3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen tavoin. Fotonin liikemäärä: p hf c h, josta aallonpituus: h p De Broglien hypoteesin mukaan λ=h/p pätee sekä hiukkasille että aalloille. Myös hiukkasten liikkeeseen liittyy siis aaltoliike, jonka aallonpituus h h m0 m on hiukkasen relativistinen massa m 2 2 p mv 1 v / c De Broglie päätyi aineaaltoihin Bohrin atomimallista (käsitellään myöhemmin), jossa vain kvantittuneet energiatilat ovat mahdollisia. Aineaallot havaittiin elektronien diffraktiossa kiteestä (käsitellään myöhemmin). 1

ESIMERKKI 3.1 Laske de Broglie aallonpituudet a) 46 g painavalle golf pallolle, jonka nopeus on 30 m/s. b) elektronille, jonka nopeus on 10 7 m/s (elektronin massa 9,11 10 31 kg). 2

3.2. TODENNÄKÖISYYSKÄSITE de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä. Liikkuvaan hiukkaseen liittyy aaltofunktio ψ, jolla ei ole fysikaalista vastinetta vaan aaltofunktio on abstrakti käsite. (tätä tullaan käsittelemään paljon myöhemmin) Aaltofunktio liittyy todennäköisyyteen löytää liikkuva hiukkanen x,y,z-avaruuden tietystä pisteestä hetkellä t. Kuitenkin aaltofunktion amplitudi voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, joten sellaisenaan se ei toimi todennäköisyytenä vaan todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ 2 Jos ψ 2 on suuri todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on suuri Jos ψ 2 on pieni todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on pieni Jos ψ 2 0 on todennäköisyys hiukkasen löytymiselle Jos ψ 2 = 0 hiukkanen ei voi olla pisteessä (x,y,z) ajanhetkellä t 3

Vaikka sanotaan, että aaltofunktio kuvaa hiukkasen levinneisyyttä avaruudessa, se ei tarkoita, että hiukkanen itsessään olisi hajonnut avaruuteen. Mitatessa elektroneja, saadaan aina mitattua kokonainen elektroni tietyssä paikassa tietyllä hetkellä (esim. 20% todennäköisyys havaita koko elektroni, ei havaita 20% elektronista) Jos suurella hiukkasjoukolla on sama aaltofunktio ψ, hiukkastiheys on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ 2. 4

3.3. AALLON KUVAAMINEN Miten nopeasti hiukkaseen liittyvät aallot liikkuvat? Onko liikkuvaa hiukkasta kuvaavan de Broglie aallon nopeus sama kuin hiukkasen nopeus? Määritetään de Broglie aallon nopeus: λ = h mv ja E = hf = mc 2 f = mc2 h De Broglie aallon nopeus voidaan määrittää. v p = fλ = mc2 h h mv = c2 v Koska aina hiukkasen nopeus v < c, de Broglie aallon vaihenopeus > c de Broglie aallot kulkevat valoa nopeammin? Voidaanko siis havaita valoa nopeampia aaltoja? 5

Hieman aaltoliikeoppia tähän väliin: Tarkastellaan yksinkertaista aaltoa, jonka maksimi arvo y-akselilla on +A (= aallon amplitudi) ja se saavuttaa sen paikassa x = 0 ajanhetkellä t = 0. Ajan kuluessa seuraavat y-akselin arvot saadaan yhtälöstä: y Acos 2 f t A t=0 t Yhtälö kertoo aallon yksittäisen pisteen paikan ajan funktiona y-akselin suunnassa. Tahdomme kuitenkin yhtälön, joka kertoo y:n arvon jokaisessa pisteessä x eri ajanhetkinä. 6 6

Ravistetaan köyttä: Aalto lähtee etenemään köydessä +x-suuntaan nopeudella v p. Nopeus riippuu köyden ominaisuuksista. Aalto liikkuu ajan t kuluessa matkan x = v p t ts. aikavälin x/v p jälkeen aalto on kohdassa x. y:n arvo pisteessä x ajanhetkellä t = y:n poikkeama pisteessä x=0 ajanhetkellä t = - x/v p. Sijoitetaan y:n yhtälöön t:n paikalle (t - x/v p ) y A cos 2 f t x v p 7 7

8 x t f Acos 2 y Aaltoyhtälö saadaan muotoon: joka antaa y:n arvon eri x ja t arvoilla. Määritetään: Kulmataajuus ω = 2πf Aaltoluku k = 2π λ = ω v p ja saadaan aaltoyhtälö muotoon p p p p f k f f v v 2 v v t kx Acos y 8 x t f f f x t f f x t f x t f p p A cos 2 A cos 2 v A cos 2 v A cos 2 y Muokataan vähän yhtälöä: Sij. v p =fλ

3.4. AALLON VAIHE- JA RYHMÄNOPEUS de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä. Kuitenkin yleinen aaltoyhtälö y Acos t kx kuvaa päättymätöntä sarjaa aaltoja, joilla on sama amplitudi. Sillä ei voi kuvata hiukkasen de Broglie aaltoa. Sen sijaan ajatellaan, että liikkuvaa hiukkasta vastaa aaltopaketti tai aaltoryhmä: Matemaattisesti aaltoryhmä on yksittäisten interferoivien aaltojen summa. Ryhmänopeus = aaltoryhmien nopeus 9 9

Aallon ryhmänopeus v g voidaan johtaa tarkastelemalla kahden aallon y 1 = A cos(ωt kx) y 2 = A cos ω + Δω t k + Δk x summa-aaltoa. Aalloilla on sama amplitudi A ja niiden kulmataajuuksien ero on Δω ja aaltolukujen ero on Δk. Summa-aalto saadaan sievennyksien jälkeen muotoon: y = 2A cos ωt kx cos 1 2 Δωt Δkx Summa-aallon ensimmäinen osa on saman muotoinen kuin alkuperäiset aallot ja jälkimmäinen osa on moduloiva osa, joka aiheuttaa ryhmät Vaihenopeus v p = ω k Ryhmänopeus v g = Δω Δk Kun ω ja k ovat jatkuvia, ryhmänopeus: g d dk Riippuen vaihenopeuden ja aaltoluvun erosta, ryhmänopeus voi olla pienempi tai suurempi kuin osa-aaltojen vaihenopeus. Jos vaihenopeus on sama kaikille aallonpituuksille (kuten valolla tyhjiössä), ryhmä- ja vaihenopeus ovat samat. v 10 10

ESIMERKKI 3.2 Määritä ryhmä- ja vaihenopeus de Broglie aalloille. 11 11

Yhteenveto: Hiukkasen liikettä kuvaa aaltoryhmän liike. Ryhmä muodostuu äärettömästä määrästä yksittäisiä aaltoja. Yksittäisen aallon nopeus voi olla suurempi kuin valonnopeus. Yksittäisen aallon nopeutta ei voida havaita. Voidaan havaita paikallisen häiriön, aaltoryhmän nopeus, joka on v g < c 12

ESIMERKKI 3.3 Elektronin de Broglie aallonpituus on 2.00 pm. Mikä on sen kineettinen energia? Laske myös de Broglie aallon vaihe- ja ryhmänopeudet? 13 13

3.5. HIUKKASTEN DIFFRAKTIO De Broglie aaltojen olemassa olo eli materialististen hiukkasten aaltoluonne todistettiin Davisson-Germerin kokeella 1927. Elektronisuihku kiihdytetään ja sillä pommitetaan kidettä. Elektronit siroavat kiteestä detektorille, jolla havaitaan sironneet elektronit eri kulmilla. Klassisen fysiikan mukaan elektronit voivat sirota kaikkiin suuntiin. Davisson ja Germer havaitsivat (vahingossa) kuitenkin kuumennetulta puhtaalta nikkelipinnalta voimakkaan sironnan tiettyyn kulmaan, joka riippui elektronien energiasta. Kuumennus aiheutti nikkelin rakenteen muuttumisen useampiin yksittäiskiteisiin, joista elektronit siroavat (kuten rtg-säteet kiteestä). Braggin laista voidaan laskea elektronin aallonpituus, joka vastaa hyvin de Broglien aallonpituutta: Davisson-Germerin koe todistaa de Broglien hypoteesin liikkuvien hiukkasten aaltoluonteesta! 14 14 14

ESIMERKKI 3.4 a) Amerikkalaiset Davisson ja Germer pommittivat kuuluisassa kokeessaan vuonna 1927 nikkelikidettä elektroneilla, joiden liike-energia oli 54 ev. Ensimmäisen kertaluvun heijastuksen kulmaksi mitattiin 65 astetta. Kuinka suuri on tätä vastaava nikkelin kiteiden atomitasojen välimatka? 15

Sovellus: Elektronioptiikka Mikroskoopin erotuskyky on aallonpituuden suuruusluokkaa ~1 nm Elektronimikroskoopilla päästään parempaan erotuskykyyn, koska hiukkasten aallonpituutta voidaan helposti muuttaa kiihdytysjännitettä muuttamalla erotuskyky paranee aallonpituuden pienentyessä. Elektronien varaus mahdollistaa magneettiset linssien rakentamisen. Sovellukset: solubiologia, lääketiede, metallurgia Oulun yliopistossa toimii Mikroskopian ja nanoteknologian keskus Tarjoaa puhdastila-, tutkimus- ja analyysipalveluja yliopiston laitoksille ja elinkeinoelämälle. Keskuksella on käytössään useita pyyhkäisyelektronimikroskooppeja (SEM) ja läpäisyelektronimikroskooppi 16 16

Elektronimikroskooppikuvia Kuvaaja: Raija Peura, alkuperäiset kuvat mustavalkoisia, väritys Raija Peura) Sääsken silmä Vaaksiaisen ihoa 17

3.6. HIUKKANEN LAATIKOSSA Rajoitetaan liikkuvan hiukkanen laatikkoon, jonka leveys on L. Liikkuvan hiukkasen aaltoluonne vaikuttaa hiukkasen liikkeeseen. Tarkastellaan hiukkasen liikettä: Oletetaan, että hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään seiniin. Oletetaan, että hiukkasen nopeus on niin pieni, ettei relativistisuutta tarvitse huomioida. Käsitellään tapausta tarkemmin myöhemmin, tehdään nyt vain karkea analyysi: Aaltoluonteen näkökulmasta hiukkanen on kuin seisova aalto, jonka solmukohdat ovat laatikon seinillä. Seinillä aaltofunktio ψ =0, koska aalto pysähtyy niissä. Hiukkasen mahdolliset (de Broglie) aallonpituudet riippuvat laatikon leveydestä L. 18 18

Pisin aallonpituus λ=2l, seuraavat λ=l, λ=2l/3 Sallitut aallonpituudet: 2L n n 1, 2, 3,... n Tässä mallissa hiukkasella ei ole potentiaalienergiaa, joten hiukkasen kokonaisenergia saadaan liike-energiasta: ( mv) 2m 2 1 2 E EKin 2 mv h 2 2 2 m Koska mv = h/λ Sijoitetaan tähän sallitut aallonpituudet ja saadaan hiukkasen energiaksi: 2 2 n h E n n 1, 2, 3,... 2 8mL Hiukkasen energia voi siis saada vain tiettyjä arvoja eli energia on kvantittunut E n = energiataso n=kvanttiluku 19 19

Yhtälöstä voidaan tehdä kolme johtopäätöstä, jotka pätevät kaikille tiettyyn tilaan rajatuille hiukkasille (myös atomin elektroneille): 1) Hiukkasen energia ei voi saada mitä tahansa arvoja. Mahdolliset energiat riippuvat hiukkasen massasta ja rajatun avaruuden koosta. 2) Hiukkasen energia ei voi olla nolla. 3) Energian kvantittuminen on merkittävää vain kun m ja L ovat pieniä. 20 20

ESIMERKKI 3.5 a) Laske sallitut energiat 10g marmorikuulalle, joka on 10 cm laatikossa. b) Laske sallitut energiat elektronille, joka on 0.10 nm laatikossa (atomin suuruusluokkaa). 21 21

3.7. VIELÄ TODENNÄKÖISYYSKÄSITTEESTÄ Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä tahansa aaltoryhmän sisällä. de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä ajanhetkellä. Todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen aaltofunktion neliöön ψ 2. ψ 2 on suurimmillaan keskellä ryhmää hiukanen on todennäköisimmin siinä. Se voi kuitenkin sijata missä tahansa kohdassa, missä ψ 2 0. 22

ESIMERKKI 3.6 Elektroni on yksiulotteisessa potentiaalilaatikossa, joka rajoittaa sen liikkeen x-akselin välille [0,a]. Mikä on todennäköisyys sille, että alimmalla energiatilalla oleva elektroni on x-akselin välillä [0, a/3]? Perustilaa kuvaava aaltofunktio on muotoa φ x = 2 a 1/2 sin πx a 23

3.8. HEISENBERGIN EPÄTARKKUUSPERIAATE Aaltoryhmän kuvaaman hiukkasen paikan ja liikemäärän mittaus ei ole tarkkaa. Hiukkanen (jota aaltoryhmä kuvaa), voi sijaita missä tahansa ryhmän sisällä. Mitä kapeampi aaltoryhmä, sen tarkempi hiukkasen paikka. Silloin kuitenkin aallonpituus tulee epätarkaksi, koska ei ole tarpeeksi aaltoja tarkkaan mittaukseen. Koska aallonpituutta ei saada mitattua tarkasti, myöskään liikemäärän määritys ei ole tarkka. Mitä laajempi aaltoryhmä, sen tarkemmin saadaan määritettyä hiukkasen aallonpituus ja liikemäärä, mutta paikan määritys muuttuu epätarkaksi. 24 24

Heisenbergin epätarkkuusperiaate: On mahdotonta tietää tarkasti samaan aikaan hiukkasen paikkaa ja liikemäärää. (Werner Heisenberg 1927) Optimitilanteessa, jossa aaltoryhmä on Gaussin funktion muotoinen, voidaan johtaa (kts. kirjan kappale 3.7) aaltoryhmän paikan x ja aaltoluvun k epätarkkuuksille ΔxΔk 1 2 Koska de Broglie aallonpituus hiukkaselle on λ = h p ja aaltoluku k = 2π λ saadaan k = 2πp h p = hk 2π Δp = hδk 2π Sijoittamalla edelliseen Δk 1 2Δx, saadaan ΔxΔp h 4π = ħ 2 ħ = h 2π Koska h on hyvin pieni, epätarkkuusperiaate koskee vain mikromaailmaa. Epätarkkuusperiaate ei ole vain negatiivista, vaan sen avulla voidaan ymmärtää monta atomitason ilmiötä. 25 25 25

ESIMERKKI 3.7 Protonin paikka voidaan mitata tarkkuudella ±1.00 10-11 m. Mikä on protonin paikan epätarkkuus 1.00 s jälkeen. Oletetaan, että protonin nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus. 26 26

ESIMERKKI 3.8 Tyypillinen atomin ytimen säde on n. 5 10-15 m. Käytä epätarkkuusperiaatetta määrittämään alaraja energialle, joka täytyy elektronilla olla, jos se on osa atomiydintä. 27

ESIMERKKI 3.9 Vetyatomin säde on 5.3 10-11 m. Käytä epätarkkuusperiaatetta ja arvioi mikä on pienin energia, jonka elektroni voi saada tässä atomissa. 28 28

ESIMERKKI 3.10 Epätarkkuusperiaate koskee myös energiaa ja aikaa. Jos atomaarisessa prosessissa vapautuu sähkömagneettista säteilyä (energiaa) ajan Δt kuluessa, taajuuden määrityksen epätarkkuus 1 f t E hf jolloin energian epätarkkuus on h E tai Et h t Tarkempi käsittely antaa epätarkkuusperiaatteeksi energialle ja ajalle: Et 2 Viritetty atomi voi emittoida säteilyä tietyllä taajuudella (käsitellään myöhemmin). Keskimääräinen aika virityksen ja viritystilan purkautumisen välillä on 1.0 10-8 s. Mikä on emittoituvan fotonin taajuuden epätarkkuus? 29 29