Sisältö 1 Normiavaruudet 1 2 Metriikka 8 3 Avoimet joukot ja ympäristöt 16 4 Jatkuvat kuvaukset 22 5 Jatkuva kuvaus normiavaruuteen 28 6 Suljetut joukot ja sulkeuma 35 7 Relatiivitopologia 50 8 Sisä- ulko- ja reunapisteet 58 9 Homeomorfismi 61 10 Metriikkojen ekvivalenssi 68 11 Tuloavaruus 72 12 Jonot ja niiden raja-arvot 80 13 Funktion raja-arvo 96 14 Täydellisyys 105 15 Kompaktius 117 16 Yhtenäisyys 137 17 Polkuyhtenäisyys 148 18 Yhtenäisyyskomponentit 155 19 Lineaarikuvaukset 160 20 Matriisit 187 1
Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssien luentomateriaaliksi. Näitä kurssejahan on oikeastaan kaksi, jotka on byrokraattisesti nimetty kursseiksi Topologia 1 ja Topologia 2. Tällä ensimmäisellä topologian kurssilla johon tämä moniste liittyy käsitellään metrisiä avaruuksia, ja siksi monisteen nimi on Metriset avaruudet. Kurssin jälkimmäisessä osassa käsitellään yleisiä topologisia avaruuksia, ja siihen ilmestyy aikanaan oma moniste. Kurssilla esitettävät asiat löytyvät myös lähes kaikista alkeistopologian oppikirjoista, joita on lukuisia. Lähimpänä tätä monistetta asioiden käsittelyjärjestykseltään lienee Jussi Väisälän kaksiosainen topologian (painettu) moniste, joka on ilmestynyt Limes ry:n kustantamana, ja löytyy vaikkapa Mattilanniemen kirjastosta. Tämän monisteen tarkoitus on toimia luennolla apuna muistiinpanoja tehdessä: ei ole välttämättä kovin tarkoituksenmukaista, että luennoitsija kirjoittaa omasta paperistaan tekstiä liitutaululle, josta opiskelijat sitten kopioivat sen omiin papereihinsa. Monisteessa on esitetty todistukset hyvin yksityiskohtaisesti, ja luennoilla ei näitä kaikkia yksityiskohtia kirjoiteta näkyviin, vaan pyritään keskittymään isompiin asioihin. Omakohtainen kirjoittaminen ja laskeminen on kuitenkin matematiikassa tärkeää; siksi harjoitustehtävien itsenäinen ratkominen on merkittävässä osassa tällä(kin) kurssilla. Esitietoja tähän ei paljon tarvita. LAG:n kurssi on välttämätön ja analyysin perusteet pitää osata. Jatkuvia reaalikuvauksia pitäisi osata käsitellä ainakin jonkin verran. Kompleksiluvut on syytä hallita alkeislaskutoimitusten osalta. Algebraakin tässä vähän esiintyy esimerkiksi heti luvun 1 alussa puhutaan kunnista. Algebran kurssin suorittaminen ei kuitenkaan ole välttämätöntä, eikä kannata kauheasti säikähtää, vaikkei tietäisikään mikä on kunta. Johdannon lopuksi on ehkä syytä huomauttaa, että tämä luentomoniste on aivan uunituore, mikä ei tarkoita sitä, että tässä olisi joitakin matemaattisesti uunituoreita asioita, vaan sitä, että tähän on väkisinkin jäänyt painovirheitä. Näitä tietenkin pyrin siivoamaan pois sitä mukaa, kun niitä huomaan. Pyydän tässä urakassa opiskelijoiden apua: kaikista havaituista virheistä pienistäkin toivon ilmoitusta joko henkilökohtaisesti tai sähköpostitse. 10.8.2012 Lassi Kurittu i
1 Normiavaruudet Merkitään tässä (ja jatkossakin) symbolilla K kuntaa R tai C. Jos on syytä spesifioida, kerrotaan sitten erikseen kumpaa näistä K tarkoittaa, mutta yleisesti K voi olla näistä kumpi tahansa. Huomaa, että kompleksiluvuille on määritelty yhteen- ja kertolasku, jotka tekevät todellakin C:stä kunnan. Sanotaan, että vektoriavaruus yli kunnan K (tai lyhyesti K-vektoriavaruus) on epätyhjä joukko X, jossa on määritelty yhteenlasku eli kuvaus X X X, (v,u) v + u ja skalaarilla kertominen eli kuvaus K X X, (λ, v) λv, jotka toteuttavat vektoriavaruusaksioomat, ks. LAG tai Väisälä s.13. Vektoriavaruudessa voidaan tunnetulla tavalla määritellä kanta ja dimensio. Esimerkki. R n on tunnetusti R-vektoriavaruus luonnollisin laskutoimituksin. Vastaavasti C n on C-vektoriavaruus samankaltaisin laskutoimituksin. Huomaa, että joukosta C n tulee myös R-vektoriavaruus, kun reaalisella skalaarilla kertominen tapahtuu niin, että tulkitaan reaaliluku kompleksiluvuksi. (Kompleksiluvuthan ovat muotoa a+ib, missä a,b R ja i on imaginaariyksikkö. Reaaliluku x voidaan tulkita kompleksiluvuksi intuitiivisesti ajatellen niin, että kirjoitetaan x muotoon x + i0 C, missä 0 R. Tässä on järkeä, koska summan ja tulon määritelmä ei riipu tästä tulkinnasta. Mitä tämä tarkkaan ottaen tarkoittaa, selviää algebran kurssilla, mutta mennään nyt tällä intuitiivisella tulkinnalla.) Esimerkiksi jos v = (1 + 2i,4 5i) C 2 ja λ = 3 R, niin määritellään yksinkertaisesti λv = 3(1 + 2i,4 5i) = (3(1 + 2i),3(4 5i)) = (3 + 6i,12 15i) C 2. Vastaavalla tavalla voidaan jokainen C-vektoriavaruus tulkita R-vektoriavaruudeksi. Huomaa, että dimensio muuttuu tässä tulkinnassa. Jos dim C X = n, niin dim R X = 2n. Esimerkiksi avaruuden C 2 C-kanta on {(1,0),(0,1)} ja sen R-kanta on {(1, 0),(i, 0),(0, 1),(0, i)}. Huomaa myös se, että jokaista R-vektoriavaruutta ei voi tulkita C-vektoriavaruudeksi. Esimerkiksi avaruuteen R 3 ei voi määritellä sellaista kompleksista skalaarilla kertomista, joka tekisi siitä C-vektoriavaruuden. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, miksei voida. Esimerkki 1.1 a) Olkoon A jokin epätyhjä joukko. Joukko F(A, K) = {f f on kuvaus f : A K} on K-vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen asettamalla (f + g)(x) := f(x) + g(x) kaikille f,g F(A, K) ja x A sekä (λf)(x) := λf(x) kaikille f F(A, K), λ K ja x A. 1
b) Joukko l = {(x n ) n N (x n ) on K:n alkioista muodostuva rajoitettu jono} on K-vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen asettamalla c) Joukko (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) ja λ(x n ) = (λx n ). C([0,1], K) = {f f on jatkuva kuvaus f : [0,1] K} on K-vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen kuten a)-kohdassa. Tässä tarvitaan vähän analyysi 1:n tietoja erityisesti tietenkin tieto siitä, mitä tarkoittaa reaalifunktion jatkuvuus. Lisäksi tarvitaan jatkuvan kuvauksen [0, 1] C määritelmä. Tämä voidaan määritellä niin, että f : [0,1] C on jatkuva täsmälleen silloin, kun sen sekä reaali- että imaginaariosa ovat jatkuvia reaalisina kuvauksina [0,1] R. Määritelmä 1.2 Olkoon X K-kertoiminen vektoriavaruus. Sanotaan, että kuvaus X X K, (x,y) x y on sisätulo avaruudessa X, jos kaikille x,y,z X ja λ K pätee x y = y x, (λx) y = λ(x y), (S1) (S2) (x + y) z = x z + y z, (S3) x x 0 ja (S4) x x = 0 x = 0. (S5) Jos vektoriavaruudessa X on määritelty sisätulo, niin sanotaan, että (X, ) on sisätuloavaruus. Huomautus 1.3 Määritelmän 1.2 ehdossa (S1) oleva ylleviivaus tarkoittaa kompleksikonjugaattia: jos a + ib C, a,b R, niin a + ib := a ib C. Reaaliluvuille kompleksikonjugointi ei tee mitään eli a = a kaikille a R. Huomaa, että kompleksilukujen laskusääntöjen perusteella kaikille z, w C pätee z + w = z+w ja zw = zw. Sama pätee triviaalisti myös reaalisille z ja w. Lisäksi laskusääntöjen nojalla kaikille kompleksisille (ja reaalisille) z pätee zz = z 2. Tässähän kompleksisen luvun z itseisarvo määritellään tavanomaiseen tapaan: jos z = a + ib C, a,b R, niin z = a 2 + b 2. Lemma 1.4 Olkoon (X, ) K-kertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin kaikille x X pätee x x R. 2
Huomautus. Tässä ei ole tietenkään mitään todistamista, jos K = R. Tapauksessa K = C on lähtökohtaisesti (vain) x x C, jolloin väitteellä on jotain sanottavaa. Todistus. Olkoon x X mielivaltainen. Määritelmän 1.2 ehdon (S1) nojalla x x = x x, mistä väite seuraakin, sillä ne kompleksiluvut z, joille pätee z = z, ovat reaalisia. Huomautus. Määritelmän 1.2 ehto (S4) x x 0 saattaa näyttää vähän oudolta, kun K = C, sillä eihän kompleksiluvuilla ole mitään järkevää suuruusjärjestystä eli ei voida sanoa, milloin z 0, kun z on mielivaltainen kompleksiluku. Nyt kuitenkin lemman 1.4 nojalla x x on reaalinen, jolloin ehdon (S4) suuruusvertailu voidaan järkevästi tehdä. Esimerkki 1.5 a) C n on kompleksinen sisätuloavaruus, kun määritellään b) Joukko (x 1,...,x n ) (y 1,...,y n ) = n x i y i. i=1 l 2 = {(x n ) n N (x n ) on K:n jono siten, että sarja x i 2 suppenee} i=1 on K-vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen kuten esimerkissä 1.1 b). Avaruuteen l 2 syntyy sisätulo, kun määritellään (x n ) (y n ) = x i y i. Jätetään tämän todistaminen harjoitustehtäväksi tässähän pitää ensin todeta, että määritelmässä oleva sarja suppenee. Kompleksisen sarjan suppeneminen määritellään niin, että vaaditaan sekä reaali- että imaginaariosista muodostuvien reaalisten sarjojen suppenevan. n=1 c) Olkoon X kuten esimerkissä 1.1 c). Määrittely f g = 1 0 f(t)g(t)df antaa sisätulon avaruuteen X. Tässä kompleksiarvoisen funktion integraali määritellään niin, että integroidaan reaali- ja imaginaariosaa erikseen eli jos h on kompleksiarvoinen, niin määritellään 1 0 h(t)dt := 1 0 Re(h(t))dt + i 1 0 Im(h(t))dt C. 3
Seuraava määritelmä on LAG:n kurssilta tuttu: Määritelmä 1.6 Olkoon X K-vektoriavaruus. Sanotaan, että kuvaus X R, x x on normi, jos kaikille x,y X ja λ K pätee x 0, x = 0 x = 0, λx = λ x ja x + y x + y. Jos vektoriavaruudessa X on määritelty normi, niin sanotaan, että (X, ) on normiavaruus. Ehto x+y x + y on nimeltään kolmioepäyhtälö. Esimerkki 1.7 a) K n on normiavaruus, normina (x 1,...,x n ) = ( n i=1 x i 2 ) 1 2. b) Jos l on kuten esimerkissä 1.1 b), niin määrittely (x n ) = sup{ x n n N} antaa normin avaruuteen l. Vastaavasti jos L määritellään asettamalla L = {f : [0,1] K f on rajoitettu}, niin joukosta L tulee ensinnäkin vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen kuten esimerkissä 1.1 b). Lisäksi tähän avaruuteen syntyy normi määritelmällä f = sup{ f(x) x [0,1]}. c) Olkoon p R, p 1. Määritellään joukko l p asettamalla l p = {(x n ) n N (x n ) on K:n jono siten, että sarja x i p suppenee.} i=1 Tästä tulee vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen kuten esimerkissä 1.1 b). Lisäksi l p :stä tulee normiavaruus, kun määritellään ( ) 1 p (x n ) p = x n p. (1) n=1 Laite (1) on melko helppo todistaa normiksi, kun p = 1 ja myös kun p = 2, mutta muut p:n arvot ovat ongelmallisia. Kolmioepäyhtälöhän tässä on vaikeaa; sitä varten tarvitaan Minkowskin, Hölderin ja Youngin epäyhtälöt. Käsitellään 4
tätä tarkemmin harjoitustehtävissä. Vastaavasti määrittely ( 1 f = 0 ) 1 f(t) p p dt antaa normin avaruuteen X = C([0,1], R), minkä todistaminen on yhtä hankalaa kuin l p :ssäkin. Syntyvää normiavaruutta on tapana merkitä symbolilla L p. Lemma 1.8 Olkoon (X, ) K-kertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin kaikille x X pätee x 0 = 0 x = 0. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 1.9 (Schwarzin epäyhtälö) Olkoon (X, ) K-kertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin kaikille x, y X pätee x y 2 (x x)(y y). Todistus. Olkoot x,y X mielivaltaisia. Jos x y = 0, niin väite pätee määritelmän 1.2 ehdon (S4) nojalla. Voidaan siis olettaa, että x y 0, jolloin määritelmän 1.2 ehdon (S1) nojalla myös y x 0. Tällöin lemman 1.8 nojalla y 0 ja x 0. Olkoon lisäksi t K mielivaltainen. Tällöin saadaan (epä)yhtälöketju 0 i) (x + ty) (x + ty) ii) = x (x + ty) + (ty) (x + ty) iii) = (1) ( ) x (x + ty) + t(y (x + ty)) iv) v) = (x + ty) x + t (x + ty) y = ( ) vi) ( ) vii) x x + (ty) x + t x y + (ty) y = x x + t(y x) + t x y + t(y y) = x x + t(y x) + t ( x y + t(y y) ) viii) = x x + t(y x) + t ( y x + t(y y) ) ix) = x x + t(y x) + t(y x) + t 2 (y y) x) = x x + t(y x) + t(y x) + t 2 (y y), missä epäyhtälö i) seuraa määritelmän 1.2 ehdosta (S4), yhtälö ehdosta (S3), yhtälö iii) ehdosta (S2), yhtälö iv) ehdosta (S1), yhtälö v) ehdosta (S3), yhtälö vi) ehdosta (S2), yhtälö vii) huomautuksesta 1.3, yhtälö viii) ehdosta (S1), yhtälö ix) huomautuksesta 1.3 ja yhtälö x) lemmasta 1.4. Arvio (1) pätee siis kaikille t K. Valitaan nyt x x y x t =. (2) y y(y x) Valinta (2) on mielekäs, jos siinä ensinnäkin neliöjuuret ovat (reaalisina) järkevästi määriteltyjä ja nimittäjä on nollasta eroava. Neliöjuurten järkevyys seuraa 5
lemmasta 1.4 jonka mukaan x x ja y y ovat reaalisia ja ehdosta (S4), jonka mukaan ne ovat positiivisia. Lisäksi todistuksen alussa tehdyn oletuksen mukaan y x 0, joten riittää huomata, että y y 0 eli y y 0. Tämä seuraa niin ikään todistuksen alussa tehdysta oletuksesta y 0 ja ehdosta (S5). Näin luku t K on järkevästi määritelty. Sijoitetaan se arvioon (1), jolloin saadaan 0 x x + t(y x) + t(y x) + t 2 (y y) = (3) x x y x x x y x x x (y x) (y x) + x x y x 2 y y(y x) y y(y x) (y y) = y y(y x) x x y x x x 2 + ( x x) 2 y x 2 y y ( y y) 2 (y y) = y x 2 x x y x x x y x x x 2 + x x = 2(x x) 2. y y y y Arvion (3) nojalla saadaan x x y y y x x x. (4) Todistuksen alussa tehdyn oletuksen nojalla x 0, jolloin ehdon (S5) nojalla x x 0, ja silloin ehdon (S4) perusteella x x > 0. Vastaavasti y y > 0, jolloin epäyhtälö (4) voidaan puolittain kertoa reaaliluvulla (y y)/ x x ja saadaan y x x x y y. (5) Ehdon (S1) mukaan y x = x y ja kaikille kompleksiluvuille z pätee z = z, joten y x = x y = x y, jolloin ehdosta (5) saadaan x y x x y y. Lauseen väite seuraa tästä neliöön korottamalla positiiviluvuistahan on kyse. Nyt Schwarzin lemman avulla saadaan tärkeä sisätulon ja normin yhdistävä tulos: Lause 1.10 Olkoon (X, ) K-kertoiminen sisätuloavaruus. Tällöin määrittely x := + x x kaikille x X antaa normin avaruuteen X. Tätä normia sanotaan kyseisen sisätulon indusoimaksi normiksi. Todistus. Lemman 1.4 nojalla x x R ja sisätulon määritelmän (S4) mukaan x x on positiivinen, joten lauseen määritelmä antaa ainakin järkevästi määritellyn, 6
reaali- ja positiiviarvoisen kuvauksen. Lisäksi ehdon (S5) nojalla vaatimus x = 0 x = 0 toteutuu. Jos x X ja λ K ovat mielivaltaisia, niin λx 2 = (λx) (λx) i) = λ(x (λx)) ii) = λ((λx) x) iii) = λ(λ(x x)) iv) = λ(λ(x x)) v) = λ 2 (x x) v) = λ 2 (x x) = λ 2 x x 2, mistä väite λx = λ x seuraa ottamalla puolittain neliöjuuri positiiviluvuistahan tässäkin on kyse. Yllä yhtälö i) seuraa ehdosta (S2), yhtälö ii) ehdosta (S1), yhtälö iii) ehdosta (S2). Yhtälöt iv) ja v) seuraavat huomautuksesta 1.3 ja yhtälö vi) lemmasta 1.4. Näin muut normin vaatimukset toteutuvat paitsi (mahdollisesti) kolmioepäyhtälö. Tämän näkee oikeaksi seuraavaan tapaan. Mielivaltaisille x,y X pätee x + y 2 = (x + y) (x + y) i) = x (x + y) + y (x + y) ii) = (x + y) x + (x + y) y iii) = x x + y x + x y + y y iv) = x x + y x + x y + y y = v) x x + x y + x y + y y vi) = x x + x y + x y + y y vii) x x + 2 x y + y y viii) x x + 2 x x y y + y y ix) = ( x x + y y) 2 = ( x + y ) 2, josta kolmioepäyhtälö seuraa ottamalla puolittain neliöjuuri. Yllä yhtälö i) seuraa ehdosta (S2), yhtälö ii) ehdosta (S1), yhtälö iii) ehdosta (S2), yhtälö iv) huomautuksesta 1.3, yhtälö v) ehdosta (S1) ja yhtälö vi) lemmasta 1.4. Epäyhtälö vii) seuraa siitä, että kaikille kompleksi- ja reaaliluvuille z pätee ilmeisesti z + z = 2Re(z) 2 z. Epäyhtälössä viii) käytetään nyt sitten lopultakin Schwarzin lemmaa, ja yhtälö ix) on tuttu kaava (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Esimerkki. Monet normit ovat nimenomaan sisätulon synnyttämiä. Esimerkiksi avaruudessa K n euklidinen normi ( n ) 1 2 x = x i 2 on euklidisen sisätulon x y = i=1 n x i y i i=1 indusoima, kuten heti nähdään. Vastaavasti jonoavaruudessa l 2 (ks. esimerkki 1.5 b)) normi ( ) 1 2 (x n ) = x i 2 7 i=1
on sisätulon (x n ) (y n ) = x i y i indusoima. Edelleen avaruuden L 2 (ks. esimerkki 1.7 c)) normi ( 1 f = 0 i=1 f(t) 2 ) 1 2 on sisätulon indusoima. f g = 1 0 f(t)g(t)dt Kaikki normit eivät suinkaan synny näin, ts. jokainen normi ei ole sisätulon indusoima. Esimerkiksi l p tai L p avaruuksien normi (ks. esimerkki 1.7 c)) on sisätulonormi jos ja vain jos p = 2. Tämä ilmiö johtuu siitä, että sisätulonormilla on tiettyjä erityisominaisuuksia, joita kaikilla normeilla ei ole. Sisätulonormi toteuttaa ns. suunnikasidentiteetin (parallelogram law), jota kaikki normit eivät toteuta. Tämä identiteetti kuuluu näin: 2 x 2 + 2 y 2 = x + y 2 + x y 2 kaikille x,y. Geometrisestihän tämän voi tulkita niin, että suunnikkaan sivujen neliöiden summa on lävistäjien neliöiden summa tästä siis nimi. Itse asiassa on niin, että tämä suunnikasidentiteetti ei ole ainoastaan välttämätön vaan myös riittävä ehto sille, että annettu normi on jonkin sisätulon indusoima. On jopa niin, että jos on olemassa sisätulo, joka indusoi annetun normin, niin tämä sisätulo on yksikäsitteinen. Toisinpäinhän asia on triviaali (by definition): jos sisätulo on annettu, niin sen lauseen 1.10 mukaisesti indusoima normi on yksikäsitteinen. Jätetään tarkemmat todistukset harjoitustehtäviksi. 2 Metriikka Määritelmä 2.1 Olkoon X mielivaltainen epätyhjä joukko. Sanotaan, että kuvaus d : X X R on metriikka (joukossa X), jos kaikille x,y,z X pätee i) d(x,y) 0, ii) d(x,y) = 0 x = y, iii) d(x,y) = d(y,x) ja iv) d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Joukko X varustettuna metriikalla d : X X R on metrinen avaruus, ja sitä merkitään symbolilla (X,d). 8
Määritelmän 2.1 ehto iv) tunnetaan nimellä kolmioepäyhtälö. Esimerkki 2.2 Seuraavat viritelmät eivät ole metriikoita: a) Jos X = R ja d(x,y) = x y, niin d ei ole metriikka, koska määritelmän 1.1 ehto i) ei toimi. Jos d(x,y) = 2x y, niin taaskaan d ei ole metriikka, koska ehto iii) ei toimi. Jos d(x,y) = x y 2, niin d ei ole metriikka, koska kolmioepäyhtälö ei toimi. (Anna tähän konkreettinen vastaesimerkki.) b) Määritelmän 2.1 ehdon ii) välttämättömyyden toteamiseksi vaaditaan vähän mutkikkaampi esimerkki. Olkoon tässä X välillä [0, 1] R määriteltyjen Riemann-integroituvien reaaliarvoisten funktioiden joukko. Määritellään d : X X R asettamalla kaikille f,g X d(f,g) = 1 0 f(x) g(x) dx. Integraalilaskennan perustulosten avulla on helppo nähdä, että tämä d toteuttaa määritelmän 2.1 ehdot i), iii) ja iv). Sen sijaan ehto ii) ei toteudu, sillä jos määritellään f 0 ja { 1 kun x = 0 g(x) = 0 muuten, niin f,g X ja d(f,g) = 0, vaikka f g. Esimerkki 2.3 Seuraavat viritelmät puolestaan ovat metriikoita: a) Jos X = R ja d(x,y) = x y, niin d on metriikka, ns. itseisarvometriikka. Tämä yleistyy heti: jos X = R n ja d(x,y) = x y, niin d on metriikka, ns. euklidinen metriikka. Tässä siis on tavallinen euklidinen normi, x = x 2 1 +... + x2 n. Tämäkin yleistyy: Jos X on mikä tahansa normiavaruus, normina jokin, niin d : X X R, d(x,y) = x y on metriikka. Sanotaan, että tämä on normin indusoima metriikka. b) Olkoon X = C([0, 1], R) jatkuvien välillä [0, 1] R määriteltyjen reaalifunktioiden joukko. Tällöin d : X X R, d(f,g) = 1 0 f(x) g(x) dx, on metriikka X:ssä. Vertaa esimerkkiin 2.2 b). c) Esimerkki b) yleistyy: Olkoon X kuten b):ssä ja p 1. Määrittely ( 1 d(f,g) = 0 ) 1 f(x) g(x) p p dx antaa metriikan joukkoon X. Huomaa, että tässä määritelmässä oleva eksponentti 1 p on välttämätön, jotta kolmioepäyhtälö saataisiin toimimaan. Metriikan (1) 9
(1) todistaminen metriikaksi on melko vaikeaa; jätetään se harjoitustehtäväksi. Tosin tämä väite seuraa a)-kohdasta, jos todistetaan ensin oikeaksi esimerkin 1.7 c) väite. d) Olkoon X kuten edellä. Määrittely antaa metriikan joukkoon X. d(f,g) = max{ f(x) g(x) x [0,1]} e) Olkoon X rajoitettujen reaalilukujonojen muodostama joukko ja olkoon x = (x n ), y = (y n ) X. Määrittely antaa metriikan joukkoon X. d(x,y) = sup{ x n y n n N} f) Avaruudessa R n voidaan tavallisen euklidisen metriikan (ks. a)-kohta) lisäksi määritellä myös seuraavat melko luonnolliset metriikat d 1 (x,y) = max{ x i y i i = 1,...,n} ja d 2 (x,y) = n x i y i. Metriikkaa d 1 sanotaan maksimimetriikaksi ja metriikkaa d 2 summametriikaksi. g) Kaikissa joukoissa X voidaan määritellä metriikka d asettamalla { 0 kun x = y d(x,y) = 1 kun x y. Tämä on ns. diskreetti metriikka ja metrinen avaruus (X, d) on diskreetti metrinen avaruus. Huomaa, että jokaisesta epätyhjästä joukosta saadaan siis metrinen avaruus, ainakin tällä diskreetillä metriikalla. Yleensä metriikkoja on (annetussa joukossa) kuitenkin vaikka kuinka paljon, ks. lause 2.4. Toisaalta jos X on yksiö, X = {a}, niin X:ssä on vain yksi metriikka d(a,a) = 0. Lause 2.4 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja r > 0. Tällöin kuvaus d : X X R, d (x,y) = r d(x,y) on metriikka joukossa X. Todistus. Helppo harjoitustehtävä. Määritelmä 2.5 Olkoon (X,d) metrinen avaruus, a X ja r > 0. Määritellään a-keskinen, r-säteinen avoin pallo B(a, r), suljettu pallo B(a, r) ja i=1 10
pallon kuori S(a, r) asettamalla B(a,r) = {x X d(a,x) < r}, B(a,r) = {x X d(a,x) r} S(a,r) = {x X d(a,x) = r}. ja Jos käytössä on useita eri metriikoita tai muissakin epäselvissä tilanteissa kirjoitetaan kulloinenkin metriikka d näkyviin merkitsemällä B d (a,r) = B(a,r), B d (a,r) = B(a,r) ja S d (a,r) = S(a,r). Huomautus 2.6 Triviaalisti B(a,r) B(a,r) ja B(a,r) \ S(a,r) = B(a,r). Lisäksi, koska metriikan määritelmän mukaan d(a,a) = 0, niin a B(a,r) kaikille r > 0. Esimerkki 2.7 Jos d on R n :n tavallinen euklidinen metriikkaa, niin avoimet/suljetut pallot näyttävät tavallisilta palloilta, dimensioissa 2 siis kiekoilta. Sen sijaan jos R 2 :ssa käytetään esimerkin 2.3 f) metriikoita d 1 ja d 2, niin pallot ovatkin neliöitä. Jätetään harjoitustehtäväksi piirtää pari tällaista palloa. Huomaa, että syntyvät neliöt ovat eri asennossa käytetystä metriikasta riippuen. Esimerkki 2.8 Jos metriikka on kovin eksoottinen, pallotkin saattavat olla aika kummallisia. Esimerkiksi diskreetin metriikan (esim. 2.3 g)) tapauksessa avoimessa pallossa B(a,r) on vain keskipiste a, kun r 1, ja kun r > 1, niin tämä pallo sisältää koko avaruuden X. Pallon kuori S(a, r) on puolestaan tyhjä joukko kaikille r 1, ja S(a,r) = X \ {a}, kun r = 1. Jos (X, d) on metrinen avaruus ja A X, niin A A X X ja rajoittumakuvaus d A A : A A R on ilmeisesti metriikka. Tämä havainto antaa aiheen määritelmään: Määritelmä 2.9 (X, d) on metrinen avaruus ja A X. Sanotaan, että metrinen avaruus (A,d A A ) on metrisen avaruuden (X,d) metrinen aliavaruus. Metrikkaa d A A merkitään usein symbolilla d A ja sanotaan, että se on aliavaruusmetriikka. Esimerkki 2.10 Jos X = R 2 varustettuna tavallisella euklidisella metriikalla ja A = {(x 1,x 2 ) R 2 x 1 0}, niin aliavaruudessa A avoin pallo B da ((1,0),2) on joukko B da ((1,0),2) = B d ((1,0),2) A = {(x 1,x 2 ) R 2 x 1 0 ja (x 1 1) 2 +x 2 2 4}. Huomautus 2.11 Tässä välissä on ehkä syytä palauttaa mieleen supremumin ja infimumin käsite. Reaalilukujoukon A supremumhan on joukon A pienin yläraja ja sitä merkitään symbolilla sup A. Supremum on olemassa ja reaalinen (ja yksikäsitteinen) aina kun A on ylhäältä rajoitettu ja epätyhjä. Jos A on ylhäältä rajoittamaton, niin supa = + ja jos A =, niin supa =. Tässä siis 11
käytetään sellaista järjestyssopimusta, että < a < + kaikille a R. Vastaavasti A:n infimum eli inf A on joukon A suurin alaraja. Infimum on olemassa ja reaalinen (ja yksikäsitteinen) aina kun A on alhaalta rajoitettu ja epätyhjä. Jos A on alhaalta rajoittamaton, niin inf A = ja jos A =, niin inf A = +. Määritelmä 2.12 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A,B X. Joukkojen A ja B välinen etäisyys d(a, B) määritellään asettamalla d(a,b) = inf{d(x,y) x A, y B}. Huomautus. d(a,b) on määritelty myös jos A = tai B = ; huomautuksen 2.11 mukaisesti tällöin d(a,b) = +. Muussa tapauksessa (eli kun A ja B ) d(a,b) on reaalinen ja positiivinen. Huomautus 2.13 Aina pätee d(a,b) = d(b,a). Jos toinen joukoista A,B on yksiö; vaikkapa A = {a}, niin merkitään lyhyesti d(a,b) = d({a},b) = d(b,a). Esimerkki. Jos A B, niin d(a,b) = 0. Tämä ei päde kääntäen, sillä voi olla d(a,b) = 0, vaikka A B. Tästä on esimerkkinä R:n itseisarvometriikka (ks. esim. 2.3 a)) sekä pallot B(0,1) ja B(2,1). Lause 2.14 Olkoon (X, d) metrinen avaruus, A X ja x, y X. Tällöin pätee d(x,a) d(y,a) d(x,y). Huomautus. Oletus A on tässä tarpeen sen vuoksi, että silloin etäisyydet d(x,a) ja d(y,a) ovat reaalisia ja väitteessä oleva vähennyslasku on järkevästi määritelty. Todistus. Kaikille a A pätee määritelmän 2.12 ja kolmioepäyhtälön nojalla d(x,a) d(x,a) d(x,y) + d(y,a), joten d(x,a) inf{d(x,y) + d(y,a) a A}. (1) Toisaalta infimumin määritelmästä saadaan yhtälö inf{d(x,y) + d(y,a) a A} = d(x,y) + inf{d(y,a) a A}. (2) Ehtojen (1) ja (2) nojalla d(x,a) d(x,y) + inf{d(y,a) a A} = d(x,y) + d(y,a). (3) Ehdosta (3) saadaan vähennyslaskulla d(x,a) d(y,a) d(x,y). (4) 12
Vastaavasti x:n ja y:n roolit vaihtaen saadaan (d(x,a) d(y,a)) = d(y,a) d(x,a) d(y,x) = d(x,y). (5) Väite seuraa ehdoista (4) ja (5). Seuraus 2.15 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja x,y,z X. Tällöin pätee d(x,z) d(y,z) d(x,y). Todistus. Tämä seuraa lauseesta 2.14 valitsemalla A = {z}. Määritelmä 2.16 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A X. Joukon A halkaisija d(a) määritellään asettamalla d(a) = sup{d(x,y) x,y A}. Sovitaan lisäksi erikseen, että d( ) = 0. Sanotaan, että joukko A X on rajoitettu, jos d(a) < +. Muussa tapauksessa A on rajoittamaton. Huomautus. Supremumin määritelmän mukaan aina d(a) R tai d(a) = +. Rajoitettuja joukkoja ovat siis kaikki ne, joiden halkaisija on reaalinen pitää siis muistaa, että tehtyjen sopimusten (ks. huom. 2.11) mukaan a < + kaikille a R. Myös tyhjä joukko on rajoitettu. Huomautus 2.17 Suoraan määritelmästä seuraa, että jos A B, niin d(a) d(b). Lisäksi, jos A:ssa on ainakin kaksi alkiota, niin d(a) > 0. Yksiön (ja tyhjän joukon) halkaisija on 0. Esimerkki Geometrisesti olisi luontevaa, että pallon halkaisija olisi kaksi kertaa säde eli pätisi d(b(a,r)) = d(b(a,r)) = 2r. Avaruudessa R n näin euklidiselle metriikalle onkin (miten on maksimi- ja summametriikan laita?), mutta yleisesti tämä ei päde. Triviaalina esimerkkinä on vähintään kahden pisteen avaruus ja diskreetti metriikka, jossa d(b(a,r)) = 0, kun r 1 ja d(b(a,r)) = 1 kun r > 1 sekä toisaalta d(b(a,r)) = 1, kun r = 1, joten voi olla myös d(b(a,r)) d(b(a,r)). Pätee kuitenkin seuraavaa: Lause 2.18 Olkoon (X, d) metrinen avaruus, a X ja r 0. Tällöin pätee d(b(a,r)) d(b(a,r)) 2r. Todistus. Koska suoraan määritelmän mukaan B(a,r) B(a,r), niin huomautuksen 2.17 nojalla d(b(a,r)) d(b(a,r)), joten riittää osoittaa, että Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että d(b(a,r)) 2r. (1) d(x,y) 2r kaikille x,y B(a,r). (2) 13
Väitettä (2) varten olkoot x, y B(a, r) mielivaltaisia. Näille saadaan kolmioepäyhtälön nojalla d(x,y) d(x,a) + d(a,y) = d(a,x) + d(a,y) r + r = 2r, joten väite (2) seuraa. Normiavaruudessa lauseessa 2.18 pätee (lähes aina) yhtäsuuruus: Lause 2.19 Olkoon (X, ) normiavaruus varustettuna normin indusoimalla metriikalla d. Oletetaan lisäksi, että X {0}. Tällöin kaikille a X ja kaikille r 0 pätee d(b(a,r)) = d(b(a,r)) = 2r. Todistus. Huomautuksen 2.17 nojalla väite pätee, kun r = 0, joten voidaan olettaa, että r > 0. Olkoon lisäksi a X kiinteä. Lauseen 2.18 nojalla väite seuraa, jos osoitetaan, että 2r d(b(a,r)). (1) Reaalilukujen ominaisuuksien nojalla on ilmeistä, että väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että 2t d(b(a,r)) kaikille t ]0,r[. (2) Olkoon tätä varten t ]0,r[ mielivaltainen; riittää osoittaa, että 2t d(b(a,r)). (3) Koska oletuksen mukaan X {0}, niin voidaan valita v X siten, että v 0. Tällöin myös v 0 sekä Määritellään Tällöin e = 1 v X ja e = 1. (4) v x = a + te X ja y = a te X. d(a,x) = a (a + te) = te = t e i) = t ja vastaavasti d(a,y) = t, missä yhtälö i) seuraa ehdosta (4). Tällöin, koska t < r, pätee avoimen pallon määritelmän mukaan x B(a,r) ja y B(a,r). (5) Ehdon (5) nojalla väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että Pisteiden x ja y määritelmien mukaan saadaan d(x,y) 2t. (6) d(x,y) = x y = a + te (a te) = 2te = 2t e i) = 2t, 14
joten väite (6) pätee. Tässä taas yhtälö i) seuraa ehdosta (4). Huomautus. Lauseen 2.18 nojalla metrisen avaruuden jokainen pallo on rajoitettu joukko. Jokainen rajoitettu joukko ei (tietenkään) ole pallo, mutta sisältyy johonkin palloon seuraavan lauseen mukaisesti. Lause 2.20 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin A on rajoitettu jos ja vain jos A B(a, r) jollekin a X ja jollekin r > 0. Todistus. Tämä suunta seuraa lauseesta 2.18 ja huomautuksesta 2.17. Jos A =, niin väite pätee triviaalisti, koska metrinen avaruus on määritelmänsä mukaan aina epätyhjä, ja silloin on olemassa (jokin) pallo B(a, r). Olkoon siis A, jolloin voidaan valita jokin a A. Koska A on oletuksen mukaan rajoitettu, niin d(a) R, ja silloin voidaan määritellä Riittää osoittaa, että r = d(a) + 1 R. A B(a,r). (1) Olkoon tätä varten x A mielivaltainen. Koska myös a A, niin halkaisijan määritelmän mukaan d(x, a) d(a). Koska r:n määritelmän perusteella d(a) < r, niin d(x,a) < r, joten x B(a,r), ja väite (1) seuraa. Lause 2.21 Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A, B X rajoitettuja joukkoja. Tällöin myös yhdiste A B on rajoitettu. Lisäksi, jos A,B, niin pätee d(a B) d(a) + d(b) + d(a,b). (1) Huomautus. Jos A,B, niin d(a,b) R, jolloin väitteen (1) summa on järkevästi määritelty ja väite on siten mielekäs. Todistus. Jos A = tai B =, niin A B B tai A B A, jolloin A B on rajoitettu huomautuksen 2.17 nojalla. Voidaan siis olettaa, että A,B. Koska väitteen (1) summa on tällöin paitsi järkevästi määritelty myös reaaliluku, niin koko väite seuraa, jos osoitetaan, että ehto (1) pätee. Merkitään Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että M = d(a) + d(b) + d(a,b) R. d(x,y) M kaikille x,y A B. Olkoot tätä varten x,y A B mielivaltaisia. Riittää osoittaa, että d(x,y) M. (2) Jos x,y A, niin d(x,y) d(a) M, 15
ja väite (2) pätee. Vastaavasti, jos x,y B, niin d(x,y) d(b) M, ja taas väite (2) pätee. Tällöin tarvittaessa merkintöjä vaihtamalla (x y) voidaan olettaa, että x A ja (3) y B. (4) Koska oletuksen mukaan A ja B ovat rajoitettuja, niin d(a) ja d(b) ovat reaalilukuja. Silloin myös d(x, y) d(a) d(b) on reaaliluku. Osoitetaan seuraavaksi, että d(x,y) d(a) d(b) d(a,b) kaikille a A ja b B. (5) Väitettä (5) varten olkoot a A ja b B mielivaltaisia. Ehdon (3) nojalla ja vastaavasti ehdon (4) nojalla Tällöin d(x,a) d(a) (6) d(b,y) d(b). (7) d(x,y) i) d(x,a) + d(a,y) ii) d(x,a) + d(a,b) + d(b,y) iii) (8) d(a) + d(a,b) + d(b), missä epäyhtälöt i) ja ii) seuraavat kolmioepäyhtälöstä sekä epäyhtälö iii) ehdoista (6) ja (7). Väite (5) seuraa ehdosta (8) vähennyslaskulla reaalilukujahan nämä kaikki ovat. Ehdon (5) nojalla saadaan d(x,y) d(a) d(b) inf{d(a,b) a A, b B} = d(a,b). Tällöin ja väite (2) seuraa. d(x,y) d(a) + d(b) + d(a,b) = M, 3 Avoimet joukot ja ympäristöt Määritelmä 3.1 Olkoon (X,d) metrinen avaruus. Sanotaan, että joukko U X on avoin, jos kaikille x U on olemassa r > 0 siten, että B d (x,r) U. 16
Huomautus. Määritelmän 2.1 pallon säde r voi riippua (ja ylensä riippuukin) pisteestä x. Esimerkki. Tyhjä joukko on avoin. Tämä on aavistuksen epätriviaali väite, mutta logiikan pelisääntöjen mukaan tyhjä joukko toteuttaa määritelmän 2.1 vaatimukset: Se on X:n osajoukko, ja 2.1:n ehto toteutuu kaikille x, koska tällaisia x ei ole lainkaan. Tässä on siis (vähän pelkistettynä) kyseessä looginen implikaatioväite x r, joka on tosi, koska sen etujäsen on epätosi. Koko metrinen avaruus X on avoin; tämä pätee triviaalisti, sillä määritelmässä 2.1 mikä tahansa r > 0 toimii mille tahansa x X. Huomautus. Avoimen joukon määritelmä on sama kuin analyysin kursseilla siinä erikoistapauksessa, että avaruutena on R n, jossa on euklidisen normin indusoima metriikka. Yleensä läheskään kaikki joukot eivät ole avoimia (vrt. analyysin kurssit), mutta joskus niitä on paljon: Lause 3.2 Olkoon (X, d) metrinen avaruus, missä d on diskreetti metriikka. Tällöin kaikki X:n osajoukot ovat avoimia. Todistus. Olkoon U X mielivaltainen. Koska tyhjä joukko on avoin, voidaan olettaa, että U. Olkoon x U mielivaltainen. Pitää löytää r > 0 siten, että B(x,r) U. Tällainen r on vaikkapa r = 1 2, sillä B(x, 1 2 ) = {x} U. Lause 3.3 Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja a X. Tällöin joukko X \ {a} on avoin. Todistus. Olkoon x X \ {a} mielivaltainen. Pitää löytää r > 0 siten, että B(x, r) X \ {a}. Tällaiseksi luvuksi r käy r = d(x,a). Tämä r on ensinnäkin aidosti positiivinen, sillä x X \{a}, joten x a ja siten metriikan määritelmän mukaan d(x,a) > 0. Riittää siis osoittaa, että B(x,r) X \ {a}. Olkoon tätä varten y B(x,r) X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että y X \ {a} eli että y a. (1) Väitteen (1) todistamiseksi tehdään antiteesi: y = a. Koska y B(x, r), niin antiteesin nojalla a B(x, r) ja silloin avoimen pallon määritelmän mukaan d(a,x) < r. Tämä on kuitenkin vastoin r:n valintaa. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite (1) pätee. 17
Terminologisesti tilanne on nyt vähän hatara, koska toisaalla on määritelty avoin pallo ja toisaalla avoin joukko, eikä ole selitetty, mitä yhteyttä näillä määritelmillä on. Tilanne on kuitenkin hallinnassa: Lause 3.4 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja a X sekä r > 0. Tällöin avoin pallo B(a,r) on avoin joukko. Todistus. Olkoon x B(a, r) mielivaltainen. Pitää löytää s > 0 siten, että B(x,s) B(a,r). Tällaiseksi luvuksi s käy s = r d(x,a). Tämä s on ensinnäkin aidosti positiivinen, sillä x B(a,r), joten d(a,x) < r ja siten r d(a,x) > 0. Siten riittää osoittaa, että B(x,s) B(a,r). Olkoon tätä varten y B(x,s) X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että y B(a,r) eli että d(a,y) < r. (1) Kolmioepäyhtälön nojalla saadaan d(a,y) d(a,x) + d(x,y) i) < d(a,x) + s = d(a,x) + r d(a,x) = r, joten väite (1) pätee. Tässä epäyhtälö i) seuraa siitä, että y B(x,s). Seuraava tärkeä lause sanoo, että avoimien joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin: Lause 3.5 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja {U α } α I perhe X:n avoimia joukkoja, missä I on mielivaltainen indeksijoukko. Tällöin myös joukko U α X on avoin. α I Todistus. Olkoon x α I U α mielivaltainen. Pitää löytää r > 0 siten, että B(x,r) α I U α. (1) Koska x α I U α, niin yhdisteen määritelmän mukaan on olemassa α 0 I siten, että x U α0. Oletuksen mukaan U α0 on avoin. Tällöin on olemassa r > 0 siten, että B(x,r) U α0. Tämä r kelpaa ehdossa (1) haetuksi luvuksi r, sillä yhdisteen määritelmän mukaan U α0 α I U α. Esimerkki 3.6 Lauseen 3.5 vastike leikkaukselle ei päde: avoimien joukkojen mielivaltainen leikkaus ei ole välttämättä avoin. Tästä esimerkkinä on vaikkapa X = R varustettuna itseisarvometriikalla, I = {1,2,3,...} ja U n = ] 1 n,+1 n [. Tässä U n :t ovat avoimia lauseen 3.4 nojalla, mutta n I U n = {0}, joka ei selvästikään ole avoin joukko itseisarvometriikassa. 18
Esimerkistä 3.6 huolimatta voidaan avointen joukkojen leikkauksesta sanoa jotain: Lause 3.7 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja {U α } α I perhe X:n avoimia joukkoja, missä I on äärellinen indeksijoukko. Tällöin myös joukko U α X on avoin. α I Huomautus. Tässä kuten myös jatkossa sovitaan, että äärellinen joukko aina epätyhjä, ts. joukko I on äärellinen täsmälleen silloin, kun on olemassa bijektio I {1,...,n} jollekin n 1. Tämä siitä syystä, että leikkaus yli tyhjän indeksijoukon on joukko-opillisesti hyvin hankala kapine, vrt. joukko-opin kurssi. Todistus. Olkoon x α I U α mielivaltainen. Pitää löytää r > 0 siten, että B(x,r) α I U α. (1) Koska x α I U α, niin leikkauksen määritelmän mukaan x U α kaikille α I. Koska oletuksen perusteella joukot U α ovat avoimia, niin kaikille α I on olemassa r α > 0 siten, että B(x,r α ) U α. (2) Äärellisestä reaalilukujoukosta voidaan valita minimi; olkoon r = min{r α α I}. Tämä r kelpaa ehdossa (1) haetuksi luvuksi r, sillä valintansa nojalla r > 0 ja r r α kaikille α I, jolloin B(x,r) B(x,r α ) kaikille α I ja ehdon (2) nojalla B(x,r) U α kaikille α I. Tällöin ehto (1) seuraa leikkauksen määritelmästä. Seuraava lause kertoo sellaisen avointen joukkojen ominaisuuden, että jokainen avoin joukko voidaan esittää avointen pallojen yhdisteenä. Tämä ei ole triviaali tulos. Ajatellaanpa vaikkapa avaruutta R 2 varustettuna euklidisella metriikalla ja siinä avointa joukkoa A = ]0,1] ]0,1[. Tämä voidaan siis esittää avointen euklidisten pallojen yhdisteenä. Nämä euklidiset pallot ovat geometrisesti kiekkoja, eikä ole lainkaan itsestään selvää, miten nämä kiekot tulee asetella, jotta ne tarkalleen peittäisivät tuon avoimen neliön A. Vastaavasti jos varustetaan R 2 maksimimetriikalla, jossa pallot ovat geometrisesti neliöitä, niin lauseen 3.8 mukaan jokainen avoin geometrinen kiekko voidaan esittää avoimien neliöiden yhdisteenä. 19
Lause 3.8 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja U X avoin. Tällöin on olemassa perhe {B α } α I avaruuden (X,d) avoimia palloja siten, että U = α I B α. (1) Todistus. Jos U =, niin valitaan I =, jolloin väite pätee. (Huomaa, että tyhjän indeksijoukon yli otettu yhdiste ei tuota ongelmia, vaan se on aina tyhjä. Vertaa lauseen 3.7 jälkeiseen huomautukseen koskien tyhjän indeksijoukon yli määriteltyä leikkausta.) Voidaan siis olettaa, että U. Pitäisi siis määritellä indeksijoukko I ja kaikille α I jokin avoin pallo B α siten, että väite (1) pätee. Valitaan ensin I = U. Jokaiselle α I valitaan pallo B α seuraavasti. Kun α I = U, niin U:n avoimuuden nojalla on olemassa r α > 0 siten, että B(α,r α ) U. Valitaan nyt jolloin B α = B(α,r α ), B α U kaikille α I. (2) Nyt kun valinnat on tehty, pitää osoittaa, että ehto (1) pätee. Suoraan ehdon (2) nojalla saadaan B α U, joten riittää osoittaa, että α I U α I B α. (3) Olkoon tätä varten α 0 U = I mielivaltainen. Kiekko sisältää aina keskipisteensä, joten α 0 B α0, ja silloin yhdisteen määritelmän mukaan α 0 B α0 α I B α, ja väite (3) seuraa. Topologian kurssilla tärkeässä roolissa ovat ns. ympäristöt. Metrisessä avaruudessa määritelmä on yksinkertainen: Määritelmä 3.9 Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja a X. Sanotaan, että joukko U X on pisteen a ympäristö, jos x U ja U on avoin. Esimerkki. Koska diskreetissä metrisessä avaruudessa kaikki joukot ovat avoimia, niin jokaisen pisteen x eräs ympäristö on yksiö {x}. Näin ei tietenkään yleisesti (eli jokaisessa metrisessä avaruudessa) ole. Lause 3.10 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja a X sekä {U α } α I perhe a:n ympäristöjä, missä I on äärellinen indeksijoukko. Tällöin myös α I U α on a:n ympäristö. 20
Todistus. Tämä seuraa suoraan määritelmästä 3.9 ja lauseesta 3.7. Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjä käyttäen: Lause 3.11 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A X. Tällöin A on avoin jos ja vain jos kaikilla x A on olemassa ympäristö U x siten, että U x A. Todistus. Todistuksen tämä suunta on selvä, sillä A:n ollessa avoin voidaan kaikille x A valita U x = A. Tässä väitetään, että A on avoin. Avoimen joukon määritelmän mukaisesti pitää osoittaa, että kaikille x A on olemassa r > 0 siten, että B(x,r) A. Oletuksen nojalla jokaiselle x A on olemassa ympäristö U x siten, että x U x A. Koska U x on ympäristönä avoin, niin ehdon x U x nojalla on olemassa r > 0 siten, että B(x,r) U x. Ehdon U x A nojalla väite B(x,r) A seuraa tästä. Topologiassa puhutaan ns. Hausdorff-avaruuksista. Siinä yhteydessä seuraava havainto on merkittävä: Lause 3.12 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja x,y X, x y. Tällöin on olemassa x:n ympäristö U ja y:n ympäristö V siten, että U V =. Todistus. Merkitään r = d(x, y). Oletuksen x y ja metriikan määritelmän nojalla r > 0. Määritellään U = B(x, r 2 ) ja V = B(y, r 2 ). Koska pallot sisältävät aina keskipisteensä, niin lauseen 3.4 nojalla U on x:n ympäristö ja V y:n ympäristö. Siten riittää osoittaa, että U V =. (1) Väitettä (1) varten tehdään antiteesi: on olemassa z U V. Tällöin U:n ja V :n määritelmän nojalla d(x,z) < r 2 ja d(z,y) < r 2. Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla saadaan d(x,y) d(x,z) + d(z,y) < r 2 + r 2 = r, mikä on mahdotonta, koska r:n valinnan nojalla d(x, y) = r. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite (1) pätee. Topologiassa puhutaan myös diskreeteistä joukoista. Metrisissä avaruuksissa määritelmä on seuraava. 21
Määritelmä 3.13 Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja a A X. Sanotaan, että a on joukon A erakkopiste, jos avaruudessa (X,d) on a:n ympäristö U siten, että U A = {a}. Sanotaan, että joukko A on diskreetti, jos sen kaikki pisteet ovat A:n erakkopisteitä. Huomautus 3.14 Tässä täytyy nyt panna merkille, että diskreetti joukko ja aiemmin määritelty diskreetti metrinen avaruus ovat (hieman) eri asioita. Jos metrinen aliavaruus (A,d A ) on diskreetti metrinen avaruus, niin se on myös diskreetti joukko määritelmän 3.13 mielessä. Käänteinen ei kuitenkaan aivan täysin päde, koska diskreetissä metrisessä avaruudessa vaaditaan, että d(x,y) = 1 kaikille x y. Esimerkiksi jos varustetaan R itseisarvometriikalla, niin joukko {0, 1 2,1} on diskreetti osajoukko, muttei ole diskreetti aliavaruus. Tämä ei ole oleellinen puute: jatkossa tullaan näkemään, että jos diskreetti joukko varustetaan joko aliavaruusmetriikalla tai diskreetillä metriikalla, niin syntyvät metriset avaruudet ovat homeomorfisia keskenään. Esimerkki 3.15 a) Yksiö on triviaalisti aina diskreetti. Jokainen äärellinen joukko on myös diskreetti. Jätetään tämän todistus harjoitustehtäväksi. b) Jos R varustetaan itseisarvometriikalla, niin Z R on diskreetti. Q ei ole diskreetti itse asiassa mikään Q:n piste ei ole erakkopiste. Joukko A = { 1 n n N} on diskreetti, mutta joukko A {0} ei ole diskreetti, koska 0 ei ole tämän joukon erakkopiste. c) Jos d on diskreetti metriikka X:ssä ja A X, niin jokainen A:n piste on A:n erakkopiste. Tämä johtuu siitä, että yksiöt ovat avoimia, joten määritelmässä 3.13 voidaan valita U = {a}. Tämä havainto johtaa siihen, että jokainen X:n osajoukko on diskreetti. Siis: Diskreetillä metriikalla varustetussa metrisessä avaruudessa jokainen osajoukko on diskreetti. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuvan kuvauksen käsite on tuttu vaikkapa analyysin kursseilta tosin siellä puhutaan vain reaalimuuttujan reaaliarvoisista kuvauksista. Nyt yleistetään tämä käsite mielivaltaisten metristen avaruuksien välisille kuvauksille. Määritelmä 4.1 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y kuvaus ja a X. Sanotaan, että kuvaus f on jatkuva pisteessä a, jos kaikille ǫ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että d (f(x),f(a)) < ǫ aina kun d(x,a) < δ. Sanotaan, että f on jatkuva (joukossa X), jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Huomautus. Jos X = Y = R varustettuna itseisarvometriikalla, niin määritelmä 4.1 on täsmälleen sama kuin analyysin kursseilla annettu jatkuvuuden määritelmä. 22
Esimerkki 4.2 a) Vakiokuvaus on aina jatkuva. Tämä johtuu siitä, että määritelmässä 4.1 jokaiselle ǫ voidaan valita mikä tahansa δ > 0, ja hyvin toimii. b) Jos X = Y ja d = d, niin identtinen kuvaus id X : X X, id X (x) = x kaikille x X on jatkuva. Tämä johtuu siitä, että määritelmässä 4.1 jokaiselle ǫ voidaan valita δ = ǫ, ja hyvin toimii tämäkin valinta. c) Jos A X ja varustetaan A aliavaruusmetriikalla d A (ks. määr. 2.9), niin inkluusiokuvaus j : A X, j(x) = x kaikille x A on jatkuva. Tässä on sama perustelu kuin b)-kohdassa. Tätä inkluusiokuvausta j merkitään usein näin: j : A X. d) Vaikkakin b)-kohdassa todettiin, että identtinen kuvaus id X : X X on aina jatkuva, niin tämä edellyttää sitä, että sekä lähtö- että maalipuolella on sama metriikka, eli pitäisikin tarkemmin sanoa, että identtinen kuvaus id X : (X,d) (X,d), eli metriikka pitää ottaa huomioon. Tämä pätee tietysti yleisemminkin, eli kuvauksen jatkuvuus ei riipu pelkästään itse kuvauksesta, vaan metriikat sekä lähtö- että maalipuolella kuuluvat oleellisesti asiaan. Konkreettinen esimerkki tästä on seuraava. Olkoon d R:n itseisarvometriikka ja d diskreetti metriikka R:ssä. Tällöin identtinen kuvaus id R : (R,d) (R,d ) ei ole jatkuva. Se ei itse asiassa ole jatkuva missään pisteessä. Perustellaan tämä väite. Olkoon a R mielivaltainen. Tehdään antiteesi: id R on jatkuva pisteessä a. Valitaan määritelmässä 4.1 ǫ = 1 2. Tällöin antiteesin mukaan pitää löytyä jokin δ > 0 siten, että d (id R (x),id R (a)) < 1 2 kun d(x,a) < δ. (1) Valitaan x = a + δ 2, jolloin d(x,a) = x a = δ 2 < δ, ja siten ehdon (1) nojalla on oltava d (id R (x),id R (a)) < 1 2 eli d (x,a) < 1 2. (2) Koska d on diskreetti metriikka, niin d (x,a) voi saada vain arvot 0 tai 1, jolloin ehdon (2) nojalla on oltava d (x,a) = 0. Metriikan määritelmän mukaan tämä merkitsee sitä, että x = a. Näin ei kuitenkaan ole, koska x = a + δ 2 ja δ > 0. Tämä ristiriita kumoaa antiteesin, ja väite on todistettu. Tämän esimerkin opetus on, että yksinkertaistenkaan kuvausten jatkuvuudesta ei pidä luulla liikoja. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että toisinpäin eli kuvauksena (R,d ) (R,d) identtinen kuvaus kuitenkin on jatkuva. Tämä ei ole kovin vaikeaa. Vähän vaikeampi harjoitustehtävä on on luetella kaikki jatkuvat kuvaukset (R,d ) (R,d). 23
Määritelmä 4.3 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Sanotaan, että f on Lipschitz-kuvaus, jos on olemassa M 0 siten, että kaikille x, y X pätee d (f(x),f(y)) M d(x,y). Huomautus 4.4 Jos määritelmän 4.3 ehto toimii jollekin tietylle M, niin vähän spesifimmin voidaan sanoa, että f on M-Lipschitz-kuvaus. On tietenkin selvää, että jos f on M-Lipschitz-kuvaus ja M M, niin f on myös M - Lipschitz-kuvaus. Käänteinen suunta ei tässä päde eli jos f on M -Lipschitzkuvaus ja M M, niin f:n ei tervitse olla M-Lipschitz-kuvaus. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä tähän (helppo) vastaesimerkki. Esimerkki 4.5 Vakiokuvaus on 0-Lipschitz aina. Inkluusiokuvaus j : A X (ks. esim. 4.2 c)) on 1-Lipschitz. Esimerkin 4.2 d) merkinnöin identtinen kuvaus (R,d) (R,d ) ei ole Lipschitz-kuvaus. Tämä seuraa lauseesta 4.6 ja esimerkistä 4.2 d). Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, onko identtinen kuvaus (R,d ) (R,d) Lipschitz. Tästähän lause 4.6 ei sano mitään. Lause 4.6 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y Lipschitzkuvaus. Tällöin f on jatkuva. Todistus. f on siis M-Lipschitz jollekin M 0. 0-Lipschitz -kuvaus on vakiokuvaus, joka on jatkuva esimerkin 4.2 a) mukaisesti. Voidaan siis olettaa, että M > 0. Olkoon a X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f on jatkuva pisteessä a. Olkoon ǫ > 0 mielivaltainen. Riittää löytää δ > 0 siten, että d (f(x),f(a)) < ǫ kun d(x,a) < δ. (1) Koska M > 0, niin ǫ M on määritelty ja lisäksi ehdon ǫ > 0 nojalla pätee ǫ M > 0. Asetetaan δ = ǫ M. Tällöin siis δ > 0 ja riittää osoittaa, että tämä δ toimii ehdossa (1). Olkoon siis d(x,a) < δ. (2) Pitää osoittaa, että Tämä nähdään näin: d (f(x),f(a)) < ǫ. d (f(x),f(a)) i) Md(x,a) ii) < Mδ iii) = ǫ, missä epäyhtälö i) seuraa siitä, että f on M-Lipschitz, epäyhtälö ii) seuraa ehdosta (2) ja yhtälö iii) tulee δ:n määritelmästä. Huomautus 4.7 Lause 4.6 ei käänny: Jokainen jatkuva kuvaus ei ole Lipschitzkuvaus. Jos esimerkiksi varustetaan R itseisarvometriikalla d, niin kuvaus (R, d) (R,d), x x 2 on (analyysin tietojen perusteella) jatkuva, mutta ei ole Lipschitzkuvaus. Jätetään tämän todistus harjoitustehtäväksi. 24
Esimerkki 4.8 Olkoon (X,d) metrinen avaruus, A X, varustetaan R itseisarvometriikalla d ja määritellään kuvaus f : X R asettamalla f(x) = d(x,a) kaikille x X. Tällöin lauseen 2.14 nojalla f on 1-Lipschitz-kuvaus kuvauksena f : (X, d) (R,d ), joten se on lauseen 4.6 perusteella myös jatkuva näiden metriikoiden suhteen. Erityisesti, jos A on yksiö, A = {a}, niin f:n määritelmä tulee muotoon f(x) = d(x,a), ja tämä siis on jatkuva, kun R:ssä on itseisarvometriikka. Jos X sattuu olemaan normiavaruus, jossa on normin indusoima metriikka, niin f:n lauseke on f(x) = x a, ja tämä siis on jatkuva kuvaus. Jos vielä a = 0, niin ja täten normi on jatkuva kuvaus. f(x) = x, Lause 4.9 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y kuvaus ja a X. Tällöin seuraavat ehdot (1) (3) ovat yhtäpitäviä: f on jatkuva pisteessä a, (1) jos V Y on pisteen f(a) ympäristö, niin on olemassa pisteen a (2) ympäristö U X siten, että f(u) V ja jos V Y on pisteen f(a) ympäristö, niin on olemassa pisteen a (3) ympäristö U X siten, että U f 1 (V ). Todistus. Riittää todistaa implikaatioketju (2) (3) (1) (2). (2) (3) Tämä implikaatio on triviaali: sama U kuin ehdossa (2) kelpaa myös ehtoon (3). (3) (1) Oletetaan siis, että ehto (3) pätee ja väitetään, että f on jatkuva pisteessä a. Olkoon ǫ > 0 mielivaltainen. Jatkuvuuden määritelmän nojalla riittää löytää δ > 0 siten, että d (f(x),f(a)) < ǫ kun d(x,a) < δ. (4) Lauseen 3.4 nojalla B(f(a),ǫ) Y on pisteen f(a) ympäristö. Tällöin ehdon (3) nojalla on olemassa pisteen a ympäristö U X siten, että U f 1 (B(f(a),ǫ)). (5) 25
Koska U on ympäristönä avoin ja a U, niin avoimen joukon määritelmän mukaan on olemassa δ > 0 siten, että B(a,δ) U. (6) Tämä δ kelpaa ehdossa (4) peräänkuulutetuksi luvuksi δ. Tämän näkee näin: Olkoon x X siten, että d(x,a) < δ. Silloin x B(a,δ), joten ehdon (6) nojalla x U, ja siten ehdon (5) nojalla x f 1 (B(f(a),ǫ)) eli f(x) B(f(a),ǫ) eli d (f(x),f(a)) < ǫ, joten väite (4) seuraa. (1) (2) Oletetaan siis että f on jatkuva pisteessä a ja väitetään, että ehto (2) pätee. Olkoon V Y pisteen f(a) mielivaltainen ympäristö. Riittää löytää pisteen a ympäristö U X siten, että f(u) V. (7) Koska f(a) V ja V on avoin, niin on olemassa ǫ > 0 siten, että B(f(a),ǫ) V. (8) Koska f on jatkuva pisteessä a, niin on olemassa δ > 0 siten, että ehto (4) pätee. Lauseen 3.4 nojalla B(a,δ) X on pisteen a ympäristö. Tämä a:n palloympäristö B(a, δ) kelpaa ehdossa (7) peräänkuulutetuksi ympäristöksi U, minkä näkee osoittamalla, että f(b(a,δ)) V. (9) Olkoon tätä varten x B(a, δ) mielivaltainen. Silloin d(x, a) < δ, joten ehdon (4) nojalla d (f(x),f(a)) < ǫ eli f(x) B(f(a),ǫ). Tällöin ehdon (8) mukaan f(x) V, ja väite (9) seuraa. Seuraava lause on ratkaisevan tärkeässä roolissa topologian kurssilla. Lause 4.10 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Tällöin f on jatkuva (koko avaruudessa (X,d)) jos ja vain jos jokaisen avaruudessa (Y,d ) avoimen joukon alkukuva on avoin avaruudessa (X,d). Todistus. Oletetaan ensin, että f on jatkuva. Olkoon V Y mielivaltainen avoin joukko. Pitää osoittaa, että f 1 (V ) X on avoin. Olkoon tätä varten x f 1 (V ) mielivaltainen. Lauseen 3.11 nojalla riittää osoittaa, että on olemassa x:n ympäristö U x X siten, että U x f 1 (V ). (1) Koska x f 1 (V ), niin f(x) V. Lisäksi, koska V on avoin, niin V on pisteen f(x) ympäristö. Tällöin väite (1) seuraa jatkuvuusoletuksen nojalla lauseen 4.9 ehdosta (3). Oletetaan sitten, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin, ja väitetään, että f on jatkuva koko avaruudessa X. Olkoon a X mielivaltainen 26
piste. Riittää osoittaa, että f on jatkuva pisteessä a. Lauseen 4.9 mukaan riittää osoittaa, että kyseisen lauseen ehto (3) pätee. Olkoon siis V Y pisteen f(a) mielivaltainen ympäristö. Riittää löytää pisteen a ympäristö U siten, että U f 1 (V ). (2) V on ympäristönä avoin, joten oletuksen mukaan sen alkukuva f 1 (V ) on myös avoin. Toisaalta, koska f(a) V, niin a f 1 (V ), joten f 1 (V ) on a:n ympäristö. Siten U := f 1 (V ) kelpaa ehdossa (2) halutuksi ympäristöksi, ja väite seuraa. Seuraava varoittava huomautus on syytä pitää mielessä: Huomautus 4.11 Lauseen 4.10 nojalla jatkuvassa kuvauksessa avoimen joukon alkukuva on aina avoin. Sama ei suinkaan välttämättä päde kuvalle, ts. jos f : X Y on jatkuva ja U X on avoin, niin joukon f(u) Y ei tarvitse olla avoin. Tästä on esimerkkinä vaikkapa (X,d) ja (Y,d ), missä X = Y = R sekä d on diskreetti metriikka ja d itseisarvometriikka. Jos tässä tilanteessa f : (X,d) (Y,d ) on identtinen kuvaus, niin f on jatkuva ja jokainen yksiö U = {x} on avoin (X,d):ssä mutta sen kuva f(u) = {x} ei ole avoin (Y,d ):ssa. Esimerkki 4.12 Olkoon (X,d) diskreetti metrinen avaruus, (Y,d ) mielivaltainen metrinen avaruus ja f : X Y mikä tahansa kuvaus. Tällöin f on jatkuva. Perustelu: Lauseen 4.10 nojalla riittää osoittaa, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Tämä seuraa välittömästi siitä, että diskreetissä metrisessä avaruudessa kaikki osajoukot ovat avoimia lauseen 3.2 mukaan. Tiivistettynä voidaan siis sanoa, että diskreetistä metrisestä avaruudesta lähtevä kuvaus on aina jatkuva. Sen sijaan diskreettiin metriseen avaruuteen tuleva kuvaus ei aina ole jatkuva itse asiassa se on melko harvoin jatkuva. Mieti syytä tähän lauseen 4.10 valossa muistaen, että diskreetissä metrisessä avaruudessa kaikki joukot ovat avoimia. Pisteen r-säteinen palloympäristö on määritelty aiemmin. Tämä määritelmä voidaan yleistää joukon ympäristöksi seuraavalla tavalla. Määritelmä 4.13 Olkoon (X,d) metrinen avaruus, A X ja r > 0. Joukon A r-ympäristö B(A, r) määritellään asettamalla B(A,r) = {x X d(x,a) < r} X. On selvää, että A B(A, r) kaikille r > 0. Aiemmin on alkeellisesti todistettu (ks. lauseen 3.4 todistus), että pallo B(a, r) on avoin. Tämä yleistyy nyt helposti aiempien tulosten avulla: Lause 4.14 Olkoon (X,d) metrinen avaruus, A X ja r > 0. Tällöin joukko B(A, r) X on avoin. 27