ) ) = (447) 55

z f(/)/f(3/) = + z t/c t c++ c++ t c+3+... (448) t=z /4,c=/ = + z z / z 3/+ /4 5/+ z /4 7/+... = (449) z. (450) z + 3+ z 5+ 7+... z Lause.3. Kaikilla z C, z = π/ + kπ, k Z pätee tan z = z + Todistus kuten Lauseessa.. z 3 + z 5 + z 7 +.... (45).3 Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus.. Kaikilla z C pätee Todistus. Yhtälön (446) nojalla missä e z = + e z = + + + z z z z + 3 + 5. (45) +... tanh z = (453) z + z 3 + z 5 +... = (454) z +τ + = + z + τ z + τ (455) z z + τ, (456) τ = z z 3 + 5. (457) +... 56

Seuraus.. e = + [0,, 4k + ] k= = + + I. Todistus. Asetetaan z = / kehitelmään (45), jolloin 6 + 0. (458) +... e = + /4 /4 46 = (459) / + 3 + 5 +... Lause.4. + + 6 + 0. +... (460) e = [,, k, ] k= = + + +. +... (46) e = [7, 3k,,, 3k, k + 6] k=. (46) Todistus. Todistetaan (46), kehitelmä (46) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (458), missä merkitään Käytetään myös merkintöjä ja β k = α = β = + 6 + 0. (463) +... d k + β k+, d k = 4k, k =, 3,... (464) α 0 = β = Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b,...]. Sijoitetaan yhtälöön (465), jolloin β = =. (465) d + β + β = (466) d + β 3 6 + β 3 α 0 = + β 3 7 + β 3 = + 5 + β 3 7 + β 3 = b 0 + {α 0 }; (467) 57

Sijoitetaan yhtälöön (470), jolloin α = {α 0 } = 7 + β 3 5 + β 3 = + 5 + β 3 = b + {α }; (468) α = {α } = 5 + β 3 = + + β 3 = b + {α }; (469) α 3 = {α } = + β 3. (470) β 3 = d 3 + β 4 = 0 + β 4 (47) α 3 = d 3 + β 4 d 3 + + β 4 = + d 3 + β 4 d 3 + + β 4 = b 3 + {α 3 }; (47) α 4 = {α 3 } = d 3 + + β 4 = + = b 4 + {α 4 }; (473) d 3 + β 4 d 3 + β 4 α 5 = {α 4 } = d 3 + β 4 = d 3 + + β 4 = b 5 + {α 5 }; (474) α 6 = {α 5 } = + β 4. (475) Yleisemminkin johon sijoitetaan Tällöin α 3l 3 = β l+ = {α 3l 4 } =, (476) + β l+ d l+ + β l+. (477) α 3l 3 = d l+ + β l+ d l+ + + β l+ = (478) + d l+ + β l+ d l+ + + β l+ = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (479) α 3l = + {α 3l 3 } = d l+ + + β l+ d l+ + β l+ = (480) d l+ + β l+ = b 3l + {α 3l }; (48) 58

siten jälleen Niinpä ja siten josta α 3l = d l+ {α 3l } = d l+ + β l+ α 3l = + + β l+ b 3l = d l+ = (48) = b 3l + {α 3l }; (483) {α 3l } =. (484) + β l+ = l, b 3l = b 3l+ = (485) α = β = [,,,,, 4,,...,, k,,...], (486) e = + β = [,,,,, 4,,...,, k,,...]. (487) II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa A n B n = [,,,,, 4,,...,, k,,..., b n ], (488) missä A 3n+ = A 3n + A 3n, B 3n+ = B 3n + B 3n ; (489) A 3n+ = (n + )A 3n+ + A 3n, B 3n+ = (n + )B 3n+ + B 3n ; (490) A 3n+3 = A 3n+ + A 3n+, B 3n+3 = B 3n+ + B 3n+. (49) Asetetaan α n = n! β n = n! γ n = n! 0 0 0 x n (x ) n e x dx, (49) x n+ (x ) n e x dx, (493) x n (x ) n+ e x dx. (494) 59

Lemma.3. α n = β n γ n ; (495) β n = nα n + γ n ; (496) γ n = β n α n. (497) Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista ja e, joten merkitään: Lemma.4. α n = v 3n e t 3n ; (498) β n = t 3n v 3n e; (499) γ n = t 3n v 3n e. (500) Lemma.5. Lemma.6. Todistus. v n = A n n N. (50) B 3n e A 3n = α n B 3n e A 3n = β n B 3n e A 3n = γ n 0; (50) n 0; (503) n 0; (504) n lim A n B n = e e = [,, k, ] k=. (505) 3 Irrationaalisuustuloksia Lause 3.. Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (506) 60

Todistetaan tapaus z = r Z {0}. Yhtälön (446) nojalla Vastaoletus e r e r + = r r r + 3 + Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että jolloin Lauseen 0. nojalla Ristiriita. 5 +...+ e r Q er e r + r k + τ k+ = τ. (507) Q. (508) b k = k + > r = a k, (509) τ k+ / Q τ / Q. (50) Lause 3.. π / Q (5) I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = ja yhtälön (45) nojalla z = + z z z 3 + 5 + 7. (5) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = + (r/s) (r/s) (r/s) 46 = (53) 3 + 5 + 7 +... missä + r r r = τ, (54) 3s + 5 + 7s +... b k = (k + )s k, b k = k + k, (55) a k = r, k Z +. (56) Nyt b k a k +, k k 0 = r + (57) 6

ja siten Lemman 0. mukaan Edelleen 0 < τ k = Siispä Lauseen 0.3 nojalla τ k k k 0. (58) a k b k + τ k+ a k b k r k < r + k a k b k τ k+ (59) k k 0. (50) τ k / Q τ / Q. (5) Ristiriita, sillä τ = r/s. Täten vastaoletus väärä eli π / Q. II. Todistus. Tutkitaan integraaleja I n (π) = n! π jotka toteuttavat seuraavat ehdot (laskarit): Vastaoletus π = r/s Q. Tällöin 0 x n (π x) n sin x dx, (5) I n (t) Z[t] deg t I n = n; (53) 0 < I n (π) πn+. (54) n!n+ s n I n (r/s) Z, (55) joten Ristiriita. s n I n (r/s) sn π n+ n! n+ 0. (56) n Tarkemmin. Käytetään merkintää g(x) = x n (π x) n, jolloin osittaisintegroinnilla J m = π 0 g(x) sin x dx = g(0) + g(π) g () (0) g () (π) (57) 6

+g (4) (0) + g (4) (π) g (6) (0) g (6) (π) +... (58) Tässä g (k) (0) = g (k) (π) = 0, k n, k n + (59) ja Täten ( ) n g (k) (0) = ( ) k g (k) (π) = ( ) k k! π k n, n k n. (530) k n I n (π) = n l n ( ) n+l (l)! n ( ) π n l. (53) n! l n 3. Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Kerrataan, että alkioiden (vektoreitten) α,..., α m lineaarinen vapaus (riippumattomuus) kunnan K yli (lin. vapaita/k) tarkoittaa sitä, että ehdosta s α +... + s m α m = 0, (53) seraa s =... = s m = 0. Olkoon vielä Kα +... + Kα m = {k α +... + k m α m k,..., k m K}. (533) Tällöin dim K {Kα +... + Kα m } = m (534) alkiot α,..., α m ovat lineaarisesti vapaita/k. Lause 3.3. α Q a, b Z, a = 0 : aα + b = 0. (535) α / Q a, b Z, a = 0 : aα + b = 0. (536) α / Q, α lin. vapaita/q (537) α / Q dim Q {Q + αq} =. (538) α Q dim Q {Q + αq} =. (539) 63

Esimerkki 4. e / Q, e lin. vapaita/q (540) π / Q dim Q {Q + πq} =. (54) Huom 9. Avoimia kysymyksiä-erittäin vaikeita. e ja π lin. vapaita/q? (54) eπ / Q? (543) e + π / Q? (544) ( ) n γ = lim log n / Q? (545) n k k= 4 Lisää kehitelmiä 4. F Lause 4.. missä F ( a c F ( a+ c+ a k = t a k+ = ) t ) = + K k= ( ak t ), (546) a + k (c + k )(c + k), (547) a (c + k)) (c + k)(c + k + ). (548) Esitetty luennolla. 64

4. F Lause 4.. missä Koska niin Lause 4.3. Todistus laskareissa. F ( a,b c F ( a,b+ c+ t ) t ) = + K k= ( ak t ), (549) (b + k)(c a + k) a k = (c + k )(c + k), (550) (a + k)(c b + k) a k+ = (c + k)(c + k + ). (55) arctan z = z F (, / 3/ arctan z = z + z 3 + z 5 + ) z, (55) 3 z 7 +.... (553) 4.3 π Lause 4.4. Todistus laskareissa. π 4 = + 3 + 5 + + K k= 3 7 +... = (554) ( k ). (555) k+ 4.4 e Lause 4.5. e = + 3 + Todistus. (Esitetty luennolla). 3 + 4 4. (556) +... 65

5 Korjauksia/Lisäyksiä 9..0: Yhtälöön (6) indeksikorjaus. 9..0: Yhtälöön (6) indeksikorjaus. 9..0: Yhtälöön (30) indeksikorjaus. 7..0: Lisätty Esimerkki 7b (75). 5..0: Tarkennus tulokseen (55). 5..0: Lisätty arvio (7). 5..0: Lisätty huomio (3). 3..0: Lisätty tulos (67). 3..0: Tarkennus epäyhtälöön (305)...0: Tarkennuksia Lauseeseen (4.8) ja todistukseen. 3..0: Lisätty Esimerkit ja 3. 3..0: Tarkennuksia Huomaukseen 8. 4..0: Korjauksia yhtälöihin (54), (55), (57), (50). 4..0: Tarkennuksia yhtälöihin (54), (56). 4..0: Korjaus yhtälöön (53). 66