3. Predikaattilogiikka

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "3. Predikaattilogiikka"

Heli Salminen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole yksikäsitteistä totuusarvoa. Tosi, jos x = 2 ja epätosi muulloin. Lause: On olemassa sellainen kokonaisluku, että x 3 8 = 0 on tosi. Predikaattilogiikka: Lauselogiikan laajennus. Sisältää muuttujia ja määrän ilmaisuja Peruskäsitteitä Perusjoukko (=universumi): Kaikki alkiot (vrt. määrittelyjoukko) Muuttuja (x, y,...) tarkoittaa aina perusjoukon jäsentä. Predikaatit: Muuttujia sisältävät lauseet, muuttujiensa ominaisuudet. P(x) tarkoittaa: x:llä on ominaisuus P Esimerkki: P(x) : x 2 4 Ominaisuus voi koskea myös useampaa muuttujaa Q(x 1, x 2,..., x n ) : x x x 2 n > 4

2 Sijoitettaessa arvoja predikaatin muuttujien paikalle saadaan lause logiikan kannalta. Esimerkki P(4) on tosi P(x) : x 2 > 4. lause P( 1) on epätosi. Predikaatit totuusarvoisia: Voidaan käyttää lauselogiikan toimituksia. Esimerkiksi lauseen (P(x)) P(4) totuusarvo riippuu muuttujasta x, kun taas lause on aina tosi. x 0 tai 4 > 0. Predikaattien totuusarvo riippuu aina perusjoukosta: Esimerkki: on tosi kaikilla x, jos U = R +. P(x) : x + 1 > 0 Totuusarvo ei ole yksikäsitteinen, jos U = R. Jos U = R, niin löytyy ainakin yksi reaaliluku x, jolla P(x) on tosi.

3 Kvanttorit Kvanttori: Määrän ilmaisu. Muokkaa predikaateista (mahdollisesti) lauseita, joilla on yksikäsitteinen totuusarvo. Universaalikvanttori: : ( x)p(x) Tulkitaan lauselogiikan lauseeksi joka on tosi tarkalleen silloin kun P(x) on tosi kaikilla x:n arvoilla. Universaalikvanttoria vastaavat luonnollisen kielen ilmaisut "kaikilla", "jokaisella"jne.. Huom.Perusjoukko vaikuttaa onko lause tosi vai ei. Esimerkki Q(x) : x 3 0 Tosi, jos U = R + xq(x) Epätosi,jos U = R (Q( 1) on epätosi).

4 Muut muuttujat: xp(x, y, z,...). ei ole lauselogiikan lause, vaan muuttujien y, z,... predikaatti. Olemassaolokvanttori: : ( x)p(x) Tulkitaan lauselogiikan lauseeksi joka on tosi tarkalleen silloin kun P(x) on tosi ainakin yhdellä perusjoukon alkiolla x. Olemassaolo- eli eksistenssikvanttoria vastaavat luonnollisen kielen ilmaisut "on olemassa", ainakin yhdellä", "jollakin". Esimerkki Perusjoukko U = R P(x): x 2 = 4 Q(x): x 2 = 4 xp(x) on tosi. xq(x) on epätosi.

5 Huom. xp(x) on tosi myös, jos P(x) toteutuu useammallakin muuttujan x arvolla. Erityisesti jos xp(x) on tosi niin on myös xp(x) tosi. Esimerkki 3.1. Olkoot perusjoukkona kaikki kokonaisluvut. Mitkä seuraavista lauseista ovat tosia? a) n(n 2 > n). b) n(n 2 < n). c) n(n 2 n on parillinen). Ratk....

6 Useampi kvanttori Useammalla kvanttorilla saadaan erilaisia variaatioita. x yp(x, y) kaikilla x ja kaikilla y P(x, y) x yp(x, y) kaikilla x on olemassa y P(x, y) x yp(x, y) on olemassa sellainen x, että kaikilla y P(x, y) x yp(x, y) on olemassa x, ja on olemassa y että P(x, y) y xp(x, y) kaikilla y on olemassa x P(x, y) y xp(x, y) on olemassa sellainen y, että kaikilla x P(x, y) Sopimus: Sulkujen vähentämiseksi peräkkäin olevat kvanttorit tehdään vasemmalta oikealle ja kvanttori kohdistuu aina sitä seuraavien kvanttoreiden ja predikaatin muodostamaan predikaattiin. Esimerkiksi x y zp(x, y, z) on sama kuin x[ y( zp(x, y, z))] Järjestyksen merkitys Huom. Kvanttoreiden järjestyksellä on merkitystä. Esimerkki. Keksi esimerkki predikaatista P(x, y), jolle lauseilla x yp(x, y) ja y xp(x, y) on eri totuusarvo. Ratk....

7 Sidotut/vapaat muuttujat Sidottu muuttuja: Muuttujaan kohdistuu kvanttori tai sen paikalle on sijoitettu arvo. Ilmaisuissa xp(x, y, z) ja xp(x, y, z) on muuttuja x sidottu. Vapaa muuttuja:muuttujaan ei kohdistu kvanttoria, eikä sen tilalle ole sijoitettu arvoa. Ilmaisuissa xp(x, y, z) ja xp(x, y, z) ovat y ja z vapaita muuttujia. Huom. Sidottu muuttuja voidaan vaihtaa aina toiseksi, kunhan muuttujan perusjoukko pysyy samana. Esimerkki. Lauseet ovat samat, samoin predikaatit xp(x) ja tp(t) xp(x, y, z) ja tp(t, y, z), olettaen että muuttujien x ja t perusjoukot ovat samat. Huom. Predikaatteja sisältävä lause on lause logiikan kannalta vain jos se ei sisällä vapaita muuttujia.

8 Kvanttorit luonnollisessa kielessä Kvanttorit esiintyvät myös luonnollisen kielen lauseissa: Esimerkki 3.2. Lausu symbolimuodossa seuraavat lauseet, kun perusjoukkona ovat kaikki maailman ihmiset. a) On olemassa rehellinen poliitikko. b) Kaikki poliitikot ovat rehellisiä. c) Kaikki maailman ihmiset ovat rehellisiä poliitikkoja. Ratk. P(x) = "x on poliitikko"... R(x) = "x on rehellinen" Huom. on määrän ilmaisu rakenteella Jos A..., niin B. on määrän ilmaisu rakenteella A ja B. Esimerkki 3.2. (jatkoa) Lausu symbolimuodossa seuraavat lauseet, kun perusjoukkona ovat kaikki maailman poliitikot. a) On olemassa rehellinen poliitikko. b) Kaikki poliitikot ovat rehellisiä. Ratk....

9 Esimerkki 3.3. Perusjoukko U:Kaikki maailman ihmiset Predikaatit: P(x) = "x on poliitikko" R(x) = "x on rehellinen". Lausu luonnollisella kielellä lauseet a) x(p(x) R(x)) b) x(p(x) R(x)). Ratk.... Esimerkki 3.4. Olkoon perusjoukkona U kaikki maailman ihmiset. Käytetään seuraavia predikaatteja: P(x) = "x on kunnallispoliitikko", V (x, y) = "x haluaa y:n pysyvän vallassa", KK(x) = "x asuu köyhässä kunnassa", KL(x) = "x kannattaa kuntaliitosta". Kirjoita lauseet 1)-3) symbolimuotoon. 1) Jokainen köyhässä kunnassa asuva kannattaa kuntaliitosta. Sama toisin: Jos asuu köyhässä kunnassa, niin kannattaa kuntaliitosta. x[kk(x) KL(x)]

10 Esimerkki 3.4. jatkoa P(x) = "x on kunnallispoliitikko", V (x, y) = "x haluaa y:n pysyvän vallassa", KK(x) = "x asuu köyhässä kunnassa", KL(x) = "x kannattaa kuntaliitosta". 2) Ainakin yksi itsensä vallassa pysymistä haluava köyhässä kunnassa asuva kunnallispoliitikko ei kannata kuntaliitosta. x[v (x, x) KK(x) P(x) KL(x) ] 3) Ei ole totta, että jokainen kuntaliitosta vastustava olisi kunnallispoliitikko. [ x(kl(x) P(x))] Aina tosi lause Predikaattilogiikka: Lause, jossa on määrän ilmaisuja saa yleensä erilaisia totuusarvoja, sen mukaan mikä on perusjoukko ja mitä predikaatteja lause sisältää. Validi lause: (aina tosi lause), Lause joka on tosi perusjoukosta ja predikaateista riippumatta (vrt. lauselogiikan tautologia). Esimerkki. ( xp(x)) ( xp(x)) on validi lause. Perustelu...

11 Lauselogiikka: Kysymys: Onko lause tautologia? voidaan algoritmisesti ratkaista (totuustaulut) Predikaattilogiikka: Lauseen totuusarvo riippuu perusjoukosta ja predikaattien tulkinnoista, joita on olemassa ääretön määrä. Lauseen validiuden osoittamiseksi ei ole olemassa algoritmia (vrt. lauselogiikan totuustaulut) Ei-validiuden osoittamiseen riittää vastaesimerkki. Esimerkki ( xp(x)) ( xp(x)) ei ole validi lause. Perustelu. Perusjoukko U: Kokonaislukujen joukko Predikaatti: P(x) : x > 3 P(4) on tosi, joten xp(x) on tosi Lause P(3) on epätosi, joten xp(x) on epätosi. Yo. valinnoilla on lause ( xp(x)) ( xp(x)) epätosi eli se ei ole validi lause.

12 Yleistetyt De Morganin lauseet Valideja lauseita ovat mm. yleistetyt De Morganin lauseet: (1) [ xa(x)] [ x(a(x) )] (2) [ x(a(x))] [ x(a(x) )] Todistus.(1)Väite: [ xa(x)] [ x(a(x) )] on validi lause. Osoitetaan, että lauseilla [ xa(x)] ja x(a(x) ) on aina sama totuusarvo. Oletetaan, että [ xa(x)] on tosi (vastaavasti epätosi). Silloin xa(x) on epätosi (vastaavasti tosi) Eli A(x) on epätosi ainakin yhdellä (vastaavasti tosi kaikilla)x U. Siis A(x) on tosi ainakin yhdellä (vastaavasti epätosi kaikilla)x U. Siis [ x(a(x) )] on tosi (vastaavasti epätosi). Kohta (2) todistetaan vastaavasti.

Samankaltaiset tiedostot

Predikaattilogiikkaa

Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat