Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on A 2 + A n cos( nπx L ) A n = 2 L B n = 2 L f(x) cos( nπx L )dx. B n sin( nπx L ) f(x) sin( nπx L )dx. { x, x L/2 L x, L/2 x L 4L (nπ) 2 sin nπ 2 sin(nπx L ). Sini- ja kosinisarjat tulkittavissa erikoistapauksina täydestä (reaalisesta) Fouriersarjasta: f paloittain jatkuva funktio [, L]. jossa ja A 2 + A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) A n = 1 L B n = 1 L f(x) cos( nπx L )dx. f(x) sin( nπx L )dx. Jos f parillinen, saadaan kosinisarja ja B n =. Jos pariton, sinisarja ja A n =. Tulkinta ominaisfunktioiden kautta: jos M on operaattori u u avaruudessa {u C 2 () u(x + 2L) = u(x) x } niin M:n ominaisfunktiot ovat 1, cos( nπx) L ja sin( nπx ), n N. Ne muodostavat ortogonaalin kannan ja sarja on f:n esitys tässä L kannassa.

March 25, 21 versio 1.1 2 Kompleksinen Fourier-sarja f : [, L] C paloittain jatkuva. Sisätulo f,g := f(x)ḡ(x)dx Eo. M-operaattorin C-ominaisfunktiot ϕ n (x) = exp(inπx/l) muodostavat taas ortogonaalin kannan. c n exp(inπx/l) jossa n= c n = f,ϕ n ϕ n,ϕ n = 1 f(x) exp( inπx/l)dx. 2L Huom: kun L = 1/2 ja f jaksollinen, niin c n = ˆf(n) kuten kurssin alkuosassa Fourierkertoimia merkittiin. Kun f reaalinen, c n = c n ja c ±n = 1 2 (A n ib n ) c n exp(inπx/l) + c n exp( inπx/l) = A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) eli kompleksinen sarja palautuu reaaliseen. Konvergenssituloksia Olkoon s N (x) jono funktioita [a,b] C. 3 suppenemiskäsitettä tälle: 1. Pisteittäin (funktioon s(x)) 2. Tasaisesti lim s N(x) = s(x) N lim max s N(x) s(x) = N a x b 3. L 2 -mielessä (tai neliöllisesti tai mean square ) b lim N a s N (x) s(x) 2 dx = Esimerkki 2. s N (x) = x N välillä [, 1] suppenee pisteittäin ja L 2 muttei tasaisesti. Esimerkki 3. Välillä x [, 1], x = s N (x) = N, < x < 1/N, 1/N < x 1 suppenee pisteittäin muttei L 2 eikä tasaisesti.

March 25, 21 versio 1.1 3 Merkitään jatkossa f:n N-osasummaa s N (x) = N n= N c n exp(inπx/l). Määritelmä: f on paloittain jatkuva välillä [a,b], kun f on jatkuva x [a,b] paitsi äärellisen monessa pisteessä. Lisäksi, epäjatkuvuuspisteessä c on olemassa vasemman- ja oikeanpuoliset raja-arvot: f(c ) := lim xրc f(x) f(c + ) := lim xցc f(x) sekä päätepisteissä on olemassa toispuoliset raja-arvot f(a + ) ja f(b ). Lause 1. Olkoon f paloittain jatkuva välillä [, L]. Tällöin sen Fourier-sarja suppenee (kohti f) L 2 -mielessä: ja s N (x) f(x) 2 dx kun N Jälkimmäinen on Parsevalin yhtälö. f(x) 2 dx = 2L n= c n 2 L 2 -katkaisuvirhe määritellään σn 2 := 1 s N (x) f(x) 2 dx 2L ja voidaan ilmaista Fourier-kertoimien avulla σ 2 N = n >N c n 2. Kuinka nopeasti σn 2 c n = O(1/n 2 ) niin kun N? Vertaa epäoleelliseen integraaliin. Jos esim. σ 2 N C (1/n 2 ) 2 C N+1 N 1 x 4dx = O(N 3 ). Jos suureesta a(n) tunnetaan vain muutamia arvoja eli datapisteitä {N i, a(n i )} K i=1 niin näistä voidaan visuaalisesti päätellä suppenemisnopeus: jos a(n) = C N r (C,r vakioita) niin log a = log C + r log N eli y = C + rx joka on suoran yhtälö koordinaateissa y = log a, x = log N. Siis piirrettäessä data {N i, a(n i )} K i=1 loglog-asteikkoon (Matlabissa loglog(n,a)) syntyy suoran kuvaaja jonka kulmakertoimena on r.

March 25, 21 versio 1.1 4 Lause 2. Olkoon f jatkuva välillä [, L] ja f() = f(l) (eli f tulkittavissa jaksollisena jatkuvana) ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee tasaisesti: max s N(x) f(x) kun N. x L Seuraavaksi pari (kertaus)lausetta tasaisesta suppenemisesta. Lause 3. Weierstrassin testi tasaiselle suppenemiselle: olkoon funktiot f n (x), n N, välillä [a,b] rajoitettuja f n (x) M n x [a,b] ja lisäksi 1 M n suppenee. Tällöin sarja 1 f n(x) suppenee tasaisesti välillä [a,b]. Meille f n = c n ϕ n. Esimerkin 1 sarjassa 4L (nπ) sin nπ 2 2 sin(nπx L ) vakio/n2 ja 1 1 < joten esimerkin 1 sinisarja suppenee tasaisesti. n 2 Lause 4. Olkoon f n (x) jono jatkuvia funktioita joka suppenee tasaisesti välillä [a,b] funktioon f(x). Tällöin f(x) on jatkuva välillä [a,b]. Huom: meille f n = s n. Seuraus: nyt s N ovat Fourier-sarjan osasummia, äärellinen summa sin/cos funktioista, selvästi jatkuvia. Joten Fourier-sarja voi supeta tasaisesti vain jos f jatkuva. Seuraava lause on edellisten välimaastossa: Lause 5. Olkoon f paloittain jatkuva [, L] sekä derivoituva kaikkialla paitsi ehkä äärellisen monessa pisteessä, ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee pisteittäin niissä x ] L,L[ joissa f jatkuva. Jos f epäjatkuva pisteessä x = c niin sarja suppenee kohti vas. ja oik. puoleisten raja-arvojen keskiarvoa: s N (c) 1 (f(c ) + f(c + )) kun N. 2 Päätepisteissä x = ±L sarja suppenee kohti päätepisteiden keskiarvoa eli Esimerkki 4. s N (±L) 1 (f(l ) + f( + )), N. 2 { 1/2, π x < 1/2, < x π f on reaalinen ja pariton, riittää katsoa sinisarjaa: Fourier-sarja f:lle on siis B n sin(nx), B n = {, n parillinen 2, n pariton nπ 2 sin 3x sin 5x (sin x + + +...) π 3 5 pisteissä x = ja x = ±π sarja tosiaan suppenee kohti nollaa. Tässä osasummat s N näyttävät pisteen x = ympärillä Gibbsin ilmiön, josta enemmän harjoitustehtävissä.

March 25, 21 versio 1.1 5 Fourier-muunnos Edellä Fourier-sarjat funktiolle joka määritelty äärellisen välin yli. Nyt koko reaaliakselin yli: olkoon f : C s.e. f(x) kun x ±. Intuitiivisesti: rajoita f välille [,L], ota sille Fourier-sarja ja asetetaan ξ n := nπ/l, fl := ξ f(x)e iξx dx jolloin Fourier-sarja antaa, kun x L, 1 n= f L (ξ n )e iξnx ξ jossa ξ = ξ n+1 ξ n = π/l. Tämä näyttää iemann-summalta jonka soisi lähestyvän integraalia kun ξ. Mutta samaan aikaan L eli toivon mukaan myös f L ˆf joka määritelty ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx ja yo. iemann-summa antanee 1 ˆf(ξ)e iξx dξ Kysymys siitä, milloin nämä vastaavuudet f ˆf f toimivat, on hienovarainen rajaarvoprosessi jota on kurssin alkuviikoilla pohdittu. Huom: kirjallisuudesta riippuen, joskus määritelmiin asetetaan eri kertoimia mutta on aina jossain. Esimerkiksi kurssin alkuosassa käytettiin määritelmänä ˆf(ω) := exp( itω)f(t)dt jolloin f(t) = exp(iωt) ˆf(ω)dω joka on analyysiin erittäin hyvä valinta mutta numeriikkaan hieman epämukavampi. Toinen, usein kirjallisuudessa näkyvä valinta ˆf(ξ) := 1 1 f(x)e iξx dx ˆf(ξ)e iξx dξ jolloin jossa on mukavaa symmetriaa kertoimien välillä. Näitä versioita emme käytä. Esimerkki 5. exp( x ) jonka muunnos ˆf(ξ) = 2 1+ξ 2. Esimerkki 6. g(x) = exp( x 2 /2) jonka muunnos ĝ(ξ) = exp( ξ 2 /2). Esimerkki 7. muunnos ˆf(ξ) = 2 sin ξ ξ = O(1/ξ) kun ξ. {, x > 1 1, x < 1

March 25, 21 versio 1.1 6 Esimerkki 8. g(x) = {, x > 1 1 x 2, x 1 muunnos ĝ(ξ) = 4( sin ξ ξ cosξ)/ξ 2 = O(1/ξ 2 ) kun ξ. Mitä sileämpi funktio f, sitä nopeammin ˆf(ξ) kun ξ. Esimerkki 9. Olkoon f a (x) := f(ax). Tällöin ˆf a (ξ) = 1 ˆf(ξ/a). Erityisesti Gaussisen a piikin e (ax)2 /2 /2 muunnos on a e (ξ/a)2 tulkinta: kun a > kasvaa, piikki kapenee, sen Fourier-muunnos levenee eli mukaan tulee enemmän korkeita taajuuksia. Lause 6. (Plancherel) ja eli f,g = 1 ˆf,ĝ. Derivaatan Fourier-muunnos: Konvoluutio muunnos Translaatio: muunnos f(x) 2 dx = 1 ˆf(ξ) 2 dξ f(x)g(x)dx = 1 (f g)(x) := Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) f (ξ) = iξ ˆf(ξ) ˆf(ξ)ĝ(ξ)dξ f(x y)g(y)dy f g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ) τ a f(x) := f(x a) τ a f(ξ) = exp( iaξ) ˆf(ξ) Olkoon f : C -jaksollinen funktio. iittää katsoa väliä [, ]. Fourier-sarjan kertoimet välin [, ] yli siis c k = 1 f(x)e ikx dx ja f:lle esitys c k e ikx. k Z Lasketaan approksimatiivisesti c k :t? Toki vain äärellisen monta, N kpl. Kun k iso, c k :n lauseke numeerisella integroinnilla tulee työlääksi koska integroitava oskilloi yhä nopeammin. Idea: sen sijaan etsitään N kpl kertoimia d k s.e. summa N 1 k= d k e ikx

March 25, 21 versio 1.1 7 yhtyy f:n arvoihin N:ssä pisteessä jotka tasavälein [, ]:llä. Eli interpoloidaan funktiota f. Käsite diskreetti Fourier-muunnos viittaa tämän summan muodostamiseen, tai ekvivalentisti pelkkien d k :tten laskemiseen. Osoittautuu että myös {d k } {c k } tietyssä mielessä. Näytteenottoväli ja -pisteet: Vaaditaan x := /N, x j := j x j =,...,N 1 N 1 k= joka osoittautuu olevan matriisiyhtälö d k e ikj x = f(x j ), j =,...,N 1 Fd = f jossa d := (d,d 1,...,d N 1 ) T, f := (f(x ),f(x 1 ),...,f(x N 1 )) T ja 1 1... 1 1 W... W N 1 F = 1 W 2... W 2(N 1)......, W = exp(i/n) = exp(i x)....... 1 W N 1... W (N 1)(N 1) Lisäksi F 1 = 1 N F joten d = 1 N Ff, d m = 1 N N 1 f(x j ) W mj. Huom: kuten aiemmin Fourier-muunnoksen yhteydessä todettiin kirjallisuudessa esiintyvistä määritelmistä, niin myös DFT:lle voisi käyttää (ja usein käytetäänkin) määritelmää jossa kertoimen 1 tilalla on 1 tai 1 N N. Tällöin käänteismuunnokseen tulee N tai N vastaaviin kohtiin. Pelkistäen, näennäisen erilaisista määritelmistä huolimatta jatkuvassa muunnoksessa on kuitenkin jossain mukana, diskreetissä muunnoksessa N on kuitenkin jossain mukana. Miten kokoelmat {d k } ja {c k } liittyvät toisiinsa? Osoittautuu d k = m Z c k+mn, k =, 1,...,N 1 Erityisesti (olet. N parillinen) d k = c k + m c k+mn, k < N/2 alkupuolisko d N k = c k + m c k+mn, 1 k < N/2 loppupuolisko d N/2 = c N/2 + c N/2 + c N/2+mN, m, m 1 keskimmäinen

March 25, 21 versio 1.1 8 Tulkinta: d k = c k +korkeampia taajuuksia, paitsi d N/2 joka ei kerro oikein mitään hyödyllistä c N/2 :sta. Sekä: jos N on liian pieni, eli x liian iso, korkeat taajuudet (c k isolla k ) eivät löydy. Jälkimmäinen ilmiö on nimeltään laskostuminen (engl. aliasing). Jos c n < niin d k c k ja d N k c k kun N (eli x ). Suppenemisnopeus on sitä suurempi mitä nopeammin c n suppenee eli mitä sileämpi f on. Esimerkiksi jos c n = O(n 2 ) niin ( ) 1 ( ) 1 c k+mn = O ja c (mn) 2 k+mn = O kun N. N 2 Esimerkki 1. Oletetaan f:lle äärellinen Fourier-sarja m Jos N riittävän suuri s.e. M < N/2 niin M k= M c k e ikx d k = c k ja d N k = c k kun k < M. Eli f saadaan rekonstruoitua näytteenotolla & DFT:llä täydellisesti kun x = /N < P/2 jossa P = /M on f:n korkeimman taajuuden jakso. Jos f:n jaksona 2L eikä niin x := 2L/N ja W, F, F 1, d k lausekkeet kuten ennen. Huom: W = exp(i/n) exp(i x) mutta jälkimmäistä ei tarvita. Fourieresitys muodossa c k e ikπx/l. DFT ja Fourier-muunnos Olet. a > s.e. f(x) kun x [, 2a] jolloin ˆf(ξ) 2a f(x)e ixξ dx. Kun ξ = kπ a =: ξ k niin HS=2ac k. HS:lle N:n pisteen iemann-summa-approksimaatio: x := 2a/N, x j = j x j =,...,N 1 h N (ξ) := N 1 j= f(x j )e ix jξ x ja ˆf(ξ) h N (ξ). h N (ξ) on jaksollinen, jakson pituus / x =: P. Myös P = πn/a joten kun N niin P. Kun ξ fixattu, h N (ξ) lähestyy integraalia kun N. Pyritään kuitenkin approksimoimaan ˆf:n arvoja vain pisteissä ξ = ξ k = kπ a. Osoittautuu h N (ξ k ) = 2ad k, k =, 1,...,N 1.

March 25, 21 versio 1.1 9 Negatiivisilla ξ? h N jaksollisuudesta h N ( kπ a ) = h N((N k) π a ) = 2ad N k, 1 k N. Valitaan h N :n esitysväliksi Nπ 2a ξ Nπ 2a (välin pituus = h N:n jakso) ja arvot h N (ξ k ), k = N 2,...,,..., N 2 valitaan approksimaatioiksi ˆf(ξ):lle välille Nπ ξ Nπ Nπ. Jos ξ > niin ˆf(ξ):n 2a 2a 2a approksimaatioksi ei sovi jaksollinen h N (ξ). Tämäkin on laskostumista: korkeat taajuudet eivät löydy kun N liian pieni. {h N (ξ k )} N/2 k= N/2 = (2ad N/2, 2ad N/2+1,...,2ad N 1, 2ad, 2ad 1,...,2ad N/2 ) Jos f on kaistarajoitettu eli ξ c s.e. ˆf(ξ) = ξ ξc (analogia edelläolevaan jaksollinen f jolla äärellinen Fourier-sarja) niin riittävän isolla N pätee h N (ξ):n jakson alue ξ Nπ kattaa koko alueen ξ ξ 2a c, jolloin ei synny laskostumista. Tämä tunnetaan myös Nyquist-Shannonin lauseena. Määritellään Nyquistin taajuus ξ := 2ξ c ja näytteenottotaajuus (näytteenottoväli x). Tällöin ehto ξ x Nπ a voidaan ilmaista näytteenottotaajuuden oltava vähintään Nyquistin taajuus. Symmetrinen näytteenottoväli Olet. f keskittynyt välille [ a, a]. Tämä palautuu aikaisempaan (jossa f keskittynyt [, 2a] välille) käyttämällä τ a f siirtoa. Nyt ˆf(ξ) a a f(x)e ixξ dx = e iaξ h N (ξ) jossa h N laskettu τ a f:n arvoista välillä [, 2a] kuten edellä. ˆf(ξ k ) e iaξ k 2ad k, k < N/2 ˆf( ξ k ) e ia( ξ k) 2ad N k, 1 k N/2 jossa ξ k = kπ/a. Yhteenveto symmetriselle näytteenottovälille: 1. Näytteistä f välin [ a,a] yli 2. Laske DFT d := F 1 f 3. swappaa d:n puoliskot: f := (f( a),f( a + x),...,f(a x)) d (loppupuolisko, alkupuolisko) 2a (esim. (d,d 1,...,d 7 ) (d 4,d 5,d 6,d 7, d,d 1,d 2,d 3 ) 2a.) 4. Kerro vaihesiirroilla e iaξ k.

March 25, 21 versio 1.1 1 Nopea Fourier-muunnos (FFT) DFT:ssä muodostetaan d = F 1 f joka työmäärältään oleellisesti sama kuin operaatio u Fu. F on täysi N N matriisi joten Fu vie O(N 2 ) kertolaskua. FFT:n ideana on käyttää hyväksi F:n erikoista rakennetta ja organisoida laskut uudelleen, jolloin F u viekin vain O(N log N). Sovelluksissa N = 1 6 ei ole harvinaista, tällöin säästö on N 2 = 1 12 tilalle N log N = 1 7 eli 1,-kertainen. Oletetaan N parillinen, N = 2M. Merkitään F N yo. F-matriisia kokoa N N, W N := exp(i/n), (F N ) jk = W jk N ja v := F Nu (u mielivaltainen vektori). Nyt WN 2 = W M, WN M = 1 ja W N N = 1. v j = k parill W jk N u k + W jk N u k k ptn = M 1 l= M 1 = l= M 1 W j2l N u 2l + l= M 1 W jl M u 2l + W j N W j(2l+1) N u 2l+1 l= W jl M u 2l+1 = (F M u even ) j + W j N (F Mu odd ) j kun j =, 1,...,M 1, jossa u even = (u,u 2,...,u N 2 ) ja u odd = (u 1,u 3,...,u N 1 ) ovat M-vektoreita. Kun j = M,...,N 1 niin merkitään j = ν +M jossa ν =, 1,...,M 1 ja palautetaan aiempaan. Ensin: joten W jl M = W νl M ja W j N = W ν N v ν+m = (F M u even ) ν W ν N(F M u odd ) ν kun ν =, 1,...,M 1. Työmäärä? Merkitään F N u:n laskemisen työmäärää r(n). r(n) = r(m) +r(m) + }{{}}{{}}{{} M = 2r(M) + M even odd W j N odd Jos myös M on parillinen, tätä voidaan jatkaa. FFT yleensä tehdäänkin kun N = 2 p, p N. Ylläolevaa proseduuria v:lle jatketaan rekursiivisesti kunnes laskettavana on vain F 2 :lla kertomisia. Voidaan ottaa r(2) = 1 (jossa on itse asiassa vain ( ) ( a b a+b a b) ) jolloin induktiolla saadaan r(n) = 1 N log N. 2 Huom: edellä laskettiin v = Fu vaikka itse asiassa DFT on tässä u = F 1 v = 1 Fv eli N työmäärät ovat toki samat, mukana on kompleksikonjugaatti ja lisäksi N kpl kertolaskuja (1/N). Tämä jälkimmäinen ei vaikuta r(n):n arvioon kun N iso. FFT voidaan tulkita myös matriisihajotelmana. Tapaus N = 4: 1 1 1 1 F 4 = 1 i 1 i 1 1 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 = 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1

March 25, 21 versio 1.1 11 jossa ensimmäinen operaatio (s.o. oikeanpuoleisin) tekee permutaation u = (u,u 1,u 2,u 3 ) (u,u 2,u 1,u 3 ) = (u even,u odd ) keskimmäinen matriisi on [ F2 ] F 2 ja viimeinen yhdistää F M u even, F M u odd komponentit halutulla tavalla.