Laajeneva maailmankaikkeus

Clear@coord, metric, inversemetric, affine, Riemann, Ricci, Rscalar, Einstein, Tmatter, Tmattermix, DcovTmatter, r, q, f, t, B, AD n = 4; coord = 8t, r, q, f<; H* -------------- Metriikka -------------------------- *L i 1 0 0 0 y 0 -a@td^2 ê H1 - K r^2l 0 0 metric = 0 0 -a@td ^2 r 2 ; 0 j k 0 0 0 -a@td ^2 r 2 Sin@qD 2 z { inversemetric = Inverse@metricD êê FullSimplify; inversemetric êê MatrixForm; mixmetric = metric * inversemetric êê FullSimplify; H* ------------- Energia-impulssitensori ------------- *L u = H 1 0 0 0 L; H* Nelinopeus *L Tmatter = Hr@rD + P@rDL Transpose@uD.u - P@rD metric; H* Tmatter jossa toinen indeksi on nostettu ylös *L MixTmatter = inversemetric * Tmatter êê FullSimplify i rhrl 0 0 0 0 -PHrL 0 0 y 0 j 0 -PHrL 0 z k 0 0 0 -PHrL {

2 FRW.nb affine := affine = Simplify@ Table@ H1 ê 2L * Sum@Hinversemetric@@i, sddl * H D@metric@@s, jdd, coord@@kdd D + D@metric@@s, kdd, coord@@jdd D - D@metric@@j, kdd, coord@@sdd D L, 8s, 1, n<d, 8i, 1, n<, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<d D affine; listaffine := Table@ If@UnsameQ@affine@@i, j, kdd, 0D, 8ToString@G@i, j, kdd, affine@@i, j, kdd<d, 8i, 1, n<, 8j, 1, n<, 8k, 1, j<d TableForm@Partition@DeleteCases@Flatten@listaffineD, NullD, 2D, TableSpacing Ø 82, 2<D G@1, 2, 2D G@1, 3, 3D G@1, 4, 4D G@2, 2, 1D G@2, 2, 2D G@2, 3, 3D G@2, 4, 4D G@3, 3, 1D G@3, 3, 2D G@3, 4, 4D G@4, 4, 1D G@4, 4, 2D G@4, 4, 3D ahtl a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1-K r 2 r 2 ahtl a HtL r 2 ahtl sin 2 HqL a HtL a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl K r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1-K r 2 r HK r 2-1L r HK r 2-1L sin 2 HqL a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 1 ÅÅÅÅ r -coshql sinhql a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 1 ÅÅÅÅ r cothql

FRW.nb 3 Riemann := Riemann = Simplify@Table@ D@affine@@i, j, ldd, coord@@kdd D - D@affine@@i, j, kdd, coord@@ldd D + Sum@ affine@@s, j, ldd affine@@i, s, kdd - affine@@s, j, kdd affine@@i, s, ldd, 8s, 1, n<d, 8i, 1, n<, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<, 8l, 1, n<d D listriemann := Table@If@UnsameQ@Riemann@@i, j, k, ldd, 0D, 8ToString@R@i, j, k, ldd, Riemann@@i, j, k, ldd<d, 8i, 1, n<, 8j, 1, n<, 8k, 1, n<, 8l, 1, k - 1<D TableForm@Partition@DeleteCases@Flatten@listriemannD, NullD, 2D, TableSpacing Ø 82, 2<D R@1, 2, 2, 1D R@1, 3, 3, 1D R@1, 4, 4, 1D R@2, 1, 2, 1D R@2, 3, 3, 2D R@2, 4, 4, 2D R@3, 1, 3, 1D R@3, 2, 3, 2D R@3, 4, 4, 3D R@4, 1, 4, 1D R@4, 2, 4, 2D R@4, 3, 4, 3D ahtl a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ K r 2-1 -r 2 ahtl a HtL -r 2 ahtl sin 2 HqL a HtL - a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl -r 2 Ha HtL 2 + KL -r 2 sin 2 HqL Ha HtL 2 + KL - a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl a HtL 2 +K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1-K r 2 -r 2 sin 2 HqL Ha HtL 2 + KL - a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl a HtL 2 +K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1-K r 2 r 2 Ha HtL 2 + KL

4 FRW.nb Ricci := Ricci = Simplify@Table@Sum@Riemann@@i, j, i, ldd, 8i, 1, n<d, 8j, 1, n<, 8l, 1, n<d D Ricci êê MatrixForm êê FullSimplify; listricci := Table@If@UnsameQ@Ricci@@j, ldd, 0D, 8ToString@R@j, ldd, Ricci@@j, ldd<d, 8j, 1, n<, 8l, 1, j<d TableForm@Partition@DeleteCases@Flatten@listricciD, NullD, 2D, TableSpacing Ø 82, 2<D; Rscalar = Simplify@Sum@inversemetric@@i, jdd Ricci@@i, jdd, 8i, 1, n<, 8j, 1, n<d D - 6 Ha HtL 2 + K + ahtl a HtLL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 2 Einstein := Einstein = Simplify@Ricci - H1 ê 2L Rscalar * metricd listeinstein := Table@If@UnsameQ@Einstein@@j, ldd, 0D, 8ToString@G@j, ldd, Einstein@@j, ldd<d, 8j, 1, n<, 8l, 1, j<d TableForm@Partition@DeleteCases@Flatten@listeinsteinD, NullD, 2D, TableSpacing Ø 82, 2<D; H* Einsteinin tensori jossa toinen komponentti on nostettu ylös *L Einstein2 := inversemetric * Einstein; listeinstein2 := Table@If@UnsameQ@Einstein2@@j, ldd, 0D, 8ToString@Gm@j, ldd, Einstein2@@j, ldd<d, 8j, 1, n<, 8l, 1, j<d TableForm@Partition@DeleteCases@Flatten@listeinstein2D, NullD, 2D, TableSpacing Ø 82, 2<D Gm@1, 1D Gm@2, 2D Gm@3, 3D Gm@4, 4D 3 Ia HtL 2 +KM ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 2 a HtL 2 +K+2 ahtl a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 2 a HtL 2 +K+2 ahtl a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 2 a HtL 2 +K+2 ahtl a HtL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ahtl 2

Pallomaisten tähtijoukkojen ikä yhdessä HST-key tuloksen kanssa kosmologiselle vakiolle asettaa vahvan rajoituksen materia-dominoidun maailmankaikkeuden energiatiheydelle. Alla on plotattu kaavan (2.66) määräämä ikä Ω-materian funktiona kolmella eri Hubblen vakon arvoolla (HST-key 1-sigma rajat). Kuvan mukaan täytyisi avoimen materia-dominoidun maailmankaikkeuden tiheyden olla enintään 30 prosenttia kriittisestä tiheydestä. Tämä on jo jonkinlainen ongelma, kun dynaamiset massan määritysmenetelmätkin antavat tiheydelle noin 30-40 prosenttia kriittisestä. Ongelma oli muutama vuosi erityisen kriitinen, kun vanhimpien avointen tähtijoukkojen iäksi arvioitiin jopa 15Gyr ja samalla Hubblen vakiolle saatiian arvoksi noin h=0.8. Selvästikin näillä arvoilla materiadominoitu maailmankaikkeus ei olisi mahdollinen millään Ω:n arvolla! Tilanne korjaantui ylläolevan kuvan mukaiseksi kun huomattiin yhtäältä, että tähtimallit olivat yliarvioineet tähtien ikää noin 10 prosentilla, mutta ennenkaikkea että kaikki kosmiset etäisyyskaalat oli arvioitu noin 10 prosenttia liian pieniksi. Virhe huomattiin kun Hipparcos satelliitti teki ennennäkemättömän tarkkoja parallaksimittauksia. Tämän seurauksena joukot olivatkin kauempana, kirkkaampia ja siksi nuorempia kuin oli luultu (ks sivu 73). Sen lisäksi etäisyysskaalan kasvu merkitsi Hubblen vakion pienenemistä noin kymmenellä prosentilla. Yhtä kaikki, tänä päivänä tiedämme että Ω=1, joten pelkkää materiaa sisältävä maailmankaikkeus on täysin poissuljettu mahdollisuus.

Pallomaisten tähtijoukkojen (globular clusters) iät, perustuvat tähtimalleista laskettuihin tähtien evoluutiokäyriin nk väri-magnitudi (VM) tasossa. Tähdet viettävät suurimman osan elämästään pääsarjassa (main sequence MS). Vedyn loppuessa tähden keskelle alkaa kertyä helium ydin ja tähti siirtyy pois pääsarjasta punaisten jättiläisten haaralle (RGB). Tämän seurauksena VM-diagrammassa näkyy selvä polvi pääsarjasta kääntymisen (main sequence turn off (MSTO) kohdalla. Pallomaisen joukon M15 väri-magnitudi diagramma. Kirkkaat tähdet ovat ylhäällä ja viileät oikealla. Pääsarjan tähdistä merkitty vain 10 %. Tähden ikä kääntymispisteen kohdalla voidaan laskea 5% tarkkuudella jos sen massa tunnetaan. Massa taas saadaan helposti luminositeetista joten tehtäväksi jää luminositeettiakselin kalibronti, mikä edellyttää etäisyyden luotettavaa mittausta. Tämä voidaan tehdä käyttäen esim. RR-Lyrae tähtien (horisontaali haarassa olevia, heliumia polttavia sykkiviä tähtiä) tunnettua P(L)-relaatiota käyttäen, mutta voidaan myös tehdä kattava statistinen sovittaminen käyttäen tiettyjen pääsarjan tähtien tunnettuja spektraalisia ominaisuuksia (main sequence fitting). Tämä onnistuu koska GC:t eivät ole liian kaukana (tavalliset tähdet eivät ole liian himmeitä).

Sama kuin edellä sivulla 72. Nyt avoimen maailmankaikkeuden tulokseen on lisätty laakean Ω = 1 mallin ennustama ikä. Edelleen olen käyttänyt WMAPin tuloksia h: lle, eli rajat ovat h = 0.71 + 0.04-0.03. WMAPin vahvistama kosminen standardimalli kattaa tasosta pienen harmaalla ellipsillä (summittaisesti) merkityn alueen. Maailmankaikkeuden ikä ei enää selvästikään ole minkäänlainen ongelma avointen tähtijoukkojen kannalta.

Magnitudi-punasiirtymä relaatio Supernova-Cosmology Projectin havaitsemille tyypin Ia supernoville. Diagramma on Hubblen diagramman yleistys suurille z:n arvoille. Sama kuin yllä, mutta nyt magnitudit on normitettua laakeaan standardimalliin. Siniset pisteet ovat SCP:n tuloksia ja punaiset pisteet edustavat SNAP-satelliitin mittausten ennustettua tarkkuutta.

Tyypin 1a supernovat ovat standardikynttilöitä, koska niiden valokäyrän maksimin luminositeetti saadaan määritettyä hyvin tarkasti. Itseasiassa valokäyrien maksimit eivät sellaisenaan ole kovin hyvin kalibroituja, kuten näkyy allaolevan kuvan ylemmästä paneelista. Huomataan kuitenkin että erittäin konsistentisti: pidempi valokäyrä == suurempi luminositeetti. Kun valokäyrän muoto korjataan (empiirisellä) venytyskorjauksella (yksiparametrinen universaali funktio, jonka alkuperää ei tosin tunneta teoreettisesti) saadaan erittäin tarkka luminositeetin mittaus.