MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013
PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1 Tarkista laskimella tulos 51,1 %. Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki 41. Laske 32 prosenttia luvusta 640. x 32 100 640 204,8 Esimerkki 42. Paljonko on 14 %:a 320 kg:sta? 14 x 320kg 44, 8kg 100
PROSENTTILASKENTA Prosenttiluvun laskeminen Esimerkki 43. Kuinka monta prosenttia 55 kg on 790 kg:sta? x 55kg 790kg 100% 6,96% Esimerkki 44. Kuinka monta prosenttia 75 mm on 65 cm:stä? Ennen laskutoimitusta yksiköt on muutettava samoiksi. x 75mm 100% 11,54% 650mm Tulos olisi sama jos yksiköt olisivat olleet cm:nä.
PROSENTTILASKENTA Perusarvon laskeminen Esimerkki 45. Mistä rahamäärästä 15 %:a on 38 euroa? 38e x 253, 33e 0,15 Lisätty arvo Esimerkki 46 Lisää 230 kg:aan 12 %:a. x 230kg 230kg0,12 257, 6kg Lisäys voidaan laskea myös seuraavasti: x 230kg1,12 257, 6kg Edellisessä kertoimen 1,12 luku 1 vastaa alkuperäistä arvoa ja 0,12 lisäystä.
PROSENTTILASKENTA Lisätty arvo Esimerkki 47. Lisää 860 euroon 24 %:a. x 860e 1,24 1066, 4e Esimerkki 48. Lisää 45 grammaan 140 %:a x 45g 2,4 108g tai toisella laskutavalla: Vähennetty arvo Esimerkki 49. Vähennä 480 eurosta 24%:a. x 480e 480e 0,24 364, 8e Toisella tavalla: x 480e 0,76 364, 8e x 45g 45g 1,4 108g Käytä sitä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. Edellisessä tavassa kerroin 0,76 on saatu vähentämällä luvusta yksi luku 0,24. Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta.
PROSENTTILASKENTA Vähennetty arvo Jos vähennetystä arvosta halutaan laskea alkuperäinen arvo, saadaan se jakamalla vähennetty arvo vähennyskertoimella. Esimerkki 50. Alkuperäisestä massasta on vähennetty 64 %:a jolloin on saatu tulos 1300 kg. Mikä on ollut alkuperäinen massa? tai 1300kg x 3611, 1kg 0,36 Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. 1300kg x 3611, 1kg 1 0,64
PROSENTTILASKENTA Muutos tai vertailu Prosentuaalisesti muutos lasketaan: muutos x 100% alkuperäinen arvo Laskiessa on tärkeää ymmärtää kysymyksen muodosta mikä on alkuperäinen arvo. Esimerkki 12. Auton hinta laski omistuksen aikana ostohinnasta 14000 e myyntihintaan 8500 e. Paljonko auton arvo laski prosentteina? 14000e 8500e x 100% 39,28% 14000e Alkuperäinen arvo oli auton ostohinta, joten se tulee nimittäjään. Muutos lasketaan aina vähentämällä suuremmasta luvusta pienempi.
PROSENTTILASKENTA Esimerkki 13. Kunnostettavan huonekalun ostohinta oli 45 e ja myyntihinta oli 80 e. Paljonko huonekalun arvo nousi prosentteina? x 80e 45e 45e 100% 77,8% Esimerkki 14. Pekan palkka on 14,25 e tunnilta ja Hilkan palkka 12,75 e tunnilta. Montako prosenttia Pekan palkka on suurempi kuin Hilkan palkka? x 14,25e 12,75e 12,75e 100% 11,76%
PROSENTTILASKENTA Esimerkki 15. Entä montako prosenttia Hilkan palkka on pienempi kuin Pekan palkka? x 14,25e 12,75e 14,25e 100% 10,52% Esimerkki 16. Entä montako prosenttia Hilkan palkka on Pekan palkasta? x 12,75 100% 14,25 89,47%
ONGELMANRATKAISU Työssä ja arkielämässä tulee usein vastaan tilanteita joiden ratkaisuun tarvitaan matematiikkaa. Esimerkkejä näistä ovat mm: 1. Maalia ollaan sekoittamassa eri komponenteista. Jotta maali saadaan tehtyä oikein tarvitaan peruslaskutoimituksia ja murtolukulaskentaa. Piirustusten perusteella tulee laskea mittoja. Tarvitaan mittayksiköiden muutoslaskentaa. Ollaan laskemassa lukuarvoa laskukaavan avulla, jossa kysyttävä termi ei ole laskukaavassa yksin omalla puolella yhtälöä. Tarvitaan mittayksiköiden muutoslaskentaa, tekijänyhtälönratkaisua ja potenssilaskua.
ONGELMANRATKAISU Ollaan ostamassa ruokaa kaupasta. Samaa ruokaa on eri pakkauskoissa eri hinnoin. Tarvitaan verrantolaskentaa. Huoneiston seinät pitää maalata. On arvioitava tarvittavan maalin määrä. Jotta maalia hankitaan sopiva määrä, on laskettava huoneiston seinien pinta-alat ja verrannon avulla tarvittavan maalin määrä. Maalia ollaan sekoittamassa tietty määrä johonkin astiaan. Jotta maali saadaan tehtyä oikein tarvitaan tilavuuslaskentaa ja yhtälönratkaisua. Ollaan laskemassa tarvittavan pinnoitteen määrää tietylle pinnoitettavalle alalle. Tarvitaan pinta-ala-, tilavuusja prosenttilaskentaa. Ollaan laskemassa kemikaalilisäystä. Tarvitaan yhtälönluontia ja sen ratkaisua.
ONGELMANRATKAISU Usein ongelmat voidaan ratkaista yhdellä tai useammalla peruslaskutoimituksella. Joskus tarvitaan avuksi laskukaavaa, joskus tekijänyhtälöratkaisua ja laskukaavojen yhdistelyä. Usein prosenttilaskentaa ja monesti edellä mainittuja yhdessä. Hankalimmissa tilanteissa on ongelma ratkaistava luomalla yhtälö tai yhtälöpari. Ongelmien ratkaiseminen on usein järkevää tehdä seuraavalla tavalla.
ONGELMANRATKAISU 1. Mieti mitä ongelmassa kysytään? Merkitse kysyttävä tekijä sen tunnuksella. 2. Mitä tietoa ongelman ratkaisemiseksi on olemassa? Merkitse tiedetyt tekijät niiden tunnuksilla. 3. Mitä tietoa ongelman ratkaisemiseksi on olemassa? Merkitse tiedetyt tekijät niiden tunnuksilla. 4. Valitse sellainen laskukaava jolla ongelma on ratkaistavissa. Ongelma on laskemalla ratkaistavissa aina silloin kun tuntemattomia tekijöitä on vain yksi. Joskus tarvitaan laskukaavojen yhdistelyä tai puuttuvan tiedon laskemissa joillakin muilla keinoin.
ONGELMANRATKAISU 5. Jos on tarpeen, tee laskukaavaan tekijänyhtälönratkaisun avulla muunnos niin, että kysyttävä termi on yksin yhtälön omalla puolellaan. 6. Ratkaise tehtävä laskemalla. Käytä laskennassa mukana yksiköitä. Jos lopputuloksen yksikkö ei ole järkevä, on laskennassa jotakin vikaa. 7. Mieti tuloksen järkevyyttä ja tarkasta tulos.
ONGELMANRATKAISU Esimerkki 17. Jos lieriön muotoisen ohennepurkin halkaisija on 20 cm ja siinä on ohennetta 15 cm. niin paljonko ohennetta on litroina? 1. Tehtävässä kysytään tilavuutta. Merkitään ( V=? ) 2. Lieriön tilavuuden laskukaava on: V d 4 2 h Tehtävässä tiedetään Π, d ja h, joten se voidaan laskea suoraan kunhan d ja h muutetaan sopiviin yksikköihin. Saadaan: V dm 4 2 2 3 1,5dm 4,7dm Tulos vaikuttaa järkevältä ja sen yksikkö on oikein. 4,7l.
ONGELMANRATKAISU Esimerkki 18. Maalia tarvitaan 1,5 litraa. Maali sekoitetaan lieriön muotoiseen astiaan jonka halkaisija on 15 cm. Paljonko maalia tarvitaan senttimetreinä purkissa? b) Lieriön halkaisija ( d ) c) П:n arvoa d) Tarvittavan maalin määrä joka on sama kuin tilavuus ( V ). 1. Tehtävässä kysytään korkeutta. Merkitään h =?. 2. Tiedetään: a) Lieriön tilavuuden laskukaava, V d 4 2 h Tarvittava tieto on olemassa koska ainoa tekijä jota ei tiedetä on korkeus h. Sen laskemiseksi tarvitaan tekijäyhtälön muokkausta jolloin saadaan. V 4 h d 2
ONGELMANRATKAISU Ennen tuloksen laskemista muunnetaan yksiköt sopiviksi jolloin saadaan. 3 3 1,5dm 4 6dm h 0,85dm 8, 5cm 2 2 1,5dm 2,25dm Lopuksi tarkastetaan, että vastauksen yksikkö on oikea ja tulos tuntuu järkevältä. Tulos on järkevä.