Paretoratkaisujen visualisointi. Optimointiopin seminaari / Kevät 2000 Esitelmä 11 Petteri Kekäläinen 45305L

Transkriptio

1 Paretoratkaisujen visualisointi Optimointiopin seminaari / Kevät 2000 Esitelmä 11 Petteri Kekäläinen 45305L

2 1. Johdanto Monitavoiteoptimointitehtävät ovat usein laajuutensa takia vaikeasti hahmotettavia kokonaisuuksia. Kun kohdefunktioita on useita, niiden keskinäisiä suhteita voi olla vaikea ymmärtää ilman visuaalisia apukeinoja. Tässä esitetyt menetelmät soveltuvat kukin hieman erilaisiin tarkoituksiin ja niinpä voidaankin sanoa että visualisoinnista saadaan suurin hyöty jos käytetään saman datan visualisointiin useampaa menetelmää rinnakkain. Esitys perustuu suurelta osin Kaisa Miettisen kirjaan Nonlinear Multiobjective Optimization [1]. 2. Paretoratkaisujen joukon visualisointi Kun kohdefunktioita on useita, tehtävän Paretojoukon piirtäminen vaatii hieman mielikuvitusta. Kahden kohdefunktion tapauksessahan piirto voidaan tehdä tasoon. Jos kohdefunktioita on kolme tai useampia, joudutaan käyttämään erilaisia menetelmiä, koska käytännössä halutaan yleensä saada aikaan kaksiulotteisia kaavioita. Kolmen kohdefunktion tapauksessa voidaan piirto tehdä projisoimalla kohdefunktioiden arvot tasoon. Tämä tapa tuottaa kuitenkin vaikeasti tulkittavia tuloksia. Toinen tapa on tehdä kaksiulotteisia piirtoja asettaen kolmannen kohdefunktion arvon kiinteäksi. Tätä menetelmää sovelletaan mm. päätöskarttamenetelmässä [2]. 3. Ratkaisuvaihtoehtojen visualisointi Monitavoitetehtävää ratkaistaessa saadaan yleensä suuri määrä vaihtoehtoisia ratkaisuja, joista päätöksentekijän tulisi valita paras mahdollinen. Valintaprosessia voidaan yrittää helpottaa visualisoimalla ratkaisuvaihtoehdot ja kohdefunktioiden arvot kussakin ratkaisussa. Tässä luvussa esitetään muutama menetelmä joita voidaan käyttää hyväksi ratkaisuvaihtoehtojen visualisoinnissa. Kaikissa esimerkeissä on esitetty kolmen kohdefunktion tehtävä kolmella ratkaisuvaihtoehdolla. 3.1 Arvopolut Paljon käytetty menetelmä vaihtoehtoisten ratkaisuvektorien esittämiseen on käyttää arvopolkuja. Kohdefunktiot esitetään tässä pystysuuntaisina palkkeina, joille piirretään pisteinä kohdefunktioiden arvot kussakin eri ratkaisuvaihtoehdossa. Arvopolut muodostetaan sitten yhdistämällä samaan ratkaisuvaihtoehtoon kuuluvat eri kohdefunktioiden arvot erivärisillä ja/tai tyylisillä viivoilla. Kohdefunktioiden ja ratkaisuvaihtoehtojen roolit voidaan myös vaihtaa keskenään.

3 Kuva 1. Arvopolut. 3.2 Palkkikaaviot Palkkikaaviot perustuvat samalle idealle kuin arvopolutkin. Palkkikaavioissa jokaista kohdefunktiota edustaa ryhmä erivärisiä palkkeja. Palkit esittävät kohdefunktion arvon kussakin eri ratkaisuvaihtoehdossa, eli palkkeja on yhtä monta per kohdefunktio kuin on visualisoitavia ratkaisuvaihtoehtoja. Kuva 2. Palkkikaaviot. 3.3 Tähtikoordinaatit Ratkaisuvektorit voidaan esittää myös ns. tähtikoordinaattijärjestelmässä, jolloin saadaan yksi kuva kutakin ratkaisuvektoria kohden. Ideana tähtikoordinaateissa on, että tehtävän ideaalivektori on koordinaatiston origo ja nadir-vektori koordinaatistoa

4 rajoittava ympyrä. Kutakin kohdefunktiota kohden piirretään yksi koordinaattiakseli. Koordinaattiakseleille piirretään kunkin kohdefunktion arvo kyseisessä ratkaisuvaihtoehdossa ja nämä pisteet yhdistetään suorilla jolloin saadaan aikaan monitahokas jonka tahkojen määrä = kohdefunktioiden määrä + 1. Tämän monitahokkaan pinta-ala esittää sitten ratkaisun hyvyyttä, eli mitä pienempi pintaala, sen lähempänä ideaaliratkaisua ollaan. Nadir- ja ideaalivektorien paikat voidaan myös vaihtaa keskenään (kuten myös kahdessa seuraavassa menetelmässä), jolloin ratkaisu on sitä parempi, mitä suurempi on monitahokkaan pinta-ala. Kuva 3. Tähtikoordinaatit. Vastaavanlaisia ideoita hyödyntäviä menetelmiä ovat mm. hämähäkinverkkokaavio ja terälehtidiagrammi. Jälkimmäisessä tarkasteltava alue on monikulmioiden tai tahokkaiden sijasta ympyräsektorien pinta-ala. 3.6 Hajapiirtomatriisi Hajapiirtomatriisi koostuu paneeleista, joihin piirretään yhden kohdefunktioparin arvot kaikissa ratkaisuvaihtoehdoissa. Kaikki funktioparit tulevat piirretyiksi kahteen kertaan, matriisin diagonaalin yläpuolelle ja alapuolelle asteikot käännettynä toisinpäin. Jokaisella paneelilla voi olla oma skaalansa.

5 Kuva 4. Hajapiirtomatriisi 4. Muita visualisointikeinoja Tässä luvussa on vielä kerrottu lyhyesti joistakin käytössä olevista visualisointikeinoista. 4.1 GRADS GRADS on visualisointijärjestelmä, jossa päätöksentekijää pyydetään ensin antamaan kaksi kohdefunktiota, joiden arvot eri ratkaisuvaihtoehdoissa piirretään tasoon. Tämän jälkeen käyttäjä voi hiirellä osoittaa eri pisteitä jolloin järjestelmä näyttää muiden kohdefunktioiden arvot ko. pisteissä erivärisinä ja kokoisina kolmioina. 4.2 Harmoniset talot Menetelmä perustuu siihen, että käyttäjälle esitetään talon kuva, jonka tiettyihin pisteisiin kohdefunktioiden arvot liitetään. Näin talon kuva vääristyy sitä enemmän, mitä kauempana ideaalipisteestä ollaan ja toisaalta talo näyttää sitä harmonisemmalta ja symmetrisemmältä mitä lähempänä ideaalia ollaan. Tämä metodi soveltuu erityisesti ratkaisuvaihtoehtojen vertailemiseen pareittain. 4.3 GAIA GAIA:ssa (Geometrical Analysis for Interactive Aid) kohdefunktioita modifioidaan ensin siten, että ne sisältävät jonkinlaista informaatiota päätöksentekijän preferensseistä. Tämän jälkeen kohdefunktiot normalisoidaan ja projisoidaan tasoon, joka on valitaan pääkomponenttianalyysillä. Jos tason valinta tehdään tarpeeksi hyvin, projektiosta nähdään uusien kohdefunktioiden suhteet eri ratkaisuvaihtoehtoihin. Jos esim. kaksi kohdefunktiota ovat konfliktissa keskenään, niiden vektorit projektiossa

6 osoittavat vastakkaisiin suuntiin. Toisistaan riippumattomat vektorit taas ovat keskenään ortogonaalisia ja saman tyyppisten kohdefunktioiden vektorit osoittavat suunnilleen samaan suuntaan. 5. Huomioita ja päätelmiä Jos tiedetään jotain visualisointitavan ja päätösstrategian suhteesta toisiinsa, voi visualisointimenetelmän valinta helpottua. Esim. taulukoita kannattaa käyttää, jos halutaan tarkastella tarkkoja lukuarvoja. Jos taas halutaan tutkia eri asioiden välisiä suhteita tai tarkastella suurta tietomäärää kerralla, kannattaa valita jokin graafinen visualisointimenetelmä. Parhaita tuloksia visualisoinnilla saavutetaan, kun käytetään useita menetelmiä rinnakkain saman datan visualisointiin. Toisaalta, jos visualisoitavien ratkaisuvaihtoehtojen määrä on suuri, päätöksentekijä todennäköisesti mennee sekaisin riippumatta siitä mitä menetelmää käytetään. Tässä tapauksessa tilastollisista menetelmistä saattaa olla apua. Viitteet: [1] K. Miettinen: Nonlinear Multiobjective Optimization [2] Lotov et al.: Interactive Decision Maps, with an Example Illustrating Ocean Waste Management Decisions