5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa käytetään voiman tilalla voimien resultanttia Voiman momenttia merkitään jossain T:llä, jossain myös τ:lla M:n yksikkö on [M] = [r][f ] = Nm Liikemäärämomentti (angular momentum) Newtonin toisen lain eräs muoto on Tästä saadaan voiman momentiksi F = dp M = r F = r dp Tarkastellaan ristitulon (r p):n aikaderivaattaa d (r p) = L = r mv = r p L:n yksikkö on [L] = [r][p] = kgm2 s = Js Voiman momentin ja liikemäärämomentin kytkentä Koska on F = dp M = dl 22
Jos eli L = vakio M = 0 dl = 0 Näihin palataan vielä myöhemmin! 5.10 Planeettaliike: ympyränmuotoiset radat Planeettaliikkeen tapauksessa usein approksimoidaan, että Auringon massa M on paljon suurempi kuin sitä kiertävän planeetan massa m. Tällöin Auringon paikka voidaan ajatella myös kiinteäksi. Liike on keskeisliikettä ja planeettaan vaikuttava voima on siten F(r) = dp = GMm ˆr r 2 Jos Auringon paikka on origossa O, on M = r F = 0 josta seuraa eli L = vakio M = dl = 0 Ympyräradalla, jonka säde on R saadaan L = rp = mvr Koska v = ωr saadaan L = mωr 2 Newtonin toisen lain mukaan saadaan keskeisliikkeen liikeyhtälöksi GMm R 2 = ma r = m v2 R josta ratkaistaan nopeus v = Kineettiseksi energiaksi saadaan 23
K = Aikaisemmin saatiin gravitaatiovoiman tapauksessa potentiaalienergia U = joten ympyräliikkeen kokonaisenergia on E = K + U = Jaksonajaksi T saadaan T = joten T 2 = 4π2 R 3 GM Huom! Tämä lauseke saatiin siis ympyräradan tapauksessa Tarkastellaan vielä tämän lausekkeen laatu. 5.11 Planeettaliike: elliptiset radat Tarkastelemme yleisemmin liikettä suurimassaisen kappaleen aiheuttamassa gravitaatiokentässä, jossa on kolmenlaisia säilyviä suureita: 1) Mekaaninen energia säilyy Konservatiivisessa systeemissä mekaaninen energia säilyy ja E = p2 2m GMm r = vakio 2) Liikemäärämomentti säilyy Koska voima on aina vastakkaissuuntainen paikkavektoriin nähden M = 0 joten L säilyy 24
Ellipsiratoja Maan ympärillä. Eksentrisyydet 0,5 0,3 0,0 0,3 0,5 ja 0,7 2.5 2 1.5 1 Maan säde 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 Maan säde eli L = mr v = vakio hiukkanen liikkuu ratatasossa ja L on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan! t Tarkastellaan ellipsiradan tapauksessa pinta-alaa, jonka paikkavektori pyyhkii ajassa A = 1 r r 2 Jaetaan :llä ja saadaan pintanopeus (pinta-alan muutos aikayksikköä kohti) da = 1 2 r dr da = 1 L r v = 2 2m = vakio 25
Tämä oli eräs Keplerin upeita tuloksia! 3) Runge-Lenz vektorin säilyminen Keskeisvoimakentässä säilyy myös vektori R = (v L) GMmˆr joka tunnetaan Runge-Lenz vektorina missä R = G 2 M 2 m 2 + 2L2 E m missä L on planeetan liikemäärämomentti ja E sen kokonaisenergia. Nämä johdetaan myöhemmin. L on kohtisuorassa ratatasoa vastaan, samoin nopeusvektoria v vastaan Ristitulo v L on siten ratatasossa Johdetaan seuraavaksi planeetan radan yhtälö k r R = r (v L GMmˆr) = (r v) L GMmr = L2 m GMmr Pistetulo r R = rrcosθ missä θ on planeetan paikkavektorin ja Runge-Lenz vektorin välinen kulma. Muokataan pistetuloa r R = L2 m GMmr Vaihdetaan puolia GMmr + rrcosθ = L2 m 26
ja tästä r r = L 2 /m GMm + Rcosθ Supistetaan GM m:llä ja saadaan r = L2 /GMm 2 1 + R GMm cosθ Tämä on muotoa r = α 1+ϵ cosθ joka on planeetan radan yhtälö, missä ϵ = R GMm = G2 M 2 m 2 G 2 M 2 m + 2L2 E 2 mg 2 M 2 m = 1 + 2L2 E 2 G 2 M 2 m 3 (Tässä lausekkeessa on kirjassa virhe: M:n eksponentti on väärin!) ja α = L2 GMm 2 Lausekkeissa α on latus rectum ja ϵ on radan eksentrisyys. Nämä ovat vakioita. Latus rectum on polttopisteen kautta piirretyn isoa akselia vastaan kohtisuoran ja ellipsin kaaren leikkauspisteen etäisyys ellipsin polttopisteestä! Ellipsin tapauksessa ison akselin puolikas a ja pienen akselin puolikas b ovat sekä a = α 1 ϵ 2 b = α 1 ϵ 2 Perihelietäisyys r 1 saadaan lausekkeesta 27
r 0 = (1 ϵ)a ja aphelietäisyys lausekkeesta r 1 = (1 + ϵ)a Hiukkasen kokonaisenergia Äsken saatiin hiukkasen radan eksentrisyydeksi ϵ = 1 + 2L2 E G 2 M 2 m 3 missä E on hiukkasen kokonaisenergia. Koska α = L2 GMm 2 saadaan ϵ 2 = 1 + 2E GMm α Toisaalta α = (1 ϵ 2 )a Kahdesta jälkimmäisestä saadaan 2E GMm α = α a josta E = GMm 2a Hiukkasen kokonaisenergia riippuu siten radan isosta akselista 2a. Kun E < 0 on hiukkasella suljettu ellipsirata, jolle 0 < ϵ < 1. Jos E = 0, on kyseessä paraabelirata ja ϵ = 1 ja jos E > 0, on kyseessä hyperbelirata ja ϵ > 1 Koska E = K + U on suljetuilla radoilla K < U ja avoimilla radoilla K U 28
Kiertoaika (period of orbit) Kiertoaika T voidaan johtaa eri tavoin. Tässä integroidaan lauseke T = = 2m rata L da = 2m L πab Tästä saadaan T = 2m ( ) 2mπ πab = L L a α 1 ϵ 2 = 2mπ α L a 2 1 ϵ 2 ja edelleen T = 2mπ α L a 2mπ α = 1 ϵ 2 L aa1/2 α = 2mπ L a3/2 [ L 2 GMm 2 ] 1/2 Viimein saadaan Keplerin kolmas laki muodossa T = 2π GM a 3/2 tai lausekkeen neliönä T 2 = 4π2 GM a3 Näin on saatu planeettojen liikkeelle Keplerin kolme lakia: 1) Planeetat liikkuvat Auringon ympäri pitkin ellipsiratoja, jonka toisessa polttopisteessä on Aurinko 2) Auringosta planeettaan ulottuva radiusvektori pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat (pintanopeuslaki) 3) Planeettojen kiertoajan neliöt ovat verrannollisia ratojen isoakselin puolikkaiden kuutioon 29
Runge-Lenzin vektori Käydään läpi tämän vektorin johto. Keskeisvoimakentässä, joka on siis muotoa F(r) = C r nˆr missä gravitaatiovoiman tapauksessa C = GMm ja n = 2 Tarkastellaan vektorituloa ja sen derivaattaa ajan suhteen p L Tiedämme jo, että L on vakio, joten sen derivaatta ajan suhteen on 0 d dp (p L) = L + p dl = dp L Koska dp = F(r) = C r nˆr saamme d (p L) = C r nˆr L = C rnˆr (r p) ja edelleen = C ( Cm rnˆr (r mv) = r n 2ˆr ˆr dˆr ) Katso tämä väli harjoitustehtävänä! [( d Cm (p L) == ˆr dˆr ) ˆr (ˆr ˆr) dˆr ] = Cm dˆr r n 2 r n 2 30
Nyt tiedetään, että ˆr ˆr = 1 ja d dˆr (ˆr ˆr) = 2ˆr = 0 Inverse square law kentässä, jossa n saa arvon 2 saadaan d [v L Cˆr] = 0 joten v L Cˆr = vakio Gravitaatiovoiman tapauksessa R = v L GMmˆr = vakio Tarkastele harjoitustehtävänä R:n pituus eli R. (Vihje: R 2 = R R. Sijoita R tähän lausekkeeseen ja laske pistetulo.) 31