Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e x dx x 4 e x +4( x 3 e x +3( x e x +( xe x e x ))) e x (x 4 + 4x 3 + x + 4x + 4) x 4
u-sijoitus f (g(x)) d dx f (g(x)) }{{} f (g(x)) g (x) f (g(x)) }{{} g (x) dx f (g(x)) + C }{{} x x + dx Olkoon u x + x + }{{} x dx }{{} du x du xdx dx du xdx u du ln u +C ln x + ( ) ln(x + )
}{{} 3x cos(x 3 + ) dx }{{} g (x) f (g(x)) Huomataan d dx (x 3 + ) 3x f (x) sin(x) g(x) (x 3 + ) u x 3 + du 3x dx cos u du sin u + C sin(x 3 + ) + C d dx [sin(x 3 + ) + C] cos(x 3 + ) 3x
u-sijoitus, määrätty integraali I x x8 cos x + dx x + Olkoon u dx x + du x + Jos x u Jos x 8 u 3 u I cos u du sin u u 3 u u3 sin 3 sin
5 6 + 5x x dx u du sin u + C 5 5 5 7 6 + 5x x dx x + bx + 6 (x 5x + 5) + 5 4 4 49 4 dx ( 4 (x ) 5 5 49 ) dx ( (x 5 ) 7 ) ( ) ( b x + b ) dx 5 dx 49 (x 5 4 ) 7 dx ( (x 5 ) 7 )
( Olkoon u x 5 7 7 7 u du 5 u ) du dx 7 dx 7 du 5 sin u + C ( ( )) x 5 5 sin + C 7
(5 x ) 3 dx Olkoon x 5 sin θ ( 5 x ) 3 dx dx dθ 5 cos θ dx 5 cos θ dθ 5 cos θ dθ 5 cos θdθ 5 ( 3 5 sin θ) 5 5 sin θ 3 a x a ( sin θ) a cos θ a cos θ 5 cos θ dθ sec θ 5 3 cos 3 θ 5 }{{} dθ 5 tan θ + C x + C 5 5 x cos θ 3 5 cos θdθ 5 cos θ
4 + x dx Olkoon x tan θ dx sec θ dθ sec θ 4 + 4 tan θ dθ sec θ sec θ dθ ln sec θ + tan θ +C 4 + x ln + x + C sec θ dθ sec θ + tan θ dθ
e x dx? c lim e x dx c lim c /c e x lim ( e c c }{{} +e ) e
x }{{} f (x) + lim b + lim a x dx + / a b dx ei määritelty kun x a dx lim dx x a x x dx lim a ( x) + lim b + a / x lim ( a) a () + lim b + }{{} + 4 b x dx + lim b + ( b }{{} b ) x dx
Käyrä f (x) x + pyörähtää x-alselin ympäri välillä x [, 3]. Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus? V 3 3 3 π(f (x)) dx π(x + ) dx π(x 4 + x + )dx ( ) x 5 / 3 π 5 + 3 x 3 + x ( ) 3 5 π 5 + 3 + 3 33 ( ) π 5 + 3 +
Mikä olisi tilavuus jos sama käyrä pyörahtää y-akselin ympäri? TAPA f (x):n käyrä g :n funktiona y f (x) x + y x ± y x f (y) V π(f (y)) dy π(y )dy ( ) y / π y ( ) ( ) 4 π π π 4
TAPA V πx }{{} kehän pituus f (x)dx V 3 πx( (x + ))dx + 8π / 3 π( 34 9 ( 9)) + 8π 4π 3 π( x 4 4 9x ) + 8π
Alue jota rajoittavat suorat x ja x 4 sekä x-akseli että käyrä f (x) x 3 on pyörähtämäss y-akselin ympäri. Mikä on pyörädyskappaleen tilavuus? V 4 dv πxf (x)dx 4 4 πx x 3 dx πx 4 dx / 4 π x 5 5 π 5 (45 5 )
Käyrä e x pyörähtää välillä x [, 4] x-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala? A 4 x4 x / πe x + (e x ) dx x4 x x4 / πu + u π u du x4 x π + u du ( u u + + ln u + u + ( π e x x π (e 8 (e 8 ) + + ln e 8 + π ( 5 ln + ) 5 ) (e x ) + + ln e x + ) (e 8 ) + (Beta k. 88) ) (e x ) +
Määritä pinta-ala pyörähdyskappaleelle joka muodostuu kun käyrä f (x) cos(x) pyörähtää väliltä x [ π, 3π ] x-akselin ympäri. 3 4 A + 3π π 4 3 π π 3 π π 3 3π π 4 π f (x) + (f (x)) dx 3π πf (x) + (f 4 (x)) dx + π π cos(x) + ( sin(x)) dx π( cos(x)) + ( sin(x)) dx π( f (x)) + (f (x)) dx
Käyrä x(t) t 3, y(t) t (t [, 3]) pyörähtää x-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen pinta-ala? A 7 3 3 da πf (x)ds πf (x) + (f (x)) dx ( y πy(t) + ) (t) x x (t)dt (t) ( ) t πt + 3t dt 3t
Mikä on sellaisen levyn tilavuus joka ylhäältäpäin on neljäsosaympyrä ja paksuus vaihtuu lineaarisesti säteen suunnassa siten että terävässä kulmassa paksuus on ja kaarevalla reunalla se on. Olkoon säde. V dv πr 4 h dr ) πr ( 4 r dr Mikä on edellisen kappaleen paino jos sen tiheys säteen suunnassa muuttuu funktion p(r) e r mukaan? m dm p(r) }{{} tiheys πr 4 h dr }{{} tilavuusalkio e π ( ) r 4 r r dr
Sama geometria kuin edellä, mutta nyt tiheys muuttuu vain kun liikutaan paksuussuunnassa. Olkoon tiheys p(h) h m dm tiheys tilavuusalkio p(h) 4 πr dh ( h ) 4 π(h + ) dh ( + h) 4 π(h + dh ) ) (h r r h +
Määritä luku a > siten että alla kuvatun kappaleen (levyn) tukipiste on x-akselilla. Levyn yläpuolta kuvaa yhtälö f (x) ( x + )a ja alapuolta yhtälö g(x) (x 4 )a Lasketaan erikseen x-akselin yläpuolisen ja alapuolisen osan momentit. Yläpuoleinen osa Olkoon levyn paksuus h.3 ja tiheys 7.
M dm dv hda hldy.3 y a dy y ( x + )a x ± y a dm 7dV l x dm y 9.8dm y a a M y 9.8 7.3 ya a dy 9.8 7.3 y
Alapuoliselle osalle momentti g(x) (x 4 )a y ( x ± + y a ( l + y ) 4 a M ) y 9.8 7.3 a 9.8 7.3 }{{} b 4 y a Vaaditaan että M + M ( a s(a) b y ya dy + ratkaistaan yhtälö s(a) y a ( + y ) 4 dy a ( + y ) 4 dy a ( + y ) ) 4 dy a
Laske sen kappaleen (tasapaksun homogeenisen levyn) painopiste (x c, y c ) joka muodostuu paraabelin x + 4 ja suoran y rajoittamana. Olkoon tiheys vakio b ja paksuus vakio h (g 9.8). Symmetria x c y c? Etsitään ensin momentti x-akselin suhteen da f (x) dx dm M f (x) }{{} vipuvarsi df {}}{ g b } {{ hda} dm f (x) (f (x)) g b hdx gbh (f (x)) gbhf (x)dx gbhdx (f (x)) dx
kappaleen paino g b h y c gbh f (x)dx (f (x)) dx gbh f (x)dx ( (x 4 8x + 6)dx ( x + 4)dx ( x + 4) dx ( x + 4)dx 5 5 8 3 3 + 6 ) / ( ( 5 x 5 8 3 x 3 + 6x ) / x 3 3 + 4x 8 + 6 ( ) ) 5 ( )5 3 ( )3 3 8 + 4 ( ( )3 3 + 4 ( ) )
Sama kysymys kuin edellä mutta nut tiheys muuttuu x-suunnassa. Olkoon b(x) x + x c? Momentti y-akselin suhteen: dm M x }{{} vipuvarsi ghb(x)f (x)dx painoalkio g b(x) hf (x)dx }{{} paino x c gh x gh(x + )f (x)dx gh dv g(x + )hf (x)dx gh x(x + )f (x)dx gh (x + )f (x)dx x(x + )f (x)dx (x + )f (x)dx
y c? Momentti x-akselin suhteen: dm f (x) M g h y c gh gb(x) hf (x)dx }{{} dv f (x) g (x + ) h f (x)dx (f (x)) (x + ) dx (f (x)) (x + ) dx gh (x + )f (x)dx
Miten tilanne muuttuisi jos tiheys olisikin x-suunnassa vakio mutta y-suunnassa muutosta, olkoon b(y) y x c? symmetria x c y c? painoalkio gb(y) hldy }{{} paino 4 4 dv y y h ldy gh yldy ( ) gh 4 y 4 y dy
( )y x + 4 x ± 4 y l 4 y Momentti x-akselin suhteen dm M y }{{} vipuvarsi 4 4gh g b(y) h ldy y g y h 4 y dy 4 y c 4gh 4 gh 4 y 4 y dy y 4 y dy y 4 y dy
Parametrinen käyrä x x(t), y y(t) Esim. x t, y t + t y x t (y ) y y y y Eliminating the parameter
Parametrisen käyrän pituus L tb ta ( ) ( ) dx dy + dt dt dt Laske parametrisen käyrän x t, y t 3 pituus, kun t. L ( ) ( ) dx dy + dt dt dt (t) + (3t ) dt u 4 + 9t 8 u4 u3 u du 7 4t + 9t 4 dt t t t 4 + 9t dt ( ) 4 3 3 3 7 (8 3 3)
Muotoa y f (x) olevan käyrän pituus L b a + (f (x)) dx Laske käyrän f (x) 6 x 3 + x pituus, kun x 3. f (x) x x ( ) + (f (x)) + 4 x 4 + 4 x 4 4 x 4 + + 4 x 4 ( ) x + 3 ( ) x x + x dx [ ] 6 x 3 3 x 4 3
Polaarikäyrä r(θ) a cos θ Piirrä käyrä, ja esitä karteetisessa muodossa. x r cos θ y r sin θ x + y r tan θ y x r a cos θ r ar cos θ r x + y ax (x a) + y a r a( cos θ), a >
Polaarikäyrän alle jäävä pinta-ala A β α (f (θ)) dθ Laske pinta-ala joka jää kardioidin r a( + cos θ) sisälle. Lasketaan vain x-akselin yläpyolelle jäävä pinta-ala. A π π a ( + cos θ) dθ a ( + cos θ + cos θ)dθ π ( ) + cos θ a + cos θ + dθ a [ 3 θ + sin θ + 4 sin θ] π 3 πa
Polaarikäyrän pituus β ( ) dr L r α dθ dθ β (f (θ)) (f (θ)) dθ α Laske kardioidin r a( + cos θ) käyrän pituus. L π a 8a sin π a sin θ + a ( + cos θ) dθ π ( θ cos ( θ ) π 8a ) π dθ 4a cos ( θ a + a cos θdθ ) dθ
PARAMETRISEN KÄYRÄN HAHMOTTELUA x(t) 3t 3 + t y(t) t x (t) 9t + (x(), y()) (, ) P (x( 3 ), y( 3 )) ( 9, 9 ) P (x( 3 ), y( 3 )) ( 9, 9 ) P 3
Olkoon käyrä kuten edellä, laske seuraavat pinta-alat: x 3t 3 + t dx dt 9t + dx ( 9t + )dt d dt A 9 ( y)dx t 3 ( ( t ))( 9t + )dt A 9 3 ( ( t ))( 9t + )dt x(t ) 3t 3 + t t ( 3t + ) t tai t ± 3
y y t + t dy dt 4t dx 4tdt ( 3 ) ( 3 ) 3 d dt A 3 3 3 xdy 3 / (t 4 4t )dt ( ( ) 5 5 3 4 3 ( 3t 3 + t)( 4t)dt 3 5 t 5 4 3 t 3 ( 3 ) 3 )
Olkoon r(θ) e θ polaarikäyrä. Hahmottele tämä käyrä väliltä θ [, π 4 ] x(θ) e θ cos(θ) y(θ) e θ sin(θ) x (θ) e θ cos(θ) + e θ ( sin(θ)) e θ (cos(θ) sin(θ)) dx dθ x (θ) θ π (x (θ) ) 4 y (θ) e θ sin(θ) + e θ cos(θ) e θ (sin(θ) + cos(θ)) > ( π ) r() e r e π 4 4
Mitä on tämän käyrän ja x- akselin väliin jäävä pinta-ala A? A TAPA e π 4 cos( π 4 ) ydx π 4 e θ sin(θ)e θ (cos(θ) sin(θ))dθ ( ) A e π π ( π ) 4 sin 4 e π 4 cos 4 A e π 4 A e π 4 π e π 4 4 (r(θ)) dθ e π π / 4 4 π 4 e θ dθ e θ e π ( 4 e π )