Johdanto Lassi Kurittu

Transkriptio

1 Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään yleisiin topologisiin avaruuksiin. Moniste noudattelee Jussi Väisälän kaksiosaisen topologian monisteen kakkososaa. Metriset avaruudet ovat myös topologisia avaruuksia, mutta näitä yleisiä topologisia avaruuksia on paljon muitakin, ja niissä tapahtuu sellaisia ilmiöitä, joita ei metrisissä avaruuksissa tunneta. Tällaisten ilmiöiden tarkasteluun tässä syvennytään ja toisaalta mietitään, josko kyseessä sittenkin olisi metrinen ilmiö. Tärkeimmistä käsiteltävistä topologioista voisi mainita tulotopologian, joka syntyy avaruuksien karteesiseen tuloon, mahdollisesti äärettömään, ja tekijätopologian, jonka avulla voidaan topologisoida erilaisia tekijäavaruuksia. Kompakteihin avaruuksiin liittyvät asiat nousevat esille kurssin loppupuolella. Kompakteja avaruuksia ja tuloavaruuksia yhdistää maineikas Tihonovin lause, joka todistetaan kurssin lopussa, mikäli aika riittää. Käytettävistä merkinnöistä sen verran, että esimerkiksi maininta lause MA 3.5 viittaa metrisiä avaruuksia käsittelevän monisteen ensimmäisen osan lauseeseen 3.5. Johdannon lopuksi on ehkä syytä huomauttaa ykkösosan johdantoa siteeraten, että tämä luentomoniste on aivan uunituore, mikä ei tarkoita sitä, että tässä olisi joitakin matemaattisesti uunituoreita asioita, vaan sitä, että tähän on väkisinkin jäänyt painovirheitä. Näitä tietenkin pyrin siivoamaan pois sitä mukaa, kun niitä huomaan. Pyydän tässä urakassa opiskelijoiden apua: kaikista havaituista virheistä pienistäkin toivon ilmoitusta joko henkilökohtaisesti tai sähköpostitse Lassi Kurittu i

2 Sisältö 1 Topologian määritelmä 1 2 Topologian kanta 6 3 Jatkuva kuvaus 16 4 Kuvauksen indusoima topologia 24 5 Relatiivitopologia 28 6 Kuvausperheen indusoima topologia 32 7 Tulotopologia Äärellinen tulo Numeroituva tulo Yleinen tulo Kuvausperheen koindusoima topologia 63 9 Tekijätopologia Metrisoituvat topologiset avaruudet Topologisen avaruuden erottelukyky Topologian numeroituvuus Yhtenäisyys Yhtenäinen ja polkuyhtenäinen topologinen avaruus Yhtenäisyyskomponentit ja polkukomponentit Monistot Kompaktius Lokaalisti kompaktit topologiset avaruudet Kompaktifiointi Tihonovin lause Urysohnin lemma ja Tietzen laajennuslause 209 ii

3 1 Topologian määritelmä Tässä kuten myös monisteen aiemmassa osassa merkintä P(X) tarkoittaa joukon X potenssijoukkoa eli kaikkien osajoukkojen joukkoa. Jos T P(X), niin sanonta T :n joukkoperhe {U α } α I tarkoittaa sitä, että on annettu (jokin) indeksijoukko I ja jokaiselle α I on määritelty joukko U α T. Joissakin tapauksissa joukkoperhe esitetään myös muodossa {U α α I}, mutta samasta asiasta on kyse ero on vain merkinnässä. On ehkä näin aluksi syytä kerrata yhdisteen ja leikkauksen määritelmät, koska ne esiintyvät jatkossa usein, ja parissa paikassa näitä pitää oikein miettiäkin. Määritelmäthän kuuluvat niin, että U α = {x X on olemassa α I siten, että x U α } ja α I U α = {x X kaikille α I pätee x U α }. α I Tyhjälle indeksijoukolle I leikkausta ei määritellä lainkaan. Varsinainen asia aloitetaan topologian määritelmällä. Määritelmä 1.1 Olkoon X joukko ja T P(X). Sanotaan, että T on joukon X topologia, jos seuraavat ehdot (1) (3) pätevät. U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I. (1) α I U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I, (2) α I missä indeksijoukko I on äärellinen ja epätyhjä. T ja X T. (3) Tällöin sanotaan, että (X, T ) on topologinen avaruus ja että T :n alkiot eli X:n osajoukot A T P(X) ovat avoimia topologiassa T. Esimerkki 1.2 a) Jos (X, d) on metrinen avaruus, niin (X, d):n avoimet joukot muodostavat X:n topologian T d, vrt. merkintä MA 9.3. Tämä seuraa lauseista MA 3.5 ja MA 3.7 sekä sivun MA 17 esimerkistä. Sen sijaan (X,d):n suljetut joukot eivät yleensä muodosta topologiaa, koska suljettujen joukkojen mielivaltainen yhdiste ei välttämättä ole suljettu. b) R:n kaikkien avointen välien joukko ei ole topologia, koska (esimerkiksi) kahden avoimen välin yhdiste ei välttämättä ole avoin väli. Sen sijaan joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} 1

4 ei ole R:n topologia. Miksei? c) Koko P(X) on triviaalisti jokaisen epätyhjän joukon X topologia. Jos d on X:n diskreetti metriikka, niin lauseen MA 3.2 mukaan T d = P(X). Tätä topologiaa P(X) sanotaan X:n diskreetiksi topologiaksi ja merkitään T dis = P(X). Diskreetti topologia on (triviaalisti) kaikkein laajin X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T T dis. d) Jos X, niin {,X} on X:n topologia. Tämä on niin sanottu X:n minitopologia, ja merkitään T mini = {,X}. Minitopologia on (triviaalisti) kaikkein suppein X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T mini T. e) Jos X on yksiö, X = {a}, niin X:llä on vain yksi topologia T dis = T mini. Jos X on kahden pisteen joukko, niin X:llä on neljä eri topologiaa. Montako eri topologiaa on kolmen pisteen joukolla? Voisi arvata, että kahdeksan, mutta onko tämä oikea arvaus? f) Kohdan a) mukaisesti metrinen avaruus synnyttää aina topologian, joten topologisten avaruuksien joukko on laajempi kuin metristen avaruuksien joukko. Se on myös aidosti laajempi, sillä kaikki topologiat eivät synny metriikan kautta. Tästä on esimerkkinä b)-kohdan topologia T 1. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, miksei R:ssä voi olla metriikkaa, jonka avointen joukkojen joukko olisi täsmälleen T 1. Toinen ei-metrinen esimerkkitopologia on minitopologia, kun joukossa X on ainakin kaksi alkiota. Jätetään tämäkin harjoitustehtäväksi. Diskreetti topologia on siis aina metrinen, kuten c)-kohdassa todettiin. Esimerkin 1.2 kohdissa c) ja d) puhuttiin laajimmasta ja suppeimmasta topologiasta. Näille asioille on ihan virallinen nimityskin, joka selviää seuraavasta määritelmästä. Määritelmä 1.3 Olkoon X joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Sanotaan että T 1 on karkeampi kuin T 2 tai T 2 on hienompi kuin T 1, jos pätee T 1 T 2. Huomautus 1.4 Hienommassa topologiassa on siis ainakin samat avoimet joukot kuin karkeammassakin, mutta mahdollisesti myös aidosti enemmän. Tämä topologioiden hienompi/karkeampi-relaatio on triviaalisti transitiivinen siinä mielessä, että jos T 1 on karkeampi kuin T 2 ja T 2 karkeampi kuin T 3, niin T 1 on karkeampi kuin T 3. Tämä topologioiden järjestysrelaatio ei kuitenkaan ole täydellinen, mikä tarkoittaa sitä, että kaikkia topologioita ei suinkaan voida tässä mielessä vertailla. Esimerkiksi jos X on kolmen eri pisteen joukko X = {a,b,c}, niin T 1 = {, {a}, {a,b},x} ja T 2 = {, {a}, {a,c},x} ovat topologioita X:ssä, mutta kumpikaan ei ole toista hienompi/karkeampi. 2

5 Määritelmä 1.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Sanotaan, että osajoukko A X on pisteen a ympäristö topologiassa T, jos a A ja A T. Huomautus. Määritelmä 1.5 yleistää metrisen avaruuden ympäristön määritelmän MA 3.9. Huomautuksen 1.4 esimerkissä {a, b} on pisteen a ympäristö topologiassa T 1, mutta ei ole sitä topologiassa T 2. Seuraava lause yleistää lauseen MA Lause 1.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin A on avoin jos ja vain jos jokaiselle a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Todistus. Suoraan määritelmän nojalla A on jokaisen pisteensä ympäristö, joten valinta U a := A toimii kaikille a A. Oletetaan, että kaikille a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Tällöin U a = A. (1) a A Ympäristöinä joukot U a ovat topologian T alkioita, jolloin esityksen (1) ja topologian määritelmän nojalla A T eli A on avoin. Määritelmä 1.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on Hausdorff-avaruus, jos kaikille x, y X, x y on olemassa U, V T siten, että x U, y V ja U V =. Esimerkki. Metrinen avaruus on aina Hausdorff. Tämä seuraa lauseesta MA (X, T dis ) on myös aina Hausdorff. Sen sijaan (X, T mini ) ei ole Hausdorff, jos X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Myöskään esimerkin 1.2 b) topologia T 1 ei ole Hausdorff. Suljettu joukko yleisissä topologisissa avaruuksissa määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 1.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että A on suljettu, jos X \ A on avoin. Lause 1.9 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {B α } α I perhe X:n suljettuja osajoukkoja. Tällöin B α on suljettu, jos I, α I B α on suljettu, jos I on äärellinen sekä lisäksi α I ja X ovat suljettuja. 3

6 Todistus. Tämä todistetaan kuten lauseet MA 7.13 ja Lauseen 1.9 tavoin monet peruslauseet yleisissä topologisissa avaruuksissa ovat analogisia vastaavien metristen tulosten kanssa, myös todistukseltaan. Tämän vuoksi tässä esitetään perusmääritelmistä helposti saatavien tulosten todistuksia vain viittaamalla vastaaviin todistuksiin MA:ssa. Toki kriittisen lukijan on syytä tarkistaa, ettei tässä ihan höpöjä puhuta, vaan todistukset tosiaan sujuvat kuten metrisissä avaruuksissa. Määritelmä 1.10 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kosketuspiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee U A. x on A:n erakkopiste, jos on olemassa x:n ympäristö U, jolle pätee U A = {x}. A:n kosketuspisteiden joukko on A:n sulkeuma, ja sitä merkitään symbolilla A. Huomautus. Kuten metrisissä avaruuksissa (MA 6.12) pätee aina A A. Lause 1.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin sulkeuma A on suljettu. Todistus. Tässä voisi viitata lauseen MA 6.13 todistukseen, mutta se olisi epäonnistunut viittaus, koska lauseen MA 6.13 todistus on metrinen eli siinä käytetään metriikkaa. Oikea viittaus on sen sijaan huomautus MA 6.14, jossa todistuksesta selvitään ilman metriikan käyttöä. Lause 1.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A, B X. Tällöin pätee seuraavaa. Jos A B ja B on suljettu, niin A B. A on suljettu jos ja vain jos A = A. Jos C := {C A C X ja C on suljettu}, niin A = C C C. Jos A B, niin A B. A = A. A B = A B. A B A B. Todistus. Kuten lauseet MA Kasautumispiste määriteltiin MA:ssa niin, että piste on A:n kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on äärettömän monta A:n pistettä. Lauseessa MA 6.36 todettiin, että tämä ehto on yhtäpitävää sille, että jokaisessa x:n punkteeratussa ympäristössä U \{x} on A:n pisteitä. Yleisissä topologisissa avaruuksissa on parempi ottaa tämä jälkimmäinen ehto määritelmäksi: 4

7 Määritelmä 1.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kasautumispiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee (U \ {x}) A. Lause MA 6.34 yleistyy: Lause 1.14 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Tällöin x A jos ja vain jos x on A:n kasautumispiste tai erakkopiste. Todistus. Tässä ei voi nyt vedota lauseen MA 6.34 todistukseen, koska sen todistus on metrinen ja sitä paitsi käytettävä määritelmäkin on erilainen. Tällä määritelmällä 1.13 todistus on kuitenkin paljon helpompi jopa triviaali, ja jätetään tämä harjoitustehtäväksi. Samalla voidaan todeta, että MA:ssa olisi ollut helpompaa todistaa lause MA 6.36 ennen lausetta MA 6.34, jolloin MA 6.34:n todistuksessa olisi voitu käyttää samaa helppoa argumentointia kuin tässä käsillä olevassa tuloksessa. Sisä- ulko- ja reunapisteet määritellään kuten MA:ssa: Määritelmä 1.15 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A sisäpiste, jos on olemassa pisteen x ympäristö U siten, että U A. Sanotaan, että x on A:n ulkopiste jos x on joukon X \ A sisäpiste. Jos x ei ole A:n sisä- eikä ulkopiste, niin sanotaan, että x on A:n reunapiste. Merkitään int(a) = {x X x on A:n sisäpiste}, ext(a) = {x X x on A:n ulkopiste} A = {x X x on A:n reunapiste}. ja Lause 1.16 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin pätee seuraavaa. X = int(a) ext(a) A ja tämä yhdiste on pistevieras. int(a) = ext(x \ A). Joukot int(a) ja ext(a) ovat avoimia sekä joukko A on suljettu. A on avoin jos ja vain jos A = int(a). A A. ext(a) = X \ A. int(a) = X \ X \ A. A = int(a) A. A = A A. A = A X \ A. A = A \ int(a). A = (X \ A). 5

8 A on avoin jos ja vain jos A = A \ A. Jos A = {U A U on avoin}, niin pätee int(a) = Todistus. Ks. MA U A Esimerkki 1.17 Vaikka tulokset lauseessa 1.16 ovat samoja kuin MA:ssa, niin yleisissä topologisissa avaruuksissa voi tapahtua näille sisä- ulko- ja reunapisteille sekä sulkeumille vähän yllättäviä asioita metrisiin avaruuksiin verrattuna. Jätetään helpoksi harjoitustehtäväksi miettiä, miten käy esimerkiksi minitopologiassa. Vähemmän triviaali esimerkki on esimerkin 1.2 b) R:n topologia Jos valitaan vaikkapa A =]0,1[, niin T 1 = {]a, [ a R} {, R}. int(a) =, ext(a) = ]1, [, A = ],1] Jätetään perustelut harjoitustehtäväksi. ja A = int(a) A = ],1]. Määritelmä 1.18 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että joukko A on tiheä avaruudessa (X, T ), jos pätee A = X. Esimerkki 1.19 Jos varustetaan R itseisarvometriikan määräämällä topologialla, niin Q on tiheä, Z sen sijaan ei. Jos varustetaankin R esimerkin 1.17 topologialla T 1, niin myös Z on tiheä. Tämä johtuu siitä, että int(z) = ja vähän yllättävästi myös ext(z) =, jolloin lauseen 1.16 nojalla Z = R ja silloin myös Z = R. Lause 1.20 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, A B X ja oletetaan, että A on tiheä. Silloin myös B on tiheä. Todistus. X i) = A ii) B X, joten on oltava X = B ja väite seuraa. Yllä yhtälö i) seuraa siitä, että A on tiheä. Inkluusio ii) seuraa oletuksesta A B ja lauseesta U. 2 Topologian kanta Monissa sovelluksissa joudutaan määrittelemään annettuun joukkoon jokin sopiva topologia. Topologiat ovat usein hyvin suuria joukkoja, jolloin niiden eksplisiittinen määritteleminen käy hankalaksi. Tällöin on hyvä turvautua (yleensä huomattavasti) pienempään joukkoon, joka tietyssä mielessä virittää halutun topologian. Tätä pienempää joukkoa kutsutaan (halutun) topologian kannaksi. Tarkka määritelmä on seuraava. 6

9 Määritelmä 2.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että joukko B P(X) on topologian T kanta, jos B T ja lisäksi pätee seuraava ehto. Kaikille A T on olemassa joukkoperhe {U α } α I siten, että U α B kaikille α I ja α I U α = A. Huomautus. Kannan alkiot ovat siis aina varsinaisen topologian alkioita, mutta kannassa ei tarvitse olla läheskään kaikkia näitä, vaan riittää, että topologian alkiot voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Usein kannassa ei ole alkiota T, mutta määritelmän 2.1 ehdossa voidaan valita I =, jolloin (vähän kikkailemalla) saadaan myös tyhjä joukko esitettyä B:n alkioiden yhdisteenä. Toinen mahdollisuus olisi asettaa määritelmään 2.1 rajoite A. Samalla topologialla voi olla useita kantoja kuten helposti nähdään, mutta on tärkeää, että sama kanta voi määrätä vain yhden topologian. Tämä nimenomaan siitä syystä, että kun sovelluksissa määritellään topologia kannan avulla, niin se tulee yksikäsitteisesti määrättyä. Tämän yksikäsitteisyyden takaa seuraava lause. Lause 2.2 Olkoot (X, T 1 ) ja (X, T 2 ) topologisia avaruuksia sekä B P(X) näiden molempien topologioiden kanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Olkoon A T 1 mielivaltainen. Koska B on T 1 :n kanta, niin A voidaan esittää yhdisteenä A = α I U α, U α B kaikille α I. (1) Koska B on T 2 :n kanta, niin B T 2, ja silloin U α T 2 kaikille α I. Koska T 2 on topologia, niin se sisältää alkioidensa yhdisteeet, joten α I U α T 2. Tällöin esityksen (1) perusteella A T 2. Koska A T 1 valittiin mielivaltaisesti, niin näin on nähty, että T 1 T 2. Vastaavasti nähdään, että T 2 T 1. Esimerkki 2.3 a) Onko jokaisella topologialla kanta? On, sillä topologia on triviaalisti itsensä kanta. Toki yleensä kantoja on paljon muitakin. b) Diskreetin topologian T dis eräs kanta on B = {{x} x X}. c) Jos (X,d) on metrinen avaruus, niin topologian T d (ks. esim. 1.2 a)) eräs kanta on B = {B d (x,r) x X, r > 0}. Tämä seuraa lauseesta MA 3.8. d) Esimerkin 1.2 b) topologian T 1 eräs kanta on B = { ]q, [ q Q}. Kun topologioita määritellään kannan kautta, herää luonnollinen kysymys: voiko mielivaltainen P(X):n osajoukko B olla jonkin X:n topologian kanta. Ei voi; tämä selviää lauseesta 2.8 ja esimerkistä 2.10 a). Näitä varten tarvitaan muutama aputulos. 7

10 Lause 2.4 Olkoon X jokin joukko ja A X. Olkoon lisäksi B P(X). Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. On olemassa joukkoperhe {U α } α I, missä U α B kaikille α I, (1) siten, että A = α I U α. Kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. (2) Todistus. (1) (2) Oletetaan, että ehto (1) pätee ja olkoon x A mielivaltainen. Olkoon {U α } α I ehdon (1) mukainen joukkoperhe. Silloin x A = {U α } α I, joten on olemassa α 0 I siten, että x U α0. Tällöin väitteessä (2) olevaksi joukoksi B x käy B x := U α0, koska tämä toteuttaa selvästi ehdon (2) vaatimukset. (2) (1) Oletetaan, että ehto (2) pätee. Määritellään joukkoperhe {U α } α I asettamalla I = A ja U x = B x kaikille x I = A. Tämä toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, sillä kaikille a A pätee a B a x A B x, joten A x A B x A ja siten A = x A B x. Seuraavassa lauseessa annetaan täsmällinen ehto sille, milloin jokin B P(X) on tietyn topologian kanta. Tämä ei siis vielä kerro sitä, että voiko B olla jonkun topologian kanta, vaikkei se annetun topologian kanta olisikaan. Lause 2.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B P(X). Tällöin B on topologian T kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot pätevät: B T ja (1) Jos U T ja x U, niin on olemassa B B siten, että x B U. (2) Todistus Jos B on topologian T kanta, niin ehto (1) seuraa suoraan määritelmästä 2.1. Ehto (2) seuraa määritelmästä 2.1 ja lauseesta 2.4. Jos ehdot (1) ja (2) pätevät, niin lauseen 2.4 nojalla kannan määritelmän 2.1 ehdot toteutuvat. Esimerkki 2.6 Tason R 2 euklidisen topologian eli euklidisen metriikan antaman topologian eräs kanta on B = { ]a,b[ ]c,d[ a,b,c,d R, a < b,c < d}. Tämän näkee helposti lauseen 2.5 avulla. Huomautus. Lauseen 2.5 ehtoa (2) ei voi lieventää korvaamalla se ehdolla Kaikille U T on olemassa B B siten, että B U. (3) Esimerkkinä tästä on R:n itseisarvometriikan antama topologia T ja kantaehdokas B = {U \ {0} U T }. Tämä toteuttaa ehdot (1) ja (3), muttei voi olla 8

11 T :n kanta, koska esimerkiksi avointa joukkoa R ei selvästikään voi esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Seuraavassa lauseessa ei varsinaisesti ole mitään uutta, mutta kirjataan lause muistiin sen käyttökelpoisuuden takia. Lause 2.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B T :n kanta sekä A X. Tällöin A T jos ja vain jos kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. Todistus. Väitteen suunta seuraa lauseesta 2.5 ja käänteinen suunta lauseesta 1.6 sekä kannan määritelmästä. Nyt saadaan sitten aikaan ehto, joka kertoo täsmälleen, milloin annettu joukko on jonkin topologian kanta. Lause 2.8 (Kantalause) Olkoon X mielivaltainen joukko ja B P(X). Tällöin B on X:n jonkin topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat. B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Huomautus 2.9 Lauseessa 2.8 ei siis vaadita, että B 1 B 2 B. Näin voi tietysti olla, mutta se ei ole välttämätöntä toisin kuin topologian tapauksessa. Tämä helpottaa kovasti topologioiden rakentelua: riittää konstruoida lauseen 2.8 ehdot (1) ja (2) toteuttava B. Lauseen 2.2 nojalla tämä B on täsmälleen yhden topologian T kanta eli T määräytyy yksikäsitteisesti. T :n alkiotkin voidaan karakterisoida kannan määritelmän avulla: Jos A X, niin A T jos ja vain jos on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α. Siis T :n alkiot koostuvat tarkalleen B:n alkioiden yhdisteistä. Lauseen 2.8 todistus. Väitteen tämä suunta on helppo. Jos B on jonkin topologian T kanta, niin X T ja ehto (1) seuraa kannan määritelmästä. Ehto (2) seuraa lauseesta 2.7, sillä B 1,B 2 B T, jolloin B 1 B 2 T. Oletetaan, että B toteuttaa ehdot (1) ja (2). Pitäisi siis keksiä jokin topologia T, jonka kanta B on. Vahvan vihjeen antaa huomautus 2.9. Määritellään topologiaehdokas T asettamalla T = {A P(X) on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α }. Kannan määritelmän mukaan B on T :n kanta, jos T ylipäätään on topologia. Riittää siis todistaa tämä. 9

12 X T ehdon (1) nojalla. Myös T, kun valitaan tyhjä indeksijoukko I. Riittää siis osoittaa, että T :n alkioiden mielivaltaiset yhdisteet ja äärelliset leikkaukset pysyvät T :ssä. Yhdisteille tämä on helppoa. Olkoon {U β } β J perhe T :n alkioita. Tällöin jokaiselle β J on olemassa perhe {B β α} α Iβ, missä B β α B kaikille α I β siten, että U β = α I β B β α. Tällöin U β = Bα β = β J β J α I β (α,β) K B β α, (3) missä K = β J (I β {β}). Esityksen (3) ja T :n määritelmän mukaan U β T. β J Äärelliselle leikkaukselle todistus on vähän vaikeampaa. Tässä siis oletetaan, että J on äärellinen (ja siten epätyhjä) indeksijoukko ja {U β } β J perhe T :n alkioita. Pitää osoittaa, että U β T. (4) β J Todistetaan väite (4) induktiolla joukon J alkioiden lukumäärän #J suhteen. Kun #J = 1, niin väite (4) pätee triviaalisti. Oletetaan sitten, että n 2 ja että väite (4) pätee jokaiselle indeksijoukolle J, jolle #J = n 1. Olkoon #J = n. Tällöin J voidaan esittää muodossa Merkitään J = {β 0 } K, missä #K = n 1. (5) V = Induktio-oletuksen ja ehdon (5) nojalla Koska nyt β K U β = U β0 β J niin väite (4) tulee muotoon U β. V T. (6) β K U β = U β0 V, U β0 V T. (7) 10

13 T :n määritelmän mukaan väite (7) siis sanoo, että joukko U β0 V voidaan esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Lauseen 2.4 nojalla väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että kaikille x U β0 V on olemassa B x B siten, että x B x U β0 V. (8) Olkoon siis x U β0 V mielivaltainen. Koska U β0 T, niin T :n määritelmän mukaan U β0 on B:n alkioiden yhdiste, jolloin lausetta 2.4 toiseen suuntaan (kuin edellä) käyttäen nähdään, että on olemassa B 1 siten, että B 1 B ja (9) x B 1 U β0. (10) Ehdon (4) nojalla vastaava tarkastelu voidaan tehdä myös joukolle V, ja nähdään, että on olemassa B 2 siten, että B 2 B ja (11) x B 2 V. (12) Nyt käytetään oletuksen ehtoa (2). Sen ja ehtojen (9) (12) nojalla on olemassa B x B siten, että x B x B 1 B 2. Ehtojen (10) ja (12) nojalla tämä B x toteuttaa ehdon (8), joten väite (7) pätee. Näin induktioaskel on otettu, ja asia on selvä. Esimerkki 2.10 a) Olkoon X neljän alkion joukko X = {a,b,c,d} ja B = {B 1,B 2,B 3 }, missä B 1 = {a,b,c}, B 2 = {b,c,d} ja B 3 = {b}. Tällöin B ei toteuta lauseen 2.8 ehtoja, sillä c B 1 B 2, mutta ei ole olemassa joukkoa B c B siten, että c B c B 1 B 2. Siten B ei voi olla minkään X:n topologian kanta. b) Joukko B = {]a,b[ a < b} on lauseen 2.8 nojalla jonkin R:n topologian kanta. Itse asiassa tämä topologia on tavallinen itseisarvotopologia. c) Joukko {[a,b] a < b} ei lauseen 2.8 nojalla ole minkään R:n topologian kanta. Sen sijaan joukko B = {[a, b] a b} on jonkin topologian kanta. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että kyseessä on diskreetti topologia. d) Esimerkissä 1.2 b) todettiin, että joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} ei ole sitä. T 1 on silloin oma kantansa, joten se automaattisesti toteuttaa lauseen 2.8 ehdot. Myös T 2 toteuttaa ne, joten se on jonkin topologian T 3 kanta. 11

14 e) Joukko B = {[a,b[ a < b} toteuttaa lauseen 2.8 ehdot, joten se on jonkin R:n topologian kanta. Tämä on mielenkiintoinen topologia, johon palataan jatkossa. Osoittautuu esimerkiksi, että tässä topologiassa välit [a, b[ ovat paitsi avoimia (mitä ne ovat triviaalisti) myös suljettuja. Kyseessä ei kuitenkaan ole diskreetti topologia. Kantansa alkioiden olemuksen perusteella tätä topologiaa kutsutaan R:n puoliavoimeksi topologiaksi, ja sitä merkitään symbolilla T pa. Aiemmin määriteltiin (ks. 1.3), että jos saman joukon topologioille T 1 ja T 2 pätee T 1 T 2, niin topologia T 2 on hienompi tai vastaavasti T 1 on karkeampi. Karkeammassa topologiassa on siis vähemmän avoimia joukkoja ja hienommassa enemmän. Voidaanko kantojen avulla päätellä jotain tästä hienommuudesta/karkeammuudesta? On melko selvää, että jos B i on T i :n kanta, i = 1,2 ja B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Käänteinen suunta tässä ei kuitenkaan päde. Tästä saa vastaesimerkkejä huomaamalla, että samalla topologialla voi olla useita eri kantoja, jotka eivät ole vertailtavissa tässä mielessä. Topologioiden hienommuusvertailu on kuitenkin merkittävä asia monessa paikassa. Seuraava lause sanoo, että tästä vertailusta voidaan jotain sanoa kantojenkin avulla. Lause 2.11 Olkoon X mielivaltainen joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Olkoon B i topologian T i :n kanta, i = 1,2. Tällöin T 2 on hienompi kuin T 1 jos ja vain jos seuraava ehto pätee. Kaikille x B 1 B 1 on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (1) Todistus. Oletetaan, että T 2 on hienompi kuin T 1 eli T 1 T 2. Olkoon x B 1 B 1. Topologia sisältää aina kantansa, joten B 1 T 1 ja siten oletuksen nojalla B 1 T 2, ja näin B 1 T 2. (2) Väitteessä (1) vaadittavan joukon B 2 B 2, jolle pätee x B 2 B 1, olemassaolo seuraa lauseesta 2.5, ehdosta (2) ja siitä, että B 2 on T 2 :n kanta. Oletetaan, että ehto (1) pätee. Olkoon U T 1 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että U T 2. (3) Olkoon tätä varten x U mielivaltainen. Väite (3) seuraa lauseesta 1.6, jos x V U jollekin V T 2. (4) Koska U T 1 ja B 1 on T 1 :n kanta, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa B 1 B 1 siten, että x B 1 U. (5) Tällöin oletuksen (1) nojalla on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (6) 12

15 Valitaan nyt ehdossa (4) kaipailtu V asettamalla V := B 2. Koska topologia sisältää aina kantansa, niin V = B 2 B 2 T 2, joten ainakin V T 2. Lisäksi ehdon (4) vaatimus x V U seuraa ehdoista (6) ja (5), joten V :n valinta on kelvollinen. Esimerkki 2.12 a) Ennen lausetta 2.11 todettiin ylimalkaisesti, että on melko selvää, että jos kannoille pätee B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Tarkka todistus tälle väitteelle saadaan lauseesta 2.11: siinä tarvittava joukko B 2 löytyy valitsemalla B 2 := B 1 B 1 B 2. b) Esimerkin 2.10 d) topologioista T 1 ja T 3 topologia T 3 on hienompi, sillä kannat T 1 ja T 2 toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että kaikille x B 1 T 1 on olemassa B 2 T 2 siten, että x B 2 B 1. Toisin päin ehto ei kuitenkaan toteudu, joten lauseen 2.11 käänteisen suunnan mukaan T 3 on aidosti hienompi kuin T 1. c) Esimerkissä 2.10 b) esitettiin R:n itseisarvotopologian T kanta B. Saman esimerkin e)-kohdassa esitettiin R:n topologian T pa kanta, jota merkitään tässä symbolilla B pa. Nämä kannat toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että T pa on aidosti hienompi kuin T, vrt. b)-kohta. Koska itseisarvotopologia on metrinen, niin se on Hausdorff lauseen MA 3.12 mukaisesti. Silloin (triviaalisti) tätä hienompi topologia T pa on myös Hausdorff. Kuten on nähty, topologia voidaan määritellä antamalla (vain) kanta. Sen täytyy tietenkin toteuttaa kantalauseen 2.8 vaatimukset. Tämäkin on joskus varsin vaivalloista. Helpommaksi tilanteen voi muuttaa antamalla vain ns. esikanta, jonka määritelmä on seuraavassa. Määritelmä 2.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja E T. Sanotaan, että E on topologian T esikanta, jos joukko { A k A k E kaikille k K ja indeksijoukko K on äärellinen} k K on T :n kanta. Esimerkki. Jokainen kanta on triviaalisti esikanta. Esikanta ei kuitenkaan välttämättä ole kanta. Näin käy esimerkiksi, jos T on R:n itseisarvotopologia ja E = { ],a[ a R} { ]b, [ b R}. Tällöin E on T :n esikanta, mikä nähdään helposti esimerkin b) avulla. Tämä E ei kuitenkaan ole T :n kanta, mikä seuraa siitä, että E ei toteuta kantalauseen 2.8 ehtoja. Kuten kanta, myös esikanta määrää topologian yksikäsitteisesti: 13

16 Lause 2.14 Olkoot T 1 ja T 2 joukon X topologioita. Olkoon lisäksi E näiden molempien topologioiden esikanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Tämä seuraa melko välittömästi esikannan määritelmästä ja lauseesta 2.2. Minkälainen joukko sitten voi olla esikanta jollekin topologialle? Kantalauseessa 2.8 esitettiin kriteeri sille, milloin joukko voi olla kanta. Esikannalle saadaan myös tällainen kriteeri, ja merkittävää on, että tämä kriteeri on hyvin löysä ainakin verrattuna kantalauseen ehtoon. Tämä ehto on seuraavassa lauseessa. Sitä varten on ehkä syytä muistuttaa mieleen peitteen (yksinkertainen) määritelmä. Jos X on joukko, niin X:n peite on sellainen joukkoperhe {A α } α I P(X), jolle pätee α I A α = X. Lause 2.15 Olkoon X mielivaltainen joukko. Tällöin jokainen X:n peite on jonkin X:n topologian esikanta. Todistus. Olkoon {A α } α I joukon X peite. Määritellään joukkoperhe B P(X) asettamalla B = { A α K I ja K on äärellinen}. α K Tällöin väite seuraa esikannan määritelmästä, jos B on jonkin X:n topologian kanta. Tämä seuraa, jos B toteuttaa kantalauseen 2.8 ehdot B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Väitettä (1) varten huomataan ensin, että {A α } α I B eli että A α B kaikille α I. (3) Tämä johtuu siitä, että jos α 0 I on mielivaltainen, niin K := {α 0 } I on äärellinen ja A α0 i) = α K A α ii) B, missä yhtälö i) seuraa (triviaalisti) yhdisteen määritelmästä ja ehto ii) perheen B määritelmästä ja indeksijoukon K I äärellisyydestä. Ehdon (3) ja yhdisteen määritelmän nojalla pätee A α B. (4) α I Koska oletuksen mukaan {A α } α I on X:n peite, niin väite (1) seuraa ehdosta (4). B B 14

17 Väitettä (2) varten olkoot B 1,B 2 B ja x B 1 B 2. Perheen B määritelmän mukaan on olemassa äärelliset joukot K 1,K 2 I siten että B 1 = A α ja B 2 = A α. (5) α K 1 α K 2 Koska K 1 ja K 2 ovat äärellisiä, niin myös K 1 K 2 I on äärellinen, ja silloin perheen B määritelmän mukaan α K 1 K 2 A α B. (6) Ehdon (5) ja leikkauksen määritelmän mukaan pätee ilmeisesti α K 1 K 2 A α = B 1 B 2. Siten ehdon (6) perusteella B 1 B 2 B, ja silloin väitteessä (2) tarvittavaksi joukoksi B x käy B x = B 1 B 2. Lauseen 2.15 nojalla siis jokainen joukon X peite E on jonkin topologian T esikanta. Lauseen 2.14 nojalla tämä topologia T määräytyy esikannasta E yksikäsitteisesti. Tästä topologiasta T voidaan sanoa (yksikäsitteisyyden lisäksi) muutakin: Lause 2.16 Olkoon X jokin joukko ja E X:n peite sekä T se (yksikäsitteisesti määrätty) X:n topologia, jonka esikanta E on. Tällöin T on karkein sellainen X:n topologia, joka sisältää perheen E. Todistus. Olkoon B kuten lauseen 2.15 todistuksessa. Tässä todistuksessa nähtiin, että B on erään topologian kanta, ja yksikäsitteisyyden nojalla tämä topologia on nimenomaan T. Silloin B T. Lauseen 2.15 todistuksessa nähtiin myös, että E B, joten E T, eli ainakin T sisältää E:n. Pitää siis osoittaa, että T on karkein tällainen topologia. Olkoon sitä varten T toinen X:n topologia, jolle pätee E T. Väitteenä on, että T T. (1) Koska B on T :n kanta ja T on itsensä kanta, niin esimerkin 2.12 a) nojalla väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että B T. (2) Koska E T ja T topologiana sisältää alkioidensa äärelliset leikkaukset, niin väite (2) seuraa suoraan perheen B määritelmästä. 15

18 3 Jatkuva kuvaus Koska yleisissä topologisissa avaruuksissa ei ole metriikkaa, jatkuvan kuvauksen määritelmää ei voi asettaa ainakaan niin kuin tehtiin määritelmässä MA 4.1. Tämän sijasta käytetään lauseen MA 4.9 antamaa ekvivalenttia ehtoa: Määritelmä 3.1 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a A. Sanotaan, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a, jos jokaiselle pisteen f(a) ympäristölle V T Y on olemassa pisteen a ympäristö U T X siten, että f(u) V. Sanotaan, että f on jatkuva (koko avaruudessa X), jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Huomautus. Tämä määritelmän 3.1 ehto on siis lauseen MA 4.9 ehto (2). Helposti nähdään, että tämä on ekvivalenttia kyseisen lauseen ehdolle (3), joka voitaisiin tietysti myös ottaa tässä jatkuvuuden määritelmäksi. Lauseen MA 4.9 ehdosta (1) ei voi tietysti tässä puhuakaan, koska metriikkaa ei ole. Lause MA 4.10 yleistyy heti: Lause 3.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on jatkuva jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin, ts. kaikille B T Y pätee f 1 (B) T X. Todistus. Kuten lause MA Esimerkki 3.3 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Jos T X on diskreetti topologia, niin kaikki joukot ovat avoimia. Tällöin lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva olipa se sitten millainen tahansa. Vastaavasti, jos T Y on minitopologia, niin Y :n avoimia joukkoja ovat vain ja Y. Näiden alkukuvat ovat ja X, jotka ovat aina avoimia. Siten lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva. Lause MA 6.24 yleistyy myös: Lause 3.4 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a X. Tällöin f on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos kaikille joukoille A X pätee ehto Todistus. Kuten lause MA Lause MA 6.25 pätee myös yleisesti: jos a A, niin f(a) f(a). Lause 3.5 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. f on jatkuva. Kaikille suljetuille joukoille B Y myös alkukuva f 1 (B) X on suljettu. Kaikille joukoille A X pätee f(a) f(a). 16

19 Todistus. Kuten lause MA Seuraavat lauseet ovat myös metristen lauseiden yleistyksiä. Lause 3.6 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon a X. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) jatkuva pisteessä f(a), niin g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA Lause 3.7 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen topologinen avaruus ja a Y. Olkoot f,g : (Y, T Y ) (X,d) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös summakuvaus f + g : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.1. Lause 3.8 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen metrinen avaruus, a Y ja d K:n itseisarvometriikka. Olkoot f : (Y, T Y ) (X,d) ja λ : (Y, T Y ) (K,d ) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös kuvaus λf : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.2. Seuraava lause onkin sitten aivan uutta tällaista ei metrisissä avaruuksissa ole esitetty. Toki tämä pätee sellaisenaan myös metrisessä topologiassa. Lause 3.9 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva jos ja vain jos topologialla T Y on esikanta E Y siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Todistus. Jos f on jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla vaadituksi esikannaksi E Y käy topologia T Y itse sehän on aina oma kantansa ja myös esikantansa. Olkoon E Y topologian T Y esikanta siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Pitää osoittaa, että f on jatkuva, mihin riittää lauseen 3.2 nojalla se, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Olkoon siis U T Y mielivaltainen. Pitää osoittaa, että f 1 (U) T X. (1) Esikannan E Y alkioiden äärelliset leikkaukset muodostavat määritelmän mukaan topologian T Y kannan ja toisaalta jokainen topologian alkio voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Koska U T Y, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että U = B α, α I 17

20 ja toisaalta jokaiselle α I on olemassa äärellinen indeksijoukko K α ja joukkoperhe {A α k α } kα K α siten, että B α = k α K α A α k α ja A α k α E Y kaikille α ja k α. (2) Tällöin ( ) f 1 (U) = f 1 B α = f 1 (B α ) = (3) α I α I ( ) f 1 = f 1 (A α k α ). α I α I k α K α k α K α A α k α Koska ehdon (2) mukaan A α k α E Y kaikille α ja k α, niin oletuksen nojalla f 1 (A α k α ) T X kaikille α ja k α. (4) Koska K α on äärellinen, niin topologian määritelmän ja ehdon (4) nojalla k α K α f 1 (A α k α ) T X kaikille α. Tällöin topologian määritelmän mukaan myös f 1 (A α k α ) T X, α I k α K α joten väite (1) seuraa esityksestä (3). Lause 3.10 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f,g : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuvia kuvauksia. Oletetaan lisäksi, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tällöin joukko B = {x X f(x) = g(x)} on suljettu avaruudessa (X, T X ). Todistus. Riittää osoittaa, että joukko X \ B eli A = {x X f(x) g(x)} on avoin. Olkoon tätä varten a A mielivaltainen. Riittää löytää joukko W siten, että W on a:n ympäristö ja W A. (1) Koska a A niin joukon A määritelmän mukaan f(a) g(a). Nämä ovat joukon Y pisteitä ja koska (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus, niin on olemassa avoimet joukot U, V Y siten, että f(a) U, g(a) V ja U V =. (2) 18

21 Koska U ja V ovat avoimia, niin f:n ja g:n jatkuvuuden sekä lauseen 3.2 nojalla joukot f 1 (U) ja g 1 (V ) ovat avoimia avaruudessa (X, T X ). Määritellään nyt W := f 1 (U) g 1 (V ), jolloin W on avoin kahden avoimen joukon leikkauksena. Koska f(a) U, niin a f 1 (U) ja vastaavasti a g 1 (V ), joten a W. Tällöin W on avoimena joukkona pisteen a ympäristö. Tällöin W toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, jos osoitetaan, että W A. (3) Olkoon tätä varten x W mielivaltainen. Tällöin joukon W määritelmän perusteella f(x) U ja g(x) V. (4) Ehdon (2) mukaan U V =, jolloin ehdon (4) perusteella on oltava f(x) g(x). Tämä merkitsee sitä, että x A, joten väite (3) on todistettu. Huomautus. Lauseen 3.10 väite ei päde ilman oletusta siitä, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tästä saa esimerkin kun T on R:n itseisarvotopologia ja määritellään kuvaukset f,g : (R, T ) (R, T mini ) asettamalla { 0 kun x > 0 f 0 ja g(x) = 1 kun x 0. Tällöin esimerkin 3.3 mukaan f ja g ovat jatkuvia, mutta joukko {x R f(x) = g(x)} = ]0, [ ei ole suljettu avaruudessa (R, T ). Jono topologisissa avaruuksissa määritellään kuten ennenkin: eihän jono sinällään ole topologinen tai metrinen käsite, vaan joukko-opillinen. Suppenemisen käsite on sitten toinen asia. Topologisissa avaruuksissa suppeneminen määritellään samoin kuin metrisessä tapauksessa: Määritelmä 3.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (x n ) joukon X jono sekä a X. Sanotaan, että jono (x n ) suppenee tai konvergoi kohti pistettä a tai a on jonon (x n ) raja-arvo, jos jokaiselle a:n ympäristölle U on olemassa n 0 N siten, että x n U kaikille n n 0. Tällöin merkitään a = lim n x n. (1) Merkintä (1) voidaan kirjoittaa vaihtoehtoisesti myös muodossa a = lim x n, n x n a tai x n a. Myös jonon kasautumisarvo määritellään samoin kuin ennenkin: Määritelmä 3.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, a X ja (x n ) joukon X jono. Sanotaan, että a on jonon (x n ) kasautumisarvo, jos kaikille a:n ympäristöille U pätee x n U äärettömän monelle n N. 19

22 Huomautus 3.13 Toisin kuin metrisissä avaruuksissa (ks. lause MA 12.6) jonon raja-arvo ei ole välttämättä yksikäsitteinen. Tämän näkee helposti: minitopologiassa jokainen jono suppenee kohti jokaista pistettä. Tämä ambivalenssi tekee jonoista vähän huononlaisen apuneuvon topologisiin avaruuksiin. Lisäksi tästä aiheutuu kohtalaisen hankala merkintäongelma. Jos jonolla (x n ) on kaksi eri raja-arvoa x ja y, niin määritelmän 3.11 merkintäsopimuksien nojalla x = lim x n = y, vaikka x y. Eihän tässä kauheasti järkeä ole, mutta jotenkin näitä on merkittävä, ja yritetään nyt pärjätä tällä. Hausdorff-avaruuksissa huomautuksessa 3.13 maalailtua ikävää tilannetta ei kuitenkaan pääse syntymään. Tämän takaa seuraava lause. Lause 3.14 Hausdorff-avaruudessa jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Todistus. Kuten lause MA Todistusta täytyy tosin hieman muuttaa: lause MA 3.12 ei ole nyt käytettävissä, mutta se voidaan korvata Hausdorff-avaruuden määritelmällä. Lause MA yleistyy, mutta vain toiseen suuntaan: Lause 3.15 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a X ja f : X Y kuvaus. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a niin seuraava ehto pätee. Jos (x n ) on joukon X jono siten, että x n a, niin f(x n ) f(a). (1) Todistus. Kuten lauseen MA suunta. Huomautus 3.16 Lauseen MA toinen suunta ei tosiaankaan päde yleisissä topologisissa avaruuksissa eli ehto (1) ei yleensä implikoi f:n jatkuvuutta pisteessä a. Miksei lauseen MA toisen suunnan todistus sitten toimi yleisesti? Eihän siinä puhuta metriikasta mitään, mikä siis on vialla? Ensinnäkin siinä käytetään lausetta MA 6.24, mutta se ei ole ongelma, koska sen yleistys eli lause 3.4 pätee. Toiseksi käytetään lausetta MA 12.12, ja tämä on se ongelmakohta, sillä MA ei päde toiseen suuntaan yleisesti. Siis sulkeuman pistettä ei välttämättä voi lähestyä jonolla joukon sisältä. Jos nyt a sattuu olemaan jonkin joukon A sulkeumassa tällainen piste, niin lauseen 3.15 ehto (1) ei sano pisteen a kuvautumisesta yhtään mitään, jolloin se voidaan kuvata mihin tahansa, esimerkiksi sulkeuman f(a) ulkopuolelle. Silloin lauseen 3.4 mukaan f ei ole jatkuva pisteessä a. Jätetään yksityiskohdat ja konkreettisen vastaesimerkin keksiminen bonustehtäväksi. Kuten lauseissa 3.2 ja 3.5 nähtiin, jatkuvassa kuvauksessa avoimen/suljetun joukon alkukuva on aina avoin/suljettu. Sama ei päde kuvajoukolle, tämähän todettiin jo huomautuksessa MA 4.11 ja lauseen MA 6.25 jälkeisessä huomautuksessa. Sellaisia kuvauksia, joille avoimen/suljetun joukon kuva on avoin/suljettu, on kuitenkin olemassa. Annetaan niille oikein oma nimi: 20

23 Määritelmä 3.17 Olkoot (X), T X ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on avoin, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) avoimen joukon A kuvajoukko f(a) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). Vastaavasti sanotaan, että f on suljettu, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) suljetun joukon A kuvajoukko f(a) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Esimerkki. Koska suljettu joukko on avoimen joukon komplementti, niin äkkiä ajatellen voisi luulla, että jos kuvaus on avoin, niin se on myös suljettu ja päin vastoin. Näin onkin bijektiolle, muttei yleensä. Tämä näkyy seuraavista esimerkeistä. Näissä X = Y = R ja T X = T Y on R:n itseisarvotopologia. Huomaa, että nämä kaikki esimerkkikuvaukset ovat jatkuvia. a) f : R R, f(x) = e x on avoin, mutta ei ole suljettu. b) f : R R, f(x) = x 2 on suljettu, mutta ei ole avoin. c) f : R R, f(x) = 1 1+ x ei ole avoin eikä suljettu. d) f : R R, f(x) = x on sekä avoin että suljettu. Homeomorfismi määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 3.18 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio, jolloin siis on olemassa käänteiskuvaus f 1 : Y X. Sanotaan, että f on homeomorfismi, jos sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) että f 1 : (Y, T Y ) (X, T X ) ovat jatkuvia. Jos on olemassa (jokin) homeomorfismi f : (X, T X ) (Y, T Y ), niin sanotaan, että topologiset avaruudet (X, T X ) ja (Y, T Y ) ovat homeomorfisia. Tällöin merkitään (X, T X ) (Y, T Y ) (tai lyhyesti X Y, jos on varma tieto siitä, mitä topologioita tarkoitetaan). Muussa tapauksessa (siis jos tällaista homeomorfismia ei ole olemassa) merkitään (X, T X ) (Y, T X ). Heti saadaan seuraava tulos. Lause 3.19 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. Todistus. Harjoitustehtävä. f on homeomorfismi. f on jatkuva ja avoin. f on jatkuva ja suljettu. Metristä homeomorfismia käsittelevät lauseet MA yleistyvät kaikkiin topologisiin avaruuksiin. Kirjataan ne vielä muistiin yleisemmin muotoiltuina. Lause 3.20 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on homeomorfismi jos ja vain jos f on bijektio ja pätee f(t X ) = T Y. (1) 21

24 Todistus. Kuten lause MA 9.4. Lause 3.21 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin pätee seuraavaa. a) Joukko U X on avoin avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). b) Joukko U X on pisteen a X ympäristö avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on pisteen f(a) ympäristö avaruudessa (Y, T Y ). c) Joukko V X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(v ) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Kuten lause MA 9.5. Lause 3.22 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin Todistus. Kuten lause MA 9.6. a) f(a) = f(a), b) f(int(a)) = int(f(a)), c) f(ext(a)) = ext(f(a)) ja d) f( A) = f(a). Lause 3.23 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin a on joukon A erakkopiste jos ja vain jos f(a) on joukon f(a) erakkopiste. Todistus. Kuten lause MA 9.7. Lause 3.24 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Y Z jokin kuvaus. Tällöin g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) on jatkuva jos ja vain jos g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.8. Lause 3.25 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Z X jokin kuvaus. Tällöin g : (Z, T Z ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos f g : (Z, T Z ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.9. Kuvauksen avoimuudelle saadaan seuraava, vähän määritelmää käyttökelpoisempi ehto. 22

25 Lause 3.26 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Olkoon B X topologian T X kanta ja oletetaan, että f(b) T Y kaikille B B X. Tällöin kuvaus f on avoin. Todistus. Olkoon U T X mielivaltainen. Avoimen kuvauksen määritelmän nojalla riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska B X on topologian T X kanta, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että Oletuksen ja ehdon (3) nojalla pätee U = α I B α ja (2) B α B X kaikille α I. (3) f(b α ) T Y kaikille α I. (4) Tällöin saadaan ( ) f(u) = i) ii) f B α = f(b α ) iii) T Y, α I α I joten väite (1) pätee. Tässä yhtälö i) saadaan ehdosta (2), yhtälö ii) on alkeisjoukkooppia ja ehto iii) seuraa ehdosta (4), koska T Y on topologia. Jatkoa varten kirjataan tähän luvun loppuun vielä pari metristä tulosta. Näitä ei voi vielä yleisesti (eli yleisissä topologisissa avaruuksissa muotoiltuina) esittää, koska kompaktisuutta ei ole vielä edes määritelty muualla kuin metrisissä avaruuksissa. Toinen asia on sitten se, että pätevätkö nämä tulokset yleisesti. Tähän kysymykseen palataan vasta luvussa 15. Lause 3.27 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva kuvaus. Tällöin f on myös suljettu. Todistus. Olkoon A X suljettu avaruudessa (X,d). Pitää osoittaa, että f(a) on suljettu avaruudessa (Y,d ). Koska A on suljettu ja X kompakti, niin lauseen MA 15.5 nojalla A on kompakti. Koska f on jatkuva, niin tällöin lauseen MA nojalla f(a) on kompakti. Väite seuraa silloin lauseesta MA Lause 3.28 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva bijektio. Tällöin f on homeomorfismi. Todistus. Väite seuraa lauseesta MA

26 4 Kuvauksen indusoima topologia Lause 4.1 Olkoon X jokin epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Tällöin joukkoperhe on X:n topologia. Todistus. Harjoitustehtävä. T X := {f 1 (V )} V TY Määritelmä 4.2 Olkoot X, (Y, T Y ) ja f kuten lauseessa 4.1. Sanotaan, että lauseen 4.1 topologia T X on kuvauksen f topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Lause 4.3 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa suoraan topologian T X määritelmästä ja lauseesta 3.2. Lause 4.4 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Tällöin kuvauksen f topologiasta T Y indusoima topologia T X on karkein X:n topologia T, jolle kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Oletetaan, että T on X:n topologia siten, että kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Lauseen 4.3 perusteella riittää osoittaa, että T X on karkeampi kuin T, eli että pätee T X T. Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että U T. (1) Topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska V T Y ja f : (X, T ) (Y, T Y ) on oletuksen mukaan jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla f 1 (V ) T. Väite (1) seuraa tällöin esityksestä (2). Lause 4.5 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y bijektio. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. 24

27 Todistus. Lauseen 4.3 nojalla f on jatkuva, jolloin bijektiivisyysoletuksen ja lauseen 3.19 perusteella riittää osoittaa, että f on avoin. Olkoon siis U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska U T X, niin topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska f on bijektio, niin f(f 1 (V )) = V T Y, joten väite (1) seuraa esityksestä (2). Seuraava lause kertoo kuvauksen indusoiman topologian tietynlaisesta transitiivisuudesta: jos g indusoi T :stä T :n ja f indusoi T :sta T :n, niin g f indusoi T :stä T :n. Lause 4.6 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja, (Z, T Z ) topologinen avaruus sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon lisäksi T Y kuvauksen g : Y Z topologiasta T Z indusoima Y :n topologia, T 1 X kuvauksen f : X Y topologiasta T Y indusoima X:n topologia ja T 2 X kuvauksen g f : X Z topologiasta T Z indusoima X:n topologia. Tällöin pätee T 1 X = T 2 X. Todistus. Väite saadaan seuravasta ekvivalenssiketjusta. U T 2 X U = (g f) 1 (W) jollekin W T Z i) U = f 1 (g 1 (W)) jollekin W T Z U = f 1 (V ) jollekin V T Y U T 1 X. Nämä seuraavat suoraan määritelmästä 4.2 lukuunottamatta ekvivalenssia i), joka on alkeisjoukko-oppia. Jonkin kuvauksen indusoimassa topologiassa siis avoimia joukkoja ovat täsmälleen avointen joukkojen alkukuvat. Vastaava pätee suljetuille joukoille: Lause 4.7 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin joukko B X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (Y, T Y ) suljettu joukko C siten, että B = f 1 (C). Todistus. Jos B on suljettu, niin X \ B on avoin. Silloin on olemassa avoin A Y siten, että X \ B = f 1 (A). Koska A on avoin, niin C := Y \ A 25

28 on suljettu ja joten väite seuraa. f 1 (C) = f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A) = X \ (X \ B) = B, Väitteen tämä suunta seuraa lauseista 4.3 ja 3.2. Lause 4.8 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kaikille A X pätee A = f 1 (f(a)). Todistus. Lauseen 1.11 mukaan sulkeuma f(a) on suljettu, joten lauseiden 3.5 ja 4.3 nojalla f 1 (f(a)) on suljettu. (1) Koska f(a) f(a), niin alkeisjoukko-opin perusteella A f 1 (f(a)) f 1 (f(a)). (2) Lauseen 1.12 sekä ehtojen (1) ja (2) nojalla pätee A f 1 (f(a)). Tällöin väite seuraa, jos osoitetaan, että f 1 (f(a)) A. (3) Lauseen 1.11 nojalla sulkeuma A on suljettu, jolloin lauseen 4.7 nojalla on olemassa suljettu B Y siten, että Tällöin väite (3) tulee muotoon ja tämähän seuraa, jos osoitetaan, että A = f 1 (B). f 1 (f(a)) f 1 (B), f(a) B. (4) Koska B on suljettu, niin lauseen 1.12 nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että f(a) B. (5) Väite (5) puolestaan seuraa, jos osoitetaan, että A f 1 (B). Tässä ei ole enää mitään osoittamista, koska A A ja A = f 1 (B). 26

29 Lause 4.9 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Olkoon lisäksi (Z, T Z ) topologinen avaruus ja g : Z X kuvaus. Tällöin g : (Z, T Z ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos f g : (Z, T Z ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Väitteen tämä suunta seuraa lauseista 4.3 ja 3.6. Oletetaan, että f g : (Z, T Z ) (Y, T Y ) on jatkuva. Väitetty g:n jatkuvuus seuraa lauseesta 3.2, jos osoitetaan, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että Topologian T X määritelmän nojalla Tällöin g 1 (U) T Z. (1) U = f 1 (V ) jollekin V T Y. g 1 (U) = g 1 (f 1 (V )) = (f g) 1 (V ), joten väite (1) seuraa kuvauksen f g oletuksen mukaisesta jatkuvuudesta. Lause 4.10 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Oletetaan, että kuvauksen f topologiasta T Y indusoima topologia T X on Hausdorff eli avaruus (X, T X ) on Hausdorff-avaruus. Tällöin f on injektio. Todistus. Tehdään antiteesi: f ei ole injektio. Tällöin on olemassa a,b X siten, että a b ja f(a) = f(b). Koska a b, niin Hausdorff-oletuksen nojalla on olemassa U a ja U b siten, että U a,u b T X, a U a, b U b ja U a U b =. (1) Topologian T X määritelmän nojalla U a = f 1 (V a ) ja U b = f 1 (V b ) joillekin V a,v b T Y. (2) Koska a U a ja b U b, niin ehdon (2) nojalla f(a) V a ja f(b) V b. Koska siis antiteesin mukaan f(a) = f(b), niin tällöin ja siten f(a)(= f(b)) V a V b, a f 1 (V a V b ) = f 1 (V a ) f 1 (V b ) = U a U b, mikä on mahdotonta, koska ehdon (1) mukaan U a U b =. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. 27

30 Lause 4.11 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus, f : X Y kuvaus ja T X kuvauksen f topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Olkoon B Y topologian T Y kanta ja E Y sen esikanta. Määritellään B X = {f 1 (B)} B BY ja E X = {f 1 (A)} A EY. Tällöin B X on topologian T X kanta ja E X sen esikanta. Todistus. Harjoitustehtävä. 5 Relatiivitopologia Metrisissä avaruuksissa relatiivitopologia määriteltiin aliavaruusmetriikan kautta. Nyt ei sellaista mahdollisuutta ole, joten täytyy keksiä jotain muuta. Yksi mahdollisuus on ottaa määritelmäksi lauseen MA 7.1 ehto, ks. myös lause 5.3. Menetellään tässä kuitenkin toisin lähinnä siitä syystä, että näin saadaan samalla harjoitusta kuvauksen indusoiman topologian käytöstä. Tätä harjoitusta tarvitaan luvussa 6, jossa siirrytään huomattavasti hankalampiin indusointeihin. Kiinnitetään ensin merkintä, joka tosin oli jo käytössä MA:ssa. Merkintä 5.1 Olkoon A X. Määritellään inkluusiokuvaus j : A X asettamalla j(a) = a kaikille a A. Inkluusiokuvausta merkitään symbolilla j : A X. Ja sitten relatiivitopologian määritelmään. Määritelmä 5.2 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. A:n relatiivitopologia T :n suhteen on inkluusiokuvauksen j : A X topologiasta T indusoima A:n topologia T A. Sanotaan, että (A, T A ) on avaruuden (X, T ) topologinen aliavaruus. Heti huomataan (lause 5.3), että tämä määritelmä on ekvivalentti lauseen MA 7.1 ehdon kanssa, kuten tuossa luvun alussa jo ennakoitiinkin. Lause 5.3 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon U A. Tällöin U on avoin avaruudessa (A, T A ) jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (X, T ) avoin joukko V siten, että U = A V. Todistus. Olkoon j : A X inkluusiokuvaus. Olkoon U T A. Tällöin indusoidun topologian määritelmän mukaan on olemassa V T X siten, että U = j 1 (V ). Väite seuraa tästä, sillä ilmeisesti pätee j 1 (V ) = A V. 28

31 Lauseen tässä suunnassa väitetään, että avoimella V X joukko A V A on avoin. Tämä seuraa myös yhtälöstä j 1 (V ) = A V ja lauseesta 3.2, sillä lauseen 4.3 nojalla inkluusiokuvaus j on jatkuva. Huomautus 5.4 Lauseiden 5.3 ja MA 7.1 nojalla metrinen aliavaruus on myös topologinen aliavaruus. Seurauslause MA 7.2 ja lause MA 7.3 yleistyvät: Seuraus 5.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon U A siten, että U T. Tällöin myös U T A. Todistus. Kuten MA 7.2. Lause 5.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Oletetaan, että A T ja olkoon U A. Tällöin U on avoin avaruudessa (X, T ) jos ja vain jos se on avoin avaruudessa (A, T A ). Todistus. Kuten MA 7.3. Jos topologisessa avaruudessa (X, T ) on kaksi aliavaruutta (A, T A ) ja (B, T B ), jotka ovat sisäkkäin eli pätee vaikkapa B A, niin joukkoon B syntyy aliavaruustopologia myös avaruudesta (A, T A ). Nyt voidaan kysyä, onko avaruudesta (A, T A ) indusoituva topologia aina täsmälleen sama topologia kuin T B. Kyllä se on. Tämän sanoo seuraava lause. Lause 5.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus sekä (A, T A ) ja (B, T B ) sen topologisia aliavaruuksia siten, että B A. Olkoon (B, T BA ) avaruuden (A, T A ) topologinen aliavaruus. Tällöin pätee T B = T AB. Todistus. Olkoot j A : A X, j B : B X ja j BA : B A inkluusiokuvauksia. Määritelmän mukaan T A on j A :n topologiasta T indusoima, T B on j B :n topologiasta T indusoima ja T BA on j BA :n topologiasta T A indusoima. Tällöin väite seuraa lauseesta 4.6, jos pätee j B = j A j BA. Tämä on selvää: j B (b) = b = j A j BA (b) kaikille b B. Lause 5.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon B topologian T kanta ja E sen esikanta. Määritellään B A = {A B} B B ja E A = {A E} E E. Tällöin B A on topologian T A kanta ja E A sen esikanta. Todistus. Olkoon j : A X inkluusiokuvaus. Koska kaikille C P(X) pätee niin väite seuraa lauseesta j 1 (C) = A C, Aliavaruussulkeumille otetaan käyttöön samanlainen merkintä kuin metrisissä avaruuksissa, vrt. merkintä MA

32 Merkintä 5.9 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, (A, T A ) sen aliavaruus ja U A. Merkitään symbolilla cl A (U) joukon U sulkeumaa topologisessa avaruudessa (A, T A ). Lause MA 7.5 yleistyy: Lause 5.10 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, (A, T A ) sen aliavaruus ja U A. Tällöin pätee cl A (U) = U A. Todistus. Tässä ei voi vedota lauseen MA 7.5 todistukseen, koska siellä puhutaan palloista. Tähän löytyy kuitenkin helpompi todistus. Olkoon j : A X inkluusiokuvaus. Silloin cl A (U) i) = j 1 (j(u)) ii) = j 1 (U) iii) = U A, joten väite pätee. Tässä yhtälö i) seuraa lauseesta 4.8, yhtälö ii) siitä, että j(u) = U ja yhtälö iii) siitä, että kaikille C P(X) pätee j 1 (C) = C A. Lause MA 7.6 yleistyy myös: Lause 5.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon B A. Tällöin B on suljettu aliavaruudessa (A, T A ) jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (X, T ) suljettu C siten, että B = C A. Todistus. Tämä sujuisi kuten lauseen 7.6 todistus, mutta tässä on nyt paljon helpompikin tapa. Olkoon j : A X inkluusiokuvaus. Silloin B on suljettu avaruudessa (A, T A ) i) on olemassa avaruudessa (X, T ) suljettu C siten, että B = j 1 (C) ii) on olemassa avaruudessa (X, T ) suljettu C siten, että B = C A, missä ekvivalenssi i) seuraa lauseesta 4.7 ja ekvivalenssi ii) siitä, että j 1 (C) = C A. Seuraus 5.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon B A. Jos B on suljettu avaruudessa (X, T ), niin se on suljettu myös aliavaruudessa (A, T A ). Todistus. Kuten seuraus MA 7.7. Lause 5.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Olkoon B A ja oletetaan, että A on suljettu avaruudessa (X, T ). Tällöin B on suljettu aliavaruudessa (A, T A ) jos ja vain jos B on suljettu avaruudessa (X, T ). 30

33 Todistus. Harjoitustehtävä. Vertaa lauseeseen MA 7.8. Rajoittumakuvauksen jatkuvuutta koskevat lauseet yleistyvät metrisistä avaruuksista. Lause 5.14 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Olkoon lisäksi (A, T A ) avaruuden (X, T X ) aliavaruus ja a A. Jos kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a, niin myös rajoittumakuvaus f A : (A, T A ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA Huomaa kuitenkin, että todistuksessa tarvitaan inkluusiokuvauksen j : A X jatkuvuutta, joka tässä ei-metrisessä tapauksessa seuraa lauseesta 4.3. Lause 5.15 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Olkoon lisäksi {A i } i I perhe X:n avoimia osajoukkoja siten, että A i = X. i I Varustetaan kukin A i aliavaruustopologialla T Ai. Oletetaan, että f Ai : (A i, T Ai ) (Y, T Y ) on jatkuva kaikille i I. Tällöin koko f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA Lause 5.16 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Olkoon lisäksi {A i } n i=1 äärellinen perhe X:n suljettuja osajoukkoja siten, että n A i = X. i=1 Varustetaan kukin A i aliavaruustopologialla T Ai. Oletetaan, että f Ai : (A i, T Ai ) (Y, T Y ) on jatkuva kaikille i = 1,...,n. Tällöin koko f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA Lause 5.17 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Olkoon lisäksi (B, T B ) avaruuden (Y, T Y ) topologinen aliavaruus ja oletetaan, että f(x) B. Määritellään kuvaus ˆf : X B asettamalla ˆf(x) = x B kaikille x X. Tällöin kuvaus ˆf : (X, T X ) (B, T B ) on jatkuva pisteessä a X jos ja vain jos kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a X. Todistus. Kuten lause MA 7.16 Upotuksen määritelmä yleistetään metrisistä avaruuksista (ks. määritelmä MA 9.12). Samalla määritellään vähän enemmänkin eli ns. lokaali upotus eli immersio. 31

34 Määritelmä 5.18 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Varustetaan kuvajoukko f(x) Y avaruuden (Y, T Y ) aliavaruustopologialla T f(x). Sanotaan, että f on upotus, jos se on homeomorfismi kuvauksena f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ). Sanotaan, että f on immersio eli lokaali upotus, jos jokaisella x X on ympäristö U T X siten, että rajoittumakuvaus f U : U Y on upotus. Huomautus 5.19 Upotus on aina immersio (triviaalisti), mutta käänteinen ei päde. Esimerkki tästä saadaan varustamalla R itseisarvotopologialla ja R 2 euklidisella topologialla sekä määrittelemällä f : R R 2 niin, että f(x) = (cos x, sin x) kaikille x R. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Lause 5.20 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on upotus jos ja vain jos f on jatkuva injektio ja lisäksi avoin tai vaihtoehtoisesti suljettu kuvauksena f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ). Todistus. Harjoitustehtävä. 6 Kuvausperheen indusoima topologia Tässä luvussa vaikeutetaan (oleellisesti) luvun 5 tilannetta, jossa yksittäinen kuvaus indusoi topologian lähtöjoukkoonsa. Tässä kuvauksia on enemmän jopa äärettömän monta ja ne menevät vielä eri avaruuksiin. Lähtöjoukko on toki koko ajan kiinteä. Nimenomaan tähän kiinteään lähtöjoukkoon tehdään topologia näiden kuvausten ja maalijoukkoina olevien topologisten avaruuksien avulla. Tässä oletetaan, että X on jokin epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I on perhe topologisia avaruuksia sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Näiden avulla voitaisiin periaatteessa määritellä X:n topologia T X sopimalla samaan tapaan kuin määritelmässä 4.2, että T X koostuu kaikista avoimien joukkojen alkukuvista fα 1 (U α ), α I. Tässä topologiaehdokkaassa on kuitenkin se vika, että se ei välttämättä ole topologia. Jätetään vastaesimerkin keksiminen harjoitustehtäväksi tässä ei tarvita kuin kaksi alkiota indeksijoukkoon I, yhdellähän se ei onnistu lauseen 4.1 mukaan. No ei hätää, jos ei tämä viritys ole topologia, niin onhan se ainakin jonkun topologian kanta ja virittää siten yksikäsitteisen topologian lauseen 2.2 mukaisesti. Mutta eihän kyseinen laite välttämättä ole kantakaan jätetään tämänkin vastaesimerkin keksiminen harjoitustehtäväksi. Sen sijaan esikanta tämä on: Lause 6.1 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Määritellään joukkoperhe E X asettamalla E X = {f 1 α (U α ) U α T α, α I}. Tällöin E X on jonkin X:n topologian esikanta. 32

35 Todistus. Lauseen 2.15 perusteella tässä ei ole paljonkaan todistamista: riittää huomata, että E X on joukon X peite. Tämä on selvää, koska I, sillä kaikille (tai yhdellekin) α I pätee X = fα 1 (Y α ), joten X E X ja siten X E E X E. Määritelmä 6.2 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Lauseen 6.1 esikannan E X = {fα 1 (U α ) U α T α, α I} määräämää X:n topologiaa T X sanotaan kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoimaksi topologiaksi. Huomautus 6.3 Lauseen 2.14 nojalla esikanta määrää topologian yksikäsitteisesti, joten määritelmän 6.2 topologia T X on yksikäsitteinen. Lauseen 2.15 todistuksen mukaisesti topologian T X kanta saadaan esikannan E X alkioiden äärellisistä leikkauksista ja topologia T X puolestaan kannan alkioiden mielivaltaisista yhdisteistä. Jos indeksijoukossa I on vain yksi alkio, palaudutaan (täsmälleen) määritelmään 4.2 onhan topologia oma esikantansa. Lause 6.4 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima X:n topologia. Tällöin kuvaukset f α : (X, T X ) (Y α, T α ), α Y ovat jatkuvia. Todistus. Koska E X T X, niin väite seuraa määritelmästä 6.2 ja lauseesta 3.2. Lause 6.5 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima X:n topologia. Tällöin T X on karkein X:n topologia T, jonka suhteen kaikki kuvaukset f α : (X, T ) (Y α, T α ), α I ovat jatkuvia. Todistus. Lauseen 6.4 nojalla riittää todistaa seuraavaa. Jos T on X:n topologia siten, että niin kaikki kuvaukset f α : (X, T ) (Y α, T α ), α I ovat jatkuvia, (1) T X T. (2) Oletuksen (1), esikannan E X määritelmän ja lauseen 3.2 nojalla E X T. Tällöin väite (2) seuraa lauseesta

36 Kuvausperheen indusoima topologia on tärkeässä osassa funktionaalianalyysissä. Eräänä sovellusesimerkkinä on idea, jonka mukaan normiavaruuteen, jossa on lähtökohtaisesti normitopologia, voidaan määritellä myös toinen, ns. heikko topologia. Määritelmä on seuraavassa. Muistutetaan mieleen lause MA 19.7, jonka mukaan reaaliarvoinen lineaarikuvaus on jatkuva jos ja vain jos se on rajoitettu. Tässä kuvauksen lähtöavaruudessa on normitopologia ja maaliavaruudessa R itseisarvotopologia, joka on normitopologia sekin, joten MA 19.7 toimii. Määritelmä 6.6 Olkoon X reaalikertoiminen normiavaruus, joka varustetaan normitopologialla T. Merkitään I = {f f : X R on rajoitettu lineaarikuvaus}. Tämä I on nyt määritelmän 6.2 indeksijoukko. Topologiset avaruudet (Y f, T f ) ovat tässä kaikki samoja: (Y f, T f ) = (R, T R ), missä T R on R:n itseisarvotopologia. Määritelmässä 6.2 tarvittava kuvausperhe on nyt {f} f I. Sanotaan, että kuvausperheen {f} f I indusoima X:n topologia on normiavaruuden X heikko topologia. Heikkoa topologiaa merkitään symbolilla T w. Lause 6.7 Normiavaruuden heikko topologia on karkeampi kuin normitopologia. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 6.5, sillä kaikki määritelmän 6.6 perheen {f} f I kuvaukset ovat lauseen MA nojalla jatkuvia. Huomautus 6.8 Määritelmän 6.6 indeksijoukolla on vähän suurempikin merkitys kuin olla (pelkkä) indeksijoukko. Sitä merkitään yleensä symbolilla X, siis X = {f f : X R on rajoitettu lineaarikuvaus}, ja sanotaan, että X on normiavaruuden X duaaliavaruus. Tässä joukossa X on luonnollinen vektoriavaruusstruktuuri ja siihen saadaan myös normi asettamalla f = sup{ f(x) x X, x 1}. (1) Tämä on todistettu lauseessa MA Merkitään symbolilla T X normin (1) antamaa avaruuden X normitopologiaa. Määritellään kaikille x X kuvaus f x : X R asettamalla f x (ϕ) = ϕ(x) kaikille ϕ X. (2) Tämä kuvaus f x on selvästi lineaarinen ja se on myös jatkuva eli rajoitettu normin (1) suhteen, koska f x (ϕ) = ϕ(x) ϕ x. Kuvausperhe {f x } x X indusoi joukkoon X topologian määritelmän 6.2 mukaisesti. Tätä topologiaa merkitään symbolilla T w ja sanotaan (vähän kömpelösti), 34

37 että se on avaruuden X heikko tähtitopologia, joka on nerokas suomennos englannin kielisestä termistä weak star topology. Koska kuten edellä todettiin kaikki f x :t ovat normitopologian (1) suhteen jatkuvia, heikko tähtitopologia on lauseen 6.5 perusteella karkeampi kuin normitopologia T X. Normiavaruuteen X saadaan määritelmän 6.6 mukaisesti myös heikko topologia, jota merkitään tässä nyt vaikkapa symbolilla T (X ). Tämän siis indusoivat kaikki rajoitetut lineaarikuvaukset X R huomaa, että heikon tähtitopologian määritelmässä ei (välttämättä) käytetä kaikkia rajoitettuja lineaarikuvauksia, vaan ainoastaan muotoa (2) olevia laitteita. Koska tyypin (2) kuvaukset sisältyvät rajoitettujen lineaarikuvausten perheeseen, niin lauseen 6.4 nojalla tyypin (2) kuvaukset ovat jatkuvia topologiassa T (X ). Silloin lauseen 6.5 nojalla T w T (X ), ja kaikkiaan lauseen 6.7 perusteella saadaan siis nämä avaruuden X eri topologiat järjestykseen: T w T (X ) T X. Palataan normiavaruuksista takaisin yleisiin topologisiin avaruuksiin. Lause 4.9 yleistyy: Lause 6.9 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima X:n topologia. Olkoon lisäksi (Z, T Z ) topologinen avaruus ja g : Z X kuvaus. Tällöin g : (Z, T Z ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos f α g : (Z, T Z ) (Y α, T Yα ) on jatkuva kaikille α I. Todistus. Väitteen tämä suunta seuraa lauseista 6.4 ja 3.6. Oletetaan, että f α g : (Z, T Z ) (Y α, T Yα ) on jatkuva kaikille α I. Olkoon E X topologian T X esikanta kuten määritelmässä 6.2. Väitetty g:n jatkuvuus seuraa lauseesta 3.9, jos osoitetaan, että jokaisen E X :n alkion alkukuva on avoin. Olkoon tätä varten U E X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että Esikannan E X määritelmän nojalla g 1 (U) T Z. (1) U = f 1 α (V α ) jollekin V α T Yα, α I. Tällöin g 1 (U) = g 1 (f 1 α (V α )) = (f α g) 1 (V α ), joten väite (1) seuraa kuvauksen f α g jatkuvuudesta ja lauseesta

38 Esimerkki 6.10 a) Olkoon (X, T X ) mielivaltainen topologinen avaruus ja Y normiavaruus, joka varustetaan määritelmän 6.6 mukaisella heikolla topologialla T w. Olkoon Y avaruuden Y duaaliavaruus kuten huomautuksessa 6.8. Varustetaan vielä R itseisarvotopologialla T R. Tällöin pätee seuraavaa. Kuvaus f : (X, T X ) (Y, T w ) on jatkuva jos ja vain jos kuvaus ϕ f : (X, T X ) (R, T R ) on jatkuva kaikille ϕ Y. Tämä seuraa välittömästi lauseesta 6.9 ja heikon topologian määritelmästä 6.6. Väite ei päde, jos heikon topologian sijasta käytetään Y :n normitopologiaa. Jätetään vastaesimerkin keksiminen bonustehtäväksi. b) Olkoot merkinnät kuten a)-kohdassa. Varustetaan lisäksi Y heikolla tähtitopologialla T w. Tällöin pätee seuraavaa. Kuvaus f : (X, T X ) (Y, T w ) on jatkuva jos ja vain jos kuvaus f a : (X, T X ) (R, T R ), f a (x) = f(x)(a), on jatkuva kaikille a Y. Tämä seuraa myös lauseesta 6.9, kun määritellään kaikille a Y kuvaus g a : Y R kuten huomautuksen 6.8 kohdassa (2) eli g a (ϕ) = ϕ(a). Tällöin kaikille x X pätee f a (x) = g a (f(x)) eli f a = g a f. Lauseessa 4.6 esitettiin yhden kuvauksen indusoiman topologian eräänlainen transitiivisuusominaisuus, jota sitten sovellettiin lauseessa 5.7. Joukkoperheen indusoimalle topologialle saadaan (ja tarvitaan) vastaava tulos, mutta tässä tämä muotoilu on aika monimutkainen, koska käytössä on kuvauksia ja topologioita melkoinen liuta. Lause 6.11 Olkoon X epätyhjä joukko, I indeksijoukko, {Y α } α I joukkoperhe ja {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon lisäksi kaikille α I J α epätyhjä indeksijoukko, {(Z α β, T α β )} β J α perhe topologisia avaruuksia ja {g α β } β J α perhe kuvauksia gα β : Y α Z α β. Olkoon T Yα kuvausperheen {gβ α} α β Jα topologiaperheestä {T joukon Y α topologia kullekin (kiinteälle) α I. β } β J α indusoima Olkoon T 1 X kuvausperheen {f α} α I topologiaperheestä {T Yα } α I indusoima X:n topologia. Olkoon vielä TX 2 kuvausperheen {gα β f α α I, β J α } topologiaperheestä {Tβ α α I, β Jα } indusoima X:n topologia. Tällöin pätee T 1 X = T 2 X. 36

39 Todistus. Lauseen 6.4 ja tehtyjen oletusten nojalla kuvaukset g α β : (Y α, T Yα ) (Z α β, T α β ) ovat jatkuvia kaikille α,β, (1) kuvaukset f α : (X, T 1 X) (Y α, T Yα ) ovat jatkuvia kaikille α ja (2) kuvaukset g α β f α : (X, T 2 X) (Z α β, T α β ) ovat jatkuvia kaikille α,β. (3) Koska jatkuvien kuvausten yhdiste on jatkuva lauseen 4.9 mukaan, niin ehtojen (1) ja (2) nojalla kuvaukset g α β f α : (X, T 1 X) (Z α β, T α β ) ovat jatkuvia kaikille α,β. (4) Soveltamalla lausetta 6.9 erikseen kuhunkin avaruuteen (Y α, T Yα ) ja kuvaukseen f α : (X, T 2 X ) (Y α, T Yα ) nähdään ehtoa (3) käyttäen, että kuvaukset f α : (X, T 2 X) (Y α, T Yα ) ovat jatkuvia kaikille α. (5) Ehtojen (2) ja (5) sekä lauseen 6.4 nojalla pätee T 1 X T 2 X. (6) Vastaavasti ehtojen (3) ja (4) sekä lauseen 6.4 nojalla pätee T 2 X T 1 X. (7) Väite seuraa ehdoista (6) ja (7). Lause 4.11 yhden kuvauksen indusoiman topologian esikannasta ja kannasta voidaan yleistää kuvausperheen indusoimalle topologialle. Lause 6.12 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima X:n topologia. Olkoon kullekin α I E α topologian T α esikanta ja B α sen kanta. Tällöin perhe E X := {f 1 α (A α ) α I, A α E α } on topologian T X esikanta. Lisäksi perhe B X := { fα 1 (B α ) K I äärellinen, B α B α } α K on topologian T X kanta. Todistus. Jätetään väite esikannan osalta harjoitustehtäväksi. Osoitetaan, että B X on topologian T X kanta. Koska B α T α kaikille α, niin topologian T X määritelmän mukaan fα 1 (B α ) T X kaikille B α B α. Koska lisäksi avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin, niin B X T X. (1) 37

40 Ehdon (1) ja lauseen 2.5 nojalla väite seuraa, jos seuraava ehto pätee: jos x U T X, niin on olemassa B B X siten että x B U. Olkoon tätä varten x U T X, pitää siis löytää Määritelmän 6.2 nojalla perhe B B X siten että x B U. (2) E X := {f 1 α (A α ) α I, A α T α } on topologian T X esikanta. (Huomaa ero tämän esikannan ja väitteessä olevan esikannan(?) E X välillä.) Esikannan määritelmän mukaan sen alkioiden äärelliset leikkaukset muodostavat kannan. Silloin lauseen 2.5 nojalla on olemassa äärellinen indeksijoukko K I ja kaikille α K joukko A α T α siten että x fα 1 (A α ) U. (3) Tällöin α K f α (x) A α kaikilla α K. (4) Koska B α on oletuksen mukaan topologian T α kanta, niin lauseen 2.5 ja ehdon (4) nojalla kaikille α K on olemassa B α B α siten, että Ehtojen (5) ja (3) nojalla Jos nyt määritellään f α (x) B α A α kaikilla α K. (5) x f 1 α (B α ) f 1 α (A α ) U kaikilla α K. (6) B := α K f 1 α (B α ), niin perheen B X määritelmän ja ehdon (6) mukaan B toteuttaa ehdon (2) vaatimukset. Seuraavaa lausetta varten muistutetaan siitä yleisestä tosiasiasta, että jonon raja-arvo ei ole yksikäsitteinen. Siis jos x n a, niin se ei poista sitä mahdollisuutta, että olisi x n b jollekin b a. Lause 6.13 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : X Y α. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima X:n topologia. Olkoon a X ja (x n ) joukon X jono. Tällöin x n a avaruudessa (X, T ) jos ja vain jos f α (x n ) f α (a) avaruudessa (Y α, T α ) kaikille α I. 38

41 Todistus. Lauseen 6.4 nojalla kuvaukset f α : (X, T X ) (Y α, T α ) ovat jatkuvia kaikille α I, jolloin väitteen tämä suunta seuraa lauseesta Oletetaan kääntäen, että f α (x n ) f α (a) avaruudessa (Y α, T α ) kaikille α I. Olkoon U pisteen a mielivaltainen ympäristö avaruudessa (X, T ). Riittää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että x n U kaikille n n 0. (1) Lauseen 6.12 nojalla perhe B X = { fα 1 (B α ) K I äärellinen, B α T α } α K on topologian T X kanta tässä siis sovelletaan lausetta 6.12 siinä erikoistapauksessa, että B α = T α kaikille α. Koska U on x:n ympäristö, niin lauseen 2.5 nojalla x B U jollekin B B X. (2) Kannan B X määritelmän mukaan ehdon (2) joukolla B on esitys B = fα 1 (B α ), missä K I on äärellinen ja B α T α kaikille α K. (3) α K Koska ehdon (2) mukaan x B, niin esityksen (3) nojalla pätee f α (a) B α kaikille α K. (4) Koska ehdon (3) mukaan B α T α kaikille α K, niin oletuksen f α (x n ) f α (a) avaruudessa (Y α, T α ) kaikille α I ja ehdon (4) nojalla kaikille α K on olemassa n α N siten, että Koska joukko K on äärellinen, voidaan valita f α (x n ) B α kaikille n n α. (5) n 0 := max{n α α K} N. Osoitetaan, että tämä n 0 toimii ehdossa (1). Olkoon tätä varten n n 0. Riittää osoittaa, että x n U, mihin ehdon (2) nojalla riittää se, että x n B, mihin taas esityksen (3) mukaan riittää se, että eli että x n f 1 α (B α ) kaikille α K f α (x n ) B α kaikille α K. Tämä puolestaan seuraa ehdosta (5) ja luvun n 0 valinnasta, onhan tällä perusteella n n α kaikille α K. 39

42 7 Tulotopologia 7.1 Äärellinen tulo Metristen avaruuksien äärelliseen tuloon on määritelty metriikoita, ks. MA 11.1 ja Näiden metriikoiden tärkeä ominaisuus on projektiokuvausten jatkuvuus (MA 11.6), jonka perusteella vektoriarvoisen kuvauksen jatkuvuus voidaan karakterisoida komponenttikuvausten avulla (MA 11.7). Tähän samaan pyritään myös topologisten avaruuksien karteesisessa tulossa. Aloitetaan helpoimmasta tapauksesta eli äärellisestä tulosta. Oletetaan siis että on annettu topologiset avaruudet (X i, T i ), i = 1,...,n. Pyritään määrittelemään karteesiseen tuloon X = X 1... X n topologia, jolle lauseet MA 11.6 ja MA 11.7 yleistyvät. Tämän topologian määritelmä on helpointa toteuttaa antamalla sille kanta, määräähän kanta topologian yksikäsitteisesti. Tämä kanta määritellään kohdassa 7.2, mutta todistetaan ensin, että se todellakin on jonkin topologian kanta. Lause 7.1 Olkoot (X i, T i ), i = 1,...,n topologisia avaruuksia ja merkitään X = X 1... X n. Määritellään joukkoperhe B X P(X) asettamalla B X = {U 1... U n U i T i kaikille i = 1,...,n}. Tällöin B X on erään X:n topologian kanta. Todistus. Koska X i T i kaikille i = 1,...,n, niin X B X, ja siten B X on joukon X peite. Silloin kantalauseen 2.8 nojalla riittää osoittaa että seuraava ehto pätee. Jos B 1,B 2 B X ja x B 1 B 2, niin on olemassa (1) B x B X siten, että x B x B 1 B 2. Olkoon tätä varten B 1,B 2 B X ja x B 1 B 2. Perheen B X määritelmän nojalla on olemassa U i,v i T i, i = 1,...,n siten, että Tällöin ilmeisesti B 1 = U 1... U n ja B 2 = V 1... V n. B 1 B 2 = (U 1 V 1 )... (U n V n ). (2) Koska U i,v i T i kaikille i = 1,...,n ja T i :t ovat topologioita, niin U i V i T i kaikille i = 1,...,n. Tällöin esityksen (2) ja kantaehdokkaan B X määritelmän mukaan B 1 B 2 B X, jolloin valinta B x = B 1 B 2 toimii ehdossa (1). 40

43 Määritelmä 7.2 Olkoot (X i, T i ), i = 1,...,n topologisia avaruuksia ja merkitään X = X 1... X n. Määritellään joukkoperhe B X P(X) asettamalla B X = {U 1... U n U i T i kaikille i = 1,...,n}. Lauseen 7.1 perusteella B X on erään X:n topologian T X kanta. Sanotaan, että tämä topologia T X on topologioiden T i, i = 1,...,n määräämä tulotopologia. Huomautus 7.3 Jos määritellään (lauseen 7.1 merkinnöin) projektiokuvaukset pr i : X X i asettamalla pr i (x 1,...,x n ) = x i, niin ilmeisesti kaikille U i X i pätee U 1... U n = n i=1 pr 1 i (U i ). Silloin esikannan määritelmän 2.13 ja toisaalta perheen B X määritelmän nojalla tulotopologian T X (eräs) esikanta on E X = {pr 1 i (U i ) i = 1,...,n, U i T i }. Kun tätä esikantaa verrataan kuvausperheen indusoiman topologian esikantaan (määritelmä 6.2) ja muistetaan, että esikanta määrää topologian yksikäsitteisesti, havaitaan, että tulotopologia T X on kuvausperheen {pr i : X X i } i=1,...,n topologioista T i indusoima topologia. Lauseen 6.4 nojalla tästä huomiosta seuraa välittömästi projektiokuvausten tavoiteltu jatkuvuus. Esimerkki 7.4 Olkoon n = 2, X 1 = X 2 = R ja T 1 = T 2 = T = itseisarvotopologia. Itseisarvotopologian eräs kanta koostuu avoimista väleistä. Silloin huomautuksen 7.3 ja lauseen 6.12 nojalla R 2 :n näiden topologioiden T 1 ja T 2 määräämän tulotopologian eräs esikanta on E R 2 = {p 1 i (A) i = 1,2, A on R:n avoin väli}. Tämän esikannan alkiothan ovat rajoittamattomia avoimia suorakaiteita. Vastaavasti tulotopologian eräs kanta on B R 2 = {p 1 1 (A) p 1 2 (B) A ja B ovat R:n avoimia välejä}. Huomaa, että tämä ei ole määritelmän 7.2 kanta, vaan karkeampi joukko. Huomaa myös, että kannan B R 2 alkiot ovat nekin avoimia suorakaiteita, mutta yleensä rajoitettuja. Edelleen tässä esimerkissä on huomionarvoista, että esikanta E R 2 ei ole kanta eikä kanta B R 2 ole topologia. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että näin syntyvä tulotopologia T R 2 on tavallinen euklidinen topologia. Huomautus. Esimerkin 7.4 kannan B R 2 alkioiden olemuksen perusteella tätä äärellistä tulotopologiaa kutsutaan joskus laatikkotopologiaksi yleisestikin, ei pelkästään R 2 :n euklidisen topologian tapauksessa. Yleisessä tapauksessa tietenkin laatikot voivat olla aika oudon näköisiä. 41

44 Metrisessä tapauksessa, jossa avaruudet (X,d i ), i = 1,...,n ovat metrisiä avaruuksia, karteesiseen tuloon määriteltiin luvussa MA 11 metriikat e 0, e 1 ja e 2. Nämä todistettiin ekvivalenteiksi, jolloin ne määräävät kaikki saman topologian. Merkitään tätä symbolilla T e ja sanotaan, että se on tuloavaruuden X metrinen topologia. Miten sitten tämä metrinen topologia ja määritelmän 7.2 tulotopologia T X suhtautuvat toisiinsa? Vastaus on seuraavassa lauseessa. Lause 7.5 Olkoot (X,d i ), i = 1,...,n metrisiä avaruuksia ja olkoon T i metriikan d i määräämä X i :n topologia, i = 1,...,n. Olkoon T e karteesisen tulon X = X 1... X n metrinen topologia ja T X joukon X topologioiden T i määräämä tulotopologia. Tällöin pätee T e = T X. Todistus. Lauseen 3.20 nojalla riittää osoittaa, että identtinen kuvaus id X : (X, T e ) (X, T X ) on homeomorfismi eli että id X : (X, T e ) (X, T X ) on jatkuva ja (1) id X : (X, T X ) (X, T e ) on jatkuva. (2) Huomautuksen 7.3 ja lauseen 6.9 nojalla väite (1) seuraa, jos kuvaukset pr i id X : (X, T e ) (X i, T i ), i = 1,...,n ovat jatkuvia. (3) Koska väite (3) voidaan metristen avaruuksien kielellä kirjoittaa muotoon kuvaukset p r : (X,e) (X i,d i ), i = 1,...,n ovat jatkuvia, niin tämä seuraa metrisestä tuloksesta MA 11.6 tai oikeastaan sen yleistyksestä useammalle avaruudelle, ks. MA Riittää siis todistaa väite (2). Käytetään tässä X:n maksimimetriikkaa e 0 metriikkojen ekvilenttisuuden nojalla on yhdentekevää, mikä näistä kolmesta e i metriikasta valitaan. Lauseen 3.2 nojalla väite (2) voidaan kirjoittaa muotoon T e T X. (4) Lauseen MA 3.8 (ks. myös esimerkki 2.3 c)) nojalla joukkoperhe B e0 = {B e0 (x,r) x X, r > 0} on topologian T e kanta. Silloin lauseen 2.11 (ks. myös esimerkki 2.12 a)) nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että B e0 T X eli että B e0 (x,r) T X kaikille x X ja r > 0. (5) Olkoot tätä varten x = (x 1,...,x n ) X ja r > 0 mielivaltaisia. Silloin pätee B e0 (x,r) = {y X e 0 (x,y) < r} = {(y 1,...,y n ) X max{d 1 (x 1,y 1 ),...,d n (x n,y n )} < r} = {(y 1,...,y n ) X d(x i,y i ) < r kaikille i = 1,...,n} = {(y 1,...,y n ) X y i B di (x i,r) kaikille i = 1,...,n} = B d1 (x 1,r)... B dn (x n,r) i) T X, 42

45 joten väite (5) seuraa. Tässä ehto i) seuraa määritelmästä 7.2, sillä lauseen MA 3.4 nojalla B di (x i,r) T i kaikille i = 1,...,n. 7.2 Numeroituva tulo Seuraavaksi pyritään yleistämään äärellisen monen topologisen avaruuden tulo äärettömän monen avaruuden tuloksi. Aloitetaan numeroituvasta tapauksesta. Lähtökohtana on perhe {(X n, T n )} n N topologisia avaruuksia. Mikä voisi olla näiden tuloavaruus? Tässähän on ensinnäkin epäselvää, mikä voisi yleensä olla joukko X 1 X 2 X 3... Jos äärellisen monen joukon tulo koostuu vektoreista x = (x 1,...,x m ), missä x i X i kaikille i = 1,...,m, niin luonteva määritelmäyritys olisi sanoa, että X 1 X 2 X 3... koostuu äärettömistä vektoreista x = (x 1,x 2,x 3,...), missä x i X i kaikille i N. Tämä on hyvä yritys, mutta ei aivan matemaattisesti täsmällinen. Ryhtiä ja täsmällisyyttä tähän saadaan, kun huomataan, että tämä ääretön vektori on itse asiassa jono eli kuvaus x : N n N X n siten, että x(n) = x n X n kaikille n. Tämän havainnon jälkeen voidaankin asettaa oikea määritelmä. Määritelmä 7.6 Olkoon {X n } n N perhe epätyhjiä joukkoja. Merkitään n = {(x n ) (x n ) on joukon n NX X n jono siten, n N että x n X n kaikille n N} ja sanotaan, että n N X n on joukkoperheen {X n } n N tulojoukko. Nyt kun tulojoukko on onnistuneesti määritelty, seuraava vaihe on määritellä sinne topologia, edellyttäen tietysti, että kussakin tulon tekijässä X n on annettu topologia T n. Määritelmän 7.2 mukaan äärellisessä tapauksessa tulotopologia on ns. laatikkotopologia (ks. myös esimerkki 7.4), jonka kannan muodostavat laatikot U 1... U m, missä U i T i. Vastaavalla tavalla voitaisiin numeroituvaan tuloon määritellä laatikkotopologia sopimalla, että sen kanta koostuu tulojoukoista n N U n, missä U n T n kaikille n. On kuitenkin osoittautunut, että tämä topologia on sovellusten kannalta melko hyödytön, koska se on liian hieno. Paljon käyttökelpoisempi topologia tuloavaruuteen syntyy huomautuksen 7.3 kautta. Siinähän havaittiin, että äärellinen tulotopologia on itse asiassa projektiokuvausten pr i : X 1... X n X i topologioista T i indusoima tulojoukon topologia. Nytpä tehdäänkin niin, että määritellään numeroituvaan tuloavaruuteen topologia seuraavasti. Määritelmä 7.7 Olkoon {(X n, T n )} n N perhe metrisiä avaruuksia. Määritellään projektiokuvaukset pr i : n N X n X i asettamalla pr i ((x n )) = x i X i kaikille (x n ) n N X n ja kaikille i N. Sanotaan, että tulojoukon n N X n tulotopologia on kuvausperheen {pr i } i N topologiaperheestä {T i } i N indusoima topologia. 43

46 Huomautus 7.8 Nyt on heti kysyttävä, että mitäs viisautta tässä on. Huomautuksen 7.3 mukaan ainakin äärellisessä tapauksessa tämä johtaa laatikkotopologiaan, joka tuossa edellä todettiin äärettömässä tapauksessa liian hienoksi. Viisaus on siinä, että äärettömässä tapauksessa tämä ei yleensä johdakaan laatikkotopologiaan. Laatikkotopologian (eräs) kanta koostuu siis tulojoukoista n N U n, missä U n T n kaikille n. Nämä kannan alkiot voidaan esittää myös muodossa U n = prn 1 (U n ). (1) n N n N Toisaalta lauseen 6.12 ja määritelmän 7.7 mukaan oikean tulotopologian kanta koostuu äärellisistä leikkauksista prn 1 (U n ), K N on äärellinen. n K Nämä leikkausjoukot voidaan esittää myös muodossa prn 1 (U n ), K N on äärellinen ja U n = X n, kun n N \ K. (2) n N Huomaa näiden kantojen (1) ja (2) ero. Siis tämän oikean topologian kannan alkiot ovat aina rajoittamattomia laatikoita, kun taas laatikkotopologian kantaan kelpaavat myös rajoitetut laatikot ja toki myös rajoittamattomat. Koska laatikkotopologian kanta sisältää tulotopologian kannan, niin laatikkotopologia on aina hienompi kuin tulotopologia. Tämä ei tietenkään todista sitä, että laatikkotopologia on aidosti hienompi, mutta kyllä se sitä yleensä on. Jätetään tämän todistaminen harjoitustehtäväksi, joka ei ole aivan helppo. Ks. myös esimerkki Merkintä 7.9 Olkoon X epätyhjä joukko. Määritellään X n = X kaikille n N. Merkitään X N = n N X n. Huomautus 7.10 Koska merkinnän 7.9 tilanteessa n N X n = X, niin joukko X N koostuu kaikista X:n jonoista. Esimerkki 7.11 Varustetaan suljettu väli [0,1] R itseisarvotopologialla T d ja tulojoukko [0,1] N vastaavalla tulotopologialla T. Syntyvää topologista avaruutta ([0,1] N, T ) sanotaan Hilbertin kuutioksi. Sillä on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia, joihin palataan vielä. Otetaan tässä esille yksi niistä. Merkitään A =]0,1[ [0,1], jolloin A on avoin topologiassa ([0,1], T d ). Lisäksi (triviaalisti) A N [0,1] N, ja voidaan kysyä, että onko A N avoin avaruudessa ([0,1] N, T ). Tässähän on nyt joukko, joka on ilmeisesti avoin laatikkotopologiassa, ja jos se ei ole avoin tulotopologiassa, niin on todistettu, että ainakin tässä tapauksessa laatikkotopologia on aidosti hienompi kuin tulotopologia. Vastaus tähän joukon A N avoimuutta koskevaan kysymykseen on kielteinen, mutta tätä ei osata vielä perustella. Perustelu saadaan lauseen 7.14 avulla esimerkissä

47 7.3 Yleinen tulo Nyt lopulta päästään yleisen tulon määritelmään. Tässä lähtökohtana on perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia, missä I on mielivaltainen epätyhjä indeksijoukko, mahdollisesti jopa ylinumeroituva. Miten tuloavaruus tulisi määritellä? Numeroituvasta tulosta saa hyvän vinkin: siellähän tuloavaruuden alkiot olivat joukon n N X n jonoja eli kuvauksia N n N X n. Tämän idean viitoittamalla tiellä määritellään ensin tulojoukko topologia sinne määritellään myöhemmin. Määritelmä 7.12 Olkoon {X α } α I epätyhjä perhe epätyhjiä joukkoja. Merkitään X α siten, että x α X α kaikille α I} α I X α = {x x on kuvaus x : I α I ja sanotaan, että α I X α on joukkoperheen {X α } α I tulojoukko. Huomautus. Koska määritelmässä 7.12 indeksijoukko I ei välttämättä ole ylinumeroituva, tässä tulee määritellyksi numeroituva tulo uudelleen. Tämä ei haittaa, koska määritelmä 7.12 yhtyy numeroituvassa tapauksessa määritelmään 7.6. Itse asiassa määritelmässä 7.12 indeksijoukko I voi olla myös äärellinen, esimerkiksi I = {1, 2,..., n}. Tässä tapauksessa voidaan tulkita X i = X 1... X n, i {1,2,...,n} kun ajatellaan vektoreita x = (x 1,...,x n ) X 1... X n kuvauksina x : {1,2,...,n} n 1=1 X i, missä x(i) = x i kaikille i = 1,...,n. Tässä katsannossa tämä yleisen tulon määritelmä ei tuo mitään uutta äärellisen tai numeroituvan indeksijoukon tapauksessa eli kyseessä on todellakin vanhojen määritelmien yleistys ylinumeroituvaan tapaukseen. Huomautus. Määritelmästä 7.12 aiheutuu lievä ongelma tulojoukon osajoukkojen kanssa. Jos A α X α kaikille α I, niin olisi tietysti suotavaa ja luonnollista, että pätisi α I A α α I X α. Tarkkaan ottaen näin nyt ei valitettavasti ole. Tämä johtuu siitä, että joukon α I A α alkiot ovat kuvauksia I α I A α, kun taas joukon α I X α alkiot ovat kuvauksia I α I X α, ja tässä on pieni ero. Koska kuitenkin α I A α α I X α, niin laajentamalla maalijoukkoa kuvaukset x : I α I A α voidaan tulkita myös kuvauksiksi x : I α I X α, kuvauksen arvothan eivät muutu tässä tulkinnassa lainkaan. Huomaa, että tässä ei ole vielä mitään topologista, joten tämän maalipuolelta laajennetun kuvauksen mahdollisesta jatkuvuudesta ei ole tarpeen (eikä edes mahdollista) keskustella ollenkaan. Huomaa myös, että tämä sama pieni tulkintaongelma koskettaa myös numeroituvaa tuloa ja sen osajoukkoja. Esimerkissä 7.11 oli esillä Hilbertin kuutio [0,1] N ja määriteltiin lisäksi A N eräälle A [0,1] sekä todettiin, että (triviaalisti) A N [0,1] N. Ilman tuota yllä esitettyä tulkintaa tämä ei kuitenkaan ihan niin triviaalia ole. Tässähän täytyy siis joukon 45

48 A jonot tulkita joukon [0,1] jonoiksi. Seuraavaksi määritellään tuloavaruuteen tulotopologia. Määritelmä 7.13 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Määritellään kaikille β I projektiokuvaus pr β : α I X α X β asettamalla pr β (x) = x(β) X β kaikille x α I X α. Sanotaan, että tulojoukon α I X α tulotopologia on kuvausperheen {pr α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima topologia. Huomautus. Heti nähdään, että tämä on sama määritelmä kuin numeroituvassa tapauksessa. Huomautuksen 7.3 nojalla tämä on äärellisessä tapauksessa sama kuin vanha määritelmä. Seuraava tärkeä lause auttaa tunnistamaan tulotopologian avoimia tai paremminkin ei-avoimia joukkoja. Intuitiivisesti lause kertoo, että avoimet joukot ovat hyvin suuria. Lause 7.14 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T. Olkoon U X avoin joukko avaruudessa (X, T ). Tällöin on olemassa äärellinen osajoukko K I siten, että pr β (U) = X β kaikille β I \ K. (1) Huomautus. Lause 7.14 siis sanoo, että korkeintaan äärellisen monelle indeksille α voi projektiojoukko pr β (U) olla pienempää kuin koko X α, mikä tietysti merkitsee sitä, että U:ssa täytyy olla kokoa vähän joka suuntaan. Todistus. Tulotopologian määritelmän ja lauseen 6.12 nojalla T :n eräs kanta on B = {B B = pr 1 k (V k), K I on äärellinen ja V k T k kaikille k K}. k K Koska U, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa B B siten, että B U. (2) Koska B B, niin B:n määritelmän mukaan on olemassa äärellinen K I siten, että B = pr 1 k (V k), V k T k kaikille k K. (3) k K Tämä äärellinen joukko K toteuttaa lauseen vaatimukset, jos osoitetaan, että ehto (1) pätee tälle K. 46

49 Olkoon tätä varten β I \ K mielivaltainen. Pitää osoittaa, että pr β (U) = X β. (4) Koska triviaalisti pr β (U) X β, niin riittää osoittaa, että X β pr β (U). Olkoon tätä varten x β X β mielivaltainen. Väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että x β = pr β (x) jollekin x U. (5) Ehdossa (5) tarvittava x : I X konstruoidaan seuraavasti. Koska ehdon (2) mukaan B, niin esityksen (3) perusteella myös V k kaikille k K. Tällöin voidaan valita v k V k kaikille k K. Koska joukot X α ovat myös epätyhjiä (topologisina avaruuksina), niin kaikille α I \ (K {β}) voidaan valita jokin y α X α. Näiden valintojen jälkeen (valinta-aksioomaa käyttäen) voidaan määritellä kuvaus x : I α I X α asettamalla y α kun α I \ (K {β}) x(α) = v α kun α K x β kun α = β. Koska β K, niin tämä on järkevä määritelmä. Lisäksi kaikille α I pätee x(α) X α, joten x X. Koska triviaalisti x β = pr β (x), niin tämä x kelpaa ehtoon (5), kunhan osoitetaan, että x U. (6) Ehtojen (2) ja (3) nojalla väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että x pr 1 k (V k). (7) k K Olkoon tätä varten k K mielivaltainen. Väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että x pr 1 k (V k) eli että pr k (x) V k. (8) Väite (8) seuraa projektiokuvauksen ja alkion x X määritelmästä: pr k (x) = x(k) = v k V k. 47

50 Esimerkki 7.15 Nyt osataan vastata esimerkissä 7.11 esitettyyn kysymykseen Hilbertin kuution mahdollisesti avoimesta joukosta A N. On ilmeistä, että pr n (A N ) = A [0,1] kaikille n N, joten lauseen 7.14 nojalla A N ei ole avoin tulotopologiassa. Jos sen sijaan valitaan jokin äärellinen K N ja määritellään { A kun n K B n = [0,1] kun n N \ K, niin n N B n on avaruuden [0,1] N avoin osajoukko tulotopologiassa. Tämä ei kuitenkaan seuraa lauseesta 7.14, vaan huomautuksesta 7.8, sillä B n = prn 1 (A). n N n K Tässä nyt on kuitenkin huomattu kuten huomautuksessa 7.8 ennakoitiin, että ainakin tässä tapauksessa laatikkotopologia on aidosti hienompi kuin tulotopologia. Itse asiassa lauseen 7.14 nojalla nähdään vastaavalla tavalla, että laatikkotopologia on aidosti hienompi kuin tulotopologia aina kun topologioissa T α on äärettömän monta muuta topologiaa kuin minitopologia. Merkintä X N voidaan yleistää: Merkintä 7.16 Olkoon X epätyhjä joukko ja I epätyhjä (indeksi)joukko. Määritellään X α = X kaikille α I. Merkitään X I = α I X n. Esimerkki 7.17 Olkoon X reaalikertoiminen normiavaruus, joka varustetaan normitopologialla T. Reaalilukujen joukko varustetaan itseisarvotopologialla T d. Duaaliavaruus X määriteltiin huomautuksessa 6.8: X = {f f : X R on rajoitettu lineaarikuvaus}. Tällöin pätee merkinnän 7.16 mukaan X R X. Määritelmän 7.13 mukaisesti R:n topologia T d indusoi tulojoukkoon R X tulotopologian, jota merkittäköön symbolilla T 0. Tämä topologia indusoi osajoukkoon X relatiivitopologian määritelmän 5.2 mukaisesti. Olkoon tämä X :n topologia T 1. määriteltiin heikko tähti- Toisaalta huomautuksessa 6.8 duaaliavaruuteen X topologia T w. Näille topologioille pätee T 1 = T w. (1) 48

51 Väite (1) vaatii todistuksen. Relatiivitopologian määritelmän mukaan T 1 on inkluusiokuvauksen j : X R X topologiasta T 0 indusoima. Toisaalta tulotopologian määritelmän mukaan T 0 on kuvausperheen {pr x } x X topologiasta T d indusoima. Tällöin lauseen 6.11 nojalla T 1 on kuvausperheen {pr x j} x X topologiasta T d indusoima. Toisaalta heikon tähtitopologian määritelmän mukaan T w on kuvausperheen {f x } x X topologiasta T d indusoima tässä f : X R määritellään asettamalla f x (ϕ) = ϕ(x) kaikille ϕ X. Tällöin kaikille x X ja kaikille ϕ X pätee projektiokuvauksen määritelmän nojalla f x (ϕ) = ϕ(x) = pr x (ϕ) = pr x j(ϕ), joten f x = pr x j. Silloin perheet {pr x j} x X ja {f x } x X ovat täsmälleen samoja. Väite (1) seuraa tästä ja yllä sanotusta. Komponenttikuvauksista on ollut puhetta metrisissä avaruuksissa ja äärellisen tulon tapauksessa. Yleistetään nyt tämä käsite. Määritelmä 7.18 Olkoon {X α } α I epätyhjä perhe epätyhjiä joukkoja ja Y jokin epätyhjä joukko sekä f : Y α I X α kuvaus. f:n komponenttikuvaukset f α : Y X α määritellään asettamalla f α = pr α f kaikille α I. Lause 7.19 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Olkoon (Y, T Y ) jokin topologinen avaruus ja f : Y X kuvaus. Tällöin f : (Y, T Y ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos kaikki sen komponenttikuvaukset f α : (Y, T Y ) (X α, T α ) ovat jatkuvia. Todistus. Tämä seuraa suoraan lauseesta 6.9. Seuraavaksi määritellään kuvauksien tulokuvaus. Määritelmä 7.20 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko sekä perheet {X α } α I ja {Y α } α I epätyhjiä joukkoja. Olkoon kaikille α I f α : X α Y α kuvaus. Tulokuvaus α I f α : α I X α α I määritellään asettamalla ( ) f α (x)(α) = f α (pr α (x)) kaikille x X α ja kaikille α I. α I α I Y α 49

52 Huomautus. On ehkä syytä vähän miettiä määritelmää Merkitään selvyyden vuoksi tulokuvausta symbolilla g sekä tuloavaruuksia symboleilla X ja Y. Tässä siis x X on tulokuvauksen g : X Y muuttuja ja arvon g(x) pitäisi olla joukossa Y. Siis g(x):n tulisi olla kuvaus I α I Y α. Tätä varten g(x)(α) pitää määritellä jokaisessa pisteessä α ja lisäksi arvon g(x)(α) pitäisi olla joukossa Y α. Näinhän asia onkin, koska x X, jolloin pr α (x) X α, joten määritelmä 7.20 on täysin järkevä, vaikkakin ehkä vaikeaselkoinen. Nuo käytetyt projektiokuvaukset pr α ovat siis nimenomaan projektioita joukosta X joukkoihin X α. Lause 7.21 Olkoon I ja olkoot {(X α, T X α )} α I ja {(Y α, T Y α )} α I topologisten avaruuksien perheitä. Varustetaan tulojoukot X = α I X α ja Y = α I Y α tulotopologioilla T X ja T Y. Olkoon kaikille α I f α jatkuva kuvaus f α : (X α, T X α ) (Y α, T Y α ). Tällöin myös tulokuvaus α I f α : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Käytetään merkintöjen yksinkertaistamiseksi tulokuvauksesta α I f α symbolia g. Olkoot pr X α : X X α ja pr Y α : Y Y α projektiokuvauksia. Tulotopologian T Y määritelmän ja lauseen 6.9 nojalla väite seuraa, jos osoitetaan, että kuvaukset Kaikille x X pätee pr Y α g : (X, T X ) (Y α, T α ) ovat jatkuvia kaikille α I. (1) pr Y α g(x) = pr Y α (g(x)) i) = g(x)(α) ii) = f α (pr X α (x)) = f α pr X α (x), (2) missä yhtälö i) seuraa projektiokuvauksen määritelmästä ja yhtälö ii) tulokuvauksen määritelmästä. Koska ehto (2) pätee kaikille x X, niin pr Y α g = f α pr X α. Silloin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että kuvaukset f α pr X α : (X, T X ) (Y α, T Y α ) ovat jatkuvia kaikille α I. (3) Koska jatkuvien kuvausten yhdiste on jatkuva ja oletuksen mukaan kuvaukset f α : (X α, T X α ) (Y α, T Y α ) ovat jatkuvia, niin väite (3) seuraa, jos kuvaukset pr X α : (X, T X ) (X α, T X α ) ovat jatkuvia kaikille α I. Tämä seuraa välittömästi lauseesta 6.4. Lause 7.22 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Olkoon kaikille α I A α X α ja varustetaan kukin osajoukko A α topologian T α indusoimalla relatiivitopologialla, jota merkitään symbolilla T Aα. 50

53 Tulojoukko A = α I A α varustetaan topologioiden T Aα indusoimalla tulotopologialla, olkoon se T 1 A. Toisaalta A X, joten A voidaan varustaa myös topologian T X indusoimalla relatiivitopologialla, olkoon se T 2 A. Silloin nämä A:n topologiat ovat samoja eli pätee T 1 A = T 2 A. Todistus. Merkitään kaikille α I symboleilla pr X α ja pr A α projektiokuvauksia pr X α : X X α ja pr A α : A A α. Olkoon j : A X inkluusiokuvaus, jolloin määritelmän mukaan TA 2 on j:n indusoima topologiasta T X. Koska tulotopologia on määritelmänsä mukaan projektioperheen {prα X : X X α } α I topologiaperheestä {T α } α I indusoima, niin lauseen 6.11 nojalla T 2 A on kuvausperheen {pr X α j} α I (1) topologiaperheestä {T α } α I indusoima. Olkoon kaikille α I j α : A α X α inkluusiokuvaus, jolloin relatiivitopologia T Aα on j α :n indusoima topologiasta T α. Tulotopologia TA 1 on määritelmänsä mukaan projektioperheen {prα A : A A α } α I topologiaperheestä {T Aα } α I indusoima. Tällöin lauseen 6.11 nojalla T 1 A on kuvausperheen {j α pr A α } α I (2) topologiaperheestä {T α } α I indusoima. Ehtojen (1) ja (2) nojalla väite TA 1 = T A 2 seuraa, jos osoitetaan, että kuvausperheet {prα X j} α I ja {j α prα A } α I ovat samat. Tämän osoittamiseksi riittää näyttää, että prα X j = j α prα A kaikille α I. (3) Väitteen (3) todistamiseksi olkoon a A ja α I mielivaltaisia. Näille pätee pr X α j(a) = pr X α (j(a)) i) = pr X α (a) ii) = a(α) iii) = j α (a(α)) iv) = j α (pr A α(a)) = j α pr A α(a), joten väite (3) pätee. Tässä yhtälö i) seuraa inkluusiokuvauksen j määritelmästä ja yhtälö ii) projektiokuvauksen prα X määritelmästä. Yhtälö iii) seuraa inkluusiokuvauksen j α määritelmästä, kun huomataan ensin, että tulojoukon A määritelmän ja ehdon a A nojalla pätee a(α) A α. Yhtälö iv) seuraa projektiokuvauksen prα A määritelmästä. Lause 7.23 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Olkoon A α X α kaikille α I. Tällöin sulkeumille pätee A α. α I A α = α I 51

54 Todistus. Osoitetaan ensin, että A α A α. (1) α I α I Olkoon tätä varten x α I A α mielivaltainen. Pitää osoittaa, että x α I A α eli että x(α) A α kaikille α I. Olkoon tätä varten α I mielivaltainen ja V α pisteen x(α) X α mielivaltainen ympäristö avaruudessa (X α, T α ). Riittää osoittaa, että V α A α. (2) Tulotopologian määritelmän perusteella joukko pr 1 α (V α ) on avoin ja siten pisteen x ympäristö avaruudessa (X, T ). Koska x α I A α, niin pr 1 α (V α ) α I A α. Tällöin voidaan valita a pr 1 α (V α ) α I A α. Koska a pr 1 α (V α ), niin pr α (a) V α. (3) Koska a α I A α, niin tulojoukon määritelmän mukaan a(α) A α. (4) Toisaalta projektiokuvauksen määritelmän mukaan a(α) = pr α (a), joten ehdon (4) nojalla pr α (a) A α. (5) Väite (2) seuraa ehdoista (3) ja (5). Näin väite (1) on todistettu, joten riittää osoittaa, että α I A α α I A α. Olkoon tätä varten x α I A α mielivaltainen. Pitää osoittaa, että x α I A α. (6) 52

55 Olkoon V pisteen x mielivaltainen ympäristö avaruudessa (X, T ). Väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että V α I A α. (7) Lauseiden 6.12 ja 2.5 nojalla on olemassa äärellinen osajoukko K I ja kaikille α K avaruudessa (X α, T α ) avoimet joukot U α siten, että x α K pr 1 α (U α ) V. Tällöin väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että ( prα 1 (U α )) A α. (8) α I α K Koska x α K pr 1 α (U α ), niin kaikille α K pätee pr α (x) U α. (9) Toisaalta x α I A α, jolloin tulojoukon määritelmän mukaan pr α (x) = x(α) A α. (10) Koska U α T α, niin ehdon (9) perusteella U α on pisteen pr α (x) ympäristö, jolloin ehdon (10) nojalla U α A α. Tällöin voidaan valita a α U α A α. (11) Tämä tehdään kaikille α K. Kun α I \K valitaan lisäksi jokin alkio b α A α ja määritellään kuvaus a : I α I A α asettamalla a(α) = { a α kun α K b α kun α I \ K. Tehtyjen valintojen nojalla a α I A α. Silloin väite (8) seuraa, jos osoitetaan, että a prα 1 (U α ). (12) α K Olkoon tätä varten α K mielivaltainen. Väite (12) seuraa, jos osoitetaan, että a pr 1 α (U α ) 53

56 eli että pr α (a) U α. (13) Väite (13) seuraa siitä, että α K, jolloin ehdon (11) nojalla a α U α ja toisaalta siitä, että projektiokuvauksen ja a:n määritelmän mukaan pätee pr α (a) = a(α) = a α. Lause 7.24 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Olkoon A α X α kaikille α I. Oletetaan lisäksi, että A α on suljettu avaruudessa (X α, T α ) kaikille α I. Tällöin tulojoukko A = α I A α on suljettu avaruudessa (X, T X ). Todistus. Lauseen 1.12 nojalla riittää osoittaa, että A = A. Tämä seuraa siitä, että A = i) A α = ii) A α = A α = A, α I α I α I missä yhtälö i) seuraa lauseesta 7.23 ja yhtälö ii) lauseesta 1.12, koska oletuksen mukaan joukot A α ovat suljettuja. Huomautus. Lauseen 7.24 vastine avoimille joukoille ei päde. Siis avoimien joukkojen mielivaltainen tulo ei välttämättä ole avoin. Tästähän on jo ollut esimerkki Hilbertin kuution yhteydessä kohdissa 7.11 ja Esimerkki 7.25 Olkoon (Y, d) rajoitettu metrinen avaruus, jossa on metriikan d antama topologia T d. Olkoon lisäksi I ja merkitään X = Y I, (ks. määritelmä 7.16) sekä varustetaan X tulotopologialla T X. Koska metrinen avaruus (Y,d) on oletuksen mukaan rajoitettu eli on olemassa R > 0 siten, että d(x,y) < R kaikille x,y Y, niin joukkoon X voidaan määritellä myös metriikka d sup asettamalla d sup (x,y) = sup{d(x(α),y(α)) α I} kaikille x,y X. On helppo nähdä, että tämä on todellakin metriikka. Tämä metriikka d sup antaa joukkoon X (metrisen) topologian T sup. Nyt voidaan kysyä, miten nämä X:n topologiat T X ja T sup suhtautuvat toisiinsa. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa seuraavaa. Aina pätee T X T sup. Jos I on äärellinen, niin T X = T sup, mutta jos I on ääretön, niin T X T sup, edellyttäen, että avaruudessa Y on ainakin kaksi pistettä muutenhan X on yksiö, ja topologiat menevät vähän turhan triviaaleiksi. Näiden topologioiden suhdetta voi havainnollistaa myös jonojen avulla (tämäkin 54

57 jätetään harjoitustehtäväksi): x n x X topologiassa T X jos ja vain jos x n (α) x(α) Y kaikille α Y eli x n x pisteittäin joukossa I, kun taas x n x X topologiassa T sup jos ja vain jos x n (α) x(α) Y tasaisesti joukossa I. Huomaa, että tässä jälkimmäisessä tapauksessa on täysin järkevää puhua tasaisesta konvergenssista (ks. määritelmä MA 12.31), koska (Y, d) on metrinen avaruus ja (x n ) on jono kuvauksia x n : I Y. Esimerkki 7.26 (Cantorin joukko, abstrakti määritelmä) Varustetaan joukko {0,1} diskreetillä topologialla, määritellään X = {0,1} N, ja varustetaan X tulotopologialla T X. Sanotaan, että topologinen avaruus (X, T X ) on (abstrakti) Cantorin joukko. Tämän Cantorin joukon alkiot ovat siis kaikki jonot, joissa esiintyy vain nollia ja ykkösiä. Tämä on helppo sanoa, mutta tuon tulotopologian havainnollistaminen on vähän hankalampaa. Seuraavassa esimerkissä esitetään konkreettinen tulkinta tälle Cantorin joukolle upottamalla se reaaliakselille, jossa on tavallinen itseisarvotopologia ja sitä kautta tämä Cantorin joukon topologia onkin metrinen. Tämän jälkeen Cantorin joukko voidaan vaikkapa piirtää tai ainakin hahmotella. Esimerkki 7.27 (Cantorin joukko, havainnollinen tulkinta) Palautetaan ensin mieleen lukujärjestelmät. Näitähän on esimerkiksi kymmen- tai binäärijärjestelmä. Tässä esillä on kolmijärjestelmä, jossa luvut voidaan esittää käyttäen vain lukuja ja 0,1 ja 2. Jokainen positiivinen kokonaisluku n voidaan yksikäsitteisesti esittää muodossa m n = a i 3 i, missä a i {0,1,2} kaikille i = 0,...,m. i=0 Tätä esitystä usein yksinkertaistetaan kirjoittamalla n = a m a m 1...a 1 a 0. Tämähän on kymmenjärjestelmästä kovin tuttua. Tämä esitys voidaan laajentaa kokonaisluvuista kaikkiin reaalilukuihin: jokainen positiivinen reaaliluku x voidaan esittää muodossa m x = a i 3 i, missä a i {0,1,2} kaikille i =,...,m. (1) i= 55

58 Tämä sarja suppenee aina eikä siinä ole mitään ongelmaa. Tätäkin esitystä usein yksinkertaistetaan kirjoittamalla x = a m a m 1...a 1 a 0.a 1 a 2..., huomaa desimaalipiste lukujen a 0 ja a 1 välissä. Tämä esityshän vastaa täysin x:n desimaaliesitystä kymmenjärjestelmässä; siinä vain käytetään lukujen 0, 1, 2 sijasta lukuja 0,1,...,9 ja esityksessä (1) on kolmosen tilalla luku 10. Ainoa ongelma esityksessä (1) on, että se ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Pätee näet esimerkiksi = Tämä sama ongelmahan on kymmenjärjestelmässä: = Ja sitten itse asiaan. Määritellään havainnollinen Cantorin joukko C sopimalla, että C koostuu niistä reaaliluvuista x [0,1], jotka voidaa esittää kolmijärjestelmässä käyttämättä lukua 1. Mitäs tämä sitten käytännössä tarkoittaa? Kaikille luvuille x [0, 1] saadaan muotoa x = 0.a 1 a 2... oleva esitys myös luvulle 1 = Cantorin joukon määritelmässä siis kielletään erityisesti luvun a 1 olemasta ykkönen. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että kaikki luvut väliltä ] 1 3, 2 3 [ ovat pois pelistä. Mitkään muut luvut eivät tällä rajoitteella poistu. Seuraavassa vaiheessa kielletään luvun a 2 olemasta ykkönen. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki luvut väleiltä ] 1 9, 2 9 [ ja ]7 9, 8 9 [ siirretään syrjään. Edelleen rajoitus a 3 1 poistaa välit ] 1 27, 2 27 [, ] 7 27, 8 27 [, ]19 27, [ ja ]25 27, [. Näin sitten jatketaan. Geometrisesti ajatellen joukko C syntyy siis niin, että ensin välin [0, 1] keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on 1/3. Jäljelle jää kaksi suljettua väliä, joiden pituus on myös 1/3. Näiden molempien keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on 1/9, jolloin jäljelle jää neljä väliä, joiden pituus on myös 1/9. Näiden kaikkien keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on 1/27, jolloin jäljelle jää kahdeksan väliä, joiden pituus on myös 1/27. Näin jatketaan ad infinitum. Se mitä tämän kaiken poistamisen jälkeen jäljelle jää, on joukko C. Jos nyt lasketaan noiden poistettujen välien pituudet yhteen, niin geometrisen sarjan summakaavaa käyttäen nähdään helposti, että summaksi tulee 1. Tämä antaa aiheen epäillä, ettei loppujen lopuksi kaiken poistamisen jälkeen jäljelle jää yhtään mitään. Ei se näin tietenkään ole: tämän näkee siitä, että kaikki ne luvut joiden kolmijärjestelmän esityksessä ei ole ykkösiä, jäävät todellakin jäljelle eli ovat joukon C alkioita. Kaikki muut sieltä siis poistetaan. Huomaa kuitenkin tuon desimaaliesityksen yksikäsitteisyyden puutteesta aiheutuva lievä ambivalenssi: esimerkiksi lukua 1/3 = ei poisteta, koska se voidaan esittää myös muodossa 1/3 =

59 Toisaalta näyttää ilmeiseltä, että kaikkien noiden poistettavien välien päätepisteet jäävät jäljelle, ja näinhän se onkin, kuten helposti nähdään. (Tämä 1/3 on juuri eräs sellainen.) Sitten voi tietysti epäillä, ettei lopulta muuta jäljelle jääkään kuin näitä välien päätepisteitä. Tämä on väärä epäilys: esimerkiksi 1/4 C (koska 1/4 = eikä 1/4 selvästikään ole minkään poistetun välin päätepiste, koska nämä päätepisteet ovat aina muotoa k/3 m. Toisaalta voidaan osoittaa, että C on ylinumeroituva, mutta noita päätepisteitä on vain numeroituvasti, joten näitä ei-päätepisteitä on C:ssä ylivoimaisesti enemmän. Tämä joukon C rakenteesta. Tätä joukkoa voi ihmetellä lisää vaikkapa Wikipediassa, josta löytyy vähän kuvantapaisiakin. Seuraavaksi asennetaan joukkoon C topologia, mikä on helppoa, koska C on R:n osajoukko, jolloin R:n itseisarvo antaa aliavaruusmetriikan joukkoon C ja sitä kautta myös (metrisen!) topologian merkitään tätä joukon C topologiaa symbolilla T C. Tämän kaiken valmistelun jälkeen päästään esimerkin ytimeen, joka on se, että tämä konkreettinen(?) joukko C on itse asiassa homeomorfinen esimerkin 7.26 abstraktin Cantorin joukon kanssa. Jos tämä onnistutaan todistamaan, on luontevaa sanoa, että C on konkreettinen Cantorin joukko. Seuraavassa todistetaan, että abstrakti ja konkreettinen Cantorin joukko ovat tosiaan homeomorfisia. Tämä muotoillaan oikein lauseeksi Määritellään sitä ennen kuitenkin tämä konkreettinen Cantorin joukko uudestaan hieman suuremmalla tarkkuudella: tuo poistamisoperaatioiden iteraatio ei ole matemaattisesti täysin kestävällä pohjalla. Käytetään määritelmässä esimerkin 7.27 esitystä (1) ja käännetään vielä siinä oleva negatiivinen summa (indeksinvaihdolla) vähän tutummannäköiseen positiiviseen muotoon. Määritelmä 7.28 Sanotaan, että joukko C = { a i 3 i a i {0,2} kaikille i} [0,1] i=1 on konkreettinen Cantorin joukko. Varustetaan se R:n itseisarvometriikan indusoimalla aliavaruusmetriikalla d C. Abstraktin Cantorin joukon ja sen topologian määritelmä (esimerkki 7.26) ei kaipaa mitään täsmentämistä. Huomaa, että määritelmän 7.28 summat suppenevat majoranttiperiaatteen ja geometrisen sarjan i=1 3 i suppenemisen perusteella. Lisäksi geometrisen sarjan summakaavasta saadaan arvio 0 i=1 a i3 i 1, joten todellakin C [0,1]. Lause 7.29 Abstrakti Cantorin joukko ja konkreettinen Cantorin joukko ovat homeomorfisia keskenään. 57

60 Todistus. Olkoot siis (X, T X ) ja (C, T d ) kuten esimerkissä 7.26 ja määritelmässä Riittää konstruoida homeomorfismi f : (X, T X ) (C, T d ). Määritellään kuvaus f : X C asettamalla f(x) = 2 x(i)3 i kaikille x X. (1) i=1 Koska määritelmän 7.26 ja merkinnän 7.16 mukaan x X on kuvaus x : N {0,1}, niin sarjan (1) kertoimet 2 x(i) saavat vain arvoja 0 tai 2, joten f(x) C, ja näin f on todellakin kuvaus f : X C. Selvästi f on surjektio, (2) sillä jokaiselle c = i=1 a i3 i C voidaan määritellä x X asettamalla jolloin f(x) = c. Osoitetaan, että x(i) = 1 2 a i {0,1}, f on injektio. (3) Olkoot tätä varten x,y X, x y. Pitää osoittaa, että f(x) f(y), mihin riittää osoittaa, että f(x) f(y) > 0. (4) Koska x y, niin x(i) y(i) ainakin jollekin i N ja voidaan valita k = min{i x(i) y(i)}. Tällöin saadaan f(x) f(y) = 2x(i)3 i 2y(i)3 i = 2 (x(i) y(i))3 i i) = i=1 i=1 i=1 2 3 k (x(k) y(k)) + (x(i) y(i))3 i ii) i=k k (x(k) y(k)) 2 (x(i) y(i))3 i iii) 2 3 k (x(k) y(k)) k 2 3 (k+1) i=k+1 i=k+1 iv) i x(i) y(i) k 2 i=k+1 ( ) i 1 v) = 3 = 2 3 k 2 3 k = 2 3 k 3 k = 3 k > 0, joten väite (4) pätee, ja siten myös väite (3) on todistettu. Tässä yhtälö i) seuraa k:n valinnasta ja epäyhtälöt ii) ja iii) seuraavat kolmioepäyhtälöstä. Epäyhtälö 58

61 iv) perustuu siihen, että k:n valinnan nojalla x(k) y(k) ja koska x(k) ja y(k) voivat saada vain arvoja 0 tai 1, niin on oltava (x(k) y(k)) = 1. Lisäksi, kun i k+1, pätee x(i) y(i) = 0 tai x(i) y(i) = 1. Yhtälö v) tulee geometrisen sarjan summakaavasta. Seuraavaksi osoitetaan, että f : (X, T X ) (C, T d ) on jatkuva. (5) Olkoon tätä varten x X ja ǫ > 0 mielivaltaisia. Riittää löytää pisteen x ympäristö U siten, että f(y) f(x) < ǫ kaikille y U. (6) Koska sarja i=1 3 i suppenee, voidaan valita n 0 N niin suureksi, että Määritellään 2 i=n i < ǫ. (7) U = {y X y(i) = x(i) kaikille i = 1,...,n 0 }. Merkitään (kuten yleensäkin) projektiokuvauksia X {0,1} symboleilla pr i, i N. Määritelmän mukaanhan pr i (x) = x(i) kaikille i N. Tällöin ilmeisesti U = n 0 i=1 pr 1 i ({x(i)}). (8) Koska avaruudessa {0, 1} on diskreetti topologia, niin yksiöt {x(i)} ovat avoimia, ja silloin tulotopologian määritelmän ja esityksen (8) nojalla U on avoin avaruudessa (X, T X ). (9) Triviaalisti U:n määritelmän nojalla x U, jolloin ehdon (9) perusteella U on x:n ympäristö. Riittää osoittaa, että tämä U toimii ehdossa (6). Olkoon tätä varten y U mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f(y) f(x) < ǫ. Tämä seuraa siitä, että f(x) f(y) = 2x(i)3 i 2y(i)3 i = 2 (x(i) y(i))3 i i) = i=1 i=1 i=1 2 (x(i) y(i))3 i ii) iii) i 2 3 < ǫ, i=n 0+1 i=n

62 missä yhtälö i) seuraa U:n määritelmästä ja siitä, että y U. Epäyhtälö ii) seuraa siitä, että x(i) y(i) 1 kaikille i, ja epäyhtälö iii) seuraa ehdosta (7). Näin väite (5) on todistettu. Ehtojen (2) ja (3) nojalla f on bijektio, joten sillä on käänteiskuvaus f 1 : C X. Ehdon (5) nojalla lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että f 1 : (C, T d ) (X, T X ) on jatkuva. (10) Perhe {{0}, {1}} on ilmeisesti joukon {0, 1} diskreetin topologian (esi)kanta, jolloin lauseen 6.12 ja tulotopologian määritelmän mukaan perhe {pr 1 i ({0}) i N} {pr 1 i ({1}) i N} on tulotopologian T X esikanta. Silloin väite (10) seuraa lauseesta 3.9, jos osoitetaan, että alkukuvat (f 1 ) 1 (pr 1 i ({0})) ja (f 1 ) 1 (pr 1 i ({1})) ovat avoimia topologiassa T d kaikille i N. (11) Olkoon tätä varten i N mielivaltainen. Osoitetaan, että (f 1 ) 1 (pr 1 i ({0})) on avoin topologiassa T d. (12) Olkoon tätä varten a (f 1 ) 1 (pr 1 i ({0})) mielivaltainen. Koska joukko U :=]a 3 i,a + 3 i [ C on lauseen MA 7.1 nojalla pisteen a ympäristö metrisessä avaruudessa (C, T d ), niin väite (12) seuraa, jos osoitetaan, että U (f 1 ) 1 (pr 1 i ({0})) eli että U f(pr 1 i ({0})). Olkoon tätä varten u U mielivaltainen. Riittää osoittaa, että Koska u U, niin U:n määritelmän nojalla u f(pr 1 i ({0})). (13) a u < 3 i. (14) Ehdon (2) nojalla f on surjektio, joten on olemassa x,y X siten, että f(x) = a ja f(y) = u. (15) Jos x = y, niin myös a = u, jolloin väite (13) pätee triviaalisti a:n valinnan nojalla. Voidaan siis olettaa, että x y. 60

63 Silloin voidaan määritellä k = min{i x(i) y(i)}, (16) ja täsmälleen samat laskelmat kuin kaavojen (4) ja (5) välillä tehtiin osoittavat, että f(x) f(y) 3 k. (17) Ehtojen (14), (15) ja (17) nojalla saadaan 3 k f(x) f(y) = a u < 3 i, joten Ehtojen (16) ja (18) nojalla pätee i < k. (18) x(i) = y(i). (19) Koska a (f 1 ) 1 (pr 1 i ({0})) = f(pr 1 i ({0})) ja f on ehdon (3) mukaan injektio, niin ehdon (15) nojalla x pr 1 i ({0}) Projektiokuvausten määritelmän mukaan tämä merkitsee sitä, että jolloin ehdon (19) mukaan myös Tällöin x(i) = 0, y(i) = 0. y pr 1 i ({0}), ja siten ehdon (15) nojalla väite (13) seuraa. Tämä todistaa väitteen (12). Aivan analogisesti todistetaan, että (f 1 ) 1 (pr 1 i ({1})) on avoin topologiassa T d, minkä jälkeen väite (11) ja siten myös väite (10) on todistettu. Huomautus 7.30 Konkreettisen Cantorin joukon kuvailevan määritelmän eli esimerkin 7.27 yhteydessä väitettiin ilman perusteluja, että Cantorin joukko on ylinumeroituva. Tämä on nyt aika helppo todistaa käyttäen hyväksi sitä, että koko väli [0, 1] tunnetusti ylinumeroituva, ja toisaalta sitä joukkojen mahtavuuksiin liittyvää faktaa, että jos joukko B on ylinumeroituva ja on olemassa surjektio joukolta A joukolle B, niin myös A on ylinumeroituva. Tämän perusteella Cantorin joukon C ylinumeroituvuus seuraa, jos konstruoidaan surjektio C [0, 1]. Koska lauseessa 7.29 konstruoitiin bijektio f 1 : C X, niin riittää konstruoida surjektio X [0, 1] tässä siis X on määritelmän 7.26 abstrakti Cantorin 61

64 joukko. Tähän konstruktioon tarvitaan vielä tieto siitä, että jokainen reaaliluku a väliltä [0,1] voidaan esittää binäärilukuna muodossa a = 0.a 1 a 2..., missä bitit a i ovat ykkösiä tai nollia. Tämänhän nykyisenä bittiaikakautena jokainen mökin mummokin tietää. Vakavasti puhuen tuo esityshän tarkoittaa summaesitystä a = a i 2 i, missä a i {0,1} kaikille i. i=1 Vertaa tätä määritelmään Uskotaan siihen, että tällainen esitys on kaikille x [0, 1] olemassa. Yksikäsitteinenhän tämäkään ei ole; esimerkiksi 1/2 = = Joka tapauksessa tämän avulla on helppo konstruoida surjektio g : X [0,1] asettamalla g(x) = x(i)2 i. i=1 Tämä on hyvin määritelty surjektio. Injektio g ei ole, mikä johtuu edellä mainitusta yksikäsitteisyyden puutteesta. Näiden joukkojen X ja [0, 1] välillä on kuitenkin joku bijektio, koska inkluusiokuvaus j : C [0,1] on injektio ja siten j f : X [0,1] on injektio, missä f on lauseen 7.29 todistuksen bijektio f : X C. Silloin tähän tilanteeseen voidaan soveltaa kuuluisaa Cantor- Schröder-Bernsteinin lausetta, joka sanoo, että jos on olemassa sekä injektio että surjektio joukosta A joukkoon B, niin on olemassa myös bijektio A B. Tämä Cantor-Schröder-Bernsteinin lause todistetaan joukko-opin kurssilla. Palataan vielä yleiseen tuloavaruuteen X = α I X α ja tarkastellaan projektiokuvauksia pr α : X X α. Tässä tietysti avaruuksissa X α on omat topologiansa T α ja X:ssä on projektiokuvausperheen näistä indusoima tulotopologia. Projektiokuvausten jatkuvuus seuraa lauseesta 6.4, ja siitä ei ole sen enempää sanottavaa, mutta jatkoa varten on hyvä tarkastella sitä, ovatko nämä projektiot avoimia ja/tai suljettuja kuvauksia, ks. määritelmä Suljettuja kuvauksia ne eivät yleensä ole. Tästä saa helpon esimerkin jo kahden avaruuden tulosta. Jos varustetaan R itseisarvotopologialla, niin tuloavaruuden R 2 tulotopologia on sen euklidinen topologia, kuten todettiin lauseessa 7.5. Jos määritellään joukko A = {(x 1,x 2 ) R 2 x 1 > 0 ja x 2 1 x 1 } R 2, niin ilmeisesti A on suljettu, mutta joka ei ole suljettu. pr 1 (A) = ]0, [, Sen sijaan projektiot ovat aina avoimia: 62

65 Lause 7.31 Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T ja olkoot pr α : X X α projektiokuvauksia. Tällöin kuvaukset pr α : (X, T ) (X α, T α ) ovat avoimia kaikille α I. Todistus. Lauseen 6.12 nojalla tulotopologian eräs kanta on B X = { pr 1 β (V β) K I on äärellinen ja V β T β kaikille β K}. β K Lauseen 3.26 nojalla väite seuraa, jos osoitetaan, että pr α (B) T α kaikille B B X ja kaikille α I. Olkoot tätä varten B B X ja α I. Riittää osoittaa, että pr α (B) T α. (1) Kannan B X määritelmän nojalla on olemassa äärellinen K I ja kaikille β K joukot V β T β siten, että B = pr 1 β (V β). Jos nyt α K, niin ilmeisesti pr α (B) = pr α β K pr 1 β K β (V β) = { V α T α jos B T α jos B =, jolloin väite (1) pätee. Jos taas α K, niin yhtä ilmeisesti pr α (B) = pr α { pr 1 β (V β) X α T α jos B = T α jos B =, jolloin väite (1) pätee myös. β K 8 Kuvausperheen koindusoima topologia Luvussa 6 tutustuttiin kuvausperheen indusoimaan topologiaan. Tässä indusoinnissahan oli kyse siitä, että jostakin joukosta X lähti perhe kuvauksia eri topologisiin avaruuksiin, ja näistä kuvauksista ja maaliavaruuksien topologioista sommiteltiin sitten topologia joukkoon X. Tärkeimpänä indusoinnin sovellutuksena oli tulotopologia, joka luvussa 7 määriteltiin. Tässä luvussa tilanne on päinvastainen siinä mielessä, että tässä joukko X on maaliavaruutena perheelle kuvauksia, jotka lähtevät eri topologisista avaruuksista. Näistä kuvauksista ja lähtöavaruuksien topologioista laaditaan topologia joukkoon X. Tätä prosessia kutsutaan koindusoinniksi. Aloitetaan lauseella, määritelmä tulee vasta sen jälkeen. 63

66 Lause 8.1 Olkoon X epätyhjä joukko, I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(Y α, T α )} α I topologisia avaruuksia sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Tällöin joukkoperhe on X:n topologia. T X = {U X f 1 α (U) T α kaikille α I} Todistus. Triviaalisti T X, sillä fα 1 ( ) = T α kaikille α I. Vastaavasti X T X, sillä fα 1 (X) = X α T α kaikille α I. Siten riittää osoittaa, että T X :n alkioiden mielivaltaiset yhdisteet ja äärelliset leikkaukset sisältyvät perheeseen T X. Olkoon tätä varten J mielivaltainen indeksijoukko ja U j T X kaikille j J. Tällöin fα 1 (U j ) T α kaikille α I ja kaikille j J. (1) Silloin pätee fα 1 ( U j ) = fα 1 (U j ) i) T α kaikille α I, (2) j J j J missä ehto i) seuraa ehdosta (1), koska T α on topologia. Ehdon (2) ja perheen T X määritelmän mukaan pätee U j T X. j J Vastaavasti jos J on äärellinen, saadaan fα 1 ( U j )) = fα 1 (U j ) ii) T α kaikille α I, (3) j J j J missä ehto ii) seuraa ehdosta (1), koska T α on topologia ja J on äärellinen. Ehdon (3) ja perheen T X määritelmän mukaan pätee U j T X, j J joten asia on selvä. Määritelmä 8.2 Olkoon X epätyhjä joukko, I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(Y α, T α )} α I topologisia avaruuksia sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Sanotaan, että lauseen 8.1 mukainen X:n topologia T X = {U X f 1 α (U) T α kaikille α I} on kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I koindusoima topologia. 64

67 Huomautus. Tässä koindusoinnissa tilanne on yksinkertaisempi kuin indusoinnissa, sillä T X on suoraan topologia, mitä indusoinnissa käytetty perhe ei välttämättä aina ole, vaan on vain esikanta, vrt. lause 6.1. Seuraavat kaksi lausetta siirtävät indusointilauseet 6.4 ja 6.5 tähän koindusointimaailmaan. Lause 8.3 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I koindusoima X:n topologia. Tällöin kuvaukset f α : ((Y α, T α ) (X, T X ), α Y ovat jatkuvia. Todistus. Tämä seuraa suoraan lauseesta 3.2 ja koindusoidun topologian määritelmästä. Lause 8.4 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I koindusoima X:n topologia. Tällöin T X on hienoin X:n topologia T, jonka suhteen kaikki kuvaukset f α : (Y α, T α ) (X, T ), α I ovat jatkuvia. Todistus. Olkoon T X:n topologia siten, että kaikki kuvaukset f α : (Y α, T α ) (X, T ), α I ovat jatkuvia. Pitää osoittaa, että T T X. Olkoon tätä varten U T mielivaltainen. Koska kuvaukset f α : (Y α, T α ) (X, T ) ovat jatkuvia, niin lauseen 3.2 nojalla fα 1 (U) T α kaikille α I. Silloin määritelmän 8.2 mukaan U T X, ja väite seuraa. Esimerkki 8.5 Olkoon I ja {(Y α, T α )} α I perhe erillisiä topologisia avaruuksia, ts. Y α Y β = kun α β. Merkitään X = α I Y α. Inkluusiokuvaukset j α : Y α X koindusoivat joukkoon X topologian T X määritelmän 8.2 mukaisesti. Sanotaan, että näin syntyvä topologinen avaruus (X, T X ) on avaruusperheen {(Y α, T α )} α I summa-avaruus. Huomaa, että summa-avaruus määritellään vain erillisille avaruuksille Y α. Mikään ei estä määrittelemästä tätä summa-avaruutta myös tilanteessa, jossa Y α :t leikkaavat toisiaan, mutta tulos ei ole kovin käyttökelpoinen eikä johdonmukainen. Muun muassa seuraava lause ei tällaisessa leikkaustilanteessa päde. Lause 8.6 Olkoon I ja {(Y α, T α )} α I perhe erillisiä topologisia avaruuksia ja (X, T X ) niiden summa-avaruus esimerkin 8.5 mukaisesti. Koska Y α X 65

68 kaikille α I, niin X:n topologia T X indusoi jokaiseen joukkoon Y α relatiivitopologian määritelmän 5.2 mukaisesti. Merkitään tätä Y α :n relatiivitopologiaa symbolilla T 1 α. Tällöin pätee T 1 α = T α kaikille α I. Todistus. Olkoon α I mielivaltainen. Osoitetaan ensin, että T 1 α T α. (1) Olkoon tätä varten A T 1 α mielivaltainen. Lauseen 5.3 nojalla on olemassa U T X siten, että A = U Y α. (2) Koska U T X ja inkluusiokuvaukset j β : Y β X koindusoivat topologian T X, niin määritelmän 8.2 mukaan Tällöin j 1 β (U) T β kaikille β I. (3) A i) = j 1 α (A) ii) = j 1 α (U Y α ) iii) = j 1 α (U) iv) T α, (4) missä yhtälö i) seuraa inkluusiokuvauksen määritelmästä ja siitä, että A X α. Yhtälö ii) seuraa ehdosta (2), yhtälö iii) inkluusiokuvauksen määritelmästä ja ehto iv) ehdosta (3). Väite (1) seuraa nyt ehdosta (4). Osoitetaan sitten, että T α T 1 α. (5) Olkoon tätä varten B T α mielivaltainen. Koska B X α, niin inkluusiokuvauksen j α määritelmän mukaan Kun β α, niin j 1 α (B) = B T α. (6) j 1 β (B) i) = T β, (7) missä yhtälö i) seuraa inkluusiokuvauksen määritelmästä ja siitä, että B X α, jolloin oletuksen β α ja summa-avaruuden määritelmän mukaan X α X β =, ja siten B X β =. Ehtojen (6) ja (7) nojalla j 1 β (B) T β kaikille β I, jolloin topologian T X määritelmän mukaan B T X. 66

69 Tällöin relatiivitopologian T 1 α määritelmän mukaan j 1 α (B) T 1 α. (8) Koska kuten yllä todettiin j 1 α (B) = B, niin ehdon (8) nojalla B T 1 α, ja väite (5) seuraa. Lauseen väite saadaan ehdoista (1) ja (5). Jos T X on kuvausperheen {f α : Y α X} koindusoima, niin lauseen 8.3 nojalla kuvaukset f α ovat jatkuvia, jolloin lauseen 3.5 nojalla jokaisen avaruudessa (X, T X ) suljetun joukon A kaikki alkukuvat fα 1 (A) ovat suljettuja avaruuksissa (Y α, T α ). Yleensähän tämä ei (jatkuvalle kuvauksellekaan) päde kääntäen: alkukuva voi olla suljettu, vaikka itse joukko A ei ole suljettu. Tästähän on helppo keksiä esimerkkejä. Näille koindusoiville kuvauksille tilanne on kuitenkin toinen eli A on suljettu jos (ja vain jos) sen kaikki alkukuvat ovat suljettuja. Lause 8.7 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I koindusoima X:n topologia. Tällöin kaikille A X pätee A on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f 1 α (A) on suljettu avaruudessa (Y α, T α ) kaikille α I. Todistus. Väitteen tämä suunta saadaan lauseista 8.3 ja Oletetaan, että fα 1 (A) on suljettu kaikille α. Tällöin Y α \ fα 1 (A) on avoin kaikille α. Koska ilmeisesti fα 1 (X \ A) = Y α \ fα 1 (A) kaikille α, niin fα 1 (X \ A) T α kaikille α. Tämä merkitsee topologian T X määritelmän mukaan sitä, että X \ A T X eli X \ A on avoin. Silloin A on suljettu. Indusoitua topologiaa koskeva lause 6.9 kääntyy koindusointiin seuraavasti. Lause 8.8 Olkoon X epätyhjä joukko ja {(Y α, T α )} α I perhe topologisia avaruuksia, I sekä {f α } α I perhe kuvauksia f α : Y α X. Olkoon T X kuvausperheen {f α } α I topologiaperheestä {T α } α I koindusoima X:n topologia. Olkoon lisäksi (Z, T Z ) jokin topologinen avaruus ja g : X Z kuvaus. Tällöin g : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva jos ja vain jos g f α : (Y α, T α ) (Z, T Z ) on jatkuva kaikille α I. Todistus. Väitteen tämä suunta saadaan lauseista 8.3 ja 3.6. Oletetaan, että g f α : (Y α, T α ) (Z, T Z ) on jatkuva kaikille α I Olkoon V T Z mielivaltainen. Riittää osoittaa, että g 1 (V ) T X. (1) 67

70 Topologian T X määritelmän mukaan väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että f 1 α (g 1 (V )) T α kaikille α I. (2) Tämä seuraa kuvausten g f α oletetusta jatkuvuudesta, sillä f 1 α (g 1 (V )) = (g f α ) 1 (V ). Huomautus 8.9 Kuvausperheen indusointitarina aloitettin luvussa 4 yhdellä kuvauksella eli perheellä, jossa on vain yksi alkio. Myös tässä koindusoinnissa voi olla tarkasteltavana vain yhden alkion perhe {f}. Sanotaan tällöin yksinkertaisuuden vuoksi, että vastaava koindusoitu topologia T X on kuvauksen f koindusoima, sen sijaan, että puhuttaisiin kömpelösti yhden alkion perheestä. Mitään asiallisia muutoksiahan tämä puhetapa ei aiheuta. Kirjataan vielä selvyyden vuoksi näkyviin, minkälainen on yhden kuvauksen f : (Y, T Y ) X koindusoima X:n topologia T X. Sehän on määritelmän 8.2 mukaan T X = {U X f 1 (U) T Y }. Määritellään tämän luvun lopuksi vielä seuraavan luvun tarpeita varten ns. samastuskuvaus ja todistetaan sen joitakin perusominaisuuksia. Aloitetaan kuvailevalla esimerkillä, josta selvinnee syy tähän nimeen. Esimerkki 8.10 Varustetaan väli X = [0, 1] itseisarvotopologialla T ja euklidinen ympyrä Y = {x R 2 x = 1} euklidisen metriikan antamalla topologialla T e. Tarkastellaan kuvausta f : X Y, f(x) = (cos 2πx,sin 2πx). Tämä kuvaushan on surjektio, muttei aivan injektio, sillä välin [0, 1] päätepisteethän kuvautuvat yhteen eli pisteeksi (1, 0) Y. Muuta epäinjektiivisyyttä tässä ei ole. Havainnollisessa mielessä voidaan sanoa, että f samastaa päätepisteet 0 ja 1. Jos rautalangasta väännetään, niin väliä [0, 1] voi ajatella langan pätkänä, jonka f ikään kuin vääntää ympyräksi ja liimaa vielä päät yhteen. Tällaista kuvausta sanotaan siis samastuskuvaukseksi ja näihin palataan seuraavassa luvussa. Mitenkäs tämmöinen nyt sitten tulisi määritellä? Ideana on siis se, että lähtöavaruuden pisteitä liimaillaan jollakin lailla yhteen, ja liimailun tuloksena on sitten maaliavaruus. Silloin f:n pitää olla ainakin surjektio injektio se ei yleensä ole, jotta jotain todellakin liimataan. Topologian kannalta täytyy tietenkin vaatia jotain, ja luonnollinen vaatimus on f:n jatkuvuus eli avoimen joukon alkukuva pitää olla avoin. Se ei kuitenkaan yleensä riitä tekemään tästä liimailukuvauksesta riittävän käyttökelpoista. Jos lisäksi vaaditaan, että f on avoin eli avoimen joukon kuva on aina avoin, niin se riittää (ks. lause 8.16), mutta tämä vaatimus on liiankin vahva. Oikea (ts. sovelluksiin parhaiten sopiva) määritelmä on vaatia, että Y :n osajoukko on avoin täsmälleen silloin kun sen alkukuva on avoin. Huomaa, että tämä pitää sisällään jatkuvuuden vaatimuksen, muttei aivan tee kuvauksesta avointa. 68

71 Jos tätä vaatimusta ajatellaan koindusoinnin kielellä, niin huomataan, että vaatimus on sama kuin että f:n X:n topologiasta koindusoima Y :n topologia on Y :n alkuperäinen topologia. Näin määritelmä 8.11 tämän muotoilee. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että yllä määritelty janan ja ympyrän välinen kuvaus on tässä mielessä samastuskuvaus. Jatkoharjoitustehtävänä voi miettiä esimerkin jatkuvasta surjektiosta, joka ei ole samastuskuvaus ja toisen esimerkin samastuskuvauksesta, joka ei ole avoin. Nämä esimerkit osoittavat yhdessä lauseiden 8.12 ja 8.16 kanssa sen, että samastuskuvaus sijoittuu jonnekin jatkuvan ja jatkuvan+avoimen kuvauksen välimaastoon. Määritelmä 8.11 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Olkoon T f Y kuvauksen f topologiasta T X koindusoima Y :n topologia. Sanotaan, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on samastuskuvaus, jos f on surjektio ja T f Y = T Y. Heti huomataan fakta, joka huomattiin jo esimerkissä 8.10: Lause 8.12 Samastuskuvaus on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa suoraan lauseesta 8.3. Lause 8.13 Homeomorfismi on samastuskuvaus. Todistus. Harjoitustehtävä. Samastuskuvaus ei yleensä sovelluksissa ole injektio, mutta jos se on, niin se on suorastaan homeomorfismi. Lause 8.14 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : (X, T X ) (Y, T Y ) injektiivinen samastuskuvaus. Tällöin f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. Todistus. Oletusten mukaan f on bijektio ja lauseen 8.12 nojalla jatkuva, joten riittää osoittaa, että f 1 : (Y, T Y ) (X, T X ) on jatkuva. (1) Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että (f 1 ) 1 (U) T Y eli että f(u) T Y. (2) Olkoon T f Y kuvauksen f topologiasta T X koindusoima Y :n topologia. Koska f on bijektio, niin f 1 (f(u)) = U, ja siten f 1 (f(u)) = U T X. Silloin koindusoidun topologian määritelmän mukaan f(u) T f Y. Väite (2) seuraa tästä, sillä samastuskuvauksen määritelmän mukaan T f Y = T Y. 69

72 Lause 8.15 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) samastuskuvauksia. Tällöin myös g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on samastuskuvaus. Todistus. g f on surjektio kahden surjektion yhdisteenä. Olkoot T f Y, T g g f Z ja TZ kuvausten f, g ja g f koindusoimat topologiat. Pitää osoittaa, että T g f Z = T Z. Tämän näkee näin: U T Z = T g Z g 1 (U) T Y = T f Y f 1 (g 1 (U)) T X (g f) 1 (U) T X U T g f Z. Lauseen 8.15 mukaan samastuskuvausten yhdistetty kuvaus on samastuskuvaus, mutta ehkä vähän yllättäen samastuskuvauksen rajoittumakuvaus ei välttämättä ole samastuskuvaus kuvajoukolleen. Jätetään esimerkin keksiminen harjoitustehtäväksi. Myöhempiä tarpeita varten todistetaan seuraavaksi, että rajoittumakuvauskin on tietyillä lisäoletuksilla samastuskuvaus. Lause 8.16 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y samastuskuvaus. Olkoon A X avoin osajoukko, jolla on seuraava ominaisuus. Kaikilla a A pätee f 1 ({f(a)}) A. (1) Varustetaan A avaruuden (X, T X ) antamalla aliavaruustopologialla T A. Vastaavasti joukko f(a) Y varustetaan avaruuden (Y, T Y ) antamalla aliavaruustopologialla T f(a). Tällöin rajoittumakuvaus f A : (A, T A ) (f(a), T f(a) ) on samastuskuvaus. Lisäksi joukko f(a) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Ehdon (1) nojalla pätee f 1 (f(a)) = A. (2) Koska A on oletuksen mukaan avoin, niin ehdon (2) nojalla f 1 (f(a)) on avoin. Silloin määritelmän 8.2 (tai huomautuksen 8.9) mukaan f(a) on avoin kuvauksen f koindusoimassa topologiassa. Koska f on samastuskuvaus, niin tämä topologia on T Y, joten f(a):n avoimuutta koskeva väite seuraa. Osoitetaan, että rajoittumakuvaus on samastuskuvaus. Surjektiivisuus kuvajoukolle on selvää, joten riittää osoittaa, että kuvauksen 70

73 f A topologiasta T A koindusoima f(a):n topologia on T f(a). Merkitään tätä ensinmainittua symbolilla T f A, jolloin todistettavana on väite Osoitetaan ensin, että T f A = T f(a). (3) T f A T f(a). (4) Olkoon tätä varten U T f A. Määritelmän 8.2 (ks. myös huomautus 8.9) mukaan tämä tarkoittaa sitä, että (f A ) 1 (U) T A. (5) Koska U f(a), niin oletuksen (1) (ja alkeisjoukko-opin) nojalla Tällöin ehdon (5) nojalla (f A ) 1 (U) = f 1 (U). (6) f 1 (U) T A. (7) Koska oletuksen mukaan A on avoin avaruudessa (X, T X ), niin lauseen 5.6 ja ehdon (7) nojalla f 1 (U) T X. (8) Tällöin määritelmän 8.2 tai huomautuksen 8.9 nojalla U on kuvauksen f koindusoimassa topologiassa. Koska f on samastuskuvaus, niin tämä topologia on T Y. Siis U T Y. (9) Koska U f(a), niin ehdon (9) ja lauseen 5.5 nojalla Tämä todistaa väitteen (4). Osoitetaan sitten, että U T f(a). T f(a) T f A. (10) Olkoon tätä varten U T f(a). Koska f on oletuksen mukaan samastuskuvaus, niin se on lauseen 8.12 nojalla jatkuva. Tällöin lauseiden 5.14 ja 5.17 nojalla myös rajoittumakuvaus f A : (A, T A ) (f(a), T f(a) ) on jatkuva. Avoimen joukon alkukuva jatkuvassa kuvauksessa on avoin, joten f 1 (U) T A. Määritelmän 8.2 tai huomautuksen 8.9 mukaan tämä tarkoittaa sitä, että Väite (10) seuraa tästä. U T f A. Lauseen väite seuraa ehdoista (4) ja (10). Seuraava lause kertoo (todistuksen kera) sen, mistä jo esimerkissä 8.10 oli puhetta. 71

74 Lause 8.17 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva surjektio, joka on lisäksi avoin. Tällöin f on samastuskuvaus. Todistus. Olkoon T f Y kuvauksen f topologiasta T X koindusoima Y :n topologia. Pitää osoittaa, että T f Y = T Y. Koska f on jatkuva, niin lauseen 8.4 nojalla T Y T f Y, joten riittää osoittaa, että T f Y T Y. (1) Olkoon tätä varten V T f Y mielivaltainen. Koindusoidun topologian määritelmän mukaan f 1 (V ) T X. (2) Koska f : (X, T X ) (Y, T Y ) on oletuksen mukaan avoin kuvaus, niin ehdon (2) nojalla f(f 1 (V )) T Y. (3) Koska f on surjektio, niin f(f 1 (V )) = V, jolloin ehdon (3) nojalla V T Y. Väite (1) seuraa tästä. Lause 8.17 voidaan (todistusta aivan lievästi modifioimalla) muotoilla myös näin: Lause 8.18 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva surjektio, joka on lisäksi suljettu. Tällöin f on samastuskuvaus. Todistus. Olkoon T f Y kuvauksen f topologiasta T X koindusoima Y :n topologia. Pitää osoittaa, että T f Y = T Y. Koska f on jatkuva, niin lauseen 8.4 nojalla T Y T f Y, joten riittää osoittaa, että T f Y T Y. (1) Olkoon tätä varten V T f Y mielivaltainen. Koindusoidun topologian määritelmän mukaan f 1 (V ) T X. Tällöin X \ f 1 (V ) on suljettu avaruudessa (X, T X ). (2) Koska f : (X, T X ) (Y, T Y ) on oletuksen mukaan suljettu kuvaus, niin ehdon (2) nojalla f(x \ f 1 (V )) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). (3) Koska f on surjektio, niin f(x \ f 1 (V )) = Y \ V, jolloin ehdon (3) nojalla Y \ V on suljettu avaruudessa (Y, T Y ), ja siten V T Y. Väite (1) seuraa tästä. Seuraava lause on jatkossa käyttökelpoinen. 72

75 Lause 8.19 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja X kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva surjektio. Tällöin f on samastuskuvaus. Todistus. Lauseiden MA 15.5 ja MA nojalla f on suljettu, jolloin väite seuraa lauseesta Tekijätopologia Tässä luvussa tarkastellaan sitä, miten samastuskuvauksilla voidaan synnyttää uusia topologisia avaruuksia. Tätähän jo sivuttiin esimerkissä 8.10, jossa rautalangan päät liimattiin yhteen ja tuloksena oli ympyrä. Tässä esimerkissä ympyrässä oli tosin jo valmiina topologia, mutta jos ei olisi ollut, samastuskuvauksen koindusoima topologia olisi tuottanut sellaisen. Tätä topologiaa kutsuttaisiin sitten tekijätopologiaksi. Voi sitä nytkin kutsua tekijätopologiaksi, mutta kun se oli ympyrässä jo valmiina, niin ei tässä mitään uutta synny. Yleisesti asia on toisin, ja tämä tekijätopologia syntyy sellaisiin välillä melko ihmeellisiin kapineisiin, jossa topologisen avaruuden pisteitä on liimailtu sieltä sun täältä yhteen. Eräs vähän mielenkiintoisempi esimerkki on tason suorakaide, jonka vastakkaiset päät liimataan yhteen, jolloin tuloksena on sylinteri. Jos vielä tämän sylinterin päät liimataan yhteen, tuloksena on ns. toruspinta, joka muistuttaa uimarengasta. Jos ennen tuota ensimmäistä liimausta pyöräytetään suorakaide ympäri eli liimataan suorakaiteen päädyt ikään kuin väärin päin yhteen, niin tuloksena on ns. Möbiuksen nauha. Tämänhän voi tehdä vaikkapa paperista teippaamalla jonkun suikaleen päät yhteen. Sitä voi kokeilla, ja samalla voi kokeilla, mitä tapahtuu, kun tämän Möbiuksen nauhan leikkaa keskeltä halki. Ja kun sakset ja paperi ovat jo valmiiksi esillä, voi liimata Möbiuksen nauhan vastakkaiset sivut yhteen samaan tapaan kuin sylinteristä liimattiin torus. Tuloksena on ns. Kleinin pullo. Tästä pullosta on kylläkin aika paha juoda, eikä se liimailuoperaatiokaan taida ihan helppo olla paljon kannattaa varata paperia. Näiden leikkaa-liimaa askartelujen jälkeen asiaan. Määritellään ensin, mitä tarkoitetaan joukon osituksella. Intuitiivisesti ajatellen ositus on yksinkertaisesti joukon jako pistevieraisiin palasiin. Tarkka määritelmä on seuraava. Määritelmä 9.1 Olkoon X mielivaltainen joukko. Joukkoperhe R P(X) on joukon X ositus, jos R ja kaikille x X on olemassa yksikäsitteinen A R siten, että x A. Määritelmä 9.2 Jos R on joukon X ositus, niin voidaan määritellä joukon X relaatio R sopimalla, että x,y X ovat relaatiossa R, merkitään xry, jos x,y A samalle A R. Sanotaan, että tämä on ositukseen R liittyvä ositusrelaatio. 73

76 Lause 9.3 Olkoon R joukon X ositus. Tällöin siihen liittyvä ositusrelaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Refleksiivisyys seuraa siitä, että jokainen X:n alkio sisältyy ainakin yhteen osituksen alkioon. Symmetrisyys on pätee triviaalisti. Transitiivisuus seuraa siitä, että jokainen X:n alkio sisältyy korkeintaan yhteen osituksen alkioon. Määritelmä 9.4 Olkoon X epätyhjä joukko ja R joukon X ekvivalenssirelaatio. Merkitään kaikilla x X symbolilla [x] R alkion x määräämää ekvivalenssiluokkaa, eli [x] R = {y X yrx} P(X). Sanotaan, että näiden ekvivalenssiluokkien muodostama joukko on ekvivalenssirelaation R määräämä tekijäavaruus, jota merkitään symbolilla X/R. Siis X/R = {[x] R x X}. Määritellään edelleen ekvivalenssirelaation R määräämä tekijäkuvaus p R : X X/R asettamalla p R (x) = [x] R kaikille x R. Lemma 9.5 Olkoon X epätyhjä joukko ja R X:n ekvivalenssirelaatio, p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus ja A X/R. Tällöin pätee p 1 R (A) = A. Todistus. Tämän näkee näin: x p 1 R (A) p R (x) A [x] R A A A on olemassa A A siten, että [x] R = A i) on olemassa A A siten, että x A ii) x A. A A Tässä ekvivalenssi i) seuraa siitä, että x kuuluu täsmälleen yhteen A:n alkioon eli ekvivalenssiluokkaan eli nimenomaan luokkaan [x] R. Ekvivalenssi ii) on yhdisteen määritelmä. Seuraavaksi topologisoidaan tekijäjoukko edellyttäen, että perusjoukossa X on topologia. Määritelmä 9.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Sanotaan, että tekijäjoukon X/R tekijätopologia on kuvauksen p R topologiasta T koindusoima topologia. 74

77 Nyt kun tekijäavaruus on topologisoitu, voidaan esittää ensimmäiset siihen liittyvät topologiset tulokset. Lause 9.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Varustetaan tekijäjoukko X/R tekijätopologialla T X/R. Tällöin kuvaus p R : (X, T ) (X/R, T X/R ) on samastuskuvaus. Todistus. Suoraan määritelmistä. Lause 9.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Varustetaan tekijäjoukko X/R tekijätopologialla T X/R. Tällöin kuvaus p R : (X, T ) (X/R, T X/R ) on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa lauseista 9.7 ja Lause 9.9 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja R joukon X ekvivalenssirelaatio. Varustetaan tekijäjoukko X/R tekijätopologialla T X/R. Tällöin A X/R on avoin avaruudessa (X/R, T R ) jos ja vain jos joukko A A A on avoin avaruudessa (X, T ). Todistus. Olkoon p R : X X/R tekijäkuvaus. Tällöin i) A X/R on avoin avaruudessa (X/R, T R ) p 1 R (A) on avoin avaruudessa (X, T ) A on avoin avaruudessa (X, T ), ii) A A joten väite pätee. Tässä ekvivalenssi i) tulee tekijätopologian määritelmästä ja ekvivalenssi ii) lemmasta 9.5. Lause 9.10 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Varustetaan tekijäjoukko X/R tekijätopologialla T X/R. Olkoon (Y, T Y ) jokin topologinen avaruus ja f : X/R Y kuvaus. Tällöin f : (X/R, T X/R ) (Y, T Y ) on jatkuva jos ja vain jos f p R : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 8.8. Määritelmä 9.11 Olkoon X epätyhjä joukko, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Olkoon A X. Sanotaan, että A on saturoitu relaation R suhteen, jos kaikille a A pätee p 1 R ({p R(a)}) A. 75

78 Huomautus. Intuitiivisesti (ja käytännössä) saturoituneisuus tarkoittaa sitä, että mikään A:n alkio ei ole relaatiossa R minkään ulkopuolisen eli joukon X \ A alkion kanssa. Lause 9.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Varustetaan joukko X/R tekijätopologialla T X/R. Olkoon A X saturoitu avoin osajoukko. Varustetaan A X ja p R (A) X/R vastaavilla aliavaruustopologioilla T A ja T pr(a). Tällöin rajoittumakuvaus (p R ) A : (A, T A ) (p R (A), T pr(a)) on samastuskuvaus. Lisäksi p R (A) on avoin tekijäavaruudessa (X/R, T X/R ). Todistus. Väite seuraa saturoituneisuusoletuksen nojalla lauseista 8.16 ja 9.7. Määritelmä 9.13 Olkoon X joukko ja A X. Määritellään joukkoperhe R A asettamalla R A = {A} {{x} x X \ A} P(X). Tällöin R A on selvästi joukon X ositus, ja määrää siten lauseen 9.3 mukaisesti ekvivalenssirelaation joukossa X. Merkitään tätä ekvivalenssirelaatiota symbolilla R A ja sanotaan, että se on joukon A X määräämä X:n ekvivalenssirelaatio. Olkoon Y jokin toinen joukko ja f : X Y kuvaus. Määritellään joukkoperhe R f asettamalla R f = {f 1 ({f(x)}) x X} P(X). Tällöin R f on selvästi joukon X ositus, ja määrää siten lauseen 9.3 mukaisesti ekvivalenssirelaation joukossa X. Merkitään tätä ekvivalenssirelaatiota symbolilla R f ja sanotaan, että se on funktion f : X Y määräämä X:n ekvivalenssirelaatio. Huomautus 9.14 Olkoon R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p X : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Jos merkitään f = p X, niin R f = R. Tämä seuraa siitä, että jos x ja y ovat relaatiossa R, niin p R (x) = p R (y) eli f(x) = f(y), jolloin x ja y ovat myös relaatiossa R f. Kääntäen, jos x ja y ovat relaatiossa R f, niin f(x) = f(y) eli p R (x) = p R (y), jolloin x ja y ovat myös relaatiossa R f. Esimerkki 9.15 Palataan esimerkkiin 8.10, jossa haluttiin liimata välin [0, 1] päätepisteet yhteen ja saada aikaan ympyrä. Määritelmän 9.13 mielessä tässä esimerkissä valitaan A = {0, 1} [0, 1] eli A sisältää täsmälleen ne pisteet, jotka halutaan samastaa eli liimata yhteen. Liimauksen jälkeen (määritelmän

79 merkinnöin) tarkasteltavana on tekijäavaruus [0,1]/R A, ja luonnollinen kysymys on, että onnistuiko tämä, eli tuliko ympyrä, ts. ovatko [0,1]/R A tekijätopologialla varustettuna ja toisaalta esimerkin 8.10 ympyrä (Y, T e ) homeomorfisia keskenään. Kyllä ne ovat, mutta tätä ei vielä ihan osata todistaa. Todistus saadaan lauseen 9.23 avulla esimerkissä Tässä ympyräesimerkissä voidaan tarkastella myös esimerkin 8.10 kuvausta f. Tälle pätee ilmeisesti R A = R f, joten tekijäavaruus syntyy myös tätä kautta.yleisesti kuitenkin funktion f antaman ekvivalenssirelaation R f synnyttämä tekijäavaruus on monikäyttöisempi kuin joukon A antama, koska R A :ssa samastetaan kaikki A:n pisteet keskenään ja mitään muita samastuksia ei tehdä. Funktiota käytettäessä samastuskuvio voi olla hienosyisempi. Tarkastellaan esimerkiksi euklidisen tason yksikköneliötä N = {(x, y) 0 x,y 1}. Liimataan sen pystyreunat {(0,y) 0 y 1} ja {(1,y) 0 y 1} yhteen, mutta mitään muita samastuksia ei tehdä. Tällöinhän pitäisi syntyä sylinteri. Tässä voi käyttää esimerkiksi kuvausta f : N R 3, f(x,y) = (cos 2πx,sin 2πx,y). Tämä samastaa juuri sen mitä haluttiin ja vastaava tekijäavaruus (N/R f, T Rf ) pitäisi sitten oleman homeomorfinen sylinterin S = {(x,y,z) R 3 x 2 + y 2 = 1, 0 z 1} (varustettuna euklidisella alivaruustopologialla) kanssa. Tähän palataan esimerkissä Toisaalta tätä tekijäavaruutta voidaan pitää sylinterin määritelmänä, joten tehtävänä on todistaa, että nämä kaksi erilaista sylinterin määritelmää N/R f ja S johtavat samaan lopputulokseen eli ovat homeomorfisia. Tässä jälkimmäisessä esimerkissä ei tietysti tarvita koko kuvausta f lainkaan, kunhan vain kerrotaan mikä on ekvivalenssirelaatio R f tai mitkä ovat sen määräämät ekvivalenssiluokat eli vastaavan tekijäavaruuden alkiot. Tässä tapauksessahan luokat ovat {(0,y),(1,y)} kaikille 0 y 1 {(x,y)} kaikille 0 < x < 1 ja 0 y 1. Tarkastellaan sitten esimerkin 9.13 ekvivalenssirelaatiota R A, missä A X on jokin joukko ja erityisesti tekijäavaruutta X/R A. Intuitiivisestihan tässä tapahtuu sellaista, että joukon A alkiot liimataan kaikki yhteen yhdeksi tekijäavaruuden pisteeksi {A} ja kaikki muut X:n pisteet jätetään ennalleen, joten niiden määräämät ekvivalenssiluokat eli avaruuden X/R A alkiot ovat kaikki yksiöt {x}, x X \ A. Silloin X/R A on joukko ja X/R A = {{x} x X \ A} {{A}}. Topologisesti tässä tapahtuu seuraavaa. 77

80 Lause 9.16 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X suljettu. Varustetaan tekijäavaruus (X/R A ) tekijätopologialla T RA. Olkoon p RA : X X/R A tekijäkuvaus. Tällöin ja rajoittumakuvaus p RA (X \ A) = X/R A \ {{A}} (1) p RA X\A : X \ A X/R A \ {{A}} on homeomorfismi, (2) kun varustetaan aliavaruudet aliavaruustopologioilla. Lisäksi joukko X/R A \ {{A}} on avoin ja yksiö {{A}} suljettu (3) avaruudessa (X/R A, T RA ). Todistus. Koska X/R A = {{x} x X \ A} {{A}}, niin X/R A \ {{A}} = {{x} x X \ A}. (4) Koska kaikille x X \ A pätee relaation R A määritelmän mukaan niin väite (1) seuraa esityksestä (4). Ehdon (5) nojalla ilmeisesti p RA (x) = [x] RA = {x}, (5) p RA X\A : X \ A X/R A \ {{A}} on injektio. (6) Ehtojen (1) ja (6) nojalla rajoittumakuvaus p RA X\A : X \ A X/R A \ {{A}} on bijektio. (7) Lauseiden 9.8, 5.14 ja 5.17 nojalla rajoittumakuvaus p RA X\A : X \ A X/R A \ {{A}} on jatkuva. (8) Ehtojen (7) ja (8) sekä lauseen 3.19 nojalla väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että, rajoittumakuvaus p RA X\A : X \ A X/R A \ {{A}} on avoin. (9) Olkoon tätä varten U X \ A mielivaltainen avoin joukko aliavaruustopologiassa. Pitää osoittaa, että p RA X\A (U) on avoin joukon X/R A \ {{A}} aliavaruustopologiassa. (10) Koska A X on oletuksen mukaan suljettu, niin X \ A on avoin, ja silloin lauseen 5.6 mukaan U on avoin myös topologiassa T. (11) 78

81 Koska U X \ A, niin ilmeisesti U on saturoitu relaation R A suhteen, ks. määritelmä 9.6. Tällöin ehdon (11) ja lauseen 9.12 nojalla Koska U X \ A, niin ehdon (1) nojalla p RA (U) on avoin topologiassa T RA. (12) p RA (U) X/R A \ {{A}}. Silloin väite (10) seuraa ehdosta (12) ja lauseesta 5.5. Näin väite (2) on todistettu. Väite (3) seuraa ehdosta (1) ja lauseesta 9.12, sillä A on suljettu, joten X \ A on avoin ja ilmeisesti saturoitu. Esimerkki 9.17 Palataan taas rautalankaesimerkkiin 18.10, jossa janan päät samastettiin, ja väitettiin, että näin syntyy ympyrä. Tässähän joukko A on {0, 1} eli välin [0, 1] päätepisteiden joukko. Lause 9.16 ei vielä aivan sano sitä, että tekijäavaruus [0,1]/R A on ympyrä, mutta kertoo, että jos tästä tekijäavaruudesta poistetaan yksi piste {A}, niin jäljelle jäävä osuus tekijäavaruudesta on homeomorfinen avoimen välin ]0, 1[ kanssa. Tämä on kohtalaisen lähellä sitä, mitä halutaan, mutta toisaalta on sanottava, että juuri kiinnostavin osa tästä tekijäavaruudesta eli liimauspiste jää hämärän peittoon. Tätä hämäryyttä valaisee myöhemmin esitettävä esimerkki Määritelmää 9.20 ja siinä tarvittavia lemmoja 9.18 ja 9.19 varten muistutetaan mieleen määritelmä 9.13 ja erityisesti kuvauksen f : X Y määräämä X:n ekvivalenssirelaatio R f. Lemma 9.18 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja ja f : X Y kuvaus sekä R f kuvauksen f määräämä joukon X ekvivalenssirelaatio. Tällöin määrittely f ([x] Rf ) = f(x) kaikille [x] Rf X/R f antaa hyvin määritellyn kuvauksen f : X/R f Y. Todistus. Tässähän ei ole muuta todistamista kuin se, että f :n määritelmä on riippumaton valitusta ekvivalenssiluokan edustajasta. Olkoon siis Pitää osoittaa, että [x] Rf = [y] Rf, x,y X. (1) f(x) = f(y). (2) Koska ehdon (1) ja ekvivalenssiluokan [x] Rf määritelmän mukaan y [y] Rf = [x] Rf = f 1 ({f(x)}), niin f(y) {f(x)}, josta väite (2) seuraa. Lemma 9.19 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja ja f : X Y kuvaus sekä R f kuvauksen f määräämä joukon X ekvivalenssirelaatio ja p Rf : X X/R f vastaava tekijäkuvaus. Olkoon f : X/R f Y kuten lemmassa Tällöin pätee f = f p Rf. 79

82 Todistus. Kuvausten f ja p Rf määritelmien mukaan saadaan kaikille x X f p Rf (x) = f (p Rf (x)) = f ([x] Rf ) = f(x), josta väite seuraa. Määritelmä 9.20 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja ja f : X Y kuvaus sekä R f kuvauksen f määräämä joukon X ekvivalenssirelaatio ja p Rf : X X/R f vastaava tekijäkuvaus. Määritellään kuvaus f : X/R f Y kuten lemmassa 9.18 eli f ([x] Rf ) = f(x) kaikille [x] Rf X/R f. Tällöin lemman 9.19 mukaan f = f p Rf. (1) Sanotaan, että kuvauksen f esitys (1) on f:n kanoninen hajotelma. Lause 9.21 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja ja f : X Y kuvaus sekä f = f p Rf kuvauksen f kanoninen hajotelma. Tässä hajotelmassa p Rf : X X/R f on surjektio ja f : X/R f Y on injektio. Todistus. Tekijäkuvauksen p Rf surjektiivisuus seuraa suoraan määritelmistä. f :n injektiivisyyttä varten olkoon Pitää osoittaa, että Ehdon (1) ja kuvauksen f määritelmän nojalla Tällöin f ([x] Rf ) = f ([y] Rf ). (1) [x] Rf = [y] Rf. (2) f(x) = f(y). y f 1 ({f(x)}) = [x] Rf. Väite (2) seuraa tästä, sillä ekvivalenssirelaatiossa alkio y voi kuulua vain yhteen ekvivalenssiluokkaan, joka on refleksiivisyyden perusteella luokka [y] Rf. Kuvauksen kanoninen hajotelma tehtiin ilman topologiaa. Nyt liitetään topologia mukaan tähän ja katsotaan, mitä tapahtuu. Lause 9.22 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva kuvaus. Varustetaan tekijäjoukko X/R f tekijätopologialla T X/Rf. Olkoon f = f p Rf kuvauksen f kanoninen hajoitelma. Tällöin kuvaus f : (X/R f, T X/Rf ) (Y, T Y ) on jatkuva. 80

83 Todistus. Koska f on jatkuva, niin väite seuraa lauseesta 8.8. Lause 9.23 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Varustetaan tekijäjoukko X/R f tekijätopologialla T X/Rf. Olkoon f = f p Rf kuvauksen f kanoninen hajoitelma. Tällöin f : (X/R f, T X/Rf ) (Y, T Y ) on homeomorfismi jos ja vain jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on samastuskuvaus. Todistus. Oletetaan ensin, että f on homeomorfismi. Silloin lauseen 8.13 nojalla f on samastuskuvaus. Lauseen 9.7 nojalla p Rf : (X, T X ) (X/R f, T X/Rf ) on myös samastuskuvaus, joten samastuskuvauksien yhdisteenä f = f p Rf on samastuskuvaus lauseen 8.15 mukaan. Oletetaan sitten kääntäen, että f on samastuskuvaus. Lauseen 9.21 nojalla f on injektio. (1) Koska f on samastuskuvaus, niin se on määritelmän mukaan surjektio. Tällöin, koska f = f p Rf, myös f on surjektio. (2) Väite (2) seuraa yleisestä joukko-opillisesta faktasta: jos α β on surjektio, niin α on surjektio. Ehtojen (1) ja (2) nojalla f on bijektio. (3) Koska f on samastuskuvaus, niin se on lauseen 8.12 nojalla jatkuva. Tällöin lauseen 9.22 nojalla f on jatkuva. (4) Väite f :n homeomorfisuudesta seuraa ehdoista (3) ja (4) sekä lauseesta 3.19, jos osoitetaan, että Oletetaan tätä varten, että Riittää osoittaa, että f : (X/R f, T X/Rf ) (Y, T Y ) on avoin kuvaus. U on avoin avaruudessa (X/R f, T X/Rf ). (5) f (U) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). (6) Koska f : (X, T X ) (Y, T Y ) on samastuskuvaus, niin väite (6) voidaan koindusoidun topologian määritelmää käyttäen kirjoittaa ekvivalenttiin muotoon f 1 (f (U)) on avoin avaruudessa (X, T X ). 81

84 Tämän väitteen näkee oikeaksi näin: f 1 (f (U)) i) = (f p Rf ) 1 (f (U)) = p 1 R f ((f ) 1 (f (U))) ii) = p 1 R f (U) iii) T X, missä yhtälö i) tulee hajotelmasta f = f p Rf ja yhtälö ii) seuraa siitä, että (f ) 1 (f (U)) = U f :n bijektiivisyyden nojalla. Ehto iii) saadaan tekijätopologian T X/Rf määritelmästä ja ehdosta (5). Merkintä 9.24 Olkoon X epätyhjä joukko ja R joukon X ekvivalenssirelaatio sekä A X. Tällöin R määrää luonnollisella tavalla ekvivalenssirelaation myös joukkoon A, kun sovitaan, että A:n alkiot ovat relaatiossa R, jos ne ovat sitä X:n alkioina. Tämä A:n relaatio on selvästi myös ekvivalenssirelaatio. Sanotaan, että se on R:n rajoittumarelaatio ja merkitään tätä joukon A relaatiota symbolilla R A. Lause 9.25 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, R joukon X ekvivalenssirelaatio ja p R : X X/R vastaava tekijäkuvaus. Varustetaan joukko X/R tekijätopologialla T X/R. Olkoon A X saturoitu ja avoin osajoukko. Varustetaan A X ja p R (A) X/R vastaavilla aliavaruustopologioilla T A ja T pr(a) Olkoon R A merkinnän 9.24 mukainen rajoittumaekvivalenssirelaatio joukossa A. Varustetaan tekijäavaruus A/R A tekijätopologialla T A/R A. Tällöin avaruudet ovat homeomorfisia keskenään. (A/R A, T A/R A) ja (p R (A), T pr(a)) Todistus. Merkitään f = (p R ) A, jolloin f:ää voidaan tarkastella kuvauksena f : (A, T A ) (p R (A), T pr(a)). (1) Huomautuksen 9.14 nojalla ja merkinnän 9.24 mukaisesti R f = R A. Tällöin väite tulee muotoon (A/R f, T A/Rf ) (p R (A), T pr(a)). (2) Väite (2) seuraa lauseesta 9.23 ehtoa (1) käyttäen, jos osoitetaan, että f = (p R ) A : (A, T A ) (p R (A), T pr(a)) on samastuskuvaus. (3) Väite (2) seuraa lauseesta 9.12, koska A on oletuksen mukaan saturoitu ja avoin. Esimerkki 9.26 (Ympyrä) Jatketaan esimerkeissä 8.10, 9.15 ja 9.17 vähän hämärän peittoon jääneen esimerkin käsittelyä. Tässähän on tilanne sellainen, että janan [0, 1] päätepisteet liimattiin yhteen ja väitettiin, että tuloksena oli ympyrä tai vähän täsmällisemmin sanottuna syntyvä tekijäavaruus on homeomorfinen euklidisen ympyrän Y = {x R 2 x = 1} kanssa. 82

85 Tämä todistetaan nyt lauseen 9.23 avulla. Jotta lausetta 9.23 voidaan soveltaa, täytyy ensin keksiä sopiva kuvaus, joka samastaa janan pisteet oikein eli tässä tapauksessa päätepisteet pitää kuvata samaan paikkaan, mutta mitään muuta ei samasteta. Mielellään tietysti kuvajoukon pitäisi olla haluttu ympyrä. Tällainen kuvaus on jo ollut esimerkissä Valitaan kuvaus f : [0,1] Y asettamalla f(x) = (cos 2πx,sin 2πx) kaikille x [0,1]. Tämä samastaa ilmeisesti juuri halutulla tavalla. Tällöin lauseen 9.23 mukaan f:n kanonisessa hajotelmassa oleva f : (X/R f, T Rf ) (Y, T e ) on haluttu homeomorfismi, kunhan vain huolehditaan siitä, että f on samastuskuvaus. Tätä varten meillä on lause 8.19, joka kertoo, että metristen avaruuksien tilanteessa (tässähän sekä välin [0,1] itseisarvotopologia sekä ympyrän Y topologia ovat metrisiä) lähtöjoukon X ollessa kompakti (väli [0,1] on kompakti) riittävä ehto sille, että f on samastuskuvaus, on f:n surjektiivisuus ja jatkuvuus. Valittu f täyttää nämä vaatimukset selvästi. Näin lopulta rautalanka on saatu taivutettua ympyräksi. Esimerkki 9.27 (Sylinteri) Esimerkissä 9.15 tarkasteltiin myös tason yksikköneliötä N = {(x,y) 0 x,y 1}. Sen reunajanat {(0,y) 0 y 1} ja {(1,y) 0 y 1} liimattiin yhteen, mutta mitään muita samastuksia ei tehty. Tällöin piti syntymän sylinteri. Tässä siis käytettävä ekvivalenssirelaatio on sellainen, että sen ekvivalenssiluokat ovat täsmälleen osajoukot {(0,y),(1,y)} kaikille 0 y 1 ja (1) {(x,y)} kaikille 0 < x < 1 ja 0 y 1. Jotta tässä voisi hyödyntää lausetta 9.23, pitää taas keksiä sopiva samastuskuvaus f. Koska väitteenä on, että vastaava tekijäavaruus on sylinteri, niin määritellään ensin sylinteri S sopimalla, että S = {(x,y,z) R 3 x 2 + y 2 = 1, 0 z 1} ja varustetaan se euklidisella topologialla T e. Nyt pitäisi siis keksiä jatkuva surjektio f : N S siten, että relaation R f ekvivalenssiluokat ovat tarkalleen ehdon (1) luokat. Tällainen kuvaus f oli esillä jo esimerkissä 9.15: f(x,y) = (cos 2πx,sin 2πx,y). On ilmeistä, että f toteuttaa vaaditut ehdot, jolloin lauseiden 9.23 ja 8.19 nojalla avaruudet (X/R f, T Rf ) ja (S, T e ) ovat homeomorfisia. Siten myös tämä liimaus tuotti toivotun tuloksen. 83

86 Esimerkki 9.28 (Möbiuksen nauha) Tässä liimataan neliön N sivuja yhteen kuten sylinterin tapauksessa, mutta käännetään ennen liimausta toinen sivu ympäri, jolloin ekvivalenssiluokiksi tulevat {(0,y),(1,1 y)} kaikille 0 y 1 ja (2) {(x,y)} kaikille 0 < x < 1 ja 0 y 1. Nyt onkin sitten vähän epäselvää, mikä on Möbiuksen nauhan esitys esimerkiksi avaruudessa R 3. Yleensä onkin tapana pitää Möbiuksen nauhan määritelmänä, että se on tekijäavaruus N/R, missä R:n ekvivalenssiluokat ovat kuten ehdossa (2). Nyt voidaan sitten yrittää löytää tähän sopiva funktio f, joka sitten kanonisen hajotelmansa avulla antaa upotuksen f : N/R f (N/R) R 3. Eräs tällainen kuvaus on f(x,y) = ([1+(y 1 2 )cos πx]cos 2πx, [1+(y 1 2 )cos πx]sin 2πx, (y 1 )sin πx). 2 Tämä f toteuttaa vaatimukset eli on jatkuva ja samastaa oikein. Surjektiohan se on kuvajoukolleen triviaalisti. Tuota kuvajoukon olemusta voi sitten ihmetellä. Netistä löytyy kuvia ja myös hauskoja videoita tähän liittyen hakusanalla Moebius band. Esimerkki 9.29 (Torus) Tässä liimataan neliön molemmat sivuparit yhteen ilman mitään käännöksiä. Silloin kaikki neljä nurkkapistettä liimautuvat yhteen ja syntyvät ekvivalenssiluokat ovat {(0,0),(1,0),(0,1)(1,1)}, {(0,y),(1,y)} kaikille 0 < y < 1, {(x,0),(x,1)} kaikille 0 < x < 1 {(x,y)} kaikille 0 < x,y < 1. ja Tämän tekijäavaruuden voi upottaa avaruuteen R 3, mutta helpoin upotus saadaan avaruuteen R 4 määrittelemällä f(x,y) = (cos 2πx,sin 2πx,cos 2πy,sin 2πy). Esimerkki 9.30 (Projektiivinen taso) Tässä käännetään molemmat sivuparit ympäri ennen liimausta, jolloin ekvivalenssiluokat ovat {(0,y),(1,1 y)} kaikille 0 y 1, {(x,0),(1 x,1)} kaikille 0 x 1 {(x,y)} kaikille 0 < x,y < 1. ja Tämä ei sitten enää uppoakaan avaruuteen R 3, ts. ei ole olemassa samastuskuvausta f : N R 3, joka samastaisi oikein. Avaruuteen R 4 upotus on mahdollista, mutta helpointa lienee upottaa avaruuteen R 7 kuvauksella f(x,y) = (cos πxsin 2πy, sin πxsin2πy, cos πy sin 2πx, sin πy cos 2πx, cos 2π(x + y), (2x 1)sin 2π(x + y), (2y 1)sin 2π(x + y)). 84

87 Esimerkki 9.31 (Kleinin pullo) Tässäkin liimataan neliön molemmat sivuparit yhteen ja käännetään toinen ympäri ennen liimausta, toista ei. Silloin ekvivalenssiluokat ovat {(0,0),(1,0),(0,1)(1,1)}, {(0,y),(1,1 y)} kaikille 0 < y < 1, {(x,0),(x,1)} kaikille 0 < x < 1 {(x,y)} kaikille 0 < x,y < 1. Tätäkään ei voi upottaa avaruuteen R 3, mutta R 4 :een upotus on mahdollista. Jätetään harjoitustehtäväksi keksiä upotus johonkin avaruuteen R n. Nämä upotusten olemassaolokysymykset ovat tärkeitä siinä mielessä, että jos (X, T ) voidaan upottaa avaruuteen R n eli on olemassa homeomorfismi ϕ : X ϕ(x) R n, missä R n :ssä on euklidinen, siis metrinen topologia, niin tämän homeomorfismin kautta X:ään voidaan myös määritellä metriikka, jonka antama topologia on sama kuin alkuperäinen T. Tällöin sanotaan, että X:n topologia on metrisoituva tähän asiaan palataan heti seuraavassa luvussa. Erityisesti siis projektiivisella tasolla ja Kleinin pullolla voidaan määritellä metriikka, jonka antama topologia on sama kuin alkuperäinen tekijätopologia. 10 Metrisoituvat topologiset avaruudet Määritelmä 10.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on metrisoituva, jos on olemassa X:n metriikka d siten, että T = T d. Lause 10.2 Olkoon (X, T X ) metrisoituva topologinen avaruus, (Y, T Y ) jokin topologinen avaruus ja f : (X, T X ) (Y, T Y ) homeomorfismi. Tällöin myös (Y, T Y ) on metrisoituva. Todistus. Koska (X, T X ) on metrisoituva, niin on olemassa X:n metriikka d X siten, että T X = T dx. Määritellään joukkoon Y metriikka d Y asettamalla d Y (y,y ) = d X (f 1 (y),f 1 (y )) kaikille y,y Y. Koska f on bijektio, niin d Y on hyvin määritelty, ja f:n bijektiivisyyttä käyttäen nähdään helposti, että d Y on todella metriikka joukossa Y. Olkoon T dy tämän metriikan määräämä Y :n topologia. Väite seuraa lauseesta 3.20, jos osoitetaan, että id Y : (Y, T dy ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. (1) Metriikan d Y määritelmän nojalla f 1 : (Y,d Y ) (X,d) on isometria. (2) Lauseen MA 9.13 ja ehdon (2) nojalla bijektiivinen f 1 : (Y,d Y ) (X,d) on homeomorfismi eli f 1 : (Y, T dy ) (X, T dx ) on homeomorfismi. (3) ja 85

88 Koska T = T dx, niin ehdon (3) nojalla f 1 : (Y, T dy ) (X, T X ) on homeomorfismi. (4) Koska oletuksen mukaan myös f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi ja homeomorfismien yhdiste on homeomorfismi, niin ehdon (4) nojalla f f 1 : (Y, T dy ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. Väite (1) seuraa tästä, sillä f f 1 = id Y. Esimerkki 10.3 Abstrakti Cantorin joukko (esim. 7.26) on metrisoituva, koska se on homeomorfinen konkreettisen Cantorin joukon kanssa, jonka topologia puolestaan on R:n itseisarvometriikan indusoima ja siten metrinen. Olkoon {(X α, T α )} α I perhe metrisoituvia topologisia avaruuksia ja varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Nyt voidaan kysyä, että onko tuloavaruus (X, T X ) metrisoituva. Jos I on äärellinen, niin vastaus on myöntävä tämä todistettiin oleellisesti lauseessa 7.5. Mielivaltaiselle I vastaus on kuitenkin kielteinen, esimerkiksi avaruuden R R tulotopologia ei ole metrisoituva. Jätetään tämän todistaminen (vaikeahkoksi) harjoitustehtäväksi. Tässä tapahtuu kuitenkin varsin yllättävä ilmiö, sillä osoittautuu, että numeroituvan indeksijoukon I tapauksessa tuloavaruuskin on metrisoituva. Esimerkiksi siis Hilbertin kuutiossa [0,1] N on metriikka, joka antaa sen tulotopologian. Tämä todistetaan seuraavassa lauseessa, mutta jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, mikä se Hilbertin kuution metriikka konkreettisesti oikeastaan on. Lause 10.4 Olkoon I numeroituva joukko ja {(X i, T i )} i I perhe metrisoituvia topologisia avaruuksia ja (X, T X ) niiden tuloavaruus. Tällöin (X, T X ) on metrisoituva. Todistus. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi voidaan olettaa, että I = N. Tämä oletus ei aiheuta mitään rajoituksia, sillä numeroituvuusoletuksen nojalla on olemassa bijektio ϕ : I N, ja todistuksen jatkossa voitaisiin haluttaessa korvata luvut j N luvuilla ϕ(i), i I, mutta niin ei nyt haluta, vaan yksinkertaistetaan esitystä oletuksella I = N. Koska oletuksen mukaan avaruudet (X j, T j ), j N ovat metrisoituvia, niin kaikille j N on olemassa joukon X j metriikka d j, jolle pätee T j = T dj. (1) Yksinkertaistetaan esitystä vielä sillä, että oletetaan jokaisen metriikan d j olevan rajoitettu. Tämän oletuksen oikeutus pohjautuu lauseeseen MA 10.14, jonka mukaan jokainen metriikka d j on ekvivalentti jonkun rajoitetun metriikan d j kanssa. Ekvivalentit metriikat määräävät (määritelmän mukaan) samat topologiat, joten ehdon (1) nojalla T j = T d j kaikille j N. (2) 86

89 Koska tulotopologian T määritelmä ei ole kiinnostunut mahdollisista metriikoista, vaan ainoastaan topologioista T j, niin ehdon (2) nojalla voidaan siirtyä meriikkojen d j käyttöön. Itse asiassa lauseessa MA todistettiin, että metriikat d j voidaan valita niin, että d j (X j) 1 kaikille j N, joten voidaan olettaa, että myös tämä ehto pätee. Ja lopullinen viimeistely merkintöjen yksinkertaistuksessa on se, että jätetään nämä metriikkojen d j pilkut kirjoittamatta eli oletetaan, että d j (X j ) 1 kaikille j N. (3) Oletuksen (3) nojalla kaikille x,y X ja kaikille j N pätee d j (x(j),y(j)) 1, jolloin kaikille j N pätee myös 1 j d j(x(j),y(j)) 1, ja silloin sup{ 1 j d j(x(j),y(j)) j N} on reaalinen. Itse asiassa oletuksen (3) nojalla pätee myös 1 j d j(x(j),y(j)) 0 R:n itseisarvometriikassa, jolloin ilmeisesti sup{ 1 j d j(x(j),y(j)) j N} = max{ 1 j d j(x(j),y(j)) j N}. Tällä perusteella voidaan määritellä haluttu joukon X metriikka d asettamalla d(x,y) = max{ 1 j d j(x(j),y(j)) j N} R kaikille x,y X. Pitää ensin osoittaa, että tämä on todella metriikka joukossa X. Positiivisuus ja symmetrisyys ovat selvästi voimassa. Lisäksi d(x,y) = 0 d j (x(j),y(j)) = 0 kaikille j N x(j) = y(j) kaikille j N x = y, joten todistettavaksi jää kolmioepäyhtälö. Jos x,y,z X, niin kaikille j N pätee 1 j d j(x(j),z(j)) 1 j d j(x(j),y(j)) + 1 j d j(y(j),z(j)) d(x,y) + d(y,z), joten maksimin määritelmän mukaan eli kolmioepäyhtälökin pätee. d(x,z) d(x,y) + d(y,z), Lauseen väitteen todistamiseksi pitää siis vielä osoittaa, että T X = T d. (4) 87

90 Osoitetaan ensin, että T d T X. (5) Koska lauseen MA 3.8 nojalla joukkoperhe B d = {B d (a,r) a X, r > 0} on topologian T d kanta, niin esimerkin 2.12 a) nojalla väite (5) seuraa, jos osoitetaan, että B d T X. (6) Olkoon tätä varten B d (a,r) B d mielivaltainen. Olkoon kaikille j N pr j : X X j projektiokuvaus. Koska joukko {j N j 1 r } on äärellinen, niin tulotopologian T X määritelmän ja ehdon (1) mukaan U := pr 1 j (B dj (a(j),rj) T X. (7) j N, j 1 r Ehdon (7) nojalla väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että Tämän näkee näin: x U U = B d (a,r). (8) i) pr j (x) B dj (a(j),rj) kaikille j N, joille j 1 r ii) x(j) B dj (a(j),rj) kaikille j N, joille j 1 r d j (a(j),x(j)) < rj kaikille j N, joille jr 1 iii) d j (a(j),x(j)) < rj kaikille j N 1 j d j(a(j),x(j)) < r kaikille j N iv) max{ 1 j d j(a(j),x(j)) j N} < r d(x,a) < r x B d (a,r), joten väite (8) ja siten myös väite (5) seuraa. Tässä ekvivalenssi i) seuraa joukon U määritelmästä ja ii) projektiokuvauksen määritelmästä. Ekvivalenssi iii) seuraa siitä, että kun jr > 1, niin ehdon (3) nojalla triviaalisti d j (a(j),x(j)) < rj. Ekvivalenssi iv) seuraa siitä, että kyseinen maksimi on olemassa kuten metriikan d määritelmän yhteydessä todettiin. 88

91 Ehdon (5) nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että T X T d. (9) Määritelmän 6.2 ja ehdon (1) nojalla tulotopologian T X eräs esikanta on E X = {pr 1 j (A j ) A j T dj, j N}. Tällöin lauseen 2.16 nojalla väite (9) seuraa, jos osoitetaan, että E X T d. (10) Olkoon tätä varten E E X mielivaltainen, jolloin on olemassa j N ja A j T dj siten, että E = pr 1 j (A j ). (11) Pitää siis osoittaa, että E T d eli että E on avoin metrisessä topologiassa T d. Tämähän tarkoittaa sitä, että kaikille x E pitää löytää r > 0 siten, että B d (x,r) E. (12) Olkoon tätä varten x E mielivaltainen. Ehdon (11) nojalla pr j (x) A j ja koska A j T dj niin on olemassa s > 0 siten, että B dj (pr j (x),s) A j. (13) Määritellään r = s j > 0. Riittää osoittaa, että tämä r toimii ehdossa (12). Olkoon sitä varten y B d (x,r). Riittää osoittaa, että y E. (14) Koska y B d (x,r), niin d(x,y) < r eli r:n valinnan nojalla d(x,y) < s j. Tällöin metriikan d määritelmän nojalla 1 j d j(x(j),y(j)) < s j, jolloin Ehtojen (15) ja (13) nojalla d j (x(j),y(j)) < s. (15) y(j) B dj (pr j (x),s) A j, 89

92 jolloin tekijäkuvauksen pr j määritelmän mukaan pr j (y) A j. (16) Väite (14) seuraa ehdoista (16) ja (11). Seuraavaksi esitetään monien sovellusten kannalta hämmästyttävän hyödyllinen Bairen kategorialause. Lauseesta on useita eri versioita, joista tässä monisteessa esitetään kaksi tai kuusi vähän laskutavasta riippuen. Näistä ensimmäinen tai ensimmäiset muotoillaan metrisessä (tai metrisoituvassä!) avaruudessa. Muut versiot ovat yleisempiä ja ne esitetään luvussa 16. Seuraava määritelmä kertoo (osittain) syyn siihen, miksi puhutaan Bairen kategorialauseesta, ks. myös lauseet 10.9 ja Tiheä joukko on määritelty aiemmin (1.18), mutta esitetään muistin virkistämiseksi sen määritelmä tässä samalla uudestaan. Määritelmä 10.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että A on tiheä avaruudessa X, jos A = X. Sanotaan, että A on harva, jos sulkeumalla A ei ole lainkaan sisäpisteitä. Sanotaan edelleen, että X:n osajoukko on ensimmäistä kategoriaa, jos se voidaan esittää korkeintaan numeroituvan monen harvan joukon yhdisteenä. Kaikki ne X:n osajoukot, jotka eivät ole ensimmäistä kategoriaa, ovat toista kategoriaa. Esimerkki 10.6 Tarkastellaan metristä avaruutta (R, d) missä d on itseisarvometriikka. Tällöin Q ja R \ Q ovat tiheitä joukkoja. Z on harva samoin kuin Cantorin konkreettinen joukko C. Tämän jälkimmäisen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Q ei ole harva, mutta ensimmäisen kategorian joukko se on, kuten kaikki numeroituvat (R,d):n osajoukot nehän voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä alkioidensa muodostamista yksiöistä, jotka ovat harvoja. Huomaa kuitenkin, että kaikki numeroituvat joukot kaikissa avaruuksissa eivät ole ensimmäisen kategorian joukkoja. Tämä johtuu siitä, että yksiön ei tarvitse olla harva. Jos esimerkiksi x on erakkopiste, niin yksiö {x} on paitsi suljettu myös avoin, ja silloin yksiön sulkeumalla on sisäpiste eli x. Muunkinlaisia esimerkkejä tästä löytyy, vaikkapa minitopologian suunnalta. Huomautus 10.7 Suoraan määritelmistä nähdään, että metrisessä avaruudessa joukko A (X,d) on tiheä, jos ja vain jos X \ A ei sisällä mitään palloa B d (x,r). Vastaavasti A on harva jos ja vain jos A ei sisällä mitään palloa B d (x,r). Huomautus. Näitä harvoja ja ensimmäisen kategorian joukkoja kannattaa ajatella niin, että harvoissa joukoissa on erittäin vähän pisteitä (kuten nimikin antaa ymmärtää) ja ensimmäisen kategorian joukoissa on vähän enemmän pisteitä. Toisen kategorian joukot ovat sitten suuria. Ensimmäisen kategorian joukkoja kutsutaan joskus myös (amerikan-)englannin kielisellä termillä meager eli laiha. Tämä on tietysti kuvaava termi, mutta kuulostaa naurettavalta, eikä käytetä sitä. 90

93 Huomautus. Triviaalisti harvojen joukkojen leikkaus on harva ja myös ensimmäisen kategorian joukkojen leikkaus on ensimmäistä kategoriaa, mutta tiheiden joukkojen leikkauksen ei tarvitse olla tiheä. Tästä on esimerkki kohdassa 10.6, jossa Q ja R \ Q ovat tiheitä, mutta niiden leikkaus on tyhjä, joka ei taatusti ole tiheä. Bairen lauseen ensimmäinen formulaatio kertoo, millä edellytyksillä tiheiden joukkojen leikkaus on myös tiheä. Lause 10.8 (Bairen kategorialause, versio 1.1) Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Olkoon I äärellinen tai numeroituva indeksijoukko ja {A i } i I perhe X:n osajoukkoja, jotka ovat tiheitä ja avoimia avaruudessa (X,d). Tällöin leikkausjoukko on tiheä avaruudessa (X,d). i I Huomautus. Bairen lauseessa on kolme oleellista vaatimusta: avaruuden (X, d) pitää olla täydellinen, joukkojen A i pitää olla avoimia ja indeksijoukko I saa olla korkeintaan numeroituva. Mitään näistä kolmesta vaatimuksesta ei voi jättää pois, muuten lause kaatuu. Avoimuusvaatimuksen välttämättömyys näkyy jo Bairen lausetta edeltävästä huomautuksesta, jossa on kaksi tiheää joukkoa Q ja R \ Q täydellisessä metrisessä avaruudessa (R,d), eikä näiden leikkaus ole tiheä. Indeksijoukon (korkeintaan) numeroituvuusvaatimuksen välttämättömyys näkyy samassa täydellisessä avaruudessa (R,d), kun valitaan I = R ja A i = R\{i} kaikille i I = R. Nämä joukot A i ovat avoimia ja tiheitä, mutta niidenkin leikkausjoukko on tyhjä. Avaruuden (X, d) täydellisyysvaatimus näkyy esimerkistä, jossa X = Q ja d on itseisarvometriikka. Avaruus (Q, d) ei ole täydellinen. Jos valitaan nyt I = Q (numeroituva) ja A i = Q \ {i} kaikille i I = Q, niin taas A i :t ovat avoimia ja tiheitä, mutta niiden numeroituva leikkausjoukko on tyhjä. Itse asiassa ensimmäinen Bairen lauseen sovellus saadaan tästä viimeisestä esimerkistä: (Q, d) ei voi olla täydellinen, koska muussa tapauksessa Bairen lauseen nojalla tällaista esimerkkiä ei voisi syntyä. Tietysti voi vähän viisastella ja sanoa, että ensimmäinen sovellus syntyi jo tuosta toisesta esimerkistä: R:n on oltava Bairen lauseen nojalla ylinumeroituva, jotta tällainen esimerkki voi syntyä. Tai tietysti jo ensimmäinen esimerkki kertoo, että ainakin toinen joukoista Q ja R \ Q on ei-avoin, mikä siis on (ehkä) kaikkein ensimmäisin Bairen lauseen sovellus. Bairen lauseen todistus. Oletuksen mukaan indeksijoukko I on äärellinen tai A i 91

94 numeroituva. Tällöin on olemassa surjektio ϕ : N I. Merkitään A = i I A i. Olkoon U X mielivaltainen epätyhjä avoin joukko. Tiheän joukon määritelmän mukaan väite seuraa, jos osoitetaan, että U A. (1) Konstruoidaan jono palloja B d (x n,r n ) X n N = {1,2,3,...} siten, että pätee B d (x 1,r 1 ) A ϕ(1) U, (2) B d (x n+1,r n+1 ) B d (x n,r n ) A ϕ(n+1) kaikille n N ja (3) r n < 1 n kaikille n N. (4) Aloitetaan pallosta B d (x 1,r 1 ), jota (suoranaisesti) koskevat vain säännöt (2) ja (4). Koska oletuksen mukaan A ϕ(1) on tiheä ja U on avoin, niin Tällöin voidaan valita A ϕ(1) U. x 1 A ϕ(1) U. (5) Koska oletuksen mukaan A ϕ(1) ja U ovat avoimia, niin myös A ϕ(1) U on avoin. Silloin ehdon (5) nojalla voidaan valita s, 0 < s < 1 siten, että B d (x 1,s) A ϕ(1) U. (6) Valitaan vielä r 1 = s/2, jolloin ehdon 0 < s < 1 nojalla vaatimus (4) toteutuu (kun n = 1), ja ehdon (6) nojalla toteutuu myös vaatimus (2), sillä B d (x 1,r 1 ) B d (x 1,s). Näin ensimmäinen pallo B d (x 1,r 1 ) on valittu sääntöjen mukaan. Oletetaan sitten, että on valittu pallot B d (x 1,r 1 ),...,B d (x n,r n ) niin, että vaatimukset (2) (4) toteutuvat. Seuraavaksi pitää valita pallo B d (x n+1,r n+1 ) siten, että ehdot (2) (4) saadaan voimaan. Itse asiassa vaatimus (2) ei koske enää tätä valintaa, joten riittää hoitaa valinta niin, että ehdot (3) ja (4) toteutuvat. Koska oletuksen mukaan A ϕ(n+1) on tiheä ja B d (x n,r n ) on avoin, niin Tällöin voidaan valita A ϕ(n+1) B d (x n,r n ). x n+1 A ϕ(n+1) B d (x n,r n ). (7) 92

95 Koska oletuksen mukaan A ϕ(n+1) on avoin ja lisäksi pallo B d (x n,r n ) on avoin, niin myös A ϕ(n+1) B d (x n,r n ) on avoin. Silloin ehdon (7) perusteella voidaan valita s, 0 < s < 1/n siten, että B d (x n+1,s) A ϕ(n+1) B d (x n,r n ). (8) Valitaan vielä r 1 = s/2, jolloin ehdon 0 < s < 1/n nojalla vaatimus (4) toteutuu, ja ehdon (8) nojalla toteutuu myös vaatimus (3), sillä B d (x n+1,r n+1 ) B d (x n+1,s). Näin syntyy jono palloja, jotka toteuttavat ehdot (2) (4). Tässä nyt kyllä taas tarvitaan valinta-aksioomaa, pelkkä rekursioperiaate ei riitä. Uskotaan kuitenkin, että pallojono voidaan näin valita. Ehdon (3) nojalla nähdään helposti induktiolla, että x m B d (x n,r n ) kaikille m n. (9) Koska ehdon (4) nojalla r n 0 kun n, niin ehdon (9) nojalla nähdään helposti, että (x n ) on avaruuden (X,d) Cauchy-jono. (10) Koska oletuksen perusteella (X,d) on täydellinen, niin ehdon (10) nojalla jono (x n ) suppenee avaruudessa (X,d), ts. on olemassa x X siten, että lim x n = x. (11) Ehtojen (9) ja (11) sekä lauseiden MA ja MA 6.29 nojalla Silloin ehdon (3) perusteella x B d (x n,r n ) kaikille n N. (12) x A ϕ(n) kaikille n N, joten x n N A ϕ(n) i) = i I A i = A, (13) missä yhtälö i) seuraa siitä, että ϕ : N I on surjektio. Toisaalta ehtojen (12) ja (2) perusteella x U. (14) Väite (1) seuraa ehdoista (13) ja (14). Seuraava Bairen kategorialause on lauseen 10.8 uudelleen formulaatio. Siinä nyt sitten saadaan nämä kategoriat myös muodollisesti peliin mukaan. Lause 10.9 (Bairen kategorialause, versio 1.2) Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja A X ensimmäisen kategorian joukko. Tällöin A:lla ei ole lainkaan sisäpisteitä. 93

96 Todistus. Riittää osoittaa, että X \ A on tiheä. (1) Koska A on ensimmäistä kategoriaa, niin se on harvojen joukkojen korkeintaan numeroituva yhdiste, ts. on olemassa korkeintaan numeroituva indeksijoukko I ja perhe {B i } i I harvoja joukkoja siten, että A = i I B i. (2) Jos I =, niin A =, jolloin väite (1) pätee. Voidaan siis olettaa, että I. Tällöin i I (X \ B i) on määritelty. Alkeisjoukko-opin ja ehdon (2) avulla nähdään, että X \ A = X \ B i = \ B i ). i I i I(X Tällöin väite (1) tulee muotoon (X \ B i ) on tiheä. (3) i I Koska kaikille i pätee B i B i, niin X \ B i X \ B i kaikille i, ja silloin \ B i ) i I(X (X \ B i ). (4) i I Lauseen 1.20 ja ehdon (4) nojalla väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että (X \ B i ) on tiheä. (5) i I Koska joukot B i ovat harvoja, niin määritelmän 10.5 mukaan sulkeumilla B i ei ole sisäpisteitä, mikä tarkoittaa sitä, että X \ B i on tiheä kaikille i I. (6) Koska sulkeumat B i ovat suljettuja, niin joukot X \ B i ovat avoimia. Tällöin väite (5) seuraa ehdosta (6) ja Bairen lauseen versiosta 1.1. Muotoillaan tästä Bairen lauseesta vielä yksi metrinen versio. Lause (Bairen kategorialause, versio 1.3) Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Tällöin X on toisen kategorian joukko. Todistus. Koska määritelmän 10.5 mukaan kaikki X:n osajoukot ovat joko ensimmäista tai toista kategoriaa, niin riittää osoittaa, että X ei ole ensimmäistä kategoriaa. Tämä seuraa Bairen lauseen versiosta 1.2, sillä kaikki X:n pisteet ovat (triviaalisti) sisäpisteitä. Bairen lauseen eri versioilla on valtava määrä erilaisia sovellusmahdollisuuksia. Seuraavassa muutama niistä. 94

97 Esimerkki Jokaisella täydellisen metrisen avaruuden (X, d) suljetulla ja korkeintaan numeroituvalla osajoukolla A on ainakin yksi erakkopiste. Tämä johtuu siitä, että lauseen MA 14.8 nojalla (A,d A ) on täydellinen metrinen avaruus, joten se ei Bairen lauseen version 1.3 nojalla voi olla ensimmäistä kategoriaa. Koska A voidaan esittää korkeintaan numeroituvana yhdisteenä A = a A {a}, niin ainakin yksi yksiöistä {a} ei ole harva avaruudessa (A,d A). Koska metrisen avaruuden yksiö on aina suljettu, niin {a} = {a}, ja siten harvan joukon määritelmän mukaan ainakin yhdellä yksiöistä {a} on sisäpiste. Tämä sisäpiste voi tietysti olla vain a, joka on silloin myös erakkopiste. Esimerkki Jos varustetaan R itseisarvometriikalla d, niin R itse on toista kategoriaa. Tämä seuraa suoraan Bairen versiosta 1.3. Myös joukko R\ Q on toista kategoriaa avaruudessa (R,d). Tämä nähdään epäsuorasti eli tehdään antiteesi: R \ Q on ensimmäistä kategoriaa. Esimerkin 10.6 nojalla myös Q on ensimmäisen kategorian joukko sekä suoraan määritelmän mukaan kahden ensimmäisen kategorian joukon yhdiste on myös ensimmäistä kategoriaa, jolloin R = (R \ Q) Q on ensimmäistä kategoriaa, mitä se ei ole, kuten yllä todettiin. Esimerkki Jos varustetaan R itseisarvometriikalla d, niin Cantorin konkreettinen joukko C on ensimmäistä kategoriaa, koska se on harva, kuten esimerkissä 10.6 todettiin. C on myös suljettu, mikä on kohtuullisen helppo nähdä tai ainakin uskoa jätetään tarkka todistus harjoitustehtäväksi. On myös helppo nähdä, että joukossa C ei ole erakkopisteitä; harjoitustehtävä tämäkin. Tällöin esimerkin nojalla C:n on oltava ylinumeroituva. Tämä ylinumeroituvuushan todistettiin jo huomautuksessa 7.30, eli ei tässä mitään uutta saatu aikaan, mutta esimerkki kuvastaa Bairen lauseiden monimuotoista käyttökenttää. Esimerkki Tässä edelleen varustetaan R itseisarvometriikalla d. Joukko Q voidaan esittää avoimien joukkojen leikkauksena: Q = (R \ {x}). x R\Q Sen sijaan Q:ta ei voi esittää korkeintaan numeroituvan monen avoimen joukon leikkauksena. Todistetaan tämä väite Bairen lauseen avulla. Avoimien joukkojen äärellisenä leikkauksena Q:ta ei selvästikään voi esittää, koska avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin ja Q ei ole avoin. Voidaan siis tehdä antiteesi: on olemassa numeroituva I ja perhe {A i } i I (R,d):n avoimia joukkoja siten, että Q = i I A i. (1) Koska myös Q on numeroituva, niin on olemassa bijektio ϕ : I Q. Määritellään kaikille i I B i = A i \ {ϕ(i)}. 95

98 Koska A i :t ovat avoimia, myös B i on avoin kaikille i I. (2) Ehdon (1) nojalla Q A i kaikille i, ja koska Q on tiheä, niin lauseen 1.20 nojalla A i on tiheä kaikille i. Joukon B i määritelmän ja joukkojen A i avoimuuden perusteella on ilmeistä, että B i = A i kaikille i, jolloin B i on tiheä kaikille i I. (3) Ehtojen (2) ja (3) sekä Bairen lauseen version 1.1 nojalla B i on tiheä. (4) i I Koska B i A i kaikille i, niin ehdon (1) nojalla A i = Q. (5) i I B i i I Toisaalta kaikille q Q pätee kuvauksen ϕ : I Q surjektiivisuuden nojalla q = ϕ(i q ) jollekin i q I. Silloin joukon B i määritelmän mukaan q B iq. Tällöin myös q i I B i. (6) Ehto (6) pätee siis kaikille q Q, jolloin Q i I B i =. (7) Ehtojen (5) ja (7) nojalla on oltava B i =. i I Tämä on mahdotonta ehdon (3) nojalla. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. Esimerkki Jatketaan oleskelua avaruudessa (R, d), missä d on itseisarvometriikka. Tarkastellaan joukon Q karakteristista funktiota χ Q : R R, joka määritellään asettamalla { 1 kun x Q χ Q (x) = 0 kun x R \ Q. On selvää, että χ Q on epäjatkuva, jopa niin, että se ei ole jatkuva missään pisteessä eli epäjatkuvuuspisteiden joukko on koko R. Nyt voidaan kysyä, että onko 96

99 olemassa jonoa (f n ) jatkuvia kuvauksia f n : R R siten, että f n χ Q. Koska jatkuvien funktioiden tasainen raja-arvo on lauseen MA mukaan jatkuva, niin ei ainakaan sellaista jonoa (f n ) löydy, jolle pätisi f n χ Q tasaisesti. Entä sitten pisteittäinen konvergenssi? Onko olemassa jonoa (f n ) jatkuvia kuvauksia f n : R R siten, että f n (x) χ Q (x) kaikille x R. (1) Tämä onkin paljon vaikeampi kysymys kuin tasaiseen konvergenssiin liittyvä. Huomaa, että vaikkapa funktiolle χ Z tällainen jono ilmeisesti löytyy: f n voidaan konstruoida niin, että se on enimmäkseen nolla, mutta jokaisen kokonaisluvun kohdalla kuvaajassa on terävä piikki, ja n:n kasvaessa tätä piikkiä kavennetaan ja terävöitetään. On melko selvää, että tällöin saadaan konvergenssi f n (x) χ Z (x) kaikille x R. Koska Q on numeroituva, niin voisi ajatella, että numerointikuvausta N Q käyttäen, nämä piikkikuvaukset voisi järjestää myös niin, että piikki tulisi jokaisen rationaaliluvun kohtaan, ja ehto (1) seuraisi. Näin ei kuitenkaan ole. Osoitetaan Bairen lausetta käyttäen, että ehtoa (1) ei saa voimaan millekään jatkuvien kuvausten jonolle (f n ). Tehdään antiteesi: ehdon (1) toteuttava jono (f n ) on olemassa siten, että f n :t ovat jatkuvia. Määritellään kaikille n N A n = fn 1 (] 1,2[) R. 2 Koska väli ] 1 2,2[ on avoin ja f n:t jatkuvia, niin Merkitään kaikille n N A n on avoin kaikille n N. B n = jolloin avoimien joukkojen yhdisteenä m n A m, B n on avoin kaikille n N. (1) Nyt pätee Q = n N B n. (2) Väite (2) vaatii pienen todistuksen. Jos q Q, niin joukkojen A n määritelmän ja oletuksen f n (q) χ Q (q) = 1 nojalla q A n suurille n, ja silloin q B n kaikille n eli q n N B n. Jos kääntäen oletetaan, että q n N B n eli q B n kaikille n, niin kaikille n on olemassa m n siten, että q A m eli f m (q) ] 1 2,2[. Silloin ei voi olla 97

100 f n (q) 0, joten oletuksen f n (q) χ Q (q) nojalla ei voi olla χ Q (q) = 0. Siten on oltava χ Q (q) = 1 eli q Q. Ehtojen (1) ja (2) nojalla Q on esitetty numeroituvan monen avoimen joukon leikkauksena. Tämä on kuitenkin mahdotonta esimerkin mukaan. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. Itse asiassa pätee paljon kovempikin tulos. Voidaan näet osoittaa, että jos (f n ) on jono jatkuvia funktioita, joka konvergoi pisteittäin kohti funktiota f, niin f:n epäjatkuvuuspisteiden joukko on (vain) ensimmäistä kategoriaa. Tämä tuloshan hoitelee kevyesti tuon esimerkkitapauksen, jossa rajafunktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on koko R, joka on toista kategoriaa esimerkin mukaan. Jätetään tämän kovemman tuloksen todistus superbonustehtäväksi. Esimerkki Jatketaan edelleen itseisarvometriikalla varustetussa R:ssä. Sovitaan ensin mikä on R:n väli. Yleisestihän tämä on selvä asia, mutta erityisesti nyt sovitaan, että tyhjä joukko ei ole väli, eikä välinä pidetä myöskään suljettua väliä [a, b], kun a = b. Siis yksiöt eivät ole välejä, jolloin jokaisella välillä (avoimella tai suljetulla) on sisäpiste. Tämän esimerkin tarkoituksena on osoittaa, että on olemassa jatkuva kuvaus f : [0,1] R, joka ei ole kasvava eikä vähenevä millään osavälillä I R. Tämä ei olekaan ihan helppoa. Yritä konstruoida tällainen funktio, niin huomaat, minkälaisia ongelmia tulee vastaan. Jos jatkuvuutta ei vaadita, niin silloinhan tämä on helppoa: vaikkapa χ Q [0,1] kelpaa esimerkiksi. Mutta teepä tuosta jatkuva. Esimerkin valossa homma näyttää aika hankalalta. Mutta ei hätää, Baire-setä tulee apuun. Tarkastellaan harjoitustehtävän MA 2.2 a) normiavaruutta X = C([0, 1], R), jossa on maksiminormi f max = max{ f(x) x [0,1]} ja sen indusoima metriikka d max. Tehtävän MA 6.6 nojalla (X,d max ) on täydellinen metrinen avaruus, joten Bairen lause on käytettävissä tässä avaruudessa. Tehtävässä MA 4.1 osoitettiin, että jos K X on kasvavien funktioiden osajoukko, niin K on suljettu eikä sillä ole lainkaan sisäpisteitä. Tämä merkitsee sitä, että K on harva joukko avaruudessa (X,d max ). Aivan vastaavalla tavalla voidaan nähdä, että jokaisella osavälillä I [0,1] joukko K I = {f X f I on kasvava} on harva avaruudessa (X,d max ). Tässä tarvitaan nyt sopimusta siitä, että väli ei ole tyhjä eikä yksiö. Edelleen vastaavasti nähdään, että jokaisella osavälillä I [0,1] joukko V I = {f X f I on vähenevä} on harva avaruudessa (X,d max ). Olkoon J = {[q 1,q 2 ] q 1,q 2 Q, 0 q 1 < q 2 1}. 98

101 Tällöin J on numeroituva, mikä johtuu viime kädessä siitä, että Q Q on numeroituva. Yllä sanotun mukaan kaikille [q 1,q 2 ] J joukot K [q1,q 2] ja V [q1,q 2] ovat harvoja avaruudessa (X,d max ). Koska J on numeroituva, niin tällöin A := ( K [q1,q 2]) ( [q 1,q 2] J [q 1,q 2] J V [q1,q 2]) on ensimmäisen kategorian joukko avaruudessa (X,d max ). (1) Koska (X,d max ) on täydellinen, niin Bairen lauseen version 1.3 mukaan se on toista kategoriaa, jolloin ehdon (1) nojalla X A. (2) Ehdon (2) nojalla on olemassa f X \ A. Tämä f on tavoiteltu ei millään välillä kasvava tai vähenevä funktio. Tämän osoittamiseksi tehdään antiteesi: on olemassa osaväli I [0, 1] siten, että f I on kasvava tai vähenevä. Koska I ei tehdyn sopimuksen mukaan ole yksiö, vaan oikea väli, jossa on sisäpisteitä, niin voidaan valita rationaaliluvut q 1 < q 2 siten, että [q 1,q 2 ] I. Tällöin triviaalisti myös f [q1,q 2] on kasvava tai vähenevä. Tällöin f K [q1,q 2] tai f V [q1,q 2], jolloin f A. Tämä on mahdotonta, koska f X \ A. Syntynyt ristiriita todistaa, että f on halutunlainen funktio. Huomaa, että tässä itse asiassa todistettiin paljon enemmänkin kuin tällaisen funktion olemassaolo. Jokainen f X \ A näet on haluttua tyyppiä, kuten tuo todistus osoittaa. Koska X on toista kategoriaa ja A vain ensimmäistä, niin X \ A on toista kategoriaa (vrt. esim ). Siten näiden ei millään välillä kasvavien tai vähenevien funktioiden joukko eli X\A on paljon, paljon suurempi kuin muunlaisten funktioiden joukko. Tätä ei heti uskoisi noin arkikokemuksen pohjalta, sillä satunnaisesti vastaan tuleva X:n alkio on lähes sadan prosentin varmuudella kasvava tai vähenevä edes jollakin osavälillä. Funktiojonon tasainen suppeneminen määriteltiin kohdassa MA Tämä on metrinen määritelmä, eikä sellaista voi kaikissa topologisissa avaruuksissa asettaa. On kuitenkin huomattava, että määritelmä MA vaatii metriikan vain kuvausten maaliavaruudelta itse asiassa lähtöavaruudessa ei välttämättä tarvita topologiaa lainkaan. Lauseessa osoitettiin, että tasaisessa konvergenssissa jatkuvien funktioiden rajafunktio on jatkuva. Tämä tulos pätee myös kun lähtöavaruus on mielivaltainen topologinen avaruus: Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (Y, d) metrinen avaruus sekä (f n ) jono jatkuvia kuvauksia f n : (X, T ) (Y,d). Olkoon lisäksi f : X Y kuvaus siten, että f n f tasaisesti X:ssä. Silloin myös f : (X, T ) (Y,d) on jatkuva. 99

102 Todistus. Lauseen MA todistuksessa edellytetään metriikkaa myös lähtöavaruudessa X. Esitetty metrinen todistus kuitenkin toimii tässäkin, kun siinä olevat pallot B X (a,δ) korvataan mielivaltaisilla a:n ympäristöillä avaruudessa (X, T ). Jätetään harjoitustehtäväksi varmistua tästä. Myöhempää käyttöä varten todistetaan tässä välissä tasaista konvergenssia koskeva aputulos. Lause Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja A jokin joukko. Olkoon (f n ) jono kuvauksia f n : A X. Oletetaan, että tällä jonolla on seuraava ominaisuus. Kaikille ǫ > 0 on olemassa n 0 N siten, että (1) kaikille n,m n 0 ja kaikille a A pätee d(f n (a),f m (a)) < ǫ. Tällöin on olemassa kuvaus f : A X siten, että f n f tasaisesti joukossa A. Todistus. Olkoon a A kiinteä. Ehdon (1) perusteella (f n (a)) on avaruuden (X, d) Cauchy-jono. Koska oletuksen mukaan (X, d) on täydellinen, tämä jono suppenee avaruudessa (X,d) eli on olemassa x a X siten, että lim f n (a) = x a. Tämä pätee kaikille a A, ja koska jonon raja-arvo on metrisessä avaruudessa yksikäsitteinen (MA 12.6), niin määrittely f(a) = a x = lim f n (a) kaikille a A antaa hyvin määritellyn kuvauksen f : A X. Tämä f on (luonnollisesti) väitteessä tavoiteltu kuvaus. Nyt kun sen määritelmä on järkevästi asetettu, riittää osoittaa, että f n f tasaisesti joukossa A. Olkoon tätä varten ǫ > 0. Pitää löytää n 0 N siten, että s n = sup{d(f n (a),f(a)) a A} < ǫ kaikille n n 0. (2) Oletuksen (1) nojalla on olemassa n 0 N siten, että kaikille n,m n 0 ja kaikille a A pätee d(f n (a),f m (a)) < ǫ 3. (3) Osoitetaan, että tämä n 0 toimii ehdossa (2). Tämä seuraa, jos osoitetaan, että kaikille n n 0 ja kaikille a A pätee d(f n (a),f(a)) < 2 ǫ. (4) 3 Olkoot tätä varten n n 0 ja a A mielivaltaisia. Koska f n (a) f(a), niin on olemassa k n 0 siten, että d(f k (a),f(a)) < ǫ 3. (5) 100

103 Tällöin saadaan arvio d(f n (a),f(a)) i) d(f n (a),f k (a)) + d(f k (a),f(a)) ii) < ǫ 3 + ǫ 3 = 2 3 ǫ, joten väite (4) seuraa. Tässä epäyhtälö i) on kolmioepäyhtälö ja epäyhtälö ii) seuraa ehdosta (3) (koska n,k n 0 ) ja ehdosta (5). Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A jokin joukko. Sanotaan, että kuvaus f : A X on rajoitettu, jos joukko f(a) X on rajoitettu. Merkitään F raj (A,X) = {f : A X f on rajoitettu}. Joukkoon F raj voidaan määritellä metriikka d sup asettamalla d sup (f,g) = sup{d(f(a),g(a)) a A} kaikille f,g F raj (A,X). Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että tämä on todella metriikka. Tässä ei ole ongelmia, kun huomataan ensin oletuksen f,g F raj (A,X) avulla, että d(f, g) on reaalinen. Tätä varten nimenomaan pitää tarkastella rajoitettuja kuvauksia, muussa tapauksessa supremum voi olla ääretön, eikä tästä virityksestä mitään metriikkaa synny. Lause Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A jokin joukko. Olkoon (f n ) joukon F raj (A,X) jono ja f F raj (A,X). Tällöin f n f avaruudessa (F raj (A,X),d sup ) jos ja vain jos f n f tasaisesti joukossa A. Todistus. Tämä seuraa suoraan määritelmistä. Lause Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A jokin joukko. Olkoon (f n ) joukon F raj (A,X) jono ja f : A X kuvaus siten, että f n f tasaisesti joukossa A. Tällöin myös f F raj (A,X). Todistus. Harjoitustehtävä. Huomaa kuitenkin, että ei tämä ihan triviaali ole. Esimerkiksi pisteittäinen konvergenssi ei riitä tässä. Kunhan saat todistuksen tehtyä, kehitä esimerkki, joka osoittaa, että rajoitettujen funktioiden pisteittäinen rajafunktio voi olla rajoittamaton. Lause Olkoon (X,d) täydellinen metrinen avaruus ja A jokin joukko. Tällöin myös metrinen avaruus (F raj (A,X),d sup ) on täydellinen. Todistus. Olkoon (f n ) Cauchy-jono avaruudessa (F raj (A,X),d sup ). Tällöin metriikan d sup määritelmän mukaan lauseen ehto (1) pätee. Tämän (ja kyseisen lauseen) perusteella on olemassa f : A X siten, että f n f tasaisesti joukossa A. Lauseen mukaan f F raj (A,X) ja lauseen nojalla f n f avaruudessa (F raj (A,X),d sup ). Jos X on vektoriavaruus ja A jokin joukko, niin joukkoon F raj (A,X) syntyy luonnollisella tavalla vektoriavaruusstruktuuri, vrt. esim. MA 1.1 a). Jos 101

104 joukossa X on vektoriavaruusstruktuurin lisäksi normi ja varustetaan X normimetriikalla, niin tähän avaruuteen F raj (A,X) syntyy myös normi f sup, kun määritellään f sup = d sup (f,0) kaikille f F raj (A,X). Tässä 0 on avaruuden F raj (A,X) nollavektori eli nollakuvaus. On helppo nähdä, että näin todella syntyy normi ja normin f sup indusoima metriikka on alkuperäinen d sup. Tällöin saadaan seuraava tulos. Lause Olkoon (X, ) täydellinen normiavaruus varustettuna normimetriikalla d. Tällöin normiavaruus (F raj (A,X), sup ) on täydellinen. Todistus. Tämä seuraa lauseesta Huomautus. Lauseessa käytettiin sanontaa täydellinen normiavaruus. Tämä tarkoittaa tässä ja jatkossa sitä, että kyseinen avaruus varustettuna kyseisen normin indusoimalla metriikalla on täydellinen metrinen avaruus. Esimerkki Määritellään ja varustetaan l normilla l := {(x n ) (x n ) on rajoitettu reaalilukujono} (x n ) = sup{ x n n N}. Tällöin normiavaruus (l, ) on täydellinen. Tämä seuraa lauseesta 10.22, kun huomataan, että jonon määritelmän mukaan l = F raj (N, R), kun käytetään R:ssä itseisarvonormia. Lisäksi R on täydellinen tämän normin suhteen ja lauseen normi sup on tämälleen sama kuin tässä määritelty avaruuden l normi. Lauseessa ja esimerkissä esiintyi täydellisiä normivaruuksia. Nämä ovat tärkeitä laitteita vaikkapa funktionaalianalyysissä. Sen vuoksi niille on annettu oikein oma nimikin. Määritelmä Olkoon (X, ) täydellinen normiavaruus. Tällöin sanotaan, että (X, ) on Banach-avaruus. Jos normi on jonkin X:n sisätulon indusoima, niin sanotaan, että sisätuloavaruus (X, ) on Hilbert-avaruus. Seuraava lause on teoreettisesti tärkeä. Se kertoo, että jokainen metrinen avaruus voidaan upottaa johonkin Banach-avaruuteen. Tällöinhän voidaan alkuperäisen avaruuden tarkastelut siirtää kyseiseen Banach-avaruuteen ja toimia siellä. Silloin käytettävissä on vektoriavaruusstruktuuri ja normi, joka on jopa täydellinen. Tällaisia aseitahan ei metrisessä avaruudessa yleensä ole. Tosin tässä upotuksessa ei vektoriavaruusstruktuuri ei yleensä ole kovin hyödyllinen, koska lauseen kuvajoukko ϕ(x) ei välttämättä ole vektorialiavaruus. Lause (Kuratowskin upotuslause) Olkoon (X,d) metrinen avaruus. Tällöin on olemassa Banach-avaruus (B, ) ja isometrinen kuvaus ϕ : X B. 102

105 Todistus. Varustetaan R itseisarvometriikalla ja olkoon (B, ) = (F raj (X, R), sup ). Koska (R, ) on täydellinen normiavaruus, niin lauseen nojalla (B, ) on Banach-avaruus. Kiinnitetään jokin piste b X. Jokaiselle a X määritellään kuvaus f a : X R asettamalla f a (x) = d(x,a) d(x,b) kaikille x X. Kiinteälle a X pätee lauseen MA 2.15 nojalla f a (x) = d(x,a) d(x,b) d(a,b) kaikille x X, joten jokainen kuvaus f a on rajoitettu eli f a B kaikille a X. Tämän nojalla voidaan määritellä haluttu kuvaus ϕ : X B asettamalla ϕ(a) = f a kaikille a X. Riittää osoittaa, että tämä ϕ on isometria eli että kaikille a,a d sup (ϕ(a),ϕ(a )) = d(a,a ) eli X pätee ϕ(a) ϕ(a ) sup = d(a,a ). (1) Koska pätee ϕ(a) ϕ(a ) sup = f a f a sup = sup{ f a (x) f a(x) x X} = sup{ d(x,a) d(x,b) (d(x,a ) d(x,b)) x X} = sup{ d(x,a) d(x,a ) x X}, niin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että sup{ d(x,a) d(x,a ) x X} = d(a,a ) kaikille a,a X. (2) Kiinnitetään mielivaltaiset a,a X. Lauseen MA 2.15 nojalla d(x,a) d(x,a ) d(a,a ) kaikille x X, jolloin väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että d(x,a) d(x,a ) = d(a,a ) jollekin x X. Näin käy, kun esimerkiksi x = a. 103

106 Määritelmä Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Sanotaan, että avaruuden (X,d) täydellistymä on pari (ϕ,(y,d )), missä (Y,d ) on täydellinen metrinen avaruus ja ϕ on isometria ϕ : X Y siten, että ϕ(x) = Y. Huomautus. Epätäydellisen avaruuden täydellistymän muodostaminen tarkoittaa intuitiivisesti sitä, että joukkoon X lisätään pisteitä, joilla tukitaan X:ssä mahdollisesti olevat reiät ja muut puutteet. Hyvänä esimerkkinä tästä on Q:n täydentäminen R:ksi. Yleisesti ja tarkan matemaattisesti näitä puuttuvia pisteitä ei voi ryhtyä ripottelemaan täydennettävän joukon ympärille, vaan täydentymä Y täytyy määritellä kokonaan erikseen ja upottaa sitten täydennettävä avaruus X isometrialla sinne. Tässä tietenkin samastetaan X isometrisen kuvansa kanssa. Lukualueiden kurssin suorittaneet ehkä muistavat, että tarkkaan ottaen R:n konstruktio olikin juuri tällainen: R määriteltiin (esimerkiksi, voi tämän muutenkin tehdä) rationaalisten Cauchy-jonojen eräiden ekvivalenssiluokkien joukkona ja upotettiin sitten Q sinne sopivaa isometriaa käyttäen. Esimerkki a) Jos (X,d) on (valmiiksi) täydellinen, niin (id X,(X,d)) on sen täydellistymä. b) Jos d on Q:n ja R:n itseisarvometriikka, niin (j : Q R,(R,d)) on (Q,d):n täydellistymä. c) Olkoon p kiinteä alkuluku. Alkeislukuteoriassa nähdään, että jokainen rationaaliluku q voidaan yksikäsitteisesti esittää muodossa q = ±p k p k1 1 pkm m, missä p 1 <... < p m ovat alkulukuja, p i p kun i = 1,...,m ja k 1,...,k m Z \ {0} sekä k Z. Tässä esityksessä on yksikäsitteistä erityisesti p:n eksponentti k 0, jolloin voidaan järkevästi määritellä q:n p-normi q p asettamalla q p = p k. Tämä on todella normi (harj.teht.) ja määrää siten metriikan d p (q 1,q 2 ) = q 1 q 2 joukkoon Q. Kyseinen metriikka muistuttaa aika paljon harjoitustehtävän MA 1.7 metriikkaa, joka on tosin määritelty vain joukossa Z. Tämä määritelmä voidaan tehdä kaikille alkuluvuille p, joten näin syntyy äärettömän monta normimetriikkaa joukkoon Q. Sivumennen sanoen oleellisesti muita normimetriikoita ei itseisarvometriikan lisäksi joukossa Q olekaan, sillä Ostrowskin lause sanoo, että jokainen Q:n normimetriikka on ekvivalentti jonkun näistä kanssa. Nämä p-metriikat ovat kaikki keskenään epäekvivalentteja ja epäekvivalentteja myös itseisarvometriikan kanssa. Nyt voidaan esittää kysymys: Onko metrinen avaruus (Q,d p ) täydellinen jollekin tai kaikille alkuluvuille p? 104

107 Vastaus on, että ei ole millekään p. Jätetään tämän todistus bonustehtäväksi. Sitten jatkokysymys: Voidaanko (Q,d p ) täydellistää, ts. onko sillä täydellistymää? Tähän vastaus on, että voidaan. Väite todistetaan lauseessa Syntyvä (Q,d p ):n täydellistys, jota merkitään symbolilla R p, on aika veikeä kapine. Sen topologia poikkeaa totutusta R:n itseisarvotopologiasta aika totaalisesti, mutta siellä voidaan kuitenkin harrastaa analyysiä ja määritellä esimerkiksi derivaatta. Syntyvät tulokset ovat monessa suhteessa yllätyksellisiä. Tätä analyysiä kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Asiasta kiinnostuneille suosittelen alkeislukemistoksi Svetlana Katokin mainiota kirjaa p-adic Analysis Compared with Real. Lause Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä. Todistus. Olkoon (X,d) mielivaltainen metrinen avaruus. Kuratowskin upotuslauseen nojalla on olemassa Banach-avaruus (B, ) ja isometrinen kuvaus ϕ : X B. Koska Banach-avaruus on täydellinen ja ϕ(x) B suljettu, niin lauseen MA 14.8 nojalla avaruuden (B, ) metrinen alivaruus (ϕ(x),d ϕ(x) ) on täydellinen. Lauseen MA 7.5 nojalla cl ϕ(x) (ϕ(x)) = ϕ(x) ϕ(x) = ϕ(x). Tällöin pari (ϕ,(ϕ(x)d ϕ(x) ) on määritelmän mukaan avaruuden (X,d) täydellistymä. Nyt kun tämä täydellistymän olemassaolokysymys on onnellisesti ratkaistu, herää seuraava kysymys: Montako täydellistymää avaruudella voi olla? Monta, kuuluu oikea vastaus. Esimerkiksi kaikki R 2 :n suorat voidaan luonnollisella tavalla tulkita (Q, d):n täydellistymiksi. Sitä paitsi lauseen todistuksessa käytettävä Kuratowskin upotuslauseen todistuksen mukainen konstruktio näyttäisi tuottavan täysin toisenlaisen (Q, d):n täydellistymän kuin tavallinen (lukualueet-kurssin) täydellistys. Toisaalta asia on kuitenkin niin, että näitä täydellistymiä on oleellisesti vain yksi. Tämä kuulostaa ristiriitaiselta, mutta täsmällisesti sanottuna kaikki täydellistymät ovat isometrisesti isomorfiset eli ovat kuvattavissa isometrialla toisikseen, joten ne voidaan metrisinä avaruuksina samastaa. 105

108 Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä mikä tämmöinen isometria voisi olla noiden eri (Q, d):n täydellistymien välillä. Tehtävä näyttää aika vaikealta tuon Kuratowskin kuvion osalta, ja siinä katsannossa seuraava lause joka tuon isometrisen isomorfian olemassaolon takaa tuntuu yllättävältä. Lause Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja olkoot (ϕ,(y,d Y )) ja (ψ,(z,d Z )) sen täydellistymiä. Tällöin on olemassa isometrinen bijektio α : (Y,d Y ) (Z,d Z ). Todistus. Kuvaukset ϕ : (X,d) (Y,d Y ) ja ψ : (X,d) (Z,d Z ) ovat isometrioita, joten ne ovat injektiivisiä. Silloin on olemassa käänteiskuvaus ϕ 1 : ϕ(x) X, joka on bijektiivinen isometria. Isometrioiden yhdiste on isometria, joten β := ψ ϕ 1 : ϕ(x) ψ(x) on bijektiivinen isometria. (1) Lauseen MA nojalla isometria on tasaisesti jatkuva, joten β on tasaisesti jatkuva. Tällöin sillä on lauseen MA nojalla jatkuva jatke sulkeumaan ϕ(x), ts. on olemassa kuvaus α : ϕ(x) Z siten, että α ϕ(x) = β ja α on jatkuva. (2) Riittää osoittaa, että tämä α on väitteessä kaipailtu kuvaus. Ensinnäkin, koska (ϕ,(y,d Y )) on avaruuden (X,d) täydellistymä, niin määritelmän mukaan ϕ(x) = Y, joten α on määritelty koko joukossa Y. Osoitetaan seuraavaksi, että Olkoot y,y Y mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että α on isometria. (3) d Z (α(y),α(y )) = d Y (y,y ). (4) Koska y,y Y = ϕ(x), niin lauseen MA nojalla on olemassa joukon ϕ(x) jonot (a n ) ja a n) siten, että Ehdon (5) ja lauseen MA nojalla a n y ja a n y. (5) d Y (a n,a n) d Y (y,y ). (6) Koska α on ehdon (2) mukaan jatkuva, niin ehdon (5) ja lauseen MA nojalla α(a n ) α(y) ja α(a n) α(y ). (7) Ehdon (7) ja lauseen MA nojalla d Z (α(a n ),α(a n)) d Z (α(y),α(y )). (8) 106

109 Koska a n,a n ϕ(x) kaikille n, niin ehtojen (2) ja (1) nojalla d Z (α(a n ),α(a n)) = d Z (β(a n ),β(a n)) = d Y (a n,a n) kaikille n. Silloin ehdon (8) mukaan d Y (a n,a n) d Z (α(y),α(y )). (9) Väite (4) seuraa ehdoista (6) ja (9) sekä raja-arvon yksikäsitteisyydestä. Näin α:n isometrisyys on todistettu. Koska isometria on aina injektio, riittää osoittaa, että α on surjektio. (10) Olkoon tätä varten z Z mielivaltainen. Pitää löytää y Y siten, että α(y) = z. (11) Koska (ψ,(z,d Z )) on avaruuden (X,d) täydellistymä, niin määritelmän mukaan ψ(x) = Z. Silloin z ψ(x), joten lauseen MA nojalla on olemassa joukon ψ(x) jono (b n ) siten, että b n z. (12) Koska jono (b n ) suppenee, niin lauseen MA 14.5 nojalla (b n ) on Cauchy-jono. (13) Koska b n ψ(x) kaikille n, niin ehdon (1) nojalla β 1 (b n ) ϕ(x) on määritelty kaikille n. Koska β on ehdon (1) mukaan bijektiivinen isometria, niin sen käänteiskuvaus on myös isometria. Tällöin β 1 on lauseen MA nojalla tasaisesti jatkuva. Silloin ehdon (13) ja lauseen MA nojalla (β 1 (b n )) on Cauchy-jono Y :ssä. (14) Koska Y on täydellinen, niin ehdon (14) nojalla jono (β 1 (b n )) suppenee Y :ssä eli β 1 (b n ) y jollekin y Y. (15) Koska α on jatkuva, niin ehdon (15) ja lauseen MA nojalla α(β 1 (b n )) α(y). (16) Koska β 1 (b n ) = ϕ(ψ 1 (b n )) ϕ(x), niin ehdon (2) nojalla Ehtojen (17) ja (16) nojalla α(β 1 (b n )) = β(β 1 (b n )) = b n kaikille n. (17) b n α(y). (18) Ehtojen (18) ja (12) sekä raja-arvon yksikäsitteisyyden nojalla väite (11) seuraa. 107

110 11 Topologisen avaruuden erottelukyky Lauseessa MA 3.12 nähtiin, että metriset avaruudet ovat Hausdorff-avaruuksia, mikä tarkoittaa yleisesti määritelmän 1.7 mukaan sitä, että kahdella eri pisteellä a ja b on aina erilliset ympäristöt U a ja U b. Kaikilla topologisilla avaruuksilla ei tätä ominaisuutta ole (ääriesimerkinä minitopologia), mutta toisaalta tässä on vähän hienosäätöä tehtävissä. Jospa ei vaaditakaan ympäristöjen täydellistä erillisyyttä, vaan se, että a U b ja/tai b U a ja katsotaan syntyykö tästä mitään mielenkiintoista. Kyllähän siitä syntyy ja tuota Hausdorffin ehtoa voi kehittää myös ei ainoastaan yksiöille, vaan suljetuille joukoille yleensä. Seuraavassa on lueteltu viisi erilaista ehtoa, jotka kertovat topologisen avaruuden erottelukyvystä tässä Hausdorffin katsannossa. Nämä ehdot on nimetty yleistä käytäntöä noudattaen nimillä (T 0 ) (T 4 ). Tässä käytettävä T-kirjain tulee saksan kielen verbistä trennen, joka tarkoittaa erotella tai jotain sinne päin. Määritelmä 11.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on (T j )-avaruus, j = 0,1,2,3,4, jos vastaava ehto (T j ) toteutuu. Kaikilla a,b X, a b on olemassa U T siten, että (T 0 ) [a U ja b U] tai [a U ja b U]. Kaikilla a,b X, a b on olemassa U a,u b T siten, että (T 1 ) [a U a ja b U a ] ja [a U b ja b U b ]. Kaikilla a,b X, a b on olemassa U a,u b T siten, että (T 2 ) a U a ja b U b sekä U a U b =. Kaikilla a X ja kaikilla suljetuilla joukoilla B X, joille a B, (T 3 ) on olemassa U a,u B T siten, että a U a ja B U B sekä U a U B =. Kaikilla suljetuilla joukoilla A,B X, joille A B =, on olemassa (T 4 ) U A,U B T siten, että A U A ja B U B sekä U A U B =. Huomautus 11.2 Voisi ajatella, että määritelmän 11.1 ehtojen kesken vallitsisi implikaatioketju (T 4 ) (T 3 ) (T 2 ) (T 1 ) (T 0 ). Näin onkin triviaalisti, jos yksiöt ovat suljettuja, mutta eiväthän yksiöt kaikissa avaruuksissa suljettuja ole. Tässä pätee kyllä (edelleen triviaalisti) aina (T 2 ) (T 1 ) (T 0 ), mutta itse asiassa mitään muita yleisesti päteviä implikaatioita näiden kesken ei olekaan. Jätetään harjoitustehtäväksi keksiä näihin vastaesimerkkejä. Osa esimerkeistä saadaan helposti muutaman pisteen avaruuksista, mutta jotkut ovat melko visaisia keksittäviä. 108

111 Huomautus 11.3 Ehto (T 2 ) on siis tuo alussa mainittu Hausdorffin ehto, eli (X, T ) on Hausdorffin avaruus jos ja vain jos se on (T 2 )-avaruus. Metrinen avaruus on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3,4. Tämän voi todistaa helposti, mutta koska metrisen avaruuden yksiöt ovat suljettuja, niin huomautuksen 11.2 mukainen implikaatioketju (T 4 ) (T 3 ) (T 2 ) (T 1 ) (T 0 ) pätee, ja silloin riittää osoittaa, että metrinen avaruus on (T 4 )-avaruus. Tämä on todistettu lauseessa MA Lause 11.4 Topologinen avaruus (X, T ) on (T 1 )-avaruus jos ja vain jos kaikki yksiöt ovat suljettuja. Todistus. Olkoon (X, T ) (T 1 )-avaruus ja x X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että X \ {x} on avoin. (1) Olkoon sitä varten y X \ {x} mielivaltainen. Ehdon (T 1 ) nojalla on olemassa U y T siten, että y U y ja x U y. Silloin U y on pisteen y ympäristö, joka sisältyy joukkoon X \ {x}. Tämä todistaa väitteen (1). Oletetaan, että kaikki yksiöt ovat suljettuja. Olkoot a,b X, a b mielivaltaisia. Pitää löytää avoin U a siten, että a U a ja b U a. Koska oletuksen mukaan {b} on suljettu, niin X \ {b} on avoin. Silloin U a := X \ {b} kelpaa a:n halutuksi ympäristöksi. Lause 11.5 (T 1 )-avaruudessa kaikki äärelliset joukot ovat suljettuja. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 11.4 ja siitä, että suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste on suljettu. Huomautus 11.6 Jos (X, T ) on (T 1 )-avaruus ja sen lisäksi (T j )-avaruus jollekin j, niin (X, T ) on (T k )-avaruus kaikille k j. Tämä seuraa lauseesta 11.4 ja huomautuksesta Kasautumispiste määriteltiin metrisissä avaruuksissa niin, että x on joukon A kasautumispiste, jos jokaisessa x:n ympäristössä on äärettömän monta A:n pistettä. Lauseessa MA 6.36 osoitettiin, että tämä on ekvivalenttia ehdon jokaisessa x:n punkteeratussa ympäristössä U \ {x} on A:n piste kanssa. Yleisessä topologisessa avaruudessa nämä ehdot eivät kuitenkaan ole ekvivalentteja. (Esimerkki?) Yleisessä topologisessa avaruudessa määritelmäksi (ks. 1.13) otettiin tämä jälkimmäinen ehto. Seuraava lause osoittaa, että jos topologialla on ehdon (T 1 ) verran erottelukykyä, määritelmänä olisi voinut käyttää metristä määritelmää. Lause 11.7 Olkoon (X, T ) (T 1 )-avaruus, A X ja x X joukon A kasautumispiste. Tällöin jokaisessa x:n ympäristössä on äärettömän monta joukon A pistettä. 109

112 Todistus. Olkoon U pisteen x mielivaltainen ympäristö. Pitää osoittaa, että U:ssa on äärettömän monta A:n pistettä. Tehdään antiteesi: U A on äärellinen. (AT) Tällöin U (A \ {x}) on äärellinen tai tyhjä. (1) Koska tyhjä joukko on suljettu, niin ehdon (1), oletuksen (T 1 ) ja lauseen 11.5 nojalla U (A \ {x}) on suljettu. Tällöin X \ (U (A \ {x})) on avoin. (2) Koska U on ympäristönä avoin ja avointen joukkojen äärelliset leikkaukset ovat avoimia, niin ehdon (2) nojalla Alkeisjoukko-opin avulla nähdään, että U (X \ (U (A \ {x}))) on avoin. (3) U (X \ (U (A \ {x}))) = U \ (U (A \ {x})) = (4) (U \ U) (U \ (A \ {x})) = U \ (A \ {x}) = (U \ A) {x}. Ehtojen (3) ja (4) nojalla Koska x (U \ A) {x}, niin ehdon (5) nojalla (U \ A) {x} on avoin. (5) (U \ A) {x} on x:n ympäristö. (6) Ilmeisesti ((U \ A) {x}) \ {x} U \ A, jolloin (((U \ A) {x}) \ {x}) A =. (7) Koska x on A:n kasautumispiste, niin määritelmän 1.13 mukaan jokaiselle x:n ympäristölle V pätee (V \ {x}) A. Ehtojen (6) ja (7) perusteella näin ei kuitenkaan ole ympäristölle V = (U \ A) {x}. Syntynyt ristiriita osoittaa tehdyn antiteesin vääräksi ja todistaa väitteen. (T 3 )-avaruudet voidaan karakterisoida myös seuraavasti. Lause 11.8 Topologinen avaruus (X, T ) on (T 3 )-avaruus jos ja vain jos pätee seuraava ehto. Jos x U T, niin on olemassa V T siten, että x V V U. (1) 110

113 Todistus. Oletetaan, että (X, T ) on (T 3 )-avaruus. Väitteenä on ehto (1), jota varten oletetaan, että x U T. Tällöin X \ U on suljettu ja x X \ U. Tässä tilanteessa ehto (T 3 ) kertoo, että on olemassa V,W T siten, että x V, X \ U W ja V W =. Tällöin X \ W on suljettu ja V X \ W U. Tämä merkitsee lauseen 1.12 nojalla sitä, että V X \ W U, joten V toteuttaa ehdon (1) vaatimukset. Oletetaan kääntäen, että ehto (1) pätee. Pitää osoittaa, että (X, T ) on (T 3 )-avaruus. Tätä varten olkoot a X ja B X siten, että B on suljettu ja a B. Pitää löytää avoimet U a ja U B siten, että a U a, B U B ja U a U B =. (2) Koska B on suljettu, niin X \B on avoin, ja koska a B, niin a X \B. Tällöin oletuksen (1) nojalla on olemassa avoin V siten, että a V V X \ B. (3) Koska sulkeuma V on suljettu, niin X \ V on avoin. Lisäksi ehdon (3) nojalla Koska V V, niin X \ V X \ V, ja silloin Ehtojen (3), (4) ja (5) nojalla avoimet joukot B X \ V. (4) V (X \ V ) =. (5) U a := V ja U B := X \ V toteuttavat ehdon (2) vaatimukset. Lauseen 11.8 kanssa samankaltainen karakterisaatio saadaan myös (T 4 )-avaruuksille. Lause 11.9 Topologinen avaruus (X, T ) on (T 4 )-avaruus jos ja vain jos pätee seuraava ehto. Jos A on suljettu ja A U T, niin on olemassa V T siten, että A V V U. Todistus. Tämä on analoginen lauseen 11.8 todistuksen kanssa ja jätetään harjoitustehtäväksi. 111

114 Huomautus Huomautuksessa 11.3 todettiin, että metrinen avaruus on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3,4. Silloin triviaalisti jokainen metrisoituva topologinen avaruus on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3,4. Kääntäen voi kysyä, että jos topologinen avaruus on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3,4, niin onko se metrisoituva. Vastaus on kielteinen. Seuraavassa esimerkissä on topologia, joka on (T j ) kaikille j, mutta ei ole metrisoituva. Tosin tästä ei ihan kaikkea vielä todisteta, mutta puuttuvat kohdat saadaan aikaan jatkossa. Esimerkki Esimerkissä 2.10 e) oli esillä R:n puoliavoin topologia T pa, jonka kannan muodostavat puoliavoimet välit [a,b[, a < b. Topologinen avaruus (R, T pa ) on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3,4. Se ei kuitenkaan ole metrisoituva. Tässä osoitetaan, että (R, T pa ) on (T j )-avaruus kun j = 0,1,2,3. Nuo kaksi muuta väitettä todistetaan myöhemmin. Ne voitaisiin toki todistaa vaikka heti, mutta ne saadaan ilmaiseksi myöhemmin esitettävistä tuloksista. Huomaa kuitenkin, että eivät väitteet aivan triviaaleja ole. Esimerkissä 2.12 c) jo todistettiin, että (R, T pa ) on Hausdorff-avaruus, jolloin huomautusten 11.3 ja 11.2 mukaan (R, T pa ) on (T j )-avaruus kun j = 0,1,2. Osoitetaan, että se on myös (T 3 ) avaruus. Käytetään tähän lausetta Riittää osoittaa, että kyseisen lauseen ehto Jos x U T pa, niin on olemassa V T pa siten, että x V V U (1) pätee. Olkoon tätä varten x U T pa. Koska puoliavoimet välit [a,b[ muodostavat topologian T pa kannan, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa a < b siten, että x [a,b[ U. (2) Joukko R \ [a, b[ on avoin, (3) koska se voidaan esittää avoimien joukkojen yhdisteenä: R \ [a,b[ = ( [x,a[) ( x<a y>b[b,y[). Ehdon (3) nojalla [a,b[ on suljettu, jolloin [a,b[ = [a,b[. (4) Ehtojen (2) ja (4) nojalla [a,b[ kelpaa joukoksi V ehdossa (1). Seuraavaksi tarkastellaan topologisten ominaisuuksien (T j ) periytymistä aliavaruustopologiaan. Asetetaan ensin nimenomaan tähän tarkoitukseen laadittu tarkka määritelmä. 112

115 Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on (T j )-avaruus jollekin j = 0,1,2,3,4 ja olkoon (A, T A ) avaruuden (X, T ) topologinen aliavaruus. Sanotaan, että ominaisuus (T j ) periytyy aliavaruuteen (A, T A ), jos myös (A, T A ) on (T j )-avaruus. Yleisemmin sanotaan, että ominaisuus (T j ) on aliavaruuteen periytyvä, jos se periytyy jokaisen (T j )-avaruuden jokaiseen topologiseen aliavaruuteen. Lause Ominaisuus (T j ) on aliavaruuteen periytyvä kaikille j = 0,1,2,3. Todistus. Nämä ovat helppoja ja samankaltaisia. Todistetaan malliksi ehdon (T 3 ) periytyvyys ja jätetään muut harjoitustehtäväksi. Olkoon siis (X, T ) topologinen avaruus, joka on (T 3 )-avaruus, ja (A, T A ) avaruuden (X, T ) topologinen avaruus. Pitää osoittaa, että myös (A, T A ) on (T 3 )- avaruus. Riittää osoittaa, että lauseen 11.8 ehto Jos x U T A, niin on olemassa V T A siten, että x V cl A (V ) U (1) pätee. Olkoon tätä varten x U T A. Koska U T A, niin lauseen 5.3 nojalla on olemassa U X siten, että Koska x U, niin ehdon (3) nojalla myös U X T ja (2) U = A U X. (3) x U X. (4) Koska (X, T ) on (T 3 )-avaruus, niin lauseen 11.8 sekä ehtojen (2) ja (4) nojalla on olemassa V X siten, että Määritellään V X T ja (5) x V X V X U X. (6) V = A V X, ja osoitetaan, että tämä V toimii ehdossa (1). Ainakin pätee x V, koska x U A ja ehdon (6) mukaan x V X. Ehdon (5) ja lauseen 5.3 nojalla V T A. Koska joukko sisältyy aina sulkeumaansa, niin joukon V toimivuus ehdossa (1) seuraa, jos osoitetaan, että Tämän näkee näin: cl A (V ) U. cl A (V ) i) = V A ii) V X A iii) U X A iv) = U, 113

116 missä yhtälö i) seuraa lauseesta Inkluusio ii) seuraa lauseesta 1.12, sillä joukon V määritelmän mukaan V V X. Inkluusio iii) seuraa ehdosta (6) ja yhtälö iv) ehdosta (3). Huomautus. Tarkkaavainen lukija saattaa kiinnittää huomiota siihen, että lauseen periytyvyyslistasta puuttuu ominaisuus (T 4 ). Tämä ei ole painovirhe, vaan tätä ominaisuutta ei ole tässä listassa siksi, että se ei ole aliavaruuteen periytyvä. Tästä on vaikea antaa perusteltua esimerkkiä, eikä anneta vielä perustelematontakaan sellaista. Esimerkissä konstruoidaan osittain perusteltu esimerkki, sen vaikeimmat perustelut tulevat myöhemmin ja ne ovat todella vaikeita: muun muassa Tihonovin lausetta tarvitaan. Periytyvyyttä tarkasteltiin edellä ikään kuin alaspäin eli aliavaruuden suuntaan. Sitä voi tarkastella myös ylöspäin eli tuloavaruuteen. Kysymys on siis siitä, että jos muodostetaan (T j )-avaruuksien tuloavaruus, niin onkos tämä tulotopologialla varustettu laite myös (T j )-avaruus. Muotoillaan tästäkin tarkka määritelmä. Määritelmä Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko ja perhe {(X α, T α )} α I topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Sanotaan, että ominaisuus (T j ), j = 0,1,2,3,4 on tuloon periytyvä, jos kaikkien avaruuksien (X α, T α ), α I ollessa (T j )-avaruuksia myös (X, T X ) on (T j )-avaruus. Lause Ominaisuus (T j ) on tuloon periytyvä kaikille j = 0,1,2,3. Todistus. Nämäkin ovat samankaltaisia. Todistetaan taas malliksi ehdon (T 3 ) periytyvyys ja jätetään muut harjoitustehtäväksi. Olkoon (X, T ) kuten määritelmässä 7.13 ja oletetaan, että tulon tekijät eli avaruudet (X α, T α ) ovat (T 3 )-avaruuksia kaikille α I. Olkoot lisäksi pr α : X X α projektiokuvauksia kaikille α I. Pitää siis osoittaa, että (X, T ) on (T 3 )-avaruus, mihin lauseen 11.8 mukaan riittää osoittaa, että ehto Jos x U T, niin on olemassa V T siten, että x V V U (1) pätee. Olkoon siis x U T. Tällöin lauseiden 6.12 ja 2.5 nojalla on olemassa äärellinen K I ja kaikille k K joukko U k T k siten, että U k T k kaikille k K ja (2) x pr 1 k (U k) U. (3) k K Ehdon (3) nojalla pr k (x) U k kaikille k K. (4) 114

117 Koska oletuksen mukaan jokainen (X k, T k ) on (T 3 )-avaruus, niin lauseen 11.8 sekä ehtojen (2) ja (4) nojalla kaikille k K on olemassa joukko V k siten, että V k T k kaikille k K ja (5) pr k (x) V k V k U k kaikille k K. (6) Määritellään joukkojen V k X k, k K lisäksi V α = X α kaikille α I \ K, (7) jolloin V α X α on määritelty kaikille α I. Silloin voidaan määritellä joukko V X asettamalla V = α I V α. Riittää osoittaa, että tämä V toteuttaa ehdon (1) vaatimukset. Koska ehdon (7) nojalla triviaalisti kaikille α I \ K pätee pr α (x) V α, niin ehdon (6) nojalla pr α (x) V α kaikille α I, ja silloin tulojoukon määritelmän mukaan x α I V α = V. (8) Ehdon (7) ja joukon V määritelmän nojalla on ilmeistä, että V = pr 1 k (V k), k K jolloin lauseen 6.12 ja ehdon (5) nojalla V T. (9) Koska joukko sisältyy aina sulkeumaansa, niin joukon V toimivuus ehdossa (1) seuraa ehtojen (8) ja (9) nojalla, jos osoitetaan, että V U. Olkoon sitä varten y V mielivaltainen. Pitää osoittaa, että y U. Huomataan ensin, että V = i) V α = V α, α I α I missä yhtälö i) seuraa lauseesta Tällöin y α I V α, joten tulojoukon määritelmän mukaan pr α (y) V α kaikille α I, ja erityisesti pr k (y) V k kaikille k K. (10) 115

118 Ehtojen (6) ja (10) nojalla pätee ja silloin pr k (y) U k kaikille k K, y k K Väite y U seuraa ehdoista (11) ja (3). pr 1 k (U k). (11) Huomautus. Tarkkaavainen lukija huomaa taas, että lauseen periytyvyyslistasta puuttuu ominaisuus (T 4 ). Tämäkään ei ole painovirhe, vaan ominaisuus (T 4 ) ei ole tuloon periytyvä. Tässä voisi ajatella, että tämän periytymättömyyden todistavassa esimerkissä olisi hyvin monimutkainen tulo, jossa on paljon, ehkä ylinumeroituvasti tulon tekijöitä. Kyllä tällaisiakin tuloesimerkkejä löytyy, mutta tämän ominaisuuden periytymättömyys ei johdu tulon mahdollisesta monimutkaisuudesta, sillä vastaesimerkki löytyy jo kahden avaruuden karteesisesta tulosta, jossa siis on laatikkotopologia. Tämä esimerkki todistuksineen esitetään seuraavassa. Todistetaan, että jos R varustetaan puoliavoimella topologialla T pa, niin karteesisella tulolla (R, T pa ) (R, T pa ) ei ole ominaisuutta (T 4 ). Tämä todistaa kyseisen ominaisuuden tuloon periytymättömyyden, koska esimerkin mukaan avaruudella (R, T pa ) tämä ominaisuus on. Tosin tässä kuviossa on looginen aukko, koska vielä ei ole todistettu, että avaruudella (R, T pa ) tämä ominaisuus on. Todistus tulee aikanaan. Esimerkki Olkoon T pa R:n puoliavoin topologia ja varustetaan R 2 = R R tämän topologian määräämällä tulotopologialla T. Koska esimerkin mukaan (R, T pa ) on (T j )-avaruus, kun j = 0,1,2,3, niin lauseen mukaan (R 2, T ) on myös (T j )-avaruus, kun j = 0,1,2,3. Todistetaan seuraavassa, että (R 2, T ) ei ole (T 4 )-avaruus. Tehdään antiteesi: (R 2, T ) on (T 4 )-avaruus. Lauseen 6.12 nojalla topologian T eräs kanta on Olkoon L tason suora Jos (x, x) L, niin B = {[a,b[ [c,d[ a,b,c,d R, a < b, c < d}. L = {(x, x) R 2 x R}. L ([x,x + 1[ [ x, x + 1[) = {(x, x)}. (1) Koska [x, x + 1[ [ x, x + 1[ B T, niin ehdon (1) ja lauseen 5.3 nojalla {(x, x)} T L. 116

119 Tämä pätee kaikille (x, x) L, joten kaikki L:n yksiöt ovat avoimia aliavaruustopologiassa T L ja siten T L on diskreetti topologia. (2) Esimerkissä 2.12 c) todettiin, että T pa on hienompi kuin itseisarvotopologia. Tästä seuraa helposti (vaikkapa lausetta 2.11 käyttäen), että T on hienompi kuin R 2 :n euklidinen topologia, joka on itseisarvotopologian määräämä tulotopologia. Koska joukko L on ilmeisesti suljettu euklidisessa topologiassa, niin se on suljettu myös tätä hienommassa topologiassa T. Tällöin lauseen 5.13 nojalla Ehtojen (2) ja (3) nojalla Määritellään Ehdon (4) nojalla jokainen avaruuden (L, T L ) suljettu joukko (3) on suljettu myös avaruudessa (R 2, T ). jokainen L:n osajoukko on suljettu avaruudessa (R 2, T ). (4) A = {(x, x) L x Q} ja B = L \ A. A ja B ovat suljettuja avaruudessa (R 2, T ). (5) Koska antiteesin mukaan (R 2, T ) on (T 4 )-avaruus ja A B =, niin on olemassa joukot U A ja U B siten, että U A T, (6) U B T, (7) A U A, (8) B U B ja (9) U A U B =. (10) Merkitään kaikille x R ja n N symbolilla D n (x) puoliavointa neliötä ja määritellään edelleen kaikille n N D n (x) = [x,x + 1 n [ [ x, x + 1 n [, F n = {x R \ Q D n (x) U B }. Tällöin pätee R \ Q = n N F n. (11) Tämä väite vaatii pienen todistuksen. Inkluusio on selvä F n :n määritelmän mukaan, joten riittää todistaa suunta. 117

120 Olkoon sitä varten x R \ Q mielivaltainen. Joukon B määritelmän ja ehdon (9) nojalla (x, x) U B. (12) Koska B on topologian T kanta, niin lauseen 2.5 sekä ehtojen (12) ja (7) nojalla on olemassa a,b,c,d R, a < b, c < d siten, että (x, x) [a,b[ [c,d[ U B. (13) Tällöin a x < b ja c x < d, ja ilmeisesti voidaan valita niin suuri m N että a x + 1 m < b ja c x + 1 m < d, jolloin ja edelleen ehdon (13) nojalla D m (x) [a,b[ [c,d[ D m (x) U B. Silloin x F m n N F n, joten väite (11) on todistettu. Olkoon T d R:n itseisarvotopologia. Olkoon kaikille n N F n joukon F n R sulkeuma topologiassa T d. (Tässä on nyt toinenkin topologia läsnä, mutta sen suhteen ei sulkeumia jatkossa esiinny, joten tuo merkintä ei aiheuttane sekaannuksia.) Nyt saadaan R = (R \ Q) Q i) = ( n N F n ) Q ii) ( F n ) Q = ( F n ) ( R, n N n N q Q{q}) joten on oltava R = ( n N F n ) ( q Q{q}). (14) Tässä yhtälö i) seuraa ehdosta (11) ja inkluusio ii) siitä, että jokainen joukko sisältyy sulkeumaansa, erityisesti F n F n. Esimerkin mukaan R on itseisarvotopologiassa toisen kategorian joukko, ja koska yhdiste (14) on numeroituva, kaikki yhdisteessä olevat joukot eivät voi olla harvoja. Tämä johtuu siis siitä, että harvojen joukkojen numeroituva yhdiste on ensimmäistä kategoriaa. Yksiöt ovat harvoja itseisarvotopologiassa, joten jonkin joukoista F n täytyy olla 118

121 ei-harva eli sen sulkeumalla on sisäpiste. Koska joukot F n ovat suljettuja itseisarvotopologiassa, niin tämä merkitsee sitä, että joukolla F n on sisäpiste itseisarvotopologiassa jollekin n N. Kiinnitetään tällainen n. Tällöin F n sisältää jonkin avoimen välin ]α,β[ F n. (15) Jokaisella avoimella välillä on jokin rationaaliluku, joten voidaan valita Joukon A määritelmän sekä ehtojen (16) ja (8) nojalla q ]α,β[ Q. (16) (q, q) A U A. (17) Koska B on topologian T kanta, niin lauseen 2.5 sekä ehtojen (17) ja (6) nojalla on olemassa a,b,c,d R, a < b, c < d siten, että (q, q) [a,b [ [c,d [ U A. (18) Tällöin a q < b ja c q < d, jolloin ilmeisesti voidaan valita t R siten, että että Ehtojen (20) ja (18) nojalla 0 < t < 1 ja (19) n a q + t < b ja c q + t < d. (20) (q, q) [q + t[ [ q, q + t[ U A. (21) Ehdon (16) perusteella välillä ]q,q + t[ on jokin avoimen välin ]α,β[ ja siten ehdon (15) nojalla myös joukon F n piste. Väli ]q,q + t[ on tämän pisteen ympäristö itseisarvotopologiassa, joten sulkeuman määritelmän mukaan välillä ]q,q + t[ on myös joukon F n piste, olkoon se z. Koska z F n, niin joukon F n määritelmän mukaan D n (z) U B. (22) Koska z ]q,q + t[, niin ehdon (19) perusteella q < z < q + t < q + 1 n, jolloin z 1 n < q ja edelleen z < q < z + 1 n eli Ehdon (23) ja neliön D n (z) määritelmän mukaan q ] z, z + 1 [. (23) n (z, q) D n (z). (24) 119

122 Ehtojen (24) ja (22) nojalla (z, q) U B. (25) Toisaalta, koska z ]q,q + t[, niin (z, q) [q + t[ [ q, q + t[. Tällöin ehdon (21) nojalla Ehtojen (25) ja (26) nojalla (z, q) U A. (26) (z, q) U A U B. Tämä on vastoin ehtoa (10). Tämä ristiriita kaataa antiteesin, ja väite on todistettu. Esimerkki Annetaan tässä osittain perusteltu esimerkki siitä, että ominaisuus (T 4 ) ei ole aliavaruuteen(kaan) periytyvä. Varustetaan ensin väli [0,1] itseisarvotopologialla, joka indusoi tulojoukkoon X = [0,1] R tulotopologian T. Koska [0, 1] on kompakti, niin Tihonovin lauseen nojalla myös tuloavaruus (X, T ) on kompakti. Koska metrisoituva avaruus [0, 1] toteuttaa ehdot (T j ), j = 0,1,2,3, niin periytyvyyslauseen mukaan myös (X, T ) on (T j )-avaruus kaikille j = 0,1,2,3. Erityisesti se on (T 2 )- eli Hausdorff-avaruus. Myöhemmin todistetaan, että kompakti Hausdorff-avaruus on (T 4 )-avaruus, joten (X, T ) on myös (T 4 )-avaruus. Tämän esimerkin kannalta kiinnostava aliavaruus löytyy nyt tästä (T 4 )-avaruudesta (X, T ). Tällainen syntyy, kun määritellään ensin A = { 1 n n N} [0,1], jolloin A R X. Aliavaruustopologialla varustettu (A R, T A R) on lauseen 7.22 mukaan homeomorfinen A:n itseisarvotopologian indusoimalla tulotopologialla varustetun avaruuden (A R, T ) kanssa, joten nyt haluttu esimerkki saadaan, kun osoitetaan, että avaruudella (A R, T ) ei ole (T 4 )-ominaisuutta. Jätetään tämä bonustehtäväksi. Huomautus Voidaan kysyä paitsi ominaisuuksien (T j ) periytymisestä myös metrisoituvuuden periytymisestä. Aliavaruuksien suuntaan asia on selvä: metrisen avaruuden topologinen aliavaruus on metrisoituva, koska sen topologia on aliavaruusmetriikan määräämä lauseiden 5.3 ja MA 7.1 perusteella. Metrisoituvuuden periytyminen tuloon on kiinnostavampi kysymys. Äärelliseen tai 120

123 numeroituvaan tuloon metrisoituvuus periytyy (toisin kuin ominaisuus (T 4 )), tämä todistettiin lauseissa 7.5 ja Ylinumeroituvaan tuloon se ei välttämättä periydy. Tämän kertoo esimerkin 11.7 ([0,1] R, T ), joka ei ole metrisoituva, vaikka [0, 1]:n itseisarvotopologia on metrinen. Jätetään tässäkin bonustehtäväksi osoittaa, että ([0,1] R, T ) ei ole metrisoituva. Tämä on aika vaikea tehtävä, ratkaisuvihjeitä saa Väisälän kirjan kakkososan harjoitustehtävästä Topologian numeroituvuus Tässä luvussa tarkastellaan erilaisia numeroituvuuten liittyviä topologisia ominaisuuksia. Kertaillaan aluksi vähän numeroituvuuteen liittyviä perusfaktoja. Meillähän on käytössä sellainen numeroituvuuden määritelmä, että joukko A on numeroituva täsmälleen silloin, kun on olemassa bijektio ϕ : N A. Joissakin oppikirjoissa myös äärelliset joukot lasketaan numeroituviksi, mutta meillä siis äärellinen ei ole numeroituva. Äärellinen joukko on myös aina epätyhjä. Sanonta korkeintaan numeroituva tarkoittaa sitä, että joukko on tyhjä, äärellinen tai numeroituva. Sanonta ylinumeroituva tarkoittaa tavanomaiseen tapaan sitä, että joukko ei ole korkeintaan numeroituva. Seuraaville faktoille ei tässä esitetä todistusta (jotka löytyvät alkeisoppikirjoista), mutta ne on kuitenkin numeroitu, jolloin niihin on helpompi jatkossa viitata. Fakta 12.1 Q on numeroituva ja R on ylinumeroituva. Fakta 12.2 Jos I on äärellinen tai numeroituva indeksijoukko ja {A i } i I perhe korkeintaan numeroituvia joukkoja, niin on korkeintaan numeroituva. i I A i Fakta 12.3 Jos I on äärellinen indeksijoukko ja {A i } i I perhe korkeintaan numeroituvia joukkoja, niin on korkeintaan numeroituva. i I A i Huomautus. Faktassa 12.3 pitää olettaa, että indeksijoukko on äärellinen, sillä väite ei päde numeroituvalle indeksijoukolle. Esimerkiksi joukko N N on ylinumeroituva. Väite ei numeroituvalle I yleensä päde, vaikka joukot A i olisivat kaikki äärellisiä, sillä esimerkiksi myös {0,1} N on ylinumeroituva. Jätetään tämän todistaminen opettavaiseksi harjoitustehtäväksi. Fakta 12.4 Jos A on numeroituva, niin joukko on numeroituva. {B B A, B on äärellinen} 121

124 Huomautus. Faktassa 12.4 oletus joukkojen B äärellisyydestä on välttämätön. Esimerkiksi joukko P(N) on ylinumeroituva. Fakta 12.5 A on korkeintaan numeroituva on olemassa injektio f : A Q on olemassa surjektio f : N A on olemassa korkeintaan numeroituva joukko B ja surjektio f : B A. Fakta 12.6 Jos A on korkeintaan numeroituva ja B A, niin B on korkeintaan numeroituva. Fakta 12.7 Jos A on ylinumeroituva ja f : A B injektio, niin B on ylinumeroituva. Näiden joukko-opillisten faktojen jälkeen siirrytään takaisin topologiaan. Määritelmä 12.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Sanotaan, että joukkoperhe B a T on pisteen a ympäristökanta, jos a B kaikille B B a ja kaikille pisteen a ympäristöille A on olemassa B B a siten, että B A. Huomautus 12.9 Jos B on topologian T kanta, niin lausetta 2.5 käyttäen nähdään heti, että B a = {B B a B} on pisteen a ympäristökanta. Yksittäisen pisteen ympäristökanta ei välttämättä ole koko topologian kanta, mutta jos jokaisella pisteellä x X on ympäristökanta B x, niin näiden yhdiste x X B x on koko topologian kanta jälleen lauseen 2.5 perusteella. Luvussa 11 määriteltiin topologisen avaruuden erotteluominaisuudet (T j ), j = 0,1,2,3,4. Nyt määritellään numeroituvuusominaisuudet (N 1 ) ja (N 2 ) seuraavasti. Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on (N j )-avaruus, j = 1,2, jos vastaava ehto (N j ) toteutuu. Jokaisella X:n pisteellä on korkeintaan numeroituva ympäristökanta. (N 1 ) Topologialla T on korkeintaan numeroituva kanta. (N 2 ) Huomautus Ominaisuuksien (T j ) välillä vallitsi kovin vähän minkäänlaisia implikaatioita, kuten huomautuksessa 11.2 todettiin. Tässä nähdään heti, että (N 2 ) (N 1 ), sillä huomautuksen 12.9 ja faktan 12.6 mukaan korkeintaan numeroituvasta kannasta saadaan jokaiselle pisteelle korkeintaan numeroituva ympäristökanta. Käänteinen suunta (N 1 ) (N 2 ) ei päde; tästä on esimerkkinä ylinumeroituva joukko varustettuna diskreetillä topologialla. Jätetään tämän tarkka todistus harjoitustehtäväksi. 122

125 Esimerkki a) R n varustettuna euklidisella topologialla on (N 2 )-avaruus (ja siten myös (N 1 )-avaruus); euklidisen topologian kannaksi voidaan valita B = {B(q, 1 n ) q Qn, n N}. Reaalilukujen ominaisuuksien nojalla nähdään helposti, että kyseessä on kanta. B:n numeroituvuus seuraa faktasta 12.3, sillä Q n ja N ovat numeroituvia. Q n :n numeroituvuus seuraa faktoista 12.1 ja b) Diskreetti topologinen avaruus on aina (N 1 )-avaruus. Metrisoituva avaruus on myös aina (N 1 )-avaruus, sillä metrisessä avaruudessa (X,d) pisteen x X ympäristökannaksi käy B = {B d (x, 1 n ) n N}, joka on selvästi numeroituva. Metrisoituva avaruus ei kuitenkaan välttämättä ole (N 2 )-avaruus. Tästä on esimerkkinä huomautuksen ylinumeroituva joukko varustettuna diskreetillä topologialla. c) Jos R varustetaan itseisarvotopologialla ja R R vastaavalla tulotopologialla T, niin (R R, T ) ei ole (N 1 )- eikä siten myöskään (N 2 )-avaruus. Tämä todistetaan myöhemmin. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, jolla on (N 1 )-ominaisuus. Tällöin jokaisella X:n pisteellä on ympäristökanta B = {B n n N}, jonka alkiot ovat sisäkkäin eli B n+1 B n kaikille n N. Todistus. Olkoon a X mielivaltainen. Koska oletuksen mukaan (X, T ) on (N 1 )-avaruus, niin a:lla on ympäristökanta D a, joka on korkeintaan numeroituva. On selvää, että ympäristökanta ei voi olla tyhjä, joten D a on äärellinen tai numeroituva. Kummassakin tapauksessa voidaan faktan 12.5 nojalla valita surjektio ϕ : N D a. Määritellään B n = n ϕ(i). i=1 Koska kuvapisteet ϕ(i) ovat ympäristökannan D a alkioita, niin ne ovat myös topologian T alkioita. Silloin B n T, koska avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. Lisäksi pätee a B n, koska a ϕ(i) kaikille i. On myös selvää, että B n+1 B n kaikille n. Tällöin B a = {B n n N} on haluttu a:n ympäristökanta, jos osoitetaan, että se toteuttaa ympäristökannan määritelmän 12.8 jälkimmäisen ehdon kaikille pisteen a ympäristöille A on olemassa (1) B n B a siten, että B n A. 123

126 Olkoon tätä varten A mielivaltainen pisteen a ympäristö. Koska D a on a:n ympäristökanta, niin on olemassa D D a siten, että D A. (2) Koska kuvaus ϕ : N D on surjektio, niin on olemassa n N siten, että Joukon B n määritelmän mukaan ϕ(n) = D. (3) B n ϕ(n), jolloin ehtojen (3) ja (2) nojalla B n A, ja väite (1) seuraa. Seuraavaksi nähdään, että metrinen lause MA yleistyy (N 1 )-avaruuksiin. Yleisesti tämä ei päde, esimerkin c)-kohdan avaruus on sellainen, jossa tämä lause ei ole voimassa (toiseen suuntaan). Jätetään tämänkin tarkempi pohtiminen harjoitustehtäväksi. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, jolla on (N 1 )-ominaisuus. Olkoon x X ja A X. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. x A. (1) On olemassa joukon A jono (x n ) siten, että x n x. (2) Todistus. (1) (2) Koska (X, T ) on (N 1 ) avaruus, niin lauseen nojalla pisteellä x on ympäristökanta {B n n N} siten, että B n+1 B n kaikille n N. (3) Ympäristökannan alkiot ovat määritelmän mukaan x:n ympäristöjä. Koska oletuksen (1) perusteella x A, niin tällöin B n A kaikille n N. (4) Ehdon (4) ja valinta-aksiooman nojalla voidaan muodostaa jono (x n ) siten, että x n B n A kaikille n N. (5) Tällöin (x n ) on joukon A jono, ja riittää osoittaa, että x n x. (6) Olkoon tätä varten U pisteen x mielivaltainen ympäristö. Väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että on olemassa n 0 siten, että x n U kaikille n n 0. (7) 124

127 Koska {B n n N} on pisteen x ympäristökanta ja U pisteen x ympäristö, niin on olemassa n 0 N siten, että B n0 U. (8) Tämä n 0 toimii ehdossa (7). Tämän osoittamiseksi olkoon n n 0. Tällöin ehdon (3) nojalla B n B n0. (9) Ehdon (5) nojalla x n B n, jolloin ehtojen (9) ja (8) perusteella x n U, joten ehto (7) pätee. Tämä todistaa väitteen (6). (2) (1) Väitteen tämä suunta voidaan todistaa täsmälleen samoin kuin lauseen MA vastaava tulos. Huomautus. Lauseen todistuksen suunta (2) (1) voidaan siis kopioida vastaavasta metrisestä tuloksesta. Tämä on helppo nähdä: metrisessä todistuksessa ei tarvita metriikkaa lainkaan, vaan pelataan yleisesti ympäristöillä. Todistuksessa ei tarvita myöskään ehtoa (N 1 ), joten lauseen tämä suunta pätee kaikissa topologisissa avaruuksissa. Seuraava lause yleistää metrisen lauseen MA yleisiin topologisiin avaruuksiin, muttei ihan kaikkiin tuloavaruudesta R R löytyy vastaesimerkkejä. Lause Olkoon (X, T X ) topologinen avaruus, jolla on (N 1 )-ominaisuus. Olkoon (Y, T Y ) toinen topologinen avaruus, josta ei oleteta mitään. Olkoon lisäksi a X ja f : X Y kuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a. (1) Jos (x n ) on joukon X jono siten, että x n a, niin f(x n ) f(a). (2) Todistus. (1) (2) Väitteen tämä suunta voidaan todistaa täsmälleen samoin kuin lauseen MA vastaava suunta. (2) (1) Oletetaan, että ehto (2) pätee. Väitetään, että f on jatkuva pisteessä a. Lauseen 3.4 nojalla riittää osoittaa, että kaikille A X pätee seuraava ehto. Jos a A, niin f(a) f(a). Olkoon tätä varten A X siten, että Pitää osoittaa, että a A. (3) f(a) f(a). (4) Koska oletuksen mukaan (X, T X ) on (N 1 )-avaruus, niin ehdon (3) ja lauseen nojalla on olemassa joukon A jono (a n ) siten, että a n a. (5) 125

128 Ehdon (5) ja oletuksen (2) perusteella f(a n ) f(a). (6) Koska (a n ) on joukon A jono, niin triviaalisti (f(a n )) on joukon f(a) jono. Tällöin väite (4) seuraa ehdosta (6) ja lauseesta Huomaa, että lauseen oletukset eivät ole voimassa avaruudessa (Y, T Y ), mutta tässä käytetään nimenomaan lauseen sitä suuntaa, joka pätee kaikissa topologisissa avaruuksissa, kuten kyseisen lauseen jälkeisessä huomautuksessa todettiin. Huomautus Nyt voidaan kysellä myös ominaisuuksien (N 1 ) ja (N 2 ) periytyvyyden perään. On helppo nähdä, että ne molemmat periytyvät aliavaruuksiin. Sen sijaan tuloihin ne eivät yleisesti periydy. Molempiin ominaisuuksiin tästä on esimerkkinä tuloavaruus R R, ks. esim c). Tässä periytymättömyydessä on kuitenkin vähän erilainen syy kuin ominaisuuden (T 4 ) periytymättömyydessä; sehän ei esimerkin mukaisesti periydy edes kahden avaruuden tuloon. Nämä ominaisuudet (N j ) periytyvät kahden avaruuden tuloon, ja itse asiassa ne periytyvät numeroituvaan tuloon, kuten seuraava lause osoittaa. Ylinumeroituvaan tuloon ne siis eivät välttämättä periydy. Lause Olkoon I äärellinen tai numeroituva indeksijoukko ja {(X, T i )} i I perhe topologisia avaruuksia, joilla kaikilla on ominaisuus (N j ), j = 1,2. Tällöin tulotopologialla T X varustetulla tuloavaruudella X = i I X i on myös ominaisuus (N j ). Todistus. Nämä ovat samankaltaisia todistuksia; todistetaan väite ehdolle (N 2 ) ja jätetään se ehdon (N 1 ) osalta harjoitustehtäväksi. Olkoon kaikille i I pr i : X X i projektiokuvaus. Koska siis kaikilla (X, T i ) on ominaisuus (N 2 ), niin niillä kullakin on jokin korkeintaan numeroituva topologian T i kanta D i. Koska topologian kanta ei voi olla tyhjä, niin jokainen D i on äärellinen tai numeroituva. Silloin faktan 12.5 nojalla kaikille i I on olemassa surjektio ϕ i : N D i. Lauseen 6.12 nojalla B = { pr 1 k (D k) K I, K on äärellinen ja D k D k kaikille k K} k K on X:n tulotopologian T X kanta. Silloin lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että B on korkeintaan numeroituva. (1) Merkitään kaikille äärellisille K I B K = { pr 1 k (D k) D k D k kaikille k K}. k K Tällöin B = {B K K I, K on äärellinen}. (2) 126

129 Koska I on oletuksen mukaan korkeintaan numeroituva, niin faktan 12.4 nojalla joukko {K K I, K on äärellinen} on korkeintaan numeroituva. Siten esityksen (2) perusteella B on korkeintaan numeroituva yhdiste joukoista B K. Tällöin faktan 12.2 nojalla väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että jokaiselle äärelliselle K I joukko B K on korkeintaan numeroituva. (3) Olkoon tätä varten K I äärellinen, kiinteä joukko. Koska ϕ k : N D k on surjektio kaikille k K, niin B K voidaan esittää muodossa B K = { pr 1 k (ϕ k(j k )) j k N kaikille k K}. (4) k K Faktan 12.3 ja K:n äärellisyyden nojalla N K on numeroituva. Silloin faktan 12.5 nojalla väite (3) seuraa, jos konstruoidaan surjektio f : N K B K. Tällainen syntyy määrittelemällä jokaiselle x N K f(x) = k K pr 1 k (ϕ k(x(k))). (5) Koska x(k) N kaikille x N K ja k K, niin esityksen (4) mukaan ainakin f(x) B K kaikille x N K, joten f on hyvin määritelty. Riittää siis osoittaa, että se on surjektio. Olkoon tätä varten esityksen (4) mukaisesti k K Määritellään x N K asettamalla jolloin esityksen (5) nojalla pr 1 k (ϕ k(j k )) B K mielivaltainen. x(k) = j k kaikille k K, f(x) = k K pr 1 k (ϕ k(j k )), ja surjektiivisuus seuraa. Ehtojen (N 1 ) ja (N 2 ) lisäksi nostetaan esille vielä kaksi numeroituvuuteen liittyvää topologista ehtoa. Nämä ovat ns. Lindelöf-ehto ja separoituvuus. Tarkastellaan ensin Lindelöf-ehtoa. Määritelmä Sanotaan, että topologinen avaruus (X, T ) on Lindelöfavaruus, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on korkeintaan numeroituva osapeite. 127

130 Huomautus Kompakti metrinen avaruus on Lindelöf-avaruus, koska lauseen MA nojalla sen jokaisella peitteellä on suorastaan äärellinen osapeite. Myöhemmin tullaan kompaktius yleisissä topologisissa avaruuksissa määrittelemään tätä lauseen MA ehtoa käyttäen, jolloin myös jokainen kompakti topolologinen avaruus on Lindelöf-avaruus. Lindelöf-avaruuden ei kuitenkaan tarvitse olla kompakti edes metrisessä tapauksessa. Esimerkkinä tästä on N varustettuna diskreetillä metriikalla. Metrisenkään avaruuden ei välttämättä tarvitse olla Lindelöf. Esimerkkinä toimii mikä tahansa ylinumeroituva X varustettuna diskreetillä metriikalla. Esimerkki R n varustettuna euklidisella topologialla T e on Lindelöf-avaruus. Samoin ovat Lindelöf-avaruuksia kaikki tämän avaruuden topologiset aliavaruudet. Jätetään näiden väitteiden todistus harjoitustehtäväksi. Nyt voidaan kysellä tämän Lindelöf-ominaisuuden periytyvyyttä. Huonosti se periytyy. Myöhemmin osoitetaan, että Lindelöf-ominaisuus ei periydy tuloihin. Se ei periydy myöskään aliavaruuksiin, vaikka esimerkin perusteella voisi muuta luulla. Tämä näkyy seuraavasta esimerkistä. Esimerkki Olkoon X jokin ylinumeroituva joukko ja x X. Määritellään joukkoon X topologia T asettamalla T ={U P(X) U X \ {x}} {V P(X) x V ja X \ V on äärellinen tai tyhjä}. On helppo nähdä, että T on topologia, vrt. harjoitustehtävä 1.2. On myös helppo nähdä, että (X, T ) on Lindelöf-avaruus, sillä jokaisella X:n peitteellä on jopa äärellinen osapeite (eli (X, T ) on kompakti). Jos merkitään A = X \ {x} ja varustetaan A aliavaruustopologialla T A, niin (A, T A ) on diskreetti topologinen avaruus, joka ei ole huomautuksen mukaan Lindelöf-avaruus, koska A on ylinumeroituva. Sitten voidaan kysyä, miten Lindelöf-ominaisuus suhtautuu ominaisuuksiin (N 1 ) ja (N 2 ). Lindelöf-ominaisuus ei implikoi kumpaakaan ominaisuuksista (N 1 ) ja (N 2 ). Tämä näkyy esimerkistä Siinä (X, T ) on Lindelöf, mutta ei ole (N 1 ), koska pisteellä x ei ole numeroituvaa ympäristökantaa. Se ei ole myöskään (N 2 ). Tämä johtuu siitä, että (N 2 )-ominaisuus periytyy aliavaruuksiin huomutuksen mukaan, ja esimerkin (A, T A ) on diskreetti ja ylinumeroituva aliavaruus, joka ei ole (N 2 )-avaruus. (N 1 )-ominaisuus ei myöskään implikoi Lindelöf-ominaisuutta, sillä diskreetti ja ylinumeroituva avaruus on (N 1 ), muttei ole Lindelöf. Sen sijaan (N 2 )-ominaisuus implikoi Lindelöf-ominaisuuden. Tämä todistetaan seuraavassa lauseessa. 128

131 Lause Jos topologinen avaruus on (N 2 )-avaruus, niin se on myös Lindelöfavaruus. Todistus. Olkoon (X, T ) (N 2 )-avaruus ja olkoon D avaruuden X avoin peite. Pitäisi löytää tästä peittestä korkeintaan numeroituva osapeite. Koska (X, T ) on (N 2 )-avaruus, niin T :llä on korkeintaan numeroituva kanta, olkoon se B. Tällöin faktan 12.5 nojalla on olemassa surjektio B : N B. Merkitään tuttuun jonomaiseen tyyliin B n = B(n) kaikille n N, jolloin B:n surjektiivisuuden nojalla B = {B n } n N. (1) Määritellään M = {n N on olemassa D D siten, että B n D} N. Joukon M määritelmän mukaan kaikille n M voidaan valita D n D siten, että B n D n. Valinta-aksiooman nojalla näin syntyy kuvaus ϕ : M D, jolle pätee B n ϕ(n) := D n kaikille n M. (2) Koska määritelmänsä mukaan M N, niin faktan 12.6 nojalla M on korkeintaan numeroituva. Koska ϕ : M ϕ(m) on triviaalisti surjektio, niin faktan 12.5 nojalla ϕ(m) D on korkeintaan numeroituva. Tällöin lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että ϕ(m) on X:n peite. (3) Olkoon tätä varten x X mielivaltainen. Väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että x ϕ(n) jollekin n M. (4) Koska D on X:n peite, niin on olemassa jokin D D siten, että x D. Koska D on X:n avoin peite, niin D on avoin. Koska B on T :n kanta, niin D:n avoimuuden, lauseen 2.5 ja esityksen (1) perusteella on olemassa jokin B n siten, että x B n D. (5) Joukon M määritelmän mukaan ehdon (5) luvulle n pätee n M, jolloin ehdon (2) nojalla ϕ(n) on määritelty ja pätee B n ϕ(n). (6) Ehtojen (6) ja (5) nojalla väite (4) seuraa. Esimerkki R:n itseisarvotopologian määräämä tuloavaruus R N on Lindelöfavaruus, samoin kuin sen kaikki topologiset aliavaruudet. Tämä seuraa siitä, että esimerkin a) nojalla R on (N 2 ), jolloin lauseen nojalla R N 129

132 on (N 2 ). Huomautuksen nojalla (N 2 )-ominaisuus periytyy aliavaruuksiin, joten kaikki avaruuden R N aliavaruudet ovat (N 2 )-avaruuksia ja siten lauseen nojalla myös Lindelöf-avaruuksia. Huomaa, että tässä päästiin kiertämään Lindelöf-ominaisuuden periytymättömyys (N 2 )-ominaisuuden avulla. Seuraavaksi määritellään vielä yksi numeroituvuuteen liittyvä topologinen ominaisuus aiempien (N 1 ), (N 2 ) ja Lindelöf-ominaisuuksien lisäksi. Määritelmä Sanotaan, että topologinen avaruus (X, T ) on separoituva, jos X:llä on korkeintaan numeroituva tiheä osajoukko. Muistutus. Tiheä joukkohan määriteltiin kohdassa 1.18: A X on tiheä, jos A = X. Esimerkki Euklidisella topologialla varustettu R n on separoituva, sillä Q n on tiheä ja faktan 12.3 perusteella numeroituva. Jokainen numeroituva (tai äärellinen) topologinen avaruus on triviaalisti separoituva. Jos X on ylinumeroituva, niin (X, T dis ) ei ole separoituva. Miten sitten tämä separoituvuus suhtautuu aiemmin määriteltyihin ominaisuuksiin (N 1 ), (N 2 ) ja Lindelöf? (N 1 )-avaruus ei välttämättä ole separoituva, esimerkkinä (X, T dis ) ylinumeroituvalle X. Separoituva avaruus ei välttämättä ole (N 1 ). Tästä on esimerkkinä R:n itseisarvometriikan määräämä tuloavaruus R R. On aika vaikeaa todistaa, että tämä on separoituva, mutta toisaalta vaikeaa on myös todistaa, että tämä ei ole (N 1 ). Jätetään todistukset bonustehtäväksi. Separoituva avaruus ei välttämättä ole Lindelöf. Tämä näkyy seuraavasta esimerkistä, jossa olevat pallot B(a, r) ovat tason euklidisen normin määräämiä palloja. Olkoon X = R 2, A reaaliakseli tasossa R 2 ja määritellään B ={U X \ A U on avoin R 2 :n euklidisessa topologiassa} {U U = (B(a,r) \ A) {a}, a A, r > 0}. Näin määritelty B on erään X:n topologian T kanta. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että T on separoituva, mutta ei ole Lindelöf. Lindelöf-avaruus ei välttämättä ole separoituva. Tämä näkyy esimerkistä 12.21, jossa oleva (X, T ) on Lindelöf, muttei ole separoituva harjoitustehtävä tämäkin, tosin paljon helpompi kuin nuo edelliset. Separoituva avaruus ei välttämättä ole (N 2 ). Tämän osoittaa tuo edellä ollut 130

133 esimerkki, jossa nähtiin, että separoituva Lindelöf. Kyseisessä esimerkissä oleva (X, T ) ei ole myöskään (N 2 ). Jätetään tämänkin todistus harjoitustehtäväksi. No nythän tässä on separoituvuuden suhteen nihiloitu lähes kaikki mahdolliset implikaatiot lukuunottamatta ehtoa (N 2 ) separoituva. Tämä nyt sitten näistä kaikista muista poiketen pätee, kuten seuraava lause kertoo. Lause Jos topologinen avaruus on (N 2 )-avaruus, niin se on myös separoituva. Todistus. Olkoon (X, T ) (N 2 )-avaruus. Pitää osoittaa, että X:ssä on korkeintaan numeroituva tiheä osajoukko. Koska (X, T ) on (N 2 )-avaruus, niin T :llä on korkeintaan numeroituva kanta, olkoon se B. Tällöin ilmeisesti myös B := B\{ } on T :n kanta ja lisäksi korkeintaan numeroituva. Tällöin faktan 12.5 nojalla on olemassa surjektio B : N B. Merkitään tuttuun jonomaiseen tyyliin B n = B(n) kaikille n N, jolloin B:n surjektiivisuuden nojalla B = {B n } n N. (1) Kannan B määritelmän nojalla B n kaikille n N, joten kaikille n N voidaan valita x n B n. (2) Määritellään A = {x n n N} X. Tällöin A on korkeintaan numeroituva, sillä valinta-aksiooman nojalla n x n on kuvaus N A ja selvästi surjektio, jolloin A:n numeroituvuus seuraa faktasta Silloin lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että A on tiheä eli että pätee A = X. (3) Olkoon tätä varten x X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että x A eli että x:n jokaisessa ympäristössä on jokin A:n piste. Olkoon tätä varten U pisteen x mielivaltainen ympäristö. Väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että U A. (4) Koska U on x:n ympäristö, niin x U ja U on avoin. Koska B on topologian T kanta, niin lauseen 2.5 ja esityksen (1) nojalla x B n U jollekin B n. Tällöin ehdon (2) perusteella x n U. Väite (4) seuraa tästä, sillä joukon A määritelmän mukaan x n A. 131

134 Huomautus Edellä on osoitettu (12.11, ja 12.26), että (N 2 )- ominaisuus implikoi kaikki muut näistä numeroituvuusominaisuuksista eli (N 1 )- ja Lindelöf-ominaisuuden sekä separoituvuuden. Toisaalta on eri esimerkein nähty, että mitään muita implikaatioita näiden välillä ei ole. Esimerkki Olkoon (X, T ) = (R, T pa ). Tutkitaan, mitkä numeroituvuusominaisuudet tässä avaruudessa pätevät. Jos (N 2 ) pätee, niin huomautuksen mukaan enemmät tutkimukset voi lopettaa siihen: kaikki muutkin ominaisuudet pätevät. Kuten arvata saattaa, näin ei ole. a) (X, T ) ei ole (N 2 )-avaruus. Tämän todistamiseksi pitää osoittaa, että topologialla T ei ole korkeintaan numeroituvaa kantaa. Olkoon B topologian T mielivaltainen kanta. Riittää osoittaa, että B on ylinumeroituva. Koska R on faktan 12.1 mukaan ylinumeroituva, riittää faktan 12.7 perusteella konstruoida injektiivinen kuvaus f : R B. Koska puoliavoimen topologian määritelmän mukaan kaikille x R pätee [x,x + 1[ T, niin lauseen 2.5 nojalla kaikille x R voidaan valita B x B siten, että x B x [x,x + 1[. (1) Valinta-aksiooman nojalla näin syntyy kuvaus f : R B, f(x) = B x. Riittää osoittaa, että tämä f on injektio. Olkoon sitä varten x y R. Pitää osoittaa, että f(x) f(y) eli että B x B y. (2) Tehdään antiteesi: B x = B y. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että x < y. Tällöin saadaan x i) B x ii) = B y iii) [y,y + 1[, mikä on mahdotonta, koska x < y. Tässä ehto i) seuraa ehdosta (1), yhtälö ii) tulee antiteesista ja ehto iii) seuraa taas ehdosta (1). Syntynyt ristiriita todistaa väitteen (2). b) (X, T ) on (N 1 )-avaruus. Tämä on helppo nähdä, sillä ilmeisesti kaikille x X perhe {[x,x + 1 n [} n N on pisteen x numeroituva ympäristökanta. 132

135 c) (X, T ) on Lindelöf-avaruus. Tämän todistamiseksi tarkastellaan avaruuden (X, T ) = (R, T pa ) rinnalla avaruutta (R, T d ), missä T d on itseisarvotopologia. Olkoon D mielivaltainen avaruuden (X, T ) avoin peite. Pitää osoittaa, että D:llä on korkeintaan numeroituva osapeite. Merkitään kaikille D D E D = int(d) avaruudessa (R, T d ). Merkitään edelleen Osoitetaan, että V = D D E D R. R \ V on tyhjä tai korkeintaan numeroituva. (3) Väite (3) pätee, jos R \ V =, joten voidaan olettaa, että näin ei ole. Koska D on avaruuden (X, T ) avoin peite, niin kaikille x R \ V X on olemassa D x D siten, että x D x. Koska D x on avoin topologiassa T = T pa, niin voidaan valita r x > 0 siten, että [x,x + r x [ D x D. (4) Kiinnitetään jokaiselle x R \ V X ehdon (4) mukaiset r x > 0 ja D x D. Koska r x > 0, niin avoin väli ]x,x + r x [ sisältää rationaalilukuja. Valitaan kaikille x R \ V jokin q x ]x,x + r x [ Q. Valinta-aksiooman nojalla näin syntyy kuvaus f : R \ V Q, f(x) = q x. Väite (3) seuraa faktasta 12.5, jos osoitetaan, että f on injektio. (5) Olkoon tätä varten x y R \ V. Pitää osoittaa, että f(x) f(y). Tehdään antiteesi: f(x) = f(y). Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että x < y. Tällöin x < y i) < q y = f(y) = f(x) = q x ii) < x + r x, (6) missä epäyhtälö i) seuraa siitä, että q y ]y,y + r y [ ja epäyhtälö ii) vastaavasti siitä, että q x ]x,x + r x [. Ehdon (6) nojalla y ]x,x + r x [, jolloin ehdon (4) nojalla y int(d x ) topologiassa T d. Tällöin joukon E D määritelmän mukaan y E Dx ja siten y E D = V. D D 133

136 Tämä on vastoin ehtoa y R \ V. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen (5). Silloin myös väite (3) on todistettu. Koska R on ylinumeroituva, niin ehdon (3) nojalla ei voi olla V =, jolloin (V, T dv ) on (metrisen) avaruuden (R, T d ) (metrinen) aliavaruus. Tällöin esimerkin mukaan (V, T dv ) on Lindelöf-avaruus. (7) Koska joukot E D = int(d) ovat avoimia topologiassa T d, niin lauseen 5.5 mukaan joukot E D V ovat avoimia myös topologiassa T dv. Koska määritelmän mukaan V = D D E D, niin perhe {E D } D D on avaruuden (V, T dv ) avoin peite. (8) Ehdon (7) nojalla peitteestä (8) löytyy korkeintaan numeroituva osapeite eli on olemassa korkeintaan numeroituva D D siten, että D D E D = V. (9) Määritellään nyt E := D {D x } x R\V D, missä D x on kuten ehdossa (4). Koska D on korkeintaan numeroituva, niin ehdon (3) ja faktan 12.2 nojalla E on korkeintaan numeroituva. Tämä E on peitteen D haettu numeroituva osapeite, mikäli se on X:n peite. Tämä pitää vielä todistaa eli osoittaa, että D = X. (10) D E Olkoon tätä varten x X = R mielivaltainen. Jos x V, niin ehdon (9) nojalla x D D E D i) D D D ii) D E D, ja asia on selvä. Tässä inkluusio i) perustuu siihen, että E D = int(d) D kaikille D D D. Inkluusio ii) seuraa siitä, että D E. Voidaan siis olettaa, että x R \ V. Tällöin ehdon (4) nojalla x D x, jolloin x D y ( D) ( D y ) = D, y R\V D D y R\V D E ja väite (10) seuraa. d) (X, T ) on separoituva. Tämä on vaihteeksi helppo todistaa, sillä Q on numeroituva ja tiheä avaruudessa (X, T ). 134

137 Seuraavaksi tarkastellaan näitä numeroituvuusominaisuuksia metrisoituvassa avaruudessa. Kuten esimerkissä b) todettiin, metrisoituva avaruus on aina (N 1 ), joten tämä ehto voidaan nyt unohtaa. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että metrisoituvassa tapauksessa nämä muut kolme ehtoa ovat ekvivalentteja keskenään. Tässä ei suinkaan väitetä, että ne aina pätevät metrisoituvassa avaruudessa; nehän voivat päteä tai olla pätemättä, esimerkkeinä R itseisarvotopologialla tai diskreetillä topologialla varustettuna. Lause Olkoon (X, T ) metrisoituva topologinen avaruus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (X, T ) on (N 2 )-avaruus. (1) (X, T ) on Lindelöf-avaruus. (2) (X, T ) on separoituva. (3) Todistus. Koska (X, T ) on metrisoituva, niin on olemassa X:n metriikka d siten, että T = T d. Kiinnitetään jokin tällainen metriikka. Muotoillaan todistusta varten vielä ehto (4), joka sitten osoitetaan yhtäpitäväksi väitteen kolmen ehdon kanssa. Jokaiselle ǫ > 0 on olemassa avaruuden (X, T ) korkeintaan (4) numeroituva avoin peite A ǫ siten, että d(a) < ǫ kaikille A A ǫ. Riittää todistaa oikeaksi implikaatioketju (1) (2) (4) (3) (1) (1) (2) Tämä todistettiin jo lauseessa Siinähän ei itse asiassa metrisoituvuutta tarvittu lainkaan. (2) (4) Koska metriikka d on käytössä, voidaan puhua avoimista palloista metriikan d suhteen. Nämä ovat avoimia topologiassa T d ja siten myös topologiassa T. Annetulle ǫ > 0 perhe {B(x, ǫ 3 )} x X on X:n avoin peite. Oletuksen (2) eli Lindelöf-ominaisuuden nojalla tästä perheestä löytyy korkeintaan numeroituva osapeite, ts. on olemassa korkeintaan numeroituva joukko Y X siten, että {B(y, ǫ 3 )} y Y on X:n peite. Tämä on ehdossa (4) haluttu peite, jos osoitetaan, että d(b(y, ǫ )) < ǫ kaikille y Y. 3 Tämä on selvää, sillä lauseen MA 2.18 nojalla d(b(y, ǫ 2ǫ 3 )) 3 < ǫ. (4) (3) Oletetaan, että ehto (4) pätee. Pitäisi löytää korkeintaan numeroituva tiheä osajoukko. Ominaisuuden (4) nojalla kaikille n N on olemassa 135

138 avaruuden (X, T ) korkeintaan numeroituva avoin peite A n siten, että d(a) < 1 n kaikille A A n. (5) Valitaan tällaiset peitteet A n, n N. Peitteissä voi olla tyhjiä joukkoja, mutta poistetaan ne tarpeettomina numeroituvuuteenhan tämä ei faktan 12.6 nojalla vaikuta. Silloin joukot A n N A n ovat epätyhjiä, ja jokaisesta joukosta A n N A n voidaan valita jokin alkio x A. Muodostetaan näistä joukko B = {x A A n N A n }. (Taitaa muuten olla valinta-aksiooma tämänkin joukon muodostamisessa tarpeen.) Tällöin x A B A kaikille A n N A n. (6) Koska jokainen A n on korkeintaan numeroituva, niin faktan 12.2 nojalla joukko n N A n on korkeintaan numeroituva, ja silloin faktan 12.5 perusteella myös B on korkeintaan numeroituva, sillä kuvaus n N A n B, A x A on surjektio. Tällöin riittää osoittaa, että näin konstruoitu joukko B on tiheä avaruudessa (X, T ), ts. että B = X. (7) Olkoon tätä varten x X mielivaltainen ja U pisteen x mielivaltainen ympäristö. Väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että U B. (8) Koska U on avoin topologiassa T = T d, niin on olemassa r > 0 siten, että B(x,r) U. (9) Valitaan n N niin suureksi, että Koska A n on X:n peite, niin 1 < r. (10) n x A jollekin A A n. (11) Ehdon (6) nojalla ehdon (11) joukolle A ja vastaavalle pisteelle x A A pätee x A B, jolloin väite (8) seuraa, jos osoitetaan, että x A U. Tämä väite seuraa ehdosta (9), jos osoitetaan, että x A B(x,r) eli että d(x,x A ) < r. 136

139 Tämän näkee näin: d(x,x A ) i) d(a) ii) < 1 iii) < r, n missä epäyhtälö i) seuraa siitä, että ehtojen (6) ja (11) nojalla x,x A A. Epäyhtälö ii) seuraa ehdoista (5) ja (11) sekä epäyhtälö iii) ehdosta (10). (3) (1) Oletetaan, että (X, T ) on separoituva. Pitää löytää topologialle T korkeintaan numeroituva kanta. Separoituvuusoletuksen nojalla avaruudessa (X, T ) on korkeintaan numeroituva tiheä joukko, olkoon se A. Merkitään kaikille n N B n = {B(a, 1 n )} a A ja edelleen B = n N B n. Koska A on korkeintaan numeroituva, niin myös joukot B n ovat korkeintaan numeroituvia. Silloin faktan 12.2 nojalla B on numeroituva, joten riittää osoittaa, että se on T :n kanta. Avoimet pallot ovat avoimia topologiassa T d ja siten myös topologiassa T, joten B T. Silloin lauseen 2.5 nojalla riittää osoittaa, että jos x U T, niin on olemassa B B siten, että x B U. (12) Olkoon tätä varten x X mielivaltainen ja x U jollekin U T = T d. Tällöin on olemassa n N siten, että B(x, 1 ) U. (13) n Koska joukko A on tiheä, niin x on A:n kosketuspiste, ja silloin on olemassa a A B(x, 1 ). (14) 2n Koska ehdon (14) nojalla a A, niin joukkojen B 2n ja B määritelmien nojalla B(a, 1 2n ) B 2n B. Tällöin väite (12) seuraa, jos osoitetaan, että x B(a, Ehdon (14) nojalla a B(x, 1 2n ), joten triviaalisti x B(a, 1 ) U. (15) 2n ). (16) 2n

140 Lisäksi pätee B(a, sillä jos y B(a, 1 2n ), niin kolmioepäyhtälön nojalla 1 2n ) B(x, 1 ), (17) n d(y,x) d(y,a) + d(a,x) < 1 2n + 1 2n = 1 n. Ehtojen (13) ja (17) nojalla 1 B(a, ) U. 2n (18) Väite (15) seuraa ehdoista (16) ja (18) Huomautus Esimerkissä väitettiin, että (R, T pa ) ei ole metrisoituva todistusta ei kuitenkaan tälle väitteelle annettu. Nyt tämä väite on itse asiassa todistettu, sillä lauseen mukaan metrisoituva avaruus on yhtä aikaa separoituva ja (N 2 ). Esimerkissä osoitettiin, että (R, T pa ) on separoituva, mutta ei ole (N 2 ). Siten (R, T pa ) ei voi olla metrisoituva. Tarkastellaan vielä tämän luvun lopuksi numeroituvuusehtojen linkittymistä edellisen luvun erotteluehtoihin (T j ). Esimerkissä osoitettiin, että (R, T pa ) on (T 3 )-avaruus. Silloin lauseen nojalla tuloavaruus (R, T pa ) (R, T pa ) on myös (T 3 )-avaruus. Esimerkissä nähtiin, että (R, T pa ) (R, T pa ) ei ole (T 4 )-avaruus. Tämä osoittaa, että yleensä (T 3 ) (T 4 ). Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että jos avaruus on sekä (T 3 ) että Lindelöf, niin se on myös (T 4 ). Huomaa, että tämä tulos yhdessä yllä sanotun kanssa osoittaa, että (R, T pa ) (R, T pa ) ei voi olla Lindelöf. Näyttäisi sille, että tämän todistaminen suoraan ilman mitään aputuloksia on aika visainen tehtävä. (Toki voin olla väärässä, on täysin mahdollista, että tähän on suora ja yksinkertainen todistus, jota en nyt vain satu näkemään.) Jos nyt kuitenkin olen oikeassa, niin se on kertomus siitä, että seuraavan lauseen todistus ei voi olla kovin yksinkertainen eli kyseessä on melko kovan luokan lause. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on sekä (T 3 )- että Lindelöfavaruus. Tällöin (X, T ) on myös (T 4 )-avaruus. Todistus. Olkoot A,B X suljettuja joukkoja siten, että A B =. Pitää osoittaa, että on olemassa avoimet joukot U A,U B X siten, että A U A, B U B ja U A U B =. (1) Jos A =, niin voidaan valita U A = ja U B = X, jotka ovat avoimia ja toteuttavat ehdon (1). Vastaavasti väite pätee, jos B =. Voidaan siis olettaa, että A ja B. 138

141 Koska (X, T ) on (T 3 )-avaruus, niin kaikilla a A on olemassa avoimet joukot U a ja UB a siten, että a U a, B U a B ja U a U a B =. (2) Koska ehdon (2) mukaan kaikille a A pätee U a X \ U a B, ja X \ Ua B on avoimen joukon komplementtina suljettu, niin lauseen 1.12 nojalla U a X \ U a B. (3) Koska ehdon (2) nojalla B UB a, niin X \ Ua B X \ B, ja silloin ehdon (3) nojalla U a X \ B eli U a B =. (4) Tämä U a :n valinta tehdään siis kaikille a A. Vastaavalla tavalla nähdään, että jokaiselle b B voidaan valita avoin U b siten, että Merkitään U b A =. (5) C = X \ (A B), jolloin C on suljetun joukon komplementtina avoin. Määritellään joukkoperhe D P(X) asettamalla D = {U a } a A {U b } b B {C}. (Valinta-aksioomahan se tässäkin on taas tarpeen.) Koska a U a kaikille a A, niin {U a } a A peittää joukon A. Vastaavasti {U b } b B peittää joukon B. Koska {C} peittää loput joukosta X, niin D on X:n peite. Se on lisäksi avoin peite, koska joukot U a,u b ja C ovat kaikki avoimia. Koska (X, T ) on Lindelöf-avaruus, niin tällä peitteellä on korkeintaan numeroituva osapeite D. Koska korkeintaan numeroituvan joukon osajoukko on faktan 12.6 nojalla korkeintaan numeroituva, niin osapeite D voi sisältää korkeintaan numeroituvan monta alkiota perheestä {U a } a A ja vastaavasti perheestä {U b } a B. On epäselvää, sisältyykö alkio C osapeitteeseen D, mutta jos ei sisälly, niin lisätään se sinne tämä yhden alkion lisäyshän ei numeroituvuuteen vaikuta. On myös epäselvää, sisältyykö perheestä {U a } a A yhtään alkiota osapeitteeseen D, mutta jos ei sisälly, niin lisätään sinne yksi tämähän on mahdollista oletuksen A nojalla. Vastaavasti voidaan olettaa, että perheestä {U b } a B sisältyy ainakin yksi alkio osapeitteeseen D. A ja vastaavasti äärel- Tällöin on olemassa äärellinen tai numeroituva A linen tai numeroituva B B siten, että D = {U a } a A {U b } b B {C}. 139

142 Koska A ja B ovat äärellisiä tai numeroituvia, niin faktan 12.5 nojalla on olemassa surjektiot V : N A ja W : N B. Tällöin D = {U V (n) } n N {U W(n) } n N {C}. (6) Määritellään kaikille n N joukot E n ja F n asettamalla E n = U V (n) \ n U W(k) ja F n = U W(n) \ k=1 Koska E n voidaan esittää muodossa E n = U V (n) (X \ n U W(k) ), k=1 n U V (k). ja n k=1 U W(k) on äärellisen monen suljetun joukon yhdisteenä suljettu, niin E n on kahden avoimen joukon leikkauksena avoin. Vastaavasti nähdään, että F n on avoin. Merkitään U A = E n ja U B = F n. n N n N U A ja U B ovat avoimien joukkojen yhdisteinä avoimia. Nämä näin määritellyt avoimet joukot U A ja U B ovat juuri sellaisia, joita ehdossa (1) peräänkuulutettiin. Pitää vain osoittaa, että ehdon (1) vaatimukset toteutuvat. Osoitetaan ensin, että A U A. (7) Olkoon tätä varten a A mielivaltainen. Koska D on X:n peite, niin esityksen (6) perusteella k=1 a U V (n) jollekin n N tai (8) a U W(n) jollekin n N tai (9) a C. (10) Koska a A ja määritelmänsä mukaan C = X \ (A B), niin ehto (10) ei voi päteä. Myöskään ehto (9) ei voi päteä, sillä W(n) B, jolloin ehdon (5) nojalla U W(n) A =, ja siten a U W(n) ja sitä suuremmalla syyllä a U W(n). Koska kuitenkin joku ehdoista (8), (9) tai (10) pätee, niin ehdon (8) on pädettävä. Kiinnitetään sellainen n, jolle ehto (8) pätee. Ehdon (5) nojalla U W(k) A = kaikille k = 1,...,n, joten n a U W(k). k=1 140

143 Silloin ehdon (8) nojalla a U V (n) \ n U W(k) = E n U A, k=1 joten väite (7) pätee. Vastaavasti osoitetaan, että Lopuksi pitää vielä osoittaa, että B U B. (11) U A U B =. (12) Tehdään antiteesi: on olemassa x U A U B. Joukkojen U A ja U B määritelmien mukaan tällöin x E n ja x F m joillekin n,m N. (13) Oletetaan, että m n tapaus n m käsitellään vastaavasti. Tällöin saadaan x i) F m ii) U W(m) U W(m) iii) n U W(k), (14) missä ehto i) seuraa ehdosta (13), ehto ii) joukon F m määritelmästä ja ehto iii) oletuksesta m n. Ehdon (14) nojalla x U V (n) \ n U W(k), jolloin joukon E n määritelmän mukaan x E n, mutta tämä on vastoin ehtoa (13). Syntynyt ristiriita todistaa väitteen (12). Ehtojen (7), (11) ja (12) nojalla ehdon (1) vaatimukset toteutuvat, joten lause on todistettu. Huomautus a) Esimerkissä osoitettiin, että (R, T pa ) on (T 3 )- avaruus, ja väitettiin, että se on myös (T 4 ), mutta tämä väite jäi todistamatta. Nyt todistus saadaan ilmaiseksi lauseesta 12.31, sillä esimerkissä c) nähtiin, että (R, T pa ) on Lindelöf. b) Aiemmin on väitetty, että Lindelöf-ominaisuus ei periydy tuloihin, mutta yhtään konkreettista esimerkkiä ei ole annettu. Nyt sellainen on käsillä, koska esimerkissä nähtiin, että tuloavaruus (R, T pa ) (R, T pa ) on (T 3 ), muttei ole (T 4 ). Silloin lauseen nojalla tuloavaruus ei voi olla Lindelöf. Näin käy, vaikka (R, T pa ) on Lindelöf esimerkin c) mukaan. Siispä Lindelöfominaisuus ei periydy tuloihin, ei edes äärellisiin. k=1 k=1 141

144 13 Yhtenäisyys 13.1 Yhtenäinen ja polkuyhtenäinen topologinen avaruus Yleisissä topologisissa avaruuksissa yhtenäisyyden käsite määritellään täsmälleen samoin kuin metrisissä avaruuksissa. Määritelmä 13.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on epäyhtenäinen, jos on olemassa avaruudessa (X, T ) avoimet joukot A, B X siten, että A, B, A B = A B = X. ja Sanotaan, että avaruus (X, T ) on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen. Sanotaan, että avaruuden (X, T ) osajoukko C on yhtenäinen, jos aliavaruus (C, T C ) on yhtenäinen. Esimerkkejä. (X, T mini ) on yhtenäinen. Yksiöt ovat yhtenäisiä. (X, T dis ) on epäyhtenäinen, jos X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Siten yksiöt ovat ainoat avaruuden (X, T dis ) yhtenäiset osajoukot. Lause 13.2 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Varustetaan lisäksi joukko {0, 1} diskreetillä topologialla T dis. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: X on epäyhtenäinen. On olemassa suljetut A,B X siten, että X = A B ja A B =. On olemassa avoin ja suljettu A X siten, että A X. On olemassa jatkuva surjektio f : (X, T ) ({0,1}, T dis ). Todistus. Kuten MA Lause 13.3 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A Y X. Tällöin A on yhtenäinen avaruudessa (X, T ) jos ja vain jos A on yhtenäinen aliavaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 13.4 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja C X. Tällöin C on epäyhtenäinen jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (X, T ) avoimet joukot A,B X siten, että seuraavat ehdot pätevät. C A B, A B C =, A C B C. ja 142

145 Todistus. Kuten MA Lause 13.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A B A X. Oletetaan, että A on yhtenäinen. Tällöin myös B on yhtenäinen. Todistus. Kuten MA 16.8 Seuraus 13.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X yhtenäinen. Tällöin myös A on yhtenäinen. Todistus. Tämä seuraa suoraan lauseesta Lause 13.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {A α } α I epätyhjä perhe X:n yhtenäisiä joukkoja siten, että A α. (1) Tällöin joukko on yhtenäinen. Todistus. Kuten MA α I α I Lause 13.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A,B X siten, että B on yhtenäinen. Oletetaan, että A α B A ja (1) B (X \ A). (2) Tällöin myös B A. Todistus. Kuten MA Seuraava lause on monissa sovelluksissa tärkeä: yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Lause 13.9 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja oletetaan, että (X, T X ) on yhtenäinen. Olkoon f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva kuvaus. Tällöin joukko f(x) on yhtenäinen avaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Kuten MA Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja varustetaan suljettu väli [0,1] R itseisarvotopologialla T d. Avaruuden (X, T ) polku on jatkuva kuvaus γ : ([0,1], T d ) (X, T ). Sanotaan, että avaruus (X, T ) on polkuyhtenäinen, jos kaikille x,y X on olemassa avaruuden (X, T ) polku γ siten, että γ(0) = x ja γ(1) = y. Sanotaan myös, että osajoukko A X on polkuyhtenäinen, jos aliavaruus (A, T A ) on polkuyhtenäinen. 143

146 Esimerkkejä. (X, T mini ) on polkuyhtenäinen. Yksiöt ovat polkuyhtenäisiä. (X, T dis ) ei ole polkuyhtenäinen, jos X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Polkuyhtenäisyys suhtautuu yhtenäisyyteen seuraavasti. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on polkuyhtenäinen. Tällöin (X, T ) on myös yhtenäinen. Todistus. Kuten MA Yhtenäisyyskomponentit ja polkukomponentit Yhtenäisyyskomponentin määritelmä on täsmälleen sama kuin metrisissä avaruuksissa. Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Merkitään A a = {A A X, a A ja A on yhtenäinen} ja edelleen C(a) = A A a A. Sanotaan, että joukko C(a) on pisteen a määräämä avaruuden (X, T ) yhtenäisyyskomponentti. Jos on tarpeen spesifioida, minkä avaruuden suhteen (esimerkiksi aliavaruuksien läsnäollessa) yhtenäisyyskomponenttia tarkastellaan, kirjoitetaan joskus myös C(a,X) = C(a). Huomautus Yksiöt ovat yhtenäisiä, joten {a} A a aina. Tästä seuraa välittömästi se, että a C(a) aina. Toisaalta määritelmän mukaan on selvää, että C(a) X, joten {a} C(a) X kaikille pisteille a X. Tällöin pätee C(a) = X a X kaikille topologisille avaruuksille (X, T ). Esimerkkejä. a) Jos avaruus (X, T ) on yhtenäinen, niin X A a kaikille a X, ja silloin yhdisteen määritelmän mukaan C(a) = X kaikille a X. Erityisesti minitopologiassa (X, T mini ) pätee C(a) = X kaikille a X. b) Avaruudessa (X, T dis ) vain yksiöt ovat yhtenäisiä. Tällöin kaikille a X A a = {a} ja siten yhdisteen määritelmän mukaan C(a) = {a} kaikille a X. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Tällöin yhtenäisyyskomponentti C(a) on yhtenäinen avaruudessa (X, T ). 144

147 Todistus. Kuten MA Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a,b X. Tällöin pätee Todistus. Kuten MA joko C(a) = C(b) tai C(a) C(b) =. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, a A X ja oletetaan, että A on yhtenäinen. Tällöin A C(a). Lisäksi, jos A C(b) jollekin b X, niin C(a) = C(b). Todistus. Kuten MA Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Yhtenäisyyskomponentti C(a) on maksimaalinen avaruuden (X, T ) yhtenäinen osajoukko, joka sisältää pisteen a, ts. jos A on yhtenäinen osajoukko, joka sisältää pisteen a, niin A C(a). Todistus. Kuten MA Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a X sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva kuvaus. Tällöin pätee Todistus. Kuten MA f(c(a,x)) C(f(a),Y ). Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a X sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) homeomorfismi. Tällöin pätee Todistus. Kuten MA f(c(a,x)) = C(f(a),Y ). Yhtenäisyyskomponentin ei tarvitse olla avoin, tosin se voi sitä olla, ks. huom. MA 18.2 jälkeiset esimerkit ja myös lause Toisaalta yhtenäisyyskomponentti on aina suljettu, myös yleisissä topologisissa avaruuksissa. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Tällöin yhtenäisyyskomponentti C(a) on suljettu. Todistus. Kuten MA Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, jossa on vain äärellisen monta yhtenäisyyskomponenttia. Tällöin kaikki yhtenäisyyskomponentit ovat avoimia. Todistus. Kuten MA Muistutetaan mieleen topologisen avaruuden polun määritelmä kohdasta

148 Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Määritellään joukossa X relaatio sopimalla, että pisteet x,y X ovat relaatiossa, merkitään x y, jos on olemassa avaruuden (X, T ) polku γ siten, että γ(0) = x ja γ(1) = y. Lemma Määritelmän relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Harjoitustehtävä. Lemman nojalla on helppo todistaa, että lauseen 13.7 muunnos polkuyhtenäisille joukoille pätee. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {A α } α I epätyhjä perhe X:n polkuyhtenäisiä joukkoja siten, että A α. (1) Tällöin joukko on polkuyhtenäinen. Todistus. Harjoitustehtävä. α I α I Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja olkoon määritelmän ja lemman mukainen ekvivalenssirelaatio. Määritellään kaikille a X joukko PC(a) asettamalla A α PC(a) = {x X x a}. Sanotaan, että PC(a) on pisteen a määräämä avaruuden (X, T ) polkukomponentti. Huomautus Määritelmän ja lemman nojalla nähdään heti, että pisteen a määräämä polkukomponentti on pisteen a ekvivalenssiluokka ekvivalenssirelaatiossa. Tällöin ekvivalenssirelaatioiden tai -luokkien yleisten, tunnettujen ominaisuuksien nojalla X jakautuu pistevieraisiin polkukomponentteihin, ts. X = PC(a) ja a X kaikille a,b X pätee PC(a) = PC(b) tai PC(a) PC(b) =. Huomautus Polkukomponentti on aina polkuyhtenäinen. Tämä seuraa suoraan määritelmästä ja lemmasta Triviaalisti aina a PC(a). Lisäksi polkukomponentti PC(a) on maksimaalinen polkuyhtenäinen joukko siinä mielessä, että jos PC(a) A ja myös A on polkuyhtenäinen, niin PC(a) = A. Tämäkin seuraa kohtalaisen suoraan määritelmästä ja lemmasta

149 Huomautus Koska PC(a) on huomautuksen nojalla polkuyhtenäinen, niin se on lauseen mukaan yhtenäinen. Koska a PC(a), niin yhtenäisyyskomponentin C(a) määritelmän mukaan pätee aina PC(a) C(a). Huomautus Huomautuksen mukaan siis PC(a) C(a), mutta nämä eivät välttämättä ole samoja joukkoja. Tästä on esimerkki huomautuksessa MA 17.3, jossa esitelty topologin kampa on yhtenäinen joten sillä on vain yksi yhtenäisyyskomponentti, mutta on helppo nähdä, että polkukomponentteja on kaksi: toinen on kamman irrallinen pää ja toinen muu osa kammasta. Huomautus Lauseen nojalla yhtenäisyyskomponentit ovat suljettuja. Sama ei kuitenkaan päde polkukomponenteille, jotka voivat olla suljettuja tai sitten ei. Tämä näkyy huomautuksen kampaesimerkistä, jossa toinen polkukomponentti on suljettu, mutta toinen ei. Tästä esimerkistä näkyy myös se, että polkukomponentin ei tarvitse olla avoin, vaikka se voi olla sitä. Tämä sama pätee yhtenäisyyskomponentille, kuten MA:n esimerkeistä havaittiin. Seuraava lause yleistää eräässä mielessä lauseen MA Lause Olkoon (X, T ) yhtenäinen topologinen avaruus. Oletetaan, että jokaisella x X on ympäristö U x T siten, että U x on polkuyhtenäinen. Tällöin (X, T ) on polkuyhtenäinen. Todistus. Osoitetaan ensin, että lauseen oletuksilla kaikki polkukomponentit ovat avoimia, vrt. huomautus Osoitetaan siis, että PC(x) on avoin kaikille x X. (1) Olkoon tätä varten x X mielivaltainen ja y PC(x) mielivaltainen. Oletuksen nojalla y:llä on ympäristö U y siten, että U y on polkuyhtenäinen. Huomautuksen nojalla PC(x) on polkuyhtenäinen, ja koska y PC(x) U y, niin lauseen perusteella PC(x) U y on polkuyhtenäinen. Tällöin huomautuksen nojalla ja siten on oltava PC(x) U y PC(x), U y PC(x). (2) Koska U y on y:n ympäristö, niin väite (1) seuraa ehdosta (2) ja lauseesta 1.6. Nyt kun väite (1) on todistettu, kiinnitetään jokin a X. Koska huomautuksen mukaan PC(a) on polkuyhtenäinen, niin lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että PC(a) = X. (3) 147

150 Tehdään antiteesi: PC(a) X. Tällöin Osoitetaan, että X \ PC(a). (4) X \ PC(a) on avoin. (5) Olkoon tätä varten x X \ PC(a) mielivaltainen. Tällöin x PC(x) \ PC(a), joten PC(x) PC(a), ja silloin huomautuksen mukaan PC(x) PC(a) =. (6) Koska x PC(x), niin PC(x) on ehdon (1) nojalla x:n ympäristö, jolle ehdon (6) perusteella pätee PC(x) X \ PC(a). Väite (5) seuraa tästä. Ehdon (1) nojalla X \ PC(a) on suljettu. Tällöin ehtojen (1) ja (4) nojalla kyseessä on X:n epätyhjä avoin ja suljettu joukko. Koska (X, T ) on oletuksen mukaan yhtenäinen, niin tällöin on lauseen 13.2 nojalla oltava X \ PC(a) = X. Tämä merkitsee sitä, että PC(a) =, mikä on mahdotonta, koska a PC(a). Syntynyt ristiriita kumoaa antiteesin, jolloin väite (3) on todistettu. Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on lokaalisti yhtenäinen, jos pätee seuraava ehto. Kaikille a X ja kaikille a:n ympäristöille U on olemassa a:n ympäristö V siten, että V on yhtenäinen ja V U. Huomautus Lokaalisti yhtenäinen ei välttämättä ole yhtenäinen. Tästä on triviaalina esimerkkinä (X, T dis ), kun X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Tässä ei (ehkä vähän yllättäen) päde implikaatio myöskään toiseen suuntaan, siis yhtenäisen avaruuden ei tarvitse olla lokaalisti yhtenäinen. Tästä on esimerkkinä MA 17.3:ssa esitelty kampa, joka on yhtenäinen, mutta ei ole lokaalisti yhtenäinen, sillä kamman irrallisen pään pisteet eivät toteuta määritelmän ehtoa. Tämä esimerkki osoittaa myös, että määritelmässä ei voi sanoa yksinkertaisesti, että jokaisella pisteellä on yhtenäinen ympäristö tai voi sanoa, mutta se johtaa erilaiseen lopputulokseen. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tällöin (X, T ) on lokaalisti yhtenäinen jos ja vain jos jokaiselle avoimelle A X aliavaruuden (A, T A ) kaikki yhtenäisyyskomponentit C(a, A), a A ovat avoimia avaruudessa (X, T ). 148

151 Todistus. Oletetaan, että (X, T ) on lokaalisti yhtenäinen. Olkoon A X avoin ja C(a,A), a A avaruuden (A, T A ) yhtenäisyyskomponentti. Pitää osoittaa, että C(a,A) on avoin avaruudessa (X, T ). (1) Olkoon tätä varten x C(a,A) mielivaltainen. Tällöin lauseen nojalla C(a,A) = C(x,A). (2) Koska x A ja A on oletuksen mukaan avoin, niin A on x:n ympäristö avaruudessa (X, T ). Tällöin lokaaliyhtenäisyysoletuksen nojalla on olemassa x:n ympäristö B T siten, että Jos merkitään x B A ja B on yhtenäinen. (3) U = {C A x C ja C on yhtenäinen} niin yhtenäisyyskomponentin määritelmän mukaan C(x,A) = C. (4) C U Ehdon (3) nojalla B U, joten ehdon (4) nojalla jolloin ehtojen (2) ja (3) mukaan myös Väite (1) seuraa tästä, koska B T. B C(x,A), x B C(a,A). Oletetaan, että lauseen ehto pätee. Pitää osoittaa, että (X, T ) on lokaalisti yhtenäinen. Olkoon tätä varten x X mielivaltainen ja U T pisteen x ympäristö. Pitää löytää x:n ympäristö B T siten, että Koska U on avoin ja x U, niin oletuksen nojalla Koska x C(x,U), niin ehdon (6) nojalla B U ja B on yhtenäinen. (5) C(x,U) on avoin avaruudessa (X, T ). (6) C(x,U) on x:n ympäristö avaruudessa (X, T ). (7) Lauseen nojalla C(x,U) on yhtenäinen avaruudessa (U, T U ), ja silloin lauseen 13.3 nojalla C(x,U) on yhtenäinen avaruudessa (X, T ). (8) 149

152 Koska triviaalisti C(x,U) U, niin ehtojen (6), (7) ja (8) nojalla B := C(x,U) toteuttaa ehdon (5) vaatimukset. Määritelmässä MA 16.2 lanseerattiin metrisiin avaruuksiin separaation käsite, jota käsitettä ei vielä ole yleisissä topologisissa avaruuksissa ollutkaan. Määritelmä on aivan analoginen: Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A, B X. Sanotaan, että joukko {A,B} P(X) on avaruuden (X, T ) separaatio, jos A,B, A B = X ja A B = = A B. Huomautus Jos {A,B} on avaruuden (X, T ) separaatio, niin A ja B ovat avoimia, sillä separaation määritelmästä seuraa, että A = X \ B, jolloin A on avoin, sillä B on suljettu. Vastaavasti B on avoin. Lisäksi A ja B ovat myös suljettuja, sillä separaation määritelmän mukaan A = X \ B ja B = X \ A, jolloin A ja B ovat avoimen joukon komplementteja. Jatkossa tarvitaan seuraavaa lauseen MA yleistystä. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {A, B} avaruuden (X, T ) separaatio. Olkoon lisäksi C X yhtenäinen. Tällöin joko C A tai C B. Todistus. Kuten lause MA Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Määritellään joukossa X (topologiasta T riippuva) separaatiorelaatio, jota merkitään symbolilla sopimalla, että a,b X ovat separaatiorelaatiossa eli a b, jos ei ole olemassa sellaista avaruuden (X, T ) separaatiota {A, B}, jolle pätisi a A ja b B. Lause Topologisen avaruuden separaatiorelaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Harjoitustehtävä. Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Lauseen nojalla separaatiorelaatio jakaa joukon X pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Merkitään kaikille a X symbolilla Q(a) alkion a määräämää ekvivalenssiluokkaa eli Q(a) = {x X a x}. Sanotaan, että Q(a) on alkion a määräämä avaruuden (X, T ) kvasikomponentti. Huomautus Ekvivalenssiluokkien yleisten ominaisuuksien nojalla kvasikomponenteille pätee aivan samoin kuin yhtenäisyys- ja polkukomponenteille a Q(a) kaikille a X, X = Q(a) ja a X kaikille a,b X joko Q(a) = Q(b) tai Q(a) Q(b) =. 150

153 Koska (ainakin) metrisissä avaruuksissa separaatio ja yhtenäisyys ovat hyvin läheisessä tekemisissä toistensa kanssa (ks. esim. MA 16.5), niin voisi ajatella, että kvasikomponentit olisivat metrisissä avaruuksissa samoja kuin yhtenäisyyskomponentit, ja eroja tulisi (täytyyhän niitä tulla, miksi muuten koko määritelmä!) vasta yleisemmissä topologisissa avaruuksissa. Näin ei kuitenkaan ole, vaan nämä komponentit saattavat poiketa toisistaan jo metrisessä topologiassa. Seuraava esimerkki valaissee asiaa. Esimerkki a) Olkoon X R 2 esimerkin MA 17.3 topologin kampa, joka on varustettu euklidisella, siis metrisellä topologialla. Tässä tapauksessa yhtenäisyyskomponentteja on vain yksi, mutta polkukomponentteja on kaksi, kuten huomautuksessa todettiin. Toisaalta kvasikomponentteja on myös vain yksi eli koko avaruus X. Jätetään tämän tarkka todistus harjoitustehtäväksi. Tämä esimerkki osoittaa sen, että polkukomponentti ei välttämättä ole sama kuin kvasikomponentti. b) Olkoon Merkitään a = (0,0) ja b = (0,1) R 2 ja X = { 1 [0,1]} {a,b} R2 n n N ja varustetaan X euklidisella, siis metrisellä topologialla. Tämähän muistuttaa topologin kampaa, mutta kamman pääty on erilainen ja sitä paitsi kamman piikit eivät ole kiinni missään. Kampa on yhtenäinen, mutta tämä ei selvästikään ole. Yhtenäisyyskomponentteja ovat ilmeisesti ainakin joukot { 1 n [0,1]} kaikille n N. Selvästi nämä ovat myös kvasikomponentteja. Näiden joukkojen ulkopuolelle jäävät pisteet a ja b. Huomautuksen mukaan näiden pisteiden määräämät yhtenäisyys- tai kvasikomponentit eivät voi leikata noita yllä mainittuja komponentteja, joten esimerkiksi komponenteille C(a) ja Q(a) jää vain kaksi vaihtoehtoa: C(a) = {a} tai C(a) = {a, b} ja vastaavasti Q(a) = {a} tai Q(a) = {a,b}. Lauseen nojalla yhtenäisyyskomponentti on yhtenäinen, ja {a, b} ei euklidisessa topologiassa sitä ole, joten ei voi olla C(a) = {a,b}, vaan on oltava Osoitetaan tämän vastapainoksi, että C(a) = {a}. (1) Q(a) = {a,b}, (2) jolloin on saatu konkreettinen (ja metrinen!) esimerkki siitä, että voi olla C(a) Q(a). Lähdetään todistamaan väitettä (2). Kuten yllä todettiin, tässä on vain kaksi mahdollisuutta: joko Q(a) = {a} tai Q(a) = {a,b}. Silloin voidaan tehdä antiteesi: Q(a) = {a}. (AT) 151

154 Tällöin b Q(a) eli a b, joten separaatiorelaation määritelmän mukaan on olemassa avaruuden (X, d) separaatio {A, B} siten, että a A ja b B. Huomautuksen nojalla A ja B ovat avoimia avaruudessa X. Olkoon d avaruuden R 2 euklidinen metriikka. Koska a A ja A on avoin avaruudessa X, niin on olemassa r a > 0 siten, että Vastaavasti on olemassa r b > 0 siten, että B d (a,r a ) X A. (3) B d (a,r b ) X B. (4) Valitaan r = min{r a,r b }. Ilmeisesti euklidisen metriikan antama pallo B d (a,r) leikkaa jotain joukkoa 1 n [0,1], n N ja B d(b,r) leikkaa joukkoa 1 n [0,1] tälle samalle n. Koska r = min{r a,r b }, niin ehtojen (3) ja (4) nojalla on olemassa n siten, että A ( 1 [0,1]) ja (5) n B ( 1 [0,1]). (6) n Ilmeisesti joukko 1 n [0,1] X on polkuyhtenäinen, joten se on lauseen nojalla yhtenäinen. Tällöin ehdot (5) ja (6) yhdistettynä siihen, että {A, B} on X:n separaatio sekä lauseeseen kertovat, että joko 1 n [0,1] A tai 1 [0,1] B. (7) n Koska {A,B} on separaatio, niin A B =, ja silloin ehdot (5), (6) ja (7) ovat ristiriidassa keskenään. Tämä merkitsee sitä, että tehty antiteesi on väärä ja väite (2) on todistettu. Esimerkeissä a) ja b) nähtiin, että voi olla C(a) = Q(a) tai voi olla C(a) Q(a). Voiko olla Q(a) C(a)? Ei voi. Tämän sanoo seuraava lause. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Tällöin yhtenäisyyskomponentille C(a) ja kvasikomponentille Q(a) pätee C(a) Q(a). Todistus. Olkoon b C(a) mielivaltainen. Pitää osoittaa, että b Q(a). Tehdään antiteesi: b Q(a). Tällöin kvasikomponentin määritelmän mukaan on olemassa avaruuden X separaatio {A,B} siten, että a A ja b B. (1) 152

155 Lauseen nojalla C(a) on yhtenäinen, ja koska {A, B} on X:n separaatio, niin lauseen jojalla joko C(a) A tai C(a) B. (2) Koska {A,B} on separaatio, niin A B =, jolloin ehdon (2) nojalla Koska a,b C(a), niin ehdon (1) nojalla joko C(a) B = tai C(a) A =. (3) b C(a) B ja a C(a) A, joten C(a) B ja C(a) A. Tämä on vastoin ehtoa (3). Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. Seuraava lause antaa näppärän karakterisaation kvasikomponenteille. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Merkitään Tällöin pätee A a = {A X a A, A on avoin ja suljettu} Q(a) = A A a A. Todistus. Koska ainakin X A a, niin A a, joten väitteen leikkausjoukko on järkevästi määritelty. Osoitetaan ensin, että Q(a) A. (1) A A a Olkoon tätä varten A A a mielivaltainen. Väite (1) seuraa leikkauksen määritelmästä, jos osoitetaan, että Q(a) A. (2) Väite (2) pätee, jos A = X, joten voidaan olettaa, että A X. Tällöin joukon A a määritelmän ja toisaalta separaation määritelmän mukaan joukko {A, X \ A} on avaruuden (X, T ) separaatio. (3) Väitteen (2) todistamista varten tehdään antiteesi: Q(a) A. Tällöin on olemassa x Q(a) (X \ A). (4) Koska ehdon (4) mukaan x Q(a), niin kvasikomponentin määritelmän perusteella x a eli x ja a ovat separaatiorelaatiossa, joten määritelmän mukaisesti ei ole olemassa sellaista avaruuden (X, T ) separaatiota {C,D}, (5) jolle pätisi a C ja x D. 153

156 Koska A A a, niin a A. Tällöin ehtojen (3) ja (4) nojalla {A,X \ A} on avaruuden (X, T ) sellainen separaatio, jonka olemassaolon ehto (5) kieltää. Tämä ristiriita todistaa väitteen (2) ja siten myös väitteen (1). Osoitetaan sitten, että Väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että A A a A Q(a). (6) X \ Q(a) X \ A A a A. (7) Olkoon tätä varten x X \ Q(a) mielivaltainen. Tällöin kvasikomponentin määritelmän perusteella x a eli x ja a eivät ole separaatiorelaatiossa, joten määritelmän mukaisesti on olemassa avaruuden (X, T ) separaatio {C, D}, jolle pätee x C ja a D. (8) Koska {C, D} on separaatio, niin huomautuksen nojalla D on avoin ja suljettu. Tällöin ehdon (8) ja joukon A a määritelmän perusteella D A a. Tällöin leikkauksen määritelmän mukaan A A a A D X \ D X \ Koska {C, D} on separaatio, niin C D =, jolloin Ehtojen (8), (10) ja (9) nojalla saadaan jolloin väite (7) seuraa. eli A A a A. (9) C X \ D. (10) x C X \ D X \ A A a A, Näin väite (6) on todistettu. Lauseen väite seuraa ehdoista (1) ja (6). Lauseen nojalla yhtenäisyyskomponentit ovat aina suljettuja, mutta eivät kuitenkaan yleensä avoimia. Tästä on esimerkkinä vaikkapa Q varustettuna itseisarvotopologialla. Tällöinhän yhtenäisyyskomponentit ovat yksiöitä, jotka eivät ole avoimia Q:ssa. 154

157 Polkukomponentti ei välttämättä ole suljettu eikä avoin. Tämä näkyy topologin kammasta, jossa toinen polkukomponentti on avoin, mutta ei ole suljettu ja toinen on suljettu mutta ei ole avoin. Kvasikomponentti ei välttämättä ole avoin, mikä näkyy esimerkistä b), jossa kvasikomponentti Q(a) = {a,b} ei ole avoin. Sen sijaan kvasikomponentti on aina suljettu. Tämän sanoo seuraava lause. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Tällöin kvasikomponentti Q(a) on suljettu. Todistus. Lauseen mukaan missä Q(a) = A A a A, A a = {A X a A, A on avoin ja suljettu}. Väite seuraa tästä, sillä suljettujen joukkojen mielivaltainen leikkaus on suljettu. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Jos yhtenäisyyskomponentti C(a) on avoin, niin pätee C(a) = Q(a). Todistus. Lauseen nojalla riittää osoittaa, että Olkoon jolloin lauseen nojalla Q(a) C(a). (1) A a = {A X a A, A on avoin ja suljettu}, Q(a) = A A a A. (2) Lauseen nojalla C(a) on suljettu, ja koska a C(a), niin oletetun C(a):n avoimuuden nojalla C(a) A a. (3) Väite (1) seuraa ehdoista (2) ja (3) sekä leikkauksen määritelmästä. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Jos X on lokaalisti yhtenäinen, niin yhtenäisyyskomponentille C(a) ja kvasikomponentille Q(a) pätee C(a) = Q(a). Todistus. Lauseen nojalla lokaalisti yhtenäisen avaruuden yhtenäisyyskomponentit ovat avoimia, jolloin väite seuraa lauseesta

158 14 Monistot Karkeasti sanottuna monisto (manifold) on avaruus, joka on lokaalisti homeomorfinen avaruuden R n kanssa, ts. jokaisella pisteellä on ympäristö B siten, että B R n. Tämä on kuitenkin liian karkea määritelmä ja johtaa tällaisenaan aika patologisiin esimerkkeihin, joita sovelluksissa ei haluta. Näillä monistoilla on paljon erilaisia sovelluksia vähän siellä ja täällä matematiikan ja miksei fysiikankin piirissä. Tätä määritelmää pitää käytettävyyden kannalta siis vähän täsmentää tai rajoittaa. Osuvimmaksi eli käytettävimmäksi määritelmäksi on havaittu seuraava. Muistutetaan tässä mieleen Hausdorff-ehto eli erotteluehto (T 2 ) ja numeroituvuusehto (N 2 ), joka vaatii, että topologialla on numeroituva kanta. Määritelmä 14.1 Olkoon n N kiinteä. Sanotaan, että topologinen avaruus (X, T ) on n-ulotteinen topologinen monisto tai lyhyesti n-monisto, jos (X, T ) on Hausdorff- ja (N 2 )-avaruus sekä jokaisella x X on ympäristö U T siten, että U on homeomorfinen euklidisella topologialla varustetun avaruuden R n kanssa. Huomautus 14.2 On helppo nähdä (harj.teht.), että R n on homeomorfinen avoimen yksikköpallonsa kanssa, joten määritelmässä 14.1 voitaisiin ekvivalentisti käyttää R n :n sijasta avointa yksikköpalloa B(0,1) = {x R n x < 1}. Huomautus 14.3 n-monisto ei koskaan ole samanaikaisesti m-monisto, jos m n. Tämä johtuu pohjimmiltaan siitä, että euklidiset avaruudet R n ja R m eivät ole homeomorfisia, kun n m. Tämän seikan (eli että R n R m kun n m) todistaminen on puolestaan erittäin vaikeaa. Todistus onnistuu algebrallisen topologian keinoin. Esimerkki 14.4 Näissä esimerkeissä R n :ssä on koko ajan euklidinen topologia ja normit ovat euklidisia normeja. a) Tason yksikköympyrä S 1 = {x R 2 x = 1} on 1-monisto. Se on Hausdorff ja (N 2 ), koska R 2 on Hausdorff ja (N 2 ) ja nämä ominaisuudet periytyvät aliavaruuksiin. Riittää siis osoittaa, että jokaisella (x,y) S 1 on ympäristö U siten, että U R. Merkitään jokaiselle (x,y) S 1 f 1 = (x,y) ja f 2 = (y, x), jolloin f 1 f 2 ja {f 1,f 2 } on vektoriavaruuden R 2 kanta. Tällöin jokainen a S 1 voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a = λf 1 + µf 2, missä lisäksi 1 λ,µ 1. Tässä sopiva pisteen f 1 = (x,y) ympäristö on avoin puoliympyrä Kuvaus f : B ] 1,1[, missä B = {a S 1 a = λf 1 + µf 2, λ > 0}. f(λf 1 + µf 2 ) = µ 156

159 on ilmeisesti homeomorfismi, joten väite seuraa huomautuksesta Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Tässähän f on geometrisesti hyvin yksinkertainen projektiokuvaus. Huomaa, että f:n määrittelyjoukkoa B ei voi laajentaa, koska silloin käy huonosti: menetetään injektiivisyys tai ainakin kuvajoukon avoimuus. Huomaa myös, että tämän esimerkin mukaan moniston määritelmässä oleva lokaalisuus on olennaista: ei tämä koko S 1 ole homeomorfinen R:n (tai välin ] 1,1[) kanssa, koska S 1 on kompakti, mutta R ei. b) Vastaavalla tavalla kuin esimerkissä a) voidaan nähdä, että yksikköpallon pinta S n = {x R n+1 x = 1} on n-monisto kaikille n N. c) Suljettu yksikkökiekko B 2 (0,1) = {x R 2 x 1} ei ole 2-monisto (eikä mikään muukaan n-monisto), koska sen reunapisteillä ei ole ympäristöä, joka olisi homeomorfinen R 2 :n kanssa. Tämän tarkka todistus on hämmästyttävän vaikeaa. Se perustuu jonkinlaiseen invarince of domain-lauseen sovellukseen. Vastaavasti mikään muukaan R n :n suljettu yksikköpallo ei ole monisto. Avoimet R n :n pallot ovat sen sijaan aina (melko triviaalisti) n-monistoja. d) Kahden toisiaan sivuavan tasoympyrän muodostama kahdeksikko, joka muodostuu vaikkapa merkitsemällä a = (1, 0) ja b = ( 1, 0) sekä K = {x R 2 x a = 1} {x R 2 x b = 1} ei ole 1-monisto. Tämä johtuu siitä, että pisteellä (0,0) K ei ole ympäristöä, joka olisi homeomorfinen R:n kanssa. Tämän todistus ei ole kovin vaikeaa ja jätetään se harjoitustehtäväksi. e) Jos (X, T X ) on n-monisto ja (Y, T Y ) on homeomorfinen avaruuden (X, T X ) kanssa, niin myös (Y, T Y ) on n-monisto. Tämä johtuu siitä, että moniston määrittelevät ominaisuudet (ks. 14.1) periytyvät homeomorfismissa. Jätetään tämän todistus helpohkoksi harjoitustehtäväksi. f) Palataan esimerkin 9.15 tekijäavaruuteen X = [0, 1]/R, missä R ekvivalenssiluokat ovat yksiöitä, paitsi luokka [0] = [1] = {0, 1}. Tämä rautankamallihan osoittautui homeomorfiseksi ympyrän S 1 kanssa, joten a)- ja e)-kohtien nojalla se on 1-monisto. Todistetaan tämä kuitenkin uudestaan tekijätopologian kielellä lähinnä siitä syystä, että näin saadaan hyvää harjoitusta seuraavia esimerkkejä varten. Ensinnäkin tekijätopologialla varustettu (X, T ) on Hausdorff. Tämän todistukseen voi käyttää lausetta 9.12, jonka mukaan välin [0,1] avoimen ja saturoidun joukon kuva tekijäkuvauksessa p R on avoin. Jos valitaan eri pisteet tekijäavaruudesta X, niin niiden alkukuvat jotka ovat välin [0,1] pisteitä voidaan ilmeisesti erottaa toisistaan avoimilla ja relaation R suhteen saturoiduilla joukoilla, jolloin näiden kuvajoukot muodostavat Hausdorff-ehdossa halutun tekijäavaruuden pisteiden erottelun. 157

160 Toiseksi (X, T ) on (N 2 )-avaruus eli sen topologialla on numeroituva kanta. Tämä johtuu siitä, että ilmeisesti välin ]0, 1[ itseisarvotopologialla on numeroituva kanta, johon lisäämällä joukot [0, 1 n [ ]1 1 n,1], n N syntyy numeroituva joukko, joka koostuu avoimista saturoiduista joukoista. Tällöin lauseen 9.12 nojalla projektio p R kuvaa tämän T :n avoimeksi joukkoperheeksi, joka ilmeisesti on haluttu numeroituva kanta. Jätetään yksityiskohdat (helpoksi) harjoitustehtäväksi. Pitää siis osoittaa, että jokaisella tekijäavaruuden pisteellä on ympäristö, joka on homeomorfinen R:n tai minkä tahansa R:n avoimen välin kanssa. (Nämä välithän ovat kaikki homeomorfisia keskenään ja homeomorfisia myös R:n kanssa.) Tämä tavoite saavutetaan, jos konstruoidaan tekijäavaruuden avoin peite, jonka kaikki alkiot ovat homeomorfisia jonkun R:n välin kanssa. Tällainen peite D saadaan aikaan kun määritellään ensin välin [0,1] osajoukot sekä edelleen A = ]0,1[, B = [0, 1 2 [ ja C = ]1 2,1] D 1 = p R (A) ja D 2 = p R (B C). Asetetaan sitten D = {D 1,D 2 }. Koska {A,B,C} on välin [0,1] peite ja p R on surjektio, niin D on ainakin X:n jonkinlainen peite. Pitää nähdä, että se on avoin eli että joukot D 1 ja D 2 ovat avoimia tekijätopologiassa. Tämä ei seuraa suoraan siitä, että A, B ja C ovat avoimia, sillä tekijäkuvaus p R ei ole avoin. Sen sijaan tämä seuraa lauseesta 9.12, sillä joukot A ja B C ovat paitsi avoimia, myös saturoituja tämän relaation R suhteen. (Huomaa, että B ja C eivät kumpikaan ole yksinään saturoituja.) Nyt siis tehtävänä on osoittaa, että aliavaruudet (D 1, T D1 ) ja (D 2, T D2 ) ovat homeomorfisia jonkun R:n välin kanssa. Olkoot R A ja R B C R:n määräämät rajoittumarelaatiot joukoissa A ja B C, ks. merkintä Lauseen 9.25 nojalla saadaan homeomorfismit (A/R A, T A/R A) (D 1, T D1 ) ja (B C/R B C, T B C/R B C) (D 2, T D2 ), joten riittää osoittaa, että (A/R A, T A/R A) ja (B C/R B C, T B C/R B C) ovat homeomorfisia jonkun R:n avoimen välin kanssa. Aloitetaan helpommasta eli avaruudesta (A/R A, T A/R A). Tämän relaation R A määritelmän mukaan mitkään A:n pisteet eivät samastu, joten tekijäkuvaus p A R : A A/RA on injektio. Lauseen 9.7 nojalla p A R on 158

161 samastuskuvaus, jolloin lauseen 8.14 nojalla se injektiona on homeomorfismi. Koska A on avoin väli, asia on D 1 :n osalta tällä selvä. D 2 on vähän hankalampi tapaus. Aloitetaan määrittelemällä kuvaus f : B C ] 1 2, 1 2 [ asettamalla { x kun x B f(x) = x 1 kun x C. Tällöin f samastaa pisteet 0 ja 1, muttei mitään muuta, joten (ks. määr. 9.13) R f = R B C. Silloin (B C/R B C, T B C/R B C) = (B C/R f, T B C/Rf ), ja riittää osoittaa, että (B C/R f, T B C/Rf ) on homeomorfinen jonkun avoimen välin kanssa. Olkoon f = f p Rf kuvauksen f kanoninen hajotelma, ks. määritelmä Tässä siis p Rf : B C B C/R f on tekijäkuvaus ja f kuvaa avaruudesta B C/R f f:n maalijoukkoon eli välille ] 1 2, 1 2 [. Väite seuraa, jos osoitetaan, että f on homeomorfismi. Tämä seuraa lauseesta 9.23, jos osoitetaan, että f : B C ] 1 2, 1 2 [ on samastuskuvaus. Jätetään tämä harjoitustehtäväksi, kovin yksinkertaisesta kuvauksestahan tässä on kyse, ja topologiat ovat tavallisia itseisarvotopologioita. Tässä on helpointa käyttää lausetta 8.18, jonka mukaan riittää osoittaa, että f on surjektio ja jatkuva (mikä on melko triviaalia) sekä sen lisäksi suljettu, mikä ei sekään kovin vaikeaa ole. Huomaa kuitenkin, että f ei ole esimerkiksi avoin. g) Palataan esimerkkiin 9.27, jossa samastettiin yksikköneliön sivut ja saatiin aikaan sylinteri. Voisi ajatella, että tämä olisi 2-monisto, mutta sitä se ei ole. Tämä johtuu siitä, että siinä on reuna mukana, eikä näille reunapisteille löydy tarvittavaa ympäristöä, joka olisi homeomorfinen R n :n kanssa. Tämä on intuitiivisesti aika selvää, mutta todistaminen on eri juttu. Tässä tarvitaan taas jotain invariance of domain-tyyppistä lausetta, mutta ei mennä siihen sen enempää. Poistetaan sen sijaan tämä reuna, ja tarkastellaan suljetun yksikköneliön sijasta neliötä N = {(x,y) R 2 0 x 1, 0 < y < 1}. Samastetaan tässä mukanaolevat pystysivut relaatiolla R, jonka ekvivalenssiluokat ovat {(x,y)} kun (x,y) int(n) [(0,y)] = [(1,y)] = {(0,y),(1,y)} kaikille 0 < y < 1. Tämän tekijäavaruuden N/R voi todistaa 2-monistoksi lähestulkoon samalla tavalla kuin f)-kohdassa. Tässä A := int(n), B := {(x,y) N x < 1 2 } ja ja 159

162 C := {(x,y) N 1 2 < x}. Muuta eroa ei oikeastaan ole f)-kohtaan, mutta kuvausta f pitää tietysti säätää. Tässä toimiva f on f : B C ] 1 2, 1 2 [ ]0,1[, f(x,y) = Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. { (x,y) kun (x,y) B (x 1,y) kun (x,y) C. h) Myös Möbiuksen nauhasta (esimerkki 9.28) pitää poistaa reuna, jotta siitä saadaan 2-monisto eli tarkastellaan g)-kohdan neliötä N, jossa pystyreunat samastetaan relaatiolla R, jonka ekvivalenssiluokat ovat {(x,y)} kun (x,y) int(n) [(0,1 y)] = [(1,y)] = {(0,1 y),(1,y)} kaikille 0 < y < 1. Tässä N/R saadaan monistoksi kuten edellä, mutta nyt määritellään { (x,y) kun (x,y) B f(x,y) = (x 1,1 y) kun (x,y) C. i) Toruksen (esimerkki 9.28) tapaus on aavistuksen erilainen. Tässä reunaa ei tarvitse poistaa vaan voidaan käyttää koko suljettua yksikköneliötä N jossa samastetaan reunajanat relaatiolla R, jonka ekvivalenssiluokat ovat {(x,y)} kun (x,y) int(n), [(0,y)] = [(1,y)] = {(0,y),(1,y)} kaikille 0 < y < 1, [(x,0)] = [(x,1)] = {(x,0),(x,1)} kaikille 0 < x < 1 ja ja [(0,0)] = [(0,1)] = [1,0)] = [(1,1)]. Kohdan g) peitteeseen pitää tässä vähän lisätä tavaraa. Olkoon A = int(n), B = {(x,y) N x < 1 2 }, C = {(x,y) N 1 2 < x}, D = {(x,y) N y < 1 2 } ja E = {(x,y) N 1 2 < y}. Näistä saadaan neliön N avoin, saturoitu peite {A,B C,D E}, josta saadaan tekijäavaruuden avoin peite {p R (A),p R (B C),p R (D E)}. Joukko p R (A) on homeomorfinen avoimen yksikköneliön kanssa kuten ennenkin, mutta nämä muut joukot ovat vähän hankalampia. Ne ovat nimittäin sylintereitä, ja niissä 160

163 voi sitten toistaa g)-kohdan temput, jolloin näille löytyy sopiva avoin peite kummallekin. j) Kleinin pullon ja projektiivisen tason (esimerkit 9.30 ja 9.31) kanssa voi menetellä analogisesti. Kleinin pullon tapauksessa peitteen {p R (A),p R (B C), p R (D E)} alkioista tulee neliö, sylinteri ja Möbiuksen nauha. Projektiivisen tason tapauksessa neliö ja kaksi Möbiuksen nauhaa. Huomautus 14.5 Jatkossa tullaan todistamaan, että Hausdorff-avaruus, joka on (N 2 ), on myös metrisoituva. Silloin moniston määritelmästä seuraa välittömästi, että jokainen monisto on metrisoituva. Määritelmässä 14.1 puhuttiin topologisesta monistosta. Näin silloin, jos monistolle ei aseteta mitään lisävaatimuksia. Usein näitä lisävaatimuksia asetetaan. Esimerkiksi differentioituva, suunnistuva monisto määritellään näin: Määritelmä 14.6 Olkoon (X, T ) topologinen n-monisto. Sanotaan, että monisto (X, T ) on differentioituva, jos X:llä on avoin peite A siten, että jokaiselle A A on olemassa homeomorfismi ϕ A : A R n ja kaikille A,B A, joille A B kuvaus ϕ BA = ϕ B ϕ 1 A : ϕ A(A B) ϕ B (A B) on jatkuvasti differentioituva eli C 1 -kuvaus. Jos peite A ja kuvaukset ϕ A voidaan lisäksi valita niin, että kaikki kuvaukset ϕ BA ovat suunnistuksen säilyttäviä eli niiden Jacobin determinantit ovat positiivisia, niin sanotaan, että monisto (X, T ) on suunnistuva. Huomautus. Määritelmässä 14.6 joukot ϕ A (A B) ja ϕ B (A B) ovat euklidisen avaruuden R n avoimia joukkoja, joten niiden välisen kuvauksen differentioituvuudesta ja Jacobin determinantista puhuminen on järkevää. Esimerkki. Edellisen esimerkin ympyrä, sylinteri, Möbiuksen nauha, torus, Kleinin pullo ja projektiivinen taso ovat differentioituvia monistoja. Jätetään harjoitustehtäväksi varmistua tästä. Esimerkeissä konstruoidut peitteet ja niihin liittyvät kuvaukset toteuttavat määritelmän 14.6 differentioituvuusehdot; nehän ovat esimerkiksi sylinterin tapauksessa hyvin yksinkertaisia kuvauksia tason (epäyhtenäiseltä) joukolta tasoon. Näistä esimerkeistä ympyrä, sylinteri ja torus toteuttavat (annetulla peitteellä) myös suunnistuvuusehdon, joten ne ovat suunnistuvia. Sen sijaan muut esimerkit eivät ainakaan annetulla peitteellä tätä ehtoa toteuta. Tämän voi harjoitustehtävänä tarkistaa; esimerkiksi Möbiuksen nauhan tapauksessa määritelmän 14.6 merkintöjen mukaisen kuvauksen ϕ BA Jacobin determinantti on toisessa määrittelyjoukkonsa osassa +1, mutta toisessa 1. Tämä ei tietenkään suoranaisesti merkitse sitä, etteikö näille voisi löytää jotain muuta peitettä, joka olisi suunnistuksen kannalta sopiva, mutta ei sellaista löydy, vaan voidaan osoittaa, 161

164 että Möbiuksen nauha, Kleinin pullo ja projektiivinen taso ovat suunnistumattomia. Tässähän ei itse asiassa tarvitse todistaa kuin Möbiuksen nauhan suunnistumattomuus, sillä esimerkissä 14.4 j) todettiin, että Möbiuksen nauha on aliavaruutena sekä Kleinin pullossa että projektiivisessa tasossa ja suunnistuvuus periytyy ilmeisesti aliavaruuksiin. Huomautus 14.7 Voidaan osoittaa, että jokainen kompakti monisto, joka voidaan upottaa avaruuteen R 3, on suunnistuva. Tämä takaa sen, että Kleinin pulloa tai projektiivista tasoa ei avaruuteen R 3 millään ilveellä saa upotetuksi, vrt. esimerkit 9.30 ja Möbiuksen nauhan sinne voi upottaa (esimerkki 9.28), mutta se ei olekaan kompakti. Differentioituvia monistoja ei tämän enempää tällä kurssilla käsitellä: differentiaalitopologian kurssi on näitä varten. Todistetaan vielä kuitenkin pieni lause monistojen tuloavaruuksista. Lause 14.8 Olkoon (X, T X ) n-monisto ja (Y, T Y ) n-monisto. Varustetaan tuloavaruus Z = X Y tulotopologialla T Z. Tällöin (Z, T Z ) on n + m-monisto. Todistus. Hausdoff-ominaisuus periytyy tuloihin lauseen nojalla, joten (Z, T Z ) on Hausdorff. (N 2 )-ominaisuus ei periydy yleisiin tuloihin, mutta äärellisiin tuloihin se lauseen nojalla periytyy, joten (Z, T Z ) on (N 2 ). Olkoon sitten (x,y) Z mielivaltainen, x X ja y Y. Pitää osoittaa, että pisteellä (x,y) on ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden R n+m kanssa. Koska (X, T X ) on n-monisto, niin on olemassa x:n ympäristö U T X ja f : U R n homeomorfismi. Vastaavasti on olemassa y:n ympäristö V T Y ja g : V R m homeomorfismi. Tulotopologian määritelmän mukaan U V T z, joten U V on pisteen (x,y) ympäristö. Tulokuvaus (ks. määritelmä 7.20) f g : U V R n R m on lauseen 7.21 nojalla jatkuva ja ilmeisesti sen käänteiskuvaus on f 1 g 1 : R n R m U V, joka on myös lauseen 7.21 nojalla jatkuva. Siten f g on homeomorfismi. Väite seuraa nyt siitä, että ilmeisesti R n R m ja R n+m ovat homeomorfisia keskenään; homeomorfisminhan tässä antaa kanoninen kuvaus ((x 1,...,x n ),(y 1,...,y m )) (x 1,...,x n,y 1,...,y m ). 162

165 15 Kompaktius Yleisessä metrisessä avaruudessa kompaktin joukon määritelmäksi otetaan lauseen MA ehto, jossa puhutaan peitteistä. Yleistetään ensin (tarkkuuden vuoksi) peitteen metrinen määritelmä MA Määritelmä 15.1 Olkoon X mielivaltainen joukko ja A X. Olkoon lisäksi D P(X) epätyhjä osajoukko. Sanotaan, että D on osajoukon A X peite, jos A D. D D Jos D D ja D on myös joukon A peite, sanotaan, että D on peitteen D osapeite. Jos joukko D on äärellinen eli siinä on vain äärellisen monta alkiota, sanotaan, että D on A:n äärellinen peite. Jos (X, T ) on topologinen avaruus ja joukon A X peitteen D kaikki alkiot D D ovat avoimia avaruudessa (X, T ), sanotaan, että peite D on avoin. Määritelmä 15.2 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että joukko A on kompakti avaruudessa (X, T ), jos jokaisella A:n avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Sanotaan, että A on jonokompakti avaruudessa (X, T ), jos jokaisella A:n jonolla on kohti jotain A:n pistettä suppeneva osajono. Huomautus 15.3 Lauseen 5.3 nojalla nähdään helposti, että A on kompakti/jonokompakti avaruudessa (X, T ) jos ja vain jos A on kompakti/jonokompakti aliavaruudessa (Y, T Y ) kaikille A Y X. Huomautus 15.4 Metrisessä (tai metrisoituvassa topologisessa) avaruudessa kompakti on jonokompakti ja kääntäen. Tämähän siis todistettiin lauseessa MA 15.28, sillä jonokompaktisuuden määrittelevä ehto oli metrisissä avaruuksissa kompaktisuuden määritelmä. Yleisissä topologisissa avaruuksissa nämä käsitteet eivät kuitenkaan ole samoja. On näet olemassa kompakteja avaruuksia, jotka eivät ole jonokompakteja ja toisaalta on olemassa jonokompakteja avaruuksia, jotka eivät ole kompakteja. Esimerkit näistä ovat sen verran mutkikkaita, että ei esitetä niitä tässä, vaan jätetään näiden keksiminen bonustehtäväksi. Lauseessa MA 15.5 todettiin, että kompaktin metrisen avaruuden osajoukko on kompakti jos ja vain jos se on suljettu. Tämä tulos ei päde yleisesti. Jätetään harjoitustehtäväksi keksiä kompakti avaruus ja sille kompakti osajoukko, joka ei ole suljettu. Tähän löytyy huomattavasti helpompia esimerkkejä kuin huomautuksessa Toiseen suuntaan MA 15.5 tosin pätee yleisestikin: Lause 15.5 Olkoon (X, T ) kompakti topologinen avaruus ja A X suljettu. Tällöin A on kompakti. Todistus. Olkoon D joukon A avoin peite. Tällöin D {X \ A} on X:n peite. (1) 163

166 Koska A on oletuksen mukaan suljettu avaruudessa (X, T ), niin X \ A T. Tällöin ehdon (1) nojalla D {X \ A} on X:n avoin peite. Koska X on kompakti, niin tästä peitteestä löytyy äärellinen osapeite eli on olemassa D 1,...,D n D siten, että Tällöin {D 1,...,D n } {X \ A} on X:n peite. A n D i. i=1 Tämä merkitsee sitä, että {D 1,...,D n } on haluttu peitteen D äärellinen osapeite. Huomautus 15.6 Lause MA 15.5 ei yleisty jonokompaktisuuteenkaan. Jätetään tässäkin harjoitustehtäväksi keksiä jonokompaktin avaruuden jonokompakti osajoukko, joka ei ole suljettu. (Luultavasti sama esimerkki, joka toimi edellä kompaktisuudelle, toimii tässäkin.) Toiseen suuntaan MA 15.5 yleistyy: jonokompaktin avaruuden suljettu osajoukko on jonokompakti. Tämän voi todistaa kuten lauseen MA 15.5, mutta todistuksessa on syytä olla tarkkana. Lauseen MA 15.5 todistuksessa käytettiin lausetta MA 12.12, joka ei päde yleisesti, sillä sen yleistys eli monisteen jälkimmäisen osan lause tarvitsee lisäoletuksia. Lause pätee kuitenkin yleisesti toiseen suuntaan (ks. lauseen todistuksen jälkeinen huomautus), ja kaikeksi onneksi tämä toimiva suunta on juuri se, jota tässä todistuksessa tarvitaan. Lause MA yleistyy. Lause 15.7 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva kuvaus sekä A X kompakti. Tällöin f(a) Y on kompakti. Todistus. Voidaan olettaa, että f(a), jolloin myös A. Olkoon T f(a) topologian T Y antama joukon f(a) aliavaruustopologia ja vastaavasti T A topologian T X antama joukon A aliavaruustopologia. Pitää siis osoittaa, että aliavaruus (f(a), T f(a) ) on kompakti. Olkoon tätä varten D avaruuden (f(a), T f(a) ) avoin peite. Lauseiden 5.14 ja 5.17 nojalla rajoittumakuvaus f A : (A, T A ) (f(a), T f(a) ) on jatkuva. Tällöin joukot f 1 (D), D D ovat avoimia avaruudessa (A, T A ). (1) Koska D on joukon f(a) peite, niin alkeisjoukko-opin perusteella D = {f 1 (D) D D} on A:n peite. (2) 164

167 Ehtojen (1) ja (2) nojalla D on A:n avoin peite. Koska A on oletuksen mukaan kompakti, niin tästä peitteestä löytyy äärellinen osapeite eli on olemassa D 1,...,D n D siten, että Tällöin alkeisjoukko-opin nojalla A = n f 1 (D i ). i=1 f(a) = n D i, i=1 joten {D 1,...,D n } on haluttu D:n äärellinen osapeite. Huomautus 15.8 Lause 15.7 toimii myös jonokompaktisuudelle. Tämä todistetaan kuten lause MA Määritelmä 15.9 Olkoon X jokin joukko ja F P(X). Sanotaan, että joukolla F on äärellinen leikkausominaisuus, jos kaikille äärellisille A F pätee A. A A Huomautus. Jos F on äärellinen, niin määritelmän 15.9 ehto sanoo yksinkertaisesti sen, että kaikki F:n alkiot leikkaavat (jossakin pisteessä). Äärellisen leikkausominaisuuden idea ja tarkoitus tulee kuitenkin esille äärettömille F. Tällaisille määritelmän 15.9 ehto ei välttämättä tarkoita sitä, että kaikki F:n alkiot leikkaisivat, vaan sitä, että mikä tahansa äärellinen kokoelma näitä leikkaa. Esimerkkinä voidaan käyttää joukkoa F = {]0,x] R x > 0} jolla ilmeisesti on äärellinen leikkausominaisuus, mutta F F F =. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja. (X, T ) on kompakti. (1) Jos F on perhe X:n suljettuja osajoukkoja siten, että F =, (2) niin on olemassa äärellinen K F siten, että F K F F F =. Jos F on perhe X:n suljettuja osajoukkoja siten, että joukolla F on (3) äärellinen leikkausominaisuus, niin F. F F 165

168 Todistus. Riittää todistaa implikaatioketju (1) (2) (3) (1). (1) (2) Oletetaan, että (X, T ) on kompakti ja että F on perhe X:n suljettuja osajoukkoja siten, että F =. (4) F F Pitää osoittaa, että on olemassa äärellinen K F siten, että F =. (5) F F F K Oletuksen (4) ja alkeisjoukko-opin nojalla (X \ F) = X \ F = X \ = X. (6) F F Koska F:n alkiot ovat suljettuja, niin joukot X \ F, F F ovat avoimia, ja silloin ehdon (6) nojalla {X \ F } F F on X:n avoin peite. Kompaktisuusoletuksen nojalla tällä peitteellä on äärellinen osapeite eli on olemassa äärellinen K F siten, että (X \ F) = X. F K Tällöin alkeisjoukko-opin nojalla F = X \ (X \ F) = X \ (X \ F) = X \ X =, F K F K F K joten väite (5) pätee löydetylle äärelliselle K F. (2) (3) Oletetaan, että ehto (2) pätee ja että F on perhe X:n suljettuja osajoukkoja siten, että joukolla F on äärellinen leikkausominaisuus. Pitää osoittaa, että F. (7) Tehdään antiteesi: F F F F F =. Tällöin ehdon (2) nojalla on olemassa äärellinen K F siten, että F =. F K (AT) Tämä on mahdotonta, koska joukolla F on äärellinen leikkausominaisuus. Siispä antiteesi on väärä, ja väite (7) pätee. 166

169 (3) (1) Oletetaan, että ehto (3) pätee. Väitetään, että (X, T ) on kompakti. Olkoon tätä varten D avaruuden (X, T avoin peite. Pitää löytää äärellinen osapeite. Merkitään F = {X \ D D D}. Koska peite D on avoin, niin joukon F alkiot ovat suljettuja. Lisäksi pätee F = (X \ D) = X \ D = i) X \ X =, (8) F F D D D D missä yhtälö i) seuraa siitä, että D on X:n peite. Nyt ehtojen (3) ja (8) nojalla suljettujen joukkojen perheellä F ei voi olla äärellistä leikkausominaisuutta. Silloin määritelmän 15.9 mukaan on olemassa äärellinen F 0 F siten, että F F 0 F =. (9) Perheen F määritelmän nojalla jokainen perheen F 0 alkio F on muotoa F = X \D, D D, joten ehdon (9) nojalla on olemassa äärellinen K D siten, että (X \ D) =. D K Tällöin alkeisjoukko-opin nojalla D = X \ (X \ D) = X \ (X \ D) = X \ = X, D K D K D K joten {D} D K on haluttu äärellinen osapeite. Lause Kompaktien joukkojen äärellinen yhdiste on kompakti. Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus. Lauseen todistus on helppo, ja voisi ajatella, että yhtä helposti nähtäisiin, että kompaktien joukkojen leikkaus on kompakti. Näin ei kuitenkaan ole, sillä yleisesti kompaktien joukkojen leikkaus ei ole kompakti ei edes kahden kompaktin joukon leikkaus. Metrisissä avaruuksissa kompaktien joukkojen leikkaukset ovat kompakteja, mutta yleisissä topologisissa avaruuksissa näin ei siis ole. Jätetään harjoitustehtäväksi keksiä esimerkki tästä. Lause Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja A, B X kompakteja osajoukkoja siten, että A B =. Tällöin on olemassa U,V T siten, että A U, B V ja U V =. 167

170 Todistus. Väite pätee triviaalisti, jos toinen (tai molemmat) joukoista A tai B on tyhjä, joten voidaan olettaa, että A, B. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa toinen joukoista, vaikkapa B on yksiö, B = {b}. (1) Oletuksen A B = ja ehdon (1) nojalla b a kaikille a A. Silloin Hausdorffominaisuuden nojalla kaikille a A on olemassa U(a) T ja V a (b) T siten, että a U(a), b V a (b) ja U(a) V a (b) =. (2) Koska ehdon (2) mukaan a U(a) T kaikille a A, niin {U(a)} a A on joukon A avoin peite. Koska A on kompakti, niin tästä peitteestä löytyy äärellinen osapeite eli on olemassa a 1,...,a n A siten, että A n U(a i ). (3) i=1 Määritellään väitteessä kaivatut joukot U ja V asettamalla U = n U(a i ) ja V = i=1 n V ai (b). Koska U(a i ) T kaikille i, niin U on avoin. Myös V ai (b) T kaikille i, joten avointen joukkojen äärellisenä leikkauksena V on avoin. Ehdon (3) nojalla A U ja koska ehdon (2) mukaan b V ai (b) kaikille i, niin b V. Silloin oletuksen (1) perusteella B V. Näin joukot U ja V toteuttavat lauseen vaatimukset, jos vielä osoitetaan, että i=1 U V =. (4) Tehdään väitettä (4) varten antiteesi: on olemassa x U V. Tällöin x V ai (b) kaikille i ja x U(a i0 ) jollekin i 0 = 1,...,n. Silloin x U(a i0 ) V ai0 (b), mikä on mahdotonta, koska ehdon (2) nojalla U(a i0 ) V ai0 (b) =. Tämä ristiriita todistaa väitteen (4), joten lause on todistettu tapauksessa (1). Mennään sitten yleiseen tapaukseen. Todistuksen alkuosan nojalla jokaiselle b B on olemassa U b,v b T siten, että Koska b V b T kaikille b B, niin joukko A U b, b V b ja U b V b =. (5) {V b } b B on joukon B avoin peite. 168

171 Koska B on kompakti, niin tästä peittestä löytyy äärellinen osapeite eli on olemassa b 1,...,b m B siten, että m B V bi. (6) Nyt määritellään väitteessä kaivatut joukot U ja V asettamalla m m U = U bi ja V = V bi. i=1 i=1 Koska U bi,v bi T kaikille i, niin U,V T ; huomaa, että U:n osalta tähän tarvitaan leikkauksen äärellisyyttä. Koska ehdon (5) mukaan A U bi kaikille i, niin A U. Ehdon (6) nojalla B V. Pitää vielä osoittaa, että näille U ja V pätee ehto (4). Tehdään samalla tavalla antiteesi kuin edellä ehdon (4) todistuksessa ja aivan analogisesti päädytään ristiriitaan ehdosta (5) seuraavan ehdon U bi V bi = kaikille i kanssa. i=1 Näin yleinenkin tapaus on todistettu, joten väite pätee. Lause Olkoon (X, T ) kompakti Hausdorff-avaruus. Tällöin (X, T ) on myös (T 4 )-avaruus. Todistus. Olkoot A,B X suljettuja joukkoja siten, että A B =. Pitää osoittaa, että on olemassa U A,U B T siten, että A U A, B U B ja U A U B =. Koska (X, T ) on kompakti, niin lauseen 15.5 nojalla suljetut joukot A ja B ovat kompakteja. Koska (X, T ) on Hausdorff, niin väite seuraa tällöin lauseesta Huomautus Kompakti Hausdorff-avaruus on myös (T 3 )-avaruus. Tämä seuraa lauseesta ja huomautuksesta Lauseen 15.5 yhteydessä todettiin, että lause MA 15.5 ei päde yleisesti toiseen suuntaan, ts. kompaktin osajoukon ei tarvitse olla suljettu. Hausdorffavaruudessa tämä kuitenkin pätee. Lause Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja A X kompakti. Tällöin A on suljettu. Todistus. Riittää osoittaa, että X \ A on avoin. Olkoon tätä varten x X \ A mielivaltainen. Riittää löytää x:n ympäristö V siten, että V X \ A. (1) Yksiö {x} on kompakti (triviaalisti äärelliset joukot ovat aina kompakteja), joten lauseen oletusten ja lauseen nojalla on olemassa U,V T siten, että A U, {x} V ja U V =. Tällöin V on x:n ympäristö, joka toteuttaa ehdon (1). 169

172 Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia siten, että (X, T X ) on kompakti ja (Y, T Y ) on Hausdorff. Tällöin jokainen jatkuva kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on suljettu. Todistus. Olkoon f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva ja A X suljettu. Pitää osoittaa, että f(a) on suljettu. (1) Koska A on suljettu ja X kompakti, niin lauseen 15.5 mukaan A on kompakti. Silloin lauseen 15.7 ja f:n jatkuvuuden nojalla f(a) on kompakti. Koska Y on Hausdorff, väite (1) seuraa tällöin lauseesta Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia siten, että (X, T X ) on kompakti ja (Y, T Y ) on Hausdorff. Tällöin jokainen jatkuva surjektio f : (X, T X ) (Y, T Y ) on samastuskuvaus. Todistus. Väite seuraa lauseista ja Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia siten, että (X, T X ) on kompakti ja (Y, T Y ) on Hausdorff. Tällöin jokainen jatkuva injektio f : (X, T X ) (Y, T Y ) on upotus. Todistus. Olkoon f : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuva injektio. Olkoon T f(x) topologian T Y antama aliavaruustopologia joukossa f(x). Upotuksen määritelmän mukaan pitää osoittaa, että f : (X, T X ) (f(x), T f(x) ) on homeomorfismi. (1) Kuvauksen (1) jatkuvuus seuraa lauseesta 5.17 ja koska f : X Y on injektio, niin kuvaus (1) on bijektio. Silloin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että f 1 : (f(x), T f(x) ) (X, T X ) on jatkuva. Lauseen 3.5 mukaan jatkuvuus seuraa, jos osoitetaan, että jokaisen suljetun joukon alkukuva on suljettu. Olkoon tätä varten A X suljettu. Koska (f 1 ) 1 (A) = f(a), niin riittää osoittaa, että f(a) on suljettu avaruudessa (f(x), T f(x) ). (2) Hausdorff-ominaisuus periytyy lauseen nojalla aliavaruuksiin, joten (f(x), T f(x) ) on Hausdorff-avaruus. Koska X on kompakti ja kuvaus (1) jatkuva, niin väite (2) seuraa lauseesta Seuraava lause yleistää lauseen MA Huomaa kuitenkin, että lauseessa on ylimääräinen oletus siitä, että maaliavaruus on Hausdorff. Tämä on tarpeellinen oletus: lause ei päde ilman sitä. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä vastaesimerkki. Lause Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia siten, että (X, T X ) on kompakti ja (Y, T Y ) on Hausdorff. Tällöin jokainen jatkuva bijektio f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. 170

173 Todistus. Tämä seuraa suoraan lauseesta Seuraava lause yleistää harjoitustehtävän MA 7.6. Tämäkään ei päde ilman Hausdorff-ehtoa. Jätetään taas harjoitustehtäväksi miettiä vastaesimerkki. Lause Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja {A n } n N perhe epätyhjiä kompakteja X:n osajoukkoja, jotka ovat sisäkkäin siten, että A n+1 A n kaikille n N. Tällöin joukko A := A n n N on epätyhjä ja kompakti. Todistus. Koska joukot A n ovat kompakteja ja (X, T ) on Hausdorff, niin lauseen nojalla A n on suljettu kaikille n. Koska suljettujen joukkojen mielivaltainen leikkaus on suljettu, niin A on suljettu avaruudessa (X, T ). Koska A A 1, niin lauseen 5.12 nojalla A on suljettu myös aliavaruudessa (A 1, T A1 ). Koska A 1 on oletuksen mukaan kompakti avaruudessa (X, T ), niin huomautuksen 15.3 perusteella avaruus (A 1, T A1 ) on kompakti. Tällöin lauseen 15.5 nojalla sen suljettu osajoukko A on kompakti. Riittää siis osoittaa, että A. (1) Oletuksen nojalla A n A 1 kaikille n, joten {A n } n N on perhe A 1 :n osajoukkoja. Koska, kuten edellä todettiin, joukot A n ovat suljettuja avaruudessa (X, T ), niin ne ovat suljettuja myös avaruudessa (A 1, T A1 ). Tällöin siis A = {A n } n N on perhe A 1 :n suljettuja osajoukkoja. (2) Kuten edellä todettiin, avaruus (A 1, T A1 ) on kompakti. Tällöin väite (1) eli että A A A seuraa ehdosta (2) ja lauseen implikaatiosta (1) (3), jos osoitetaan, että perheellä A on äärellinen leikkausominaisuus. (3) Olkoon tätä varten K N mielivaltainen äärellinen joukko. Väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että A n. (4) n K Koska K N on äärellinen, niin siinä on maksimi. Olkoon m = max K K. Koska joukoille A n pätee oletuksen nojalla A m A n kaikille n m, niin A n = A m, n K jolloin väite (4) seuraa, sillä oletuksen mukaan A m on epätyhjä. 171

174 Metrisissä avaruuksissa kompaktin joukon jonoilla on aina suppeneva osajono, jolloin lauseen MA nojalla näillä jonoilla on myös kasautumisarvo, jota kohti alkuperäisen jonon osajono suppenee. Yleisissä topologisissa avaruuksissa kompaktin joukon jonoille löytyy kasautumisarvo myös, mutta minkään osajonon ei tarvitse supeta tähän kasautumisarvoon. Esimerkit tästä ovat vaikeita viitatataan tässä huomautukseen 15.4: jos osataan antaa kompakti avaruus, joka ei ole jonokompakti, niin siinähän se esimerkki on. Lause Olkoon (X, T ) kompakti topologinen avaruus ja (x n ) joukon X jono. Tällöin jonolla (x n ) on kasautumisarvo a X. Todistus. Tehdään antiteesi: mikään X:n piste ei ole jonon (x n ) kasautumisarvo. Tällöin kasautumisarvon määritelmän mukaan jokaisella a X on ympäristö U(a) T siten, että x n U(a) vain äärellisen monelle indeksille n. Perhe {U(a)} a X on X:n avoin peite, joten kompaktisuusoletuksen nojalla sillä on äärellinen osapeite, ts. on olemassa pisteet a 1,...,a m X siten, että m U(a i ) = X. (1) i=1 Koska x n U(a i ) vain äärellisen monelle n ja äärellisten joukkojen äärellinen yhdiste on äärellinen, niin x n m U(a i ) vain äärellisen monelle n N, i=1 jolloin ehdon (1) nojalla x n X vain äärellisen monelle n N. Tämä on mahdotonta, koska (x n ) on joukon X jono, ja siten x n X kaikille n N. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. Lause MA yleistyy. Lause Olkoon (X, T ) kompakti topologinen avaruus ja A X ääretön osajoukko. Tällöin joukolla A on kasautumispiste avaruudessa (X, T ). Huomautus. Tämän lauseen todistus saadaan lauseen MA todistusta lievästi modifioimalla. Näissä on kuitenkin eroja, ja koska määritelmätkin (sekä kompaktin joukon että kasautumispisteen) ovat erilaisia, käydään tässä todistus huolellisesti (uudestaan) läpi. 172

175 Todistus. Koska A on ääretön, on olemassa injektio x : N A. Tällöin x = (x n ) on joukon X jono, joten sillä on lauseen nojalla kasautumisarvo a X. Riittää osoittaa, että tämä kasautumisarvo on myös kasautumispiste. Olkoon U pisteen a mielivaltainen ympäristö. Määritelmän 1.13 mukaan pitää osoittaa, että (U \ {a}) A. (1) Koska a on jonon (x n ) kasautumisarvo, niin x n U äärettömän monelle n N. (2) Koska jono eli kuvaus x on injektio, niin x n x m aina kun n m. Silloin ehdossa (2) olevat pisteet x n U ovat kaikki eri pisteitä, joten korkeintaan yksi niistä voi olla a kaikki muut ovat joukossa U \ {a}. Koska x n A kaikille n, niin väite (1) seuraa; itse asiassahan tässä on todistettu, että joukossa (U \ {a}) A on äärettömän monta pistettä. Lauseissa ja saatiin riittäviä ehtoja sille, että yhtenäisyyskomponentti ja kvasikomponentti olisivat samoja; yleensähän ne eivät ole samoja, kuten esimerkissä b) todettiin. Lauseen mukaan aina pätee C(a) Q(a). Kompaktissa Hausdorffin avaruudessa nämä joukot ovat ovat samoja, kuten kohta nähdään. Esimerkin b) avaruus on Hausdorff, joten esimerkki voi toimia vain siitä syystä, että avaruus ei ole kompakti. Lause Olkoon (X, T ) kompakti Hausdorff-avaruus ja a X. Tällöin a:n yhtenäisyyskomponentille C(a) ja kvasikomponentille Q(a) pätee C(a) = Q(a). Todistus. Lauseen nojalla riittää osoittaa, että Määritelmän mukaan missä Q(a) C(a). (1) C(a) = A A a A, A a = {A X x A ja A on yhtenäinen}. Tällöin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että Q(a) A a. (2) Koska kvasikomponentin Q(a) määritelmän mukaan a Q(a), niin väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että Q(a) on yhtenäinen. (3) 173

176 Tehdään antiteesi: Q(a) on epäyhtenäinen. Tällöin lauseen 13.2 nojalla on olemassa aliavaruudessa (Q(a), T Q(a) ) suljetut epätyhjät joukot A ja B siten, että A B = Q(a) ja A B =. (4) Koska a Q(a), niin ehdon (4) nojalla a sisältyy toiseen joukoista A tai B; merkintöjä tarvittaessa muuttamalla voidaan olettaa, että a A. (5) Lauseen nojalla Q(a) on suljettu avaruudessa (X, T ). Tällöin lauseen 5.13 nojalla aliavaruudessa (Q(a), T Q(a) ) suljetut joukot A ja B ovat suljettuja myös avaruudessa (X, T ). Koska (X, T ) on oletuksen mukaan kompakti, niin suljetut joukot A ja B ovat lauseen 15.5 nojalla kompakteja. Koska (X, T ) on oletuksen mukaan Hausdorff, niin kompakteihin, ehdon (4) nojalla erillisiin joukkoihin A ja B voidaan soveltaa lausetta 15.12, jonka mukaan on olemassa U,V T siten, että Merkitään jolloin lauseen nojalla Merkitään edelleen jolloin ehdon U, V T nojalla Merkitään vielä jolloin A U, B V ja U V =. (6) F = {F X a F, F on avoin ja suljettu}, (7) Q(a) = F F W = U V, F. (8) W T. (9) G = {F \ W F F}, joukon G alkiot F \ W ovat suljettuja, (10) sillä ehtojen (7) ja (9) nojalla F on suljettu ja W on avoin, jolloin F \ W = F (X \ W) on suljettu. Lisäksi pätee G = (F \ W) = ( F) \ W = i) Q(a) \ W = (11) G G F F F F Q(a) \ (U V ) ii) Q(a) \ (A B) iii) = Q(a) \ Q(a) =, missä yhtälö i) seuraa ehdosta (8), inkluusio ii) ehdosta (6) ja yhtälö iii) ehdosta (4). Koska (X, T ) on kompakti, niin lauseen ehdon (1) (2) sekä 174

177 ehtojen (10) ja (11) nojalla on olemassa äärellinen joukko {G 1,...,G n } G siten, että n G i =. (12) i=1 Joukon G määritelmän mukaan jokainen G i G on muotoa G i = F i \ W, missä F i F. Tällöin ehdon (12) nojalla saadaan jolloin = n n (F i \ W) = ( F i ) \ W, i=1 i=1 n F i W. (13) i=1 Ehdon (7) nojalla joukot F i F ovat avoimia ja suljettuja, jolloin äärellinen leikkaus n E := F i on avoin ja suljettu. (14) i=1 Koska U T, niin ehdon (14) nojalla Koska V T, niin ehdon (14) nojalla E U on avoin. (15) E \ V = E (X \ V ) on suljettu. (16) Ehdon (13) mukaan E W = U V, ja koska ehdon (6) nojalla U V =, niin alkeisjoukko-opin perusteella Tällöin ehtojen (15) ja (16) nojalla E U = E \ V. E U on avoin ja suljettu. (17) Ehtojen (5), (6) ja (7) sekä joukon E määritelmän nojalla a E U, jolloin ehtojen (17) ja (7) mukaan E U F, ja silloin ehdon (8) nojalla Ehtojen (18) ja (6) mukaan Q(a) E U U. (18) Q(a) V =. (19) Nyt kuitenkin B on epätyhjä joukko, jolle ehdon (4) mukaan pätee B Q(a) ja toisaalta ehdon (6) mukaan B V, joten ehdon (19) nojalla saadaan B Q(a) V =, mikä on mahdotonta, koska B on epätyhjä. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite pätee. 175

178 Huomautus Kompakti topologinen varuus on aina Lindelöf-avaruus. Tämä seuraa suoraan määritelmistä 15.1 ja Lause Olkoon (X, T ) kompakti ja metrisoituva topologinen avaruus. Tällöin (X, T ) on (N 2 )-avaruus ja separoituva. Todistus. Huomautuksen ja kompaktisuusoletuksen nojalla (X, T ) on Lindelöfavaruus. Tällöin väite seuraa metrisoituvuusoletuksen nojalla lauseesta Seuraavassa tarkastellaan jatkuvia kuvauksia topologisesta avaruudesta metriseen avaruuteen. Erityisesti tarkastellaan tällaisten kuvausten muodostamia perheitä. Jos {f α } α on tällainen perhe jatkuvia kuvauksia f α : X Y ja a X sekä ǫ > 0, niin jatkuvuuden määritelmän perusteella kaikille α löytyy a:n ympäristö U α siten, että f α (U α ) B(f α (a),ǫ). Tämä ympäristö U α riippuu yleensä kuvauksesta f α, eikä välttämättä mikään ympäristö U toimi kaikille α yhtaikaa. Jos nyt kuitenkin sattumalta tämmöinen yhteinen, kaikille α toimiva U on olemassa, niin sanotaan, että kuvausperhe {f α } α on yhtäjatkuva pisteessä a. Intuitiivisesti tätä voi ajatella niin, että yhtäjatkuvan perheen kaikki funktiot heilahtelevat kutakuinkin yhtä pahasti pisteen a lähellä. Tarkka määritelmä on seuraava. Määritelmä Olkoon (X, T ) topologinen ja (Y, d) metrinen avaruus. Olkoon {f α } α I, I perhe kuvauksia f α : X Y ja olkoon a X. Sanotaan, että kuvausperhe {f α } α I on yhtäjatkuva pisteessä a, jos kaikille ǫ > 0 on olemassa pisteen a ympäristö U ǫ T siten, että f α (U ǫ ) B d (f α (a),ǫ) kaikille α I. Jos perhe {f α } α I on yhtäjatkuva jokaisessa pisteessä a X, sanotaan, että {f α } α I on yhtäjatkuva (avaruudessa (X, T )). Huomautus Määritelmässä ei oleteta kuvausten f α jatkuvuutta. Jokaisen f α :n jatkuvuus pisteessä a seuraa kuitenkin suoraan määritelmän ehdosta. Siten yhtäjatkuvan perheen kaikki funktiot ovat jatkuvia jokaisessa pisteessä. On selvää, että yhtäjatkuvan perheen osajoukko on myös yhtäjatkuva. Esimerkki. Jos määritelmässä myös (X, T ) on metrinen avaruus, niin perhe {f : X Y f on M-Lipschitz} on yhtäjatkuva jokaisessa pisteessä a X. Määritelmässä vaadituksi ympäristöksi U ǫ kelpaa B(a, ǫ M+1 ). Huomautus. Määritelmässä ei vaadita, että olisi f α (a) = f β (a) kaikille α,β I. Nämä voivat vallan hyvin olla vaikka kaikki eri pisteitä; vertaa edelliseen esimerkkiin. 176

179 Esimerkki. Olkoon X = Y = R itseisarvotopologialla varustettuna. Määritellään kaikille n N kuvaus f n : R R asettamalla f n (x) = nx kaikille x R. Tällöin perhe {f n n N} ei ole yhtäjatkuva missään pisteessä, ei edes origossa. Huomaa tässä esimerkissä se, että kuvaukset f n ovat hyvin siistejä yksittäisinä kuvauksina, mutta n:n kasvaessa niiden heilahtelu eli lokaali muutos yksittäisen pisteen ympäristössä kasvaa hallitsemattomasti. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (Y, d) täydellinen metrinen avaruus sekä {f n } n N yhtäjatkuva perhe kuvauksia f n : (X, T ) (Y,d). Olkoon A X tiheä joukko siten, että Y :n jono (f n (a)) n N suppenee kaikille a A. Tällöin on olemassa kuvaus f : X Y siten, että f n f tasaisesti jokaisessa X:n kompaktissa osajoukossa. Todistus. Osoitetaan ensin, että jono (f n (x)) n N suppenee kaikille x X. (1) Koska (Y,d) on oletuksen mukaan täydellinen, niin väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että jono (f n (x)) on Cauchy-jono kaikille x X. (2) Olkoon väitettä (2) varten x X kiinteä ja ǫ > 0. Pitää löytää n 0 N siten, että d(f n (x),f m (x)) < ǫ kaikille n,m n 0. (3) Koska perhe {f n } n N on yhtäjatkuva pisteessä x, niin on olemassa x:n ympäristö U T siten, että d(f n (y),f n (x)) < ǫ 3 kaikille y U ja kaikille n N. (4) Koska joukko A on tiheä avaruudessa (X, T ) ja U on avoin, niin on olemassa a A U. (5) Oletuksen nojalla jono (f n (a)) suppenee, joten se on lauseen MA 14.5 nojalla Cauchy-jono. Tällöin on olemassa n 0 N siten, että d(f n (a),f m (a)) < ǫ 3 kaikille n,m n 0. (6) Tämä ehdon (6) n 0 toimii myös ehdossa (3), sillä kun n,m n 0, niin d(f n (x),f m (x)) d(f n (x),f n (a)) + d(f n (a),f m (a)) + d(f m (a),f m (x)) i) < ǫ 3 + d(f n(a),f m (a)) + ǫ ii) < ǫ ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ. 177

180 Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (4), koska ehdon (5) mukaan a U. Epäyhtälö ii) seuraa ehdosta (6) ja siitä, että n,m n 0. Näin ehto (3) saatiin toimimaan, ja siten väite (2) kuten myös väite (1) on todistettu. Koska metrisessä avaruudessa jonon raja-arvo on yksikäsitteinen, niin ehdon (1) nojalla voidaan määritellä kuvaus f : X Y asettamalla f(x) = lim n f n(x) kaikille x X. Tällöin siis f n f pisteittäin, mutta pitää vielä osoittaa, että f n f tasaisesti jokaisessa X:n kompaktissa osajoukossa. Olkoon tätä varten K X kompakti. Riittää osoittaa, että f n f tasaisesti joukossa K. (7) Lauseessa osoitettiin avaruuden (Y,d) täydellisyyteen nojautuen, että jos ehto kaikille ǫ > 0 on olemassa n 0 N siten, että (8) kaikille n,m n 0 ja kaikille x K pätee d(f n (x),f m (x)) < ǫ pätee, niin jono (f n ) suppenee tasaisesti joukossa K kohti jotain funktiota g : K Y. Koska tasainen suppeneminen implikoi pisteittäisen suppenemisen ja pisteittäinen raja-arvo on yksikäsitteinen, niin tämä salaperäinen g ei voi olla mikään muu kuin pisteittäinen raja-arvo f tai tarkemmin sanottuna sen rajoittumakuvaus joukkoon K. Siten väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että ehto (8) pätee. Olkoon tätä varten ǫ > 0 mielivaltainen. Koska perhe {f n } n N on yhtäjatkuva kaikissa pisteissä, niin kaikille x K voidaan valita ympäristö U(x) T siten, että d(f n (y),f n (x)) < ǫ kaikille y U(x) ja kaikille n N. (9) 3 Perhe {U(x) x K} on K:n avoin peite, jolloin K:n kompaktisuuden nojalla tästä peittestä löytyy äärellinen osapeite, ts. on olemassa x 1,...,x k K siten, että k K U(x i ). (10) i=1 Koska f n f pisteittäin, niin jonot (f n (x i )) suppenevat kaikille i = 1,...,k. Tällöin ne ovat lauseen MA 14.5 nojalla Cauchy-jonoja, ja silloin kaikille i = 1,...,k löytyy n i N siten, että d(f n (x i ),f m (x i )) < ǫ 3 kaikille n,m n i. (11) Äärellisestä N:n epätyhjästä osajoukosta löytyy aina maksimi, joten voidaan valita n 0 = max{n 1,...,n k }. 178

181 Tämä n 0 toimii ehdossa (8), sillä kun n,m n 0 ja x K, niin ehdon (10) nojalla voidaan valita i siten, että x U(x i ), jolloin saadaan arvio d(f n (x),f m (x)) d(f n (x),f n (x i )) + d(f n (x i ),f m (x i )) + d(f m (x i ),f m (x)) i) < ǫ 3 + d(f n(x i ),f m (x i )) + ǫ ii) < ǫ ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ, eli ehto (8) toimii ja väite seuraa. Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (9), koska x U(x i ) ja epäyhtälö ii) seuraa ehdosta (11), koska n,m n 0 n i. Nyt voidaan todistaa kuuluisa Ascolin-Arzelan lause, joka on tärkeässä roolissa todistettaessa erästä kompleksianalyysin päätulosta eli Riemannin kuvauslausetta. Lause (Ascoli-Arzela) Olkoon (X, T ) separoituva topologinen avaruus ja (Y,d) kompakti metrinen avaruus. Olkoon {f α } α I yhtäjatkuva perhe kuvauksia f α : X Y. Tällöin jokaisella perheen {f α } α I jonolla on osajono, joka suppenee tasaisesti jokaisessa X:n kompaktissa osajoukossa. Todistus. Olkoon (f n ) n N perheen {f α } α I mielivaltainen jono. Tälle jonolle pitää löytää lauseen vaatimukset toteuttava osajono. Koska (X, T ) on oletuksen mukaan separoituva, niin on olemassa korkeintaan numeroituva osajoukko {a i i N} X siten, että Merkitään {a i i N} = X. (1) F(X,Y ) = {f f on kuvaus f : X Y }. Konstruoidaan rekursioperiaatetta soveltaen joukon F(X,Y ) jonot (F k ), k N seuraavasti. Merkitään ensin F 1 := (f 1 n) := (f n ). Näin siis ensimmäinen valittu jono on alkuperäinen jono (f n ). Tämä on rekursion ensimmäinen askel. Koska (Y, d) on oletuksen mukaan kompakti metrinen avaruus, niin se on lauseen MA nojalla jonokompakti, joten Y :n jonolla (f 1 n(a 1 )) on suppeneva osajono eli osajonon määritelmän mukaan on olemassa aidosti kasvava ψ 1 : N N siten, että (f 1 ψ 1(n) (a 1)) suppenee. Määritellään nyt F 2 := (f 2 n) := (f 1 ψ 1(n) ). Tämä on rekursion toinen askel. Huomaa, että F 2 on jonon F 1 osajono. Yleisessä rekursioaskeleessa tehdään seuraavat rekursio-oletukset. 179

182 Oletetaan, että on jo määritelty joukon F(X,Y ) jonot F 1,...,F k, F i = (f i n) n N kaikille i = 1,...,k. Oletetaan lisäksi, että F k on jonon F i osajono kaikille i = 1,...,k ja (2 k ) (f i n(a l )) n N suppenee avaruudessa (Y,d) (3 k ) kaikille i = 2,...,k ja l = 1,...,i 1. Huomaa, että nämä ehdot (2 k ) ja (3 k ) toimivat, kun k = 2, joten rekursio on lähtenyt onnistuneesti käyntiin. Rekursioaskelta varten huomataan, että jono (f k n(a k )) n N on joukon Y jono, ja koska (Y n,d) on jonokompakti, niin tällä jonolla on suppeneva osajono eli on olemassa aidosti kasvava ψ k : N N siten, että (f k ψ k (n) (a k)) suppenee. Määritellään nyt F k+1 := (fn k+1 ) := (fψ k k (n)). (4) Tällöin F k+1 on jonon F k = (f k n) n N osajono, jolloin lauseen MA ja rekursio-oletuksen (2 k ) nojalla myös rekursioehto (2 k+1 ) pätee. Jotta rekursioehto (3 k+1 ) saataisiin voimaan, pitäisi nähdä, että (f k+1 n (a l )) n N suppenee avaruudessa (Y,d) kaikille l = 1,...,k. (5) Kun l = k, väite (5) seuraa suoraan jonon F k+1 valinnasta. Kun 1 l k 1, saadaan ensin rekursio-oletuksen (3 k ) nojalla jonon (fn(a k l )) suppeneminen, josta jonon (fn k+1 (a l )) suppeneminen seuraa, koska lauseen MA nojalla suppenevan jonon osajono suppenee. Tässähän todellakin (fn k+1 (a l )) = (fψ k k (n) (a l)) on jonon (fn(a k l )) osajono. Näin rekursioaskel on otettu ja voidaan todeta, että näin syntyy jono jonoja eli joukon F(X,Y ) jonot F k, k N, jotka toteuttavat ehdot (2 k ) ja (3 k ) kaikille k. Olkoon kaikille k N ψ k : N N rekursiomääritelmässä (4) käytetty aidosti kasvava kuvaus. Määritellään kuvaus ϕ : N N asettamalla ϕ(k) = ψ 1... ψ k (k) kaikille k N. Lemmaa MA käyttäen nähdään helposti, että ϕ on aidosti kasvava. Tällöin (f ϕ(n) ) on jonon (f n ) osajono. Silloin lauseen väite seuraa, jos osoitetaan, että (f ϕ(n) ) suppenee kaikissa X:n kompakteissa osajoukoissa. (6) 180

183 Väitteen (6) todistamiseksi sovelletaan lausetta Tarkistetaan ensin, että lauseen oletukset ovat kunnossa. Avaruudelta (X, T ) ei siinä vaadita mitään, mutta metrisen avaruuden (Y, d) pitää olla täydellinen. Tämä vaatimus seuraa kompaktisuusoletuksesta sekä lauseista MA ja MA Toiseksi perheen {f ϕ(n) } n N pitää olla yhtäjatkuva. Tämä seuraa huomautuksesta 15.27, sillä alkuperäinen perhe {f α } α I jonka osajoukosta tässä puhutaan on oletuksen mukaan yhtäjatkuva. Tällöin lause antaa väitteen (6), jos osoitetaan, että on olemassa tiheä joukko A X siten, että Y :n jono (f ϕ(n) (a)) suppenee kaikille a A. Ehdon (1) nojalla joukko {a n n N} on tiheä, joten väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että jono (f ϕ(n) (a i )) n N suppenee kaikille i N. (7) Olkoon tätä varten i N kiinteä. Ehdon (3 k ) nojalla jono (fn i+1 (a i )) n N suppenee avaruudessa (Y,d), merkitään Väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että lim n fi+1 n (a i ) =: y Y. (8) lim f ϕ(n)(a i ) = y. (9) n Olkoon tätä varten U Y pisteen y mielivaltainen ympäristö. Väite (9) seuraa, jos löydetään n 0 N siten, että Ehdon (8) nojalla on olemassa n 1 siten, että Valitaan nyt f ϕ(n) (a i ) U kaikille n n 0. (10) f i+1 n (a i ) U kaikille n n 1. (11) n 0 = max{n 1,i} ja osoitetaan, että tämä toimii ehdossa (10). Koska ehdon (4) nojalla f k+1 n = f k ψ k (n) kaikille k,n, niin laskevalla induktiolla nähdään helposti, että f k+1 n = f k ψ k (n) = fk 1 ψ k 1 ψ k (n) =... = f2 ψ 2... ψ k 1 ψ k (n) = (12) f 1 ψ 1... ψ k (n) = f ψ 1... ψ k (n) kaikille k,n. Koska määritelmän mukaan ϕ(n) = ψ 1... ψ n (n), niin ehdon (12) nojalla f ϕ(n) = f ψ1... ψ n(n) = f n+1 n kaikille n. 181

184 Tällöin väite (10) tulee muotoon f n+1 n (a i ) U kaikille n n 0. (13) Kun n n 0 i niin samalla tavoin laskevalla induktiolla kuin ehdossa (12) nähdään, että f n+1 n joten väite (13) tulee muotoon = fψ n = n(n) fn 1 ψ n 1 ψ n(n) =... = fi+1 ψ i+1... ψ k 1 ψ k (n), f i+1 ψ i+1... ψ k 1 ψ k (n) (a i) U kaikille n n 0. (14) Väite (14) seuraa ehdosta (11), jos osoitetaan, että ψ i+1... ψ k 1 ψ k (n) n 1 kaikille n n 0. (15) Koska kuvaukset ψ j ovat aidosti kasvavia, niin lauseen MA nojalla ψ i+1... ψ k 1 ψ k (n) n, joten väite (15) pätee, koska n 0 = max{n 1,i} n Lokaalisti kompaktit topologiset avaruudet Määritelmä 16.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on lokaalisti kompakti, jokaisella x X on olemassa ympäristö U T siten, että sulkeuma U on kompakti. Esimerkkejä. Kompakti avaruus on aina triviaalisti lokaalisti kompakti. Diskreetti topologia tekee avaruudesta aina lokaalisti kompaktin. R n varustettuna euklidisella topologialla on lokaalisti kompakti. Lokaalisti kompaktin avaruuden ei kuitenkaan tarvitse olla kompakti, esimerkki tästä on ääretön joukko varustettuna diskreetillä metriikalla tai R n (tai mikä tahansa äärellisulotteinen normiavaruus) varustettuna (millä tahansa) normimetriikalla. Tämä perustuu siihen, että äärellisulotteisessa normiavaruudessa yksikköpallo ja siten kaikki suljetut pallot ovat kompakteja. Itse asiassa voidaan osoittaa, että normiavaruus on lokaalisti kompakti täsmälleen silloin, kun se on äärellisulotteinen. Tämä perustuu siihen, että ääretönulotteisen normiavaruuden yksikköpallo ei koskaan ole kompakti, tätä asiaahan sivuttiin esimerkinomaisesti tehtävässä MA 7.7. Jätetään yleinen todistus harjoitustehtäväksi. Jätetään myös harjoitustehtäväksi osoittaa, että Q varustettuna itseisarvotopologialla ei ole lokaalisti kompakti. Näissä harjoitustehtävissä kannattaa huomata, että kyse on metrisistä avaruuksista, jolloin voidaan tarkastella jonokompaktisuutta. Lause 16.2 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Olkoon a X ja U T a:n ympäristö. Tällöin on olemassa a:n ympäristö V siten, että V U ja V on kompakti. 182

185 Huomautus. Lause 16.2 ei päde kaikissa lokaalisti kompakteissa avaruuksissa eli ilman Hausdorff-oletusta. Jätetään vastaesimerkin keksiminen harjoitustehtäväksi. Esimerkki löytynee helpoiten kofiniitin topologian (ks. harj.teht. 1.2) suunnalta. Todistus. Koska (X, T ) on lokaalisti kompakti, niin a:lla on ympäristö W siten, että W X on kompakti. (1) Olkoon T W topologian T joukkoon W indusoima aliavaruustopologia. Huomautuksen 15.3 ja ehdon (1) nojalla avaruus (W, T W ) on kompakti. (2) Koska Hausdorff-ominaisuus periytyy lauseen nojalla aliavaruuksiin, niin oletuksen nojalla avaruus (W, T W ) on Hausdorff. (3) Ehtojen (2) ja (3) sekä huomautuksen nojalla (W, T W ) on (T 3 )-avaruus. (4) Koska U ja W ovat a:n ympäristöjä avaruudessa (X, T ), niin U W on a:n ympäristö avaruudessa (X, T ). Koska U W W niin tällöin lauseen 5.5 nojalla U W on a:n ympäristö avaruudessa (W, T W ). (5) Ehtojen (4) ja (5) sekä lauseen 11.8 nojalla on olemassa A siten, että A T W ja (6) x A cl W (A) U W. (7) Koska ehdon (7) nojalla A W, niin lauseen 1.12 perusteella Lauseen 5.10 nojalla saadaan esitys A W. (8) cl W (A) = A W, jolloin ehdon (8) perusteella ja silloin ehdon (7) mukaan Määritellään nyt cl W (A) = A, A U W. (9) V := W A, 183

186 ja osoitetaan, että tämä on väitteessä haettu V. Riittää siis osoittaa, että tälle V pätee V on a:n ympäristö avaruudessa (X, T ), (10) V U ja (11) V on kompakti. (12) Väitettä (10) varten huomataan ensin, että ainakin a V. Tämä johtuu ehdosta (7), jonka mukaan a A, ja toisaalta siitä, että W on a:n ympäristö, jolloin a W. Tällöin väite (10) seuraa, jos osoitetaan, että V T. (13) Ehdon (6) ja lauseen 5.3 nojalla on olemassa B T siten, että Tällöin A = B W. V = W A = W B W = W B. Väite (13) seuraa tästä esityksestä, sillä W, B T. Näin väite (10) on todistettu. Väite (11) saadaan inkluusioketjusta V i) A ii) U W U, missä inkluusio i) seuraa lauseesta 1.12 ja siitä, että V A. Inkluusio ii) seuraa ehdosta (9). Väite (12) nähdään oikeaksi seuraavasti. Koska V W, niin lauseen 1.12 mukaan V W. Koska V on suljettu avaruudessa (X, T ), niin se on lauseen 5.12 nojalla suljettu myös aliavaruudessa (W, T W ). Väite (12) seuraa tästä huomiosta ja ehdosta (2), sillä lauseen 15.5 mukaan kompaktin avaruuden suljettu osajoukko on kompakti. Lause 16.3 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Tällöin (X, T ) on (T 3 )-avaruus. Todistus. Lauseen 16.2 nojalla (X, T ) toteuttaa lauseen 11.8 vaatimukset. Huomautus 16.4 Lauseesta 16.3 huolimatta lokaalisti kompaktin Hausdorffavaruuden ei tarvitse olla (T 4 ). Jätetään esimerkin keksiminen bonustehtäväksi. Jos oletetaan lisäksi, että lokaalikompakti Hausdorff-avaruus on Lindelöf, niin myös (T 4 )-ominaisuus seuraa. Tämähän saadaan lauseista ja Erityisesti tällöin kompakti Hausdorff-avaruus on aina (T 4 )-avaruus. 184

187 Kompaktisuus periytyy aliavaruuksiin huonosti. Tästähän löytyy helppoja esimerkkejä jo reaaliakselilta. Kuitenkin lauseen 15.5 ja huomautuksen 15.3 perusteella kompaktisuus periytyy suljettuihin aliavaruuksiin avoimiin aliavaruuksiinhan se ei selvästikään periydy. Voidaan kysyä, miten on lokaalikompaktisuuden periytyvyyden laita. Sekään ei periydy kaikkiin aliavaruuksiin, esimerkkiparina R ja Q itseisarvotopologialla varustettuna. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että myös lokaalikompaktius periytyy suljettuihin aliavaruuksiin ja Hausdorff-avaruuksissa itse asiassa avoimiinkin. Lause 16.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Olkoon A X ja varustetaan A aliavaruustopologialla T A. Oletetaan että A on avoin tai suljettu avaruudessa (X, T ). Tällöin (A, T A ) on lokaalisti kompakti. Todistus. a) Oletetaan ensin, että A on avoin. Olkoon a A mielivaltainen. Määritelmän 16.1 mukaan pitää löytää U siten, että a U T A ja cl A (U) on kompakti avaruudessa (A, T A ). (1) Koska A on avoin, niin se on pisteen a A ympäristö avaruudessa (X, T ). Koska (X, T ) on Hausdorff ja lokaalisti kompakti, niin lauseen 16.2 nojalla on olemassa V siten, että a V T, (2) V A ja (3) V on kompakti avaruudessa (X, T ). (4) Koska ehdon (3) perusteella V A ja ehdon (2) mukaan V T, niin lauseen 5.5 nojalla V T A. (5) Lisäksi lauseen 5.10 nojalla jolloin ehdon (3) perusteella cl A (V ) = V A, Ehtojen (4) ja (6) sekä huomautuksen 15.3 nojalla cl A (V ) = V. (6) cl A (V ) on kompakti avaruudessa (A, T A ). (7) Koska ehdon (2) mukaan a V, niin ehtojen (5) ja (7) nojalla V toteuttaa ehdon (1) vaatimukset. Tämä todistaa väitteen tapauksessa a). b) Oletetaan sitten, että A on suljettu. Pitää taas löytää joukko U, joka toteuttaa ehdon (1). Koska (X, T ) on lokaalisti kompakti, niin on olemassa a:n ympäristö V X, V T siten, että V on kompakti. Määritellään ehdossa (1) tavoiteltu U asettamalla U = V A. 185

188 Koska a V T ja a A, niin lauseen 5.3 nojalla a U T A. Silloin U toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, jos osoitetaan, että cl A (U) on kompakti avaruudessa (A, T A ). (8) Lauseen 5.10 nojalla joten väite (8) tulee muotoon cl A (V ) = V A, V A on kompakti avaruudessa (A, T A ). (9) Varustetaan joukko V aliavaruustopologialla T V. Huomautuksen 15.3 perusteella väite (9) voidaan kirjoittaa muotoon V A on kompakti avaruudessa (V, T V ). (10) Koska V on kompakti avaruudessa (X, T ), niin huomautuksen 15.3 nojalla avaruus (V, T V ) on kompakti. Tällöin lauseen 15.5 nojalla väite (10) seuraa, jos osoitetaan, että V A on suljettu avaruudessa (V, T V ). (11) Väite (11) seuraa lauseesta 5.12, sillä oletuksen mukaan A on suljettu avaruudessa (X, T ). Lokaalisti kompakteissa Hausdorff-avaruuksissa voidaan esittää myös Bairen lause, ks. lauseet 10.8, 10.9 ja Lause 16.6 (Bairen lause, versio 2.1) Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Olkoon I korkeintaan numeroituva ja {U i } i I perhe avoimia ja tiheitä X:n osajoukkoja. Tällöin myös joukko U = i I U i on tiheä avaruudessa (X, T ). Todistus. Olkoon V 0 T mielivaltainen. Riittää osoittaa, että V 0 U. (1) Koska I on epätyhjä ja korkeintaan numeroituva, niin on olemassa surjektio ϕ : N I. Konstruoidaan rekursioperiaatetta (ja valinta-aksioomaa) soveltaen samanaikaisesti kaksi jonoa (x n ) ja (V n ), missä x n X ja V n P(X) kaikille n. 186

189 Oletuksen nojalla U ϕ(1) on tiheä, jolloin V 0 :n avoimuuden nojalla voidaan valita jokin x 1 V 0 U ϕ (1). (2) Koska joukot V 0 ja U ϕ(1) ovat avoimia, niin ehdon (2) nojalla V 0 U ϕ(1) on pisteen x 1 ympäristö. Koska (X, T ) on oletuksen mukaan lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, niin voidaan soveltaa lausetta 16.2, jonka mukaan voidaan valita pisteen x 1 ympäristö V 1 siten, että V 1 V 0 U ϕ(1) ja V 1 on kompakti. (3) Näin konstruoitavien jonojen (x n ) ja (V n ) ensimmäiset alkiot on valittu ehtojen (2) ja (3) mukaisesti. (Valinnat eivät ole yksikäsitteisiä, joten pelkkä rekursioperiaate ei tässä riitä, vaan tarvitaan valinta-aksioomaa, jotta tämä rekursio saadaan toimimaan. Kyllä se onnistuu, mutta jätetään tämän verifiointi joukkoopin osaajille.) Yleisessä rekursioaskeleessa oletetaan, että on jo valittu pisteet x 1,...,x n ja joukot V 1,...,V n siten, että V i on pisteen x i ympäristö kaikille i = 1,...,n, (4) x i V i 1 U ϕ(i) kaikille i = 1,...,n, (5) V i V i 1 U ϕ(i) kaikille i = 1,...,n ja (6) V i on kompakti kaikille i = 1,...,n. (7) Huomaa, että nämä vaatimukset toteutuvat ehtojen (2) ja (3) nojalla kun n = 1. Koska U ϕ(n+1) on tiheä ja V n on ehdon (4) nojalla avoin, niin voidaan valita jokin x n+1 V n U ϕ(n+1) ja lauseen 16.2 avulla pisteen x n+1 ympäristö V n+1 siten, että V n+1 V n U ϕ(n+1) ja V n+1 on kompakti. Tämä on yleinen rekursioaskel, ja on selvää, että rekursiovaatimukset (4) (7) toteutuvat myös (n + 1):lle. Uskotaan siihen, että tämä lievästi hatara rekursio toimii, ja tuottaa kaksi jonoa (x n ) ja (V n ), jotka toteuttavat ehdot (4) (7) kaikille n. Ehdon (6) nojalla joukot V n ovat sisäkkäin eli V n+1 V n kaikille n. Lisäksi nämä joukot ovat ehdon (7) nojalla kompakteja. Koska (X, T ) on Hausdorffavaruus, niin tällöin lauseen nojalla V n. n N 187

190 Tällöin voidaan valita y n N V n. Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että y V 0 U. (8) Suoraan valintansa nojalla y V 1, jolloin ehdon (6) nojalla y V 0. Silloin väite (8) seuraa, jos osoitetaan, että y U. (9) Koska U = i I U i, niin väite (9) seuraa, jos osoitetaan, että y U i kaikille i I. (10) Olkoon tätä varten i I mielivaltainen. Koska ϕ : N I on surjektio, niin on olemassa n N siten, että i = ϕ(n). Tällöin väite (10) seuraa, jos osoitetaan, että y U ϕ(n). (11) Määritelmänsä mukaan y V n, jolloin väite (11) seuraa ehdosta (6). Lause 16.7 (Bairen lause, versio 2.2) Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Olkoon A X ensimmäisen kategorian joukko. Tällöin A:lla ei ole lainkaan sisäpisteitä. Todistus. Tämä seuraa Bairen lauseen versiosta 2.1 täysin samalla tavalla kuin metrisessä tapauksessa eli lauseen 10.9 todistuksessa. Lause 16.8 (Bairen lause, versio 2.3) Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on Hausdorff ja lokaalisti kompakti. Tällöin X on toisen kategorian joukko. Todistus. Tämä seuraa Bairen lauseen versiosta 2.2 täysin samalla tavalla kuin metrisessä tapauksessa eli lauseen todistuksessa. 17 Kompaktifiointi Tarkastellaan joukkoa R itseisarvotopologialla T varustettuna. Liitetään tähän avaruuteen äärettömyyspiste eli ruvetaan tarkastelemaan joukkoa R := R { }. Tänne laaditaan topologia T sopimalla että T :n kannan muodostavat T ja joukot { } {R \ [a,b] a,b R, a < b}. Tästä tulee kantalauseen perusteella vallan hyvä kanta ja näin meillä on uusi topologinen avaruus (R, T ). Stereograafisen projektion kautta on helppo nähdä, että tämä uusi avaruus 188

191 on homeomorfinen R 2 :n euklidisen yksikköympyrän kanssa. Koska tämä yksikköympyrä on kompakti, myös (R, T ) on kompakti. Suoraan määritelmän nojalla R R ja helposti myös nähdään, että avaruuden (R, T ) osajoukkoon R indusoima aliavaruustopologia on R:n alkuperäinen itseisarvotopologia T. Näin lisäämällä yksi piste epäkompaktiin avaruuteen (R, T ) ja määrittelemällä tähän laajennettuun avaruuteen topologia saatiin aikaan kompakti avaruus, jonka aliavaruus alkuperäinen avaruus on. Vastaavalla kuviolla on suurta merkitystä kompleksianalyysissä. Siellä lisätään kompleksitasoon (eli joukkoon R 2 ) yksi ylimääräinen piste, jonka symbolina käytetään taas merkkiä. Topologisoidaan laajennettu joukko analogisella tavalla, eli topologian kannaksi sovitaan tason euklidinen topologia, johon on lisätty suljettujen pallojen ulkopuolet. Taas syntyy kompakti topologinen avaruus, joka on stereograafisen projektion kautta homeomorfinen R 3 :n yksikköpallon pinnan kanssa ja jonka topologinen aliavaruus kompleksitaso on. Tämä yhden pisteen kompaktifiointi voidaan tehdä kaikille Hausdorff-avaruuksille. Todistus on seuraavassa lauseessa. Lause 17.1 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus. Merkitään symbolilla jotakin alkiota, jolle pätee X ja merkitään edelleen Tällöin joukko X = X { }. T := T {U U X, X \ U on kompakti avaruudessa (X, T )} on topologia joukossa X. Todistus. Harjoitustehtävä. Tässä Hausdorff-avaruusoletusta tarvitaan siihen, että sen ja lauseen 15.5 nojalla kompaktit joukot ovat suljettuja avaruudessa (X, T ), jolloin niiden komplementit ovat avoimia. Muista myös, että kompaktien joukkojen äärellinen yhdiste on aina kompakti lauseen nojalla. Määritelmä 17.2 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus. Sanotaan, että lauseen 17.1 mukainen topologinen avaruus (X, T ) on avaruuden (X, T ) yhden pisteen kompaktifiointi. Huomautus. Tässä kompaktifioinnissa todellakin syntyy kompakti avaruus, kuten jäljempänä todistettava lause 17.4 sanoo. Lisäksi alkuperäinen avaruus on tämän syntyvän kompaktin avaruuden aliavaruus (lause 17.3), joten on perusteltua sanoa, että kyseessä on kompaktifiointi. Koska se tehdään yksi piste lisäämällä, voidaan puhua yhden pisteen kompaktifioinnista. Huomaa, että kompaktifioinnin voi tehdä muutenkin; esimerkiksi jos euklidisen tason avoimeen 189

192 yksikköympyrään lisätään sen reuna (jossa on äärettömän monta pistettä) ja määritellään tähän laajennettuun joukkoon euklidinen topologia, niin tuloksena on (myös) kompakti joukko, jonka aliavaruus alkuperäinen avaruus on. Huomaa kuitenkin, että tämä kompaktifiointi ei tuota samaa tulosta kuin yhden pisteen kompaktifiointi eli syntyvät avaruudet eivät ole homeomorfisia keskenään. Jätetää harjoitustehtäväksi todistaa, että näin on. Tämä taitaa tosin olla aika vaikea tehtävä. Yhden pisteen kompaktifioinnilla syntyvä avaruus on homeomorfinen euklidisen R 3 :n yksikköpallon pinnan kanssa (tämän näkee helposti) ja tämä toinen kompaktifiointi tuottaa euklidisen tason suljetun yksikkökiekon, joten riittää osoittaa, että tämä pallon pinta ja suljettu yksikkökiekko eivät ole homeomorfisia keskenään. Mutta milläs tämän todistat? Totta on, mutta todistakaa, kuten eräs tunnettu suomalainen kirjailija totesi aikoinaan. Lause 17.3 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja olkoon (X, T ) sen yhden pisteen kompaktifiointi. Olkoon T X topologian T osajoukkoon X X määräämä aliavaruustopologia. Tällöin pätee Todistus. Osoitetaan ensin, että T X = T. T T X. (1) Olkoon tätä varten U T mielivaltainen. Määritelmän/lauseen 17.1 nojalla T T, joten U T. Tällöin lauseen 5.3 nojalla U X T X. (2) Koska U X, niin U X = U, jolloin ehdon (2) nojalla U T X, ja väite (1) seuraa. Osoitetaan sitten, että T X T. (3) Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Pitää osoittaa, että Lauseen 5.3 nojalla on olemassa V T siten, että U T. (4) U = V X. (5) Koska V T, niin määritelmän 17.1 nojalla joko V T tai V ja X \ V on kompakti avaruudessa (X, T ). (6) Jos V T, niin ehdon (5) nojalla U = V, jolloin väite (4) seuraa triviaalisti. Voidaan siis olettaa, että ehto (6) pätee. Ehdon (5) nojalla X \ U = X \ (V X) = X \ V, 190

193 jolloin ehdon (6) nojalla X \ U on kompakti avaruudessa (X, T ). (7) Koska (X, T ) on oletuksen mukaan Hausdorff, niin ehdon (7) ja lauseen nojalla X \ U on suljettu avaruudessa (X, T ). (8) Koska U X, niin ehdon (8) nojalla väite (4) seuraa, joten myös ehto (3) pätee. Lauseen väite seuraa ehdoista (1) ja (4). Lause 17.4 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja olkoon (X, T ) sen yhden pisteen kompaktifiointi. Tällöin avaruus (X, T ) on kompakti. Todistus. Olkoon D mielivaltainen avaruuden (X, T ) avoin peite. Pitää löytää äärellinen osapeite. Koska D on peite, niin voidaan valita D 0 D siten, että D 0. (1) Koska peite D on avoin, niin joukolle D 0 pätee D T. Tällöin määritelmän 17.1 ja ehdon (1) nojalla X \ D 0 on kompakti avaruudessa (X, T ). (2) Koska joukot D D ovat avoimia avaruudessa (X, T ), niin lauseiden 5.3 ja 17.3 nojalla joukot X D, D D ovat avoimia avaruudessa (X, T ). (3) Koska D on joukon X = X { } peite, niin joukko ja silloin ehdon (3) nojalla ja edelleen {X D D D} on joukon X peite, {X D D D} on avaruuden (X, T ) avoin peite {X D D D} on joukon X \ D 0 avoin peite avaruudessa (X, T ). (4) Ehdon (2) nojalla peitteellä (4) on äärellinen osapeite, ts. on olemassa D 1,...,D n D siten, että n X \ D 0 D i. i=1 191

194 Tällöin ehdon (1) nojalla saadaan n n X = X { } = D 0 D i = D i, i=1 i=0 joten {D 0,D 1,...,D n } D on haluttu äärellinen osapeite. Nyt voidaan kysyä, mitä tapahtuu, jos yhden pisteen kompaktifioinnissa kompaktifioitava avaruus on jo valmiiksi kompakti. Eipä siinä kummempia tapahdu: lisättävä piste { } tulee vain erakkopisteeksi avaruuteen (X, T ). Tämän sanoo seuraava lause. Lause 17.5 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja olkoon (X, T ) sen yhden pisteen kompaktifiointi. Tällöin avaruus (X, T ) on kompakti jos ja vain jos on erakkopiste avaruudessa (X, T ). Todistus. Määritelmän 1.10 mukaan on erakkopiste, jos yksiö { } on avoin avaruudessa (X, T ). Jos (X, T ) on kompakti, niin X \ { } = X on kompakti avaruudessa (X, T ), ja silloin määritelmän 17.1 mukaan { } T, joten on erakkopiste. Jos kääntäen on erakkopiste eli { } on avoin avaruudessa (X, T ), niin määritelmän 17.1 nojalla X \ { } = X on kompakti. Seuraavaksi voidaan kysyä periytyykö avaruuden (X, T ) Hausdorff-ominaisuus yhden pisteen kompaktifiointiin. Ainakin tämän luvun alussa esitettyyn R:n kompaktifiointiin Hausdorff-ehto näyttäisi siirtyvän. Toisaalta, jos varustetaan Q itseisarvotopologialla ja kompaktifioidaan se, niin mitenkäs Hausdorff-ehdon käy? Kyllähän tässä Q:n pisteet voidaan erottaa toisistaan erillisillä ympäristöillä, mutta mitenkä lienee pisteen laita. Tätä sopii hetken miettiä, ja miettimisen tulos on se, että ei mitään pisteitä q Q ja voi erottaa toisistaan erillisillä ympäristöillä. Itse asiassa tässä esimerkissä käy niin, että pisteen mikä tahansa ympäristö on tiheä avaruudessa (Z, T ). Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Vastaus tähän periytyvyyskysymykseen näyttäisi siis olevan, että saattaa perityä, muttei periydy aina. Täsmällinen periytyvyysehto on seuraavassa lauseessa. Lause 17.6 Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus ja olkoon (X, T ) sen yhden pisteen kompaktifiointi. Tällöin avaruus (X, T ) on Hausdorff jos ja vain jos avaruus (X, T ) on lokaalisti kompakti. Todistus. Oletetaan ensin, että (X, T ) on Hausdorff-avaruus. Pitää osoittaa, että (X, T ) on lokaalisti kompakti. (1) 192

195 Lauseen 17.4 nojalla (X, T ) on kompakti, joten se on triviaalisti myös lokaalisti kompakti. Lauseen 17.8 nojalla (X, T ) on avaruuden (X, T ) aliavaruus. Tällöin väite (1) seuraa lauseesta 16.5, jos osoitetaan, että X on avoin avaruudessa (X, T ). (2) Väite (2) seuraa siitä, että triviaalisti X T, jolloin suoraan määritelmän 17.1 nojalla X T. Oletetaan sitten, että (X, T ) on lokaalisti kompakti. Olkoot a,b X, a b. Hausdorff-avaruuden määritelmän mukaan pitää löytää U,V T siten, että a U, b V ja U V =. (3) Jos a,b X, niin ehdon (3) mukaiset U ja V löytyvät Hausdorff-topologiasta T, jolloin väite (3) seuraa, sillä T T. Voidaan siis olettaa, että molemmat pisteet a ja b eivät ole joukossa X, jolloin toinen niistä on ja toinen joukossa X. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että b = ja a X. Koska (X, T ) on oletuksen mukaan lokaalisti kompakti, niin pisteelle a X löytyy ympäristö U T siten, että Merkitään Koska U X, niin U on kompakti avaruudessa (X, T ). (4) V = X \ U. V. (5) Lisäksi X \ V = U, jolloin ehdon (4) ja määritelmän 17.1 nojalla Koska U U niin Lisäksi vielä V T. (6) U V =. (7) a U T T. (8) Ehtojen (5), (6), (7) ja (8) nojalla joukot U ja V toteuttavat ehdon (3) vaatimukset (kun b = ), joten asia on selvä. 18 Tihonovin lause Ylivoimaisesti kovin tällä kurssilla todistettavista lauseista on Tihonovin lause, joten nimetään sen kunniaksi oikein oma lukunsakin. Lause on helppo muotoilla: kompaktien joukkojen mielivaltainen tulo on kompakti, mutta todistus on 193

196 sitten kokonaan toinen juttu. Ennen Tihonovin lausetta tarkastellaan kuitenkin jonokompaktisuutta. Jonokompaktien avaruuksien tulo ei välttämättä ole jonokompakti. Tästä on esimerkkinä vaikkapa X = [0,1] P(N), joka varustetaan välin [0, 1] itseisarvotopologian indusoimalla tulotopologialla. Välit [0, 1] ovat kompakteina metrisinä avaruuksina lauseen MA nojalla jonokompakteja, mutta tuloavaruus X ei sitä ole. Jätetään tämän tarkka todistus harjoitustehtäväksi. Jonokompaktien avaruuksien korkeintaan numeroituva tulo on kuitenkin jonokompakti. Todistetaan väite ensin äärellisen monen avaruuden tulolle. Itse asiassa todistus sujuisi lauseessa 18.2 samalla vaivalla myös äärelliselle tulolle, mutta tehdään nyt ensin malliksi tämä äärellinen todistus ja tehdään tämäkin vähän pitkän kaavan kautta. Lause 18.1 Olkoon {(X α, T α )} α I perhe jonokompakteja topologisia avaruuksia ja oletetaan, että I on äärellinen. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T. Tällöin avaruus (X, T ) on jonokompakti. Todistus. Tässä riittää osoittaa, että kahden jonokompaktin avaruuden tulo on jonokompakti, koska yleinen tulos saadaan tämän jälkeen helpolla induktiolla. Olkoon siis i = {1,2} ja väitteenä on avaruuden (X 1 X 2, T ) jonokompaktisuus. Olkoon (x n ) mielivaltainen joukon X 1 X 2 jono. Pitää löytää suppeneva osajono. Olkoot pr i : X 1 X 2 X i, i = 1,2 projektiokuvaukset. Jono (pr 1 (x n )) on joukon X 1 jono, ja koska avaruus (X 1, T 1 ) on oletuksen mukaan jonokompakti, tästä jonosta löytyy suppeneva osajono. Silloin osajonon määritelmän mukaan on olemassa aidosti kasvava ϕ 1 : N N siten, että jono (pr 1 (x ϕ1(n))) suppenee avaruudessa (X 1, T 1 ). (1) Jono (pr 2 (x ϕ(n) )) on joukon X 2 jono, ja koska avaruus (X 2, T 2 ) on oletuksen mukaan jonokompakti, tästä jonosta löytyy suppeneva osajono. Silloin osajonon määritelmän mukaan on olemassa aidosti kasvava ϕ 2 : N N siten, että jono (pr 2 (x ϕ2 ϕ 1(n))) suppenee avaruudessa (X 2, T 2 ). (2) Jono (pr 1 (x ϕ2 ϕ 1(n))) on jonon (pr 1 (x ϕ1(n))) osajono, ja koska suppenevan jonon osajono suppenee, niin ehdon (1) nojalla (pr 1 (x ϕ2 ϕ 1(n))) suppenee avaruudessa (X 1, T 1 ). (3) 194

197 Ehtojen (2) ja (3) sekä lauseen 6.13 nojalla jono (x ϕ2 ϕ 1(n)) suppenee avaruudessa (X 1 X 2, T ). Tämä on haluttu suppeneva osajono, sillä lauseen MA nojalla se on alkuperäisen jonon (x n ) osajono. Yleistetään sitten lause 18.1 numeroituvalle tulolle. Vertaa todistusta lauseen 18.1 edellä esitettyyn todistukseen. Lause 18.2 Olkoon {(X n, T α )} α I perhe jonokompakteja topologisia avaruuksia ja oletetaan, että I on numeroituva. Varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T. Tällöin avaruus (X, T ) on jonokompakti. Todistus. Koska I on numeroituva, on olemassa bijektio η : N I, jolloin I = {η(n) n N}. Merkintöjä ilmeisellä tavalla muuttamalla voidaan tällöin olettaa, että I = N ja kirjoittaa tulojoukko X muotoon X = n N X n. Olkoon (x n ) joukon X mielivaltainen jono. Pitää löytää suppeneva osajono. Olkoot pr i : X X i, i N projektiokuvaukset. Koska (X 1, T 1 ) on oletuksen mukaan jonokompakti, niin jonosta (pr 1 (x n )) löytyy suppeneva osajono, joten on olemassa aidosti kasvava ϕ 1 : N N siten, että jono (pr 1 (x ϕ1(n))) suppenee avaruudessa (X 1, T 1 ). (1) Merkitään tässä samalla myöhempiä tarpeita varten ψ 1 = ϕ 1. Koska (X 2, T 2 ) on oletuksen mukaan jonokompakti, niin jonosta (pr 2 (x ϕ1(n))) löytyy suppeneva osajono, joten on olemassa aidosti kasvava ϕ 2 : N N siten, että jono (pr 1 (x ϕ2 ϕ 1(n))) suppenee avaruudessa (X 2, T 2 ). (2) Merkitään jolloin ehdon (2) nojalla jono ψ 2 = ϕ 2 ϕ 1, (pr 2 (x ψ2(n))) suppenee avaruudessa (X 2, T 2 ). (3) Lisäksi jono (pr 1 (x ψ2(n))) on jonon (pr 1 (x ψ1(n))) = (pr 1 (x ϕ1(n))) osajono, jolloin ehdon (1) nojalla (pr 1 (x ψ2(n))) suppenee avaruudessa (X 1, T 1 ). (4) Tämähän on täsmälleen samaa mitä tehtiin lauseen 18.1 todistuksessa. Nyt tässä numeroituvassa tapauksessa jatketaan rekursiivisesti näiden kuvausten ϕ n ja 195

198 ψ n valintaa. Tehdään rekursio-oletus: On jo valittu aidosti kasvavat ϕ k ja ψ k, k = 1,...,m siten, että ψ k+1 = ϕ k+1 ψ k kaikille k = 1,...,m 1 ja (5 m ) jono (pr j (x ψk (n))) suppenee avaruudessa (X j, T j ) kaikille j k m. (6 m ) Huomaa, että ehtojen (3) ja (4) nojalla ehdot (5 2 ) ja (6 2 ) toteutuvat, joten rekursio lähtee oikealla tavalla käyntiin. Varsinaisessa rekursioaskeleessa tarkastellaan rekursio-oletuksen mukaista jonoa (x ψ(m) ). Tälle jonolle (pr m+1 (x ψ(m) )) on joukon X m+1 jono, ja koska oletuksen mukaan (X m+1, T m+1 ) on jonokompakti, niin jonosta (pr m+1 (x ψ(m) )) löytyy suppeneva osajono, joten on olemassa aidosti kasvava ϕ m+1 : N N siten, että jono (pr m+1 (x ϕm+1 ψ m(n))) suppenee avaruudessa (X m+1, T m+1 ). (7) Merkitään ψ m+1 = ϕ m+1 ψ m. Tämä on rekursioaskeleen konstruktio. Nyt pitää tarkistaa, että rekursioehdot (5 m ) ja (6 m ) säilyvät tässä konstruktiossa, ts. että ehdot (5 m+1 ) ja (6 m+1 ) pätevät. Lisäksi pitää huomata, että ψ m+1 on aidosti kasvava, mutta tämä saadaan lemmasta MA Ehdossa (5 m+1 ) ei ole mitään todistamista. Ehto (6 m+1 ) seuraa ehdosta (6 m ), sillä jono (pr j (x ψm+1(n))) on jonon (pr j (x ψm(n))) osajono, koska ψ m+1 = ϕ m+1 ψ m. Näin rekursio toimii, ja tuottaa kokoelman aidosti kasvavia kuvauksia ϕ m ja ψ m, m N, joille ehdot (5 m ) ja (6 m ) pätevät kaikille m N. Tämän rekursion jälkeen määritellään kuvaus ξ : N N asettamalla ξ(n) = ψ n (n) kaikille n N. Tämä kuvaus ξ on aidosti kasvava, sillä ξ(n + 1) = ψ n+1 (n + 1) i) = ϕ n+1 (ψ n (n + 1)) ii) > ψ n (n + 1) iii) > ψ n (n) = ξ(n), missä yhtälö i) tulee ehdosta (5 n+1 ), epäyhtälö ii) seuraa ϕ n+1 :n aidosta kasvavuudesta ja epäyhtälö iii) ψ n :n aidosta kasvavuudesta. Koska siis ξ on aidosti kasvava, niin jono (x ξ(n) ) on alkuperäisen jonon (x n ) osajono. Tällöin väite seuraa, jos osoitetaan, että (x ξ(n) ) suppenee. Lauseen 6.13 nojalla tämä väite seuraa, jos osoitetaan, että (pr k (x ξ(n) )) suppenee avaruudessa (X k, T k ) kaikille k N. (8) 196

199 Kuvauksen ξ määritelmän nojalla väite (8) tulee muotoon (pr k (x ψn(n))) suppenee avaruudessa (X k, T k ) kaikille k N. (9) Olkoon tätä varten k N kiinteä. Koska jonon alkupään termit eivät vaikuta suppenemiseen, niin väite (9) seuraa, jos osoitetaan, että (pr k (x ψn(n))) n k suppenee avaruudessa (X k, T k ) kaikille k N. (10) Ehdon (6 k ) nojalla jono (pr k (x ψk (n))) n k suppenee avaruudessa (X j, T j ), (11) Silloin väite (10) seuraa, jos osoitetaan, että (pr k (x ψn(n))) n k on jonon pr k (x ψk (n))) n k osajono. (12) Väite (12) seuraa, jos löydetään aidosti kasvava β siten, että Ehtojen (5 m ) nojalla β(ψ k (n)) = ψ n (n) kaikille n > k. (13) ψ n (n) = ϕ n ϕ m 1... ϕ k+1 ψ k (n) kaikille n > k, joten ehdossa (13) tarvittavaksi kuvaukseksi käy β(n) = ϕ n ϕ m 1... ϕ k+1. Tämä on selvästi aidosti kasvava, koska ϕ i :t ovat aidosti kasvavia. Lauseen 18.2 todistuksessa tehtävä osajonotemppuilu ei onnistu, jos indeksijoukko I on ylinumeroituva, tästähän oli jo (perustelematon) esimerkki edellä. Sen sijaan oikealle kompaktisuudelle todistus onnistuu myös ylinumeroituvassa tapauksessa. Tämän sanoo siis Tihonovin lause, jonka kimppuun hyökätään seuraavaksi. Todistuksessa käytetään ns. Zornin lemmaa, jonka esittämistä varten tarvitaan muutama uusi käsite, jotka määritellään ensin. Määritelmä 18.3 Olkoon X mielivaltainen joukko ja relaatio joukossa X. Sanotaan, että on järjestysrelaatio joukossa X, jos kaikille a, b, c X seuraavat ehdot ovat voimassa. a a. (1) Jos a b ja b a, niin a = b. (2) Jos a b ja b c, niin a c. (3) Esimerkki 18.4 Reaalilukujen tavallinen järjestysrelaatio on järjestysrelaatio myös määritelmän 18.3 mielessä. Sen sijaan R:n aito järjestysrelaatio < ei ole järjestysrelaatio, koska se ei toteuta määritelmän 18.3 ehtoa (1). 197

200 Tärkeä järjestysrelaatio on joukkoinkluusio A B joukossa P(X) mielivaltaiselle X. Huomaa, että reaalilukujen järjestysrelaatiolla ja P(X):n järjestysrelaatiolla on tärkeä periaatteellinen ero: kaikkia reaalilukuja voidaan verrata tässä relaatioissa eli kaikille x,y R pätee joko x y tai y x, mutta yleensä läheskään kaikki P(X):n alkiot eivät ole vertailtavissa järjestysrelaation suhteen eli voi vallan hyvin päteä A B ja B A. Tällaista kaikkien alkioiden vertailtavuusominaisuutta ei siis järjestysrelaatiolta vaadita, vaan nämä molemmat ovat ihan hyviä järjestysrelaatioita. Tähän esimerkin 18.4 vertailtavuuteen liittyy nyös seuraava määritelmä. Määritelmä 18.5 Olkoon X mielivaltainen joukko, joka on varustettu järjestysrelaatiolla ja olkoon A X. Sanotaan, että A on järjestysrelaatioon liittyvä ketju, jos kaikille a, b A pätee joko a b tai b a. Esimerkki 18.6 Reaalilukujen tavanomaisen järjestysrelaation suhteen kaikki R:n osajoukot ovat ketjuja. Jos X on kolmen eri alkion joukko, X = {a,b,c} ja varustetaan P(X) järjestysrelaatiolla (ks. esim. 18.4), niin esimerkiksi A P(X), A = {, {a}, {a, b}} on ketju. Sen sijaan esimerkiksi B = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}} P(X) ei ole ketju. Lemma 18.7 Olkoon X joukko, joukon X järjestysrelaatio ja A X ketju tämän järjestysrelaation suhteen sekä B A äärellinen. Tällöin B:n alkiot voidaan järjestää, ts. B voidaan esittää muodossa B = {b 1,...,b n }, missä b 1 b 2... b n. Todistus. Helppo induktio B:n alkioiden lukumäärän suhteen. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Huomaa, että väite ei päde, jos A ei ole ketju. Määritelmä 18.8 Olkoon X mielivaltainen joukko, joka on varustettu järjestysrelaatiolla ja olkoon A X sekä b X. Sanotaan, että b on joukon A yläraja järjestysrelaation suhteen, jos a b kaikille a A. Esimerkki 18.9 Reaalilukujen tavanomaisen järjestysrelaation suhteen joukon [0,1] R ylärajoja ovat kaikki luvut x R, x 1. Joukolla [0, [ R ei ole ylärajaa lainkaan. Esimerkin 18.6 joukon A P({a, b, c}) ylärajoja ovat {a, b} ja {a, b, c}. Saman esimerkin joukon B ainoa yläraja on {a,b,c}. Kuten näistä esimerkeistä näkyy, ylärajoja voi olla yksi, useampia tai ei lainkaan. 198

201 Määritelmä Olkoon X mielivaltainen joukko, joka on varustettu järjestysrelaatiolla ja olkoon A X sekä b X. Sanotaan, että b on joukon A maksimaalinen alkio järjestysrelaation suhteen, jos seuraavat ehdot pätevät. b A. (1) Jos a A siten, että b a, niin a = b. (2) Huomautus Tässä määritelmässä on merkillepantavaa ehto (1), jonka mukaan joukon maksimaalinen alkio on aina kyseisen joukon alkio. Joukon ylärajanhan ei sitä tarvitse olla, joten heti nähdään, että yleensä yläraja ja maksimaalinen alkio ovat eri asioita. Esimerkki Reaalilukujen tavanomaisen järjestysrelaation suhteen maksimaalinen alkio tarkoittaa samaa kuin tavanomainen maksimi. Tästä nähdään heti, että maksimaalista alkiota ei aina välttämättä ole olemassa, vaikka yläraja olisikin, esimerkkinä joukko ]0, 1[ R. Tässä R:n järjestysrelaatiossa maksimaalinen alkio eli maksimi on yksikäsitteinen (jos on olemassa), mutta näin ei yleisesti tarvitse olla. Esimerkin 18.6 joukon A (ainoa) maksimaalinen alkio on {a, b}, mutta saman esimerkin joukolla B on kolme maksimaalista alkiota: {a, b}, {a, c}, {b, c}. On kuitenkin huomattava, että näistä ei yksikään ole joukon B yläraja. Joukolla B kuitenkin on yläraja (tosin vain yksi) ja sehän on {a,b,c}. Tästä opitaan siis se, että maksimaalinen alkio ei välttämättä ole yläraja toisin kuin R:ssä. Huomautus Yhteenvetona esimerkeistä 18.6, 18.9 ja voidaan todeta, että - Joukolla ei välttämättä ole maksimaalista alkiota tai ylärajaa. - Jos joukolla on maksimaalinen alkio tai yläraja, se ei välttämättä ole yksikäsitteinen. - Maksimaalinen alkio ei välttämättä ole yläraja. - Yläraja ei välttämättä ole maksimaalinen alkio. - Ketjullakaan ei välttämättä ole ylärajaa tai maksimaalista alkiota. Tämä viimeinen huomautus näkyy esimerkistä ]0, [ R. Toisaalta on kuitenkin niin, että jos ketjulla on maksimaalinen alkio, niin se on yksikäsitteinen. Jätetään tämän todistus harjoitustehtäväksi, joka on yhtä helppo kuin todistaa, että R:ssä maksimi on yksikäsitteinen samasta asiastahan tässä on oleellisesti kysymys. Näiden kaikkien määritelmien ja huomautusten jälkeen voidaan esittää Tihonovin lauseen todistuksessa tarvittava päätyökalu. 199

202 Lause (Zornin lemma) Olkoon X joukko ja järjestysrelaatio joukossa X. Oletetaan, että jokaisella X:n ketjulla on yläraja joukossa X. Tällöin joukossa X on ainakin yksi maksimaalinen alkio. Huomautus Zornin lemma todistetaan joukko-opin kurssilla. Tässä yhteydessä todistukseen ei ole mitään mahdollisuutta ei edes siihen, että kerrottaisiin, miten todistus pääpiirteittäin menee. Esimerkki a) Olkoon X = {A P(N) A on äärellinen} ja varustetaan se järjestysrelaatiolla. Tällöin kaikilla X:n ketjuilla ei ole ylärajaa X:ssä, esimerkkinä ketju A = {{1,...,n} n N}. Tällöin Zornin lemma ei sano mitään maksimaalisen alkion olemassaolosta. Tässä tilanteessa on tietysti selvää, että maksimaalista alkiota ei voi olla olemassa: eihän N:ssä ole maksimaalista äärellistä osajoukkoa, koska se itse on ääretön. b) Otetaan tähän noiden leikkiesimerkkien 18.6, 18.9 ja jatkoksi ihan oikea esimerkki eli todistetaan Zornin lemman avulla, että jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Olkoon siis X {0} vektoriavaruus. Määritellään A = {A X A on lineaarisesti riippumaton}. Joukkoinkluusio on järjestysrelaatio joukossa A. Jos K on joukon A ketju, niin on helppo nähdä, että joukko K on lineaarisesti riippumaton. K K Tällöin K K K A, ja ilmeisesti tämä on ketjun K yläraja A:ssa. Siten jokaisella A:n ketjulla on yläraja joukossa A. Tällöin Zornin lemma toimii, ja kertoo, että joukossa A on maksimaalinen alkio, mahdollisesti useita. On helppo nähdä, että jokainen tällainen maksimaalinen alkio on X:n kanta. Ja sitten kovaan asiaan eli itse Tihonovin lauseeseen. Lause (Tihonovin lause) Olkoon {(X α, T α )} α I epätyhjä perhe kompakteja topologisia avaruuksia. Varustetaan tulojoukko X = α I tulotopologialla T. Tällöin avaruus (X, T ) on kompakti. Todistus. Käytetään hyväksi lauseen ehtoa (3) (1). Sen nojalla riittää osoittaa, että jos jollakin suljettujen joukkojen perheellä on äärellinen leikkausominaisuus, niin koko perheen leikkausjoukko on epätyhjä. Olkoon tätä varten 200

203 F P(X) siten, että F on suljettu topologiassa T kaikille F F ja (1) joukolla F on äärellinen leikkausominaisuus. (2) Riittää osoittaa, että Merkitään F F F. (3) Y = {A F A P(X), A:lla on äärellinen leikkausominaisuus} P(P(X)). Ehdon (2) nojalla F Y, joten ainakin joukko Y on epätyhjä. Relaatio on järjestysrelaatio joukossa P(P(X)). Osoitetaan Zornin lemman avulla, että joukossa Y P(P(X)) on maksimaalinen alkio (4) järjestysrelaation suhteen. Väite (4) seuraa Zornin lemmasta, jos osoitetaan, että jokaisella Y :n ketjulla on yläraja joukossa Y. Olkoon tätä varten K Y ketju, jolloin ketjun määritelmän mukaan K. Ilmeisesti joukko M = A A K on kaivattu ketjun K yläraja joukossa Y, jos pätee M Y. (5) Joukon Y määritelmän nojalla väitettä (5) varten pitää todistaa, että F M ja (6) joukolla M on äärellinen leikkausominaisuus. (7) Koska K Y, niin Y :n määritelmän mukaan F A kaikille A K, jolloin yhdisteen määritelmän perusteella F A = M, (8) A K joten väite (6) pätee. Huomaa kuitenkin, että ehto (8) ei aivan triviaali ole: siinä tarvitaan sitä tietoa, että K. Väitettä (7) varten oletetaan, että M 1,...,M n M. Pitää osoittaa, että n M i. (9) i=1 201

204 Koska nyt kaikille i on M i M = A K niin yhdisteen määritelmän nojalla kaikille i pätee M i A jollekin A K, jolloin kaikille i voidaan valita A i siten, että A, M i A i K kaikille i = 1,...,n. (10) Koska K on ketju, niin lemman 18.3 nojalla joukko {A 1,...,A n } K voidaan järjestää. Tällöin tarvittaessa numerointia vaihtamalla voidaan olettaa, että Ehtojen (10) ja (11) nojalla A 1 A 2... A n. (11) {M 1,...,M n } n A i = A n. (12) Koska A n K Y, niin joukon Y määritelmän mukaan joukolla A n on äärellinen leikkausominaisuus. Tällöin väite (9) seuraa ehdosta (12). Näin väite (5) on todistettu, joten Zornin lemman nojalla myös väite (4) pätee. Olkoon N Y joukon Y maksimaalinen alkio, jonka olemassolon ehto (4) siis takaa. Näitä maksimaalisia alkiota voi olla useampiakin, mutta kiinnitetään tässä nyt yksi sellainen. Huomataan heti, että i=1 N =. (13) Tämä johtuu siitä, että N Y, jolloin Y :n määritelmän mukaan F N. Osoitetaan seuraavaksi, että valittu joukko N toteuttaa ehdon n A i N kaikille A 1,...,A n N. (14) i=1 Väitettä (14) varten olkoot A 1,...,A n N mielivaltaisia. Merkitään Osoitetaan, että n N = N { A i }. i=1 N Y. (15) Koska N Y, niin F N ja silloin myös F N, joten Y :n määritelmän mukaan väite (15) seuraa, jos osoitetaan, että joukolla N on äärellinen leikkausominaisuus. (16) 202

205 Olkoot tätä varten B 1,...,B m F mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että m B j. (17) j=1 Jos B j N kaikille j, niin väite (17) seuraa siitä, että joukolla N on Y :n alkiona äärellinen leikkausominaisuus. Muussa tapauksessa voidaan numerointia sopivasti vaihtamalla olettaa, että B j N kaikille j = 1,...,m 1 ja B m = n i=1 A i. Tällöin m m 1 n B j = ( B j ) ( A i ), j=1 j=1 jolloin väite (17) seuraa taas siitä, että joukolla N on äärellinen leikkausominaisuus, koska tässä B j,a i N kaikille i,j. Näin väite (15) on todistettu. Koska N on joukon Y maksimaalinen alkio ja N N niin ehdon (15) ja määritelmän nojalla N = N. (18) i=1 Koska n i=1 A i N, niin väite (14) seuraa ehdosta (18). Siten väite (14) on todistettu. Sitten osoitetaan, että joukko N toteuttaa seuraavan ehdon. Jos B P(X) siten, että B A kaikille A N, niin B N. (19) Olkoon tätä varten B P(X) mielivaltainen joukko, joka toteuttaa ehdon Merkitään nyt Osoitetaan, että B A kaikille A N. (20) N = N {B}. N Y. (21) Koska N Y, niin F N ja silloin myös F N, joten Y :n määritelmän mukaan väite (21) seuraa, jos osoitetaan, että joukolla N on äärellinen leikkausominaisuus. (22) Olkoot tätä varten C 1,...,C m N mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että m C j. (23) j=1 203

206 Jos m = 1, niin joko C 1 = B tai C 1 N. Silloin väite (23) seuraa siitä, että oletuksen (20) nojalla on oltava B, koska ehdon (13) mukaan N =, ja toisaalta siitä, että kaikki N:n alkiot ovat epätyhjiä N:n äärellisen leikkausominaisuuden vuoksi, joka sillä Y :n alkiona on. Voidaan siis olettaa, että m 2. Jos C j N kaikille j, niin väite (23) seuraa siitä, että joukolla N on äärellinen leikkausominaisuus. Muussa tapauksessa voidaan numerointia sopivasti vaihtamalla olettaa, että C j N kaikille j = 1,...,m 1 ja C m = B. Tällöin m j=1 m 1 C j = ( C j ) B. (24) Tällöin ehdon (14) ja oletuksen C j N kaikille j = 1,...,m 1 nojalla m 1 j=1 j=1 C j N. Tällöin väite (23) seuraa esityksestä (24) ja oletuksesta (20). Näin väite (23) pätee ja silloin väite (22) kuten myös väite (21) on todistettu. Koska N on joukon Y maksimaalinen alkio ja N N niin ehdon (21) ja määritelmän nojalla N = N. (25) Koska B N, niin väite (19) seuraa ehdosta (25). Näin siis väite (19) on todistettu. Seuraavaksi osoitetaan, että A N A. (26) Huomaa, että ehdon (13) nojalla tämä on järkevästi määritelty leikkausjoukko. Muistutetaan tässä todistuksen tiimellyksessä välillä mieliin, mistä on kysymys: tässähän tutkitaan kompaktien avaruuksien perheen {(X α, T α )} α I tuloavaruutta X. Kiinnitetään jokin α I ja olkoon pr α : X X α vastaava projektiokuvaus. Osoitetaan, että perheellä {pr α (A) A N } on äärellinen leikkausominaisuus. (27) 204

207 Olkoon tätä varten A 1,...,A n N. Pitää osoittaa, että Tämä seuraa siitä, että ja n pr α (A i ). i=1 n pr α ( A i ) i=1 n pr α (A i ), i=1 n A i, koska joukolla N on Y :n alkiona äärellinen leikkausominaisuus. i=1 Koska pr α (A) pr α (A), niin yllä oikeaksi havaitun ehdon (27) nojalla triviaalisti myös joukolla {pr α (A) A N } on äärellinen leikkausominaisuus. (28) Sulkeumat pr α (A) ovat suljettuja avaruudessa (X α, T α ) ja oletuksen mukaan (X α, T α ) on kompakti, jolloin ehdon (28) ja lauseen ehdon (1) (3) nojalla pr α (A). (29) A N Ehto (29) pätee kaikille α I. Tällöin (valinta-aksiooman nojalla) voidaan valita y pr α (A). (30) α I A N Väitteen (26) todistamiseksi riittää osoittaa, että y A. (31) A N Olkoon tätä varten A 0 N mielivaltainen. Väite (31) seuraa, jos osoitetaan, että y A 0. (32) Olkoon tätä varten U T pisteen y X mielivaltainen ympäristö. Väite (32) seuraa, jos osoitetaan, että U A 0. (33) Koska T on tulotopologia, niin lauseen 6.12 nojalla on olemassa äärellinen K I ja kaikille α K joukot U α T α siten, että y prα 1 (U α ) U. (34) α K 205

208 Kiinnitetään (hetkeksi) α 0 K ja osoitetaan, että Kiinnitetään tätä varten B N. Tällöin B pr 1 α 0 (U α0 ) kaikille B N. (35) pr α0 (y) i) A N pr α0 (A) ii) pr α0 (B), (36) missä ehto i) seuraa ehdosta (30) ja ehto ii) on triviaali, koska B N. Toisaalta ehdon (34) nojalla pr α0 (y) pr α0 ( α K Koska U α0 T α0, niin ehtojen (36) ja (37) nojalla pr 1 α (U α )) pr α0 (pr 1 α 0 (U α0 )) U α0. (37) U α0 pr α0 (B). Tällöin voidaan valita x α0 U α0 pr α0 (B), ja silloin kuvajoukon määritelmän nojalla on olemassa b B siten, että Tämä merkitsee sitä, että josta väite (35) seuraa. pr α0 (b) = x α U α0. b B pr 1 α 0 (U α0 ), Ehto (35) pätee siis kaikille B N, jolloin ehdon (19) nojalla pr 1 α 0 (U α0 ) N. (38) Ehto (38) pätee kaikille α 0 K, jolloin K:n äärellisyyden ja ehdon (14) nojalla prα 1 (U α ) N. (39) α K Toisalta myös A 0 N, ja koska joukolla N on äärellinen leikkausominaisuus, niin ehdon (39) nojalla A 0 ( α K pr 1 α (U α )). (40) Väite (33) seuraa ehdoista (40) ja (34). Tällöin myös väitteet (32), (31) ja (26) on todistettu. 206

209 Kuten alussa todettiin, koko väite seuraa, jos todistetaan ehto (3). Tämä saadaan nyt helposti, koska i) A N A ii) F F F iii) = Tässä ehto i) saadaan ehdosta (26). Ehto ii) seuraa siitä, että N Y, jolloin Y :n määritelmän mukaan F N. Ehto iii) seuraa ehdosta (1). Kun Tihonovin lause on lopulta suurin ponnistuksin saatu todistettua, todistetaan sen avulla heti toinen raskaan sarjan lause. Sitä varten muistutetaan huomautuksesta 6.8 mieliin normiavaruuden X duaaliavaruus X ja sen heikko tähtitopologia T w. Muistutetaan myös siitä, että avaruus X on myös normiavaruus; lineaarikuvauksen normi määritellään kuten huomautuksessa 6.8 kerrotaan. Lause (Banach-Alaoglun lause) Olkoon X reaalikertoiminen normiavaruus ja X sen duaaliavaruus, joka varustetaan heikolla tähtitopologialla T w. Tällöin normiavaruuden X suljettu yksikköpallo on kompakti avaruudessa (X, T w ). F F K = {f X f 1} Huomautus. K ei yleensä ole kompakti normiavaruudessa (X, ). Itse asiassa aina, kun X on ääretönulotteinen, K on epäkompakti normitopologiassa. Äärellisulotteisessa tilanteessa se toisaalta on aina kompakti. Todistus. Varustetaan tuloavaruus R X R:n itseisarvotopologian indusoimalla tulotopologialla T. Esimerkin 7.17 mukaan (X, T w ) on avaruuden (R X, T ) aliavaruus, joten huomautuksen 15.3 nojalla riittää osoittaa, että Merkitään kaikille x X K on kompakti avaruudessa (R X, T ). (1) I x = [ x, x ] R, jolloin I x on kompakti itseisarvotopologiassa, ja siten Tihonovin lauseen nojalla Q := x X I x R X on kompakti avaruudessa (R X, T ). (2) F. Osoitetaan, että K Q. (3) Olkoon tätä varten f K mielivaltainen, jolloin siis f 1. Tulojoukon määritelmän mukaan f Q, jos osoitetaan, että kaikille projektiokuvauksille p x : R X R, x X pätee pr x (f) I x. (4) 207

210 Tämä nähdään näin: pr x (f) i) = f(x) ii) f x iii) x, joten väite (4) seuraa joukon I x määritelmästä. Tässä yhtälö i) seuraa projektiokuvauksen määritelmästä, epäyhtälö ii) seuraa lauseesta MA 19.5 ja epäyhtälö iii) siitä, että f 1. Näin siis väite (4) pätee, joten väite (3) seuraa. Ehtojen (2) ja (3) sekä lauseen 15.5 nojalla väite seuraa, jos osoitetaan, että Oletetaan tätä varten, että Riittää osoittaa, että K on suljettu avaruudessa (R X, T ). (5) Väitteen (7) todistamiseksi pitää osoittaa, että f K R X. (6) f K. (7) f on lineaarikuvaus, (8) f on jatkuva ja (9) f 1. (10) Todistetaan ensin väite (8). Olkoot sitä varten x,y X ja λ,µ R mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että f(λx + µy) = λf(x) + µf(y). Tämä seuraa, jos osoitetaan, että kaikille ǫ > 0 pätee f(λx + µy) λf(x) µf(y) < ǫ. (11) Olkoon tätä varten ǫ > 0 mielivaltainen. Tulotopologian määritelmän mukaan joukko U :=pr 1 x (B(f(x), pr 1 y (B(f(y), ǫ 3( a + 1) )) ǫ 3( b + 1) )) pr 1 λx+µy (B(f(λx + µy), ǫ 3 )) on pisteen f ympäristö avaruudessa (R X, T ). Tällöin ehdon (6) nojalla on olemassa g K U. (12) 208

211 Tämän g:n avulla saadaan arvio f(λx + µy) λf(x) µf(y) i) = f(λx + µy) λf(x) µf(y) g(λx + µy) + λg(x) + µg(y) f(λx + µy) g(λx + µy) + λf(x) λg(x) + µf(y) µg(y) = f(λx + µy) g(λx + µy) + λ f(x) g(x) + µ f(y) g(y) ii) < ǫ 3 + a ǫ 3( a + 1) + b ǫ 3( b + 1) < ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ, missä yhtälö i) seuraa siitä, että ehdon (12) nojalla g K X, joten g on lineaarinen. Epäyhtälö ii) seuraa siitä, että ehdon (12) mukaan g U, jolloin ǫ esimerkiksi g(x) = pr x (g) B(f(x), 3( a +1) ), ja vastaavalla tavalla saadaan muut arviot. Näin on nähty, että ehto (11) pätee mielivaltaiselle ǫ > 0, joten väite (8) seuraa. Väite (9) seuraa lauseen MA 19.7 nojalla ehdosta (10), joten riittää todistaa väite (10). Koska välit I x ovat suljettuja itseisarvotopologiassa, niin lauseen 7.24 nojalla niiden tulojoukko Q on suljettu avaruudessa (R X, T ). Tällöin ehdon (3) nojalla pätee myös K Q. (12) Ehdon (12) ja oletuksen (6) nojalla Tällöin joukon Q määritelmän mukaan Silloin f:n normille saadaan arvio f Q. pr x (f) I x kaikille x X. (13) f = i) sup{ f(x) x 1} ii) = sup{ p x (f) x 1} iii) sup{ x x 1} 1, joten väite (10) pätee. Tässä yhtälö i) on lineaarikuvauksen normin määritelmä, yhtälö ii) tulee projektiokuvauksen p x määritelmästä ja yhtälö iii) seuraa ehdosta (13) ja siitä, että I x = [ x, x ]. 19 Urysohnin lemma ja Tietzen laajennuslause Aiemmin on todistettu Kuratowskin upotuslause (10.25), joka sanoo, että metrinen avaruus voidaan aina upottaa Banachin avaruuteen. Tässä luvussa todistetaan tärkeä Urysohnin upotuslause, joka puolestaan sanoo, että tietyin edellytyksin topologinen avaruus voidan upottaa metriseen avaruuteen. Tällaisen 209

212 upotuksen löytyminen merkitsee sitä, että kyseinen topologia on metrisoituva, jolloin mitä tahansa topologista avaruutta ei näin voida upottaa: ainakin Hausdorff-ominaisuus on vaadittava. Tarkemmat upotettavaan avaruuteen kohdistuvat oletukset löytyvät lauseesta Todistetaan ensin aputuloksia. Lauseessa MA 6.30 todistettiin erikoistapaus Urysohnin lemmasta. Sen mukaanhan metrisessä avaruudessa (X,d) pätee seuraavaa. Jos A, B X ovat epätyhjiä, suljettuja ja erillisiä, niin on olemassa koko avaruudessa jatkuva f : (X,d) ([0,1],d ) siten, että f A 0 ja f B 1. Tässä d on välin [0,1] itseisarvometriikka. Nyt yleistetään tämä tulos. Se ei yleisty kaikkiin topologisiin avaruuksiin. Itse asiassa on helppo nähdä (harjoitustehtävä), että jos tämä lause pätee avaruudessa (X, T ), niin (X, T ):n on oltava (T 4 )-avaruus. Tämä (T 4 )-ominaisuus on juuri täsmälleen se ehto, jolla yleistys saadaan. Tämän sanoo lause 19.2, joka myös (varsinaisena) Urysohnin lemmana tunnetaan. Kirjataan ensin pieni aputulos (T 4 )-avaruuksille. Lause 19.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoon C,D X siten, että C C D ja D on avoin. Tällöin on olemassa E T siten, että C E E D. Todistus. Koska C on suljettu, niin väite seuraa suoraan lauseesta Lause 19.2 (Urysohnin lemma) Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoot lisäksi A,B X suljettuja joukkoja, joille pätee A B =. Varustetaan väli [0,1] R itseisarvotopologialla T. Tällöin on olemassa kuvaus f : X [0,1] siten, että f : (X, T ) ([0,1], T ) on jatkuva sekä f A 0 ja f B 1. Todistus. Määritellään ensin E(1) = X \ B, jolloin oletusten nojalla A E(1) ja E(1) on avoin. Koska A on suljettu, niin A = A, jolloin lause 19.1 kertoo, että voidaan valita avoin joukko E(0) siten, että A E(0) E(0) E(1) = X \ B. (1) Nyt kun E(0) ja E(1) on määritelty, jatketaan määrittelemistä tavoitteena määritellä joukko E(t) kaikille t Q missä Q := { k 2 n 0 k 2n, n 1}. 210

213 Lisäksi halutaan, että nämä joukot E(t), t Q toteuttavat ehdon (1) lisäksi ehdot Merkitään kaikille n N Tällöin ilmeisesti n N E(t) on avoin kaikille t Q ja (2) E(t) E(s) kun t < s, t,s Q. (3) Q n = { k 2 n 1 k < 2n, k on pariton}. Q n = { k 2 n 0 < k < 2n, n 1} = Q \ {0,1} ja (4) Q n Q m = kun n m. Koska joukot E(0) ja E(1) on määritelty, riittää ehtojen (4) nojalla määritellä E(t) kussakin joukossa Q n erikseen. Sovelletaan tähän rekursioperiaatetta ja määritellään E(t) ensin joukossa Q 1. Tässä joukossa on vain yksi piste t = 1 2. Koska E(1) on avoin, niin ehdon (1) ja lauseen 19.1 nojalla voidaan valita avoin E( 1 2 ) siten, että E(0) E(0) E( 1 2 ) E(1 2 ) E(1). Tällöin ehdot (2) ja (3) toteutuvat kaikille t,s Q 1 {0,1}. Tehdään sitten rekursio-oletus, että kaikille t n i=1 Q i {0,1} on jo määritelty avoimet joukot E(t) siten, että ehto (3) toteutuu, kun t,s n i=1 Q i {0,1}. Rekursioaskeleessa pitää määritellä avoimet joukot E(t) kaikille t Q n+1 siten, että ehto (3) toteutuu myös kun t,s n+1 i=1 Q i {0,1}. Jokainen t Q n+1 on muotoa t = Tällöin k ± 1 on parillinen, ja silloin n k ± 1 2 n+1 i=1 k 2 n+1, missä 0 < k < 2 n+1 on pariton. Q i {0,1}, joten joukot E( k 1 2 ) ja E( k+1 n+1 2 ) on jo määritelty. Rekursio-oletuksen nojalla n+1 nämä ovat avoimia ja toteuttavat ehdon E( k ) E(k ) E(k 2n+1 2n+1 2 n+1 ). Tällöin lauseen 19.1 nojalla voidaan valita haluttu avoin joukko E(t) = E( k 2 ) n+1 siten, että E( k 1 2 n+1 ) E( k 2 n+1 ) E( k + 1 ) E(k ). 2n+1 2n+1 211

214 Tämä valinta tehdään kaikille t Q n+1, jolloin ilmeisesti ehto (3) toteutuu, kun t,s n+1 i=1 Q i {0,1}. Näin rekursioaskel on otettu ja (valinta-aksioomaan tukeutuen) voidaan todeta, että näin saadaan valittua joukot E(t) siten, että ehdot (2) ja (3) toteutuvat. Kun joukot E(t) on näin määritelty (ja kiinnitetty), voidaan määritellä niiden avulla väitteessä tavoiteltu jatkuva f : X [0,1] asettamalla { inf{t Q x E(t)} kun x X \ B f(x) = 1 kun x B. Koska ehdon (1) mukaan E(1) = X \ B, niin ainakin 1 {t Q x E(t)} kaikille x X \ B, ja silloin f on infimumin ominaisuuksien perusteella hyvin määritelty kuvaus f : X [0,1]. Lisäksi triviaalisti f B 1, ja koska ehdon (1) mukaan A E(0), niin f A 0. Silloin f toteuttaa lauseen vaatimukset, jos osoitetaan, että f : (X, T ) ([0,1], T ) on jatkuva. (5) Väitteen (5) todistamiseksi osoitetaan, että f on jatkuva jokaisessa pisteessä a X. Olkoon tätä varten a X mielivaltainen. Tässä on nyt kolme mahdollisuutta: f(a) = 0, (6) 0 < f(a) < 1 tai (7) f(a) = 1. (8) Tarkastellaan kutakin niistä erikseen. Olkoon kaikissa tapauksissa ǫ > 0 mielivaltainen. Tapauksessa (6) riittää löytää pisteen a ympäristö U T siten, että f(x) < ǫ kaikille x U. (9) Joukon Q määritelmän perusteella voidaan valita t Q siten, että 0 < t < ǫ. (10) Koska tässä tapauksessa (6) on f(a) = 0, niin f:n määritelmän mukaan inf{r Q a E(r)} = 0. Tällöin infimumin määritelmän ja oletuksen 0 < t perusteella on olemassa s Q siten, että 0 s < t ja a E(s). (11) Ehtojen (3) ja (11) nojalla E(s) on pisteen a ympäristö. Tämä ympäristö E(s) kelpaa ehdossa (9) peräänkuulutetuksi ympäristöksi U, mikä nähdään seuraavasti. 212

215 Triviaalisti kaikille x E(s) pätee inf{r Q a E(r)} s, (12) ja toisaalta, koska s Q, niin ehtojen (3) ja (1) nojalla Ehtojen (13) ja (12) sekä f:n määritelmän nojalla x E(s) X \ B. (13) f(x) = inf{r Q x E(r)} s, (14) jolloin ehtojen (11) ja (10) nojalla f(x) < ǫ kaikille x E(s), joten ehto (9) toimii, kun U = E(s). Näin tapaus (6) on selvitetty. Tapauksessa (7) riittää löytää pisteen a ympäristö U T siten, että f(x) f(a) < ǫ kaikille x U. (15) Koska f(a) < 1, niin a B ja silloin f:n määritelmän mukaan f(a) = inf{r Q a E(r)}. Tällöin infimumin määritelmän ja ehdon f(a) < 1 nojalla on olemassa s Q siten, että f(a) < s < f(a) + ǫ ja a E(s). (16) Toisaalta, koska 0 < f(a), niin voidaan valita t,u Q siten, että f(a) ǫ < t < u < f(a). (17) Ehtojen (17) ja (15) nojalla Ehtojen (17) ja (3) nojalla jolloin ehdon (18) nojalla Ehtojen (16) ja (19) nojalla a E(u). (18) E(t) E(u), a E(t). (19) a E(s) \ E(t). (20) Ehdon (2) nojalla E(s) on avoin ja E(t) on sulkeumana suljettu, jolloin E(s) \ E(t) = E(s) (X \ E(t)) on avoin. Tällöin ehdon (20) nojalla U = E(s) \ E(t) on pisteen a ympäristö. Riittää osoittaa, että tämä U toimii ehdossa (15). 213

216 Kun x U, niin x E(s), joten taas saadaan ehto (14), jolloin ehdon (16) nojalla f(x) < f(a) + ǫ. (21) Toisaalta, kun x U, niin x E(t), ja silloin ehdon (3) nojalla Tällöin ja tästä saadaan ehdon (17) nojalla x E(v) kaikille v Q, v t. f(x) = inf{r Q x E(r)} t, (22) f(a) ǫ < f(x). (23) Ehto (15) seuraa ehdoista (21) ja (23), joten U on oikein valittu, ja tapaus (7) on selvitetty. Tapauksessa (8) riittää löytää pisteen a ympäristö U T siten, että Valitaan t,u Q siten, että Määritellään nyt 1 ǫ < f(x) kaikille x U. (24) 1 ǫ < t < u < 1. (25) U = X \ E(t), jolloin ainakin U on avoin. Ehdon (25) nojalla nähdään, että ehto (18) ja erityisesti ehto (19) pätee nytkin, jolloin U on a:n ympäristö. Siten riittää osoittaa, että tämä U toimii ehdossa (24). Olkoon tätä varten x U = X \ E(t). Tällöin saadaan taas ehto (22), jolloin ehto (24) seuraa ehdosta (25). Näin kaikki vaihtoehdot (6) (8) on käsitelty, ja funktion f jatkuvuus seuraa. Todistetaan vielä yksi Urysohnin upotuslauseessa tarvittava pieni lemma, joka parantaa aavistuksen lausetta Lause 19.3 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, joka on (T 3 ). Olkoon B topologian T kanta ja x B B. Tällöin on olemassa A B siten, että x A A B. Todistus. Lauseen 11.8 nojalla löytyy U T, jolle pätee x U U B. Koska B on topologian T kanta, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa A B siten, että x A U. Lauseen 2.5 nojalla pätee myös A U, jolloin A B, ja näin A toteuttaa lauseen vaatimukset. 214

217 Nyt voidaan esittää itse Urysohnin upotuslause. Siinä on merkillepantavaa paitsi itse upotuksen olemassaolo tietyt vaatimukset täyttäville topologisille avaruuksille myös se, että upotus voidaan tehdä samaan metriseen avaruuteen kaikille tällaisille topologisille avaruuksille. Siten kaikki nämä topologiset avaruudet voidaan tulkita saman metrisen avaruuden eli Hilbertin kuution metrisiksi aliavaruuksiksi. Lause 19.4 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, jolla on (T 0 )-, (T 3 )- ja (N 2 )- ominaisuus. Olkoon H = [0,1] N Hilbertin kuutio, jossa tavalliseen tapaan on välin [0,1] itseisarvotopologian indusoima tulotopologia T H. Tällöin on olemassa upotus f : (X, T ) (H, T H ). Todistus. Koska (X, T ) on (N 2 )-avaruus, niin topologialla T on korkeintaan numeroituva kanta B. Kannassa voi esiintyä myös alkio, mutta jos sellainen kannassa B esiintyy, niin poistetaan se sieltä tarpeettomana: on selvää, että tämän poiston jälkeen B on edelleen korkeintaan numeroituva T :n kanta. Voidaan siis olettaa, että B. (1) Koska B on korkeintaan numeroituva, niin on olemassa surjektio ϕ : N B. Tällöin B = {B ϕ(i) i N}. (2) Koska (X, T ) on (T 3 )-avaruus, niin ehtojen (1) ja (2) sekä lauseen 19.3 nojalla Merkitään kaikille j N pätee B ϕ(i) B ϕ(j) jollekin i N. (3) A = {(i,j) N 2 B ϕ(i) B ϕ(j) }. (4) Ehdon (3) nojalla A on ääretön joukko. Koska A N 2, niin A on numeroituva, joten on olemassa bijektio ψ : N A. Huomataan tässä välissä, että (X, T ) on (T 4 )-avaruus. (5) Tämä nähdään seuraavasti. (X, T ) on (N 2 )-avaruutena lauseen nojalla Lindelöf, ja koska se on oletuksen mukaan (T 3 ), niin lauseen nojalla saadaan väite (5). Kiinnitetään hetkeksi n N. Merkitään (i n,j n ) = ψ(n) A. Joukon A määritelmän (4) mukaan B ϕ(in) B ϕ(jn). (6) Koska B ϕ(jn) on avoin, niin X \ B ϕ(jn) on suljettu. Toisaalta myös B ϕ(in) on suljettu, ja koska ehdon (6) nojalla B ϕ(in) (X \ B ϕ(jn)) =, 215

218 niin ehdon (5) perusteella voidaan soveltaa Urysohnin lemmaa näihin joukkoihin. Tämän lemman nojalla on olemassa kuvaus f n : X [0,1] siten, että f n : (X, T ) ([0,1], T ) on jatkuva sekä (7) f n X\Bϕ(jn) 0 ja f n Bϕ(in) 1, missä T on välin [0,1] itseisarvotopologia. Tässä f n :n konstruktiossa n oli kiinnitetty, mutta konstruktio voidaan tehdä kaikille n N, joten voidaan olettaa, että ehdot (7) toteuttava f n on määritelty kaikille n N. Määritellään nyt kaikille x X kuvaus x : N [0, 1] asettamalla x(n) = f n (x) kaikille n N. (8) Koska kukin f n kuvaa joukon X välille [0,1], niin määritelmä (8) on hyvin asetettu ja tuottaa jokaiselle x X kuvauksen x : N [0,1] eli Hilbertin kuution H alkion. Tällöin voidaan määritellä kuvaus f : X H asettamalla f(x) = x kaikille x X. (9) Osoitetaan, että näin määritelty f on lauseessa haettu upotus. Pitää siis osoittaa, että f on injektio, (10) f : (X, T ) (H, T H ) on jatkuva ja (11) f 1 : (f(x), T f(x) ) (X, T ) on jatkuva, (12) missä T f(x) on topologian T H indusoima aliavaruustopologia. Väitettä (10) varten olkoot x,y X siten, että x y. Pitää osoittaa, että f(x) f(y). (13) Käytetään nyt (ensimmäisen ja viimeisen kerran) hyväksi oletusta siitä, että (X, T ) on (T 0 )-avaruus. Määritelmän mukaan on (tarvittaessa merkintöjä (x y) vaihtamalla) olemassa U siten, että U T, x U ja y U. (14) Koska B on topologian B kanta, niin ehtojen (14) ja (2) sekä lauseen 2.5 nojalla Ehtojen (15) ja (2) sekä lauseen 19.3 nojalla x B ϕ(jx) U jollekin j x N. (15) x B ϕ(ix) B ϕ(ix) B ϕ(jx) jollekin i x N. (16) 216

219 Ehdon (16) ja joukon A määritelmän (4) nojalla (i x,j x ) A. Koska ψ : N A on surjektio, niin tällöin (i x,j x ) = ψ(n x ) jollekin n x N. (17) Väite (13) voidaan f:n määritelmän mukaan kirjoittaa muotoon joka väite seuraa, jos osoitetaan, että x ỹ, x(n) ỹ(n) jollekin n N. Tämä väite puolestaan seuraa, jos osoitetaan, että x(n x ) ỹ(n x ). (18) Kuvausten x ja ỹ määritelmien mukaan väite (18) tulee muotoon Ehtojen (17) ja (7) nojalla Ehtojen (16) ja (20) nojalla f nx (x) f nx (y). (19) f nx X\Bϕ(jx) 0 ja f nx Bϕ(ix) 1. (20) f nx (x) = 1. (21) Toisaalta ehtojen (14) ja (15) nojalla y X \ B ϕ(jx), jolloin ehdon (20) perusteella f nx (y) = 0. (22) Väite (19) seuraa nyt ehdoista (21) ja (22). Näin väite (10) on todistettu. Väitettä (11) varten olkoot pr n : H [0,1], n N projektiokuvaukset. Näille pätee pr n f(x) i) = f(x)(n) ii) = x(x) iii) = f n (x) kaikille n N ja x X. (23) Tässä yhtälö i) tulee projektiokuvauksen määritelmästä, yhtälö ii) ehdosta (9) ja yhtälö iii) ehdosta (8). Ehdon (23) nojalla pr n f = f n kaikille n N, 217

220 jolloin ehdon (7) nojalla pr n f : (X, T ) ([0,1], T ) on jatkuva kaikille n N. Tällöin väite (11) seuraa lauseesta 6.9. Väitettä (12) varten kiinnitetään piste h f(x) H. Riittää osoittaa, että f 1 on jatkuva pisteessä h. Olkoon tätä varten U T pisteen x := f 1 (h) X mielivaltainen ympäristö. Lauseen 5.3 nojalla riittää löytää pisteen h H ympäristö V T H siten, että f 1 (V f(x)) U. (24) Kuten ehdoissa (15) ja (16) löytyy taas (i x,j x ) A niin, että ehdot (15) ja (16) pätevät. Myös ehto (17) tulee voimaan. Tarkastellaan projektiokuvausta pr nx : H [0,1], missä n x on kuten ehdossa (17). Tämä kuvaus on lauseen 6.4 nojalla jatkuva ja väli ]0,1] [0,1] on avoin avaruudessa ([0,1], T ), joten V := pr 1 n x (]0,1]) T H. (25) Tämä V kelpaa ehdossa (24) halutuksi joukoksi. Ennen kuin lähdetään todistamaan ehtoa (24), pitää varmistua siitä, että V on todellakin pisteen h ympäristö. Ehdon (25) nojalla tämän todistamiseksi riittää osoittaa, että h V. (26) Joukon V määritelmän (25) nojalla väite (26) seuraa, jos osoitetaan, että Tämän näkee näin: pr nx (h) ]0,1]. (27) pr nx (h) i) = pr nx (f(x)) ii) = f(x)(n x ) iii) = x(n x ) iv) = f nx (x) v) = 1, joten väite (27) seuraa. Tässä ehto i) seuraa siitä, että x = f 1 (h). Ehto ii) tulee projektiokuvauksen määritelmästä, ehto iii) ehdosta (9) ja ehto iv) ehdosta (8). Yhtälö v) saadaan ehdoista (7) ja (16). Näin on nähty, että V on h:n ympäristö, joten riittää osoittaa, että ehto (24) pätee. Olkoon tätä varten y f 1 (V f(x)) mielivaltainen. Pitää osoittaa, että y U. (28) Koska y f 1 (V f(x)), niin f(y) V, jolloin V :n määritelmän (25) perusteella pr nx (f(y)) ]0,1]. (29) 218

221 Toisaalta projektiokuvauksen määritelmän sekä ehtojen (9) ja (8) nojalla pr nx (f(y)) = f(y)(n x ) = ỹ(n x ) = f nx (y), jolloin ehdon (29) nojalla f nx (y) ]0,1]. Ehtojen (17) ja (7) nojalla tämä merkitsee sitä, että y X \ B ϕ(jx) y B ϕ(jx). eli Väite (28) seuraa tällöin ehdosta (15). Lause 19.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (X, T ) on (T 0 )-, (T 2 )- ja (N 2 )-avaruus. (1) (X, T ) on metrisoituva ja (N 2 )-avaruus. (2) (X, T ) voidaan upottaa Hilbertin kuutioon. (3) Todistus. Riittää todistaa implikaatioketju (2) (1) (3) (2). (2) (1) Tämä on selvä, koska metrinen avaruus on aina T i -avaruus kaikille i = 0,1,2,3,4. (1) (3) Tämä on lause (3) (2) Olkoon (H, T H ) Hilbertin kuutio ja f : (X, T ) (H, T H ) upotus. Ilmeisesti riittää osoittaa, että avaruuden (H, T H ) aliavaruus (f(x), T f(x) ) on metrisoituva ja (N 2 ). Lauseen 10.4 nojalla Hilbertin kuutio on metrisoituva ja lauseen nojalla se on (N 2 ). Metriikka periytyy triviaalisti aliavaruuteen ja ilmeisesti myös (N 2 )-ominaisuus on aliavaruuteen periytyvä. Lause 19.6 Topologinen monisto on metrisoituva. Todistus. Koska R n on lokaalikompakti, niin myös monisto on lokaalikompakti. Suoraan määritelmän nojalla monisto on Hausdorff, joten lauseen 16.3 nojalla monisto on (T 3 ). Hausdorff-avaruus on aina myös (T 0 ). Määritelmän mukaan monisto on myös (N 2 ), jolloin metrisoituvuus seuraa lauseen 19.5 implikaatiosta (1) (2).. Tämän monisteen viimeisenä lauseena esitetään ns. Tietzen laajennuslause. Tässä lauseessa on kyse siitä, millä ehdoilla topologisen avaruuden osajoukossa määritelty jatkuva reaaliarvoinen kuvaus voidaan laajentaa koko avaruudessa määritellyksi jatkuvaksi kuvaukseksi. Tällaisia jatkeitahan tarkasteltiin metrisissä avaruuksissa, ks. kohdat MA On selvää, että kaikkia kuvauksia ei 219

222 voi laajentaa, tästähän saa helppoja esimerkkejä, eräs tällainen oli noiden metristen tarkastelujen yhteydessä. Osoittautuu, että metrisessä avaruudessa laajennus onnistuu, jos joukko, jossa funktio alunperin on määritelty, on suljettu, ks. huomautus Tietzen laajennuslause toimii kuitenkin paljon yleisemmissä avaruuksissa. Todistetaan ensin pieni aputulos. Lemma 19.7 Olkoon (X, T X ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoon A X suljettu osajoukko, joka varustetaan aliavaruustopologialla T A. Varustetaan kaikki R:n välit itseisarvotopologialla T. Olkoon a > 0 ja f : (A, T A ) ([ a,a], T ) jatkuva kuvaus. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus g : (X, T X ) ([ a 3, a 3 ], T ) siten, että f(x) g(x) 2a 3 kaikilla x A. (1) Todistus. Koska f on jatkuva, niin alkukuvat f 1 ([ a, a 3 ]) ja f 1 ([ a 3,a]) ovat suljettuja avaruudessa (A, T A ). Koska oletuksen mukaan A on suljettu avaruudessa (X, T X ), niin tällöin lauseen 5.13 nojalla f 1 ([ a, a 3 ]) ja f 1 ([ a 3,a]) ovat suljettuja avaruudessa (X, T X). (2) Selvästi f 1 ([ a, a 3 ]) f 1 ([ a 3,a]) =, ja koska (X, T X) on (T 4 )-avaruus, niin ehdon (2) nojalla voidaan soveltaa Urysohnin lemmaa, jonka mukaan on olemassa jatkuva h : (X, T X ) ([0,1], T ), jolle pätee h f 1 ([ a, a 3 ]) 0 ja h f 1 ([ a 3,a]) 1. (3) Määritellään kuvaus s : ([0,1], T ) ([ a 3, a 3 ], T ) asettamalla s(t) = a 3 (t 1 ) kaikille t [0,1], 2 jolloin s on ilmeisesti jatkuva. Tällöin g := s h : (X, T X ) ([ a 3, a 3 ], T ) on jatkuva, ja riittää osoittaa, että ehto (1) pätee tälle g. Pisteelle x A on kolme mahdollisuutta: Tapauksessa (4) saadaan x f 1 ([ a, a ]), (4) 3 x f 1 ([ a,a]) tai (5) 3 x A \ (f 1 ([ a, a 3 ]) f 1 ([ a,a])). (6) 3 f(x) g(x) = f(x) s h(x) = i) f(x) s(0) ii) = f(x) ( a iii) ) 2a 3 3, 220

223 joten ehto (1) pätee ainakin näille x. Tässä yhtälö i) seuraa ehdosta (3), yhtälö ii) s:n määritelmästä ja arvio iii) siitä, että f(x) [ a, a 3 ] näille x. Vastaavasti tapauksessa (5) saadaan f(x) g(x) = f(x) s h(x) = f(x) s(1) = f(x) a 3 2a 3, joten ehto (1) pätee myös näille x. Lopulta tapauksessa (6) pätee f(x) [ a 3, a 3 ], jolloin ehto (1) seuraa siitä, että myös g(x) [ a 3, a 3 ]. Lause 19.8 (Tietzen laajennuslause, versio 1) Olkoon (X, T X ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoon A X suljettu osajoukko, joka varustetaan aliavaruustopologialla T A. Varustetaan väli [ 1,1] itseisarvotopologialla T. Olkoon f : (A, T A ) ([ 1,1], T ) jatkuva kuvaus. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus g : (X, T X ) ([ 1,1], T ) siten, että g A = f. Todistus. Lemman 19.7 nojalla on olemassa jatkuva g 1 : (X, T X ) ([ 1 3, 1 3 ], T ) siten, että f(x) g 1 (x) 2 3 kaikilla x A. (2) Lauseiden 5.14 ja 5.17 sekä ehdon (2) nojalla (f g 1 ) A : (A, T A ) ([ 2 3, 2 3 ], T ) on jatkuva. Sovelletaan uudelleen lemmaa 19.7, tällä kertaan funktioon (f g 1 ) A. Lemman nojalla on olemassa jatkuva g 2 : (X, T X ) ([ 2 3 2, ], T ) siten, että f(x) g 1 (x) g 2 (x) kaikilla x A. Näin jatketaan rekursiivisesti. Lopputulema on se, että on löydetty jono (g n ) jatkuvia funktioita siten, että g n : (X, T X ) ([ 2n 1 3 n, 2n 1 3 n ], T ) (3) f(x) n i=1 Määritellään kuvaus g : X [ 1, 1] asettamalla g(x) = g i (x) 2n kaikille x A. (4) 3n g i (x) kaikille x X. (5) i=1 221

224 Tämä on järkevä määritelmä, sillä sarja (5) suppenee kaikille x X. Tämä suppeneminen johtuu ehdosta (3), jonka mukaan summalle g i (x) (6) saadaan suppeneva majorantti i=1 i=1 2 i 1 3 i. (7) Majoranttiperiaatteen nojalla sarja (6) suppenee, ja koska analyysin tietojen mukaan itseisesti suppeneva reaalilukusarja suppenee, suppenee myös sarja (5). Näin g on hyvin määritelty kuvaus. Geometrisen sarjan summakaavaa soveltaen nähdään, että sarjan (7) summa on 1, jolloin pätee Siten g on kuvaus g(x) 1 kaikille x X. g : X [ 1,1]. Lausetta soveltaen nähdään helposti, että osasummien jono ( n ) g i (x) i=1 suppenee tasaisesti kohti rajafunktiota g. Tällöin g on jatkuva lauseen nojalla, sillä osasummat ovat jatkuvia jatkuvien funktioiden äärellisinä summina lauseen 3.7 nojalla. Näin g on lauseessa haluttu f:n jatkuva laajennus, jos se todella on laajennus eli pätee g A = f. Olkoon tätä varten x A mielivaltainen. Olkoon myös ǫ > 0 mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f(x) g(x) < ǫ. (8) n N Määritelmän (5) nojalla voidaan valita niin suuri n, että n g(x) g i (x) < ǫ 2 n ja 2 3 n < ǫ 2. Tällöin saadaan i=1 f(x) g(x) f(x) n n g i (x) + g i (x) g(x) < i) i=1 2 n n 3 n + g i (x) g(x) < ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ, i=1 joten väite (8) seuraa. Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (4). i=1 222

225 Lause 19.9 (Tietzen laajennuslause, versio 2) Olkoon (X, T X ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoon A X suljettu osajoukko, joka varustetaan aliavaruustopologialla T A. Varustetaan väli ] 1,1[ itseisarvotopologialla T. Olkoon f : (A, T A ) (] 1,1[, T ) jatkuva kuvaus. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus g : (X, T X ) (] 1,1[, T ) siten, että g A = f. Todistus. Lauseen 3.17 nojalla f on jatkuva myös kuvauksena f : (A, T A ) ([ 1,1], T ). Tällöin sillä on Tietzen lauseen version 1 nojalla jatkuva laajennus h : (X, T X ) ([ 1,1], T ). Merkitään B = h 1 ({ 1,1}) X. Koska joukko { 1,1} on suljettu avaruudessa ([0,1], T ), niin h:n jatkuvuuden nojalla B on suljettu avaruudessa (X, T X ). Lisäksi, koska oletuksen mukaan f(x) ±1 kaikille x A, niin niin myös h(x) ±1 kaikille x A, ja silloin A B =. (1) Koska (X, T ) on (T 4 ), niin ehdon (1) nojalla voidaan soveltaa Urysohnin lemmaa suljettuihin joukkoihin A ja B. Tämän lemman mukaan on olemassa jatkuva ϕ : (X, T X ) ([0,1], T ) siten, että Määritellään kuvaus g : X R asettamalla ϕ A 1 ja ϕ B 0. (2) g(x) = ϕ(x) h(x) kaikille x X. Joukon B ja kuvauksen ϕ määritelmän perusteella g on itse asiassa kuvaus g : X ] 1,1[. Koska h ja ϕ ovat jatkuvia, niin lauseiden 5.17 ja 3.8 nojalla g : (X, T X ) (] 1,1[, T ) on jatkuva. Tällöin g on väitteessä tavoiteltu kuvaus, jos se on f:n laajennus eli pätee f(x) = g(x) kaikille x A. Tämä seuraa ehdosta (2), jonka perusteella g(x) = h(x) kaikille x A ja siitä, että h on f:n laajennus. Lause (Tietzen laajennuslause, versio 3) Olkoon (X, T X ) topologinen avaruus, joka on (T 4 ). Olkoon A X suljettu osajoukko, joka varustetaan aliavaruustopologialla T A. Varustetaan R itseisarvotopologialla T. Olkoon f : (A, T A ) (R, T ) jatkuva kuvaus. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus g : (X, T X ) (R, T ) siten, että g A = f. 223

226 Todistus. On olemassa homeomorfismi s : (R, T ) (] 1,1[, T ). Tällaisia on vaikka kuinka paljon, esimerkkinä s = 2 π arctan. Kuvaus s f : (A, T A ) (] 1,1[, T ) on jatkuvien kuvausten yhdisteenä jatkuva. Tällöin Tietzen lauseen version 2 nojalla on olemassa s f:n jatkuva laajennus h : X ] 1,1[. Koska h:n kuvajoukko on nimenomaan väli ] 1,1[ (eikä [ 1,1] kuten Tietzen 1 versiossa), niin s 1 h : X R on määritelty, ja jatkuvien kuvausten yhdisteenä g := s 1 h : (X, T X ) (R, T ) on jatkuva. Tämä g on haluttu f:n laajennus, sillä kaikille x A pätee g(x) = s 1 h(x) i) = s 1 s f(x) = f(x), missä yhtälö i) seuraa siitä, että h on kuvauksen s f laajennus. Huomautus Koska metrinen avaruus on aina (T 4 ), niin Tietzen laajennuslause pätee kaikissa metrisissä avaruuksissa. Näissä siis aina suljetussa joukossa määritelty reaaliarvoinen kuvaus voidaan laajentaa koko avaruudessa jatkuvaksi kuvaukseksi. 224

227 Hakemisto (N j )-avaruus, 122 (T j )-avaruus, 108 (X, T X ) (Y, T Y ), 21 R A, 76 R f, 76 X/R, 74 X, 34 X I, 48 C(a), 144 PC(a), 146 Q(a), 150 T w, 34 T dis, 2 T mini, 2 T pa, 12 T w, 35 A, 4 A, 5 a = lim x n, 19 cl A (U), 30 ext(a), 5 f, 80 int(a), 5 p R, 74 pr α, 46 x n a, 19 aliavaruustopologia, 28 aliavaruuteen periytyvä, 112 Ascolin-Arzelan lause, 178 avoin joukko, 1 Bairen lause, 91, 93, 94, 185, 187 Banach-Alaoglun lause, 206 Banach-avaruus, 102 Cantorin joukko abstrakti, 55 konkreettinen, 57 duaaliavaruus, 34 epästandardiksi analyysi, 105 erakkopiste, 4 esikanta, 13 harva, 90 Hausdorff-avaruus, 3 heikko tähtitopologia, 35 heikko topologia, 34 hienompi, 2 Hilbert-avaruus., 102 Hilbertin kuutio, 44 homeomorfismi, 21 immersio, 32 indusoitu topologia kuvauksen, 24 kuvausperheen, 33 inkluusiokuvaus, 28 järjestysrelaatio, 196 jonokompakti, 162 jonon raja-arvo, 19 kanoninen hajotelma, 80 kanta, 7 kantalause, 9 karkeampi, 2 kasautumisarvo, 19 kasautumispiste, 5 kategoria, 90 ketju, 197 Kleinin pullo, 85 koindusoitu topologia kuvauksen, 68 kuvausperheen, 64 kompakti, 162 kompaktifiointi, 188 korkeintaan numeroituva, 121 kosketuspiste, 4 Kuratowskin upotuslause, 103 kuvaus avoin, 21 jatkuva, 16 suljettu, 21 kvasikomponentti,

228 Lindelöf-avaruus, 127 lokaalisti kompakti, 181 lokaalisti yhtenäinen, 148 Möbiuksen nauha, 84 maksimaalinen alkio, 198 metrisoituva, 85 monisto, 155 osapeite, 162 ositusrelaatio, 73 peite, 162 polku, 143 polkukomponentti, 146 polkuyhtenäinen, 143 projektiivinen taso, 84 projektiokuvaus, 46 upotus, 32 Urysohnin lemma, 209 yhtäjatkuva, 176 yhtenäinen, 141 yhtenäisyyskomponentti, 144 yläraja, 197 ylinumeroituva, 121 ympäristö, 3 ympäristökanta, 122 Zornin lemma, 199 äärellinen leikkausominaisuus, 164 rajoittumarelaatio, 82 relatiivitopologia, 28 reunapiste, 5 samastuskuvaus, 69 saturoitu, 75 separaatio, 149 separoituva, 129 sisäpiste, 5 suljettu joukko, 3 sulkeuma, 4 täydellistymä, 104 tekijäavaruus, 74 tekijäkuvaus, 74 tekijätopologia, 74 Tietzen laajennuslause, 220, 222 tiheä, 6 Tihonovin lause, 199 topologia, 1 topologinen avaruus, 1 torus, 84 tulojoukko, 45 tulokuvaus, 49 tuloon periytyvä, 114 tulotopologia, 46 ulkopiste, 5 226