Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento 6 2017 1 / 28
Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Repeated games"(luento 21, kokonaan) Kirjallisuutta: TB luku 2
Mekanismin suunnittelu
Optimaalisen myyntimekanismin suunittelu Haluat siis myydä asuntosi? Miten kannattaa tehdä? Lukemattomia erilaisia vaihtoehtoja tarjolla: kiinteä hinta ja nopein ostaa, neuvottelut, erilaiset yksinkertaiset tai monimutkaiset huutokaupat jne. Käytännössä asunnot yleensä myydään tietyllä mekanismilla, myyjä asettaa hinnan ja ostajat tekevät myyjälle tarjouksen, joista korkein voittaa... Nämä ovat mekanismin suunnittelun tutkimusongelmia. Peliteorian osa, joka auttaa käytännön soveltajia optimaalisten mekanismien sunnittelussa ottaen huomioon kulloisenkin tilanteen (normatiivinen puoli), auttaa ymmärtämään, miksi tilanteessa A käytään mekanismia a ja tilanteessa B yleensä mekansimia b (positiivinen puoli). TA5 Luento 6 2017 4 / 28
Suunnitellaan ekstensiivinen Bayesilainen peli Jokainen myyntimekanismi generoi tietyn pelin myyjän ja ostajien välille. Pelin säännöt määräävät, kuka saa hyödykkeen ja paljonko siitä maksetaan. Tähän asti luennoilla peli on ollut eksogeeninen, nyt se on endogeeninen. Tilanteita, jossa valitut säännöt määrittelevät pelin osanottajien kesken, on lukemattomia vaalit, julkisten tai yksityisten hankkeiden kilpailutus, patenttilait, organisaatioiden promootiokäytännöt, kansainväliset neuvotteluprotokollat jne. TA5 Luento 6 2017 5 / 28
Yksityinen informaatio Suunnittelijan kannalta suurin ongelma on se, että pelaajilla on yksityistä informaatiota, esim. asunnon ostajat yksin tietävät, kuinka paljon ovat valmiita maksamaan asunnosta; tämän myyjäkin haluaisi tietää. Ongelmana on suunnitella mekanismi, jossa pelaajien kannattaa tuoda esille heillä oleva päätöksenteon kannalta relevantti informaatio; tämä on välttämätöntä mekanismin asianmukaisen toiminnan kannalta. Mekanismin suunnittelu on kunnianhimoinen ohjelma, sikäli että joukko, josta sopivaa myyntimekanismia etsitään on hyvin suuri: kaikki mahdolliset ekstensiiviset Bayesilaiset pelit myyjän ja ostajien välillä. TA5 Luento 6 2017 6 / 28
Yksi myyjä ja yksi ostaja: ongelma
Yksi myyjä ja yksi ostaja Ostajan hyöty, jos saa hyödykkeen ja antaa myyjälle t u t Myyjän voitto, jos antaa hyödykkeen ja saa ostajalta t π t Tässä kuvaa ostajan tyyppiä, maksuvalmiutta. Ostajan hyötyfunktio kvasi-lineaarinen Maksuhalukkuus yksityistä informaatiota noudattaa jakaumaa F, tiheysfunktio f Välillä, t ą 0u olevat :t mahdollisia TA5 Luento 6 2017 8 / 28
Periaatteessa... Myyjä voisi nyt kehitellä ostajalle minkä tahansa pelin, jonka loppuhistorioihin liittyy aina tulema pq,tq P t0,1u ˆ R; tässä q kertoo, antaako myyjä lopulta hyödykkeen ostajalle (q 1, jos kyllä, ja q 0, jos ei), ja t kertoo, paljonko ostaja maksaa (riippumatta q:sta). Ostaja näkee pelin ja voi päättää sitten haluaako osallistua vai ei. Mahdollisia pelejä on paljon, "liian paljon". Erittäin tärkeä lause "paljastusperiaate"kuitenkin osoittaa, että myyjän valintajoukoksi voidaan valita niin sanotut suorat mekanismit. Tämä on selvästi pienempi joukko pelejä. TA5 Luento 6 2017 9 / 28
Suorat mekanismit Suora mekanismi pq, tq on funktiopari q :, Ñ t0,1u, t :, Ñ R. "Suoruus"viittaa tässä siihen, että mekanismin ajatellaan käyttävän lähtötietonaan suoraan ostajan tyyppiä eikä siis jotain muuta ostajan lähettämää epäsuoraa informaatiota m (binäärijonoja, luonnollisen kielen sanoja, elekieltä, tms.). Tulkinta on siis, että ostaja kirjaa mekanismiin jonkin tyypin 1 P,, joko omansa tai minkä vain muun 1. Ostaja voi siis myös juksata. Jos ostaja ilmoittaa tyypikseen 1, myyjä on tämän jälkeen sitoutunut toteuttamaan vastaavan lopputuleman qp 1 q ja tp 1 q. TA5 Luento 6 2017 10 / 28
Paljastusperiaate 1 Ostajan strategia on σ :, Ñ, (mekanismiin lähetetty tyyppi todellisen tyypin funktiona) Paljastusperiaate Jokaista mekanismia Γ ja ostajan optimaalista valintaa σ Γ:ssa vastaa suora mekanismi Γ 1 ja ostajan optimaalinen valinta σ 1 Γ 1 :ssa niin, että kaikilla P, 1. σ 1 pq (ostajalle on kannattavaa raportoida Γ 1 :ssä "rehellisesti") 2. q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq. (optimaalinen "suora"raportointi Γ 1 :ssä johtaa samaan lopputulokseen kuin optimaalinen "epäsuora"raportointi Γ:ssa) Koska jokaista epäsuoraa mekanismia voidaan jäljitellä suoralla mekanismilla (funktiot σ ja pq,tq yhdistämällä pq 1,t 1 q pq,tq σ), ei menetetä mitään, jos keskitytään suoriin mekanismeihin. TA5 Luento 6 2017 11 / 28
Paljastusperiaate 2 Todistus. Väitetään siis, että kun määritellään Γ 1 pq 1,t 1 q seuraavasti q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq kaikilla P,, ostajan kannattaa raportoida siihen todellinen tyyppinsä. Tämä osoittaa, että σ 1 pq on ostajan optimaalinen valinta Γ 1 pq 1,t 1 q:ssä aina, kun σpq on ostajan optimaalinen valinta Γ pq, tq:ssa. Vastaväite: ostajan kannattaa poiketa (suorassa mekanismissa) Γ 1 pq 1,t 1 q:ssa :stä 1 :uun. q 1 p 1 q t 1 p 1 q ą q 1 pq t 1 pq Tästä kuitenkin seuraa heti, että ostajan kannattaa poiketa myös (epäsuorassa mekansimissa) Γ pq,tq:ssa σpq:sta σp 1 q:uun qpσp 1 qq tpσp 1 qq ą qpσpqq tpσpqq Tämä ei voi pitää paikkaansa, koska lähtöoletus oli, että σ on ostajan optimaalinen valinta (epäsuorassa mekanismissa) Γ pq, tq. TA5 Luento 6 2017 12 / 28
Myyjän vaihtoehdot Paljastusperiaatteesta seuraa, että myyjän valintajoukko on niitten suorien mekanismien joukko Γ pq, tq, joille pätee: Insentiivirajoite (IC): oman tyypin raportointi on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q kaikille 1 P,. Osallistumisrajoite (PC): peliin osallistuminen on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě 0 kaikille P,. TA5 Luento 6 2017 13 / 28
Yksi myyjä ja yksi ostaja: ratkaisu
Millaisia nämä mekanismit ovat? Myyjän täytyy valita suora mekanismi, joka toteuttaa ehdot IC ja PC. Tämä asettaa tiettyjä rajoitteita valittavissa oleville mekanismeille. Monotonisuus q Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin q on kasvava :n suhteen. Todistus. Tarkastellaan mitä hyvänsä kahta tyyppiä 1 ă. IC vaatii qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qpq tpq ď 1 qp 1 q tp 1 q miinustamalla epäyhtälöt puolittain saadaan qpq tpq 1 qpq ` tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qp 1 q ` tp 1 q p 1 qqpq ě p 1 qqp 1 q TA5 Luento 6 2017 15 / 28
Monotonisuus u Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin u on kasvava :n suhteen ja u 1 pq qpq. Todistus. Huomaa, että IC vaatii lisäksi argmax 1up, 1 q argmax 1qp 1 q tp 1 q upq max 1 up, 1 q maxqp 1 q tp 1 q 1 Maksimiarvofunktioista f paq max x f px,aq ja maksimikohtafuntioista x paq argmax x f px,aq tiedetään verhokäyrälauseen perusteella, että f 1 paq f a px paq,aq Käsillä olevassa tapauksessa, max 1 up 1,q, 1 on muuttuja (kuten yllä x) ja on parametri (kuten yllä a). Saadaan suoraan u 1 pq u p 1 pq,q qpq. TA5 Luento 6 2017 16 / 28
Hyötyekvivalenssi u ja tuottoekvivalenssi t Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin ż upq upq ` qpsqds ja ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Osa 1: Analyysin peruslauseen mukaisesti: ż upq upq ` u 1 psqds Osa 2: Sijoitetaan upq qpq tpq ja järjestellään. TA5 Luento 6 2017 17 / 28
IC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), jos ja vain jos q on kasvava :n suhteen ja kaikilla ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Näytimme jo, että nämä ehdot ovat välttämättömät IC:lle. Näytetään nyt, että ehdot ovat myös riittävät IC:lle. upq ě qp 1 q tp 1 q ðñ upq ě qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q 1 qp 1 q ðñ upq ě qp 1 q 1 qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q ðñ upq up 1 q ě p 1 qqp 1 q ðñ ż ż 1 qpsqds ě 1 qp1 qds Viimeisin epäyhtälö pätee, koska q on kasvava :n suhteen (huomaa, että molemmat ă 1 ja ą 1 käyvät). TA5 Luento 6 2017 18 / 28
PC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin se toteuttaa osallistumisehdon (PC) jos ja vain jos upq ě 0. Todistus. Koska u on kasvava, niin upq ě 0 ùñ upq ě 0 TA5 Luento 6 2017 19 / 28
Millainen on myyjälle kannattavin mekanismi? Tuottoekvivalenssi ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds Huomio 1: myyjän ei kannata antaa ylimäärästä matalimmalle tyypille, koska se vain laskee muilta saatavia tuottoja Huomio 2: myyjä valitsee sellaisen kasvavan q:n, joka maksimoi sen odotetun tuoton ş tpqd. Se voidaan laskea ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d TA5 Luento 6 2017 20 / 28
Keskimmäisen termin laskeminen ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d Lasketaan arvo keskellä olevalle integraalille. Käytetään selkeyden vuoksi integrointivakioita x,y P, ż ż y qpxqdxf pyqdy, ż ż y qpxqf pyqdxdy, f sisäintegraaliin ż ż qpxqf pyqdydx, integrointijärjestys x ż ż qpxq f pyqdydx, q ulkointegraaliin x ż qpxqp1 Fpxqqdx, lasketaan sisäintegraali ż qpxq 1 Fpxq f pxqdx, palautetaan mukaan f f pxq TA5 Luento 6 2017 21 / 28
Myyjälle optimaalinen mekanismi ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Myyjän kannattaa valita sellainen q, että yllä oleva lauseke maksimoituu. Lisäksi q:n täytyy olla kasvava. Huom. F ja f ovat mallin osia, eli niihin myyjä ei voi vaikuttaa. Myyjä voi vaikuttaa yllä ainoastaan q:hun. Koska yllä integraali oikeastaan vain laskee yhteen lukuja 1 Fpq, joilla qpq 1, ja jättää laskematta luvut 1 Fpq, joilla qpq 0, myyjän kannattaa valita seuraavasti: $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, TA5 Luento 6 2017 22 / 28
Myyjälle optimaalinen mekanismi (1 ostaja) ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Yllä 1 Fpq ostajan "virtuaalityyppi"tai "virtuaalihyöty". IC ja PC rajoitteet aiheuttavat sen, että myyjä voi saada tältä ostajalta, ei tämän maksuhalukkuuden verran rahaa vaan tämän virtuaalisen maksuhalukkuuden 1 Fpq verran rahaa. Sanotaan, että 1 Fpq on "informaatiomaksu"(myyjältä ostajalle). Optimaalinen mekanismi (1 ostaja) Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, Implementointi, hintamekanismi: p 1 Fp 1 q, jossa f p 1 q 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento 6 2017 23 / 28
Laajennuksia
Myyjälle optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Malli, jossa on n ostajaa, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ÿ E t i pq ÿ ż q i pq 1 Fpq j d i i Optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Olkoon i 1 Fp iq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle f p i q suurimman odotetun voiton $ & 0, jos i 1 Fp iq ă 0, f p q i pq i q % 1, jos i 1 Fp iq ě 0 ja f p i q i 1 Fp iq f p i q ą j 1 Fp jq f p j q kaikilla j Implementointi, huutokauppa (FPA tai SPA) ja reservaatiohinta: p 1 Fp 1 q, f p 1 q jossa 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento 6 2017 25 / 28
Myyjälle optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Malli, jossa ostajan hyöty on νpqq t ja myyjän voitto on t cq, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ż Eptpqq " νpqp qq 1 Fpq j * cqpq d Optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Olkoon 1 Fpq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & jos 1 Fpq ă 0, niin qpq 0, qpq : % jos 1 Fpq ě 0, niin ν 1 pqpqq 1 Fpq c. Implementointi, epälineaarinen hinnoittelu, määräalennus. TA5 Luento 6 2017 26 / 28