Robusi ilasollinen pääely ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenin mallinamisessa ilasoieeen pro gradu ukielma Jarmo Mika Rafael Mikkola Marraskuu
SISÄLLYS JOHDANO EORIAA. Robusi kvasiuskoavuusesimoinimeneelmä. Mallispesifikaaion robusi esaaminen 6.. esin yleinen rakenne 7.. Ehdollisen odousarvomallin robusi esi..3 Ehdollisen varianssimallin robusi esi 4.3 ARCH-mallien eoriaa 6.3. ausaa ja mallinamisperiaae 6.3. Yksiuloeisia ARCH-malleja 8.3.3 ARCH-mallien esimoini 6.3.4 avanomainen ARCH-LM-esi 3.4 ilasollisia ominaisuuksia diagnosisoivia esejä 3.4. Jarque-Bera normaalisuusesi 3.4. avanomaisia yksikköjuuriesejä 3.4.3 Ehdollisen varianssimallin riiävyys 35.5 eoriaa sijoiuskoheen yliuoon mallinamisesa 35 3 EMPIIRINEN ANALYYSI 38 3. Aineisonkuvaus 39 3. arkaselavien muuujien konsruoini 39 3.3 Yliuoomuuujan ilasollisia ominaisuuksia 4 3.4 oiminaperiaaeisa mallinvalinaprosessissa 4 3.4. Yleisä mallinvalinaperiaaeisa 4 3.4. ämän ukimuksen alouseoreeisen ausan merkiys mallinvalinnassa 43 3.4.3 Käyeyn mallinvalinaprosessin pääpiiree 44 3.5 Ehdollisen odousarvomallin valina 45 3.5. Auokorrelaaioesien ulokse 45
ii 3.5. Korkodifferenssimuuujan merkiyksen esaaminen 46 3.5.3 Alusava odousarvomalli 47 3.6 Ehdollisen varianssimallin spesifioini 47 3.6. ARCH-mallispesifikaaion valina 47 3.6. Muiden ARCH-spesifikaaioiden esimoini 48 3.7 ARCH-M -spesifikaaion merkisevyyden ukiminen 49 3.8 Valiun kokonaismallin esimoiniulokse ja diagnosiikkaa 5 4 JOHOPÄÄÖKSIÄ 5 LÄHEE 55 LIIEE
JOHDANO ässä esiyksessä arkasellaan aikasarjaprosessia koskevan ilasollisen pääelyn ekemisä silloin, kun prosessissa voidaan oleaa olevan dynaamisia rakeneia sekä ensimmäisessä eä oisessa ehdollisessa momenissa. ämänkalainen ilanne synyy usein rahoiusaikasarja-aineisoja analysoiaessa. Ehdollise heeroskedasisuusmalli ova noussee keskeisesi esille aikasarjaekonomeriassa 98-luvula lähien ja oisen ehdollisen momenin dynaaminen mallinamisen merkiys aikasarjan kokonaismallin valinnassa korosunu myös ää kaua. Jos voidaan oleaa, eä aikasarjaprosessissa on auokorrelaaioa odousarvossa ja lisäksi ARCH-mallien kalaisia dynaamisia rakeneia ehdollisessa varianssissa, niin ällöin prosessin oikeaa sokasisa kokonaisrakennea approksimoivan mallin valina on monimukaisempaa kuin aikaisemmin yypillisissä apauksissa, joissa pelkän auokorrelaaiomallin ajaeliin riiävän kuvaamaan prosessin ajallisa rakennea. Nykyään eräs ärkeimpiä mielenkiinnon koheia mallinneaessa aikasarjaprosesseja onkin odousarvon ja varianssin mahdollinen riippuvuus oisisaan. Jos näiden kahden ehdollisen momenin välillä on sysemaaisa riippuvuua, niin ällöin vain oisa näisä kahdesa momenisa koskevan spesifikaaioesin ulokse saaava anaa vääriä uloksia, jos esisuureen arvoa laskeaessa ei ehdä ehdollisamisa oisen momenin rakeneiden suheen. Sekä ensimmäisen eä oisen ehdollisen momenin sisäläessä säännöllisiä rakeneia, mallinvalinaa voidaan lähesyä ainakin kolmella eri avalla. Ensimmäisessä vaihoehdossa pyriään esaamaan kummankin momenin spesifikaaioia yhä aikaa esimerkiksi pyrkimällä hei aluksi soviamaan prosessiin mahdollisimman laaja AR-ARCH- malli, joa spesifikaaioesien uloksien peruseella pyriään ämän jälkeen supisamaan. oisessa lähesymisavassa ensimmäisen momenia koskeva esaaminen apahuu ehdolliseuna oisen momenin oleeun mallirakeneen suheen ja päin vasoin
oisa momenia esaessa. Kolmannessa lähesymisavassa pyriään selviämään ensin jompaa kumpaa momenia yleensä ehdollisa odousarvoa kuvaava malli sien, eä käyey esi ova robuseja oisessa momenissa yleensä ehdollisessa varianssissa olevien rakeneiden suheen. ässä ukimuksessa yksi keskeinen eoreeinen mielenkiinnonkohde on viimeksi mainiun lähesymisavan mukaisessa mallinvalinnassa arviava robusi esi. Ekonomerisessa mallinamisessa arviaan oisaala usein myös robusisuua normaalijakaumapoikkeamien suheen. Luvussa kaksi esielävä esi ova robuseja sekä heeroskedasisuuden eä ei-normaalisuuden suheen. Luvussa kaksi esiellään siis ilasollisen meneelmien eoriaa sellaisiin aikasarjaekonomerisiin ilaneisiin, joissa sekä ensimmäisessä eä oisessa ehdollisessa momenissa on dynaamisia rakeneia. Luvun aluksi esieään Bollerslevin ja Wooldridgen robusisen kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakaumaulos. ämän jälkeen arkasellaan Wooldridgen robusin regressiopohjaisen spesifikaaioesin sovelamisa ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin mallien esaamisessa. Seuraavaksi käydään lävise yksiuloeisen ARCH-mallien eoriaa. Luvun lopuksi esiellään joiain diagnosisia esejä ja sijoiuskoheen yliuoon mallinamiseen liiyvää alousieeellisä eoriaa. Luvussa kolme esiellään ulokse empiirisesa analyysisä, jossa sovelleaan luvun kaksi meneelmiä aikasarjaprosessin mallinvalinaan ja esimoiniin. Luvussa neljä ehdään yheenveoa käsiellyisä asioisa.
3 EORIAA. Robusi kvasiuskoavuusesimoinimeneelmä Uskoavuusesimaaoria kusuaan kvasiuskoavuusesimaaoriksi, kun siä käyeään ieoisesi ilaneessa, jossa avanomaisen uskoavuusesimoinimeneelmän oleukse eivä ole voimassa. Bollerslev ja Wooldridge (99) ukiva normaalijakauman mukaisen kvasiuskoavuusesimaaorin käyöä ilaneissa, joissa esimoidaan samanaikaisesi sekä ehdollisen odousarvon eä ehdollisen varianssin mallispesifikaaio. Seuraavaksi esieään Bollerslevin ja Wooldridgen (99) robusin kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakaumaulos. Oleeaan, eä {(y, z): =,, } on jono saunnaisvekoreia sien, eä y on selieävä endogeeninen saunnaismuuuja ja z on L-uloeinen vekori eksogeenisia saunnaismuuujia. Olkoon edelleen mallin ennala määräyyneiden saunnaismuuujien joukko x (z, y-, z-,, y, z). avoieena on analysoida malleja, joilla kuvaaan vekorin y ehdollisa odousarvoa ja ehdollisa varianssia muuujien x suheen ehdolliseuna. Muuujisa x voidaan arviaessa poisaa muuuja z. oisaala valisemalla x z saadaan poikkileikkausmalleja vasaava mallinnusaseelma. Oleeaan seuraavaksi eä jollain äärellisuloeisella paramerivekorin arvolla θ Θ ehdolliselle odousarvofunkiolle {m(x,θ): θ Θ} ja ehdolliselle varianssifunkiolle {υ(x,θ): θ Θ} päevä samanaikaisesi yhälö (..) E y x ) = m ( x, θ ), =,, ja ( (..) var( y x ) = υ ( x, θ ), =,,. Parameriavaruus Θ on p-uloeisen reaaliavaruuden IR p osajoukko. Lisäksi vekorin x arvo ja paramerivekorin θ funkioiden m(x,θ) ja υ(x,θ) rakenee
4 oleeaan unneuiksi. Vekorin y ehdollisen jakauman ei yleisesi jakossa oleea olevan normaalinen. Vakioa lukuunoamaa havainnon log-kvasiuskoavuusfunkion yhälö on (..3) l ( y, x ; θ ) = ( / ) log( υ ( x, θ )) (/ )( y m ( x, θ )) υ ( x, θ ). Käyämällä yleiseylle residuaalifunkiolle merkinää (..4) ε ( y, x, θ ) y m ( x, θ ), saadaan yhälölle (..3) lyhyempi esiys (..5) l ( y, x ; θ ) = ( / ) log( υ ( x, θ )) (/ ) ε ( y, x, θ ) υ ( x, θ ). Paramerivekorin θ kvasiuskoavuusesimaaori θˆ saadaan maksimoimalla kaikkien havainojen kvasiuskoavuusfunkioa (..6) l ( y, x, θ ) = l ( y, x, θ ) paramerivekorin θ suheen. = Seuraavaksi esiellään Wooldridgen normaalijakaumapoikkeamien suheen robusin kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakauma. ää varen arviaan lauseke log-uskoavuusfunkion l(y,x,θ) Hessen mariisin ehdolliselle odousarvolle ja pisemäärävekorille. Olkoon Hessen mariisi kvasiuskoavuusfunkion oise osiaisderivaaa sisälävä p p-uloeinen mariisi (..7) H ( θ ) θ θ ' ( θ ) ( θ ) θ θ '. Lausekkeen (..7) avulla voidaan määriellään niin sanou ehdollinen informaaiomariisi (..8) a ( θ ) E[ H ( θ ) x ] Olkoon (kvasi)pisemäärävekori. Paramerivekori θ sisälää sekä ehdollisen odousarvofunkion eä ehdolisen varianssifunkion parameri.
5 (..9) s ( θ ) θ ( θ ) = ( θ ). θ Normaalijakauman apauksessa päee niin sanou informaaiomariisiekvivalenssi (..) a ) var[ s ( ) x ] ( θ θ =. Jos vekorin y ehdollinen jakauma ei ole normaalinen, niin ällöin informaaiomariisiekvivalenssi ei yleensä päde. (Bollerslev e al. 99, 48.) Kvasiuskoavuusesimaaorilla voidaan kuienkin ehdä ilasollisa pääelyä eoreeman. avulla, vaikka ukiavan prosessin y ehdollinen jakauma ei noudaakaan normaalijakaumaa. eoreema. Oleeaan säännöllisyysoleukse, joka on esiey arikkelissa Bollerslev e al. (99, 67), ova voimassa ja lisäksi, eä jollain paramerivekorin arvolla θ in(ω) yhälö (..) ja (..) päevä. ällöin kvasiuskoavuusesimaaorille θˆ päee jakaumaulos / (..) [ A B A ] ( θ θ ) N(, I ) (..) A E[ H ( ) / ] = E[ a ( θ )] ˆ θ ja d = p, jossa / (..3) B var s ( θ ) = E[ α ( θ ) α( θ )'] = =. Määriellään lisäksi esimaaori (..4) Aˆ a ( θ ˆ ) ja = (..5) Bˆ = ( θˆ )' ˆ α α ( θ ). eoreeman. säännöllisyysoleuksilla näille esimaaoreille päevä konvergenssi
6 ˆ B (..6) B ja ˆ A (..7) A. d d eoreeman. peruseella kvasiuskoavuusesimaaori on asympooisesi normaalisesi jakauunu ja ˆ ˆ ˆ A B A on sen rajajakauman kovarianssimariisin robusi arkenuva esimaaori. Mariisi A ˆ on ˆ ˆ B A Whien robusin kovarianssimariisin arkenuva esimaaori. Yhälön (..3) yhäsuuruus seuraa siiä, eä säännöllisyysoleuksien päiessä ja ehdollisen odousarvofunkion eä ehdollisen varianssifunkion ollessa oikein spesifioiu, kvasipisemäärävekori s(θ) on oikealla paramerivekorinnarvolla θ vekoriarvoinen maringaali-differenssijono. Jos informaaiomariisi ekvivalenssi on voimassa, niin silloin uskoavuusesimaaorin θˆ asympooinen kovarianssimariisin arkenuva esimaaori saadaan laskeua yksinkeraisemmin lausekkeilla (..8) a ˆ Aˆ var( ) / Bˆ θ = =. (Bollerslev e al. 99, 47-49.) /. Mallispesifikaaion robusi esaaminen Seuraavassa esiellään Wooldridgen (99, 99) robusien esien eoriaa. Ekonomerisessa mallinamisessa käyeään yleisesi apuregressioia spesifikaaioesien esisuureiden arvojen approksimaiiviseen laskemiseen. Näin ehdään eenkin laskeaessa Lagrangean-kerroinesien eli LM-esien esisuureiden arvoja. Näiden aproksimaiivisen esisuureiden arvojen pienoosominaisuude ova yleensä huonoja ja niiden asympooisen jakauman johaminen edellyää usein joidenkin lisäoleuksien voimassaoloa. Esimerkiksi useissa heeroskedasisuuseseissä jouduaan oleamaan nollahypoeesin voimassaolon lisäksi, eä virheermin neljäs momeni on äärellinen. avanomaise spesifikaaioesi on
7 myös yleensä konsruoiu normaalisesi jakauuneille ooksille ja ne eivä yleensä ole päeviä silloin, kun ukiavan muuujan ehdollinen jakauma ei noudaa normaalijakaumaa. ässä luvussa esieävä jakaumaoleuksien suheen robusi esi soveluva dynaamisen mallien ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenien spesifikaaioesaukseen yleensä ilman apuoleuksien ekemisä. Näiden esien yleinen rakenne muisuaa LM-esejä siinä mielessä, eä esisuureiden arvon laskeminen edellyää ainoasaan nollahypoeesin mukaisen rajoieun mallin esimoinia. esisuureiden arvojen laskeminen apahuu avanomaisien regressioesimoinien avulla. (Wooldridge 99, 8-9.).. esin yleinen rakenne P Oleeaan, eä { m ( x, ) : α A}, A IR α on skalaarisen saunnaismuuujan y ehdollisen odousarvon E(y x) paramerinen malliperhe. K-uloeinen saunnaismuuujavekori x sisälää seliäjämuuuja, joihin voi kuulua myös muuujan y omia viipeiä. Oleeaan lisäksi, eä esaava nollahypoeesi on (..) E( y x ) m ( x, ) H = =,, jollain α A IR p. : α esauksen koheena on jokin paramerivekoria koskeva rajoie sien, eä vasahypoeesina on hypoeesi (..) E( y x ) m ( x, ) H = =,,, : β jossa M-uloeinen paramerivekori β (M > K) on esieävissä rajoieun mallin oikean paramerin arvon α differenioiuvana funkiona β = c(α) sien, eä c: A B ja α in(a). Oleeaan edelleen, eä on olemassa jono painofunkioia {h(x,γ): γ Γ IR L } sien, eä h(x,γ) >. ämä painofunkio pyriään valisemaan rakeneelaan sellaiseksi, eä se approksimoi mahdollisimman hyvin ehdollisa varianssia V(y x). Funkion h(x,γ) arvo voidaan myös esimoida. ällöin
8 paramerin γ esimaaorin γˆ oleeaan olevan arkenuva eli ( ˆ γ γ ) O (), kun { } Γ = p γ. esinsuureen yleinen rakenne perusuu nollahypoeesia (..) vasaavan epälineaarisen mallin (..) y = m ( x, α ) + ε painoeun pienimmän neliösumman esimoinimeneelmään, jossa parameri α arvo esimoidaan rakaisemalla opimoiniehävä (..3) min ( y m ( x, α) ) α A = / h ( x, ˆ γ ). ämän opimoiniehävän ensimmäisen keraluvun ehoyhälö on (..4) ( y m ( x, α) ) α m ( x, α)' = h ( ˆ γ ) (..5) ( x α ) m ( x α ) =, jossa m, ( ). α α, Muodoseaessa esisuureen lauseke gradienivekori m ( x, α) korvaaan jollain sopivalla paramerivekorin α, ehdollisamismuuujien x funkiolla λ x, αˆ ), jolloin esisuureen lausekkeeksi saadaan ( (..6) ( y m ( x, αˆ )) λ ( x, αˆ ). = h ( ˆ γ ) Indikaaorifunkio λ x, αˆ ) pyriään valisemaan sien, eä se miaa ( kulloisessakin esausilaneessa mielenkiinnon koheena olevaa poikkeamaa nollahypoeesin mukaisesa mallisa. Esimerkiksi auokorrelaaioesissä indikaaorifunkio valiaan sien, eä se sisälää virheermin viipeiä, jolloin lausekkeen (..6) mukainen lauseke miaa residuaalien ja niiden viipeiden välisä lineaarisa riippuvuua. Jos lausekkeen (..6) saama arvo poikkeaa nollasa, niin ällöin residuaaleihin ulkiaan jääneen indikaaorifunkion approksimoimaa sysemaaisa rakennea. α
9 Olkoon mˆ (, ˆ m x α ), uˆ y mˆ, hˆ h ( x, ˆ γ ) ja ˆ λ (, ˆ λ x α ). ällöin lausekkeen (..6) mukaisen kovarianssin yhäsuuruua nollan kanssa esaavan avanomaisen LM-esisuureen approksimaiivinen arvo saadaan apuregressiolla, jossa muuujaa ˆ uˆ / h selieään muuujilla αmˆ / h ˆ ja ˆλ / ĥ, =,,,. esisuureen arvoa aproksimoi lauseke R, jossa R on avanomainen seliysase kyseisesä apuregressiosa. älle lausekkeelle päee nollahypoeesin voimassa ollessa asympooisesi jakaumaulos R a ~ Q χ, jossa Q M - K. Joa ämä jakauma-aproksimaaio olisi voimassa, äyyy esimaaorin αˆ olla asympooisesi ekvivaleni painoeun PNS-esimaaorin kanssa, ja lisäksi painofunkion esimaaorin ĥ ulee olla ehdollisen varianssin V(y x) arkenuva esimaaori. (Wooldridge 99, 3.) Seuraavassa kahdessa aliluvussa esieään lausekkeeseen (..6) perusuva robusi esi sekä ehdollisen odousarvomallin eä ehdollisen varianssimallin rajoieiden esaamiseen. Näillä esisuureilla on useia mielenkiinoisia ominaisuuksia. Ne ova robuseja aineison normaalisuusoleuspoikkeamien suheen. oisaala ne eivä meneä asympooisa ehokkuua myöskään ehdollisen normaalisuuden päiessä, sillä avanomaisen LM-esien oleuksien ollessa voimassa ne ja vasaava robusi esi ova asympooisesi ekvivaleneja. esisuureiden arvon laskeminen edellyää siis vain rajoieun mallin esimoinia ja ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin mallilausekkeisa arviaan vain ensimmäise osiaisderivaaa. Myöskään paramerivekorin rajoiefunkion arkemman rakeneen ai sen gradienivekorin unemisa ei edellyeä. Jos ehdollisen odousarvofunkion ja ehdollisen varianssifunkion rakeneiden esimoini voidaan eroaa oisisaan, niin ällöin ehdollisen odousarvofunkion esieävä esi on joissain apauksissa robusi myös ehdollisen varianssifunkion Näiden residuaalien kanssa määrielmällisesi orogonaalisen seliäjien on olava mukana esisuureen oikean koon säilyämiseksi (ks. MacKinnon 99, 8).
väärinspesifioinnin suheen. (Bollerslev e al. 99,5-53.) ämä esi soveluu eriyisen hyvin eksponeniaalisen malliperheen mukaisille malleilla, sillä niiden ehdollisen odousarvomallin parameriesimaaorin asympooinen jakauma on joka apauksessa riippumaon ehdollisen varianssifunkion parameriesimaaorin asympooisesa jakaumasa (Wooldridge 99, 7)... Ehdollisen odousarvomallin robusi esi ässä kappaleessa arkasellaan ehdollisa odousarvomallia koskevan hypoeesin robusia esaamisa silloin, kun ukiavan muuujan y mallinnuksessa on käyey samanaikaisen informaaion lisäksi kaikki heken - informaaio, joka vaikuaa heken arvoon. Olkoon esaava hypoeesi kuen kohdassa (..) eli (..7) : E( y x ) m ( x α ) H = ; =,,, jollain α A IR p, Saunnaisvekori x sisälää kaikki relevani seliäjä joukosa ψ- (z, y-,z-,y-,, z, y), jossa z-muuuja ova eksogeenisia muuujia. Paramerivekorin α esimoinnin oleeaan apahuvan -arkenuvalla esimaaorilla. Esielävän esin käyösä on suurin hyöy ilaneissa, joissa ehdollisen odousarvomallin parameri voidaan esimoida erikseen huomioimaa niiden mahdollisia riippuvuuksia ehdollisen varianssin paramerien kanssa. ämä ei arkoia siä, eä ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenin välillä ei saisi olla riippuvuuksia, sillä kuen jo aiemmin odein, esimerkiksi eksponeniaalisen malliperheen mukaisilla malleilla odousarvomallin ja varianssimallin paramerien kvasiuskoavuusesimoini voidaan ehdä erikseen, vaikka vasaavien ehdollisen momenien välillä olisikin riippuvuuksia. esisuure perusuu yleisen esisuureen (..6) mukaiseen lausekkeeseen
(..8) ˆ λ ' hˆ eˆ λ ( x, αˆ )' [ h ( x, ˆ γ )] e ( y, x, αˆ ) = = (..9) e ( y, x, ˆ α ) y m ( x, αˆ ) =., jossa avanomainen lausekkeeseen (..8) perusuva LM-esisuure laskeaan siis apuregressiolla sien, eä heeroskedasisuuskorjauja residuaaleja e~ eˆ / hˆ, jossa siis hˆ h ( x, ˆ γ ), selieään heeroskedasisuuskorjauilla pisemäärävekorin arvoilla α α ( ) virheindikaaorin arvoilla m ~ m x, α ˆ / hˆ ja vasaavasi korjauilla ~ λ ˆ λ ( x, αˆ ) / hˆ, =,. ällainen esisuure ei kuienkaan ole robusi ehdollisen varianssin väärinspesifioinnin suheen ja lisäksi esin asympooisen jakaumauloksen voimassaolo edellyää, eä esimaaori αˆ on asympooisesi ekvivaleni painoeun epälineaarisen pienimmän neliösumman esimaaorin kanssa. (Wooldridge 99, 6.) Seuraavalla proseduurilla saadaan laskeua edellisen luvun LM-esisuurea vasaava heeroskedasisuuden suheen robusi ehdollisen odousarvomallin spesifikaaioa esaava esisuure, jonka käyöedellyyksenä on paramerivekorin α -arkenuva esimoini. Proseduuri. i) Esimoidaan parameri α ja γ -arkenuvilla esimaaoreilla, jolloin ˆ p ( nollahypoeesin päiessä ( α ) = O ) α ja ( γ γ ) = O () ˆ p, jossa γ Γ on ei-sokasinen jono. Laskeaan lausekkeiden h ˆ = h(, γ ), mˆ = m ( x, ˆ) α, eˆ = y m ( x, αˆ ), ˆ ( x, αˆ ) α α lausekkeiden u~ hˆ / uˆ, m~ hˆ / mˆ / α ja λ h λ arvo. x λ ja vasaavien modifioiujen ~ ˆ ~ λ arvoja selieään lausekkeen ˆ αm ~ arvoilla, ii) Esimoidaan regressio, jossa lausekkeen alleeaan residuaali r~ ja laskeaan niiden avulla lausekkeiden ~ e r ~ arvo. iii) Esimoidaan lopuksi regressio, jossa vakioa yksi selieään lausekkeen ~, arvoilla. e r ~
Nollahypoeesin päiessä on voimassa jakaumaulos R u a ~ χ Q = SSR, jossa SSR on avanomainen residuaalineliösumma kohdan kolme regressiosa. Kohdan kaksi regression seurauksena esisuure käyäyyy asympooisesi ikään kuin se olisi esimoiu painoeulla pienimmän neliösumman meneelmällä. (Wooldridge 99, 6-7.) Heeroskedasisilla virheermeillä esin opimaalise ominaisuude edellyävä ehdollisen varianssifunkion jonkinlaisa spesifioinia painofunkion h avulla. Jos painofunkion arkemmasa rakeneesa ei ole ieoa, se jouduaan korvaamaan jollain muulla funkiolla. Yleisesi sovelleavissa olevan vaihoeho on vakio yksi, jolloin h(x, γ) =, =,,..., (Wooldridge 99, 3.) Robusi LM-esi ehdollisen odousarvomallin rajoieelle Olkoon µ (, β ) x ehdollisen odousarvon rajoiamaon malli, jossa β on M uloeinen paramerivekori (M > K). Oleeaan myös kuen aiemminkin, eä oikea paramerivekorin arvo β on esieävissä rajoieun odousarvomallin m (,α ) oikean paramerin arvon α differenioiuvana funkiona β = c(α) sien, eä c: A B ja α in(a). esaavia rajoieia on näin ollen Q M - K kappalea. Ehdollisen odousarvon mallifunkiolle päee näillä oleuksilla yhälö (..) m ( x, α) µ ( x, c( α)). Robusi LM-esisuure saadaan valisemalla väärinspesifioinnin indikaaoriksi (..) λ ( x, α ) β µ ( x, c( α) ). ällöin kuienkin painoeu pisemäärävekori ja painoeu väärinspesifioinnin indikaaori, (..) m ~ ˆ c( α ) / hˆ ja α β µ α x
3 ~ (..3) λ β ˆ µ / ĥ, sisälävä samoja komponeneja (vekorissa ˆ β µ ), joka on poiseava indikaaorisa ennen proseduurin. kohdassa ii) apahuvaa robusisoivaa regressioa. arkasellaan lähemmin esimerkkiä, jossa esaaan auoregressiivisen mallin (..4) y = α + αy +... + α p y p + ε virheermiprosessin ε aseen q auokorreloiuneisuua. Vasahypoeesin mukainen malli virheermeille on siis (..5) ε = φ ε +... + φqε q + η, jolloin nolla- ja vasahypoeesi voidaan esiä muodossa (..6) H : φ, i =,,,q ja i = (..7) H : φ jollain i =,,,q. i avanomaisen LM-esin mukainen väärän spesifikaaion indikaaori on (..8) µ = (, y,..., y, ˆ ε,..., ˆ ε ), jossa β ˆ p q (..9) ˆ ε = y ˆ α αˆ y ˆ α p y p. Ennen kohdan ii) regressioa äsä indikaaorisa on poiseava (p+) ensimmäisä komponenia, joka ova myös regression seliäjien lausekkeessa jälkeen indikaaoriksi ulee (..) ˆ λ ( ˆ ε, ˆ ε,..., ˆ ε )'. q αmˆ. ämän (Wooldridge 99, 9-). Jos painofunkion h, =,,, arvoja ei unnea, niin ne voidaan, kuen jo aiemmin odeiin, korvaa vakiolla yksi eli h =, =,,,. esin voimaa voidaan oisaala paranaa, jos painofunkion rakenne onnisuaan valisemaan sien, eä se aproksimoi ehdollisen varianssin V(y x) rakennea. Painofunkio h(x,α) voiaisiin myös sulauaa indikaaorifunkioon λ(x,α), mua edellä
4 olevassa esiyksessä se on arkoiuksella esiey omana erillisenä funkiona. Näin on ehy siksi, eä jos painofunkio onnisuaan spesifioidaan sien, eä se aproksimoi ehdollisa varianssia, niin ällöin saaava robusi esi on asympooisesi ekvivaleni avanomaisen LM-esin kanssa (Wooldridge 99, 7-8)...3 Ehdollisa varianssimallin robusi esi ässä luvussa arkasellaan ehdollisen varianssin mallirakeneen robusia esaamisa sen jälkeen, kun edellisen kohdan mukainen ehdollisen odousarvon malli on odeu riiäväksi. oisin sanoen arkoius on esaa nollahypoeesia, (..) H ': H ( x ) = υ ( x, γ ), =,,... V y päee ja lisäksi jollain paramerivekorin arvolla γ Γ Ehdollinen odousarvofunkio siis oleeaan oikeinspesifioiduksi, joen nollahypoeesi H voidaan esiää myös muodossa (..) ': E ( e ) [ x ] υ ( x γ ) H =, jossa, (..3) e y m x, α ) ( on ehdollisen odousarvomallin residuaalin lauseke oikealla paramerivekorin arvolla α. Yhälön (..) peruseella nollahypoeesin mukainen ehdollisen varianssimallin residuaali on (..4) eˆ ˆ υ e ( αˆ ) υ ( x, ˆ γ ), jossa (..5) e ( αˆ ) e ( x, ˆ α ). Nollahypoeesia H esaava esisuure perusuu sien lausekkeeseen (..3) ˆ ' ( eˆ ˆ υ ) λ ( x, θˆ )' e ( αˆ ) υ ( x, ˆ γ ) = = [ ] λ, jossa esimaaori ˆ α ja ˆ γ oleeaan arkenuviksi oikeiden paramerivekorin arvojen α ja γ suheen. Robusi esisuureen lauseke laskeaan ämän jälkeen analogisesi proseduurin. kanssa. ehdään joiain lisämäärielyjä. Olkoon
5 υ ( x, γ ) nollahypoeesin mukainen rajoieu malli, jossa γ Γ IR L. Olkoon edelleen ϕ ( x, δ ) yleisempi rajoiamaon malli, jossa δ IR N sien, eä N > L ja lisäksi Q = N L. esi on robusi jakaumaoleuspoikkeamien suheen. esisuureen arvo laskeaan samalla avoin kuin robusi odousarvoesi. Proseduuri. i) Esimoidaan paramerivekori α ja γ esimaaoreilla, joka ova -arkenuvia nollahypoeesin H päiessä.ja laskeaan arvo lausekkeille ˆ υ, arvo α mˆ, eˆ, ˆ φ eˆ ˆ υ ja ˆ λ ja näiden avulla edelleen painokorjau ~ ~ υ ˆ γ. ~ υ υ φ ˆ ˆ / ˆ, φ/ ˆ υ = eˆ ˆ / υ ja λ ˆ λ / υ ii) Esimoidaan regressio, jossa indikaaorin λ ~ arvoja selieään vekorin ~ γυ ; komponenien arvoilla ja alleeaan Q kappalea residuaaleja r~ i, i =,,...Q. iii) Esimoidaan lopuksi regressio, jossa ykkösen vekoria selieään lausekkeiden ~ φ r ~ i ; i =,,Q arvoilla. Hypoeesin H ' päiessä lauseke R u SSR noudaaa asympooisesi jakaumaa χ Q. SSR on avanomainen residuaalineliösumma kolmannen vaiheen regressiosa. Ennen robusisoivaa regressioa (vaihe ii)) on selieäväsä indikaaorisa aikaisempien esien apaan poiseava seliäjänä käyeyn gradienivekorin kanssa yheise komponeni. (Wooldridge 99, 9.) Robusi LM-esi ehdollisen varianssimallin rajoieelle avanomaisen LM-esin robusi versio saadaan valinnoilla, (..4) λ ( x θ ) δ ϕ ( x, δ ), (..5) υ ( x, γ ) ϕ ( x, c( γ )), jossa δ = c(γ ) ja. ällöin vasaava painoeu lausekkee ova ~ (..6) λ ˆ λ / ˆ υ λ ( x, θˆ ) / υ ( x, c( ˆ γ )) ja
6 (..7) ~ υ ˆ υ / ˆ υ = ˆ ϕ C ˆ ˆ / υ, jossa ˆ ϕ = δϕ ( c( ˆ γ )) ja Cˆ = c( ˆ γ ). δ γ γ γ δ Indikaaorisa λˆ on poiseava L ensimmäisä ermiä ennen kohdan kaksi regressioa. ARCH(q)-mallin robusi LM-esi saadaan valisemalla indikaaoriksi vekori ~ λ = ˆ λ = eˆ,..., e. (..8) ( ) (Wooldridge 99, 3-3.) ˆ q.3 ARCH-mallien eoriaa.3. ARCH-mallien ausaa ja mallinamisperiaae Viimeisen parin vuosikymmenen aikana yksi suosiuimmisa ukimuskoheisa ekonomerian piirissä on ollu ehdollisen heeroskedasisuuden mallinaminen. Louis Bachelier kiinnii huomioa ähän ilmiöön empiirisissä aineisoissa jo vuosisadan alussa (Mandelbro 967, 394). Mandelbro arkaseli erilaisen hinasarjojen jakaumia paljon myöhemmin 96-luvulla ja havaisi niissä säännöllisiä heeroskedasisuusrakeneia. Esimerkiksi puuvillan hinasarjoissa iso muuokse seurasiva isoja muuoksia ja piene muuokse pieniä muuoksia, alkuperäisen hinasokin suunnasa riippumaa (Mandelbro 963, 48). Myöhemmässä arikkelissaan Mandelbro oesi lisäksi opimisisesi, eä o refer o sysemaic changes is especially emping. Indeed, o explain he emporal changes of he saisical parameers of he he process of price variaion would consiue a worhwhile firs sep owards he ulimae explanaion of price variaion iself. (Mandelbro 967, 396). Vaikka Mandelbroin kuvailema empiirise jakaumaominaisuude oliva siis iedossa jo paljon ennen vuoa 98, niin ilmiön mallinamiseen käyeiin ää
7 ennen lähinnä epäformaaleja meneelmiä. Vuonna 98 julkaisiin Rober Englen arikkeli, jossa ensimmäisen kerran esieiin ekonomerisia malleja näiden ominaisuuksien kuvaamiseen. (Bera e al. 993, 36.) Engle esieli arikkelissaan auoregressiivisen ehdollisen heeroskedasisuusmallin eli ARCH(q)-mallin (AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy model). ämän jälkeen on julkaisu valava joukko arikkeleia, joissa on esiey joko ämän mallin laajennuksia ai uusia samankalaisia malleja. Suurimpia syiä ARCH-mallien 3 suosioon on oisaala se, eä niiden kuvaamia ominaisuuksia esiinyy yleisesi rahoiusaineisoissa ja oisaala se, eä näiden mallien ominaisuude eivä ole risiriidassa alouseorioiden kanssa. Pelkässä ARCH-prosessissa ei oleea olevan auokorrelaaioa ja oisaala rahoiusmarkkinoiden oleeaan yleensä olevan ehokkaa, jolloin kaikki oleellinen informaaio (mukaan lukien prosessin oma hisoria) sisälyy hinaprosessin kulloisenkin ajanheken arvoon. Seuraavan periodin hinnan ajaellaan sien olevan odousarvomielessä riippumaon edellisen ajanheken arvosa. oisaala varianssilla on rahoiuseoriassa keskeinen rooli riskin kuvaajana, joen ARCHmalleilla pysyään mallinamaan ehdollisa riskiä kuvaavan muuujan riippuvuusrakeneia rikkomaa oleusa markkinoiden ehokkuudesa. Ehdollisen varianssin käyäyymisen uneminen on luonnollisesi ärkeää myös silloin, kun arkasellaan ekonomerisen mallien anamien ennnuseiden luoeavuua. ARCH-malleja voidaan sovelaa sellaisenaan aikasarjaprosessin käyäyymisen mallinamiseen, mua yleisempää lienee ARCH(q)-mallin käyö regressiomallin residuaaliprosessin mallispesifikaaiona. ällöin prosessia y mallinneaan lineaarisella regressiomallilla (.3.) y = β ' x + ε,
8 jossa x on K-uloeinen vekori seliäviä muuujia ja β on unemaon K- uloeinen paramerivekori. Vekori x voi sisälää myös prosessin y viiväseyjä arvoja. ARCH-spesifikaaion mahdollisamiseksi virheprosessille ε oleeaan ehdollinen jakauma (.3.) ε ~ N(, h ), ψ jossa ehdollisaminen apahuu mallimuuujien aikaisemman hisorian { y x } ψ =,,... suheen. (Bera e al.,993, 39-3.) Keskeinen ominaisuus yhälöiden (.3.) ja (.3.) mukaisen ARCHregressiomallin määrielyssä on se, eä siinä salliaan virheermiprosessin ε ehdollisen varianssin h riippuvuus muuujaprosessien aikaisemmasa hisoriasa. oisaala jakossa esieään sabiilisuusehoja, joiden voimassa ollessa ARCHprosessin ehdoon varianssi pysyy vakioisena ajan kuluessa. Heeroskedasisuus on siis ällöin luoneelaan ainoasaan ehdollisa. Yksiuloeisen ARCH-mallien määriely eroava oisisaan ehdollisen varianssin h rakenneyhälön osala..3. Yksiuloeisia ARCH-malleja Seuraavassa kuvaaan arkemmin muuaman yksiuloeisen ARCH-mallin eoriaa ja niiden ilasollisia ominaisuuksia. Englen ARCH(q)-mallin lisäksi esiellään yleisey ARCH-malli (GARCH-malli) sekä siiä edelleen johdeu inegroiu GARCH-malli (IGARCH-malli) ja eksponeniaalinen GARCH-malli (EGARCH-malli). ARCH(q)-malli Englen (98) alkuperäisessä arikkelissa esieään useia ehdollisen varianssin h rakennea kuvaavia yhälöiä. Yleisesi näiä voidaan kuvaa yhälöllä 3 Nimiysä ARCH malli käyeään ässä eksissä myöhemmin yleisesi kuvaamaan kaikkia ARCH(q) mallisa johdeuja malleja.
9 (.3.3) h h( ε, ε,..., ε, α ) =, q joka luonnollisesi piää sisällään hyvin erilaisia rakeneia. Regressiomallin virheermin viipeiden lukumäärä sekä paramerivekorin α ja funkion h arkempi rakenne jäeään ässä esiyksessä anamaa (Engle 98, 989). arkemmin esiyksessä käsiellään kuienkin ARCH-regressiomallia, jossa virheermiprosessin ehdollinen varianssi riippuu lineaarisesi aikaisempien virheermien neliöisä. ämä virheermiprosessin spesifikaaio on siemmin ullu unneuksi ARCH(q)- mallina. Siinä virheprosessin ε ehdollisen varianssin riippuvuusrakeneen määriää yhälö (.3.4) jossa siis h = α ε, + αε + αε + + α q q (.3.5) ε i = y i β ' x i, i =,,,q (Engle 98, 994). Oleamalla, eä α > ja αi ; i =,, q, aaaan ehdollisen varianssin posiiivisuus. Jos lisäksi mallin karakerisisen yhälön q (.3.6) α L α L α ql = kaikki juure ova yksikköympyrän ulkopuolella, niin ARCH(q)-prosessi on kovarianssisaionaarinen ja ällöin prosessin ehdoomalle varianssille saadaan lauseke (.3.7) α var( ε ) = E( ε ) =. q = α j j (Engle 98, 993.) Virheermi ε ova auokorreloiumaomia, mua eivä riippumaomia, sillä niiden välinen riippuvuus on ny oisessa ehdollisessa keskusmomenissa (Bollerslev 986, 3). Kuen yhälösä (.3.4) voidaan nähdä, niin ARCH(q)-mallin avulla saadaan siis mallinneua ilanne, jossa prosessissa apahuneen sokin vaikuus säilyy ehdollisessa varianssissa jonkin aikaa ja lakkaa vähiellen. ähän ominaisuueen
liiyy läheisesi myös ARCH-prosessien jakaumien paksuhänäisyys. Engle näyää ARCH()-mallin osala, eä sen implikoima ehdollinen jakauma on huipukkaampi eli paksuhänäisempi kuin normaalijakauma (Engle 98, 99). Yleisey ARCH-malli (GARCH-malli) Sopivan ARCH(q)-mallin löyäminen edellyää usein varsin pikän viiverakeneen (eli ison q arvon) käyöä, mikä lisää riskiä saada negaiivisia varianssiesimaaeja. Engle kiinnii ähän seikkaan huomioa jo alkuperäisen ARCH-arikkelinsa empiirisessä sovelluksessa. Paramerien ja niihin liiyvien rajoieiden lukumäärän pienenämiseksi hän käyää lineaarisesi pieneneviä painokeroimia virheermien neliöermien ε i keroimina. (Engle 98,.) Englen käyämä rakenne voidaan esiää yhälöllä q ε i i= (.3.8) h = α + α w i (.3.9) ( q + ) i w i =. q( q + ), jossa Painofunkion arvo wi pienenevä lineaarisesi ja summauuva ykköseksi. (Bera e al. 993, 3.) Esimoiavia paramereja on siis vain kaksi. oisaala yhälöiden (.3.8) ja (.3.9) mukainen ehdollisen varianssin rakenne ekee kuienkin ehdollisen varianssiprosessin dynamiikan varsin rajoiuneeksi. Bollerslev (986) esieli yleiseyn ARCH-mallin eli GARCH-mallin (Generalized ARCH model), joka mahdollisaa korkea-aseisen ARCH(q)-mallin korvaamisen vähemmän esimoiavia paramereja sisälävällä mallilla. GARCH(p,q)-mallin ehdollisella varianssilla on rakenneyhälö (.3.) h = α + α ε + + α qε q + β h + β ph p +. Yhälössä (.3.) ARCH(q)-mallin vasaavaan yhälöön (.3.4) on lisäy p kappalea ehdollisen varianssin h omia viiväseyjä arvoja. Ehdollisen varianssin posiiivisuuden akaamiseksi Bollerslev esii, eä kaikkien yhälön paramerien
olisi olava ei-negaiivisiä sien, eä α >, αi ; i =,,q ja βi ; i =,,p. (Bollerslev 986, 39.) Käyämällä ehdollisen odousarvon ARMA-mallien esiyksisä uuja viivepolynomeja (.3.) (.3.) A q ( L) = α L + α ja ql B( L) = β L + + β pl p ja oleamalla yhälön -B(L) = juurien olevan yksikköympyrän ulkopuolella voidaan yhälösä (.3.) muokaa ääreönuloeisen ARCH( )-mallin mukainen ehdollisen varianssin rakenneyhälö (.3.3) h = α A( L) + ε B() B( L) * = α + δ i ε. i= Keroimille δi saadaan lausekkeen (.3.4) D ( L) = A( L)( B( L)) sarjakehielmäsä yhälö (.3.5) δi = α i + β jδ i j, kun i=, q ja n j= δi = n j= β δ, kun i = q+,. j i j Parameri n = min{ p, i-}. Jos B() <, niin ällöin δi- keroime lähesyvä nollaa i:n kasvaessa rajaomasi. Jos lisäksi D() <, niin ällöin GARCH(p,q)-prosessia voidaan aproksimoida mielivalaisen arkasi saionaarisella ARCH(q)-prosessilla valisemalla q:n arvo arpeeksi isoksi. (Bollerslev 986, 39-3.) Esiyksen (.3.3) jälkimmäisen osan ja ARCH-mallin paramerien * posiiivisuusehojen peruseella ehdollinen varianssi on posiiivinen, jos α > ja δi kaikilla i =,,. Näin alkuperäisille paramereille saaava
posiiivisuusehdo ova lievempiä kuin alkuperäisessä Bollerslevin (986) arikkelissa ollee posiiivisuusehdo. Myös empiirisissä ukimuksissa on havaiu, eä joku GARCH(p,q)-prosessin parameri voiva olla negaiivisia, mua ehdollinen varianssi saa sili ainoasaan posiiivisia arvoja. Alkuperäisiä jyrkempiä posiiivisyysehoja ei sien pidä sovelaa kaikissa apauksissa suoraviivaisesi esimoinirajoieina. (Nelson ja Cao, 99, 3 ja 34.) GARCH(p,q)-prosessi on kovarianssisaionaarinen, jos (.3.6) A() + B() <. ällöin ehdoomalle varianssille saadaan yhälö (.3.7) α Var( ε ) =. A() B() (Bollerslev 986, 3.) Määriellään prosessi υ yhälöllä (.3.8) υ = ε h, jolloin ehdolliselle varianssille h saadaan lauseke (.3.9) h = ε υ. Sijoiamalla ämä lauseke GARCH(p,q)-mallin ehdollisen varianssin rakenneyhälöön (.3.) saadaan yhälö q p p β jυ j + i= j= j= (.3.) ε = α + αiε i + β jε j ja edelleen viivepolynomimerkinöjen avulla esiys (.3.) ( α ( L) β ( L) ) ε = α + β ( L) υ + υ äsä muodosa voidaan nähdä, eä GARCH(p,q)-malli muisuaa rakeneelaan prosessin ε auoregressiivisen liukuvan keskiarvon mallia eli ARMA(m,q)-mallia, jossa m = max{p,q}. Näin ollen GARCH(p,q)-mallin voidaan ajaella olevan samankalainen laajennus ARCH(q)-prosessille kuin ehdollisen odousarvon. υ
3 ARMA(p,q)-malli on vasaavalle auoregressiiviselle AR(p)-mallille (Bollerslev 986, 38 ja 3). Inegroiunu yleisey ARCH-malli (IGARCH-malli) Aikasarjojen inegroiuneisuusarkaselu ova noussu keskeiseen asemaan ehdollisen odousarvon yheisinegraaioa käsielevän ukimuksen myöä. Empiirisissä ARCH-mallien sovelluksissa on usein havaiu sopivimmaksi malliksi GARCH(,)-malli. ämän mallin heikko kovarianssisaionaarisuus edellyää paramerien epäyhälön α + β voimassa oloa. Useissa empiirisissä < arkaseluissa GARCH(,)-mallin parameriesimaaien summan on havaiu olevan noin yksi eli α + ˆ β. Jos summa α + β odellisuudessa on yksi, niin ˆ silloin GARCH(,)-malli ei enää ole kovarianssisaionaarinen. ällaisen mallin mukaisen ehdollisen varianssin käyäyymisessä on havaiavissa samankalaisia ominaisuuksia kuin ehdollisen odousarvon ARIMA-malleilla. Nimiäin ällainen ehdollisen varianssin prosessi muisaa virheermiprosessin ε soki sellaisenaan. Myös inegroiuneiden ARCH-mallien ehdollisen varianssin ennuseen varianssi kasvaa arkaselavan aikahorisonin pideessä. Engle e al. (986, 6) esieli niin sanoun inegroidun yleiseyn ARCH-mallin eli IGARCH-mallin (Inegraed GARCH model), jossa ehdollisen varianssiyhälön h kerroinparameri vakioa lukuunoamaa summauuva ykköseen eli (.3.) i + p q α β =. i= i= i Englen ja Bollerslevin arikkelin määrielyssä salliaan useamman keraluvun inegroiuneisuus, mua ässä esiyksessä arkasellaan ainoasaan ensimmäisen keraluvun inegroiuneisuua. Yhälön (.3.) mukaisen GARCH(p,q)-mallin esiyksen kanssa analogisen IGARCH(p,q)-mallin rakenneyhälö on (.3.3) φ ( L))( L) ε = α + ( + β ( L)) υ, (
4 jossa polynomilla (-φ(l)) ei ole yksikköjuuria (Andersen ja Bollerslev 998, 9). Saionaarisen GARCH(p,q)-mallin varianssin ennuse lähesyy prosessin ehdoona varianssia ennuseavan aikaperiodin pideessä. oisin sanoen (.3.4) E ( h +s ) σ, kun s. ässä E(h+s) on siis ehdollisen varianssin h ennuse s aikavälin päähän ajanheken informaaion peruseella ehynä. (Engle ja Bollerslev 986,.) IGARCH(,)- mallia noudaavalla prosessilla ennuseheken informaaio vaikuaa ehdollisen varianssin ennuseeseen riippumaa siiä, kuinka kauas ulevaisuueen arkaselu ulouu. oisin sanoen (.3.5) E ( h + s ) = h +, kaikilla s =,3, (Engle ja Bollerslev 986, 7.) ällaisen prosessin voidaan ajaella olevan eräänlainen ehdollisen varianssin saunnaiskulkuprosessi. Mikäli IGARCH(,)- mallin ehdollisen varianssiyhälössä vakio α on nollaa suurempi, niin mallin ehdollisen varianssin ennuseen käyäyyminen muisuaa ehdollisen odousarvon saunnaiskulku + drif -prosessin mukaisa käyäyymisä. ällöin ehdollisen varianssin ennuseelle saadaan IGARCH(,)-prosessin apauksessa yhälö (.3.6) E ( h + s ) = sα + h+. (Engle ja Bollerslev 986, 8.) Ehdollisen varianssin inegroiuneisuua ei voida suoraan rinnasaa ehdollisen odousarvon lineaarisen mallien inegroiuneisuueen myöskään siksi, eä sekä GARCH(p,q)- eä IGARCH(p,q)-malli ova epälineaarisia malleja. GARCH-mallin mukainen prosessi voi myös olla vahvasi saionaarinen (jakaumamielessä saionaarinen) olemaa heikosi saionaarinen (kovarianssisaionaarinen). Ensin mainiu vahva saionaarisuus edellyää prosessin äärellisen piuisen (s < ) osaprosessin ε+, ε+,,ε+s ilasollisen yheisjakauman olevan sama ajanheken muuuessa kun aas heikko saionaarisuus edellyää, eä prosessin momeni
5 ova äärellisiä ja vakioisia ajassa. ieyillä paramerien arvoilla GARCH-mallin ehdoon varianssi ei ole äärellinen, mua prosessin jakauma pysyy samana muueaessa arkaselavan aikavälin sijainia. GARCH(p,q)-malli voidaan jakaa paramerien avulla kolmeen eri luokkaan sen mukaan esiinyykö niiden ennuseissa, ise prosessin kulussa vai molemmissa pikämuisisuua. Esimerkiksi GARCH(,)-mallilla nämä kolme aluea ova (i) Heikosi saionaarinen alue, jossa α + β < ja jossa sekä ennusee eä ise prosessi ova lyhymuisisia. (ii) Vahvasi, mua ei heikosi, saionaarinen alue, jossa α + β, [ log( + )] / < E β αη h (η on kuen yhälössä (.3.3)) ja jossa ennuse on pikämuisinen, mua ise prosessi lyhymuisinen. (iii) Sekä vahvasi eä heikosi epäsaionaarinen alue; jossa [ log( + )] / E β αη h ja jossa sekä ennuse, eä ise prosessi ova pikämuisisia. IGARCH(p,q)-malli sijaisee alueiden (i) ja (ii) rajalla prosessin ollessa vahvasi saionaarinen ja paksuhänäinen. (Gourieroux 997, 99-.) Eksponeniaalinen yleisey ARCH- malli (EGARCH- malli) Sekä ARCH(q)- eä GARCH(p,q)-mallissa prosessin ehdollisen varianssin käyäyyminen on samankalaisa riippumaa siiä, onko sokki (ε) posiiivinen vai negaiivinen. Nelson(99) esieli eksponeniaalisen yleiseyn ARCH-mallin eli EGARCH-mallin (Exponenial GARCH model), jolla voidaan kuvaa ilannea, jossa sokin vaikuus ehdolliseen varianssiin on erisuuruinen riippuen siiä apahuuko sokki ylöspäin vai alaspäin. EGACH-mallin ehdollisen varianssin rakenneyhälö perusuu yhälöön (.3.7) ln( h ) = α + k= β g( ε k k ), jossa
6 (.3.8) g ε ) = θε + γ [ ε E ε ] (. Sokin ε ollessa posiiivinen ( < ε < ), funkio g(ε) on lineaarinen ermin ε suheen kulmakeroimella θ + γ. Jos sokki on negaiivinen (- < ε < ), niin funkio g(ε) on lineaarinen ermin ε suheen kulmakeroimella θ - γ. (Nelson 99, 35-35.) Alkuperäisessä esiyksessään Nelson esiää yhälössä (.3.7) vakioermin α ajassa vaihelevana, mua yleensä mallia on sovelleu myöhemmin sien, eä ermi α on korvau vakioermillä α*. ää periaaea noudaeaan jakossa myös ässä esiyksessä. Analogisesi ARMA-mallin kanssa, EGARCH-mallin rakenneyhälö (.3.3) voidaan muuaa vähemmän paramereja sisäläväksi, jos yhälön ääreönuloeinen esiys korvaaan yhälöillä q ( + βl + + β ql ) (.3.9) ln( h ) = α * + g( ε ) p ( α L α L ) (.3.3) ln( h ) = α + αi log( h i ) + p q βi g( ε j ) i= j= (.3.3) α = α /( α α ). * p p, jossa Yhälön (.3.9) osamäärälausekkeen osoiajan ja jakajan lausekkeilla ei oleea olevan yheisiä juuria. Prosessi on vahvasi saionaarinen ja ergodinen, jos p karakerisisen yhälön ( α L α p L ) = juure ova yksikköympyrän ulkopuolella. (Nelson 99, 35.).3.3 ARCH-mallien esimoini Normaalinen uskoavuusesimoini ässä luvussa käydään lävise normaalijakaumaan perusuvan ARCH-mallin uskoavuusesimoinnin periaaeia. Uskoavuusesimoinimeneelmän lisäksi ARCH-mallien esimoinnissa on käyey muun muassa yleiseyä
7 momenimeneelmää eli GMM-esimoinimeneelmää sekä erilaisia semi- ja eiparamerisia esimoinimeneelmiä, mua niiä ei arkasella ässä esiyksessä. Vaikka ARCH-malleja sovelleaan usein aineisoon, joka ei ole normaalinen, niin siiä huolimaa yleisimmin käyey esimoinimeneelmä niiden esimoinnissa lienee normaalinen suurimman uskoavuuden meneelmä. Jos empiirinen jakauma on symmerinen, niin ällöin paramerien esimaaien harhaisuus ei yleensä ole ongelma, mua ilasollisen pääelyn päevyys muodosuu kyseenalaiseksi, jos jakauma poikkeaa huomaavasi normaalijakaumasa. Uskoavuusesimoinnin uloksia voidaan paranaa käyämällä normaalijakauman sijaan paremmin aineisoon sopivaa jakaumaa. Yleinen ARCH-mallin log-uskoavuusfunkio voidaan määriellä saunnaismuuujien ε ja η riippuvuusrelaaion avulla. arkasellaan yhälön (.3.) mukaisen regressiomallin residuaaliprosessin saunnaismuuujamuunnosa ε = η h /, jossa sandardoidun heeroskedasisuuskorjaun prosessin η ε / h iheysfunkio f(η) oleeaan unneuksi. ällöin virheermiprosessin ε (y - β x) iheysfunkion g(ε) yhälöksi saadaan (.3.3) g(ε) = = f ( ε h f ( ε h / / d( ηh ) ) dη / ) h /, jossa siis (.3.33) ε (y - β x). Näin havainojen log-uskoavuusfunkio yleisessä muodossa on / (.3.34) l( ) = [ log f ( y β ' x ) h ).5log( h )] (Bollerslev e al. 99,7.) θ. = Käyännössä esimoini apahuu sien, eä uskoavuusyhälöä (.3.34) maksimoidaan sekä ehdollisen odousarvomallin eä ehdollisen varianssimallin
8 paramerivekori sisälävän vekorin θ suheen. ämän opimoiniehävän rakaisun löyäminen edellyää ensimmäisen keraluvun ehojen l( θ ) (.3.35) =, i =,,, s θ i rakaisemisa (s on kaikkien esimoiavien paramerien lukumäärä). Joa näiden opimiehojen rakaisuina saaava esimaaori olisiva yksikäsieisiä ja niiä voiaisiin käyää ilasolliseen pääelyyn, äyyy ehdä ieyjä säännöllisyysoleuksia. Myös aikasarjaekonomerisissa aseelmissa päevä säännöllisyysoleukse on esiey esimerkiksi Godfreyn (988) kirjassa (6-7). ARCH(q)-mallia lukuunoamaa muiden ARCH-mallien opimieholausekkee (.3.35) rakaisaan yleensä numeerisesi. Säännöllisyysoleuksien voimassaolon arkisaminen saaaa käyännössä olla hankalaa. Sandardoidun N(,)-jakauuneen saunnaismuuujan η iheysfunkion yhälö on (.3.36) f η ) = (π ) [ ] / exp.5η (. Oamalla huomioon yhälön ε = η h mukainen saunnaismuuujamuunnos, / saadaan prosessille ε iheysfunkio (.3.37) ( ) / / f (π ) exp(.5ε h ) h ε, = jossa siis (.3.38) ε = y β ' x. Näin saadaan edelleen havainojen log-uskoavuusfunkiolle lauseke (.3.39) = [ + ] l( ) ( / ) ln(π ) ε h + ln( h ) θ. = Kvasiuskoavuusesimoinnin oimivuus ARCH-mallien esimoinnissa ARCH(q)-mallin kvasiuskoavuusesimaaori on arkenuva ehdollisen varianssin rakenneyhälön paramerien esimoinnissa, jos kaksi ehdollisa
9 momenia ova oikein spesifioiuja ja neljäs momeni on äärellinen eli 4 ε < (Weiss 986, s 5). Neljännen momenin äärellisyyden edellyämä paramerien rajoie-ehdo saaava kuienkin olla isompiaseisilla ARCH(q)- ja GARCH(p,q)- malleilla käyännössä vaikeia perusella (Bera ja Higgins, 993, 35). Samoin kuin siirryäessä AR(p)-mallin esimoinnisa ARMA(p,q)-mallin esimoiniin, esimoini vaikeuuu myös huomaavasi siirryäessä ARCH(q)-mallin esimoinnisa GARCH(p,q)-mallin esimoiniin. Monimukaisempien ARCH-mallien esimoinimeneelmien oimivuua on yleisesi ukiu hyvin vähän. Enien ukimusuloksia on GARCH(,)- ja IGARCH(,)-mallien esimoinnisa. Simuloinikokeiden peruseella näiden kummankin mallin uskoavuusesimaaori on asympooisesi normaalijakauunu. Näidenkin esimaaoreiden jakaumien on kuienkin havaiu olevan vinoja pienissä ooksissa. (Lumsdaine 995, 8.) Edelleen näiden mallien kvasiuskoavuusesimaaoreiden on osoieu olevan ieyillä säännöllisyysoleuksilla arkenuvia ja asympooisesi normaalisesi jakauuneia (Lumsdaine 996, 58). Eri esimoinimeneelmien käyön verailua Sekä kvasiuskoavuusesimaaori eä erilaise semiparamerise esimaaori, joissa käyeään aproksimoiua ehdollisa iheysfunkioa ova yleensä ehoomampia esimaaoreia kuin oikeaan jakaumaoleukseen perusuva uskoavuusesimaaori. oisaala semiparamerise esimaaori ova vinojen epäsymmerisen jakaumien apauksissa ehokkaampia esimaaoreia kuin symmeriseen normaalijakaumaan perusuva kvasiuskoavuusesimaaori (Bollerslev e al. 994, 98). ARCH-mallien esimoinnissa oleeaan yleensä informaaiomariisin lohko- diagonaalisuus, joka mahdollisaa ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin
3 paramerien erillisen esimoinnin. Jos ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin rakenee ova oisisaan riippuvia, niin erillinen esimoini johaa harhaisiin esimoiniuloksiin. Erään ulkinnan mukaan ARCH-ominaisuuden kalaisa käyäyymisä ehdolliseen varianssiin synyy silloin, kun virheprosessin auoregressiivisen regressiomallin parameri sisälävä saunnaiskomponenin. ällöin odousarvon ja varianssin rakenee riippuva oisisaan ehden niiden erillisen esimoinnin epäpäeväksi. (Ks. esimerkiksi Bera e al. 99, 34.) Joidenkin ARCH-mallien rakenne sinällään ekee odousarvo- ja varianssirakeneiden erillisen esimoinnin epäpäeväksi. Näin apahuu esimerkiksi EGARCH(p,q)- mallin apauksessa (Bollerslev e al. 994, 98). oisaala ehdollisen odousarvomallin ja ehdollisen varianssimallien samanaikainen esimoini anaa yleensä arkemma esimaai kuin näiden osien erillinen esimoini (Gourieroux 997, 43)..3.4 avanomainen ARCH-LM-esi ARCH(q)-mallin mukaisen rakeneen olemassaoloa voidaan esaa LM-esillä, jonka nollahypoeesin mukaan ARCH(q)-mallin ehdollisen varianssiyhälön parameri ova nollia (α = α = = αq = yhälössä (.3.4)). ämän esisuureen arvo voidaan laskea apuregressiolla, jossa regressiomallin esimoinnisa saaavien virheermien neliöä selieään vakiolla ja virheermien neliön viiväseyillä ermeillä. Esimoidun apuregression seliysase keraa havainojen lukumäärä (R ) noudaaa nollahypoeesin voimassa ollessa asympooisesi χ -jakaumaa. (Lee 99, 69.) ämän kuen muidenkin apuregressioon perusuvien esien pienoosominaisuude saaava poikea huomaavasi käyeäväsä esin asympooisesa jakaumasa. On olemassa useia ämän esin kanssa asympooisesi ekvivalenia esiä. Yksi ällainen esi saadaan, kun laskeaan esimerkiksi Ljungin ja Boxin auokorrelaaioesi virheermiesimaaien neliölle ˆ ε. (Bollerslev e al. 994, 975.)
3 ARCH-mallin mukaisen rakeneen oikea esimoini on ärkeää, sillä väärin spesifioiu ehdollisen varianssin rakenne johaa ieyissä apauksissa ehdollisen odousarvon uskoavuusesimoinnissa harhaisiin esimoiniuloksiin (Bera e al. 993, 356). Myös odousarvomalli on olava oikein spesifioiu, kun esaaan sen residuaalien ARCH-rakeneia. Jos osa seliäjisä puuuu ai ise regressiofunkio onkin odellisuudessa epälineaarinen, niin ällöin residuaaleihin saaaa synyä epälineaarisia rakeneia, joka aiheuava ARCH-esin arvon muuumisen merkiseväksi. Joa kokonaismallin esimaai olisiva oikeia, piäisi saada mahdollisimman selkeä kokonaiskuva paisi ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin rakeneisa niin myös näiden välisisä riippuvuuksisa. Joa ässä mielessä pääsäisiin parempaan loppuulokseen, kannaaa ainakin verailun vuoksi käyää spesifikaaioesauksessa myös luvun. mukaisia robuseja esejä..4 ilasollisen ominaisuuksia diagnosisoivia esejä.4. Jarque-Bera -normaalisuusesi Jarquen ja Beran (98) esielemä normaalisuusesi esaa normaalisuua käyämällä prosessin kolmannen keskusmomenin µ ja neljännen 3 3 = E( y i y) keskusmomenin µ esimaaoreia. Seuraavassa on Millsin (993,43-4 4 = E( y i y) 44) esiyksen mukainen peruselu älle esille. Edellä mainiujen keskusmomenien avulla määriellään muuujan empiiriselle jakaumalle vinousmia m3 = µ3 / σ 3 ja huipukkuusmia m4 = µ4 / σ 4, joissa σ on muuujan eoreeinen keskihajona. Näiden miojen esimaai ova (.4.) i ( yi y) = ˆ m = i i /, i = 3,4. ( yi y) =
3 Nollahypoeesina olevan normaalijakaumaoleuksen päiessä esimaaoreille (.4.), i =3,4, päevä asympooise jakauma (.4.) m ~ N(,6) ja (.4.3) ( mˆ 4 3) ~ N (,4). ˆ 3 a a Edelleen nollahypoeesin päiessä nämä esimaaori ova asympooisesi riippumaomia ja ällöin niiden painoeulle neliösummalle saadaan asympooinen jakauma a (.4.4) JB = mˆ 3 + ( mˆ 4 3) ~ χ 6 4. Suure esisuureen JB arvo viiaava ei-normaaliseen jakaumaan. esaaessa residuaalien normaalisuua esimaaoreiden (.4.) ermi ( y i y) korvaaan residuaaliesimaaeilla..4. avanomaisia yksikköjuuriesejä Yksikköjuurieseillä esaaan, onko aikasarjamuuujan ehdollisa odousarvorakennea kuvaavassa auoregressiivisessä mallissa yksikköjuuri. esiuloksen viiaessa yksikköjuuren olemassaoloon ämä ulkiaan merkiksi aikasarjan epäsaionaarisuudesa. arkasellaan sokasisen prosessin y auoregressiivisa mallia viipeellä yksi, joa kuvaa yhälö (.4.5) y = α + α y + ε, =,,, jossa virheermiprosessin ε prosessin y menneisyyden suheen ehdolliseun odousarvon oleeaan olevan nolla eli (.4.6) E ε y, y,..., y ). ( = ällöin virheermiprosessi on maringaalidifferenssiprosessi (Wooldridge, 579). ämä oleuksen oleeaan päevän kaikissa luvun.4. malleissa. Malli (.4.5) on perusana avanomaisissa yksikköjuurieseissä. Jos vakioparameri α oikea arvo
33 on nolla ja paramerin α oikea arvo yksi, niin ällöin prosessi y on epäsaionaarinen saunnaiskulkuprosessi (.4.7) y = y + ε. Jos aasparamerin α oikea arvo poikkeaa nollasa ja paramerin α oikea arvo on yksi, niin ällöin kyseessä on edelleen epäsaionaarinen saunnaiskulku + drif - prosessi (.4.8) y = α + y + ε, jossa vakioermi α muodosaa prosessin realisaaioon aikarendin. avanomaisessa Dickey-Fuller -yksikköjuuriesissä oleeaan vakioermin α olevan nolla ja esauksen koheena on paramerin α yhäsuuruus ykkösen kanssa. avanomaisilla yksikköjuurieseillä nollahypoeesin H: α = voimassaolo merkisee, eä prosessin rakennea kuvaa epäsaionaarinen malli (.4.7) ja vasahypoeesina on yleensä hypoeesi H: α <. Käyännössä vasahypoeesina on kuienkin hypoeesi - < α <, jonka päiessä malli (.4.5) on saionaarinen AR()-prosessi. Nollahypoeesiksi on valiu epäsaionaarisuua merkisevä yksiäinen paramerin arvo, eikä saionaarisuuden mukaisa väliä (-,), koska ieyn yksiäisen paramerin arvoa mukaisa hypoeesia on helpompi esaa avanomaisella ilasollisella pääelyllä kuin hypoeesia, jossa parameri voisi saada minkä ahansa arvon jolain ieylä välilä (Wooldridge, 579.) Kerroinparamerin α esaamiseen ei päde avanomainen normaalisen pienimmän neliösumman esimoinnin mukainen ilasollinen pääely, jos nollahypoeesi on voimassa. Yleensä yksikköjuuriesi suorieaan epäsuorasi esimoimalla mallisa (.4.7) modifioimalla saau malli (.4.9) y = α + θy + ε, jolloin nollahypoeesi on H: θ = vasahypoeesinaan hypoeesi H: θ <. Jos paramerin θ arvo on nolla, niin myöskään ässä apauksessa paramerin θ - esisuureelle ei päde avanomainen jakauma. Dickey ja Fuller ova määriänee
34 simuloimalla -esisuureen jakauman nollahypoeesin ollessa voimassa. ämä jakauma löyyy useimmisa aikasarjaekonomerisisa ohjelmisoisa ja oppikirjoisa. avanomaisen Dickey-Fuller -yksikköjuuriesin on havaiu oimivan huonosi, jos esaavassa prosessissa on selkeiä nollahypoeesin mukaisesa mallisa poikkeavia rakeneia (esimerkiksi aikarendi, kausivaihelua ai rakennemuuoksia). Nämä rakenee piää sien oaa huomioon yksikköjuuren esaamisen yheydessä. Ideana on ällöin esimoida malli, joka saadaan esimallisa (.4.9) oamalla mukaan ermi kuvaamaan näiä deerminisisiä rakeneia. Näin päädyään modifioiuun Dickey-Fuller -yksikköjuuriesiin, jossa vakion lisäksi esiyhälöön voidaan oaa mukaan aikarendi, muia rendirakeneia sekä muuujan y viipeiä, joka puhdisava mahdollisen muuujan y auokorrelaaion vaikuuksen esisuureen arvosa. Eri rendirakeneia sisälävien esien esisuureiden jakauma eroava oisisaan ja ne on aulukoiu erikseen. Phillips ja Perron (988) esiivä, eä jos voidaan oleaa, eä yhälö (.4.9) on auokorrelaaion ja heeroskedasisuuden suheen väärin spesifioiu, niin yhälön (.4.9) modifioinnin sijaan avanomaiselle Dickey-Fuller -esisuureelle (merk. τ µ ) voidaan ehdään korjaus ei-paramerisella esimoinnilla. Korjaulle esisuureelle johdeiin yhälö (.4.) jossa Z( (/ ) ) = ( ˆ / ˆ ) (/ )( ˆ ˆ ) ˆ τ µ τ µ σ σ τl σ τl σ σ τl ( y y ), = y = (.4.) y = ( ) ja