Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Transkriptio

1 Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe (varianssin neliöjuuri) s = s x n missä keskihajonta s = n i= 1 ( xi x) n Mikäli mittaus tehdään vain kerran, voidaan epävarmuutena käyttää aikaisemmista mittauksista määritettyä keskihajontaa 2 Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 1

2 Esimerkki mittauksen tilastollisesta käsittelystä Mittaustulos Mittaustulos Mittaustulosten keskiarvo Mittausten lukumäärä Tarkastellaan mittausta, jossa mitattavaan arvoon (2.5) on summautunut valkoista kohinaa. Kohina on tasajakautunut välille ±1 Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 2

3 Keskiarvo ja keskihajonta Mittaustulos Mittausten lukumäärä Mittaustulos Keskiarvo+keskihajonta Mittaustulosten keskiarvo Keskiarvo-keskihajonta Mikäli kohinan odotusarvo on 0, keskiarvo konvergoi pikkuhiljaa oikeaan arvoon 2,5 Mittaustuloksista 68% osuu välille x ± s keskihajonta kuvaa yksittäisen mittaustuloksen epävarmuutta Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 3

4 Keskiarvon keskihajonta Mittausvirhe Keskihajonta Keskiarvon keskihajonta -Keskivirheen keskihajonta Virhe Mittausten lukumäärä Oikea arvo on 68 % todennäköisyydellä välillä x± s x keskiarvon keskivirhe kuvaa keskiarvona lasketun tuloksen epävarmuutta Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 4

5 Esimerkki kalibroinnista ja mittausepävarmuudesta Mittaamme sinisen Laserin tehoa (λ=406 nm, P=1 W) optisen tehon mittalaitteella, joka koostuu pyrosähköisestä (termisestä) detektorista ja elektroniikkaosasta. Laboratorion lämpötila on 25±1 C Ko. laite on kalibroitu vertaamalla tarkempaan tehomittariin (u c =0,1%), punaisella (λ=633 nm, P=100 µw) laserilla. Mittaustulokset vaihtelivat rajusti, joten vertailu toistettiin 10 kertaa. Laitteen kalibrointikertoimelle saatiin arvot: f=1,01, 1,02, 1,01, 1,03, 1,04, 1,01, 1,02, 1,04, 1,03, 1,01. Kalibroinnin aikana laboratorion lämpötila oli 20±1 C Lasketaan kalibroinnin epävarmuus ja mittausepävarmuus sinisellä laserilla Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 5

6 Kalibroinnin epävarmuus Kalibrointitulosten tilastollinen käsittely antaa keskiarvoksi 1,022, keskihajonnaksi 0,012, suhteelliseksi keskihajonnaksi 1,2% ja keskiarvon keskihajonnaksi 0,4% Yhdistetty standardi epävarmuus muodostuu tarkemman mittalaitteen epävarmuudesta ja keskiarvon keskihajonnasta ( ) ( ) 2 2 u c = 0, 1% + 0, 4% = 0, 41% efektiivisten vapausasteiden lukumäärä ν eff = 4 ( 041, ) ( 04, ) ( 01, ) 9 = 99, Studentin t-jakaumasta saadaan 95% luotettavuudelle k=2,23. Kalibroinnin epävarmuus on siten 0,9% Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 6

7 Mittauksen epävarmuus Sinisen laserin mittauksessa on nyt otettava huomioon kaikki tekijät jotka ovat muuttuneet, eli aallonpituus (vasteen spektrinen tasaisuus), teho (lineaarisuus) ja ympäristön lämpötila. Lisäksi tulee tyypin A epävarmuus, jonka voidaan kalibroinnista saadun kokemuksen perusteella olettaa olevan 1,2% Epävarmuuslaskelma Epävarmuuslähde Spesifikaatio Hajonta Kalibrointi 0,41 % Spektrinen tasaisuus 0,50 % 0,29 % Epälineaarisuus 1 % 0,58 % Lämpötilariippuvuus (5 astetta) 0,2%/aste=1% 0,58 % Tuloksen oletettu hajonta 1,20 % Yhdistetty epävarmuus 1,5 % Laajennettu epävarmuus k =1,96 3,0 % Huom. Spesifikaatoista otetuille arvoille on oletettu tasajakauma. Efektiivisten vapausasteiden määrä on, koska kaikki komponentit ovat tyyppiä B Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 7

8 Johtopäätöksiä kalibroinnista Useinmiten kalibroinnin epävarmuus tulee muutamasta dominoivasta komponentista. Pienet komponetit eivät juuri näy neliösummassa Tyypin A epävarmuus pienenee mittauskertoja lisättäessä Efektiivisten vapausasteiden laskelma voidaan useinmiten ohittaa ja käyttää 95% luotettavuudelle kerrointa k=2 Mittauksen epävarmuuteen on kalibrointitodistuksesta saatavan kalibroinnin epävarmuuden lisäksi lisättävä muuttuneiden tekijöiden aiheuttama epävarmuus Petri Kärhä Luento 7: Kalibrointi ja epävarmuus 8