Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1
Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus R n......................... 3 1.1.1 Karteesinen tulo........................ 3 1.1.2 Vektoriavaruus R n....................... 3 1.1.3 Avaruus R n on n-ulotteinen.................. 4 1.1.4 Avaruuden R n sisätulo..................... 4 1.1.5 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys............ 5 1.1.6 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille....... 5 1.1.7 Täydellinen metrinen avaruus................. 6 1.1.8 Joukon halkaisijan merkintä.................. 7 1.2 Vektorifunktioista............................ 7 1.2.2 Määritelmä: funktion graafi.................. 8 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko................... 8 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen............ 9 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 10 2.1 Raja-arvo................................ 10 2.1.1 Määritelmä: raja-arvo...................... 10 2.2 Jatkuvuus................................ 13 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä.................... 13 3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 15 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista........ 15 3.1.2 Määritelmä: kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat.. 18 3.2 Suunnatuista derivaatoista....................... 19 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio.............. 19 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä...... 19 3.5 Gradientista............................... 19 3.6 Derivaatasta............................... 19 4 Ääriarvotehtäviä 19 1
Esimakua (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x Kuva 1: Funktioiden f R R kuvaajia analyysin kursseilta. (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva 2: Reaaliarvoisten vektorifunktioiden kuvaajia. Vasemmanpuoleinen } graafi on tarkemmin joukko S = {x R 3 x = (u, u 2 ) u R 2. (a,b,c) b c a } Kuva 3: Pinta S = {(x, y, z) R 3 z = x 2 y 2 + 12 (x, y) R2 vektoriavaruudessa R 3 ja pinnan piste (a, b, c). 2
Kertaus Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja eli: R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R} missä R on reaalilukujen joukko. Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x 1, x 2 ) ja (u 1, u 2 ) määritelty luonnollinen vektorisumma eli yhteenlasku: (x 1, x 2 ) + (u 1, u 2 ) = (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) ja reaalisella skalaarilla λ R kertominen: λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Muistutus! (R 2, +) on Abelinryhmä, nolla-alkiona 0 = ( 0, 0 ) ja vasta-alkiona a kun a R 2. 1 Euklidinen avaruus 1.1 Euklidinen avaruus R n 1.1.1 Karteesinen tulo Joukko R n = R R R on R avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruus R n, n = 1, 2,, n määritellään joukkona: R n = {(x 1,, x n ) x k R, k = 1, 2,, n} (1) missä x 1,, x n on reaalilukujono, jossa on n-termiä. Vektori: x = (x 1,, x n ) on avaruuden R n alkio, kunhan x 1,, x n R. Luku x k on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti. 1.1.2 Vektoriavaruus R n Olkoot (x 1,, x n ) R n ja (y 1,, y n ) R n. Tällöin vektroreille määritellään: (a) yhteenlasku (b) skalaarilla kertominen x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λx = (λx 1,, λx n ) λ R (c) sekä nolla-alkio 0 = (0,, 0) R n ; x + 0 = x. 3
1.1.3 Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruus R n on n-uloitteinen eli dim R n = n. Yksikkövektorit: e 1 = (1, 0,, 0) e 2 = (0, 1,, 0) e n = (0, 0,, 1) muodostavat avaruuden R n luonnollisen kannan eli kanonisen kannan. Jokaisella vektorilla x = (x 1, x 2,, x n ) R n on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla: x = x 1 e 1 + x n e n = x k e k. 1.1.4 Avaruuden R n sisätulo x=1 1. Kuvaus (x, y) x y, R n R n R, joka määritellään: x y = x 1 y 2 + + x n y n = x k y k (2) kun x = (x 1,, x n ) R n ja y = (y 1,, x n ) R n on sisätulo (eli skalaaritulo eli pistetulo) avaruudessa R n. Merkitään myös (x y). 2. Vektoriavaruus R n varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen avaruus R n. 3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruuden R n euklidinen normi on kuvaus: R n R + = {t R t 0} Huomaa! x = x x, x R n. x=1 x x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n ja luku x x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden. 4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu: { 1, kun i = j e i e j = S ij = 0, kun i j, kun i, j = 1, 2, 3,, n. (3) Lisäksi: n n ( ) x = x k e k = xk e k ek k=1 k=1 5. Cauchyn Schwarzin epäyhtälö x y x y, kun x, y R n. 4
1.1.5 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys Avaruuteen R n tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden R n euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d, d R n R n R +, että d(x, y) = x y, kun x, y R n. Huomautus 1. Kaava d(x, y) = x y määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyyden euklidisen metriikan suhteen. Huomautus 2. Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa R n. Näille pätee, että x max = max x i 1 i n n x abs = x i i=1 x max x x abs n x max. 1.1.6 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Avaruuden R n topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta. 1. Olkoon x 0 R. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = B n (x 0, r) = {x R n x x 0 < r} (4) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen avoin pallo. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = {x R n x x 0 r} (5) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen suljettu pallo. r r x 0 x 0 Kuva 4: Avoin pallo B n (x 0, r) ja suljettu pallo B(x 0, r). 5
2. Joukon A R n sisus eli sisäpisteiden joukko inta määritellään: inta = {x A r > 0 s.e. B(x, r) A}. Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = inta. Merkitään: A R n. 3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ystö). Pallo B n (x, r) on erikoistapaus tästä. 4. Piste x R n on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo B n (x, r) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. 5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo B n (x, r) sisältää joukon A ja joukon A kompelementin R n A pisteitä. Reunaa merkitään A = {x R n x on joukon A reunapiste}. Joukon A sulkeuma on A = inta A. A x r A y x 0 Kuva 5: Joukon A reunapiste x 0. x A B n (x 0, r) ja y (R n A) B n (x 0, r). 1.1.7 Täydellinen metrinen avaruus Avaruus R n on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden R n Cauchyn jono suppenee. 6
1.1.8 Joukon halkaisijan merkintä Epätyhjän joukon A R n, A, halkaisija diam (A) määritellään diam (A) = sup d(x, y) = sup x y x,y A x,y A Joukko on rajoitettu, jos A = tai jos diam (A) < 1.2 Vektorifunktioista. 8 8 Kuvaus f R n R p, n > 1 tai p > 1 on vektorifunktio. Erityisesti (a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p 2, (b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1.. (6) Esimerkki 1.2.1. Olkoon g R 2 R, kuvaus (x 1, x 2 ) Kuvauksen määrittelyjoukko on 9 x 2 1 x2 2. D = {(x 1, x 2 ) 9 x 2 1 x2 2 0} = {x2 1 + x2 2 9} = B2 (0, 3). Kuvajoukko on {x 3 x 3 = 9 x 2 1 x2 2 ; (x 1, x 2 ) D}. Koska x 3 0 ja 9 x 2 1 x2 2 9, eli 9 x 2 1 x2 2 3. Siis kuvauksen arvojoukko on [ 0, 3 ]. Graafi = {(x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D}. x 3 (0, 0, 3) (3, 0, 0) (0, 3, 0) x 1 x 2 Kuva 6: Esimerkin 1.2.1 graafi = {(x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D}. 7
1.2.2 Määritelmä: funktion graafi Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on D, niin funktion f graafi on joukko {(x 1, x 2, x 3 ) R n x 3 = f(x 1, x 2 ) ; (x 1, x 2 ) D}. Esimerkki 1.2.3. Kuvaus f R 2 R, u u 2 määrittelee avaruuteen R 3 pinnan { } S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2 Esimerkki 1.2.4. Kuvaus H R 2 R, h(x) x. Kuvauksen h graafi on joukko { (x1, x 2, h(x 1, x 2 ) ) R 3 ( x 1, x 2 ) R 2 } (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva 7: Esimerkkien 1.2.3 ja 1.2.4 kuvauksien graafit. 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko Kuvauksen f A R, A R n, vakiota r f(a) vastaava tasa-arvojoukko on S f (r) = { x A f(x) = r }. Jos f on riittävän siisti (säännöllinen), niin S f (r) on (n 1) ulotteinen pinta avaruudessa R n. Esimerkki 1.2.6. Määritä kuvauksen f R n R, x x 2 tasa-arvojoukko. Tasa-arvojoukko on S f (r 2 ) = {x R n f(x) = x 2 = r 2} S(0, r) eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa R n, 8
Esimerkki 1.2.7. Määritä funktiolle f R 2 R, x x 1 x 2 tasa-arvokäyrät. Tasa-arvokäyrät { } S f (r) = x R 2 f(x) = x 1 x 2 = r ovat hyperbelejä. Huomautus! Tasa-arvokäyrä f(x 1, x 2 ) = k on kaikkien niiden määrittelyjoukon pisteiden joukko, joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo näyttää missä graafilla on korkeus k. x 2 r = 1 r = 1 x 1 r = 1 r = 1 Kuva 8: Esimerkin 1.2.7 tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = 1. 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Avaruuden R n jono on kuvaus φ N R n. Sen arvoja φ(k) merkitään alaindeksillä φ k eli φ(k) = φ k ja itse jonon merkintä on (φ k ) k=1. Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on x k. Jonolle käytetään merkintää: (x k ) = (x k ) k=1, missä x k = φ(k) 8 8 Suppeneminen Olkoon (x k ) jono avaruudessa R n. Olkoon a R n. Jono (x k ) suppenee kohti vektoria alkiota pistettä a R n, jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k 0 N siten, että x k U kaikilla k k 0. 9
Merkitään x k a, kun k, lim x k = a tai k lim x k a = 0. k Alkiota a sanotaan jonon x k raja-arvoksi eli raja-alkioksi. Huomautus. 1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. 2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu. Cauchy-ehto. Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy-jono, jos jokaisella ε > 0 on olemassa k ε N siten, että x j x k < ε aina kun j, k > k ε. Huomautus. Suppeneva jono on Cauchy-jono. Avaruudessa R n on myös käänteinen tulos: Lause. Avaruus R n on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa R n on suppeneva. Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 2.1 Raja-arvo 2.1.1 Määritelmä: raja-arvo Olkoon A R n ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f A R on pisteessä a raja-arvo b R joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ a,ε = δ > 0 siten, että Merkitään f(y) b < ε, aina kun y A ja 0 < y a < δ. lim y a y a lim f(y) = b y A {a} Huomautus. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen. Huomautus. Olkoon A R n ja f A R ja a joukon A kasautumispiste. Olkoon b R. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a A, jos jokaisella jonolla (x k ), jolla x k A ja x k a, pätee, että f(x k ) b. 10
Esimerkki 2.1.2. Osoitetaan, että raja-arvoa x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ei ole olemassa. Ratkaisuehdotus: Olkoon f R 2 {0} R, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2. Ensin lähestytään pistettä (0, 0) pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f(x, 0) = x2 = 1 kaikilla x 0. x Siis f(x, y) 1, kun (x, y) 0 pitkin x-akselia. Lähestytään 2 origoa nyt pitkin yakselia, eli x = 0. Silloin f(0, y) = y2 = 1, kaikilla y 0. Siis f(x, y) 1, y 2 z kun (x, y) (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen. x y kuvaaja ja origon läh- Kuva 9: Esimerkin 2.1.2 tilanne: funktion z = f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 estyminen sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin. Huomautus. Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa olemassa. Esimerkki 2.1.3. Selvitä, onko raja-arvoa sin(x 2 + y 2 ) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) olemassa. Ratkaisuehdotus: Valitaan y = x 2. Silloin 3x 2 y 2 x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y = 3x4 2 x 2 + x = x2 3x 2 0, kun x 0 ja x 0. 4 x 2 (1 + x 2 ) 11
Valitaan x = y 2. Silloin 3x 2 y x 2 + y = 3y5 2 y 4 + y = y2 3y 3 0, kun y 0 ja x 0. 2 y 2 (y 2 + 1) Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa! z y x Kuva 10: Esimerkin 2.1.3 tilanne: funktion z = f(x, y) = 3x2 y 2 lähestyminen käyrää x = y 2 pitkin (punaisella). x 2 +y 2 Olkoon ε > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään δ > 0 siten, että jos 0 < (x, y) (0, 0) < δ, niin 3x 2 y x 2 + y 0 < ε. 2 (Huomaa: (x, y) (0, 0) = (x, y) = x 2 + y 2 ) Siis etsitään δ ε > 0 siten, että jos 0 < x 2 + y 2 < δ ε, niin 3x2 y x 2 +y2 < ε. Nyt 3x 2 y 3 y = 3 y 2 3 x 2 + y 2, ** sillä x 2 x 2 + y 2. x 2 + y 2 Jos nyt valitaan δ ε = ε 3, niin Siis määritelmän nojalla lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 0 3 x 2 + y 2 < 3δ 2 ε = 3ε 3 = ε. 3x 2 y x 2 +y 2 = 0. kuvaaja ja origon 12
2.2 Jatkuvuus 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä Olkoon A R n kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x A, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ x,ε = δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä. Huomautus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä x A R n, jos f(y) saadaan mielivaltaisen lähelle pistettä f(x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f(y) f(x), kun y x. Huomautus. Jos x A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim f(y) = f(x). y x y A Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä. x δ (l 1, l 2 ) Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, kts. määritelmä yllä. Lisäksi kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä (l 1, l 2 ). Lause. Olkoon A R n ja olkoon f A R kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä a A, jos ja vain jos Esimerkki 2.2.2. Määrää f(x k ) f(a), kaikilla jonoilla (x k ), jolla x k a, x k A. lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y). Ratkaisuehdotus: Koska voidaan määritellä f(x, y) = x 2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y ja f on polynomi, niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y) = 1 8 1 4 + 3 + 4 = 11. 13
Esimerkki 2.2.3. Olkoon f R 2 {0} R, (x, y) x2 y 2 x 2 +y2. Tutki kuvauksen jatkuvuutta. Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa! Ratkaisuehdotus: Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) (0, 0). Olkoon (x k, y k ) (x, y) ja (x k, y k ) (0, 0). Siis x k x ja y k y, kun k. Siis x 2 k x2 ja y 2 k y2, kun k. Näin ollen x 2 k y2 k x 2 k + y2 k x2 y 2 x 2 + y 2. Siis f(x k, y k ) f(x, y) x 2 = k y2 k x 2 k + x2 y 2 y2 x 2 + y 2 0, kun k. k Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) (0, 0). Huomautus. Jos määritellään funktio f origossa siten, että f(0, 0) = 0, niin lim f(x, y) = 0 = f(0, 0) (x,y) (0,0). Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla. Huomautus. Jos määritellään f(0, 0) = b 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa. Esimerkki 2.2.4. Onko kuvaus f R 2 R x 1 x 2 2, kun (x f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0) jatkuva? Ratkaisuehdotus: Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x 1 = kx 2, k 0, antaa f(x 1, x 2 ) = f(kx 2 2, x 2 ) = kx 4 2 k k 2 x 4 2 + = x4 1 + k 0. 2 2 14
x 3 x 2 x 1 Kuva 12: Esimerkin 2.2.4 kuvauksen x 3 = f(x 1, x 2 ) = x 1x 2 2 graafi. x 2 1 +x4 2 Esimerkki 2.2.5. Olkoon funktio g R 2 R, x x g(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x2 2 2, kun (x x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0). Funktio g on jatkuva origossa. Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x 1 = r cos φ ja x 2 = r sin φ): g(r, φ) = r 2 cos φ sin φ r2 cos 2φ r 2. ( cos 2 φ sin 2 φ = cos 2φ ja sin 2 φ + cos 2 φ = 1) Siis g(r, φ) r 2 0, kun r 0. 3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Esimerkki 3.1.1. On kehitetty ns. humidex (temperature humidity index), joka kuvaa lämpötilan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila ( C) ja H = kosteus eli I = f(t, H). 15
Suhteellinen ilmankosteus % T ( C ) H 40 45 50 55 60 65 70 26 31 28 35 30 36 37 38 40 32 42 34 47 Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorological Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.) Kun H = 60%, niin Humidex iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siis H:n arvo kiinnitetty]. Merkitään g(t ) = f(t, 60). Silloin g(t ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteus on koko ajan 60%. Funktion g derivaatta, kun T = 30 C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilan suhteen: g g(30 + h) g(30) f(30 + h, 60) f(30, 60) (30) = lim = lim. Valitaan h = 2 ja tehdään approksimaatio g (30) Valitaan h = 2 ja nyt g (30) g(32) g(30) 2 g(28) g(30) 2 Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, että = = f(32, 60) f(30, 60) 2 f(28, 60) f(30, 60) 2 g (30) 1, 75. = = 42 38 2 35 38 2 = 2. = 1, 5. Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30 C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin koettu lämpötila (Humidex) nousee noin 1, 75 C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötila nousee. Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30 C. Luvut G(H) = f(30, H) ovat funktion arvot. Funktio G(H) = f(30, H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa ja todellinen lämpötila on mittarissa 30 C. 16
Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun H suhteen: G G(60 + h) G(60) f(30, 60 + h) f(30, 60) (60) = lim = lim. Otetaan h = 5 ja h = 5 ja approksimoidaan lukua G (60) taulukon avulla. Saadaan G G(65) G(60) f(30, 65) f(30, 60) 40 38 (60) = = = 2 = 0, 4 ja 5 5 5 5 G G(55) G(60) f(30, 55) f(30, 60) 37 38 (60) = = = 1 = 0, 2. 5 5 5 5 Siis G (60) 0, 3. Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30 C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidex nousee noin 0, 3 C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden. Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y). Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloin meillä on yhden muuttujan funktio g(x) = f(x, b). Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään f x (a, b). Siis Derivaatan määritelmän mukaan g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = g (a), kun g(x) = f(x, b). f(a + h, b) f(a, b), siis f x (a, b) = lim. Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään f y (a, b), saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolle G(y) = f(a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin f(a, b + h) f(a, b) f y (a, b) = lim. Siis esimerkissämme 3.1.1 näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpötilan suhteen kun T = 30 C ja H = 60% on f T (30, 60) 1, 75 ja Humidexin I muutosnopeus todellisen kosteuden suhteen, kun T = 30 C ja H = 60% on f H (30, 60) 0, 3. Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin f x ja f y tulevat olemaan kahden muuttujan funktiota. 17
3.1.2 Määritelmä: kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat Jos f on kahden muuttujan funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y), niin sen osittaisderivaatat ovat f(x + h, y) f(x, y) lim lim h 0 f(x, y + y) f(x, y) h = f x (x, y) = f y (x, y) mikäli raja-arvot ovat olemassa. Merkinnöistä: Jos z = f(x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = D 1 f = D f xf = x ja vastaavasti f y (x, y) = 2 f. y = 1 f = x f (7) Esimerkki 3.1.3. Olkoon f R 2 R, (x, y) x 3 + x 2 y 3 2y 2. Määrää f x (2, 1) ja f y (2, 1). Ratkaisuehdotus: f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 4y f x (2, 1) = 16 f y (2, 1) = 8 Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuutta pisteessä a. Esimerkki 3.1.4. Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g R 2 R, { xy g(x, y) = x 2 +y2, kun(x, y) (0, 0) 0, kun(x, y) = (0, 0). Silloin g x (0, 0) ja g y (0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa. Huomautus. Nyt h R, x R, y R, e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1); e 1 ja e 2 ovat avaruuden R 2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt f((x, y) + h(1, 0)) f(x, y) f((x, y) + he f x (x, y) = lim = lim 1 )) f(x, y) ; koska (x, y) + h(1, 0) = (x, y) + he 1 = (x + h, y + 0) = (x + h, y). Vastaavasti f((x, y) + h(0, 1)) f(x, y) f((x, y) + he f y (x, y) = lim = lim 2 )) f(x, y) ; koska (x, y) + h(0, 1) = (x, y) + he 2 = (x + 0, y + h) = (x, y + h). Sovelluksista Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, esim. jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja. 18
Esimerkki 3.1.5. Laplacen yhtälö 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Osoita, että funktio u(x, y) = e x sin y toteuttaa Laplacen yhtälön. [Pierre Laplace 1749-1827.] Ratkaisuehdotus: u x = e x sin y u xx = e x sin y u y = e x cos y u yy = e sin y Siis u xx + u yy = 0. Esimerkki 3.1.6. Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön. Ratkaisuehdotus: u x = cos(x at) u xx = sin(x at) 2 u t = 2 u 2 a2 x 2 u y = a cos(x at) u yy = a 2 sin(x at) = a 2 u xx 3.2 Suunnatuista derivaatoista 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä 3.5 Gradientista 3.6 Derivaatasta 4 Ääriarvotehtäviä 19