KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( ) ( 40) ( 5) : 5 8, 6 Kulmat 8, 6; 89, ; 40 0, 4 ; 508, Suurin kulma on 0,8 o. Vastaus: Suurin kulma on 0,8 o. 8. Kolmas kulma Suurin kulma on 67 o Suurimman kulman komplementtikulma on 9067 Suurimman kulman suplementtikulma Vastaus: Komplementtikulma on o ja suplementtikulma o. 9. Kulma : 809 ( 8054 ) 60 6 Kulma y: 54( 806) 70 y 60 y 8 Vastaus: 6 ja y Suurin kulma on, jolloin kulmien, y ja z summa on yz 80. Yksi kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta yhteensä, joten y z. Tällöin Vastaus: Suurin kulma on 90 o y 70 08

2 YHDENMUOTOISUUS. a) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan , b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan , 7 Vastaus: a) 6, b) 67, Mittakaava Etäisyys (cm) : : Etäisyys luonnossa on suoraan verrannollinen mittakaavaan ,7 Vastaus: Matka on 66,7 cm.. Puun pituus m. Yhdenmuotoisista kolmioista cm 0 cm 5 m Vastaus: Puun korkeus oli m. 09

3 4. Poikien välinen etäisyys (cm) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan Vastaus: Poikien välinen etäisyys oli 4 m. 70 cm 5 cm 70 m A5 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidemmän sivun puolikas mm 49 mm. Arkin mitat ovat 49 mm 0 mm. A -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidempi sivu eli 97 mm. A-arkinn pidempi sivu saadaan kertomalla A4-arkin lyhyempi sivu kahdella 0 mm = 40 mm Vastaus: A5: 49 mm 0 mm ja A: 97 mm 40 mm. KOLMIOT 8. Kolmiosta ACD saadaan h sin 5, 68, 64, 64 h, 64 sin 5, 685, Sivun AB osa : cos 5, 68,64, 64 5,68, 64 cos 5, 68, 9... A h Osa y: tan 46, 76 h 5, y 5477,... y ,... tan, ( y) h (, , 50...) 5, Kolmion ala on A 45, Vastaus: Kolmion ala on 45,.,64 D h y 46,76 C B 0

4 9. Kolmion kolmas kulma Kolmio ei ole suorakulmainen. Muistikolmioista ja kolmiosta BCD h 4 h Sivu : A 4 Kolmiosta ADC saadaan y h AB h ( ) Kolmion ala A 55, Vastaus: Ei. Ala on 5,5. C ( ) () () () h 45 () ( ) 0 y D B 0. Pythagoraan lauseella cm 4 cm Kolmion ala A 6cm Vastaus: Kolmion ala 6 cm. 5,0 cm,0 cm. C 8 cm 0 A D B 0 Huippukulman puolikas 65 Kolmiosta ADC saadaan sin sin 656,... Kolmion kanta AB 6, 5... cm cm Vastaus: Kanta on cm.

5 . Kolmion kanta on a, jolloin kylki on 0,75a 05, a Suorakulmaisesta kolmiosta cos 075, a 48 Vastaus: Kantakulma on 48 o. a. Kulmien summa 80 0 Kulmat ovat 0, 60 ja 90, joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää trigonometrisia funktioita. Sivu a (cm) tan0 40, a 40, a 40, 0 40, 69, tan Sivu b (cm) sin0 40, b 40, b 0 40, 80, sin Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm. 60 b 4,0 cm 0 a 4. Pythagoraan lauseella m m Kolmion ala A 6 m Vastaus: Kolmas sivu on m ja ala 6 m m 4 m,68 m 4, m 7,5 m Puun korkeus (m) 68, Yhdenmuotoisista kolmioista 7, 5 4,

6 Vastaus: Puun korkeus oli 7,0 m. 4, 7568,, : 4, = 7,0 6. Kolmion piiri 90, 0, Muistikolmion avulla h 0, h 0, () ( ) h Kolmion pinta-ala 60 0, 0, dm dm A 90, dm 9, dm 4 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,9 dm. () 7. a) Jyrkkyys 6 % Vaakasuora etäisyys a Pystysuora korkeusero on 0,06a 006a, Tällöin tan 006, a 4, b) Jyrkkyys % 0a, tan 0, a 74, Vastaus: a),4 o b) 7,4 o a D 0,06 a 8. Kolmiosta ACD : tan6 a a tan6 Kolmiosta ABC : tan65 0 a 0 a tan65 Merkitsemällä a:t yhtäsuuriksi saadaan 0 tan 6 tan 65 tan65 0 tan6 b g A 6 65 a C 0 m +0 B

7 b g b g tan 65 tan6 0tan 6 : tan 65 tan6 4, Pilven korkeus järven pinnasta 4, m 0 m 50 m Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on 50 m 9. Pythagoraan lauseella ( 7) ( 0) 4 4 (ei käy) Kateettien pituudet ovat 5 cm ja cm Kolmion piiri p 5cm cm cm 0 cm 5cm cm Pinta-ala A 0 cm Vastaus: Kolmion piiri on 0 cm ja pinta-ala 0 cm Suorakulmaisesta kolmiosta tan tan Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m m 4. Pythagoraan lauseella 90, Vastaus: Pitempi kateetti on 40 cm. 9,0 cm 4

8 44. a) b) c) 6 sin 7 5,96547 sin, tan 67 sin 0,9 59,0 45. a) b) c) tan07, 4, 7 cos sin 79 0, 4 sin cos 0, 46. Tasasivuisen kolmion sivun pituus (dm) Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 4 F H G I K J, 5 5, : 4 45,, 0 5,5 dm 5 dm 5, dm Kolmion pinta-ala on A 6, dm Vastaus: Kolmion pinta-ala on,6 dm. 47. Harpin suurin aukeama on suurimman mahdollisien ympyrän säde. 5 Aukeamiskulman puolikas 67, 5 Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 67, 5 5, 5,, 5sin 67, 50, Ympyrän säde 064,... cm, cm Vastaus: Suurimman ympyrän säde on, cm Kaltevuus :,5 Suorakulmaisesta kolmiosta tan 5, 8, Vastaus: Katon kaltevuuskulma on,8 o. (,5) () 5

9 49. Neljännestunnissa kuljettu matka km s vt h km h 4 Kolmiosta ABC : tan 5 ( y) y ( y)tan5 Kolmiosta DBC : tan8 y y ytan8 Merkitsemällä :t yhtäsuuriksi saadaan ytan 8 ( y) tan5 y(tan 8 tan 5 ) tan 5 :(tan 8 tan 5 ) tan5 y ,... tan tan Lyhin etäisyys ytan 8, 5 y 444,... km Loppumatkaan kuluu t 0, h min. v km h Vastaus: Saari näkyy minuutin kuluttua 90 o kulmassa. Etäisyys on silloin,5 km. y D s C A 8 5 B 50. Pythagoraan lauseella ( 0) : Toinen osa , 0 0 Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä. 455, 0 5. sin 60 sin 60 : sin 60 sin 60,5 60 () () ( ),0 m Vastaus: Mittarin metrin tulee olla,5 m pitkä. 6

10 5. Pythagoraan lauseella 4 7, 0 5 Vastaus: Hypotenuusa on 5 cm pitkä. 65, 0 5. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90 o Kysytty kulma Kolmas kulma 0 Kolmion kulmien summa 90 ( 0) 80 Kolmion kulmat ovat 90 o, 60 o ja 0 o. Vastaus: Kulmat ovat 0 o, 60 o ja 90 o cm 7,0 cm 54. Pythagoraan lauseella , , Matkojen suhde 0757, Ero prosentteina 0, , % Vastaus: Matka on 4% lyhyempi. B 450 m D 00 m C MONIKULMIOT 55. E D Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, niin 5 0 ja kuusikulmion sivu on 0,. Kuusikulmion piiri on p 6 60, m, 0 m. Vastaus: Kuusikulmion piiri on,0 m. F P C A B 56. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h 5, 50,, josta 875, ja kuusikulmioon sisään piirretyn yhden kolmion korkeus on h h 7,5 dm

11 5, 0 dm 8, 75 dm h 8, 75 4, 0... Kuusikulmion ala on A 6 65 dm. Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm. 57. Suunnikkaan ala on h 7, josta h 6. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 6, josta suunnikkaan pienempi z 0 h kulma 7 ja suurempi kulma on y Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan A E 0 6 cm, josta 8. Tällöin y 4. Kolmiosta BDE saadaan z 4 6, mistä z 5 7,. Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 7 o ja 4 o. Lyhyempi lävistäjä on 7, cm. 58. Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 h 6, josta h 0 4, Suorakulmion ala on A kh 40, cm447,... cm 8 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta ADE saadaan sin, josta , ja 480, D β D B E C C h Vastaus: Suorakulmion ala on 8 cm ja lävistäjien välinen kulma 84 o. A D 4,0 cm B 59. Suorakulmion ala A s Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 8, josta 0. Neliön ala A n An 00 Alojen suhde on, Neliön ala on As 48 08,..., % suurempi kuin suorakulmion ala. Vastaus: Neliön ala on 08% suurempi kuin suorakulmion ala Levyjen pinta-ala A 50, 5 m 0, m0, m. Levyjen hinta on h 0, euroa 0, 46 euroa. Vastaus: Levyjen hinta on 0,46 euroa. D 6. Pythagoraan lauseella 4, josta, 5. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sin, josta 0, 4 A β 4 y y C B 8

12 jolloin Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45 y, josta y 4cos ,. 4 Nelikulmion ala on A 4 75,. Vastaus: Sivut ovat,,,8 ja 5,. Ala on 4 75,. 6. 5m m Päätyseinän ala on A Ak As 5m mm. Vastaus: Päätyseinän ala on m. 6 m m m 6. Yhden setelin ala on A 0, m 0, 06 m 0, m. 9 0, Peittyvä pinta-ala on A kok 0, m m 4, km. 5 Vastaus: Setelit peittäisivät,4 km. 5 m 800 kg kg 64. Olympialippu painoi 0, m 05 m m 805 0, 0... kg 00kg. Vastaus: Suurin lippu painoi 00 kg.. Suurimman lipun massa oli YMPYRÄ 65. Kaaren pituus on r 0, josta 0 r 5, Kentän pinta-ala on A 90 m 5, m 5, m m, 0 ha. Vastaus: Kentän pinta-ala on,0 ha. 90 m r r 0 m 66. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r, metriä. Koska suorat s ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on s( r, ) ( sr) sr, sr, 77,. Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,7 metriä. 9

13 D F 4 7 C Tutkitaan kolmiota ABD. Sivu AB DF FC 4 7. Hypotenuusa BD BE DE ABDE 4 5. Pythagoraan lauseella 5, josta 784 ja 8. Tällöin BC 8. Vastaus: BC 8 X E A B 68. Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s. Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s. Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on neliön ala eli s. Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän alan s s. 4 Kaarevien yhteisala on F I HG 4 K J F I s s s s s 4 HG 4 K J, s Kirjaimen kokonaisala 8s + s +,s =,s Vastaus: Ala on, 69. Ala on A Aisopy Apienipy Apienipy Aisopy ( 60, cm ) 57cm. Vastaus: Ala on 57 cm. 6,0 cm 70. Oven ala A ovi 0, m 0, m ( 05, m ) 84,... m. Lasin ala A lasi 6( 040, m ) (, 05 m), m. Alojen suhde A lasi 69,... m 0, % Aovi 84,... m Vastaus: Ovesta on % lasia..,05 m,0 m 40 cm 40 cm,0 m 0

14 7. Ikkunoiden pinta-ala on A A A suorakulmio segmentti. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 060, ( r05, ) r, josta 0, 6 r 0, 6r0, 0995 r ja r 078,..., Tällöin sin 06 0, josta 55, ja 0, , Segmentin ala on 0,5 m 0,60 m r= 0,5 m A A A segmentti sektori kolmio 0, , 0 m (0, m 0, 5 m) 60 (0, m) 0, m r,0 m,0 m Koko ala on A, 0 m, 0 m 0, m 8, m. Vastaus: Ikkunoiden ala on,8 m. 7. Lasimaalauksen pinta-ala A 9056, m 0, m ( 084, m ) 7, m. Vastaus: Ala on 7, m. 84 cm 7. Pienen ympyrän ala on r 60,, josta r 60,. Suuren 60, ympyrän säde on R 5 r 5. Ison ympyrän ala on F HG I 60, A R 5 5 KJ 60, cm cm 50 cm Vastaus: Ison ympyrän ala on 50 cm.. 56 cm,0 m 74. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 0 ( r5) r, josta 400 r 0r 5 r ja r 4. Vastaus: Alkuperäisen ruukun säde on 4 cm. r r 5 0 cm 5,0 cm

15 75. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio. r Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan r cos, josta 60 ja sektorin r r keskuskulma 0. Pythagoraan lauseella r r H G I K J, josta r ja r. Tällöin segmentin ala on 4 r r 0 A r F I segmentti r ja kysytyn alueen ala on 60 4 F HG A A segm entti r, r. I KJ Vastaus: Leikkausalueen ala on F HG HG KJ I r KJ, r. 76. Kolmion ala A k. Pythagoraan lauseella, josta kolmion hypotenuusan pituus on. Kuun sirpin ala saadaan vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala A py F HG I KJ. Segmentin ala on 4 90 Asegmentti Asektori Akolmio Kuun sirpin ala F I on Asirppi Apy Asegmentti HG K J 4 4. Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on. PALLO d 77. Puolipallon säde r 70, m. Puolipallon pinta-ala on A r (, m ) 98m 08 m. Koska grammasta kultaa voidaan takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 08 g. Vastaus: Kultaa tarvitaan 08 g.

16 b g, 78. Veden määrä V Ah r h km km km Vastaus: km 79. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 74, 0 ja 5, 7. Vastaus: Saaren etäisyys on 5,7 km ,, josta R R 00 m 80. Suorakulmaisesta kolmiosta 670 cos 09...,, josta 76, Säteen pituus R r 60 76, km km. Vastaus. Alueen säde maan pinnalla on km. 670 km R 0 00 km 670 km 8. a) Lennetään nopeammin kuin maapallo pyörii. b) Koska paikkakuntien aikaero on 5 h ja saapumisaika on tuntia ennen lähtöaikaa, on lentoaika 5 h h = 4 h. s 5900km km c) Keskinopeus on v 500 t 4 h h. Vastaus: Keskinopeus on 500 km/h km 8. Pythagoraan lauseella , josta 8097, Etäisyys maan pinnasta on h R 8097, km 6 70 km 700 km. Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 700 km. R h

17 8. r r 4, 4, cm 7,5 cm Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 75, ( r4, ) r, josta 7, 89 56, 5r 8, 4r7, 64 r ja r 88,. 84, Vastaus: Pallon säde oli 8,8 cm. 84. Hillan massa 096 m 0, 0065 kg 6, 5 g. Koska dm hilloja kg painaa kg = 000 g, niin hillan tilavuus on 0, 0065 dm 6, 5 cm. Hillan säde on 4 65, 65, r 65,, josta r ja r. 4, 4 Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm ja säde, cm. 85. Koska tiheys m m kg, niin tilavuus V 090,... dm. Rakeen säde V kg 097, dm 4, on r 090,... ja r 064, (dm). 4 Vastaus: Rakeen tilavuus oli, dm ja säde 6,4 cm. 4

18 LIERIÖ 86. R0: V = 55, 4700 (mm ) R6: V = 70, (mm ) R4: V =, (mm ) R0: V = 6, (mm ) 6LR6: V = (mm ) 87. Yksikkömuunnos 00 l = 0,00 m r = pohjaympyrän säde r 0, 000, 000, r 0, , Pohjaympyrän halkaisija on r 0,46 (m). Vastaus: 0,46 m 88. Yksikkömuunnos 5 cm =,5 dm A A A 0, 0, 5, 99, (dm ) P V V A P h 0, 5, 785, 7,9 (dm ) Vastaus: 7,9 dm, 00 cm 89. Yksikkömuunnokset 0,00 mm = 0,00000 m ja km = m V Ah m 0,00000 m,0 m = 000 l Vastaus: 000 l 90. a) kehän pituus p 6, 0 7, 699 7, 7 b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus mm = 0, cm A ( 60, 075, ) 60, 0, 075, 0, 0 c) tilavuus V 6,0 0,0 0,75 0,0,... 5, 0 g tiheys, g/cm,...cm Vastaus: a) 7,7 cm b) 0 cm c), g/cm 5

19 6 m V 5,6400 ( dm ) 0,700 V r h :( r ) V 0,0 m h V r r 6 5, m h 8000 m = 8 km (0, 0 m) Vastaus: 8 km ,640 0 dm 5,640 0 m, 0,0 m m 0 kg V, dm =, m 0,700 kg/dm V r h :( r ) 9 V, m h m = 900 km r (0, 0 m) Vastaus: 9 00 km 9. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja korkeutena,0 cm. V Ap h 50, 0, 60 (cm ) Vastaus: 60 cm 94. Yksikkömuunnos 0,5 l = 500 cm V r h V 500 cm, h5 mm =,5 cm 500 r,5 :,5 500 r, r, 5 r 0,00... cm r cm Vastaus: cm 95.,4 kg:n nestemäärän tilavuus on dm,0 kg:n nestemäärän tilavuus on,0, 4 dm = 0,8 dm = 8, cm Lasketaan lieriön korkeus h 6

20 V Ah V 8, cm, A90 cm 8, h :90 8,... h 90 Vastaus: 9, cm 9, 96. Poistettavan maan tilavuus V 0000 m 0, 5 m = 5000 m V löyhtynyt, m 8000 m Kuormia Vastaus: 50 kuormaa 97. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla. A 4, 5, 8, 8, 8 5, 0 4, 48 Maalataan kahteen kertaan A = 8,96 8, 96 Maalia 0 litraa 80, Vastaus: 0 l 98. Kuution särmä a 4 Maapallon tilavuus (680 km) 4 a a km Vastaus: 0 00 km,8,8 4,5 99. V 7 km 95 km 0, 040 km 46, 6 km näkyvä Näkyvä osuus on kymmenesosa koko vuoresta, joten V kok 046, ( km ) V vesi V 09, 46609, 4067, 4000 (km ) kok Vvesi 406, 7 km 406, 7 km 4, Vkulutus 4, 0 m 40 km,4 vuotta v kk Vastaus: Tilavuus km, veden tilavuus km ja se vastaa v kk:n kulutusta. 7

21 400. h 000, mm = 0 mm V 0, 0 m 0, 07 m 0, 000 m = 6, 7 m 6,m A 0, 0 m 0, 97 m m m A80 g / m g 5000 kg Vastaus: cm, 6, m, kg 40. 9, 0 kg:n kultamäärän tilavuus on m 5 5 kg:n kultamäärän tilavuus on m 0, m = 95,0 cm 9,0 Kultaharkon pituus eli lieriön korkeus h 5, 0 9, 0 V Ah V 95,0..., A 5,4 5,0 9,0 95,0... 5,4h 95,0... 7,8 h : 7,8 95,0 h 4 7,8 Vastaus: 4 cm a) V suklaa 50, 5, 5... b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 0,0 cm,5 cm 4 V suklaa , 5, 5... c) Palloja on rasiassa 7 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde 0,0 cm on 6 4 0,0 500 V suklaa 7 5, Vastaus: a) 54 cm b) 54 cm c) 54 cm cm palloja mahtuu rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 7 V tyhjä = V kuutio V pallot = , 868,... cm,9 dm 5,0 cm palloja mahtuu 6 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä V tyhjä = V kuutio V pallot = , 868,... cm,9 dm Vastaus: Molemmissa,9 dm 8

22 404. Lieriön tilavuus V r h 5, Lasketaan lieriöiden pohjien säteet. V r h : h V r h V r h r r r r Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet r 50, r r 0, r r4 00, r r5 0, r Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio, Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on :, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä suuret. V Ah h h h h 68, h 68, F Apohja h H G I 68, K J 4985,... h h 9

23 A h h 68, F vaippa H G I K J A kok 4, , , 0 (m ) Vastaus: 5,0 m 9970, = särmiön pituus A 08, 08, 09, 09, 484, 484, = 0 V 08, 09, 80, (cm ) Vastaus: 70 cm 407. mv 4 m pallo 05,, 0 kg = 5,9... kg m 0 jalusta 065, 5, 5,, = 89,... kg Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa m segm F I HG 0,,,, K J, 0 m kok 89,... 5, , kg Vastaus: 700 kg b g =9,5... kg 408. a) r ulko 65, 9, b) r sisä 5, 50,... 4 Kerroksen paperimäärän keskiarvo = 9, 6..., , 5, 5 Kerroksia yhteensä 7,... 05, Paperia yhteensä 7,...6,8 cm 7 00 cm = 7 m Vastaus: a) 9 cm b) 4 cm c) 7 m 4 V r pallo ,... Vkuutio bg r joten ulkopuolelle jää 00 % 5,5 % 47,6 % Vastaus: 47,6 % 6, ,8 0,9 0

24 KARTIO 40. Yksikkömuunnos,5 m = 5 cm Kartion korkeus h h 5 80 h 80 5 h = 9,5... V r h (5 cm) 9, 5... cm cm, m A A A pohja vaippa Vastaus:, m,,0 m (5 cm) 5 cm 80 cm cm, 0 m 4. Yksikkömuunnos, dm = cm Kartion sivujana s s = 6 + s 80 s = 8,6... Avaippa rs8, (cm ) tan 6 65 Vastaus: 00 cm, V r h V 5,0 dm, h5,0 dm 5,0 r 5,0 75,0 r 5,0 : (5,0 ) 75,0 r 5,0 75,0 r 5,0 r,65... Pohjan halkaisija r 5, dm Vastaus:,5 dm

25 4. Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tasasivuisen kolmion korkeusjana a a + 5 =0 a 75 a = 8,66... A ,... 0 Pyramidin korkeus h h + 5 = a e j 5 h 75 h 50 7, V Ah ,... 0 Vastaus: Ala 70, tilavuus 40 a Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on,4 m. 7 A vaippa 4, 69, Kartion pohjaympyrän kehän pituus 7 r 60, 4 r = 0,48 A pohja = r 0, 48 0, A kok =,69 + 0,78 4, (m ) Kartion korkeus h h + 0,48 =,4 h 5, 596,5... V 0, 48, ,57 (m ) Vastaus: 4, m,0,57 m,4 m Kartion sivujana 5,0 Pohjaympyrän kehän pituus 0, 0 5, 0 Pohjaympyrän säde r r 50, r =,5 Kartion korkeus h h +,5 = 5,0 h 8, 75 4, 0...

26 V 5, 40,... 8 (cm ) Vastaus: 8 cm 46. Pyramidin korkeus h h + 40,0 = 0,0 h 800 h =,... V 80, 0, (cm ) = 4 (dm ) A = A pohja + A vaippa = , 00, (cm ) Vastaus: 4 dm, cm 47. Sivutahkokolmion korkeus a a +,5 = a 96, 75 a = 9,9... Pyramidin korkeus h h +,5 = a h h 96, 75, 5 64, 5 6, 6... V 6, (cm ) A 4 9, (cm ) Vastaus: 900 cm, 400 cm 48. Hiekkaa tunnissa 600, cm = 60 cm Kartion korkeus h h h 60, 0 h 80 9, (cm) Vastaus: 60 cm ja,9 cm 5, cm 49. Yksikkömuunnos, dm = cm Suppilon kartio-osaan mahtuvan öljyn tilavuus V 76, cm = 00,69... cm = 0,69... ml Suppilo täyttyy nopeudella 50 ml/s 50 ml/s = 00 ml/s, dm

27 Täyttyminen kestää Vastaus: s 0, s s Yhdenmuotoisista kolmioista h h 6, 7 6, 6,,6 h =,6h + 4,7 h = 4,7 Alaosan katkaistun kartion tilavuus V, 6 b4, 7 6, 7g ,,, Yläosan kartion tilavuus V ,,, 9... V kok = 9,97 +, =,46... mv, 46..., 7 0 kg 0000 kg = 0 t Vastaus: 0 t h 6,7,6 4. Katkaistut pyramidit Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun pyramidin korkeus on ison kuution särmä pienen kuution särmä = 8,0 m,4 m =, m. Kokonaisen pyramidin korkeus: h h,,44 h 8, 0, 4,8,4 h = 8,0 h 8,4 h = 4 Vkatkpyr 8, 0 4, 4 4, 0, 78, (m ) 8,0 Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja,4 m. Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla: Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on s, jossa s on neliön sivu) Pienen kuution pohjan lävistäjä,4 m,6 4

28 Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä saadaan kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on 8,0,4, 5... Puolisuunnikkaan muotoisia ja 0 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl. 8, 0, 4 Vkok Valin pyramidi 8,5... 0,0 0 (m ) mv 0, 00 kg 0000 kg = 0 t Vastaus: 0 t 4. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista. Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5, 0 ja 0 Pyramidien korkeudet: h F HG 5 h 5 I KJ h =,55... h F HG I KJ h h = 7,07... h F HG 0 I KJ h h = 4, V kok , , , (cm ) Vastaus: cm 5

29 YHDENMUOTOISTEN KUVIOIDEN JA KAPPALEIDEN PINTA-ALOJEN JA TILAVUUKSIEN SUHDE 4. Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan A: 0,5 m 6 m 0,56 8,4 8 (cl) =,8 dl Vastaus:,8 dl V l 500 l V 0, 076 l = 76 ml Vastaus: 76 ml 0, l 45. V 4 0, l 4 V 0, 47 l Vastaus: 0,47 l 46. k 5, , k , Vastaus: : k 4, k 5000 Vastaus: : Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen: F I HG K J 60 m 0 m = 60 0 g = g = 80 kg Vastaus: 80 kg 6

30 GEOMETRIAA KOORDINAATISTOSSA F HG I K J b g 49. a) P 6 8 8, 8, b g b g 8 d 6 ( ) 8 8 b) P F HG I K J b g 04 68, 77, b g b g, d F I HG K J b c) P 7, 45, ; 05, g b g b g 8 d 7( ) ( ) 4 5, Vastaus: a) (,8), 8 b) (7,7), 00 4, c) ( 4,5 ; 0,5), 4 58, 40. a) P g 075, ; 6 d 4) 5 7 9, b) P F 45, ( ) 5( ) I HG, K J b b g b g F 0( ) 4, 5I HG, K J b685 ;, g b g b g F 0 4 I, HG K J b6; 5, 5g b g c b gh d 0) 4, 5 00, 5 4, c) P d 0) 4 4 0, 8 Vastaus: a) (0,75; 6), 9, b) ( 6; 8,5), 4, c) (6, 5,5), 0,8 4. A 45, tan 8,4 tan,7 A C B y 7

31 B 908, 47,6 C 90, 756, A 80 (7,656, ) 5, Vastaus: Ala 4,5 ja kulmat 5,,56, ja 7,6 HARJOITUSKOE. a) 55 ja 5 b) 80 (055 ) 95, 90 0 = 60, 9060= 0 ja 80 (095 ) 55 b g b g 45 P F HG I K J b g c) d 5 7, 5, ; a) A0 (,0 cm),6 cm A (0,0 cm) (8,0 cm) 40 cm 50 b) b 0, m 7,6 m , m A (0, m) 78 m 60 Vastaus: a),6 cm, 40 cm b) 7,6 m, 78 m l l 5. a) sin0 5 5sin0 =,5 40, b) cos40 c 5,0 0 40, c 5, cos40, c) tan 80 50, 58, 0 Vastaus: a),5 b) 5, c) 58 5,0 c 40 4,0 8,0 8

32 h 4. a) tan4 8, h, 8tan49, 6 Vastaus: 9,6 m 5. V = Ah A V h 000 cm cm 000 m = 0 a, cm Vastaus: 0 a h, Kartion sivujana s 50, 0 40, s s 56 50, Avaippa rs4, 050, , V 40, 500, ,... Maalia tarvitaan 6 (l). 5 Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan, pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. m 0, ,0 6 l m 0,0045 l =4,5 ml 5000 Vastaus: A = 60 m, V = 840 m. Maalia kuluu pylvääseen 6 l ja pienoismalliin 4,5 ml. 7. a) Kuutio, jonka särmä on pallon halkaisijan 9,5 cm = 9 cm suuruinen. 4 b) V 95, pallo 0, ,...%. Tyhjää tilaa jää 00 % 5,... % 48 %. V kuutio 9 c) d = 9 9 9, 9 Vastaus: a) Kuutio, jonka särmä on 9 cm. b) 48 % c),9 cm 60, 40, 8 8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen, tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio 9

33 m 5977, 0 t F HG 08, , 0 t0,8 m Vastaus: a) 60 km I KJ 04, t=4kg b) 4 kg l l HARJOITUSKOE 6. a) 6, 8 b) = 80 56= 4 (tangenttikulmaa vastaava keskuskulma) = 90 (tangentin ja säteen välisenä kulmana) 6 (kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta) 90(tangentin ja säteen välisenä kulmana) δ γ β 56. Keskuskulman ja kehäkulman suhde on :, joten keskuskulma on Sektorin ala A V astaus: a) Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 05, m F I HG 8 K J m 05, (g) =,9 (kg) b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Akol Astr Astr Akol 8 4 A kol V astaus: a),9 kg b) Alaltaan 4-kertainen F H G I K J 8 40

34 4. tan 50, h 0 h 0tan 5, 0, 7 Vastaus:,7 km 5. a) Ap r 0,, b) h +,0 =, h 044, 06, 6... V r h 0, 066,... 06, 9 c) Avaippa rs0,, 8, Vastaus: a), m b) 0,69 m c),8 m 6. Lasketaan kahden pallon tilavuuksien erotuksena F 4 4 I V HG b670 0, 0000g 670 K J 400 Vastaus: 400 km 7. Kanta 5, 5 b g = = 4 Kolmion korkeusjana h puolittaa kannan 4,0. h + = 5,5 h 6, 5 5,... A 45,... 0 Vastaus: 0 cm 8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b b) 66' 609' 7' 7 60 cos h +,5 +,5 h 670 h 670 4

35 b670 hgcos cos 7 h 60 cos 7 60 Vastaus: a) 54 km 5, b) 5, km HARJOITUSKOE. a) =80 ( ) = 7 b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto = 4 Vastaus: a) 7 b) Ala A muodostuu neliöstä,josta on leikattu,5 säteinen neljännesympyrä A 5, 5, 4 A varj = 5,0 8A 4 5,0 Vastaus: 4. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö 0 F A 6 I 6 K J HG 07 A 7, (m ) 6 b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. m F 85 6 I 6 K J HG 856 m 0, 049 kg = 49 g 7 Vastaus: a),7 m b) 49 g 5,0 A,5,5 4

36 0, 4. sin 8, 0, 69, (m) sin 8, Vastaus: 6,9 m 5. V 08,, 0, 05, 76(m ) mv 0, 576, kg < t eli voidaan nostaa Vastaus: Kyllä. 6. Oletetaan, että silmät ovat,6 m korkeudella. 0, cos 670, 006 0, , b km 60 Vastaus: noin 5 km Sivutahkokolmion korkeus a a + 0 = 5 a = 55 Pyramidin korkeus h h + 0 = a h 45 h = 0,65... V 0 0, (m ) 0,... tan Vastaus: 700 m, 64 4

37 8. (,4) (9,4) d d P h (,) b g b g, b7 g b 4g 5 F I, 4 K J = (5 ;,5) d d b) P HG 9 c) Suunnikkaan kanta a = 7 = 6 Suunnikkaan korkeus h = 4 = A ah 6 8 (7,) Vastaus: a) 7 ja 5 b) (5 ;,5) c) 8 a) 44