Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. ARCH-mallit

Transkriptio

1 Ma-.48 Sovelleun maemaiikan erikoisyö ARCH-malli Jua Saloeimo 57739V Teknillinen korkeakoulu Teknillisen maemaiikan ja fysiikan osaso Syseemianalyysin laboraorio soossa 3..9

2 Sisällyslueelo. siue.... ARCH-malli.... Lineaarinen ARCH-malli ARCH-ominaisuuden esaaminen ARCH-mallien esimoini ja diagnosiikka ARCH regressiomallin esimoini ARCH-mallin sovellukse ja laajennukse GARCH Muia ARCH-mallirymän laajennuksia ARCH-mallin sovellusalueia Simuloini ARCH-aikasarjojen generoini ARCH-ominaisuuden esaaminen Yeenveo... 7 Liiee... 8 A. ARMA-malli... 8 B. Gaussin ja Markovin lause... 9 C. Kovarianssisaionaarisuus edon joaminen... Viiee...

3 . siue 97-luvulla aikasarjojen ukimus keskiyi elosi sovelleaviin auoregressiivisiin liukuvan keskiarvon malleiin ARMA-malli Box ja Jenkins 976 kaso liie A joissa aikasarjan nykyinen arvo määriellään kyseessä olevan aikasarjan viiellisen arvojen ja aikasarjan valkoisen koinan nykyisen ja viieellisen arvojen lineaarisena funkiona. ARMAmallien yksi keskeisisä oleuksisa on eä sen jäänösermi on uaasi saunnainen rosessi. Tällöin jäännösermin auokorreloiuneisuus ulkiaan mallin vääräksi sesifioinniksi eikä malli madollisa korkeamien momenien kuen varianssin ajallisen riiuvuussueiden mallinamisa. miirisen avainojen eruseella ARMA-malli soveluva kuienkin uonosi eriyisesi makro- ja liikealoudellisen aikasarjojen mallinaiseen joiden keskeinen ominaisuus on varianssin eli volailieein vava riiuvuussude sen omasa läimenneisyydesä. Modernissa finanssieoriassa volailieei on yksi keskeisimmisä ekijöisä eri riskimioissa ja uoeiden kuen oioiden innoielussa. Näissä malleissa arviaan ennuse volailieein suuruudesa jonka avulla finanssiuoeiden inna ja riskimiojen arvo voidaan laskea madollisimman arkasi. ARMA-malli eivä sovellu ämä aaisiin eäviin. ARCH-mallirymä ngle 98 on aikasarjamallirymä joka madollisaa arkaselavan aikasarjan aikariiuvan varianssin ja kovarianssin mallinamisen. Tää mallirymää voidaan iää yleisimänä edollisen varianssin mallinamiseen käyeynä meneelmänä Franses ja van Dijk. ARMA- ja ARCH-mallirymien välillä on selviä yeneväisyyksiä sillä kun ARMA-malleissa edään ero edollisen ja edooman odousarvon välille ARCH-malleissa edään vasaava ero edooman ja edollisen varianssin välille. Vaikka edoon varianssi ARCH-malleissa voi olla aikariiumaon edollinen varianssi riiuu usein ei-riviaalisa aikasarjan isoriasa. Kaaleessa esiellään ARCH-mallien eoriaa. Kaale 3 käsielee ARCH-mallien laajennuksia ja sovellusalueia. Kaaleessa 4 simuloidaan ARCH-aikasarjoja ja esaaan mien eeroskedasisuusesi reagoi näiin aikasarjoiin.

4 . ARCH-malli Tässä kaaleessa esiellään sueasi ARCH-mallien eoriaa yksiuloeisessa aauksessa. Sama meologia voidaan laajenaa myös monidimensionaaliseen aaukseen kaso esim. ngle ja Bollerslev 986. Olkoon diskreei sokasinen rosessi ja vasaavasi edollinen odousarvo joka riiuu rosessin menneisyydesä ja muusa madollisesa ajan ekellä saaavilla olevasa informaaiosa. Prosessilla on ARCH-ominaisuus jos sen edollinen odousarvo on... ja edollinen varianssi Var... riiuu ei-riviaalisi rosessin menneisä avainnoisa {...}. Tarkaselun alla voi olla ise ARCH-rosessi ai aikasarja jonka jäännösermeillä on ARCH-ominaisuus. Olkoon y diskreei sokasinen saionaarinen rosessi jonka edollinen odousarvo on y... Prosessin jäännösermi voidaan näin ollen kirjoiaa muodossa y... jonka eruseella nädään eä rosessien ja y edollise varianssi ova sama. ARCH-rosessin ja edollisen varianssin avulla on madollisa muodosaa sandardoiu rosessi : /... 3 Sandardoidun rosessin edollinen odousarvo on kaavojen ja nojalla / 4 ja vasaavasi edollinen varianssi Var / Var Var. 5

5 3 Hyödynämällä ieroidun odousarvon kaavaa x x voidaan odisaa eä sandardoidun rosessin edoon odousarvo ja edoon varianssi Var ova sama kuin näiden momenien edollise arvo. Yleinen ARCH-malli voidaan esiää sandardoidun rosessin avulla seuraavassa muodossa:... / 6 Parameri on ARCH-rosessin ase ja vasaavasi vekori mallin unemaomisa aramereisa. Kun ARCH-rosessi määriellään kaavan 6 aaan voidaan odisaa eä ARCHrosessin edoon odousarvo ja edooma auokorrelaaio ova nollia sekä edoon varianssi vakio: / / / s s s s Var Jos sandardoiu rosessi noudaaa normaalijakaumaa niin myös edollinen ARCHrosessi on normaalijakauunu. Tässä aauksessa yleinen ARCH-malli voidaan kirjoiaa muodossa... ~ N 7 Tarkasellaan vasaavasi aikasarjaa y jonka odousarvo riiuu menneisyydesä ja jonka jäännösermillä on ARCH-ominaisuus. Tällöin rosessille y voidaan muodosaa seuraava ARCH-regressiomalli:.... ~ x y x N y 8 Prosessin y odousarvo on ällöin y x jossa x on lineaarinen kombinaaio viiväseyisä endogeenisisä ja eksogeenisiä muuujisa joka sisälyvä informaaiojoukkoon.

6 Jos oleeaan eä sandardoidun rosessin edollinen jakauma on aikainvariani ja sen neljäs momeni äärellinen Jensenin eäyälösä seuraa eä Jakauman uiukkuus määrieään kaavalla 3 jossa on jakauman. keskiey momeni ja 4 4. keskiey momeni. Normaalijakauman aauksessa uiukkuus saa arvon nolla. Jos sandardoiu rosessi noudaaa normaalijakaumaa koien 5 ja 9 eruseella saadaan 4 4 josa seuraa eä ARCH-rosessin edoon jakauma on uiukkaami kuin normaalijakauma. Tällaiselle jakaumalle odousarvosa uomaavasi oikkeava avainno ova odennäköisemiä kuin normaalijakaumalle. Yleinen ARCH-malli 6 ei määriele varianssin määräävän rosessin muooa. Yksinkeraisimmassa aauksessa rosessi määrieään lineaarisena funkiona rosessin viieellisisä arvoisa.... Lineaarinen :nnen aseen ARCH-malli määriellään ällöin seuraavasi: /... Vasaavasi :nnen aseen eksoneniaalisessa ARCH-mallissa rosessi saa muodon ex... ja isearvoisessa mallissa.... 4

7 . Lineaarinen ARCH-malli Tarkasellaan seuraavaksi arkemmin lineaarisen ARCH-mallin ominaisuuksia. Lineaarinen asea oleva ARCH-malli määriellään kuen edellä: /... ARCH-mallin aramerien arvoille on aseeava rajoieia joa malli olisi mielekäs. nsiksi edollisen varianssin on olava ei-negaiivinen kaikilla ARCH-rosessin arvoilla. Sien kaikkien aramerien on myös olava ei-negaiivisia:... Mallin on myös olava kovarianssisaionaarinen. Olkoon sokasinen rosessi. Sokasinen rosessi x on kovarianssisaionaarinen jos i x kaikille T x T yleinen diskreei ii iii Var x kaikille T Cov x x s s kaikille T ja s T Voidaan osoiaa eä lineaarinen asea oleva ARCH-rosessi kovarianssisaionaarinen jos ja vain jos rosessia vasaavan karakerisisen yälön on... kaikki juure ova yksikköymyrän ulkouolella Hamilon 994 liie C. Koska kaikki arameri ova ei-negaiivisia ämä eo voidaan kirjoiaa muodossa.... Tällöin ARCH-rosessin edoon varianssi on /. j j Lineaariselle ARCH-mallille aseeaan vielä lisäeo sillä jos niin kaavan eruseella. Tällöin ARCH-rosessi suenisi nollaan kaikilla alkuarvoilla. 5

8 . ARCH-ominaisuuden esaaminen ARCH-mallirymän sovelaminen ieyn aikasarjan mallinamiseen ulee kyseeseen jos aikasarjan jäännösermi avaiaan eeroskedasisiksi. ARCH-ominaisuuden olemassaoloa voidaan esaa Lagrangen keroja LM -esisä jodeulla esillä Hamilon 994. Olkoon ˆ T esimoidun mallin jäännösermi. Jäännösermien eeroskedasisuua voidaan esaa seuraavan auregressiomallin avulla ˆ e ˆ ˆ ˆ jossa jäännösermien neliöiä selieään niiden :llä viieellä. Tesin noayoeesi on eä jäännösermi ova omoskedasisia eli.... Nollayoeesi yläään omoskadasisuuden vaikuaessa eäodennäköiselä auregressiomallin eruseella. LM-esisuure on ässä aauksessa TR jossa T on avainojen kokonaismäärä ja regressiomallin seliysase. Tesisuure noudaaa asymooisesi -jakaumaa. Tesisuureen suure arvo joava nollayoeesin ylkäämiseen. Vaioeoisesi auregressiolle on olemassa F-esi muoo jolloin esaaan siä eä kaikki auregression keroime ova nollia.... On uomaava eä residuaalien auokorreloiuneisuus voi joua myös muisa syisä. simerkiksi regressiomallien yeydessä residuaali saaava olla auokorreloiuneia jos malli on väärin sesifioiu. Samaa esiä käyeään sien myös regressiodiagnosiikassa..3 ARCH-mallien esimoini ja diagnosiikka ARCH-mallin 6 arameri voidaan esimoida esimerkiksi suurimman uskoavuuden meneelmällä ngle 98. Tässä meneelmässä avoieena on löyää aramereille arvo joka maksimoiva avaiun aikasarjan odennäköisyyä kun sen oleeaan noudaavan valiua mallia. Tarkasellaan ARCH-mallin esimoinia läemmin aauksessa jossa ARCH-rosessin oleeaan noudaavan edollisesi normaalijakaumaa. ARCH-rosessin ieysfunkio on ällöin R f / / ex 3 ja sen logariminen suurimman uskoavuuden funkio on vasaavasi l log log. 4 6

9 Vaikka ARCH-rosessi on edollisesi normaalijakauunu sen yeisjakauma ei noudaa normaalijakaumaa. Yeisjakauma muodosuu kaikkien edollisen jakaumien ulosa ja se on normaalijakaumaa uiukkaami kuen aikaisemmin odeiin. Täsä syysä ARCH-mallin keoimien esimoinnissa suurimman uskoavuuden meneelmällä kokonaisjakauman logariminen uskoavuusfunkio on kaikkien edollisen normaalisen uskoavuusfunkioiden summa ja maksimoiavaksi funkioksi saadaan T ˆ ˆ log 5 ˆ T jossa ˆ ja ĥ T määriellään avaiun aikasarjan eruseella. Lausekkeen maksimi löydeään keroimien sueen laskeun gradienin nollakodisa. Lausekkeen 4 derivaaan arvoiksi saadaan l 6 ja Hessen mariisiksi l ' ' '. 7 Normaaliyälö 6 on voimakkaasi eälineaarinen ja siksi maksimoinnissa urvauduaan avallisesi joonkin numeeriseen oimoinimeneelmään kuen Newonin ja Rasonin meneelmään kaso esim. Kelley 3. simoidun ARCH-mallin riiävyys voidaan arkisaa sandardoidun rosessin avulla. Jos / malli on oikeinsesifioiu sandardoidu residuaali ˆ ˆ ˆ ova omoskedasisia ja auokorreloimaomia. Niiden ulisi olla myös normaalisia jos rosessin oleeaan noudaavan normaalijakaumaa. ARCH-mallin riiävyys voidaan sien määriellä samaan aaan kuin ARMA-mallien yeydessä..4 ARCH regressiomallin esimoini Tarkasellaan ARCH-regressiomallia 3 lineaarisessa aauksessa y y ~ N x x... 8 Muuuja x voiva olla ulkoisia seliäjiä ai riiuvia viiväseyjä muuujia. Pienimmän neliösumman PNS esimaaori keroimelle on aras lineaarisen ja araomien 7

10 esimaaorien joukossa jos Gauss-Markovin edo äyyvä liie B. Nämä edo äyyvä jos seliäjä x ja jäännösermi ova riiumaomia oisisaan. Vasaavasi jos x sisälää riiuvia viiväseyjä muuujia ai jos x ja ova korreloiuneia keskenään Gauss- Markovin edo eivä äde. Tässä aauksessa yleisey PNS-esimaaori on aras aramerien lineaarisen ja araomien esimaaoreiden joukossa Wie 98. älineaarinen suurimman uskoavuuden esimaaori on ällöin kuienkin eokkaami kuin lineaarinen PNS-esimaaori ngle 98. Maksimoiava uskoavuusfunkio on sien T l T jossa 9 l log. Regressiomallin keroime esimoidaan vasaavasi SU-meneelmällä samaan aaan kuin edellisessä kaaleessa esieiin. 3. ARCH-mallin sovellukse ja laajennukse ARCH-malleja yödynneään eriyisesi makro- ja liikealoudellisen aikasarjojen varianssin mallinamisessa. Tämän yyisille aikasarjoille on yyillisä varianssin ryäisyminen: suuria aikasarjan vaieluja seuraava yyillisesi suure vaielu ja vasaavasi ieniä vaieluja iene vaielu Mandelbro 963. Toisaala näiden aikasarjojen edoomien jakaumien on avaiu olevan uiukkaia Mandelbro 963; Fama 965. Nämä emiirise avainno ukeva ARCH-malleja joiden edollinen varianssi riiuu ei-riviaalisi aikasarjan isoriasa mallin arkemmasa sesifikaaiosa riiuvalla avalla ja joiden edooma jakauma ova uiukkaia kuen edellä odiseiin. Perineisesä ARCH-mallisa on keiey suuri määrä erilaisia laajennuksia joka oava uomioon muia makro- ja liikealoudellisen aikasarjojen eriyisiireiä. ARCH-mallia ja sen laajennuksia voidaan iää yleisimänä edollisen varianssin mallinamiseen käyeynä meneelmänä Franses ja van Dijk ja niiä yödynneään mm. finanssiuoeiden innoielussa ja erilaisen riskimiojen laskennassa. Seuraavissa kaaleissa esiellään ärkeimiä ARCH-mallien laajennuksia ja keskeisimiä mallirymän sovellusalueia. 3. GARCH ARCH-mallin emiirinen yödynäminen odeiin mallin keiämisen jälkeen aasavaksi sillä aloudellisen aikasarjojen mallinaminen vaaii yleensä korkea-aseisen ARCH-mallien käyöä joiden esimoini on aasavaa. Rakaisuna ään ongelmaan keieiin GARCHmallirymä ngle ja Bollerslev 986 8

11 9 Yleisessä GARCH-mallissa edollinen varianssi on funkio sekä isensä eä rosessin viieellisisä arvoisa: / q Lineaarinen GARCHq malli määriellään ällöin seuraavasi: q i q q i L L / GARCH- ja ARMA- mallien välillä on selviä yeneväisyyksiä. ARMA-malli voidaan ulkia ääreönaseisen AR-rosessin aroksimaaiona. Samaan aaan GARCH-malli on aroksimaaio ääreönaseisesa ARCH-rosessisa jossa korkeamiviieisen rosessin arvojen keroime aroksimoidaan rosessin viieellisen arvojen kaua. Prosessi voidaan esiää vaioeoisesi muodossa: L L L. GARCH-malli on odeu soveluvan eriyisen yvin monien aloudellisen aikasarjojen mallinamiseen ngle 4: / GARCH-mallissa varianssiennuseen voidaan ulkia olevan kolmen eri varianssiennuseen ainoeu summa. Parameri on muuumaon varianssi joka vasaa ikän aikavälin keskimääräisä varianssia. Kaavan kolmas ermi edusaa edellisä varianssiennusea ja vasaavasi oinen ermi uua informaaioa joka saaiin edellisen ennusuksen ekemisen jälkeen. Näiden kolmen ennuseen aino määriävä kuinka noeasi varianssi muuuu uuden informaaion myöä ja kuinka noeasi se alauuu ikän aikavälin keskiarvoon. Joa yleinen GARCH-malli olisi yvin määriely ja kovarianssisaionaarinen kaikkien mallin aramerien on olava ei-negaiivisia ja olynomin juuren on sijaiava yksikköymyrän ulkouolella Nelson ja Cao 99.

12 3. Muia ARCH-mallirymän laajennuksia Yksi eriyisesi liikealoudellisiin aikasarjoiin vaikuava ekijä on viuvaikuus joka arkoiaa negaiivisa korrelaaioa esim. osakekurssien aauksessa osakkeiden innan ja volailieein välillä. Kun osakekurssi nouseva volailieei on ääsäänöisesi sueellisen maalaa ja vasaavasi osakekurssien laskiessa volailieein on aana olla asea korkeamaa. Joa viuvaikuus voiaisiin oaa uomioon käyeävässä mallissa ulisi rosessin negaiivisen ja osiiivisen arvojen vaikuaa eriävällä avalla varianssiennuseeseen esim. ngle ja Ng 993 Joissain aauksissa on areen eä myös rosessin edollise jakauma olisiva uiukkaia. Normaalisen ARCH- eä GARCH-rosessien edooma jakauma ova uiukkaia Diebold 4 mua ne eivä kuienkaan ole ieyissä ilaneissa riiävän uiukkaia liikealoudellisen aikasarjojen mallinamiseen. Täsä syysä ARCHmallirymään on keiey laajennuksia joissa myös edollise jakauma ova uiukkaia esim. ngle ja Gonales-Rivera 99. miirisesi on avaiu eä liikealoudellisen aikasarjojen volailieei riiuu vavasi menneisyydesä jolloin se alauuu iaasi oikkeavisa arvoisa ikän aikavälin keskiarvoon. sim. GARCH-malleilla ei voida saavuaa ieyissä aauksissa volailieein riiävän idasa vaimenemisa ikän aikavälin keskiarvoon. Näiden avainojen eruseella ARCH-mallirymään on keiey malleja joka madollisava volailieein GARCHmalleja iaamman vaimenemisen. Inegroiu GARCH-malli Bollerslev ja ngle 986 joka vasaa monila osin ARMA-malliereen ARIMA-mallia Diebold 4 on yksi madollinen rakaisu ään ongelmaan. Koska eri liikealoudellisen aikasarjojen välillä on emiirisesi avaiavia korrelaaiosueia ARCH-meodologiaa on keiey myös moniuloeiseen aaukseen. BKK-mallin ngle ja Kroner 995 avulla voidaan ennusaa kovarianssimariiseja maalauloeisessa aauksessa. Moniuloeisessa aauksessa jouduaan urvauumaan ulouvuuksien väenämissraegiaan joa eävä olisi laskennallisesi rakaisavissa. 3.3 ARCH-mallin sovellusalueia Volailieeilla on keskeinen rooli invesoinieoriassa sillä se rinnaseaan eri sijoiusinsrumeneiin liiyvään riskiin. Miä suuremi ieyn uoeen varianssi on siä eävarmemaa on uoeen innan arvioini ulevaisuudessa. Markowi 95 verailee eri sijoiuskoeiden variansseja ja uoo-odouksia ja muodosaa mallin madollisimman maalariskisen orfolion muodosamiselle jolle on aseeu iey uoo-odous. Vasaavasi Sare 964 keiää mallin sijoiuskoeiden innoielulle CAPM Caial Asse Pricing Model osoiamalla eä uoo-odouksella ja varianssilla on luonnollinen riiuvuussude. Varianssilla on myös keskeinen rooli jodannaisinsrumenien innoielussa. Jodannaisinsrumeneilla arkoieaan sijoiuskoeia joiden uoo on sidou joonkin

13 oiseen muuujaan kode-euueen. Myyni ja oso-oio anava omisajalle oikeuden myydä ai osaa iey sijoiusinsrumeni ieyyn inaan ulevaisuudessa. Black ja Scoles 97 keiivä mallin oioiden innoieluun. Oion innan määriämisessä kodeeuuden varianssilla on keskeinen rooli sillä esimerkiksi myynioion aauksessa suuremi varianssi ekee odennäköisemmäksi aaukse joissa kode-euuden ina uoaa uomaavasi myynioion omisajan yöyessä äsä ilaneesa. dellä mainiuja mallien yödynäminen käyännössä vaaii varianssin esimoinia. Yksinkerainen aa esimoida varianssi on laskea oosvarianssi nykyekeä edeläväsä aikasarjasa. Markkinayödykkeiden innoille on kuienkin avanomaisa varianssin vaielu ajan kuluessa mikä ekee isoriaan erusuvan oosvarianssin määriämisen ongelmalliseksi. Varianssin vaidellessa on vaikea määriellä oikean iuisa aikaikkunaa oosvarianssin laskemiselle sillä oosvarianssille saadaan eri arvoja aikaikkunan iuudesa riiuen. Toisaala sovelaja on kiinnosunu eriyisesi varianssin arvosa ulevaisuudesa jonka määriäminen edellä esieyllä avalla on arveluavaa varianssin ollessa selväsi aikariiuvaa. Vasaavasi ARCH-mallirymä soii yvin aikariiuvan volailieein ennusamiseen. Tällöin volailieeisa jodeuille riskimioille kuen VaR Variance a Risk saadaan arkemma arvio ja finanssiuoee ysyään innoielemaan arkemmin. simerkiksi GARCH-malli on odeu erineisiä varianssin ennususmeneelmiä aremmaksi oioiden innoielussa esim. ngle ym Simuloini 4. ARCH-aikasarjojen generoini Tarkasellaan ässä kaaleessa normaalisen lineaarisen ARCH-mallin /... simuloinia. ARCH-mallin simuloini oeueaan generoimalla ensin sandardoiua normaalijakaumaa noudaavia saunnaislukuja ˆ... ˆ ja määrielemällä ARCH-rosessin alkuarvo T ˆ... ˆ. Näiden arvojen avulla lou ARCH-rosessin arvo ˆ... ˆ voidaan määriää T rekursiivisesi rosessin avulla. Sandardoiua normaalijakaumaa noudaavien saunnaislukujen generoini oeueaan uoamalla välille asajakauuneia saunnaislukuja ja muunamalla ne normaalijakauuneiksi. Tässä yössä asajakauuneiden saunnaislukujen generoiniin käyeään mulilikaiivisa seka-kongruenssi -meneelmää Lemer 95. Vasaavasi normaalisuusmuunnos edään Boxin ja Müllerin meneelmällä.

14 Mulilikaiivinen seka-kongruenssi -meneelmä on asajakauman generoiniin keiey meneelmä. Generaaori käsiää kolme luonnollisa lukua a c ja m sekä alkuarvon x. Tasajakauman generoini oeueaan määrielemällä jono kokonaislukuja x axk c mod m k jossa mod m arkoiaa jakojäännösä jaeaessa kokonaisluvulla m. Lukujono x on asajakauunu välille m joen jakamalla lukujono kokonaisluvulla m saadaan se muunneua jakauuneeksi välille. Tässä yössä aramerien arvoiksi valiaan a 687 c = ja m = Park ja Miller 988 ja lukujonon alkuarvoksi aseeaan x. Välille generoiu asajakauma voidaan muunaa sandardoiduksi normaalijakaumaksi Boxin ja Müllerin meneelmällä Box ja Müller 958. Olkoon X ja Y kaksi riiumaona saunnaismuuujaa joka noudaava asaisa jakaumaa välillä. Määriellään seuraava saunnaismuuuja: k U cos X log Y V sin X log Y Tällöin saunnaismuuuja U ja V ova riiumaomia ja noudaava sandardoiua normaalijakaumaa. T kl sandardoiua normaalijakaumaa noudaavaa saunnaislukua voidaan näin ollen generoida uoamalla ensin mulilikaiivisella seka-kongruenssi -meneelmällä T kl välille asajakauunua saunnaislukua. Tämän jälkeen saunnaisluvu jaeaan kaeen erilliseen yä suureen rymään ja yödynneään Boxin ja Müllerin meneelmää jolloin louuloksena saadaan T kl sandardoiua normaalijakaumaa noudaavaa saunnaislukua ˆ ~ N T. Simuloidaan seuraavaksi edellä esieyllä meneelmällä muuamia ARCH-aikasarjoja: / Sandardoiua normaalijakaumaa noudaavia saunnaislukuja uoeaan yeensä 5 generoimalla mulilikaiivisella seka-kongruenssi -meneelmällä arvoa joka jaeaan kaeen eri rymään niin eä ensimmäiseen kuuluva indeksilään 5 ensimmäisä arvoa ja jälkimmäiseen lou generoiduisa arvoisa. Tasajakauunee arvo muunneaan normaalijakauuneiksi käyämällä kaavaa.

15 ARCH rosessi on kovarianssisaionaarinen jos. Vasaavasi rosessin edoon varianssi on /. Kerroin määrielee ARCH-ominaisuuden voimakkuuden. Simuloidaan askela ARCH rosesseja aramerin arvoilla ;.5. 5;. 5. ;... Simuloidaan ämän lisäksi vielä 5 askela ARCH rosessia aramerin arvoilla Kaikissa askeleen ARCH rosesseissa käyeään ensimmäisä generoiua sandardoiua normaalijakaumaa noudaavaa arvoa. Kaikissa aikasarjoissa ARCH-rosessin alkuarvoksi aseeaan. Simuloidu aikasarja on esiey kuvissa -5. Kuva. askela simuloiu ARCH-rosessi aramerin arvoilla. 5 ja. 9. 3

16 Kuva. askela simuloiu ARCH-rosessi aramerin arvoilla Kuva 3. askela simuloiu ARCH-rosessi aramerin arvoilla

17 Kuva 4. askela simuloiu ARCH-rosessi aramerin arvoilla... Kuva 5. 5 askela simuloiu ARCH-rosessi aramerin arvoilla

18 askela simuloiujen ARCH-mallien kuvaajien eruseella -4 ARCH-ominaisuua on vaikea avaia. Varianssin ryäsymisilmiöä ei kuvaajien eruseella näyäisi aikasarjoissa ilmenevän. ARCH-ominaisuua ei näisä aikasarjoisa silmämääräisesi ysyä avaisemaan madollisesi aikasarjojen lyyydesä jouen. Vasaavasi 5 askeleen ARCH aikasarjasa voidaan eroaa selviä korkean ja maalan varianssin ryäiä. simerkiksi aikavälillä 3 aikasarjan varianssi näyäisi olevan sueellisen korkeaa. Vasaavasi aikavälillä 3 37 aikasarjan varianssi vaikuaa sueellisen maalala. 4.. ARCH-ominaisuuden esaaminen Tarkasellaan ässä kaaleessa mien ARCH-esi reagoi simuloiuiin ARCH- aikasarjoiin. Jokaisen ARCH-aikasarjan osala edään auregressio ˆ e ˆ ˆ ˆ 5 5 ja esaaan nollayoeesin oikeellisuua omogeenisuudesa... 5 F-esin avulla. Taulukossa on esiey kaikkien simuloiujen aikasarjojen osala F-esisuureen arvo ja ää vasaava -arvo. Auregressio on oeueu NCSS-ojelmisolla. Taulukko. Simuloiujen ARCH-aikasarjojen eerogeenisuusesin ulokse. Piuus F-esisuure -arvo Taulukon eruseella ARCH-esi avaisee uonosi ARCH-ominaisuuden simuloiduissa askeleen iuisissa aikasarjoissa. Vain ensimmäisessä aauksessa nollayoeesi omogeenisuudesa jouduaisin ylkäämään 5 %:n luoeavuusasolla. Vasaavasi 5 askeleen ARCH-aikasarjassa esi reagoi ARCH-ominaisuueen ja nollayoeesi omogeenisuudesa jouduaan ylkäämään myös %:n asolla. Tulokse ova samansuunaisia aikasarjojen kuvaajisa eyjen ääelmien kanssa sillä ikän aikasarjan ARCH-ominaisuus oli selväsi avaiavissa myös kuvaajan eruseella. Tulosen eruseella ARCH-esi reagoi siä vavemmin miä suuremi on aramerin arvo ja miä iemi on simuloiu aikasarja. 6

19 5. Yeenveo ARCH-mallirymä madollisaa aikariiuvan edollisen varianssin mallinamisen sillä näissä malleissa varianssi riiuu ei-riviaalisi aikasarjan menneisyydesä. Yksi keskeisimmisä mallirymän ominaisuuksisa on ero edollisen ja edooman varianssin välillä kovarianssisaionaariselle ARCH-mallille edoon varianssi on vakio vaikka edollinen varianssi on ei-riviaalisesi aikariiuvaa. ARCH-malli keieiin eriyisesi makro- ja liikealoudellisen aikasarjojen mallinamiseen. Näiä aikasarjoja leimaa varianssin ryäisyminen ja jakaumien uiukkuus joka ova ARCH-mallirymän keskeisiä ominaisuuksia. Invesoinieoriassa aikasarjan varianssi rinnaseaan riskiin ja monissa sovelluksissa kuen oioinnoielussa ollaan sien kiinnosuneia varianssiennuseisa. ARCH-mallirymä madollisaa arkemien varianssiennuseiden ekemisen verrauna esimerkiksi varianssin määrielemiseen isoriallisen keskiarvojen avulla. nglen 98 esielemäsä alkueräisesä ARCH-mallisa on keiey useia laajennuksia joka yrkivä mallinamaan arkemmin makro- ja liikealoudellisen aikasarjojen ominaisuuksia. Tärkeimänä laajennuksena voidaan iää GARCH-mallia jossa varianssiennuseessa oeaan uomioon myös edellisissä eriodeissa edy ennusee. Tässä yössä simuloiiin lineaarisia ARCH-rosesseja ja esaiin kuinka eeroskedasisuusesi reagoi näiin aikasarjoiin. Sandardoiua normaalijakaumaa noudaavia arvoja generoiiin mulilikaiivisen seka-kongruenssi -meneelmän ja Boxin ja Müllerin meneelmän avulla. Tulosen eruseella eeroskedasisuusesi ei vaikua avaisevan ARCH-ominaisuua lyyeköisä aikasarjoisa. Vasaavasi iemmissä aikasarjoissa esi avaisee ARCH-ominaisuuden luoeavammin. 7

20 Liiee A. ARMA-malli Auoregressiivise liukuvan keskiarvon rosessi eli ARMA-malli muodosava keskeisen saionaarisen rosessien luokan. ARMA-malli madollisava mielivalaisen saionaarisen rosessin aroksimoimisen mielivalaisen arkasi vääaramerisella mallilla. Joa aikasarja olisi saionaarinen ulee sen äyää kovarianssisaionaarisuuden edo s. 5. ARMA-mallin saionaarisuus akaa auokorrelaaiofunkion osiaisauokorrelaaiofunkion ja sekrin olemassaolon. ARMA-malli voidaan luokiella uaasi auoregressiivisiin malleiin eli AR-malleiin uaasi liukuvan keskiarvon malleiin eli MA-malleiin ja sekamalleiin eli varsinaisiin ARMA-malleiin. Tämän lisäksi ARMA-mallirymään kuuluu useia laajennuksia joka sivuueaan ässä arkaselussa. Olkoon x diskreei saionaarinen rosessi x x x x jossa on uaasi saunnainen sokasinen rosessi. Tällöin auoregressiivinen rosessi asea. x on AR-rosessi eli Olkoon vasaavasi x q q jossa on uaasi saunnainen sokasinen rosessi. Tässä aauksessa rosessi eli liukuvan keskiarvon rosessi asea q. x on MAq- Louksi olkoon x x x x q q jossa on uaasi saunnainen sokasinen rosessi. Tällöin x on ARMAq-rosessi eli auoregressiivinen liukuvan keskiarvon rosessi jonka AR-osan ase on ja MA-osan ase q. Prosessi on uaasi saunnainen eli valkoisa koinaa jos saunnaismuuuja ova riiumaomia ja samoin jakauuneia. Tällöin rosessin on oeueava seuraava edo: i kaikille T ii Var kaikille T 8

21 iii Cov kaikille T ja s T s Boxin ja Jenkinsin meneelmä on yyillinen mallinrakennussraegia sovelleaessa ARMAmalleja ieyn aikasarjan mallinamiseen. Boxin ja Jenkinsin meneelmä kaaa seuraava yövaiee: Mallin idenifioini Mallin esimoini 3 Diagnosise arkisukse mallin riiävyydesä Meneelmän ensimmäisessä vaieessa malli idenifioidaan arkaselavan aikasarjan auokorrelaaiofunkion osiaisauokorrelaaiofunkion ja sekrin avulla. Meneelmän oisessa vaieessa valiun mallin arameri esimoidaan yyillisesi suurimman uskoavuuden meneelmällä. Meneelmän kolmannessa vaieessa arkasellaan mallin residuaaleja ja jos residuaali ova valkoisa koinaa esimoiua mallia ideään riiävänä. Vasaavasi jos residuaali eivä äyä uaasi saunnaisen rosessin eoja mallin oleeaan olevan väärin idenifioiu ja meneelmässä alaaan akaisin ensimmäiseen vaieeseen. Jos aikasarjan varianssi on aikariiuvaa eli aikasarjalla on ARCH-ominaisuus ARMAmallien residuaali eivä ole valkoisa koinaa valiusa ARMA-mallisa riiumaa. Tällaisessa aauksessa ARMA-mallirymä on kokonaisuuena riiämäön ja aikasarja on mallinneava ARCH-mallirymän avulla. B. Gaussin ja Markovin lause Tarkasellaan yleisä lineaarisa mallia y X. Pienimmän neliösumman PNS esimaaori b X ' X X ' y on aras vekorin lineaarisen ja araomien esimaaoreiden joukossa jos yleinen lineaarinen malli jonka mariisin X alkio ova ei-saunnaisia oeuaa seuraava sandardioleukse i Mariisin X alkio ova ei-saunnaisia vakioia ii Mariisi X on äysiaseinen: r X k iii 9

22 iv Cov I v ~ N k I Vasaavasi jos yleisen lineaarisen mallin alkio ova saunnaisia sandardioleukse saava muodon i Mariisin X alkio ova saunnaismuuujia ii Mariisi X on äysiaseinen: r X k iii X iv Cov X I v X ~ N k I C. Kovarianssisaionaarisuus edon joaminen Olkoon w '... jossa : määräyyvä lineaarisesa :nnen aseen ARCH-rosessisa /.... Joa rosessi olisi kovarianssisaionaarinen sen ulee oeuaa kaaleessa. s.5 esiey edo. Kodan mukaan ja vasaavasi kodan mukaan kaikki auokorrelaaio ova nollia. Tämän lisäksi on ädeävä eä varianssilla Var on joku äärellinen arvo. Prosessin w edollinen odousarvo on w b Aw jossa b... ja '

23 A Oamalla erääisiä odousarvoja saadaan k k k k w A b A A A w.... Joa sarjalla olisi olemassa raja-arvo äyyy kaikkien mariisin A ominaisarvojen olla yksikköymyrän sisäuolella. Tämä vasaa siä eä karakerisisen funkion... juure sijaiseva yksikköymyrän ulkouolella. Tällöin b A w k k lim jonka ensimmäimen elemeni on / j j.

24 Viiee Black F. Scoles M. 97 Te Valuaion of Oion Conracs and a Tes of Marke fficiency. Journal of Finance Box G. ja Jenkins G. 976 Time Series Analysis: Forecasing and Conrol. Oakland California: Holden-Day. Box G. ja Mueller M A Noe on e Generaion of Random Normal Deviaes. Te Annals of Maemaical Saisics Diebold F.X. 4 Te Nobel Memorial Prie for Rober F. ngle. Scandinavian Journal of conomics ngle R. 4 Risk and Volailiy: conomeric Models and Financial Pracice. American conomic Review ngle R. F. ja Bollerslev T. 986 Modelling e Persisence of Condiional Variances conomeric Reviews ngle R. F. ja Gonale-Rivera G. 99 Semiarameric ARCH Models. Journal of Business and conomic Saisics ngle R. F. Kane A. ja No J. 994 Forecasing Volailiy and Oion Prices of e S&P 5 Index. Journal of Derivaives 7 3. ngle R. F. ja Kroner K. F. 995 Mulivariae Siluaneous Generalied ARCH. conomeric Teory 5. ngle R. F. Lilien D. F. ja Robins R.P. 987 simaing Time Varying Risk Premia in e Term Srucure: Te ARCH-M Model. conomerica ngle R. F. ja Ng V. K. 993 Measuring and Tesing e Imac of News on Volailiy. Journal of Finance Fama. F. 965 Te Beavior of Sock Marke Prices. Journal of Business Franses P. H. ja van Dijk D. Non-linear Time Series Models in mirical Finance. Cambridge Universiy Press Cambridge. Hamilon J. D. 994 Time Series Analysis. Princeon Universiy Press. Kelley C. T. 3 Solving Nonlinear quaions wi Newon s Meod. SIAM ISBN Lemer D. H. 95 Maemaical Meods in Large-Scale Comuing Unis. Proceedings of Second Symosium on Large-Scale Digial Calculaing Macinery 4 46.

25 Mandelbro B. 963 Te Variaion of Cerain Seculaive Prices. Journal of Business Markowi H. 95 Porfolio Selcion. Journal of Finance Mieinen J. 3 ARCH-malli ja ieysfunkioennusaminen. Pro gradu ukielma Helsingin ylioiso. Nelson D. B. ja Cao C. Q. 99 Inequaliy Consrains in e Univariae GARCH Model. Journal of Business and conomic Saisic Park S. K. ja Miller K. W. 988 Random Number Generaors: Good Ones Are Hard o Find. Communicaions of e ACM 3 9. Sare W. F. 964 Caial Asse Prices: A Teory of Marke quilibrium under Condiions of Risk. Journal of Finance Wie H. 98 A Heeroscedasiciy Consisen Covariance Marix simaor and a Direc Tes for Heeroscedasiciy. conomeria