pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES

Transkriptio

1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES S LUKUTEORIA B (Matematiikan syventävä 5op) Tapani Matala-aho. VÄLIKOE MA klo 4 8 Koealue.-2. eli Bellin sarjoihin=3. asti. 2. Välikoe ma klo 4 8 Loppukoesalissa. Koealue (Kappaleet 6 ja 7 eivät kuulu koealueeseen). HUOM: Ti tiedostoon on tehty useita lisäyksiä. LÄHTEITÄ: T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers.

2 K. H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web 0-

3 Sisältö Merkintöjä Aritmeettiset funktiot Valikoituja aritmeettisia funktioita Potenssifunktiot Kertoma Konvoluution identiteetti Eulerin funktio Möbiuksen funktio Tekijäfunktiot Alkutekijäfunktiot Liouvillen funktio Tuloksia Eulerin funktio Möbiuksen funktio

4 2.3 Konvoluutiotulo Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia Mangoldtin funktio Multiplikatiiviset funktiot Sovelluksia Eräs Möbius-inversion yleistys Derivaatta Bellin sarjat Formaalit sarjat Bellin sarjat (mod p) Sovelluksia Analyyttisen lukuteorian alkeita Työkaluja Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo

5 4.2.3 Eulerin funktion keskiarvo Möbiuksen funktion keskiarvo Dirichtlet n sarjat Formaalit Dirichtlet n sarjat Suppenevat Dirichtlet n sarjat Riemannin ζ-funktio Formaalista suppenevaan Eulerin tulot Alkulukulause Kohti Alkulukulauseen todistusta Vielä zeta-funktiosta

6 Merkintöjä Olkoon R-ykkösellinen rengas. Määritelmä.. Joukko R = {yksiköt} = {u R u R : uu = } = on renkaan R yksikköryhmä. (.) Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. 2 Aritmeettiset funktiot Olkoon B = ja R kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Tällöin kuvaukset f : B R (2.) 0-5

7 muodostavat kommutatiivisen ykkösellisen renkaan (F(B, R), +, ), missä (f + g)(x) = f(x) + g(x), x B (2.2) (f g)(x) = f(x)g(x), x B (2.3) määrittelevät kuvausten normaalit yhteenlaskun ja kertolaskun. Lisäksi voidaan määritellä skalaarilla r R kertominen (r f)(x) = rf(x), x B, (2.4) jolloin saadaan algebra-rakenne. Täten sanotaankin, että F(B, R) on funktioalgebra. Määritelmä 2.. Kuvaukset f : Z + C (2.5) ovat aritmeettisia funktioita ja A = F(Z +, C) on aritmeettisten funktioiden joukko. 0-6

8 2. Valikoituja aritmeettisia funktioita Olkoon seuraavassa α C ja n = p a pa k k, p i P luvun n Z + alkutekijäkehitelmä. 2.. Potenssifunktiot Määritelmä 2.2. N α (n) = n α n Z +. (2.6) Erityisesti N(n) = n n Z + ; (2.7) N 0 (n) = I(n) = n Z +. (2.8) 0-7

9 2..2 Kertoma Määritelmä 2.3. n! = n k n Z +. (2.9) 2..3 Konvoluution identiteetti Määritelmä 2.4. e(n) = n =, jos n = ; 0, jos n 2. (2.0) 2..4 Eulerin funktio Määritelmä 2.5. φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (2.) 0-8

10 2..5 Möbiuksen funktio Määritelmä 2.6. μ(n) =, jos n = ; ( ) k, jos a =... = a k = ; 0, muutoin; (2.2) 2..6 Tekijäfunktiot Määritelmä 2.7. Tekijäfunktiot σ α (n) = d n d α. (2.3) Tekijäsumma σ(n) = d n d. (2.4) Tekijäfunktio d(n) = σ 0 (n) = d n. (2.5) 0-9

11 2..7 Alkutekijäfunktiot Määritelmä 2.8. Radikaali rad(n) = jos n = ; p jos n 2; p n (2.6) Pikku omega ω(n) = 0 jos n = ; jos n 2; p n (2.7) Iso omega Ω(n) = 0 jos n = ; k a j jos n 2; j= (2.8) 2..8 Liouvillen funktio Määritelmä 2.9. λ(n) = ( ) Ω(n). (2.9) 0-0

12 2.2 Tuloksia 2.2. Eulerin funktio φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (2.20) Lause 2.. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (2.2) Todistus: Algebra I. Lause 2.2. φ(p m ) = p m ( p ) = pm p m, p P, m Z +, (2.22) Laskarit: tehtävä 3. 0-

13 Lause 2.3. φ(n) = n p n( ) eli (2.23) p φ(n) = p a... pa k k ( p ) ( p k ) (2.24) Lause 2.4. φ(d) = N(n) n Z +. (2.25) d n Tod: Merkitään F (n) = d n φ(d). (2.26) Aluksi saadaan Olkoon p k P Z+. Lasketaan F () =. (2.27) F (p k ) = d p k φ(d) = 0-2

14 φ(d) = d=p m,0 m k φ() + φ(p) + φ(p 2 ) φ(p k ) = +p +p 2 p+p 3 p p k p k 2 +p k p k = p k. (2.28) Eli F (p k ) = p k. (2.29) Olkoon seuraavaksi n m. Määrätään F (nm) = φ(d) = d nm φ(d d 2 ), d d 2 nm d n, d 2 m (2.30) Toisaalta F (n)f (m) = φ(d ) φ(d 2 ) = d n d 2 m φ(d )φ(d 2 ) = d,d 2 0-3

15 d d 2 nm φ(d d 2 ). (2.3) Siten F (nm) = F (n)f (m) n m. (2.32) Vielä F (n) = F (p a pa k k ) = (2.33) F (p a ) F (pa k k ) = pa pa k k = n. (2.34) Möbiuksen funktio μ(n) =, jos n = ; ( ) k, jos a =... = a k = ; 0, muutoin; (2.35) 0-4

16 Huomaa, että μ(n) = 0, b 2 n, b Z 2. (2.36) Eli Möbiuksen funktio on nolla, jos n:llä on neliötekijä jos n:llä on alkuluvun neliö tekijänä eli μ(n) = 0, p 2 i n, p i P. (2.37) Lause 2.5. μ(d) = e(n) n Z +. (2.38) d n Todistus: Lasketaan μ(d) = μ() + μ(p ) μ(p k )+ d n μ(p p 2 ) μ(p k p k ) μ(p p 2 p k p k ) = (2.39) 0-5

17 + ( ) k ( ) + ( ) k ( ) ( ) k = 0 k = =, n = ; 0, n 2. ( ) k ( ) k = (2.40) k, k = 0; 0, k. (2.4) = e(n). (2.42) 2.3 Konvoluutiotulo Määritellään vielä yksi laskutoimitus aritmeettisten funktioiden algebraan. Määritelmä 2.0. Konvoluutio- eli Dirichlet n tulo. Olkoot f, g A jolloin asetetaan (f g)(n) = f(a)g(b) n Z +. (2.43) ab=n 0-6

18 ESIM: Olkoon n = 2. Tällöin summataan kaikien tekijäparien (a, b) = (, 2), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (2, ) (2.44) yli, joten (f g)(2) = f(a)g(b) = f()g(2)+ ab=2 f(2)g(6)+f(3)g(4)+f(4)g(3)+f(6)g(2)+f(2)g(). (2.45) Lause 2.6. Olkoot f, g, h A. Tällöin f g A; (2.46) f (g h) = (f g) h; (2.47) 0-7

19 f g = g f; (2.48) e f = f e = f; (2.49) Jos f() = 0, niin on olemassa sellainen g A, että f g = g f = e. (2.50) Todistus. (2.46). Määritelmän (2.96) nojalla f g : Z + C. (2.5) (2.47). Lasketaan (f (g h))(n) = f(a)(g h)(d) = (2.52) ad=n f(a) g(b)h(c) = (2.53) ad=n bc=d 0-8

20 f(a)g(b)h(c) = (2.54) abc=n ec=n( ab=e f(a)g(b))h(c) = (2.55) (f g)(e)h(c) = ((f g) h)(n). (2.56) ec=n (2.48). Harjoitus. (2.49). Laskemalla saadaan (e f)(n) = e(a)f(b) = ab=n e()f(n) + e(a)f(b) = f(n) n Z +. a 2,ab=n (2.57) (2.50). Olkoon f() = 0 ja g() = f() (f g)() = e(). (2.58) 0-9

21 Olkoon sitten n Z 2. Tehdään induktio-oletus, että funktio g, jolle pätee g(k) k n (2.59) ja (f g)(k) = e(k) k n. (2.60) Seraavaksi pitäisi olla (f g)(n) = e(n) f(a)g(b) = 0 (2.6) g(n) = f() Asetetaan siis g(n) = f() ab=n ab=n,b n ab=n,b n f(a)g(b). f(a)g(b), (2.62) joka on hyvin määritelty induktio-oletuksen (2.59) nojalla. Tällöin saadaan (f g)(n) = ab=n f(a)g(b) = 0-20

22 f()g(n) + f(a)g(b) = (2.63) ab=n,b n Nyt kaavan (2.62) nojalla (f g)(n) = f() f() ab=n,b n f(a)g(b) (2.64) + f(a)g(b) = 0. (2.65) ab=n,b n Siten induktiolla (2.50) kunnossa. Ominaisuuksien (2.46), (2.47), (2.48), (2.49) nojalla (A, ) on kommutatiivinen monoidi. Edelleen (A, +, ) (2.66) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Olkoon A 0 = {f A f() = 0}. (2.67) 0-2

23 Lause 2.7. Tällöin ominaisuuksien ( ) nojalla (A 0, ) (2.68) on kommutatiivinen ryhmä Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia Suoraan määritelmästä saadaan seuraavat esitysmuodot konvoluutiotulolle. (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) = d n f( n d )g(d) n Z+. (2.69) Erikoistapauksesa, missä g = I (vakiofunktio I(n) = ), saadaan (f I)(n) = d n f(d) = d n f( n d ) n Z+. (2.70) Soveltamalla tuloksia (2.38) ja (2.70) saadaan (μ I)(n) = d n μ(d) = e(n) n Z +, (2.7) 0-22

24 josta μ I = e μ = I I = μ. (2.72) Lause 2.8. Möbiuksen inversio. Olkoot f, g A, tällöin f(n) = d n g(d) (2.73) g(n) = d n μ(d)f ( n d ) (2.74) aina, kun n Z +. Todistus. Lausekkeesta (2.73) saadaan f = g I g = I f = μ f, (2.75) josta saadaan (2.74). Vastaavasti Vice Versa. Lause 2.9. φ(n) = μ(b)n(c), n Z +. (2.76) bc=n 0-23

25 eli φ(n) = d n μ(d) n d = d n μ( n d )d, n Z+. (2.77) Todistus. Tuloksien (2.25) ja (2.70) nojalla (φ I)(n) = d n φ(d) = N(n) n Z + (2.78) eli φ I = N φ = I N = μ N. (2.79) Tästä φ(n) = (μ N)(n) = d n μ(d) n d n Z+. (2.80) Lause 2.0. Olkoon k N. Tällöin σ k = N k I. (2.8) Todistus. Määritelmän mukaan σ k (n) = d n d k = d n N k (d)i ( n d ) = 0-24

26 (N k I)(n) n Z +. (2.82) Seurauksia: d = I I, σ = N I = φ d, N = σ μ. (2.83) Todistetaan laskareissa Mangoldtin funktio Määritelmä 2.. Λ(n) = log p, jos n p Z+, p P; 0, muutoin; (2.84) Esim. Λ() = 0, Λ(2) = log 2, Λ(3) = log 3, Λ(4) = log 2, Λ(5) = log 5, Λ(6) = log, Λ(7) = log 7, Λ(8) = log 2, 0-25

27 Λ(9) = log 3, Λ(0) = log. (2.85) Lause 2.. Olkoon n Z +. Tällöin log n = d n Λ(d). (2.86) Todistus. Tapaus n = selvä. Olkoon sitten n Z 2. Toisaalta log n = Λ(d) = d n k a i log p i. (2.87) i= k i= a i r= Λ(p a i i ) = (2.88) k i= a i r= Siten (2.86) kunnossa. log(p i ) = k a i log(p i ). (2.89) i= Lause 2.2. Olkoon n Z +. Tällöin Λ(n) = d n μ(d) log(d). (2.90) 0-26

28 Todistus. Yhtälön (2.86) nojalla log = Λ I Λ = μ log, (2.9) josta Λ(n) = d n μ(d) log( n d ) = (2.92) log n d n μ(d) d n μ(d) log(d) = d n μ(d) log(d). (2.93) 2.4 Multiplikatiiviset funktiot Useat aritmeettiset funktiot säilyttävät kokonaislukujen kertolaskurakennetta osittain tai kokonaan. Tällöin kyseessä ovat multiplikatiiviset tai täydellisesti multiplikatiiviset funktiot. Määritelmä 2.2. Olkoon f A {0}. Jos f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + m n, (2.94) 0-27

29 niin f on multiplikatiivinen funktio. Asetetaan tällöin M = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) Edelleen, jos f A {0} ja m, n Z + m n}. (2.95) f(mn) = f(m)f(n) m, n Z +, (2.96) niin f on täydellisesti multiplikatiivinen funktio. Asetetaan vielä C = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + }. (2.97) Lause 2.3. f M f() = ; (2.98) f, g M f g M; (2.99) 0-28

30 f g, g M f M; (2.00) f M f M; (2.0) (M, ) (A 0, ) (2.02) eli multiplikatiiviset funktiot muodostavat aritmeettisten funktioiden aliryhmän. että Todistus. (2.98): Koska f = 0, niin sellainen b Z +, 0 = f(b) = f(b ) = f(b)f() f() =. (2.99): Olkoon m n. Laskemalla (f g)(mn) = d mn (2.03) f(d)g( mn d ) = (2.04) 0-29

31 a m,b n,a b f(ab)g( mn ab ) = (2.05) f(a)f(b)g( m a )g(n b ) = (2.06) a m b n a m f(a)g( m a ) b n f(b)g( n b ) = (f g)(m)(f g)(n). (2.07) (2.00): Tehdään vastaoletus, että f / M. Tällöin sellaiset m n, että f(mn) = f(m)f(n) (2.08) ja mn pienin mahdollinen. Aluksi tapaus mn = m = n = f() = f()f() (2.09) 0-30

32 f() = (f g)() = f()g() = f() =. Ristiriita, koska f g M. Olkoon, sitten mn 2. Tällöin laskemalla (f g)(mn) = d mn (2.0) f(d)g( mn d ) = (2.) a m,b n,a b,ab<mn f(ab)g( mn ab ) + f(mn)g() = (2.2) f(a)f(b)g( m a )g(n b ) f(m)f(n)+f(mn) = a m,b n,a b (2.3) (f g)(m)(f g)(n) f(m)f(n) + f(mn) (2.4) 0-3

33 Yhtälöistä (2.), (2.4) ja (2.08) saadaan (f g)(mn) (f g)(m)(f g)(n) = Ristiriita! Joten f M. f(m)f(n) + f(mn) = 0. (2.5) (2.0): Nyt f M. Koska e M, niin e = f f M. (2.00) f M. (2.6) (2.02): Kohtien (2.99) ja (2.0) nojalla M on ryhmän A 0 aliryhmä. ESIM. φ, μ M, φ, μ C. (2.7) e, I, N k, λ C. (2.8) 0-32

34 f, g M fg, f/g M. (2.9) Lause 2.4. C M A 0. (2.20) Lause 2.5. Olkoon f() =. Tällöin f M f( f C f( aina, kun n = k i= Olkoon f M, tällöin k i= k i= p a i i Z +. p a i i ) = k i= p a i i ) = k i= f(p a i i ); (2.2) f(p i ) a i (2.22) f C f(p a ) = f(p) a (2.23) aina, kun n = p a p Z+, p P. 0-33

35 Aluksi Todistus. (2.2): " "Suoraan määritelmästä induktiolla. p a pa 2 2 f(p a pa 2 2 ) = f(pa )f(pa 2 2 ). (2.24) " "Olkoot m = k i= p a i i n = l j= q b j j. (2.25) Tällöin f(mn) = f( k i= p a i i l j= q b j j ) = k i= f(p a i i ) l j= f(q b j j ) = f( k i= p a i i )f( l j= q b j j ) = f(m)f(n). (2.26) Kohtien (2.22) ja (2.23) todistukset: Laskarit. Lause 2.6. Olkoon f M, tällöin f C f = μ f. (2.27) 0-34

36 Todistus. " ". Laskemalla ((μ f) f)(n) = d n μ(d)f(d)f( n d ) = (2.28) f(n) d n μ(d) = f(n)e(n) = e(n). (2.29) " ". Olkoon f = μ f. Siten (μ f) f = e, josta e(p a ) = ((μ f) f)(p a ) = d p a μ(d)f(d)f( n d ) = (2.30) a μ(p j )f(p j )f(p a j ) (2.3) j=0 0 = μ()f()f(p a ) + μ(p)f(p)f(p a ) (2.32) f(p a ) = f(p)f(p a ) =... = f(p) a. (2.33) 0-35

37 Koska f M, niin kohdan (2.23) nojalla f C. ESIM: N C N = μ N. (2.34) Lause 2.7. Olkoon h M, tällöin μ(d)h(d) = h(p)). (2.35) p n( d n Todistus. Merkitään g(n) = d n μ(d)h(d). (2.36) Osoitetaan aluksi, että g M, laskemalla (kuten kohdassa (2.99)) g(mn) = a m,b n,a b μ(ab)h(ab) = (2.37) a m μ(a)h(a) b n μ(b)h(b) = g(m)g(n). (2.38) 0-36

38 Olkoon seuraavassa p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = μ(d)h(d) = μ()h()+μ(p)h(p) = h(p). d p a (2.39) Käytettäen tulosta (2.2) saadaan k g( i= p a i 2.4. Sovelluksia k i ) = ( h(p i )). (2.40) i= Laskarit tehtävä 7: φ (n) = d n dμ(d). (2.4) Tuloksen (2.4) nojalla φ (n) = d n μ(d)h(d), h(d) = d, (2.42) joten (2.35) antaa φ (n) = p n( p). (2.43) 0-37

39 Kerrataan tässä, että μ(n) = ( ) ω(n) = ( ) k, jos 0, jos ω(n) = Ω(n); ω(n) = Ω(n); (2.44) ja λ(n) = ( ) Ω(n) = ( ) k j= a j (2.45) kun n = p a pa k k, p i P. (2.46) Edelleen n = 2 a i a i ; a l : 2 a l ; (2.47) eli n on kokonaisluvun neliö täsmälleen silloin, kun kaikki alkuesityksen (2.46) eksponentit ovat parillisia. 0-38

40 Määritellään vielä funktio δ seuraavasti, jos m = = l 2 ; δ (m) = 0, jos m = = l 2. (2.48) Lause 2.8. λ(d) = δ (n) (2.49) d n ja λ = μ 2. (2.50) Todistus. Merkitään g(n) = d n λ(d) g = λ I g M (2.5) Olkoon taas p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = d p a λ(d) = λ() + λ(p) λ(p a ) = 0-39

41 + ( ) + ( ) ( ) a jos 2 a; = 0 jos 2 a; Koska g M, niin (2.52) g(n) = k i= g(p a i i ). (2.53) ) Olkoon n =. Tällöin g(p a i ) = i g(n) =. (2.54) 2) Olkoon n =. Tällöin a l : 2 a l g(p a l ) = 0 g(n) = 0. (2.50): Koska λ C, niin Lauseen 2.6 nojalla (2.55) λ = μ λ. (2.56) 0-40

42 Seuraavaksi, jos μ(n) = 0 μ(n)λ(n) = 0 μ(n)λ(n) = μ(n) 2 ; (2.57) ja jos μ(n) = 0 ω(n) = Ω(n) λ(n) = ( ) ω(n) = μ(n) μ(n)λ(n) = μ(n) 2. (2.58) LISÄÄ SOVELLUKSIA: Todistetaan Lauseet 2.4 ja 2.5 käyttäen konvoluutiotuloa Lauseen 2.8 tapaan. Lauseen 2.5. Uusi todistus: Merkitään V (n) = d n μ(d) V = μ I M. (2.59) 0-4

43 Lasketaan vielä V (p a ) = μ() + μ(p) μ(p a ) (2.60) =, a = 0 = = 0, a (2.6) Tuloksen (2.2) nojalla V (n) = V ( = k i=, n = 0, n 2 p a i i ) = k i= Lauseen 2.4. Uusi todistus: Merkitään V (p a i i ) (2.62) = e(n). (2.63) G(n) = d n φ(d) G = φ I M. (2.64) Lasketaan vielä G(p a ) = φ() + φ(p) φ(p a ) = p a. (2.65) 0-42

44 Tuloksen (2.2) nojalla G(n) = G( k i= p a i i ) = k i= G(p a i i ) = k i= p a i i = n = N(n). (2.66) Harjoitus 2. Aluksi tuloksen (2.66) nojalla φ I = N φ = μ N (2.67) n p n ( ) p = d n μ(d) n d (2.68) p n ( ) p = d n μ(d) d. (2.69) 2.5 Eräs Möbius-inversion yleistys Olkoon n Z + ja f : [0, ] C, (2.70) 0-43

45 jolloin käytetään merkintöjä F (n) = n f ( k n ), F = f k n ( ) k. (2.7) n Välittömästi saadaan, että F, F A. Lause 2.9. F = μ F, F = I F. (2.72) Todistus: Aluksi, jos k n, niin k n = a, a d, a d, d n, (2.73) d missä a/d on murtoluvun k/n supistettu esitys. Siten d f ( a d) = (2.74) F (n) = d n a=,a d F (d) = (F I)(n). (2.75) d n Sovellus: 0-44

46 Lause μ(n) = n,k n e i2πk/n, n Z +. (2.76) Todistus: Olkoon E(x) = e i2πx ja F (n) = n E ( ) k, F = E n k n ( ) k n n Z +. (2.77) Geometrisen sarjan summalla n n, a k jos a = ; = (2.78) a an a, jos a =. ja eksponenttifunktion laskusäännöillä saadaan n E ( ) k n = n E, jos n = ; 0, jos n 2; ( ) k = (2.79) n = e(n). (2.80) 0-45

47 Siispä F (n) = e(n) F = μ F = μ e = μ. (2.8) 2.6 Derivaatta Logaritmifunktion rajoitus positiivisiin kokonaislukuihin log : Z + C (2.82) on aritmeettinen funktio eli log A. Määritelmä 2.3. Aritmeettisen funktion f derivaatta f on aritmeettinen funktio f (n) = f(n) log n n Z +. (2.83) Huom: Jos f A, niin f A. ESIM: e (n) = e(n) log n = 0 n Z +. (2.84) 0-46

48 I (n) = I(n) log n = log n n Z +. (2.85) Λ I = I (2.86) Lause 2.2. Olkoot f, g A, tällöin f = f log 2 ; (2.87) (f + g) = f + g ; (2.88) (f g) = f g + f g ; (2.89) (f ) = f (f f), f() = 0. (2.90) Todistus laskareissa. 0-47

49 Lause Selbergin identiteetti. Olkoon n Z +, tällöin Λ(n) log n + d n Λ(d)Λ( n d ) = d n μ(d) log 2 ( n d ). (2.9) Todistus. Derivoidaan yhtälöä (2.86) puolittain, jolloin I = Λ I + Λ I = Λ I + Λ Λ I (2.92) I μ = Λ + Λ Λ Λ + Λ Λ = μ (log) 2. (2.93). VÄLIKOE-ALUE TÄHÄN ASTI. 0-48

50 3 Bellin sarjat Bellin sarjat ovat aritmeettisiin funktioihin liittyviä formaalisia sarjoja. 3. Formaalit sarjat Katso tarkemmin Lukuteoria I. Esim. Olkoon a C, tällöin saadaan Formaali Geometrinen sarja a n T n = n=0 at. (3.) 3.2 Bellin sarjat (mod p) Määritelmä 3.. Olkoot f A ja p P. Asettamalla f p (T ) = f(p n )T n (3.2) n=0 saadaan aritmeettisen funktion f Bellin sarja (mod p). 0-49

51 Huomaa, että formaalien sarjojen identtisyyden nojalla saadaan Bellin sarjojen identtisyys: f p (T ) = g p (T ) f(p k ) = g(p k ) k N. (3.3) Edelleen Lause 3.. Olkoot f, g M, tällöin f = g f p (T ) = g p (T ) p P. (3.4) Todistus. Olkoon f = g. Tällöin f(p k ) = g(p k ) k, p f p (T ) = g p (T ) p. (3.5) Olkoot sitten f p (T ) = g p (T ) p. Tästä f(p k ) = g(p k ) k, p (3.6) k i= f(p a i i ) = k 0-50 i= g(p a i i ). (3.7)

52 Koska f, g M, niin tuloksen (2.2) avulla f( k i= p a i i ) = g( k i= p a i i ) (3.8) f(n) = g(n) n Z + f = g. (3.9) Lause 3.2. Jos f C, niin f p (T ) = f(p)t. (3.0) Todistus. Lasketaan määritelmästä lähtien ja käytetään tuloksia (2.23) ja (3.), jolloin saadaan f p (T ) = f(p n )T n = f(p) n T n = n=0 n=0 f(p)t. (3.) ESIMERKKEJÄ: Lauseen 3.2 avulla saadaan N k p (T ) = p k T k N. (3.2) 0-5

53 I p (T ) = T. (3.3) λ p (T ) = + T. (3.4) e p (T ) = T 0 =. (3.5) Ja suoraan laskemalla μ p (T ) = T. (3.6) φ p (T ) = T pt. (3.7) (σ k ) p (T ) = T Lause 3.3. Olkoot f, g A ja p P, tällöin p k T. (3.8) (f g) p (T ) = f p (T )g p (T ). (3.9) 0-52

54 Todistus. Määrätään sarjojen tulo f p (T )g p (T ) = k=0 f(p r )T r r=0 s=0 r+s=k g(p s )T s = (3.20) ( ) f(p r )g(p s ) T k = (3.2) f(a)g(b) T k = (3.22) ab=p k k=0 (f g)(p k )T k = (f g) p (T ). (3.23) k= Sovelluksia A. Todistetaan uudella tavalla Lauseen (2.5) tulos μ(d) = e(n) n Z +. (3.24) d n Käytetään summalle merkintää V (n) = d n μ(d) V = μ I. (3.25) 0-53

55 Soveltamalla tulosta (3.9) saadaan V p (T ) = μ p (T )I p (T ) = e p (T ) p P, (3.26) missä V, e M, joten Lauseen 3. nojalla V = e d n μ(d) = e(n). (3.27) Ei tarvittu kombinatoriikkaa-vaan Teoria jyllää.. B. Vastaavasti saadaan Lauseen 2.4 tulos φ(d) = N(n) n Z +. (3.28) d n C. Todistetaan vielä (3.8) käyttäen tuloksia (2.8) ja (3.2) seuraavasti σ k = N k I (σ k ) p (T ) = (N k ) p (T )I p (T ) = T p k T. (3.29) 0-54

56 Edelleen, suoritetaan yhtälössä (3.29) osamurtoihinjako, jolloin (σ k ) p (T ) = p k ( p k p k T T ) = (3.30) p k ( p k n=0 (p k T ) n ) T n = (3.3) n=0 Toisaalta (σ k ) p (T ) = n=0 n=0 (p k ) n+ p k T n. (3.32) σ k (p n )T n σ k (p n ) = (pk ) n+ p k. (3.33) 4 Analyyttisen lukuteorian alkeita 4. Työkaluja log = ln Neperin logaritmi, siis log e =. 0-55

57 Olkoot seuraavissa määritelmissä g, f : R R reaaliarvoisia funktioita, joiden määrittelyalueet ovat M g, M f. Määritelmä 4.. Asymptoottisesti sama: f(x) g(x) lim x f(x) g(x) =. (4.) Harmooninen sarja H n = n k (4.2) esiintyy Eulerin gamman lausekeessa γ = lim n (H n log n) = (4.3) Tuloksesta (4.3) saadaan H n log n, (4.4) 0-56

58 sillä lim n H n log n = lim n H n log n log n + = γ + =. (4.5) Yleisemmin pätee, jos f(x) = g(x) + h(x), lim x h(x) g(x) = 0, (4.6) niin f(x) g(x). Määritelmä 4.2. O-symboli, O = "iso oo": Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. f(x) = O(g(x)) (4.7) on olemassa sellaiset vakiot B, C R +, että f(x) Cg(x), x M f M g, x B. (4.8) Asetetaan vielä f(x) O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)); (4.9) 0-57

59 ja f(x) = h(x) + O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)) (4.0) v(x)o(g(x)) = O(v(x)g(x)), v(x) > 0 x B. (4.) HUOM: Merkintä f(x) = O(g(x)) (4.2) on hieman harhaanjohtava, sillä tarkkaan ottaen pitäisi kirjoittaa f(x) O(g(x)) = {f(x) f(x) Cg(x)}. (4.3) Mutta (4.2) on sujuvampi käyttää kuin (4.3) ja siten vakiinnuttanut asemansa. 0-58

60 Lause 4.. Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. Tällöin f(x) < M x B f = O(). (4.4) f g f = O(g). (4.5) f g = O() f = O(g). (4.6) lim x f(x) g(x) < f = O(g). (4.7) f + f 2 = O max{o( f ), O( f 2 )} (4.8) f f 2 = O( f )O( f 2 ). (4.9) f = O(g), f 2 = O(g) f + f 2 = O(g) f f 2 = O(g 2 ) (4.20) 0-59

61 ESIM. a) n 2 + 2n 3 5 = O(n 4 ). (4.2) b) (n+8 log n)(0n log n+7n 2 ) = O(n) O(n 2 ) = O(n 3 ). (4.22) Määritelmä 4.3. Riemannin zeta-funktio ζ(s) = k s, s R >; (4.23) ζ(s) = lim x k x x s ks s, 0 < s <. (4.24) Lause 4.2. Olkoon x, tällöin k x k = log x + γ + O ( ). (4.25) x 0-60

62 k x x s = ks s +ζ(s)+o(x s ), 0 < s <, s >. k x k>x (4.26) k s = O(x s ), s >. (4.27) k a = xa+ a + + O(xa ), a 0. (4.28) ζ(2) = k 2 = π2 6. (4.29) Todistukseen tarvitaan seuraava tulos. Lause 4.3. Eulerin summauskaava. Olkoon 0 < y < x ja oletetaan, että funktiolla f : [y, x] R 0-6

63 on jatkuva derivaatta f välillä [y, x]. Tällöin f(k) = x f(t)dt + x (t t )f (t)dt+ y<k x y y f(x)( x x) f(y)( y y). (4.30) Todistus: Ei vaadita. Mutta huomaa, että (4.30) tarkentaa sarjojen integraalitestiä. Todistetaan Lauseen 4.2 kohta (4.25): Valitaan Eulerin summauskaavassa (4.30) f(t) = /t ja y =, jolloin k x k = + x dt t x (t t ) t 2 dt + x x x + log x + I(x) + O = (4.3) ( ), (4.32) x 0-62

64 missä I(x) = x t t t 2 dt t t t 2 dt = x t t t 2 dt+c. (4.33) Toinen integraali antaa vakion C. Arvioidaan ensimmäistä integraalia Siten 0 < x t t t 2 dt I(x) = O x ( ) x dt t 2 = x. (4.34) + C, (4.35) joka edelleen syötetään kohtaan (4.32), josta k x k k n = log x + C + + O ( x ). (4.36) Lasketaan vielä vakio C + ottamalla raja-arvo lim ( ( )) log n = lim C + + O n k n n (4.37) 0-63

65 = C + C + = γ. (4.38) Erityisesti saadaan k n k = log n + γ + O ( ), (4.39) n joka tarkentaa tulosta (4.3). Tässä log n + γ (4.40) on päätermi ja O ( ) n (4.4) on virhetermi. Arvioi tarkemmin virhetermiä: Laskarit. 4.2 Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja Olkoon a(n) aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan A(x) = k x a(k). (4.42) 0-64

66 Usein tutkitaan summafunktiota A(x) ja välillä [, x] olevaa keskiarvoa A(x) x = k x x a(k) (4.43) suurilla x:n arvoilla Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma Tekijäfunktion summafunktiolle pätee Lause 4.4. D(x) = d(k) = x log x + (2γ )x + O(x /2 ). k x (4.44) Välittömästi saadaan keskiarvolle arvio D(x) x = k x x d(k) = log x + 2γ + O(x /2 ). (4.45) 0-65

67 Edelleen saadaan asymptoottinen tulos D(x) x log x. (4.46) Tekijäongelma eli Divisor problem: Paina yhtälön (4.44) virhetermin eksponenttia /2 mahdollisimman alas. Tiedetään, että Inf /4 ja paras tunnettu on 2/37 (969). Lauseen 4.4 todistus. Määritelmän nojalla D(x) = d(k) = k x k x d k Tässä k = ad x ja siten D(x) = = a,d x, ad x d x a x/d KUVA: Piirrä a d-koordinaatisto.. (4.47). (4.48) Summassa (4.48) jokaisella d:n arvolla lasketaan a-akselin suuntaisella janalla olevat pisteet d-akselin suuntaiselta suoralta a = 0-66

68 hyperbelille ad = x. Niinpä D(x) = x x d d x d x d, (4.49) joten tuloksen (4.25) nojalla D(x) = x(log x + γ + O ( ) ) = (4.50) x x log x + γx + O() = x log x + O(x). (4.5) Tämä tulos ei vielä riitä. Parempi saadaaan, kun jaetaan alue suoralla d = a symmetrisiin osiin. Suora d = a leikkaa hyperbelin kohdassa a = d = x. Lasketaan janalla d = a olevat pisteet hyperbelille asti, joita on x. (4.52) Edelleen valitaan suoran ja hyperbelin alapuoliset pisteet, joita on d x ( x d ) d, (4.53) 0-67

69 sillä jokaisella d:n arvolla d x lasketaan a-akselin suuntaisella janalla suoran d = a ja hyperbelin ad = x välillä olevat pisteet, niin että suoralla olevia pisteitä ei oteta mukaan mutta hyperbelillä olevat otetaan. Kaiken kaikkiaan saadaan D(x) = x + 2 d x ( x d ) d = (4.54) x x + 2 d d x 2 d x d. (4.55) Aluksi yhtälön (4.55) viimeiseen termiin sovelletaan aritmeettisen sarjan summaa seuraavasti. Olkoon x = x δ, 0 δ <, (4.56) jolloin 2 d = x 2 + x = x+( 2δ) x+δ 2 δ. d x (4.57) 0-68

70 Nyt toiseen termiin sovelletaan taas tulosta (4.25), joten D(x) x δ + 2x(log x + γ + O( x /2 )) x + (2δ ) x δ 2 + δ = (4.58) x log x + (2γ )x + O(x /2 ). (4.59) Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo Lause 4.5. Σ (x) = k x σ(k) = π2 2 x2 + O(x log x). (4.60) Σ (x) x = π2 x + O(log x). (4.6) 2 Σ (x) x π2 x. (4.62)

71 Todistus. Määritelmän nojalla Σ (x) = k x σ(k) = k x a k a. (4.63) Tässä k = ad x ja siten Σ (x) = a,d x, ad x a = a = d x a x/d (4.64) d x 2 ( x d 2 + x d ) (4.65) x 2 2 d x d 2 + x 2 d x d. (4.66) Sovelletaan nyt tuloksia (4.25) ja (4.26), jolloin saadaan Σ (x) = x2 2 ( ) x ζ(2) + O(x 2 ) + (4.67) x 2 (log x + γ + O( x ) ) = (4.68) 0-70

72 x 2 + x2 ζ(2) + O()+ (4.69) 2 x 2 log x + x γ + O() = (4.70) 2 ζ(2) 2 x2 + 2 γ x log x + x + O() = (4.7) 2 π 2 2 x2 + O(x log x). (4.72) Eulerin funktion keskiarvo Lause 4.6. Σ φ (x) = k x φ(k) = 3 π 2 x2 + O(x log x). (4.73) Σ φ (x) x = 3 x + O(log x). (4.74) π2 0-7

73 Σ φ (x) x 3 x. (4.75) π2 Todistus. Tuloksen (2.77) nojalla Σ φ (x) = φ(k) = μ(d) k d. (4.76) k x k x d k Tässä k = ad x ja siten Σ φ (x) = μ(d)a = a,d x, ad x μ(d) a = d x a x/d (4.77) d x d x μ(d) 2 μ(d) 2 ( (x ( x d δ d d 2 + x d ) ) 2 x + d δ d ) = (4.78) = (4.79) d x μ(d) 2 ( x d ) 2+ d x μ(d) 2 (( 2δ d ) x d + δ2 d δ d ) (4.80) = 0-72

74 x 2 2 d x μ(d) d 2 + d x ( ( x ) O d ) + O() (4.8) sillä μ(d) ja 0 δ d <. Ensimmäiseen summaan käytetään tulosta (4.85) ja toiseen jälleen kerran tulosta (4.25), jolloin saadaan Σ φ (x) = x2 2 ( ( )) 6 π 2 + O + O(x log x) + O(x) = x (4.82) 3 π 2 x2 + O(x log x). (4.83) Aputulos: Tuloksen (5.50) nojalla k x ( 6 π 2 + O k>x μ(k) k 2 ) k 2 = 6 π 2 k>x = 6 π 2 + O ( x μ(k) k 2 = (4.84) ). (4.85) 0-73

75 4.2.4 Möbiuksen funktion keskiarvo Triviaalisti saadaan Σ μ (x) = ja vähemmän triviaalisti k x μ(k) = O(x). (4.86) Σ μ (x) = k x μ(k) = O(x /2 ). (4.87) 5 Dirichtlet n sarjat 5. Formaalit Dirichtlet n sarjat Määritelmä 5.. Olkoon s = σ + it C. Olkoon f A aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan F (s) = f(k). (5.) ks Sarja F (s) on Dirichtlet n sarja. Käytetään vielä merkintää D kaikkien Dirichtlet n sarjojen joukolle. 0-74

76 Tarkastellaan aluksi formaaleja Dirichtlet n sarjoja, joille määritellään identtisyys, yhteenlasku ja kertolasku seuraavasti. Määritelmä 5.2. Olkoon s = σ + it C annettu ja olkoot f(k) F (s) = k s, G(s) = g(k) k s D(s). (5.2) Asetetaan identtisyys F (s) = G(s) f(k) = g(k) k Z + ; (5.3) summa ja tulo F (s) + G(s) = F (s) G(s) = f(k) + g(k) k s ; (5.4) (f g)(k) k s. (5.5) Lause 5.. (D(s), +, ) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, missä nolla-alkio on 0(k) k s, 0(k) = 0 k Z+ ; (5.6) 0-75

77 ja ykkös-alkio on Käytetään merkintöjä e(k). (5.7) ks 0 = 0(s) = 0(k) k s D(s); (5.8) = (s) = e(k) k s D(s). (5.9) Koska f(k) k s f (k) k s = e(k) k s =, (5.0) niin käytetään merkintöjä F (s) = f (k) k s = F (s) ; (5.) G(s) F (s) = G(s) F (s). (5.2) 0-76

78 Edelleen, Dirichtlet n sarjan derivaatta on F (s) = f(k) log k k s. (5.3) Olkoon ζ(s) = k s D(s) (5.4) Riemannin zeta-funktion formaali sarja-esitys ja merkitään vielä M(s) = μ(k) k s D(s). (5.5) Lause 5.2. μ(k) k s = ζ(s) ; (5.6) φ(k) k s = ζ(s ) ; (5.7) ζ(s) λ(k) k s = ζ(2s) ζ(s) ; (5.8) 0-77

79 σ a (k) k s = ζ(s)ζ(s a); (5.9) d(k) k s = ζ(s) 2 ; (5.20) Λ(k) k s = ζ (s) ζ(s). (5.2) Huom: Lauseen 5.2 identiteetit ovat formaaleja, joista saa lukujen välisiä identiteettejä kunhan kaikkien kyseissä yhtälössä esiintyvien sarjojen suppeneminen on yhtäaikaista. Todistus: (5.6): Lasketaan ζ(s) M(s) = I(k) k s μ(k) k s = (5.22) (I μ)(k) k s = e(k) k s =. (5.23) 0-78

80 (5.7): Käytetään tulosta (2.76), jolloin φ(k) k s = (μ N)(k) k s = (5.24) μ(k) k s k = (5.25) ks M(s) ζ(s ) = ζ(s) ζ(s ). (5.26) (5.8): Käytetään nyt tulosta (2.49), jolloin λ(k) k s = (μ δ )(k) k s = (5.27) μ(k) k s δ (k) k s = (5.28) M(s) δ (l 2 ) l 2s = (5.29) ζ(s) ζ(2s). (5.30) 0-79

81 (5.9): Tässä tuloksen (2.8) nojalla σ a (k) k s = (I N a )(k) k s = (5.3) k s k a = (5.32) ks ζ(s) ζ(s a). (5.33) (5.2): Tässä tuloksen (2.86) nojalla Λ(k) k s = (μ log())(k) k s = (5.34) μ(k) k s log(k) k s = (5.35) ζ(s) ( ζ (s)). (5.36) 0-80

82 5.2 Suppenevat Dirichtlet n sarjat Olkoon s = σ + it C ja k Z +. Tutkitaan potensiin k s päähaaraa. Aluksi k s = e s log k = e σ log k e it log k = k σ e it log k, (5.37) joten k s = k σ. (5.38) Määritellään kompleksitasoon (oikeanpuoleiset) avoimet ja suljetut puolitasot σ > a, σ a; a R. (5.39) Koska σ a k a k σ, (5.40) niin f(k) k s f(k). (5.4) k a 0-8

83 Lause 5.3. Jos sarja F (s) = f(k) k s (5.42) suppenee itseisesti, kun s = a + it, niin F (s) suppenee itseisesti puolitasossa σ a Riemannin ζ-funktio Riemannin sarja ζ(s) = k s (5.43) suppenee itseisesti puolitasossa σ > ja hajaantuu, kun s = + it. Määritelmä 5.3. Sarja ζ(s) = k s (5.44) määrittelee Riemannin zeta-funktion, kun σ >. 0-82

84 5.3 Formaalista suppenevaan Jotta formaalien sarjojen identiteetit saataisiin siirtää suppenevien sarjojen puolelle, niin tarvitaan formaalien ja suppenevien sarjojen tuloille yhteys. Olkoot F (s) = f(k) k s, G(s) = g(k) k s D(s) (5.45) ja H(s) = F (s) G(s) = (f g)(k) k s D(s). (5.46) Tällöin evaluaatiohomomorfismin (antaa arvon sarjalle) avulla voidaan osoittaa seuraava tulos. (Todistus sivuutetaan.) Lause 5.4. Jos F (s), G(s) ja H(s) suppenevat itseisesti puolitasossa σ a, niin F (s)g(s) = H(s) s = σ + it C, σ a. (5.47) 0-83

85 Sovellus: Koska ζ(s) M(s) = (5.48) niin sarjojen arvoille saadaan ζ(s)m(s) = s = σ + it C, σ >. (5.49) Erityisesti saadaan M(2) = μ(k) k 2 = ζ(2) = 6 π 2. (5.50) Edelleen saadaan seuraava yksikäsitteisyystulos (vastaten Taylorin sarjojen tulosta, katso Lang: Complex Analysis). Lause 5.5. Olkoot F (s) ja G(s) itseisesti suppenevia Dirichtlet n sarjoja puolitasossa σ a. Olkoon vielä F (s j ) = G(s j ) s j = σ j + it j, #(s j ) =, (5.5) missä σ j, (5.52) 0-84

86 Tällöin f(k) = g(k) k Z +. (5.53) 5.4 Eulerin tulot Lause 5.6. Olkoon f M, tällöin f(k) = p P ja jos f C, niin Tuloksien ( + f(p) + f(p 2 ) +...) (5.54) f(k) = p P f(p). (5.55) f M f M (5.56) N s ja nojalla saadaan f C f C, (5.57) N s 0-85

87 Lause 5.7. Olkoon f M, tällöin f(k) k s = ( + f(p) p s + f(p2 ) p 2s +...) (5.58) p P ja jos f C, niin f(k) k s = p P. (5.59) f(p)p s SEURAUKSIA: ζ(s) = k s = p P, σ >. (5.60) p s M(s) = μ(k) k s = p P ( p s ), σ >. (5.6) 6 Alkulukulause Määritelmä 6.. Alkulukufunktio π(x) = #{p P x } (6.) 0-86

88 Lause 6.. Olkoon π(n) n log n. (6.2) P = {p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,...} (6.3) eli p n on n:s alkuluku. Lause 6.2. p n n log n. (6.4) Voidaan todistaa, että Lauseet 6. ja 6.2 ovat yhtäpitäviä. Edelleen voidaan todistaa efektiiviset arviot Lause n log n < π(n) < 6 n log n. (6.5) Lause n log n < p n < 2(n log n + n log(2/e)). (6.6) 0-87

89 Tuloksen (6.6) avulla saadaan välttömästi 30 n k log k n p k 6 n k log k, (6.7) josta edelleen ja n p P ( n = O p k p = (6.8) ), (6.9) k log k 6. Kohti Alkulukulauseen todistusta Tuloksesta M() = μ(k) k jonka todistus on haastava, seuraa Alkulukulause. = 0, (6.0) 0-88

90 7 Vielä zeta-funktiosta Tulos ζ(s) = 2 s ( ) k+ k s (7.) antaa ζ-funktion analyyttisen (meromorfisen) jatkeen puolitasoon σ > 0. Edelleen, funktionaaliyhtälön ζ(s) = χ(s)ζ( s), χ(s) = 2 s π s sin(sπ/2)γ( s), (7.2) avulla ζ-funktio voidaan laajentaa analyyttisesti (meromorfisesti) koko kompleksitasoon. Nollakohdat: A) Triviaalit ovat 2Z + ; ζ( 2) = ζ( 4) = ζ( 6) =... = 0. (7.3) 0-89

91 B) Kaikille muille pätee: 0 < σ <. (7.4) C) Riemannin hypoteesi: ζ(σ + it) = 0, 0 < σ < σ = 2. (7.5) LOPPU. 0-90