Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi osoittautuneen ns. Ramseyn lauseen. 1 Historiaa lyhyesti ja merkintöjä Kerrataan lyhyesti Ramseyn teorian merkinnät. Merkinnät ovat samat kuin kirjassa [3]. Merkitään X = joukon X kardinaliteetti, [n] = mielivaltainen joukko, jossa on n alkiota, [X] k = {Y : Y X, Y = k}, [X] k = {Y : Y X, Y k}, [n] k = [[n]] k, [n] k = [[n]] k. n (l 1,..., l r ) k, jos mille tahansa joukon [n] k r-väritykselle, on olemassa sellainen indeksi 1 i r ja joukko T [n], T = l i, että joukko [T] k on väritetty värillä i. Jos l 1 =... = l r, niin merkitään m (l) r. k Ramseyn luvun R k (l 1,..., l r ) määritellään olevan pienin sellainen luku n, että n (l 1,..., l r ) k. 1

Jos k = 2, niin alaindeksi k jätetään merkitsemättä. Voidaan esimerkiksi osoittaa, että R(3, 3) = 6. Frank Plumpton Ramsey (1903 1930) osoitti vuonna 1929 artikkelissaan [1], että Ramseyn luvut ovat olemassa. Hän todisti ensin alla olevan ns. äärettömän version Ramseyn lauseesta, jonka jälkeen hän osoitti äärellisen version eli lukujen R k (l 1,..., l r ) olemassaolon. Alla on lauseen väite alkuperäisessä muodossa. Theorem A. Let Γ be an infinite class, and µ, and r positive integers; and let all those sub-classes of Γ which have exactly r members, or, as we may say, let all r-combinations of the members of Γ be divided in any manner into µ mutually exclusive classes C i (i = 1, 2,..., µ), so that every r-combination is a member of one and only one C i ; then, assuming the axiom of selections, Γ must contain an infinite sub-class such that all the r-combinations of the members of belong to the same C i. Lauseen tekivät tunnetuksi Paul Erdős ja George Szekeres vuonna 1935 artikkelissa [2], jossa he sovelsivat Ramseyn tulosta kombinatoriseen ongelmaan liittyen tason pisteisiin. Ramsey itse ei soveltanut tulostaan kombinatoriikkaan, vaan omaan tutkimusalaansa, logiikkaan. Tässä esseessä käydään läpi Ramseyn artikkelin [1] tulos modernissa muodossa. Esitys perustuu kirjaan [3], jossa on paljon lisätietoa Ramseyn teoriasta. 2 Kombinatoriikkaa Tässä luvussa osoitetaan tarpeellisia työkaluja Ramseyn tuloksen todistamiseksi. Itse Ramseyn lauseen todistusta ei käydä läpi, vaan se oletetaan tunnetuksi. Lause 2.1. Jokaista luonnollista lukua n 1,..., n k, t kohden on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin seuraava on voimassa: Olkoon S = m, ja joukolle [S] i annettu n i -väritys kaikilla 1 i k. Tällöin on olemassa sellainen T S, T = t, että joukko [T] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k. Todistus. Määritellään luvut m 1,... m k seuraavasti: m 1 (t) 1 n 1, m i (m i 1 ) i n i, 2 i k. Osoitetaan, että voidaan valita M = m k. Olkoon S = m > m k, ja joukolle [S] k annettu jokin väritys. Lukujen m i määrittelyn perusteella on olemassa sellainen joukko 2

S k 1 S, S k 1 = m k 1, että joukko [S k 1 ] k on monokromaattinen. Samoin löydetään sellainen joukko S k 2 S k 1, S k 2 = m k 2, että joukko [S k 2 ] k 1 on monokromaattinen. Jatkamalla samoin saadaan jono S = S k S k 1... S 1 S 0, missä S 0 = t. Joukko [S 0 ] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k, sillä sisältymisestä S 0 S i 1 seuraa, että [S 0 ] i [S i 1 ] i ). Voidaan siis valita T = S 0. Seuraavassa määritelmässä alkioiden oletetaan olevan täydellisesti järjestettyjä relaatiolla <. Määritelmä 2.2. Määritellään relaatio seuraavasti: (x 1,..., x k ) (y 1,..., y k ), jos kaikilla i ja j on voimassa x i < x j y i < y j, x i = x j y i = y j ja x i > x j y i > y j. Jatkossa merkitään tarvittaessa x = (x 1,..., x k ). Relaatio on selvästi ekvivalenssirelaatio. Intuitiivisesti, jos x ȳ, niin k-tuplilla x ja ȳ on keskenään samantyyppinen järjestys. Esimerkiksi (2, 4, 4, 3, 7) (1, 5, 5, 3, 6), kun käytetään tavanomaista luonnollisten lukujen järjestysrelaatiota. On syytä korostaa, että alkioiden x i ja y j ei tarvitse olla samasta joukosta, kunhan on vain olemassa relaatio, jonka suhteen alkiot ovat täydellisesti järjestetty. Määritelmä 2.3. Olkoot S = joukko ja R joukon S k-paikkainen relaatio. Sanotaan, että relaatio R on joukon S kanoninen relaatio, jos ehdosta (x 1,..., x k ) (y 1,..., y k ) seuraa, että kaikilla x 1,..., x k, y 1,..., y k S. R(x 1,..., x k ) R(y 1,..., y k ) Esimerkiksi binäärirelaatiot ω (universaalirelaatio), (tyhjä relaatio), >,, =,, < ja = ovat kanonisia relaatioita missä tahansa joukossa. Voidaan osoittaa, että muita kanonisia binäärirelaatioita ei ole. Lause 2.4. Jokaista luonnollista lukua b 1,..., b k, t kohden on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin seuraava on voimassa: Olkoon R kokoelma joukon [m] relaatioita, jossa on b i i-paikkaista relaatiota kaikilla 1 i k. Tällöin on olemassa sellainen S [m], S = t, että jokaisen kokoelman R relaation restriktio joukolle S on joukon S kanoninen relaatio. 3

Todistus. Oletetaan, että joukon [m] alkiot on järjestetty täydellisesti relaatiolla <. Määritellään ekvivalenssirelaatio joukkoon [m] i kaikilla 1 i k seuraavasti: Olkoot X = {x 1,..., x i } <, Y = {y 1,..., y i } < [m] i. (Alaindeksi < tarkoittaa, että joukon alkiot ovat luetellussa järjestyksessä järjestysrelaation < suhteen.) Määritellään, että X Y, jos kaikilla i j k, jokaisella sellaisella jonolla w 1,..., w j indeksejä, että {w 1,..., w j } = {1,..., i} (toistot siis sallitaan) ja kaikilla j-paikkaisilla relaatioilla R R on voimassa, että R(x w1,..., x wj ) R(y w1,..., y wj ). Näin määritelty relaatio on selvästi ekvivalenssirelaatio, ja relaatio määrää tietenkin äärellisen määrän ekvivalenssiluokkia. Jako ekvivalenssiluokkiin vastaa joukon [m] i sellaista väritystä, jossa eri ekvivalenssiluokat ovat monokromaattisia. Selvennetään tilannetta vielä hieman esimerkillä. Jos joukko R koostuu vain binäärirelaatioista R 1,..., R b, niin joukko {x, y} < värittyy relaatioiden R i (x, y) ja R i (y, x), 1 i b, totuusarvoilla. Ekvivalenssiluokkia joukossa [m] 2 on siis korkeintaan 2 2b kappaletta. Yksiöt {x} taas värittyvät relaatioiden R i (x, x), 1 i b, totuusarvoilla, ja näin muodostuu korkeintaan 2 b ekvivalenssiluokkaa. Nyt lauseen 2.1 mukaan on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin on olemassa sellainen S [m], S = t, että joukko [S] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k, ts. joukon [S] i kaikki alkiot kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan kaikilla 1 i k. Tämä tarkoittaa, että kaikki joukon R relaatioiden R restriktiot joukolle S ovat kanonisia. Nimittäin jos (x w1,..., x wj ) (y w1,..., y wj ), x t, y t S, niin näitä j-tuplia vastaa jokin sellainen jono w 1,... w j indeksejä, että {w 1,..., w j } = {1,..., i} jollain i, jolloin R(x w1,..., x wj ) R(y w1,..., y wj ) kaikilla j-paikkaisilla relaatioilla R R. Tämä tarkoittaa, että R on kanoninen. 3 Ramseyn teorian sovellus logiikkaan Tässä osiossa tarkastellaan Ramseyn artikkelissa [1] esittämää sovellusta 1. kertaluvun predikaattilogiikkaan. Määritellään ensin lyhyesti jatkossa käytettävä logiikan kieli. 4

Looginen aakkosto koostuu muuttujista x 1, x 2,..., joiden joukkoa merkitään X = {x 1, x 2,...}, propositiologiikan konnektiiveista,,, kvanttoreista, sekä yhtäsuuruusmerkistä =. Lisäksi käytetään lyhennysmerkintöjä p q = p q, p q = (p q) (q p), p q = ( p q) (p q) ja (eksklusiivinen tai). Loogisen aakkoston lisäksi määritellään symbolinen aakkosto, joka koostuu tässä vain relaatiosymboleista, joita merkitään kirjaimilla R, B jne. Relaatioden paikkaluku voi olla mitä tahansa: R(x 1,..., x k ), binäärirelaatioille merkitään lyhyesti R(x 1, x 2 ) = x 1 Rx 2. Kaavan kvanttoriaste on siinä esiintyvien erisuurien muuttujien lukumäärä. Kaavajoukon kvanttoriaste on maksimi sen kaavojen kvanttoriasteista. Hyvinmuodostetusta kaavasta annetaan esimerkkinä (jos muuttujia on vähän, niin käytetään muuttujanimiä x, y, z) ( x)( y)(xry (ybx)). Ramseyn tulos koskee sellaisia kaavoja, joissa ei ole eksistentiaalikvanttoria, eikä vapaita muuttujia (ts. jokainen muuttuja on jonkin kvanttorin sitoma). Tällaiset universaalit kaavat voidaan kirjoittaa muodossa ( x 1, x 2,..., x k )(F(R, B,..., =, x 1, x 2,..., x k )), missä kaava F riippuu vain relaatiosta R, B,..., muuttujista x 1,..., x k ja relaatiosta =. Jatkossa oletetaan, että kaikki kaavat ovat tätä muotoa. Tulkinnalla tarkoitetaan kolmikkoa I = (A, R, S), missä A = Dom(I ) on universumi eli epätyhjä joukko alkioita, R kokoelma joukon A relaatioita ja S kokoelma sääntöjä, jotka liittävät jokaisen muuttujan yksikäsitteiseen universumin alkioon ja jokaisen relaatiosymbolin johonkin joukon R relaatioon. Lyhyyden vuoksi relaatiosymboleille merkitään S(R) = R I. Tulkinnan I kardinaliteetti I on universumin kardinaliteetti Dom(I ). Tulkinta J = (B, R, S ) on tulkinnan I alitulkinta, kun B A ja i-paikkainen relaatiosymboli R tulkitaan joukon B relaatioksi kaavalla R J = R I B i. Merkinnällä I [a/x] tarkoitetaan tulkintaa (A, R, S ), missä S saadaan säännöistä S määrittelemällä S(x) = a, missä x on muuttuja. Olkoot ψ ja ϕ kaavoja. Sanotaan, että kaava ψ on tosi tulkinnassa I = (A, R, S), merkitään I = ψ, jos kaava ψ saa totuusarvon 5

tosi tulkinnassa I. Merkinnällä I = ψ tarkoitetaan, että ψ on epätosi tulkinnassa I. Kaavan ψ totuusarvo tulkinnassa I määritellään rekursiivisesti: I = R(x 1,..., x k ) R I (S(x 1 ),..., S(x k )) on voimassa, I = x = y S(x) = S(y), I = ψ ϕ I = ψ tai I = ϕ, I = ψ ϕ I = ψ ja I = ϕ, I = ψ I = ψ, I = ( x)ψ I [a/x] = ψ jollain a A, I = ( x)ψ I [a/x] = ψ kaikilla a A. Jos ψ on tosi tulkinnassa I, niin sanotaan, että I on kaavan ψ malli. Lisäksi määritellään: ψ on loogisesti tosi, merkitään = ψ, jos ψ on tosi kaikissa tulkinnoissa, ψ on toteutuva, jos sillä on ainakin yksi malli, ψ on kumoutuva, jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa, ψ on toteutumaton, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Edeltävät määritelmät laajenevat luonnollisella tavalla kaavajoukoille: I = Γ, jos I = ψ kaikilla ψ Γ. Esimerkki 3.1. Määritellään kaavajoukko Λ 1 ={( x, y)(x = y xry yrx), ( x, y, z)((xry yrz) xrz)}. Tällä kaavajoukolla on kaikenkokoisia malleja, sillä järjestysrelaatio toteuttaa edeltävät kaavat, ja mikä tahansa äärellinen joukko voidaan järjestää täydellisesti. Esimerkki 3.2. Määritellään kaavajoukko Λ 2 ={( x, y)(x = y (xry xby)), ( x, y)((xry yrx) (xby ybx)), ( x, y, z)((x = y y = z z = x) ( (xry yrz xrz) (xby ybz xbz))}. 6

Osoitetaan, että kaavajoukolle Λ 2 ei ole mallia, jonka universumissa on ainakin kuusi alkiota. Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 4)} ja B = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (5, 2), (5, 3)}. On suoraviivaista osoittaa, että näillä valinnoilla saadaan kaavajoukon Λ 2 malli. On myös helppo näyttää, että pienempiäkin malleja on. Olkoon sitten A 6. Ensimmäinen ja toinen kaava ilmaisevat, että relaatiot R ja B ovat symmetrisiä, ja että ne partitioivat joukon A A \ {(x, x) : x A}. Näin ollen nämä relaatiot määrittelevät joukon A alkioista muodostettujen parien 2-värityksen. Koska R(3, 3) = 6, niin on olemassa kolme erisuurta alkiota x, y ja z, jotka ovat joko relaatiossa R tai B. Joka tapauksessa kolmas kaava tulee epätodeksi, mikä todistaa väitteen. Huomaa, että alun viiden alkion joukolle määritelty relaatio on itse asiassa 5-syklin esitys joukkona saman graafin, joka osoittaa, että R(3, 3) > 5. Tulkinta I on kanoninen, jos tulkinnan kaikki relaatiot ovat kanonisia tulkinnan universumissa. Ramseyn todistuksen idea on seuraava: jos kaavajoukolla Γ on riittävän suuri malli, niin sillä on hyvin säännöllinen (kanoninen) alimalli, jonka avulla voidaan rakentaa joukolle Γ mielivaltaisen kokoisia malleja. Osoitetaan ensin miten kanonisesta mallista voidaan rakentaa muita malleja. Lemma 3.3. Olkoon Γ jokin epätyhjä kaavajoukko, jonka kvanttoriaste on t. Oletetaan, että on olemassa sellainen kanoninen tulkinta I, I = t, että I = Γ. Tällöin kaavajoukolla Γ on kaikenkokoisia malleja. Todistus. Olkoon K =. Oletetaan, että joukot K ja Dom(I) ovat täydellisesti järjestettyjä. Määritellään tulkinta K asettamalla Dom(K ) = K ja määrittelemällä kaavojen Γ i-paikkaisille relaatiosymboleille R: R K = {(x 1,..., x i ) K i : (x 1,..., x i ) (y 1,..., y i ) jollakin (y 1,..., y i ) R I }. Koska tulkinta I on kanoninen, niin relaatiot R K ovat hyvinmääriteltyjä. Huomaa, että tässä on tärkeää, että mallissa I on t alkiota. 7

Väite: Olkoot R i-paikkainen relaatio, x K i ja ȳ Dom(I ) i. Jos x ȳ, niin R K ( x) R I (ȳ). Todistus. Oletetaan, että x ȳ. Ensinnäkin jos ȳ R I, niin määritelmän mukaan x R K. Oletetaan sitten, että x R K. Tällöin määritelmän mukaan on olemassa sellainen z Dom(I ) i, että x z ja z R I. Seuraa, että ȳ z, jolloin ȳ R I, sillä tulkinta J on kanoninen. Osoitetaan sitten, että K = Γ, mistä väite seuraa. Oletetaan, että joukossa Γ on kaava ϕ = ( x 1,..., x n )(F(R 1,..., R m, =, x 1,..., x n ). Tarkastellaan i-paikkaista relaatiota R 1. Olkoon x K i mielivaltainen. Tällöin on olemassa jokin sellainen ȳ Dom(I ) i, että x ȳ. Edeltävän väitteen perusteella R K 1 ( x) RI 1 (ȳ). Vastaava menettely voidaan toistaa kaikille kaavassa F esiintyville relaatioille R l. Koska I on universaalin kaavan ϕ malli, niin edeltävästä ekvivalenssista seuraa, että K = ϕ. Toistamalla menettely kaikille joukon Γ kaavoille nähdään, että K = Γ. Seuraava lause ja seuraus ovat Ramseyn artikkelin [1] päätulos. Lause 3.4. Olkoon Γ kaavajoukko, jonka kvanttoriaste on t. Tällöin on olemassa seuraavanlainen luku M: Jos on olemassa sellainen tulkinta I, I = M, että I = Γ, niin kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. Todistus. Oletetaan, että kaavajoukon Γ kaavoissa on b i i-paikkaista relaatioita kaikilla 1 i k. Olkoon M lauseen 2.4 antama luku. Lauseen mukaan on olemassa mallin I kanoninen alitulkinta J, J = t. Koska oletettiin, että kaavajoukon Γ kaavat sisältävät vain universaalikvanttoreita, niin J = Γ. Lemman 3.3 mukaan kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. Lauseen ja edeltävän lemman 3.3 todistuksista nähdään, että jos kaavajoukolla Γ on kaikenkokoisia malleja, niin sillä on kanoninen malli, ja kääntäen, että kanonisen mallin olemassaolosta seuraa, että kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. On helppoa osoittaa, että esimerkin 3.2 kaavakokoelmalla Λ 2 ei ole kanonisia malleja, joten sillä ei voi olla kaikenkokoisia malleja, kuten aiemmin osoitettiin. Esimerkin 3.1 kaavajoukolla taas on kanoninen malli, ja täten kaikenkokoisia malleja; aivan kuten esimerkissä todettiinkin. 8

Kirjallisuutta [1] Ramsey, F. P.: On a Problem of Formal Logic, Proc. London Math. Soc., Vol. 30 (1929), 264 286. [2] Erdős, P., Szekeres, G.: A Combinatorial Problem in Geometry, Compositio Math 2 (1935), 463 470. [3] Graham R. L., Rothschild B. L., Spencer J. H.: Ramsey Theory, 2nd Edition, Wiley- Blackwell (1990). 9