TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA So okainn VTT Raknn- ja yhdykntatkniikka, Talotkniikka PL 84, 44 VTT So.okainn@vtt.i JOHDANTO Goldtin [] on ittänyt lakkt aroaktiill knttärill ja nrgiarill (intnittti, nrgiatihy väliainll, joa on taattinn virta. njal [] on ittänyt vataavat lakkt aroaktiill knttärill ja aktill intnittill ykidimnioiill kntill aaltotkia. olmin lähtökohtana on linarioidt knttäyhtälöt. Koka aktit nrgiart ovat toita krtalka, i voi olla varma tällä tavoin aatjn tlotn oikllidta. Tmkin [3] on thnyt nrgiatarkatln, joa ottaan homioon trmit toin krtalkn ati, mtta ko. tarkatl on thty virtakttomall väliainll. Tää itykä orittaan nrgiatarkatl virtakllill väliainll amalla riaattlla kin Tmkinin tarkatl ja tarkatln tlotn rtlla määritllään aktit nrgiart. Tarkatl ohjat älinaariita knttäyhtälöitä toin krtalkn ati määritttyihin aroaktiiin knttäriiin. Saatavat aktit nrgiart vataavat Goldtinin ja njalin määritlmiä. okainn [4] on aimmin ittänyt taomaitn lähdtyyin lähdvoimakkkin määritlmät virtakttomaa väliaina. Kyinn työ laajnntaan tää ovllttavaki aktiiin knttiin virtakllia väliaina. Lähdvoimakkdt määritllään aroaktitn knttäridn avlla. JC-mntlmä on ylin ytmitoriaan ohjatva aktiivin äännhallinan lähtymitaa [5]. Tää itykä määritllään JC-mntlmän mkait taomait kndäärilähtt virtaavaa väliaina aktiivin mlntorjnnan tariiin. PERSYHTÄLÖT aan äilyvyylaki (jatkvyhtälö lidill on [, 3, 6] ρ d ρ d t ( ρ ρ ρ ρ, ( miä ρ on tihy, t on aika, on hikkano ja on maalähdjakaman voimakk (monoolijakama, tilavno tilavykikköä kohti ja miä kalaarinktion y Lagrangn liikkvakn aikadrivaatalla dy/dt ja Elrin liikkvakn aikadrivaatalla y/ on yhty dy/dt y/ y. Liikmäärän äilymilaki (liikyhtälö, Elrin yhtälö on [3] ( ρ ( ρ ρ F, ( 99
okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA miä on jännitydyadi ja F on voimalähdjakaman voimakk (diolijakama, voima ykikkötilavtta kohti. Kn lak ( krrotaan rlla ja vähnntään lakkta (, jälkimmäill lakkll aadaan vaihtohtoinn moto d ρ F ρ d t F, (3 miä Lagrangn ja Elrin liikkvakin mkaiilla aikadrivaatoilla vktorirll y on yhty dy/dt y/ y. Olttaan lidi idaalilidiki, jolloin jännitydyadi on PI, miä P on ain ja I on idnttinn dyadi. Olttaan liäki, ttä tihy ja ain voidaan jakaa taattiiin komonnttihin (ρ, P ja rtrbaatiokomonnttihin (ρ', itn, ttä << P, ρ' << ρ, ja ttä hikkano voidaan jakaa taattin virtanotn ja rtrbaatiohikkanotn. Prtrbaatioknttäkomonntit liittyvät aktiiin knttiin. Olttaan liäki, ttä maalähtt liittyvät aktiiin rtrbaatioknttiin ja ttä voimalähd iältää rtrbaatiokomonntin ja taattin gravitaatiovoiman ρg, miä g on vktorimotoinn maan vtovoiman kiihtyvyy. Olttaan, ttä rtrbaatiovoima on yörttön, jolloin n roottori häviää. Staattit komonntit yhtälöiä ( ja (3 nodattavat rtrbaatioknttin tta yhtälöitä ρ ρ, ρ P ρ g. (4 Koka rtrbaatiokntät ovat iniä, n ivät vaikta taattiiin komonnttihin. Näin olln rtrbaatioknttin länä olla taattit kntät nodattavat yhä yhtälöitä (4 ja n voidaan vähntää oi yhtälöitä ( ja (3. yö näin yntyvä rtrbaatiotihydn ja gravitaatiotrmin tlo yhtälöä (3 voidaan vähntää yhtälöarin (4 jälkimmäin lakkn nojalla. Tällöin yhtälöarin ( ja (3 tilall aadaan yhtälöari ρ ( ρ ρ ρ ( ( ρ ρ ( ρ ρ ( ( ρ ρ P. ρ ρ / (5 Äänn no määritllään lakklla ( S [ ] S ρ P/ ρ, miä S on vakiontroia. Äänn nodn "taattinn" arvo (raja-arvo rtrbaatioknttin voimakkkin lähtyä nollaa mää- P / ρ. Staattiill introoiill virtakill ja r- ritllään vataavati lakklla ( trbaatiokntill aadaan nyt P ( ρ d ρ ρ d t ρ P ρ ρ P S S d d ρ ρ t ρ ( /. (6 Nyt yhtälöari (5 voidaan ittää modoa
TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn [ ρ ρ ( ] ( ρ ρ ( ρ ρ ρ ( ρ ρ ( ρ ρ a, ρ / (7 miä ridn ja ρ' välinn yhty aadaan yhtälötä (6 ja rlla a on vaihtohtoit itymodot ( [ ( ] ( ( a [ ]. Introoinn ritv Q määritllään lakklla Q ( / ρ( ρ / P S Q lakklla ( / ρ( ρ / P /(ρ ja Q /(ρ. [ ] S ρ (8 ja n "taattinn" arvo Q. Äänn nodn avlla lattna nämä ovat Q. Linarioidt yhtälöt Äänn no on älinaarinn nktio tihydtä ρ (tai ainta P. Pintn rtrbaatiokntti- d ρ d ρ..., mi- n yhtydä voidaan ittää Taylorin khitlmänä modoa ( ä d ( / ( / ρ, d ( / ( / ρ... ρ ρ Yhtälön (6 avlla nähdään, ttä jo äännnodn gradintti on niin ini, ttä n voidaan ajatlla olvan rtrbaatiorlokkaa (nimmäitä tai korkamaa krtalka, niin nimmäin krtalvn arokimaationa aadaan ρ. (9 / Tällöin lakkidn (7 nimmäin krtalvn trmitä aadaan ρ Q ( ρ / ρ ( ρ / ρ ρ [ ( ( ], ( miä linarioit aroaktinn ain ja linarioit aroaktinn no ovat [] ρ, Q. ( Jo olttaan, ttä taattitn knttäridn (tihy, virtano mtokt aikan nktioina (gradintti, divrgni, roottori ovat niin iniä, ttä niidn voidaan katoa olvan rtrbaatiorlokkaa (nimmäitä tai korkamaa krtalka, niin lakkta ( voidaan äätllä rtrbaatiohikkanodn roottorin olvan toita tai korkamaa krtalka. Tällöin hikkanodn voidaan katoa olvan yörttön ja knttäyhtälöt aavat modon, ρ. ( Q
okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA Lakkt ( ivät ol täyin yhtnviä Jlin ja angiantn [7, 6] vataavin kana. Tämä joht iitä, ttä h ivät ol iällyttänt maalähdtrmiä liikmäärän äilymin lakiin, mikä johtaa virhlliiin lotlokiin taattin virtakn länä olla. Taoaalloilla / / ± ρ [], miä ylmää mrkkiä " " käyttään, kn taoaalto tn rrnintaan, ja almaa mrkkiä " " mlloin. Näin olln ykidimnioiilla kntillä (im. aaltotka, joilla on vain -mttja aikkakoordinaattina, ja niillä rityiti taoaalloilla aroaktit knttärt ovat ( ±, (, (3 ± miä ylmää mrkkiä " " käyttään, kn taoaalto tn oitiivin -aklin ntaan, ja almaa mrkkiä " " mlloin ja miä on ahin lk ( / / olln oitiivinn, jo virta tn oitiivin -aklin ntaan ja ngatiivinn mtoin.. Toin krtalvn yhtälöt Yhtälöari (7 voidaan ittää modoa ρ ρ ρ ρ / ρ ρ ρ [ ρ ρ ( ] ( ρ ρ ( { [ ] } ( [ ( ] (. (4 Olttaan amojn olttn olvan voimaa kin linaaritn yhtälöidn taaka,.o. taattitn knttämttjin gradintit, divrgnit ja roottorit ovat iniä (rtrbaatiorlokkaa. Käyttän yhtälöarin (4 toita yhtälöä rkriiviti, käyttän rn a vaihtohtoita motoa lakka (8 ja ottamalla homioon, ttä kn tarkatllaan trmjä toin krtalkn ati, yhty (9 on validi toin krtalvn trmiä, yhtälöaria (4 voidaan arokimoida nimmäin ja toin krtalvn trmin modoa ρ ρ ( / ρ ( Q / ρ ρ ρ [ ( ( ] ( Q, (5 miä aroaktinn ain ja aroaktinn no määritllään nyt toin krtalkn ati modoa ( ρ ρ Q ρ ρ Q, /. (6 Lakkia (6 olvia toin krtalvn trmjä tarvitaan aktin intnittin ja nrgiatihydn määrittlyiä myöhmmin.
TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn 3 AKSTISET ENERGIASREET Jo nrgiataaainoyhtälö voidaan ittää modoa ( ρ ε J, (7 niin iitä voidaan idntiioida kokonainrgia maaykikköä kohti ε ja nrgiavovktori J [3]. Sraavaa nrgiataaainoyhtälö ittään yllä olvaa modoa itttyä tarkoitta ilmälläitän. Tarkatl rajoitt idaalilidiin, joa on taattinn virta ja joa i ol lähtitä. Koka nrgiart ovat toita krtalka, lähtökohtana on ryhtälöt, joia toin krtalvn trmit ovat iällytttynä. Idaalilidin iäin nrgian E (maaykikköä kohdn mto aikaykiköä on lämölähtidn tta [3] d E d t ( P ρ /. (8 aan äilyvyylain ( jälkimmäitä itytä (lähtidn tta hyödyntän, ottamalla liikmäärän äilymilain (3 jälkimmäin itykn (lähtttömää idaalilidia ja rn ittlo ja yhditämällä aat lak lakkn (8 aadaan ( P [ ρe ρ ] {[ ρ ρ ] } ρg E. (9 Saat lak on motoa (7, jo gravitaatiotrmi jättään homiotta. Laktta (9 voidaan ykinkrtaitaa aktiill rtrbaatiokntill. yö ylimääräinn gravitaatiotrmi voidaan liminoida. Tarkoitkna on thdä linarioinnin kaltainn toimnid, mtta itn, ttä kaikki trmit toin krtalkn ati äilyttään. Alki ittään Taylorin khitlmä ρ ρ ρe ( ρe ( ρe ρ ρ E S ρ ρ ρ ρ ρ ρ S ρ ρ ρ... ρ. ( Tmkinin [3] mkaan trmodynaamit drivaatat yo. kaavaa ovat ( ρe ( ρe ρ S H, ρ miä H on ntalia maaykikköä kohti. S / ρ, ( Staattiia knttiä itova toinn yhtälö lakkia (4 voidaan ittää yhtälöä ( hyödyntän modoa 3
okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA [ ( ] g ( H. ( Sijoittamalla Taylorin khitlmä ( yhtydt ( homioidn nrgiataaainoyhtälöön (9, ottamalla lak ( homioon lakkn (9 viimiä trmiä, jättämällä kaikki toita krtalka korkammat trmit oi, hyödyntämällä yhtykiä ( ja maan äilyvyylakia (, käyttämällä aroaktitn knttäridn määritlmiä (6 toin krtalvn trmihin ati tarvittaa ja hyödyntämällä laktta (9 toin krtalvn ria yo. lak voidaan kirjoittaa motoon, joka voidaan dlln jakaa kahdki rikn voimaa olvaki yhtydki (viimin toimnitn rtl alla olvan yhtälön jälkn ( [ ρ Q ( / ] ( ( ρ ρ [ ( ]. (3 Enimmäin yhtälön lakkia (3 voidaan nähdä olvan rikn voimaa aroaktitn knttäridn määritlmin (6 ja knttäyhtälöidn (5 avlla (toin krtalkn ati, i lähtitä. Toin yhtälön rikn voimaaolo voidan äätllä käyttän yhtälöarin (5 toita yhtälöä voimalähtidn tta kä lakkidn (4 nimmäitä yhtälöä. Yhtälöarin (3 jälkimmäin yhtälön viiminn trmi voidaan nohtaa, koka on toita krtalka ja ko. yhtälön mt trmit ovat nimmäitä krtalka. Tällöin ko. yhtälö ittää nrgiataaainoyhtälöä, joa nrgiavo on räiin aroaktita ainta ja taattita virtanodta. Liäki yhtälö on itä motoa, ttä n kaikkin trmin aikakkiarvot häviävät. Tämän kaltait nrgiart ivät ol aktiia nrgiarita. Enrgiavovktorin J aktiiin knttiin liittyvä o I li aktinn intnittti ja tähän liittyvä nrgiatihy ρ ε' (tilavykikköä kohti voidaan näin olln idntiioida yhtölöarin (3 nimmäitä yhtälötä raaviki: I ' ρ Q / (, ρ ε. (4 Aktinn intnittti on aroaktin ainn ja aroaktin nodn tlo n ijaan, ttä olii äännainn ja hikkanodn tlo ktn virtakttomaa tilanta. Enrgiatihy iältää kinttin (nimmäinn trmi ja otntiaalinrgiatihydn (toinn trmi liäki liätrmin (kolma trmi, joka on vrrannollinn virtakttoman kntän intnitttiin ja virtanotn. On homattava, ttä nrgiataaainoyhtälöt (4 olii voit aada oraan käyttän aroaktitn knttäridn linaariia määritlmiä ( ja linaariia knttäyhtälöitä (. Tämä i kitnkaan tarkoita itä, ttä kyinn taa olii oika niidn aamiki. 4 TASOAISTEN LÄHTEIDEN LÄHDEVOIAKKDET Olttaan lähtt taomaiiki itn, ttä n ijaitvat taolla,.o. δ(, δ(, (5 4
TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn 5 miä δ( on Dirain dltanktio. Srt ja ovat tätn taolähdjakamia (tilavno ja voima inta-alaykikköä kohti. Sijoittamalla nämä knttäyhtälöihin ( voidaan havaita, ttä Dirain dltanktio voidaan aada vain aroaktin nodn divrgnin äjatkvdta ja aroaktin ainn gradintin äjatkvdta. Intgroimalla yhtälöt ( yli inn oln yli taon voidaan nähdä, ttä taolähdjakamat liittyvät aroaktitn knttäridn aklnktion motoin äjatkvtn. Tätn monoolin voimakk modot taon ri olilla vallitvan aroaktin nodn loäitn normaalintaitn komonnttin mmata ja diolin voimakk modot taon ri olilla vallitvan aroaktin ainn rota ( (, ( ( ( ( Q ρ (6 miä alaindki " " viittaa knttäriiin oitiivin -aklin ollla taoa ja " " ngatiivin -aklin ollla kä on -aklin ntainn ykikkövktori, k. kva. - - Kva. Taomonooli- ja diolilähd. Phtaalla monoolilla on ja htaalla diolilla, jolloin ( (. (dioli (monooli Q Q ρ ρ (7 Ykidimnioiilla kntillä, joilla on vain -koordinaatti avardllina mttjana, lähdvoimakkdt ovat taoaallolla ( (, ( (. (8 Phtaan monoolin ja htaan diolin hdot ovat ykidimnioia taaka taoaallolla. (dioli ( ( (monooli ( ( (9 Lakkn (9 mkaan monoolin tottama äännain ( ja hikkano ( ri olilln (alaindkit " " ja " " ja diolin tottamat vataavat rt (, nodattavat taoaallon taaka yhtykiä
okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA ( /(, ( /(, ( /( ( /(. (3 Yhtälöryhmän (7 alkoin mkaan vataavat rlaatiot aroaktiill knttärill ovat,,,. (3 Nähdään, ttä monooli ja dioli ätilvät äännaintta ja hikkanotta äymmtriti virtakn länä olla ätilyn olla voimakkaamaa virtantaa vataan. Aroaktiiin knttäriiin liittyvä ätily n ijaan on ymmtritä. Phtaan monoolin ja diolin lähdvoimakkdt ykidimnioia taaka taoaallolla ovat ( ( ( ( (monooli (dioli. (3 5 JC-ENETELÄN KAISET SEKNDÄÄRILÄHTEET 5. JC-mntlmä Tarkatllaan (minkä tahana tyyitä dtrminititä knttää, miä linaarinn oraattori L liittää lähtt (S ja kntät (F toiiina yhtydllä L F S. (33 Kntän F ijata haltaan knttä F', joka aadaan alkräitä kntätä oraattorin N avlla lakkta N F F. (34 Yliä taaka knttää F' i voi aada vain vaihtamalla alkräit lähtt modiioidiki lähtiki S' NS, vaan järjtlmään täytyy liätä liälähtt S", jotta knttäyhtälö (33 tottii. Kirjoittamalla knttäyhtälö haltll kntäll F' liälähtill (kndäärilähtill aadaan ity S N F, N LN NL. (35 Aktilla kntällä idaalilidia dirntiaalioraattori, lähdvktori ja knttävktori voidaan idntiioida yhtälöitä ( ja (, kn taattitn knttäridn olttaan mttvan vain vähän avardllitn koordinaattin htn niin, ttä niidn gradintit, divrgnit ja roottorit ovat rtrbaatiokrtalokkaa tai inmiä. Tällöin L Q ( / ρ, F (, S /. (36 Olkoon oraattori N hda ajata riimaton kalaariainot N, joka ainottaa kaikkia knttäja lähdrita amalla tavalla. Lakkita (35 ja (36 aadaan aroaktitn knttäridn 6
TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn määrittlyidn ( avlla kndäärilähdtihydt, jotka ovat vrrannolliia aroaktiiin knttäriiin N, ( N. (37 5. Taomait kndäärilähtt Olttaan, ttä oraattori N on ykkönn ala < ja nolla ala >. Tällöin tavoittna on liminoida knttä oliavarda > ja itää mttmattomana ala <, k. kva. Yhtälön (37 mkaan kndäärilähtt ovat taomaiia ijaitn taolla. Vataavat taolähdjakamat taolla aadaan intgroimalla lähdtihykin lakkt inn oln yli läi taon, jolloin aadaan,. (38 N N knttä mttmaton tlva ääni knttä häviää kndäärilähdinta Kva. Taomait kndäärilähtt JC-mntlmää aktiivia vaimnnka. Ykidimnioiilla kntillä ja oitiivin -aklin ntaan tnvillä taoaalloilla (, (. (39 Diolin voimakk oikkaa rrniä [7] ittytä johtn ko. rrnin virhllitä liikmäärän äilymilaita, ktn kohdan. loa itttiin. Lakkidn (3 ja (39 mkaan monoolin ja diolin aihttamat ainmtokt (,, monoolin ja diolin aihttamat nomtokt (, kä knttin kokonaimtokt (, ovat tää taaka /(, /(, /(, /(,. (4 onoolin ri olilln (alaindkit " " ja " " aihttama hikkano ( ja äännain ( ovat tää taaka yhtälöidn (9, (3, (39 ja (4 mkaan ( /(,, ( /(,. (4 7
okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA Diolin ri olilln aihttama äännain ( ja hikkano ( ovat amatn ( /(,, ( /(, Vataavat aroaktit rt ovat yhtälön (3 mkaan. (4 (, (, (, (, ( (. (43 6 YHTEENVETO JC-mntlmän mkait aktaattorit kootvat monooli- ja diolilähtitä. Taomait monooli- ja diolilähtt kä niidn lähdvoimakkdt on määritlty lidill, joa on taainn taattinn virta. Liäki on määritlty lähdvoimakkdt, joita tarvitaan JC-mntlmän ovltamia dllä ittyiä olohtia. Skä lähdvoimakkkin määritlmät ttä JC-mntlmän dllyttämät lähdvoimakkdt riivat virtakn ahin lvta. Virtaamattomaa väliaina taomain monoolin voimakktta voidaan lonnhtia hikkanodn äjatkvdlla ja diolin voimakktta äännainn äjatkvdlla lähdinnalla. Virtakllia väliaina ko. lähdtyyin voimakktta voidaan lonnhtia n. aroaktin nodn ja aroaktin ainn äjatkvdlla, jotka kmikin ovat nktioita kä aktita äännainta, hikkanodta ttä virtanodta. onooli ja dioli ätilvät virtakn länä olla äännaintta ja hikkanotta hikommin virtantaan kin itä vataan. Tarkatln rtana on ittty aktiikan ryhtälöt ja nrgiataaainoyhtälöt kä niidn rtlla määrittty aroaktitn knttäridn liäki intnittti ja nrgiatihy virtaavaa väliaina. Viimki mainittjn määritlmät oikkavat virtaamattoman väliainn vataavita olln myö nktioita virtakn ahin lvta. Aktinn intnittti on mainitjn aroaktitn knttäridn tlo ja aktinn nrgiatihy iältää kinttin ja otntiaalinrgian liäki kä äännainta, hikkanodta ttä virtanodta riivan liätrmin. LÄHTEET. GOLDSTEIN E, Aroaoti. Graw-Hill, Nw York t al. 976.. NJAL L, Aoti o dt and mlr. John Wily & Son, Nw York t al. 987. 3. TEKIN S, Elmnt o aoti. John Wily & Son, Nw York t al. 98. 4. OSKAINEN S, JC mthod in ativ ontrol o ond. ISA 3, 6. 8.9.998, Lvn, 79 736. 5. JESSEL J, Ativ noi rdtion a an rimntal aliation o th gnral ytm thory. Intr-Noi 83, 3. 5.7.983, Edinbrgh, 4 44. 6. JESSEL J, Aoti théori Proagation t holohoni. aon t Ci, Pari 973. 7. JESSEL J & ANGIANTE G A, Ativ ond aborbr in an air dt. J Sond Vib 3(973, 383 39. 8