Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Esitelmän sisältö Menetelmien ideat Menetelmien soveltaminen Menetelmien ominaisuuksia Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 2 1
Termien kertausta Referenssipiste z * : Päätöksentekijän kannalta järkevä / tavoiteltava piste Tavoitefunktio eli tavoitteet skalarisoiva funktio s z : Z R k R. Esim. min max[w i f i (x)-z * i ], i 1,,n. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 3 Referenssipistemenetelmä Wierzbicki, 1980 Lähtökohta: Ei maksimoidakaan arvofunktiota vaan pyritään vain riittävän hyvään tulokseen, pyrkimystasoon. Interaktiivinen tavoiteohjelmointi Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 4 2
Menetelmän kulku 1. Esitetään ongelma päätöksentekijälle. Voidaan esimerkiksi antaa ideaali- ja nadirpisteet tai käyvän alueen rajat niin kriteerikuin päätösavaruudessakin. Myös tavoitefunktio on määrättävä, esim. tavoiteohjelmoinnista. Asetetaan h = 1. 2. Kysytään päätöksentekijältä referenssipiste z * h Rk. l. pyrkimystaso jokaiselle tavoitteelle. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 5 Menetelmän kulku 3. Lasketaan paretopiste x h ja kohdefunktioden arvot z h minimoimalla tavoitefunktio ja esitetään arvot päätöksentekijälle. 4. Lasketaan k muuta paretopistettä, hieman alkuperäisestä referenssipisteestä poikkeutetuilla pisteillä z * (i) = z * h + d h e i, missä d h = z * h - z h, ja e i on i:s yksikkövektori Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 6 3
Menetelmän kulku 5. Esitetään ratkaisut päätöksentekijälle. Jos jokin k+1:stä ratkaisusta on tyydyttävä vastaava x h on ongelman ratkaisu. Muussa tapauksessa kysytään uusi referenssipiste z * h+1 ja asetetaan h = h + 1 ja jatketaan kohdasta 3. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 7 Esimerkki z 2 Z * 2 z 2 Z * 1 z 1 z 2 Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 8 4
Huomioita menetelmästä Menetelmän 4. kohdassa pyritään antamaan päätöksen tekijälle käsitys siitä miten tavoitteiden muutos vaikuttaa saatuihin ratkaisuihin. Melko yksinkertainen päätöksentekijällä; tarvitsee vain valita eri vaihtoehdoista ja pystyä määrittelemään pyrkimystasot. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 9 Huomioita menetelmästä Päätöksentekijä voi kuitenkin tarvita apua uusien referenssipisteiden valintaan. Päätöksenteon kulku täysin hallittavissa; preferenssit saavat muuttua kesken kaiken. Tavoiteohjelmoinnin laajennus. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 10 5
Referenssisuuntamenetelmä Korhonen ja Laakso, 1984 Visuaalinen interaktiivinen tavoiteohjelmointi Vaikutteita referenssipiste- ja GDFmenetelmistä Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 11 Referenssisuuntamenetelmä Projisoidaankin referenssisuora paretopinnalle pisteen sijaan. Tarkasteellaan kohdefunktion arvoja paretopinnalla graafisesti Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 12 6
Menetelmän kulku 1. Esitetään ongelma päätöksen tekijälle. Myös tavoitefunktio s z*,w on määrättävä. Valitaan aloituskohdevektori z 1 ja asetetaan h =1. 2. Kysytään referenssipiste z * h Rk ja määritellään referenssisuunta d h+1 = z * h - z h. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 13 Menetelmän kulku 3. Lasketaan paretopisteiden z joukko Z h+1, jotka ovat tehtävän min s z*,w (z), missä z * = z h + t d h+1, t 0, z Z on pareto-optimaalinen Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 14 7
Menetelmän kulku 4. Esitetään saadut vaihtoehdot päätöksentekijälle ja kysytään paras vaihtoehto z h+1. Pareto race -esimerkki. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 15 Menetelmän kulku 5. Jos z h+1 z h asetetaan h = h + 1 ja mennään kohtaan 2. Muussa tapauksessa tarkistetaan optimaalisuus ehdot. Jos ehdot täyttyvät on tehtävän ratkaisu löydetty. Muussa tapauksessa asetetaan h = h + 1 ja d h+1 optimaalisuusehtojen mukaisesti uudeksi referenssisuunnaksi ja mennään kohtaan 3. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 16 8
Esimerkki z 2 z z 2 z 1 z * 1 d 1 z 1 z 1 Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 17 t Optimaalisuusehto Tarkistetaan onko saatu ratkaisu arvofunktion mielessä optimaalinen. Karush - Kuhn - Tucker. Siis etsitään parantavaa suuntaa. Toimii käytännössä vain lineaarisille tehtäville sillä epälineaarisessa tehtävässä tarkistettavia suuntia useimmiten äärettömän paljon. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 18 9
Huomioita Graafinen tarkastelu 4. askeleella voidaan tehdä piirtämällä samaan kuvaan kaikkien kohdefunktioden arvot paretopinnalla t:n vaihdellessa. Pareto race voidaan suorittaa pala kerrallaan. Jos päätepiste on paras ratkaisu näytetään seuraavakin pala. Optimaalisuusehdon tarkistus ei ole välttämätöntä. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 19 Huomioita Päätöksentekijän rooli sama kuin referenssipistemenetelmässä: valitaan eri vaihtoehdoista ja määritellään tavoitetasoja kohdefunktioille. Ei vaadi johdonmukaisuutta Toimii parhaiten lineaarisilla tehtävillä. Rajoituksien ja tavoitteiden rooleja voidaan vaihtaa joustavasti. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 20 10
Yhteenveto Ei optimoida arvofunktiota vaan pyritään vain saavuttamaan asetettu tavoitetaso Menetelmät ovat havainnollisia ja päätöksentekijän melko helppo vastata asetettuihin kysymyksiin. Jos kriteereitä on paljon voi tulla kuitenkin ongelmia. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 21 Yhteenveto Päätöksentekijä voi muuttaa mieltään kesken päätöksentekoprosessin. Menetelmät periaatteessa tavoiteohjelmoinnin laajennuksia. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 22 11
Kotitehtävä Oletetaan, että asunnon hinta muodostuu seuraavasti: Alle 40 neliön asunto maksaa vähintään 18000mk/m 2 jos kämppä on keskustassa. Tätä suuremmat asunnot keskustassa maksavat vähintään 720 000 + (x-40)*14000 markkaa *), missä x on asunnon pinta-ala. Asunnon hinta on riippuu lineaarisesti etäisyydestä keskustasta ja 25 kilometrin etäisyydellä keskustasta asunnonhinta on pudonnut puoleen. Tämän alemmas hinta ei enää laske etäisyyden kasvaessa. Oletetaan että asunnot ovat muilta osin vertailukelpoisa ja vastaavat mieltymyksiäsi. Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 23 Kotitehtävä a) Olet ostamassa asuntoa. Muodosta kolmen kohdefunktion monitavoiteoptimointimalli mieltymystesi mukaan asunnon valitsemiseksi. b) Suorita yksi iteraatiokierros referenssisuuntamenetelmällä. Piirrä kuva pareto ajelusta. Apuna voi käyttää alla olevalta www-sivuilta löytyvää vig-ohjelmaa, mutta ilmankin selviää. http://www.hut.fi/~malakake/optsem/ Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 24 12