Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Transkriptio

1 Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä. Sisämaalin kysyntä on lisäksi korkeintaan tonni/päivä suurempi kuin ulkomaalin kysyntä. Maalifirma pyrkii maksimoimaan kokonaistuottoaan. raaka-aine(tonni)/maali(tonni) ulkomaali sisämaali päivittäinen saatavuus raaka-aine M 6 raaka-aine M 6 tuotto(000 /tonni) 5 Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä, ja sisämaalin kysyntä on korkeintaan tonni/päivä suurempi kuin ulkomaalin kysyntä Muuttujat: x = valmistettu ulkomaali tonnia/päivä x = valmistettu sisämaali tonnia/päivä Kohdefunktio: Maksimoi päivittäinen kokonaistuotto maksimoidaan funktiota z = 5x + x Rajoitukset: Raaka-ainerajoitukset: M: 6x + x M: x + x 6

2 Kysyntärajoitukset: { x x + x i-negatiivisuusrajoitukset (nonnegativity constraints): x, x 0 Sateenkaaren optimointimalli: max z = 5x + x st. 6x + x () x + x 6 () x + x () x () x, x 0 Kyseessä on lineaarinen optimointitehtävä, eli lineaarisen ohjelmoinnin tehtävä, eli LP-tehtävä (LP = Linear Programming). Graafinen ratkaisu Kuvassa on esitetty Sateenkaaren optimointimallin käypien pisteiden joukko. Käypään joukkoon kuuluvat ne pisteet, joissa kaikki rajoitusehdot toteutuvat. Kohdefunktion z gradientti z := [ z/ x, z/ x ] T = [5, ] T on kohtisuorassa suoraa z = 5x + x = vakio vastaan ja ilmaisee funktion z = vakio noususuunnan. Katso kuva. Kuvasta nähdään, että ratkaisu on pisteessä, eli rajoitussuorien () ja () leikkauspisteessä. { { 6x + x = () x = tn z = 000 x + x = 6 () =.5 tn x

3 7 6 5 x () () () käypä joukko () x Kuva : Sateenkaaren optimointimallin käypien pisteiden joukko. 5 z = 5x + x = (5, ) z = 5 x z = x Kuva : Sateenkaaren optimointimallin graafinen ratkaisu

4 5 z x x x käypä joukko z = + =6 5 6 x Kuva : Optimiratkaisu silloin, kun kohdefunktiota z minimoidaan. Kun kohdefunktiota maksimoidaan haetaan vakio, joka antaa z:lle suurimman arvon; eli z:aa kasvatetaan sen gradientin suuntaan. Kuvassa kohdefunktiota z = x + x minimoidaan, jolloin z:aa pienennetään z:n suuntaan. Muista myös, että min z = x + x max -z = x x

5 Slack-, ylijäämä- ja rajoittamattomat muuttujat Slack-muuttuja (slack-variable): Lisätään tyyppiä ( ) olevaan rajoitukseen. jatellaan, että aktiviteetti (activity = tuotantoyksikkö) tuottaa ulkomaalia määrän x ja aktiviteetti sisämaalia määrän x, ja 6x + x. Tällöin resurssia jää käyttämättä slack-muuttujan s verran: 6x + x + s =, s 0. Ylijäämämuuttuja (surplus-variable): Lisätään tyyppiä ( ) olevaan rajoitukseen. Jossain toisessa Sateenkaaren optimointitehtävässä voisi esiintyä maalien päivittäinen minimikysyntärajoitus x + x. Tällöin tuotantotasolla x, x minimikysyntä ylitetään ylijäämämuuttujan s ilmoittamalla määrällä x + x s =, s 0. Rajoittamaton muuttuja (unrestricted variable): Jokainen muuttuja x R voidaan esittää kahden ei-negatiivisen luvun erotuksena: simerkiksi, x R x = x + x, x +,x 0. 5 = x + x, x + = 0, x = 5; 5 = x + x, x + = 5, x = 0. 5

6 Graafinen herkkyysanalyysi () Kuinka paljon kohdefunktion z kertoimet voivat muuttua ilman, että ratkaisu muuttuu? z = c x + c x c /c on gradientin kulmakerroin, ja c /c on suoran z = vakio kulmakerroin. Kuvan mukaan ratkaisu ei muutu, jos suoran z = vakio kulmakerroin pysyy rajoitussuorien () ja () kulmakertoimien välissä, eli jos tai 6 c c, c 0 c c 6, c 0 () Mikä on resurssiyksikön arvo ratkaisussa? Katso kuva 5. y = z M = z : n muutos G M:n muutos G = (, ),G = (6, 0) z = z() z(g) = 5 + ( ) = 000 M = M() M(G) = 0 6 = 6 tn y = tn = 000 tn = 750 tn tonnin muutos M:ssä, alueella 0 M 6, aiheuttaa z:n arvoon muutoksen 750. Resurssin M yhden yksikön arvoksi pisteessä saadaan samaan tapaan: y = z M = z(h) z() M(H) M() = 500 tn Tämä on voimassa alueella M 0/, ks. kuva 6. Sen sijaan y,...,y 6 = 0, mikä tarkoittaa, että rajoitukset 6 eivät ole aktiivisia. simerkiksi rajoitussuoran oikea puoli voi vaihdella välillä [, ], vaikuttamatta kohdefunktion z arvoon. 6

7 5.5 z = 5x + x.5 6x +x = x +x =6 x x Kuva : kstreemipiste säilyy na, kun z:n kulmakerroin pysyy pisteessä leikkaavien rajoitussuorien kulmakertoimien välissä 5.5 M = 6(tonnia).5 x.5 M = 0 M = x G Kuva 5: Kun raaka-aineen M saatavuus vaihtelee välillä 0 tn - 6 tn, liukuu ratkaisu pitkin janaa G. Mikäli M:n saatavuus ei ole ko. välillä, piste (rajoitussuorien () ja () leikkauspiste) ei kuulu käypään joukkoon. 7

8 Muista: Kertoimia y i kutsutaan ko. tehtävän duaalimuuttujiksi. Myöhemmin osoitetaan lisäksi, että y i on rajoitusehtoa i vastaava Lagrangen kerroin. M = 6 M = 6 (tonnia) x M M = H 5 x Kuva 6: Kun resurssi vaihtelee välillä M, liukuu ratkaisu pitkin janaa H. 8