Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu

Samankaltaiset tiedostot
Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Luento 3: Bayesiläiset pelit

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Luento 5: Pysäytyspelit

Haitallinen valikoituminen

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Ó Ó Ó

PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA

Luento 2: Strategiset pelit

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Luento 2: Strategiset pelit, Nash-tasapaino, Bertrand, Cournot & Hotelling

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet

Signalointi: autonromujen markkinat

Luento 5: Peliteoriaa

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen

HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA

Luento 8. June 3, 2014

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Peliteoria luento 1. May 25, Peliteoria luento 1

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Luento 5: Pysäytyspelit, Diamond, Weitzman & Wolinsky

Numeeriset menetelmät

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

Peliteoria luento 2. May 26, Peliteoria luento 2

Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

Matematiikan peruskurssi 2

Numeeriset menetelmät

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Laskuharjoitus 2. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 5: Peliteoria

Numeeriset menetelmät

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Paljonko maksat eurosta -peli

Epälineaarinen hinnoittelu: Diskreetin ja jatkuvan mallin vertailu

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

Matematiikan tukikurssi

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Malliratkaisut Demot

2017 = = = = = = 26 1

Luento 7. June 3, 2014

,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017

4 Matemaattinen induktio

Transkriptio:

Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento 6 2017 1 / 28

Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Repeated games"(luento 21, kokonaan) Kirjallisuutta: TB luku 2

Mekanismin suunnittelu

Optimaalisen myyntimekanismin suunittelu Haluat siis myydä asuntosi? Miten kannattaa tehdä? Lukemattomia erilaisia vaihtoehtoja tarjolla: kiinteä hinta ja nopein ostaa, neuvottelut, erilaiset yksinkertaiset tai monimutkaiset huutokaupat jne. Käytännössä asunnot yleensä myydään tietyllä mekanismilla, myyjä asettaa hinnan ja ostajat tekevät myyjälle tarjouksen, joista korkein voittaa... Nämä ovat mekanismin suunnittelun tutkimusongelmia. Peliteorian osa, joka auttaa käytännön soveltajia optimaalisten mekanismien sunnittelussa ottaen huomioon kulloisenkin tilanteen (normatiivinen puoli), auttaa ymmärtämään, miksi tilanteessa A käytään mekanismia a ja tilanteessa B yleensä mekansimia b (positiivinen puoli). TA5 Luento 6 2017 4 / 28

Suunnitellaan ekstensiivinen Bayesilainen peli Jokainen myyntimekanismi generoi tietyn pelin myyjän ja ostajien välille. Pelin säännöt määräävät, kuka saa hyödykkeen ja paljonko siitä maksetaan. Tähän asti luennoilla peli on ollut eksogeeninen, nyt se on endogeeninen. Tilanteita, jossa valitut säännöt määrittelevät pelin osanottajien kesken, on lukemattomia vaalit, julkisten tai yksityisten hankkeiden kilpailutus, patenttilait, organisaatioiden promootiokäytännöt, kansainväliset neuvotteluprotokollat jne. TA5 Luento 6 2017 5 / 28

Yksityinen informaatio Suunnittelijan kannalta suurin ongelma on se, että pelaajilla on yksityistä informaatiota, esim. asunnon ostajat yksin tietävät, kuinka paljon ovat valmiita maksamaan asunnosta; tämän myyjäkin haluaisi tietää. Ongelmana on suunnitella mekanismi, jossa pelaajien kannattaa tuoda esille heillä oleva päätöksenteon kannalta relevantti informaatio; tämä on välttämätöntä mekanismin asianmukaisen toiminnan kannalta. Mekanismin suunnittelu on kunnianhimoinen ohjelma, sikäli että joukko, josta sopivaa myyntimekanismia etsitään on hyvin suuri: kaikki mahdolliset ekstensiiviset Bayesilaiset pelit myyjän ja ostajien välillä. TA5 Luento 6 2017 6 / 28

Yksi myyjä ja yksi ostaja: ongelma

Yksi myyjä ja yksi ostaja Ostajan hyöty, jos saa hyödykkeen ja antaa myyjälle t u t Myyjän voitto, jos antaa hyödykkeen ja saa ostajalta t π t Tässä kuvaa ostajan tyyppiä, maksuvalmiutta. Ostajan hyötyfunktio kvasi-lineaarinen Maksuhalukkuus yksityistä informaatiota noudattaa jakaumaa F, tiheysfunktio f Välillä, t ą 0u olevat :t mahdollisia TA5 Luento 6 2017 8 / 28

Periaatteessa... Myyjä voisi nyt kehitellä ostajalle minkä tahansa pelin, jonka loppuhistorioihin liittyy aina tulema pq,tq P t0,1u ˆ R; tässä q kertoo, antaako myyjä lopulta hyödykkeen ostajalle (q 1, jos kyllä, ja q 0, jos ei), ja t kertoo, paljonko ostaja maksaa (riippumatta q:sta). Ostaja näkee pelin ja voi päättää sitten haluaako osallistua vai ei. Mahdollisia pelejä on paljon, "liian paljon". Erittäin tärkeä lause "paljastusperiaate"kuitenkin osoittaa, että myyjän valintajoukoksi voidaan valita niin sanotut suorat mekanismit. Tämä on selvästi pienempi joukko pelejä. TA5 Luento 6 2017 9 / 28

Suorat mekanismit Suora mekanismi pq, tq on funktiopari q :, Ñ t0,1u, t :, Ñ R. "Suoruus"viittaa tässä siihen, että mekanismin ajatellaan käyttävän lähtötietonaan suoraan ostajan tyyppiä eikä siis jotain muuta ostajan lähettämää epäsuoraa informaatiota m (binäärijonoja, luonnollisen kielen sanoja, elekieltä, tms.). Tulkinta on siis, että ostaja kirjaa mekanismiin jonkin tyypin 1 P,, joko omansa tai minkä vain muun 1. Ostaja voi siis myös juksata. Jos ostaja ilmoittaa tyypikseen 1, myyjä on tämän jälkeen sitoutunut toteuttamaan vastaavan lopputuleman qp 1 q ja tp 1 q. TA5 Luento 6 2017 10 / 28

Paljastusperiaate 1 Ostajan strategia on σ :, Ñ, (mekanismiin lähetetty tyyppi todellisen tyypin funktiona) Paljastusperiaate Jokaista mekanismia Γ ja ostajan optimaalista valintaa σ Γ:ssa vastaa suora mekanismi Γ 1 ja ostajan optimaalinen valinta σ 1 Γ 1 :ssa niin, että kaikilla P, 1. σ 1 pq (ostajalle on kannattavaa raportoida Γ 1 :ssä "rehellisesti") 2. q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq. (optimaalinen "suora"raportointi Γ 1 :ssä johtaa samaan lopputulokseen kuin optimaalinen "epäsuora"raportointi Γ:ssa) Koska jokaista epäsuoraa mekanismia voidaan jäljitellä suoralla mekanismilla (funktiot σ ja pq,tq yhdistämällä pq 1,t 1 q pq,tq σ), ei menetetä mitään, jos keskitytään suoriin mekanismeihin. TA5 Luento 6 2017 11 / 28

Paljastusperiaate 2 Todistus. Väitetään siis, että kun määritellään Γ 1 pq 1,t 1 q seuraavasti q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq kaikilla P,, ostajan kannattaa raportoida siihen todellinen tyyppinsä. Tämä osoittaa, että σ 1 pq on ostajan optimaalinen valinta Γ 1 pq 1,t 1 q:ssä aina, kun σpq on ostajan optimaalinen valinta Γ pq, tq:ssa. Vastaväite: ostajan kannattaa poiketa (suorassa mekanismissa) Γ 1 pq 1,t 1 q:ssa :stä 1 :uun. q 1 p 1 q t 1 p 1 q ą q 1 pq t 1 pq Tästä kuitenkin seuraa heti, että ostajan kannattaa poiketa myös (epäsuorassa mekansimissa) Γ pq,tq:ssa σpq:sta σp 1 q:uun qpσp 1 qq tpσp 1 qq ą qpσpqq tpσpqq Tämä ei voi pitää paikkaansa, koska lähtöoletus oli, että σ on ostajan optimaalinen valinta (epäsuorassa mekanismissa) Γ pq, tq. TA5 Luento 6 2017 12 / 28

Myyjän vaihtoehdot Paljastusperiaatteesta seuraa, että myyjän valintajoukko on niitten suorien mekanismien joukko Γ pq, tq, joille pätee: Insentiivirajoite (IC): oman tyypin raportointi on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q kaikille 1 P,. Osallistumisrajoite (PC): peliin osallistuminen on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě 0 kaikille P,. TA5 Luento 6 2017 13 / 28

Yksi myyjä ja yksi ostaja: ratkaisu

Millaisia nämä mekanismit ovat? Myyjän täytyy valita suora mekanismi, joka toteuttaa ehdot IC ja PC. Tämä asettaa tiettyjä rajoitteita valittavissa oleville mekanismeille. Monotonisuus q Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin q on kasvava :n suhteen. Todistus. Tarkastellaan mitä hyvänsä kahta tyyppiä 1 ă. IC vaatii qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qpq tpq ď 1 qp 1 q tp 1 q miinustamalla epäyhtälöt puolittain saadaan qpq tpq 1 qpq ` tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qp 1 q ` tp 1 q p 1 qqpq ě p 1 qqp 1 q TA5 Luento 6 2017 15 / 28

Monotonisuus u Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin u on kasvava :n suhteen ja u 1 pq qpq. Todistus. Huomaa, että IC vaatii lisäksi argmax 1up, 1 q argmax 1qp 1 q tp 1 q upq max 1 up, 1 q maxqp 1 q tp 1 q 1 Maksimiarvofunktioista f paq max x f px,aq ja maksimikohtafuntioista x paq argmax x f px,aq tiedetään verhokäyrälauseen perusteella, että f 1 paq f a px paq,aq Käsillä olevassa tapauksessa, max 1 up 1,q, 1 on muuttuja (kuten yllä x) ja on parametri (kuten yllä a). Saadaan suoraan u 1 pq u p 1 pq,q qpq. TA5 Luento 6 2017 16 / 28

Hyötyekvivalenssi u ja tuottoekvivalenssi t Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin ż upq upq ` qpsqds ja ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Osa 1: Analyysin peruslauseen mukaisesti: ż upq upq ` u 1 psqds Osa 2: Sijoitetaan upq qpq tpq ja järjestellään. TA5 Luento 6 2017 17 / 28

IC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), jos ja vain jos q on kasvava :n suhteen ja kaikilla ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Näytimme jo, että nämä ehdot ovat välttämättömät IC:lle. Näytetään nyt, että ehdot ovat myös riittävät IC:lle. upq ě qp 1 q tp 1 q ðñ upq ě qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q 1 qp 1 q ðñ upq ě qp 1 q 1 qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q ðñ upq up 1 q ě p 1 qqp 1 q ðñ ż ż 1 qpsqds ě 1 qp1 qds Viimeisin epäyhtälö pätee, koska q on kasvava :n suhteen (huomaa, että molemmat ă 1 ja ą 1 käyvät). TA5 Luento 6 2017 18 / 28

PC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin se toteuttaa osallistumisehdon (PC) jos ja vain jos upq ě 0. Todistus. Koska u on kasvava, niin upq ě 0 ùñ upq ě 0 TA5 Luento 6 2017 19 / 28

Millainen on myyjälle kannattavin mekanismi? Tuottoekvivalenssi ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds Huomio 1: myyjän ei kannata antaa ylimäärästä matalimmalle tyypille, koska se vain laskee muilta saatavia tuottoja Huomio 2: myyjä valitsee sellaisen kasvavan q:n, joka maksimoi sen odotetun tuoton ş tpqd. Se voidaan laskea ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d TA5 Luento 6 2017 20 / 28

Keskimmäisen termin laskeminen ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d Lasketaan arvo keskellä olevalle integraalille. Käytetään selkeyden vuoksi integrointivakioita x,y P, ż ż y qpxqdxf pyqdy, ż ż y qpxqf pyqdxdy, f sisäintegraaliin ż ż qpxqf pyqdydx, integrointijärjestys x ż ż qpxq f pyqdydx, q ulkointegraaliin x ż qpxqp1 Fpxqqdx, lasketaan sisäintegraali ż qpxq 1 Fpxq f pxqdx, palautetaan mukaan f f pxq TA5 Luento 6 2017 21 / 28

Myyjälle optimaalinen mekanismi ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Myyjän kannattaa valita sellainen q, että yllä oleva lauseke maksimoituu. Lisäksi q:n täytyy olla kasvava. Huom. F ja f ovat mallin osia, eli niihin myyjä ei voi vaikuttaa. Myyjä voi vaikuttaa yllä ainoastaan q:hun. Koska yllä integraali oikeastaan vain laskee yhteen lukuja 1 Fpq, joilla qpq 1, ja jättää laskematta luvut 1 Fpq, joilla qpq 0, myyjän kannattaa valita seuraavasti: $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, TA5 Luento 6 2017 22 / 28

Myyjälle optimaalinen mekanismi (1 ostaja) ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Yllä 1 Fpq ostajan "virtuaalityyppi"tai "virtuaalihyöty". IC ja PC rajoitteet aiheuttavat sen, että myyjä voi saada tältä ostajalta, ei tämän maksuhalukkuuden verran rahaa vaan tämän virtuaalisen maksuhalukkuuden 1 Fpq verran rahaa. Sanotaan, että 1 Fpq on "informaatiomaksu"(myyjältä ostajalle). Optimaalinen mekanismi (1 ostaja) Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, Implementointi, hintamekanismi: p 1 Fp 1 q, jossa f p 1 q 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento 6 2017 23 / 28

Laajennuksia

Myyjälle optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Malli, jossa on n ostajaa, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ÿ E t i pq ÿ ż q i pq 1 Fpq j d i i Optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Olkoon i 1 Fp iq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle f p i q suurimman odotetun voiton $ & 0, jos i 1 Fp iq ă 0, f p q i pq i q % 1, jos i 1 Fp iq ě 0 ja f p i q i 1 Fp iq f p i q ą j 1 Fp jq f p j q kaikilla j Implementointi, huutokauppa (FPA tai SPA) ja reservaatiohinta: p 1 Fp 1 q, f p 1 q jossa 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento 6 2017 25 / 28

Myyjälle optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Malli, jossa ostajan hyöty on νpqq t ja myyjän voitto on t cq, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ż Eptpqq " νpqp qq 1 Fpq j * cqpq d Optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Olkoon 1 Fpq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & jos 1 Fpq ă 0, niin qpq 0, qpq : % jos 1 Fpq ě 0, niin ν 1 pqpqq 1 Fpq c. Implementointi, epälineaarinen hinnoittelu, määräalennus. TA5 Luento 6 2017 26 / 28