Sisällysluettel Gemetrian käsitteitä Surat ja kulmat Yksikönmuunnkset ja pyöristäminen Yhdenmutisuus 9 Klmit 4 Kertaustehtäviä 47 Taskuvit 5 Pythagraan lause 5 Trignmetriaa 67 Mnikulmit 78 Ympyrä 9 Sektri 0 Ympyrän svelluksia Kertaustehtäviä 5 varuusgemetria 4 Lieriö 4 Karti 45 Pall 56 Kertaustehtäviä 65 Harjituskkeet 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Gemetrian käsitteitä Surat ja kulmat. a) α 90 58 b) α 60 50 0. P LU KO L I LO K E a) Phjinen ja länsi vat khtisurassa tisiaan vastaan, jten kulma n 90. b) Phjisen ja etelän välinen kulma n 80. c) Killinen n phjisen ja idän pulivälissä, jten kulma n 45. d) Kvera kulma n 0 < α < 80. Phjisen ja lännen välinen kulma n 90 ja lännen ja lunaan kulma 45. Phjisen ja lunaan välinen kulma n 90 + 45 5.. 60 : 60 60 '' ' 60 600 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
a) 0 0 + + 60 600 0,9 b) 7 60 5 600 98 7 5 98 + + 98, 4. a) 56 54 0 56 54 0 + + 60 600 0,948 0,948 > 0,5654 b) 4 4 + + 60 600 4,0 4,4 > 4,0 5. a) 69,078 0,078 0,078 60 8,468 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,468 0,468 60 8,08 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 69,078 69 8 8,08 69 8 8,7 b) 60,700 0,7 0,7 60 6,86 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,86 0,86 60,6 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi.,7 6,6 6 0,700 0,700 60 0, steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0, 0, 60 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 60,700 60 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
4,95 0,95 0,95 60 57, steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0, 0, 60 7,9 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 4,95 4 57 7,9 4 57 8 6. a) b) 8 60 60 60 0 48 c) 40 60 60 60 4 7. a) 60 60 b) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma n,5 60 05. Kell :n ja minuuttisittimen välinen kulma n 0 60 80. 60 Osittimien välinen kulma n 80 05 75. c) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma n 50 5 60 60 75. Kell :n ja minuuttisittimen välinen kulma n 50 60 00. 60 Osittimien välinen kulma n 00 75 5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
8. O a) OD 90 b) BOC 80 c) BO 45 d) O 0 tai O 60 9. a) α ja 74 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α + 74 80 74 α 06 β ja 74 kulma vat ristikulmia ja yhtä suuria. β 74 b) α-kulmat ja 86 asteen kulma mudstavat ikkulman, jnka suuruus n 80. α + 86 + α 80 86 α 94 : α 47 0. a) Ristikulmat vat yhtä suuret. 50 asteen kulman ristikulma n 50. b) Vieruskulmien summa n 80. 50 asteen kulman vieruskulma n 80 50 0.. a) α-kulma n samankhtainen kulma 8 asteen kulman kanssa. Kska surat m ja n vat yhdensuuntaiset, samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret. α 8 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α + β 80 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
8 + β 80 8 β 6 b) Merkitään 7 asteen kulman ristikulmaa γ:lla Ristikulmat vat yhtä suuret. γ γ 7 γ ja α vat samankhtaisia kulmia. Kska surat m ja n vat yhdensuuntaiset, α γ 7 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α + β 80 7 + β 80 7 β 09. a) α ja 48 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α 80 48 α α ja asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret, surat k ja l vat yhdensuuntaiset. b) α ja 84 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α α 80 84 96 α ja 96 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat eri suuret, surat k ja l eivät le yhdensuuntaisia. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
. α ja α + 0 vat ristikulmia. Ristikulmat vat yhtä suuret. α α + 0 α α 0 : α 5 α α + 0 Terävät kulmat vat α 5 45 α + 0 5 + 0 45. Tylpät kulmat vat terävien kulmien vieruskulmia. 80 45 5 4. α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β 6 β 6 + β 80 + 6 β 06 : β 0 α β 6 0 6 77 5. α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β + 04 β + 04 + β 80 04 β 76 : β 8 α 04 + β 04 + 8 4 6. γ + α 80 γ ja α vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. γ 7 α 7α + α 80 8α 80 : 8 α,5 γ 7 α 7,5 57,5 7. a) Ristikulmien pulittajien välinen kulma n 80. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
b) Vieruskulmien summa n 80. Kulman pulittajat vat α ja β. α β + ( α + β ) 80 90 8. a) α + 55 90 55 α 5 b) 4 + β 60 4 β 6 c) γ + 6 + 90 60 6 90 γ 09 9. α ja 5 asteen kulma vat ristikulmia, jten α 5. α ja 55 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat eri suuret, surat s ja l eivät le yhdensuuntaisia. α 0. β ja 5 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. β + 5 80 5 β 45 α ja 5 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska surat l ja s vat yhdensuuntaiset, α 5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
. a) Etelän ja kaakn välinen kulma n 45. b) Phjisen ja kaakn välinen kulma n 90 + 45 5. P. a) 50 0 5 50 0 5 + + 60 600 5,86 E K 5,86 < 5,85 b) 5 9 5 9 + 60 9,5 9,5 9,5, yhtä suuret. a) 90 + 0 0 b) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma myötäpäivään: 45 6 60 60 0,5 Kell :n ja minuuttisittimen kulma myötäpäivään n 70. Osittimien välinen kulma n 70 0,5 67,5. 4. a) α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β + 40 β + 40 + β 80 40 β 40 : β 70 α 40 + β 40 + 70 0 b) β + α 80 β ja α vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. β α α + α 80 4α 80 : 4 α 45 β α 45 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
5. a) 6,869 N 0,869 0,869 60 5,84 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,84 0,84 60 50,04 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 6,869 6 5 50,04 6 5 50 8,904 E b) 60,454 N 0,904 0,904 60 54,084 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,084 0,084 60 5,04 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 8,904 8 54 5,04 8 54 5 Nähtävyys n Olavinlinna. 0,454 0,454 60 6,4 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,4 0,4 60 7,44 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 60,454 60 6 7,44 60 6 7,87 E 0,87 0,87 60,7 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,7 0,7 60 4, Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi.,87 4, 4 Nähtävyys n Turunlinna. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
6. 7. a) b) Surat s ja l vat yhdensuuntaiset. c) BDE 45, kska se n kulman DBC kanssa samankhtaisen kulman ristikulma ja surat s ja l vat yhdensuuntaiset. d) EBD 45, kska kulmat EBD ja DBC vat yhteensä 90 ja DBC n 45. BD 80 45 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Yksikönmuunnkset ja pyöristäminen 8. a),7 m 7 dm b),7 m 70 cm c),7 m 700 mm d),7 kg 700 g 9. a),0 l 0 dl b) 0,4 l 4 dl c) cl, dl d) 50 ml,5 dl 0. a),5 a 50 m b) 0,05 ha,5 a 50 m c) 85 dm 0,85 m. a) 75 a,75 ha b) 0,05 km,5 ha c) 400 m 4 a 0,4 ha. a) 0 dm 0 l b) 0,5 m 50 dm 50 l c) 8 500 cm 8,500 dm 8,5 l d) 5 000 mm 5 cm 0,05 dm 0,05 l. a) 5 000 dm 5 m b) 0 dl l dm 0,00 m c) 50 l 50 dm 0,5 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
d) 540 000 cm 540 dm 0,54 m 4. a),7 l 7 dl b),7 l 700 ml c),7 kg/dm,7 kg 700 kg/m 0,00 m d) 0,007 kg 0,00dm,7 g/cm,7 kg/dm 5. a) 40 ml 0,4 l 0, l < 40 ml b) 0,086 m 86 dm 86 l 87 l > 0,086 m c) 00 000 cl 000 l 000 dm 00 000 cl > 400 dm 6. Muutetaan 0, hehtaarin pinta-ala m :ksi. 0, ha 0 a 000 m Tntin hinta n /m 000 m 64 000. 7. Lhkaistavan kaistaleen leveys n 50 cm,50 m. Surakulmin mutisen alueen pinta-ala n,50 m 7 m 9,5 m,95 a. Hyvitys n 500 /a,95 a 94,50. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
8. a), m 00 dm 00 l 00 l 80 5 l Mittauksia tarvitaan 80. b),5 dl 0,5 l 0,5 dm 0,0005 m 0,0 m 0,0005 m 0 Mittauksia tarvitaan 0. 9. Muutetaan tilavuus m :ksi. 96 000 cm 96 dm 0,096 m Laatta painaa 0,096 m 700 kg/m 59, kg 60 kg. 40. a) 58 000 Vähintään klme merkitsevää numera. Kknaisluvun perässä levat nllat vivat lla merkitseviä asiayhteydestä riippuen. b) 0,0065 neljä merkitsevää numera. Desimaaliluvun alussa levat nllat eivät le merkitseviä. c) 4 4,9 seitsemän merkitsevää numera. d) 0,00400 viisi merkitsevää numera. Desimaaliluvun lpussa levat nllat vat merkitseviä. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
4. a) 9,8 0 b) 97 00 4. a) 0,000 6 km 0,000 km b) 0,000 6 km 0,000 km c) 0,000 6 km 0,000 km 4. a),54 km +,0 km 4,84 km 4,8 km b),54 m,0 m,5 6 m,5 m 44. a),500 kg +,5 kg 5,000 kg 5,0 kg b) 0,5 km + 450 m 50 m + 450 m 600 m 0,60 km c) 4,4 cm cm 5,4 cm 50 cm 50 cm 5, dm d) 65 m 5 cm 65 m 0,5 m 6,75 m 60 m 45. a) Surakulmin pinta-ala pituus leveys,5 m 4,6 m 57,5 m 58 m b) idan määrä n surakulmin piirin pituus eli,5 m +,5 m + 4,6 m + 4,6 m 4, m. 46. a) Oikea tuls: 5,6 +,07 + 4,85,8, Jnan tuls: 5, +, + 4,9, Virhe:,, 0, b) Oikea tuls: 5,6,07 4,85 7,9677 7 Jaanan tuls: 5,, 4,9 8,567 9 Virhe: 9 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
47. Mm m km 864 000 864 0,864 4 600 4,6 0,046 7 400 000 7 400 7,4 48. 49. cm m ha 6 480 000 648 0,0648 6 40 000 000 64 000 64, 74 000 7,4 0,0074 cm dm m 486 000 486 0,486 4 600 4,6 0,046 47 000 000 47 000 47 50. a) klme merkitsevää numera b),09 klme merkitsevää numera c) 54,00 neljä merkitsevää numera d) 0,0098 kaksi merkitsevää numera e),000 viisi merkitsevää numera f) 0,090 kaksi merkitsevää numera 5. a) 509 000 mg 0,509 kg 0,509 kg > 0,5 kg, 509 000 mg suurempi b) 0,007 ha 0,7 a 70 m 7 000 dm 700 000 cm 700 000 cm > 690 000 cm, 0,007 ha suurempi 5. Mökkitien leveys n 5 m ja pituus,4 km.,4 km 400 m a) Mökkitien pinta-ala n 5 m 400 m 6 000 m 60 a,6 ha. b) Vukra n vudessa 400 /ha,6 ha 440. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
5. Neliömetrin hinta n 5. a) Tntin kk n 6,5a 650 m. Tntti maksaa 5 /m 650 m 50. b) Tntin kk n 0,5 a 500 m. Tntti maksaa 5 /m 500 m 7 500. 54. a) klmen merkitsevän numern tarkkuudella 54 698 mm 54 700 mm b) metrin tarkkuudella 54 698 mm 55 000 mm 55 m 55. a) Kerttu:,95 +,85 + 4,954 0,758 0,8 b) Pirkk:,0 +,9 + 5,0 0,9 c) Pirkn virhe: 0,9 0,8 0,8 0,0095... 0,9 % 56. Ongen painn tilavuus n 80 mm 0,080 cm 0,000 080 dm. Lyijyn tiheys n,5 kg/dm. Painn massa tilavuus tiheys m 0,000 080 dm,5 kg/dm 0,000 908 kg 0,000 9 kg 0,000 9 kg 0,9 g Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
Yhdenmutisuus 57. a) cm krkean kuvan kk pienenee klmassaan, jten kuvan krkeus n klmassa alkuperäisestä. cm 4,0 cm b) Kuvan krkeus n kpissa 5, cm, jten sen alkuperäinen krkeus n klminkertainen. 5, cm 5,6 cm 6 cm 58. Linnunpöntön piirustuksen mittakaava n : 0. Pöntön tdellinen krkeus n 45 mm. Merkitään taulukkn mittakaava ja pöntön krkeus. mittakaava pönttö (mm) kuva x lunt 0 45 Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä pöntön kk piirustuksessa. 0 x 45 Kerrtaan ristiin. 0x 45 : 0 x 4,5 (mm) 59. Nelikulmi BCD n yhdenmutinen nelikulmin B C D kanssa. Sivun B pituus n,6 cm ja sivun BC, cm. Laske sivun B pituus, kun sivun B C pituus n 8,0 cm. Merkitään taulukkn nelikulmiiden sivujen pituudet. BCD (cm) B C D (cm) B B,6 x BC B C, 8,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä sivun B pituus.,6, x 8,0 Kerrtaan ristiin.,x,6 8,0,x 0,8 :, x 6,5 (cm) 60. Kartan mittakaava n : 0 000. Jaanan mökkitien pituus kartalla n 6,7 cm. Merkitään taulukkn mittakaava ja mökkitien pituus kartalla. Mittakaava Tie (cm) Kuva 6,7 Lunt 0 000 X Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä tien pituus tdellisuudessa. 0 000 6,7 Kerrtaan ristiin. x x 0 000 6,7 x 4 000 0 000 (cm) 0 000 cm, km 6. Piirustuksessa kneensan pituus n 45 mm. Piirustuksen mittakaava n 5:. Merkitään taulukkn mittakaava ja kneensan pituus. Mittakaava Osa (mm) Kuva 5 45 Lunt x Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä san pituus tdellisuudessa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
5 45 x Kerrtaan ristiin. 5x 45 : 5 x (mm) 6. cm:n näyttöön mahtuva matka eri mittakaavilla: : 00 000 cm 00 000 00 000 cm km : 500 000 cm 500 000 500 000 cm 5 km : 000 000 cm 000 000 000 000 cm 0 km : 5 000 000 cm 5 000 000 5 000 000 cm 50 km : 0 000 000 cm 0 000 000 0 000 000 cm 00 km a) Näyttöön mahduttava 0 km, jten mittakaava n : 0 000 000. b) Näyttöön mahduttava 50 km, jten mittakaava n : 5 000 000. c) Näyttöön mahduttava 6 km, jten mittakaava n : 000 000. d) Näyttöön mahduttava km, jten mittakaava n : 00 000. 6. Nelikulmit BCD ja EFGH vat yhdenmutisia ja tisiaan vastaavat sivut vat B ja EF. Sivun B pituus n cm. a) Sivun EF pituus n 4 m 4 00 cm. Mittakaava n ( 4 00 00 eli 00 :. b) Sivun EF pituus n 0 mm cm. Mittakaava n : : 7. 64. a) 5 km:n pituinen tie kuvataan kartalla cm:n pituiseksi. 5 km 500 000 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Mittakaava n ( 500 000 500 000 eli : 500 000. b) Kartalla,8 cm:n levyinen pelt n lunnssa 570 m:n levyinen. 570 m 57 000 cm Mittakaava n (,8,8 57 000 eli : 5 000. 5 000 65. Lepän perheen lhuneen kk n 6 x cm phjapiirrksessa, jnka mittakaava n : 50. Se pienennetään mittakaavaan : 00. Lasketaan ensin huneen tdellinen kk. Mittakaava Huneen pituus (cm) Huneen leveys (cm) Kuva 6 Lunt 50 x y 50 6 Kerrtaan ristiin. x x 50 6 x 800 (cm) 50 y y 50 y 650 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Lasketaan sitten huneen kk pienemmässä mittakaavassa. Mittakaava Huneen pituus (cm) Huneen leveys (cm) Kuva x y Lunt 00 800 650 x Kerrtaan ristiin. 00 800 00x 800 : 00 x 4 (cm) y Kerrtaan ristiin. 00 650 00y 650 : 00 y,5, (cm) 4,0 cm x, cm 66. a) Kun kuvin sivun pituus kaksinkertaistuu, pinta-ala kasvaa 4 n m kertaiseksi. b) Kun kuvin sivun pituus nelinkertaistuu, pinta-ala kasvaa 4 6 n m kertaiseksi. c) Kun kuvin sivun pituus kymmenkertaistuu, pinta-ala kasvaa m 0 00 kertaiseksi. n d) Kun kuvin sivun pituus n-kertaistuu, pinta-ala kasvaa m n n n kertaiseksi. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
67. Pienennetyn kuvan pinta-ala n 9 6 0,54 n m 5 % alkuperäisen kuvan pinta-alasta. 68. a) Suurennetun kuvan leveys n,0 8,0 0,4 0 (cm). b) Suurennetun kuvan pinta-ala n m n 0,4 8,0,69 69 % alkuperäisen kuvan pinta-alasta. Kuva n siis 69 % suurempi kuin alkuperäinen kuva. 69. Kartan mittakaava n : 0 000. a) Pelln pinta-ala kartalla n 0,7 cm. Merkitään pelln tdellista alaa :lla. m n m n 0,7 0 000 0,7 0 000 Kerrtaan ristiin. 0,7 0 000 80 000 000 (cm ) 80 000 000 cm,8 ha ha b) Lammen pinta-ala n lunnssa 0,4 km 4 000 000 000 cm. Merkitään lammen pinta-alaa kartalla :lla. m n 0 000 4 000 000 000 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
4 000 000 000 0 000 Kerrtaan ristiin. 400 000 000 4 000 000 000 : 400 000 000 0 (cm ) 70. a) Kartan mittakaava n, : 6 000 : 5000. b) Lammen pinta-ala kartalla n 7,0 cm. Mittakaava Pinta-aljen suhde Lammen pintaala (cm ) Kartta 7,0 Lunt 5 000 5 000 5 000 000 x Mudstetaan taulukn viimeisistä sarakkeista verrant ja ratkaistaan siitä lammen pinta-ala. 5 000 000 7,0 Kerrtaan ristiin. x x 7,0 5 000 000 x 75 000 000 (cm ) 75 000 000 cm,75 ha,8 ha 7. Taln asuinpinta-ala n 95 m 9500 dm. Phjapiirrksessa taln leveys n m 4 cm ja pinta-ala,8 dm. Merkitään taln tdellista leveyttä x:llä. m n,8 9500 4 x,8 9500 4 Kerrtaan ristiin. x,8x 5 47 000 :,8 x 440 000 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
x ± 440 000 Negatiivinen juuri ei käy. x 00 (cm) 00 cm m 7. Maapalln säde n 6 400 km 640 000 000 cm. Karttapalln säde n 8,0 cm. a) Karttapalln mittakaava n (8 8,0 640 000 000 80 000 000 eli : 80 000 000. b) Sumi n 00 km 00 000 000 cm pitkä. Mittakaava Pituus (cm) Kartta x Lunt 80 000 000 00 000 000 80 000 000 x 00 000 000 Kerrtaan ristiin. 80 000 000x 00 000 000 : 80 000 000 x,75,4 (cm) c) tlantin pinta-ala n lunnssa 06 400 000 km². m n 6 400 06 400 000 8,0 8,0 06 400 000 6400 40 960 000 6 809 600 000 : 40 960 000 66,5 70 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
7. Lunnnsujelualueen pinta-ala n lunnssa 56 ha 5 600 000 000 cm. Kartalla se n kuvattu,4 cm :n suuruiseksi. m n,4 5 600 000 000 x,4 5 600 000 000 x,4x 5 600 000 000 :,4 x 500 000 000 x ± 500 000 000 Negatiivinen juuri ei käy. x 50 000 Kartan mittakaava n : 50 000. 74. Muvailuvahan tilavuus n 5 dl. Siitä muvaillaan alkuperäisen pötkön kanssa yhdenmutisia pikkupötköjä, jiden krkeus n klmassa alkuperäisestä. a) Pikkupötköjä saadaan 7. 5 b) 0,85... 0, (dl) 7 V m 75. V n x 500 4,5 5,5 x 500 4,5 5,5 66,75x 8 97,5 : 66,75 x 96,97 900 (l) Tilavuus kutistuu 500 l 900 l 600 l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
76. Palljen halkaisijiden suhde n : 0. a) Pinta-aljen suhde n m n.,0 0 9 : 00 9 00 b) Tilavuuksien suhde n V V V V m n 0. 7 : 000 7 000 77. Kuvan kk n 0 x 5 cm. Kpiitaessa kuvaa suurennettiin 40 %. Suurenns n 40 %,40. Kpin mitat vat:,40 0 4 (cm),40 5 (cm) 4 x cm 78. Ilmakuvassa Sisun ktitaln pidemmän seinän pituus n cm, kun sen pituus lunnssa n m 00 cm. Pihasaunan pituus n kuvassa, cm. Ktitaln seinä (cm) Pihasauna (cm) Kuva, Lunt 00 x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
00, Kerrtaan ristiin. x x 00, x 440 : x 480 (cm) 480 cm 4,8 m 79. Mikrskppi suurentaa khteen suhteessa 00 :. Hyönteinen näyttää mikrskpissa,4 cm:n pituiselta. Mittakaava Hyönteinen (cm) Kuva 00,4 Lunt x 00,4 Kerrtaan ristiin. x 00x,4 : 00 x 0,007 (cm) 0,007 cm 0,07 mm 80. Kartan mittakaava n : 0 000. a) Matka Villen luta Kallen lu n kartalla 8 cm. Mittakaava Matka (cm) Kuva 8 Lunt 0 000 x 0 000 8 Kerrtaan ristiin. x x 0 000 8 x 60 000 (cm) 60 000 cm,6 km km Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
b) Villen vanhempien mökkitien pituus n lunnssa, km 0 000 cm. mittakaava matka (cm) Kuva x Lunt 0 000 0 000 x Kerrtaan ristiin. 0 000 0 000 0 000x 0 000 : 0 000 x 6 (cm) 8. a) Neliöiden sivujen suhde n 5 : 9. Neliöiden pinta-aljen suhde n m n 5 9 5 : 8. 5 8 b) Surakulmin sivut x ja y kasvavat 0 % eli tulevat,0-kertaisiksi. Pinta-ala xy kasvaa,0x,0y,44xy. Pinta-ala tuli,44-kertaiseksi eli kasvu n 44 %. 8. Kartan mittakaava n : 00 000. Metsätilan pinta-ala kartalla n, cm. Lasketaan tilan pinta-ala kartalla. m n, x 00 000 Kerrtaan ristiin. x 000 000 000 (cm ) 000 000 000 cm 0 ha Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
8. Metsäpalstan pinta-ala n 7 ha 700 000 000. Kartan mittakaava n : 0 000. m n x 700 000 000 0 000 x 700 000 000 0 000 400 000 000x 700 000 000 : 400 000 000 x 6,75 6,8 (cm ) 84. Mikrpiirin mallipiirrksen mittakaava n 0 :. Mikrpiirin san suuruus n kuvassa 64 cm. m n 64 x 0 64 x 0 Kerrtaan ristiin. 400x 64 : 400 x 0,6 (cm ) 0,6 cm 6 mm 85. 5 km pitkä järvi kuvataan kartalla 7,5 cm:n pituisena. 5 km 500 000 cm Kartan mittakaava n (7,5 7,5 500 000 00 000 eli : 00 000. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
86. Etäisyys Kerimäeltä Savnlinnaan n kartalla 5 cm, mutta tdellisuudessa se n 5 km. Samalla kartalla n kuvattu metsätila, jnka kk n 50 ha 5 000 000 000 cm. 5 km 500 000 cm Kartan mittakaava n (5 5 500 000 00 000 5 : 500 000 : 00 000. Lasketaan 50 ha:n metsätilan kk kartalla. m n x 5 000 000 000 00 000 x 5 000 000 000 00 000 Kerrtaan ristiin. 0 000 000 000x 5 000 000 000 : 0 000 000 000 x 0,5 (cm ) 87. Läpän leveys 0 cm pienenee 0 cm:iin. a) Läppien leveyksien suhde n 0 : 0 :. b) Laukkuihin tarvittavien kankaiden pinta-aljen suhde n 4 9 eli 4 : 9. c) Pienempään laukkuun kuluu kangasta 9 4 0,5555... 0,56 56 % vähemmän kuin suurempaan laukkuun. 9 88. Lunnssa 0 a:n viljelypalstan pinta-ala n kartalla, cm. 0 a 0 000 000 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Lasketaan mittakaava. m n m (, n, 0 000 000 m n 5 000 000 m n 5 000 000 5 000 Mittakaava n : 5 000. 89. Tilavuuksien suhde n V V m n. V V, Kerrtaan ristiin. V, V V, V,V Tilavuus n,-kertainen eli se n % liian suuri. 90. Rdksen klssin krkeus n m 00 cm. Pienisveistksen massa n 50 g ja krkeus 6,6 cm. Pienisveistksen ja alkuperäisen klssin krkeuksien suhde n (6,6 6,6 00 500 6,6 : 00 : 500. Tilavuuksien suhde n V V 500 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
V V 5 000 000 V : V : 5 000 000. Rdksen klssin massa n 50 5 000 000,5 0 0 (g).,5 0 0 g 50 000 kg 000 000 kg Klmit 9. Klmin kaksi kulmaa vat ja 06. Kska klmin kulmien summa n 80, klmannen kulman x suuruus n + 06 + x 80 06 x 4 9. ah, missä a klmin kanta ja h krkeus. a) 6 5 40 (cm ) b) 4 8 78 80 (m ) 9. Klmin kulmien summa n 80. a) x + 0 + 80 + x 80 0 80 x 90 : x 0 Kulmat vat x 0, x + 0 0 + 0 70 ja 80. b) x + 0 + x 80 4x 60 : 4 x 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
Kulmat vat x 5, x 5 45 ja 0. 94. a) Tasakylkinen klmi, jnka kanta n 4,8 cm pitkä ja kantakulmat vat 0. Krkeus n,4 cm.,4 4,8,6,4 (cm ) 0 4,8 cm b) Tasasivuinen klmi, jnka sivun pituus n 6, cm. Krkeus n 5,4 cm., 5,4 6,74 7 (cm 6 ) 6, cm 95. Merkitään klmin ensimmäistä kulmaa x:llä. x + (x + 0 ) + 46 80 x + x + 0 + 46 80 0 46 x 04 : x 5 96. Merkitään kantakulmaa x:llä. x + x + x 80 5x 80 : 5 x 6 Kantakulmat vat x 6 ja huippukulma n x 6 08. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
97. a) Klmin pinta-ala n. b) Klmin pinta-ala n 5. Klmin pinta-ala n 5 4 0. Nelikulmin pinta-ala n 5 4 0. Klmin k pinta-ala n 0 0 7. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
98. Klmin pinta-ala n 5 5. Klmin pinta-ala n 9 5,5. Klmin pinta-ala n 7 4 4. Nelikulmin pinta-ala n 7 9 6. Klmin k pinta-ala n k 6 5 4,5,5. 99. γ ja 78 :n kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. γ 80 78 0 Klmista: α + γ + 5 80 Klmin kulmien summa n 80. α 80 0 + 5 7 γ ja β vat samankhtaisia kulmia. Ne vat yhtä suuret, kska surat s ja l vat yhdensuuntaiset. γ β 0 Eri suuria kulmia n kuusi kappaletta. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
00. Kulma : 60 Tasasivuisen klmin kaikki kulmat vat 60. Kulma : 60 0 Kulma : 60 0 40 Kulma 4: 60 60 00 Kulma 5: 4 60 40 Kulma 6: 60 40 0 0. Kallen varjn pituus vierasvenesataman laiturilla n, m. Vieressä levan purjeveneen mastn varjn pituus laiturilla n 8, m. Kalle n 65 cm pitkä. Merkitään mastn pituutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x., 65 8, Kerrtaan ristiin. x,x 65 8,,x 5 :, x 588 590 (cm) 590 cm 5,9 m 0. Jen leveys n x. Kuvassa n kaksi yhdenmutista klmita. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
5 + 5 x Kerrtaan ristiin. 5 4 5(x + 5) 5 4 5x + 75 60 75 5x 55 : 5 x 0, 0 (m) 0. Kulma n 8 ja B 68. Kulma D n 84 ja E 8. Sivu B n 7 cm ja BC 8,0 cm. Sivu EF n cm. Lasketaan kulman C suuruus. 8 + 68 + C 80 8 68 C 84 Humataan, että C D E. Kska klmin kaksi kulmaa vat yhtä suuret, klmit vat yhdenmutiset. Merkitään sivun DF pituutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x 8 7 Kerrtaan ristiin. 7x 8 7x 96 : 7 x 5,647 5,6 (cm) 04. lkuperäisen ja pienen klmin pinta-aljen suhde n : 4. lkuperäisen klmin kannan pituus n 4,4 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
Merkitään pienen klmin kannan pituutta x:llä. n pienen klmin pinta-ala, n alkuperäisen klmin ala. 4 m n x 4 x 4,4 x Kerrtaan ristiin. 4 4,4 4x 9,6 : 4 x 4,84 x ± 4,84 Negatiivinen juuri ei käy. x, (cm) 05. Pöydän krkeus n 75 cm. Pitempi lauta n 0 cm ja liitskhta jakaa pitemmän jalan suhteessa 5 : 7. 75 h 5x 7x h Klmit vat yhdenmutiset, kska ristikulmat vat yhtä suuret ja samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä h. 5x h 75 7x h Supistetaan x:t ja kerrtaan ristiin. 5h 7(75 h) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 40
5h 55 7h + 7h h 55 : h 4,75 44 (cm) 06. Ranta 00 m x 00 x Tie + x 00 Kerrtaan ristiin. x 90 000 : x 45 000 x ± 45 000 Negatiivinen juuri ei käy. x,0, (cm) Metsätien puleisesta sasta rantaviivaa n 00 m, m 87,87 m. Metsätien puleisen san mistaja saa rantaviivaa, m 87,87 m 4,6 m 4 m vähemmän kuin sisarensa. 07. a) Vieruskulmien summa n 80. α + 4 80 4 α 7 α Klmin kulmien summa n 80. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
5 + 7 + x 80 5 7 x 8 x b) α 80 6 0 4 50 α 4 50 + 78 x 80 57 57 08. a) Klmin krkeus n 4,8 cm. 7,0 4,8 6,8 7 (cm ) b) Klmin pinta-ala n 5 7,5. Klmin pinta-ala n,5. Nelikulmin pinta-ala n 5 5. Klmin k pinta-ala n k 5 7,5,5 6. 09. Klmin tinen terävä kulma n kaksi kertaa niin suuri kuin ensimmäinen. Merkitään ensimmäisen kulman suuruutta x:llä. Klmas kulma n 05. x + x + 05 80 05 x 75 : x 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
0. Tasakylkisessä klmissa kantakulma n neljä kertaa huippukulman suuruinen. Merkitään huippukulman suuruutta x:llä. x + 4x + 4x 80 9x 80 : 9 x 0 Huippukulma n 0 ja kantakulmat 80.. Viivaimen krkeus n 0 cm. Hannu n 0 m:n päässä puusta ja hänen jennettu kätensä n 55 cm pitkä. Merkitään puun krkeutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x 0 0 55 Kerrtaan ristiin. 55x 0 0 55x 600 : 55 x 0,90 (m). β 80 08 (80 45 ) 7 γ 80 08 7 Keskimmäisen klmin klmas kulma n 80 7 85. α 80 (80 45 ) (80 85 ) 50. Klmin pinta-ala n 4 6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
Klmin pinta-ala n 4. Klmin pinta-ala n 5 5. Nelikulmin pinta-ala n 5 6 0. Klmin k pinta-ala n k 0 5. 4. Ktkan varj maassa li 80 m päässä sen lentkhdasta länteen. 5 m pituisen puun varj li 8 m pitkä. Merkitään ktkan lentkrkeutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x 5 80 8 Kerrtaan ristiin. 8x 80 5 8x 00 : 8 x 4,85 4 (m) 5. Klmi n likimain surakulmainen. 50 50 5 45 x 45 m x 67 m 50x 45 45 50x 05 : 50 5,0 m 5 m x 40,5 (m) 50 m Reunakivien pituus n 75 cm 0,75 m. Kiviä tarvitaan 40,5 0,75 54 (kpl). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 44
6. a) Sivun B pituus n 5 cm ja sivun B pituus n m 00 cm. ' B' B 00 5 0 0 : b) Sivun B pituus n 96 cm ja sivun B pituus n, cm. ' B' B, 96 0 : 0 7. Säännöllinen yhdeksänkulmi kstuu 9 tasakylkisestä klmista. Kunkin klmin huippukulma n 60 40. 9 Kantakulma n 80 40 β + 40 β 40 : β 70. Yhdeksänkulmin kulman suuruus n α 70 40. 8. a) Viisikulmi kstuu 5 tasakylkisestä klmista. Klmin huippukulma n 60 7. 5 Kantakulma n 80 7 α + 7 α 08 : α 54. Viisikulmin kulman suuruus n 54 08. Kulmien summa n 5 08 540. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 45
b) Viisikulmin kulmat: 08 α 80 08 7 β 80 7 6 9. + + x + y + z 8,9 x + y h Klmit,, ja vat yhdenmutisia. x 8,9 Kerrtaan ristiin. x 8,9 : x 79, x ± 79, Negatiivinen juuri ei käy. + x 5,84 5,8 (cm) h 8,9 Kerrtaan ristiin. h 8,9 : h 58,4 h ± 58,4 Negatiivinen juuri ei käy. h 7,668 7,67 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 46
y 7,67 5,8,9, (cm) z 8,9 7,67,6,6 (cm) x 5, cm, y, cm ja z,6 cm Kertaustehtäviä 0. a) α 5 6 α 6 5 + + 60 β 95 58 45 600 5,669 β 95 + 58 + 45 95,979 60 600 b) α,987 0,987 0,987 60 59, 0, 0, 60,9 α 59,9 59 4 β 95,4998 0, 4998 0, 4998 60 9,988 0, 988 0, 988 60 59,8 β 95 9 59,8 95 9 59. a) 6 79 mm 6,79 m 0,009 km,9 m b) 0,0 ha 0 m 59 000 cm 5,9 m c) 4 500 cm 4,5 l 0,64 m 640 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 47
. Pieni klmi: α 80 00 5 65 β Is klmi: β 80 65 (5 + 60 ) 40 Keskisuuri klmi: γ γ 80 60 40 80 α. a) 0 cm,0 m,0 45 4 4,6 4 00 (m ) 4 00 m 4 a b) 84,5 cm 0,845 m p 4 + 4 0,845,8 (m) Tdellisuudessa aitaa tarvitaan nin,5 m. 4. Kpiitaessa kuvaa suurennettiin 5 %. Kpin leveys li 4,5 cm ja krkeus,4 cm. Leveys alkuperäisessä: Krkeus alkuperäisessä: 4,5 9,6 (cm),5,4 9,9 (cm),5 5. Vieruskulmien summa n 80. α 80 40 40 Samankhtaiset kulmat α ja β vat yhtä suuret, kska surat l ja s vat yhdensuuntaiset. α β 40 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 48
6. Kartta, jnka mittakaava n : 00 000, kpiidaan kpikneella,4-kertaiseksi. Tien pituus kpissa n 9,9 cm. Tien pituus alkuperäisessä kartassa n 9,9,4 7,0 (cm). Merkitään tien pituutta lunnssa x:llä. 7 x 00 000 Kerrtaan ristiin. x 700 000 (cm) 700 000 cm 7,0 km 7. a) 4, 4,7 0,0... 0 (cm ) b) Klmin pinta-ala n. Klmin pinta-ala n 4. Klmin pinta-ala n,5. Nelikulmin pinta-ala n 4. Klmin k pinta-ala n k,5 5,5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 49
8. Kahden ympyrän säteiden suhde n 5 : 7. a) Kska sekä säteen että kehän pituus vat pituusmittja, myös kehien pituuksien suhde n 5 : 7. b) Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. 5 7 5 49 eli 5 : 49 9. Klmin BC sivujen pituudet vat 8,0 cm, 4,0 cm ja 0,0 cm. Sen kanssa yhdenmutisen klmin B C pisin sivu n 9,0 cm. x 8,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. y 4,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. 0x 8,0 9,0 0y 4,0 9,0 0x 6,0 : 0 0y 6,0 : 0 x 5,4 (cm) y 7, (cm) 0. Pelln pinta-ala n 5 ha. Kartan mittakaava n : 0 000. Pelln pinta-ala kartalla n x. Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. x 5 0 000 x 5 0 000 Kerrtaan ristiin. 00 000 000x 5 : 00 000 000 x 0,000 000 05 (ha) 0,000 000 05 ha 0,000 005 a 0,0005 cm 0,05 dm 5 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 50
. Piin käsi n pulen metrin etäisyydellä seinästä. Varjn leveys n 5 cm ja Piin käden leveys 9,5 cm. Lampun etäisyys seinästä n x. x 0,5 x 5 9,5 9,5x 5(x 0,5) 9,5x 5x 7,5 5x 5,5x 7,5 : ( 5,5) x,6,4 (m),4 m 40 cm. suntesitteen kuvan mittakaava n : x. Kuvassa 0 m :n asunt n 4,8 cm :n suuruinen. 0 m 00 000 cm 4,8 00 000 x 4,8 00 000 Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. Kerrtaan ristiin. x 4,8x 00 000 : 4,8 x 50 000 x ± 50 000 Negatiivinen juuri ei käy. x 500 Mittakaava n : 500. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5