Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa. Vastaus Käytetään alkuehtoja p 0 λ 0, q 0, p λ λ 0 +, q λ ja rekursiokaavoja { pn λ n + λ n +. Alkuaskel: q 0 p q p 0 (λ λ 0 + ) λ λ 0 ( ). Induktioaskel: Olkoon ( ) n. Tällöin + + (λ n+ + ) (λ n+ + ) ( ) n ( ) n+. Tehtävä Etsi lukujen ja 7 ketjumurtokehitelmät. Vastaus Ketjumurtokehitelmät saadaan rekursiivisesti näin: On annettu α R. Valitaan α 0 α, α n+ /(α n α n ) ja λ n α n. Tällöin ketjumurtokehitelmä on α {λ 0 ; λ, λ,...}. Tämä on oleellisesti sama algoritmi kuin rationaalilukujen kehitelmää etsittäessä (ks. harj. 0 teht. ), eli kokonaisosat erotetaan ja desimaaliosasta otetaan käänteisluku. Luvun kehitelmä: α 0, λ 0. α α 0 λ 0 + λ α α α λ + + λ α α α λ + α λ λ. Viimeisestä ehdosta nähdään, että rekursio alkaa alusta ja on siis jaksollinen. Saadaan {;,,,,,,...}.
Luvun 7 kehitelmä: α 0 7, λ 0 7. α α 0 λ 0 7 7+ λ α α α λ 7+ 7+ λ α α α λ 7+ 7+ α 4 α λ 7+ α 5 α 4 λ 4 λ α 7 + λ 4 α 4 4 7+ 4 α λ 5 λ. Rekursio on taas jaksollinen. Saatiin 7 {;,,, 4,,,, 4,...}. Tehtävä Käytä taskulaskinta tai tietokonetta ja yritä määrittää luvun e ketjumurtokehitelmän alkuosaa (itseasiassa kehitelmässä vallitsee tietty sääntö, mutta sen havaitseminen vaatii ainakin kymmenen ensimmäisen nimittäjän laskemista). Vastaus Eräs suoraviivainen tapa laskea ketjumurtokehitelmää laskimella on matkia tehtävän algoritmia. Aluksi kirjoitetaan luku e, jolloin saadaan, 7888845905. Sitten vähennetään manuaalisesti kokonaisosa, saadaan 0, 78888459045. Otetaan käänteisluku ja saadaan, 9977 ja jatketaan... Kokonaisuudessaan: 0,00000000000000 e,7888845905 0,7888845905 x,9977 0,9977 x,549646778084 0,549646778084 x,8950459809 0,8950459809 x,0479856454 0.0479856454 x 4.555747608696 4 0.555747609696 x.8675748987 0.8675748987 x.59857 0.59857 x 6.5770790696 6 0.5770790696 x.8949876045 Vähennetyt kokonaislukuosat ovat kehitelmän osanimittäjät. Näyttäisi siltä, että e {;,,,, 4,,, 6,,, 8,,, 0,...}. Tämä on itse asiassa totta. Sen alkeellinen (kurssin tiedot riittävät hyvin) todistus on esimerkiksi artikkelissa Henry Cohn, A Short Proof of the Simple Continued Fraction
Expansion of e, American Mathematical Monthly /006 joka löytyy Tiedekirjaston alakerrasta. Tehtävä 4 Osoita, että päättymättömän ketjumurtoluvun arvo on aina irrationaalinen. Vastaus Tämän voi todistaa alkeellisesti näyttämällä, että jokaisen rationaaliluvun ketjumurtolukukehitelmä päättyy. Toinen tapa olisi käyttää harjoitusten 9 tehtävää 5(i) ja seurauksen 9 tulosta päättymättömille ketjumurtoluvuille. Todistetaan seurauksen 9 tapainen tulos luvuille α R joiden ketjumurtokehitelmä on päättymätön. Muodollinen kehitelmä on α {λ 0 ; λ, λ,...}, missä on määritelty α 0 α, α n+ /(α n α n ) ja λ n α n. Koska kehitelmä on päättymätön, on λ n kun n. Lauseen 9 nojalla α pnα n++ {λ 0 ; λ,..., λ n } ovat α:n konvergentteja. Tällöin α n+ +, missä pn α p n α n+ + p n α n+ + ( α n+ + ) ( α n+ + ). Oletetaan, että olisi α p Q, p, q Z. Huomataan aluksi, että α q {λ 0 ; λ,..., λ n, α n+ } {λ 0 ; λ,..., λ n } pn. Tällöin harjoitusten 9 tehtävän 5(i) ja seurauksen 9 tapaisen tuloksen nojalla kaikilla n N on α q, mikä on mahdotonta, sillä n voidaan valita niin suureksi, että > q. Siispä α on irrationaaliluku. (i) Osoita, että jos x p q on rationaalinen ja u v u v p q, niin silloin S9: Olkoon α irrationaalinen. Silloin x u v vq. (+ + ) < α < + qn. on rationaaliluku (u, v, p, q Z) jolle
Tehtävä 5 Osoita, että jos x ]/4, /[, niin x < x a b kaikilla kokonaisluvuilla a, b, joille b, mutta että / ei ole x:n paras approksimaatio luentojen määritelmän mukaisesti! Vastaus Tehtävänannossa pitäisi lukea, että a, muuten väite on b triviaalisti epätotta. Tarkastelemalla lukusuoraa havaitaan helposti, että välin ]/4, /[ jokaista pistettä x lähimpänä oleva piste a b, missä a, b Z, b, on. Tämän vuoksi jos x ]/4, /[ ja a b, niin x < x a. Ensimmäinen väite b on siis totta. Toista väitettä varten on löydettävä a, b Z, b, a b, joilla bx a x. Tutkimalla osamäärää x / x a ja vertaamalla sitä b ensimmäisen väitteen vastaavaan nähdään, että kannattaa valita a 0 ja b. Tällöin x x bx a x, sillä välillä ]/4, /[ funktio x x on vähenevä ja funktio x x on kasvava. Siispä ei ole luvun x paras approksimaatio. Tehtävä 6 Osoita, että irrationaaliluvun x ketjumurtokehitelmässä osanimittäjät λ k ovat rajoitettuja täsmälleen silloin kun on olemassa vakio c > 0 niin että kaikki rationaaliluvut p/q toteuttavat epäyhtälön p x c q q. Vastaus : Olkoon c > 0 sellainen kuin väitteessä. Olkoon pn x konvergentti. Seurauksen 9 nojalla + > x c q n luvun kaikilla n 0. Tästä saadaan käyttämällä jonon ( ) rekursiokaavaa, että > cλ n+ + c ja λ n+ < c c c c c, Olkoon α R \ Q. Sanomme, että supistettu murtoluku p q paras approksimaatio luvulle α jos bα a > qα p kaikilla a b p q (missä q ) on (eräs) joille b q. 4
sillä q k 0 kaikilla k. Siispä λ n max(/c, λ 0 ) kaikilla n N. : Olkoot λ n M < kaikilla n N. Jos pn on luvun x konvergentti, niin seurauksen 9 nojalla x > (+ + ) (λ n+ + + ) λ n+ qn + + qn, (λ n+ + )qn (M + )qn eli väite pätee konvergenteille. Olkoon nyt u, v Z, v. Koska parhaat approksimaatiot ovat konvergentteja, on olemassa konvergentti pn, v, jolla x u pn x v (lause 95 ja sitä edeltävä huomautus). Nyt sillä v. u x x v (M + )qn (M + )v, Tehtävä 7 Osoita, että jokainen rationaaliluku x ]0, [ voidaan lausua muodossa x l k m k, missä < m < m <... < m l ovat erisuuria kokonaislukuja. Vastaus Tällaisia esityksiä kutsutaan egyptiläisiksi murtoluvuiksi sen vuoksi, että muinaiset egyptiläiset pyrkivät esittämään ratinaaliluvut kokonaislukujen käänteislukujen summina. Seuraava esimerkki havainnollistaa, miten murtoluku saadaan hajoitettua egyptiläiseksi murtoluvuksi. Taktiikkana on erotella mahdollisimman suuria osia pois kerrallaan: ) 54 < 0 77 joten 54 ei käy. Sitten 08 77 77 54 54. ) < 54 0, < 54 0, < 0 eivät käy. Lopulta saadaan 54 4 55 54 ja voidaan lopettaa. 54 5 5 54 770 Saatiin 54 + + 77 5 770 Olkoon siis p ]0, [. Valitaan kokonaisluku m > 0 siten, että q p q m 0 ja p q m < 0. 5
Tutkitaan nyt erotusta. Saadaan p pm q. Ensimmäisen vaatimuksen q m mq nojalla pm q 0 joten ei menty negatiiviseksi. Toisesta seuraa, että pm q < p eli osoittaja pieneni. Jos lähdetään murtoluvusta p, niin enintään p:n q valinnan jälkeen murtoluvun osoittaja on mennyt nollaksi. Tästä saadaan esitys egyptiläisenä murtolukuna poimimalla nimittäjiksi valitut luvut m. 6