10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta."

Transkriptio

1 Vastaukset: 1. tasasivuisessa kolmiossa on kaikki sivut yhtä pitkiä, tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. 1. Piirretään kolmion yksi sivu eli jana AB.. Otetaan jana AB säteeksi ja piirretään kaksi ympyrän kaarta, joiden keskipisteinä ovat piste A ja piste B. Merkitään ympyränkaarien leikkauspistettä kirjaimella C.. Yhdistetään ympyränkaarien leikkauspiste C janan AB päätepisteisiin Keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä. 10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta. 11. Mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä

2 Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä a) 1

3 b)

4 (, )

5 Ala on 8 m 7. a) puolisuunnikas b) suunnikas c) suorakulmio d) neljäkäs e) neliö 8. a) tasasivuinen kolmio b) neliö c) säännöllinen viisikulmio eli pentagon d) säännöllinen kuusikulmio eli heksagon e) säännöllinen kahdeksankulmio eli oktagon 9. cm ja, dm 0. 9, m 1. 1,0 m. kaikissa summa a) 0,0 cm b) 400 cm 5. a) 5 cm b) 0 cm 6. 15

6 400 cm Monikulmion lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi kärkeä, mutta ei kuitenkaan ole sivu. 9. kyllä 40. kyllä ,6 dm 4. Määritetään säännöllisen monikulmion vieruskulman suuruus. Piirretään ympyrä ja jaetaan se sektoreihin, jotka ovat yhtä suuria kuin monikulmion vieruskulma. Jatketaan sektoreita ympyrän kehän yli. Yhdistetään säteet ympyrän ulkopuolelta siten, että suora hipaisee ympyrän kehää n 45. a) 0 b) 15 c) 9 d) a) 5 b) 6 c) 0 d) a) = 90, = 60 ja = 10 b) = 90, = 10 ja = 150 c) = 90, = 15 ja = a) 16x b) 15x 5 16

7 49.,4 cm a) 1 : : b) 1 : 4 : ,5 cm 5.,1 m 54. a) 0,5 m b) 0,15 m c) 0,5 m d) 0,5 m e) 0,15 m 55. Kuvio voidaan jakaa kahteen osaan, joiden alat ovat Annetun ehdon avulla voidaan muodostaa yhtälö a a 100 a a a 5 Piiri on a a a a a a 10a Vastaus: 50 m 56. 5,1 m 57. s a a a ja a a a. 58. Merkitään neliön sivun pituutta a:lla ja ympyrän sädettä r:llä. Neliön pintaala on a, ympyrän pintaala on r. Pintaalat ovat yhtä suuret: 17

8 a a r r Neliön piiri on 4a 4 r. Ympyrän piiri on r. 4 r r Neliön piiri on ympyrän piiriä pidempi 1 0, 18 r Vastaus: 1,8 % 59. Olkoon x palstan koko luonnossa, sille on voimassa,9 cm 1 8, josta saadaan x 11,6 10 cm 11,6 ha x 0000 Olkoon y maksimivirheen koko luonnossa, saadaan yhtälö 0,1cm 1, josta saadaan y = 0,4 ha y 0000 Vastaus: Palstan koko luonnossa on 11,6 ha ja maksimivirhe on 0,4 ha. 60. Merkitään ympyrän sädettä r:llä. Tällöin r 1 eli r 1. Ympäri piirretyn neliön sivun 48 1 pituus on r, joten neliön ala on r r 4r 4 15,8 cm. Sisään piirretyn neliön lävistäjä on r, joten neliön sivu on 1 4 r r r 7,64 cm. 61. Ei, ainoastaan suorakulmaisissa kolmioissa. 6. a) CB b) AC c) CB d) AB 6. a) 0,176 b) 0,64 c) 0, a) 0,017 b) 1,19 c) 57, a) 45 r ja neliön ala 18

9 b) c) a) 54 b) 7 c) a) 65,6 b) 9,1 c) 1,4 68. a) 45 b) 6 c) 4 d) 9,5 69. a) 45 b) 6,6 c) 71,6 70. a) 18,4 o b) 71,6 o c),0 cm d) 6,0 cm 71. 5,9 km 7. a) 6,6 o b) 6,6 o 7. a) 19 cm b) 5 cm 74. a) 0,5 b) 5,7 c) 1,1 d) yakselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa

10 a) y = 0.5x b) y = 5,7x c) y = 1,1x d) x = a) x = 4, b) x = 19, c) x = 9, m m , 80. a) b) 50,6 ja 81. 1, m 8. 75,4 m 9,4 5,1 ja 58,9 ja 6,9 1,1 8. Merkitään laivan etäisyyttä havaitsijasta d:llä. 70 tan,5 d d tan, d tan,5 d 1144, Vastaus: 1100 m 84. Merkitään leikkaamattoman aidan varjon pituutta x:llä (m) ja leikatun aidan korkeutta y:llä. 140

11 4 tan5 x 4 x,01(m) tan5 Leikatun aidan varjon pituus on x 1,01(m). y tan5,01 y,01 tan5,7 (m) Aitaa on leikattava 4,7 1, (m). Vastaus: 1, m 85.,5 86. Merkitään etäisyyttä x:llä (m) ja korkeutta h:lla (m). Korkeus saadaan laskettua kahdella eri tavalla: h tan x h tan x ja toisaalta h tan x 50 h tan x 50 Näiden perusteella saadaan yhtälö 141

12 tan x tan tan x tan x tan 50 tan x tan x tan 50 tan tan x 50 x tan 50 tan 50 x 499, (m) tan tan Jolloin h tan x 6 (m) Vastaus: Etäisyys on 500 m ja majakan korkeus 6 m. 87. Kuvassa on tilanne puun kaaduttua ylhäältä päin katsottuna. Henkilö jää puun alle, jos hän seisoo kaatuneen puun muodostamassa ympyrän sektorissa. Merkitään sektorin keskuskulman puolikasta α:lla., m tan 0, m 9,56 Keskuskulma on α 19,1 o. 19,1 Todennäköisyys, että henkilö seisoo kyseisessä sektorissa on 0, a) 0,5 b) 0,64 c) 0, a) 0,5 b) 0,4 c) 0, a) 85 b) 1 c) a) 0 b) 78 14

13 c) 8 9. a) 6 b) 4 c) a) 18 cm b) 7 cm c) 47 cm m 95.,6 ja 96. a) 0,088 b) 0,45 c) 1, ,8 m cm cm cm º 66,4 10. sivu AB =,9 cm ja sivu BC = 4,9 cm Kuvaajat ovat samanmuotoiset ja niiden arvot vaihtelevat lukujen 1 ja 1 välissä. Kuvaajat leikkaavat koordinaattiakselit eri kohdissa. 14

14 km 107. Määritetään aluksi kulma α tangentin avulla. 0 cm tan 40 cm 6,87 Merkitään kärjen etäisyyttä hypotenuusasta x:llä, joka voidaan ratkaista sinifunktiota käyttäen. x sin 40 cm x 40 cm sin x 4 cm Vastaus: 4 cm 108. x sin 40 5 x 5sin 40 x Toisaalta sin. 7 Yhtälöt yhdistämällä saadaan 5sin 40 sin 7 7, 54, 6 Vastaus: Merkitään 6. leveyspiirin sädettä r:llä. 144

15 r cos r cos Leveyspiirin pituus on r 18140(km). Koko leveyspiirin pituus vastaa vuorokauden aikaeroa 4 h. Välimatka 0 km vastaa siten 0 aikaeroa 4 0, 47 (h) eli 60 0,47 6 (min) Vastaus: 6 min /9 eli noin 0, Matka A:sta B:hen kestää 4 h. 60 km 4 matkan pituus AB 181,85 h 18,87 km.merkitään laivan kulkureitin ja majakalta h 60 M kulkureitille piirretyn kohtisuoran leikkauspistettä C:llä. Merkitään lisäksi, että MC = b ja BC = a. Suorakulmaisesta kolmiosta BCM saadaan: b tan0 a b a tan0 0,577a Kolmiosta ACM saadaan: b tan15 18,87 km a b 18,87 km a tan15 5,056 km 0,68 Siis 0,577a 5,056 km 0,68a a 0,09a 5,056 km 5,056 km a 16,6 km 0,09 AC AB a 18,87 km 16,6 km 5, km 145

16 Merkitään majakan etäisyyttä pisteestä A x:llä, jolloin kolmiosta ACM saadaan: AC cos15 x x cos15 AC AC 5, km x 6 km cos15 cos15 Vastaus: 6 km. 11. a) 5,6 cm b) 8,4 m c) 8,0 cm 11. a) 47 cm b) 58 cm c) 1, m 114. a) 1,0 b),5 c) 7, a) ei b) kyllä c) kyllä 116. a) 5 4 b) 5 15 m c) y x z cm 118. a) ei b) on cm 10. 5, cm 11. 9,4 146

17 1. 1,6 1. Merkitään pisteitä seuraavasti: O = (0, 0), A = (1, pituudet ovat OA = sekä pythagoraan lauseen perusteella AB 1 ( ) 1 ) ja B = (, 0). Silloin kolmion sivujen OB 1 ( ) 1 Koska OA = AB = OB, on kolmio tasasivuinen. 14. Olkoon vaijerin ja pystysuunnan välistä kulmaa α ja vaijerin puolikkaan pituus d. Talojen välinen puolikas on 17,5 m. Pythagoraan lauseen avulla saadaan: d 1,10 m 17,5 m 1,10 m 17,5 m 17,85 m d vaijerin pituus on tällöin d 4,57 m. Trigonometrian avulla saadaan: 17,5 m tan 1,10 m 86,5 Vaijerin puoliskojen välinen kulma on tällöin Suorien leikkauspiste (, ) saadaan ratkaistua yhtälöparista. Pisteen etäisyys origosta ratkaistaan pythagoraan lauseen avulla ( ) ( ) 1, Tiet eroavat pisteessä, joka koordinaatit saadaan yhtälöparista. 147

18 x y 4 0 x y Yhtälöparin ratkaisu on x, y. 7 7 Pisteessä (4, 1) olevan talon etäisyys tienhaarasta voidaan ratkaista pythagoraan lauseella (4 ) (1 ) 5, Vastaus: Tiet eroavat pisteessä (, ) ja talon etäisyys tästä on,9 km ,0 cm Lammikon säde r l 75 l 18 r l 15l 5776 l 7,69 cm 66l 489 r l 487, Joten lammikon syvyys on l 18cm 05 cm.. Pythagoraan lauseen avulla saadaan 18. Tietä pitkin matka uimarantaan on 400 m m = 700 m =,7 km. Matka kestää,7 km 0,617 h. km 6,0 h Merkitään suoran metsämatkan pituutta x:llä, A:lla taloa ja C:llä uimarantaa. Suorakulmaisesta kolmiosta DBC saadaan 148

19 c sin c 100 sin m b cos b 100 cos 75 6 m Suorakulmaisen kolmion ADC kateetit ovat c ja a = 400 m b 064 m. Pythagoraan lauseella saadaan x a c 064 m 156 m 416 m,416 km x a c Metsässä nopeudeksi saadaan, kun matkaan saa kulua aikaa 0,617 h,,416 km km,9. 0,617 h h 19. a) 1 b) c) a) 1 b) c) 11. a) b) c) 1. a) kyllä b) ei c) kyllä 1. a) kyllä b) kyllä c) ei d) kyllä 149

20 14. 6 a) b) 15. a) 6 b) 16. a) b) 17. a) 1 1 b) c) 18. a),6 cm b) 0,8 cm cm cm 141. a) 1, cm b) 5,5 cm c) 5,4 cm cm 14. a) 8,0 cm b) 11 cm cm 150

21 145. A a) a bsin A b) sin ab cm 147. a) 44,4 cm b) 80,4 cm c) 0, cm tai ,6 cm 150. a) 0 tai 150 b) 44,4 tai 15,6 c) 0 tai 180 d) Joko 4,1 tai 6, a) suorakulmainen särmiö b) suora ympyrälieriö c) kuutio d) suora ympyräkartio e) pyramidi 151

22 155. a) a, b ja c b) d ja e 156. a, b, c, d 157. a, b, c, d, e 158. c, siinä on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa ja vaippa 159. a) tahko b) pohja c) särmä 160. a) huippu eli kärki b) sivujana c) pohja 161. a) suorakulmainen särmiö b) suora ympyrälieriö c) prisma, särmiö a) suorakulmioista b) suorakulmioista 166. a) kolmioista b) kolmioista

23 b, d 17. suora ympyrälieriö a) b) 50 c) d) a) m b) m c) 900 m d), m e) m f) 0,14 m 177. a) 500 ha b) m c) 00 m d) 1570 cm e) 5,6 dm f),5 a 178. a) 1940 cm b) 1,5 m c) 486 mm cm 15

24 mm cm cm 18. ananaspurkin valmistamiseen cm m 186. a) 50 cm b) 0 cm c) 60 cm 187. a) A v 4s b) m A 6s cm 190. a) 490 cm b) 610 cm c) 10 cm 191. a) 10 cm b) 1 cm c) 7 cm 19. a) 6 cm b) cm c) 900 cm 19. a) 4 154

25 b) 1, c) 6, pienenee 1 % a) 8 cm b) 15 mm c) m d) 170 dm 197. a) 00 cm b) 19 m c) 8 dm cm eli,8 dm 199. a) 000 dm b) mm c) 90 cm d) 0,1 dm 00. a) 0,05 m b) 0,0004 dm c) 0, cm d) 5 m 01. a) 4000 dm b) 1700 mm c) 110 cm d) 0,5 dm 0. a) 0,065 m b) 0,00044 dm c) 0,8 cm d) 1 m 0. a) cm b) 0,5 dm 155

26 c) 1,6 dm d) 70 cm 04. a) 5 l b) 50 l c) 0,015 ml d) 600 ml 05. a) volume b) area c) length d) volume e) area f) volume g) area h) length 06. a) 40 ml b) 0,1 dl c) 0, cl d) 500 dl 07. a), l b) 41 dl c) 0,0 l d) 0, cl 08. a) 4 cm b) 0,55 dm c),60 dm d) 80 cm 09. a),8 l b) 950 l c) 0,05 ml d) 61 ml 10. a) 4 cm b) 6 cm c) 10 cm 156

27 11. 17,5 gal pinttiä l tonnia cm m a) tilavuus b) pintaala c) pintaala d) tilavuus e) pituus f) pintaala g) pintaala h) pintaala 1. Kylmälaukun pohjan sisämitat: leveys: 7,5 cm,5 cm,5 cm =,5 cm pituus: 9,5 cm,5 cm,5 cm = 4,5 cm korkeus: 0,5 cm,5 cm,0 cm = 5,0 cm Laukun sisätilavuus on siten V,5cm 4,5 cm 5,0 cm 19406,5 cm 19,4065 dm Vastaus: noin 19,4 litraa.. Astia voidaan täyttää 9 cm:n korkeuteen. 157

28 . Merkitään kysyttyä korkeutta x:llä, jolloin voidaan muodostaa yhtälö 1,1(16 cm 11cm x) 16 cm 11cm 10 cm 19,6 cm 1760 cm x 19,6 cm x 1760 cm 9, cm 0 cm Yhden liidun tilavuus on 19, cm 1 19, cm Liidun pituus on 8,5 cm. 1,5 cm 4. Kuutioiden tilavuudet ovat 7 cm, 64 cm ja 15 cm sekä näiden summa 16 cm. Vastaavan kokoisen kuution särmä on 16 cm 6 cm. Annettujen kuutioiden pintaalat ovat 54 cm, 96 cm ja 150 cm sekä näiden summa 00 cm. Ison kuution pintaala on 16 cm, joten pintaala pienenee 8 %. 5. a) 7,5 cm b) 4,5 cm c) 9,0 cm d) 7, cm 6. a) 94 cm b) 57 cm c) 110 cm d) 90 cm 7. a) 5700 cm b) 000 cm 8. a) 57 cm b) 1970 cm c) 8140 cm 9. a) 110 cm b) 500 cm c) 810 cm cm 158

29 1. 44 l. lieriön pohjan pintaala lieriön korkeus [cm] lieriön tilavuus [cm ] [cm ] 150,0 1, ,0 1,0 804,0 18,0 0,0 60, , ,0 40,0 4080,0. a) 1490 cm b) 980 cm V r h 6. a) 105 cm b) 6 cm c) 00 cm 7. 4,7 ml 8. a) cm b) 0,6 m c) 470 cm 9. V s 40. 8,84 cm 41. 4,510 6 m cm

30 munan taikina cm 46. a) 1 cm b) 1 cm c) 9 cm l 48.,66 cm 49.,7 dl 50. Vedestä muodostuvan jään tilavuus on 0,0044 l = 4,4 cm 4,4 cm. Jäätulpan korkeus on 0,88 cm. 5 cm 1,08 0,97 l 1,0044 l, joten jäätulpan tilavuus on 51. Rullan ulkosäde on 6,0 cm ja sisäsäde,5 cm. Merkitään paperin leveyttä a:lla (cm). Rullalla olevan paperin tilavuus on 6,0 a,5 a 97, 19a. Merkitään paperin pituutta x:llä. Auki levitetty paperi on muodoltaan suorakulmainen särmiö, jonka tilavuus on 0,01ax. Tästä saadaan yhtälö 0,01xa 97,19a 97,19a 97,19 x ,01a 0,01 Vastaus: 97 m 5. Lieriön tilavuus saadaan lasketuksi kaavalla r h, missä r on pohjan säde ja h korkeus. Jos korkeus on 40 cm, pohjan piiri on 0 cm. Merkitään pohjan sädettä tällöin x:llä. x x Tilavuudeksi saadaan V (cm ) 160

31 Jos korkeus on 0 cm, pohjan piiri on 40 cm. Merkitään pohjan sädettä tällöin y:llä. y y Tilavuudeksi saadaan V (cm ) 0 cm korkean lieriön tilavuus on suurempi V Tilavuuksien suhde. V Vastaus: 0 cm korkean lieriön tilavuus on suurempi. Tilavuuksien suhde on Merkitään pienoismallin pituutta x:llä (m). Malli on yhdenmuotoinen veistoksen kanssa, joten pienoismallin leveys on x ja korkeus x. Mallin tilavuudeksi saadaan x x x 6x. Veistoksen tilavuus on 1,00,00,00 6 (m 6 ), joten pienoismallin tilavuus on 0, (m ). Saadaan yhtälö 6x 0,06 x 0,06 6 x 0,01 0,154 Pienoismallin pituus on x 1,5 cm, leveys x 4,1 cm ja korkeus x 64,6 cm. Vastaus: Pituus 1,5 cm, leveys 4,1 cm ja korkeus 6,6 cm. 54. a) 4 b) a) 8 cm b) 1770 cm c) 70 cm cm cm 161

32 58. a) 19 cm b) 656 cm c) 710 cm 59. Kappaleilla on sama tilavuus , dl 61. a) 4 cm b) 0 cm c) 48 cm 6. 8 m 6. 6 cm 64. a) 48 cm b) 96 cm 65. a) 1 cm b) cm c) 5 cm d) 4 cm dl m cm cm 71. 0,56 m 16

33 7. a) 180 cm b) 170 cm 7. cm % 75. a) pienenee puoleen b) pienenee neljäsosaan Alkuperäinen tilavuus on V (cm ). Viiden vuoden kuluttua pituus on 1550 cm ja tyven läpimitta 6 cm sekä vastaava tilavuus 1 V (cm ). Tilavuutta on tällöin tullut lisää V 5 V cm 6dm. 77. Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan verranto, jolla voidaan laskea muodostuneen vesikartion säde. x x 0 x 6, Vesikartion tilavuus on V v r h (6,65 cm) 19 cm 879,88 cm. Vesi laajenee 10 %, jolloin uusi tilavuus on 1,1 879,88 cm 967,87 cm. 1 1 Lasikartion tilavuus on V l r h (7 cm) 9 cm 106,5 cm, joka on suurempi. Vastaus: ei 78. Merkitään kysyttyä veden korkeutta x:llä ja tällöin muodostuvan vesikartion sädettä y:llä. Verrannosta saadaan y 7 x 0 7 y x 0 Laajeneminen huomioimalla voimme kirjoittaa yhtälön 16

34 1 7 1,1 ( x) x 106,5 cm, 0 josta ratkaisuksi saadaan x 19,745 cm. Vastaus: 19, cm a) 4, cm b) 65,0 cm c) 60 cm 8. a) 1 cm b) 79 cm c) 50 cm 8. a) 5500 cm b) 9000 cm 84. a) 50 cm b) 110 cm c) 1 cm 85. a) 4 cm b) 110 cm c) 4, cm 86. a) kuutiolla b) kuutiolla 87. a) 80 m b) cm c) 1000 mm 88. a) cm b) 9 m c) 0000 mm

35 a) 110 cm b) 110 cm cubic centimeters dm 9. 7,6 m a) 4 m b) 16 m c) 18 m d) 100 m 95. a) puolipallolla b) puolipallolla 96. 5,4 dl 97. a) 1 m b) m c) m d) m cm l pullaa 01.,8 dl 0. A

36 noin 51 % 04., cm ja 4,0 cm 05. a) % b) 5 % 06. 0,5 m Jäätelötötterön tilavuus V (,5 cm) 1 cm 79 cm 4 ja jäätelöpallon tilavuus V (,0 cm) 11 cm eli jäätelö ei mahdu tötteröön. 08. Merkitään kuution sivun pituutta a:lla ja pallon sädettä r:llä. Kuution tilavuus on 4 tilavuus r. Tilavuudet ovat yhtä suuret, joten 4 a r 4 a r Kuution pintaala on 6a ja pallon 4 r a ja pallon. Kuution pintaalan suhde pallon pintaalaan on r r r a 4r 4r 4r 4r 4 Vastaus: Kuution pintaala on 4,1 % pallon pintaalaa suurempi. 1, Pallon pienin mahdollinen tilavuus on 1,5 0,0 1, 49 litraa eli 1,49 dm ja vastaavasti suurin 1,55 dm. 4 Pallon tilavuus saadaan laskettua kaavalla r, missä r on pallon säde. Säde on pienin, kun tilavuus on pienin eli 4 r 1,49 1,49 r 4 1,49 r 0,7085 (dm) 4 Säde on suurin, kun tilavuus on suurin eli 166

37 4 r 1,55 1,55 r 4 1,55 r 0,7179 (dm) 4 Tällöin pienin halkaisija on 0,7085 dm 1,4 dm 14, cm ja suurin 0,7179 dm 1,44 dm 14,4 cm. Vastaus: Halkaisija on 14, cm 14,4 cm ,1 Kuulan tilavuus on r, missä r 1, 05 (cm) :n kuulan yhteistilavuus on 940 (1,05) 4558 (cm ). 17 Lasketaan lieriön tilavuus kaavalla R h, missä R 8, 5 (cm) ja h = 0 cm: R h (8,5) (cm ). Kuulien yhteistilavuus on suurempi kuin lieriön tilavuus, joten kuulat eivät mahdu astiaan km 1. Isoympyrää pitkin olisi pitänyt lentää 100 km/h nopeammin. On mahdollista, sillä Concorden nopeus voi olla jopa 00 km/h. 1. a) kärki b) särmä c) tahko d) pohja 14. a) 6t b) t a) 180 cm b) 170 cm 17. a) 1 cm b) 5,1 cm 167

38 18. a) 14 cm b),8 cm a) 4 b) 6 c) 4 1. a) 1 b) 6 c) 1. a),5 m b) 0, m. a) 780 cm b) 110 cm 4. a) dodekaedrin b) dodekaedrin 5. noin dl cm 7. h a 8. a 6 h 9. Kuution tilavuus on 1,00 l = 1000 cm cm Pikkukuution tilavuus on 64 15,65 cm,5 cm. 15,65 cm, jolloin kuution särmä on 168

39 0. 5 % 1. mm. 6 cm, ala pienenee 8 %. 8,7 cm 4. 56,6 cm cm 6. 4,5 m 7. a) 11,7 cm b) 5,0 cm c) 1,7 cm d) 9, cm 8. 0 cm cm 40. 4, cm 41. a) 9, cm b) 19 cm 4. a) 7 % b) 7 % c) 40 % 4. Merkitään päätykolmion korkeutta h:lla ja katon puolikkaan rakennuksen päällä olevan osan leveyttä a:lla. 169

40 Pythagoraan lauseen avulla saadaan a 4,0 h a 4,0 h Suunnitteluvaiheessa h =,0 m, jolloin a 4,0,0 0 (m) Rakennusvaiheessa h =,5 m, jolloin a 4,0,5, 5 (m) Katon pituus on kummassakin tapauksessa 1 0,5 1 (m). Katon puolikkaan koko leveys on a 0, 5 (m). Katon pintaala suunnitteluvaiheessa oli A 1 ( 0 0,5) 19, 755 (m ). Katon pintaala rakennusvaiheessa oli A 1 (,5 0,5) 15, 6418 (m ). R S AR Pintaalojen suhde on 1, 049, joten pintaala kasvoi 4,9 %. AS Vastaus: 4,9 % 44. Merkitään puoliympyrän sädettä (kartion sivujanan pituus) a:lla. Puoliympyrän kaaren pituus on tällöin a. Kaaresta ¾ eli 0,75a muodostaa kartion pohjaympyrän kehän. Merkitään kartion pohjan sädettä r:llä, jolloin r 0,75a 0,75a 0,75 r a 0,75a r 0,75a sin 0,75, a a jolloin,04..., 0 ja 44, , ,4 m 46. 0,9 cm 170

41 % cm 49. 5,6 m 50. Merkitään lampun etäisyyttä katon nurkasta x:llä. Pythagoraan lauseen nojalla saadaan 4 6,5 x 14,56. Merkitään kysyttyä etäisyyttä y:llä. Pythagoraan lauseen nojalla saadaan y x,5 14,56 1,5 5, m % % 5. ei cm 55. a) 1 : : b) 1 : : c) 1 : 4 : ,4 cm 57. c 58. :, : ja :

42 a) 9 : 4 b) 7 : a) 1 : 9 b) 5 : : a) : 4 b) : 4 6. a) 1 : 50 b) 1 : cm 65. a) 9500 cm b) cm 66.,6 dl ja 8,4 dl 67. a) 1 : 400 b) 1 : 8000 c) 1 : a) 1 : 50 b) 1 : 500 c) 1 : cm 70. 1,1 kg cm 7. Jos pituus kaksinkertaistuu ja siiven pituus siis myös kaksinkertaistuu, kasvaa siipipintaala nelinkertaiseksi ja massa kahdeksankertaiseksi. Tällainen siipi ei anna tarpeeksi nostovoimaa, 17

43 vaan isolla linnulla pitää olla suhteellisestikin isommat siivet. Lintujen ja lentokoneiden nostovoimat eivät ole yksinkertaisia ja niiden käsitteleminen vaatii korkeaa matematiikkaa. 7. a) 4 ja 8kertaiseksi b) 100 ja 1000kertaiseksi 74. a) 1 % b) % 75. a) 41 % b) 41 % c) 18 % cm 77. Esitteessä huone oli pintaalaltaan 6 cm 4 cm ja tämä vastasi alaa cm, jol 4 cm loin esitteen mittakaavan k neliö k ja mittakaava k. Keittiön ala oli cm 1 m. 78. maa pintaala [km ] väkiluku [milj. as] asukastiheys [as/km ] Suomi 817 5,16 15, Ruotsi ,91 19,8 Norja ,8 1, ,6 miljoonaa Planeetta Massa [kg] Tilavuus [m ] Tiheys [kg/m ] Merkurius, , Venus 4 4, , Maa 4 5, , Mars 6, , Jupiter 7 1, , Saturnus 6 5, , Uranus 5 8, , Neptunus 6 1,0 10 6,

44 Pluto 1, , a), m b) 600 kg/m 8. ei 84. a) 54 kg b) 10 kg c) 86 kg d) 7 kg 85. 0, cm 86.,7 dm m 88. 4,7 kg 89. a) 6,8 kg b) 1 kg cm kg kg 9. 9 kg % kg

45 Käyttäen Arkhimeden lakia Ilmapallon tilavuus V (1,6 m) 17, m l g ja sen sisältämän ilmamäärän massa l 1,9 100 g,1 kg. l 98. Johdon tilavuus on ( 0,1cm) cm 45,575 cm. Johto painaa tällöin g 45,575 cm 8,9 cm 08,5 g,1kg ,69 g/cm kg 401. Laatan tilavuus on 50 dm 50 dm1dm 500 dm. Oletetaan etteivät tilavuudet missään vaiheessa muutu. Sementtiä tarvitaan 1/9 tilavuudesta eli 77,8 dm. 500 dm 9 Kyseinen määrä sementtiä painaa kg 77,8 dm 1,4 dm 7 kg. Säkkejä tällöin tarvitaan 7 kg 9,. 40 kg Vastaus: Tarvitaan 10 säkkiä sementtiä g 1 Yhden kultagramman tilavuus on dm. g dm Merkitään,5 km pituisen langan sädettä r:llä. Lankaa voidaan pitää ympyrälieriönä, jonka korkeus h,5 km 5000 dm. Lieriön tilavuus on r h, jollain saadaan 1 r 5000 dm dm r dm r dm r 0, dm 0,0057 mm Langan halkaisija on r 0,0051mm. jos langan halkaisija on 0,10mm, sen säde on 0,05 mm = 0,0005 dm. Merkitään tällöin langan pituutta x:llä. 175

46 0,0005 dm 1 x 0,0005 dm x 1 dm 1900 dm dm 6,6 m 40. Pallonpuolikkaan tilavuus on sama, kuin syrjäytetyn vesimäärän tilavuus, joka on m 47 kg V puoli 0,047 m. kg 1000 m Koko pallon tilavuus on tällöin V 0,047 m 0,094 m. Tämän tiedon avulla voimme ratkaista pallon säteen 4 r 0,094 m 0,094 m r 4 r 0,806 m Toisaalta pallon rautakuoren tilavuus voidaan laskea, koska kappaleen paino tiedetään. m 47 kg V rauta 0,00597 m kg 7870 m Tyhjän sisäpallon tilavuus on siten V V rauta 0,08807 m ja vastaavasti sisäpallon säde saadaan ratkaistua pallon yhtälöstä. 4 r sisä 0,08807 m 0,08807 m r sisä 4 rsisä 0,7595 m Rautalevyn paksuus on Vastaus: 6,1 mm 404. a) 407 kg b) 0,04 kg c) 69 kg 405. Kiven tilavuus on r r sisä 0,806 m 0,7595 m 0,80 m kg Kivi painaa 0,576 m, kg. m Vastaus: Voidaan nostaa. 406.,10 m0, m 0,576 m. 0,00611 m 176

47 407. a) kaikilla b) kaikilla kolmio, neliö, säännöllinen kuusikulmio ja säännöllinen kahdeksankulmio 411. a) b) 0 c) 1 d) Tiili voidaan sijoittaa paikoilleen rakennustavasta riippuen aina kahdella tavalla. Tiiliskivellä on kolme eri symmetriaakselia, joista jokainen on symmetrisen kuvauksen kaksinkertainen kiertoakseli. 41. a) 4 b) 4 c) d) äärettömän monta 414. a) 1 b)

48 Kyllä, esimerkiksi ympyrärenkaan painopiste a) 4 b) a) ei b) Kartion korkeusjanaa pitkin kulkevia on äärettömän monta. 40. Ainut varteenotettava vaihtoehto on keskeltä kulkeva päästä varpaisiin oleva taso, mutta tämäkään ei todellisuudessa pidä paikkaansa. Edes ihmisen kasvot eivät ole molemmilta puolilta symmetriset ja sisäelimet eivät ole symmetrisiä minkään suteen edes likimain

49 Piirretään kolme satunnaista jännettä ja havaitaan, etteivät näiden keskinormaalit leikkaa samassa pisteessä Oletus: kulma AOP = kulma POB Väite: AP = BP Todistus: Kolmiot APO ja BOP ovat yhtenevät, koska niissä on kaksi yhtä suurta kulmaa ja yhteinen sivu OP. Yhtenevien kolmioiden vastinosina AP = BP. 48. Olkoon yhdenmuotoisten suorakulmioiden kannat a ja a sekä korkeudet b ja b. Olkoon mittakaava m, vastinosille on tällöin voimassa a = ma ja b = mb. Jos suorakulmioiden pintaalat ovat A ja A, on edellisen nojalla voimassa A' a' b' ma mb m ab m A eli A : A = m. 49. Olkoon toinen kulmien ja väliin jäävä kulma. Kulmat ja sekä ja ovat toistensa vieruskulmia, joten niiden summa on kirjaimilla, saadaan yhtälöt 180 ja joten 180., 180. Kun merkitään kulmien mittalukuja samoja 40. Puoliympyrää vastaava keskuskulma on oikokulma eli 180 o, joten vastaava kehäkulma on Kulman vieruskulma on 180. Näiden kahden kulman puolittajien summa on 179

50 1 90, joten kulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisi 1 1 (180 aan vastaan ) 90 Nelikulmio voidaan jakaa kahdeksi kolmioksi yhdistämällä kaksi vastakkaista kärkipistettä. Jos nelikulmion, esim. ABCD, kaikki kulmat ovat koveria, voidaan jako tehdä yhdistämällä joko kulmat A ja C tai B ja D. Jos nelikulmion yksi kulma on kupera, voidaan jako tehdä vain yhdellä tavalla. Esimerkkikulmiossa EFGH yhdistämällä kulmat EG. Kuvioista havaitaan, että kahden muodostuneen kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin neliön kulmien summa. Koska kolmion kulmien summa on 180, on kahden kolmion ja siis nelikulmion kulmien summa 60. Nelikulmiosta EFGH havaitaan, ettei jana, jolla yhdistetään kaksi nelikulmion kärkeä, jotka eivät ole vierekkäiset, aina kulje nelikulmion sisällä. 4. Koska lävistäjät puolittavat toisensa, on AE = EC ja BE = ED. Kulmat AED ja BEC ovat toistensa ristikulmia, joten ne ovat yhtä suure Kolmiot AED ja BEC ovat yhtenevät ja vastinosina sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset. Vastaavasti osoitetaan sivujen AB ja CD yhdensuuntaisuus. Tällöin nelikulmio ABCD on määritelmän mukaan suunnikas. 44. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret ja toisaalta kolmion korkeusjana on kohtisuorassa kantaa vastaan, joten kolmioissa ADC ja BCD on kaksi yhtä suurat kulmaa. Niinpä kolmansienkin kulmien on oltava yhtä suuret eli puolet tasakylkisen kolmion huippukulmasta

51 Kolmio BCO on tasakylkinen. Merkitään B:ssä sijaitsevaa kulmaa α:lla. Tasakylkisyyden perusteella myös C:ssä sijaitseva kulman on suuruudeltaan α. Kolmion kulmien summa on 180, jolloin kulma COB on 180. Keskuskulma AOC on kulman COB vieruskulma, jolloin kulman AOC suuruus on 180 (180 ). Siis kehäkulma ABC on puolet keskuskulmasta AOC. 47. Koska kärjet on yhdistetty sivujen keskipisteeseen 1 tan, jolloin 6, 57. Kolmion kulmien summa on 180, jolloin , 87. Säännöllisen monikulmion vieruskulman suuruus on 60, n missä n on sivujen lukumäärä, jolloin 8kulmion vieruskulman suuruus on 45 ja siten kulman β suuruus pitäisi olla Kyseessä ei siis ole säännöllinen 8kulmio cm 44. a) kateetti b) kateetti c) hypotenuusa 181

52 44. Kulma, joka suora muodostaa xakselin kanssa km ,7 m 446. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusat ovat alkuperäisen suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b. Yhdenmuotoisten kuvioiden pintaalojen suhde on verrannollinen hypotenuusien a ja b pituuksien suhteiden neliöön. b a 1 b 1 a b 1 a Kulma x saadaan tangentin avulla. b 1 tan x a x 5, Vastaus: 5,º 447. a) 0,940 b) 0,4 c), a) 1,0 cm b),5 cm c) 6,4 cm d) 4,0 cm 449. a),1 cm b) 6,1 cm 18

53 c) 7,0 cm d) 4,6 cm e) 450. a) ei mikään vaihtoehdoista b) sini c) tangentti d) kosini 451. a) 49 b) 84 c) 45. Suorakulmaisesta kolmiosta BDC saadaan 4,00 cm sin 7,5 BC 4,00 cm BC 6,57 cm sin7,5 Korkeusjana BD saadaan yhtälöstä 4,00 cm tan 7,5 BD 4,00 cm BD 5,1cm tan 7,5 Kolmion pintaala 1 A 8,00 cm 5,1cm 0,9 cm Vastaus: Kyljen pituus on 6,57 cm ja pintaala 0,9 cm , cm a) 140 cm b) 0 cm 18

54 456. a) kymmenen b) sata c) tuhat d) kymmenen 457. a) 10 m,, m b) 4100 cm, cm c) mm, mm dm m km l 46. a a) b c m m m m, pituutta b) a b a c m m(m m) m m m c) a c a b c m m m m m m d) a cm a 464. a) 540 cm b) 151 cm c) 4 cm d) 465. a) 140 cm b) 40 cm c) 10 cm l 467. a) B b c m m m m m, mahdoton yhtälö m, pintaalaa m, tilavuutta 184

55 b) A c) F d) A e) D f) C g) D h) E 468. A 4x (4 x) ,5 cm 470. Jokaisessa sahauksessa osakuution särmä pienenee 1 mm enemmän kuin sahaamattoman särmän pituus jaettuna kahdella. 766 mm 1. sahaus: s 1mm 8 mm 8 mm. sahaus: s 1mm 190 mm 190 mm. sahaus: s 1mm 94 mm 94 mm 4. sahaus: s 1mm 46 mm 46 mm 5. sahaus: s 1mm mm Vastaus: mm 471. a) b),5 mm c) mm 47. A 47. pallolla 474. a) 58 cm b) 4 cm 475. Olkoon tennispallon säde r. Tällöin neljän tennispallon yhteistilavuus on r r. 185

56 Säiliölieriön säde on myös r ja korkeus 8r. Ja siten tilavuus 16 r suhde on. 8r r 8r 8r. Tilavuuksien 476. Lieriön pohjan säde on sama puolipallon säteen kanssa eli se on 0, m. Bakteerin tilavuus on V [ 0, (0,7510 ) ] m 8,8 10 m 8,8 10 dm, joten massa on 8,8 10 kg 15. vastaus: Tilavuus on 477. a) 110 cm b) 110 cm 8, dm 15 ja massa 8,8 10 kg Yksi appelsiini vie kuution muotoisen tilan, jonka särmä on sama kuin appelsiinin halkaisija. Vastaavasti yksi mandariini vie kuution muotoisen tilan, jonka särmä on puolet appelsiinin halkaisijasta. Appelsiinin vaatimaan tilaan menee 8 mandariinia. Mandariineja mahtuu laatikkoon appelsiineihin verrattuna 100 % 700 % enemmän Merkitään mandariinin sädettä r:llä Yhden appelsiinin tilavuus on r 8r 8 r eli sama, kuin 8:n mandariinin tilavuus. Samanlaiseen laatikkoon pakattujen appelsiinien ja mandariinien vievä tilavuus on sama ja siten myös hukkatilavuus on sama ja hukkatilojen ero 0 % Ontossa pallossa on puolet umpinaisen pallon metallimäärästä. Koska pallojen tilavuudet ovat samat, on onton pallon tyhjän sisäosan tilavuus puolet pallon tilavuudesta. Merkitään koko pallon sädettä R:llä ja pallon sisäosan sädettä r:llä. 4 r r 1 4 R 1 R 1 1 r R R 0,794R Onton pallon seinämän paksuus on säteiden erotus. 186

57 R r,0 R 0,794R,0 0,06R,0,0 R 9,7 (cm) 0,06 Vastaus: 9,7 cm 480. Jos pallon muotoisen karamellin halkaisija on /n cm on sen säde 1/n cm ja tilavuus V cm cm. Karamelleja mahtuu laatikkoon 1000 n kpl, joten karamellien tilavuus yhteensä on V 1000 n cm cm, joka ei riipu n:stä. Kara n n n mellien kokonaispaino ei siis riipu n:stä a) ikosaedri b) tetraedri c) dodekaedri d) kuutio e) oktaedri 48. a) 74 cm b) 4 cm c) 6,1 cm 48. a) 5 : 4 b) 5 : a) 1 : : b) 1 : 8 : a) % b) % c) 48 % 486. a) 4 b) c) 187

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä. Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B

Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut

Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm. 1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kenguru 2019 Student Ratkaisut

Kenguru 2019 Student Ratkaisut sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Kenguru 2019 Student lukio

Kenguru 2019 Student lukio sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot