SMG-1100: PIIIANALYYSI I Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Kirja: luku 3 Luentomoniste: luvut 4.2, 4.3 ja 4.4 1
VASTSTEN KYTKENNÄT Sähköpiireissä voi esiintyä kolmella tavalla toisiinsa kytkettyjä vastuksia: sarjaankytkentä (vasen kuva). rinnankytkentä (keskimmäinen kuva). kolmiokytkentä (oikea kuva). 2
SAJAANKYTKENTÄ Sarjaankytkettyjen vastusten läpi kulkee sama virta. Johdetaan seuraavassa sarjaankytkennän kokonaisresistanssin lauseke. Kun alemmalle kuvalle kirjoitetaan Kirchhoffin jännitelaki, saadaan: I = 0. Täten kokonaisresistanssin tot tot lauseke on: =. (lauseke 1) tot I Miten tilanne muuttuu, jos alemman kuvan yksittäinen tot korvataan ylemmän kuvan mukaisesti usean vastuksen sarjaankytkennällä? Ylemmälle kuvalle voidaan Kirchhoffin jännitelain ja Ohmin lain perusteella kirjoittaa: + + = 0 I + I + I = ( + + ) I = + + = I Kun ylläolevaa lauseketta verrataan lausekkeeseen (1), huomataan, että = + +. tot Sarjaankytkettyjen vastusten kokonaisresistanssi on yksittäisten vastusten resistanssien summa. 3
JÄNNITTEENJAKO Käytännön sovelluksissa on usein tarpeellista muodostaa useita jännitetasoja yhdestä lähdejännitteestä. Tähän voidaan käyttää sarjaankytkettyjä vastuksia. Oheiselle kytkennälle voidaan kirjoittaa: = + + = + + = ( + + ) I I I I I =. + + Vastusten yli olevat jännitteet voidaan nyt kirjoittaa ilman virtatermiä: 1 2 3 = I =, =, =. 1 1 2 3 + + + + + + Kun n kpl vastuksia on kytketty sarjaan, ja on sarjaankytkennän yli oleva kokonaisjännite, yksittäisen vastuksen i jännite i saadaan lausekkeesta: i = i + +... + 1 2 n. 4
Esimerkki: jännitteenjako Keimo tarvitsee eräälle elektroniikkalaitteelleen 2 V:n jännitteen. Auta Keimoa ja mitoita oheisen kytkennän 3 siten, että 3 :n arvoksi tulee Keimon kaipaama 2 V. Esimerkki: virranjako Mitoita oheisen kytkennän 1 siten, että saat kyseisen vastuksen läpi kulkevaksi virraksi 200 ma. 5
INNANKYTKENTÄ innankytkettyjen vastusten yli on sama jännite. Alemmassa kuvassa I =, (1) jossa tot on kytkennän kokonaisresistanssi. tot Miten tilanne muuttuu, jos alemman kuvan yksittäinen tot korvataan ylemmän kuvan mukaisesti usean vastuksen rinnankytkennällä? Kirchhoffin virtalain ja Ohmin lain perusteella voidaan kirjoittaa: 1 1 1 I = I + I + I = + + = + + =. 1 1 1 1 + + Kun ylläolevaa lauseketta verrataan lausekkeeseen (1), huomataan, että 1 1 1 1 1 = = + +. tot 1 1 1 + + tot innankytkettyjen vastusten kokonaisresistanssin käänteisluku on on yksittäisten vastusten resistanssien käänteislukujen summa. 6
VIANJAKO Virta voidaan jakaa halutun suuruisiin osiin rinnankytkettyjen vastusten avulla. Oheiselle kytkennälle voidaan kirjoittaa: 1 1 1 I = I + I + I = + + = + + = = 1 1 1 1 + + tot = I, jossa tot on rinnankytkennän kokonaisresistanssi, ja I on rinnankytkennälle tuleva kokonaisvirta. Yksittäisten vastusten virrat voidaan nyt kirjoittaa ilman jännitetermiä: I = = tot I, I tot 1 2 1 1 = I =, I = tot I 3 =. 2 2 3 3 Kun n kpl vastuksia on kytketty rinnan, ja I on rinnankytkennälle tuleva kokonaisvirta, yksittäisen vastuksen i virta I i saadaan lausekkeesta: tot I = I. i i tot 7
KOLMIO-TÄHTI-MNNOS - ja -muunnos liittyvät kolmen solmun väliseen verkkoon. Muunnos on tarpeen esimerkiksi kytkennän kokonaisresistanssin laskemisessa. Kolmio voidaan muuntaa tähdeksi ja tähti kolmioksi, kunhan huolehditaan siitä, että kahden solmun välinen resistanssi pysyy muuttumattomana. ab ca ab bc bc ca =, =, = a b c + + + + + + ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b b c = + +, ab a b bc b c c A a c = + +, = + + ca a c a b A ab ca a B C b c bc B C 8
Kolmio-tähti-muunnosesimerkki Laske oheisen kytkennän virta I. Tähden haaran resistanssi on kolmion samasta solmusta lähtevien resistanssien tulo jaettuna kolmion kaikkien resistanssien summalla. Kolmion kahden solmun välinen resistanssi on näitä yhdistävien tähden haarojen resistanssien summa ynnä näiden tulo jaettuna kolmannen haaran resistanssilla. 9
ENEGIALÄHTEIDEN MNNOKSET (1/2) Jännitelähde voidaan muuntaa virtalähteeksi ja virtalähde jännitelähteeksi, kunhan huolehditaan siitä, että lähteet ovat oheisen kuvan napoihin a ja b kytkettävän kuorman kannalta ekvivalenttiset. Jännitelähde virtalähteeksi: Jännitelähteen E kanssa sarjassa oleva vastus tulee sellaisenaan virtalähteen J rinnalle. Lähdevirta J saadaan lausekkeesta J = E/. Virtalähde jännitelähteeksi: Virtalähteen J rinnalla oleva vastus tulee sellaisenaan jännitelähteen E kanssa sarjaan. Lähdejännite E saadaan lausekkeesta E = J. a a E J b b 10
ENEGIALÄHTEIDEN MNNOKSET (2/2) Huom! Lähdemuunnoksia tehtäessä jännitelähteen rinnalla oleva vastus voidaan poistaa korvaamalla se avoimella haaralla, ja vastaavasti virtalähteen kanssa sarjassa oleva vastus voidaan poistaa korvaamalla se oikosululla (kirjan esimerkki 4.9). Nämä vastukset voidaan poistaa, koska ne eivät vaikuta lähteen napoihin (oheisen kuvan navat a ja b) kytkettävän kuorman jännitteeseen ja virtaan. 11