1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen (n = 1 mukaan lukien). Tason osajoukko J on väli, jos se on reaaliakselin välien J 1 ja J 2 karteesinen tulo. Väli on siis koordinaattiakselien suuntainen suorakaide. Jatkossa reaaliakselin välien oletetaan olevan rajoitettuja. Välin J = J 1 J 2 pinta-ala on J := J 1 J 2, missä J j on reaaliakselin välin J j pituus. 1 1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on joukko P = {t 0, t 1, t 2,..., t m 1, t m }, missä t 0 < t 1 < t 2 < < t m 1 < t m. Jaon P määräämät osavälit ovat [t j 1, t j ], 1 j m. Välin [t 0, t m ] jaon P hienonnus on jako P, jolle P P. Hienommassa jaossa on siis aiempien jakopisteiden lisäksi mahdollisesti lisäjakopisteitä (eikä vain niin, että jakopisteiden lukumäärä kasvaa). Jos P = P {t }, missä t P, niin hienommassa jaossa P se osaväli [t j 1, t j ], jolle uusi jakopiste t kuuluu, jakautuu kahdeksi osaväliksi [t j 1, t ] ja [t, t j ]. Olkoon J = J 1 J 2 = [a, b] [c, d] kiinteä tason kompakti väli. Välin J jako on karteesinen tulo P := P 1 P 2, missä P 1 on välin J 1 jako ja P 2 vastaavasti välin J 2 jako. Kun P 1 = {x 0, x 1,..., x m 1, x m } ja P 2 = {y 0, y 1,..., y n 1, y n }, ovat jaon P määräämät osavälit välit I j,k := [x j 1, x j ] [y k 1, y k ], 1 j m, 1 k n. Jaon P hienonnus on välin J jako P, joka saadaan hienontamalla välin J 1 jakoa P 1 tai välin J 2 jakoa P 2 (tai molempia). Jos esimerkiksi jakoon P 1 lisätään jakopiste x, missä x j0 1 < x < x j0, välin J uuden jaon P jakopisteitä ovat aiempien lisäksi pisteet (x, y k ), 1 k n, ja osavälejä aiemmat osavälit I j,k, 1 j m, j j 0, 1 k n, ja välit [x j0 1, x ] [y k 1, y k ], 1 k n, [x, x j0 ] [y k 1, y k ], 1 k n. Joukon A J pinta-ala määritellään seuraavan ulkoa ja sisältä tapahtuvan suorakaideapproksimaation avulla: Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Asetetaan 2 Edelleen asetetaan ja lopulta I := {(j, k) I j,k A } ja I := {(j, k) I j,k A}. c (A, P ) := (j,k) I I j,k ja c (A, P ) := (j,k) I I j,k, c (A) := inf{c (A, P ) P P} ja c (A) := inf{c (A, P ) P P}, missä P on välin J kaikkien jakojen kokoelma. Luku c (A) on joukon A Jordanin ulkosisältö ja c (A) vastaavasti joukon A Jordanin sisäsisältö. Jos c (A) = c (A), sanotaaan, että joukko A on Jordan-mitallinen ja yhteinen arvo c(a) := c (A) = c (A) on joukon A Jordanin sisältö. 1 Merkintää ei pidä sotkea esimerkiksi itseisarvoon, koska joukon itseisarvoa ei ole määritelty. Pinta-alalle voisi käyttää merkintää A(J) ja kolmiulotteisen avaruuden välin J = J 1 J 2 J 3 tilavuudelle V (J), mutta J on nykyisin yleisesti käytössä ja on dimensiosta riippumaton. 2 Huomaa: indeksijoukot I ja I riippuvat joukosta A ja valitusta jaosta P, joten niitä olisi korrektimpi merkitä I (A, P ) ja I (A, P ). 1

2 Joukon A peite ulkoa (tummat) ja tyhjennys sisältä (vaaleat). Jaon hienontuessa alueen ulkoa peittävä ala pienenee ja sisältä tyhjentävä ala kasvaa. Selityksiä. a) Välin J jaon P ja I j,k, 1 j m, 1 k n, määräämistä osaväleistä I j,k ne, joille (j, k) I, peittävät joukon A, t.s. A (j,k) I I j,k. Koska äärellisen monen suljetun välin yhdiste on suljettu, on A (j,k) I I j,k. Vastaavasti osaväleistä I j,k ne, joille (j, k) I, sisältyvät joukkoon A, t.s. (j,k) I I j,k A. Osaväleille I j,k, missä (j, k) I, on I j,k A =, t.s. ne sijaitsevat kokonaan joukon A ulkopuolella. Osaväleille I j,k, missä (j, k) I, on int I j,k int A. Näiden välien pisteet ovat siis joukon A sisäpisteitä mahdollisessti välien reunapisteitä lukuunottamatta. Siis välit I j,k, (j, k) I, tyhjentävät joukkoa A sisältäpäin. Osaväleille I j,k, joille (j, k) I ja (j, k) I, on I j,k A, mutta I j,k A. Tällöin I j,k A. b) Jos välin J jakoa P hienonnetaan ja uusi hienompi jako on P, osaväleihin I j,k, (j, k) I, sisältyvät uudet osavälit I j,k ovat edelleen sellaisia, että I j,k A. Toisaalta, osa osaväleihin I j,k, (j, k) I, sisältyvistä uusista osaväleistä I j,k voi olla sellaisia, että I j,k A, ja osalle voi olla I j,k A =. Jaon hienonnus voi

siis tuoda uusia joukkoon A sisältyviä osavälejä I j,k. Osa aiemmista osaväleistä I j,k, missä (j, k) I ja (j, k) I, taas voi jakautua osaväleihin I j,k, joista osa on joukon A peittämiseen tarpeettomia. Tästä seuraa c (A, P ) c (A, P ) ja c (A, P ) c (A, P ). Tästä epäyhtälöstä saadaan puolestaan: kun P ja Q ovat välin J mitkä tahansa kaksi jakoa, on c (A, Q) c (A, P ). Tämä epäyhtälö puolestaan takaa Jordanin sisä- ja ulkosisällön vertailtavuuden: jokaiselle joukolle A J on c (A) c (A). 3 1.2. Jordanin sisällön ominaisuuksia. (i) Jos A on väli, on c (A) = c (A) = A. (ii) Ulkosisältö on monotoninen: c (A) c (B), kun A B. (iii) Ulkosisältö on äärellisesti subadditiivinen: c (A B) c (A) + c (B). (iv) Jordanin ulkosisältö ei ole additiivinen: voi olla c (A B) < c (A) + c (B), vaikka A B =. (v) c (A) = c (A). (vi) c ( A) = c (A) c (A), joten joukko A on Jordan-mitallinen, jos ja vain jos c ( A) = 0 (tai yhtäpitävästi m ( A) = 0; vrt. 1.4). Perusteluja. (i) Jätetään lukijan tehtäväksi. (ii) Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Olkoon I = I (B, P ) joukkoa B vastaava kokoelma indeksejä (j, k), joille I j,k B (vrt. 1.1). Tällöin B (j,k) I I j,k, joten myös A (j,k) I I j,k. Tästä seuraa, että I (A, P ) I (B, P ), joten c (A, P ) c (B, P ) ja edelleen c (A) c (B). (iii) Olkoot I (A, P ) ja I (B, P ) joukkoja A ja B vastaavat indeksikokoelmat I. Jos I j,k (A B), on I j,k A tai I j,k B. Siis (j, k) I (A, P ) I (B, P ). Tämä tarkoittaa, että I (A B, P ) I (A, P ) I (B, P ). Suorakaiteiden yhteenlasketuille pinta-aloille saadaan Väitetty epäyhtälö seuraa tästä. c (A B, P ) c (A, P ) + c (B, P ). (iv) Esimerkiksi A := {(x, y) [0, 1] [0, 1] x Q, y Q} ja B := [0, 1] [0, 1] \ A. Tällöin A B = [0, 1] [0, 1], c (A) = c (B) = 1 = c ([0, 1] [0, 1]). (v) Monotonisuuden nojalla c (A) c (A). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa välin J jako siten, että c (A, P ) < c (A) + ε. Kun A (j,k) I I j,k, on myös A (j,k) I I j,k. Siis c (A, P ) c (A, P ), joten c (A) c (A, P ) c (A, P ) < c (A) + ε. (vi) Olkoon ε > 0 ja P välin J jako siten, että c (A) ε c (A, P ) ja c (A) + ε c (A, P ). Olkoot I j,k, 1 j m, 1 k n, jaon P määräämät osavälit.

Koska A (j,k) I I j,k, välit I j,k ovat suljettuja ja I on äärellinen, on A (j,k) I I j,k. Toisaalta, indeksejä (j, k) I vastaaville väleille on I j,k A, joten int I j,k int A ja edelleen (j,k) I int I j,k int A. Siis ( ) ( ) (1) A = A \ int A I j,k \ int I j,k. (j,k) I (j,k) I Tässä oikealla puolella jälkimmäisissä suluissa olevalle joukolle on int I j,k = I j,k = c (A, P ). (j,k) I (j,k) I Kaavan (1) oikean puolen erotusjoukossa ovat mukana välit I j,k, missä (j, k) I \ I, ja erotusjoukot I j,k \int I j,k, missä (j, k) I. Nämä erotusjoukot ovat kyseisten välien reunoja eli surkastuneiden välien yhdisteitä. Kaavan (1) oikean puolen erotusjoukon pinta-ala on siis I j,k int I j,k = c (A, P ) c (A, P ) c (A) c (A) + 2ε. (j,k) I (j,k) I Tästä, inkluusiosta (1) ja ulkosisällön monotonisuudesta saadaan c ( A) c (A) c (A) + 2ε, joten c ( A) c (A) c (A). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Joukon A ulkosisällölle on c (A) c (A, P ) = I j,k = I j,k + I j,k (j,k) I (j,k) I \I (j,k) I I j,k + c (A, P ) I j,k + c (A). (j,k) I \I (j,k) I \I Osaväleille I j,k, joille (j, k) I ja (j, k) I, on I j,k A, mutta I j,k A, joten I j,k A. Jos välit I j,k olisivat avoimia, tämä tarkoittaisi, että välit I j,k, (j, k) I \ I, peittävät joukon A reunan 3. Jos J j,k ovat avoimia välejä, joille I j,k J j,k ja J j,k I j,k + ε/(m n), on A ja c (A) c (A) Kun jako on riittävän tiheä, on 4 c ( A) (j,k) I \I J j,k (j,k) I \I I j,k (j,k) I \I J j,k ε. Näistä seuraa, että c (A) c (A) c ( A) + ε. (j,k) I \I J j,k. 3 Muista: piste x on joukon A reunapiste, jos B(x; r) A ja B(x; r) A kaikille r > 0. Yhtäpitävästi x on joukon A reunapiste, jos J A ja J A kaikille avoimille väleille J, joille x J. 4 Tämä kohta kaipaisi tarkempaa perustelua; tarkemmin se, että joukon ulkosisällön määräämiseksi voitaisiin käyttää avoimia välejä. 4

1.3. Joukon ulko- ja sisäsisällön yhteys ylä- ja alaintegraaleihin. Olkoot J on kompakti väli ja f : J R rajoitettu funktio. Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Asetetaan ja M j,k (f) := sup{f(x, y) (x, y) I j,k }, m j,k (f) := inf{f(x, y) (x, y) I j,k }, S(f, P ) := j,k M j,k (f) I j,k, S(f, P ) := j,k m j,k (f) I j,k. Luku S(f, P ) on funktion f jaon P määräämä Darboux n yläsumma. Vastaavasti S(f, P ) on funktion f jaon P määräämä Darboux n alasumma. 5 Jos P on välin J jaon P hienonnus, on S(f, P ) S(f, P ) ja S(f, P ) S(f, P ). Edelleen, kun P ja Q ovat mitkä tahansa kaksi välin J jakoa, on J S(f, Q) S(f, P ). Funktion f Riemannin ylä- ja alaintegraali välin J suhteen 6 määritellään kaavoilla f(x, y) d(x, y) := inf{s(f, P ) P P}, f(x, y) d(x, y) := sup{s(f, P ) P P}, Funktio f on Riemann-integroituva, jos f(x, y) d(x, y) = f(x, y) d(x, y), jolloin J J funktion f Riemannin integraali välin J suhteen on ylä- ja alaintegraalin yhteinen arvo, f(x, y) d(x, y) := f(x, y) d(x, y) = f(x, y) d(x, y). J J J Olkoot nyt J tason kompakti väli, A J, P välin J jako sekä I ja I indeksijoukot kuten kohdassa 1.1. Olkoon χ A : J R, χ A (x) := 1, jos x A, ja χ A (x) := 0, jos x A. Funktio χ A on joukon A karakteristinen funktio. Funktiolle χ A ja jakoa P vastaaville osaväleille I j,k on Siis joten M j,k (χ A ) = S(χ A, P ) = J { 0, jos (j, k) I, 1, jos (j, k) I, J ja m j,k (χ A ) = (j,k) I I j,k = c (A, P ) ja S(χ A, P ) = χ A (x, y) d(x, y) = c (A) ja J { 0, jos (j, k) I, 1, jos (j, k) I. (j,k) I I j,k = c (A, P ), χ A (x, y) d(x, y) = c (A). 5 Luentomonisteen [4] vastaavat merkinnät ovat U(f, P ) ja L(f, P ). Integraaleille vastaavasti = ylä- ja = ala-. 6 Oikeastaan pitäisi puhua Darboux n ylä- ja alaintegraalista ja Darboux-integroituvuudesta. Riemann käytti integraalinsa määrittelyyn Riemmannin summien nimellä tunnettuja summia R(f, T ) := j,k f(ξ j,k) I j,k, missä T := {(ξ j,k, I j,k ) ξ j,k I j,k, 1 j m, 1 k n} on jaon P määräämä merkitty jako (osaväli ja kultakin osaväliltä mielivaltaisesti valittu piste). 5

Joukon A karakteristinen funktio χ A on siis Riemann-integroituva välin J suhteen, jos ja vain jos joukko A on Jordan-mitallinen. Tämä seuraa edellä olleesta: joukko A on Jordan-mitallinen, jos ja vain jos c ( A) = 0. Jos käytetään Lebesguen ehtoa Riemann-integroituvuudelle, on: joukon A karakteristisen funktion χ A epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, jos ja vain jos reuna A on nollamittainen. 1.4. Yhteys Lebesguen mittaan. Olkoon K kaikkien tason avointen välien ja tyhjän joukon muodostama kokoelma. Tason osajoukon A Lebesguen ulkomitta m (A) määritellään asettamalla { m } (A) := inf I j I j K, j Z +, ja A I j j=1 Huomaa, että kun asetetaan := 0, on joukon A ulkomitan muodostamisessa mukana myös kaikki sellaiset äärellisen monen avoimen välin I j, 1 j k, kokoelmat, joille A k j=1 I j. Erona Jordanin ulkosisältöön on, että joukon A peittäminen sallitaan myös numeroituvasti äärettömillä peitteillä. Esimerkki 1.1. Mitä numeroituvasti äärettömien peitteiden salliminen sitten merkitsee? Tämä nähdään yksinkertaisella esimerkillä. Olkoon A := Q [0, 1]. 7 Jos I j, 1 j k, ovat välin [0, 1] jaon P määräämiä suljettuja välejä (kuten joukon Jordanin sisällön kohdalla tulee olla), ja j=1 I := {j I j A } ja I := {j I j A}, niin I = (jokaisella välillä I j on sisäpisteitä, mutta joukolla A niitä ei ole), I = {1,..., k} (jokaisella välillä I j on rationaalipisteitä) ja [0, 1] = A k j=1 I j = [0, 1]. Tästä seuraa, että c (A, P ) = 1, joten myös c (A) = 1. Toisaalta, joukko A on numeroituva, joten se voidaan esittää muodossa A = {r l l Z + } (missä siis r l ovat välin [0, 1] keskenään erisuuret rationaalipisteet). Jokaiselle l Z + olkoon I l avoin väli, jonka keskipiste on r l, ja jonka pituus on ε/2 l. Tällöin A l=1 I l ja l=1 I l = ε l=1 1/2l = ε. Siis m (A) ε oli ε > 0 kuinka pieni tahansa. Näin ollen m (A) = 0. Joukon Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta voivat siis poiketa toisistaan varsin paljon. Joukon Lebesguen ulkomitalla on seuraava säännöllisyysominaisuus: joukon ulkomittaa voidaan approksimoida ulkoapäin avointen joukkojen ulkomitan avulla m (A) = inf{m (U) U on avoin ja A U}. Tämä tulos on sikäli merkittävä, että avoimet joukot ovat monessa mielessä huomattavan yksikertaisia, ja niille Lebesguen ulkomitta voitaisiin määritellä hieman helpommin ymmärrettävällä tavalla ennen kuin siirrytään mielivaltaisten joukkojen tarkasteluun. Tästä päästään myös luontevasti joukon sisämittaan. Kun rajoitutaan kompaktin välin I osajoukkoihin, on A U I \ A I \ U. Kun U on avoin, on K := I \ U suljettu, joten kompaktin välin I osajoukkona se on kompakti. 7 Joukkojen pitäisi tässä yhteydessä olla tason osajoukkoja, ei reaaliakselin. Tähän päästäisiin vaihtamalla joukon A tilalle joukko (Q [0, 1]) [0, 1]. 6

Rajoitetun joukon A R 2 sisämitta m (A) määritellään asettamalla Yhtäpitävästi voitaisiin asettaa m (A) := sup{m (K) K on kompakti ja K A}. m (A) := I m (I \ A), kun I R 2 on kompakti väli, jolle A I. Lebesguen käyttämä määritelmä joukon A mitallisuudelle oli vastaava kuin Jordan joukoille: Rajoitettu joukko A on (Lebesgue-)mitallinen, jos m (A) = m (A). Lebesguen ulkomittaa ja joukkojen Lebesgue-mitallisuutta selvitellään tarkemmin Mitta- ja integraaliteorian kurssilla [5]. Seuraavaan on listattu joitakin Lebesguen ulkomitan perusominaisuuksia: (i) Jos A on väli, on m (A) = m (A) = A. (ii) Ulkomitta on monotoninen: m (A) m (B), kun A B. (iii) Ulkosisältö on subadditiivinen: m ( j=1 A j) j=1 m (A j ). Lebesguen ulkomittaa ja Jordanin ulkosisätöä voidaan jossain määrin verrata toisiinsa: (iv) Kun A on rajoitettu ja K A kompakti, on c (K) m (A). (v) m (A) c (A), kun A R on rajoitettu; (vi) m (K) = c (K), kun K on kompakti. (vii) Numeroivuva subadditiivisuus (kohta iii) ei päde Jordanin ulkosisällölle, t.s. voi olla c ( j=1 A j) > j=1 c (A j ). 1.5. Riemann-integroituvuuden karakterisointi. Jatkuvat funktiot ovat (tunnetusti) Riemann-integroituvia, samoin tietysti porrasfunktiot 8, vaikka nillä voikin on olla epäjatkuvuuskohtia. Riemann-integroituvalla funktiolla voi olla äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa, mutta kuinka paljon? Tämän ongelman ratkaisi Riemann 1800-luvulla Jordanin sisällön avulla. 1800- ja 1900-lukujen vaihteessa ratkaisu pystyttiin esittämään Lebesguen ulkomitan avulla yksinkertaisemmin. Olkoot J kompakti väli, T J epätyhjä osajoukko ja f : J R rajoitettu funktio. Funktion f oskillaatio joukossa T on ω f (T ) := sup{f(x, y ) f(x, y) (x, y), (x, y ) T } = sup f(t ) inf f(t ). Jos T T, on ω f (T ) ω f (T ). Kun (x, y) J ja δ > 0, olkoon Q((x, y); δ) := {(x, y ) J x x δ, y y δ}. Kun 0 < δ < δ, on Q((x, y); δ) Q((x, y); δ ), joten edellisen nojalla oskillaatioille vastaavissa joukoissa on ω f (Q((x, y); δ)) ω f (Q((x, y); δ )). Tästä seuraa, että inf{ω f (Q((x, y); δ)) δ > 0} = lim δ 0+ ω f(q((x, y); δ)) =: ω f (x, y). Luku ω f (x, y) on funktion f oskillaatio pisteessä (x, y). Funktion oskillaatio antaa kvantatiivisen mittarin funktion epäjatkuvuuden selvittämiseen, koska: funktio f on jatkuva pisteessä (x, y), jos ja vain jos ω f (x, y) = 0. (Todistus jää lukijan tehtäväksi.) Olkoon f : J R rajoitettu funktio. 8 Porrasfunktio on funktio f : J R niin, että välille J on jako P = {x 0, x 1,..., x n }, jolle funktiolla f on vakioarvo jokaisella avoimella osavälillä ]x j 1, x j [. 7

J: Riemann-integroituvuuden karakterisointi Jordanin ulkosisällön avulla. Jokaiselle ε > 0 olkoon J ε := {(x, y) J ω f (x, y) ε}. Tällöin f on Riemannintegroituva, jos ja vain jos joukon J ε Jordanin ulkosisältö on nolla kaikille ε > 0. Todistus: katso [1, 9 23/Thm 9 47 ja 10 ], [2, 7.26, 14.4] L: Riemann-integroituvuuden karakterisointi Lebesguen ulkomitan avulla. Asetetaan E f := {(x, y) J f on epäjatkuva pisteessä (x, y)}. Tällöin f on Riemann-integroituva, jos ja vain jos joukko E f on nollamittainen eli m (E f ) = 0. Todistus: katso [2, 7.26], [7, 11], [9, Thm 3.8] Huomaa: E f = {(x, y) J f on epäjatkuva pisteessä (x, y)} = {(x, y) J ω f (x, y) > 0} = {(x, y) J ω f (x, y) 1} k Joukot J ε = {(x, y) J ω f (x, y) ε}, ε > 0, voidaan osoittaa suljetuiksi, joten ne ovat kompakteja. Tällöin c (J ε ) = m (J ε ). Jos jokainen c (J ε ) = 0, ε > 0, on Lebesguen ulkomitan subadditiivisuuden nojalla ( ) m (E f ) = m J 1/k m (J 1/k ) = c (J 1/k ) = 0 k=1 k=1 Toisaalta, jos joukko E f on nollamittainen, pitää Lebesguen ulkomitan monotonisuuden nojalla jokaisen joukon J 1/k, k Z +, ulkomitan olla nolla. Kun ε > 0, valitaan k Z + siten, että 1 k ε. Tällöin J 1/k J ε, joten ulkomitan monotonisuuden nojalla m (J ε ) = 0. Koska joukot J ε ovat kompakteja, on c (J ε ) = m (J ε ) = 0. Siis ehdot jokaisen joukon J ε, ε > 0, Jordanin ulkosisältö on nolla ja joukko E f on nollamittainen ovat keskenään yhtäpitäviä. Väitteiden J ja L todistamisessa haasteellisinta on selvittää, miten epäjatkuvuutta kuvaavat joukot J ε ja epäjatkuvuuspisteiden joukko E f liittyvät funktion f Riemann-integroituvuuteen. Kun lasketaan jakoon P liittyvien Darboux n ala- ja yläsumman (ks. kohtaa 1.3) erotus, saadaan hieman tuntumaa joukkojen J ε ja E f merkitykseen: S(f, P ) S(f, P ) = j,k k=1 M j,k (f) I j,k j,k k=1 m j,k (f) I j,k 8 = j,k (M j,k (f) m j,k (f)) I j,k = j,k ω f (I j,k ) I j,k. Riemannin ehdon nojalla f on Riemann-integroituva välillä I, jos ja vain jos jokaiselle η > 0 on olemassa välin I jako P η siten, että S(f, P η ) S(f, P η ) < η. Kun erotuksen S(f, P η ) S(f, P η ) lauseketta tarkastellaan oskillaation avulla, voidaan heuristisesti päätellä seuraavaa: jotta f olisi Riemann-integroituva eivät molemmat, oskillaatio ω f (I j,k ) osavälillä I j,k ja osavälin pinta-ala I j,k, olla samanaikaisesti isoja. Kun jako on tiheä eli välien I j,k sivupituudet pieniä, on ω f (I j,k ) ω f (x), kun x on välin keskipiste. Siis ω f (x) voi olla iso vain joukossa, jonka pinta-ala on pieni.

Kirjallisuutta [1] Tom M. Apostol: Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus, Addison Wesley, 1971; ensimmäinen laitos, alunperin 1957. [2] Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, 1981. [3] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, osa II/1, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, 2000. [4] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2A, luentomuistiinpanoja keväältä 2015. [5] Tero Kilpeläinen, Mitta- ja integraaliteoria 2003 04, pdf-dokumentti osoitteessa http://www.math.jyu.fi/ terok/opetus/mitta/ (luettu tammikuussa 2016). [6] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 2005). Edelliset laitokset Analysis I, Addison-Wesley, 1968; Undergraduate analysis, Springer, 1983. [7] James R. Munkres, Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, 1991. [8] I. P. Natanson, Theorie der Funktionen Einer Reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überarbeitete Auflage, Akademie-Verlag, 1961; Theory of functions of a real variable, volume I, New York, Rederick Ungar, 1955; volume II, 1960; alunperin venäjänkielisenä 1949 (1. laitos) ja 1956 (2. laitos). [9] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos, 1968. 9