Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13"

Pasi Kokkonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13

2 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, (0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita). Tod.... jatkoa jatkoa 1 / 13

3 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, (0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita). Tod.... jatkoa jatkoa Esimerkki Osoita, että{a B,B C,C } A. Ratk / 13

4 2 : Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava päättelysääntö. Helposti mekanisoitava menetelmä. 3 jatkoa jatkoa 2 / 13

5 2 3 : Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava päättelysääntö. Helposti mekanisoitava menetelmä. Ketjusääntö toisin: "JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi." {A B,B C} A C jatkoa jatkoa 2 / 13

6 2 3 jatkoa : Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava päättelysääntö. Helposti mekanisoitava menetelmä. Ketjusääntö toisin: "JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi." {A B,B C} A C Toisaalta: A B = A B,B C = C B jaa C = A C. jatkoa 2 / 13

Ketjusääntö toisin: "JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on

7 2 3 jatkoa jatkoa : Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava päättelysääntö. Helposti mekanisoitava menetelmä. Ketjusääntö toisin: "JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi." {A B,B C} A C Toisaalta: A B = A B,B C = C B jaa C = A C. sääntö (RS): "JosA B on tosi jac B on tosi, niin myösa C on tosi." eli {A B,C B } A C 2 / 13

Ketjusääntö toisin: "JosA B on tosi jab C on tosi, niina C on tosi.

8 Lauseen 2.5. perusteella voidaan jokainen päättely muuntaa muotoon {A 1,A 2,...,A n } 0, joten riittää tarkastella tätä muotoa olevia päättelyjä. 2 3 jatkoa jatkoa 3 / 13

9 Lauseen 2.5. perusteella voidaan jokainen päättely muuntaa muotoon {A 1,A 2,...,A n } 0, joten riittää tarkastella tätä muotoa olevia päättelyjä. 2 3 jatkoa menettely. 1) Kirjoitetaan kukin lauseistaa 1,A 2,...,A n konjunktiiviseen normaalimuotoon, jonka literaalit ovat alkeislauseita tai alkeislauseiden negaatioita. jatkoa 3 / 13

2 3 jatkoa menettely. 1) Kirjoitetaan kukin lauseistaa 1,A 2,.

10 2 Olkoot näin saadut konjunktitc 1,C 2,...,C m. 2 3 jatkoa jatkoa 4 / 13

11 2 2 Olkoot näin saadut konjunktitc 1,C 2,...,C m. SelvästiA 1 A 2 A n = C 1 C 2 C m. 3 jatkoa jatkoa 4 / 13

12 2 2 3 jatkoa jatkoa Olkoot näin saadut konjunktitc 1,C 2,...,C m. SelvästiA 1 A 2 A n = C 1 C 2 C m. Nyt täsmälleen silloin kun täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n } 0 {A 1 A 2 A n } 0 {C 1 C 2 C m } 0 täsmälleen silloin kun {C 1,C 2,...,C m } 0 4 / 13

13 3 2) Siirrytään tarkastelemaan päättelyä{c 1,C 2,...,C m } jatkoa jatkoa 5 / 13

14 3 2 3 jatkoa 2) Siirrytään tarkastelemaan päättelyä{c 1,C 2,...,C m } 0. 3) Jos konjunktienc 1,C 2,...,C m joukosta löytyy kaksi sellaista konjunktia, joista yhdessä on literaalina alkeislause ja toisessa on saman alkeislauseen negaatio, niin sovelletaan resoluutiosääntöä ja sen avulla päätellään uusi konjunkti. Esimerkki:C i = A B C D jac j = B D G Uusi konjunkti:a B C G. Saatu uusi konjunkti lisätään konjunktilistaanc 1,C 2,...,C m. jatkoa 5 / 13

saman alkeislauseen negaatio, niin sovelletaan resoluutiosääntöä ja sen avulla päätellään uusi konjunkti.

15 2 Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan yksiliteraalinen konjunktic i muuntaa konjunktiksic i 0ja soveltaa resoluutiosääntöä. 3 jatkoa jatkoa 6 / 13

16 2 Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan yksiliteraalinen konjunktic i muuntaa konjunktiksic i 0ja soveltaa resoluutiosääntöä. 3 jatkoa Esimerkki:C i = B,C j = A B C. Tulkitaan, ettäc i = B 0, jolloin resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin A C 0 = A C. jatkoa 6 / 13

resoluutiosääntöä. 3 jatkoa Esimerkki:C i = B,C j = A B C.

17 2 Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan yksiliteraalinen konjunktic i muuntaa konjunktiksic i 0ja soveltaa resoluutiosääntöä. 3 jatkoa Esimerkki:C i = B,C j = A B C. Tulkitaan, ettäc i = B 0, jolloin resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin A C 0 = A C. jatkoa Jos molemmat konjunktit ovat yksiliteraalisia, eli muotoac i = A jac j = A, päätellään0ja lopetetaan. 6 / 13

18 2 Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan yksiliteraalinen konjunktic i muuntaa konjunktiksic i 0ja soveltaa resoluutiosääntöä. 3 jatkoa Esimerkki:C i = B,C j = A B C. Tulkitaan, ettäc i = B 0, jolloin resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin A C 0 = A C. jatkoa Jos molemmat konjunktit ovat yksiliteraalisia, eli muotoac i = A jac j = A, päätellään0ja lopetetaan. 4)Kohtaa 3) toistetaan kunnes0on saatu pääteltyä tai uusia konjunkteja ei enää synny säännön avulla. 6 / 13

Tulkitaan, ettäc i = B 0, jolloin resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin A C 0 = A C.

19 2 Osoita resoluutiomenettelyllä, että{c A,C B} A B. Ratk jatkoa jatkoa 7 / 13

20 Lause 2.6.{A 1,A 2,...,A n } 0 jos ja vain jos resoluutiomenettely pysähtyy ja0on saatu pääteltyä. 2 3 Tod. Äärellisestä literaalimäärästä voi syntyä vain äärellinen literaalimäärä, joten resoluutiomenettely pysähtyy jatkoa jatkoa 8 / 13

21 Lause 2.6.{A 1,A 2,...,A n } 0 jos ja vain jos resoluutiomenettely pysähtyy ja0on saatu pääteltyä. 2 3 Tod. Äärellisestä literaalimäärästä voi syntyä vain äärellinen literaalimäärä, joten resoluutiomenettely pysähtyy jatkoa jatkoa Jos resoluutiomenettelyllä saadaan pääteltyä0, niin selvästi {A 1,A 2,...,A n } 0. 8 / 13

22 2 3 Riittää osoittaa: Jos resoluutiomenettely pysähtyy, mutta0:aa ei ole saatu pääteltyä,niin {A 1,A 2,...,A n } 0. jatkoa Toisin: Jos resoluutiomenettely pysähtyy, mutta0:aa ei ole saatu pääteltyä, niin lauseidena 1,A 2,...,A n (tai vastaavasti konjunktienc 1,C 2,...,C m ) alkeislauseille voidaan valita sellaiset totuusarvot, että kaikki lauseeta i (vastaavasti lauseetc j ) ovat tosia. jatkoa 9 / 13

23 jatkoa 2 3 jatkoa Tarkastellaan niitä konjunkteja, jotka esiintyvät prosessin pysähtyessä ilman, että0:aa olisi saatu pääteltyä. Olkoot kaikki tällöin esiintyvät alkeislauseet: X 1,X 2,...,X k. Rakennetaan literaalijonoy 1,Y 2,...,Y k, missä kaikillai = 1,2,...,k Y i = X i taiy i = X i seuraavasti:... jatkoa 10 / 13

24 periaatetta käyttäen voidaan siis suorittaa kaikki. 2 3 jatkoa jatkoa 11 / 13

25 2 3 Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja. Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä). Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja tunnetaan lukuisia. jatkoa jatkoa 12 / 13

26 2 3 jatkoa jatkoa Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja. Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä). Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja tunnetaan lukuisia. Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti: Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista: 1)P (Q P); 2)(P (Q R)) ((P Q) (P R)); 3)(Q P ) (P Q), 12 / 13

27 2 3 jatkoa jatkoa Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja. Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä). Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja tunnetaan lukuisia. Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti: Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista: 1)P (Q P); 2)(P (Q R)) ((P Q) (P R)); 3)(Q P ) (P Q), Päättelysääntönä on Modus Ponens. 12 / 13

28 2 3 jatkoa jatkoa Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja. Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä). Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja tunnetaan lukuisia. Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti: Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista: 1)P (Q P); 2)(P (Q R)) ((P Q) (P R)); 3)(Q P ) (P Q), Päättelysääntönä on Modus Ponens. 12 / 13

29 jatkoa 2 3 Varsinaiset aksiomat (äärettömän monta) saadaan sijoittamalla yo. tautologioissa esiintyvien symbolienp,qjarpaikalle kaikilla mahdollisilla tavoilla kulloinkin käsillä olevista alkeislauseista muodostetut lauseet (jos tautologiassa esiintyy sama symboli monta kertaa on sen paikalle joka kohtaan sijoitettava sama lause). jatkoa jatkoa 13 / 13

30 jatkoa 2 3 jatkoa Varsinaiset aksiomat (äärettömän monta) saadaan sijoittamalla yo. tautologioissa esiintyvien symbolienp,qjarpaikalle kaikilla mahdollisilla tavoilla kulloinkin käsillä olevista alkeislauseista muodostetut lauseet (jos tautologiassa esiintyy sama symboli monta kertaa on sen paikalle joka kohtaan sijoitettava sama lause). Voidaan osoittaa, että yo. aksiomeilla ja päättelysäännöllä voidaan johtaa jokainen tautologia. Selvästi muita kuin tautologiota ei voida johtaa, sillä aksiomat ovat tautologioita ja josajaa B ovat tautologioita, niin myösb on tautologia. jatkoa 13 / 13

Samankaltaiset tiedostot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä