5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista taustaa. Kuitenkin yksinkertaisiin tilanteisiin riittää vähempi matematiikka. Hiukkanen potentiaalikuopassa on yksi helpoista esimerkeistä. U K 0 L Oletuksia: Kuopassa on äärettömän vahvat seinät. Hiukkanen voi liikkua välillä 0 < x < L. Hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään laatikon seiniin. Hiukkasen potentiaalienergia on vakio laatikon sisällä, helppouden vuoksi valitaan se nollaksi. Koska hiukkasella ei voi olla ääretöntä energiaa, se ei voi olla laatikon ulkopuolella. Toisin sanoen 0 kun x 0 ja x L 1
Määritetään hiukkasen aaltofunktio kuopan sisällä eli silloin kun Aaltofunktio saadaan Schrödingerin yhtälön ratkaisuna. 0 x L Sijoitetaan Schrödingerin yhtälön yleiseen muotoon: ( x) m ( E U) ( x) 0 x potentiaali U=0. Saadaan differentiaaliyhtälö: jonka ratkaisut ovat muotoa me ( x) Asin x B cos me x ( x) m E( x) 0, x (voidaan todistaa sijoittamalla aaltofunktio Schrödingerin yhtälöön). A ja B ovat vakioita, jotka voidaan määrittää reunaehdoista. Reunaehdoista Ψ(0)=0 seuraa, että B=0, koska cos 0=1 (eli yhtälön toinen osa ei voi kuvata hiukkasta).
Reunaehdosta Ψ(L)=0 saadaan Asin me L 0 me L n, n 1,, 3,... sin n 0, Reunaehdosta seuraa energian kvantittuminen eli energia voi saada vain tiettyjä arvoja. Ratkaisemalla edellä olevasta E, saadaan E n n, n 1,,3,... ml Sijoittamalla energia sekä B=0 aaltofunktion lausekkeeseen, saadaan sallitut ratkaisut hiukkasen aaltofunktiolle: men nx n ( x) Asin x Asin n 1,, 3,... L Funktio täyttää aaltofunktiolle asetetut ehdot eli se on jatkuva, derivoituva, äärellinen, yksikäsitteinen, samoin kuin sen derivaatat. n 1,, 3,... Aaltofunktio Ψ n (x) on siis tähän tilanteeseen sovelletun Hamiltonin operaattorin ominaisfunktio, jota vastaa ominaisarvo E n. 3
ESIMERKKI 5.10 Normita äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen aaltofunktio. 4
Hiukkasta kuvaava normitetut aaltofunktiot n nx ( x) sin, n 1,, 3,... L L Aaltofunktio voi saada sekä negatiivisia että positiivisia arvoja. Aaltofunktion neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä ja saa vain positiivisia arvoja. Aaltofunktiot saavat arvon 0 rajoilla x=0 ja x=l. Todennäköisyystiheydet hyvin erilaisia aaltofunktiosta riippuen: 1 maksimi kohdassa L/ minimi kohdassa L/ Hiukkanen, jolla on vähiten energiaa sijaitsee todennäköisimmin laatikon keskellä, kun taas hiukkanen, joka on toiseksi alimmassa energiatilassa ei ole koskaan siinä. 5
ESIMERKKI 5.11 Hiukkanen on äärettömän syvässä potentiaalikuopassa, jonka leveys on L. Mikä on todennäköisyys löytää hiukkanen väliltä 0.45L<x<0.55L hiukkasen ollessa perustilassa? Entä jos hiukkanen on ensimmäisellä viritystilalla? 6
ESIMERKKI 5.1 a) Osoita, että ( x) Ax B, missä A ja B ovat vakioita, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen energiatasolle E=0. b) Osoita, että todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla on tämä aaltofunktio, on nolla. 7
ESIMERKKI 5.13 Mikä on paikan x odotusarvo hiukkaselle äärettömän syvässä potentiaalikuopassa? 8
5.11. ÄÄRELLINEN POTENTIAALIKUOPPA Todellisuudessa ei ole olemassa äärettömän kova- ja korkeareunaisia potentiaalikuoppia kuten kappaleen 5.10. tarkastelussa. Energia U Sen sijaan on kyllä äärellisiä potentiaalikuoppia. I E III Hiukkasen energia E < vallin korkeus U. -x 0 L +x Klassisesti hiukkanen ei pääse alueille I ja III, koska sen energia ei riitä ylittämään potentiaalivallia. Kvanttimekaanisesti hiukkasen todennäköisyys tunkeutua klassisesti kielletyille alueille x<0 ja x>l on suurempi kuin 0. Määritetään hiukkasen Schrödingerin yhtälöt alueissa I III: ( x) x m ( E U) ( x) 0 9
m( U Merkitään a ( x) a ( x) 0, x Tämän yhtälön ratkaisut ovat: E), jolloin Schrödingerin yhtälö saa muodon: ( x) Ae Määritetään vakioiden A, B, C ja D arvot reunaehdoista. Aaltofunktioiden Ψ I ja Ψ III on oltava äärellisiä, joten I III ax ( x) Ce ax Be ax De ax A, B, C ja D ovat vakioita. Ψ I :ssä B=0, koska muuten funktio ei lähesty nollaa kun x ( x) I Ae ax Be ax Vastaavasti Ψ III :ssä C=0, koska muuten funktio ei lähesty nollaa kun x ( x) Ce III ax De Sallittuja ovat vain rajoilla eksponentiaalisesti vaimenevat funktiot: ( x) I III ( x) Ae ax De ax ax 10
Alueella II hiukkasen Schrödingerin yhtälö on sama kuin aiemmin (hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa-probleema) ja sen ratkaisut ovat II me Esin x F cos me Rajapinnoissa x=0 ja x=l aaltofunktioiden tulee saada sama arvo ts. I ( 0) (0) ja ( L) ( L) II II ja sekä sini- että kosini-osat aaltofunktiosta ovat mahdollisia. III Myös aaltofunktioiden derivaattojen tulee olla jatkuvat rajakohdissa. Näistä rajoituksista seuraa energian kvantittuminen. Emme ratkaise aaltofunktiota tässä tämän tarkemmin. Tarkastellaan kuitenkin ratkaisufunktioiden kuvaajia. x 11
Kuvat esittävät aaltofunktiot (yläkuva) sekä todennäköisyystiheydet (alakuva). Verrattuna äärettömän syvään potentiaalikuoppaan, huomataan, että aallonpituus kasvaa eli energiatilojen väli pienenee. Ts. hiukkasen energiatasot siirtyvät alemmaksi ja tiheämmiksi. 1
ESIMERKKI 5.14 Hiukkanen liikkuu pitkin x-akselia potentiaalissa Määritä a ja b siten, että aaltofunktio 0, x) Nx ( x 0, x e, x 0, x 0 U ( x) a bx, kun x x missä N on normitustekijä, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Määritä myös hiukkasen energia. 0 13
14
ESIMERKKI 5.15 Hiukkanen, jonka energia E> 0 liikkuu x-akselilla positiiviseen suuntaan. Hiukkanen törmää kohdassa x=0 potentiaalivalliin, jonka korkeus on V 0. Määritä heijastumiskerroin (eli kuinka suuri osa aineaallon intensiteetistä heijastuu vallin reunasta takaisin päin). 15
5.1. TUNNELI-ILMIÖ Edellä tarkastellussa tilanteessa hiukkanen oli äärellisen syvässä kuopassa, jonka seinämät olivat äärettömän paksuja, jolloin hiukkasen aaltofunktio sammuu. Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa potentiaalivalli onkin äärellisen korkeuden lisäksi myös äärellisen leveä. Tarkastellaan hiukkassuihkua, jonka energia on E. Jos hiukkanen törmää potentiaalivalliin, sillä on tietty todennäköisyys läpäistä se tunneloitumalla, vaikka sen energia E ei riitä vallin U ylittämiseen. Mitä korkeampi ja leveämpi valli, sitä pienempi todennäköisyys luonnollisesti on. Vallin korkeus on U ja leveys L. Vallin kummallakaan puolella hiukkaseen ei vaikuta voimia ts. alueilla I ja III U=0. 16
0 ) ( ) ( Alue III: 0 ) ( ) ( ) ( Alue II : 0 ) ( ) ( Alue I : x E m x x x U E m x x x E m x x III III II II I I Ψ I+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin suuntaan. Ψ I- kuvaa hiukkasta, joka heijastuu potentiaalivallista. Ψ II kuvaa hiukkasta vallin sisällä. Ψ III+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin suuntaan ja on tullut vallista läpi. 17 Hiukkasen Schrödingerin yhtälöt eri alueilla ovat muotoa:
Kirjan kappaleen 5 liitteessä on johdettu tunneloitumisen todennäköisyys hiukkaselle (ei käydä sitä tässä läpi) ja se on noin T e k L, missä k m( U E) 18
ESIMERKKI 5.16 Elektronit, joiden energiat ovat 1.0 ev ja.0 ev, törmäävät potentiaalivalliin, jonka korkeus on 10.0 ev ja leveys 0.50 nm. a) Mikä on elektronien todennäköisyys tunneloitua vallin läpi? b) Miten todennäköisyyden käy, jos vallin leveys on kaksinkertainen? 19
Luonnossa tunneli-ilmiötä havaitaan esim. α- hajoamisessa: α-hiukkanen, jonka kineettinen energia on vain muutamia MeV:tä pystyy irrottautumaan ytimestä, jonka muodostama potentiaali on n. 5 MeV:n luokkaa. Tunnelointimikroskooppi (scanning tunneling microscope) Näytepinnan yli liikutetaan teräväkärkistä wolfram-neulaa. Tunneli-ilmiö aiheuttaa virran, kun neulan ja näytteen välillä on pieni jännite. Virta pienenee, jos neula etääntyy pinnasta, koska potentiaalivallin leveys kasvaa. Pitämällä tunneloitumisvirta vakiona on neulan seurattava pintaa, eli saadaan kuvattua pinnan muoto. Rauta-atomeja kuparipinnalla. 0
Mustan aukon purkautuminen (Stephen Hawking) Mustat aukot säteilevät hiukkasia, jotka tunneloituvat gravitaatiosta aiheutuvan potentiaalivallin läpi. Vallin leveys on verrannollinen mustan aukon kokoon tunneloitumis-todennäköisyys on pieni, mutta se kasvaa, kun musta aukko emittoi hiukkasia: Musta aukko emittoi itsensä olemattomaksi. Auringon massaisen mustan aukon häviäminen tunneloitumalla kestää noin 10 66 vuotta. 1
5.13. HARMONINEN OSKILLAATTORI (= Harmoninen värähtelijä) Harmoninen oskillaattori on systeemi, joka värähtelee tasapainoasemansa ympärillä. Harmonisessa oskillaattorissa hiukkaseen vaikuttaa voima, joka pyrkii palauttamaan sen tasapainoasemaan (jos hiukkanen on siitä poikennut). Kun hiukkanen ylittää tasapainoaseman, voima vetää sitä toiseen suuntaan hiukkanen värähtelee tasapainoaseman yli edestakaisin (jos energiaa ei kulu). Makromaailman esimerkki: jousen päässä oleva paino Mikromaailman esimerkki: atomit molekyylissä, atomit kidehilassa Yksinkertaisessa harmonisessa värähtelijässä, hiukkaseen vaikuttava voima on lineaarinen, sen suuruus riippuu etäisyydestä tasapaino-asemaan ja suunta on aina kohti tasapainoasemaa: F = -kx k= värähtelijän jäykkyysparametri (esim. jousivakio)
Newtonin II laki F=ma, josta saadaan harmonisen oskillaatorin liikeyhtälö: kx d x m dt d x dt k m x 0 x A cos(ft ), Liikeyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa missä x=hiukkasen poikkeama tasapainoasemasta A=värähtelyn amplitudi φ= on värähtelyn vaihe, joka riippuu siitä, missä kohtaa x on ajanhetkellä t=0 f värähtelyn taajuus 1 k m Kaikkia värähdysilmiötä, joissa värähtelyn amplitudi on suhteellisen pieni, voidaan ensimmäisessä approksimaatiossa kuvata hyvin harmonisen oskillaattorin avulla. 3
Harmonista voimaa vastaava potentiaalienergian funktio U(x) saadaan laskemalla työ, joka tarvitaan, kun hiukkanen liikkuu x=0 pisteestä pisteeseen x=x harmonista voimaa vastaan: x x 1 U( x) F( x) dx ( kx) dx k x dx kx 0 0 0 Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergiakäyrä x Jos oskillaattorin energia on E, hiukkanen värähtelee -A:n ja +A:n välillä ja E 1 k A Klassisesti kaikki oskillaattorin energiatilat ovat sallittuja. 4
Miten sitten kvanttimekaaninen oskillaattori? Määritetään harmonisen oskillaattorin mahdolliset energiatasot: Muodostetaan ensin Schrödingerin yhtälö, sijoittamalla yleiseen yhtälöön potentiaalienergia U= (1/) kx Merkitään ja x y 1 kx E m ( E 1 km m k 1/ x E hf ) 0 mf x jolloin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon: ( y ) 0 y Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktioiden on täytettävä reunaehdot Ψ 0 kun y, jotta funktio olisi normittuva. 5
Tälle yhtälölle löytyy fysikaalisesti hyväntapaisesti käyttäytyviä ratkaisuja vain, kun E n 1, n 0,1,,... f joten värähtelijän energia on kvantittunut : En n f 1 1 hf, k m n 0,1,,... Energiat sijaitsevat tasavälein ja matalin energia on E 1 0 hf Matalinta energiaa kutsutaan nollapiste-energiaksi 6
Jokaista energia-arvoa vastaa oma aaltofunktio Ψ n, joka sisältää Hermiten polynomin, eksponenttifunktion ja normituskertoimen: n 1/ 4 mf y n / 1/ n n! H ( y) e n H n (y) α n E n 0 1 1 (1/)hf 1 y 3 (3/)hf 4y - 5 (5/)hf 3 8y 3-1y 7 (7/)hf 4 16y 4-48y +1 9 (9/)hf 5 3y 5-160y 3 +10y 11 (11/)hf Eli klassisesta oskillaattorista poiketen kvanttimekaanisella oskillaattorilla 1) vain tietyt energiatilat ovat mahdollisia (diskreetit energiatasot). ) alin mahdollinen energiatila E 0 0. 3) todennäköisyys sille, että hiukkanen tunkeutuu reunojen A ja/tai +A ulkopuolelle 0. 7
Harmonisen oskillaattorin viiden ensimmäisen aaltofunktion kuvat: Kuten äärellisen potentiaalikuopan tapauksessa, hiukkanen voi tunkeutua klassisesti ajatellen kielletylle alueelle (eli rajojen -A ja + A ulkopuolelle), jossa aaltofunktio vaimenee eksponentiaalisesti. 8
ESIMERKKI 5.17 Määritä paikan x odotusarvot <x> kahdelle alimmalle harmonisen oskillaattorin tilalle. 9
ESIMERKKI 5.18 Osoita, että harmonisen oskillaattorin alimman tilan aaltofunktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja määritä sitä vastaava energia-arvo. 30
Kuvat esittävät klassista ja kvanttimekaanista todennäköisyystiheyttä harmoniselle oskillaattorille. Kun n=0, todennäköisyystiheydet ovat täysin vastakkaisia klassisesti hiukkanen on todennäköisimmin käännepisteessä, missä nopeus on pienin -kvanttimekaanisesti hiukkanen on todennäköisimmin pisteessä x=0 Kun n=10, todennäköisyystiheydet lähestyvät toisiaan (aaltofunktion rajojen A ja +A ulkopuolella oleva häntä pienenee ja reunojen todennäköisyys kasvaa) Vastaavuusperiaate! 31
Koottuna vielä erilaisten systeemien potentiaalienergiakäyriä ja energioita: Vetyatomi: energia on verrannollinen -1/n Hiukkanen laatikossa: energia on verrannollinen n Harmoninen oskillaattori: energia on verrannollinen n+1/ 3