802646S LUKUTEORIA B (5op) Tapani Matala-aho

802646S LUKUTEORIA B (5op) Tapani Matala-aho 8. tammikuuta 206

Sisältö Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Aritmeettiset funktiot 4 3. Valikoituja aritmeettisia funktioita................. 5 3.. Potenssifunktiot........................ 5 3..2 Kertoma............................ 5 3..3 Konvoluution identiteetti................... 6 3..4 Eulerin funktio........................ 6 3..5 Möbiuksen funktio...................... 6 3..6 Tekijäfunktiot......................... 6 3..7 Alkutekijäfunktiot...................... 7 3..8 Liouvillen funktio....................... 7 3.2 Tuloksia................................ 7 3.2. Eulerin funktio........................ 7 3.2.2 Möbiuksen funktio...................... 9 3.3 Konvoluutiotulo............................ 0 3.3. Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia........... 4 3.3.2 Mangoldtin funktio...................... 5 3.4 Multiplikatiiviset funktiot...................... 7 3.4. Sovelluksia........................... 22 3.5 Eräs Möbius-inversion yleistys.................... 26 3.6 Derivaatta............................... 27 4 Bellin sarjat 29 4. Formaalit sarjat............................ 29

4.2 Bellin sarjat (mod p)......................... 29 4.2. Sovelluksia........................... 32 5 Analyyttisen lukuteorian alkeita 33 5. Työkaluja............................... 33 5.2 Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja............... 38 5.2. Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma.......... 38 5.2.2 Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo................ 4 5.2.3 Eulerin funktion keskiarvo.................. 42 5.2.4 Möbiuksen funktion keskiarvo................ 43 6 Dirichlet n sarjat 44 6. Formaalit Dirichlet n sarjat..................... 44 6.2 Suppenevat Dirichlet n sarjat.................... 48 6.2. Riemannin ζ-funktio..................... 48 6.3 Formaalista suppenevaan....................... 49 6.4 Eulerin tulot.............................. 50 7 Alkulukulause 5 7. Kohti Alkulukulauseen todistusta.................. 52 8 Vielä zeta-funktiosta 52 2

Johdanto LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES 802646S LUKUTEORIA B (Matematiikan syventävä 5op) Tapani Matala-aho LÄHTEITÄ: T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. K. H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web 3

2 Merkintöjä Olkoon R-ykkösellinen rengas. Määritelmä 2.. Joukko R = {yksiköt} = {u R u R : uu = } = (2.) on renkaan R yksikköryhmä. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. 3 Aritmeettiset funktiot Olkoon B = ja R kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Tällöin kuvaukset f : B R (3.) muodostavat kommutatiivisen ykkösellisen renkaan (F(B, R), +, ), missä (f + g)(x) = f(x) + g(x), x B (3.2) (f g)(x) = f(x)g(x), x B (3.3) määrittelevät kuvausten normaalit yhteenlaskun ja kertolaskun. Lisäksi voidaan määritellä skalaarilla r R kertominen (r f)(x) = rf(x), x B, (3.4) jolloin saadaan algebra-rakenne. Täten sanotaankin, että F(B, R) on funktioalgebra. 4

Määritelmä 3.. Kuvaukset f : Z + C (3.5) ovat aritmeettisia funktioita ja A = F(Z +, C) on aritmeettisten funktioiden joukko. 3. Valikoituja aritmeettisia funktioita Olkoon seuraavassa α C ja luvun n Z + alkutekijäkehitelmä. n = p a p a k k, p i P 3.. Potenssifunktiot Määritelmä 3.2. Erityisesti N α (n) = n α n Z +. (3.6) N(n) = n n Z + ; (3.7) N 0 (n) = I(n) = n Z +. (3.8) 3..2 Kertoma Määritelmä 3.3. n n! = k n Z +. (3.9) 5

3..3 Konvoluution identiteetti Määritelmä 3.4. e(n) =, jos n = ; = n 0, jos n 2. (3.0) 3..4 Eulerin funktio Määritelmä 3.5. φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (3.) 3..5 Möbiuksen funktio Määritelmä 3.6., jos n = ; μ(n) = ( ) k, jos a =... = a k = ; (3.2) 0, muutoin; 3..6 Tekijäfunktiot Määritelmä 3.7. Tekijäfunktiot σ α (n) = d n d α. (3.3) Tekijäsumma σ(n) = d n d. (3.4) Tekijäfunktio d(n) = σ 0 (n) = d n. (3.5) 6

3..7 Alkutekijäfunktiot Määritelmä 3.8. Radikaali jos n = ; rad(n) = p jos n 2; p n (3.6) Pikku omega Iso omega 0 jos n = ; ω(n) = jos n 2; p n 0 jos n = ; Ω(n) = k a j jos n 2; j= (3.7) (3.8) 3..8 Liouvillen funktio Määritelmä 3.9. λ(n) = ( ) Ω(n). (3.9) 3.2 Tuloksia 3.2. Eulerin funktio φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (3.20) Lause 3.. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.2) Todistus: Algebra I. 7

Lause 3.2. φ(p m ) = p m ( p ) = pm p m, p P, m Z +, (3.22) Laskarit: tehtävä 3. Lause 3.3. φ(n) = n ( ) eli (3.23) p p n φ(n) = p a... p a k k ( p ) ( p k ) (3.24) Lause 3.4. φ(d) = N(n) n Z +. (3.25) d n Tod: Merkitään F (n) = d n φ(d). (3.26) Aluksi saadaan F () =. (3.27) Olkoon p k P Z+. Lasketaan F (p k ) = φ(d) = d p k φ(d) = d=p m,0 m k φ() + φ(p) + φ(p 2 ) +... + φ(p k ) = + p + p 2 p + p 3 p 2 +... + p k p k 2 + p k p k = p k. (3.28) Eli F (p k ) = p k. (3.29) 8

Olkoon seuraavaksi n m. Määrätään F (nm) = φ(d) = d nm d d 2 nm Toisaalta F (n)f (m) = φ(d ) φ(d 2 ) = d n d 2 m φ(d d 2 ), d n, d 2 m (3.30) Siten Vielä d,d 2 φ(d )φ(d 2 ) = d d 2 nm φ(d d 2 ). (3.3) F (nm) = F (n)f (m) n m. (3.32) F (n) = F (p a p a k k ) = (3.33) F (p a ) F (p a k k ) = pa p a k k = n. (3.34) 3.2.2 Möbiuksen funktio, jos n = ; μ(n) = ( ) k, jos a =... = a k = ; (3.35) Huomaa, että 0, muutoin; μ(n) = 0, b 2 n, b Z 2. (3.36) Eli Möbiuksen funktio on nolla, jos n:llä on neliötekijä jos n:llä on alkuluvun neliö tekijänä eli μ(n) = 0, p 2 i n, p i P. (3.37) 9

Lause 3.5. μ(d) = e(n) n Z +. (3.38) d n Todistus: Lasketaan μ(d) = μ() + μ(p ) +... + μ(p k )+ d n μ(p p 2 ) +... + μ(p k p k ) +... + μ(p p 2 p k p k ) = (3.39) + ( ) k ( ) + ( ) k ( ) 2 +... + 2 ( ) k ( ) k = (3.40) k, k = 0; ( ) k = 0 k = (3.4) 0, k., n = ; = = e(n). (3.42) 0, n 2. 3.3 Konvoluutiotulo Määritellään vielä yksi laskutoimitus aritmeettisten funktioiden algebraan. Määritelmä 3.0. Konvoluutio- eli Dirichlet n tulo. Olkoot f, g A jolloin asetetaan (f g)(n) = f(a)g(b) n Z +. (3.43) ab=n ESIM: Olkoon n = 2. Tällöin summataan kaikien tekijäparien (a, b) = (, 2), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (2, ) (3.44) 0

yli, joten (f g)(2) = ab=2 f(a)g(b) = f()g(2)+ f(2)g(6) + f(3)g(4) + f(4)g(3) + f(6)g(2) + f(2)g(). (3.45) Lause 3.6. Olkoot f, g, h A. Tällöin f g A; (3.46) f (g h) = (f g) h; (3.47) f g = g f; (3.48) Jos f() = 0, niin on olemassa sellainen g A, että e f = f e = f; (3.49) f g = g f = e. (3.50) Todistus. (3.46). Määritelmän (3.96) nojalla f g : Z + C. (3.5) (3.47). Lasketaan (f (g h))(n) = ad=n f(a)(g h)(d) = (3.52) f(a) g(b)h(c) = (3.53) ad=n bc=d

f(a)g(b)h(c) = (3.54) abc=n ec=n( ab=e f(a)g(b))h(c) = (3.55) (f g)(e)h(c) = ((f g) h)(n). (3.56) ec=n (3.48). Harjoitus. (3.49). Laskemalla saadaan (e f)(n) = ab=n e(a)f(b) = (3.50). Olkoon f() = 0 ja e()f(n) + e(a)f(b) = f(n) n Z +. (3.57) a 2,ab=n g() = f() (f g)() = e(). (3.58) Olkoon sitten n Z 2. Tehdään induktio-oletus, että funktio g, jolle pätee ja Seraavaksi pitäisi olla g(k) k n (3.59) (f g)(k) = e(k) k n. (3.60) (f g)(n) = e(n) ab=n f(a)g(b) = 0 (3.6) ( ) g(n) = f(a)g(b). f() ab=n,b n 2

Asetetaan siis ( ) g(n) = f(a)g(b), (3.62) f() ab=n,b n joka on hyvin määritelty induktio-oletuksen (3.59) nojalla. Tällöin saadaan (f g)(n) = ab=n f(a)g(b) = f()g(n) + f(a)g(b) = (3.63) ab=n,b n Nyt kaavan (3.62) nojalla ( (f g)(n) = f() f() ab=n,b n ) f(a)g(b) (3.64) + f(a)g(b) = 0. (3.65) ab=n,b n Siten induktiolla (3.50) kunnossa. Ominaisuuksien (3.46), (3.47), (3.48), (3.49) nojalla (A, ) on kommutatiivinen monoidi. Edelleen (A, +, ) (3.66) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Olkoon A 0 = {f A f() = 0}. (3.67) Lause 3.7. Tällöin ominaisuuksien (3.46 3.50) nojalla (A 0, ) (3.68) on kommutatiivinen ryhmä. 3

3.3. Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia Suoraan määritelmästä saadaan seuraavat esitysmuodot konvoluutiotulolle. (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) = d n f( n d )g(d) n Z+. (3.69) Erikoistapauksesa, missä g = I (vakiofunktio I(n) = ), saadaan (f I)(n) = d n f(d) = d n f( n d ) n Z+. (3.70) Soveltamalla tuloksia (3.38) ja (3.70) saadaan (μ I)(n) = d n μ(d) = e(n) n Z +, (3.7) josta μ I = e μ = I I = μ. (3.72) Lause 3.8. Möbiuksen inversio. Olkoot f, g A, tällöin f(n) = d n g(d) (3.73) g(n) = d n ( n ) μ(d)f d (3.74) aina, kun n Z +. Todistus. Lausekkeesta (3.73) saadaan f = g I g = I f = μ f, (3.75) josta saadaan (3.74). Vastaavasti Vice Versa. Lause 3.9. φ(n) = bc=n μ(b)n(c), n Z +. (3.76) eli φ(n) = d n μ(d) n d = d n μ( n d )d, n Z+. (3.77) 4

Todistus. Tuloksien (3.25) ja (3.70) nojalla (φ I)(n) = d n φ(d) = N(n) n Z + (3.78) eli φ I = N φ = I N = μ N. (3.79) Tästä φ(n) = (μ N)(n) = d n μ(d) n d n Z +. (3.80) Lause 3.0. Olkoon k N. Tällöin σ k = N k I. (3.8) Todistus. Määritelmän mukaan σ k (n) = d n d k = d n ( n ) N k (d)i = d (N k I)(n) n Z +. (3.82) Seurauksia: d = I I, σ = N I = φ d, N = σ μ. (3.83) Todistetaan laskareissa. 3.3.2 Mangoldtin funktio Määritelmä 3.. log p, jos n p Z+, p P; Λ(n) = 0, muutoin; (3.84) 5

Esim. Λ() = 0, Λ(2) = log 2, Λ(3) = log 3, Λ(4) = log 2, Λ(5) = log 5, Λ(6) = log, Λ(7) = log 7, Λ(8) = log 2, Lause 3.. Olkoon n Z +. Tällöin Λ(9) = log 3, Λ(0) = log. (3.85) log n = d n Λ(d). (3.86) Todistus. Tapaus n = selvä. Olkoon sitten n Z 2. Toisaalta log n = Λ(d) = d n k a i log p i. (3.87) i= k a i Λ(p a i i ) = (3.88) i= r= Siten (3.86) kunnossa. k a i log(p i ) = i= r= k a i log(p i ). (3.89) i= Lause 3.2. Olkoon n Z +. Tällöin Λ(n) = d n μ(d) log(d). (3.90) Todistus. Yhtälön (3.86) nojalla log = Λ I Λ = μ log, (3.9) josta Λ(n) = d n μ(d) log( n d ) = (3.92) 6

log n d n μ(d) d n μ(d) log(d) = d n μ(d) log(d). (3.93) 3.4 Multiplikatiiviset funktiot Useat aritmeettiset funktiot säilyttävät kokonaislukujen kertolaskurakennetta osittain tai kokonaan. Tällöin kyseessä ovat multiplikatiiviset tai täydellisesti multiplikatiiviset funktiot. Määritelmä 3.2. Olkoon f A {0}. Jos f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + m n, (3.94) niin f on multiplikatiivinen funktio. Asetetaan tällöin M = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) Edelleen, jos f A {0} ja m, n Z + m n}. (3.95) f(mn) = f(m)f(n) m, n Z +, (3.96) niin f on täydellisesti multiplikatiivinen funktio. Asetetaan vielä C = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + }. (3.97) Lause 3.3. f M f() = ; (3.98) f, g M f g M; (3.99) 7

f g, g M f M; (3.00) f M f M; (3.0) (M, ) (A 0, ) (3.02) eli multiplikatiiviset funktiot muodostavat aritmeettisten funktioiden aliryhmän. Todistus. (3.98): Koska f = 0, niin sellainen b Z +, että 0 = f(b) = f(b ) = f(b)f() f() =. (3.03) (3.99): Olkoon m n. Laskemalla (f g)(mn) = d mn f(d)g( mn d ) = (3.04) a m,b n,a b f(ab)g( mn ab ) = (3.05) f(a)f(b)g( m a )g(n b ) = (3.06) a m b n f(a)g( m a ) a m b n f(b)g( n ) = (f g)(m)(f g)(n). (3.07) b (3.00): Tehdään vastaoletus, että f / M. Tällöin sellaiset m n, että f(mn) = f(m)f(n) (3.08) ja mn pienin mahdollinen. Aluksi tapaus mn = m = n = f() = f()f() (3.09) 8

Ristiriita, koska f g M. f() = (f g)() = f()g() = f() =. (3.0) Olkoon, sitten mn 2. Tällöin laskemalla (f g)(mn) = d mn f(d)g( mn d ) = (3.) a m,b n,a b a m,b n,a b,ab<mn f(ab)g( mn ) + f(mn)g() = (3.2) ab f(a)f(b)g( m a )g(n ) f(m)f(n) + f(mn) = (3.3) b (f g)(m)(f g)(n) f(m)f(n) + f(mn) (3.4) Yhtälöistä (3.), (3.4) ja (3.08) saadaan (f g)(mn) (f g)(m)(f g)(n) = Ristiriita! Joten f M. (3.0): Nyt f M. Koska e M, niin f(m)f(n) + f(mn) = 0. (3.5) e = f f M. (3.00) f M. (3.6) (3.02): Kohtien (3.99) ja (3.0) nojalla M on ryhmän A 0 aliryhmä. ESIM. φ, μ M, φ, μ C. (3.7) 9

e, I, N k, λ C. (3.8) f, g M fg, f/g M. (3.9) Lause 3.4. C M A 0. (3.20) Lause 3.5. Olkoon f() =. Tällöin aina, kun n = k i= f M f( f C f( p a i i Z +. Olkoon f M, tällöin k i= k i= p a i p a i i ) = k i= f(p a i i ); (3.2) k i ) = f(p i ) a i (3.22) i= f C f(p a ) = f(p) a (3.23) aina, kun n = p a p Z+, p P. Todistus. (3.2): " "Suoraan määritelmästä induktiolla. Aluksi p a p a 2 2 f(p a p a 2 2 ) = f(p a )f(p a 2 2 ). (3.24) " "Olkoot Tällöin f(mn) = f( m = k i= p a i i k i= l j= p a i i n = q b j i= l j= q b j j. (3.25) k l j ) = f(p a i i ) f(q b j j ) = j= 20

k f( i= p a i i )f( l j= Kohtien (3.22) ja (3.23) todistukset: Laskarit. Lause 3.6. Olkoon f M, tällöin q b j j ) = f(m)f(n). (3.26) f C f = μ f. (3.27) Todistus. " ". Laskemalla ((μ f) f)(n) = d n μ(d)f(d)f( n d ) = (3.28) f(n) d n μ(d) = f(n)e(n) = e(n). (3.29) " ". Olkoon f = μ f. Siten (μ f) f = e, josta e(p a ) = ((μ f) f)(p a ) = d p a μ(d)f(d)f( n d ) = (3.30) a μ(p j )f(p j )f(p a j ) (3.3) j=0 0 = μ()f()f(p a ) + μ(p)f(p)f(p a ) (3.32) f(p a ) = f(p)f(p a ) =... = f(p) a. (3.33) Koska f M, niin kohdan (3.23) nojalla f C. ESIM: N C N = μ N. (3.34) 2

Lause 3.7. Olkoon h M, tällöin μ(d)h(d) = ( h(p)). (3.35) p n d n Todistus. Merkitään g(n) = d n μ(d)h(d). (3.36) Osoitetaan aluksi, että g M, laskemalla (kuten kohdassa (3.99)) g(mn) = μ(ab)h(ab) = (3.37) a m,b n,a b μ(a)h(a) μ(b)h(b) = g(m)g(n). (3.38) a m b n Olkoon seuraavassa p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = μ(d)h(d) = μ()h() + μ(p)h(p) = h(p). (3.39) d p a Käytettäen tulosta (3.2) saadaan g( k k i ) = ( h(p i )). (3.40) p a i i= i= 3.4. Sovelluksia Laskarit tehtävä 7: φ (n) = d n dμ(d). (3.4) Tuloksen (3.4) nojalla φ (n) = d n μ(d)h(d), h(d) = d, (3.42) joten (3.35) antaa φ (n) = p n ( p). (3.43) 22

Kerrataan tässä, että ( ) ω(n) = ( ) k, jos ω(n) = Ω(n); μ(n) = 0, jos ω(n) = Ω(n); (3.44) ja kun λ(n) = ( ) Ω(n) = ( ) k j= a j (3.45) n = p a p a k k, p i P. (3.46) Edelleen 2 a i a i ; n = a l : 2 a l ; (3.47) eli n on kokonaisluvun neliö täsmälleen silloin, kun kaikki alkuesityksen (3.46) eksponentit ovat parillisia. Määritellään vielä funktio δ seuraavasti, jos m = = l 2 ; δ (m) = 0, jos m = = l 2. (3.48) Lause 3.8. ja λ(d) = δ (n) (3.49) d n λ = μ 2. (3.50) Todistus. Merkitään g(n) = d n λ(d) g = λ I g M (3.5) 23

Olkoon taas p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = d p a λ(d) = λ() + λ(p) +... + λ(p a ) = jos 2 a; + ( ) + ( ) 2 +... + ( ) a = 0 jos 2 a; (3.52) Koska g M, niin ) Olkoon n =. Tällöin g(n) = k i= g(p a i i ). (3.53) g(p a i ) = i g(n) =. (3.54) 2) Olkoon n =. Tällöin a l : 2 a l g(p a l ) = 0 g(n) = 0. (3.55) (3.50): Koska λ C, niin Lauseen 3.6 nojalla λ = μ λ. (3.56) Seuraavaksi, jos μ(n) = 0 μ(n)λ(n) = 0 μ(n)λ(n) = μ(n) 2 ; (3.57) ja jos μ(n) = 0 ω(n) = Ω(n) λ(n) = ( ) ω(n) = μ(n) μ(n)λ(n) = μ(n) 2. (3.58) 24

LISÄÄ SOVELLUKSIA: Todistetaan Lauseet 2.4 ja 2.5 käyttäen konvoluutiotuloa Lauseen 3.8 tapaan. Lauseen 2.5. Uusi todistus: Merkitään V (n) = d n μ(d) V = μ I M. (3.59) Lasketaan vielä V (p a ) = μ() + μ(p) +... + μ(p a ) (3.60), a = 0 = = + 0 +...0 = 0, a (3.6) Tuloksen (3.2) nojalla V (n) = V ( k i=, n = = 0, n 2 Lauseen 2.4. Uusi todistus: Merkitään p a i i ) = k i= V (p a i i ) (3.62) = e(n). (3.63) G(n) = d n φ(d) G = φ I M. (3.64) Lasketaan vielä Tuloksen (3.2) nojalla G(n) = G( G(p a ) = φ() + φ(p) +... + φ(p a ) = p a. (3.65) k i= p a i k k i ) = G(p a i i ) = p a i i = n = N(n). (3.66) i= i= 25

Harjoitus 2. Aluksi tuloksen (3.66) nojalla φ I = N φ = μ N (3.67) n p n ( ) = p d n μ(d) n d (3.68) p n ( ) = p d n μ(d) d. (3.69) 3.5 Eräs Möbius-inversion yleistys Olkoon n Z + ja jolloin käytetään merkintöjä n F (n) = f Välittömästi saadaan, että F, F A. Lause 3.9. Todistus: Aluksi, jos k n, niin f : [0, ] C, (3.70) ( ) k, F = f n k n ( ) k. (3.7) n F = μ F, F = I F. (3.72) k n = a, a d, a d, d n, (3.73) d missä a/d on murtoluvun k/n supistettu esitys. Siten F (n) = d n d ( a f = (3.74) d) a=,a d F (d) = (F I)(n). (3.75) d n Sovellus: 26

Lause 3.20. n μ(n) = e i2πk/n, n Z +. (3.76),k n Todistus: Olkoon E(x) = e i2πx ja F (n) = n E ( ) k, F = E n k n ( ) k n n Z +. (3.77) Geometrisen sarjan summalla n n, jos a = ; a k = (3.78) a an, jos a =. a ja eksponenttifunktion laskusäännöillä saadaan n ( ) k n ( ) k E = E = (3.79) n n Siispä, jos n = ; 0, jos n 2; = e(n). (3.80) F (n) = e(n) F = μ F = μ e = μ. (3.8) 3.6 Derivaatta Logaritmifunktion rajoitus positiivisiin kokonaislukuihin log : Z + C (3.82) on aritmeettinen funktio eli log A. Määritelmä 3.3. Aritmeettisen funktion f derivaatta f on aritmeettinen funktio f (n) = f(n) log n n Z +. (3.83) 27

Huom: Jos f A, niin f A. ESIM: e (n) = e(n) log n = 0 n Z +. (3.84) I (n) = I(n) log n = log n n Z +. (3.85) Lause 3.2. Olkoot f, g A, tällöin Λ I = I (3.86) f = f log 2 ; (3.87) (f + g) = f + g ; (3.88) (f g) = f g + f g ; (3.89) Todistus laskareissa. (f ) = f (f f), f() = 0. (3.90) Lause 3.22. Selbergin identiteetti. Olkoon n Z +, tällöin Λ(n) log n + d n Λ(d)Λ( n d ) = d n μ(d) log 2 ( n ). (3.9) d Todistus. Derivoidaan yhtälöä (3.86) puolittain, jolloin I = Λ I + Λ I = Λ I + Λ Λ I (3.92) I μ = Λ + Λ Λ Λ + Λ Λ = μ (log) 2. (3.93) 28

. VÄLIKOE-ALUE TÄHÄN ASTI. 4 Bellin sarjat Bellin sarjat ovat aritmeettisiin funktioihin liittyviä formaalisia sarjoja. 4. Formaalit sarjat Katso tarkemmin Lukuteoria I. Esim. Olkoon a C, tällöin saadaan Formaali Geometrinen sarja a n T n = n=0 at. (4.) 4.2 Bellin sarjat (mod p) Määritelmä 4.. Olkoot f A ja p P. Asettamalla f p (T ) = f(p n )T n (4.2) n=0 saadaan aritmeettisen funktion f Bellin sarja (mod p). Huomaa, että formaalien sarjojen identtisyyden nojalla saadaan Bellin sarjojen identtisyys: f p (T ) = g p (T ) f(p k ) = g(p k ) k N. (4.3) Edelleen Lause 4.. Olkoot f, g M, tällöin f = g f p (T ) = g p (T ) p P. (4.4) 29

Todistus. Olkoon f = g. Tällöin f(p k ) = g(p k ) k, p f p (T ) = g p (T ) p. (4.5) Olkoot sitten f p (T ) = g p (T ) p. Tästä f(p k ) = g(p k ) k, p (4.6) k k f(p a i i ) = g(p a i i ). (4.7) i= i= Koska f, g M, niin tuloksen (3.2) avulla f( k i= p a i i ) = g( k i= p a i i ) (4.8) f(n) = g(n) n Z + f = g. (4.9) Lause 4.2. Jos f C, niin f p (T ) = f(p)t. (4.0) Todistus. Lasketaan määritelmästä lähtien ja käytetään tuloksia (3.23) ja (4.), jolloin saadaan f p (T ) = f(p n )T n = n=0 f(p) n T n = n=0 ESIMERKKEJÄ: Lauseen 4.2 avulla saadaan f(p)t. (4.) N k p (T ) = p k T k N. (4.2) I p (T ) = T. (4.3) 30

λ p (T ) = + T. (4.4) e p (T ) = T 0 =. (4.5) Ja suoraan laskemalla μ p (T ) = T. (4.6) φ p (T ) = T pt. (4.7) (σ k ) p (T ) = T p k T. (4.8) Lause 4.3. Olkoot f, g A ja p P, tällöin (f g) p (T ) = f p (T )g p (T ). (4.9) Todistus. Määrätään sarjojen tulo f p (T )g p (T ) = f(p r )T r k=0 r+s=k r=0 s=0 g(p s )T s = (4.20) ( ) f(p r )g(p s ) T k = (4.2) f(a)g(b) T k = (4.22) k=0 ab=p k (f g)(p k )T k = (f g) p (T ). (4.23) k=0 3

4.2. Sovelluksia A. Todistetaan uudella tavalla Lauseen (3.5) tulos μ(d) = e(n) n Z +. (4.24) d n Käytetään summalle merkintää V (n) = d n μ(d) V = μ I. (4.25) Soveltamalla tulosta (4.9) saadaan V p (T ) = μ p (T )I p (T ) = e p (T ) p P, (4.26) missä V, e M, joten Lauseen 4. nojalla V = e d n μ(d) = e(n). (4.27) Ei tarvittu kombinatoriikkaa-vaan Teoria jyllää.. B. Vastaavasti saadaan Lauseen 3.4 tulos φ(d) = N(n) n Z +. (4.28) d n C. Todistetaan vielä (4.8) käyttäen tuloksia (3.8) ja (4.2) seuraavasti σ k = N k I (σ k ) p (T ) = (N k ) p (T )I p (T ) = T p k T. (4.29) Edelleen, suoritetaan yhtälössä (4.29) osamurtoihinjako, jolloin (σ k ) p (T ) = ( p k p k p k T ) = (4.30) T 32

( p k p k n=0 (p k T ) n ) T n = (4.3) n=0 Toisaalta (σ k ) p (T ) = n=0 n=0 (p k ) n+ T n. (4.32) p k σ k (p n )T n σ k (p n ) = (pk ) n+. (4.33) p k 5 Analyyttisen lukuteorian alkeita 5. Työkaluja log = ln Neperin logaritmi, siis log e =. Olkoot seuraavissa määritelmissä g, f : R R reaaliarvoisia funktioita, joiden määrittelyalueet ovat M g, M f. Määritelmä 5.. Asymptoottisesti sama: f(x) g(x) lim x f(x) g(x) =. (5.) Harmooninen sarja esiintyy Eulerin gamman lausekeessa H n = n k (5.2) γ = lim n (H n log n) = 0.577... (5.3) 33

Tuloksesta (5.3) saadaan sillä lim n Yleisemmin pätee, jos niin f(x) g(x). H n log n, (5.4) H n log n = lim H n log n + = γ + =. (5.5) n log n h(x) f(x) = g(x) + h(x), lim x g(x) Määritelmä 5.2. O-symboli, O = "iso oo": Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. on olemassa sellaiset vakiot B, C R +, että Asetetaan vielä = 0, (5.6) f(x) = O(g(x)) (5.7) f(x) Cg(x), x M f M g, x B. (5.8) f(x) O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)); (5.9) f(x) = h(x) + O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)) (5.0) ja v(x)o(g(x)) = O(v(x)g(x)), v(x) > 0 x B. (5.) HUOM: Merkintä f(x) = O(g(x)) (5.2) on hieman harhaanjohtava, sillä tarkkaan ottaen pitäisi kirjoittaa f(x) O(g(x)) = {f(x) f(x) Cg(x)}. (5.3) Mutta (5.2) on sujuvampi käyttää kuin (5.3) ja siten vakiinnuttanut asemansa. 34

Lause 5.. Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. Tällöin f(x) < M x B f = O(). (5.4) f g f = O(g). (5.5) f g = O() f = O(g). (5.6) lim f(x) x g(x) < f = O(g). (5.7) f + f 2 = O max{o( f ), O( f 2 )} (5.8) f f 2 = O( f )O( f 2 ). (5.9) f + f 2 = O(g) f = O(g), f 2 = O(g) f f 2 = O(g 2 ) (5.20) ESIM. a) b) n 2 + 2n 3 5 = O(n 4 ). (5.2) (n + 8 log n)(0n log n + 7n 2 ) = O(n) O(n 2 ) = O(n 3 ). (5.22) Määritelmä 5.3. Riemannin zeta-funktio ζ(s) = k, s s R >; (5.23) ζ(s) = lim x ( k x ) x s, 0 < s <. (5.24) ks s 35

Lause 5.2. Olkoon x, tällöin k x k x k = log x + γ + O ( ). (5.25) x x s = ks s + ζ(s) + O(x s ), 0 < s <, s >. (5.26) k x k>x k s = O(x s ), s >. (5.27) k a = xa+ a + + O(xa ), a 0. (5.28) ζ(2) = Todistukseen tarvitaan seuraava tulos. k 2 = π2 6. (5.29) Lause 5.3. Eulerin summauskaava. Olkoon 0 < y < x ja oletetaan, että funktiolla f : [y, x] R on jatkuva derivaatta f välillä [y, x]. Tällöin y<k x f(k) = x y f(t)dt + x y (t t )f (t)dt+ Todistus: Ei vaadita. f(x)( x x) f(y)( y y). (5.30) Mutta huomaa, että (5.30) tarkentaa sarjojen integraalitestiä. 36

Todistetaan Lauseen 5.2 kohta (5.25): Valitaan Eulerin summauskaavassa (5.30) f(t) = /t ja y =, jolloin missä I(x) = x x k x x k = + dt t (t t ) x x dt + t 2 x + log x + I(x) + O t t dt t 2 t t t 2 dt = = (5.3) ( ), (5.32) x x t t t 2 dt + C. (5.33) Toinen integraali antaa vakion C. Arvioidaan ensimmäistä integraalia Siten 0 < x t t dt t 2 I(x) = O joka edelleen syötetään kohtaan (5.32), josta k x k n k x dt t 2 = x. (5.34) ( ) + C, (5.35) x = log x + C + + O Lasketaan vielä vakio C + ottamalla raja-arvo ( ) lim log n = lim n k n ( ). (5.36) x ( C + + O ( )) n (5.37) = C + C + = γ. (5.38) Erityisesti saadaan k n k = log n + γ + O ( ), (5.39) n 37

joka tarkentaa tulosta (5.3). Tässä log n + γ (5.40) on päätermi ja on virhetermi. Arvioi tarkemmin virhetermiä: Laskarit. O ( ) n (5.4) 5.2 Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja Olkoon a(n) aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan A(x) = a(k). (5.42) k x Usein tutkitaan summafunktiota A(x) ja välillä [, x] olevaa keskiarvoa A(x) x = k x x a(k) (5.43) suurilla x:n arvoilla. 5.2. Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma Tekijäfunktion summafunktiolle pätee Lause 5.4. D(x) = k x d(k) = x log x + (2γ )x + O(x /2 ). (5.44) Välittömästi saadaan keskiarvolle arvio d(k) D(x) k x = = log x + 2γ + O(x /2 ). (5.45) x x 38

Edelleen saadaan asymptoottinen tulos D(x) x log x. (5.46) Tekijäongelma eli Divisor problem: Paina yhtälön (5.44) virhetermin eksponenttia /2 mahdollisimman alas. Tiedetään, että Inf /4 ja paras tunnettu on 2/37 (969). Lauseen 5.4 todistus. Määritelmän nojalla Tässä k = ad x ja siten D(x) = D(x) = k x a,d x, ad x KUVA: Piirrä a d-koordinaatisto. d(k) = k x =. (5.47) d k d x a x/d. (5.48) Summassa (5.48) jokaisella d:n arvolla lasketaan a-akselin suuntaisella janalla olevat pisteet d-akselin suuntaiselta suoralta a = hyperbelille ad = x. Niinpä D(x) = x x d d, (5.49) joten tuloksen (5.25) nojalla d x D(x) = x(log x + γ + O d x ( ) ) = (5.50) x x log x + γx + O() = x log x + O(x). (5.5) Tämä tulos ei vielä riitä. Parempi saadaaan, kun jaetaan alue suoralla d = a symmetrisiin osiin. Suora d = a leikkaa hyperbelin kohdassa a = d = x. Lasketaan janalla d = a olevat pisteet hyperbelille asti, joita on x. (5.52) 39

Edelleen valitaan suoran ja hyperbelin alapuoliset pisteet, joita on d x ( x d ) d, (5.53) sillä jokaisella d:n arvolla d x lasketaan a-akselin suuntaisella janalla suoran d = a ja hyperbelin ad = x välillä olevat pisteet, niin että suoralla olevia pisteitä ei oteta mukaan mutta hyperbelillä olevat otetaan. Kaiken kaikkiaan saadaan D(x) = x + 2 x + 2 d x d x ( x d x d 2 d x ) d = (5.54) d. (5.55) Aluksi yhtälön (5.55) viimeiseen termiin sovelletaan aritmeettisen sarjan summaa seuraavasti. Olkoon x = x δ, 0 δ <, (5.56) jolloin 2 d x d = x 2 + x = x + ( 2δ) x + δ 2 δ. (5.57) Nyt toiseen termiin sovelletaan taas tulosta (5.25), joten D(x) x δ + 2x(log x + γ + O( )) x/2 x + (2δ ) x δ 2 + δ = (5.58) x log x + (2γ )x + O(x /2 ). (5.59) 40

5.2.2 Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo Lause 5.5. Σ (x) = k x σ(k) = π2 2 x2 + O(x log x). (5.60) Σ (x) x = π2 x + O(log x). (5.6) 2 Σ (x) x π2 x. (5.62) 2 Todistus. Määritelmän nojalla Tässä k = ad x ja siten Σ (x) = Σ (x) = k x a,d x, ad x d x x 2 2 σ(k) = k x a = a. (5.63) a k d x a x/d a = (5.64) ( x 2 x + 2 d ) (5.65) d d x d 2 + x 2 d x d. (5.66) Sovelletaan nyt tuloksia (5.25) ja (5.26), jolloin saadaan ( ) Σ (x) = x2 x 2 2 2 + ζ(2) + O(x 2 ) + (5.67) x (log x + γ + O( x ) 2 ) = (5.68) x 2 + x2 ζ(2) + O()+ (5.69) 2 4

x 2 log x + x γ + O() = (5.70) 2 ζ(2) 2 x2 + γ x log x + x + O() = (5.7) 2 2 π 2 2 x2 + O(x log x). (5.72) 5.2.3 Eulerin funktion keskiarvo Lause 5.6. Σ φ (x) = k x φ(k) = 3 π 2 x2 + O(x log x). (5.73) Σ φ (x) x = 3 x + O(log x). (5.74) π2 Σ φ (x) x 3 x. (5.75) π2 Todistus. Tuloksen (3.77) nojalla Tässä k = ad x ja siten Σ φ (x) = Σ φ (x) = k x a,d x, ad x d x d x μ(d) 2 μ(d) 2 φ(k) = k x μ(d)a = ( x d x d 2 + x d μ(d) k d. (5.76) d k μ(d) a x/d a = (5.77) ) = (5.78) ( (x ) ) 2 d δ x d + d δ d = (5.79) 42

d x μ(d) 2 ( x d) 2 + d x μ(d) 2 (( 2δ d ) x ) d + δ2d δ d = (5.80) x 2 2 d x μ(d) d 2 + d x ( ( x ) O + O() d) (5.8) sillä μ(d) ja 0 δ d <. Ensimmäiseen summaan käytetään tulosta (5.85) ja toiseen jälleen kerran tulosta (5.25), jolloin saadaan Σ φ (x) = x2 2 ( 6 π 2 + O ( )) + O(x log x) + O(x) = (5.82) x Aputulos: Tuloksen (6.50) nojalla 3 π 2 x2 + O(x log x). (5.83) k x μ(k) k 2 = 6 π 2 k>x μ(k) k 2 = (5.84) ( ) 6 π + O = 6 ( ) 2 k 2 π + O. (5.85) 2 x k>x 5.2.4 Möbiuksen funktion keskiarvo Triviaalisti saadaan ja vähemmän triviaalisti Σ μ (x) = k x μ(k) = O(x). (5.86) Σ μ (x) = μ(k) = O(x /2 ). (5.87) k x 43

6 Dirichlet n sarjat 6. Formaalit Dirichlet n sarjat Määritelmä 6.. Olkoon s = σ + it C. Olkoon f A aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan F (s) = f(k). (6.) ks Sarja F (s) on Dirichlet n sarja. Käytetään vielä merkintää D kaikkien Dirichlet n sarjojen joukolle. Tarkastellaan aluksi formaaleja Dirichlet n sarjoja, joille määritellään identtisyys, yhteenlasku ja kertolasku seuraavasti. Määritelmä 6.2. Olkoon s = σ + it C annettu ja olkoot F (s) = Asetetaan identtisyys f(k) k s, G(s) = g(k) k s D(s). (6.2) summa ja tulo F (s) = G(s) f(k) = g(k) k Z + ; (6.3) F (s) + G(s) = F (s) G(s) = f(k) + g(k) k s ; (6.4) (f g)(k) k s. (6.5) Lause 6.. (D(s), +, ) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, missä nollaalkio on ja ykkös-alkio on 0(k) k s, 0(k) = 0 k Z+ ; (6.6) e(k). (6.7) ks 44

Käytetään merkintöjä 0 = 0(s) = = (s) = 0(k) k s D(s); (6.8) e(k) k s D(s). (6.9) Koska niin käytetään merkintöjä f(k) k s f (k) k s = e(k) k s =, (6.0) F (s) = f (k) k s = F (s) ; (6.) Edelleen, Dirichlet n sarjan derivaatta on G(s) F (s) = G(s) F (s). (6.2) F (s) = f(k) log k k s. (6.3) Olkoon ζ(s) = k s D(s) (6.4) Riemannin zeta-funktion formaali sarja-esitys ja merkitään vielä Lause 6.2. M(s) = μ(k) k s D(s). (6.5) μ(k) k s = ζ(s) ; (6.6) φ(k) k s = ζ(s ) ; (6.7) ζ(s) 45

λ(k) k s = ζ(2s) ζ(s) ; (6.8) σ a (k) k s = ζ(s)ζ(s a); (6.9) d(k) k s = ζ(s) 2 ; (6.20) Λ(k) k s = ζ (s) ζ(s). (6.2) Huom: Lauseen 6.2 identiteetit ovat formaaleja, joista saa lukujen välisiä identiteettejä kunhan kaikkien kyseissä yhtälössä esiintyvien sarjojen suppeneminen on yhtäaikaista. Todistus: (6.6): Lasketaan ζ(s) M(s) = I(k) k s μ(k) k s = (6.22) (I μ)(k) k s = (6.7): Käytetään tulosta (3.76), jolloin φ(k) k s = μ(k) k s e(k) k s =. (6.23) (μ N)(k) k s = (6.24) k = (6.25) ks M(s) ζ(s ) = ζ(s ). (6.26) ζ(s) 46

(6.8): Käytetään nyt tulosta (3.49), jolloin λ(k) k s = μ(k) k s M(s) (6.9): Tässä tuloksen (3.8) nojalla (μ δ )(k) k s = (6.27) δ (k) k s = (6.28) δ (l 2 ) l 2s = (6.29) ζ(2s). (6.30) ζ(s) σ a (k) k s = (I N a )(k) k s = (6.3) k k a = (6.32) s ks ζ(s) ζ(s a). (6.33) (6.2): Tässä tuloksen (3.86) nojalla Λ(k) k s = μ(k) k s (μ log())(k) k s = (6.34) log(k) k s = (6.35) ζ(s) ( ζ (s)). (6.36) 47

6.2 Suppenevat Dirichlet n sarjat Olkoon s = σ + it C ja k Z +. Tutkitaan potensiin k s päähaaraa. Aluksi k s = e s log k = e σ log k e it log k = k σ e it log k, (6.37) joten k s = k σ. (6.38) Määritellään kompleksitasoon (oikeanpuoleiset) avoimet ja suljetut puolitasot σ > a, σ a; a R. (6.39) Koska σ a k a k σ, (6.40) niin Lause 6.3. Jos sarja f(k) k s f(k) k a. (6.4) F (s) = f(k) k s (6.42) suppenee itseisesti, kun s = a + it, niin F (s) suppenee itseisesti puolitasossa σ a. 6.2. Riemannin ζ-funktio Riemannin sarja ζ(s) = k s (6.43) suppenee itseisesti puolitasossa σ > ja hajaantuu, kun s = + it. Määritelmä 6.3. Sarja ζ(s) = määrittelee Riemannin zeta-funktion, kun σ >. k s (6.44) 48

6.3 Formaalista suppenevaan Jotta formaalien sarjojen identiteetit saataisiin siirtää suppenevien sarjojen puolelle, niin tarvitaan formaalien ja suppenevien sarjojen tuloille yhteys. Olkoot ja F (s) = f(k) k s, G(s) = H(s) = F (s) G(s) = g(k) k s D(s) (6.45) (f g)(k) k s D(s). (6.46) Tällöin evaluaatiohomomorfismin (antaa arvon sarjalle) avulla voidaan osoittaa seuraava tulos. (Todistus sivuutetaan.) Lause 6.4. Jos F (s), G(s) ja H(s) suppenevat itseisesti puolitasossa σ a, niin F (s)g(s) = H(s) s = σ + it C, σ a. (6.47) Sovellus: Koska ζ(s) M(s) = (6.48) niin sarjojen arvoille saadaan ζ(s)m(s) = s = σ + it C, σ >. (6.49) Erityisesti saadaan M(2) = μ(k) k 2 = ζ(2) = 6 π 2. (6.50) Edelleen saadaan seuraava yksikäsitteisyystulos (vastaten Taylorin sarjojen tulosta, katso Lang: Complex Analysis). Lause 6.5. Olkoot F (s) ja G(s) itseisesti suppenevia Dirichlet n sarjoja puolitasossa σ a. Olkoon vielä F (s j ) = G(s j ) s j = σ j + it j, #(s j ) =, (6.5) 49

missä Tällöin σ j, (6.52) f(k) = g(k) k Z +. (6.53) 6.4 Eulerin tulot Lause 6.6. Olkoon f M, tällöin f(k) = + f(p) + f(p p P( 2 ) +...) (6.54) ja jos f C, niin Tuloksien ja nojalla saadaan f(k) = f(p). (6.55) p P f M f M (6.56) N s f C f C, (6.57) N s Lause 6.7. Olkoon f M, tällöin f(k) = ( + f(p) + f(p2 ) +...) (6.58) k s p s p 2s p P ja jos f C, niin SEURAUKSIA: ζ(s) = f(k) k s = p P. (6.59) f(p)p s k =, σ >. (6.60) s p s p P M(s) = μ(k) k s = ( p s ), σ >. (6.6) p P 50

7 Alkulukulause Määritelmä 7.. Alkulukufunktio π(x) = #{p P x } (7.) Lause 7.. Olkoon π(n) n log n. (7.2) P = {p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,...} (7.3) eli p n on n:s alkuluku. Lause 7.2. p n n log n. (7.4) Voidaan todistaa, että Lauseet 7. ja 7.2 ovat yhtäpitäviä. Edelleen voidaan todistaa efektiiviset arviot Lause 7.3. Lause 7.4. n 6 log n < π(n) < 6 n log n. (7.5) 6 n log n < p n < 2(n log n + n log(2/e)). (7.6) Tuloksen (7.6) avulla saadaan välttömästi 30 n k log k n p k 6 n k log k, (7.7) josta edelleen ja n p P p = (7.8) ( n ) = O, (7.9) p k k log k 5

7. Kohti Alkulukulauseen todistusta Tuloksesta M() = μ(k) k jonka todistus on haastava, seuraa Alkulukulause. = 0, (7.0) 8 Vielä zeta-funktiosta Tulos ζ(s) = 2 s ( ) k+ k s (8.) antaa ζ-funktion analyyttisen (meromorfisen) jatkeen puolitasoon σ > 0. Edelleen, funktionaaliyhtälön ζ(s) = χ(s)ζ( s), χ(s) = 2 s π s sin(sπ/2)γ( s), (8.2) avulla ζ-funktio voidaan laajentaa analyyttisesti (meromorfisesti) koko kompleksitasoon. Nollakohdat: A) Triviaalit ovat 2Z + ; ζ( 2) = ζ( 4) = ζ( 6) =... = 0. (8.3) B) Kaikille muille pätee: 0 < σ <. (8.4) C) Riemannin hypoteesi: ζ(σ + it) = 0, 0 < σ < σ = 2. (8.5) LOPPU. 52