Hz = 277 Hz 3.8 SHOKKIAALTO

59 Esimerkki IV: Poliisiauto ajaa nopeudella v S = 45 m/s havaitsijan auton edellä. Havaitsijan nopeus on vl = 15m/s. Laske havaittu taajuus? Ratkaisu: Merkkisääntö sanoo, että molemmat nopeudet ovat positiivisia, ts. saman suuntaisia kuin etäisyys havaitsijasta lähteeseen. Tulee f L v + vl 34 + 15 = fs = 3 v + v 34 + 45 S Hz = 277 Hz 3.8 SHOKKIAALTO Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta, jossa lentokone liikkuu nopeudella v S synnyttäen ääniaaltoja, joiden nopeus on v. Lentokoneen edessä ääniaallot pakkautuvat yhteen ja niiden aallonpituus on Doppler-ilmiöstä tutun tarkastelun perusteella l = ( v -v S)/ fs. Tässä vs < v, ts. lentokone lentää ääntä hitaammin. Mitä tapahtuu, kun lähestytään äänen nopeutta? Kaavan mukaan aallonpituus lähenee nollaa ja aallot pakkautuvat yhä lähemmäksi toisiaan. Lentokone puristaa ilmaa kokoon edessään kohdis-

6 taen siihen suuren voiman. Ilma kohdistaa puolestaan lentokoneeseen yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman. Ilman vastus kasvaa näin voimakkaasti lentokoneen nopeuden lähestyessä äänen nopeutta. Tätä kutsutaan äänivalliksi. Kun lentokone on ylittänyt äänivallin ja sen nopeus on suurempi kuin äänen nopeus, ei koneen edessä olevan ääniaallon aallonpituutta ja taajuutta enää voida kuvata Doppler-ilmiön yhtälöillä. Kuvassa on esitetty poikkileikkauksena, mitä tällaisessa tilanteessa tapahtuu. Lentokoneen edetessä syntyy edelleen ääniaaltoja. Ääniaallot etenevät palloaaltoina siten, että jokaisen "äänipallon" keskipiste on siinä kohdassa, missä lentokone oli sillä hetkellä kun ääni syntyi. Ajan t kuluttua pisteestä S 1 matkaan lähtenyt aalto on levinnyt v t -säteiselle pallopinnalle ja lentokone on kulkenut matkan v S t paikkaan S 2. Eri kohdista matkaan lähteneet palloaallot ovat samassa vaiheessa pitkin kuvaan merkittyä viivaa ja näin vahvistavat toisiaan (konstruktiivinen interferenssi). Muodostuu hyvin voimakas ns. shokkiaalto-rintama, joka etenee äänen nopeudella.

61 Kuvan perusteella saadaan yhtälö vt v sina = = vst v. (3.5.1) S Suhdetta vs / v, joka kertoo lentokoneen nopeuden äänennopeuksina, sanotaan Machin luvuksi. Jos lentokone liikkuu ääntä nopeammin, Machin luku on suurempi kuin yksi. Esimerkki: Lentokone lentää ylitsesi (hetkellä t = ) 8 m:n korkeudella 1.75 Machin nopeudella. Kuinka pitkän ajan kuluttua kuulet shokkiaallon pamauksen, kun oletetaan, että äänen nopeus on 32 m/s ja se pysyy vakiona korkeudesta riippumatta. Ratkaisu: Shokkiaalto muodostaa lentokoneen taakse kartion ja pamaus kuuluu, kun shokkiaalto ohittaa kuulijan L. Kuva näyttää tilanteen sillä hetkellä, kun shokkiaalto saavuttaa kuulijan pisteessä L. Nopeudella v S lentävä lentokone on ehtinyt edetä ohituskohdasta matkan v. S t Kuvan geometrian ja yhtälön (3.5.1) avulla laskemme: 1 a = arcsin = 34.8. 1.75 Lentokoneen nopeus on ja kuvasta v S = 1.75 32 m/s = 56 m/s, 8m tana =, v S t

josta 62 8m t = = 2.5s. (56m/s) tan 34.8 Pamaus siis kuuluu 2.5 sekuntia sen jälkeen, kun lentokone on ohittanut kuulijan. Tänä aikana kone on lentänyt matkan (56m/s) (2.5s) = 11.5km. Muita shokkiaaltoja: - veneen keula-aallot - Cherenkov-säteily 3.9 RESONANSSI Käsite resonanssi liittyy energian siirtymiseen värähtelevien systeemien välillä. Värähtelevät systeemit värähtelevät niille ominaisilla normaalitaajuuksilla (normaalimuodoilla). Esimerkiksi kitaran kielen normaalimuotoja ja -taajuuksia tarkastelimme sivulla 31 ja vastaavia urkupillien normaalivärähdysmuotoja sivulla 51. Jos systeemiin syötetään lisäenergiaa muulla kuin systeemin omalla normaalitaajuudella, systeemi ei ota sitä vastaan. Resonanssitilanteessa syöttötaajuus on systeemin jokin normaalitaajuuksista ja energia siirtyy helposti systeemiin. Yksinkertainen koe kaiuttimella ja urkupillillä valaisee asiaa:

63 Viereisessä kuvassa avoin urkupilli on sijoitettu kaiuttimen viereen siten, että ääni kaiuttimesta voi edetä pillin sisään. Kaiutin lähettää puhdasta siniaaltoa, jonka taajuutta f voidaan säätää. Ilmapatsas pillin sisällä pakotetaan näin värähtelemään kaiuttimen lähettämällä taajuudella. Kun kaiuttimen taajuutta säädetään, äänen amplitudi putkessa on melko alhainen, paitsi silloin kun taajuus sattuu olemaan jokin putken normaalivärähdystaajuuksista (kuva b). Normaalivärähtystaajuuksilla putkessa oleva ilmapatsas on resonanssissa ulkoisen äänilähteen kanssa. Resonanssi-ilmiöitä havaitaan jatkuvasti jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi Koskilinjan bussin jokin penkeistä saattaa moottorin kierrosluvun vähetessä aloittaa yhtäkkiä hillittömän värähtelyn ja tärinän. Moottorin taajuus vastaa tällöin penkin normaalitaajuutta ja penkkiin siirtyy värähdysenergiaa tehokkaasti. Esimerkki: Suljettua urkupilliä soitetaan lähellä kitaraa, jolloin eräs kielistä alkaa värähdellä. Kielen pituus on 8% pillin pituudesta ja molemmat värähtelevät perustaajuuksillaan. Laske kielessä etenevän aallon nopeuden suhde äänen nopeuteen ilmassa.

64 Ratkaisu: æ v ö K Kieli ç fn = n 2 LK : è ø v = 2L f Pilli æ v ö Ä ç fn = n 4 LP : è ø v Ä = 4L P f P Resonanssi: fk = fp K K K n = 1, K = kieli n = 1, Ä = ääni, P = pilli vk 2LK fk 2 LK 1.8LP Lasketaan: = = = =.4 vä 4LPfP 4 LP 2 LP Esimerkki: Säädettävän pituinen suljettu pilli soi lähellä kitaran kieltä, jonka massa on 7.25 g ja pituus 85. cm. Kielen jännitys on 411 N. Kuinka pitkäksi pilli on säädettävä, jotta sen soidessa perusvärähdystaajuudella kielen toinen yliääni virittyisi soimaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 34 m/s. Ratkaisu: vk 3 F 3 F Kieli: f3 = 3 = =, n = 3 2 L 2 L m / L 2 ml Ä Pilli: f1 = v, n = 1 4LP Resonanssi: f1 = f3 vä 3 F Lasketaan: = 4L 2 ml P K K K K K -3 Þ L P 1 mlk = v 6 F Sijoitetaan: m = 7.25 1 kg L K =.85 m F = 411 N v = 34 Ä Tulee L P =.69388 m» 6.9 cm Ä

65 4 VALO Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valon luonne on kaksijakoinen: 1. Klassillisessa optiikassa valoa käsitellään sähkömagneettisena aaltona. Aaltokuvan avulla voidaan helposti selittää valon käyttäytyminen väliaineissa ja niiden rajapinnoilla. Myös interferenssi- ja diffraktioilmiöt ymmärretään helpommin aaltomallilla. 2. Hiukkasluonne, fotoni-kuva, on käyttökelpoinen, kun tarkastellaan valon ja materiaalin vuorovaikutusta atomaarisella tasolla. Atomien ja molekyylien energiat ovat kvantittuneita ja on käytännöllistä ajatella myös valon muodostuvan energiakvanteista. 4.1 HISTORIAA LYHYESTI Neljä ajanjaksoa: Antiikista keskiaikaan 16- ja 17-luku 18-luku 19-luvulta nykyaikaan Antiikista keskiaikaan Optiikan ja optisten laitteiden historiaa voidaan seurata aina varhaisantiikkiselle ajalle asti. Esimerkiksi hyväkuntoisia peilejä on löydetty Niilin laaksosta, muinaisen Egyptin ajalta jo 19 luvulta ekr. Kreikkalaiset filosofit, kuten Pythagoras (569-475), Demokritus (46-37), Platon (427-347) ja Aristoteles (384-322) kehittivät teorioita näkemisen luonteesta. Valon suoraviivainen eteneminen tun-

66 nettiin ja Euklides (325-265) postuloi, että näkösäteet ovat suoria viivoja ja esineiden näennäinen koko riippuu säteiden muodostamista kulmista. Joitakin esimerkkejä kehityksestä: - Roomalaiset käyttivät polttolaseja - Arabioppineet kehittivät heijastuslakia - 13-luvun maalauksissa esiintyy silmälasipäisiä munkkeja - Leonardo da Vinci (1452-1519) keksi camera obscuran - Giovanni Della Porta (1535-1615) tutki linssikombinaatioita Tähän päättyi optiikan kehityksen ensimmäinen aikakausi. Valon luonteeseen liittyviä keksintöjä ja ajatuksia syntyi enemmän tai vähemmän satunnaisesti aina silloin tällöin. 16- ja 17-luku Optiikan teorian ja sovellutusten myötätuuli alkoi modernin tieteen kehityksen ja modernien filosofien myötä 16-luvulla. Keksittiin kaukoputki ja mikroskooppi. Nimiä: Lippershey (1587-1619), Galilei (1564-1642), Jansen (1588-1632), Fontana (158-1656), Kepler (1571-163). Willebrord Snell (1591-1626) esitti (keksi uudelleen) taittumislain. René Descartes(1596-165): valo on eetterissä etenevä painehäiriö. Vuonna 1637 hän kirjoitti: Valo ei ole mitään muuta kuin hyvin hienon aineen tietynlaista liikettä tai vastetta. Tämä aine on läsnä kaikkialla ja täyttää kappaleiden huokoset. Pierre de Fermat (161-1665) esitti lyhimmän ajan periaatteen. Francesco Grimaldi (1618-1663) tutki diffraktiota.

67 Robert Hooke (1635-173) ehdotti, että valo olisi hyvin nopeasti etenevää väliaineen värähdysliikettä. Hookea pidetään valon aaltoteorian isänä. Newton (1642-1727) pohti onko valo kiukkassäteilyä vai onko se kaiken täyttävän eetterin aaltoilua. Dispersiotutkimustensa perusteella hän päätyi aluksi lähes nykykäsitykseen: Valkoinen valo koostuu väreistä ja tiettyyn väriin liittyvät valohiukkaset virittävät eetterin värähtelemään tälle värille ominaisella tavalla. Myöhemmin Newton hylkäsi aaltomallin. Syynä oli ratkaisematon ongelma selittää valon suoraviivainen eteneminen aalloilla, jotka tunnetusti leviävät kaikkiin suuntiin. Newton kehitti peilikaukoputken. Samaan aikaan, kun Newton työskenteli Englannissa, Euroopan mantereella vaikutti suuri aaltoteorian kehittäjä hollantilainen Christian Huygens (1629-1695). Huygensin valon etenemisen periaate: Aaltorintaman AB jokainen piste toimii sekundäärisenä palloaaltojen lähteenä niin että myöhemmän ajanhetken uusi aaltorintama A'B' muodostuu sekundääristen aaltojen verhokäyrästä. Huygensin malli ei sisällä aallonpituuskäsitettä. Ole Christensen Römer (1644-171) mittasi valon nopeuden (2.4 x 1 8 m/s) Jupiterin kuun Ion avulla. Newton oli arvostettu tiedemies ja hänen mielipiteensä valon luonteesta vaikeutti aaltoteorian kehittymistä koko 17-luvun ajan. Valon aaltoteoria pääsi kehittymään tehokkaasti vasta 18-luvulla, jota pidetäänkin aaltoteorian vuosisatana.

18-luku 68 Thomas Young (1773-1829) tutki interferenssiä. Augustin Jean Fresnel (1788-1827) kehitti diffraktioteoriaa. Hän lisäsi Hyugensin valon etenemismalliin mm. aallonpituuskäsitteen ja interferenssin. Hän ratkaisi myös taaksepäin etenevän aaltorintaman ongelman. Armand Fizeau (1819-1896) mittasi (1849) pyörivään hammasrattaaseen perustuvalla laitteellaan valon nopeudeksi 3153 km/s. Myös sähkö- ja magnetismioppi kehittyi. Michael Faraday (1791-1867) löysi yhteyden sähkömagnetismin ja valon välille. James Clerk Maxwell (1831-1879) kokosi ja laajensi sähkömagneettisen tietämyksen neljä yhtälöön. Osoitti teoreettisesti, että sähkömagneettinen kenttä voi edetä poikittaisena aaltona eetterissä 1/2 nopeudella 1/( em ). Kun tähän sijoitettiin permittiivisyyden e ja permeabiliteetin m tunnetut arvot, päädyttiin yllättäen valon nopeuteen. Juuri tämä havainto johti Maxwellin päätelmään, että valo olisi sähkömagneettista säteilyä. Valon hyväksyminen aaltoliikkeeksi pakotti hyväksymään myös eetterin olemassaolon. Tuohonkin aikaan ajateltiin vielä, että aaltoliike tarvitsee ilman muuta väliaineen jossa edetä. Eetterin ominaisuuksia tutkittiin paljon ja vuonna 1879 Maxwell esitti koejärjestelyn, jolla maan nopeus eetterin suhteen pystyttäisiin mittaamaan. Koska valon nopeus eetterin suhteen on vakio ja maa oletettavasti liikkuu eetterin suhteen, tulisi maan liikkeen vaikuttaa valon nopeuteen, kun se mitataan maan suhteen.

69 Albert Michelson (1852-1931) ja Edward Morley (1838-1923) suorittivat kokeen erittäin tarkasti, mutta eivät havainneet ennustettua efektiä. Negatiivinen tulos julkaistiin vuonna 1887. Maa ei liikkunut eetterin suhteen ja tiedemiehet olivat ymmällään. 19 luvulta nykyaikaan Jules Poincaré (1854-1912) kyseenalaisti eetterin olemassaolon. Albert Einstein (1879-1955) julkaisi vuonna 195 suppeamman suhteellisuusteoriansa, jossa myös hän hylkäsi eetterihypoteesin. Einstein postuloi: "...tyhjässä avaruudessa valo etenee aina samalla nopeudella c riippumatta valon emittoiman kappaleen liiketilasta". Vuonna 19 Max Planck (1858-1947) esitti Saksan fyysikkoseuralle tutkimuksen, josta nykyisen valon kvanttiteorian katsotaan alkavan. Planck pystyi selittämään mustankappaleen säteilijän spektrin olettamalla, että valo muodostuu energiapaketeista eli kvanteista. Energiakvantin eli fotonin energia E on suoraan verrannollinen sen taajuuteen n (= f) siten, että E = hn, missä verrannollisuuskerroin h on ns. Planckin vakio. Einstein selitti valosähköisen ilmiön valon kvanttimallilla. 192-luvun loppuun mennessä Bohrin, Bornin, Heisenbergin, Schrödingerin, de Broglien, Paulin, Diracin ym. töiden seurauksena kvanttimekaniikasta oli tullut yleisesti hyväksytty teoria. Vähitellen kävi ilmeiseksi, että hiukkas- ja aaltokäsitteitä, jotka makroskooppisessa maailmassa ovat selvästi erillisiä asioita, ei atomaarisessa maailmassa voida erottaa toisistaan. Mielikuva atomista pienenä massajakautumana ei enää ollut riittävä.

7 Havaittiin myös, että hiukkaset aivan aaltojen tapaan pystyvät tuottamaan interferenssi ja diffraktiokuvioita. Siten fotoneilla, protoneilla, elektroneilla, neutroneilla, jne. on sekä materiaalisia että aaltoluonteisia ominaisuuksia. Sekä materiaalisen hiukkasen että sähkömagneettisen kvantin liikemäärä p, aallonpituus l ja nopeus v saadaan samoista yhtälöistä: 2 2 4 E - mc p =, c h l =, p 2 pc v =. E Näissä c on valon tyhjiönopeus, h on Planckin vakio, m on hiukkasen lepomassa ja E = mc on hiukkasen kokonaisenergia. Tässä 2 ns. relativistinen massa on m m= =gm 2, 1 -( v/ c) missä on käytetty merkintää g = 1 1 - ( v / c) 2. Sähkömagneettinen kvantti on massaton ( m = ), joten 2 E h hc p =, c l = p = E ja pc v = = c, E ja esimerkiksi keskimmäisestä tuloksesta saamme sähkömagneettisen kvantin energialle tutun lausekkeen hc E = = hn, l missä n = c / l on taajuus. Sähkömagneettisella säteilyllä on siis kahtalainen luonne: hiukkasluonne (energiapaketti, fotoni, kvantti) ja aaltoluonne (taajuus, aallonpituus).

71 4.2 SÄHKÖMAGNEETTINEN AALTO Sähköön ja magnetismiin liittyvät havainnot yhdistettiin noin 18- luvun puolessa välissä yhtenäiseksi sähkömagnetismin teoriaksi, jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön. Maxwellin yhtälöt osoittavat, että muuttuva magneettikenttä toimii sähkökentän lähteenä ja päinvastoin, muuttuva sähkökenttä synnyttää magneettikentän. Sähkökenttä E (sähkökentän voimakkuus, V/m) ja magneettikenttä B (magneettivuon tiheys, Vs/m 2 = T) voivat siis ylläpitää toisiaan ja muodostaa näin sähkömagneettisen aallon, joka etenee avaruudessa. Sähkömagneettinen aalto on poikittaista aaltoliikettä. Aalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B. Molemmat komponentit ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan nähden ja vielä siten, että ristitulo E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Komponentit ovat kohtisuorassa myös toisiaan vastaan. Esimerkiksi positiivisen x-akselin suuntaan etenevä harmoninen (sinimuotoinen) sähkömagneettinen aalto on ïì E( x, t) = E sin( kx-w t) ˆj í ïî B( x, t) = B ˆ sin( kx-w t) k, missä sähkökenttä on valittu värähtelemään xy-tasossa ja magneettikenttä xz-tasossa. Vektori ĵ on y-akselin suuntainen yksikkövektori ja ˆk z-akselin suuntainen. Värähtelevän sähkökentän amplitudi on E ja magneettikentän B.

72 Sähkömagneettisessa aallossa kentät ovat samassa vaiheessa (sama argumentti sinin sisällä) ja kenttien suuruudet E = E ja B = B kytkeytyvät toisiinsa yhtälöllä 1 B= E, (4.2.1) c missä c on valon tyhjiönopeus 299792458 m/s. Näin edellä esitetyssä aallossa myös amplitudeille pätee B = E/ c. Esimerkki: Hiilidioksidi(CO 2 )laser emittoi sinimuotoista sähkömagneettista aaltoa aallonpituudella 1.6 m m siten, että sähkökentän maksimiarvo on 1.5 1 V/m. Kirjoita lasersäteen sähkö- 6 ja magneettikentät E ja B ajan ja paikan funktiona, kun laser on käännetty sellaiseen asentoon, että E- kenttä värähtelee z-akselin suunnassa ja säde etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Ratkaisu: Sähkökenttä värähtelee z-suunnassa ja aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan, joten r E= E = E sin( kx+w t) kˆ, missä Lisäksi E B osoittaa aallon etenemissuuntaan, ts. -i ˆ-suuntaan, joten magneettikentälle (magneettivuon tiheydelle) voimme kirjoittaa r B= B= B sin( kx+w t)ˆj, koska kˆ ˆj=-ˆi. Magneettikentän amplitudiksi laskemme B 6 E 1.5 1 V/m -3 Vs = = = 5. 1 8 2 c 3. 1 m/s m 6 E = 1.5 1 V/m. = 5. mt ja lisäksi aallon aaltoluvulle ja kulmataajuudelle saamme 2p 2p k = = = 5.93 1-6 l 1.6 1 m 5 m -1

73 8 c 3. 1 m/s 2 2 2 1.6 1-6 m w = pn = p = p l 14 = 1.78 1 s -1. CO 2 -laserin aallonpituus sijoittuu infrapuna-alueelle eikä siten ole silmin nähtävää. Huom! Sähkömagneettisten aaltojen yhteydessä taajuuden symboli on n. Sähkömagneettinen aalto eristeessä Edellä tarkastelimme sähkömagneettista aaltoa tyhjiössä. Totesimme, että aallon kuvaamiseen riittää tarkastella vain esim. sähkökenttää, joka suuruus ( E = E ) harmonisen aallon tapauksessa on E( x, t) = E sin( kx- w t), missä aallon tyhjiönopeus saadaan laskemalla c= w / k. Sähkömagneettinen aalto voi edetä myös aineessa. Tavalliset optiset läpinäkyvät materiaalit (ilma, lasi, vesi, ) ovat eristeitä, joissa aalto on muodoltaan sama kuin tyhjiössä E( x, t) = E sin( kx- wt), mutta nopeus on muuttunut arvoon w c v = =, (4.2.2) k n missä c =v on valon nopeuden tyhjiöarvo ja n on väliaineen ns. taitekerroin. Valon nopeus tavallisissa eristeissa on aina pienempi kuin tyhjiönopeus, joten taitekerroin n on aina > 1. Voidaan kirjoittaa (laske nämä tulokset): nopeus on v = v / n= c/ n taajuus n = n ei muutu

74 aallonpituus l = l / n lyhenee aaltoluku k = nk kasvaa kulmataajuus w = w ei muutu. Näissä alaindeksi viittaa tyhjiöarvoon Esimerkki: Natrium(Na)-lamppu emittoi keltaista valoa taajuudella 5.9 1 Hz. Laske nopeus ja aallonpituus seuraavissa 14 optisissa materiaaleissa: Tyhjiö n = 1 Ilma n = 1.27 Vesi n = 1.33 Lasi n = 1.5 Timantti n = 2.42 Ratkaisu: v c = n ja l = v 8 ì c = 2.99792458 1 m/s, missä í n 14 în = 5.9 1 1/s v/() c 8 v /(1 m/s) l/ nm Tyhjiö 1. 2.9979 588.98 Ilma.9997 2.9971 588.82 Vesi.7519 2.2541 442.84 Lasi.6667 1.9986 392.65 Timantti.4132 1.2388 243.38 Sähkömagneettinen aalto johteessa Johteessa taitekerroin n on kompleksinen ja aalto absorboituu materiaaliin sitä nopeammin mitä suurempi materiaalin johtavuus on.