Alternoivat multilineaarimuodot

LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen, jos kaikille vektoreille v 1,..., v k, v V, kaikille reaaliluvuille a R ja kaikille indekseille j {1,..., k} on voimassa ja T (v 1,..., v j 1, v j + v, v j+1,..., v k ) = T (v 1,..., v j 1, v j, v j+1,..., v k ) + T (v 1,..., v j 1, v, v j+1,..., v k ), T (v 1,..., v j 1, a v j, v j+1,..., v k ) = a T (v 1,..., v j 1, v j, v j+1,..., v k ) Multilineaarikuvauksia T : V k R kutsutaan myös k-multilineaarimuodoiksi, k- muodoiksi tai k-tensoreiksi. Kaikkien k-multilineaarimuotojen T : V k R joukkoa merkitään T k (V ). Kuvaus T : V k R on siis multilineaarinen, jos jokainen osittaiskuvaus v j T (v 1,..., v j 1, v j, v j+1,..., v k ) lineaarinen. Tässä määritellyt tensorit ovat tarkemmin avaruuden V kovariantteja tensoreita. Avaruuden V kontravariantti tensori on multilineaarinen kuvaus T : (V ) l R, missä V := T 1 (V ) = kaikkien lineaarikuvausten V R muodostama joukko. Yleinen (tai sekoitettu) tensori on multilineaarinen kuvaus T : V k (V ) l R. Ks. [19, osa I, luku 4] tai [8, luku 11]. Esimerkki 1.2. Olkoot x 1,..., x n : V R kanooniset koordinaattikuvaukset (projektiot koordinaattiakseleille), x j (u) := u j, kun u = (u 1,..., u n ) V. Tällöin x j on lineaarimuoto eli 1-multilineaarimuoto. Olkoot j 1,...,j k {1,..., n} ja T : V k R, T (v 1,..., v k ) := x j 1 (v 1 )... x j k (vk ), kun v 1,..., v k V. Tällöin T on k-multilineaarimuoto. Muoto T on esimerkki lineaarimuotojen tensoritulosta. Multilineaarimuotojen joukko T k (V ) on vektoriavaruus, kun asetetaan S + T : V k R, (S + T )(v 1,..., v k ) := S(v 1,..., v k ) + T (v 1,..., v k ), a T : V k R, (at )(v 1,..., v k ) := a T (v 1,..., v k ), kun S, T T k (V ) ja a R. 1 Viimeksi muutettu 27.10.2008. 2

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 3 Määritelmä 1.3. Olkoot S T k (V ) ja T T l (V ) multilineaarimuotoja. Muotojen S ja T tensoritulo on (k + l)-multilineaarimuoto S T : V k+l R, (S T )(v 1,..., v k, v k+1,..., v k+l ) := S(v 1,..., v k ) T (v k+1,..., v k+l ). Lause 1.4. Tensoritulolla on seuraavat ominaisuudet: Kun S, S 1, S 2 T k (V ), T, T 1, T 2 T l (V ), U T m (V ) ja a R, niin (i) (S 1 + S 2 ) T = S 1 T + S 2 T ; (ii) S (T 1 + T 2 ) = S T 1 + S T 2 ; (iii) (a S) T = S (a T ) = a (S T ); (iv) (S T ) U = S (T U). Todistus. Todistus on suoraviivainen ja jätetään lukijan suoritettavaksi. Viimeisen kohdan perusteella kolmen tensorin tensoritulosta voidaan sulut jättää merkitsemättä: S T U := (S T ) U. Useamman kuin kahden tensorin tulo T 1 T r määritellään vastaavalla tavalla (HT). Lause 1.5. Tensoriavaruudella T k (V ) on kanta x j 1 x j k, Erityisesti dim(t k (V )) = n k. missä j 1,..., j k {1,..., n}. Todistus. Olkoot e 1,..., e n avaruuden V = R n standardikantavektorit. Tällöin x i (e l ) = δ i,l, joten (x j 1 x j k )(e i1,..., e ik ) = x j 1 (e i1 ) x j k (e ik ) = δ j1,i 1 δ jk,i k. Olkoot nyt v 1,..., v k V. Tällöin on olemassa luvut a j,i R, 1 j k, 1 i n, siten, että v j = n i=1 a j,i e i, 1 j k. Projektioiden x j avulla ilmaistuna a j,i = x i (v j ). Olkoon nyt T T k (V ). Multilineaarisuuden nojalla T (v 1,..., v k ) = a 1,i1 a k,ik T (e i1,..., e ik ) Siis = = T = x i 1 (v 1 ) x i k (v k ) T (e i1,..., e ik ) T (e i1,..., e ik ) (x i 1 x i k )(v 1,..., v k ). i=1 k T (e i1,..., e ik ) x i1 x ik, joten tensorit x j 1 x j k, missä j1,..., j k {1,..., n}, virittävät avaruuden T k (V ). Toisaalta, jos T := t i1,...,i k x i 1 x i k = 0,

niin 0 = T (e j1,..., e jk ) = 1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 4 t i1,...,i k x i 1 (e j1 ) x i k (e jk ) = t j1,...,j k, joten tensorit x j 1 x j k ovat lineaarisesti riippumattomat. Ennekuin siirrytään tarkastelemaan alternoivia multilineaarimuotoja, otetaan käyttöön muuttujanvaihto: Määritelmä 1.6. Olkoot V = R n, W = R m ja f : W V lineaarikuvaus. Jokaiselle T T k (V ) asetetaan f T : W k R, (f T )(w 1,..., w k ) := T (f(w 1 ),..., f(w k )). Huomautus 1.7. a) Englannin kielessä operaatiosta T f T käytetään usein nimitystä pull-back (joskus inverse image), vastaavasti ranskassa joskus transposée. b) Muuttujanvaihdolta edellytetään usein bijektiivisyyttä; vrt. [15, II.8]. Tässä määritelty kuvaus f tulee myöhemmin käyttöön kurssin Analyysi 2 integroinnin muuttujanvaihdon kaltaisesti: b g(f(x)) f (x) dx = f(b) g(y) dy, kun f on jatkuvasti a f(a) derivoituva. Vertaa käyräintegraalien muuttujanvaihtoon [17, I.3]. c) On helppo todeta, että f T T k (W ), ja että kuvaus f : T k (V ) T k (W ) on lineaarinen. Lisäksi f (S T ) = (f S) (f T ), kun S T l (V ) ja T T k (V ). Esimerkki 1.8. Eräs tärkeä 2-tensori on euklidinen sisätulo, T : R n R n R, T (u, v) = (u v). Olkoot f : R n R n annettu lineaarikuvaus ja S := f T. Siis S(u, v) = T (f(u), f(v)) = (f(u) f(v)). Sisätulon ominaisuuksien nojalla tensorille S on voimassa (i) S on symmetrinen, S(u, v) = (f(u) f(v)) = S(v, u); ja (ii) S on positiivisesti semidefiniitti, S(u, u) = (f(u) f(u)) 0. Lisäksi, jos f on bijektio, on S on positiivisesti definiitti eli S(u, u) > 0, kun u 0. Siis, jos f on bijektio, myös S = f T on sisätulo vektoriavaruudessa R n. Kääntäen voidaan osoittaa, että jos S on mikä tahansa sisätulo avaruudessa R n, niin on olemassa bijektiivinen lineaarikuvaus f : R n R n siten, että S = f T. (Idea: Valitaan avaruudelle R n kanta w 1,..., w n. Käytetään Gramin ja Schmidtin ortonormeerausmenetelmää sitätuloon S ja kontrudoidaan kannan w 1,..., w n avulla ortonormeerattu kanta v 1,..., v n. Määritellään lineaarikuvaus f : R n R n siten, että f(v j ) = e j.) Esimerkki 1.9. Toinen tärkeä tensori on determinantti, det: V n R: kun v j = (v j,1,..., v j,n ), niin jokainen kuvaus v 1,1 v 2,1... v n,1 v v j det(v 1,..., v n ) = 1,2 v 2,2... v n,2...... v 1,n v 2,n... v n,n on lineaarinen. Determinantilla on eräs jatkon kannalta tärkeä erityisominaisuus: kun kaksi saraketta v i ja v j (i j) vaihdetaan keskenään, determinantin merkki vaihtuu.

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 5 Määritelmä 1.10. Multilineaarimuoto T T k (V ) on alternoiva, jos kaikille vektoreille v 1,..., v k V ja kaikille indekseille i, j {1,..., k}, i j, on voimassa (1.1) T (v 1,..., v i,..., v j,..., v k ) = T (v 1,..., v j,..., v i,..., v k ). Kaikkien alternoivien multilineaarimuotojen T T k (V ) joukkoa merkitään Λ k (V ). Huomautus 1.11. Alternoivuusehto (1.1) ei sano mitään, kun k = 1. Tavanmainen tapa on pitää myös 1-muotoja T T 1 (V ) alternoivina. Siis Λ 1 (V ) = T 1 (V ). Esimerkki 1.12. Edellisen esimerkin mukaan determinantti det: V n R on avaruuden R n alternoiva muoto. Muita alternoiva muotoja saadaan derminantin avulla seuraavasti. Olkoon π : R n R k projektio k-ulotteiselle koordinaattitasolle, t.s. olkoot j 1,..., j k {1,..., n}, j 1 < j 2 < < j k, ja π(u 1, u 2,..., u n ) = (u j1, u j2,..., u jk ). Olkoot det k avaruuden R k determinantti ja T = π det k, t.s. T (v 1,..., v k ) = det k (π(v 1 ),..., π(v k )). Tällöin T on alternoiva k-muoto. Erikoistapauksessa n = 3 ja k = 2 saadaan seuraavat 2-muodot avaruuteen R 3 : kun u = (u 1, u 2, u 3 ) ja v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 olkoot [ ] u2 v T 1 (u, v) := det 2 = u u 3 v 2 v 3 u 3 v 2, 3 [ ] u1 v T 2 (u, v) := det 1 = u u 3 v 1 v 3 u 1 v 2, 3 [ ] u1 v T 3 (u, v) := det 1 = u u 2 v 1 v 2 u 2 v 1. 2 Muoto T 1 vastaa projektiota π : (u 1, u 2, u 3 ) (u 2, u 3 ), muoto T 2 projektiota π : (u 1, u 2, u 3 ) (u 1, u 3 ) ja muoto T 3 projektiota π : (u 1, u 2, u 3 ) (u 1, u 2 ). Esimerkki 1.13. Avaruuden R 3 ristitulolla (u, v) u v on vastaava merkinvaihtumisominaisuus (antisymmetria) kuin alternoivilla muodoilla, mutta ristitulo ei ole reaaliarvoinen. Ristitulon avulla saadaan kuitenkin alternoivia muotoja seuraavasti: Olkoot w R 3 ja T : R 3 R 3 R, T (u, v) = (w u v). Tällöin T on alternoiva 2-muoto. Huomaa, että T on esitettävissä edellisen esimerkin 2-muotojen avulla muodossa T = w 1 T 1 w 2 T 2 + w 3 T 3. Kaava, jonka avulla determinatti saadaan, on melko monimutkainen: det(v 1,..., v n ) = σ S n sgn(σ) v σ(1),1 v σ(n),n, missä v j = (v j,1,..., v j,n ), 1 j n, indeksijoukko S n on kaikkien lukujen 1,..., n permutaatioiden joukko ja sgn(σ) on permutaation σ merkki. Vastaavanlaisen rakennelman avulla jokaisesta tensorista voidaan tehdä alternoiva:

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 6 Määritelmä 1.14. Olkoon T T k (V ). Asetetaan Alt(T )(v 1,..., v k ) := 1 sgn(σ) T (v σ(1),..., v σ(k) ). Huomautus 1.15. a) Tekijä 1 on tarpeellinen muutamien seuraavassa lauseessa todistettavien kaavojen voimassaololle. b) Alternoivan multilineaarimuodon määritelmä voidaan esittää muodossa T (v τ(1),..., v τ(k) ) = sgn(τ) T (v 1,..., v k ), kaikille transpositioille τ S k. Muista, että permutaatio τ on transpositio, jos on olemassa i, j {1,..., k} siten, että τ(i) = j, τ(j) = i ja τ(l) = l, kun l {i, j}. Koska jokainen permutaatio voidaan esittää transpositioiden tulona ja permutaation merkki on homomorfismi, on alternoivalle muodolle T voimassa T (v σ(1),..., v σ(k) ) = sgn(σ) T (v 1,..., v k ). c) Jos multilineaarimuodon Alt(t) määritelmässä permutaation merkki jäteään pois, eli jos asetetaan Sym(T )(v 1,..., v k ) := 1 T (v σ(1),..., v σ(k) ), niin saatu multilineaarimuoto Sym(T ) on symmetrinen: Sym(T )(v σ(1),..., v σ(k) ) = Sym(T )(v 1,..., v k ). Todistus jätetään lukijan tehtäväksi (mallia saa seuraavan lauseen todistuksesta). Katso myös [8, s. 271 273]. Lause 1.16. Kuvaus Alt: T k (V ) T k (V ) on lineaarinen, ja sille on voimassa: (i) kun T T k (V ), on Alt(T ) Λ k (V ); (ii) kun T Λ k (V ), on Alt(T ) = T ; (iii) kun T T k (V ), on Alt(Alt(T )) = Alt(T ). Todistus. (i): Olkoon τ i,j transpositio, joka vaihtaa luvut i ja j keskenään ja säilyttää muut. Kun σ S k, olkoon σ = σ τ i,j. Tällöin Alt(T )(v 1,..., v j,..., v i,..., v k ) = 1 sgn(σ) T (v σ(1),..., v σ(j),..., v σ(i),..., v σ(k) ), = 1 sgn(σ) T (v σ (1),..., v σ (i),..., v σ (j),..., v σ (k)), = 1 ( sgn(σ )) T (v σ (1),..., v σ (k)), σ S k = Alt(T )(v 1,..., v k ) (ii): Määritelmän nojalla jokaiselle T Λ k (V ) ja jokaiselle transpositiolle σ = τ i,j on voimassa T (v σ(1),..., v σ(k) ) = sgn(σ) T (v 1,..., v k ). Koska jokainen permutaatio

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 7 voidaan esittää transpositioiden tulona ja permutaation merkki sgn: S k { 1, 1} on homomorfismi, on tämä kaava voimassa kaikille permutaatioille σ S k. Siis Alt(T )(v 1,..., v k ) = 1 sgn(σ) T (v σ(1),..., v σ(k) ), = 1 sgn(σ) sgn(σ) T (v 1,..., v k ), = T (v 1,..., v k ) (iii): Seuraa välittömästi kohdista (ii) ja (iii). on Määritelmä 1.17. Olkoot ω Λ k (V ) ja η Λ l (V ). Muotojen ω ja η väkätulo (1.2) ω η := (k + l)! l! Alt(ω η). Lause 1.18. Muotojen väkätulolla on seuraavat ominaisuudet: Kun ω 1, ω 2, ω Λ k (V ), η 1, η 2, η Λ l (V ), θ Λ m (V ), a R ja f : W V on lineaarikuvaus, on (i) (ω 1 + ω 2 ) η = ω 1 η + ω 2 η; (ii) ω (η 1 + η 2 ) = ω η 1 + ω η 2 ; (iii) (aω) η = a(ω η); (iv) ω η = ( 1) kl η ω; (v) f (ω η) = f ω f η. Todistus. Todistus on suoraviivainen ja jätetään lukijan suoritettavaksi. Lause 1.19. (i) Jos S T k (V ) ja T T l (V ) siten, että Alt(S) = 0, niin Alt(S T ) = Alt(T S) = 0. (ii) Alt(Alt(ω η) θ) = Alt(ω η θ) = Alt(ω Alt(η θ)). (iii) Kun ω Λ k (V ), η Λ l (V ) ja θ Λ m (V ), niin (ω η) θ = ω (η θ) = Todistus. (i) Huomataan aluksi, että (k + l)! Alt(S T ) = (k + l + m)! l! m! Alt(ω η θ). +l sgn(σ) S(v σ(1),..., v σ(k) ) T (v σ(k+1),..., v σ(k+l) ). Olkoon G := {σ S k+l σ(j) = j, kun j {k + 1,..., k + l}}. Tällöin sgn(σ) S(v σ(1),..., v σ(k) ) T (v σ(k+1),..., v σ(k+l) ) σ G ( = σ G ) sgn(σ) S(v σ(1),..., v σ(k) ) T (v σ(k+1),..., v σ(k+l) ) = 0.

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 8 Olkoon nyt σ 0 G. Vektoreille v j R n, 1 j k + l, merkitään w j := v σ0 (j). Kun G σ 0 := {σ σ 0 σ G}, niin sgn(σ) S(v σ(1),..., v σ(k) ) T (v σ(k+1),..., v σ(k+l) ) σ G σ 0 ( = sgn(σ 0 ) ) sgn(σ ) S(w σ (1),..., w σ (k)) T (w k+1,..., w k+l ) = 0. σ G Kun σ 0 G, ovat joukot G ja G σ 0 pistevieraat: Jos olisi σ G (G σ 0 ), niin σ = σ σ 0 jollekin σ G. Tällöin σ 0 = σ (σ ) 1 G (huomaa: joukko G on ryhmän S k+l aliryhmä). Muodon Alt(S T ) laskemisessa esiintyvä summa +l voidaan nyt ryhmitellä osiin σ 0 σ G σ 0. (Algebran kurssista kannattaa kerrata Lagrangen lause ja sen todistus). Koska jokainen osasumma on nolla, on Alt(S T ) = 0. Väite Alt(T S) = 0 todistetaan vastaavalla tavalla. (ii) Koska Alt(Alt(η θ) η θ) = Alt(η θ) Alt(η θ) = 0, saadaan kohdan (i) nojalla 0 = Alt(ω (Alt(η θ) η θ)) = Alt(ω (Alt(η θ)) Alt(ω η θ). Jälkimmäinen väite todistetaan vastaavalla tavalla. (iii) Kohdan (ii) ja väkätulon määritelmän nojalla (ω η) θ = (k + l + m)! (k + l)! m! Alt((ω η) θ) = Toinen väite todistetaan vastaavalla tavalla. (k + l + m)! (k + l)! m! (k + l)! l! Alt(ω η θ). Koska väkätulo on siis assosiatiivinen, voidaaan sulut jättää merkitsemättä: ω η θ := (ω η) θ = ω (η θ). Useamman tekijän väkätulot ω 1 ω r määritellään vastaavasti. Lause 1.20. Multilineaarimuodot x i 1 x i k, missä 1 i 1 < i 2 < < i k n, muodostavat vektoriavaruuden Λ k (V ) kannan, joten ( ) n dim Λ k n! (V ) = = k (n k)!. Todistus. Jokainen k-tensori ω voidaan esittää seuraavassa muodossa (ks. lause 1.5): ω = a 1,i1 a k,ik x i 1 x i k. Kun k-tensori ω on alternoiva, saadaan ω = Alt(ω) = a 1,i1 a k,ik Alt(x i 1 x i k ). Käyttämällä apuna edellisen lauseen kohtaa (iii) nähdään, että x i 1 x i k, missä 1 i 1 < i 2 < < i k n, virittävät avaruuden Λ k (V ). (Alternoivuuden nojalla

1. ALTERNOIVAT MULTILINEAARIMUODOT 9 kaikista indeksjonoista (i 1, i 2,..., i k ) {1,..., n} k, voidaan hylätä ne, joissa kaksi indeksiä ovat samoja. Samasta syystä indeksit voidaan asettaa suuruusjärjestykseen.) Muotojen x i 1 x i k, missä 1 i1 < i 2 < < i k n, lineaarinen riippumattomuus todetaan samaan tapaan kuin lauseen 1.5 todistuksessa (harjoitustehtävä). Edellisestä lauseesta seuraa erityisesti, että avaruuden Λ n (R n ) dimensio on ( n n) = 1. Muistettakoon, että determinanttikuvaus det Λ n (R n ). Dimensioehdon nojalla jokainen ω Λ n (R n ) on siis determinantin monikerta, ω = λ det jollekin λ R. Seuraavakin tulos vaikuttaa tämän perusteella ilmeiseltä: Lause 1.21. Olkoot v 1,..., v n avaruuden V kanta ja ω Λ n (V ). Olkoot a i,j R, i, j = 1,..., n, ja w i := n j=1 a i,jv j. Tällöin Todistus. Asetetaan ω(w 1,..., w n ) = det ( (a i,j ) n i,j=1) ω(v1,..., v n ). ( η((a 1,1,..., a 1,n ),..., (a n,1,..., a n,n )) := ω a 1,j v j,..., j=1 a n,j v j ). Tällöin η on vektoreiden (a i,1,..., a i,n ), 1 i n, alternoiva n-lineaarimuoto, joten on olemassa λ R siten, että η = λ det. Kun valitaan (a i,1,..., a i,n ) = e i = avaruuden R n luonnollisen kannan i. vektori, on η(e 1,..., e n ) = λ det(e 1,..., e n ) = λ. Toisaalta, η(e 1,..., e n ) = ω(v 1,..., v n ). Edellisestä lauseesta seuraa, että avaruuden V = R n nollasta eroava n-muoto ω jakaa avaruuden V kannat v 1,..., v n kahteen joukkoon: niihin, joille ω(v 1,..., v n ) > 0, ja niihin, joille ω(v 1,..., v n ) < 0. Huomaa, että jos ω(v 1,..., v n ) = 0, niin ω 0 (miksi?). Edellisestä lauseesta seuraa myös, että avaruuden V kaksi kantaa v 1,..., v n ja w 1,..., w n, missä w i = n j=1 a i,jv j, 1 i n, kuuluvat tämän jaon mukaisesti samaan joukkoon, jos ja vain jos det ( (a i,j ) i,j=1) n > 0. Lisäksi tämä kantojen jako y.m. kahteen joukkoon on riippumaton n-muodon ω valinnasta (todistus jätetään lukijan suoritettavaksi). Yksinkertaisissa lineaarisen algebran tarkasteluissa vektoriavaruuden V kantaa v 1,..., v n voidaan pitää joukkona {v 1,..., v n } V : kantavektoreiden järjestyksellä ei ole merkitystä. Jos kantavektoreiden järjestystä pitää korostaa, käytetään tavallisesti järjestettyä kantaa: joukon {v 1,..., v n } V sijasta käytetään (järjestettyä) jonoa (v 1,..., v n ) V n. Alternoivien muotojen yhteydessä on tapana samaistaa kaksi kantaa, jotka kuuluvat y.m. jaon mukaisesti samaan joukkoon. Tarkemmin: Olkoon ω Λ n (V ) nollasta eroava. Sanotaan, että järjestetyt kannat (v 1,..., v n ) ja (w 1,..., w n ) määräävät saman suunnistuksen, jos ω(v 1,..., v n ) > 0 ja ω(w 1,..., w n ) > 0, tai jos ω(v 1,..., v n ) < 0 ja ω(w 1,..., w n ) < 0. Jos ω(v 1,..., v n ) ja ω(w 1,..., w n ) ovat vastakkaismerkkiset, sanotaan, että kannat (v 1,..., v n ) ja (w 1,..., w n ) määräävät vastakkaiset suunnistukset. Vielä muodollisemmin suunnistus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon ω Λ n (V ) nollasta eroava. Järjestetyille kannoille (v 1,..., v n ) ja (w 1,..., w n ) asetetaan j=1

*1.1. TÄYDENTÄVIÄ TULOKSIA 10 relaatio ω, (v 1,..., v n ) ω (w 1,..., w n ) : ω(v 1,..., v n ) ja ω(w 1,..., w n ) ovat samanmerkkiset. Relaatio ω on helppo todeta ekvivalenssirelaatioksi, ja että se on riippumaton nollasta eroavan n-muodon ω valinnasta. Tässä relaatiossa järjestetyn kannan (v 1,..., v n ) määräämää ekvivalenssiluokkaa merkitään [v 1,..., v n ] ja kutsutaan järjestetyn kannan (v 1,..., v n ) määräämäksi suunnistukseksi. Kun vektoriavaruudelle V valitaan järjestetty kanta (v 1,..., v n ), kutsutaan paria (V, [v 1,..., v n ]) suunnistetuksi vektoriavaruudeksi. Suunnistetun vektoriavaruuden kantaa (w 1,..., w n ) kutsutaan positiivisesti suunnistetuksi, jos se määrää saman suunnistuksen kuin kanta (v 1,..., v n ). Muussa tapauksessa kantaa (w 1,..., w n ) kutsutaan negatiivisesti suunnistetuksi. Euklidisen avaruuden R n standardikannan e 1,..., e n määräämää suunnistusta [e 1,..., e n ] kutsutaan avaruuden R n standardisuunnistukseksi. Esimerkki 1.22. Avaruuden V = R 3 järjestetyt kannat (e 1, e 2, e 3 ), (e 2, e 3, e 1 ) ja (e 3, e 1, e 2 ) määräävät standardisuunnistuksen [e 1, e 2, e 3 ]. Sen sijaan järjestetyt kannat (e 2, e 1, e 3 ), (e 1, e 3, e 2 ) ja (e 3, e 2, e 1 ) määräävät standardisuunnistukselle vastakkaisen suunnistuksen. Järjestettyjä kantoja (e 1, e 2, e 3 ), (e 2, e 3, e 1 ) ja (e 3, e 1, e 2 ) kutsutaan perinteisesti oikeakätisiksi ja kantoja (e 2, e 1, e 3 ), (e 1, e 3, e 2 ) ja (e 3, e 2, e 1 ) vastaavasti vasenkätisiksi kannoiksi. *1.1. Täydentäviä tuloksia Määritelmä *1.23. Olkoon A äärellinen joukko. Joukon A permutaatio on bijektio σ : A A. Kun n Z, n 1, merkitään joukon {1,..., n} permutaatioiden joukkoa S n. Transpositio on permutaatio τ S n, joka vaihtaa kahden alkion paikan, mutta säilyttää muut: joillekin i, j {1,..., n}, i j, on τ(i) = j, τ(j) = i ja τ(k) = k, kun k i, k j. Lause *1.24. Jokainen permutaatio voidaan esittää transpositioiden tulona. Todistus. Tapaus n = 2 on helppo todeta: S 2 = {id, τ}, missä τ(1) = 2 ja τ(2) = 1; id = τ τ. Oletetaan, että vaite on todistettu n 1 alkion permutaatioille. Olkoon σ S n. Tapaus 1: σ(n) = n. Tällöin rajoittuma σ := σ {1,...,n 1} S n 1, joten oletuksen mukaan väite pätee permutaatiolle σ. Siis on olemassa transpositiot τ 1,..., τ p S n 1, joille σ = τ 1... τ p. Olkoot τ 1,..., τ p S n permutaatiot, joille τ j (k) = τ j(k), kun 1 k < n, ja τ j (n) = n. Tällöin σ = τ 1... τ p. Tapaus 2: Olkoon q := σ(n) < n. Olkoon τ S n transpositio, jolle τ(q) = n ja τ(n) = q. Asetetaan ρ := τ σ. Tällöin ρ(n) = n, joten edellisen kohdan perusteella on olemassa transpositiot τ 1,..., τ p S n, joille ρ = τ 1... τ p. Tällöin σ = τ ρ = τ τ 1... τ p.

*1.1. TÄYDENTÄVIÄ TULOKSIA 11 Määritelmä *1.25. Permutaation σ S n merkki on 1 i<j n (σ(i) σ(j)) sgn(σ) := 1 i<j n (i j). Olkoon K n := {(i, j) Z 2 1 i < j n}. Permutaatiolle ρ S n asetetaan g ρ : K n K n, { (ρ(i), ρ(j)), jos ρ(i) < ρ(j), ja g ρ (i, j) := (ρ(j), ρ(i)), jos ρ(i) > ρ(j). Koska jokainen ρ S n on bijektio, on myös g ρ : K n K n bijektio. Tällöin (i,j) K sgn(ρ) = n (ρ(i) ρ(j)) = ( 1)N (i,j) K n (i j) = ( 1) N, (i,j) K n (i j) (i,j) K n (i j) missä N on niiden parien (i, j) lukumäärä, joille i < j, mutta ρ(i) > ρ(j) (permutaation ρ inversioiden lukumäärä). missä Lause *1.26. Permutaation merkki sgn: S n { 1, 1} on homomorfismi. Todistus. Olkoot σ, ρ S n. Tällöin sgn(σ ρ) = (σ ρ)(i) (σ ρ)(j) i j 1 i<j n = 1 i<j n = A σ sgn(ρ), A σ := (σ ρ)(i) (σ ρ)(j) ρ(i) ρ(j) 1 i<j n 1 i<j n (σ ρ)(i) (σ ρ)(j). ρ(i) ρ(j) ρ(i) ρ(j) i j Koska (σ ρ)(i) (σ ρ)(j) (σ ρ)(j) (σ ρ)(i) = ρ(i) ρ(j) ρ(j) ρ(i) ja g ρ on bijektio K n K n, voidaan A σ esittää muodossa A σ = (σ ρ)(i) (σ ρ)(j) = σ(k) σ(l) = sgn(σ). ρ(i) ρ(j) k l (i,j) K n (k,l) K n Siis sgn(σ ρ) = sgn(σ) sgn(ρ). Seuraus *1.27. Kun permutaatio σ S n esitetään transpositioiden τ 1,..., τ p S n tulona σ = τ 1... τ p, on sgn(σ) = sgn(τ 1 )... sgn(τ p ) = ( 1) p.