Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115

Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214 (H) Suorittaminen A: Koe 11.5. + palautettavat harjoitustehtävät B: Koe 11.5. Luentokalvot, harjoitustehtävät, ratkaisut yms. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Markus Haase: Functional analysis, An elementary introduction Wikipedia (englanniksi) Vanha luentomoniste: Mikael Lindström: Hilbertin avaruudet Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 2 / 115

Suoritus laskareiden avulla Harjoitustehtävien ratkaisut palautetaan (selkeässä muodossa). Osa ratkaisuista pisteytetään (tässä huomioidaan myös luettavuus). Pisteytettävät tehtävät valitaan arpomalla. Pisteytetyistä tehtävistä huonoin 1/7 yhdet laskarit jätetään huomioimatta kokonaispisteissä. Pisteet suhteutetaan siten, että laskareista saa 012 pistettä. Kokeesta saa 024 pistettä. Arvosana ja läpipääsy määräytyvät laskaripisteiden ja koepisteiden summan perusteella. Mikäli pelkät koepisteet johtavat parempaan arvosanaan, käytetään sitä lopullisessa arvioinnissa. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 3 / 115

Hilbertin avaruuksien sovelluksia Hilbertin avaruudet ja niihin liittyvät käsitteet (erityisesti operaattorit) ovat perustyökaluja monella matematiikan alalla sekä sovelluksissa: 1 Fourier-analyysi 2 osittaisdierentiaaliyhtälöt 3 tilastotiede 4 kvanttimekaniikan matemaattinen muotoilu 5 wavelet pakkausalgoritmit (JPEG 2000) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 4 / 115

Sisältö (suunniteltu) Sisätulo (inner product) Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle avaruudelle (orthogonal projection onto a nite-dimensional subspace) Metriikka ja täydellisyys (metric and completeness) Hilbertin avaruudet (Hilbert spaces) Ortogonaaliprojektio (orthogonal projection) Ortonormaali kanta (orthonormal basis) Banachin avaruudet (Banach spaces) L p avaruudet (L p spaces) Hilbertin avaruuden operaattoreista (operators on Hilbert spaces) Fourier-sarjoista (Fourier series) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 5 / 115

Johdanto: Euklidiset avaruudet Euklidinen avaruus R n = { (x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R } on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, joka on varustettu pistetulolla (sisätulolla) x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n missä x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 6 / 115

Vektorin pituus R n :ssä Pistetulo määrää vektorin pituuden x = x x = ja siten pisteiden välisen etäisyyden x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n d(x, y) = x y. y x y x x 2 x x 1 Kuvassa x = x 2 1 + x 2 2 ja x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 7 / 115

Pistetulon geometrinen tulkinta Pistetulo määrää vektoreiden välisen kulman α: x y = x y cos α = cos α = y x y x y. x α y cos α = x y x Esityisesti jos x ja y ovat samansuuntaisia niin x y = x y ja jos ne ovat vastakkaissuuntaisia niin x y = x y. Kaikille vektoreille pätee CauchySchwarzin epäyhtälö: x y x y. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 8 / 115

Vektoriavaruus = lineaarinen avaruus Tällä kurssilla skalaarikunta K on joko reaalilukujen kunta R tai kompleksilukujen kunta C. Vektoriavaruus kunnan K yli (eli K-kertoiminen vektoriavaruus) on joukko X jolla on määritelty vektoreiden yhteenlasku ja vektoreiden kertominen skalaarilla (x, y) x + y : X X X (λ, x) λx : K X X ja laskutoimitukset toteuttavat lineaarialgebrasta tutut säännöt. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 9 / 115

Sisätulo Määritelmä 1. Olkoon X vektoriavaruus K:n yli (K = C tai = R). Kuvaus (x, y) (x y) : X X K on sisätulo jos kaikilla x, y, z X ja λ K pätee (S1) (S2) (S3) (S4) (S5) (x y) = (y x) (symmetrisyys) (x x) 0 (positiivisuus) (x x) = 0 x = 0 (deniittisyys) (x + y z) = (x z) + (y z) (λx y) = λ(x y). Vektoriavaruutta X, joka on varustettu sisätulolla, kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 10 / 115

Lisää laskusääntöjä Sisätulon ominaisuuksista (S1), (S4) ja (S5) saadaan seuraavat laskusäännöt. Lemma 1. Kaikilla x, y, z X ja λ K pätee (1) (2) (x y + z) = (x y) + (x z) (x λy) = λ(x y). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 11 / 115

Esimerkki: Euklidiset avaruudet Euklidinen avaruus R n on reaalikertoiminen sisätuloavaruus, missä sisätulo on tuttu pistetulo: (x y) = x y = n x k y k x, y R n. k=1 Toisaalta C n on kompleksikertoiminen sisätuloavaruus sisätulon (x y) = n x k y k k=1 x, y C n suhteen. Huomaa että tällöin vektorin y C n jokaiseen koordinaattiin y k, k = 1, 2,..., n, täytyy käyttää kompleksikonjugointia (muuten sisätulon ehdot eivät toteudu). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 12 / 115

R n :n ja C n :n sisätulot yhteensopivia Edellä määritellyt sisätulot ovat yhteensopivia: koska R C, niin vektorit x, y R n voidaan tulkita avaruuden C n vektoreiksi ja tällöin (x y) = n x k y k = k=1 n x k y k k=1 sillä jokainen y k R. Täten kaava (x y) = n x k y k, x, y K n k=1 antaa sisätulon avaruudessa K n, riippumatta siitä onko K = C vai K = R. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 13 / 115

Ääretönulotteinen esimerkki Olkoon l 2 = l 2 K = { (x k) k=1 x k K kaikilla k = 1, 2,... ja k=1 x k 2 < }. Siis l 2 koostuu kaikista sellaisista K-kertoimisista jonoista x = (x 1, x 2, x 3,...), jotka ovat neliösummautuvia eli x k 2 = x 1 2 + x 2 2 + <. k=1 Avaruuden l 2 sisätulo määritellään kaavalla (x y) = x k y k x, y l 2. k=1 Tämä on avaruuden K n ääretönulotteinen vastine. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 14 / 115

Avaruuden l 2 sisätulo Miten tarkistetaan että edellä ollut määritelmä todella antaa sisätulon avaruudelle l 2? 1 Tarkistetaan että sisätulo on hyvin määritelty eli (x y) K kaikilla x, y l 2. 2 Tarkistetaan sisätulon ominaisuudet (S1) (S5). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 15 / 115

Esimerkki: funktioavaruus C([a, b]) Olkoon [a, b] R väli ja asetetaan C([a, b]) = { f : [a, b] R f on jatkuva }. Tällöin C([a, b]) on reaalikertoiminen vektoriavaruus pisteittäisten operaatioiden suhteen: kaikilla f, g C([a, b]) ja λ R pätee (f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ f (x) kaikilla x [a, b]. Tunnetusti f + g ja λf ovat jatkuvia funktioita, kun f ja g ovat. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 16 / 115

Avaruuden C([a, b]) sisätulo Kun f, g C([a, b]) asetetaan (f g) = b a f (x)g(x) dx. Käyttämällä integraalin ominaisuuksia on helppo todeta ehdot (S1) (S5). Kohdassa (S3) (deniittisyys) tarvitaan myös sitä että avaruuden C([a, b]) funktiot ovat jatkuvia. C([a, b]), missä a < b, on esimerkki ääretönulotteisesta sisätuloavaruudesta. Esimerkiksi vektorit 1, x, x 2,... ovat lineaarisesti riippumattomia: n-asteisella polynomilla on enintään n kappaletta nollakohtia, joten ei voi käydä, niin että λ 0 + λ 1 x + λ 2 x 2 + + λ m x m = 0, λ 0, λ 1,..., λ m R, kaikilla x [a, b] ellei λ 0 = λ 1 = = λ m = 0. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 17 / 115

Vektorin pituus Määritelmä 2. Olkoon X sisätuloavaruus. Vektorin x X pituus on x := (x x). Koska (x x) 0, niin pituus x on aina ei-negatiivinen reaaliluku. Esimerkki 1 Vektorin x K n pituus on x = ( n ) (x x) = x 1/2 k=1 k 2. 2 Vektorin x l 2 pituus on x = ( k=1 x k 2 ) 1/2. 3 Vektorin f C([a, b]) pituus on f = ( b a f (x) 2 dx) 1/2. (Varoitus: muitakin vaihtoehtoja on, niistä myöhemmin... ) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 18 / 115

Ortogonaalisuus ja ortonormaalisuus Määritelmä 3. Olkoon X sisätuloavaruus. Vektorit x, y X ovat ortogonaaliset (kohtisuorassa toisiaan vastaan) jos (x y) = 0; tätä merkitään x y. Vektorijoukko S X on ortogonaalinen mikäli (x y) = 0 kaikilla x, y S, x y. Vektorijoukko S X on ortonormaali mikäli S on ortogonaalinen ja jokaisen S:n vektorin pituus on 1. Siis joukko S on ortonormaali, jos kaikilla x, y S pätee { 1 x = y (x y) = 0 x y. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 19 / 115

Esimerkki: R n :n standardikanta Esimerkki R n :n standardikanta {e 1, e 2,..., en}, missä e 1 = (1, 0, 0,..., 0), = (0, 1, 0, 0,..., 0), jne., on ortonormaali. e 2 e 2 e 1 e 3 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 20 / 115

Esimerkki: sin x ja cos x Esimerkki Tutkitaan funktioita sin x ja cos x sisätuloavaruudessa C([ π, π]). Nyt π π sin 2x cos 2x π (sin x cos x) = sin x cos x dx = dx = 2 4 = 0. π Täten funktiot sin x ja cos x ovat ortogonaalisia avaruudessa C([ π, π]). π π Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 21 / 115

Ortogonaalinen joukko on lineaarisesti riippumaton Lause 2. Olkoon X sisätuloavaruus ja S X ortogonaalinen. Jos 0 / S, niin S on lineaarisesti riippumaton. Todistus. Oletetaan että n λ j xj = 0, j=1 missä x 1, x 2,..., xn S ovat erisuuria vektoreita ja λ 1, λ 2,..., λ n K. Nyt kaikilla k = 1, 2,..., n ( n 0 = j=1 λ j xj x k ) = n λ j (xj xk) = λ k xk 2. Täten λ k = 0 kaikilla k = 1, 2,..., n, joten määritelmän mukaan S on lineaarisesti riippumaton joukko. j=1 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 22 / 115

u-suuntainen komponentti Olkoon X sisätuloavaruus ja u X yksikkövektori eli vektori, jonka pituus on 1. Vektorin x X u-suuntainen komponentti on (x u)u. Jos x:stä poistetaan u-suuntainen komponentti, saadaan vektori z = x (x u)u, jolle z u. Siis x = (x u)u + z, missä z u. x z u (x u)u Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 23 / 115

Pythagoraan lause Lause 3 (Pythagoras). Olkoot X sisätuloavaruus ja x, y X. Jos x y, niin x + y 2 = x 2 + y 2. Induktiolla saadaan seuraava yleistys. Seuraus 4. Olkoon {x 1, x 2,..., xn} ortogonaalinen joukko sisätuloavaruudessa X. Tällöin x 1 + x 2 + + xn 2 = x 1 2 + x 2 2 + + xn 2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 24 / 115

Besselin epäyhtälö Olkoon X sisätuloavaruus. Lause 5. Olkoon {ek} n k=1 ortonormaali joukko ja x X. Tällöin x 2 = n n (x ek) 2 + x k=1 Seuraus 6 (Besselin epäyhtälö). Olkoon {ek} n k=1 k=1 (x ek)ek ortonormaali joukko ja x X. Tällöin 2. x 2 n (x ek) 2. k=1 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 25 / 115

Lauseen 5 todistus Todistus. Vektorit n (x ek)ek ja x n (x ek)ek k=1 k=1 ovat ortogonaaliset joten Pythagoraan lauseen nojalla n x 2 = = = k=1 (x ek)ek 2 n + x k=1 n n (x ek)ek 2 + x k=1 n n (x ek) 2 + x k=1 k=1 k=1 (x ek)ek (x ek)ek (x ek)ek 2. 2 2 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 26 / 115

CauchySchwarzin epäyhtälö Lause 7 (CauchySchwarzin epäyhtälö). Olkoon X sisätuloavaruus. Tällöin kaikilla x, y X pätee (x y) x y. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia (eli tässä tapauksessa joko samansuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 27 / 115

CauchySchwarzin epäyhtälön todistus Todistus. Voidaan olettaa että y 0. Tällöin {y/ y } on ortonormaali joukko, joten Lauseen 5 nojalla josta ( x 2 = x ) y 2 y + (x x ) y y y 2 y. 2 y x 2 y 2 = (x y) 2 + y x (x y) y. Täten CauchySchwarzin epäyhtälö pätee. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus täsmälleen silloin kun y x = (x y) y y eli x = λy jollain λ K. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 28 / 115

Vektoreiden välinen kulma Määritelmä 4. Olkoot X reaalikertoiminen sisätuloavaruus ja x, y X \ {0}. Vektoreiden x ja y välinen kulma on kulma α [0, π], joka toteuttaa yhtälön (3) cos α = Huomautus CauchySchwarzin epäyhtälön nojalla (x y) x y. (x y) [ 1, 1], x y joten löytyy yksikäsitteinen α [0, π], joka toteuttaa yhtälön (3). Huomautus Vektorit x ja y ovat ortogonaaliset jos niiden välinen kulma on π/2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 29 / 115

Sisätulon määräämä normi Lause 8. Olkoon X sisätuloavaruus. Tällöin sisätulon määräämällä normilla x := (x x) on seuraavat ominaisuudet: kaikilla x, y X ja λ K pätee (N1) (N2) (N3) (N4) x 0 x = 0 x = 0 λx = λ x x + y x + y (positiivisuus) (deniittisyys) (homogeenisuus) (kolmioepäyhtälö). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 30 / 115

Kolmioepäyhtälön vasen puoli Kolmioepäyhtälöstä saadaan seuraava arvio: Lemma 9. x y x y Seuraus 10 (Täydellinen kolmioepäyhtälö). x y x ± y x + y Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 31 / 115

Lineaarinen verho Määritelmä 5. Olkoon X lineaarinen avaruus ja S X. Tällöin joukon S virittämä aliavaruus (linear span) on span S = { x X x = n k=1 λ k sk, joillain sk S, λ k K }. (Tätä kutsutaan myös lineaariseksi verhoksi.) Lemma 11. span S on pienin aliavaruus joka sisältää joukon S. Esimerkki 1 span{x} = Kx on x-suuntainen suora, jos x 0. 2 span{x, y} = Kx + Ky on vektoreiden x ja y virittämä taso, jos x ja y ovat lineaarisesti riippumattomat. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 32 / 115

GramSchmidtin konstruktio: alku Olkoot x 1, x 2,..., xn X lineaarisesti riippumattomia. Asetetaan ensin Asetetaan sitten e 1 = x 1 x 1. z 2 = x 2 (x 2 e 1 )e 1 ja e 2 = z 2 z 2. (Huom: koska x 2 ja x 1 ovat lineaarisesti riippumattomia niin z 2 0.) Nyt z 2 e 1 ja täten {e 1, e 2 } on ortonormaali. Seuraavaksi z 3 = x 3 (x 3 e 1 )e 1 (x 3 e 2 )e 2 ja e 3 = z 3 z 3, jolloin z 3 e 1 ja z 3 e 2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 33 / 115

GramSchmidtin konstruktio: yleinen kaava Kun e 1, e 2,..., ek 1 on määritelty, saadaan seuraava vektori seuraavilla kaavoilla: k 1 zk = xk (xk ej)ej ja ek = z k zk. j=1 Tällöin zk {e 1, e 2,..., ek 1}. Näin jatkamalla saadaan lineaarisesti riippumattomasta joukosta {x 1, x 2,..., xn} konstruoitua ortonormaali joukko {e 1, e 2,..., en}. Konstruktiota tarkastelemalla huomataan että nämä joukot virittävät saman aliavaruuden: span{x 1, x 2,..., xn} = span{e 1, e 2,..., en}. GramSchmidtin konstruktiota voidaan soveltaa myös äärettömään joukkoon A = {x 1, x 2,...}, jolloin saadaan ortonormaali joukko {e 1, e 2,...}, joka virittää saman aliavaruuden kuin A. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 34 / 115

Ortogonaalikomplementti Määritelmä 6. Olkoon X sisätuloavaruus. Joukon S X ortogonaalikomplementti on S = { y X (y x) = 0 kaikilla x S }. Jos S = {x}, niin merkitään x = {x}. Merkintä y S tarkoittaa y S. Esimerkki Olkoon x R 3 \ {0}. Tällöin x = { y R 3 (y x) = 0 } = vektoria x kohtisuorassa oleva origon kautta kulkeva taso. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 35 / 115

Ortogonaaliprojektio Määritelmä 7. Olkoot X sisätuloavaruus ja Y X lineaarinen aliavaruus. Lineaarista kuvausta P : X Y jolle päätee x Px Y kaikilla x X kutsutaan ortogonaaliprojektioksi aliavaruudelle Y. Huomautus Ei ole selvää että ortogonaaliprojektiota on olemassa jokaiselle aliavaruudelle (tähän palataan myöhemmin). Lemma 12. Ortogonaaliprojektio aliavaruudelle Y on yksikäsitteinen. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 36 / 115

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka virittävät avaruuden Y. GramSchmidin menetelmän nojalla löytyy ortonormaalijoukko {e 1, e 2,..., en} joka virittää aliavaruuden Y. Määritellään lineaarikuvaus P : X Y asettamalla kaikilla x X Px = n (x ek)ek. k=1 Harjoitustehtävän nojalla x Px on ortogonaalinen jokaista vektoria ek kohtaan ja tästä seuraa, että x Px Y. Täten P on ortogonaaliprojektio aliavaruudelle Y Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 37 / 115

Vektoreiden välinen etäisyys Määritelmä 8. Olkoon X sisätuloavaruus. Vektoreiden x, y X välinen etäisyys on d(x, y) = x y. Pisteen x X etäisyys joukosta A X on d(x, A) = inf d(x, a). a A Huomautus Koska normi on deniittinen, niin d(x, y) = 0 jos ja vain jos x = y. Sen sijaan d(x, A) voi olla 0 vaikka x / A. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 38 / 115

Esimerkkejä Esimerkki 1 Jos A on äärellinen, niin d(x, A) = min d(x, a) a A eli minimietäisyys saavutetaan jonkin pisteen b A ja x välillä. 2 Pisteen 0 R etäisyys joukosta { 1/n n N } on 0. Kuitenkin d(0, 1/n) = 1/n > 0 kaikilla n N. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 39 / 115

Ortogonaaliprojektio antaa lähimmän pisteen aliavaruudelta Lemma 13. Olkoot X sisätuloavaruus ja P ortogonaaliprojektio aliavaruudelle Y X. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja kaikilla x, y X : 1 y Y ja x y Y 2 y = Px 3 y Y ja x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 40 / 115

Todistuksen alku Todistus. (1) = (2) kuten Lemman 4 todistus. (2) = (3) Oletetaan että y = Px. Tällöin y Y ja x y Y. Pythagoraan lauseen nojalla kaikille z Y pätee x z 2 = x y + y z 2 = x y 2 + y z 2 koska y z Y (Y on aliavaruus). Täten x z 2 x y 2 kaikilla z Y ja yhtäsuuruus pätee täsmälleen silloin kun z = y. Täten x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 41 / 115

Todistuksen loppu... jatkuu (3) = (1) Oletetaan että y Y ja x y = d(x, Y ), ja osoitetaan että x y Y. Jos x y / Y, niin (x y z) = λ 0 jollain z Y, z = 1. Asetetaan w = y + λz Y. Tällöin ja Lauseen 5 nojalla x w = (x y) (x y z)z x y 2 = (x y z) 2 + x w 2 = λ 2 + x w 2 > x w 2. Tämä on ristiriita koska w Y ja x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 42 / 115

Esimerkki kun ortogonaaliprojektiota ei ole Olkoot e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...), e 3 = (0, 0, 1, 0, 0,...),... ja A = span{e 1, e 2,...}. Olkoon x = (1, 1 2, 1 3,...) l2. Tällöin n x 1 k e k k=1 2 = (0, 0,..., 0, 1 n + 1, 1 n + 2,...) kun n. Tästä seuraa että d(x, A) = 0. 2 = k=n+1 1 k 2 0 Jos siis on olemassa ortogonaaliprojektio P : l 2 A, niin edellisen lauseen nojalla Px x = 0, joten x A. Kuitenkin jokaisessa A:n alkiossa on enintään äärellinen määrä nollasta eroavia koordinaatteja, joten x / A. Siis ortogonaaliprojektiota P : l 2 A ei voi olla olemassa. Myöhemmin nähdään että jokaiselle suljetulle aliavaruudelle on olemassa ortogonaaliprojektio. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 43 / 115

Kohti Fourier-analyysia Tarkastellaan sisätuloavaruuttaa C([ π, π]) sisätulolla (f g) = 1 2π π π f (t)g(t) dt, f, g C([ π, π]). Kerroin 1 2π on vain helpottamassa merkintöjä: nyt vakiofunktiolle 1 pätee että (1 1) = 1. Harjoitustehtävän nojalla funktiot 1, 2 sin(kt), 2 cos(kt), k = 1, 2,... moudostavat ortonormaalin joukon sisätuloavaruudessa C([ π, π]). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 44 / 115

Trigonometriset polynomit Määritelmä 9. Trigonometrinen polynomi on funktio, joka on muotoa f (t) = A 0 + n (A k cos(kt) + B k sin(kt)), k=1 missä A 0, A 1,..., A n ja B 1, B 2,..., B n ovat vakioita (reaalilukuja). Tämän trigonometrisen polynomin f aste on n jos A n 0 tai B n 0. Välillä [a, b] määriteltyjen trigonometristen polynomien joukkoa merkitään Trig([a, b]). Huomautus Olkoon f yllä olevaa muotoa. Tällöin (f 1) = A 0, (f cos(jt)) = A j 2, (f sin(jt)) = B j 2 kaikilla j = 1, 2,..., n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 45 / 115

Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja Määritelmä 10. Olkoon f C([ π, π]). Lukuja A 0 = 1 2π A k = 1 π B k = 1 π π π π π π π f (t) dt f (t) cos(kt) dt, k = 1, 2,... f (t) sin(kt) dt, k = 1, 2,... kutsutaan funktion f Fourier-kertoimiksi. Sarjaa A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)), k=1 kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 46 / 115

Huomautuksia Fourier-sarjasta 1 Trigonometrisen polynomin määritelmässä summa on äärellinen mutta Fourier-sarjan määritelmässä ääretön. 2 Jos f on trigonometrinen polynomi, niin f :n Fourier-sarja on yhtä kuin f itse. Korkeamman asteen kertoimet häviävät: A n+1 = B n+1 = A n+2 = B n+2 = = 0. 3 Ei ole selvää suppeneeko jonkin annetun funktion Fourier-sarja vai ei. 4 Vaikka jonkin funktion Fourier-sarja suppenisi, niin ei ole selvää antaako Fourier-sarja alkuperäisen funktion. Merkintä f A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)) k=1 tarkoittaa, että oikeanpuoleinen sarja on f :n Fourier-sarja (vaikka ei siis välttämättä ole itse f ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 47 / 115

Fourier-sarja toisin merkinnöin Olkoon e 0 = 1, e 2k = 2 cos(kt), k = 1, 2,... ja e 2k+1 = 2 sin(kt), jolloin {ej} on ortonormaali joukko. Tällöin funktion f j=0 Fourier-kertoimille pätee A 0 = (f e 0 ), A k = 2(f e 2k), B k = 2(f e 2k+1). Funktion f Fourier-sarja voidaan tällöin kirjoittaa muodossa A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)) = (f e 0 )e 0 + ( ) e 2k+1 + B k 2 2 A k e 2k k=1 = (f ej)ej. j=0 k=1 Tämä muistuttaa ortogonaalisen projektion kaavaa. Jotta voisimme käsitellä tällaisia lausekkeita täytyy pystyä tarkastelemaan sarjan suppenemista... Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 48 / 115

Normiavaruudet Määritelmä 11. Olkoon X vektoriavaruus. Funktiota x x : X R kutsutaan normiksi mikäli se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla x, y X ja λ K: (N1) (N2) (N3) (N4) x 0 x = 0 x = 0 λx = λ x x + y x + y (positiivisuus) (deniittisyys) (homogeenisuus) (kolmioepäyhtälö). Vektoriavaruutta, joka on varustettu normilla kutsutaan normiavaruudeksi (normed space). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 49 / 115

Esimerkkejä Esimerkki Olkoon X sisätuloavaruus. Tällöin sisätulo määrää normin kaavalla x = (x x) (ks. Lause 8). Täten jokainen sisätuloavaruus on normiavaruus. Esimerkki Olkoon 1 p <. Asetetaan ( n ) 1/p x p = x k p kun x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Tällöin p on normi. Tätä avaruutta merkitään l p n. k=1 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 50 / 115

Metriikka ja metrinen avaruus Määritelmä 12. Olkoon X joukko. Funktio d : X X R on metriikka (eli etäisyysfunktio) jos kaikilla x, y, z X (M1) (M2) (M3) (M4) d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (positiivisuus) (deniittisyys) (symmetrisyys) (kolmioepäyhtälö). Metrinen avaruus on joukko X, joka on varustettu metriikalla d. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 51 / 115

Jokainen normiavaruus on metrinen avaruus Normin ominaisuuksista saadaan seuraava tulos. Lemma 14. Olkoon X normiavaruus ja olkoon d(x, y) = x y, x, y X. Tällöin d on metriikka, joten X voidaan ajatella metriseksi avaruudeksi tämän metriikan suhteen. Huomautus Jokainen sisätuloavaruus on normiavaruus ja jokainen normiavaruus on metrinen avaruus. Kaikki normiavaruudet eivät kuitenkaan ole sisätuloavaruuksia (esim l p n kun p 2 ja n 2). Myöskään kaikki metriset avaruudet eivät ole normiavaruuksia (metrisen avaruuden ei tarvitse olla edes vektoriavaruus). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 52 / 115

Topologiaa Jokaisen normiavaruuden, ja erityisesti sisätuloavaruuden, topologia (esim. jonojen suppeneminen, funktioiden jatkuvuus) määräytyy edellisessä lemmassa määritellyn metriikan kautta. Erityisesti seuraavat määritelmät ovat voimassa: Määritelmä 13. Jono (xn) normiavaruudessa X suppenee pisteeseen (converges to a n=1 point) x X, jos lim n d(x n, x) = lim n x x n = 0. Tällöin merkitään x = lim n x n tai xn x. Toisin sanoen kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen n ɛ N, että x xn < ɛ kaikilla n n ɛ. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 53 / 115

Suppeneminen R m :ssä Olkoon (xn) jono Rm :ssä. Siis n=1 x 1 x 2 x 3 = (x 11, x 12,..., x 1m) R m = (x 21, x 22,..., x 2m) R m = (x 31, x 32,..., x 3m) R m. xn = (x n1, x n2,..., x nm ) R m. Nyt xn x = (x 1, x 2,..., x m ) kun n ( m ) 1/2 x xn = x k x nk 2 0 kun n k=1 x nk x k kun n kaikilla k = 1, 2,..., m Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 54 / 115

Suppeneminen l 2 :ssa Olkoon (xn) jono :ssä. Siis n=1 l2 x 1 = (x 11, x 12,..., x 1k,...) l 2 x 2 = (x 21, x 22,..., x 2k,...) l 2 x 3 = (x 31, x 32,..., x 3k,...) l 2. xn = (x n1, x n2,..., x nk,...) l 2. Nyt xn x = (x 1, x 2,..., x k,...) kun n ( ) 1/2 x xn = x k x nk 2 0 kun n k=1 = x nk x k kun n kaikilla k = 1, 2,... Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 55 / 115

Pisteittäinen vs. normin suhteen suppeneminen Määritelmä 14. Sanotaan että jono (xn) :ssa (tai R m :ssä) suppenee koordinaateittain n=1 l2 (converges coordinatewise / componentwise) pisteeseen x jos x nk x k kaikilla k = 1, 2,... Edellä nähtiin, että xn x R m :ssä jos ja vain jos xn x koordinaateittain. Toisaalta jos xn x l 2 :ssa, niin xn x koordinaateittain. Käänteinen tulos ei pidä paikkaansa kuten seuraava esimerkki osoittaa. Esimerkki Olkoon e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...),... Tällöin jono (en) n=1 suppenee koordinaateittain nollavektoriin 0. Kuitenkin en 0 l 2 :ssa koska en 0 = en = 1 0. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 56 / 115

Sulkeuma ja suljettu joukko Määritelmä 15. Olkoon X metrinen avaruus. Joukon A X sulkeuma (closure) on joukko A = { x X (a n ) A, a n=1 n x }. Joukko F X on suljettu (closed) mikäli F = F. Huomautus A A, sillä jos a A, niin vakiojono a n = a kaikilla n = 1, 2,... suppenee pisteeseen a. Joukko F X on suljettu jos ja vain jos se sisältää kaikkien suppenevien jonojensa raja-arvot. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 57 / 115

Tiheä joukko Lemma 15. Olkoot X metrinen avaruus ja A X. Tällöin x A jos ja vain jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen a A että d(x, a) < ɛ. Määritelmä 16. Joukko A on tiheä (dense) metrisessä avaruudessa X jos A = X. Tulkinta: Joukko A on tiheä avaruudessa X mikäli jokaista X :n alkiota voidaan approksimoida mielivaltaisen hyvin A:n alkioilla. Esimerkki 1 Q on tiheä R:ssä. 2 Z ei ole tiheä R:ssä. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 58 / 115

Suljettu lineaarinen verho Esimerkki Kuten edellä, olkoon e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...), e 3 = (0, 0, 1, 0, 0,...),... Tällöin joukko span{e 1, e 2,...} on tiheä avaruudessa l 2. Tätä voidaan merkitä myös span{e 1, e 2,...} = l 2. Määritelmä 17. Olkoon X normiavaruus ja S X. Tällöin joukon S virittämä suljettu aliavaruus (closed linear span) on span S = span S. (Tätä kutsutaan myös suljetuksi lineaariseksi verhoksi.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 59 / 115

Jatkuvuus Määritelmä 18. Funktio f : X Y metristen avaruuksien X ja Y välillä on jatkuva pisteessä (continuous at a point) x 0 X mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0, että d Y (f (x), f (x 0 )) < ɛ aina kun d X (x, x 0 ) < δ. Funktio f on jatkuva (continuous) jos se on jatkuva jokaisessa määritysalueensa X pisteessä. Lause 16. Funktio f : X Y on jatkuva pisteessä x 0 X jos kaikilla jonolla (x n ) pätee x n x 0 = f (x n ) f (x 0 ) eli ( ) f lim x n = lim f (x n) kun lim x n = x 0. n n n Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 60 / 115

Sisätulo ja normi ovat jatkuvia Lause 17. Olkoon X sisätuloavaruus. Sisätulo (x, y) (x y) : X X K ja normi x x : X R ovat jatkuvia funktioita. Siis suppeneville jonoille (xn) ja (yn) pätee ( ) lim n x n lim n y n = lim n (x n yn) ja lim n x = lim n x n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 61 / 115

Liitännäisiä Seuraus 18. Erityisesti ( ) lim n x n y = lim n (x n y) ja ( ) x lim n y n = lim n (x y n). Lemma 19. Jokainen suppeneva jono on rajoitettu. Jos siis (xk) k=1 olemassa M > 0, jolle xk < M kaikilla k = 1, 2,... suppenee, niin on Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 62 / 115

Ortogonaalikomplementti on aina suljettu aliavaruus Lause 20. Olkoon X sisätuloavaruus ja S X. Tällöin S on X :n suljettu lineaarinen aliavaruus. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 63 / 115

Täydellisyys Määritelmä 19. Olkoon X metrinen avaruus. Jono (x n ) on Cauchyn jono (Cauchy n=1 sequence) mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen N N että d(x n, x m ) < ɛ aina kun n, m N. Metrinen avaruus X on täydellinen (complete) mikäli jokainen Cauchyn jono (x n ) X suppenee X :ssä. n=1 Esimerkki 1 R n ja C n ovat täydellisiä. 2 Q ei ole täydellinen. Jos valitaan sellainen jono (q n ) Q, että q n 2 niin (q n ) on Cauchyn jono Q:ssa mutta ei suppene Q:ssa (koska 2 / Q). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 64 / 115

Hilbertin avaruus Määritelmä 20. Täydellistä sisätuloavaruutta kutsutaan Hilbertin avaruudeksi. Esimerkki R n ja C n ovat Hilbertin avaruuksia. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 65 / 115

l 2 Lause 21. l 2 on Hilbertin avaruus. Todistuksen idea. Koska tiedetään jo että l 2 on sisätuloavaruus, riittää osoittaa että l 2 on täydellinen. Olkoon (xn) Cauchyn jono. Tällöin jonon alkioiden n=1 l2 k:nnet koordinaatit muodostavat Cauchyn jonon (x nk ) K:ssa. Koska K n=1 on täydellinen niin tämä jono suppenee johonkin pisteeseen x k K. Näistä raja-arvoista saadaan jono x = (x k ) (ja siis x k=1 n x koordinaateittain). Lopulta osoitetaan että x l 2 ja että xn x kun n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 66 / 115

C([a, b]) Lause 22. Sisätuloavaruus C([a, b]) ei ole täydellinen, joten se ei ole Hilbertin avaruus. Todistuksen idea. Tutkitaan tapausta [a, b] = [ 1, 1]. Määritellään kaikilla n = 1, 2,... Tällöin (f n ) n=1 0 1 x < 0 f n (x) = nx 0 x < 1 n 1 1 n < x 1. on Cauchyn jono muttei suppene. Ilmeinen raja-arvo olisi { 0 1 x 0 f (x) = 1 0 < x 1 mutta tämä ei ole jatkuva funktio. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 67 / 115

Suunnikassääntö Lemma 23. Olkoon X sisätuloavaruus ja x = (x x) sisätulon määräämä normi. Tällöin toteuttaa suunnikassäännön (parallelogram law) kaikilla x, y X. Lemma 24. x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 Olkoon X normiavaruus, jonka normi toteuttaa suunnikassäännön. Tällöin avaruudella X on olemassa sisätulo ( ), joka määrää X :n normin kaavalla x = (x x). Huomautus Yhdistettynä edelliset tulokset sanovat, että normiavaruuden normi tulee sisätulosta täsmälleen silloin kun normi toteuttaa suunnikassäännön. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 68 / 115

Polarisaatioidentiteetti (reaalitapaus) Lemma 25 (Polarisaatioidentiteetti, reaalitapaus). Olkoon X reaalikertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin sisätulo toteuttaa (reaalisen) polarisaatioidentiteetin (polarization identity) (x y) = 1 ( x + y 2 x y 2) 4 Huomautus Jos X on reaalikertoiminen normiavaruus, joka toteuttaa suunnikassäännön, niin Lemmassa 24 mainittu sisätulo määritellään polarisaatioidentiteetin kautta. Tällöin se että kyseessä todella on sisätulo vaatii suunnikassäännön. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 69 / 115

Polarisaatioidentiteetti (kompleksitapaus) Lemma 26 (Polarisaatioidentiteetti, kompleksitapaus). Olkoon X kompleksikertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin sisätulo toteuttaa (kompleksisen) polarisaatioidentiteetin (x y) = x + y 2 x y 2 4 + i x + i y 2 x i y 2 4 Huomautus Jos X on kompleksikertoiminen normiavaruus, joka toteuttaa suunnikassäännön, niin jälleen Lemmassa 24 mainittu sisätulo määritellään polarisaatioidentiteetin kautta, tällä kertaa kompleksisen. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 70 / 115

Konveksi joukko Määritelmä 21. Olkoon X vektoriavaruus. Pisteiden x, y X välinen jana (line segment) on [x, y] = { ty + (1 t)x t [0, 1] } Joukko A X on konveksi (convex) jos [x, y] A kaikilla x, y A. Esimerkki Avaruuden R 2 yksikkökiekko { x R 2 x 1 } on konveksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 71 / 115

Optimointia ja ortogonaaliprojektio Lause 27. Olkoot H Hilbertin avaruus, A H ei-tyhjä, suljettu, konveksi joukko ja x H. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi alkio a A jolle x a = d(x, A). Yllä olevaa lausetta voi soveltaa erityisesti kun A on suljettu aliavaruus, jolloin saadaan seuraava tulos (ks. Lemma 13). Seuraus 28. Olkoot H Hilbertin avaruus ja Y H suljettu aliavaruus. Tällöin on olemassa ortogonaaliprojektio P : H Y aliavaruudelle Y. Lisäksi kaikilla x H pätee d(x, Y ) = Px. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 72 / 115

Sarjojen suppenemisesta Määritelmä 22. Olkoon X normiavaruus ja (xk) X. Sarja x k=1 k=1 k suppenee (converges) avaruudessa X pisteeseen x X, jos osasummien sn = n x k=1 k jono (sn) suppenee pisteeseen x. Siis n=1 xk = lim k=1 n k=1 n xk. Sarja k=1 x k suppenee itseisesti (converges absolutely), jos sarja k=1 x k suppenee R:ssä. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 73 / 115

Itseisestä suppenemisesta Lemma 29. Olkoon X täydellinen normiavaruus (esimerkiksi Hilbertin avaruus). Jos sarja k=1 x k suppenee itseisesti X :ssä, niin se suppenee. Huomautus Täydellisyys on välttämätön ehto edelliselle tulokselle: jokaisesta epätäydellisestä normiavaruudesta löytyy itseisesti suppeneva sarja joka ei suppene! Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 74 / 115

Avaruuden l 2 kanta Esimerkki Jokainen avaruuden l 2 vektori x = (x 1, x 2,...) voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa x = λ k ek, λ k K. k=1 Tässä λ k = x k = (x ek). Vektorit e 1, e 2,... muodostava siis eräänlaisen kannan ääretönulotteiselle avaruudelle l 2. Aiemmin todettiin että osasummien sn = n k=1 x k ek muodostama jono suppenee vektoriin x, joten esitys on olemassa. Yksikäsitteisyys on helppo todeta laskemalla, että λ k = (x ek), k = 1, 2,.... Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 75 / 115

Sarja jonka summattavat ovat ortogonaalisia Lemma 30. Olkoon H Hilbertin avaruus ja {e 1, e 2,...} ortonormaali joukko. Sarja λ k ek, λ k K, k=1 suppenee avaruudessa H jos ja vain jos eli (λ k ) k=1 l2. λ k 2 < k=1 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 76 / 115

Besselin epäyhtälö ja Parsevalin identiteetti Lause 31. Olkoot H Hilbertin avaruus, {ek} k=1 Tällöin pätee Besselin epäyhtälö (Bessel's inequality) ortonormaali joukko H:ssa ja x H. (x ek) 2 x 2 <. k=1 Aliavaruuden F = span{ ek k N } ortogonaaliprojektio saadaan kaavalla Px = (x ek)ek k=1 (erityisesti sarja suppenee). Lisäksi pätee Parsevalin identiteetti (Parseval's identity) Px 2 = (x ek) 2. k=1 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 77 / 115

Hilbertin avaruuden ortonormaali kanta Lause 32. Olkoot H Hilbertin avaruus ja { ek k N } ortonormaali joukko H:ssa. Seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja 1 { ek k N } = {0} (eli { ek k N } on totaali) 2 span{ ek k N } = H 3 x = k=1 (x e k)ek kaikilla x H 4 (x y) = k=1 (x e k)(y ek) kaikilla x, y H 5 x 2 = k=1 (x e k) 2 kaikilla x H (Parsevalin identiteetti). Määritelmä 23. Ortonormaalia joukkoa { ek k N }, joka toteuttaa edellisen lauseen ehdot kutsutaan Hilbertin avaruuden H ortonormaaliksi kannaksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 78 / 115

Avaruuden l 2 ortonormaali kanta Esimerkki Vektorit e 1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) e 2 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) e 3 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,...). muodostavat avaruuden l 2 ortonormaalin kannan. Myös esimerkiksi vektorit 1 2 e 1 + 1 2 e 2, 1 e 1 1 e 2, e 3, e 4,... 2 2 muodostavat ortonormaalin kannan. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 79 / 115

Ortonormaalin kannan olemassaolo Määritelmä 24. Normiavaruus X on separoituva mikäli on olemassa numeroituva joukko A X, jolle pätee A = X. Esimerkki Avaruus l 2 on separoituva koska joukko A = { n k=1 q k ek n N, q k Q } on numeroituva ja A = span{ ek k N } = l 2. Lause 33. Jokaisella separoituvalla Hilbertin avaruudella on olemassa ortonormaali kanta. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 80 / 115

Unitaarikuvaukset Määritelmä 25. Olkoot H ja K Hilbertin avaruuksia. Lineaarikuvaus U : H K on unitaarinen (unitary) jos U on bijektio ja (Ux Uy) K = (x y) H. Jos Hilbertin avaruuksien H ja K välillä on olemassa unitaarinen kuvaus, niin avaruuksia kutsutaan isomorsiksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 81 / 115

Ortogonaalimatriisit Esimerkki Olkoon A M n n n-reaalikertoiminen matriisi. Tällöin A: R n R n ja (Ax Ay) = (x y) (Ay) (Ax) = y x y (A A)x = y x. Tämä pätee kaikilla x, y R n jos ja vain jos A A = I eli A on ortogonaalimatriisi. Esim. [ ] cos θ sin θ A = sin θ cos θ jollain θ R on rotaatio θ:n verran vastapäivään. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 82 / 115

Separoituvat Hilbertin avaruudet ovat samanlaisia Lause 34. Jokainen separoituva ääretönulotteinen Hilbertin avaruus on isomornen avaruuden l 2 kanssa. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 83 / 115

Rajoitettu lineaarikuvaus Määritelmä 26. Olkoot X ja Y normiavaruuksia ja T : X Y lineaarikuvaus. Kuvaus T on rajoitettu jos on olemassa sellainen vakio M > 0 että T x Y M x X kaikilla x X. Merkitään B(X, Y ) = { T : X Y T rajoitettu } ja B(X ) = B(X, X ). Rajoitetuille operaattoreille T B(X, Y ) määritellään operaattorinormi (operator norm) asettamalla T = sup x 1 T x. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 84 / 115

Esimerkkejä Esimerkki Jokainen lineaarikuvaus T : R n R m on rajoitettu. Täten (m n-matriisit). B(R n, R m ) = M m,n Esimerkki Olkoon H Hilbertin avaruus ja P : H Y ortogonaaliprojektio suljetulle aliavaruudelle Y H. Tällöin P on rajoitettu lineaarikuvaus ja P = 1. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 85 / 115

Rajoitettu = jatkuva Lemma 35. Jos T : X Y on rajoitettu, niin kaikilla x X T x T x. Lause 36. Olkoot X ja Y normiavaruuksia ja T : X Y lineaarinen kuvaus. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: 1 T on rajoitettu 2 T on jatkuva 3 T on jatkuva pisteessä 0. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 86 / 115

Normiavaruus B(X, Y ) Lineaarikuvauksia T, U : X Y voi laskea yhteen ja kertoa skalaareilla λ K: kaikilla x X. Lause 37. (T + U)x = (T x) + (Ux) (λt )x = λ (T x) Olkoot X ja Y normiavaruuksia. Tällöin B(X, Y ) on lineaariavaruus ja operaattorinormi on normi. Siis B(X, Y ) on myös normiavaruus. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 87 / 115

Funktionaalit Määritelmä 27. Lineaarista kuvausta f : X K kutsutaan funktionaaliksi (functional). Esimerkki Määritellään funktionaali f : l 2 K asettamalla f (x) = x 1 kun x = (x 1, x 2,...) l 2. Tällöin f on lineaarinen ja rajoitettu. Esimerkki Lineaarikuvaukset R n R voidaan samaistaa 1 n matriisien kanssa. Toisaalta jokainen vaakamatriisi A = [y 1 y 2... y n ] vastaa vektoria y = (y 1, y 2,..., y n ) R n jolloin kaikilla x = (x 1, x 2,..., x n ) R n pätee Ax = n y k x k = (x y). k=1 Siis jokainen funktionaali R n R on muotoa x (x y), y R n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 88 / 115

FrechetRiesz lause Edeltävä esimerkki yleistyy Hilbertin avaruuksiin. Lause 38. Olkoon H Hilbertin avaruus. Jokainen y H määrää rajoitetun funktionaalin φ y : H K, φ y (x) = (x y). Jos ψ : H K on rajoitettu funktionaali, niin on olemassa yksikäsitteinen y H jolle ψ = φ y. Lisäksi φ y = y. Esimerkki Kun y = (1, 1, 1,...) niin 2 3 φ y (x) = k=1 x k k, x = (x 1, x 2,...) l 2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 89 / 115

Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta m(e) [0, ]. Mitta määrää integraalin joka on laajennus Riemannin integraalille: esim. 1 f dm = f (x) dx [0,1] kaikilla Riemann-integroituvilla funktioilla f. Mitallinen funktio f : E R = funktio jonka integroituvuutta voidaan tutkia. Integroituva funktio f : E R = funktio jolle E f dm <. 0 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 90 / 115

L p avaruudet, 1. versio Olkoon E R n mitallinen osajoukko, erityisesti E = [a, b] R. Asetetaan ja L p (E) = { f : E R f mitallinen ja E f p dm < } Erityisesti kun p = 1 saadaan ( f p = E ) 1/p f p dm. L 1 (E) = { f : E R f integroituva eli E f dm < }, ja kun p = 2 saadaan L 2 (E) = { f : E R f neliöintegroituva eli E f dm < } 2 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 91 / 115

Ongelma deniittisyyden kanssa Jos f = 0 melkein kaikkialla (almost everywhere), niin f p p = f p dm = 0, vaikka on mahdollista, että f (x) 0 joillain x E eli f 0. Tämä ongelma saadaan kierrettyä seuraavan ekvivalenssin kautta. Määritelmä 28. Olkoon f, g L p (E). Asetetaan E f g f (x) = g(x) melkein kaikilla x E Merkitään ekvivalenssiluokkia m ( { x E f (x) g(x) } ) = 0. [f ] = { h L p (E) h f }. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 92 / 115

Esimerkki 1 Esimerkki Olkoon f : [0, 1] R, f (x) = x, ja g : [0, 1] R { x, x 1 2 g(x) = 0, x = 1. 2 Tällöin f g (esim f, g L 1 ([0, 1])). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 93 / 115

Esimerkki 2 Esimerkki Olkoon h : [0, 1] R, h(x) = { 0, x [0, 1] Q 1, x [0, 1] \ Q. Tällöin h 1. Huomaa että L 1 ([0, 1]):ssä h 1 = 1 0 h dm = m([0, 1] \ Q) = 1 = 1 1. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 94 / 115

Ekvivalenssiluokkien normi ja vektorioperaatiot Ekvivalenssin idea on siinä, että kaikilla f L p (E) pätee f p = 0 f p dm = 0 E m({ x E f (x) p 0 }) = 0 m({ x E f (x) 0 }) = 0 f 0. Vastaavasti kaikilla g [f ] pätee g p = f p joten voidaan asettaa [f ] p = f p. Merkitään L p (E):n ekvivalenssiluokkien joukkoa tilapäisesti L [p] (E). Vektorioperaatiot ekvivalenssiluokille määritellään asettamalla [f ] + [g] = [f + g] λ[f ] = [λf ]. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 95 / 115

Samaistus Jatkossa ekvivalentit funktiot samaistetaan. Jos siis funktioille f, g : E R pätee [f ] = [g] eli f (x) = g(x) melkein kaikilla x E, niin kirjoitetaan f = g ja ajatellaan että kyseessä ovat (käytännössä) samat funktiot. Toisin sanoen ekvivalenssiluokat jätetään merkitsemättä. Samoin merkitään L p (E) = L [p] (E). Koska [f ] + [g] = [f + g], λ[f ] = [λf ], ja [f ] p = f p, niin tämä ei aiheuta ongelmia normiavaruuden rakenteen kanssa. Jatkossa erityisesti f p = 0 = f = 0 mutta tarkalleen ottaen tämä tarkoittaa sitä että f = 0 melkein kaikkialla. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 96 / 115

L p (E) on normiavaruus Edellä tehdyllä samaistuksella saadaan siis vektoriavaruus L p (E). Normi p on deniittinen ja täyttää muutkin normin ehdot. Vaikein ehto todistaa on kolmioepäyhtälö, joka on muotoiltu seuraavaksi lauseeksi. Lause 39 (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon f, g L p (E). Tällöin f + g L p (E) ja f + g p f p + g p. (Todistus löytyy vanhasta luentomonisteesta Nopasta.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 97 / 115

Banachin avaruudet Määritelmä 29. Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruudeksi (Banach space). Esimerkki Jokainen Hilbertin avaruus on Banachin avaruus, koska Hilbertin avaruuksissa sisätulon määräämä normi on täydellinen. Esimerkki Jokainen avaruus l p n on Banachin avaruus. (Kun p = 2 kyseessä on Hilbertin avaruus, muulloin ei.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 98 / 115

L p -avaruudet ovat Banachin avaruuksia Lause 40. L p (E) on Banachin avaruus. Erityisesti L 2 (E) on Hilbertin avaruus, missä sisätulo on määritelty kaavalla (f g) = E fg dm. (Todistus löytyy vanhasta luentomonisteesta Nopasta.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 99 / 115

Jatkuvat funktiot tiheinä Olkoon nyt E = [a, b] R. Voidaan ajatella että C([a, b]) L p ([a, b]) sillä b a ja kaikilla f, g C([a, b]) pätee f (x) p dx < kun f C([a, b]) f g = f (x) = g(x) x [a, b]. Lisäksi C([a, b]) = L p ([a, b]) eli kaikilla h L p ([a, b]) ja kaikilla ɛ > 0 löytyy f C([a, b]) jolle h f p < ɛ. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 100 / 115

Banachin avaruus C([a, b]) Aiemmin nähtiin että sisätulon (f g) = fg määräämä normi ei ole täydellinen avaruudessa C([a, b]). Sen sijaan avaruus L 2 ([a, b]) on täydellinen ja L 2 ([a, b]) = C([a, b]). Avaruudella C([a, b]) on myös luonnollinen normi joka on täydellinen. Asetetaan f = sup x [a,b] f (x) f C([a, b]). Lause 41. C([a, b]) on Banachin avaruus normin suhteen. Huomautus Funktiojonon suppeneminen normin suhteen on sama asia kuin tasainen suppeneminen (uniform convergence). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 101 / 115

Weierstrassin approksimaatiolause Lause 42 (Weierstrass). Olkoon P C([a, b]) kaikkien polynomien muodostama aliavaruus (tulkittuina funktioiksi [a, b] R). Tällöin P = C([a, b]) normin suhteen eli kaikilla f C([a, b]) ja kaikilla ɛ > 0 on olemassa polynomi p P jolle f p < ɛ. Todistus esimerkiksi Bernsteinin polynomien avulla (ks. Wikipedia). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 102 / 115

Ortonormaali kanta Legendren polynomeista Lemma 43. Olkoon f C([a, b]). Tällöin f 2 (b a) f. Lause 44. Legendren polynomit (normalisoituina) antavat ortonormaalin kannan Hilbertin avaruudelle L 2 ([ 1, 1]). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 103 / 115

Kompleksiarvoisista funktioista Fourier-analyysia saadaan tehtyä siistimmin kun tarkastellaan kompleksiarvoisia funktioita. Olkoon siis tästä eteenpäin jonka sisätulo on L 2 [0, 1] = { f : [0, 1] C f (s) 2 ds < } (f g) = 1 0 f (s)g(s) ds. Kompleksiarvoiset integraalit määritellään reaali- ja imaginaariosien summana, jolloin ne palautuvat tuttuun integraaliin: 1 f (s) ds = 1 Re(f (s)) ds + i 1 0 0 0 Im(f (s)) ds kun f (s) = Re(f (s)) + i Im(f (s)). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 104 / 115

Fourier-analyysin merkintöjä Merkitään kaikilla k Z ek(s) = e 2πiks = cos(2πks) + i sin(2πks) s [0, 1]. Lemma 45. Vektorit {ek} k= ovat ortonormaaleja avaruudessa [0, L2 1]. Otetaan käyttöön seuraavat merkinnät: C[0, 1] = { f : [0, 1] C f jatkuva } C per [0, 1] = { f C[0, 1] f (0) = f (1) } C 1 [0, 1] = { f C[0, 1] derivaatta f on olemassa ja jatkuva }. Esimerkki Kaikilla k Z, ek C per [0, 1] C 1 [0, 1]. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 105 / 115

Kaksipäiset sarjat Määritelmä 30. Olkoon X Banachin avaruus. Määritellään kaksipäisen sarjan suppeneminen asettamalla n xk = lim xk. k= n k= n Sarja k= x k suppenee itseisesti (converges absolutely), jos sarja k= x k suppenee R:ssä. Lemma 46. Jos sarja k= x k suppenee itseisesti Banachin avaruudessa X, niin se suppenee. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 106 / 115

Fourier sarjan suppenemisesta Funktion f : [0, 1] C Fourier-kertoimet ovat f (k) := 1 f (s)e 2πiks ds = 1 f (s) cos(2πks) ds i 1 0 0 0 f (s) sin(2πks) ds (olettaen että integraalit ovat määritelty). Erityisesti kun f L 2 [0, 1], niin f (k) = (f ek). Lause 47. Olkoon f C per [0, 1] C 1 [0, 1]. Tällöin k= f (k) < ja f (t) = k= f (k)ek(t), t [0, 1] missä sarja suppenee tasaisesti eli normin suhteen. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 107 / 115

Aputulos Lemma 48. C per [0, 1] C 1 [0, 1] = C per [0, 1] avaruudessa C[0, 1]. Todistuksen idea Funktiota f C per [0, 1] voidaan approksimoida polynomeilla p n f. Kun q n (t) = p n (t) ( p n (0) f (0) ) (1 t) ( p n (1) f (1) ) t, t [0, 1] niin q n C per [0, 1] C 1 [0, 1] ja q n f. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 108 / 115

Ortonormaali kanta trigonometrisista funktioista Lause 49. Trigonometriset funktiot ek(s) = e 2πiks = cos(2πks) + i sin(2πks) s [0, 1]. muodostavat ortonormaalin kannan {ek} k= L 2 [0, 1]. Hilbertin avaruudelle Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 109 / 115

Fourier-sarjan suppeneminen avaruudessa L 2 [0, 1] Seuraus 50. Kaikilla f L 2 [0, 1] f (t) = f (k)ek(t) k= suppenee avaruudessa L 2 [0, 1] (muttei välttämättä pisteittäin!) ja f (k) 2 = k= 1 0 f (s) 2 ds (Parsevalin identiteetti). Huomautus Edellinen lause voidaan tulkita siten, että Fourier-muunnos f ( f (k)) k Z on unitaarikuvaus Hilbertin avaruuksien L 2 [0, 1] ja l 2 (Z) välillä. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 110 / 115

Hilbertin avaruuden operaattorit Määritelmä 31. Olkoon H Hilbertin avaruus. Kuvauksia T B(H) kutsutaan Hilbertin avaruuden H rajoitetuiksi operaattoreiksi (bounded operator). Esimerkki Esimerkkejä rajoitetuista operaattoreista: 1 ortogonaaliprojektio P aliavaruudelle Y H 2 siirto-operaraattori S B(l 2 ), Sek = ek+1, k = 1, 2,... 3 tulo-operaattori M f B(L 2 [a, b]), f : [a, b] C mitallinen ja rajoitettu M f g(t) = f (t)g(t) g L 2 [a, b], t [a, b]. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 111 / 115

Operaattorien tulo eli yhdiste Operaattoreiden T, U B(H) tulo TU määritellään kaavalla (TU)x = T (Ux) x H. Siis TU on lineaarikuvausten T ja U yhdiste. Lemma 51. Jos T, U B(H), niin TU B(H) ja TU T U. Esimerkki 1 B(R n ) = M n n ja matriiseja A, B M n n vastaavien operaattoreiden tulo vastaa matriisituloa AB. 2 Kun P on ortogonaaliprojektio niin P 2 = PP = P. 3 Tulo-operaattoreiden M f ja M g tulo on M fg missä fg on funktioiden f ja g pisteittäinen tulo. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 112 / 115

Adjungaatti Lause 52. Olkoon H Hilbertin avaruus ja T B(H). Yhtälö ( ) (x T y) = (T x y) x, y H määrää yksikäsitteisen operaattorin T B(H). Lisäksi (T ) = T, T = T ja operaattoreiden T, U B(H) tulolle pätee (TU) = U T. Esimerkki 1 Matriisia A = [a ij ] n i,j=1 vastaavan operaattorin adjungaatti vastaa konjugaattitranspoosia A = (A) = [a ji ] n. i,j=1 2 Mf = M f 3 ortogonaaliprojektiolle P pätee P = P. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 113 / 115

Isometria ja unitaarisuus Määritelmä 32. Operaattoria T B(H) jolle pätee T x = x kaikilla x H kutsutaan isometriaksi (isometry). Lause 53. T B(H) on isometria jos ja vain jos T T = I eli (T x T y) = (x y) kaikilla x, y H. Erityisesti T on unitaarinen jos ja vain jos T on surjektiivinen isometria jos ja vain jos T T = TT = I. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 114 / 115

Ortogonaaliprojektioista Lause 54. Operaattori P B(H) on ortogonaaliprojektio jos ja vain jos P = P ja P 2 = P. Lause 55. Jos T on isometria, niin TT on ortogonaaliprojektio suljetulle aliavaruudelle Y = Im T. Tällöin T : H Y on isomora (unitaarikuvaus) ja H = Y. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 115 / 115