3 Avaruusgeometria. Lieriö a) V = = (cm 3 ) cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = = 450 (cm 3 )

Transkriptio

1 Avaruusgeometria Lieriö 4. a) (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) r d 8 (cm) A p h πr h π , (cm ) cm 5,8 dm 7. Suoran ympyrälieriön muotoisen sadevesitynnyrin korkeus on 85 cm ja pohjan halkaisija 5 cm. r d 5 6 (cm) Sadevettä mahtuu tynnyriin A p h πr h π , (cm ) cm 180 dm 180 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

2 8. Kuution särmän pituus on x. a) x 140 x 140 x 5,19 5, (cm) b) 4,00 l 4,00 dm x 4,00 x 4, 00 x 1,5874 1,59 (dm) 1,59 dm 15,9 cm 9. Puutukin halkaisija on 8 cm ja pituus 5, m 50 cm. 1 dm puuta painaa 0,6 kg. r d 8 14 (cm) Puutukin tilavuus on A p h πr h π , (cm ) cm 0,191 dm Tukin massa on 0,191 0,6 19, (kg). 0. Suorakulmaisen särmiön muotoisen pahvilaatikon pituus on 4 cm ja leveys 7 cm. Laatikon tilavuus on 50 litraa. 50 l 50 dm cm a b c 4 7 c c : c,17 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

3 1. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin pohjan halkaisija on 7,0 cm. Lasin korkeus on 1,0 cm. Lasiin kaadetaan,0 dl mehua. r d 7,0,5 (cm) Mehun tilavuus on,0 dl 0, l 0, dm 00 cm. Lasketaan mehun korkeus lasissa. A p h πr h π,5 h 00 1,5πh 00 : 1,5π h 5,1968 5,0 (cm) Pinta jää lasin yläreunasta 1,0 5,0 6,8 (cm).. a) vaipan ala A v πd h π , (cm ) 750 cm 7,5 dm b) r d 1 6 (cm) pohjan ala A p πr π 6 11,097 11,10 (cm ) kokonaispinta-ala A A v + A p 75, ,10 980, (cm ) 980 cm 9,8 dm. Etiketin korkeus on h 1, 0,5 1,7 (cm). Etiketin pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

4 A v πd h π 7,4 1,7 95,4 00 (cm ). 00 cm,0 dm 4. A4-arkin mitat ovat 1,0 x 9,7 cm. Lasketaan ensin lieriön pohjan säde. p πd πr πr 9,7 : π r 4, ,769 (cm) Lieriön tilavuus on A p h πr h π 4,769 1, , (cm ) cm 1,47 dm 5. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö. Pohjasärmän pituus on 5,9 cm ja korkeus 0, cm. Särmiön vaipan ala on A v p h 5,9 0, 56,1 540 (cm ). Lasketaan päätykolmion korkeus x. Se saadaan Pyhtagoraan lauseen avulla. 5,9,95 (cm) x +,95 5,9 x 6,1075 x ± 6,1075 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5, ,110 (cm) Päätykolmion pinta-ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

5 A p 5,9 5,110 15, ,1(cm ) Pakkaukseen tarvitaan pahvia: A A v + A p 56,1 + 15,1 566, 570 (cm ) 570 cm 5,7 dm 6. Kuutio, jonka särmän pituus on 4,0 cm. 7. Suorakulmaisen särmiön pituus on 4,0 cm, leveys,0 cm ja korkeus,0 cm. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus. Pohjatahkon lävistäjä: x 4,0 +,0 x 5 x ± 5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,0 (cm) Avaruuslävistäjä: y,0 + 5,0 y 9 x ± 9 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,85 5,4 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18

6 8. Suorakulmaisen särmiön särmien pituuksien suhde on a : b : c 1 : : 5. Särmiön tilavuus on,50 l,50 dm. Merkitään lyhyimmän sivun pituutta a:lla. Muiden sivujen pituudet ovat a ja 5a. Tilavuudelle saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a. a a 5a,50 10a,50 : 10 a 0,5 a 0, 5 a 0,6996 0,6 (dm) 0,6 dm 6, cm a 6, cm b a 6,996 1,599 1,6 cm c 5a 5 6,996 1,498 1,5 cm 9. Pellistä halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen mitta-astia, jonka korkeus on h 1 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm Ympyrälieriön tilavuus on πr A h πr h. p : 1π 500 r 1π Halkaisijan pituus on 500 r ± ain positiivinen juuri kelpaa. 1π r,6418,64 (cm) d r,64 7,8 7, (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19

7 40. Suoran ympyrälieriön korkeus on 8 ja pohjan halkaisija 6. r d 6 aipan ala: A v πd h π π Pohjan ala: A p πr π 9π Kokonaispinta-ala: A A v + A p 48π + 9π 66π 41. Tulitikkulaatikon mitat ovat 5, x,5 x 0,8 cm. a) Laatikon tilavuus on 5,,5 0,8 14,56 15 (cm ). b) Laatikon kokonaispinta-ala on A kok 0,8,5 + 0,8 5, + 5,,5 50, 50 (cm ) Suoran ympyrälieriön muotoisen saavin korkeus on 7 cm ja pohjan halkaisija 64 cm. Pyry täyttää saavin 8 litran vesiämpäreillä. 64 r d (cm) A p h πr h π , (cm ) cm 5 dm 5 l Saaviin mahtuu Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 140

8 5 8 9,75 9 ämpärillistä. 44. Kuution tilavuus on 45 cm. a) Kuution särmän pituus: x 45 x 45 x,55689,6 (cm) b) Kuution kokonaispinta-ala: A kok 6x 6,557 75,91 76 (cm ) 45. Tiilen tiheys on 1,6 g/cm. Tiilen tilavuus on 7,5 1,0 7,0 6,5 (cm ). Tiilen massa on tilavuus kertaa tiheys. 6,5 1, (g) g 4, kg 46. Saunan pata on muodoltaan suora ympyrälieriö, jonka pohjan halkaisija on 70 cm. Padan tilavuus on 00 litraa 00 dm cm. r d 70 5 (cm) A p h πr h π 5 h πh : 15π h 51, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 141

9 47. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö, jonka korkeus on 0,8 cm ja pohjasärmän pituus on,6 cm. Lasketaan päätykolmion korkeus x Pythagoraan lauseen avulla.,6 1,8 (cm) x + 1,8,6 x 9,7 x ± 9,7 ain positiivinen juuri kelpaa. x,1176,118 (cm) Päätykolmion pinta-ala: A p,6,118 5,614 (cm ) Pakkauksen tilavuus on A p h 5,614 0,8 116, (cm ) 10 cm 1, dl. 48. Metrin mittaisen teräsputken ulkohalkaisija on 6,0 cm ja sisähalkaisija 5,0 cm. Teräksen tiheys on 7,8 g/cm. u πr h π π s πr h π, π u s 900π 65π 75π Putken massa on tiheys kertaa tilavuus. m 7,8 75π 6 78, (g) g 6,7 kg. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

10 49. Kasvihuone on muodoltaan suora lieriö, jonka pohjat (päädyt) ovat puoliympyröitä. Kasvihuoneen korkeus on,0 m ja pituus 8,5 m. a) Kasvihuoneen tilavuus. A p πr π,0 6, ,8 (m ) A p h 6,8 8,5 5,8 5 (m ) b) Kasvihuoneen seinät ja katto ovat läpinäkyvää ohutta muovia. Muovin hinta on rakentamisen aikana ollut 1,80 /m. Katon ala on πrh π,0 8,5 A 5, ,41(m v ). Seinän ala on A p πr π,0 1, ,57 (m ) Kokonaisala on A kok A v + A p 5,41 + 1,57 65,98 (m ). Muovi maksaa 65,98 1,80 118,64 10 ( ). 50. Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon mitat ovat 5 x 5 x 45 cm. Pisin putki mahtuu avaruuslävistäjälle. Pohjatahkon lävistäjä: x x 1850 x ± 1850 ain positiivinen juuri kelpaa. x 4,01 4 (cm) Avaruuslävistäjä: y 4, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

11 y 874 y ± 874 ain positiivinen juuri kelpaa. y 6,4 6 (cm) Laatikkoon mahtuu 6 cm pitkä putki. 51. Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön pohjaneliön sivun pituus on kolmasosa särmiön korkeudesta. Särmiön tilavuus on tasan 1 m. Särmiön pohjaneliön sivun pituus saadaan tilavuuden avulla. x x x 1 x 1 : x 1 1 x x 0,696 0,69 (m) 0,69 m 69 cm Korkeus on x 0,69,079,08 (m).,08 m 08 cm. Pohjaneliön sivun pituus on 69 cm ja särmiön korkeus 08 cm. 5. Suoran ympyrälieriön korkeus ja pohjan halkaisija ovat molemmat r. Lieriö on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. a) Kuution sivun pituus on r. Kuution tilavuus on k (r) 8r. Lieriön pohjan säteen pituus on r ja lieriön korkeus r. Lieriön tilavuus on l πr h πr r πr. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 144

12 b) Lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta πr π 0, ,54 %. 8r 4 Tyhjää tilaa jää 100 % 78,54 % 1,46 % 1 %. Kartio 5. a) Ap h 50 9,0 150 (cm ) b) Ap h , (cm ) 54. a) Pohjaneliön ala on A p 8,0 8,0 64 (cm ). Ap h 64 1,0 77, (cm ) b) Tilavuus on A p h πr h π 5, 7,8 0, (cm ). 55. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 9, cm ja pohjasärmän pituus 10,0 cm. Pohjaneliön ala on A p 10,0 10,0 100 (cm ). 9, Ap h 100 9, 06, (cm ) 10,0 56. Pyramidin korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 145

13 h +,0 7,5 h ,5 9 h 47,5 x ± 47,5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 6,87 6,9 (cm) h,0 7,5 57. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin korkeus on 14,7 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Tilavuus on A p h π,0 14,7 18, (cm ). 140 cm 0,140 dm 0,140 l 1,4 dl 58. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän halkaisija on 5, cm ja sivujanan pituus 7,5 cm. Ympyräkartion korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. h +,6 7,5 h + 6,76 56,5 6,76 h 49,49 h ± 49,49 ain positiivinen juuri kelpaa. h 7,0491 7,049 (cm) Tilavuus on A p h πr h π,6 7,049 49, (cm ). h 7,5,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 146

14 59. a) Pyramidin vaipan ala on A v 4 1 (cm ). b) Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π 0,9,8 7,916 7,9 (m ). 60. Suoran ympyräkartion muotoisen hatun sivujanan pituus on 5 cm ja pohjaympyrän halkaisija 16 cm. Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π ,1 60 (cm ). appuhattuun tarvitaan pahvia 60 cm 6, dm. 61. Lasten lelulinnan tornin katto on säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus on 8,0 cm ja pohjasärmän pituus 15,6 cm. x 7,8 + 8,0 x 14,84 x ± 14,84 ain positiivinen juuri kelpaa. x 11, ,17(cm) Katon pinta-ala on pyramidin vaipan ala: 8,0 x A v 11,17 15,6 4 48, (cm ) 7,8 50 cm,5 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 147

15 6. Ympyrän sektorin säde on 10,0 cm ja keskuskulman suuruus 150 o. Sektori kääritään suoran ympyräkartion vaipaksi. Sektorin kaaren pituus on b α 150o o πr o π 10 6, ,1799 (cm) Pohjaympyrän kehän pituus on sektorin kaaren pituinen. πr 6,1799 : π r 4,1666 (cm) Halkaisija on d r 4,1667 8,4 8, (cm). 6. Kheopsin pyramidi rakennettiin säännölliseksi neliöpohjaiseksi pyramidiksi. Pyramidin pohjasärmän pituus oli 0 m ja pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma 5 o. a) Pyramidin korkeus on nykyään 19 m. Lasketaan alkuperäinen korkeus. o tan tan5 o h h h 115 tan5 o h 147,19 147,19 (m) Pyramidi on madaltunut h 147, ,19 8, (m). 5 o 115 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 148

16 b) Pyramidin rakennusaineena käytetyn kiven tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on Ap h , , (cm ). Alkuperäinen massa on m (kg). 64. Suoran ympyräkartion korkeus on 18,0 cm ja pohjaympyrän halkaisija 10,8 cm. Kartion vaippana oleva ympyrän sektori levitetään tasoon. Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πr πd 10,8π Sektorin säde on kartion sivujanan s pituus. s 18,0 + 5,4 s 5,16 18 s 5,4 s ± 5,16 ain positiivinen juuri kelpaa. s 18,79 18,8 (cm) α Sektorin keskuskulman suuruus saadaan kaaren pituuden b π r avulla. 60 o α π 18,79 10,8π o 7,58απ 888π : π 7,58α 888 : 7,58 α 10, Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan muodostettua verranto. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 149

17 h 10 h Kerrotaan ristiin. 8h 10(h + 4) 8h 10h h 18h 40 : 18 h 1, 1, (m) Kokonaisen pyramidin tilavuus: kok A p h 8 8 (4 +1,) 9 755, ,57 (m ). Pyramidin yläosan tilavuus: y Ap h , 444, , (m ). Katkaistun pyramidin tilavuus on 9 755,57 444, 9 11, (m ). 66. Suoran ympyräkartion muotoisen kuohuviinilasin korkeus on 1,4 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Lasiin kaadetaan 8 cl kuohuviiniä. 6,0 1 8 cl 0,08 l 0,08 dm 80 cm Lasin tilavuus on πr h π,0 1,4 116, ,86 (cm ). h 1,4 Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on kappaleiden mittakaavan kuutio (kolmas potenssi). 1 h 1,4 80 h 116,86 1,4 Kerrotaan ristiin. 116,86h 80 1,4 :116,86 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 150

18 h 80 1,4 116,86 h 105,6 h 105, 6 h 10,985 10,9 iinin pinta jää lasin reunan alapuolelle 1,4 10,9 1,47 1,5 (cm). 67. Muurahaiskeko on kartio, jonka korkeus on h 45 cm 4,5 dm ja pohjan pinta ala A p 5 dm. Keon tilavuus on y Ap h 5 4,5 7,5 8 (dm ). 68. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 17,0 cm ja pohjasärmän pituus 11,5 cm. Pyramidin tilavuus on y Ap h 11,5 11,5 17,0 749, (cm ). 69. Pastillien perheen isän 50-vuotisjuhlien 0 vierasta juovat tervetuliaisjuoman. Lasin tilavuus on πr h π 4,1 10,0 176, (cm ) 176 cm 0,176 dm. 0 henkilölle juomaa tarvitaan 0 0,176 dm 5,8 dm 5, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 151

19 70. Suoran ympyräkartion sivujanan pituus on 16,0 cm ja pohjan halkaisija 9,0 cm. a) aipan ala on A v πrs π 4,5 16,0 6,19 0 (cm ). 0 cm, dm b) Lasketaan kartion korkeus. h 16,0 h + 4,5 16,0 h + 0,5 56 0,5 4,5 h 5,75 h ± 5,75 ain positiivinen juuri kelpaa. h 15,541 15,5 (cm) Tilavuus on πr h π 4,5 15,5 5, (cm ). 71. Mykerinoksen pyramidi Egyptin Gizassa oli alun perin säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus oli 65,5 m ja pohjasärmän pituus 10 m. Rakennusaineena käytetyn kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on y Ap h ,5 169, (m ). Massa saadaan, kun tilavuus kerrotaan tiheydellä. m (kg) 7. Suoran pyramidin muotoisen teltan pohja on säännöllinen kuusikulmio, jonka sivun pituus on 1,70 m. Teltan korkeus on 1,80 m. h 1,70 0,85 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

20 Pohjan kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Lasketaan kolmion korkeus. h + 0,85 1,7 h + 0,75,89 0,75 h,1675 h ±,1675 ain positiivinen juuri kelpaa. h 1,47 (m) Pohjan pinta-ala on A p 1,70 1,47 6 7,518 (m ). Teltan tilavuus on y A p h 7,518 1,80 4, ,51 (m ). 7. Kuvan lampunvarjostin on katkaistun suoran ympyräkartion vaippa. s Yhdenmuotoisten kolmioiden perusteella: s 6 + s 5 6 Kerrotaan ristiin. 6s 5 (6 + s) 6s s 5s 11s 650 : 11 s 59, ,09 (cm) aipan ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

21 A v πrs Puuttuvan yläosan vaipan ala: A vy π 1,5 59,09 0,46 Koko kartion vaipan ala: s 59, ,09 (cm) A vkok π 18 85, ,7 arjostimen pinta-ala on 4811,7 0,46 491,7 500 (cm ). 500 cm 5 dm 74. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin muotoisen pakkauksen tilavuus on puoli litraa. Pakkauksen pohjasärmän pituus on 1,0 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm A p h 1,0 1,0 h h : 144 h 10, ,4 (cm) 75. Ympyrän sektorin säde on s 1,0 cm ja keskuskulma 14 o. Sektorista kääritään vaippa suoralle ympyräkartiolle. Sektorin kaari on o α 14 b π r π 1,0 5, ,05 (cm). o o a) Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 154

22 Pohjan halkaisija on 5,05 d 16, ,6 (cm). π b) Lasketaan kartion korkeus. h + 8, 1,0 h + 68, ,89 h 7,11 h ± 7,11 ain positiivinen juuri kelpaa. h 19,901 19,9 (cm) Ympyräkartion tilavuus on h 8, 1,0 πr h π 8, 19,9 1 91, (cm ) 1 90 cm 1,9 dm 76. Kuution sisään asetetaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräkartio, jonka pohja on särmiön pohjalla. Kuution tilavuus: kuutio (r) 8r Kartion tilavuus: kartio πr r πr Kartion tilavuus on kuution tilavuudesta πr : 8r πr 1 8r (r, π 0, %. 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 155

23 Pallo 77. Pallon säde on r 6,1 cm. a) Pallon tilavuus on 4 πr 4π 6,1 950, (cm ). b) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 6,1 467, (cm ). 78. Jalkapallon sisähalkaisija on cm. r d 11(cm) Jalkapallon tilavuus on 4πr 4π , (cm ). Jalkapalloon mahtuu ilmaa cm 5,6 dm 5,6 l. 79. Puolipallon muotoisen lasimaljan suuaukon halkaisija on 5,0 cm. r d 5 1,5 (cm) Puolipallon pinta-ala on puolet pallon pinta-alasta. 1 A 4πr 4π 1, cm 9,8 dm 981, (cm ) 80. Makeistehtaassa valmistetaan pallon muotoisia marmeladimakeisia, joiden halkaisija on,0 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 156

24 r d,0 1,5 (cm) Yhden makeisen tilavuus on πr 4π 1,5 4 14, ,14 (cm ). iiden litran marmeladiannoksesta saadaan makeisia: 5 dm cm ,14 5,6 50 (kpl). 81. Pallon tilavuus on tasan 1 litra 1 dm cm. πr 4 4π r πr 000 : 4π r 000 4π r 000 4π r 6,050 6,04 (cm) Halkaisija on d r 6,04 1,408 1,4 (cm). 8. Pallon pinta-ala on,4 dm. A 4πr 4πr,4 : 4π,4 r 4π r ±,4 4π ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 157

25 r 0, ,50 (dm) Pallon tilavuus on πr 4π 0,50 4 0, ,59 (dm ) 0,59 dm 590 cm 8. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin suuaukon halkaisija on 5,0 cm ja korkeus 14,0 cm. Tuutin sisus on täynnä jäätelöä ja lisäksi suuaukon yläpuolella on puolipallon muotoinen jäätelökerros, jonka halkaisija on sama kuin suuaukon halkaisija. Ympyräkartion tilavuus on πr h π,5 14,0 91, ,697(cm ). Puolipallon tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. 4πr : 4π,5 Jäätelöä on tuutissa :,749...,749 (cm ) 91,697 +,749 14, (cm ) 10 cm 0,10 dm 0,10 l 1, dl. 84. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 6 66, ,198 (km) Lasketaan maapallon 64 asteen leveyspiirin säde r. cos64 o r 6 66, ,198 r 6 66,198 cos64 o Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 158

26 r 790,758 (km) Maapallon 64 asteen leveyspiirin pituus on p πr π 790, (km). 85. Pallon muotoisen kivisen patsaan massa on 1850 kg. Kiven tiheys on 700 kg/m. Lasketaan patsaan tilavuus. Se saadaan, kun massa jaetaan tiheydellä , ,6851(m ) Lasketaan pallon muotoisen patsaan säde. πr 4 4π r 0,6851 4πr,055 : 4π,055 r 4π r,055 4π r 0, ,5468 (m) Patsaan levein kohta on πr π 0,5468,46,44 (m),44 m 44 cm. Pyryn ja Piin välimatka, kun he pitävät toisiaan molemmista käsistä kiinni, on (cm), joten patsas ei mahdu heidän väliinsä. 86. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. Merkitään pallon sädettä r:llä. Kuution särmän pituus on r. Kuution tilavuus: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 159

27 kuutio (r) 8r Pallon tilavuus: kartio πr 4 Pallon tilavuus on kuution tilavuudesta 4πr : 8r 4πr 1 8r π 6 Tyhjää tilaa on 100 % 5,6 % 47,64 48 %. 0, ,6 %. 87. Englannin kanaalin ali Englannista Ranskaan kulkeva Kanaalitunneli kulkee Englannin Folkestonesta Ranskan Coquellesiin. Tunnelin pituus on 50,45 km, josta veden alla on 7,9 km. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 6 66, ,198 (km) Lasketaan x. 50,45 5,5 (km) x + 5,5 666,198 5,5 x ,67 x ± ,67 ain positiivinen juuri kelpaa. x 666, ,1480 (km) Kysytty syvyys on 666, ,1480 0,0480 (km). 0,00480 km 48 m 50 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 160

28 88. Tukholman Globen-hallin korkeus on 85 m ja pohjan halkaisija 110 m. Halli on muodoltaan ns. pallosegmentti, jonka tilavuus on h π h r π (m ). 89. Jumppapallon halkaisija on 65 cm. r d 65,5 (cm) Pallon tilavuus on 4πr 4π, , (cm ) cm 140 dm Pallon pinta-ala on A 4πr 4π,5 1 7, (cm ) cm 10 dm 1, m 90. Appelsiinin halkaisija 9, cm 9 mm. Kuoren paksuus on 5 mm. d (mm) r 41 (mm) πr 4π , (mm ) mm 0,90 dm,9 dl 91. Koripallon ympärysmitta on 76 cm. πr 76 : π r 76 π r 1, ,0958 (cm) 4πr 4π 1, , (cm ) cm 7,4 dm 7,4 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 161

29 9. Maapallon pinta-alasta 71 % on vettä. Maapallon säde on 6 70 km. Maapallon pinta-ala on A 4πr 4π ,8 (km ). esialueiden pinta-ala on 0, , , (km ). 9. Pallon tilavuus on 50 cm. πr 4 4π r 50 4πr : 4π r π r π r 5,009 5,00 (cm) Pallon ympärysmitta on πr π 5,00 1,5415 (cm). 94. Kuulantyönnössä käytettävän messinkisen kuulan halkaisija on 11,8 cm. Messingin tiheys on 8,4 g/cm. r d 11,8 5,9 (cm) 4πr 4π 5,9 860, ,9(cm ) Massa on tilavuus kertaa tiheys. m 860,9 8,4 76, (g) 7 00 g 7, kg Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

30 95. Pallon muotoisen jätevesiastian tilavuus on 5 00 litraa. Astia halutaan upottaa maahan suoran ympyrälieriön muotoiseen kuoppaan niin, että sen ylin kohta on 50 cm maan pinnan alapuolella. Pallon tilavuus on 5 00 l 5 00 dm cm. πr 4 4π r πr : 4π r r π π r 108, ,16 (cm) Kuopan leveys on r 108,16 16, 0 (cm) 0 cm, m. Kuopan syvyys on, + 0,5,7 m 96. Kravun kääntöpiirin sijainti on,5 pohjoista leveyttä ja Kravun kääntöpiirin sijainti,5 eteläistä leveyttä. Mitataan matka Kravun kääntöpiiriltä Kauriin kääntöpiirille pintaa pitkin. 45 o o (km) Neljä tennispalloa on pakattu päällekkäin mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen peltipurkkiin, jossa on muovikansi. Tennispallon halkaisija on 6,5 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

31 Tennispallon säde on 6,5 r d,5 (cm). Lieriön korkeus on h 4 6,5 6 (cm). Pohjan pinta-ala on A p πr π,5,18074,181 (cm). Lieriön vaippa on A v πr h π,5 6 50, ,99(cm). Peltiä tarvitaan, ,99 564, (cm ). 560 cm 5,6 dm 98. Kuutio, jonka särmän pituus on 10,0 cm, on pallon sisällä niin, että sen kärjet ovat pallon pinnalla. Kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisija. Avaruuslävistäjän laskemista varten on selvitettävä kuution tahkon lävistäjän pituus. x x 00 x ± 00 ain positiivinen juuri kelpaa. x 14, ,141 (cm) Avaruuslävistäjä on y 14, y 99,99899 y ± 99,99899 ain positiivinen juuri kelpaa. y 17,04 17, (cm) y r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 164

32 Pallon säde on puolet halkaisijasta. 17, r y 8,66 (cm) Kuution tilavuus on kuutio (cm ). Pallon tilavuus on pallo 4πr 4π 8,66 70, (cm ). Kuution tilavuus on pallon tilavuudesta kuutio ,676 7 %. pallo 70 Kertaustehtäviä 99. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin sisäosan korkeus ja suuaukon halkaisija ovat molemmat 6,7 cm. r d 6,7,5 (cm) A p h πr π,5 6,7 6,1 6 (cm ),0 litrasta (,0 dm 000 cm ) virvoitusjuomaa saa täysiä lasillisia ,7eli 1 täyttä lasillista Rantapallon ympärysmitta on 8 cm. πr 8 : π 8 r 1, (cm) π Tilavuus on 4πr 4π 1, , (cm ) Pallossa on ilmaa 9 00 cm 9, dm 9, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 165

33 401. Suoran ympyrälieriön pohjaympyrän halkaisija on 6,0 cm. Lieriön vaipan ala on 4 cm. A v πdh π 6,0 h 4 : 6,0π h 4 6,0π h 1,41 1 (cm) 40. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on 50 cm. Särmiön pohja on neliö, ja särmiön pohjaneliön sivun pituus on puolet särmiön korkeudesta. Merkitään pohjaneliön sivun pituutta x:llä. x x x 50 x 50 : x 175 x 175 x 5,5944 5,59 (cm) Korkeus on h x 5,59 11,186 11, (cm). 40. Minttu osti elokuvanäytökseen evääksi popcorneja, joita myytiin suoran ympyräkartion muotoisessa kannettomassa pahvipakkauksessa. Pakkauksen korkeus oli 1,5 cm ja suuaukon halkaisija 9,0 cm. r d 9,0 4,5 (cm) Lasketaan sivujanan pituus s. s 4,5 + 1,5 s 176,5 s ± 176,5 ain positiivinen juuri kelpaa. s 1,85 1,9 (cm) aipan ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 166

34 A v πrs π 4,5 1,9 187, (cm ). 190 cm 1,9 dm 404. Sisu tekee 5 cm paksuun jäähän pyöreän avannon. Avannon halkaisija on 55 cm. Avannosta kairataan pois ympyrälieriön muotoinen jääkimpale. r d 55 7,5 (cm) A p h πr h π 7, , (cm ) Avannosta poistettavan jään massa, kun jään tiheys on 0,9 g/cm, on m , , (g) g 55 kg Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin pohjasärmän pituus on 14,0 cm. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 68 o. Lasketaan korkeus h. o tan 68 h 7 7 h h 7 tan68 o 115 h 17,56 17, (cm) Tilavuus on A p h 14,0 14,0 17, 1 1, (cm ) cm 1,1 dm 406. Talon 6,0 m 600 cm pitkän seinän viereen tehdään hiekan avulla tasainen kallistus, niin että sadevedet valuvat talosta poispäin. Kallistettavan alueen leveys on,5 m 50 cm. Hiekkakerroksen syvyydeksi halutaan seinän vierestä 40 cm ja,5 metrin päässä seinästä 0 cm. 600 Hiekka on lieriönä, jonka pohjat ovat puolisuunnikkaita Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 167 0

35 Puolisuunnikkaan pinta-ala on A p (cm ). Hiekan tilavuus on A p h (cm ) cm 5 50 dm 550 l Hiekkaa hankitaan 640 litran säkeissä, joten säkkejä tarvitaan ,0... eli 9 kpl Pallolla ja kuutiolla on sama tilavuus, 1,0 l 1,0 dm. Lasketaan pallon säde sen tilavuudesta. 4 πr 4π r 1 4πr : 4π r 4π r 4 π r 0,605 0,60 (dm) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 0,60 4,805 4,8 (dm ). Lasketaan kuution sivun pituus sen tilavuudesta. a 1,0 a 1,0 a 1,0 (dm) Kuution pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 168

36 A 6a 6 1,0 6,0 (dm ). Kuution pinta-ala on pallon pinta-alasta 6,0 1, ,4 14, %. 4,8 Kuution pinta-ala on 14, % 100 % 4, % 4 % suurempi kuin pallon Helsingistä Utsjoelle on matkaa linnuntietä pitkin km. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 666, , (km) Matka linnuntietä pitkin on kaaren pituus. α b π r 60 o α o α : β α 10,5o Lasketaan x. α 10,5 5,175 o sin5,175 o x 6 66, 6 66, x 6 66, sin5,175 x 574, , (km) Matka lyhenee 1150 x , 1,56 1,6 (km). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 169

37 409. Suoralle ympyräkartiolle kääritään vaippa ympyrän sektorista, jonka säde on s 15,0 cm ja keskuskulma 5 o. Sektorin kaari on o α 5 b π r π 15,0 61,59 (cm). o o Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π 61,59 d 19,588(cm) π 19,588 r 9,79165 (cm) Lasketaan kartion korkeus. h + 9, ,0 9,79165 h 15,0 r h 19,16 h ± 19,16 ain positiivinen juuri kelpaa. h 11,656 11,6 (cm) Ympyräkartion tilavuus on πr h π 9, , , (cm ) cm 1,14 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 170

38 Harjoituskokeet Koe 1 1. a) Pythagoraan lause: x + 4,5 6,9 x + 0,5 47,61 0,5 x 7,6 x ± 7,6 Negatiivinen juuri ei käy. x 5,06 5, (cm) b) Tasaisella maalla sijaitsevan lipputangon varjon pituus oli 16,9 m, kun auringonsäteet kohtasivat maanpinnan 8 asteen kulmassa. Lasketaan lipputangon korkeus x. x 16,9 tan 8 x 16,9 tan8 16,9 x 16,9 8 o x 8, ,0 (m). a) Hevosta esittävän piirroskuvan leveys on 4,8 cm ja korkeus,4 cm. Kuvasta otetaan kopiokoneella suurennos. Suurennetun kuvan korkeus on 5,9 cm. Lasketaan suurennetun kuvan leveys x verrannon avulla. 5,9 x Kerrotaan ristiin.,4 4,8,4x 5,9 4,8,4x 8, :,4 x 8,94 8, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 171

39 b) Ympyrän pinta-ala on 4 cm. Lasketaan ympyrän säde. A πr πr 4 r ± 4 π : π Negatiivinen juuri ei käy. r,656,7 (cm). Kartan mittakaava on 1 : Järven pinta-ala kartalla on 1 cm. Lasketaan järven todellinen pinta-ala x. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A 1 m n 1 x x Kerrotaan ristiin. x x (cm ) cm dm m 000 a 0 ha, km 4. Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 5,4 cm ja kylkien pituus 9,8 cm. Lasketaan kolmion korkeus Pythagoraan lauseella. h +,7 9,8 h + 7,9 96,61 7,9 h 88,75 9,8 h 9,8 h ± 88,75 Negatiivinen juuri ei käy. 5,4 h 9,407 9,41 (cm) Kolmion pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

40 A 9,41 5,4 5,467 5 (cm ). 5. Ympyrän halkaisija on 15,0 cm. Sektorin kaaren pituus on 5,0 cm. Lasketaan ympyrän sektorin keskuskulman suuruus. α b π r 60 o α o 15,0π 5, ,0πα : 15,0π α 190, Suoran ympyrälieriön muotoisen vesisaavin korkeus on 8 cm ja pohjan halkaisija 58 cm 5,8 dm. Saaviin kaadetaan 150 litraa 150 dm vettä. Lasketaan veden korkeus. r d 5,8,9 (dm) A p h πr h π,9 h 150 8,41πh 150 : 8,41π h 5,677 5,7 (dm) 5,7 dm 57 cm Pinta jää suuaukon yläreunasta (cm). 7. Khefrenin pyramidin pohjasärmän pituus on 14,5 m. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 5. Laske pyramidin massa, kun kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Lasketaan korkeus. o tan5 h 107,5 107,5 h 107,5 tan5 h 14,55 14, (m) h 5 o 107,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

41 y A p h 14,5 14,5 14, ,55 (m ) Pyramidin massa on tilavuus kertaa tiheys. m , (kg) 8. Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5, cm ja 7, cm ja sivujen välisen kulman suuruus on 1. Lasketaan sivun x pituus. o sin 1 x 5, 5, x 5, sin1 x,67819,678 (cm) Lasketaan sivun y pituus. o cos1 y 5, 5, y 5, cos1 y 4,4576 4,457 (cm) Lasketaan sivun z pituus. z 7, y 7, 4,457,84 (cm) Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s,84 +,678 s 15,54 7, y x 1 o 5, z s s ± 15,54 Negatiivinen juuri ei käy. s,905,9 (cm) 9. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen laatikkoon. Merkitään pallon sädettä r:llä. Lieriön korkeus on r. h r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 174

42 Lieriön tilavuus on L πr h πr. Pallon tilavuus on P 4πr. Pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen on 4πr : πr 4πr 1 πr (πr 0, ,67 %. Lieriössä on tyhjää tilaa 100 % 66,67 %, % %. Koe 1. a) Ympyrän halkaisija on 7,8 cm. r d 7,8,9 (cm) Ympyrän pinta-ala on A πr π,9 47,78 48 (cm ). b) cos67 4,7 x cos67 x 4,7 x : cos67 4,7 x cos67 x 1, ,0 (cm). a) Suorakulmion muotoisen hiekkakentän leveys on 6 m ja lävistäjän pituus 41 m. x Pythagoraan lause x x x 6 x ± 1005 Negatiivinen juuri ei käy. x 1,70 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 175

43 b) Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 11, cm ja 15,9 cm. Puolisuunnikkaan korkeus on 5,0 cm. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a + b 11, + 15,9 A h 5,0 67,75 68 (cm ).. Lähes suora 1 km cm pitkä maantie oli kartalla 4 cm pitkä. Kartan mittakaava on ( eli 1 : Tasaisella maalla kasvanut puu kaatui myrskyssä niin, että pystyyn jääneen tyviosan korkeus oli,1 m ja kaatunut latvaosa osui maanpintaan 16 asteen kulmassa. Lasketaan kaatuneen latvaosan korkeus x. sin16,1 x x,1 x 16 o sin16 x,1 : sin16 x,1 sin16 x 7, ,619 (m) Puun korkeus on 7,619 +,1 9,719 9,7 (m). 5. Kuution kokonaispinta-ala on 180 cm. Lasketaan sivun pituus pinta-alan avulla. A 6x 6x 180 : 6 x 0 x ± 0 ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 176

44 x 5,477 5,477 Kuution tilavuus on x 5, ,9 160 (cm ). 6. Suoran ympyräkartion muotoisen kannellisen jäätelötuutin pakkauksen korkeus on 14,7 cm ja kannen halkaisija on 6,0 cm. Laske pakkauksen kokonaispinta-ala. r d 6,0,0 (cm) Lasketaan sivujanan s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s 14,7 +,0 s 5,09 s ± 5,09 ain positiivinen juuri kelpaa. s 15,009 15,00 (cm) aipan ala on A v πrs π,0 15,00 141,71 141,4 (cm ). Kannen ala on A p πr π,0 8,74 8, (cm ). Kokonaispinta-ala on A v + A p 141,4 + 8, 169,7 170 (cm ). 170 cm 1,7 dm 7. Ympyrän halkaisija on 7,0 cm. Ympyrän sisään on piirretty suorakulmio, jonka pitemmät sivut ovat kaksi kertaa niin pitkät kuin lyhyemmät sivut. Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä, jolloin pidemmän sivun pituus on x. Pythagoraan lause: x + (x) 7 x + x x 49 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 177

45 x + 4x 49 5x 49 : 5 x 9,8 x ± 9,8 Negatiivinen juuri ei käy. x,1049,10 (cm) Pidemmän sivun pituus on x,10 6,60. Suorakulmion pinta-ala on A,10 6,60 19,598 0 (cm ). 8. enäjä on pinta-alaltaan maailman suurin valtio. Sen pinta-ala on A v km. Maapallon ympärysmitta on km, ja maapallon pinta-alasta on maa-alueita 9 %. Maapallon säde: πr : π R π R 666, , (km) Maapallon pinta-ala: A M 4πr 4π 666, ,6 (km ) Maa-alueita: 0, , (km ) enäjän pinta-alan osuus maapinta-alasta: , % 9. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 1. Kolmion kateettien pituusero on pituusyksikköä. Merkitään pidempää kateettia x:llä, jolloin lyhyempi kateetti on x. x + (x ) 1 x + (x )(x ) 144 x 1 x + x x x x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 178

46 x 4x Tapa 1 a, b 4 ja c 140 x ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 140) b ± x b 4ac a x 4 ± x , ,4 tai x , ,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: , ,4 Tapa x 4x : x x 70 0 a 1, b ja c 70 ( ) ± x ( ) ( 70) b ± x b 4ac a ± x x 9, ,4 tai x 84 7, ,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: , ,4 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 179